Analisi armonica: aspetti classici e numerici

Analisi armonica:aspetti classici e numerici

Serie e trasformate di Fourier,trasformate di Laplace e zeta,

trasformata discreta di Fourier, FFT e wavelets,filtri e trattamento numerico dei segnali

Massimo A. Picardello

Dipartimento di MatematicaUniversit di Roma Tor Vergata

Via della Ricerca Scientifica00133 Roma, Italy

e-mail: [email protected]

BOZZA 2.2.2017 3:39

Indice

Prefazione xiii

I Preliminari di Analisi Reale, Complessa e Funzio-nale 3

1 Panoramica su calcolo ed analisi reale 51.1 Fatti elementari ben noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Spazi normati e completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 Convergenza di successioni di funzioni . . . . . . . . . 211.3.2 Convergenza uniforme di serie . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.6.1 Sviluppabilit in serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . 541.6.2 Funzioni analitiche reali . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.6.3 La serie binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.7 Spazi p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.8 Uniforme continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.9 Misura ed integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.9.1 Insiemi aperti ed insiemi misurabili . . . . . . . . . . . 731.9.2 Caratterizzazione della integrabilit secondo Riemann 831.9.3 Funzioni misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . 841.9.4 Costruzione dellintegrale di Lebesgue . . . . . . . . . 85

1.10 Topologie e propriet di separazione . . . . . . . . . . . . . . 941.11 Caratterizzazione della compattezza . . . . . . . . . . . . . . 1041.12 Equicontinuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

i

ii INDICE

1.13 Topologie deboli indotte da famiglie di funzioni . . . . . . . . 1071.14 Approssimazione con funzioni semicontinue o continue . . . . 1101.15 Funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161.16 Spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231.17 Inclusioni fra spazi Lp e fra spazi p . . . . . . . . . . . . . . . 1341.18 Densit di C(I) in Lp(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361.19 Dualit fra spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431.20 Integrali multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471.21 Limiti e continuit in pi variabili . . . . . . . . . . . . . . . . 1521.22 Calcolo in pi variabili e cambio di variabili negli integrali . . 158

1.22.1 Derivate parziali e differenziale . . . . . . . . . . . . . 1591.22.2 Derivata complessa e differenziabilit . . . . . . . . . 1651.22.3 Regola della catena, invertibilit locale . . . . . . . . . 1651.22.4 Integrazione per cambiamento di variabile . . . . . . . 168

1.23 Integrali dipendenti da un parametro . . . . . . . . . . . . . . 1711.23.1 Derivazione sotto il segno di integrale . . . . . . . . . . 1711.23.2 Integrali su domini illimitati, uniformem. convergenti . 1731.23.3 Integrali con singolarit, uniformemente convergenti . . 1761.23.4 Esempio: la funzione Gamma . . . . . . . . . . . . . . 176

1.24 Misura esterna e Lemma di Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . 1781.25 Derivabilit di funzioni monotne . . . . . . . . . . . . . . . . 1811.26 Funzioni di variazione limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1841.27 Il teorema fondamentale del calcolo . . . . . . . . . . . . . . 1871.28 Funzioni assolutamente continue . . . . . . . . . . . . . . . . 191

1.28.1 Variazione limitata e misure di Borel . . . . . . . . . 2021.28.2 Funzioni continue singolari . . . . . . . . . . . . . . . 2041.28.3 Linsieme di Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

1.29 Integrali curvilinei e forme differenziali . . . . . . . . . . . . . 2111.29.1 Curve regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111.29.2 Curve di lunghezza finita . . . . . . . . . . . . . . . . 2141.29.3 Integrali curvilinei di campi scalari . . . . . . . . . . . 2151.29.4 Altre nozioni di integrale curvilineo . . . . . . . . . . . 2171.29.5 Campi vettoriali e forme differenziali . . . . . . . . . . 2221.29.6 Insiemi connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231.29.7 Campi conservativi e forme differenziali esatte . . . . . 2251.29.8 Forme differenziali esatte di classe C1 . . . . . . . . . 227

1.30 Appendice: misura di Lebesgue secondo Carathodory . . . . 2301.30.1 Misura esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

INDICE iii

1.30.2 Insiemi misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . 2321.30.3 I Boreliani sono misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . 2341.30.4 Misura di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

1.31 Appendice: disuguaglianza di Minkowski . . . . . . . . . . . . 237

2 Analisi complessa 2392.1 Derivata complessa e differenziabilit . . . . . . . . . . . . . 2392.2 Funzioni olomorfe ed armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . 2432.3 Indice di avvolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2462.4 Invarianza per omotopia e teorema di Cauchy . . . . . . . . . 2482.5 Formula di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2532.6 Zeri di funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2582.7 Singolarit rimovibili ed essenziali . . . . . . . . . . . . . . . . 2592.8 Crescita di funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2612.9 Sviluppi di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2642.10 Il teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2692.11 Lindicatore logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2722.12 Calcolo di integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

2.12.1 Integrali di funzioni senza singolarit reali . . . . . . . 2742.12.2 Integrali di funzioni con poli semplici reali . . . . . . . 2762.12.3 Trasformate di Fourier di funzioni limitate allinfinito . 2802.12.4 La trasformata di Fourier della funzione sinc . . . . . . 2812.12.5 Integrali di espressioni trigonometriche razionali . . . . 2842.12.6 Residui: esercizi ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . 286

2.13 La funzione Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2982.14 Prolungamento analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

2.14.1 Il logaritmo complesso: definizione naturale . . . . . . 3012.14.2 Elementi analitici di funzione . . . . . . . . . . . . . . 3022.14.3 Prolungamento analitico lungo curve . . . . . . . . . . 3042.14.4 Primitive complesse e logaritmo . . . . . . . . . . . . . 3112.14.5 Rami olomorfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

2.15 Interpolazione sulle strisce: il teorema di PhragmnLindelf . 3292.16 Appendice: teorema di Cauchy in un convesso . . . . . . . . . 332

3 Spazi vett. topologici, analisi funzionale 3373.1 Spazi vettoriali topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

3.1.1 Sottospazi e quozienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3393.1.2 Intorni stellati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

iv INDICE

3.1.3 Propriet di separazione e di limitatezza . . . . . . . . 3423.2 Spazi metrizzabili e normabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

3.2.1 Spazi vettoriali localmente limitati . . . . . . . . . . . 3453.2.2 Spazi metrizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3463.2.3 Spazi normabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3493.2.4 Appendice: seminorme, topologie localmente con-

vesse e funzioni di supporto . . . . . . . . . . . . . . . 3513.3 Operatori lineari e funzionali lineari continui . . . . . . . . . . 353

3.3.1 Operatori lineari continui . . . . . . . . . . . . . . . . 3533.3.2 Funzionali lineari continui . . . . . . . . . . . . . . . . 357

3.4 Assioma della scelta e principio di massimalit . . . . . . . . 3583.5 Il teorema di HahnBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3603.6 Teorema di HahnBanach in forma geometrica . . . . . . . . . 3683.7 Prodotto di spazi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.8 Dualit su spazi vettoriali topologici . . . . . . . . . . . . . . 3733.9 Teorema di KreinMilman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

3.9.1 Separabilit di insiemi convessi con funzionali . . . . . 3783.9.2 Teorema di KreinMilman . . . . . . . . . . . . . . . 3813.9.3 Punti estremi di sfere in spazi di Banach . . . . . . . 385

3.10 Il teorema di BanachAlaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3893.11 Topologia debole; spazi riflessivi . . . . . . . . . . . . . . . . 394

3.11.1 Annichilatori; duali di sottospazi e di quozienti . . . . 3983.11.2 Annichilatori e riflessivit . . . . . . . . . . . . . . . . 401

3.12 Esempi di dualit fra spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . 4033.13 Il teorema di categoria di Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

3.13.1 Teorema di Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4073.13.2 Insiemi di prima e di seconda categoria . . . . . . . . . 4093.13.3 Basi di Hamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

3.14 Il teorema di uniforme limitatezza . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.15 Il teorema dellapplicazione aperta . . . . . . . . . . . . . . . 4143.16 Il teorema del grafico chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4193.17 Loperatore aggiunto; kernel e range di un operatore lineare . 4213.18 Operatori compatti; lalternativa di Fredholm . . . . . . . . . 4253.19 Seminorme e spazi localmente convessi . . . . . . . . . . . . . 428

3.19.1 Famiglie numerabili di seminorme . . . . . . . . . . . . 4283.20 Esempi di spazi di Frchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

3.20.1 Gli spazi C(), D() e DK . . . . . . . . . . . . . . 4323.20.2 La topologia di limite induttivo su D() . . . . . . . . 435

INDICE v

3.21 Propriet di HeineBorel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4443.21.1 Propriet di HeineBorel . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

3.22 Esempi esotici: spazi non localmente limitati . . . . . . . . . 4493.22.1 C() non localmente limitato . . . . . . . . . . . . 449

3.23 Esempi esotici: spazi non localmente convessi . . . . . . . . 4523.23.1 Spazi Lp[0, 1] e Lp(R) per 0 < p < 1 . . . . . . . . . . 4523.23.2 Un compatto numerabile senza punti estremi . . . . . 4543.23.3 Spazi p per 0 < p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

3.24 Il teorema di interpolazione di RieszThorin . . . . . . . . . . 458

II Serie e trasformate di Fourier 459

4 Spazi di Hilbert 4614.1 Teorema di migliore approssimazione . . . . . . . . . . . . . . 4614.2 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4674.3 Sistemi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4704.4 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4774.5 Disuguaglianza di CauchySchwarz . . . . . . . . . . . . . . . 4864.6 Operatori e funzionali lineari, dualit . . . . . . . . . . . . . . 487

5 Serie di Fourier 4955.1 Il sistema trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4955.2 Sviluppi di Fourier in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5025.3 Esempi di sviluppi di Fourier in L2 . . . . . . . . . . . . . . . 5065.4 Sviluppi di Fourier in L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5135.5 Problematiche sulle serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 5135.6 Sviluppi di Fourier con periodo arbitrario . . . . . . . . . . . . 5175.7 Scelta del periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5185.8 Somme di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5195.9 Stime puntuali ed uniformi per il resto n-esimo . . . . . . . . 5235.10 Visualizzazione del Lemma di RiemannLebesgue . . . . . . . 5345.11 Gli spazi LIP() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5365.12 Convergenza puntuale e uniforme in LIP() . . . . . . . . . . 5435.13 Completezza del sistema trigonometrico . . . . . . . . . . . . 5465.14 La funzione a denti di sega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5535.15 Serie di Fourier di funzioni C1 a tratti con salti . . . . . . . . 5555.16 Derivazione ed integrazione di serie di Fourier . . . . . . . . . 557

vi INDICE

5.17 Velocit di convergenza della serie di Fourier . . . . . . . . . . 5625.18 Ordine di infinitesimo dei coefficienti . . . . . . . . . . . . . . 5655.19 Fenomeno di Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5755.20 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

