Aljabar linear

  • View
    598

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Aljabar linear

Aljabar linearDaftar isi[sembunyikan]

1 Persamaan Linear & Matriks

1.1 Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

1.1.1 Bentuk Eselon-baris 1.1.2 Operasi Eliminasi Gauss 1.1.3 Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

1.2 Operasi Dalam Matriks 1.3 Matriks Balikan (Invers) 1.4 Transpose Matriks 1.5 Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

1.5.1 Matriks Diagonal 1.5.2 Matriks Segitiga 1.5.3 Matriks Simetris

2 Determinan

2.1 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

2.1.1 Determinan dengan Minor dan kofaktor 2.1.2 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama 2.1.3 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama 2.1.4 Adjoin Matriks 3 x 3 2.1.5 Determinan Matriks Segitiga Atas 2.1.6 Metode Cramer 2.1.7 Tes Determinan untuk Invertibilitas

2.2 Mencari determinan dengan cara Sarrus 2.3 Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3 2.4 Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3 2.5 Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = x 3.1 Euklidian dalam n-Ruang 3.2 Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

3 Vektor dalam Ruang Euklide

3.3 Menemukan norm dan jarak 3.4 Bentuk Newton 3.5 Operator Refleksi 3.6 Operator Proyeksi 3.7 Operator Rotasi 3.8 Interpolasi Polinomial

[sunting] Persamaan Linear & MatriksPersamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan: 3x1 + 4x2 2 x3 = 5 x1 5x2 + 2x3 = 7 2x1 + x2 3x3 = 9 dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik. Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk : a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0 am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0 Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

[sunting] Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks[sunting] Bentuk Eselon-baris Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut : 1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1). 2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks. 3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi Contoh: syarat 1: baris pertama disebut leading 1

syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

[sunting] Operasi Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Contoh: Diketahui persamaan linear x + 2y + z = 6 x + 3y + 2z = 9 2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris) Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu x + 2y + z = 6 y+z=3 z=3 Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan: y+z=3 y+3=3 y=0 x + 2y + z = 6 x+0+3=6 x=3 Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3 [sunting] Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik. Contoh: Diketahui persamaan linear x + 2y + 3z = 3 2x + 3y + 2z = 3 2x + y + 2z = 5 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi) Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = 1 ,dan z = 1

[sunting] Operasi Dalam MatriksDua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks : a.) A + B = B + A b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj

[sunting] Matriks Balikan (Invers)JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = Dengan Rumus =

dapat di-invers apabila ad - bc 0

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) 1 = B 1A 1 Contoh 1: Matriks

A=

dan B =

AB =

=

= I (matriks identitas)

BA = Maka dapat dituliskan bahwa B = A Contoh 2: Matriks

=1

= I (matriks identitas) (B Merupakan invers dari A)

A=

dan B =

AB =

=

BA =

=

Karena AB BA I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal. Contoh 3:

Matriks

A= Tentukan Nilai dari A-1 Jawab:

Contoh 4: Matriks

A=

,B=

, AB =

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

, Maka

,

= Ini membuktikan bahwa (AB)1

=B

1

A

1

[sunting] Transpose MatriksYang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris. Contoh: Matriks

A= Matriks

ditranspose menjadi AT =

B=

ditranspose menjadi BT =

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut: 1. ((A)T)T = A 2. (A + B)T = AT + BT dan (A B)T = AT BT 3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar 4. (AB)T = BTAT

[sunting] Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris[sunting] Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :

D 1= DD 1 = D 1D = I jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

Dk= Contoh :

A= maka

A5=[sunting] Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga

Matriks segitiga bawah

Teorema Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah. Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas. Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol. Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah,