ANALISA TEGANGAN

7/29/2019 ANALISA TEGANGAN

1/14

Analisa Tegangan dan Regangan

Tegangan Bidang

Bila 0A dinyatakan luas permukaan sebelah kiri (permukaan x negative), maka

gaya-gaya yang bekerja pada permukaan ini: 0Ax dan 0Axy

1


2/14

Luas permukaan alasnya adalah tan0A dan gaya-gaya yang bekerja pada

penampang ini adalah: tan0Ay dan tan0Ayx

Luas permukaan miring adalahcos

0A dan gaya-gaya yang bekerja pada

penampang ini adalah:

cos

01Ax dan

cos

011 Ayx

Kesetimbangan gaya dalam arah sb x1 adalah:

0costansintansincoscos

0000

01 =

AAAA

Ayxyxyx

x

0cossinsincossincos 221 = yxyxyxx

Untuk: yxxy = maka: cossin2sincos 221 xyyxx ++=

Kesetimbangan gaya dalam arah sb y1 adalah:

0sintancostancossincos

0000

011

=++

AAAA

Ayxyxyx

yx

0sincossincoscossin22

11 =++ yxyxyxyx( ) 2211 sincoscossincossin ++= xyyxyx

( ) ( )22

11 sincoscossin += xyyxyx

Dari trigoniomteri:

( ) 2cos12

1cos

2 += ( ) 2cos12

1sin

2 = 2sin2

1cossin =

Maka:

( ) ( )

2sin2cos1

2

2cos1

21 xy

yxx +++=

2sin2cos22

1 xy

yxyx

x +

++

=

2cos2sin2

11 xy

yx

yx +

=

2


3/14

Tegangan normal 1y yang bekerja pada elemen yang terotasikan diperoleh

mensubstitusikan ( )090+ untuk , diperoleh:

( ) ( )oxyoyxyx

y 1802sin1802cos22

1 +++

++

=

2sin2cos22

1 xyyxyx

y

+

=Bila tegangan normal dalam aran sb x1 dijumlahkan dengan tegangan normal

dalam arah sb y1, diperoleh: yxyx +=+ 11

Tegangan Utama:

Tegangan utama merupakan tegangan maksimum dan tegangan minimum yang

terjadi dalam suatu elemen yang mengalami tegangan bidang. Bidang

terjadinya tegangan utama ini diperoleh dari turunan pertama 1x terhadap sama dengan nol.

2sin2cos22

1 xy

yxyx

x +

++

=

( ) 01 =xd

d

02cos22sin

2.20 =+

xy

yx

2

2tan2cos

2sin

yx

xy

p

p

p

==

Persamaan ini dapat dinyatakan dalam sebuah segitiga siku-siku

R

yx

p22cos

= Rxy

p

=2sin

3


4/14

Tegangan utama menjadi:

2

2

2

22,1

2

.

2

2.22

xy

yx

xy

xy

xy

yx

yx

yxyx

+

+

+

++

=

2

2

2,122

xy

yxyx

+

+=

Besarnya tegangan utama:

2

2

122

xy

yxyx

+

+

+=

2

2

222

xyyxyx +

+=

Contoh:

Jawab:

Tegangan Utama:

( )22

2,1 252

5080

2

5080+

+=

( ) 6,6965252

508015

2

2

2,1 =+

=

6,546,69151 =+= MPa6,846,69152 == MPa

Tegangan pada bidang yang terotasikan pada sudut 30o:

4

Sebuah elemen dikenakan tegangan

bidang seperti pada gambar.

Tentukanlah besarnya tegangan utama

dan tegangan yang terjadi pada suatu

elemen yang terotasikan sebesar 30


5/14

60sin2560cos2

5080

2

50801

++=x

15,6465,215,32151 ==x Mpa

8,685,123,5660cos2560sin2

508011 ==

=yx MPa

Untuk sudut: = 30+ 90=120

240sin25240cos2

5080

2

50801

++=x

15,3965,215,32151 =++=x MPa

8,685,123,56240cos25240sin2

508011 =+=

=yx MPa

Tegangan Geser Maksimum:

Bidang terjadinya tegangan geser maksimum diperoleh dengan menurunkan

persamaan tegangan geser

2cos2sin2

11 xy

yx

yx +

= sebagai berikut:

( ) 02sin22cos11 ==

xyyx

yx

d

d

xy

yx

S

2/2tan

=

Bidang yang menghasilkan tegangan geser maksimum 1S dan 2S diperoleh

dengan menggambarkan segitiga seperti gambar berikut.