6 Approssimazione trigonometrica e polinomiale 6156.1 Convoluzione ed identit approssimate . . . . . . . . . . . . . 6156.2 Nucleo di Fjr ed altri nuclei di sommabilit . . . . . . . . . 629

6.2.1 Nucleo di Fjr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6316.2.2 Nucleo di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6386.2.3 Nucleo di de la Valle-Poussin . . . . . . . . . . . . . 642

6.3 Approssimazione con polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

7 Complementi sulle serie di Fourier 6497.1 Premessa notazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6497.2 Serie di Fourier: un approccio facile . . . . . . . . . . . . . . . 6507.3 Coefficienti di Fourier di funzioni BV e Lip() . . . . . . . . . 6567.4 Convergenza puntuale di serie di Fourier di funzioni BV . . . 6577.5 I test di Dini e Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6597.6 Convergenza in norma di serie di Fourier . . . . . . . . . . . . 666

7.6.1 Divergenza delle costanti di Lebesgue . . . . . . . . . . 6677.6.2 Spazi di Banach omogenei sul toro . . . . . . . . . . . 6697.6.3 Divergenza in norma in L1 e C . . . . . . . . . . . . . 6727.6.4 La funzione coniugata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6757.6.5 Una serie trigonometrica coniugata che non di Fourier6847.6.6 Lp ammette coniugazione per 1 < p

INDICE vii

7.9 Insiemi di divergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7127.10 Appendice: la disuguaglianza di HausdorffYoung . . . . . . . 7127.11 Appendice: interpolazione di norme e di operatori, teorema

di RieszThorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

8 Trasformata di Fourier 7158.1 Dal discreto al continuo: approccio intuitivo . . . . . . . . . . 7158.2 Propriet della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 7198.3 Trasformata di Fourier della Gaussiana . . . . . . . . . . . . . 7328.4 Teorema di inversione di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 7358.5 Convoluzione e teorema di Plancherel . . . . . . . . . . . . . . 7378.6 Localizzazione nel tempo e nella frequenza . . . . . . . . . . . 7418.7 Appendice: la disuguaglianza di Heisenberg . . . . . . . . . 7438.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7478.9 Varianti dei precedenti esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

9 Classe di Schwartz 7719.1 Convergenza rispetto a famiglie di seminorme . . . . . . . . . 7719.2 Continuit rispetto a famiglie di seminorme . . . . . . . . . . 7759.3 Classe di Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7779.4 Completezza di S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7809.5 Operatori lineari continui su S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7829.6 Prodotto con funzioni a crescita polinomiale . . . . . . . . . . 7849.7 Trasformata di Fourier su S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7879.8 Operatori di convoluzione su S . . . . . . . . . . . . . . . . . 7929.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

III Campionamento e ricostruzione di segnali 805

10 Campionamento 80710.1 Campionamento di segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80710.2 Periodicizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81010.3 Formula di somma di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81310.4 Teorema del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

viii INDICE

11 Distribuzioni 82711.1 Campionamento e funzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82711.2 Funzionali continui e prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . 83511.3 Dualit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83611.4 Densit di S e convergenza in S . . . . . . . . . . . . . . . . 84211.5 Distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84811.6 Convergenza puntuale e convergenza in S . . . . . . . . . . . 85211.7 Serie di distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . 85411.8 La non una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86111.9 Operatori sulle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866

11.9.1 Moltiplicazione per una funzione . . . . . . . . . . . . 86611.9.2 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868

11.10Derivate, primitive ed approssimazioni in S . . . . . . . . . . 87011.11Supporto di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87611.12Trasformata di Fourier su S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87711.13Propriet della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 88011.14Convoluzione con funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88811.15Convoluzione con la delta e traslazione . . . . . . . . . . . . . 89011.16Appendice: identit approssimate . . . . . . . . . . . . . . . . 89211.17Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89511.18Distribuzioni non temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933

11.18.1 Lo spazio D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93411.18.2 Convergenza nel senso delle distribuzioni . . . . . . . . 93511.18.3 Supporto e convoluzione di distribuzioni . . . . . . . . 93611.18.4 Distribuzioni e distribuzioni temperate . . . . . . . . . 937

12 Approssimanti in S del treno di impulsi 93912.1 Il treno di impulsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93912.2 Trasformata di Fourier del treno di impulsi . . . . . . . . . . . 94112.3 Approssimanti di K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94512.4 Appendice: approssimazione di K con funzioni in S . . . . . 95012.5 Appendice: radici dellunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957

13 Ricostruzione ed aliasing 96113.1 Campionamento e distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 96113.2 Ricostruzione numerica ingenua . . . . . . . . . . . . . . . . . 96913.3 Ricostruzione numerica corretta . . . . . . . . . . . . . . . . . 97113.4 Campionamento di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 973

INDICE ix

13.5 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97913.5.1 Campionamento multidimensionale e risoluzione di im-

magini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98313.6 Ricostruzione di segnali nella pratica quotidiana: prefiltraggio

e stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98413.6.1 Segnali a durata finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98413.6.2 Stabilit della ricostruzione sotto perturbazioni dei dati 98813.6.3 Ricostruzione esatta e ricostruzioni approssimate . . . 989

13.7 Cenni sul campionamento non uniforme . . . . . . . . . . . . 991

IV DFT, DCT, FFT, deconvoluzione 999

14 DFT 100114.1 Segnali periodici e discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100114.2 Discretizzazione e DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100214.3 Trasformata di Fourier su ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100814.4 Convoluzione ciclica e DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101214.5 Convoluzione non normalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . 101914.6 Traslazione e DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102114.7 Parit e DFT di successioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . 102414.8 DFT e dilatazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102714.9 RDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103014.10DCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103314.11DFT, periodicizzazione e formula di somma di Poisson . . . . 103514.12Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037

15 FFT 105115.1 Dalla DFT alla FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105115.2 Algoritmi FFT basati sulla decimazione nel tempo . . . . . . 1053

15.2.1 Bit reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106515.3 Algoritmi FFT basati sulla decimazione in frequenza . . . . . 106815.4 Algoritmi FFT a radice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107415.5 Algoritmi di FFT a radice arbitraria . . . . . . . . . . . . . . 107815.6 Preprocessing e postprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108615.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090

x INDICE

16 Lerrore di approssimazione di F con la DFT 109316.1 DFT e coefficienti di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094

16.1.1 La formula di somma di Poisson discreta . . . . . . . . 109416.1.2 Dati periodici, spettro limitato: ricostruzione esatta . . 109616.1.3 Dati periodici, spettro illimitato: stima dellerrore . . . 1098

16.2 DFT e trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110116.2.1 Funzioni a supporto compatto . . . . . . . . . . . . . . 110116.2.2 Funzioni a banda spettrale limitata . . . . . . . . . . . 110516.2.3 Supporto e banda spettrale illimitate . . . . . . . . . . 1108

17 Deconvoluzione e DFT a finestre 111317.1 Deconvoluzione non partizionata . . . . . . . . . . . . . . . . 1113

17.1.1 Filtri invarianti per traslazione . . . . . . . . . . . . . 111317.1.2 Soppressione a posteriori dellequalizzazione . . . . . . 1116

17.2 Convoluzione a finestre; equalizzazione in tempo reale . . . . . 112217.3 De-equalizzazione in tempo reale . . . . . . . . . . . . . . . . 1128

17.3.1 Esempi numerici di de-equalizzazione . . . . . . . . . . 1132

V Trasformata di Laplace, trasformata zeta, filtrilineari 1145

18 Trasformata di Laplace 114718.1 Trasformata di Laplace, inversione . . . . . . . . . . . . . . . 114718.2 Propriet della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . 115318.3 Esempi di trasformate di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 115718.4 Trasformata di Laplace della convoluzione . . . . . . . . . . . 115918.5 Trasformata di Laplace di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . 1161

18.5.1 Distribuzioni a supporto in R+ . . . . . . . . . . . . . 116118.5.2 Immagine di L su D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116418.5.3 Continuit di L su D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116618.5.4 Distribuzioni a supporto bi-illimitato . . . . . . . . . . 1167

18.6 L su D e teoremi di PaleyWiener . . . . . . . . . . . . . . . 1169

19 Trasformata zeta 117919.1 Trasformata zeta e sue propriet . . . . . . . . . . . . . . . . 118019.2 Inversione della trasformata zeta . . . . . . . . . . . . . . . . 1188

19.2.1 Metodo iterativo di inversione per funzioni razionali . . 1195

INDICE xi

19.3 Trasformata zeta e convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196

20 Sistemi a tempo discreto: filtri digitali 120320.1 Equazioni alle differenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120320.2 Sistemi a tempo discreto: filtri digitali lineari di ordine finito . 1207

20.2.1 Filtri digitali causali e stabili . . . . . . . . . . . . . . 121020.2.2 Filtri stabili del primo e secondo ordine . . . . . . . . 121520.2.3 Risposta allimpulso di filtri causali razionali . . . . . . 1216

20.3 Analisi spettrale di filtri digitali lineari . . . . . . . . . . . . . 121920.3.1 Risposta in frequenza di filtri causali . . . . . . . . . . 1222

20.4 Fattorizzazione fase minima + passa-tutto . . . . . . . . . . . 123520.4.1 Invertibilit e fitri a fase minima; filtri a fase massima

o mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123520.4.2 Filtri a fase minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123720.4.3 Filtri passa-tutto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124120.4.4 Fattorizzazione fase minima + passa-tutto . . . . . . . 124820.4.5 Filtri a retroazione (feedback) . . . . . . . . . . . . . . 1253

20.5 Filtri AZ e filtri AP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126020.6 Diagrammi di flusso di filtri digitali lineari . . . . . . . . . . . 1260

VI Wavelets e compressione dei segnali 1265

21 Il sistema di Haar 126721.1 Intervalli diadici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126721.2 Funzioni semplici diadiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126921.3 Il sistema di Haar su R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127021.4 Ortogonalit del sistema di Haar . . . . . . . . . . . . . . . . 127121.5 Il Lemma di divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127421.6 Sistemi ortonormali completi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127521.7 Completezza del sistema di Haar su R . . . . . . . . . . . . . 127621.8 Il sistema di Haar su [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127821.9 Ortonormalit del sistema di Haar su [0, 1] . . . . . . . . . . . 127821.10Localizzazione delle discontinuit . . . . . . . . . . . . . . . . 1281

22 LAnalisi in Multirisoluzione 128522.1 Richiami di analisi di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285

22.1.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285

xii INDICE

22.1.2 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128622.2 Sistemi ortonormali di traslate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128922.3 Analisi di Multirisoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129222.4 Funzione di scala e ondicella associata ad una MRA . . . . . . 130322.5 Esempi di MRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305

