Analise de lajes

8/2/2019 Analise de lajes

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ASPECTOS DA ANLISE ESTRUTURAL

DAS LAJES DE EDIFCIOS DE

CONCRETO ARMADO

HERALDO DUARTE

Dissertao apresentada Escola de

Engenharia de So Carlos, da Universidade de

So Paulo, como parte dos requisitos para a

obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia

de Estruturas

ORIENTADOR: JOS SAMUEL GIONGO

So Carlos

1998


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AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Jos Samuel Giongo, pela ateno dispensada na orientao deste

trabalho, pelas experincias e conhecimentos transmitidos e, principalmente, pela

sua amizade.

Ao Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de So Carlos, por

permitir e dar todas as condies para a realizao deste trabalho.

Ao Escritrio Tcnico Jos Roberto Leme de Andrade S/C Ltda., por ceder

cpias de projeto de sua propriedade para serem utilizadas como exemplos.

Sra. Maria Nadir Minatel, pela ajuda com a bibliografia.

Secretria Rosi Aparecida Jordo Rodrigues, pela dedicao e servios

prestados.

Aos meus familiares e a toda famlia de f so carlense pelo apoio e

incentivo a esse trabalho.

CAPES, pela bolsa de estudos.

A todos aqueles que, de alguma forma, contriburam para a realizao deste

trabalho e, acima de tudo, a Deus, que Pai providente, fonte de toda cincia e

sabedoria.


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i

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 3.1- Esforos solicitantes em um elemento de placa.............................................. 20

FIGURA 4.1 - Forma do pavimento tipo do Edifcio Vitria Rgia......................................... 29

FIGURA 4.2 - Diagrama de deformao da seo de maior momento fletor - Equao de

Compatibilidade .............................................................................................................. 30

FIGURA 4.3 - Malha com espaamento da ordem de 1,00 m x 1,00 m - Numerao

dos ns............................................................................................................................ 37

FIGURA 4.4 - Malha com espaamento da ordem de 0,50 m x 0,50 m - Numerao

dos ns............................................................................................................................ 37

FIGURA 4.5 - Momentos fletores ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidosatravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha ................................................. 40

FIGURA 4.6 - Momentos fletores ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidos

atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha ................................................. 40

FIGURA 4.7 - Deslocamentos ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidos atravs

da aplicao da tcnica da analogia de grelha .............................................................. 41

FIGURA 4.8 - Momentos fletores ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidos

atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos................................................ 48

FIGURA 4.9 - Momentos fletores ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidos


FIGURA 4.10 - Deslocamentos ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidas


FIGURA 4.11 - Deslocamentos ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e 4.4), obtidas


FIGURA 4.12 - Envoltrias dos esforos momentos fletores M11 = Mxx (em kNm/m), obtidas


FIGURA 4.13 - Envoltrias dos esforos momentos fletores M22 = Myy (em kNm/m), obtidas


FIGURA 5.1 - Configuraes possveis de charneiras.......................................................... 56

FIGURA 5.2 - Determinao da configurao de runa......................................................... 57

FIGURA 5.3 - Comparaes entre os valores dos momentos fletores ao longo do Corte XX

(ver tabela 5.1), obtidos atravs da teoria das charneiras plsticas e do clculo com

tabelas do mtodo elstico............................................................................................. 60

FIGURA 5.4 - Comparaes entre os valores dos momentos fletores ao longo do Corte YY

(ver tabela 5.1), obtidos atravs da teoria das charneiras plsticas e do clculo com

tabelas do mtodo elstico............................................................................................. 60

FIGURA 6.1 - Arranjos possveis para armadura de lajes contnuas.................................... 64


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ii

FIGURA 6.2 - Detalhamento das armaduras positivas, obtido atravs de tabelas do mtodo

elstico............................................................................................................................ 67

FIGURA 6.3 - Detalhamento das armaduras negativas, obtido atravs de tabelas do mtodo

elstico............................................................................................................................ 68

FIGURA 6.4 - Detalhamento das armaduras positivas, obtido atravs do mtodo dos

elementos finitos............................................................................................................. 69

FIGURA 6.5 - Detalhamento das armaduras negativas, obtido atravs do mtodo dos

elementos finitos............................................................................................................. 70

FIGURA 6.6 - Detalhamento das armaduras positivas, obtido atravs da teoria das

charneiras plsticas........................................................................................................ 71

FIGURA 6.7 - Detalhamento das armaduras negativas, obtido atravs da teoria das

charneiras plsticas........................................................................................................ 72FIGURA 6.8 - Detalhamento das armaduras positivas, obtido com a utilizao de telas

soldadas.......................................................................................................................... 75

FIGURA 6.9 - Detalhamento das armaduras negativas, obtido com a utilizao de telas

soldada ........................................................................................................................... 76


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iii

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 3.1- ESFOROS SOLICITANTES EM UM ELEMENTO DE PLACA

FIGURA 4.1 - FORMA DO PAVIMENTO TIPO DO EDIFCIO VITRIA RGIA

FIGURA 4.2 - DIAGRAMA DE DEFORMAO DA SEO DE MAIOR MOMENTO FLETOR- EQUAO DECOMPATIBILIDADE

FIGURA 4.3 - MALHA COM ESPAAMENTO DA ORDEM DE 1,00 M X 1,00 M - NUMERAO DOS NSFIGURA 4.4 - MALHA COM ESPAAMENTO DA ORDEM DE 0,50 M X 0,50 M - NUMERAO DOS NSFIGURA 4.5 - MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE XX (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOS

ATRAVS DA APLICAO DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHAFIGURA 4.6 - MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE YY (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOS

ATRAVS DA APLICAO DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHAFIGURA 4.7- DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE XX (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOS

ATRAVS DA APLICAO DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHA

FIGURA 4.8 - MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE XX (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOSATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

FIGURA 4.9 - MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE YY (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDOSATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

FIGURA 4.10 - DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE XX (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDASATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

FIGURA 4.11 - DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE YY (VERFIGURAS 4.3 E 4.4), OBTIDASATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

FIGURA 4.12 - ENVOLTRIAS DOS ESFOROS MOMENTOS FLETORES M11= MXX(EM KNM/M), OBTIDASATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

FIGURA 4.13 - ENVOLTRIAS DOS ESFOROS MOMENTOS FLETORES M22= MYY(EM KNM/M), OBTIDASATRAVS DA ANLISE COM O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

FIGURA 5.1 - CONFIGURAES POSSVEIS DE CHARNEIRASFIGURA 5.2 - DETERMINAO DA CONFIGURAO DE RUNAFIGURA 5.3 - COMPARAES ENTRE OS VALORES DOS MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE XX

(VER TABELA 5.1), OBTIDOS ATRAVS DA TEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS E DO CLCULO COMTABELAS DO MTODO ELSTICO

FIGURA 5.4 - COMPARAES ENTRE OS VALORES DOS MOMENTOS FLETORES AO LONGO DO CORTE YY(VER TABELA 5.1), OBTIDOS ATRAVS DA TEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS E DO CLCULO COMTABELAS DO MTODO ELSTICO

FIGURA 6.1 - ARRANJOS POSSVEIS PARA ARMADURA DE LAJES CONTNUASFIGURA 6.2 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS, OBTIDO ATRAVS DE TABELAS DO

MTODO ELSTICOFIGURA 6.3 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS, OBTIDO ATRAVS DE TABELAS DO

MTODO ELSTICO

FIGURA 6.4 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS, OBTIDO ATRAVS DO MTODO DOSELEMENTOS FINITOSFIGURA 6.5 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS, OBTIDO ATRAVS DO MTODO DOS

ELEMENTOS FINITOSFIGURA 6.6 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS, OBTIDO ATRAVS DA TEORIA DAS

CHARNEIRAS PLSTICASFIGURA 6.7 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS, OBTIDO ATRAVS DA TEORIA DAS

CHARNEIRAS PLSTICASFIGURA 6.8 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS POSITIVAS, OBTIDO COM A UTILIZAO DE TELAS

SOLDADASFIGURA 6.9 - DETALHAMENTO DAS ARMADURAS NEGATIVAS, OBTIDO COM A UTILIZAO DE TELAS

SOLDADA


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LISTA DE TABELAS

TABELA 2.1 - Valores dos pesos especficos aparentes dos materiais de construo.................6

TABELA 2.2 - Aes permanentes por unidade de rea ...............................................................7

TABELA 2.3 - Valores mnimos das aes variveis normais .......................................................8

TABELA 2.4 - Valores limites para deslocamentos ......................................................................12

TABELA 4.1 - Momentos fletores e deslocamentos obtidos atravs do clculo desenvolvido com

auxlio de tabelas - mtodo elstico ......................................................................................33

TABELA 4.2 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver figuras 4.3 e 4.4)

obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha............................................38

TABELA 4.3 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte YY (ver figuras 4.3 e 4.4)

obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha............................................39

TABELA 4.4 - Momentos Fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e

4.4), obtidos atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos..................................46

TABELA 4.5 - Momentos Fletores e deslocamentos ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e

4.4), obtidos atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos..................................47

TABELA 5.1 - Comparao entre os valores dos esforos momentos fletores obtidos atravs da

teoria das charneiras plsticas e clculo atravs de tabelas do mtodo elstico.................59

TABELA 6.1 - Consumo de ao resultante da anlise atravs de tabelas do mtodoelstico ...................................................................................................................................68

TABELA 6.2 - Consumo de ao resultante da anlise atravs do mtodo dos elementos

finitos ......................................................................................................................................69

TABELA - 6.3 - Consumo de ao resultante da anlise atravs da teoria das charneiras

plsticas .................................................................................................................................72

TABELA 6.4 - Consumo de ao resultante do dimensionamento atravs da utilizao

de telas soldadas ...................................................................................................................76


