UNIDAD 3 3.1.- Análisis Nodal

Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Corriente.

Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente. Circuitos que contienen solo fuentes independientes de

Voltaje. Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.

3.2.- Análisis de Malla. Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente. Circuitos que contienen solo fuentes independientes de

Voltaje. Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje. Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.

Análisis Nodal

Debemos considerar los siguientes aspectos:

1.- En el análisis nodal las variables de los circuitos se eligen como voltajes de los nodos.

2.- Los voltajes de los nodos se definen con respecto a un punto común en el circuito.

3.- Un nodo se selecciona como referencia y con frecuencia este nodo es aquel al que está conectado el mayor número de ramas y se denomina tierra debido a que su potencial es igual a cero y algunas veces es el chasis en el circuito práctico.

4.- Seleccionaremos nuestras variables( voltajes en los nodos) como positivas con respecto al nodo de referencia.

5.- Es recomendable que los elementos pasivos tengan como unidades el siemens (conductancia).

6.- Cuando se conoce los voltajes de los nodos podemos calcular inmediatamente cualquier corriente en una rama y la potencia suministrada o absorbida por cualquier elemento.

7.- De preferencia la respuesta deberá presentarse de forma matricial:

corrientede

fuenteslasde

ColumnaVector

mètododel

Variables

Columna

Vector

ciaConduc

Matriz

_

___

_

_

tan

IGV

8.- Si en el circuito existiera solamente fuentes independientes de corriente debemos entonces observar que la matriz conductancia es simétrica a la diagonal principal. Basta con la presencia de fuentes de voltaje sean estas independientes o controladas, o la presencia de fuentes controladas de corriente en el circuito para que en la matriz conductancia se pierda la simetría con respecto a la diagonal principal.

Ejemplo # 1:

aI1I 3I

bI

2I1N1V 2N

2V

1G 3G

2G

# de ecuaciones que se encuentran:

n – 1=3-1, donde n es el número de nodos en total.

n – 1 =2

En cada ecuación debemos usar LCK, LVK

LCK N1:21 III a

Ohm :

111

3111 )(

VGI

VVGI

GVI

22122

2122 )(

VGVGI

VVGI

)()( 22211

221211

GVGGVI

VGVGVGI

a

a

CON SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE

3V

1

EXPRESE LA RESPUESTA EN FORMA MARICIAL

LCK N2:

23

32

III

III

b

b

Ohm :

233

3233 )(

VGI

VVGI

GVI

)()( 32221

221223

GGVGVI

VGVGVGI

b

b

b

a

I

I

V

V

GGG

GGG

2

1

322

221

2

Ejemplo # 2:

02I

k6

1

k12

1k

3

1 mA2

02I

k6

k12 k3 mA2

1I 2I

Ohm:

210

210

2

02

III

III

LCK N1:

20

212

11

3

66

12

VI

VVI

VI

1V1N 2N

2V

3V3N

0I

0I

CON FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE1N

2N

21

221

2112

12180

66180

6612)3(2

VV

VVV

VVVV

LCK N2:

20

02

2

2

II

II

21

212

9)6(2

6632

VV

VVV

2

0

96

1218

2

1

V

V

1

2

Método para escribir en forma directa las ecuaciones en el análisis nodal.

Una vez identificado los nodos principales y escogido el nodo de referencia, se escriben las ecuaciones en cada uno de los nodos principales con excepción del nodo de referencia de la siguiente forma:

1.- De un lado de la ecuación la suma algebraica de las fuentes de corriente (independiente ó controlada) conectadas al nodo en que estamos trabajando respetando el signo de aquellas que estén dirigidas hacia el nodo y cambiándole el signo a aquellas que se estén alejando del nodo.

2.- Del otro lado de la ecuación vamos a distinguir dos clases de términos:

a) El término llamado propio o mutuo que es igual al producto de la tensión asignada al nodo en que estamos trabajando por la suma de las conductancias de los ramales conectados a dicho nodo. Este término lleva signo positivo.

b) Los términos llamados neutros que son iguales al producto de la tensión asignada al otro nodo (adyacente) por la conductancia del ramal que une directamente al nodo en que estamos trabajando y al nodo adyacente. Estos términos llevan el signo negativo.

