ANALITIČKO OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE

SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET

ANALITIČKO OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE GLOBALNOM INTERPOLACIJOM RADIJALNIM

OSNOVNIM FUNKCIJAMA

DOKTORSKA DISERTACIJA

mr. sc. DARIO BAN

Rijeka, 2012.

SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET

ANALITIČKO OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE GLOBALNOM INTERPOLACIJOM RADIJALNIM

OSNOVNIM FUNKCIJAMA

DOKTORSKA DISERTACIJA

mr. sc. DARIO BAN

Mentor: Red. prof. dr. sc. Bruno Čalić,

Rijeka, 2012.

mr. sc. Dario Ban: ANALITIČKO OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE GLOBALNOM INTERPOLACIJOM

RADIJALNIM OSNOVNIM FUNKCIJAMA, Doktorska disertacija

i

ZAHVALA

Ova disertacija se temelji na višestoljetnom radu brojnih znastvenika koji su razvili znanost do današnjih razina.

Zahvaljujem im na njihovom trudu i želji za znanjem i napretkom koje su podijelili sa cijelim svijetom.

Među njima, posebno se zahvaljujem kolegama koje sam naveo u literaturi disertacije; bez njih ovaj rad ne bi bio

moguć.

Posebno se zahvaljujem profesoru Čaliću radi prihvaćanja mentorstva mog rada, i na angažmanu u za njega

teškim životnim trenucima.

Nadalje, zahvaljujem se Tehničkom fakultetu Sveučilišta u Rijeci na prihvaćanju moje disertacije.

Zahvaljujem se i profesoru Markovini na pomoći u ostvarenju iste.

Također, zahvaljujem se mojoj matičnoj kući Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, te profesoru

Pavazzi na potpori u izradi disertacije.

Posebno se zahvaljujem Boli, Frani i Sikori na druženju, komentarima i pomoći, te Janiju, bez čijih savjeta i

posjeta „Apetitu“ ne bi bilo ovog rada.

Konačno, posebno se zahvaljujem mojoj obitelji, supruzi Adi, kćerki Kajsi Ivi i sinčiću Sebastianu na njihovoj

ljubavi, podršci i razumijevanju.



ii

SAŽETAK Analitičko opisivanje brodske geometrije globalnom interpolacijom bezmrežnom, analitičkom, eksplicitnom

metodom opisivanja po dijelovima, pomoću radijalnih osnovnih funkcija (RBF), je tema ove disertacije. U svrhu

omogućavanja analitičkog opisa predložena su nova rješenja opisivanja lomova brodske forme i problema

oscilacija ruba, korištenjem analitičke geometrijske transformacije elastičnim pomakom, te kompozicijom

polinomskih RBF s cjelobrojnim eksponentima i L1 normom, s gustim opisom oko diskontinuiteta. Kubno-

linearne polinomske RBF (PRBF) pritom omogućuju vrlo precizan dvodimenzijski opis brodske geometrije, uz

direktno rješenje presjeka broda s valnom okolinom, kao i rješenje osnovnih integrala brodske hidrostatike.

Na temelju RBF rješenja brodske proračunske geometrije i multivarijantnih svojstava RBF, opis hidrostatskih

svojstava broda krivuljama izokarena pantoklina je zatim proširen na opisivanje n-parametarskim pantokarenama

pantoklinama odabranih nagiba i hidrostatskih značajki broda. Presjecanjem tako dobivenog ukupnog prostora

hidrostatskih svojstava broda skleronomskim ograničenjima gibanja broda, omogućena je izrada hiperplohe

hidrostatskih svojstava određenog stanja opterećenja broda, te određivanje plovne vodne linije broda kojom je

položaj broda potpuno određen, što je glavni cilj proračuna brodske hidrostatike.



iii

SUMMARY Analytical ship geometry description by meshless, analytic, explicit, piecewise method, using global RBF

interpolation, is the subject of this thesis. In order to enable analytical description, new solutions of ship's form

discontinuities and boundary oscillations are suggested, based on analytical geometrical transformation using

elastic shift, and the composition of polynomial RBFs with integer exponents and L1 norm, with dense

discontinuity description. The cubic-linear polynomial RBFs (PRBFs) ensure very precise 2D ship geometry

description in it, with direct solution of the intersection between ship and wave surrounding, as well as the

solution of basic integrals of ship hydrostatics.

On the basis of the RBFs ship computational geometry solutions and their multivariant properties, the

description of ship hydrostatics based on the curves of isocarenas pantoclinas is expanded on n-parametric

pantocarenas pantoclinas of chosen inclinations and ship hydrostatic properties. The intersection of thus obtained

total space of ship's hydrostatic properties, with scleronomic constraints of ship motion, enables the building of

hydrostatic properties hyperplane for certain ship load case, together with ship's actual waterline determination

by which the ship position is fully determined, as the main goal of ship hydrostatic calculations.



iv

PREDGOVOR Opisivanje trupa broda i njegovih unutarnjih prostora, te određivanje njihovih hidrostatskih i hidrodinamskih

svojstava u proračunskoj geometriji predstavlja osnovni zadatak proračuna teorije broda, kojima se omogućuju

daljnji proračuni u brodogradnji. U tu svrhu je potrebno izvršiti mnogobrojne istovjetne proračune geometrijskih

presjeka ravnina vodnih linija s unutarnjom i vanjskom brodskom geometrijom, te proračune integracije

osnovnih brodograđevnih integrala u hidrostatici. Razvojem numeričke matematike postavljaju se rješenja gore

navedenih hidrostatskih proračuna, koja omogućuje njihovo izvođenje u praksi. Oni se uglavnom temelje na

mrežnim metodama opisa, te iteracijskim metodama proračuna, pa je za njihovo omogućavanje bilo potrebno

razviti dovoljno jaka računala koja mogu izvršiti tražene proračune, što je i ostvareno u drugoj polovini 20.

stoljeća. Tada se razvoj proračunske geometrije usmjerava k lokalnim metodama opisivanja, te razvoju

manifolda kao osnovnih analitičkih elemenata opisa.

Međutim, mrežne metode imaju ograničenja u minimalnoj udaljenosti između točaka opisa, tj. veličini

elemenata, te u mogućnosti postizanja konvergencije iteracijskih proračuna. Kod proračuna presjeka javlja se

problem proračuna za veće kuteve nagiba broda, odnosno velike promjene stanja krcanja, kakve se javljaju kod

naplave broda ili kod prevrtanja broda, radi problema proračuna presjeka dvaju približno paralelnih pravaca i

ravnina, odnosno postizanja konvergencije iteracijskih proračuna. Iz tih razloga, takvi proračuni često nisu

mogući korištenjem numeričkih metoda, što je uočeno u praksi kod izrade proračuna stabiliteta oštećenog broda

za razne tipove brodova, korištenjem raznih računalnih brodograđevnih programa. Dugogodišnjim radom na

izradi računalnog programa za proračun stanja krcanja broda, te iskustvom sa oko 60-ak ugrađenih instalacija

programa Saloma/Salona na raznim tipovima brodova u hrvatskim brodogradilištima, autor je imao priliku uočiti

gore navedene numeričke probleme i nedostatke koji se javljaju kod proračuna stabiliteta neoštećenog i

oštećenog broda u teoretskom, pripremnom proračunu, te u praktičnoj primjeni ugrađenih programa na

brodovima.

Nadalje, numerička ograničenja geometrijskog modeliranja koja su prilagođena simulacijskom prikazivanju na

računalu, te ograničenja analitičkih metoda opisa geometrije kojima se ne mogu opisivati diskontinuiteti, ne

omogućuju dovoljno precizan opis promatrane geometrije. Numeričke metode opisivanja koje se temelje na B-

splineu i NURB-splineovima su temeljno aproksimacijske, ne omogućuju točan funkcijski opis već postojeće

geometrije, te ne omogućuju direktan proračun svojstava iz postavljenog NURB modela. Glavni razlog njihovog

nastanka su bile potrebe projektiranja u automobilskoj industriji 60.-ih godina, te su u njihove temelje ugrađena

računalna ograničenja tog doba. Te metode su danas dosegle vrhunac svog razvoja, ali se nisu uspjeli rješiti

njihovi osnovni proračunski nedostaci.

Usporedo s razvojem numeričkih, mrežnih metoda proračuna, krajem 19. stoljeća započinje razvoj bezmrežnih

metoda proračuna, čija primjena nije bila moguća bez upotrebe računala, radi velikog broja proračunskih

operacija koje je potrebno izvesti u postavljaju bezmrežnog modela promatranog objekta, te inverziji

interpolacijske/aproksimacijske matrice koju je potrebno izvesti. Računala 21. stoljeća, procesorskom snagom

omogućuju ove proračune, te dolazi do brzog razvoja bezmrežnih proračunskih metoda. 30.-ih godina prošlog



v

stoljeća Bochner postavlja matematske temelje rješenja interpolacije raštrkanih podataka, te definira radijalne

osnovne funkcije s udaljenošću između točaka kao argumentom kao njihov temelj. Iako je prva primjena

bezmrežnih metoda bila u geodeziji, današnji razvoj bezmrežnih metoda je uglavnom usmjeren k proračunu

čvrstoće objekata, te kinematici fluida u hidrodinamici (SPH – Smoothed Particles Hydrodynamics method).

Primjena bezmrežnih metoda u opisu geometrije složenih objekata nije prepoznata, radi vremenski zahtjevnog

proračuna inverzije interpolacijske matrice koji je onemogućavao interakcijsko modeliranje na računalu.

Međutim, najnovijim razvojem PC računala s dvostrukom jezgrom taj proračun je reduciran na vremena ispod

10-1 (s) i kod matrica veličine 1000x1000, pa primjena RBF metoda u geometrijskom modeliranju postaje

moguća. Za omogućavanje točnog opisa potrebno je omogućiti analitički opis geometrije, što u konačnici znači

da je potrebno naći način analitičkog opisa diskontinuiteta, tj. analitički rješiti Gibbsov fenomen oscilacije opisa

oko loma oblika. Također, potrebno je rješiti i oscilacije opisa blizu rubova promatrane geometrije, tj. Rungeov

fenomen, što je najčešće problem globalnih metoda opisa. Nadalje, potrebno je koristiti metode interpolacije radi

velike točnosti opisa, kojom se dalje omogućuje integracija funkcijskog opisa promatranog objeka, što nije

moguće aproksimacijskim metodama opisa niske točnosti. Konačno, opis treba biti globalan, a ne lokalan, da bi

se omogućio opis bez 2 manifolda, tj. opis loma jednom složenom funkcijom. Svi ovi zadaci koje je potrebno

rješiti, te sazrijevanje 3D spline metoda opisivanja geometrije, razlozi su što još nije došlo do razvoja analitičkih

metoda opisivanja temeljenih na bezmrežnim metodama. Međutim, bez analitičkog rješenja opisa geometrije,

nije moguće direktno i jedinstvenim modelom rješiti probleme proračunske geometrije: presjek površine vode s

geometrijom broda, proračun integracije hidrostatskih svojstava za cijeli raspon stanja u kojima se brod može

naći.

Moguće rješenje gore navednih problema proračunske geometrije se može očekivati u opisu brodske geometrije

interpolacijom radijalnim osnovnim funkcijama, s obzirom na njihovu osnovnu primjenu u geodeziji. Opis

radijalnim osnovnim funkcijama je gladak, velike preciznosti i odabranog C kontinuiteta, s obzirom na veći broj

osnovnih funkcija koje se koriste za opisivanje, pa ih to čini prikladnim za opis brodske geometrije. Složenost

njihove formulacije ih, međutim, čini neprikladnim za integriranje i određivanje presjeka s površinom tekućine,

tj. upotrebu u masovnim proračunima kakvi se vrše u brodogradnji, pa je potrebno naći proračunski prikladan

opis koji će omogućiti brz i efikasan proračun. Također, potrebno je rješiti problem opisivanja diskontinuiteta,

što će se u ovoj disertaciji učiniti istraživanjem novih i modificiranih tipova radijalnih osnovnih funkcija, te

primjenom metoda analitičkih geometrijskih transformacija. Pronalaženjem prikladnog oblika opisa radijalnim

osnovnim funkcijama bi se omogućio direktni proračun presjeka geometrije broda i površine tekućine, te direktni

proračun 5 osnovnih integrala u brodogradnji, kojima bi se omogućio proračun hidrostatskih svojstava broda za

željeni broj stupnjeva slobode gibanja već u pretprocesnoj fazi proračuna, za razliku od današnjeg proračuna za

nulti kut bočnog nagiba.

Konačno, multivarijantna svojstva opisa radijalnim osnovnim funkcijama bi omogućila izradu i opis

višedimenzijskog prostora hidrostatskih svojstava broda, te direktan proračun stabiliteta broda uvrštavanjem

parametara stanja u dobiveni pantokarenu pantoklinu. Na taj način bi se unaprijedio proračun hidrostatskih



vi

svojstava broda za velike kuteve nagiba sa današnjeg proračuna pantokarenama izoklinama na proračun cijelog

raspona stanja položaja za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja u kojima se brod može naći već u

preliminarnoj fazi proračuna. Time bi se omogućili točniji proračuni ostalih svojstava broda, s obzirom na

povećanu polaznu točnost hidrostatskih svojstava broda kao osnovnih svojstava broda potrebnih za ostale

proračune.



vii

SADRŽAJ

1. UVOD .................................................................................................................1

1.1. RAZVOJ OPISIVANJA GEOMETRIJE .................................................................................. 1

1.2. OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE ............................................................................... 2 1.2.1. Razvoj opisivanja brodske geometrije............................................................................................ 2 1.2.2. Općenito o brodskoj geometriji ...................................................................................................... 2 1.2.3. Metode opisivanja brodske geometrije........................................................................................... 3

1.2.3.1. Žičani model (eng. Wire Frame Modeling).................................................................................... 3 1.2.3.2. B-rep mrežni prikaz. Booleova geometrijska algebra .................................................................... 5 1.2.3.3. Opisi različiti od opisa s 2 manifolda ............................................................................................. 5

1.2.4. Moderno geometrijsko opisivanje brodske forme .......................................................................... 6 1.2.4.1. Prednosti......................................................................................................................................... 6 1.2.4.2. Nedostaci geometrijskog modeliranja ............................................................................................ 6 1.2.4.3. Proračunski nedostaci..................................................................................................................... 6

1.3. PRORAČUNSKA GEOMETRIJA............................................................................................. 7 1.3.1. Osnovni ciljevi opće proračunske geometrije................................................................................. 7 1.3.2. Brodska proračunska geometrija .................................................................................................... 8

1.3.2.1. Opći ciljevi ..................................................................................................................................... 8 1.3.2.2. Analitičko opisivanje brodskog trupa s diskontinuitetima, otvorima i privjescima........................ 9 1.3.2.3. Proračun svojstava stabiliteta broda ............................................................................................. 10

1.3.3. Problem proračuna plovne VL ..................................................................................................... 14 1.3.3.1. Iteracijski proračun VL................................................................................................................. 16 1.3.3.2. Analitički proračun VL................................................................................................................. 18 1.3.3.3. Proračun hidrostatskih svojstava broda ........................................................................................ 18 1.3.3.4. Utjecaj momenta slobodne površine za veće kuteve nagiba na stabilitet ..................................... 19

1.4. HIPOTEZA I CILJEVI DISERTACIJE.................................................................................. 21 1.4.1. Hipoteza disertacije ...................................................................................................................... 21 1.4.2. Matematska formulacija hipoteze................................................................................................. 22 1.4.3. Ciljevi istraživanja........................................................................................................................ 23

2. GLOBALNO ANALITIČKO OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE .............25

2.1. ANALITIČKO OPISIVANJE GEOMETRIJE....................................................................... 25



viii

2.1.1. Analitičke funkcije ....................................................................................................................... 25 2.1.1.1. Eksplicitni oblik zadavanja funkcije............................................................................................. 25 2.1.1.2. Hilbertov (Euklidski) prostor ....................................................................................................... 26

2.1.2. Uvjeti za postojanje analitičkih funkcija ...................................................................................... 26 2.1.2.1. Bijekcija ....................................................................................................................................... 26 2.1.2.2. Razvoj u Taylorov red .................................................................................................................. 26 2.1.2.3. Kontinuiranost .............................................................................................................................. 27 2.1.2.4. Raspon.......................................................................................................................................... 27

2.1.3. Globalno analitičko opisivanje geometrije ................................................................................... 27 2.1.3.1. Ograničenja analitičkog opisivanja geometrije ............................................................................ 27 2.1.3.2. Nebijektivnost .............................................................................................................................. 28 2.1.3.3. Rungeov fenomen – oscilacije ruba.............................................................................................. 28 2.1.3.4. Gibbsov fenomen – oscilacije opisa blizu diskontinuteta............................................................. 29 2.1.3.5. Poopćavanje ................................................................................................................................. 30

2.1.4. Proračunski uvjeti analitičkog, funkcijskog opisivanja brodske forme ........................................ 31 2.1.5. Algebarska geometrija.................................................................................................................. 31

2.1.5.1. Analitičke geometrijske metode transformacija ........................................................................... 31 2.1.6. Diferencijalna geometrija ............................................................................................................. 32 2.1.7. Energija opisa ............................................................................................................................... 32

2.1.7.1. Energija krivulja ........................................................................................................................... 32 2.1.7.2. Energija ploha............................................................................................................................... 32 2.1.7.3. Zakrivljenost................................................................................................................................. 33

2.2. ANALITIČKE METODE OPISIVANJA GEOMETRIJE .................................................... 33 2.2.1. Općenito ....................................................................................................................................... 33

2.2.1.1. Interpolacija.................................................................................................................................. 33 2.2.1.2. Aproksimacija .............................................................................................................................. 33

2.2.2. Potrebni podaci............................................................................................................................. 34 2.2.3. Raspored točaka opisa brodske forme .......................................................................................... 34

2.2.3.1. Općenito ....................................................................................................................................... 34 2.2.3.2. Standardni raspored točaka u brodogradnji .................................................................................. 35 2.2.3.3. Jednoliki razmak točaka ............................................................................................................... 36 2.2.3.4. Procjena broja točaka kod opisivanja brodske forme ................................................................... 36 2.2.3.5. Čebiševljeve točke........................................................................................................................ 37 2.2.3.6. Haltonove točke............................................................................................................................ 37

2.2.4. Podjela prema organizaciji podataka............................................................................................ 38 2.2.5. Metode analitičkog opisivanja...................................................................................................... 38

2.3. METODE INTERPOLACIJE .................................................................................................. 38



ix

2.3.1. Opisivanje osnovnim funkcijama ................................................................................................. 38 2.3.1.1. Opisivanje polinomima ................................................................................................................ 38 2.3.1.2. Mairhuber-Curtis-ov teorem......................................................................................................... 38

2.3.2. Lagrangeova interpolacija ............................................................................................................ 39 2.3.2.1. Haarov prostor.............................................................................................................................. 39 2.3.2.2. Hermitteova interpolacija ............................................................................................................. 40 2.3.2.3. Intepolacija kubičnim splineom ................................................................................................... 41 2.3.2.4. B-spline ........................................................................................................................................ 42

2.3.3. Problem opisivanja raštrkanim podacima..................................................................................... 43 2.3.3.1. Interpolacija raštrkanih podataka.................................................................................................. 43 2.3.3.2. RBF funkcije ................................................................................................................................ 44 2.3.3.3. Opisivanje RBF interpolacijom.................................................................................................... 44 2.3.3.4. RBF aproksimacija ....................................................................................................................... 45

2.4. KONVERGENCIJA, TOČNOST I STABILNOST METODA INTERPOLACIJE............ 45 2.4.1. Općenito ....................................................................................................................................... 45 2.4.2. Točnost opisivanja........................................................................................................................ 46

2.4.2.1. Općenito ....................................................................................................................................... 46 2.4.2.2. Definicije pogreške opisivanja ..................................................................................................... 46 2.4.2.3. Točnost opisa................................................................................................................................ 47 2.4.2.4. Točnost poopćavanja.................................................................................................................... 47