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iv

TABELA 2.1 - Valores dos pesos especficos aparentes dos materiais de construo

TABELA 2.2 - Aes permanentes por unidade de rea

TABELA 2.3 - Valores mnimos das aes variveis normais

TABELA 2.4 - Valores limites para deslocamentos

TABELA 4.1 - Momentos fletores e deslocamentos obtidos atravs do clculo desenvolvido com

auxlio de tabelas - mtodo elstico

TABELA 4.2 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver figuras 4.3 e 4.4)

obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha

TABELA 4.3 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte YY (ver figuras 4.3 e 4.4)

obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha

TABELA 4.4 - Momentos Fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver Figuras 4.3 e

4.4), obtidos atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos

TABELA 4.5 - Momentos Fletores e deslocamentos ao longo do Corte YY (ver Figuras 4.3 e

4.4), obtidos atravs da anlise com o mtodo dos elementos finitos

TABELA 5.1 - Comparao entre os valores dos esforos momentos fletores obtidos atravs da

teoria das charneiras plsticas e clculo atravs de tabelas do mtodo elstico

TABELA 6.1 - Consumo de ao resultante da anlise atravs de tabelas do mtodo elstico

TABELA 6.2 - Consumo de ao resultante da anlise atravs do mtodo dos elementos finitos

TABELA - 6.3 - Consumo de ao resultante da anlise atravs da teoria das charneiras

plsticas

TABELA 6.4 - Consumo de ao resultante do dimensionamento atrav


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SUMRIO

LISTA DE FIGURAS .............................................................. ..............................................................i

LISTA DE TABELAS......................................................................................................................... iii

RESUMO.............................................................................................................................................. iv

ABSTRACT........................................................................................................................................... v

1 INTRODUO.................................................................................................................................1

1.1 APRESENTAO........................................................ ..............................................................11.2 OBJETIVOS .................................................. ........................................................... ...................21.3 DESCRIO SUSCINTA DO TRABALHO...................................................... .......................3

2 AES, PR-DIMENSIONAMENTO E DISPOSIES CONSTRUTIVAS ACONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFCIOS ................................................................ ..........4

2.1 INTRODUO ........................................................ ........................................................... ........42.2 AES A CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFCIOS ..................................................42.3 PR-DIMENSIONAMENTO......................................................................................................92.4 DISPOSIES CONSTRUTIVAS...........................................................................................132.5 CONSIDERAES FINAIS.....................................................................................................16

3 TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL E SEUS FUNDAMENTOS TERICOS PARA OSELEMENTOS DE PLACA ...................................................... ..........................................................17

3.1 INTRODUO ........................................................ .......................................................... .......173.2 ANLISE LINEAR...................................................................................................................18

3.2.1 Fundamentos tericos da anlise linear dos elementos de placa .......................................19

3.2.2 Anlise Linear com Redistribuio ............................................................ .........................23

3.3 ANLISE LIMITE OU PLSTICA ............................................................... ..........................243.4 ANLISE NO-LINEAR.........................................................................................................25

3.5 ANLISE ATRAVS DE MODELOS FSICOS............................... ......................................263.6 CONSIDERAES FINAIS.....................................................................................................26

4 MODELOS ESTRUTURAIS PARA ANLISE LINEAR DAS LAJES DE EDIFCIOS........28

4.1 INTRODUO ........................................................ .......................................................... .......284.2 CLCULO APROXIMADO MEDIANTE O USO DE TABELAS - MTODO ELSTICO 32

4.2.1 Generalidades ........................................................... ..........................................................32

4.2.2 Aplicao sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia ..............................................32

4.3 CLCULO ATRAVS DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHA................................334.3.1 Generalidades ..................................................... ................................................................33

4.3.2 Critrios para traado das malhas de grelha .................................................. ...................34


4.4 ANLISE ATRAVS DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ....................................41

4.4.1 Generalidades ........................................................... ..........................................................414.4.2 Caractersticas do mtodo e modelos de elementos finitos.................................................43


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4.4.3 Compatibilidade de elementos e critrios de convergncia.................. ..............................44


4.5 COMPARAES DE RESULTADOS.....................................................................................51

5 MODELO ESTRUTURAL PARA ANLISE LIMITE OU PLSTICA DAS LAJES DEEDIFCIOS..........................................................................................................................................53

5.1 INTRODUO ........................................................ ........................................................... ......535.2 A TEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS .............................................................. .........53

5.2.1 Hipteses de Clculo..................................................... ......................................................54

5.2.2 Configuraes das charneiras ................................................ ............................................55

5.2.3 Processos de Clculo ...................................................... ....................................................57

5.3 ANLISE DO PAVIMENTO TIPO DO EDIFCIO VITRIA RGIA ATRAVS DATEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS ............................................................ ......................58

6 DISTRIBUIO DAS ARMADURAS............. ........................................................ ....................62

6.1 GENERALIDADES ..................................................... ....................................................... ......62

6.2 MODELOS ANALISADOS ATRAVS DA TEORIA DA ELASTICIDADE........................636.2.1 Lajes armadas em uma direo ..................................................... .....................................636.2.2 Lajes armadas em duas direes .......................................................... ..............................64

6.2.3 Distribuio das armaduras segundo envoltrias de esforos resultantes de anlises

atravs de softwares com ps-processadores ..................................................................... ..........65

6.2.4 Detalhamentos das armaduras obtidos para o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia..66

6.3 MODELO ANALISADO ATRAVS DA TEORIA DAS CHARNEIRAS PLSTICAS.......706.4 UTILIZAO DE TELAS SOLDADAS NO DIMENSIONAMENTO DE PAVIMENTOSDE EDIFCIOS.................................................................................................................................736.5 COMPARAES ENTRE OS MODELOS ANALISADOS...................................................77

7 CONCLUSES .......................................................... .............................................................. .......78

8 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................... ...........................80


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1

1 INTRODUO

1.1 APRESENTAO

A anlise estrutural de edifcios vem se constituindo de recursos cada vez mais

refinados nos ltimos trinta anos, principalmente em funo do acentuado desenvolvimento

dos computadores ocorrido nesse perodo. Mais precisamente no que diz respeito s

placas, que constituem o objeto das anlises deste trabalho, importantes contribuies vm

sendo dadas atravs da aplicao do mtodo dos elementos finitos. So inmeras as

referncias desse assunto tanto no mbito das anlises elsticas lineares como das no

lineares. BATOZ et al [1980] apresentam um estudo sobre alguns tipos de elementos finitos

triangulares, com o propsito de identificar elementos com bom comportamento para

anlise de placas finas. Em BATOZ [1982], apresentada explicitamente a formulao do

elemento DKT (Discrete Kirchhoff Triangle), cujo desenvolvimento baseado na aplicao

simplificada das hipteses de Kirchhoff sobre os lados do elemento, fazendo deste um

eficiente elemento triangular para anlise de placas fletidas. No trabalho de ZIENKIEWICZ

et al [1990], so desenvolvidos vrios estudos sobre esse tipo de elemento. BERGAN &

WANG [1984] tratam de um elemento quadrilateral para placas fletidas com considerao,

na sua formulao, at mesmo das deformaes devidas ao esforo cortante. No campo

das anlises elsticas no-lineares, encontra-se a publicao de BATOZ & DHATT [1981],

em que abordado um elemento quadrilateral conhecido por DKQ (Discrete KirchhoffQuadrilateral), com formulao baseada numa generalizao do elemento DKT e que est

apresentada tambm em BATOZ & TAHAR [1982]. Em CORRA [1991] so propostos

aperfeioamentos para modelos usualmente empregados nos projetos de edifcios, como

tambm o desenvolvimento de formulaes de elementos para anlise linear e no linear

fsica de placas.

Em meio a essas contribuies efetivas ao desenvolvimento tecnolgico das

anlises estruturais, o presente trabalho apresenta uma comparao de alguns mtodos de

anlise de placas, mais precisamente de lajes de edifcios de concreto armado, adotando

como exemplo um pavimento tipo de um edifcio residencial. Procura abordar, no campo da


14/93

2

teoria da elasticidade, desde os mtodos mais simples de anlise com o uso de tabelas em

que as lajes so admitidas como isoladas umas das outras, at outros mais refinados com a

considerao da interao das lajes com os demais elementos estruturais, como a tcnica

da analogia de grelha e o mtodo dos elementos finitos. O clculo atravs de tabelas

desenvolvido com a aplicao das tabelas encontradas em PINHEIRO [1986], que

constituem uma adaptao das tabelas de BARES [1972]. A tcnica da analogia de grelha

aplicada com base nas indicaes do trabalho de BARBOZA [1992] e o mtodo dos

elementos finitos com a utilizao do software SAP90, cujas instrues de uso podem ser

encontradas em WILSON & HABIBULLAH [1988]. As lajes do pavimento modelo so

analisadas tambm atravs das hipteses de clculo em regime plstico com a teoria das

charneiras plsticas. Contribuem para essa ltima anlise, alm das obras de

LANGENDONCK [1970,1975] e MONTOYA et al [1973], o trabalho de PINHEIRO [1988],que faz uma abordagem das anlises elstica e plstica das lajes de edifcios e o de RIOS

[1991], que apresenta uma implementao computacional para o clculo de lajes

retangulares atravs da associao do clculo elstico com a teoria das charneiras

plsticas.

1.2 OBJETIVOS

O presente trabalho tem por objetivo abordar alguns aspectos da anlise estrutural

das lajes de edifcios, reunindo tpicos tericos e prticos dos mtodos de anlise mais

comumente usados pelos projetistas de estruturas, bem como os apresentados como

bsicos nos cursos de engenharia. No se tem a pretenso de apresentar um compndio e

nem de reunir prescries de todas as normas existentes para projeto de edifcios. Procura-

se sim apresentar os conceitos bsicos dos mtodos de anlise, tidos como indispensveis

a um calculista estrutural, principalmente quando se trata da utilizao de um ou outro

software como instrumento das anlises. Para cada mtodo estudado, so apresentados

os resultados obtidos de sua aplicao sobre a forma do pavimento tomado como exemplo,

com o intuito de mostrar as particularidades de cada modelo e de indicar os casos em que

cada um deles pode ser aplicado com segurana. Espera-se, assim, que este trabalho

constitua-se como material de apoio para alunos graduandos em engenharia civil, como

tambm para eventuais consultas de projetistas em escritrios de clculo estrutural.

