Aljabar Linear

5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 1/31

Aljabar linear

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum Diperiksa

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan

solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang

berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.

Daftar isi

[sembunyikan]

1 Persamaan Linear & Matriks

o 1.1 Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

1.1.1 Bentuk Eselon-baris

1.1.2 Operasi Eliminasi Gauss

1.1.3 Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

o 1.2 Operasi Dalam Matriks

o 1.3 Matriks Balikan (Invers)

o 1.4 Transpose Matriks

o 1.5 Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

1.5.1 Matriks Diagonal

1.5.2 Matriks Segitiga

1.5.3 Matriks Simetris

2 Determinan

o 2.1 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

2.1.1 Determinan dengan Minor dan kofaktor

2.1.2 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

2.1.3 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

2.1.4 Adjoin Matriks 3 x 3

2.1.5 Determinan Matriks Segitiga Atas

2.1.6 Metode Cramer

2.1.7 Tes Determinan untuk Invertibilitas

o 2.2 Mencari determinan dengan cara Sarrus

o 2.3 Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

o 2.4 Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

o 2.5 Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx

3 Vektor dalam Ruang Euklide

o 3.1 Euklidian dalam n-Ruang

o 3.2 Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

o 3.3 Menemukan norm dan jarak

o 3.4 Bentuk Newton

o 3.5 Operator Refleksi

o 3.6 Operator Proyeksi

http://id.wikipedia.org/wiki/Bantuan:Validasi_halaman


http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika



http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear



http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor



http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks



http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear



http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Persamaan_Linear_.26_Matriks


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Penyelesaian_Persamaan_Linear_dengan_Matriks


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Bentuk_Eselon-baris


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Operasi_Eliminasi_Gauss


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Operasi_Eliminasi_Gauss-Jordan


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Operasi_Dalam_Matriks


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Matriks_Balikan_.28Invers.29


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Transpose_Matriks


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Matriks_Diagonal.2C_Segitiga.2C_dan_Matriks_Simetris


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Matriks_Diagonal


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Matriks_Segitiga


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Matriks_Simetris


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Determinan


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Determinan_dengan_Ekspansi_Kofaktor


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Determinan_dengan_Minor_dan_kofaktor


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Determinan_dengan_Ekspansi_Kofaktor_Pada_Baris_Pertama


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Determinan_dengan_Ekspansi_Kofaktor_Pada_Kolom_Pertama


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Adjoin_Matriks_3_x_3


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Determinan_Matriks_Segitiga_Atas


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Metode_Cramer


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Tes_Determinan_untuk_Invertibilitas


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Mencari_determinan_dengan_cara_Sarrus


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Metode_Sarrus_hanya_untuk_matrix_berdimensi_3x3


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Menghitung_Inverse_dari_Matrix_3_x_3


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Sistem_Linear_Dalam_Bentuk_Ax_.3D_.CE.BBx



http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Vektor_dalam_Ruang_Euklide


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Euklidian_dalam_n-Ruang


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Contoh_Penggunaan_Vektor_dalam_Ruang_Dimensi_Tinggi


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Menemukan_norm_dan_jarak


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Bentuk_Newton


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Operator_Refleksi


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Operator_Proyeksi










































o 3.7 Operator Rotasi

o 3.8 Interpolasi Polinomial

[sunting] Persamaan Linear & MatriksPersamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 5

x1 − 5 x2 + 2 x3 = 7

2 x1 + x2 − 3 x3 = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara,

yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun,

suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubahbentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara

ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem

mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial.

Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

[sunting] Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

[sunting] Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).



http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Operator_Rotasi


http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Interpolasi_Polinomial


http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar_linear&action=edit&section=1
















2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir

dari matriks.3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada

lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut

disebut Eselon-baris tereduksi

Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1

syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

[sunting] Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi

matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan

melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapatdigunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan




http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss







matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi

dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2 y + z = 6

x + 3 y + 2 z = 9

2 x + y + 2 z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu



x + 2 y + z = 6

y + z = 3

z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x + 2 y + z = 6

x + 0 + 3 = 6 x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

[sunting] Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih

sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehinggamenghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu

metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan

mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya.

Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai darivariabel-variabelnya tanpa substitusi balik .

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2 y + 3 z = 32 x + 3 y + 2 z = 32 x + y + 2 z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut










Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1



Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris

tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

[sunting] Operasi Dalam Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang samadan setiap elemen yang seletak sama.







Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah

matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasilselisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap

elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka k A =A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k .

Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semuaelemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam

penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A

b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan

sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj

[sunting] Matriks Balikan ( Invers)

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebutbalikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B

juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B,

maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka

B = C.

Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di- invers dan ( AB)− 1 = B − 1 A − 1

Contoh 1:

Matriks







A = dan B =

AB = = = I (matriks identitas)

BA = = = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:

Matriks

A = dan B =

AB = =

BA = =

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:

Matriks

A =

Tentukan Nilai dari A

-1

Jawab:



Contoh 4:

Matriks

A = , B = , AB =

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

, ,

Maka

=

Ini membuktikan bahwa ( AB)− 1

= B − 1 A

− 1

[sunting] Transpose Matriks

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponendalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh:

Matriks

A = ditranspose menjadi AT

=

Matriks







B = ditranspose menjadi BT

=

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1. (( A)T )T = A

2. ( A + B)T

= AT

+ BT

dan ( A − B)T

= AT − B

T

3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar

4. ( AB)T = BT A

T

[sunting] Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

[sunting] Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks

bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai











Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :

D − 1=

DD − 1 = D − 1 D = I

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

Dk =

Contoh :

A=

maka

A5=

[sunting] Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol.Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks

segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Matriks segitiga







Matriks segitiga bawah

Teorema

Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada

matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.

Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada

matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.

Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse padamatriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

Contoh :

Matriks segitiga yang bisa di invers

A =

Inversnya adalah

A − 1=

Matriks yang tidak bisa di invers



B =

[sunting] Matriks Simetris

Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT

Contoh matriks simetris

Teorema

Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar

maka

A

T

adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris k A adalah simetris ( AB)

T

= B

T

A

T

= BA

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT maka :

( A − 1)T = ( AT ) − 1 = A − 1

Yang mana membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris.

Produk AAT dan A

T A

( AAT )T

= ( AT )T A

T = AA

T dan ( A

T A)

T = A

T ( A

T )T

= AT A

Contoh

A adalah matriks 2 X 3







A =

lalu

AT A = =

AAT = =

Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT

dan AT A juga bisa di inverse

[sunting] Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu

matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2

A = tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad - bc

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

[sunting] Determinan dengan Minor dan kofaktor
















Pertama buat minor dari a11

M11 = = detM = a22a33 x a23a32

Kemudian kofaktor dari a11 adalah

c11 = (-1)1+1

M11 = (-1)1+1

a22a33 x a23a32

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

Begitu juga dengan minor dari a32

M32 = = detM = a11a23 x a13a21

Maka kofaktor dari a32 adalah

c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

det(A) = a11C 11+a12C 12+a13C 13

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,







det(A) = a11 - a12 + a13

= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32

Contoh Soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor barispertama

Jawab:

det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu

hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan

minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita

mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a11 - a21 + a31 = a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)

2 - (a21)2a33 - a11a23a32

Contoh Soal:







A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolompertama

Jawab:

det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) =

8

[sunting] Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A3x3

A =

Kofaktor dari matriks A adalah

C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16

C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris

menjadi kolom

adj(A) =

[sunting] Determinan Matriks Segitiga Atas











Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka

det ( A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

[sunting] Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaantersebut mempunyai penyelesaian yang unik

dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b

Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

Jawab:

bentuk matrik A dan b

A = b =

kemudian ganti kolom j dengan matrik b







A1 = A2 = A3 =

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrikdi atas

maka,

[sunting] Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan

menunjukkan bahwa det( A) dan det( R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E1, E2,..., E r menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A.

Maka,

R= E r... E2 E1 A

dan,

det( R)=det( E r)...det( E2)det( E1)det( EA)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I , jadidet( R) = 1 ≠ 0 dan det( A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det( A) ≠ 0, maka det( R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki

baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I , maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix

bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A=

karena det( A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.







[sunting] Mencari determinan dengan cara Sarrus


untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

[sunting] Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

[sunting] Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

A =

kemudian hitung kofaktor dari matrix AC11 = 12 C12 = 6 C13 = -16

C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16

C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

menjadi matrix kofaktor

cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehinggamenjadi

adj(A) =















dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

det ( A) = 64

[sunting] Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx

dalam sistem aljabar linear sering ditemukan

A x = λx ; dimana λ adalah skalar

sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix

identitas menjadi

(λI - A) x = 0

contoh:

diketahui persamaan linear

x1 + 3x2 = λx1

4x1 + 2x2 = λx2

dapat ditulis dalam bentuk

= λ

yang kemudian dapat diubah

A = dan x =

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

λ







λ

sehingga didapat bentuk

λ I - A =

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

det (λ I - A) = = 0

atau λ^2 - 3λ - 10 = 0

dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5

dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ

= -2 maka diperoleh

dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t

x =

[sunting] Vektor dalam Ruang Euklide

[sunting] Euklidian dalam n-Ruang











Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel

adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- gruptopel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.

Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup

dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – gruptopel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita

akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.

Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua

interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus inia2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3

merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an)

bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya

tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antarapoin dalam R5 atau vector pada R5.

u1 = v1 u2 = v2 un = vn

Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

u + v = (u1 + v2, u2 + v2, ...., un + vn)

Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u1, k u2,...,k un)

Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk

Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor

0 = (0, 0,...., 0)

Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari udituliskan oleh – u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, ...., -un)



Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u)

atau, dalam istilah komponen,

v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)

Sifat-sifat dari vektor dalam R n

jika , , dan adalah dalam R

n sedangkan k dan m adalah skalar, maka :

(a) u + v = v + u

(b) u + 0 = 0 + u = u

(c) u + (v + w) = (u + v) + w

(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0

(e) k (m u) = (k m) u

(f) k (u + v) = k u + k v

(g) (k + m) u = k u + m u

(h) 1u = u

Perkalian dot product didefinisikan sebagai

[sunting] Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numerissetiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y =

( y1, y2,..., yn) dalam Rn

dalam setiap y1, y2,...., yn adalah nilai yang terukur.







Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot

untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi daritruk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = ( x1, x2,..., x15) dalam setiap x1 adalah

jumlah truk dalam depot pertama dan x2 adalah jumlah pada depot kedua., dan

seterusnya.

Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input danmengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R

4

dan tegangan output bisa ditulis sebagai R3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang

mengubah setiap vektor input v = (v1,v2,v3,v4) dalam R4

ke vector keluaran w = (w1,w2,w3)dalam R

3.

Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh

layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamatdalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu

sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v =

( x, y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation,

dan brightness.

Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagiekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk

mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s =

(s1,s2,s3,...,s10) dalam setiap angka s1,s2,...,s10 adalah output dari sektor individual.

Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yangsama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah x1, x2,..., x6 dan kecepatan mereka

adalah v1,v2,...,v6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector

V = ( x1, x2, x3, x4, x5, x6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,t ) Dalam R13. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel

pada waktu t.

Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya

bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat

waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi

[sunting] Menemukan norm dan jarak

Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rn

jika u = (u1,u2,u3,...,un)

Maka Panjang vektor u

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hue&action=edit&redlink=1



http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Saturasi&action=edit&redlink=1



http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kecerahan&action=edit&redlink=1



http://id.wikipedia.org/wiki/Einstein













dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

[sunting] Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1x

n-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga

yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data

(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).

Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x

2+a1x+a0

bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)

2+p(x)=a1(x-x0)+a0

dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi

p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari

interpolasi , sehingga kita dapatkan :

p(x0)=b0

p(x1)=b1h1+b0

p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0

p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0

sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

[sunting] Operator Refleksi

Berdasarkan operator T:R

2

-> R

2

yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadapsumbu y, dimisalkan w=T (x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

x1 = -x = -x + 0y

x2 = y = 0x + y











atau dalam bentuk matrik :

Secara umum, operator pada R2

dan R3

yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya

terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifatlinier.

[sunting] Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R2

-> R2

yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus

terhadap sumbu x, dimisalkan w=T (x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

x1 = x = x + 0y

x2 = 0 = 0x + y

atau dalam bentuk matrik :

Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah:

Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2

dan R3

merupakan operator yang memetakan

tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

[sunting] Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi padaR2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap

vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaanhubungan x dan w=T (x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2=

r sin (ɵ + ɸ)

Menggunakan identitas trigonometri didapat:

w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ











w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ

kemudian disubtitusi sehingga:

w1 = x cos Θ - y sin Θ

w2 = x sin Θ + y cos Θ

Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga

bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:

[sunting] Interpolasi Polinomial

Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)....,

(xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = am xm

+ am-1 xm − 1

+ ... + a1 x + a0 darisudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi

karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini

=

Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m

memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):







= (1)

Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1.

Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.

Contoh soal:

Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.

Jawab:

Bentuk Sistem Vandermonde(1):

=

Untuk data di atas, kita mempunyai

=



Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination

Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama

Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3

Baris ke-3 dikurangi baris ke-2


Baris ke-4 dibagi dengan 2




Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas

Jadi, interpolasinya adalah

Documents

Aljabar Linear