2.4.3. Konvergencija .............................................................................................................................. 48 2.4.3.1. Konvergencija Lagrangeove interpolacije.................................................................................... 48

2.4.4. Poboljšanje točnosti Lagrangeove interpolacije ........................................................................... 51 2.4.4.1. Povećanjem broja točaka unutar promatranog raspona ................................................................ 51 2.4.4.2. Povećanjem broja točaka izvan promatranog raspona.................................................................. 52 2.4.4.3. Zaključak o konvergenciji s obzirom na dodavanje točaka opisa................................................. 53

2.4.5. Stabilnost...................................................................................................................................... 54

2.5. POSTUPAK ELASTIČNOG POMAKA (ELP) ...................................................................... 55 2.5.1. Osnovne postavke......................................................................................................................... 55 2.5.2. Matematska definicija postupka ................................................................................................... 56 2.5.3. Konvergencija ELP postupka ....................................................................................................... 58

2.6. RJEŠENJA PROBLEMA ANALITIČKOG OPISIVANJA GEOMETRIJE ELP

POSTUPKOM ............................................................................................................................ 59 2.6.1. Rješenje nebijektivnih opisa......................................................................................................... 59 2.6.2. Rješenje oscilacija ruba - Rungeovog fenomena.......................................................................... 60 2.6.3. Rješenje problema opisivanja diskontinuiteta - Gibbsovog fenomena......................................... 60



x

2.7. ZAHTJEVI BRODSKE PRORAČUNSKE GEOMETRIJE.................................................. 62 2.7.1. Nedvosmislen i precizan opis ....................................................................................................... 62 2.7.2. Proračun presjeka ......................................................................................................................... 62 2.7.3. Proračun intrinsičkih svojstava..................................................................................................... 63 2.7.4. Ispunjavanje ciljeva proračunske geometrije standardnih RBF.................................................... 63

3. RADIJALNE OSNOVNE FUNKCIJE ................................................................65

3.1. OPĆENITO................................................................................................................................. 65 3.1.1. Problem interpolacije raštrkanih podataka ................................................................................... 65

3.1.1.1. Definicija problema...................................................................................................................... 65 3.1.1.2. Rješenje problema baznim funkcijama......................................................................................... 66 3.1.1.3. Reprodukcijske jezgre Hilbertovih prostora................................................................................. 66

3.1.2. Invertibilnost interpolacijske matrice. Dobro-postavljen interpolacijski problem ....................... 67 3.1.3. Radijalne (osnovne) funkcije........................................................................................................ 68 3.1.4. Definicija RBF mreža................................................................................................................... 68 3.1.5. Rješenje problema interpolacije raštrkanih podataka ................................................................... 70 3.1.6. Pozitivno definitne funkcije ......................................................................................................... 71

3.1.6.1. Definicija pozitivno definitnih funkcija ....................................................................................... 71 3.1.6.2. Kriteriji prihvatljivosti osnovnih funkcija za rješavanje problema interpolacije raštrkanih

podataka ....................................................................................................................................... 72 3.1.6.3. Bochnerov teorem o pozitivno definitnim funkcijama ................................................................. 72 3.1.6.4. Striktno pozitivno definitne funkcije............................................................................................ 72 3.1.6.5. Potpuno monotone funkcije.......................................................................................................... 73 3.1.6.6. Višestruko monotone funkcije...................................................................................................... 73

3.2. STABILNOST I UVJETOVANOST RBF INTERPOLACIJE.............................................. 73 3.2.1. Uvjetni broj .................................................................................................................................. 73 3.2.2. Minimalna udaljenost između točaka ........................................................................................... 74

3.2.2.1. Granice odabranih RBF s L2 normom .......................................................................................... 75

3.3. TIPOVI RBF I NJIHOVA SVOJSTVA ................................................................................... 75 3.3.1. Podjela RBF s obzirom na normu................................................................................................. 75 3.3.2. Svojstva RBF mreža ..................................................................................................................... 76 3.3.3. Intrinsička svojstva RBF .............................................................................................................. 76 3.3.4. Striktno pozitivno definitne radijalne osnovne funkcije............................................................... 76

3.3.4.1. Definicija...................................................................................................................................... 76 3.3.4.2. Primjeri funkcija........................................................................................................................... 76

3.3.5. Uvjetno pozitivno definitne radijalne funkcije ............................................................................. 79



xi

3.3.5.1. Definicija radijalnih funkcija........................................................................................................ 79 3.3.5.2. Primjeri funkcija........................................................................................................................... 80 3.3.5.3. Neka svojstva uvjetno pozitivno definitnih funkcija .................................................................... 81

3.3.6. RBF s kompaktnom podrškom..................................................................................................... 81 3.3.7. Polinomska preciznost.................................................................................................................. 84 3.3.8. Minimalan stupanj polinoma funkcija .......................................................................................... 84 3.3.9. Analogija RBF s kubičnim splineom............................................................................................ 85 3.3.10. Hermiteova RBF interpolacija...................................................................................................... 87

3.4. OVISNOST SVOJSTAVA RBF O PARAMETRIMA c I β ................................................... 88 3.4.1. Općenito ....................................................................................................................................... 88 3.4.2. Prošireni oblik definicije RBF...................................................................................................... 89 3.4.3. Norma L2 ...................................................................................................................................... 89

3.4.3.1. Parametar oblika c ........................................................................................................................ 89 3.4.3.2. Glavni eksponent funkcije β......................................................................................................... 91

3.4.4. Norma L1 ...................................................................................................................................... 92 3.4.4.1. Općenito ....................................................................................................................................... 92 3.4.4.2. Parametar oblika c ........................................................................................................................ 93 3.4.4.3. Pomoćni eksponent funkcije γ ...................................................................................................... 94

3.5. RBF PRORAČUNSKE GEOMETRIJE I NJIHOVA SVOJSTVA....................................... 95 3.5.1. Problem interpolacije raštrkanih podataka za p – norme. Uvjetno pozitivno definitne funkcije

i p – norme................................................................................................................................... 95 3.5.1.1. Problem singularnosti inverzne matrice ....................................................................................... 95 3.5.1.2. Haltonove točke............................................................................................................................ 95

3.5.2. Problem cjelobrojnih vrijednosti glavnih eksponenata................................................................. 95 3.5.3. PRBF ............................................................................................................................................ 96

3.5.3.1. Ograničenje na 2D primjene......................................................................................................... 96 3.5.3.2. Glavni eksponent funkcije............................................................................................................ 96 3.5.3.3. Parametar oblika c ........................................................................................................................ 97

3.6. PROBLEM OPISA DISKONTINUITETA.............................................................................. 98

3.7. VIŠEDIMENZIONALNOST RBF ........................................................................................... 98

4. SVOJSTVA RBF U PRORAČUNSKOJ GEOMETRIJI.....................................99

4.1. OPĆENITO................................................................................................................................. 99

4.2. INTEGRACIJA RBF IZRAZA................................................................................................. 99



xii

4.2.1. Standardne RBF ......................................................................................................................... 100 4.2.1.1. 3D MQRBF................................................................................................................................ 100 4.2.1.2. 3D Gaussova RBF...................................................................................................................... 101 4.2.1.3. Tankostijeni spline ..................................................................................................................... 101 4.2.1.4. Funkcije s kompaktnom podrškom............................................................................................. 102 4.2.1.5. Integracija multivarijantnih standardnih RBF ............................................................................ 102

4.2.2. Izvodi standardnih RBF u Taylorov red ..................................................................................... 102 4.2.2.1. 3D MQRBF................................................................................................................................ 102 4.2.2.2. 3D Gaussove RBF...................................................................................................................... 103 4.2.2.3. Tankostijeni spline i RBF s kompaktnom podrškom.................................................................. 104 4.2.2.4. Razvoj u red multivarijantnih standardnih RBF......................................................................... 104

4.2.3. PRBF .......................................................................................................................................... 104

4.3. PRORAČUN PRESJEKA BRODSKE GEOMETRIJE S VODNOM LINIJOM.............. 104

4.4. PRECIZNOST OPISA BRODSKE GEOMETRIJE............................................................. 105 4.4.1. Točnost opisa.............................................................................................................................. 105 4.4.2. Opisivanje diskontinuiteta .......................................................................................................... 105 4.4.3. RBF opis osnovnih geometrijskih sastavnica brodskih formi .................................................... 105 4.4.4. Opisivanje pravca ....................................................................................................................... 107

4.4.4.1. Opisivanje pravca funkcijom radijalnih potencija ...................................................................... 107 4.4.4.2. Opisivanje pravca ostalim RB funkcijama ................................................................................. 108

4.4.5. Opisivanje čunjosječnica ............................................................................................................ 109 4.4.5.1. Općenito ..................................................................................................................................... 109 4.4.5.2. Rotacija ulaznog skupa podataka ............................................................................................... 109

4.4.6. Intrinsičko svojstvo opisivanja čunjosječnica RB funkcija s parnim cjelobrojnim

eksponentima.............................................................................................................................. 110 4.4.6.1. Funkcije radijalnih potencija ...................................................................................................... 110 4.4.6.2. Multikvadratne funkcije ............................................................................................................. 112

4.4.7. Opisivanje čunjosječnica s RBF s neparnim cjelobrojnim eksponentima .................................. 114 4.4.7.1. FRP i PRBF................................................................................................................................ 114 4.4.7.2. MQ ............................................................................................................................................. 115 4.4.7.3. Zaključak.................................................................................................................................... 115

5. RJEŠENJE GLOBALNOG ANALITIČKOG OPISA BRODSKE FORME . S DISKONTINUITETIMA......................................................................117

5.1. OPISIVANJE DISKONTINUITETA..................................................................................... 117 5.1.1. Gibbsov fenomen ....................................................................................................................... 118



xiii

5.1.2. Rungeov fenomen....................................................................................................................... 118 5.1.3. Brodske forme ............................................................................................................................ 119

5.2. MATEMATSKI OPIS DISKONTINUITETA....................................................................... 121 5.2.1. Općenito ..................................................................................................................................... 121 5.2.2. Opis RB funkcijama ................................................................................................................... 123 5.2.3. Opis brodskih formi.................................................................................................................... 124 5.2.4. Provjera rezultata opisa RB funkcijama, ELP postupkom ......................................................... 126

5.2.4.1. Opis testnog rebra s prelukom, ELP postupkom ........................................................................ 126 5.2.4.2. Opis testnog rebra s prelukom i lomom ELP postupkom........................................................... 129 5.2.4.3. Zaključak primjene ELP postupka kod opisa diskontinuiteta RB funkcijama ........................... 133

5.3. KOMPOZICIJA RB FUNKCIJA........................................................................................... 133 5.3.1. Općenito ..................................................................................................................................... 133 5.3.2. Kompozicija RB funkcija ........................................................................................................... 134

5.3.2.1. Postavke ..................................................................................................................................... 134 5.3.2.2. Usklađenost funkcija .................................................................................................................. 136 5.3.2.3. Prirodni opis ravnih dijelova krivulje ......................................................................................... 137

5.3.3. Točnost opisa oko dodanih točaka loma..................................................................................... 140

5.4. PROBLEM OSCILACIJA KRIVULJE OPISA RB FUNKCIJAMA BLIZU NAGIBA

TANGENTE OD 90°. PROBLEM BIJEKCIJE.................................................................... 142 5.4.1. Općenito ..................................................................................................................................... 142 5.4.2. Opis kompozicijom RB funkcija uz zakretanje presjeka za povoljni kut ................................... 142 5.4.3. Rezultat opisa ploha hidrostatskih svojstava .............................................................................. 144

5.5. PROVJERA ZAKRIVLJENOSTI OPISA............................................................................. 144

5.6. ZAKLJUČAK O GLOBALNOM ANALITIČKOM OPISIVANJU ................................... 145

6. PRORAČUN PRESJEKA BRODSKE GEOMETRIJE S RAVNINSKIM VODNIM LINIJAMA .............................................................................146

6.1. OPIS RAVNINE....................................................................................................................... 146 6.1.1. Jednadžba ravnine ...................................................................................................................... 146 6.1.2. Određivanje koeficijenata ravnine.............................................................................................. 146 6.1.3. Primjena u proračunu presjeka u brodogradnji........................................................................... 147

6.1.3.1. Metoda rebara............................................................................................................................. 148 6.1.3.2. Metoda vodnih linija .................................................................................................................. 148



xiv

6.2. RBF OPISI ................................................................................................................................ 148 6.2.1. Osnovni oblik ............................................................................................................................. 148 6.2.2. Polinomski oblik......................................................................................................................... 149

6.3. DIREKTNA RJEŠENJA PROBLEMA PRESJEKA............................................................ 149 6.3.1. Ograničenje stupnja polinoma.................................................................................................... 149 6.3.2. Postavke problema ..................................................................................................................... 150

6.3.2.1. Presjek rebara ............................................................................................................................. 150 6.3.2.2. Presjek vodnih linija ................................................................................................................... 150

6.3.3. Rješenje kubne jednadžbe .......................................................................................................... 151 6.3.4. Rješenje kvartne jednadžbe ........................................................................................................ 153 6.3.5. Rješenje kvintne i sekstne jednadžbe ......................................................................................... 153

6.4. ZAKLJUČAK O PRORAČUNU PRESJEKA POMOĆU RBF .......................................... 153

7. PRORAČUN HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA BRODSKE FORME ZADANE RBF OPISOM.......................................................................155

7.1. PRORAČUN INTEGRIRANJEM.......................................................................................... 155 7.1.1.1. Osnovnih 5 integrala .................................................................................................................. 156 7.1.1.2. Osnovni RBF oblik..................................................................................................................... 157 7.1.1.3. RBF u polinomskom obliku ....................................................................................................... 157 7.1.1.4. Grupiranje pogreške u točci kod kvazi-interpolacijskih funkcija .............................................. 158 7.1.1.5. RBF aproksimacija ..................................................................................................................... 158

7.2. PRORAČUN POVRŠINE........................................................................................................ 159 7.2.1. Općeniti izraz ............................................................................................................................. 159

7.2.1.1. Direktna integracija RB funkcija................................................................................................ 159 7.2.1.2. Integracija kompatibilne kubno-linearne PRBF ......................................................................... 159 7.2.1.3. Integracija RB funkcija napisanih u polinomskom obliku ......................................................... 160

7.2.2. Proračun kod zakrenutog rebra................................................................................................... 160 7.2.2.1. Integracija pomoću kompatibilne kubno-linearne PRBF ........................................................... 161

7.2.3. Proračun kod pomaka ELP postupkom ...................................................................................... 161 7.2.3.1. Linearna funkcija translacije ...................................................................................................... 162 7.2.3.2. Translacija po kružnici ............................................................................................................... 162

7.3. PRORAČUN STATIČKOG MOMENTA POVRŠINE REBRA U ODNOSU NA OS y ... 163 7.3.1. Opći integral ............................................................................................................................... 163

7.3.1.1. Integral u odnosu na os y kompatibilne kubno-linearne PRBF .................................................. 164 7.3.1.2. Integral u odnosu na os y za RB funkcije napisane u polinomskom obliku ............................... 165



xv

7.3.2. Proračun statičkog momenta površine zakrenutog rebra u odnosu na os y ................................ 165 7.3.3. Proračun kod pomaka ELP postupkom ...................................................................................... 166

7.3.3.1. Linearna funkcija translacije ...................................................................................................... 166 7.3.3.2. Pomak po kružnici...................................................................................................................... 167

7.4. PRORAČUN STATIČKOG MOMENTA POVRŠINE REBRA U ODNOSU NA OS z ... 168 7.4.1. Opći integral ............................................................................................................................... 168

7.4.1.1. Integral momenta u odnosu na os z za kompatibilne kubno-linearne PRBF .............................. 168 7.4.1.2. Integral momenta površine u odnosu na os z za RB funkcije napisane u polinomskom obliku . 169

7.4.2. Direktna integracija pomoću y2 .................................................................................................. 169 7.4.2.1. Interpolacijski problem za y2 ...................................................................................................... 170 7.4.2.2. Rješenje interpolacijskog problema za y2 kod kubno-linearne RBF........................................... 171

7.4.3. Proračun statičkog momenta površine zakrenutog rebra za os z ................................................ 171 7.4.4. Proračun kod translacije ELP postupkom................................................................................... 172

7.4.4.1. Linearna funkcija translacije ...................................................................................................... 173 7.4.4.2. Pomak po kružnici...................................................................................................................... 174 7.4.4.3. Pomak po kružnici za kubno-linearnu PRBF ............................................................................. 175

7.5. PRORAČUN MOMENTA INERCIJE VODNE LINIJE U ODNOSU NA OS x ............... 176 7.5.1. Osnovni integral ......................................................................................................................... 176

7.5.1.1. Integral momenta inercije za os x kubno-linearne PRBF ........................................................... 176 7.5.1.2. Integral momenta za RB funkcije napisane u polinomskom obliku ........................................... 177

7.5.2. Direktna integracija pomoću y3 .................................................................................................. 177 7.5.2.1. Interpolacijski problem za y3...................................................................................................... 178 7.5.2.2. Rješenje interpolacijskog problema za y3 kod kubno-linearne RBF .......................................... 178

7.6. PRORAČUN MOMENTA INERCIJE VODNE LINIJE U ODNOSU NA OS y ............... 179 7.6.1. Osnovni integral ......................................................................................................................... 179

7.6.1.1. Integral momenta inercije VL za os y kompatibilne kubno-linearne PRBF............................... 179 7.6.1.2. Integral momenta za RB funkcije napisane u polinomskom obliku ........................................... 180

7.7. PRIMJER PRORAČUNA ZNAČAJKI POVRŠINE REBRA............................................. 181

7.8. ZAKLJUČAK O RJEŠENJU 5 OSNOVNIH BRODOGRAĐEVNIH INTEGRALA

POMOĆU RBF......................................................................................................................... 182

8. MULTIVARIJANTNI RBF OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA BRODA...183

8.1. PRORAČUN I PRIKAZIVANJE HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA................................ 183 8.1.1. Primjena proračunskih rješenja PRBF opisa .............................................................................. 183



xvi

8.1.2. Postupak proračuna hidrostatskih svojstava pomoću RBF......................................................... 183 8.1.3. Matematske postavke multivarijantnog RBF opisa .................................................................... 184 8.1.4. Točnost višedimenzijskog opisivanja......................................................................................... 185

8.1.4.1. Globalna točnost opisa ............................................................................................................... 185 8.1.4.2. Točnost poopćavanja.................................................................................................................. 185

8.1.5. Prikazivanje rezultata hidrostatskih proračuna pomoću RBF..................................................... 185 8.1.6. Pantokarene pantokline .............................................................................................................. 186

8.2. KONSTRUKCIJA TOČAKA PLOHA HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA REBARA ..... 187 8.2.1. Općenito ..................................................................................................................................... 187 8.2.2. Primjena PRBF u proračunu točaka hidrostatskih svojstava rebra ............................................. 187 8.2.3. Metoda korekcijskih trokuta....................................................................................................... 188 8.2.4. Veza između globalnog i lokalnih koordinatnih sustava za nagibe broda.................................. 190 8.2.5. Redukcija raspona opisa hidrostatskih svojstava trupa broda..................................................... 191

8.3. OPIS PLOHA HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA REBARA .............................................. 191 8.3.1. Pantokarene pantokline rebara ................................................................................................... 191 8.3.2. Proračun hidrostatskih svojstava rebara ..................................................................................... 192 8.3.3. Opis proračunskih problema....................................................................................................... 193

8.3.3.1. Opis ploha hidrostatskih svojstava rebara RBF interpolacijom.................................................. 194 8.3.3.2. Opis ploha hidrostatskih svojstava rebara RBF aproksimacijom ............................................... 194 8.3.3.3. Usporedba preciznosti proračuna interpolacije i aproksimacije ................................................. 194

8.3.4. Primjer RBF opisa ploha hidrostatskih svojstava rebra.............................................................. 195 8.3.5. Rezultat opisa ploha hidrostatskih svojstava .............................................................................. 196 8.3.6. Provjera točnosti proračuna kod opisa pontona.......................................................................... 197 8.3.7. Povećanje točnosti RBF opisa redukcijom raspona opisa .......................................................... 201