1.3 DESCRIO SUSCINTA DO TRABALHO


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3

Apresentam-se, no captulo 2, algumas consideraes sobre as aes atuantes nas

lajes de edifcios, suas definies pela NBR 8681 [1984], seus tipos e o modo como as

mesmas so determinadas. So tratados alguns aspectos do pr-dimensionamento de

lajes, de acordo com as indicaes de espessuras mnimas e valores limites de

deslocamentos encontrados no TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994]. Algumas

disposies construtivas so abordadas visando otimizao e padronizao nos

projetos, tendo-se por base os textos da NBR 6118 [1978] e o de PRELORENTZOU &

GIORGI [1994].

No captulo 3, encontram-se definies bsicas dos tipos de anlise estrutural de

placas, estabelecidas em funo do comportamento que se admite para o concreto armado,

abrangendo pois, desde conceitos de anlise elstica linear, no linear, limite ou plstica,

at anlises atravs de modelos fsicos, de acordo com o elucidado no TEXTO BASE PARAREVISO DA NB-1 [1994].

Modelos estruturais para anlise linear das lajes de edifcios, com uma descrio

sucinta dos fundamentos tericos relacionados com a formulao matemtica de cada um

deles, so apresentados no captulo 4, acompanhados dos resultados de sua aplicao

sobre o pavimento tipo de um edifcio residencial localizado na cidade de So Carlos, cujas

caractersticas e forma estrutural encontram-se tambm neste referido captulo. So feitas

comparaes entre os resultados das diversas anlises, com o intuito de se avaliar at em

que ponto uma ou outra anlise apresentam valores de esforos solicitantes aceitveis e

seguros.

Um modelo estrutural para anlise limite ou plstica de lajes, atravs da teoria das

charneiras plsticas, proposto no captulo 5, apresentando-se tambm princpios tericos

desse tipo de anlise e sua aplicao sobre o pavimento tomado como modelo.

No captulo 6 so abordados alguns aspectos tericos e prticos para o

detalhamento geral das armaduras do pavimento de um edifcio. So apresentados para o

pavimento tomado como modelo os detalhamentos das armaduras de cada um dos

mtodos de clculo analisados no trabalho, mostrando as particularidades e consideraes

necessrias correta armao segundo cada um deles. Os comentrios finais e asconcluses, bem como as sugestes para novos trabalhos encontram-se no captulo 7.


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4

2 AES, PR-DIMENSIONAMENTO E DISPOSIES CONSTRUTIVASA CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFCIOS

2.1 INTRODUO

No presente captulo so apresentadas consideraes sobre as aes atuantes nas

lajes de edifcios, suas definies segundo a NBR 8681 [1984], seus tipos e o modo como

as mesmas so determinadas segundo as prescries da NBR 6120 [1980].

So tratados alguns aspectos do pr-dimensionamento de lajes, de acordo com

indicaes prticas do texto de CEOTTO [1985], em que feito um estudo relacionando

resistncia e economia de material para os elementos estruturais que compem um edifcio.

So apresentados os valores mnimos para as espessuras das lajes, visando a orientar o

seu pr-dimensionamento e valores limites de deslocamentos, prescritos no TEXTO BASE

PARA REVISO DA NB-1 [1994], para posteriores verificaes.

Algumas disposies construtivas so estabelecidas visando otimizao e

padronizao nos projetos, tomando como referncia os textos da NBR 6118 [1978] e o de

PRELORENTZOU & GIORGI [1994].

2.2 AES A CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFCIOS

De acordo com a NBR 8681 [1984], as aes so definidas como sendo as causas

que provocam o aparecimento de esforos ou deformaes nas estruturas. Alm disso, do

ponto de vista prtico, as foras e as deformaes impostas pelas aes so consideradas

como se fossem as prprias aes. corrente a designao de aes indiretas para as

deformaes impostas e de aes diretas para as foras.

As aes que atuam nas estruturas podem ser subdivididas em aes

permanentes, aes variveis ou acidentais e aes excepcionais.


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5

As aes permanentes so aquelas que ocorrem nas estruturas com valores

constantes ou de pequena variao em torno de sua mdia, durante praticamente toda a

vida da construo. As aes permanentes podem ser diretas ou indiretas. As diretas so

aquelas oriundas dos pesos prprios dos elementos da estrutura, de dispositivos

construtivos permanentes, de pesos de equipamentos fixos e de empuxos devidos ao peso

prprio de terras no removveis aplicados sobre a estrutura. As indiretas podem ser

consideradas como sendo as foras de protenso em peas de concreto protendido, os

recalques de apoio devidos a deslocamentos dos elementos estruturais ou deformabilidade

dos solos das fundaes e a retrao dos materiais.

As aes variveis so as que ocorrem nas estruturas com valores que apresentam

variaes significativas em torno de sua mdia, durante a vida da construo. So as

cargas de uso das construes (pessoas, mveis, materiais diversos), bem como seusefeitos (foras de frenao, de impacto e centrfugas), efeitos do vento, das variaes de

temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e das presses hidrostticas e

hidrodinmicas. Em funo da probabilidade de ocorrncia, as aes variveis so

classificadas em normais e especiais. As normais so aquelas com probabilidade de

ocorrncia suficientemente grande, de tal maneira que sejam obrigatoriamente

consideradas no projeto estrutural. Incluem-se nessa classificao as chamadas cargas

acidentais que atuam nas estruturas dos edifcios, mais precisamente sobre as lajes,

devidas a pessoas, mobilirio, veculos, bibliotecas, entre outras. So consideradas

especiais as aes ssmicas e as cargas acidentais de intensidade especiais, como, por

exemplo, as provenientes de veculos transportando equipamentos especficos com pesos

acima daqueles admitidos como padres.

As aes excepcionais so aquelas que tm durao extremamente curta e muito

baixa probabilidade de ocorrncia durante a vida da construo, mas que devem ser

consideradas nos projetos de determinadas estruturas. So as aes decorrentes de

causas como: exploses, choques de veculos, incndios, enchentes ou sismos

excepcionais.

Os valores numricos a serem admitidos para cada tipo de ao acima citados,podem ser encontrados na NBR 6120 [1980]. Apresentam-se, entretanto, no presente

trabalho, alguns destes valores relacionados com a estimativa das aes permanentes

diretas e variveis normais para os projetos usuais de edifcios. Na TABELA 2.1,

encontram-se os pesos especficos aparentes dos materiais de construo e componentes

de edificaes mais comumente empregados nos projetos, que devem ser considerados

quando no houver uma determinao experimental para os mesmos.

Tendo em vista que a maioria das aes nos edifcios so provenientes de

elementos com distribuio geomtrica plana, sejam estes paredes, coberturas, forros,

caixilhos, pisos e revestimentos, apresentam-se na TABELA 2.2 alguns valores de aespor unidade de rea para alguns tipos dos referidos elementos, de acordo com o


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6

apresentado no trabalho de GIONGO [1994]. Nas aes devidas s paredes, esto

includas as relativas aos pesos das argamassas de assentamento (1 cm) e de

revestimento (1,5 cm em cada face). Para as aes resultantes das coberturas, so

consideradas as massas das telhas midas.

TABELA 2.1 - Valores dos pesos especficos aparentes dos materiais de construo

Peso especficoMateriais aparente

(kN/m)Arenito 26Basalto 30

Rochas Gneisse 30Granito 28Mrmore e Calcrio 28Blocos de argamassa 22Cimento amianto 20

Blocos Lajotas cermicas 18Artificiais Tijolos furados 13

Tijolos macios 18Tijolos slico-calcrios 20Argamassa de cal, cimento/areia 19

Revestimentos Argamassa de cimento e areia 21

e Concretos Argamassade gesso 12,5Concreto simples 24Concreto armado 25Pinho, cedro 5

Madeiras Louro, imbuia, pau leo 6,5Guajuvir, guatambu, grpia 8Angico, cabriuva, ip rseo 10Ao 78,5Alumnio e ligas 28Bronze 85Chumbo 114

Metais Cobre 89

Ferro fundido 72,5Estanho 74Lato 85Zinco 72Alcatro 12Asfalto 13

Materiais Borracha 17diversos Papel 15

Plstico em folhas 21Vidro plano 26

TABELA 2.2 - Aes permanentes por unidade de rea


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7

Item Material Ao (kN/m)

1/2 tijolo macio 2,501 tijolo macio 4,00

1/2 tijolo furado (baiano) 2,20

Paredes 1 tijolo furado 3,20

Bloco de concreto (espessura de 10 cm) 2,20

Bloco de concreto (espessura de 20 cm) 3,50

Bloco de concreto celular (espessura de 10 cm) 0,50

Bloco de concreto celular (espessura de 20 cm) 0,80

Com telhas cermicas, com madeiramento 1,20

Coberturas Com telhas de fibrocimento, com madeiramento 0,40

Com telhas de alumnio e estrutura de ao 0,30

Com telhas de alumnio e estrutura de alumnio 0,20

Forros Com painis de gesso, com estrutura de madeira e ao 0,50

Com blocos slidos de gesso 0,70

Caixilhos Com estrutura de alumnio e vidros 0,20

Com estrutura de ao e vidros 0,30

Telhas De fibrocimento tipo Canalete 43 0,28

De fibrocimento tipo Canalete 90 0,25

Ao se definir a forma estrutural do pavimento de um edifcio, pode acontecer que

no resultem vigas sob todas as linhas de ocorrncia de paredes e que estas estejam

atuando diretamente sobre as prprias lajes. Neste caso, possvel a considerao

simplificada de tais aes como uniformemente distribudas sobre toda a laje, ressaltando-

se que este no o melhor procedimento a ser adotado, conforme abordado mais adiante

no trabalho, tendo em vista a disponibilidade atual de recursos numricos para anlises

mais precisas. Com relao ao de paredes divisrias, que no tenham sua posio

definida no projeto arquitetnico, a NBR 6120 [1980] estabelece que para o clculo de tais

lajes seja considerado, alm dos demais carregamentos j previstos, um outro

uniformemente distribudo por metro quadrado de piso, no menor que um tero do peso

por metro linear da parede pronta, observado o valor mnimo de 1 kN/m2.

