Aljabar Linear

Evangs Mailoa

& Matriks

Pert. 4

Sistem Persamaan Linier & Matriks

1. Matriks dan Operasi Matriks

2. Pengantar Sistem Persamaan Linier

3. Eliminasi Gaus

4. Invers: Aturan Aritmatika Matriks

5. Matriks Elementer dan Metode untuk Menentukan A‐1

6. Hasil Lebih Lanjut pada Sistem Persamaan Linier

7. Matriks Diagonal, Matriks Segitiga, dan Matriks Simetrik.

Bentuk Eselon Matriks yang mempunyai bentuk eselon baris tereduksi (seperti pada Contoh 4) harus memiliki sifat sebagai berikut: 1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak

nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama (leading 1).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

4. Pada setiap kolom yang memiliki 1 utama, harus memiliki nol pada tempat-tempat lainnya.

Matriks yang memiliki tiga sifat pertama disebut dalam bentuk eselon baris.

Contoh 2. Lebih Lanjut Bentuk Eselon Baris dan Bentuk Eselon Baris Tereduksi

Contoh 3. Solusi dari Sistem Persamaan Linear

Penyelesaian (a)

Penyelesaian (b)

Penyelesaian (c)

Penyelesaian (d)

Metode Eliminasi • Berikut proses eliminasi untuk mereduksi matriks menjadi bentuk

eselon baris tereduksi. • Untuk memperjelas, proses eleminasi dilakukan pada sebuah matriks

berikut:

Proses eliminasi di atas merupakan bentuk eselon baris, dan sering juga dinamakan dengan Eliminasi Gauss.

Untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi maka dilakukan proses berikut:

Matriks yang terakhir adalah matriks bentuk eselon baris tereduksi, atau juga disebut sebagai dinamakan dengan Eliminasi Gauss-Jordan.

Contoh 4. Eliminasi Gauss-Jordan

Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan!

Penyelesaian

Subtitusi Balik

• Dalam menyelesaikan suatu SPL, kadang dilakukan dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi eselon baris tanpa menyelesaikannya dengan tuntas hingga memperoleh bentuk eselon baris tereduksi.

• Jika langkah di atas dipilih, maka SPL tersebut dapat diselesaikan dengan metode subtitusi balik(back subtitutiion).

Contoh 5. Subtitusi Balik

Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss dan Subtitusi Balik!

Penyelesaian

dengan eselon baris (metode Gauss) SPL yang bersesuaian adalah

Penyelesaian

Dengan menyelesaikan variabel utama, diperoleh: Dengan mensubtitusikan persamaan paling bawah ke persamaan kedua dihasilkan: Dan persamaan kedua disubtisusikan ke persamaan pertama:

Sistem Persamaan Linear Homogen (SPLH)

• Suatu sistem persamaan linier dikatakan homogen jika semua bentuk konstantanya adalah 0.

• Setiap sistem persamaan linier homogen (SPLH) adalah konsisten, karena semua sistem ini memiliki solusi x1=0, x2=0, ... , xn=0. Solusi ini disebut solusi trivial.

• Jika terdapat solusi lain maka disebut solusi non trivial.

Karena SPLH selalu memiliki solusi trivial, maka hanya terdapat dua kemungkinan untuk solusi-solusinya: • Sistem tersebut memiliki solusi trivial. • Sistem tersebut memiliki tak terhingga banyaknya

solusi selain solusi nontrivial.

Ada kasus dimana SPLH bisa dipastikan memiliki solusi nontrivial, yaitu jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak variabel dibandingkan dengan jumlah persamaan.

Contoh 6. SPLH dengan Gauss-Jordan

Selesaikan SPLH dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan!

Penyelesaian

Dari SPL Matriks yang diperbesar:

Penyelesaian

Dengan eliminasi Gauss-Jordan: SPL yang bersesuaian adalah:

Penyelesaian

Dari SPL yang baru: Jadi, Solusi Umum Perhatikan bahwa solusi trivial terjadi bila, s = t = 0.

Contoh 7. Aplikasi SPLH pada Reaksi Kimia

Dalam proses fotosintesis tumbuh-tumbuhan akan memerlukan sinar matahari untuk mengubah air (H2O) dan karbon dioksida (CO2) menjadi glukosa (C6H12O6) dan oksigen (O2).

Persamaan reaksi akan berbentuk: Agar persamaan reaksi menjadi seimbang maka perlu memilih x1, x2, x3, dan x4 sehingga banyak atom-atom karbon, hidrogen, dan oksigen adalah sama pada setiap ruas.

Jika dipindahkan semua peubah-peubah ke ruas kiri dari ketiga persamaan (3, 4 dan 5) maka akan diperoleh sistem persamaan linier homogen (SPLH)

Penyelesaian

Menggunakan subtitusi balik (persamaan 6), diperoleh:

Sehingga diperoleh X1 = X2 = X4 = 6X3

Secara khusus, jika diambil X3 = 1, maka X1 = X2 = X4 = 6, sehingga persamaan reaksi (2) akan menjadi:

Contoh 8. Aplikasi Lalu Lintas

Penyelesaian

Mau bertanya..?