8.4. KONSTRUKCIJA TOČAKA I OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA BRODA.......... 202 8.4.1. Općenito ..................................................................................................................................... 202 8.4.2. Proračunska visina VL. Izbor koordinatnog sustava broda ........................................................ 203 8.4.3. Postupak proračuna .................................................................................................................... 203 8.4.4. Primjer proračuna hiperplohe hidrostatskih svojstava................................................................ 204 8.4.5. Zaključak o broju hiperploha opis hidrostatskih svojstava......................................................... 207 8.4.6. RBF opis ukupnih hidrostatskih svojstava broda ....................................................................... 208

8.5. KONSTRUKCIJA TOČAKA ZA OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA UNUTARNJIH

PROSTORA BRODA .............................................................................................................. 208 8.5.1. Općenito ..................................................................................................................................... 208 8.5.2. Relativni koordinatni sustav unutarnjih prostora broda.............................................................. 209 8.5.3. Određivanje hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora s poprečnom simetrijom.................... 209



xvii

8.5.4. Određivanje hidrostatskih svojstava poprečno asimetričnih unutarnjih prostora ....................... 209 8.5.4.1. Određivanje ploha hidrostatskih svojstava prostora ................................................................... 209 8.5.4.2. Postupak proračuna točaka prostora hidrostatskih svojstava...................................................... 211

8.5.5. Primjer rezultata proračuna hidrostatskih svojstava unutarnjeg prostora broda ......................... 211 8.5.6. RBF opis hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora broda ...................................................... 213 8.5.7. Zaključak o opisivanju hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora broda................................. 213

9. ODREĐIVANJE PLOVNE VODNE LINIJE BRODA POMOĆU HIPERPLOHE HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA .................................215

9.1. OPĆENITO............................................................................................................................... 215

9.2. HOLONOMSKO OGRANIČENJE GIBANJA BRODA ..................................................... 215

9.3. PROBLEM PRORAČUNA PLOVNE VL ............................................................................. 216 9.3.1. Općenito ..................................................................................................................................... 216 9.3.2. Određivanje hiperplohe hidrostatskih svojstava broda............................................................... 217 9.3.3. Prikaz hiperplohe hidrostatskih svojstava .................................................................................. 218

9.4. RJEŠENJE PROBLEMA PRORAČUNA PLOVNE VL ..................................................... 220 9.4.1. Podjela varijabli multivarijatnog RBF opisa .............................................................................. 220 9.4.2. Određivanje hidrostatskih svojstava broda u ravnoteži .............................................................. 221 9.4.3. Određivanje hidrostatskih svojstava nagnutog broda ................................................................. 221

9.4.3.1. Krivulja težišta istisnine broda s konstantnim trimom ............................................................... 222 9.4.3.2. Krivulja težišta istisnine broda bez pomaka težine na brodu...................................................... 222

9.5. PRIMJER PRORAČUNA HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA BRODA ............................ 223 9.5.1. Podmornica................................................................................................................................. 223

9.5.1.1. Proračun hidrostatskih svojstava presjeka unutarnjeg trupa....................................................... 224 9.5.1.2. Određivanje ukupnih hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa.................................................. 228 9.5.1.3. Prostor hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa broda............................................................. 233 9.5.1.4. Globalna provjera točnosti proračuna hidrostatskih svojstava ................................................... 235

10. ZAKLJUČAK ..................................................................................................237

LITERATURA .........................................................................................................240

POPIS OZNAKA.....................................................................................................245



xviii

POPIS SLIKA..........................................................................................................252

POPIS TABLICA.....................................................................................................257

DODATAK A. 1): OPĆE TEST FUNKCIJE ............................................................259

DODATAK A. 2): TEST REBRA.............................................................................260

DODATAK A. 3): TEST BRODOVI.........................................................................262

DODATAK B: ELP POSTUPAK.............................................................................263

DODATAK C.1): JEDNADŽBE DERIVACIJA POJEDINIH BAZNIH FUNKCIJA ..268

DODATAK C.2): FOURIEROVE TRANSFORMACIJE RB FUNKCIJA S L2 NORMOM ................................................................................273

DODATAK D: REZULTATI RBF OPISA PRAVCA ................................................274

DODATAK E: PRORAČUN TESTNOG REBRA S PRELUKOM RBF HERMITEOVOM INTERPOLACIJOM ............................................276

DODATAK F: PRORAČUNI TESTNOG REBRA BR. 1 S PRELUKOM, RB . FUNKCIJAMA ................................................................................277

DODATAK G: PRORAČUNI TESTNOG REBRA BR. 2, S PRELUKOM I . LOMOVIMA, RB FUNKCIJAMA.....................................................278

DODATAK H: KONSTRUIRANJE PLOHE HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA REBARA POMOĆU KOREKCIJSKIH TROKUTA .........................279

DODATAK I: RBF OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA CILINDRA U . OBLIKU POLUKRUŽNICE.................................................. ..285



xix

DODATAK J: RBF OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA . TEST REBRA BR. 2 .......................................................................289

DODATAK K: RBF OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA NESIMETRIČNOG . TANKA............................................................................................293

KRATAK ŽIVOTOPIS ............................................................................................ 298



1

1. UVOD

1.1. RAZVOJ OPISIVANJA GEOMETRIJE Od početaka znanosti zapadne civilizacije u antičkoj Grčkoj, opisivanje svijeta je jedan od njenih osnovnih

ciljeva. Opisivanje geometrijskih tijela i oblika, uz razumijevanje i opisivanje prirodnih zakona, glavna je ideja

razvoja matematske misli onog doba. Tako dolazi i do nastanka aksiomatske teorije geometrije i njenih temelja u

opisivanju prostornih tijela i krivulja, kada temelje sadašnje znanosti o geometriji postavlja Euklid u svom

čuvenom djelu „Elementi“, [1]. On tada postavlja osnove na kojima se izgrađuje i današnja geometrija,

postavljanjem aksiomatske teorije o likovima i tijelima, krivuljama i plohama. Temeljna postavka njegove teorije

je nematerijalna, bezdimenzionalna točka, koja još uvijek predstavlja temelj matematike u opisivanju objekata

svijeta. Matematičari tog doba, ograničeni trenutnim napretkom matematske znanosti, pokušavaju složene oblike

svijeta i njihovu interakciju opisati određivanjem osnovnih pravilnih oblika na kojima grade sustav geometrije:

pravca, pravilnih poligona, pravilnih poliedara, ravnine, kugle i piramida. Svrha opisivanja se vidi u opisivanju

geometrije tijela u prirodi i proračuna njihovih svojstava.

Razvojem matematike u 17. stoljeću, započinje novo razdoblje u geometriji otkrićem diferencijalnog računa,

Leibnitza i Newtona. Taj novi alat omogućuje daljnji razvoj ne samo geometrije, već i ostalih znanosti. Euler

nadalje sredinom 17. stoljeća postavlja temelje proračuna hidrostatike i stabiliteta broda u svojoj knjizi „Scientia

Navalis“, [2]. To je i doba nastanka matematičkih metoda aproksimacije i interpolacije, za matematsko

opisivanje geometrijskih tijela i njihove okoline. Razvojem teorije nizova i redova, definiraju se temelji moderne

analitike i višedimenzijskog matematičkog opisivanja, metodama razvoja u redove, matematičara kao što su

Taylor, McLauren, Laurent, i drugi. Kada Fourier uspjeva izgraditi matematičke jednadžbe za opisivanje

objekata i pojava razvojem u trigonometrijski red definira se iduća osnova za opisivanje objekata stvarnog

svijeta i njihove okoline kojom je moguće povezati različite domene kojima opisujemo svijet i vršiti njihove

tranformacije. Krajem 19. i početkom 20. stoljeća razvija se ne-euklidska matematika, te tenzorski račun koji

postaju zamašnjak novih teorija u kozmologiji i fizici u radovima Riemanna, Einsteina i drugih.

Na sličan način prvotnim opisivanjima geometrije, moderne znanosti računalne grafike i numeričke matematike,

potaknute paralelizacijom i potrebama grafičkog računalnog predočavanja i simulacije, definiraju osnovne oblike

krivulje, poligone i poliedre, kojima opisuju i grade složene oblike i pripadne proračune vlastitih i svojstava

objekata unutar okolnog sustava. Numeričke metode opisa su brojne, s raznovrsnim odgovarajućim zahtjevima

za organizacijom ulaznog skupa podataka, dok se analitički prikaz još uvijek smatra neprikladnim radi

nedovoljne preciznosti, računalne zahtjevnosti proračuna, te ograničenja analitičkih opisa. Zbog ograničenja u

analitičkom opisivanju geometrijskih tijela, opisivanje geometrije je tako danas razdvojeno u dvije grane, koje se

nazivaju geometrijsko oblikovanje i proračunska geometrija, gdje se geometrijsko oblikovanje bavi

prikazivanjem i projektiranjem novih objekata, dok se proračunska geometrija bavi proračunskim dijelom tog

zadatka.



2

1.2. OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE

1.2.1. Razvoj opisivanja brodske geometrije Razvoj matematskog opisivanja brodske geometrije započine u 17. stoljeću, kada švedski brodograđevni

projektant F. H. Chapman, [3], započinje sustavno ispitivanje brodskih linija i njihovih odnosa vezano za

brodska svojstva. Rad nekoliko autora nastavlja D. W. Taylor, [4], koji krajem 19. stoljeća pokušava opisivati

brodske krivulje analitički, primjenom algebarskih polinoma, u svrhu direktnog proračuna svojstava broda.

Međutim, radi složene geometrije brodskih formi i ograničenja matematske znanosti u opisivanju geometrije

polinomima koje vrijede i danas, daljnji razvoj opisivanja brodske geometrije se zatim usmjerava k

parametarskom opisivanju, a proračunske metode teorije broda k numeričkim, iteracijskim i mrežnim

procedurama.

Sedamdesetih godina 20. stoljeća, razvojem računala, dolazi do razvoja mrežnih, parametarskih metoda opisa

koje se temelje na splineovima. Tada dolazi do primjene teorije splinea koju je zasnovalo nekoliko autora kao što

su Schoenberg, [5], de Casteljau (Bernsteinov polinom, 1959. u Citroenu), Bezier (Bezierov spline, rane 60.-e u

Renaultu), Birkhoff i de Boor (B-spline, 1965., General Motors), [6], te kasnije NURB splineovi, s najvažnijim

prednostima 3D opisivanja brodske geometrije. Usporedno nastaju proračunske mrežne metode kao što su

Metoda konačnih diferencija – MKD (eng. Finite Differences Method – FDM), Metoda konačnih elemenata –

MKE (eng. Finite Elements Method – FEM), Metode rubnih elemenata – MRE (eng. Boundary Elements

Method – BEM), i tako dalje, koje danas predstavljaju standardne, najčešće korištene metode korištene za

proračune u brodogradnji.

Osim numeričkih metoda, razvijaju se i analitičke metode opisa brodske geometrije koje su prvenstveno

povezane s proračunskim ciljevima, gdje se brodska forma pokušava opisati Fourierovim redovima, te metodama

kompleksnog potencijala [Matošin], [7].

Konačno, krajem 20. stoljeća razvijaju se bezmrežne, analitičke metode opisa koje se temelje na radijalnim

osnovnim funkcijama i koje imaju svojstvo višedimenzijskog opisivanja objekata po segmentima. Na taj način se

stvaraju uvjeti za globalno opisivanje geometrije, te direktne proračune svojstava u teoriji broda, ali uz uvjet

rješavanja problema analitičkog opisivanja geometrije.

1.2.2. Općenito o brodskoj geometriji Brod je prizmatički objekt složene geometrije orubljen ljuskom, s donje strane hidrodinamski oblikovanom

prema zahtjevima plovidbe unutar i na površini tekućeg fluida unutar potencijalnog gravitacijskog polja, a s

gornje strane pokrivene palubom određenom prema zahtjevima čvrstoće. Pritom, hidrodinamski oblikovan

brodski trup ima promjenjivu zakrivljenost, promjene stupnja kontinuiranosti derivacija, diskontinuitete i

nebijektivne dijelove, što otežava njegovo matematsko opisivanje.

Unutrašnjost broda je također složena, te se pregrađuje prema zahtjevima stabiliteta, smještaja posade, te

prijevoza tereta, odnosno osnovne transportne namjene.



3

Sl. 1: Značajni brodski prostori

Iako je pažnja u opisivanju brodske geometrije od početka, radi složenosti, usmjerena prema opisivanju ljuske

brodskog trupa, za potrebe proračuna stabiliteta u teoriji broda, pa tako i druge proračune u brodogradnji,

potrebno je geometrijski opisati i vanjske i unutarnje prostore broda. Dakle, kod vanjskog opisivanja prevladava

promjenjivo zakrivljena ljuska s diskontinuitetima i prekidima, izdancima i privjescima, dok kod unutarnjih

prostora postoji podjela na nestrukturne i strukturne prostore, zavisno da li se naslanjaju na trup broda ili ne. Kod

unutarnjih prostora pritom prevladavaju ravnine, koje se najčešće sijeku pod pravim kutem.

Odabrana metoda opisivanja geometrije mora omogućiti oba opisa, što može biti otežavajući faktor u izboru

prikladne metode geometrijskog opisivanja s obzirom da, radi velike zakrivljenosti brodske forme, odabrane

metode opisivanja imaju veće vrijednosti C kontinuiranosti, odnosno derivabilnosti.

1.2.3. Metode opisivanja brodske geometrije

1.2.3.1. Žičani model (eng. Wire Frame Modeling)

U vremenu prije pojave računala brodski arhitekti su crtali svoje projekte upotrebom olovke, papira i raznih

drugih pomoćnih naprava poput šestara, ravnala, krivuljara, kutomjera, itd. Složene oblike nije bilo moguće

opisati primjenom ovih jednostavnih crtaćih alata, posebno u brodogradnji, zbog velikog broja promjenjivih

zakrivljenja. Osim toga često je bilo potrebno glatko provući krivulju kroz niz zadanih točaka, kao i izraditi

nacrte u prirodnoj veličini koje je bilo nemoguće nacrtati prostoručno.



4

Ovim problemima se doskočilo upotrebom tankih letvica načinjenih od drva ili plastike, koje se pridržavaju

utezima i tako zadržavaju traženi oblik. Krivulja koja se dobiva ovom metodom je glatka, a njena zakrivljenost

se postiže pomicanjem utega u određeni položaj. Metoda opisa letvicama i utezima postaje temelj matematičkih

metoda opisivanja geometrijskih oblika splineom.

Prve metode prikazivanja geometrijskih tijela se temelje na žičanim modelima u kojima se presjecanjem

trodimenzionalnog oblika dobivaju dvodimenzionalne krivulje. Slobodno, trodimenzionalno modeliranje

plohama nije moguće, već se prikazivanje i opisivanje temelji na krivuljama presjeka s odabranim ravninama. U

brodogradnji su to krivulje dobijene presjekom forme trupa s okomitim ravninama x – y i, y – z od kojih prve

predstavljaju vodne linije VL, a druge rebra R.

Sl. 2: Žičani opis brodske forme (preuzeto iz [8])

Dakle, složeni oblici kao brodske forme su se opisivale krivuljama, na pogodnim, horizontalnim presjecima po

visini, nazvanim vodne linije (oznaka VL), te vertikalnim presjecima po duljini nazvanim rebra (oznaka R).

Međutim, samu jednadžbu krivulja presjeka se nije moglo odrediti, te su se u proračunskim smislu određivale

točke presjeka ravnina VL i R, na temelju kojih su vršeni daljnji proračuni. Formalno formulirano, ovaj način

opisivanja u brodogradnji jest točkasti, mrežni model, pogodan za numeričke proračune integracije, ali s

nedostacima vezanim za proračun presjeka brodske forme s vodnim linijama za veće kuteve nagiba broda, te

nemogućnosti geometrijskog modeliranja.

Pritom je razmak između presjeka određen zahtjevima postupaka numeričke integracije, to jest pravilima

najčešće korištenog Simpsonovog 1. pravila, pa su teorijski i drugi prikazi forme najčešće prilagođeni uvjetu

jednakog susjednog razmaka parova razmaka rebara, odnosno vodnih linija. Proračuni integracije se pritom vrše

ili metodom rebara ili metodom vodnih linija, ali u konačnici imamo zadane točke ( )zyx ,2/,T zadane

poluširinama y/2, na udaljenostima rebara x i vodnim linijama z pogodnim za integraciju Simpsonovim

pravilima.



5

Radi proračunske neprikladnosti modernih metoda opisivanja temeljenih na splineu kao što su Bezierov spline,

B-spline, [9], ili NURB-spline [10], [11], [12], ili Catmull-Clark metodi, [13], koje se koriste za generiranje

mreža za različite mrežne metode, proračuni integracije u brodogradnji se i dalje vrše numeričkom integracijom.

To jest, nakon geometrijskog modeliranja npr. NURB-splineom, potrebno je izraditi mrežni opis točkama

pogodan za numeričku integraciju, najčešće po Simpsonovom 1. pravilu. Proračun presjeka s vodnim linijama se

i dalje vrši numerički, po pravcu ili nekoj drugoj polinomskoj krivulji, najčešće kvadratnoj.

1.2.3.2. B-rep mrežni prikaz. Booleova geometrijska algebra

Brod je objekt složene geometrije i promjenjive zakrivljenosti oblika, čiji trup može imati diskontinuitete oblika

i otvore, radi kojih vanjsku ljusku broda nije moguće opisati jednom jedinstvenom jednadžbom, te se trup broda

najčešće opisuje u nekoliko dijelova. Stoga je u svrhu omogućavanja opisivanja svih uzgonskih i proračunskih

dijelova brodske geometrije potrebno primjeniti Booleovu geometrijsku algebru u geometrijskom oblikovanju,

kojom će se dodavati ili oduzimati dijelovi prostora koje određuje mješoviti B-rep, mrežni prikaz broda s

točkama (eng. Boundary Representation). Koelman i ostali su 2001., [14], predložili upotrebu hibridnog H-rep

geometrijskog modeliranja brodskog trupa, kojim se žičani model opisa broda proširuje za plohe i tijela, koji se

opisuju NURB i B-spline plohama. Ovdje će se koristiti mješoviti B-rep prikaz, koji omogućuje analitičko

opisivanje i daljnje analitičke proračune svojstava broda.

Sam B-rep prikaz, [15], pritom predstavlja geometrijsko opisivanje rubnim elementima, što su kod brodskog

trupa: statva, spoj boka i palube, linica, preluk i lomovi forme, zatim čvorovima i plohama. Pritom je potrebno

opisu dodati podatke o susjednim plohama, rubovima i čvorovima. Za točan opis ljuske brodskog trupa, potrebno

mrežnom opisu dodati među-točke, krivulje i plohe kojima se opisuju diskontinuiteti forme s pripadnim

derivacijama s obje strane loma, kako to pokazuje slika 2, te definirati tipove ploha i krivulja kojima se opisuje

brod.

U brodogradnji je uobičajen mrežni raspored točaka radi potreba numeričkog integriranja Simpsonovim

pravilima, te se stoga teorijski i ostali prikazi brodskog trupa najčešće prikazuju na taj način. U ovoj disertaciji

će se pokazati mogućnost korištenja bezmrežnih metoda opisivanja brodske geometrije, pomoću opisa radijalnim

osnovnim funkcijama, koje ne zahtjevaju nikakvu organizaciju ulaznih podataka kojima se opisuje brod.

1.2.3.3. Opisi različiti od opisa s 2 manifolda

Metode opisivanja s 2 „manifolda“ razdvajaju plohe jednog objekta u odvojene manifolde, tj. bridovima

odvojene analitičke plohe, kao što je to primjer sa stranicama kocke. Nasuprot tome, opisi različiti od opisa s 2

manifolda, [16], omogućuju spajanje stranica objekta u jedan entitet, zadržavajući sve informacije o objektu u

jednoj složenoj podatkovnoj strukturi.