22.5.1 Spline lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130522.5.2 Londicella di Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131222.5.3 Ondicelle che non provengono da MRA . . . . . . . . . 1313

23 La Trasformata Discreta di Ondicelle 131523.1 Lalgoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131523.2 Propriet dei filtri provenienti da MRA . . . . . . . . . . . . . 131723.3 Filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131823.4 QMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132223.5 La trasformata discreta di ondicelle . . . . . . . . . . . . . . . 132423.6 QMF che generano MRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326

23.6.1 Prodotti infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132723.6.2 QMF e funzione di scala . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329

23.7 Lalgoritmo a cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331

24 Ondicelle a Supporto Compatto 133524.1 Lunghezza del filtro e supporto della funzione di scala . . . . . 133524.2 Ondicelle ed approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133824.3 Riproducibilit dei polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134224.4 Le ondicelle di Daubechies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134524.5 Fattorizzazione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349

Prefazione

I primi passi che portarono alla redazione di questo libro furono intrapresinel 2001 per le esigenze di un insegnamento del secondo anno di AnalisiArmonica presso un Corso di Laurea sulle basi scientifiche, in particolarematematiche, della comunicazione multimediale che era recentemente statoistituito presso lUniversit di Roma Tor Vergata e che allora si chiamavaScienza dei Media e della Comunicazione. La opportunit di introdurrelanalisi di Fourier in qualsiasi corso di studi a base matematica non richiedespiegazioni. Peraltro, gli studenti di quello specifico Corso di Laurea eranomolto pi interessati alla comunicazione multimediale che non alla matema-tica, e per questo tentammo di fornirgli ulteriore motivazione inserendo nelprogramma dellinsegnamento di Analisi Armonica una applicazione concretadi loro interesse, cruciale per la ricostruzione nel tempo di segnali noti solosu una successione equispaziata discreta di campioni: il teorema del cam-pionamento di Shannon. Lapproccio rigoroso a tale risultato necessita solodi un fatto classico dellanalisi di Fourier, la formula di somma di Poisson:per la sua visualizzazione precisa, la sua collocazione naturale nellambitodella teoria di Fourier e lo studio dellerrore nel caso in cui le condizionidel teorema siano solo approssimate richiedono di visualizzare i segnali cam-pionati come distribuzioni discrete. Poich uno degli obiettivi del processoformativo era la trattazione matematica rigorosa ed esauriente, questo porta-va ad un ampliamento notevole del programma abituale di analisi di Fourier.Daltra parte, la necessit imprescindibile di trattare le serie di Fourier por-tava inevitabilmente anche ad esporre gli spazi di Hilbert, ed era opportunodare almeno un cenno sulla trasformata rapida di Fourier e la trasformata diFourier discreta. Divenne subito chiaro che il numero di libri di testo da sug-gerire, e la quantit di incisi e divagazioni necessarie a visualizzare concetticos sofisticati in un insegnamento del secondo anno, eccedeva le capacit disintesi degli studenti: era pertanto necessario redigere le note del corso sotto

xiii

xiv PREFAZIONE

forma di un libro unitario.In quel periodo, si tent anche di fornire agli studenti libri di testo per tutti

i corsi, disponibili gratuitamente online, ed aggiornabili di lezione in lezionesulla base dei risultati didattici. Come buona norma per corsi inerenti la mul-timedialit, questi libri di testo dovevano essere navigabili, ossia dovevanoavere almeno la struttura di un ipertesto con link interni per spostarsi da unargomento a quelli logicamente collegati. Pertanto questo libro redatto comedocumento in formato pdf, dove tutti i riferimenti matematici numerati (teo-remi, proposizioni, lemmi, corollari, definizioni, esempi, esercizi, riferimentibibliografici, riferimenti a capitoli e cos via) sono connessioni di ipertesto.Sottolineamo, come cautela per il lettore, che questo lintendimento del li-bro: offrire a studenti generalmente con scarse basi e scarsa memoria deipreliminari matematici la possibilit di rintracciare immediatamente, conun clic del mouse, ciascuno dei risultati citati. Naturalmente, ci impli-ca che ogni risultato che viene utilizzato viene citato esplicitamente: questo assai fasdtidioso per il lettore anche solo parzialmente esperto, che vedelesposizione rallentata da continui riferimenti espliciti a fatti perfettamentenoti, come ad esempio il teorema fondamentale del calcolo o la definizionedi funzione caratteristica: ma utile per gli studenti pi deboli, per le cuiesigenze il libro fu inizialmente concepito. Inevitabilmente, un lettore nonalle prime armi trover la presentazione troppo prolissa: ma daltra parte,la trattazione ormai molto ampia, ed imprescindibile che i lettori nonperdano i contatti con i riferimenti interni. Unaltra conseguenza fastidiosadi questo stile espositivo il fatto che ogni commento formulato come Notaseparata e numerata, invece che come osservazione discorsiva incidentale.

Il nucleo originale del libro consisteva dei Capitoli 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11,12, 13, 14, 15, ma in forma assai pi concisa. A poco a poco questi capitoli siarricchirono di nuove sezioni o argomenti, ad esempio esercizi svolti assegnatiin classe od agli esami. In realt, il Capitolo 12 in parte di per s stesso unesercizio: la sua Appendice 12.4 (e precisamente lEsempio ?? ed il Teorema12.3.7) un elaborato e difficile esercizio sullapprossimazione uniforme edin S. Questo argomento esposto solo per stimolare lintuito dei lettori suquesti argomenti invece che il ricorso a metodi pi astratti come la formuladi somma di Poisson, ma esposto non in modo completo: il lettore nonfortemente motivato invitato ad astenersene.

Visto che il libro si stava evolvendo verso unopera con riferimenti (in-terni o esterni) ai preliminari necessari, cercai di incorporarvi alcuni di talipreliminari sui quali spesso si sorvolava negli insegnamenti precedenti: solo

xv

cenni alle basi concettuali del Calcolo, ovviamente, ma un trattamento unpochino pi approfondito, sebbene non esauriente, di argomenti pi avan-zati di Calcolo e di Analisi Reale: convergenza uniforme, serie di potenze,uniforme continuit, calcolo in pi variabili, integrali dipendenti da un para-metro, integrali curvilinei, forme differenziali, misura di Lebesgue, spazi Lp,teorema di Fubini, funzioni di variazione limitata ed assolutamente continuee generalizzazioni del teorema fondamentale del Calcolo. Questi argomentisono esposti nel Capitolo preliminare 1, che, a parte leccezione gi citatadel Capitolo 12, lunico nel quale alcune dimostrazioni non sono completa-mente sviluppate, e su dettagli talvolta delicati si sorvola, o vengono aggiratia spese del rigore.In effetti, i contenuti di questo Capitolo coprono gran parte dei corsi pre-liminari di Analisi del primo e secondo anno, ma sono stati progettati piper coprire lacune che come libro di testo. Alcuni punti specifici sono statirelegati ad appendici. Gli argomenti elementari del Calcolo non sono statiridimostrati, ma sono stati enunciati nella Sezione iniziale 1.1, che quindiviene citata frequentemente: per il lettore con sufficiente competenza percapire questo libro non dovrebbe averne bisogno, e quindi il suo eventualericorso a questi link ai preliminari della prima Sezione un indizio di ina-deguatezza sul quale dovrebbe riflettere e trarre le debite conseguenze. Esiguicenni minimali di Analisi Funzionale, necessari solo per problemi specificipi avanzati su convergenza o divergenza di serie di Fourier e sulla nozionedi convergenza nello spazio delle distribuzioni temperate, sono succintamentetrattati nel Capitolo 3. La parte preliminare completata da una esposizionesullanalisi complessa in una variabile (Capitolo 2) e sullAnalisi Funzionale(Capitolo 3), che non sono necessari per il Corso di Laurea in Scienza eTecnologia per i Media, ma potrebbero essere usati al Corso di Laurea Magi-strale in Matematica come testi di insegnamenti elementari ma abbastanzaesaurienti su questi temi (manca per lo studio delle mappe conformi e ladimostrazione del teorema di Picard).Ulteriori approfondimenti sulla convergenza di serie di Fourier sono inclusinel Capitolo 7: essi includono una dimostrazione molto pi semplice del teo-rema di convergenza puntuale di serie di Fourier, dovuta a Chernoff (sullaquale sono grato ad Alessandro Fig-Talamanca di aver richiamato la miaattenzione, mettendomi anche a disposizione le sue note [12]), i criteri di con-vergenza pi avanzati di Dini e Jordan, la convergenza delle serie di Fourierin Lp per 1 < p < (e quindi il teorema massimale di HardyLittlewood),la divergenza di serie di Fourier in L1 e L ed esempi di serie di Fourier di

xvi PREFAZIONE

funzioni continue divergenti in un punto, o divergenti in insiemi di misurazero pi vasti. Una Sezione dedicata alla funzione coniugata, ed in essatrova spazio il teorema di rappresentazione integrale di Poisson di funzioniarmoniche in un disco a partire dai loro valori al bordo in L1, ed il prin-cipio del massimo. Tutti questi argomenti non sono qui introdotti in vistadi applicazioni della matematica ad altre scienze, ma sono stimolanti per unmatematico interessato agli aspetti profondi dellanalisi di Fourier. A partela Sezione iniziale 7.2, lo stile di questo Capitolo, che tratta argomenti pisofisticati, orientato a lettori pi maturi. Ovviamente, tale Capitolo richie-de qualche cenno di Analisi Funzionale, e proprio per questo stato scrittoil Capitolo 3, inizialmente come compendio di tali conoscenze elementari,ma che si poi sviluppato in una trattazione abbastanza esauriente. Proprioper rendere possibile tale trattazione, nel Capitolo 1 sono state aggiunte partirelative alla topologia (assiomi di separazione, propriet degli spazi topologici,Lemma di Urysohn e Teorema di estensione di Tietze (Sezione 1.10), e le loroconseguenze naturali, i teoremi di Egoroff e di Lusin sulla approssimabilitdi funzioni misurabili (Sezione 1.14). Questi argomenti sevono solo comepremessa ad alcuni aspetti dellAnalisi Funzionale e come completamento sualcune questioni di densit nelle inclusioni fra spazi di funzioni. Per rammen-tarne la non indispensabilit i titoli di queste Sezioni sono stati contrassegnaticon un asterisco.Un caso emblematico la ripetizione di argomenti pressoch identici in Ca-pitoli diversi, al fine di permetterne la lettura anche a coloro che non fosserointeressati a leggere il Capitolo 3 sullAnalisi Funzionale. Questo succede, adesempio, con la completezza di Lp e p, che era stata inizialmente esposta perp 1 nel Capitolo 1 sullAnalisi Reale mediante il Teorema di Riesz-Fischer1.16.26, e poi ripresa in maniera pi diretta nel Capitolo 4 sugli Spazi di Hil-bert per presentare enunciati ed esercizi soprattutto nel caso p = 2. Questoargomento stato poi riutilizzato nella Sottosezione 3.23.1 per evidenziare al-cune propriet insolite dei funzionali lineari sugli spazi Lp e p con 0 < p < 1,e questo ha richiesto di rielaborare il Capitolo 1 per estendere a tale rangeinsolito di valori di p i risultati precedentemente esposti per p 1: ci scu-siamo con i lettori non interessati se questo crea qualche piccolo disagio, e liinvitiamo a saltare le parti contrassegnate con asterisco.Ma un caso pi paradossale di ripetizione si ha per lesposizione della dualitper spazi Lp ed altri spazi di Banach, presentata nella Sezione 1.19 del Capi-tolo iniziale e riassunta nella Sezione 11.3 del capitolo sulle distribuzioni, alfine di agevolarne la comprensione a coloro che non avessere letto con cura il