5


6/14

Bidang terjadinya tegangan geser maksimum merupakan suatu bidang dimana

elemen diputar 45o dari bidang terjadinya tegangan utama. Dari gambar

diperoleh:R

yx

s

2/2sin

= danR

xy

s

=2cos

Dimana:

2

2

2 xyyx

R

+

=Dengan substitusi harga-harga s2cos dan s2sin kedalam persamaan

tegangan geser diperoleh tegangan geser maksimum.

2

2

2

2max

22

2/.

2

xy

yx

xy

xy

xy

yx

yxyx

+

+

+

=

22

max2

xy

yx

+

=

Dengan mengurangkan tegangan utama: )( 21 diperoleh:

max

2

2

21 22

2

=+

= xy

yx

221

max =

Lingkaran Mohr:

Persamaan tegangan normal dan tegangan gunting dapat dituliskan dalam

bentuk persamaan 1 dan persamaan 2, dimana: Ratayx

=+2

2sin2cos22

1 xy

yxyx

x +

=

+

2sin2cos2

1 xy

yx

Ratax +

= 1

2cos2sin2

11 xy

yx

yx +

= 2

6


7/14

Persamaan 1 dan persamaan 2 dikuadratkan ruas kiri dan ruas kanan, kemudian

dijumlahkan diperoleh:

( ) ( )22

2

11

2

12cos2sin

22sin2cos

2

+

+

+

=+

xy

yx

xy

yx

yxRatax

( ) ( ) ( )2

2

2

11

2

12

xy

yx

yxRatax

+

=+

( ) ( ) 2211

2

1RyxRatax =+ 3

Persamaan 3 merupakan persamaan lingkaran dengan jari-jari R pada salib

sumbu 1x vs 11yx . Sumbu xi sebagai sumbu datar, dan harganya positip arah

kekanan. Sumbu xiyi sebagai sumbu vertical, harganya positip dengan arah

kebawah. Titik C sebagai pusat lingkaran dengan koordinat ( Rata , 0).

Lingkaran ini disebut sebagai lingkaran Mohrs.

x

Cara menggambarkan lingkaran mohr:

1. Gambarkan salib sumbu dengan positip arah kebawah.2. Tentukan letak titik pusat lingkaran C, koordinat rata.

3. Gambarkan lingkaran dengan jar-jari = R

4. Tentukan suatu titik(A) pada lingkaran dengan koordinat x dan ordinatx.

5. Tegangan utama diperoleh pada garis sumbu dan sudutnya diperoleh

dengan mengukur sudut dari garis CA ke garis horizontal.6. Untuk mendapatkan tegangan lainnya pada bidang miring yang

lain,diperoleh dengan mengukur sudut 2 dari garis CA berlawanan

jarum jam.

7


8/14

Contoh 1:

Sebuah batang dibebani dengan momen torsi dan gaya tekan seperti pada

gambar. Pada suatu elemen A, tegangan yang terjadi: 12=x MPa; 0=y ,

dan 6=xy MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr, hitunglah:a. Tegangan-tegangan utama

b. Bidang terjadinya tegangan utamac. Tegangan geser maksimum

Jawab:

8

62

012

2=

+=

+

=yx

Rata

MPa

Koordinat titik pusat C (-6,0)

Jari-jari lingkaran Mohr:

2

2

2xy

yxR

+

=

( ) 49,862

012 22

=+

=R MPa

Koordinat titik A (-12, -6)

Tegangan utama dinyatakan titik B dan D

Titik B:49,2649,861 === R MPa

Titik D:

49,14649,862 === R MPaBidang terjadinya tegangan utama:

( ) 0

2

1

2 45012

622tan2 =

=

=

x

xy

p

o

p

5,222

=oo

p 5,1125,22901 =+=Bidang terjadinya tegangan-tegangan

utama digambargan

seperti gambar c.