Brodska forma je primjer opisivanja metodom 2 manifolda, gdje se odvojeno opisuju pojedine plohe brodskog

trupa kao što su brodska forma i paluba, ili dijelovi forme s diskontinuitetima. Da bi se opis forme s

diskontinuitetima objedinio potrebno je rješiti problem njihovog analitičkog opisivanja, što se se u ovoj

disertaciji učiniti opisom po segmentima radijalnim osnovnim funkcijama. Primjenom opisa različitih od 2

manifolda bi se opis raznih cjelina objedinio u jedan opći zapis, što bi olakšalo proračun teroretskih svojstava



6

broda. U ovoj disertaciji će se u poglavlju 5 pokazati postupak proračuna geometrije metodom opisivanja

različitog od 2 manifolda kod kojeg je moguće opisati diskontinuitete geometrije kompatibilnim radijalnim

osnovnim funkcijama.

1.2.4. Moderno geometrijsko opisivanje brodske forme Standardne metode opisivanja geometrije u brodogradnji se temelje na familiji postupaka za opisivanje brodske

forme plohama, temeljene na splineu, tj. postupcima kao što su: Bezierov spline, B-spline, NURB spline.

1.2.4.1. Prednosti

Najvažnije prednosti opisivanja NURB-splineom se prema [17] i [18] mogu ukratko opisati kao:

− Konveksnost, monotonost, lokalna podrška (eng. local support),

− Interaktivno oblikovanje geometrijskih tijela slobodnim modeliranjem (eng. Free-form),

− Opisivanje nebijektivnih dijelova geometrije,

− Opisivanje diskontinuiteta,

− Opisivanje čunjosječnica,

− 3D opisivanje,

− Osiguranje konveksnosti opisom unutar kontrolnim točkama zadanog poligona,

− Geometrijska invarijantnost na afine transformacije i projektivna preslikavanja, te

− Svojstvo rekurzije.

Iako su NURB-splineovi opisivanjem NURB plohama omogućili 3D oblikovanje brodske forme, u

proračunskom smislu nisu unaprijedili postupke proračuna. Naime, osim prednosti, NURB-splineovi imaju i

nedostatke i sa stajališta geometrijskog oblikovanja i sa stajališta proračunske geometrije.

1.2.4.2. Nedostaci geometrijskog modeliranja

Nedostaci geometrijskog modeliranja B-splineovima su sljedeći:

− Ne postoji veza između Bezierovog, B-splinea, odnosno NURB-splinea s zadanim točkama kojima je

opisana brodska forma,

− Nije poznato što predstavlja presjek 2 NURB-splinea,

− Spoj 2 NURB-plohe se izvodi funkcijama izglađivanja koje mogu biti parametarski polinomi stupnjeva

iznad 50, koje je teško kontrolirati.

1.2.4.3. Proračunski nedostaci

Pripadni proračunski nedostaci su:

− Mrežni opis,

− Problemi u opisivanju uzdužnih lomova, npr. krmenog zrcala,

− Ekstremne distorzije kod mono-NURB prikaza,

− Opisivanje NURB-ovima je aproksimacijsko,



7

− Nije moguće odrediti presjek NURB-splinea i ravnine,

− Nemogućnost direktnog proračuna svojstava,

− Nemogućnost direktnog proračuna interakcije s okolinom.

Zbog ovih nedostataka, u proračunskom opisivanju brodske geometrije još uvijek prevladava na točkama

zasnovan žičani model opisa, s tablicama očitanja poluširina forme y/2 na određenim rebrima s udaljenostima x

od krmene okomice K.O., te vodnim linijama na visinama z, prilagođen numeričkoj integraciji po

Simpsonovom prvom pravilu.

Gore navedena ograničenja, te nemogućnost preciznog analitičkog, globalnog opisivanja brodske geometrije,

doprinijeli su ograničavanju opisa brodske geometrije na teorijski opis samo za nulti bočni nagib brodaϕ , tj.

za 0=ϕ . To je nadalje uvjetovalo zadržavanje žičanog modela opisivanja u brodogradnji, gdje se razmaci

rebara, ∆xR, i vodnih linija, ∆zVL, i dalje određuju prema zahtjevima integracije Simpsonovim 1. pravilom.

Kao pokušaj rješenja ovih nedostataka razvijene su i hibridne metode proračuna koje kombiniraju opisivanje

geometrije NURB-splineovima i drugim metodama proračuna kao što je razvoj u Fourierov red, [19].

1.3. PRORAČUNSKA GEOMETRIJA

1.3.1. Osnovni ciljevi opće proračunske geometrije Dok se geometrijsko modeliranje se bavi matematskim prikazivanjem krivulja, ploha i čvrstih tijela u svrhu

opisivanja kompleksnog fizikalnog ili inženjerskog sustava, pripadna proračunska geometrija se koristi u

razvoju, analizi i računalnoj primjeni dobivenih algoritama opisivanja.

Proračunska geometrija nam daje metode prikazivanja složenih objekata od početne zamisli o objektu, do

kreiranja i modifikacije oblika na računalu. Zbog ograničenja analitičkog opisa današnje proračunske metode ne

omogućuju i direktan, vrlo precizan proračun svojstava objekta. Metode koje se koriste se razlikuju zavisno o

objektu koji se prikazuje, dostupnoj količini informacija, te informacijama koje se mogu proizvesti.

Općenito, proračunska geometrija definira 3 osnovna zadatka opisa neke geometrije koja je potrebno ispuniti:

− Nedvosmislen i precizan opis promatrane geometrije,

− Proračun svojstava promatrane geometrije,

− Proračun presjeka promatrane geometrije.

Očita je analogija s problemima opisivanja brodske geometrije, te se nameće upotreba principa proračunske

geometrije u opisivanju brodske geometrije.

Dosadašnji pokušaji ispunjavanja sva 3 cilja su bili neuspješni, a najbolje rezultate su postignuti relacijskom

geometrijom. Za globalno opisivanje u brodogradnji će se koristiti B-rep metoda opisivanja, temeljenja na

opisima rubnim, analitičkim krivuljama.



8

1.3.2. Brodska proračunska geometrija

1.3.2.1. Opći ciljevi

Općenito, opisivanjem složenih objekata se bave dvije grane geometrije nastale razvojem računala:

− geometrijsko oblikovanje, i

− proračunska geometrija.

U opisivanju brodske geometrije danas se najčešće koristi samo geometrijsko oblikovanje, dok je proračunska

geometrija slabo zastupljena, s naglaskom na numerička rješenja proračuna i primjene u rješavanju

diferencijalnih jednadžbi, [10]. U ovoj disertaciji će se međutim razmatrati problemi globalne, analitičke

proračunske geometrije, te će se u skladu s tim definirati brodska proračunska geometrija.

Cilj brodske proračunske geometrije je odrediti precizan opis brodske geometrije pogodan za daljnje proračune

svojstava broda. Pritom je potrebno precizno i pogodno opisati:

− Brodsku vanjsku geometriju GV, te unutarnju geometriju broda GU.

− Stohastičku okolinu tekućeg fluida O, unutar potencijalnog, gravitacijskog polja, u kojem brod plovi.

− Interakciju broda B s okolinom O.

Dakle, ako se promatra površinski brod koji plovi u potencijalnom gravitacijskom polju, definiramo funkcijski

model objekta broda F, kojim se opisuje brod B, s vanjskom GV i unutarnjom geometrijom GU, pomoću kojeg

se određuju svojstva i ponašanje broda B unutar sustava S. Pritom se i vanjska GV i unutarnja geometrija broda

GU sastoje od sume brodskih prostora GVj, odnosno GUi. Dakle imamo:

∑=

=UN

iViV

1

GG (1)

odnosno

∑=

=UN

iUiU

1GG (2)

gdje su: NV – broj vanjskih prostora kojima se opisuje brod,

NU – broj unutarnjih prostora broda kojima se mijenjaju svojstva tereta kojeg sadrže.

Pri određivanju vanjske geometrije se koristi Booleova algebra, dok se unutarnji prostori zbrajaju.

Tema ove disertacije je analitičko opisivanje brodske geometrije G u svrhu pripreme teorijskih podataka o

geometrijskim i hidrostatskim svojstvima trupa broda GV i unutarnjim prostorima broda GU, potrebnim za



9

daljnje proračune u teoriji broda, pa će se stohastička valna okolina O pojednostavniti na mirnu, nepokretnu

površinu, koja će se opisivati ravninama vodnih linija VL.

Također, razmatrat će se samo problemi opisivanja fiksne brodske geometrije, uz zanemarivanje promjena

brodske geometrije uslijed statičkih i dinamičkih utjecaja i pripadnih deformacija. Na taj način će se računati

presjek brodske geometrije s teorijskim, ravninskim vodnim linijama VL.

Odabran opis brodske geometrije mora biti prikladan za direktan proračun svojstava brodske geometrije, te

hidrostatskih svojstava broda, tj. funkcije opisa moraju biti integrabilne i derivabilne ili se moraju moći izvesti u

Taylorov red. Također, mora biti omogućen proračun presjeka brodske geometrije s ravninom vodne linije VL.

Ove uvjete zadovoljavaju analitičke funkcije.

Osim toga, zahtjev direktnog, eksplicitnog proračuna presjeka brodske geometrije ograničava potenciju n

algebarskog polinoma na n = 6. Razlog tome jest ograničenje matematske znanosti danas po kojem je moguće

direktno rješiti polinome do uključivo 6 stupnja; i to do 4. stupnja osnovnim matematskim operacijama (Abelov

teorem), a 5. i 6. stupnja hipergeometrijskim funkcijama.

1.3.2.2. Analitičko opisivanje brodskog trupa s diskontinuitetima, otvorima i

privjescima

Kao što je prije navedeno, brodski trup GV ima složenu geometriju, s diskontinuitetima, otvorima, izdancima, i

promjenjivim zakrivljenostima. Osim toga, potrebno je opisati i unutrašnjost broda GU, tj. unutarnje brodske

prostore koji su pregradama podijeljeni u odvojene cjeline. Očito je da se ova složena geometrija ne može opisati

jednom jednadžbom, pa se stoga u opisivanju brodske geometrije koristi geometrijska Booleova algebra. Za opis

ovako složene geometrije potrebno je odabrati fleksibilan način opisivanja, metodama kojima je moguće

opisivati po segmentima, a to su, osim aproksimacijske metode srednjih kvadrata, metode zasnovane na

interpolaciji raštrkanih podataka i radijalnim osnovnim funkcijama (eng. RBF, Radial Basis Functions –

Radijalne osnovne funkcije) kao njihovom rješenju:

( ) ( )∑ Φ⋅= xx wf (3)

gdje su: x − ulazni podaci opisa,

Φ − radijalne osnovne funkcije,

w − težinski koeficijenti radijalnih osnovnih funkcija,

f − ukupni RBF opis.

Opisivanje po segmentima, temeljeno na osnovnim funkcijama omogućuje prilagodbu opisa zadanim točakama,

a za analitičko opisivanje je potrebno rješiti probleme opisa diskontinuiteta i nebijektivnih dijelova geometrije.



10

1.3.2.3. Proračun svojstava stabiliteta broda

Euler u svom djelu Scientia Navalis, [2], postavlja temelje proračuna svojstava stabiliteta broda, koji se vrše uz

korištenje principa očuvanja momenta količine gibanja izraženog preko rada momenta statičkog stabiliteta broda

nastalog uslijed djelovanja vanjske sile, koja predstavlja prekretni moment broda. Kinematska i dinamska

svojstva broda kao krutog tijela se pritom zanemaruju, te se proračun vrši samo za ostvareni rad momenta

nastalog djelovanjem sprege sila težina i uzgona kod nagibanja broda, bez određivanja putanje gibanja tijela

uronjenog u tekućinu. Dakle, zanimaju nas samo trenutni položaji brodske forme uronjene u tekućinu, te

pripadni odnosi prekretnih i ravnotežnih sila i njihovih momenata, bez razmatranja uzroka pomaka tijela iz

ravnotežnog položaja. U tom razmatranju, stabilitet se razmatra kao statički problem prema Maupertuisovom

principu stacionarnog gibanja (tj. najmanjeg djelovanja, eng. the "principle of the least action"). Trenutna stanja

krcanja broda promatramo kao realizacije po Euler-Lagrangeovom principu djelovanja unutar globalnog

koordinatnog sustava x - y - z , tj. promatramo promjene položaja materijalne točke ( ) ( ) ( )( )tztytxr ,,r, ali uz

zanemarivanje vremenske komponente gibanja, tj. kao ( )zyxr ∆∆∆ ,,r. Na taj način se zanemaruje putanja

gibanja tijela od jednog do drugog položaja, već pretpostavljamo beskonačan protok vremena između dva stanja

objekta.

Pretpostavka 1:

∞→t (4)

Primjenom Mapertuisovog principa najmanjeg rada, dinamski problem određivanja svojstava stabiliteta i plovne

vodne linije VL se reducira u statički problem. Pritom se promatra samo odnos gravitacijskih sila SG, uslijed

djelovanja težinskog opterećenja broda, te rezultirajućih uzgonskih sila SB uronjenog dijela trupa broda do

plovne vodne linijeVL , za trenutni nagnuti položaj broda Θ nastao uslijed djelovanja prekretnog momenta MP.

Stanje krcanja broda je određeno masom istisnine ∆ = G, njenim gravitacijskim težištem sustava

GGGG zyx ,,≡X , te hidrostatskim svojstvima brodske geometrije. Kao varijable stanja krcanja broda se

time definiraju kut bočnog nagibaϕ , kut trimaψ , gazovi broda na okomicama, pramčanoj, gP, i krmenoj, gK, te

položaj plovne vodne linije VL.

Procedura direktnog proračuna stabiliteta preuzima gornju pretpostavku o beskonačnosti protoka vremena

između dva položaja broda. Uzrok gibanja broda iz ravnotežnog položaja se ne razmatra, kao ni dinamski efekti

tog gibanja, već se prepostavlja vrijednost i raspodjela vanjske sile koja prekreće brod. Ona je u proračun

stabiliteta uključena samo pretpostavljenim prekretnim momentom MP nastalim uslijed tlaka vjetra po jedinici

izložene površine broda iznad vodne linije, koji se za neograničenu plovidbu, prema klasifikacijskim društvima i

IMO-u, [20], određuje na temelju statistika svjetskih mora.



11

Uz zanemarivanje putanje i gibanja broda, u proračunu stabiliteta se zanemaruju i sve ostale sile osim

ravnotežnih sila uzgona i težina, te nas zanimaju samo položaji broda u odnosu na okolnu tekućinu. Proračun

gibanja broda je u proračun stabiliteta uključen samo jednadžbom njihanja broda oko uzdužne osi x , gdje se

određuje period bočnog nagibanja broda, tj. kut do kojeg će se brod nagnuti nakon prestanka djelovanja

prekretnog momenta.

Položaj broda kao 3D objekta jednoznačno je određen položajem vodne linije VL koja orubljuje uronjeni dio

trupa broda, pa je u svrhu proračuna hidrostatskih svojstava broda potrebno odrediti plovnu vodnu liniju koja

proistječe iz položaja broda u odnosu na površinu tekućine.

Pretpostavka 2:

U teorijskom proračunu stabiliteta, ukupni moment broda se određuje kao rezultat djelovanja prekretnog

momenta, MP, i momenta statičkog stabiliteta broda, MI, za promatrane kuteve nagiba Θ, zanemarivanjem

dinamičkih utjecaja inercijalnih, gravitacijskih i viskoznih sila, tj. pretpostavljen je beskonačni protok vremena

∞→t do ravnoteže svakog pojedinog položaja broda.

Tako momente, kod razmatranja stabiliteta broda, dijelimo na prekretne i ispravljajuće, [20], a ispravljajuće još

nazivamo i momenti statičkog stabiliteta. Ukupni moment broda uslijed djelovanja sprege sila uzgona i sila

težina na brodu je dakle jednak razlici prekretnog, PMr

, i ispravljajućeg momenta stabiliteta, IMr

.

( ) ( ) ( )Θ−Θ=Θ PI MMMrrr

(5)

gdje su: ϑψϕ ,,≡Θ – kutevi okretanja broda oko 3 osi brodskog koordinatnog sustava x - y - z .

to jest: ϕ – kut okretanja broda oko osi x , i pripadno valjanje broda,

ψ – kut okretanja broda oko osi y , ili kut trima, odnosno pripadno posrtanje broda,

ϑ – kut okretanja broda oko osi z , i pripadno zaošijanje broda.

U ispravljajuće momente uključujemo sve uzgonske momente koje stvara trup broda MB, te tekućine unutar

tankova mBi kao:

∑=

+=UN

iBiBI mMM

1

U prekretne momente se ubrajaju momenti uslijed djelovanja vjetra na izloženu površinu broda MWI, djelovanje

valova MWA, te momente slobodnih površina rasutih tereta i tekućina na brodu, mSP:

∑=

++=UN

iSPWAWIP mMMM

1

U ravnoteži je moment gibanja broda jednak 0, pa kod statičke ravnoteže imamo:

0=−=≡ PIS MMMM (6)



12

Pretpostavka 3:

Kako problem promatramo statički, unutar potencijalnog gravitacijskog polja, translatorna gibanja yx, ne

mijenjaju statičku raspored uzgona, pa ih možemo zanemariti. Od rotacijskih gibanja ϑψϕ ,,≡Θ , rotacija

oko osi Z,ϑ , nema utjecaja na moment statičkog stabiliteta, već samo na određivanje povoljne vodne linije, pa

tu komponentu momenta također zanemarujemo. Na taj način nam ostaju 2 komponente momenta, oko osi x i y ,

tj. poprečni moment stabiliteta Mϕ, te uzdužni moment Mψ, u zavisnosti o kutevima nagiba broda oko osi x i y ,

te visini vodne linije z . Dakle, od 6 stupnjeva slobode gibanja, za proračun stabiliteta su značajna 3 gibanja:

ψϕξ ,,z≡ (7)

U proračunima se najčešće ove komponente promatraju odvojeno, tj. promatra se samo poprečni statički

stabilitet oko osi Y, dok se uzdužni stabilitet radi velikog uzdužnog metacentra LMK zanemaruje. Međutim,

ova pretpostavka vrijedi samo za velike vrijednosti odnosa duljine i širine broda L/B, dok se za vrijednosti

L/B → 1 mora računati i uzdužni stabilitet broda, npr. na nekim katamaranima sportske i turističke namjene.

Također, poprečni i uzdužni stabilitet se mogu promatrati odvojeno, sve dok su im pripadni periodi ljuljanja Tϕ, i

Tψ vrlo različiti, odnosno velika razlika između uzdužnog i poprečnog metacentra LMK i BMK ,

0>>− BL MKMK , što je slučaj kod većine površinskih brodova.

Međutim, kod određivanja plovne vodne linije VL je potrebno uzeti u obzir obje komponente stabiliteta, kao što

će biti objašnjeno u idućem potpoglavlju.

Izraz za početni poprečni statički stabilitet plovila ϕM , s 1/ >>BL , izražava se kao,[21]:

( ) ϕϕ ⋅−+⋅∆= GB zzNKM (8)

gdje su: ∆ – masena istisnina broda, (t),

NK – položaj "prividnog" metacentra, koji se nalazi u točci presjeka pravaca sile uzgona prije i

nakon zakretanja broda za bočni kut nagiba ϕ ,

Bz – položaj težišta istisnine po visini za neki kut nagibaϕ ,

Gz – položaj gravitacijskog težišta težina sustava po visini za neki kut nagibaϕ ,

By – položaj težišta istisnine po širini za neki kut nagibaϕ ,

ϕ – kut nagibaϕ , (rad).

