ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

MATRIKS(DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

Macam Matriks Matriks Nol (0)

Matriks yang semua entrinya nol.Ex:

Matriks Identitas (I)Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain.Ex:

100010001

3I

000000000

,0000

Matriks Diagonal Matriks yang semua entri non diagonal

utamanya nol.Secara umum:

Ex:

8000000000400006

,100010001

,5002

nd

dd

D

...00

...0...00...0

2

1

Matriks Segitiga Matriks persegi yang

semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah.

Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.

44

3433

242322

14131211

00000

0

aaaaaaaaaa

A

44434241

333231

2221

11

000000

aaaaaaa

aaa

A

Matriks Simetris Matriks persegi A disebut simetris jika

A = At

Ex:

4

3

2

1

000000000000

,705034541

,5337

dd

dd

Transpose Matriks (1) Jika A matriks mxn, maka transpose dari

matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom.Ex:

303

512

350132

tAA

Transpose Matriks (2) Sifat:

1. (At)t = A2. (AB)t = At Bt

3. (AB)t = BtAt

4. (kA)t = kAt

Invers Matriks (1) Jika A adalah sebuah matriks persegi

dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.

Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

Invers Matriks (2) Ex:

adalah invers dari

karena

dan

21

53B

31

52A

IAB

10

012153

3152

IBA

10

013152

2153

Invers Matriks (3) Cara mencari invers khusus matriks 2x2:

Jika diketahui matriks

maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus

dcbaA

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

acbd

bcadA 11

Invers Matriks (4) Ex:

Carilah invers dari

Penyelesaian:

(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)

31

52A

2153

2153

11

2153

)1)(5()3(211A

Invers Matriks (5) Sifat:

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka:

1. AB dapat dibalik2. (AB)-1 = B-1 A-1

Pangkat Matriks (1) Jika A adalah suatu matriks persegi,

maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari A sebagai:A0 = I, An = A A … A (n≥0)

n faktor Jika A bisa dibalik, maka didefinisikan

pangkat bulat negatif sebagaiA-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1

n faktor

Pangkat Matriks (2) Jika A adalah matriks persegi dan r, s

adalah bilangan bulat, maka:1. Ar As = Ar+s

2. (Ar)s = Ars

Sifat:1. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A2. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, n=0,1,2,…3. Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA

dapat dibalik dan 11 1)( Ak

kA

Invers Matriks Diagonal Jika diketahui matriks diagonal

maka inversnya adalah

nd

dd

D

...00

...0...00...0

2

1

nd

d

d

D

1...00

0...10

0...01

2

1

1

Pangkat Matriks Diagonal Jika diketahui matriks diagonal

maka pangkatnya adalah

kn

k

k

k

d

dd

D

...00

...0...00...0

2

1

nd

dd

D

...00

...0...00...0

2

1

Invers Matriks dengan OBE (1) Caranya hampir sama dengan

mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan)

A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1 Indengan E adalah matriks dasar/ matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE)

Invers Matriks dengan OBE (2) Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka

cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A-1.

Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I].

Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A-1].

Invers Matriks dengan OBE (3) Ex:

Cari invers untuk

Penyelesaian:

801352321

A

101012001

520310

321

100010001

801352321

1312 2

bbbb

Invers Matriks dengan OBE (4) Penyelesaian Cont.

125012001

100310

321

125012001

100310

321323 2 bbb

1253513

91640

100010001

1253513

3614

100010021

213231 23

3bbbb

bb

Invers Matriks dengan OBE (6) Penyelesaian Cont. (2)

Jadi

(Adakah cara lain???)

1253513

916401A

Determinan Matriks 2x2 (1) Jika A adalah matriks persegi,

determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.

Jika diketahui matriks berukuran 2x2,maka determinan matriks Aadalah: det (A) = |A| = ad-

bc

dcbaA

Determinan Matriks 2x2 (2) Ex:

Jika diketahui matriks

maka | P | = (2x5) – (3x4) = -2

(Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)

54

32P

Determinan Matriks 3x3 (1) Untuk matriks berukuran 3x3, maka

determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.

Determinan Matriks 3x3 (2) Ex:

)2)(4(1)1)(4(2)3)(5(3)2)(4(3)3)(4(2)1)(5(1235421

123454321

Determinan Matriks nxn (1) Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi

kofaktor.

Determinan Matriks nxn (2) Kofaktor dan minor hanya berbeda

tanda cij = Mij. Untuk membedakan apakah kofator

pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)i+j Mij.

Determinan Matriks nxn (3) Determinan matriks dengan ekspansi

kofaktor pada baris pertama

Determinan Matriks nxn (4) Ex:

Adjoint Matriks (1) Jika diketahui matriks 3x3

Kofaktor dari matriks tersebut adalah:c11=9 c12=8c13=-2c21=-3 c22=-1 c23=4c31=-6 c32=-12 c33=3

Matriks kofaktor yang terbentuk

122410213

3126413289

Adjoint Matriks (2) Adjoint matriks didapat dari transpose

matriks kofaktor, didapat:

3421218639

3126413289 T

Invers Matriks nxn (1) Rumus:

dengan det(A)0 Ex: Cari invers dari

122410213

A

Invers Matriks nxn (2)Penyelesaian: det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-

2)(4)(3)-1(0)(-1)=3-7-0-4+24+0 =16

Adjoint A =

Maka A-1 =

3421218639

16/34/18/14/316/12/18/316/316/9

3421218639

161

Metode Cramer (1) Digunakan untuk mencari

penyelesaian SPL selain dengan cara eliminasi-substitusi dan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan.

Metode Cramer hanya berlaku untuk mencari penyelesaian SPL yang mempunyai tepat 1 solusi.

Metode Cramer (2) Diketahui SPL dengan n persamaan dan n

variabela11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2…………………

an1 x1 + an2x2 + … + ann xn = bn

dibentuk matriks

nnnnn

n

n

b

bb

B

aaa

aaaaaa

A2

1

21

22221

11211

,

...

...

...

Metode Cramer (3) Syaratnya |A|0 Penyelesaian untuk variabel-variabelnya

adalah:

dengan |Ai| adalah determinan A dengan mengganti kolom ke-i dengan B.

AA

xAA

xAA

x nn ,...,, 2

21

1

Metode Cramer (4) Ex:

Carilah penyelesaian dari:2x+3y-z = 5x+2z = -4-x+4y-z = 6

Soal Buktikan

Buktikan

321

321

3212

321

332211

332211)1(

cccbbbaaa

tccc

btabtabtatbatbatba

))()((111

222bcacab

cbacba

Tugas Buat program untuk menghitung

determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dengan bahasa C++ !

Input berupa ukuran matriks (harus persegi), elemen-elemen matriks, baris/kolom yang akan dijadikan patokan.

Output berupa matriks yang bersangkutan dengan nilai determinannya.

Dikumpulkan di yessica_24@yahoo.com paling lambat saat TTS !

Kuis Cari a,b,c agar simetris

Cari invers dari

Cari matriks diagonal A supaya

Cari nilai x supaya

042811523258

caccbaab

cossinsincos

100010001

5A

53162301

131

xx

xx