As aes variveis normais so consideradas atuando no piso das edificaes, isto

, nos elementos estruturais planos ou lajes, sendo supostas uniformemente distribudas

sobre os mesmos, com seus valores mnimos indicados pela NBR 6120 [1980]. A TABELA2.3 apresenta alguns destes valores para determinados ambientes arquitetnicos.


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8

TABELA 2.3 - Valores mnimos das aes variveis normais

Ambiente Arquitetnico Ao (kN/m)

(incluindo a massa das mquinas) a ser

Casa de Mquinas determinada em cada caso, porm com 7,50

o valor mnimo de

Corredores Com acesso ao pblico 3,00

Sem acesso ao pblico 2,00

Edifcios Residenciais Dormitrios, sala, copa, cozinha e banheiro 1,50Despensa, rea de servio e lavanderia 2,00

Escadas Com acesso ao pblico 3,00


Forros Sem acesso a pessoas 0,50

Garagens Para veculos de passageiros ou semelhantes 3,00

e Estacionamentos com carga mxima de 25 kN por veculo


Terraos Com acesso ao pblico 3,00Inacessvel a pessoas 0,50

Vestbulo Sem acesso ao pblico 1,50

Com acesso ao pblico 3,00

Escrtirios Salas de uso geral e banheiro 2,00

Anfiteatro com assentos fixos, corredor e

Escolas sala de aula 3,00

Outras salas 2,00

Galerias de Arte A ser determinada em cada caso, porm

com o mnimo de 3,00

Galerias de Lojas A ser determinada em cada caso, porm

com o mnimo de 3,00

Ginsio de Esportes 5,00

A NBR 6120 [1980] prescreve ainda que , nos compartimentos destinados a

carregamentos especiais, como os devidos a arquivos, depsitos de materiais, mquinas

leves, caixas-forte e outros, no necessria uma verificao mais exata destes


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9

carregamentos, desde que se considere um acrscimo de 3 kN/m2 no valor da carga

acidental.

No caso de balces e sacadas com acesso ao pblico devem ser previstas a

mesma ao uniformemente distribuda do elemento estrutural com o qual se comunicam e

, ainda, uma ao horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimo e uma ao vertical mnima

de 2 kN/m, sendo estas duas ltimas cargas vlidas tambm para os parapeitos.

Para as escadas constitudas de degraus isolados, considera-se uma ao

concentrada de 2,5 kN aplicada na posio mais desfavorvel dos mesmos. Esta ao no

deve ser includa na composio de aes para as vigas que suportam os degraus.

Nos casos de edifcios com garagens em pavimentos trreos ou outros pavimentos,

a NBR 6120 [1980] estabelece que h necessidade de se considerar a ao de veculos

conforme indicado na TABELA 2.3, com majorao da mesma por um coeficiente determinado do seguinte modo:

= 1,00 quando l l0

= l0 / l 1,43 quando l < l0

sendo l o vo de uma viga ou o menor vo de uma laje em anlise no referido pavimento; l0

= 3 m para o caso das lajes e l0 = 5 m para o caso das vigas. Ressalta-se que estamajorao deve ser feita apenas para a anlise de vigas e lajes e no de pilares ou

paredes.

2.3 PR-DIMENSIONAMENTO

Para efeito de anlise econmica, quanto mais esbelta for uma laje, ou seja, quanto

menor for sua espessura, mais vivel ela ser. Existem, no entanto, valores limitesestabelecidos pelos estados limites ltimo e de utilizao do elemento estrutural. E embora

seja possvel executar lajes com pequena espessura, que satisfaa aos limites indicados, o

desconforto para o usurio sensvel ao se caminhar sobre elas. A vibrao pode vir a

tornar-se um estado limite de utilizao, apesar deste no ser um caso explicitamente

indicado por norma.

Alguns critrios prticos podem ser estabelecidos com a finalidade de orientar o

pr-dimensionamento das lajes de edifcios. CEOTTO [1985], apresenta um estudo sobre o

assunto, relacionando os parmetros de resistncia estrutural com os economia de material

e estabelecendo assim critrios para um bom dimensionamento dos elementos estruturais.


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10

Se a laje for armada em duas direes, isto , se tiver a relao entre os vos

tericos maior e menor inferior a 2, a espessura da laje pode ser adotada entre os limites de

um cinqenta avos (1/50) e um quarenta avos (1/40) do vo terico menor. Para as lajes

armadas em uma direo, esses limites se modificam para um quarenta e cinco avos (1/45)

e um trinta avos (1/30) do menor vo.

Os vos considerados econmicos podem ser adotados em torno de 4 m,

resultando reas aproximadas de 15 m2 a 20 m2.

As taxas de armadura devem resultar entre 2,4 a 3,2 kg/m2 ou 28 a 53 kg/m3 de

laje, apresentando pequenas variaes para distintos valores da resistncia caracterstica

do concreto.

O pr-dimensionamento das lajes usuais dos edifcios pode ser feito ainda com o

auxlio de algumas frmulas simplificadoras que levam em conta os valores limites paradimenses, deslocamentos e abertura de fissuras das mesmas, estabelecidas por normas

ou manuais de concreto armado, como, por exemplo, as encontradas na NBR 6118 [1978],

Manual do American Concrete Institute - ACI [1985] e Cdigo Modelo do Comit Euro-

International du Beton - CEB-FIP [1978]. Neste trabalho, entretanto, opta-se pelo que

normalmente feito pelos projetistas, a saber, um pr-dimensionamento feito diretamente em

funo de sua experincia e da comparao com outros projetos j realizados, atentando-

se para os referidos valores limites estabelecidos pelas respectivas normas tcnicas do

assunto e para os critrios prticos anteriormente apresentados. Assim sendo, apresentam-

se, a seguir, alguns valores limites que esto indicados no TEXTO BASE PARA REVISO

DA NB-1 [1994].

Os valores limites mnimos para as espessuras das lajes so:

a) Lajes macias:

a.1) 5 cm para lajes de cobertura;

a.2) 7 cm para lajes de piso;

a.3) 10 cm para lajes que suportem veculos de peso total 30 kN;a.4) 12 cm para lajes que suportem veculos de peso total > 30 kN.

b) Lajes nervuradas:

b.1) A espessura da mesa no deve ser menor que 4 cm e 1/15 da distncia

entre nervuras;

b.2) A espessura das nervuras no deve ser menor que 4 cm e 1/5 de sua

altura.


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11

Com relao aos deslocamentos limites, o TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1

[1994] os define como sendo valores prticos utilizados para a verificao do estado limite

de deformaes excessivas da estrutura. Os valores desses deslocamentos, adaptados do

referido texto para a anlise de pavimentos de edifcios, encontram-se na TABELA 2.4,

atendendo s seguintes observaes gerais:

a) Todos os valores limites de deslocamentos supem elementos suportados em suas

extremidades por apoios que no se movem;

b) L o menor vo terico das lajes, exceto em casos de verificao de paredes e

divisrias, onde interessa a direo na qual a parede ou divisria se desenvolve. Quando se

tratar de balanos, o vo a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balano;

c) Deslocamento total a soma de todos os deslocamentos individualmente computados

para todas as aes, mais os efeitos dependentes do tempo, quando se fizerem presentes;

d) Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.

(1) As superfcies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento

previsto compensado por contraflechas, de modo a no se ter acmulo

de gua.

(2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela

especificao de contraflechas. Entretanto, nenhum deslocamento

incremental, nem a atuao isolada da contraflecha, podem ocasionar

um desvio do plano maior que L/350.

(3) O vo L deve ser tomado na direo na qual a parede ou a divisria sedesenvolve.

(4) Rotao nos elementos que suportam paredes. Equivale a 1/600 da

altura da parede.

TABELA 2.4 - Valores limites para deslocamentos


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Razes Deslocamentos Deslocamento

Critrios da Exemplos limites a

limitao considerar

Aceitabilidade Visual Deslocamentos em L/250 DeslocamentoSensorial elementos estrutu- total

rais visveis

Superfcies que Coberturasdevem drenar e L/250 (1) Deslocamento

Estrutura gua Varandas totalem

servio Pavimentos que Ginsios L/350 mais Deslocamentodevem perma- e contraflecha totalnecer planos Pistas de Boliche ou L/600 (2)

Alvenaria, caixilhos L/500 (3) ou Deslocamentose revestimentos 10 mm ou ocorridos aps a

f=0,0017rad (4) construo daParedes parede

Divisrias leves e L/250 (3) ou DeslocamentosEfeitos em Caixilhos telesc- 25 mm ocorridos aps aelementos picos instalao da

no estruturais divisria

DeslocamentosRevestimentos L/360 ocorridos aps a

Forros colados construo doforro

Revestimentos Deslocamentospendurados ou L/180 ocorridos aps a

com juntas construo doforro

2.4 DISPOSIES CONSTRUTIVAS

Visando a otimizar, uniformizar e padronizar os procedimentos de elaborao de

projetos bem como de sua execuo, determinadas empresas de engenharia estabelecem

normas para serem seguidas em suas obras, normas estas que abrangem desde critrios e

parmetros para projeto como disposies construtivas a serem especificadas pelos

mesmos. Embora sendo indicadas mais restritamente s empresas que as estabelecem,tais disposies so importantes e colaboram para a engenharia civil do pas, tendo-se em


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13

vista a experincia de tais empresas na rea de construo. Apresentam-se, a seguir,

alguns tipos destas disposies estabelecidas para as lajes dos edifcios usuais, conforme

constam no trabalho de PRELORENTZOU & GIORGI [1994], na NBR 6118 [1978] e no

texto base para sua reviso [1994]:

a) As espessuras das lajes devem ser uniformizadas ao longo do pavimento do edifcio,

sendo desaconselhvel um nmero de espessuras maior que 2; (PRELORENTZOU &

GIORGI [1994])

b) As bordas das lajes em balano devem ter uma viga de contorno para enrijecimento e

ancoragem da impermeabilizao; (PRELORENTZOU & GIORGI [1994])

c) Devem ser evitados rebaixos nas lajes, exceto nos casos de detalhe arquitetnico;