Ovaj izraz za proračun momenta poprečnog statičkog stabiliteta se primjenjuje kod malih promjena kuteva

nagiba 0→iϕ , pa je ϕϕ →sin , 0→∆ Fy i .konstMKNK =≅ , te kažemo da se radi o početnom

stabilitetu ili stabilitetu malih promjena nagiba, gdje je MK položaj stvarnog metacentra broda. Također,



13

pretpostavlja se ravnoteža momenata prema izrazu (6) kod početnog kuta bočnog nagibaϕ0, te se želi odrediti

statički moment poprečnog stabiliteta za neki proizvoljni kut nagiba ϕ. Ako nadalje izrazimo veličinu

metacentra pomoću momenta tromosti vodne linije tekućeg tereta i rasutih tereta dobiva se izraz za početni

stabilitet:

ϕρρ

⋅

−+

⋅−⋅∆=

∑GB

jUj

zzV

iIM (9)

gdje su: I – poprečni moment inercije vodne linije, oko osi x , (m4),

ij – prekretni moment slobodne površine tekućine u tanku j na brodu, oko osi x , (m4),

ρ – gustoća tekućine u koju je brod uronjen,

ρ – gustoća tekućine unutar tanka na brodu.

U stvari, promatra se razlika položaja težišta istisnine i gravitacijskog težišta težina broda prije nagibanjaϕ1 i

nakon nagibanja ϕ2, uz pretpostavku konstantnog položaja gravitacijskog težišta težina broda .konstzG = .

Dakle, u općem slučaju se može pisati:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ cossin 1212 ⋅−+⋅−−+⋅∆= BBGBB yyzzzNKM (10)

Ili drukčije pisano:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ϕϕϕϕϕϕϕ cossin ⋅∆+⋅−∆+⋅∆= BGB yzzNKM (11)

gdje su: BBBBB yyyyy −=−=∆ 012 – razlika poprečnog položaja težišta istisnine yB za kut trenutni kutϕ

i položaja težišta istisnine yB0 za početni kut prije nagibanja 0ϕ ,

BBBBB zzzzz −=−=∆ 012 – razlika poprečnog položaja težišta istisnine zB za kut trenutni kutϕ i

položaja težišta istisnine zB0 za početni kut prije nagibanjaϕ0.

Kod velikih bočnih nagiba broda 0>>ϕ se od hidrostatskih svojstava broda, radi složenosti proračuna,

najčešće računaju samo položaji težišta istisnine broda u funkciji masene istisnine ∆ za odabrane kuteve bočnog

nagibaϕ, te se rezultati prikazuju Daymardovim pantokarenama izoklinama, [22], tj. krivuljama istih nagiba uz

promjenjivu istisninu broda, uz razdvajanje komponenti yB i zB, kako je to predložio Fatur u [23]. Izrazi za

statički moment poprečnog stabiliteta broda (8) i (9) više ne vrijede, a u izrazu (9) ne vrijedi 1. član u zagradi za

proračun položaja prividnog metacentra NK , kojeg je za veće kuteve nagiba potrebno računati iz presjeka dvaju

pravaca uzgona, prije i nakon nagibanja broda. Kako su pravci uzgona uvijek okomiti na ravninu vodne

linijeVL , oni predstavljaju pravce normala na VL s koeficijentima smjera k i segmentima pravaca l, pa možemo



14

pisati sustav jednadžbi za određivanje položaja prividnog metacentra NK u matričnom obliku, ovisno o

kutevima nagiba VL, ϕ1 iϕ2, kao:

( )[ ]( )[ ]

( )( )

=

−

−

22

111

2

11

11

ϕϕ

ϕϕ

ll

yz

tgtg

N

N (12)

Pripadni položaji težišta VL , prividnog metacentra NK za veće kuteve nagiba se u praksi računaju približno i

ne prikazuju grafički, pa će se u ovoj disertaciji pokazati način njihovog direktnog proračuna i grafičkog

predočavanja prema postavkama Bilesa, [24].

Glavni proračunski cilj opisivanja geometrije broda jest određivanje pripadnih hidrostatskih i drugih svojstava

koji nam omogućuju proračun nekog proizvoljnog stanja opterećenja. Dosadašnji način predočavanja

pantokarenama izoklinama, tj. krivuljama položaja težišta istisnine za konstantne kuteve bočnog nagiba ϕ ,

proširit će se na opis za odabrani raspon kuteva nagiba ϑψϕ ,,=Θ , te opisivanje plohama. Biles je 1908.

predložio predočavanje stabiliteta krivuljama izoklina i izovolumena, ali je u to doba izrada takvog prikaza bio

zahtjevan posao, s problemima u praktičnom proračunu kod izvođenja dvoparametarske interpolacije. Ovdje će

se pokazati mogućnost opisa ploha težišta istisnine, težišta vodne linije, te težišta metacentara za sve odabrane

kuteve nagiba Θ i sve volumene istisnine broda ∇ pomoću radijalnih osnovnih funkcija, te određivanje

hidrostatskih svojstava direktnim uvrštavanjem parametara kuteva nagiba i volumena tako određenih ploha.

1.3.3. Problem proračuna plovne VL Kada se općenito promatra gibanje broda, brod je objekt koji se giba sa 6 stupnjeva slobode gibanja, te je stoga

određivanje uzgonskog stanja broda SB, odnosno plovne VL, 6-dimenzijski problem s gibanjima iξ ,

6,,1K=i , gdje su prva 3 parametra gibanja u smjeru koordinatnih osi brodskog koordinatnog sustava,

zyx ,,X ≡ , a druga 3 rotacije oko tih osi, ϑψϕ ,,≡Θ . Promatranjem broda statički, po Maupertiusovom

principu, problem se reducira na 3 stupnja slobode gibanja: okretanja po osi x i y, te pomak po osi z,

odnosno iξ , 5,4,3=i , ψϕξ ,,z≡ . Dakle, u proračunu stabiliteta i pripadne plovne VL promatramo bočno

nagibanje, uzdužno nagibanje i uron/izron broda.

Problem određivanja plovne VL je problem određivanja trenutnog geometrijskog stanja broda u odnosu na

površinu tekućine koji se funkcijski može izraziti kao presjek površine tekućine s brodskom formom, odnosno:

( ) ( ) ( )zyxPzyxFzyxVL ,,,,,, −= (13)

gdje su: ( ) VzyxF G≡,, – implicitni opis brodske forme,

( )zyxP ,, – implicitni opis površine tekućine u kojoj brod plovi.



15

Pripadni uvjeti hidrostatske ravnoteže definirani kao 3 uvjeta plovnosti su:

1. Težina masene istisnine g⋅∆ do VL mora biti konstantna i mora biti jednaka masi broda G,

(Arhimedov zakon):

.konstGg ==⋅∆

2. Težište uzgona uronjenog dijela trupa broda mora biti na istom pravcu s gravitacijskim težištem sustava

broda, tj. vrijedi:

xB = xG , yB = yG

3. Kao uvjet plovnosti se pritom postavlja zahtjev za položajem prividnog metacentra NK u odnosu na

osnovicu broda po kojem se poprečni ili uzdužni metacentar mora nalaziti iznad gravitacijskog težišta

sustava broda po visini:

<y osi po ,

xosi po ,

B

LG

NK

NKz

kojima se omogućuje stabilna ravnoteža broda.

Iz toga proizlazi osnovni proračunski problem teorije broda, određivanje hidrostatskih svojstava za zadano stanje

krcanja broda. Taj problem se može formulirati kao određivanje 3D geometrijskog položaja trenutne plovne

vodne linije VL, odnosno uzgonskog stanja broda SB , za zadano stanje težinskog opterećenja broda SG i zadani

raspon kuteva nagiba ψϕ,≡Θ . Pritom se mogu odrediti 2 osnovna proračunska zadatka vezano za proračun

stanja krcanja broda:

PRORAČUNSKI ZADACI HIDROSTATIKE BRODA

1. Određivanje položaja ravnoteže broda,

2. Određivanje krivulje položaja težišta vodne linije VL kod nagibanja broda.

Potrebne varijable za određivanje stanja krcanja se mogu odrediti iz gore navedenih uvjeta plovnosti, tj. to su

varijable težinskog stanja opterećenja broda SG: xG, yG, zG i G, te zB. One zajedno s brodskom

geometrijom G direktno određuju hidrostatska svojstva stanja krcanja H , u ravnoteži broda. Pritom, težina

G, kod istisninskih, površinskih brodova, predstavlja holonomsko, odnosno skleronomsko ograničenje

Lagrangeovog generaliziranog koordinatnog sustava, [25]. To svojstvo površinskog gibanja broda nam

omogućava izradu plohe hidrostatskih svojstava broda, kako će to biti pokazano u poglavlju 9 disertacije.



16

Kao rezultat proračuna se dobiva krivulja VL koja se u proračunima opisuje svojstvima: površinom AVL i

težištem VLVLVLVL zyx ,,X ≡ . U općem slučaju brod u ravnoteži ima neki uzdužni nagibψ i poprečni nagib

ϕ, pa je za određivanje položaja VL potrebno odrediti i ove parametre.

Vodna linija geometrijski predstavlja 3D krivulju, tj. funkciju ( )zyxVL ,, , pa je njeno određivanje iteracijskim,

numeričkim proračunom zahtjevno kod velikih promjena stanja krcanja, tj. položaja objekta. Također,

stohastička valna površina tekućine još više usložnjuje problem, pa se proračuni vrše uz prikladna

pojednostavljenja i zanemarivanja. Ovdje će se to, kako je već napomenuto, učiniti određivanjem presjeka

ravninskih, teorijskih VL s brodskom formom.

MINIMALNI PODACI ZA OPIS POLOŽAJA VL

Možemo odrediti minimalan broj informacija potreban za opis položaja ravnine vodne linije, koji se zbog

holonomskih ograničenja gibanja može opisati poznavanjem 1 točke i 2 kuta. Stoga definiramo minimalne

parametre opisa s:

− težištem VLX ,

− kutem uzdužnog nagibaψ , i

− kutem poprečnog nagibaϕ .

Ovaj skup parametara ϕψ ,,XVL će dalje koristiti u proračunu položaja VL kako će biti opisano u

poglavljima 8 i 9 disertacije.

1.3.3.1. Iteracijski proračun VL

Kad se problem određivanja plovne vodne linije riješava iteracijski, postaje složen problem bez obzira na

primjenu Maupertiusovog principa najmanjeg djelovanja i pojednostavljeni statički pristup, gdje opet ostaje

nekoliko iteracijskih varijabli proračuna, tj. kut bočnog nagibaϕ, kut trimaψ, te gazovi broda na pramčanoj i

krmenoj okomici, gF i gA, [26]. Proračun postaje otežan ili nemoguć kod rješavanja problema za velike kuteve

nagiba ϕ ili velike promjene istisnine od početnog stanja 0>>∆δ , pri proračunu stabiliteta oštećenog broda.

Proračun se vrši od početne 0VL , te je potrebno odrediti novu VL za zadanu ukrcanu/iskrcanu težinu. U slučaju

proračuna stabiliteta je potrebno izračunati i teorijske položaje VL za određeni raspon kuteva nagiba ϕ, i pritom

vrijedi samo uvjet konstatne masene istisnine broda, ∆ = konst. .



17

Sl. 3: Promjena položaja težišta VL broda za velike promjene kuteva nagiba broda

Proračun se najčešće izvodi postupkom uronjenog i izronjenog trokuta za pretpostavljene ravnine VL, po

presjecima rebara, do ispunjavanja unaprijed određenih tolerancija iε parametara iteracijskog postupka: ϕ, ψ, te

gF i gA, ili zadanog broja koraka iteracije. Pritom je kod svake iteracije potrebno odrediti presjek VL s formom

brodskog trupa, te presjek površina tekućine u tankovima.

Umjesto proračuna samo za poprečni pomak težišta vodne linije za VLVL zy ∆∆ , , i težišta istisnine BB zy ∆∆ , ,

potrebno je izračunati i uzdužne pomake težišta VLx∆ i Bx∆ , koji nastaju radi uzdužne nesimetričnosti brodskih

formi, pa se broj iteracijskih varijabli još povećava. Dok je taj uzdužni pomak kod malih promjena položaja

broda zanemariv, kod velikih kuteva nagiba, 0>>Θ , odnosno direktnog proračuna stabiliteta broda kod

naplave, može biti značajan, te se ne može zanemariti, kako to pokazuje slika 3, gore.

U proračun je potrebno uključiti i promjene težišta uzgona BiBiBiBi zyx ,,X ≡ , UNi ,,1K= , tankova s

tekućinom, naplavljenih prostora i prostora zalivenih vodom, te skladišta s rasutim teretima, provlačenjem

paralelnih ravnina iVL s vodnom linijom VL morske površine. To dodatno usložnjava proračun plovne vodne

linije, naročito za velike kuteve nagiba i velike naplave broda.

Složenost inkrementalnog, sekvencijalnog, iteracijskog proračuna najčešće onemogućuje izvođenje točnih

simulacija gibanja broda, te otežava optimizaciju procedura prekrcaja broda, naročito kod volumenskih brodova,

gdje broj jediničnih tereta može biti jako velik, kao što je to slučaj kod brodova za prijevoz spremnika.



18

1.3.3.2. Analitički proračun VL

Omogućavanjem analitičkog proračuna presjeka vodne linije i brodske forme bi se omogućilo direktno

određivanje presjeka VL i brodske forme i u konačnici omogućilo lakše određivanje plovne VL. U tu svrhu je

potrebno odrediti eksplicitni opis geometrije brodskog trupa ( )zxfy ,= sa što manje dijelova, po mogućnosti

samo jednim globalnim opisom, prikladan za proračun presjeka s nekom vodnom linijom zadanom eksplicitno

s ( ) czbxazxVLy +⋅+⋅== , . Također je potrebno na isti način opisati i prostore koji su ispunjeni ili mogu

biti ispunjeni tekućinom ( )zxfy u ,= , te njihove pripadne presjeke s vodnom linijom

kao ( ) uiuiuiui czbxazxVLy +⋅+⋅== , .

Dakle, kod proračuna presjeka dobivaju se 2 jednadžbe s 3 nepoznanice, pa se prostorni problem prevodi u

ravninski tako da se odrede presjeci VL i opisa forme F na pojedinim rebrima, tj. računa vrijednost z za poznati

x. U tu svrhu je potrebno odrediti raspon od x, što se može učiniti presjecanjem ravnine VL sa statvom broda, te

je prethodno potrebno izračunati opis statve broda. Na taj način bi se omogućio direktan proračun

jednadžbe ( ) ( ) ( )zyxPzyxFzyxVL ,,,,,, −= , eksplicitnim načinom.

U ovoj disertaciji će se ispitati mogućnost opisivanja brodske geometrije analitičkim, radijalnim osnovnim

funkcijama pogodnim za proračun presjeka broda s vodnom linijom. Također će se ispitati i mogućnost

proračuna hidrostatskih svojstava broda opisanog radijalnim osnovnim funkcijama.

Nadalje, konstrukcija hiperplohe hidrostatskih svojstava broda za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja bi

omogućila direktan proračun stabiliteta, zatim točniji proračun gibanja broda, te određivanje točnijih procedura

prekrcaja broda.

1.3.3.3. Proračun hidrostatskih svojstava broda

Za proračun hidrostatskih svojstava broda potrebno je riješiti 5 osnovnih integrala vezanih za njihovo

određivanje, te omogućiti proračun presjeka brodske geometrije s vodnim linijama kojima se određuju granice

integracije i krivulja koja odozgo omeđuje uronjeni volumen broda, te volumeni tekućinom ispunjenih unutarnjih

i uzgonskih prostora.

Osnovni integrali vezani za određivanje hidrostatskih svojstava kod (eksplicitnog) 2D proračuna svojstava su:

− Integral površine oko poprečne osi,

− Moment površine oko poprečne osi,

− Moment površine oko uzdužne osi,

− Uzdužni moment inercije oko osi x,

− Poprečni moment inercije oko osi y.

U slučaju (eksplicitnog) 3D opisa još bismo imali sljedeće integrale:



19

− Dvostruki integral volumena,

− Dvostruki integral momenta površine oko poprečne osi,

− Dvostruki integral momenta površine oko uzdužne osi.

Odabrani opis brodske forme GV i unutarnjih prostora GU mora omogućiti direktan proračun ovih integrala, za

cijeli raspon varijabli ψϕξ ,,z≡ .

Detaljnije će se proračun ovih integrala opisati u poglavlju 7.

1.3.3.4. Utjecaj momenta slobodne površine za veće kuteve nagiba na stabilitet

Opis broda samo za nulti bočni kut nagiba, ϕ = 0, ne osigurava dovoljan broj podataka potreban za detaljne

proračune stabiliteta neoštećenog broda za velike kuteve nagiba, kada, kod malih brodova s teretnim ili

balastnim tankovima, negativan utjecaj momenta slobodne površine na stabilitet može biti presudan. Ovaj efekt

je posebno naglašen kod malih brodova s „V” oblikom rebara, gdje nije dovoljno izvršiti proračun korekcije

momenta slobodne površine tabličnim proračunom određenim od strane klasifikacijskih društava, kao u [20].

Moment slobodne površine oko neke osi mSPi (Nm), u nekom tanku s tekućinom GUi, općenito ovisi o momentu

tromosti te površine iUi određenom za neki kut nagiba ϕ:

( )UiSPi ifm =

gdje je: iUi – moment tromosti slobodne površine tekućine u nekom tanku, u odnosu na neku glavnu os

koordinatnog sustava, (m4).

Sl. 4: Naginjanje tekućine u nekom pravokutnom tanku



20

Kako moment tromosti slobodne površine tekućine pravokutnog tanka ovisi približno o poprečnoj dimenziji

tanka na treću potenciju, tj. o 3Uib , možemo pisati približno 3

UiUi bi ≈ za moment prije naginjanja, te 3ϕϕ UiUi bi ≈

za moment poslije naginjanja broda. Zatim je moguće postaviti trigonometrijsku ovisnost između Uib i ϕUib

pravokutnog tanka, kako je pokazano na slici , tj. ϕϕ cos/ ≈UiUi bb .

Ako se uz ovu pretpostavku postavi omjer momenata tromosti slobodne površine nakon nagibanja i na momenta

na početku dobiva se izraz:

( )3cos

1ϕ

ϕ ≈Ui

Ui

ii

.

Kako za 0→ϕ vrijednost 1cos →ϕ , promjena momenta tromosti slobodne površine je za male kuteve

zanemariva. Međutim, povećanjem kuta nagiba ϕ:, omjer momenata tromosti slobodne površine se povećava sve

do graničnog kuta Ui

UiGRANi b

harctg=ϕ , te je za taj kut povećanje momenta tromosti slobodne površine najveće

i iznosi:

≈

Ui

Ui

Ui

Ui

bh

arctgii 3cos1max ϕ , gdje su: bUi – širina tanka, (m), hUi – visina tanka, (m).

Sl. 5: Utjecaj poprečne dimenzije Uib na moment slobodne površine za tank trokutastog poprečnog presjeka

Tako na primjer, za kut od 45°, povećanje veličine momenta tromosti slobodne površine iznosi

( ) 828,22221

13 ≈=≈

Ui

Ui

ii ϕ , a na 60° stupnjeva imamo

( )8

211

3 =≈Ui

Ui

ii ϕ .



21

Dakle, vrijednost momenta tromosti slobodne površine iUi, a time i prekretnog momenta slobodne površine mSPi

pravokutnog tanka se povećava s recipročnom vrijednošću s trećom potencijom kosinusa kuta nagiba ϕ. Ovaj

problem je još izraženiji kod tankova trokutastog poprečnog oblika kako pokazuje slika 5.

Također, kod zalijevanja gornje palube manjih brodova kod plovidbe na valovima ili prodora vode na široke,

nepregrađene palube brodova za prijevoz vozila, pripadni prekretni moment slobodne površine može biti

značajan kod svih kuteva bočnog nagiba i mora ga se uzeti u obzir u proračunu stabiliteta neoštećenog broda već

u predprojektu, [27].

Za sveobuhvatni proračun stabiliteta broda je potrebno izvesti pripadne proračune geometrijskih i hidrostatskih

svojstava za sve kuteve bočnog nagiba, pa je opis broda za kut bočnog nagiba jednak 0, ϕ = 0, potrebno

proširiti na cijeli projektni raspon kuteva nagibaϕ. Današnji, teorijski podaci sadržavaju samo numeričke

vrijednosti hidrostatskih svojstava za teorijski, početni, nulti kut bočnog nagiba, te pripadnog prekretnog

momenta slobodne površine, pa je taj opis potrebno proširiti.