3.- Cuando entre dos nodos activos (ninguno de los dos es tierra) se encuentra una fuente de voltaje (independiente ó controlada), se forma lo que se conoce con el nombre de súper nodo que para este caso específico se necesitan dos ecuaciones para resolverlo.

a) Ecuación del súper nodo

b) Ecuación Auxiliar

Se obtiene haciendo cero a la fuente de voltaje es decir cortocircuitándola y luego se procede a seguir lo que está escrito en los literales 1, 2 de este procedimiento.

2V

3V

4V

5V

V10 XV33210 VV

)_var__(

3 54

métododeliableslasdefV

VVV

X

X

2V

3V

V10

4V

5V

XV3

Por cada par de nodos activos vamos a tener siempre dos términos propios (es decir con signo positivo).

4.- Para el literal anterior cuando uno de los nodos es tierra sólo va a existir la ecuación del súper nodo.

2V 5V

V10 VV 102 XV3 53 VVX

VX=f(variables del método)

Ejemplo # 1:

Nodo 1:)()( 22211 GVGGVIa

Término propio

Término Neutro

)()( 22211 GVGGVI a

Nodo 2:

)()(

)()(0

32221

21322

GGVGVI

GVGGVI

b

b

Del Ejemplo # 2:

Nodo 1:

21

212

20

210

12180

618)3(2

3:

)6()126(2

VV

VVV

VIpero

kVkkVI

Nodo 2:

)9()6(2

)6()36(2

21

12

VV

VV

Ejemplo # 3.

1 3

1

2

11

A20

A30

4

13

1

a) Exprese la respuesta en forma matricial

b) La potencia entregada o consumida por las fuentes independientes

a) Matriz Conductancia

Ejemplo # 3.

1 3

1

2

11

A20

A30

4

13

1

1 3

21

A20

A30

43

1N1V

2N 2V

4N4V

3N 3V

31

31

420

)1()31(20

VV

VV

Nodo 1

Nodo 2

42

42

3420

)3()13(20

VV

VV

Nodo 3

13

13

330

)1()12(30

VV

VV

Nodo 4

24

24

3730

)3()43(30

VV

VV

30

30

20

20

7030

0301

3040

0104

4

3

2

1

V

V

V

V

Matriz Conductancia

Al resolver la matriz anterior nos queda:

VV

VV

631.2

727.2

2

1

VV

VV

157.3

090.9

4

3

Suministra

b) Potencia en las fuentes independientes.

WP

P

A

A

16.107

)20(358.5

20

20

VV

VVV

VVV

f

f

f

247.12

)157.3(090.9

2

2

432

WP

P

A

A

41.367

)30(247.12

30

30

VV

V

VVV

f

f

f

358.5

)727.2(631.2

1

1

121

Suministra

Suministra

Ejemplo # 4.

V6

k2 k2

V12k2

k1 k1

V12

0I

Determinar I0=?

V6

k2k2

V12k2

k1 k1

V12

0I

1V

2V 3V 4V

SN1

Nodo 1 y Nodo 3 Súper Nodo 1

3112 VV Ecuación del SN 1

Ecuación Auxiliar

4321

4231

34340

)12()12()211()22(0

VVVV

VVVV

1)

2)

V2

V1

V3

V4

Nodo 2 Súper Nodo 2

VV 62 3)

Nodo 4 Súper Nodo 3

VV 124

12

6

0

12

1000

0010

3434

0101

4

3

2

1

V

V

V

V Al resolver la matriz nos queda:

mAI

I

VI

VI

5.7

75.32

2

)0(2

0

0

30

30

V1=8.25 VV2= -6 VV3= -3.75 VV4= 12 V

Ejemplo # 5.

V10

2 2

23V

A63

312V

2

1V

2V

Todos los elementos pasivos están en mhos. CALCULAR

a) V1 , V2

b) Potencia en la fuente de 10V indicando si suministra o consume.

Nota: Respete los nodos marcados.