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capitolo iniziale, ma naturalmente riesposta con maggiore profondit in tuttolarco del Capitolo 3 sullAnalisi Funzionale: alcuni enunciati e dimostrazionisono proprio triplicati!Anche una parte del Capitolo 6, e precisamente alcuni risultati pi avanzatidovuti a Lebesgue ed a Fatou sulla convergenza dei convolutori definiti dainuclei di Fjr e di Poisson (Sezione 6.2), rivolta a lettori pi maturi,esclusivamente matematici, e non mirata ad applicazioni (questi risultati,comunque, sono qui esposti per completezza, e non vengono mai ripresi nelseguito: per far presente questo fatto li abbiamo contrassegnati con dppioasterisco).Non sono stati inclusi argomenti di Algebra Lineare e Geometria (apartegli spazi di Hilbert) perch essi sono contenuti nel libro online [19] scrittoparallelamente a questo.

A questo punto, la tentazione di includere anche argomenti degli inse-gnamenti matematici del Corso di Laurea successivi allanalisi di Fourier eramolto forte: questo avrebbe permesso di creare una sorta di libro di testo ma-tematico unico, ossia di collegare tutti gli argomenti matematici dellinteroprocesso formativo in maniera facilmente navigabile, e sviluppati con unanotazione coerente. Ho omesso gli argomenti dellinsegnamento di base diAnalisi Numerica, ma ho incluso quelli di wavelets, incorporando, nei capi-toli 21, 22, 23 e 24, le note redatte per il proprio insegnamento da SandraSaliani, a cui esprimo la mia gratitudine. Al momento, per questi capitoli larevisione della notazione e la predisposizione dei links di ipertesto appenacominciata: ce ne scusiamo con i lettori.Naturalmente, in questo modo questopera si avviava a diventare un trattatopi che un libro. Diventava importante renderla esauriente, nei limiti dellemie conoscenze, che sono assai limitate nei settori numerici: ma le applica-zioni numeriche sono imprescindibili in un processo formativo inizialmentepensato per le applicazioni della matematica al trattamento di segnali acusti-ci, video e pi in generale multimediali. Un tema importante e naturale eraquello degli errori numerici nel calcolo della FFT e della DFT, presentatonel Capitolo 16. Alcuni ulteriori argomenti furono originati dalla direzionedi tesi di ricerca, ad esempio sulla trasformata di Fourier a finestre e ladeconvoluzione, e sono ora inclusi nel Capitolo 17, che contiene un link adun segnale acustico il quale, ovviamente, fruibile solo nella versione onlinedel libro, ma non in una eventuale versione stampata. Sono grato a RaffaelePresciutti ed a Stefano Daino per aver messo a mia disposizione la propriacompetenza in merito a questi argomenti. Nessuno di questi argomenti

xviii PREFAZIONE

trattato nel Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie per i Media (il nomeattuale del precedente Scienza dei Media e della Comunicazione), o, perquanto mi consta, in altri corsi di studio in Italia.C un intero altro settore, legato sia allanalisi di Fourier sia al trattamen-to dei segnali, che si basa sullanalisi complessa. Lambizioso obiettivo dipresentarlo si sviluppato nei Capitoli 18 (trasformata di Laplace), 19 (tra-sformata zeta) e 20 (applicazioni della trasformata zeta ai sistemi a tempodiscreto ed al filtraggio di segnali discreti). La analoga trattazione delle appli-cazioni della trasformata di Laplace alla risoluzione di equazioni differenzialilineari ordinarie non stata intrapresa, e forse lo sar in futuro. Anche que-sti argomenti non sono trattati nellambito del Corso di Laurea in Scienzee Tecnologie per i Media.In effetti, le prime due Parti di questopera vertono su temi generali, spessonon applicati, e la terza tratta temi generali che preludono ad applicazioni(con la notevole eccezione del Capitolo 7 sugli approfondimenti sulle serie diFourier, che tratta di temi classici fortemente legati allanalisi funzionale enon appare in alcun modo appicabile, ma non poteva essere inserito nella pri-ma Parte perch richiede la conoscenza di serie e tyrasformata di Fourier).Da questo punto in poi lo spirito cambia: le ultime tre Parti si indirizzanosoprattutto a tematiche numerico-applicative (con la parziale eccezione delcapitolo sulla trasformata di Laplace). Per il momento, per, la sesta parte,ossia la trattazione di un argomento di valenza naturalmente applicativa co-me le wavelets, stata mantenuta nelle linee di una trattazione puramenteanalitica e non numerica.

Unopera cos vasta, ma pur sempre mirata alla didattica elementare perstudenti di media qualit, inevitabilmente deve molto alle fonti bibliografiche:i contributi originali in questo libro spesso si limitano alla rielaborazione diargomenti gi presenti in letteratura, ed a volte solo alla realizzazione di noteesplicative e dei moltissimi riferimenti incrociati. Colgo questa opportunitper elencare con gratitudine quelle fra le fonti bibliografiche che mi sono statepi utili o mi hanno ispirato di pi: [10], [14], [18], [22], [23]; per le partipreliminari pi elementari, desidero citare anche [1], [5].

Da questo resoconto dovrebbe essere ormai chiaro che questopera nonvuole essere una esposizione compiuta e finita, bens un lavoro in corso,in evoluzione, da ampliare, approfondire e correggere dopo ogni lezione, ocomunque frequentemente (questa infatti unaltra ragione, oltre alla navi-gabilit dellipertesto, per mantenerla nella versione online). Ad esempio,nuovi capitoli o sezioni sono in preparazione. Alla data odierna, i prossimi

xix

dovrebbero riguardare una trattazione pi esauriente (ma forzatamente moltoincompleta) dei filtri digitali, ad esempio la loro realizzazione come reticolio grafi, i filtri di fase minima e linvertibilit e la fattorizzazione spettrale,ed una trattazione della compressione di immagini tramite wavelets. Ai pre-liminari di Calcolo verranno aggiunti gli integrali di superficie ed il teoremadella divergenza e del rotore.Manca un indice analitico, per ora. Sarebbe molto utile in un libro di questamole, anche se il formato di ipertesto permette di sostituirlo con gli strumen-ti di ricerca del computer. Poich i tag di riferimento allindice analiticonon son stati inseriti nel corso della stesura in TeX, farlo a posteriori uncompito molto laborioso e tedioso... ma, col tempo, spero che verr fatto.

Pertanto, anche questa prefazione un lavoro in corso. Il quadro sinotticodelle propedeuticit fra i capitoli, alla data odierna nella prossima pagina.Frecce tratteggiate indicano propedeuticit facilmente evitabili con una lieveriscrittura del testo: elenchiamone i casi pi tipici. Una prima, banale frec-cia tratteggiata legata al fatto che, per studiare lanalisi funzionale su spazidi Banach, occorre ricordarsi cosa sia la completezza, e quindi le successionidi Cauchy. Una freccia tratteggiata pi significativa dovuta al fatto che glioperatori lineari invarianti nel tempo siano convolutori e che la loro limi-tatezza su L equivalga alla appartenenza a L1 del nucleo di convoluzione,spiegato nel Capitolo 17 ed utilizzato anche nel capitolo 20; unaltra ha a chefare con la formula per i coefficienti dello sviluppo di Laurent, ricavata nelCapitolo 2 ed utilizzata anche nel Capitolo 19; questi fatti sono richiamati(ed in un caso brevemente ridimostrati) laddove vengono utilizzati. A volteinvece si tratta di argomenti propedeutici delicati, come il teorema di unifor-me limitatezza e nel teorema di Banach-Alaoglu sulla compattezza debole delCapitolo 3, utilizzati pesantemente per la divergenza di serie di Fourier nelCapitolo 7, ma anche, per breve cenno, nel Capitolo 11 per chiarire la no-zione di convergenza nello spazio delle distribuzioni temperate: in effetti quivengono rienunciati succintamente, senza dimostrazione, il che sufficienteper il tipico studente che legge questo libro. Ancora minore lutilizzazionedel teorema di categoria di Baire, limitata ad un cenno sugli insiemi di di-vergenza delle serie di Fourier. Pertanto, non indispensabile per il lettoreseguire il flusso delle frecce tratteggiate.A questo proposito, osserviamo anche che vari risultati pi profondi, ed unintero capitolo (il Capitolo 7), sono esposti per completezza culturale manon vengono ripresi nel seguito. Quando questo accade, i singoli enuncia-ti o una intera sottosezione o sezione, o in un caso lintero capitolo sono

xx PREFAZIONE

contrassegnati con una stelletta.Anche la terminologia ha a volte un carattere provvisorio, legato a con-

venienze didattiche momentanee. Un esempio emblematico la scelta delperiodo delle funzioni periodiche da sviluppare in serie di Fourier: nei Capi-toli 5 (sviluppi in serie di Fourier) e 7 (approfondimenti sulla convergenzadi serie di Fourier), e nella Sezione 6.2 (nuclei di Fjr e di Poisson), vie-ne scelto, per motivi storici, il periodo 2, e quindi i coefficienti di Fourierprendono la forma f(n) = 1

2

f(t) e

int dt. Invece negli altri Capitoli,dove il paragone fra il caso di funzioni periodiche e quello di funzioni inL1(R) a volte pi stringente e si vogliono avere identiche costanti di nor-malizzazione, scegliamo il periodo 1 ed i coefficienti di Fourier diventanof(n) =

12

12

f(t) e2int dt. auspicabile che anche questa anomalia vengaprima o poi corretta, con il mantenere periodo 2 (ed esponenziali eint) intutta la trattazione.