(PRELORENTZOU & GIORGI [1994])

d) Armaduras mnimas: (TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994])

As armaduras positivas das duas direes de lajes armadas preponderantemente

nas duas direes, devero obedecer (sendo b = 100 cm e d a altura til da laje em cm) ao

mnimo dado por:

As,mn= 0,12 % .b.d para aos CA-50 e CA-60 (cm2/m)

As,mn= 0,25 % .b.d para aos CA-25 (cm2/m)

Nas lajes armadas preponderantemente em uma direo os mnimos sero dados

por:

Armadura da direo principal:

As,mn= 0,15 % .b.d para aos CA-50 e CA-60 (cm

2

/m)Armadura da direo secundria:

As,mn > 0,10 % .b.d (cm2/m)

20 % da armadura principal (cm2/m)

0,9 cm2/m

As armaduras negativas tero como mnimo:

As,mn= 0,15 % .b.d para aos CA-50 e CA-60 (cm2/m)


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14

As,mn= 0,25 % .b.d para aos CA-25 (cm2/m)

As armaduras de trao e compresso de lajes tero como mximo o valor de 4% da

respectiva rea de concreto onde vo atuar.

e) Dimetros () recomendados para as barras das armaduras: (PRELORENTZOU &

GIORGI [1994])

5,0 mm;

Ao CA 60:

4,2 mm (s para distribuio);

Ao CA 50: 6,3; 8,0; 10 mm;

Para armaduras negativas no utilizar 5,0 mm;

No utilizar dimetros que excedam 1/10 da espessura da laje; (NBR

6118 [1978])

f) Espaamento das barras: (NBR 6118 [1978])

Na regio dos maiores momentos nos vos das lajes, o espaamento das barrasda armadura principal no deve ser maior que 20 cm. Nas lajes armadas numa

nica direo, esse espaamento no deve, tambm, ser maior que duas vezes a

espessura (2h);

Os estribos nas lajes nervuradas, sempre que necessrios, no devem ter

espaamento maior que 20 cm;

O espaamento das barras de distribuio no deve ser maior que 33 cm.

g) No detalhamento das armaduras, verificar sempre a possibilidade de uniformizar os

comprimentos das barras longitudinais, ou seja, diminuir ao mximo o nmero de posies

ou tipos de barras; (PRELORENTZOU & GIORGI [1994])

h) A extenso dos apoios extremos de uma laje, sobre alvenaria, no deve ser menor que

sua espessura no meio do vo, nem inferior a 7 cm; (NBR 6118 [1978])

i) Aberturas: (NBR 6118 [1978])

Quando forem previstas aberturas nas lajes, deve-se verificar o seu efeito na

resistncia e na deformao de modo que no sejam ultrapassados os limites exigidos pela

referida norma. Esta verificao poder ser dispensada nos seguintes casos:


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15

aberturas normais ao plano mdio das lajes armadas numa s direo, se na

direo perpendicular armadura principal a maior dimenso da abertura no

ultrapassar 1/10 da largura til e nem 1/10 do vo, no havendo entre duas

aberturas consecutivas distncia inferior a 1/2 do vo e entre uma abertura e a

borda livre das laje distncia inferior a 1/4 do vo;

aberturas normais ao plano mdio das lajes armadas em cruz, se a dimenso

da abertura em cada direo da armadura no ultrapassar 1/10 do menor vo

e no houver entre duas aberturas distncia inferior a 1/2 do vo e entre uma

abertura e a borda livre da laje distncia inferior a 1/4 do vo;

aberturas paralelas ao plano mdio das lajes, se a sua maior dimenso

transversal for inferior a 1/3 da espessura da laje e o espaamento entre duas

aberturas consecutivas de centro a centro for superior a 4 vezes aquela maiordimenso.

j) Cobrimento: (NBR 6118 [1978])

Qualquer barra das armaduras de uma laje, at mesmo de distribuio, deve ter

cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu dimetro e no menor que

Para concreto revestido com argamassa de espessura mnima de 1 cm:

0,5 cm em lajes no interior de edifcios

1,5 cm em lajes e paredes ao ar livre

Para concreto aparente:

2,0 cm no interior de edifcios

2,5 cm ao ar livre

2.5 CONSIDERAES FINAIS

Algumas informaes apresentadas neste captulo, principalmente no que dizrespeito ao pr-dimensionamento e s disposies construtivas a considerar nos projetos

de edifcios, no constituem indicaes das normas tcnicas da rea. Entretanto, foram

apresentadas em carter sugestivo, tendo em vista a experincia de seus respectivos

autores. Com relao s prescries das normas tcnicas apresentadas, ressalta-se que

foram transcritas com o intuito de reunir as mais diretamente relacionadas com o

dimensionamento das lajes de edifcios, visando a facilitar sua aplicao tanto neste

trabalho como tambm em outros projetos.


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3 TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL E SEUS FUNDAMENTOS

TERICOS PARA OS ELEMENTOS DE PLACA

3.1 INTRODUO

A anlise estrutural tem por objetivo determinar os efeitos das aes em uma

estrutura, com a finalidade de efetuar verificaes de estados limites ltimos e de utilizao,

segundo definies do TEXTO BASE PARA REVISO DA NB1 [1994]. Atravs da anlise

estrutural, torna-se possvel estabelecer as distribuies de esforos internos, tenses,

deformaes e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura. Deve ser realizada

atravs de um modelo estrutural que represente, da maneira mais adequada possvel, o

comportamento da estrutura real, permitindo delinear assim o caminhamento das tenses

at os apoios da mesma. Em casos muito complexos, a interao solo-estrutura tambm

deve ser contemplada no modelo.

As estruturas usuais de edifcios podem ser idealizadas, ao serem submetidas

anlise, como sendo uma composio de elementos estruturais bsicos, classificados de

acordo com sua forma geomtrica e sua funo estrutural. O presente trabalho tem por

objeto de anlise os elementos de superfcie, que so aqueles em que a menor dimenso,

usualmente chamada espessura, no supera a quarta parte do menor vo. Concentra-se a

ateno, aqui, mais precisamente nos elementos designados por placas, que so elementosde superfcie plana sujeitos principalmente a aes normais ao seu plano mdio. As placas

de concreto armado so normalmente conhecidas com o nome de lajes.

Os elementos de placa podem ser analisados admitindo-se que so vlidas as

seguintes hipteses bsicas:

a) As sees planas permanecem planas aps as deformaes;

b) Os elementos podem ser representados por seu plano mdio.

Em funo do nvel de solicitao que se esteja submetendo o concreto armado e

dos respectivos valores das tenses de compresso observados, a anlise estrutural das


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lajes pode ser efetuada, conforme consta no TEXTO BASE PARA REVISO DA NB1

[1994], atravs de cada um dos tipos de anlise apresentados abaixo.

3.2 ANLISE LINEAR

Admite-se o comportamento elstico-linear para o concreto armado. aplicvel,

segundo indicaes do TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994], quando se tem um

nvel de solicitao que produz tenses de compresso que no superam 50% da

resistncia caracterstica (fck) do mesmo. As caractersticas geomtricas podem ser

determinadas pelas sees brutas das lajes, e o mdulo de elasticidade e o coeficiente dePoisson adotados de acordo com os valores prescritos pelo texto acima citado.

A anlise linear fornece resultados que normalmente so usados para a verificao

dos Estados Limites de Utilizao. Para a grande maioria das estruturas de concreto

armado, no entanto, possvel estender tais resultados, com razovel segurana, para

verificaes aproximadas de Estado Limite ltimo, mesmo com altas tenses, desde que se

observem a ductilidade em determinadas sees crticas sujeitas a maiores rotaes.

Para a verificao do Estado Limite de Deformao Excessiva, permitido utilizar

valores de rigidez do Estdio I para os elementos estruturais, com o valor secante (Ec) do

mdulo de elasticidade longitudinal do concreto, considerando-se os efeitos da deformaolenta atravs da multiplicao do valor da flecha imediata pela relao entre a curvatura final

e a curvatura inicial na seo de maior momento fletor absoluto. Estes valores podem ser

calculados atravs de:

(1/r)inicial = (c + s) / d e (1/r)final = (c.c + s) / d

sendo c o encurtamento mximo do concreto correspondente situao inicial e s o

alongamento da armadura de trao, na situao inicial. O coeficiente c ser tomado iguala 3 se as aes de longa durao forem colocadas logo aps o descimbramento, e igual a 2

se colocadas somente seis meses aps a concretagem.

3.2.1 Fundamentos tericos da anlise linear dos elementos de placa

A anlise linear dos elementos de placa feita com base na teoria clssica de

Kirchhoff para placas delgadas. Tal teoria interpreta suficientemente bem o comportamentode placas que apresentam a relao espessura/menor vo entre 1/5 e 1/100. As lajes


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usuais dos edifcios possuem esta relao entre 1/40 e 1/60, atingindo at 1/80. A hiptese

clssica de Kirchhoff para placas finas estabelece que pontos situados sobre retas

originalmente normais superfcie mdia indeformada, permanecem sobre retas normais

superfcie mdia deformada. Admite-se, pois, que os pontos do plano mdio da placa

sofrem apenas deslocamentos verticais, pequenos em relao espessura da mesma,

desprezando-se os deslocamentos horizontais.

Alm da hiptese clssica de Kirchhoff, as demais hipteses admitidas para a

aplicao da teoria clssica da elasticidade de placas so que as mesmas so constitudas

de material homogneo e istropo, com comportamento elstico-linear sob variadas aes,

ou seja, com capacidade de retomar suas formas iniciais quando tais aes deixam de

atuar, estando assim sujeitas Lei de Hooke.