Vb

Va

Vc

Vd

V10

2 2

23V

A6 3

312V

2

1V

2V

bI

aI

fI

aV

BV

CV

DVSN1

Nodo A

DCBA

BADC

DC

BA

VVVV

VVVV

VVVpero

VVV

22250

2522

_

)2()32(2

1

1

1)

Nodo B y Nodo D 1SN

03

0_

3

2

2

DBA

A

BD

VVV

VVpero

VVV

2)

Ecuación del SN 1

Ecuación Auxiliar

DCBA

CADB

VVVV

VVVV

54426

)22()2()32()22(6

3)

a)

Nodo C 2SN

VVC 10 4)

10

6

0

0

0100

5442

1013

2225

D

C

B

A

V

V

V

V

VV

VV

VV

VV

D

C

B

A

93.7

10

48.2

81.1

VVVVV

VVVVVV

A

DC

81.1081.10

07.293.710

2

1

b)LCK Nodo C:

baf III

DCDCb

BCBCa

VVVVI

VVVVI

22)(2

22)(2

DBCf VVVI 224

)min(8.191

)93.7(2)10(4)48.2(210

)242(10

)10(

10

10

10

10

istrasuWP

P

VVVP

IVP

V

V

DCBV

fV

XV22

4 3

3XI2

4 A25

3 2XI

A30

5

Calcular la potencia asociada a cada una de las fuentes controladas.

XV

EJERCICIO # 18

XV22

4 3

3 XI2

4 A25

3 2XI

A30

5

AV

AI

EV

DV

BV

CV

2I

4I3I

SN1

1fI

2fI

Nodo A

DBA

DBA

VVV

VVV

2375

)2()3()232(3025

1)

Nodo B y Nodo E

Ecuación del SN 1

1SN

XV

022

:

2

EDBA

ADX

EBX

VVVV

VVVpero

VVV

Ecuación Auxiliar

ECBA

CAEB

VVVV

VVVV

77730

)34()3()43()43(0

2)

3)

Nodo C y Tierra 2SN

XC IV 2

LCK Nodo A

302

2)0(2_:

30

30

AX

AAa

aX

Xa

VI

VVIpero

II

II

CA

AC

VV

VV

460

)302(2

4)

Nodo D

DCA

CAD

VVV

VVV

105230

)5()2()532(30

5)

30

60

0

0

5

010502

00104

70773

12012

02037

E

D

C

B

A

V

V

V

V

V

VV

VV

VV

C

B

A

22.22

69.13

44.9

VV

VV

E

D

57.12

10

AI

I

VI

X

X

AX

1211

30)44.9(2

302

VV

VV

VVV

X

X

ADX

56.0

)44.910(

)(2 12 fXVx IVP

LCK Nodo B

211 III f

pero:

AB

CB

VVI

VVI

33

44

2

1

CABf VVVI 4371

)473)((22 CBAADVx VVVVVP

)(2 22 fXIx IIP

LCK Nodo C

2535124

44)55()33(25

24

25

2

2

1432

4312

EDCBf

CBDCECf

f

f

VVVVI

VVVVVVI

IIII

IIII

)2535124)(302(22 EDCBAIx VVVVVP

Análisis de Malla

Utiliza la LVK para determinar las corrientes en el circuito y una vez que se conocen estas, se puede utilizar la ley de Ohm para calcular el voltaje en cualquier elemento pasivo, como también es posible calcular la potencia suministrada o consumida por cualquier elemento del circuito.

Si el circuito tiene n mallas independientes se requerirá n ecuaciones simultáneas independientes para describir el comportamiento del circuito.

Vamos a suponer que los circuitos son planos, es decir, que ningún conductor se cruce con otro conductor.

1V

1R 2V

4R3R

5R2R

2I1I

Malla 1

LVK:

3211

3211 0

RRR

RRR

VVVV

VVVV

Ohm:

32133

212

111

)( RIIIRV

RIV

RIV

R

R

R

)()( 3232111

323121111

RIRRRIV

RIRIRIRIV

1)

Malla 2

LVK:

02354 VVVV RRR

Ohm:

525

424

RIV

RIV

R

R

3154322

323132422

2354

)(

0

RIRRRIV

RIRIRIRIV

VVVV RRR

2)

En forma matricial:

VIR

MatrizResistencia

Vector Columna de las variables del método

Vector Columna de las fuentes de voltaje

2

1

2

1

5433

3321

V

V

I

I

RRRR

RRRR

Si solo existieran fuentes independientes de voltaje existirá simetría con respecto a la diagonal principal en la matriz resistencia.

En forma Directa

Una vez asignadas las corrientes a las mallas se plantean en cada una de las ecuaciones de voltaje de acuerdo a la siguiente regla:

1.- De un lado de la ecuación escribimos la suma algebraica de las fuentes de voltaje conectadas a la malla en que estamos trabajando respetando el signo de la fuente si la corriente de la malla atraviesa de negativo a positivo y cambiándole el signo si la atraviesa de positivo a negativo.