Ringrazio vari colleghi che hanno contribuito allo sviluppo di questopera:Andrea Pagano per la stesura in TEXdei capitoli del nucleo originario (circaun terzo della mole attuale: un compito gi molto laborioso), Federica An-dreano per la prima revisione di quei capitoli, ed Enrico Valdinoci e FrancescoFidaleo per la segnalazione di vari errori e suggerimenti e consigli per alcuneestensioni.

Massimo Picardello Roma, luglio 2010

xxi

Parte I Parte II Parte III Parte IV Parte V Parte VI

Cap. 1 Cap. 4 Cap. 10 Cap. 14 Cap.18 Cap. 21

Cap. 2 Cap. 5 Cap. 11 Cap. 15 Cap. 19 Cap. 22

Cap. 3 Cap. 6 Cap. 12 Cap. 16 Cap. 20 Cap. 23

Cap. 7 Cap. 13 Cap. 17 Cap. 24

Cap. 8

Cap. 9

Legenda:

Parte 1: PreliminariCap. 1: Preliminari di Calcolo ed Analisi RealeCap. 2: Elementi di Analisi Complessa

xxii PREFAZIONE

Cap. 3: Brevi cenni di Analisi Funzionale

Parte 2: Serie e trasformate di FourierCap. 4: Spazi di HilbertCap. 5: Serie di FourierCap. 6: Approssimazione trigonometrica e polinomialeCap. 7: Complementi sulle serie di FourierCap. 8: Trasformata di FourierCap. 9: Classe di Schwartz

Parte 3: Campionamento e ricostruzione di segnaliCap. 10: CampionamentoCap. 11: DistribuzioniCap. 12: Approssimanti in S del treno di impulsiCap. 14: Ricostruzione ed aliasing

Parte 4: DFT, DCT, FFT, deconvoluzioneCap. 15: DFTCap. 16: FFTCap. 17: Lerrore di approssimazione di F con la DFTCap. 18: Deconvoluzione e DFT a finestre

Parte 5: Trasformate di Laplace e zeta; filtriCap. 19: Trasformata di LaplaceCap. 20: Trasformata zetaCap. 21: Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto

Parte 6: Wavelets e compressione dei segnaliCap. 22: Il sistema di HaarCap. 23: Lanalisi in multirisoluzioneCap. 24: La trasformata discreta di ondicelleCap. 25: Ondicelle a supporto compatto

1

e trattamento dei

2 PREFAZIONE

Parte I

Panoramica su Calcolo, AnalisiReale, Analisi Complessa, SpaziVettoriali Topologici ed Analisi

Funzionale

3

Capitolo 1

Appofondimenti di calcolodifferenziale ed integrale e dianalisi reale

In questo capitolo riassumiamo, sinteticamente e talvolta senza dimostra-zioni, vari argomenti di Calcolo e di Analisi Reale preliminari allo studiodellanalisi matematica, ed in particolare dellanalisi di Fourier.Per quanto riguarda lAnalisi Reale, la maggior parte dellesposizione trattada [22]: rinviamo a questo eccellente riferimento bibliografico per maggioridettagli ed approfondimenti. Lesposizione delle disuguaglianze di Hlder edi Minkowski e della dualit per spazi Lp segue invece un approccio pi ra-pido ed elegante (si veda, ad esempio, [21]). Le sezioni 1.15, 1.20, 1.24, 1.26,1.27, 1.28 ed i risultati principali di 1.19 sono interamente tratti da [22]. LaSezione 1.23 tratta da [18].

1.1 Fatti elementari ben notiNon possibile comprendere i concetti basilari dellanalisi di Fourier senzauna completa assimilazione del Calcolo e dellAlgebra Lineare. Questo libro sviluppato per essere consultabile online: per facilitarne la navigazione iper-mediale, ci sforziamo di citare ogni risultato utilizzato, anche se questo rendepignola lesposizione per chi lo legge in versione scritta invece che interattiva. sorprendente scoprire quanti pochi siano i risultati preliminari elementaridi Calcolo necessari (quelli meno elementari verranno presentati in dettaglio

5

6 CAPITOLO 1. PANORAMICA SU CALCOLO ED ANALISI REALE

in seguito, anche se dovrebbero essere gi noti). ancora pi sorprendenteosservare che la grande maggioranza di questi risultati sono utilizzati solo perla comprensione di questo capitolo preliminare e non della analisi di Fourierche sviluppiamo nel resto del libro. Per comodit del lettore, e per evita-re collegamenti ipermediali a documenti esterni, enunciamo i prerequisiti dibase in questa Sezione introduttiva: le dimostrazioni si possono trovare ilqualunque libro di testo di calcolo, ad esempio [5] (o [19] per la numerabilitdei razionali, il teorema di Weierstrass sullesistenza di massimi e minimi difunzioni continue sui compatti e lesistenza dei limiti du funzioni monotnelimitate).

Rammentiamo per prima cosa la definizione di punto di accumulazionedi un insieme E in Rn (o pi in generale in uno spazio topologico):

Definizione 1.1.1. Un punto x un punto di accumulazione di E se perogni aperto O che contiene x esistono punti di E diversi da x ed appartenentia O. Se E un sottoinsieme di un insieme A, un punto x A un puntolimite di E se per ogni intorno O di x esistono punti di E appartenenti adO: in particolare, ogni punto di E un punto limite.

Inoltre, rammentiamo la definizione di infinitesimo:

Notazione 1.1.2. Date due funzioni f , g a valori reali o complessi definitesu un insieme E ed un punto x0 di accumulazione di E (ad esempio unsuo punto interno), diciamo che f = o(g) per x x0 se limxx0

f(x)g(x)

= 0,e che f = O(g) per x x0 se esiste una costante C > 0 tale che, se xappartiene ad un intorno appropriato di x0 (escluso il punto x0 stesso) si ha|f(x)| < C|g(x)|.

Infine, richiamiamo la definizione di funzione caratteristica:

Definizione 1.1.3. Per ogni insieme I R, la funzione caratteristica I la funzione che vale 1 in I e 0 al di fuori.

Nelle dimostrazioni, useremo talvolta il (si veda [19, Capitolo 1, Appendice]).Ecco la lista degli enunciati elementari di cui faremo uso nel seguito:

Numerabilit dei razionali: Q un insieme numerabile.

Continuit e controimmagini di aperti: una funzione f : X Y fradue spazi topologici X e Y continua se e solo se la controimmagine

http://www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/Alg.Lin./ALG_LIN.pdf#algebralineare.principio di induzione dei numeri naturalihttp://www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/Alg.Lin./ALG_LIN.pdf#algebralineare.Q_numerabile

1.1. FATTI ELEMENTARI BEN NOTI 7

f1(O) di ogni aperto O Y un aperto in X (Il lettore non abituatoalla nozione di spazio topologico e di insieme aperto riscriva questapropriet nel caso in cui X = Rn, Y = Rm e O sia la sfera di centroa Rm e raggio > 0: allora dire dire che la controimmagine diogni tale O aperta equivale a dire che, per ogni punto x tale chef(x) appartenga a O, essa contiene la sfera di centro x e raggio perqualche > 0. Si verifichi per esercizio che questo fatto equivalentealla propriet limxa f(x) = f(a).)

Definizione e caratterizzazione degli insiemi compatti: K si dice com-patto se da ogni ricoprimento di K con insiemi aperti si pu estrarre unsottoricoprimento finito. I compatti K in Rn, e pi in generale in unospazio metrico, sono caratterizzati dalla propriet che ogni successio-ne in K ammette una sottosuccessione convergente ad un punto di K(in uno spazio non metrico questa propriet segue dalla compattezzama non equivalente). Da questo fatto segue anche che i sottoinsiemichiusi di un compatto sono anchessi compatti.Inoltre i compatti hanno anche altre propriet interessanti che vedremoin seguito: ad esempio la propriet dellintersezione finita (Nota 1.9.7)e la propriet di BolzanoWeierstrass (Teorema 1.9.6): queste proprie-t sono conseguenze della compattezza, e sono ad essa equivalenti inuno spazio metrico. Per questi approfondimenti si veda la Sezione ??.

Definizione di esponenziale complesso: eit = cos t + i sin t. O equiva-lentemente, cos t = 1

2(eit + eit) e sin t = 1

2i(eit eit)

Lesponenziale diverge pi rapidamente dei polinomi: per ogni , > 0si ha limx+ ex/x = . Equivalentemente, limx+(log x)/x =0

Esistenza del limite per funzioni monotne: se f : [a, b] R mono-tna non decrescente, allora esiste limxb f(x) se e solo se f limitatasuperiormente, ed in tal caso limxb f(x) = supaxb f(x). Analogoenunciato vale se f non crescente, nel qual caso il limite esiste se f limitata inferiormente e coincide con lestremo inferiore dei valori di f ,e se lintervallo di definizione illimitato (ad esempio tutto R); in que-stultimo caso abbiamo un teorema identico per successioni monotne(cio per funzioni monotne definite su N anzich R.

http://www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/Alg.Lin./ALG_LIN.pdf#algebralineare.succ_decrescenti_hanno_limite


Punti di discontinuit di funzioni monotne: una funzione monotonasu un intervallo ivi continua tranne che per una successione di puntidi salto, quindi al pi con una quantit numerabile di salti.

Se A un insieme arbitrario di indici e c > 0, la serie

A c definita come sup{

1, ...,nA cj}. Se la serie converge, allora A

un insieme numerabile. In particolare, una funzione f : R 7 Rmonotna in un intervallo pu solo avere un insieme numerabile dipunti di discontinuit, tutti di tipo salto con ampiezza finita.

Criterio di Cauchy per la convergenza di successioni: una successionidi numeri reali o complessi di Cauchy (Definizione 1.2.1) se e solo se convergente.

Teorema del confronto: se f g h sono tre funzioni a valori realidefinite in un sottoinsieme E di uno spazio topologico (o pi restritti-vamente di Rn) e x0 un punto di accumulazione di E (o pi restritti-vamente, un punto interno di E), allora se limxx0 f(x) = limxx0 h(x),anche g ha limite per x x0 e limxx0 g(x) = limxx0 f(x) = limxx0 h(x).Un enunciato analogo vale per successioni.

Teorema del confronto per serie: combinando i due enunciati precedentisi ottiene il seguente: se una serie a termini non negativi ed i suoitermini sono maggiorati da quelli di una serie convergente, allora laserie data convergente.

Teorema del confronto di una serie con un integrale: se f una funzionepositiva non crescente definita nella semiretta x 1, la serie

k=1 f(k)

e lintegrale1f(x) dx convergono entrambi oppure divergono entram-

bi. Nel primo caso si ha

k=2 f(k) 1f(x) dx

k=1 f(k).

Pi precisamente, ponendo sm,n =n

k=m f(k) e tm,n = nmf(x) dx, ot-

teniamo per ogni m, n le disuguaglianze sm+1,n tm,n sm,n: quindio la serie e lintegrale divergono entrambi oppure convergono entrambicon la stessa velocit, nel senso che le code

k=m f(k) e

mf(x) dx

sono infinitesime dello stesso ordine rispetto a m.