Na formulao matemtica da teoria, admitida uma carga p(x,y), normal ao planoda placa, que pode ser distribuda por qualquer lei, sobre toda ou parte da placa. A

deformada da placa definida por uma funo w(x,y), que determina os deslocamentos

verticais dos pontos (x,y) do plano mdio da mesma. Os esforos solicitantes que atuam

sobre um elemento de placa so mostrados na FIGURA 3.1, com

v dzx xzh

h

= ./

/

2

2

v dzy yzh

h

= ./

/

2

2

m z dz x xh

h

= . ./

/

2

2

m z dz y yh

h

= . ./

/

2

2

m m z dz yx xy xyh

h

= = . ./

/

2

2

sendo

vx = fora cortante por unidade de comprimento da seo da placa perpendicular ao eixo x;

vy = fora cortante por unidade de comprimento da seo da placa perpendicular ao eixo y;

mx = momento fletor por unidade de comprimento da seo da placa perpendicular ao eixo

x (em torno do eixo y);

my = momento fletor por unidade de comprimento da seo da placa perpendicular ao eixo

y (em torno do eixo x);

myx = momento volvente (ou de toro) por unidade de comprimento.


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20

FIGURA 3.1- Esforos solicitantes em um elemento de placa

O desenvolvimento da formulao, encontrado em ampla bibliografia do assunto,

como por exemplo em TIMOSHENKO [1940], no explicitado aqui. No entanto,

apresentam-se a seguir a equao diferencial das placas (equao de Lagrange) e as dos

respectivos esforos solicitantes resultantes sobre as mesmas:

4

4

4

2 2

4

42

w

x

w

x y

w

y

p

D+ + =

m Dw

x

w

yx = +

.

2

2

2

2


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21

m Dw

y

w

xy = +

.

2

2

2

2

m Dw

x yxy = .( ).1

2

v Dw

x

w

x yx = +

.

3

3

3

2

v Dw

y

w

x yy = +

.

3

3

3

2

com

DEh

=

=3

212 1( )rigidez flexo da placa, equivalente rigidez EI das vigas,

E = mdulo de deformao longitudinal,

h = espessura,

= coeficiente de Poisson.

As condies de contorno da equao diferencial expressa acima dependem dos

diferentes tipos de vinculao das bordas. Com isso, quando se trata, por exemplo, de uma

borda reta paralela ao eixo y, ter-se-, em funo do comportamento admitido para essa

borda, as seguintes condies de contorno possveis:

- borda engastada: o deslocamento vertical (w) e a rotao (w/x) so nulos;

- borda simplesmente apoiada: o deslocamento vertical (w) e o momento fletor (mx) so

nulos;

- borda livre: o momento fletor (mx) e a reao na borda (vx- mxy//y) so nulos.


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23

3.2.2 Anlise Linear com Redistribuio

A anlise estrutural definida como linear com redistribuio, conforme consta no

TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994], quando os efeitos das aes,

determinados em uma anlise linear, so redistribudos na estrutura, tendo em vista a

fissurao da seo onde ocorre o momento fletor mximo. Trata-se da considerao de

uma porcentagem de plastificao (limitada em 25%, segundo indicaes do referido texto

base para reviso da NB-1) na referida seo. Nesses casos, as condies de equilbrio e

de ductilidade devem ser obrigatoriamente satisfeitas.

Os efeitos de redistribuio devero ser considerados em todos os aspectos do

projeto estrutural, inclusive as condies de ancoragem e corte de armaduras.

Todos os esforos internos devero ser recalculados de modo a garantir o equilbriode cada um dos elementos estruturais e da estrutura como um todo.

Cuidados especiais devem ser tomados com relao a carregamentos de grande

variabilidade.

Quando for efetuada uma redistribuio, reduzindo-se um momento fletor de M para

M, em uma determinada seo transversal, a relao entre o coeficiente e a posio da

linha neutra nessa seo, visando a garantir condies de ductilidade, ser dada por:

0,44 +1,25 x/d para concretos com fck 35 MPa ( 0,75)

0,56 +1,25 x/d para concretos com fck 35 MPa ( 0,75)

3.3 ANLISE LIMITE OU PLSTICA

Na anlise plstica, admite-se que o concreto armado trabalha na iminncia de

ruptura, ou seja, que ele apresenta um comportamento correspondente a uma fase posterior

da anlise no-linear de seu diagrama de tenso-deformao, caracterizada por

escoamento de armaduras e pelo progresso de linhas de plastificao ao longo da sua

estrutura. Admite-se, pois, neste tipo de anlise, um comportamento rgido-plstico perfeito

ou elasto-plstico perfeito para concreto armado, permitindo uma determinao adequada

do valor da carga mxima que ele pode ser submetido numa solicitao, carga esta

conhecida como carga de runa ou carga ltima.

No caso particular das lajes, objeto deste trabalho, o clculo exato pela teoria da

plasticidade no possvel, uma vez que o grau de indeterminao esttica das mesmas


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24

infinito. Com isso, em vez da obteno do valor exato da carga ltima, determinam-se dois

valores: um limite superior, dado pelo teorema cinemtico, e um limite inferior,

correspondente ao teorema esttico. Estes dois teoremas, acompanhados pelo da

unicidade, constituem a base fundamental para o desenvolvimento do clculo plstico e so

abordados de maneira sucinta a seguir.

a) Teorema cinemtico ou do limite superior

Este teorema estabelece que toda carga correspondente a um mecanismo de

valor igual ou superior ao da carga de runa da estrutura ou pea em anlise. D-se o nome

de mecanismo a toda e qualquer configurao de runa cinematicamente admissvel. Este

teorema permite, portanto, a definio de um limite superior para a carga efetiva de runa,dando margens a um clculo que pode ser contra a segurana, uma vez que d margem

para obteno de um valor superestimado da carga ltima.

A Teoria das Charneiras Plsticas (TCP) uma aplicao deste teorema s lajes e

constitui um instrumento de anlise de esforos para a considerao do Estado Limite

ltimo em placas, conforme indicaes do TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994].

No captulo 5, so apresentadas as hipteses bsicas e o desenvolvimento dos processos

de clculo para sua aplicao, acompanhados de um exemplo prtico sobre o pavimento de

um edifcio.

b) Teorema esttico ou do limite inferior

Estabelece que todo carregamento em equilbrio com uma distribuio de esforos

estaticamente admissvel apresenta valor igual ou inferior ao que provoca a runa. Entende-

se por distribuio de esforos internos estaticamente admissvel aquela que satisfaa s

condies de contorno e que no ultrapasse a capacidade resistente da pea ou estrutura

analisada. Permite, assim, a obteno de um limite inferior para a carga de runa e conduz a

um clculo a favor da segurana.

O processo das faixas de Hillerborg um exemplo de aplicao deste teorema,

baseando-se na determinao simplificada da distribuio de momentos, conforme se pode

ver em HILLERBORG [1975].

A anlise limite no pode ser adotada quando so considerados os efeitos de

segunda ordem global ou quando no houver suficiente ductilidade para que as

configuraes previstas sejam atingidas.

Com o intuito de se garantir as condies adequadas de ductilidade, dispensando a

verificao explcita da capacidade de rotao plstica da seo, prescrita no TEXTO BASE

PARA REVISO DA NB1 [1994], deve-se ter a posio da linha neutra limitada em:


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25

x/d 0,30.

A razo entre os momentos de extremidade ou de borda e momentos no vo ou

centrais, na mesma direo, deve estar entre 0,5 e 2,0.

3.4 ANLISE NO-LINEAR

A anlise no-linear considera o concreto armado trabalhando com um

comportamento no linear, levando em conta ou no os efeitos de segunda ordem, deacordo com o apresentado no TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994]. As

condies de equilbrio, de compatibilidade e de ductilidade devem ser necessariamente

satisfeitas. Este tipo de anlise permitida tanto para verificaes de Estados Limites

ltimos como para verificaes de Estados Limites de Utilizao.

Elementos estruturais isolados ou mesmo estruturas compostas de vrios

elementos sob nveis de tenses tais que lhe conferem um comportamento em regime

elstico no linear, podem ser analisados com o auxlio de mtodos numricos que admitem

um diagrama momento-curvatura de clculo e que em mdia, as sees planas

permanecem planas.

Antes de sua realizao necessrio fazer uma estimativa preliminar da disposio

e quantidade de armaduras, uma vez que as mesmas influenciam seu desenvolvimento.

Essa estimativa normalmente feita atravs de modelos mais simples em anlise linear.

Todos os esforos internos, tenses, deslocamentos e deformaes da estrutura devem ser

calculados com base em valores mdios das propriedades dos materiais (Ecm, fctm, etc.),

com exceo de regies crticas (como por exemplo as de apoios, regies de cargas

concentradas, regies de encontro de vigas) em que a resistncia ltima precisa ser

calculada, onde devem ser adotados valores de clculo para essas propriedades.

Os valores finais das reas de armaduras obtidos da anlise no linear devem ser

bem prximos daqueles previamente estimados. Havendo diferenas significativas, devem

ser adotados os ltimos resultados obtidos como estimativa preliminar e repetir-se o

processo at sua convergncia.

3.5 ANLISE ATRAVS DE MODELOS FSICOS


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26

Neste tipo de anlise, conforme apresentado no TEXTO BASE PARA REVISO DA

NB-1 [1994], o comportamento do concreto armado determinado a partir de ensaios

realizados com modelos fsicos em laboratrio. indicada quando os modelos de clculo

no so suficientes para uma boa previso do comportamento real da estrutura.

Devem ser tomados cuidados especiais quanto metodologia empregada nos

experimentos e a possibilidade de interpretao estatstica dos resultados.

necessria a simulao em ensaios de todos os Estados Limites ltimos e de

Utilizao possveis de serem empregados na anlise da estrutura. Todas as aes,

condies e possveis influncias que possam ocorrer durante a vida da estrutura devem

ser convenientemente reproduzidas em laboratrio.