Također, današnje metode proračuna se temelje na iteracijskim postupcima od početnog, nultog bočnog nagiba,

što kod velikih nagiba, te kod proračuna stabiliteta oštećenog broda s velikim naplavama može stvoriti

proračunske probleme, i konačno, nemogućnost proračuna geometrijskih i hidrostatskih svojstava broda. Uočeni

problemi s određivanjem rezultata proračuna stabiliteta za veće kuteve nagiba kako oštećenog, tako i

neoštećenog broda iteracijskim procedurama, u programu ARGOS, Bureau Veritasa, potvrđuju ovaj problem.

1.4. HIPOTEZA I CILJEVI DISERTACIJE

Prvi korak u postizanju točnih proračuna presjeka brodske geometrije s valnom okolinom jest pronalažnje

metoda vrlo preciznog opisivanja geometrije broda, koje ujedno omogućavaju i daljnje proračune. Taj cilj će se u

ovoj disertaciji postići određivanjem globalnih analitičkih interpolacijskih izraza za opisivanje dijelova brodske

geometrije uz korištenje geometrijske Booleove argebre. Osim vanjske ljuske broda orubljene gornjom palubom,

za željene proračune je potrebno precizno opisati i palubne objekte koji doprinose uzgonu, te unutarnje prostore

broda, što će se učiniti primjenom istih metoda opisa temeljenih na radijalnim osnovnim funkcijama. Nove

metode opisa inženjerskih objekata moraju biti analitičke, te omogućavati globalni prikaz dijelova objekta.

Nadalje, ove metode opisa moraju omogućavati ispunjavanje ostalih ciljeva proračunske geometrije, tj. proračun

vlastitih svojstava opisivanog objekta, te proračun presjeka broda s valnom okolinom.

1.4.1. Hipoteza disertacije Iz gornjih razmatranja proizlazi i hipoteza disertacije:



22

HIPOTEZA: Globalnom interpolacijom bezmrežnim metodama temeljenim na radijalnim baznim

funkcijama je moguće brod, kao objekt složene geometrije, opisati analitičkom preciznošću na

način pogodan za daljnje direktne, analitičke proračune geometrijskih i hidrostatskih svojstava

objekta, te proračune presjeka broda s površinom tekućeg fluida koji ga okružuje, čime se

omogućuje direktni analitički proračun stvarne vodne linije, te pripadnih hidrostatskih

svojstava broda za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja.

Primjenom bezmrežnih metoda temeljenih na radijalnim osnovnim funkcijama omogućuje se proširenje opisa

hidrostatskih svojstava broda pantokarenama izoklinama težišta istisnine broda za bočne kuteve nagiba, na

opisivanje hidrostatskih svojstava broda višedimenzijskim plohama za proizvoljni broj stupnjeva slobode gibanja

i proizvoljni broj hidrostatskih značajki.

Pritom je za opisivanje složene geometrije kao što je brodska potrebno rješiti osnovne probleme analitičkog

opisivanja, tj. omogućiti bijektivni opis nebijektivnih dijelova, te rješiti problem opisivanja diskontinuiteta.

1.4.2. Matematska formulacija hipoteze Matematska formulacija hipoteze dizertacije se može postaviti kao opći problem analitičkog opisivanja, tj.

eksplicitnog, funkcijskog opisivanja brodske geometrije, koju možemo pisati kao:

Definicija 1.: Analitičko, globalno, eksplicitno opisivanje brodske forme jest opisivanje dijelova brodske

geometrije iG , ili cijele brodske forme Ui

iGG = , funkcijskim, bijektivnim preslikavanjem

∞⊆→Ω CIR:F , s podskupa područja dvodimenzionalnog realnog prostora 2IR⊆Ω ,

na jednodimenzionalni realni prostor s kontinuiranim derivacijama C , a zadano ulaznim

skupom podataka Χ i izlaznim skupom podataka Υ .

Dakle, potrebno je naći glatke, realne funkcije opisa iz IR1 ili IR 2 kojima će se bijektivno opisati dijelovi

brodske geometrije, uz rješavanje problema opisa diskontinuiteta i ispunjavanje zadaća brodske proračunske

geometrije. U slučaju odabira jednodimenzijskih funkcija, koristit će se mješovito B-rep opisivanje brodske

geometrije, s trodimenzijskim krivuljama lomova i dvodimenzijskim presjecima brodske forme u smjeru

ortogonalnih osi fiksnog brodskog koordinatnog sustava. Proračun hidrostatskih svojstava će se pritom kod

IR⊆Ω vršiti integriranjem areala pojedine značajke, po duljini broda.

Kod opisa hidrostatskih svojstava, prostor ulaznog skupa podataka se proširuje na d – dimenzijski realni prostor

koji odgovara broju stupnjeva slobode gibanja koji je odabran za opis, dok je izlazni skup podataka l –

dimenzijski realni prostor koji odgovara broju hidrostatskih značajki koje se opisuju.



23

Iz ovog proistječe sljedeća definicija koja se odnosi na analitičko opisivanje hidrostatskih svojstava brodske

geometrije, koja se može napisati kao:

Definicija 2.: Analitičko, globalno, eksplicitno opisivanje hidrostatskih svojstava brodske forme jest

višedimenzijsko opisivanje funkcijskim, bijektivnim preslikavanjem ∞⊆→ CIRIR ld:F ,

s podskupa područja d – dimenzionalnog realnog prostora, na l – dimenzionalni realni prostor

s kontinuiranim derivacijama C .

Razvojem bezmrežnih, analitičkih, multivarijantnih metoda opisivanja geometrije po segmentima (eng.

„piecewise“), (3), koje se temelje na radijalnim osnovnim funkcijama (eng. Radial Basis Functions – RBF):

( ) ( )∑ ⋅=Φ xx ϕw , stvoreni su uvjeti za globalno, analitičko, vrlo precizno opisivanje složene geometrije kao

što je brodska i primjenu tog tipa opisa na proračun geometrijskih G i hidrostatskih svojstava H broda, za

odabrani stupanj slobode gibanja objekta, pa će se one u ovoj disertaciji koristiti za rješavanje gore navedneih

problema opisa.

1.4.3. Ciljevi istraživanja Glavni cilj ovog istraživanja je pronalaženje načina vrlo preciznog, globalnog opisivanja brodske geometrije, uz

ispunjavanje zahtjeva brodske proračunske geometrije. Rješenjem problema opisivanja diskontinuiteta, te

problema presjeka brodske geometrije s valnom okolinom eliminirati će se potreba za numeričkom integracijom,

koja je još uvijek dominantni postupak za određivanje geometrijskih i hidrostatskih svojstava broda. Također,

takvim globalnim opisivanjem dijelova geometrije s diskontinuitetima dobit će se efikasan analitički opis bez 2

manifolda, kojim će se olakšati proračun i povezivanje dijelova opisa.

U novije vrijeme su razvijene metode bezmrežne organizacije ulaznih podataka temeljene na radijalnim

osnovnim funkcijama koje eliminiraju nedostatke mrežnih metoda opisa i koje omogućuju analitički opis složene

brodske geometrije, metodama koje će biti prikazane i čiji temelji će biti objašnjeni u ovoj disertaciji. Također,

one eliminiraju potrebu mukotrpne izrade različitih mrežnih opisa, čime se ubrzavaju i pojednostavljuju

proračuni teorije broda. Primjenom radijalnih osnovnih funkcija je moguće postići veću preciznost proračuna od

dosadašnjih u brodskoj proračunskoj geometriji, što će biti prikazano u ovoj disertaciji.

Nadalje, dosadašnje prikazivanje hidrostatskih svojstava broda za velike kuteve bočnog nagiba, krivuljama

pantokarena izoklina težišta istisnine, će se primjenom multivarijantnih svojstava radijalnih osnovnih funkcija

proširiti na opisivanje višedimenzijske plohe svih težišta istisnine za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja.

Dodatno će se omogućiti i opisivanje višedimenzijske plohe težišta vodnih linija, te položaja metacentara broda

za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja čime će se omogućiti direktno određivanje hidrostatskih svojstava

broda za proizvoljno stanje opterećenja broda.



24

U svrhu ostvarivanja gore navedenih proračunskih ciljeva bit će potrebno rješiti osnovne probleme brodske

proračunske geometrije, koji se sastoje u sljedećem:

− potrebno je riješiti 5 osnovnih integrala vezanih za određivanje hidrostatskih svojstava broda,

− izračunati derivacije potrebne za proračun geometrijskih svojstava objekta,

− omogućiti proračun presjeka objekta broda s drugim objektima i okolinom za sva moguća stanja u kojima

se brod može naći.

U ovoj disertaciji će se navedeni ciljevi postići primjenom globalne interpolacije radijalnim osnovnim

funkcijama. Na temelju svojstava radijalnih osnovnih funkcija, te velike preciznosti opisa, ispitat će se dalje

mogućnost izrade hiperplohe vlastitih svojstava objekta (geometrijskih, hidrostatskih).

Tema ove disertacije je analitičko opisivanje brodske geometrije G, pa će se stohastička valna okolina

pojednostavniti na mirnu, nepokretnu površinu, koja će se opisivati ravninama vodnih linija VL.

Također, razmatrat će se samo problemi opisivanja fiksne brodske geometrije, uz zanemarivanje promjena

brodske geometrije uslijed statičkih i dinamičkih utjecaja i pripadnih deformacija.

Odabran opis brodske geometrije mora biti prikladan za direktan proračun svojstava brodske geometrije, te

hidrostatskih svojstava broda, tj. funkcije opisa moraju biti integrabilne i derivabilne ili se moraju moći izvesti u

Taylorov red. Također, mora biti omogućen proračun presjeka brodske geometrije s ravninom vodne linije VL.

Ove uvjete zadovoljavaju analitičke funkcije.

Na temelju svojstava radijalnih osnovnih funkcija, te velike preciznosti opisa, ispitat će se mogućnost izrade

jedinstvenog, multivarijantnog opisa cijelog prostora hidrostatskih svojstava broda. Takav opis će u jednoj

cjelovitoj, složenoj jednadžbi, na temelju radijalnih osnovnih funkcija, sadržavati sve položaje objekta za

odabrani broj stupnjeva slobode gibanja. Presjekom dobivenog višedimenzijskog opisa težinom broda bi se

dobila hiperploha hidrostatskih svojstava objekta, te prostor mogućih realizacija broda. Na taj način bi se

omogućio i direktan proračun stabiliteta broda uvrštavanjem parametara stanja krcanja broda.

Za izradu disertacije se je koristila računalna oprema Katedre za brodogradnju Fakulteta elektrotehnike,

strojarstva i brodogradnje, Sveučilišta u Splitu, uz odgovarajuću programsku, računalnu podršku matematskih

paketa Matlab i Mathematica, te brodograđevnih paketa MaxSurf i Argos.

Provjera rezultata proračuna će se izvršiti za nekoliko testnih brodskih geometrija i testnih presjeka, koji su

prikazani u Dodatku A.



25

2. GLOBALNO ANALITIČKO OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE

2.1. ANALITIČKO OPISIVANJE GEOMETRIJE

2.1.1. Analitičke funkcije

Analitičke metode opisivanja se temelje na prikazivanju geometrijskih tijela opisanih točkama zyx ,,X ≡

kao osnovnim građevnim elementima, u Euklidskom, 3D Hilbertovom vektorskom prostoru 3IR , kod kojih se

može vršiti dvostrano bijektivno preslikavanje (homeomorfizam, [29]) s ulaznog skupa podataka X na izlazni

skup Y. Definicija analitičkih funkcija se pritom može napisati kao:

Definicija 3: Analitičke funkcije možemo općenito definirati kao ∞⊆→Ω CIRF l: , tj. funkcijsko

preslikavanje s podskupa područja d-dimenzijskog realnog prostora dIR⊆Ω na neki l-dimenzijski realni

prostor lIR .

2.1.1.1. Eksplicitni oblik zadavanja funkcije

Analitičke funkcije se mogu zadati u nekoliko oblika, i oni su:

− eksplicitni,

− implicitni, i

− parametarski.

Radijalne osnovne funkcije koje ovdje razmatramo su, po analogiji s neuronskim mrežama kojima pripadaju,

zadane eksplicitno, kao funkcijska veza ulaznih i izlaznih podataka kojima je opisana neka geometrija, pa nas

zanima taj oblik opisivanja.

U eksplicitnom, direktnom obliku opisivanja, radijalne osnovne funkcije su definirane kao:

( )xy f= , dIR⊆Ω∈x , lIR∈y (14)

gdje su: −≡ dxxx ,,, 21 Kx dimenzijske varijable ulaznog skupa točaka,

−≡ lyyy ,,, 21 Ky dimenzijske varijable izlaznog skupa točaka,

d – dimenzija ulaznog skupa točaka,

l – dimenzija izlaznog skupa točaka.

Dakle, broj ulaznih i izlaznih varijabli kod opisivanja (radijalnim osnovnim funkcijama) teorijski nije ograničen,

te njihov broj ovisi o odabranoj funkciji opisivanja, odnosno pripadnom funkcijskom prostoru.



26

2.1.1.2. Hilbertov (Euklidski) prostor

Hilbertov (Euklidski) vektorski prostor se može definirati kao prostor kod kojeg postoji skalarni umnožak, [29],

te postoji metrika s kojom mjerimo udaljenosti i kuteve:

1. 0, ≥yx - postoji skalarni umnožak θcos⋅⋅=⋅ yxyx

2. xxx ,= - postoji norma kojom mjerimo udaljenost točaka kao:

( ) yxyxyxyxd −−=−= ,,

U Hilbertovom prostoru vrijedi Caushy-Schwartzova nejednakost yxyx ⋅≤, iz koje proizlazi

nejednakost trokuta ( ) ( ) ( )zydyxdzxd ,,, +≤ .

2.1.2. Uvjeti za postojanje analitičkih funkcija Osnovni uvjet za postojanje analitičkih funkcija jest postojanje bijekcije, tj. surjekcije i injekcije, između ulaznog

skupa točaka X i izlaznog skupa točaka Y. Također, funkcija se mora poklapati s Taylorovim redom u okolini

svake točke opisa, [29].

Analitičke funkcije su npr.: polinomi, eksponencijalne funkcije, trigonometrijske funkcije u pravokutnom

Kartezijevom (Decartes) koordinatom sustavu, te radijalne osnovne funkcije koje će se razmatrati u ovoj

disertaciji.

2.1.2.1. Bijekcija

Dakle, funkcija je analitička ako zadovoljava uvjete surjekcije i injekcije između ulaznog skupa

točaka Nixi ,,1. K=≡Χ i izlaznog skupa točaka Niyi ,,1. K=≡Υ . Definira se nekoliko termina koji

se odnose na bijektivno preslikavanje i to su:

− Domena – skup vrijednosti nezavisnih varijabli kao argumenata koje ima neka funkcija,

− Kodomena – cijeli interval vrijednosti koju neka funkcija može imati, i

− Raspon – vrijednosti koje funkcija ima za zadanu domenu. Raspon ne mora biti jednak kodomeni, tj. on je

njen podskup.

2.1.2.2. Razvoj u Taylorov red

Da bi funkcija bila analitička mora imati derivacije svih stupnjeva i poklapati se s Taylorovim redom u okolini

svake točke. Općeniti izraz za razvoj funkcije jedne varijable u Taylorov red je sljedeći:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xRafn

axafaxafaxafaxafxf nn

n

+−

++′′′−+′′−

+′−+=

!...

!3!2!1

32

(15)

gdje je: a – točka oko koje se vrši razvoj u red,

n – broj članova razvoja reda,

Rn – pogreška razvoja, o kojoj će se više reći u zasebnom podpoglavlju 2.4..



27

2.1.2.3. Kontinuiranost

Funkcija također mora biti bijektivna, što znači da se isključuje mogućnost globalnog opisivanja nebijektivnih,

odnosno nekonveksnih oblika. Iz tog razloga se obično izvode postupci podjele ukupne geometrije u manje

dijelove, ne nužno prema geometrijskim karakteristikama objekta. Ti geometrijski dijelovi se matematski

nazivaju manifoldi, i predstavljaju lokalno Euklidski, tj. općenito Hilbertov vektorski prostor. U 2D opisivanju

se tako koriste elementi, a u 3D male plohe (eng. patch).

Funkcijska veza koja se uspostavlja između ulaznog i izlaznog skupa podataka je takva da funkcija opisa mora

biti kontinuirana i bez višestrukih točaka. Pritom se mogu odrediti 2 vrste kontuniteta:

− G kontinuiranost, tj. kontinuiranost raspona opisa,

− C kontinuiranost, tj. kontinuiranost derivacija duž opisa.

2.1.2.4. Raspon

Raspon opisivanja nekom funkcijom ovisi o ispunjavanju gore navedenih kriterija za postojanje analitičkih

funkcija, i prema tome opis može biti:

− Globalan,

− Lokalan,

− Po segementima (eng. piecewise).

2.1.3. Globalno analitičko opisivanje geometrije Umjesto podjele u manje elemente-manifolde, što je najčešći analitički način opisivanja brodske geometrije, u

ovoj disertaciji će se ispitati mogućnost globalnog opisivanja brodske geometrije sa što manje, većih dijelova, po

mogućnosti jednim globalnim opisom. To znači da je za globalan opis analitičkim funkcijama potrebno riješiti

probleme opisivanja nebijektivnih dijelova brodske geometrije, te opisivanje diskontinuiteta.

2.1.3.1. Ograničenja analitičkog opisivanja geometrije

Osnovni uvjet analitičkog opisivanja jest ostvarivanje bijektivnog preslikavanja F, radi čega je u opisivanju

nebijektivnih dijelova geometrije potrebno koristiti geometrijsku algebru ili metode preslikavanja, koje će

omogućiti bijektivan opis.

Zahtjevani kontinuitet analitičkih funkcija onemogućava globalni opis analitičkim funkcijama bez prekida, tj.

smanjenja razmaka između točaka na teorijski beskonačno malu vrijednost 0→xδ .

Iz tog razloga nastaju sljedeća ograničenja analitičkog opisa koje je potrebno rješiti: opis diskontinuiteta, te

minimalni dozvoljeni razmak između točaka. Opisivanje točkama dalje generira probleme oscilacija poopćenja i

oscilacija ruba. Općenito, potrebno je ostvariti konvergenciju metode opisivanja, pa tako i analitičke metode

opisivanja. Dakle, problemi analitičkog opisivanja koje je potrebno riješiti su:

− Nebijektivnost,

− Diskontinuiteti – Gibbsov fenomen,



28

− Oscilacije ruba – Rungeov fenomen,

− Problemi poopćavanja,

− Točnost proračuna,

− Konvergencija opisa,

− Stabilnost proračuna.

2.1.3.2. Nebijektivnost

Jedan od osnovnih problema u analitičkom opisivanju neke geometrije je postojanje nebijektivnih dijelova

geometrije. Prevedeno u matematski oblik, to znači da postoje dijelovi geometrije za koje za jednu vrijednost po

nekoj koordinati koordinatnog sustava, postoje 2 ili više očitanja po nekoj drugoj koordinati, tj.:

( ) nyyyyyxf ,,,, 21 K≡= , +∈> INnn ,1 (16)

U analitičkom opisivanju postojanje više očitanja za jednu vrijednost ulaznog argumenta funkcije nije

dozvoljeno. Uobičajeni način rješavanja ovog problema je raščlana u više dijelova, a kod globalnog opisivanja je

biti potrebno izvršiti neku od analitičkih geometrijskih transformacija u svrhu postizanja bijektivnog prikaza.

U definiranju analitičkih funkcija se stoga određuje termin “međusobno različiti parovi” (od eng. “pairwise

distinct”) točaka, tj. svaka ulazna točka ulaznog skupa mora imati samo jedan svoj par u izlaznom skupu točaka.

2.1.3.3. Rungeov fenomen – oscilacije ruba

Jedan od općenitih problem teorije opisivanja je problem oscilacija rubova opisa, tj. Rungeov fenomen. Ovaj

fenomen može postojati zasebno, a dodatno ga pojačava postojanje diskontinuiteta, kako to pokazuje slika 41,

odnosno veća zakrivljenost na određenom dijelu opisa, slika 6, dolje.