Teorema di Weierstrass: una funzione a valori reali continua su uncompatto (ad esempio su un intervallo limitato e chiuso in R, o su unplurirettangolo limitato e chiuso in Rn) ammette massimo e minimo.

http://www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/Alg.Lin./ALG_LIN.pdf#algebralineare.Teorema_Weierstrass_max_e_min_su_compatti


Teorema della permanenza del segno: se f una funzione continua avalori reali e f(x) > 0 in un punto x interno al dominio di definizionedi f , allora esiste un intorno aperto O di x tale che f > 0 in O. Piin generale, se f continua a valori complessi e f(x) = 0, allora f diversa da zero in un intorno di x.

Confronto asintotico fra polinomi ed esponenziali: limx xneax = 0per ogni n N, a > 0

Continuit di funzione composta: se f : A B e g : B C sonocontinue, allora la loro composizione g f : A C continua.

Regola di derivazione di funzione composta: se A, B, C R e f : AB e g : B C sono derivabili, allora la loro composizione gf : A C derivabile, e (g f)(x) = g(f(x)) f (x).

Se una funzione derivabile pari la sua derivata dispari, e viceversa.

Teorema dei valori intermedi per le funzioni continue: se f : [a, b] R continua, allora essa assume in [a, b] tutti i valori intermedi fra f(a)e f(b).

Teorema dei valori intermedi per le funzioni continue sui connessi inRn: la propriet precedente vale per le funzioni continue su un insiemeconnesso in Rn. In tal caso f assume tutti i valori intermedi fra ilproprio valore minimo e massimo, o comunque fra due qualsiasi valoriassunti. (per dimostrarlo, nel caso non fosse gi noto, basta rammen-tare che un insieme connesso in Rn connesso per archi, nel senso dellasuccessiva Proposizione 1.29.46, e considerare una curva continua fra ilpunto in cui viene assunto il primo valore e quello in cui viene assuntoil secondo. La restrizione della funzione f allimmagine di questa curva una funzione continua su un intervallo di R, e si applica il risultatoprecedente.)

Teorema del valor medio di Lagrange: se f : [a, b] R continua su[a, b] e derivabile in (a, b), allora esiste x (a, b) tale che f(b) f(a) =f (x) (b a).

Regola della derivata nulla: se due funzioni f e g derivabili su uninsieme connesso verificano f g, allora f g costante.


Teorema della media integrale: se f : [a, b] R continua su [a, b],allora integrabile su [a, b] ed esiste x [a, b] tale che

baf(t) dt =

(b a) f(x).

Integrabilit di funzioni monotne: se f : [a, b] R monotna elimitata, allora f e |f | sono integrabili su [a, b] con integrale finito.

Teorema Fondamentale del Calcolo: si veda lenunciato pi sotto, Teo-rema 1.27.1.

Teorema di integrazione per sostituzione: se f : [a, b] [c, d] ha deriva-ta continua e g continua su [c, d], allora

dcg(x) dx =

f(b)f(a)

g(f(t)) f (t) dt.(Grazie al Teorema fomdamentale del calcolo enunciato pi sopra,questo teorema equivalente alla precedente regola di derivazione difunzione composta.)

Regola di derivazione del prodotto: se f e g sono derivabili, allora(fg) = f g + fg. Iterando si ottiene che, se le due funzioni sonoderivabili n volte,

Dn(fg) =nk=0

(n

k

)Dkf Dnkg ,

dove(nk

) il simbolo combinatorio

(nk

)= n!

k!(nk)! , ed il fattoriale n! ilprodotto 1 2 n.Con lo stesso argomento si prova il Teorema del Binomio di Newton:per ogni a, b R, n N,

(a+ b)n =nk=0

(n

k

)ak bnk .

Teorema di integrazione per parti: se f e g hanno derivata continua su[a, b], allora

baf(x) g(x) dx = f(b) g(b) f(a) g(a)

baf (x) g(x) dx.

(Grazie al Teorema Fondamentale del Calcolo enunciato pi sopra,questo teorema equivalente alla precedente regola di derivazione delprodotto.)

Formula di somma geometrica: se q C, q = 1, alloraN

n=0 qn =

1qN+11q .


Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica (manon sufficiente, visto il prossimo enunciato) che il suo termine generaletenda a 0.

La serien convergente se e solo se > 1.

Si noti che nessuna stima sul tasso di decrescenza dei termini implicala divergenza di una serie a meno che i termini siano monotni de-crescenti. Infatti, sia {an} tale che

|an| < , e consideriamo una

nuova successione di indici {nk}. Poniamo bn = 0 a meno che n = nk,e bnk = ak. I valori non nulli dei bn sono gli stessi degli an, ma pidistanziati: quindi

|bn| =

|an| < , ma la successione bn tende

a zero in maniera arbitrariamente lenta se gli nk crescono in manieraarbitrariamente veloce. Invece, se la successione dei termini non cre-scente, le cose vanno diversamente. Poich questo fatto non appare disolito nei manuali di Calcolo, lo dimostriamo qui:

Lemma 1.1.4. Sia {an > 0} una successione non crescente con limn an =0. Se la serie

n an converge, allora an = o(1/n), ossia limn nan = 0.

Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo che limn an = 0. Per defi-nizione di limite, allora deve esistere 0 > 0 tale che per ogni k Nesiste nk > k con kank > 0 (osserviamo in particolare che si possonoscegliere gli nk in maniera che crescano in modo arbitrariamente velo-ce). In altre parole, esiste 0 > 0 ed una sottosuccessione {ank} taleche ank > 0/k, e gli indici della sottosuccessione si possono scegliere acrescita arbitrariamente veloce. Daltra parte, grazie alla monotonia,per tutti gli indici m con nk1 < m nk si ha am ank = 0/k.Quindi

Sk :=

nknk1+1

am nk nk1

nk0 .

Ora, se gli nk crescono in modo abbastanza veloce, limk(nknk1)/nk =1, e quindi Sk 0 e

n=0 an =

k=0 Sk = . Questa contraddizione

prova lenunciato.

Una propriet analoga a quella precedente per le serie vale per gli inte-grali impropri: lintegrale improprio di 1

x divergente:

1

1xdx = + .

A maggior ragione, per < 1,1

1xdx = +; invece, per > 1,

11xdx


Riordinamento di serie: una serie converge alla stessa somma qua-lunque sia lordine con cui si sommano i suoi termini se e solo se assolutamente convergente (ossia la serie dei moduli dei suoi termini convergente).

Stime di Leibnitz per il resto di una serie a segni alterni: se la suc-cessione ak > 0 non crescente da un certo indice in poi, ossia seesiste k0 tale che ak+1 ak per ogni k > k0, ed infinitesima, ossialimk ak = 0, allora la serie a segni alterni

k=0(1)kak (sempli-

cemente) convergente, ed il suo resto n-simo maggiorato dal primotermine omesso:

k=0

(1)kak nk=0

(1)kak

an+1 . Teorema di Taylor: se f : (a, b) R derivabile n volte in un

punto x0 (a, b), allora esiste un unico polinomio Pn di grado nche approssima f a meno di infinitesimi rispetto a (x x0)n, ossiaf(x) = Pn(x) + o ((x x0)n) per x x0, e questo polinomio, dettopolinomio di Taylor di grado n, dato da

Pn(x) =nk=0

f (k)(x0)

k!(x x0)k .

Inoltre, se n 0 e f derivabile n+1 volte in x0, si ha f(x)Pn(x) =f (n+1)()(n+1)!

(x x0)n+1 per qualche [x0, x]. Il polinomio di Taylor lunico polinomio di grado n le cui prime n derivate in x0 coincidonocon quelle di f .

Completiamo questa Sezione presentando due criteri di convergenza perserie numeriche che estendono le stime di Leibnitz, i quali potrebbero nonessere noti ad alcuni lettori. Per questo ne presentiamo anche le dimostra-zioni. Il primo dei due criteri non necessario per il resto del libro, ma lopresentiamo insieme ad alcune sue applicazioni a causa della loro rilevanzain connessione con le serie di Fourier.

Teorema 1.1.5. (Criterio di convergenza di Dirichlet.)


(i) Se ak C e bk R+ sono tali che bk tende a zero in maniera monotnaper k e le somme parziali An =

nk=0 ak sono limitate da qualche

costante C > 0, allora la serie

k=0 akbk convergente.

(ii) Se invece le serie sono serie di funzioni, dove le somme parziali dellasuccessione di funzioni ak sono uniformemente limitate, e le funzio-ni bk sono uniformemente convergenti a 0 in maniera non crescente(ossia bk(x) non crescente per ogni x), allora la serie di funzioni

k=0 ak(x)bk(x) converge uniformemente.

Dimostrazione. Dimostriamo la parte (i): la dimostrazione, pensata persuccessioni di funzioni invece che di numeri, si applica parola per parolaanche per dimostrare (ii).Vogliamo applicare il criterio di Cauchy: per questo dobbiamo provare che,per ogni > 0, esiste N intero tale che, per ogni n > m N , si abbia

nk=m

akbk

< . (1.1)Nel primo membro di questa disuguaglianza sostituiamo ak = AkAk1 perottenere la seguente versione discreta del teorema di integrazione per particitato pi sopra:

nk=m

akbk =n

k=m

Akbk n1

k=m1

Akbk =n1k=m

Ak (bk bk+1) + Anbn Am1bm .

(1.2)Pertanto

nk=m

akbk

C(n1k=m

|bk bk1|+ bn + bm

). (1.3)

Poich {bk} una successione decrescente, possiamo togliere il modulo in|bk bk1| = bkbk1. Pertanto la sommatoria nel lato destro dellultima di-suguaglianza, a causa delle cancellazioni successiva, d come somma

n1k=m (bk bk1) =

bm bn. Quindi la disuguaglianza (1.3) diventa |n

k=m akbk| 2Cbm. Ora(1.1) segue dallipotesi che limn bm = 0.

Come applicazione, ecco un esempio che fornisce il primo risultato si-gnificativo in questo libro sulla convergenza di serie trigonometriche. Siconfrontino i risultati con il contenuto della Sezione 5.15.


Esempio 1.1.6. Rimandiamo allAppendice in Sezione 12.5 per la dimostra-zione della seguente disuguaglianza trigonometrica elementare: per ogni x =2k, con k intero, si ha

Nn=N

einx

1| sin x2|,

Da questa disuguaglianza segue che la successione einx ha somme parzialilimitate, e quindi lo stesso vale per la parte reale cos(nx) e la parte immagi-naria, sin(nx). Pertanto, per il criterio di Dirichlet per la convergenza di serienumeriche (Teorema 1.1.5 (i)), per ogni successione bn di numeri reali chetende a zero in maniera decrescente, le serie trigonometriche

n=1 bn e

inx,n=1 bn cosnx,

n=1 bn sinnx sono convergenti per x = 2k.