3.6 CONSIDERAES FINAIS

Neste captulo foram apresentados sucintamente os fundamentos tericos dos

possveis tipos de anlise estrutural para os elementos de placa. A escolha de um ou outro

tipo de anlise depende do nvel de solicitao que se esteja admitindo para o concreto

armado. O presente trabalho aborda, entretanto, apenas os modelos de anlise mais

comumente empregados pelos projetistas, a saber, em anlise linear (com ou sem

redistribuio), atravs do clculo com tabelas (desenvolvidas, em sua maioria, pela

resoluo da equao diferencial das placas por diferenas finitas), do clculo atravs do

mtodo dos elementos finitos e da tcnica da analogia de grelha e em anlise limite ou

plstica, atravs da teoria das charneiras plsticas. A no linearidade fsica das placas no

abordada aqui e melhores esclarecimentos sobre sua aplicao podem ser encontrados

no Anexo 3 do TEXTO BASE PARA REVISO DA NB-1 [1994] e tambm no trabalho de

CORRA [1991], onde se encontra expressivo estudo do assunto, com implementao

computacional para a formulao utilizada e exemplo prtico de clculo do pavimento de um

edifcio.


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4 MODELOS ESTRUTURAIS PARA ANLISE LINEAR DAS LAJES DEEDIFCIOS

4.1 INTRODUO

A escolha de um modelo estrutural para a anlise linear das lajes de um edifcio

depende, de modo mais genrico, do nvel de dificuldades e particularidades que a forma do

pavimento apresente. Formas estruturais mais simples podem ser calculadas atravs de

modelos simplificados, ao passo que formas mais complexas requerem modelos mais

refinados de anlise. importante ressaltar que mesmo para anlise de formas simples

necessria muita ateno por parte do projetista, pois modelos que no contemplem a

rigidez relativa entre elementos estruturais podem conduzir a resultados que alm de serem

imprecisos, sejam inseguros. Outro fator importante nesta escolha maneira como so

considerados os carregamentos atuantes sobre as lajes, principalmente quando da

existncia de aes concentradas devidas presena de paredes atuando diretamente

sobre as mesmas, pois modelos simplificados que as considerem como uniformemente

distribudas, conduzem a resultados tambm imprecisos.

O presente captulo apresenta aspectos tericos e prticos de alguns modelos de

anlise linear de lajes de edifcios, abrangendo desde os mais simples, com base no uso de

tabelas que tratam as lajes isoladamente umas das outras, at os mais refinados como o

mtodo dos elementos finitos, que contempla de maneira mais precisa a interao entre os

elementos estruturais que compem o pavimento, como tambm a atuao dos

carregamentos. abordada ainda a anlise atravs da tcnica da analogia de grelha, que

apesar de tratar as lajes como barras de uma grelha equivalente, constitui um bom modelo,

possibilitando as mesmas consideraes j citadas para o mtodo dos elementos finitos.

Para cada um dos modelos citados, so apresentados os resultados de um exemplo

de aplicao desenvolvido sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia, projetado pelo

Escritrio Tcnico Jos Roberto Leme de Andrade S/C Ltda., So Carlos - SP, e construdo

na mesma cidade Rua Jos Bonifcio, esquina com a Rua XV de Novembro, cuja planta


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FIGURA 4.1 - Forma do pavimento tipo do Edifcio Vitria Rgia

de forma se apresenta FIGURA 4.1. Foram admitidos para o concreto armado o valor

secante do mdulo de deformao longitudinal Ec = 2,754E7 kN/m2, 0,2 para o coeficiente

de Poisson e foram utilizados os seguintes valores de carregamentos:


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Peso-prprio = 2,50 kN/m2 (espessura = 10 cm)

Piso + Revestimento = 1,00 kN/m2

Sobrecarga = 2,00 kN/m2

Aes devidas s alvenarias (h=2,70 m) situadas sobre as lajes: (j

includas as aes da argamassa de assentamento e reboco ou azulejo)

Parede de 1 tijolo (furado ou baiano) = 3,13 kN/m2

Parede de 1 tijolo com azulejo = 3,43 kN/m2

Parede de 1/2 tijolo = 1,99 kN/m2

Parede de 1/2 tijolo = 2,30 kN/m2

A verificao das flechas nas lajes do pavimento estudado, feita levando-se em

considerao, para todos os modelos propostos, o efeito da deformao lenta, atravs damajorao da flecha inicial pela relao entre as curvaturas inicial e final da seo de maior

momento fletor absoluto, conforme j mencionado neste trabalho. admitido para o

coeficiente c (relao entre os encurtamentos mximos inicial e final do concreto) o valor 3,

ou seja, as aes de longa durao sendo colocadas logo aps o descimbramento.

Tomando por base a equao de compatibilidade de deformaes, conforme

esquematizado na FIGURA 4.2, e designando a relao entre a posio da linha neutra (x)

e a altura til da seo (d) por um coeficiente x, resulta:

(1/r) = (c + s) / d

(1/r)final / (1/r)inicial = 2.x + 1 =

c

d

s

c s

x d x=

x

x

d=


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FIGURA 4.2 - Diagrama de deformao da seo de maior momento fletor - Equao de

Compatibilidade

A flecha final (af) fica ento determinada pela majorao da flecha inicial (a i) pelo

coeficiente :

af= . ai

Tendo em vista que a flecha inicial diretamente proporcional ao carregamento

considerado e visando a obteno direta dos valores de flecha nos modelos com utilizao

de softwares, optou-se por majorar na mesma proporo a solicitao de clculo prescrita

pela NBR 8681 [1984] para a verificao do Estado Limite de Deformao Excessiva, a

saber:

Sd = Sg k + Sq k

sendo = 0,2 para o tipo de edifcio adotado como exemplo.

Um valor razovel e a favor da segurana a considerar para o coeficiente x 0,7,

que um valor prximo ao correspondente transio dos domnios 3 e 4 de

dimensionamento do concreto armado. Todas as sees a serem dimensionadas

apresentaro, certamente, valores de x inferiores ao admitido acima. Deste modo, a

solicitao de clculo a considerar resulta na seguinte expresso:

Sd = . Sg k + 0,2 . Sq k

Sd = (2.x + 1) . Sg k + 0,2 . Sq k

Sd = 2,4 . Sg k + 0,2 . Sq k


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4.2 CLCULO APROXIMADO MEDIANTE O USO DE TABELAS - MTODO ELSTICO

4.2.1 Generalidades

A aplicao do processo das diferenas finitas para integrao da equao geral

das placas elsticas , conforme relatado anteriormente, de grande viabilidade para a

elaborao de tabelas para clculo aproximado dos esforos solicitantes nas placas de

formas e carregamentos mais comumente encontrados.

Dentre estes processos de clculo aproximado, encontra-se o de MARCUS [1929],

de grande importncia histrica, por ser o mais indicado da fase anterior aos computadores

eletrnicos. aplicvel s lajes retangulares com carga uniforme e bordas apoiadas ou

engastadas.O grande impulso dado ao desenvolvimento dos mtodos numricos em engenharia

com o advento dos computadores, possibilitou a elaborao de tabelas que substituem hoje,

com muitas vantagens, as tabelas de Marcus encontradas, por exemplo, em ROCHA [1971].

Entre estas novas alternativas em tabelas, citam-se as de BARES [1972] e as de CZERNY

[1976].

Ressalta-se que ao se lanar mo de um processo aproximado de clculo, mediante

o uso de tabelas, os painis de laje so considerados independentemente das vigas que lhe

servem de apoio, desprezando sua deformabilidade. As continuidades entre painis so

tratadas de formas simplificadas, como se no houvesse interao entre eles ou supondo-se engastamento fixo ou, ainda, buscando-se uma compatibilizao dos momentos fletores

adjacentes de um apoio, com posteriores correes dos momentos centrais. Todo o

carregamento atuante na laje, incluindo as cargas de parede e sobrecargas de utilizao,

admitido como uniforme sobre toda a superfcie do painel. Tais consideraes podem

conduzir este tipo de anlise a resultados muito imprecisos, dependendo da forma do

pavimento que se queira analisar. Entretanto, so apresentados a seguir os resultados

obtidos com o uso de tabelas para o pavimento tipo estudado, visando a comparao com

os demais modelos propostos neste captulo.

4.2.2 Aplicao sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia

Apresentam-se, a seguir, atravs da TABELA 4.1, os resultados obtidos pela

utilizao de uma adaptao das tabelas de Bares, conforme encontrado em PINHEIRO

[1986], sobre a forma do pavimento tipo do edifcio vitria Rgia.


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TABELA 4.1 - Momentos fletores e deslocamentos obtidos atravs do clculo desenvolvido

com auxlio de tabelas - mtodo elstico

MOMENTOS FLETORES E DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE A-A*POSIO MXX (kN.m/m) DESLOCAMENTOS (cm)

Borda LT12 0,00Centro LT12 3,19 0,52Vinc. LT12/13 -8,60Centro LT13 3,34 0,51Vinc. LT13/14 -6,67Centro LT14 2,39 0,09Borda LT14 -6,67* Corte A-A: Corte paralelo a VT07, passando pelo centro das lajes LT12/13/14 (FIG.4.1)

MOMENTOS FLETORES E DESLOCAMENTOS AO LONGO DO CORTE B-B*POSIO Myy (kN.m/m) DESLOCAMENTOS (cm)

Borda LT13 0,00Centro LT13 5,53 0,51Vinc. LT13/08 -8,02Centro LT08 2,49 0,14Vinc. LT08/02 -9,89Centro LT02 6,48 0,66Borda LT02 0,00* Corte B-B: Corte paralelo a VT09, passando pelo centro das lajes LT13/08/02 (FIG.4.1)

MOMENTOS FLETORES E DESLOCAMENTOS NAS LAJES EM BALANOPOSIO M (kN.m/m) DESLOCAMENTOS (cm)

BAL-01 -6,92 0,26BAL-02 -8,85 0,43

4.3 CLCULO ATRAVS DA TCNICA DA ANALOGIA DE GRELHA

4.3.1 Generalidades

A tcnica da analogia de grelha consiste na representao da laje ou mesmo do

pavimento de um edifcio atravs de uma grelha equivalente, de modo que as rigidezes

longitudinais da laje sejam concentradas nas barras dessa direo e as rigidezes

transversais nas barras da direo ortogonal a ela.