Sl. 6, ispod, pokazuje opis testne, Rungeove funkcije ( ) ( ) 12251 −⋅+= xxf na rasponu [ ]1,1 − .

-1 -0.5 0 0.5 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

Sl. 6: Opis Rungeove funkcije Lagrangeovim polinomima za jednoliki raspored točaka opisa uz N = 11



29

U rješavanju problema opisivanja diskontinuiteta i problema oscilacija ruba će se primjeniti zajednički pristup, to

jest oscilacije ruba će se promatrati kao lom forme s jednom granom sažetom u singularnoj točci.

Rješenje problema opisivanja geometrije s diskontinuitetima će detaljno opisati u poglavlju 5.

2.1.3.4. Gibbsov fenomen – oscilacije opisa blizu diskontinuteta

Kod globalnih, analitičkih metoda opisa s diskontinuitetima se javlja i problem oscilacija generalizacije opisa

poznat pod imenom Gibbsov fenomen. Isti slučaj je i s globalnim opisima kontinuiranim funkcijama po

dijelovima kao što su RB funkcije. Pritom se Gibbsov fenomen najčešće rješava dodavanjem točaka oko mjesta

opisa [30], postprocesiranjem ulaznog skupa spektralnim filtriranjima [31], te preslikavanjima kao što je

konformno preslikavanje, odnosno preslikavanje spektralne projekcije na neku drugu osnovicu [32].

Ovdje međutim nećemo dalje razmatrati spektralne metode, te metode filtiriranja i preslikavanja, već ćemo

promotriti samo postupak dodavanja točaka oko točke loma.

Kod dodavanja točaka oko mjesta opisa postoji ograničenje međusobne udaljenosti između točaka opisa, pa je

kvaliteta opisa loma time ograničena. To je posebno naglašeno kod opisa s više varijabli.

Diskontinuitet možemo u općem slučaju opisati nekom krivuljom koja ima lom u točci L koja pripada krivulji.

Sl. 7 opisuje pretpostavljenu krivulju rebra s diskontinuitetom u točci L, gdje se nalazi spoj boka broda s ravnom

palubom. Diskontinuitet pritom tvori klin koji se sastoji od 2 grane, spojene u točci loma L pod nekim kutem.

Taj kut tvore 2 pravca tangenti čiji su kutevi nagiba različiti.

0 2 4 6 80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

← Max

y/2, (m)

z, (m

)

L

Sl. 7: Globalni RBF opis krmenog rebra broda za opći teret s lomom na spoju boka i palube



30

Radi karakteristika globalnog, analitičkog opisa točkama i u slučaju diskontinuiteta i kod opisivanja rubova

dolazi do oscilacija opisa oko zadanih točaka Nixi ,,1 , K= . Da bi se eliminirale neželjene oscilacije, potrebno

je u interpolacijski problem uključiti dodatne informacije o obliku koji se opisuje. Za razliku od prije spomenutih

parametarskih NURB spline metoda, analitička rješenja opisa loma se najčešće temelje na raščlani opisa, te

Hermitteovim metodama. U ovoj disertaciji će se problem opisa loma rješavati uključivanjem dodatnih točaka

opisa uz korištenje informacija o tangentama i normalama koje se mogu odrediti numeričkim metodama.

2.1.3.5. Poopćavanje

Metode interpolacije kao osnovni zadatak imaju točno opisivanje zadanih točaka, dok opis prostora između

točaka nije točno matematski određen u topološkom smislu, osim glatkosti opisa i pripadnog stupnja G i C

kontinuiranosti. Zbog toga najčešće dolazi do oscilacija opisa između točaka, kako to pokazuje slika 8, dolje.

Osim zadanog skupa točaka potrebno je odrediti skup točaka za poopćavanje, na kojem će se provjeriti opća

točnost opisivanja. Njega definiramo kao skup:

PPiPiP Nizx ,,1,, K=≡Χ (17)

gdje je: PN – broj točaka poopćavanja.

U slučaju opisivanja gdje se zahtijeva velika točnost kao što je to ovdje, potrebno je i ulazne točke skupa

uključiti u skup točaka za opisivanje, tj. PΧ⊆Χ . Da bi se skup za poopćavanje mogao pritom odrediti,

potrebno je prethodno izvršiti slaganje ulaznog skupa točaka po redu, recimo od najmanje, ka najvećoj točci.

16.08 16.09 16.1 16.11

2

4

6

8

10

12

14

16

y/2, (m)

z, (m

)

Sl. 8: Oscilacije opisa između zadanih točaka



31

To možemo učiniti izradom orjenitranog skupa točaka Nixi ,,1 , Kv = , gdje je: Nxxx <<< K21 . Zatim se

vrši popunjavanje razmaka između ulaznih točaka novim točkama po nekom razmaku hP, najčešće prema

zahtjevima i mogućnostima računalne grafike, odnosno nekog proizvodnog procesa.

U teoriji opisivanja geometrije su razvijene metode interpolacije temeljene na osnovnim funkcijama, koje u

osnovi imaju cilj glatkog opisivanja krivulja i ploha, ali bez kontrole oscilacija. Oscilacije opisa se mogu

smanjiti upotrebom aproksimacije, ali uz smanjenje točnosti opisa.

Točnost, konvergencija i stabilnost proračuna su pritom jedni od glavnih ciljeva poopćavanja, a ovdje ćemo ih

razmatrati u zasebnom poglavlju.

2.1.4. Proračunski uvjeti analitičkog, funkcijskog opisivanja brodske forme

Na temelju postavki proračunske geometrije mogu se postaviti glavni uvjeti proračunske kompatibilnosti koje

mora zadovoljiti analitička funkcija kojom opisujemo brodsku geometriju:

− n-ta integrabilnost

− n-ta derivabilnost

− mogućnost razvoja u red (binomni, Taylor-ov, Fourier-ov, ...)

− moguće rješenje presjeka s 2D krivuljom, 3D krivuljom i 3D plohom

− opisivanje lomova, prekida i n-strukosti.

2.1.5. Algebarska geometrija

2.1.5.1. Analitičke geometrijske metode transformacija

U analitičke geometrijske metode tako ubrajamo:

Afine transformacije:

− Sažimanje (eng. Contraction),

− Izduživanje (eng. Dilatation),

− Odbijanje (eng. Reflexion),

− Okretanje (eng. Rotation),

− Smik (eng. Shear),

− Translaciju (eng. Translation),

te njihove kombinacije:

− Transformacije sličnosti (eng. Similarity Transformations),

− Spiralne transformacije (eng. Sprial Transformations).

− Izometriju

− Bijektivno preslikavanje između 2 metrička prostora koji čuvaju udaljenost.



32

U ovoj disertaciji će se tako koristiti afine transformacije translacije i okretanja u svrhu rješavanja problema

bijekcije i diskontinuiteta. Kao rješenje problema globalnog, analitičkog opisivanja će se u ovoj disertaciji

predložiti postupak elastičnog pomaka (ELP), koji će biti opisan u podpoglavlju 2.6, i opisom kompozicijom RB

funkcija prikazan u poglavlju 5, čime će se poništiti osnovna prednost koju imaju parametarske metode B-

splinea i NURB splinea pred eksplicitnim, analitičkim metodama opisivanja u opisivanju 2D geometrije.

2.1.6. Diferencijalna geometrija Međusobni odnosi između susjednih točaka se opisuju pripadnim:

− tangentama,

− normalama,

− binormalama,

− odnosno ravninama:

− normalnom,

− oskulatornom,

− rektifikacijskom,

te:

− zakrivljenošću,

− torzijom.

2.1.7. Energija opisa

2.1.7.1. Energija krivulja

Energija krivulja opisa se najčešće opisuje pomoću zakrivljenosti opisa po duljini luka krivulje s, [33],

izostavljajući torziju τ, kao:

∫= dsE 2κ

gdje je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] 2/322 tytx

tytxtytxt&&

&&&&&&

+

−=κ

2.1.7.2. Energija ploha

Elastična energija savijanja ploča se dalje prema [29] i može izraziti kao:

( )∫ += dSE 22

21 κκ

gdje su: 21 ,κκ - glavne zakrivljenosti plohe

Ako se upotrijebi Gaussova zakrivljenost 21κκκ =G , te srednja zakrivljenost ( )2121 κκκ +=M dobiva se:



33

( )∫ −= dSE GM22 24 κκ .

2.1.7.3. Zakrivljenost

Dakle, kao pokazatelj energije ploha, te njihove glatkosti se koriste zakrivljenosti krivulja i ploha, koje se u

prikazima računaju i prikazuju na pravcima normala u odabranim točkama, koje se nazivaju zrakama.

Zakrivljenost će biti pokazana u prikazima RBF opisa krivulja u poglavljima o RBF koja slijede.

2.2. ANALITIČKE METODE OPISIVANJA GEOMETRIJE

2.2.1. Općenito Kao osnovne matematske metode analitičkog opisivanja geometrijskih oblika najčešće se koriste:

− Interpolacija i

− Aproksimacija,

gdje je razlika u opisivanju u broju točaka ulaznog skupa koji se koristi.

2.2.1.1. Interpolacija

Interpolacija je matematska metoda funkcijskog opisivanja gdje se interpolacijska funkcija provlači kroz sve

točke ulaznog skupa. Problem interpolacije se može definirati kao:

Za zadanih N realnih brojeva i N različitih točaka opisanih realnim vektorima xi, uz NiIRdi ,...,1, =∈x i

N realnih brojeva NiIRli ,...,1, =∈y , potrebno je odrediti funkciju F, koja preslikava ulazni d-

dimenzijski vektor, definiran na dIR , u l-dimenzijski vektor, definiran u lIR , uz zadovoljavanje

interpolacijskih uvjeta:

NiyF ii ,...,1= , )( =x (18)

Prema rasporedu podataka dijeli se na mrežnu interpolaciju i interpolaciju raštrkanih podataka.

Ovdje će se razmatrati opisivanje interpolacijom radi veće točnosti opisa složene geometrije kao što je brodska,

koja ima diskontinuitete i različite C kontinuiranosti opisa, po pojedinim dijelovima geometrije.

2.2.1.2. Aproksimacija

Za razliku od interpolacije, kod aproksimacije se ne koriste sve točke ulaznog skupa u proračunu, tj. koristi se

broj točaka O < N. Moderne aproksimacijske metode koje se koriste u brodogradnji se temelje na

deformacijskoj krivulji odnosno plohi. Najčešće se koriste metode temeljene na splineu, kao što su kubični

spline, Bezierov spline, B-spline (eng. Basis Spline) i NURB (Non-uniform Rational Basis) spline.

Ove metode opisivanja su približne i nedovoljno precizne za potrebe proračuna svojstava u brodogradnji.



34

2.2.2. Potrebni podaci Za opisivanje neke geometrije osim podataka o točakama kojima se danas najčešće opisuju geometrijski objekti,

potrebni su nam i podaci i relativnim i fiksnim odnosima između točaka, krivuljama koje ih spajaju, te

svojstvima ploha koje formiraju, kako je to opisano B-rep načinom opisivanja 3D geometrije. Dakle, potrebni su

nam točni podaci o točkama opisa, te točni ili približni podaci o derivacijama plohe brodske forme, minimumima

i maksimumima, točkama infleksije, točkama promjene zakrivljenosti, te drugi kognitivni podaci. U industrijskoj

brodogradnji je uobičajeno prikazivanje geometrije trupa ravnalicama i direktrisama osim točkama opisa, pa se

time dobivaju dodatni podaci koje se može iskoristiti u proračunu. Prikladna metoda opisivanja geometrije koja

koristi informacije o derivacijama u točkama je Hermiteova interpolacija, pa će se ovdje razmotriti njena

upotreba u opisivanju brodske forme.

Dakle, osim ulaznih podataka koji se sastoje od ulaznih i izlaznih vrijednosti pojedinih točaka kojima definiramo

interpolacijski proces, potrebno je odrediti i karakter ploha i krivulja kojima je forma opisana. U nedostatku

podataka, često je ocjena neke zakrivljenosti subjektivna, te je potrebno navesti neke podatke koji nisu sadržani

u podacima i ne mogu se dorediti numerički kao što su, recimo, koji su ravni dijelovi forme, podatke o

razmotljivim plohama, podatke o lomovima, i tako dalje.

Općenito, po analogiji na treniranje neuronskih mreža kojima RBF opis prirodno pripada, postoje 2 načina

opisivanja objekata vezano za ušešće korisnika u procesu učenja mreže:

− NADZIRANO,

− NENADZIRANO.

U svrhu točnog, nedvosmislenog opisivanja je potrebno uključiti korisnika u proces opisivanja geometrije, tj.

koristiti nadzirano učenje, te izraditi matematički model koji će omogućavati globalno opisivanje osnovnim

funkcijama, različitih C zakrivljenosti.

2.2.3. Raspored točaka opisa brodske forme

2.2.3.1. Općenito

Uobičajeni način proračunskog opisivanja brodske forme jest prikaz pomoću točaka koje se dobivaju presjekom

okomitih ravnina rebara R i vodnih linija, kako je to prikazano na slici 9.

Dobijeni prikaz se zatim predočava projekcijama presjeka geometrije broda s ravninama:

− Nacrtom rebara, u ravnini y - z,

− Nacrtom vodnih linija, u ravnini x - y,

− Nacrtom uzdužnica, u ravnini x - z, te

− Nacrtom širnica, u ravnini x - y.



35

Sl. 9: Presjeci broda ravninama (preuzeto iz [34])

Dobijene točke se zatim spremaju u dokument koji se zove Tablice očitanja, a sadrže vrijednosti poluširina y/2

na pojedinim rebrima – udaljenostima x od, te vodnim linijama – udaljenostima z od ishodišta brodskog

koordinatnog sustava, podatke o točkama 2D krivulje statve broda, podatke o točkama 3D krivulje linice, te

točkama 3D krivulja lomova forme duž broda.

2.2.3.2. Standardni raspored točaka u brodogradnji

Standardni raspored točaka u opisivanju geometrije u brodogradnji je definiran žičanim, mrežnim modelom

prikazivanja, prilagođen numeričkoj integraciji. Numerička integracija se najčešće vrši ili metodom rebara ili

metodom vodnih linija.

Kada se proračun hidrostatskih svojstava vrši metodom rebara najprije se vrši integracija površine rebra R, te

izrađuju Bonjeanove krivulje, a zatim izrađuju areale rebara AR i vrši integriranje po duljini promatrane vodne

linije VL broda. Kod metode vodnih linija, postupak kreće od integracije površina vodnih linija AVL, a zatim se

ukupna svojstva broda za neku VL računaju integracijom po visini z.

Broj točaka kojima se teorijski zadaje brodska forma nije velik i omogućuje opis metodama globalne

interpolacije bez raščlane u dijelove, uz rješavanje problema diskontinuiteta i bijekcije.



36

2.2.3.3. Jednoliki razmak točaka

Raspored točaka opisivanja u brodogradnji određen je zahtjevima numeričke integracije (Simpsonovo 1.

pravilo), te je stoga najčešće jednolik po svakoj od odabranih osi i različit je po broju točaka po duljini x i visini

broda z . Uobičajeni teorijski način prikazivanja i označavanja brodske forme najčešće se sastoji od opisivanja

točkama, dobijenim presjekom vodnih linija s rebrima i statvama/statvom broda. Rebra broda su pritom

jednolikog razmaka h čiji je broj NR višekratnik broja 10, s dodanim među-rebrima na krajevima broda NR+ s

razmakom koji ovisi o odabranoj metodi numeričke integracije. Vodne linije su najčešće razmaknute proizvoljno

s razmakom h i brojem NVL, uz nešto gušći opis blizu dna broda. Tome je potrebno dodati i točke kojima su

opisani lomovi forme LLi NiN ,,1, K= , te točke za opisivanje preluka broda NPR i statve NST , po svakom

rebru broda. Ukupni broj točaka za opisivanje neke forme dakle iznosi približno:

( ) ∑++++⋅= +i

LiSTPRRRVL NNNNNNN

Ako za primjer uvrstimo najčešće vrijednosti broja točaka po rebrima i vodnim linijama dobivaju se slijedeći

ukupni brojevi točaka:

NR = 21, NR+ = 6, NST = 2, NVL = 10, NPR = 0 i NL = 0 imamo:

( ) 27000242110 =++++⋅=N točaka opisa,

Dvostrukim povećanjem broja rebara i vodnih linija dobiva se:

( ) 98000284120 =++++⋅=N točaka,

Četverostrukim povećanjem broja rebara i vodnih linija dobiva se: ( ) 39602168140 =++⋅=N točaka.

Proračunske granice direktne interpolacije matrice današnjih osobnih, višeprocesorskih računala se mogu

postaviti na veličine matrica od oko 5000 x 5000 točaka, pa će se skup točaka opisa kod direktne interpolacije za

potrebe provjere proračuna na osobnom računalu ograničiti na N ≅ 5000.

Kao glavni problem interpolacije ovakvih skupova točaka s jednolikim razmakom javlja se problem loše

uvjetovanosti matrice. Ovaj problem će se detaljnije razmatrati u narednim poglavljima.

2.2.3.4. Procjena broja točaka kod opisivanja brodske forme

Prema gore navedenoj pretpostavci jednolikog razmaka točaka opisa, možemo učiniti približnu procjenu broja

točaka kojima može biti opisana neka brodska forma.

Ako pretpostavimo opise po konstruktivnim rebrima velikih trgovačkih brodova iznad 150 metara duljine, tada

broj rebara raste na oko 200 do 250, a broj vodnih linija na oko 30, dobiva se približan broj od oko

( ) 840022825030 =++⋅≅N točaka.

Ako promotrimo granični slučaj na primjer, ULCC broda, duljine oko 350 m i visine oko 30 m broj točaka će

biti još veći. Pretpostavimo ukupan broj od oko NR = 500 rebara i oko NVL = 40 vodnih linija. Na taj način



37

dobiva se broj točaka od oko 2000050040 =⋅≅N , što je zahtjevan broj točaka za direktan proračun

interpolacijske matrice na osobnom računalu. Iz tog razloga je potrebno ili računati s manjim brojem točaka, ili

podijeliti problem u nekoliko manjih globalnih dijelova (npr. na pramac, krmu i srednji dio broda), ili koristiti

metode raščlane i brzih transformacija. Dakako, proračune je moguće vršiti i na super-računalima ili umreženim

računalima, što bi omogućilo rješavanje i problema s brojem točaka koji prelazi 5000.

Kod postupaka skeniranja forme broj točaka opisa može iznositi i nekoliko milijuna, pa je postupak opisivanja

potrebno prilagoditi geometriji koja se opisuje.

2.2.3.5. Čebiševljeve točke

Jedan od izbora rasporeda točaka po duljini raspona [ ]ba, koji se može izabrati jest postavljanje točaka na

Čebiševljeve razmake, na jednakim lučnim udaljenostima, koje se dobivaju dijeljenjem polukružnice

polumjera [ ]ba, na n jednakih kuteva. Izraz za položaje točaka po Čebiševu je prema [35]:

NiNixi ,,0,

2212cos K=

+⋅+⋅

= π .

Prema [35], interpolacija po Čebiševljevim točkama daje gotovo optimalnu aproksimaciju.

2.2.3.6. Haltonove točke

Haltonove točke (Halton 1960., [36], i Wong i ostali 1997., [37]) su točke koje su dobivene iz van der

Corputovih nizova (eng. van der Corput sequences). Početna točka u definiranju Haltonovih točaka je činjenica

da se svaki ne-negativni cjeli broj može jedinstveno opisati pomoću prim brojeva p kao:

∑=

=k

i

ii pan

0 (19)

gdje je: ai cijeli broj takav da je pai ≤≤0 .

Zatim se definira funkcija hP takva da preslikava ne-negativne cijele brojeve na raspon [ )1,0 pomoću:

( ) ∑=

+=k

iii

p panh

01 (20)

Rezultirajući niz ( ) Nnnhh pNp ,...,2 ,1 ,0:, == se zove van der Corputov niz.