Inoltre, in ogni intervallo [a, 2 a] con a > 0 le suddette serie sono unifor-memente convergenti, per il criterio di Dirichlet per la convergenza uniforme,Teorema 1.1.5 (ii)).Ad esempio, le serie

n=1

einx

n,

n=1cosnxn

,

n=1sinnxn

convergono puntual-mente per x = 2k per ogni > 0, ed uniformemente in [a, 2a] per a > 0.Se > 1 sappiamo che queste serie convergono assolutamente, dal confrontocon la serie

n=1

1n, ed anche uniformemente per il test di Weierstrass (Teo-

rema 1.3.29), ma per 0 < 1 la convergenza assai meno ovvia.

Il secondo criterio una variante del precedente. Verr applicato inseguito solo ad un risultato sulla continuit radiale di serie di potenze albordo di convergenza (Teorema di Convergenza radiale di Abel 1.4.11, chedimostreremo per completezza ma che non verr usato in questo libro.Teorema 1.1.7. (Criterio di convergenza di Abel.)(i) Se ak sono numeri complessi tali che la serie

k ak convergente, e

{bn} una successione di numeri reali monotna limitata (quindi con-vergente, ma non necessariamente al limite 0), allora la serie

k=0 akbk

convergente.

(ii) Se invece le serie sono serie di funzioni, con la propriet che le sommeparziali della successione di funzioni ak sono uniformemente convergen-ti, e le funzioni bk sono uniformemente limitate e per ogni x la succes-sione ak(x) non crescente, allora la serie di funzioni

k=0 ak(x)bk(x)

converge uniformemente.

1.2. SPAZI NORMATI E COMPLETEZZA 15

Dimostrazione. la dimostrazione pressoch la stessa del criterio di Dirichlet(Teorema 1.1.5). Anche in questo caso basta dimostrare il criterio di conver-genza per le serie numeriche: lo stesso argomento si applica riga per riga allaconvergenza uniforme. Vediamo le differenze rispetto alla dimostrazione delcriterio di Dirichlet. Nel termine di destra dellidentit (1.2), ora gli addendiAnbn e Am1bm sono successioni convergenti (perch ciascuna il prodottodi due successioni convergenti). Anche la somma che costituisce il restantetermine nel lato destro dellidentit converge ad un limite per n , esat-tamente per lo strsso aergomento usato nella dimostrazione del criterio diDirichlet.

1.2 Spazi normati, successioni di Cauchy ecompletezza

Rammentiamo la definizione di successione di Cauchy di numeri reali.

Definizione 1.2.1. (Successioni di Cauchy.)Una successione {xn}nN di numeri reali si dice successione di Cauchy se

per ogni > 0 esiste N tale che se n, m > allora |xn xm| < .

Esercizio 1.2.2. Se una successione convergente allora di Cauchy.

Definizione 1.2.3. (Spazio metrico.) Una metrica su un insieme X una funzione d su X X a valori reali con le seguenti propriet:

(i) per ogni x e y in X, d(x, y) 0, e d(x, y) = 0 se e solo se x = y;

(i) per ogni x e y in X, d(x, y) = d(y, x) (propriet riflessiva);

(iii) per ogni x, y e z in X, d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (disuguaglianzatriangolare).

Uno spazio X munito di una metrica si chiama spazio metrico.La disuguaglianza triangolare ha questo nome perch, nel caso della distanzausuale nel piano, essa enuncia il fatto che un lato di un triangolo ha lunghezzanon superiore alla somma degli altri due (il lettore visualizzi per esercizio illegame fra i due concetti ).


Definizione 1.2.4. (Completezza.) Uno spazio metrico X si dice comple-to se ogni successione di Cauchy converge ad un elemento di X (rispetto allametrica di X).

Nota 1.2.5. Linsieme dei numeri reali uno spazio metrico completo. Questofatto equivalente alla propriet archimedea dei numeri reali [19, Cap. 1(Appendice)].

Nota 1.2.6. Le precedenti definizioni mostrano che in uno spazio metricocompleto (ad esempio R) non vi alcuna differenza tra successione conver-gente e successione di Cauchy, ossia una successione convergente se e solose di Cauchy.Osserviamo che la propriet di Cauchy presenta un vantaggio rispetto alladefinizione di limite: permette di dimostrare lesistenza del limite senza chesia necessario conoscere quale sia il limite a cui converge la successione.

Siano u, v Rn. Ricordiamo che la distanza euclidea di u e v definitada

dist(u, v) =

ni=1

(ui vi)2. (1.4)

La distanza euclidea di u dallorigine la norma euclidea di u , definita da

u u2 =

ni=1

u2i (1.5)

In Rn definito anche un prodotto scalare , associato alla norma nel sensoche u2 = u, u per ogni u R. La definizione la seguente: se u, v Rn,

u, v =ni=1

uivi .

Definizione 1.2.7. Se u, v Cn, il prodotto scalare definito da

u, v =ni=1

uivi (1.6)

http://www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/#algebralineare.proprieta_archimedea


Vogliamo introdurre spazi vettoriali di dimensione infinita e definire nor-me e prodotti scalari su tali spazi.In generale si ha

Definizione 1.2.8. (Norma.) Sia X uno spazio vettoriale su C (di dimen-sione finita o infinita). Unapplicazione

: X R+ {0}x 7 x

si dice una norma se valgono le tre propriet seguenti:

(i) x = 0 x = 0

(ii) x = || x x X, C

(iii) x+ y x+ y per ogni x, y X

Lultima propriet si chiama la disuguaglianza triangolare.

Esercizio 1.2.9. Verificare che 2 definita in (1.5) una norma in Rn.

Estendiamo il concetto di successione di Cauchy a uno spazio normatoqualsiasi.

Definizione 1.2.10. (Distanza in uno spazio normato.) Ricordiamoche, se X uno spazio normato, la distanza tra u, v in X data da

dist(u, v) = u v .

Si dice che questa distanza associata alla norma.

Definizione 1.2.11. (Norme e distanze equivalenti.) Due norme e| | su uno spazio vettoriale V si dicono equivalenti se esiste una costanteC > 0 tale che per ogni vettore v V si abbia

v C|v|

(senza perdita di generalit, aumentando il valore di C, la disuguaglianza sipu esprimere come disuguaglianza stretta, ed infatti di solito cos avvienenei libri di testo).


Analogamente, due distanze d1 e d2 si dicono equivalenti se esistono A,B > 0 tali che, per ogni u, v V , si abbia

Ad1(u, v) < d2(u, v) < Bd1(u, v) .

In base a questa definizione, date due norme (o due distanze) equivalenticiascuna palla rispetto ad una delle due contenuta in una palla dellaltra eviceversa.Ricordiamo la definizione di relazione di equivalenza:Definizione 1.2.12. (Relazione di equivalenza.) Sia I un insieme e sia una relazione tra gli elementi di I.

una relazione di equivalenza se:

1. a a a I

2. a b se e solo se b a a, b I

3. se a b e b c allora a c a, b, c I

Esercizio 1.2.13. Verificare che lequivalenza di norme una relazione di equi-valenza.

Per la dimostrazione del seguente celebre enunciato rinviamo, ad esempio, a[19, Appendice, Sezione 2].Proposizione 1.2.14. (Tutte le norme sono equivalenti in dimen-sione finita.) In spazi vettoriali di dimensione finita, tutte le norme sonoequivalenti.Come vedremo in seguito, qusto enunciato non vero su spazi a dimensioneinfinita. Questo fatto la principale fonte di variet e sottigliezza dellageometria degli spazi normati, della loro struttura di convergenza e del restodi questo libro.

Norme equivalenti inducono la stessa nozione dei convergenza in V , aisensi della prossima definizione.Definizione 1.2.15. (Successioni convergenti e successioni di Cauchyin uno spazio normato.) Una successione {un}nN in uno spazio normatoX si dice convergente ad un limite u X se per ogni > 0, esiste N taleche, se n > , allora un u < . La successione si dice di Cauchy se perogni > 0, esiste N tale che, se n > , m > , allora un um < .

http://www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/Alg.Lin./ALG_LIN.pdf#algebralineare.norme_equivalenti_a_dim_finita


Nota 1.2.16. Uno spazio normato, essendo in particolare uno spazio metrico,si dice completo se le successioni di Cauchy sono convergenti.

Come naturale studiare la convergenza di successioni, cos lo quella diserie.

Definizione 1.2.17. (Serie convergenti ed assolutamente sommabiliin uno spazio normato.) Una serie di vettori vi in uno spazio normato X convergente ad un vettore somma s se converge a s la successione delle suesomme parziali: limN

sNi=1 vi = 0. La serie si dice assolutamentesommabile se

i=1 vi


Dimostrazione. La propriet di Cauchy, applicata alla serie convergentedellenunciato, asserisce che per ogni > 0 esiste un intero N = N taleche, se N k m, si ha

mn=k vn < . Prendendo m = k N concludia-

mo che, per ogni , esiste N tale che vk < se k N : per definizione dilimite, questo equivale a dire che vk 0.

In seguito utilizzeremo il seguente criterio di completezza per spazi nor-mati.

Lemma 1.2.20. Uno spazio normato X completo se e solo se ogni serieassolutamente sommabile convergente in X.

Dimostrazione. Supponiamo che X sia completo e consideriamo una serieassolutamente sommabile

vi. Allora per ogni > 0 esiste un intero N > 0

tale che

iN vi < . Indichiamo con sn le somme parziali sn =n

i=1 vi.Allora, se n, m > N , si ha

sn sm =

n

i=m+1

vi

n

i=m+1

vi

i=m+1

vi < .

Pertanto la successione {sn} di Cauchy (Definizione 1.2.15), e dal momentoche X completo essa converge in X.

Viceversa, supponiamo che le serie assolutamente sommabili in X sianoconvergenti e consideriamo una successione {vn} di Cauchy. Vogliamo pro-vare che questa successione converge in X. Grazie alla propriet di Cauchyesiste una successione crescente di numeri interi nk tali che vn vm 2kse n, m > nk. Consideriamo la sottosuccessione vnk e formiamo la successio-ne delle sue differenze consecutive w1 = v1 e wi = vni vni1 . Come nellaNota 1.2.18, la somma parziale N -sima

Ni1wi vale vN . Ma abbiamo visto

che vN 2N . Quindi la seriewi assolutamente sommabile, e perci

converge ad un vettore v X.A questo punto basta mostrare che limn vn = v. Usiamo il fatto che {vn} di Cauchy: per ogni esiste N tale che vn vm < /2 se n, m > N .Daltra parte, poich vnk v, esiste K tale che vnk v < /2 se k > K.Ora, se scegliamo k > K cos grande che nk > N , abbiamo

vn v vn vnk+ vnk v

2+

2= ,

e quindi vn v.