9/14

Contoh 2:

9

Sebuah elemen dikenakan tegangan bidang

seperti pada gambar. Gambarkan lingkaran

Mohrs, tegangan geser maksimum dan

minimum, dan bidang terjadinya tegangan

geser maksimum/minimum tersebut.

Jawab:

352

9020

2=+=+= yxRata

MPa

Koordinat titik C (35, 0)

Koordinat titik A (-20, 60)

2

2

2xy

yxR

+

=

4,81602

9020 22

=+ =R MPa

4,81max == R MPaDengan demikian dapat digambarkan

lingkaran Mohrs seperti pada gambar.

Bidang terjadinya tegangan geser utama:

[ ]602

9020tan

2tan2 111

xxy

yx

s

=

=

o

s 51,429166,0tan21

1 ==

Tegangan geser maksimum:

2

2

max2

xy

yx

+

= =R=8,49 MPa

Atau:

( )2

49,1449,2

221

max==

49,8max = MPa


10/14

Contoh 3:

10

Sebuah elemen dikenakan tegangan bidang

seperti pada gambar. Gambarkan lingkaran

Mohrs. Hitung besarnya tegangan normal dan

tegangan geser yang terjadi pada bidang miring

yang dirotasikan 30o berlawanan jarum jam.

Jawab:

22

128

2=+=

+= yxRata

MPa

Koordinat titik C (2, 0)

Koordinat titik A (-8, 6)

2

2

2xy

yxR

+

=

( ) 66,1162

128 22

=+

=R MPa

o

s 3,211 =oo

s 3,1113,21902 =+=Bidang terjadinya tegangan geser

maksimum dan minimum digambarkan

seperti gambar c


11/14

Contoh 4:

Sebuah balok panjang 2 m ditumpu seperti pada gambar. Penampang balok

berbentuk profil I dengan ukuran seperti gambar.Batang tersebut dibebani

dengan beban terbagi rata w = 120 kN/m. Hitunglah besarnya tegangan utama

yang terjadi pada titik P, dimana titik P ini terletak 0,3 m dari tumpuan kiri, dan

terletak pada bagian bawah flange penampang batang.

Jawab:

Momen Inertia penampang:

11

Dengan demikian dapat digambarkan lingkaran

Mohrs seperti pada gambar dan bidang untuk sudut

= 0, yakni garis CA.

Digambar garis CP dengan beda sudut sebesar 2

dari garis CA. Dalam hal ini 2 = 60o

Bidang terjadinya tegangan utama:( ) o

x

xy

p 96.30128

622tan2

2

1 =

=

=

o

p 04,2996,306022 ===

20,804,29cos66,1121 ==x MPa66,504,29sin66,1111 ==yx MPa

Pada bidang dengan sudut: 90 + 30 = 120o

2,1204,29cos66,1121 =+=y MPa66,504,29sin66,1111 ==yx MPa


12/14

++

= 2

33

5,1071517512

151752

12

20010xx

xxI

416.435.67375.384.302666.666.6 =+= xI mm4

Tegangan yang terjadi pada titik P:

a. Tegangan Lentur:

4,45416.435.67

100106,30 6=

=

=

xx

I

My MPa

b. Tegangan geser:

Momen pertama yang terjadi pada titik P merupakan luas penampang

disebelah atasnya x jarak titik beratnya:

Q = 175 x 15 x 107,5 = 282.187,5 mm3

2,35416.435.6710

5,187.282000.84

.===

x

x

Ib

VQ MPa

12

Gaya reaksi pada tumpuan B = 120 kN

Kesetimbangan batang pada jarak 0,3 madalah seperti pada gambar. Sehingga

gaya lintang dan momen lentur adalah:

V= 120.000 36.000 = 84.000 N

M = 120,000x0,3 36.000x0,15

= 30.600 Nm

= 30,6 x106 N.mm


13/14

13


14/14

14

Documents

ANALISA TEGANGAN