2.- Del otro lado de la ecuación hay dos clases de términos:

a) El término llamado propio es igual al producto de la corriente asignada a la malla que estamos trabajando por la suma de las resistencias conectadas a dicha malla. Este término lleva signo positivo.

b) Los términos mutuos que son iguales al producto de corriente asignada a otra malla adjunta (vecina) y la malla en que estamos trabajando. Este término lleva signo negativo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones opuestas y lleva signo positivo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones iguales.

Del problema anterior:

)()(

)()(

3154322

3232111

RIRRRIV

RIRRRIV

2

1

2

1

5433

3321

V

V

I

I

RRRR

RRRR

Si existiera una fuente de corriente ( independiente ó controlada) en medio de dos mallas se forma lo que se conoce con el nombre de súper malla la cual necesita dos ecuaciones para resolver.

1.- Ecuación de la súper malla

Es igual a la diferencia de corrientes con la que está involucrada la fuente de corriente.

2.- Ecuación Auxiliar

Se forma haciendo cero a la fuente de corriente, es decir poniéndola en circuito abierto y luego se trabaja de acuerdo al procedimiento descrito en la regla anterior.

Todos los elementos pasivos deben estar en ohmios.

Ejemplo # 6:

1I 2I1R

3R 4R

2R 6R

A30

5R

2V

Ecuación de súper malla

1230 II

Ecuación Auxiliar

)()( 654232112 RRRIRRRIV

A3

2R 1R 1V

4R 5R

Ejemplo # 7:

1I 2I

Cuando está la fuente en la periferia sólo se hace la ecuación de la súper malla

Ecuación de súper malla AI 31

V1= -I1(R4) + I2 (R1+R4+R5)MALLA 2

12

1

5414

003

VI

I

RRRR

Ejm:

V160

2 5

32

4

A20

V100

Malla 1

321

321

249100

)2()4()234(100

III

III

1)

Malla 2 y Malla 3

2320 II

Súper Malla 1

Ecuación de SM1

Ecuación Auxiliar

321

132

766160

)42()25()42(160

III

III

2)

3)

1I

2I3I

Ejercicio 19:

a) Matriz Resistencia

160

20

100

766

110

249

3

2

1

I

I

I

b) Potencia en los elementos activos OJO REEMPLAZO INCORRECTO

consumeWP

P

P

IP

V

V

V

V

320

320

)2(160

160

160

160

160

2160

WP

P

IVP

V

V

V

800

)8(100

))(100(

100

100

1100

)20(120 AVP fA

LVK:

211

1212

64160

0)(42160

IIV

IIVI

f

f

WP

P

IIP

A

A

A

2800

3200)2(120)8(80

320012080

20

20

2120

SOLUCION Ejercicio 19:

I1= -8,15AI2= -2,22 AI3= 17,78 A

Ejm:

A20

V140

2 4

V80

345

XI2 2

XV2

3

1I 3I

2I 4I 5I

Respetando las corrientes de mallas asignadas.

Determinar:

a) Potencias asociadas con las fuentes controladas.

b) Potencia en la resistencia de 5 ohmios.

Nota: Todos los elementos pasivos están en ohmios.

Ix

+ Vx -

Ejercicio 20:

Malla 1, Malla 3 y Malla 4 SM1

045

44

22:

2

531

1335

35

13

III

IIII

IIVpero

IIV

X

X

1)

Ecuaciones de SM1

02

:

2

431

1

34

III

IIpero

III

X

X

2)

Ecuación Auxiliar

54321

52431

6968560

)42()53()45()24()32(80140

IIIII

IIIII

3)

Malla 2 SM2

AI 202 4)

Malla 5

543 9420 III 5)

0

20

60

0

0

94200

00010

69685

01102

40501

5

4

3

2

1

I

I

I

I

I

SOLUCION Ejercicio 20

)2(12 XfVx VVP

LVK:

211

2111

35140

0332140

IIV

IIVI

f

f

WIIIIP Vx )44)(35140( 35212 R//

)2(22 XfIx IVP

LVK:

5422

54422

54242

495

4455

0)(4)(5

IIIV

IIIIV

IIVII

f

f

f

WIIIIP Ix )2)(495( 15422 R//

)5()( 2422

22

IIP

RIP

R//