1.3. CONVERGENZA UNIFORME 21

Definizione 1.2.21. (Prodotto scalare.) Sia X uno spazio vettoriale suC. Unapplicazione

, : X X C(x, y) 7 x, y

si dice prodotto scalare se

1. y, x = x, y x, y X

2. x+ y, z = x, z+ y, z x, y, z X

3. x, y = x, y x, y X, C

4. x, x 0 x X e x, x = 0 x = 0

Esercizio 1.2.22. Verificare che , definita in (1.6) un prodotto scalare inCn.

Nota 1.2.23. Ogni prodotto scalare d luogo ad una norma

: X [0,+)x 7 x = x, x1/2

1.3 Convergenza uniforme1.3.1 Convergenza di successioni di funzioniCominciamo con la definizione di convergenza puntuale per una successionedi funzioni.

Definizione 1.3.1. (Convergenza puntuale.) Sia x una variabile in uninsieme A R (o C) e {fn(x)}nN, una successione di funzioni. La successio-ne {fn(x)}nN converge puntualmente alla funzione f(x), se per ogni > 0esiste (, x) N tale che

n > (, x) |fn(x) f(x)| < ,


cio se, per ogni x in A, si ha

limn

fn(x) = f(x)

con velocit di convergenza che pu dipendere dalla scelta di x.

Esempio 1.3.2. Poniamo fn(x) = enx con x [0, 1]. Allora

limn

enx =

{1 se x = 00 se 0 < x 1

Osserviamo che, pur essendo le fn(x) funzioni continue per ogni n N, illoro limite puntuale una funzione discontinua in x0 = 0.

Esempio 1.3.3. Poniamo fn(x) = 1n arctan(nx). Allora

limn

1

narctan(nx) = 0.

In questo caso sia le fn(x) che la funzione limite (che la funzione identica-mente uguale a zero) sono continue.

Ci chiediamo quale sia il comportamento della successione delle derivate,ossia della successione f n(x) = 1n

11+(nx)2

n = 11+(nx)2

limn

1

1 + (nx)2=

{1 se x = 00 se x = 0

Quindi la successione delle derivate non converge alla derivata della funzionelimite di fn(x).

Esempio 1.3.4. Poniamo fn(x) = [n,n+1](x) ={

1 se x [n, n+ 1]0 se x / [n, n+ 1]

Alloralimn

[n,n+1](x) = 0.

Quindi la funzione limite la funzione identicamente uguale a zero.Osserviamo che

[n,n+1](x) dx =

n+1n

dx = 1 n N,

mentre lintegrale della funzione limite ovviamente zero.


Quindi non possibile passare al limite sotto il segno di integrale, ossia

limn

[n,n+1](x) dx = 1 = 0 =

limn

[n,n+1](x) dx

Abbiamo visto (Esempio 1.3.2) che la continuit delle funzione fn(x) nonimplica la continuit della funzione limite.Ci chiediamo allora sotto quali condizioni si pu ottenere la continuit dellafunzione limite nel caso in cui le funzioni fn(x) siano tutte continue.In altre parole, sia {fn(x)}nN una successione di funzioni continue in x0 A,cio le funzioni fn(x) verifichino

limxx0

fn(x) = fn(x0) n N.

Ci stiamo domandando sotto quali condizioni si avr limxx0 f(x) = f(x0).In altri termini, ci chiediamo quando possibile scambiare i limiti

limxx0

limn

fn(x) = limn

limxx0

fn(x) .

Una condizione sufficiente a permettere di scambiare i due limiti laconvergenza uniforme della successione {fn(x)}nN.

Definizione 1.3.5. (Convergenza uniforme.) Una successione di funzio-ni {fn(x)}nN converge uniformemente a f(x) in A se per ogni > 0 esiste() (che dipende da , ma non dal punto x) tale che per n > () e per ognix A si ha |fn(x) f(x)| < .

Chiaramente si ha:

Corollario 1.3.6. Il limite uniforme di una successione di funzioni, se esiste, anche il suo limite puntuale (ma non viceversa: il limite puntuale puesistere ma non essere anche limite uniforme).

Nota 1.3.7. Se le funzioni fn(x) sono a valori reali per ogni n N, ladisuguaglianza |fn(x) f(x)| < equivalente alle due disuguaglianze

f(x) < fn(x) < f(x) + (1.7)


Le disuguaglianze (1.7) sono vere per ogni n > (), indipendentementedal punto x A. Quindi se n > (), allora il grafico di fn(x) contenutoin un intorno tubolare di ampiezza 2 centrato nel grafico di f(x).

f(x)+

f(x)-

f(x)

f (x)n

f(x)

f (x)n

f (x)f (x)

f(x)+

Figura 1.1: Approssimanti di f nella norma uniforme

Nota 1.3.8. Sia I R e sia B(I) lo spazio delle funzioni limitate definite suI con la norma

f = supxI

|f(x)|.

Allora una successione fn converge a f nello spazio normato B(I) se e solose fn converge a f uniformemente. In altre parole la convergenza uniformein I coincide con la convergenza rispetto alla norma

Esempio 1.3.9. La successione fn(x) = enx con x [0, 1] non convergeuniformemente alla sua funzione limite.

Infatti

|fn(x) f(x)| ={

0 se x = 0enx se 0 < x 1

fn f = supx[0,1]

|fn(x) f(x)| = 1 .

Quindisupx[0,1]

|fn(x) f(x)|

non tende a zero per n e quindi la successione fn(x) non convergeuniformemente alla funzione f(x), ma solo puntualmente.


Vedremo in seguito che ci si sarebbe potuto dedurre dalla discontinuitdella funzione limite f(x).

Esercizio 1.3.10. (i) Si mostri che la successione

fn(x) = n3x2en

2x2

non converge uniformemente in (0,+), ma che per ogni a > 0, lasuccessione {fn} converge uniformemente in (a,+).

(ii) Si mostri che esiste finito il limite

limn

+0

fn(x) dx

ed maggiore di zero. Quindi le {fn} convergono puntualmente a zeroin (a,+) (e uniformememte in ogni semiretta propriamente contenutain (0,+), ma il loro integrale non tende a zero.

Svolgimento. Siag(x) = xex

2

.

Allora fn(x) = ng(nx). Nella semiretta positiva, la funzione g ha un solo pun-to di massimo x0, a destra del quale decrescente, e tende a zero allinfinito.I valori della funzione hn(x) := g(nx) sono gli stessi di g (la funzione hn siottiene da g comprimendone orizzontalmente il grafico di un fattore n), equindi per la norma uniforme di fn = nhn si trova fn = ng +.Daltra parte, se n cos grande che x0/n < a, il punto di massimo x0/ndella funzione hn minore di a, ed allora, come abbiamo visto, la funzione hn decrescente in (a,+). Perci lo anche fn, e quindi la norma uniformein (a,+)

sup{xa}

fn(x) = fn(a) = n3a2en

2a2

che tende a zero quando n . Questo prova la parte (i). Per la parte(ii), basta applicare il teorema di integrazione per sostituzione (x nx) perottenere +

0

fn(x) dx = n

+0

g(nx) dx =

+0

g(x) dx ,

indipendente da n.


Esempio 1.3.11.fn(x) =

1

narctan(nx)

n0 .

Quindi la funzione limite puntuale f = 0, e

|fn(x) f(x)| =arctan(nx)n

da cui

supxR

arctan(nx)nn 0

per n . Pertanto la convergenza uniforme.Consideriamo la successione delle derivate f n(x) = 11+(nx)2 . La funzione

limite

(x) =

{1 se x = 00 se x = 0

e quindi

|f n(x) (x)| ={

0 se x = 01

1+(nx)2se x = 0

AllorasupxR

|f n(x) (x)| = 1

e non tende quindi a zero per n .In questo esempio, pur essendo fn(x) una successione uniformemente

convergente, f n(x) converge puntualmente a (x) ma non uniformemente.

Esempio 1.3.12. fn(x) = [n,n+1](x).Abbiamo visto che fn(x) converge puntualmente a zero. Ci chiediamo se

tale convergenza sia uniforme.

supxR

[n,n+1](x) = 1non tende a zero per n , quindi la successione non converge uniforme-mente a zero.


Teorema 1.3.13. (Limiti uniformi di successioni di funzioni limi-tate.) Sia fn una successione di funzioni limitate uniformemente conver-gente ad una funzione limite f . Allora anche f una funzione limitata.

Dimostrazione. Poich fn f nella norma uniforme, fissato esiste n taleche, per ogni x, vale la disuguaglianza |f(x) fn(x)| < . Pertanto, per ognix,

fn fn(x) < f(x) < fn(x) + fn + e quindi f limitata.

Esempio 1.3.14. Per n > 0, consideriamo la successione di funzioni limitatefn definite sulla semiretta {x 0} da

fn(x) =

{x se x [0, n)n se x [n,+)

Figura 1.2: Gli approssimanti puntuali della bisettrice non sono approssimanti uniformi

Questa successione non converge uniformemente in conseguenza del Teo-rema 1.3.13, perch il suo limite puntuale la funzione f(x) = x, che


illimitata, e quindi non pu esserne limite uniforme (Teorema 1.3.13). Senzausare questo teorema, si pu arrivare alla stessa conclusione direttamentedalla definizione di convergenza uniforme (Definizione 1.3.5), e dal suo Co-rollario 1.3.6: basta osservare che per ogni n si ha fn f = +.

Teorema 1.3.15. (Criterio di Cauchy per la convergenza uniformedi successioni di funzioni.)

Sia {fn(x)}nN una successione di funzioni definite in un intervallo I .Allora fn(x) converge uniformemente a una funzione f(x) in I per ogni > 0, esiste n tale che , per ogni x I, se n, m > n,

|fn(x) fm(x)| < .

Dimostrazione.() Sia > 0. Dato che fn(x) converge uniformemente a f(x), esiste n

tale che se n > n|fn(x) f(x)| < x I.

Sia m > n, allora anche

|fm(x) f(x)| < x I.

Quindi

|fn(x) fm(x)| = |fn(x) f(x) + f(x) fm(x)| |fn(x) f(x)|+ |f(x) fm(x)| 2

Quindi|fn(x) fm(x)| 2 x I

() Supponiamo che, per ogni > 0, esista n tale che, se n, m > n, allora|fn(x) fm(x)| per ogni x I. Quindi la successione {fn(x)}nN diCauchy e dunque {fn(x)}nN converge.Sia

f(x) = limn

fn(x), x I.

Vogliamo fare vedere che {fn(x)}nN converge a f(x) uniformemente in I.Sia > 0. Allora esiste n tale che se n, m > n

|fn(x) fm(x)| .

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Analisi armonica: aspetti classici e numerici