Foi usada pioneiramente em computador por LIGHTFOOT e SAWKO [1959],

atravs da adaptao de um programa para clculo de prticos planos, tendo-se em vista a

similaridade dos procedimentos de anlise para prticos planos e grelhas pelo mtodo dos

deslocamentos, bem como das equaes bsicas de compatibilidade de deformaes.


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bem indicada para ser utilizada no clculo de tabuleiros de pontes como pode ser

visto em HAMBLY [1976].

Tm-se referncias tambm do uso da tcnica para o clculo de lajes cogumelo,

com resultados satisfatrios, conforme relatam BRANCO [1989] e FIGUEIREDO [1989].

Mais recentemente, a tcnica vem sendo utilizada como uma opo na anlise das

lajes usuais de edifcios, de acordo com o proposto por BARBOZA [1992] e cujo texto

tomado como base para o que apresentado aqui.

No processo de aplicao da tcnica, deve-se garantir que as rigidezes das barras

sejam tais que, ao submeterem-se as duas estruturas a um mesmo carregamento, elas se

deformem de maneira idntica e que os esforos solicitantes em qualquer barra da grelha

sejam iguais s resultantes das tenses na seo transversal da parte da laje que a barra

representa.Para que um elemento infinitesimal de laje esteja em equilbrio, de acordo com a

teoria clssica de placas, necessrio que os momentos torores em duas direes

ortogonais sejam iguais. Na grelha equivalente obtida no desenvolvimento da tcnica, no

h princpios matemticos ou fsicos que garantam tal condio. Entretanto, se a malha da

grelha for suficientemente pouco espaada, a mesma se deformar formando uma

superfcie lisa e apresentar distores aproximadamente iguais nas direes ortogonais,

bem como momentos torores aproximadamente iguais se as rigidezes toro forem as

mesmas na duas direes.

Convm ressaltar que nas barras da grelha os momentos fletores so proporcionais

apenas s curvaturas de sua direo, fato este que resulta num inconveniente a mais no

uso da tcnica, uma vez que num elemento de placa, o momento fletor numa direo

depende tanto da curvatura dessa direo como da ortogonal a ela. BARBOZA [1992]

Independentemente desses tipos de limitaes da tcnica, a mesma se apresenta

como uma ferramenta a mais para a anlise de lajes de edifcios, podendo ser considerada

mais refinada que o clculo clssico mediante tabelas, uma vez que leva em considerao a

interao entre todos os elementos estruturais do pavimento e possibilita um

posicionamento preciso das cargas concentradas devidas s aes das paredes situadas

sobre as lajes.

4.3.2 Critrios para traado das malhas de grelha

Diante da variabilidade de formas das lajes e dos diferentes tipos de carregamento,

difcil estabelecer-se ou definir-se uma malha como sendo genericamente a ideal para

cada caso. Assim sendo, visando melhores esclarecimentos sobre o uso da tcnica,

apresentam-se a seguir, algumas consideraes para sua correta aplicao neste trabalho.


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De acordo com indicaes de HAMBLY [1976], apresentadas em BARBOZA [1992], so

vlidos os seguintes critrios para lajes retangulares, que devem ser adequados a cada tipo

de laje que se deseja modelar:

a) As barras da grelha devem estar localizadas em posies pr-determinadas pelo projeto,

tais como linhas de apoio ao longo das vigas de extremidade, bem como de outras se

existirem, que contenham uma ao especfica;

b) Em lajes orttropas, cada barra deve ter no mximo uma largura igual a 1/4 do vo

transversal ao seu eixo;

c) Numa laje orttropa, na direo de menor inrcia, deve-se considerar a largura dasbarras igual a 40% do vo transversal ao seu eixo. Caso haja dvidas quanto isotropia ou

ortotropia da laje, deve-se adotar o critrio anterior;

d) Quanto mais densa a malha, melhores sero os resultados obtidos. No entanto, essa

melhora deixa de acontecer quando a largura das barras for menor que duas ou trs vezes

a espessura da laje;

e) No caso de existncia de balanos na laje, necessrio colocar-se pelo menos duas

barras transversais ao vo em balano;

f) Deve-se colocar uma linha de barras no contorno livre da laje, cuja largura para o clculo

do momento de inrcia toro deve ser diminuda de 0,3 h, por se tratar do ponto por onde

passa a resultante das tenses de cisalhamento devidas toro;

g) Nas regies de grande concentrao de esforos, tais como apoios ou cargas

concentradas, recomenda-se dispor uma malha cuja largura das barras no seja superior a

trs ou quatro vezes a espessura da laje;

h) No devem ser considerados os orifcios na laje desde que sua maior dimenso no

exceda 3h, sendo h a espessura da laje, a no ser que estejam localizados muito prximos

dos pilares. Existindo aberturas maiores, devem ser aplicados os mesmos critrios vlidos

para as bordas livres.

O momento de inrcia flexo das barras longitudinais e transversais da grelha

calculado considerando que cada barra representa uma largura b de laje igual a distncia

entre os centros dos vos adjacentes barra, com valor dado pela respectiva equao


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estabelecida pela resistncia dos materiais para as sees retangulares (I = b . h3 / 12)..

Para o momento de inrcia toro (IT) admitido o valor correspondente quele indicado

pela teoria de Saint Venant, de acordo com a frmula apresentada abaixo, encontrada em

TIMOSHENKO [1981].

IT = . b . c3

sendo b o maior lado da seo, c o menor lado e com variando em funo de uma relao

entre os mesmos, de acordo com as indicaes abaixo:

b/c 1,00 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 8,00 10,00

0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333

Outro aspecto importante que merece destaque na aplicao da tcnica da analogia

de grelha, a considerao da vinculao dos pilares na grelha equivalente, de modo a

avaliar a influncia de suas rigidezes no comportamento do pavimento em anlise. Esta

influncia simulada aqui atravs da colocao de barras, nos tramos adjacentes ao nvel

analisado, com comprimentos de meio tramo, inrcias correspondentes do pilar que

representam e com extremidades articuladas.

4.3.3 Aplicao sobre o pavimento tipo do edifcio Vitria Rgia

A aplicao da tcnica sobre o pavimento tipo do Edifcio Vitria Rgia feita

atravs do software SAP90, disponvel no Departamento de Estruturas da EESC - USP,

So Carlos, e cujas instrues de uso encontram-se em WILSON & HABIBULLAH [1988].

Foram processados dois modelos com elementos de barra, a saber, um com malha da

ordem de 0,50 m x 0,50 m e outro com malha da ordem de 1,00 m x 1,00 m, que no

resultaram uniformes devido a ajustes na forma do pavimento analisado. Estas malhas, comas respectivas numeraes de ns consideradas, podem ser vistas nas FIGURAS 4.3 e 4.4.

Ressalta-se que para as barras correspondentes s vigas do pavimento analisado, foram

considerados valores reduzidos do momento de inrcia toro (10% dos indicados

anteriormente), tendo em vista a baixa resistncia do concreto armado a este tipo de

solicitao. Entretanto, para as barras da grelha equivalente, foram admitidos os valores

indicados pela frmula apresentada, visando a sua comparao com os resultados obtidos

com o mtodo dos elementos finitos, cujo modelo foi desenvolvido considerando-se a

contribuio dos momentos volventes nos elementos de placa. Os resultados obtidos do

processamento encontram-se nas TABELAS 4.2 e 4.3.


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FIGURA 4.3 - Malha com espaamento da ordem de 1,00 m x 1,00 m - Numerao dos ns

FIGURA 4.4 - Malha com espaamento da ordem de 0,50 m x 0,50 m - Numerao dos ns


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TABELA 4.2 - Momentos fletores e deslocamentos ao longo do Corte XX (ver figuras 4.3 e

4.4) obtidos atravs da aplicao da tcnica da analogia de grelha

MALHA ~ 1,0 m MALHA ~ 0,5 mNs Mxx (kNm/m) DESL. (cm) Ns Mxx (kNm/m) DESL. (cm)

178 -1,40 -0,15 641 -1,34 -0,15642 1,72 -0,44

179 3,40 -0,72 643 2,85 -0,69644 3,41 -0,88

180 4,14 -1,03 645 3,79 -1,00646 4,29 -1,04

181 5,49 -0,99 647 5,13 -0,97648 2,97 -0,78

182 0,82 -0,53 649 0,47 -0,52650 -3,40 -0,25183 -9,76 -0,06 651 -10,00 -0,06

652 -4,05 -0,07184 -0,62 -0,18 653 -0,84 -0,19

654 0,85 -0,35185 2,13 -0,49 655 1,91 -0,49

656 2,79 -0,59186 4,10 -0,62 657 3,88 -0,62

658 2,25 -0,56187 0,85 -0,42 659 0,83 -0,43

660 -0,64 -0,29188 -2,67 -0,17 661 -2,63 -0,18189 -6,21 -0,15 662 -6,35 -0,16

663 0,49 -0,26190 6,12 -0,36 664 5,19 -0,34

665 3,15 -0,27191 -0,14 -0,11 666 -0,13 -0,11

Ao se analisar os resultados apresentados nas TABELAS 4.2 e 4.3, constata-se que

a aplicao da tcnica da analogia de grelha sobre a forma do pavimento estudado,

conduziu a resultados convergentes ao se refinar o espaamento das malhas de anlise,

tanto para os valores dos esforos momentos fletores como para os valores dos

deslocamentos. As diferenas observadas nos valores de mximos positivos e negativos

dos momentos fletores foram da ordem de 5 a 10%, apresentando diferenas maiores que

estas apenas em alguns pontos localizados. Para os deslocamentos, os valores

apresentados foram praticamente idnticos. Ressalta-se que, com relao aos momentos


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fletores, os valores apresentados correspondem mdia entre os fornecidos pelas barras

consecutivas da direo considerada, uma vez que os mesmos eram diferentes em funo

da existncia dos momentos de toro das barras da outra direo concorrentes no mesmo

ponto. As FIGURAS 4.5 a 4.7 apresentam os resultados obtidos atravs de grficos

comparativo

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Analise de lajes