Pritom su Haltonove točke jednoliko raspoređene slučajne točke opisa na rasponu (0,1)s.

Kod opisivanja geometrije u brodogradnji, točke su najčešće jednoliko raspodjeljene, tj. imaju jednaki mrežni

razmak osim na krajevima opisa radi naslijeđa potreba numeričke integracije (Simpsonovo 1. pravilo), odnosno

nemaju raspored po Haltonovim točkama. Radi problema singularnosti je moguće nepovoljan takovog izbora

točaka, te postoji potreba prijelaza na druge sustave predočavanja brodske forme nemrežnog tipa.



38

2.2.4. Podjela prema organizaciji podataka Prema organizaciji podataka zadanih skupovima točaka, [38], metode opisivanja geometrije se dijele na:

1. Mrežne,

Općenito, mrežnu organizaciju podataka opisa zahtjevaju proračunske metode zasnovane na elementima

(MKD – eng. FDM, MKE – eng. FEM, MRE – eng. BEM, ...) i najčešće nastaju preračunavanjem iz

drugih načina prikaza.

2. Bezmrežne,

Nije potrebna nikakva mrežna organizacija podataka, niti se zahtjeva redoslijed unosa podataka, po bilo

kojem kriteriju (Mfree, MLPG (Meshless Loval Petrov-Galerkin metode, te SPH (Smoothed Particles

Hydrodynamics) metoda).

Rješavanjem problema interpolacije/aproksimacije raštrkanih podataka omogućeno je ovakvo prikazivanje

geometrije, uz potrebu rješavanja problema opisa lomova i rubova, što je jedan od ciljeva ove disertacije.

Radijalne osnovne funkcije ne zahtijevaju nikakvu organizaciju, niti redoslijed korištenja podataka, pa se zato

pripadni opisi zovu bezmrežni opisi geometrije.

2.2.5. Metode analitičkog opisivanja U metode analitičkog opisivanja ubrajamo postupke:

− Interpolacije,

− Aproksimacije.

2.3. METODE INTERPOLACIJE

2.3.1. Opisivanje osnovnim funkcijama

2.3.1.1. Opisivanje polinomima

Najjednostavniji i proračunski najefikasniji način opisivanja geometrije jest opisivanje algebarskim polinomima.

Pripadni interpolacijski izraz za osnovne funkcije ima samo potencije argumenta funkcije.

( ) ∑=

=n

j

jj xaxP

0 (21)

2.3.1.2. Mairhuber-Curtis-ov teorem

Kod univarijantnih problema je poznato, [39], da se N različitih podataka može opisati interpolacijskim

polinomom stupnja N –1. Međutim, to nije moguće i kod multivarijatnih problema, što je definirano teoremom

Mairhuber-Curtisa.



39

Teorem 1. (Mairhuber-Curtis): Ako sIR⊂Ω , 2≥s sadrži unutarnju točku, tada ne postoji Haarov prostor

kontinuiranih funkcija osim kod jednodimenzionalnih funkcija.

Tumačenje ovog teorema jest da za dobru uvjetovanost interpolacijske matrice ne možemo unaprijed odabrati

fiksne osnovne interpolacijske funkcije na proizvoljnim položajima, već one moraju ovisiti o položajima

podataka ulaznog skupa. Ovaj zaključak je temelj budućeg razvoja bezmrežnih metoda koje se temelje na

radijalnim osnovnim funkcijama.

2.3.2. Lagrangeova interpolacija Interpolacijski izraz Lagrangeovim polinomima se može napisati prema [40] kao:

( ) ( )∑ ∏=

≠= −

−⋅=

n

j

n

jvv vj

vj xx

xxxfxP

0 1

(22)

gdje je: ( ) ∏≠= −

−=

n

jvv vj

vv xx

xxxl

1

polinom n-tog stupnja,

Ovaj izraz je sličan polinomskim opisu prikazanom jednadžbom (21), gore.

To jest, Lagrangeovi polinomi se ponašaju prema Kronecker delta funkciji:

( )

≠=

==jvjv

xlv ,0 ,1

δ

Interpolacijska funkcija koji točno opisuje neki zadani skup točaka se zove kardinalna funkcija.

2.3.2.1. Haarov prostor

Definicija 4: Neka linearni funkcijski prostor konačnog broja dimenzija ( )Ω⊆ CB ima

osnovice NBB ,,1 K . Tada je B Haar prostor na Ω ako je:

( ) 0det ≠A (23)

za bilo koji skup različitih točaka Nxx ,,1 K u Ω. Matrica A pritom ima članove ( )jkjk xBA = .

Postojanje Haar prostora osigurava invertibilnost interpolacijske matrice A , [39], odnosno postojanje i

jedinstvenost interpolanta oblika (3) za podatke iz prostora Ω određene u točkama Nxx ,,1 K . Ovo je temeljna

pretpostavka za daljnji razvoj interpolacijskih metoda.



40

2.3.2.2. Hermitteova interpolacija

Glavni problem Lagrangeove interpolacije je pojava velikih oscilacija unutar raspona [ ]bax ,∈ , koji se rješava

dodavanjem dodatnih uvjeta u zadanim točkama jx vezano za nagib krivulje, tj. potrebno je poznavati i 1.

derivaciju f' promatrane krivulje osim vrijednosti f. Taj postupak je razvio Hermite, te će se ovdje promotriti

svojstva Hermiteove interpolacije, [41].

Za zadane podatke ( ) ( ) n

jjjj xfxfx0

',,=

konstruiramo polinom 12 +∈ nn Ph sa svojstvima:

( ) ( )jjn xfxh = i ( ) ( )jjn xfxh ′=′ .

Polinom h općenito mora biti stupnja 12 +n da bi zadovoljio 22 +n ograničenja.

Neka je ( )xl polinom n - tog stupnja s rješenjima u nxx ,,1 K . Tada se mogu odrediti osnovni Hermiteovi

polinomi 1. i 2. tipa, [41], s:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )21 1 xlxxxlxl

h vvv

vv

−

′′′

−= i ( ) ( )( )22 xlxxh vvv −= (24)

gdje su: nv ,,2,1 K =

( ) ( )( )( )vv

v xxxlxlxl

−′= - Lagrangov interpolacijski polinom

Ovi polinomi imaju sljedeća svojstva: ( ) ( ) µµ δvv xh =1 , ( ) ( ) 0'1 =µxhv , ( ) ( ) 02 =µxhv i ( ) ( ) µµ δvv xh ='2 (25)

gdje su: nv ,,2,1, K =µ .

Nadalje, neka su nff ,,1 K vrijednosti argumenta u zadanim točkama, a ''1 ,, nff K njihove pripadne 1.

derivacije. Tada se jedinstveni Hermiteov interpolacijski polinom dobije kao:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

⋅+⋅=n

vvv

n

vvvn xhfxhfxW

1

2'

1

1 (26)

Za njega vrijedi sljedeće:

( )( ) ''

vvn

vvn

fxW

fxW

=

=

Osnovni polinomi imaju i sljedeća svojstva:



41

( ) ( ) ( ) ( ) 1111 =++ xhxh nK i ( ) ( ) ( ) ( ) xxhxhx

n

vv

n

vvv =+⋅ ∑∑

== 1

2

1

1

Hermitteova metoda interpolacije je jedna od osnovnih metoda interpolacije, koja osim podataka o točkama

kojima se opisuje željena krivulja, zahtjeva i poznavanje pripadnih derivacija u točkama opisa. Podaci o formi

broda često sadrže i podatke o nagibima krivulje, pa je ova metoda potencijalno primjenjiva u opisivanju brodske

forme radijalnim osnovnim funkcijama, što će biti pokazano u poglavlju 3.

U svrhu izbjegavanja diskontinuiteta 1. derivacije interpolacije po dijelovima, koristi se analogija s Hermiteovim

interpolacijskim funkcijama. Neka je interpolant sj Hermiteov interpolant na zadanim točkama

( ) ( ) jjj xfxfx ',, i ( ) ( ) 1'

11 ,, −−− jjj xfxfx . Rezultirajuća funkcija ( ) ( ),xsxS j= [ ]jj xxx ,1−∈∀ će

uvijek imati kontinuiranu derivaciju [ ]nxxCS ,01∈ ali i općenito [ ]nxxCS ,0

2∉ zbog diskontinuirane 2.

derivacije u zadanim točkama.

Ovakav kubični polinom P3 ima 4 parametra, te zahtjevamo da intepolira i f i f' kao:

( ) ( ) nj,xfxs jjj ,,111 K== −−

( ) ( ) njxfxs jjj ,,1, K==

( ) ( ) njxfxs jjj ,,1,11 K=′=′ −−

( ) ( ) njxfxs jjj ,,1, K=′=′

2.3.2.3. Intepolacija kubičnim splineom

Umjesto postavljanja 1. derivacije ( )jxS ′ na neku vrijednost kao kod Hermiteove interpolacije, kod splineova

se samo zahtijeva da krivulja bude kontinuirana na nekom rasponu [ ]nxx ,0 . Taj dodan stupanj slobode

omogućava postavljanje dodatnog uvjeta kontinuiranosti i 2. derivacije ( )jxS ′′ , te se ti interpolanti zovu kubični

splineovi, [42]. Točke interpolacije njjx

0= se ovdje zovu čvorovi.

Uvjeti kubičnog splinea su sljedeći:

( ) ( ) nj,xfxs jjj ,,111 K== −−

( ) ( ) njxfxs jjj ,,1, K==

( ) ( ) 1,,1,1 −=′=′ + njxfxs jjj K

( ) ( ) 1,,1,1 −=′′=′′ + njxfxs jjj K



42

Vidimo da smo narinuli 4n – 2 uvjeta na n polinoma koji imaju 4n stupnjeva slobode. Stoga postoji

beskonačno mnogo mogućih izbora funkcije ( )xS .

Postoji nekoliko kanonskih izbora 2 dodatna uvjeta koji jedinstveno određuju S i to su:

− Cjelokupni spline za određene vijednosti ( )0xS ′ i ( )nxS ′ ,

− Prirodni spline za ( ) ( ) 00 =′′=′′ nxSxS , te

− "Not-a-knot" splineovi zahtijevaju kontiuitet S ′′′ u 1x i 1−nx .

Prirodni spline je uobičajen izbor jer on minimizira zakrivljenost. Oni također predstavljaju fizikalni temelj

splineova, gdje drvene letvice imaju ravni završetak na krajevima.

Dakle, dodavanjem dodatnih uvjeta dobili smo sustav od 4n jednadžbi s 4n nepoznanica (koeficijenata

kubičnog polinoma). Ove jednadžbe tvore 3-dijagonalnu matricu koja se može efikasno rješiti Gaussovom

eliminacijom.

2.3.2.4. B-spline

U svim gore navedenim standardnim polinomskim interpolacijama, [42], Pn je određen kao linearni prostor

dimenzije n + 1 na kojem je određen interpolacijski polinom za različite osnovne funkcije. Ako se odredi skup

osnovnih splineova (eng. "basis splines") koji ovise samo o položaju čvorova i stupnju aproksimirajućeg

polinoma po dijelovima dobiva se kontinuirana funkcija po dijelovima nazvana B-spline. Kubičnog spline ima

kontinuirane 1. i 2. derivacije, pa tako ista svojstva ima i B-spline.

B-splineovi se dobivaju rekurzivno iz konstantnih B-splineova. Iako interpoliramo n + 1 podataka u

čvorovima nxx ,,0 K , trebamo i dodatne točke izvan [ ]nxx ,0 za izgradnju potrebnih baza.

Stoga je potrebno dodati čvorove na svakoj strani x0 i xn:

LLL <<<<<<<< +−− 11012 nn xxxxxx

Za tako definirane čvorove možemo odrediti konstantne B-splineove kao:

( ) [ ) ∈

= +

,0

,,1 10,

jjj

xxxxB

Izgradnja B-splineova većeg stupnja se vrši rekurzivnim izrazom:

( ) ( ) ( )xBxxxx

xBxx

xxxB kj

jkj

jkj

jkj

jkj 1,1

11

11,, −+

+++

+−

+

−

−+

−

−=

Pritom ( )xB kj , osigurava jednu više kontinuiranu derivaciju od ( )xB kj 1, − .



43

Svojstva B-splinea su sljedeća:

− ( )IRCB kkj

1,

−∈ – kontinuiranost,

− ( ) [ ]1,, ,0 ++∉= kjjkj xxxxB – kompaktna podrška,

− ( ) [ ]1,, ,0 ++∈> kjjkj xxxxB – pozitivna definitnost.

Na temelju tako konstriuranog splinea se može napisati izraz kojim se interpolira ( ) njjj fx

0,

=kao linearna

kombinacija osnovnih splineova. Ako se kao ( )xSk označi spline koji se sastoji od polinoma po

dijelovima nP koji zadovoljava uvjete:

− ( ) njfxS jjk ,,0, K== , i

− [ ] 1,,01 ≥∈ − kxxCS n

kk .

Dobivamo n + 1 jednadžbu s nepoznatim koeficijentima kjc , u izrazu:

( ) ( )∑∞

−∞=

⋅=j

jkjkjjk xBcxS ,, (27)

Neki navedeni koncepti koji su ovdje navedeni će se koristiti u zgradnji teorije interpolacije radijalnih osnovnih

funkcija.

Osnovne metode opisivanja brodske geometrije se danas temelje na B-splineu, tj. na B-splineu i njegovom

poopćenju NURB-splineu. Njihova glavna namjena je geometrijsko oblikovanje na računalu radi interaktivnosti

koju im omogućuje svojstvo rekurzije. Istovremeno, to je i glavni razlog njihove neadekvatnosti u proračunske

svrhe, jer su radi unaprijed predefinirane glatkosti B-spline metode aproksimacijske, s nepoznatom vezom

ulaznih i izlaznih točaka opisa.

Svojstva B-splinea stoga su ovdje ukratko prikazana s ciljem usporedbe s ostalim metodama opisivanja

geometrije.

2.3.3. Problem opisivanja raštrkanim podacima

2.3.3.1. Interpolacija raštrkanih podataka

Kod uobičajenog pristupa rješavanju problema raštrkanih podataka, [39], koristi se pretpostavka da je funkcija Pf

linearna kombinacija odeđenih baznih funkcija Bk, tj.:

( ) ( ) sN

kkkf IRBwP ∈= ∑

=

xxx , 1

(28)



44

Oblik rješenja (28) proizlazi iz svojstava RBF po kojima se one nalaze u Hilbertovom prostoru repodukcijskih

jezgri (eng. Reproducing Kernel Hilbert Spaces), te imaju orto-normalne osnovne funkcije, što će biti pokazano

u potpoglavlju 3.1.1, gdje će se detaljnije opisati svojstva RBF.

Rješavanjem interpolacijskog problema, uz gore navedenu pretpostavku, dobiva se sustav linearnih jednadžbi

oblika:

ywA =⋅ (29)

gdje su: članovi interpolacijske matrice A zadani kao ( )jkjk xBA = , Nkj ,...,1, = , [ ]TNww ,,1 K=w i

[ ]TNyy ,,1 K=y .

2.3.3.2. RBF funkcije

Općenito, radijalna osnovna funkcija ima oblik, [39]:

( ) Oif i ,,1,2

K=−=Φ tx (30)

tj. ovisi o Euklidskoj udaljenosti između ulaznog skupa točaka x i specijalnih točaka, točaka razvoja ti čiji je

broj općenito jednak O, te oko kojih se razvija funkcijski opis.

Kod interpolacije, točke ti su jednake x, pa imamo izraz:

( ) Nif i ,,12

K=−=Φ ,xx (31)

Ovaj oblik funkcije omogućuju bezmrežni opis podataka, tj. nije potrebna nikakva organizacija u njihovom

korištenju u proračunu.

Međutim, za pravilan i nedosmislen opis, tj. ispravno poopćavanje, potrebno je odrediti odnose među točakam

kako je to navedeno u B-rep i prikazima geometrije bez 2 manifolda.

2.3.3.3. Opisivanje RBF interpolacijom

Analitičko oblikovanje globalnom interpolacijom radijalnim osnovnim funkcijama je nova metoda

geometrijskog oblikovanja koja će se predstaviti u ovom radu, a koja proizlazi iz svojstava radijalnih osnovnih

funkcija, te novih načina opisivanja nelinearnih fenomena: lomova, prekida, singulariteta i parnosti. U ovoj

metodi je također moguće koristiti algebarsku geometriju, tj. Booleovu algebru, te zasebno opisivati dijelove

složene geometrije, ali se to može izvesti i globalnim opisom kada je opisivani objekt relativno nepomičan u

odnosu na cijeli objekt. Opisivanje nelinearnih fenomena se može izvoditi na više načina, npr. translacijom i/ili

velikom gustoćom točaka u okolini navedenih geometrijskih fenomena. Ova metoda je po svojim

karakteristikama također metoda koja ne koristi 2 manifolda, a može se izvoditi i kao žičani model i kao metoda

oblikovanja čvrstim tijelima, tj. 2D ili 3D. Velika prednost ove metode je mogućnost globalnog opisa presjeka

brodske forme ili dijelova uzdužno podijeljenog volumena.



45

Dakle, kad se koristi kao 2D metoda dobiva se funkcijski izraz za krivulju presjeka brodskog trupa, a u 3D formi

se dobiva funkcijski izraz za cijeli dio volumena presječen poprečno po određenom rebru. Zavisno o potrebi

opisuje se cijeli presjek broda, te se vrši translacija parnog dijela krivulje/plohe u smjeru bijektivnog opisa, a

zatim u konačnom izrazu translacija poništava. Na taj način se dobiva analitički izraz koji omogućuje direktni

proračun svojstava promatranog objekta, te proračun interakcije objekta s okolinom. Na isti način, razvijanjem

plohe koja se opisuje i njenim povratom, se može dobiti analitički 3D opis objekta.

Radijalne osnovne funkcije će se dalje detaljno razmatrati u poglavlju 3.

2.3.3.4. RBF aproksimacija

Osim postupaka interpolacije, kod opisivanja geometrije se koristi i aproksimacija, u slučajevima kad osigurava

dovoljno veliku točnost opisa. RBF aproksimacija se najčešće koristi u neuronskim mrežama, a temelji se na

Moore-Penroseovoj pseudo-inverziji, te se najčešće izvodi prema izrazu:

yAw ⋅= + ( ) TT GGGG 1−+ = (32)

gdje je: A – aproksimacijska matrica, ON × ,

( ) TT AAAA 1−+ = – Moore-Penroseova pseudo inverzija,

N – broj točaka ulaznog skupa,

M – broj točaka centara razvoja neuronske mreže.

Osnovna pretpostavka aproksimacije je da je broj centara razvoja O mreže manji od broja točaka ulaznog skupa

N, tj. O < N.

2.4. KONVERGENCIJA, TOČNOST I STABILNOST METODA

INTERPOLACIJE

2.4.1. Općenito Odabrane metode interpolacije moraju imati zadovoljavajuću točnost, konvergenciju i stabilnost proračuna.

Konvergencija opisivanja je pritom povezana s brojem i minimalnom udaljenosti između točaka kojima

opisujemo neki problem, dok je stabilnost metode povezana s njenim proračunskim svojstvima, najčešće vezano

za inverziju interpolacijske matrice.

Prema teorijskim razmatranjima, opis Lagrangeovim polinomima predstavlja graničnu vrijednost RBF opisa, pa

će se ovdje razmotriti točnost opisivanja Lagrangeovom interpolacijom, kao referenca za dalje određivanje

točnost opisivanja RBF opisom.



46

2.4.2. Točnost opisivanja

2.4.2.1. Općenito

Umjesto globalne i lokalne točnosti opisivanja, mjeriti ćemo ukupnu točnost opisa u točkama i točnost

poopćavanja. Kao mjeru ukupne točnosti opisa u točkama ćemo koristiti jednu od mjera koja se temelji na

kvadratu pogreške, dok ćemo točnost poopćavanja mjeriti apsolutnom vrijednosti pogreške.

2.4.2.2. Definicije pogreške opisivanja

Na zadanom skupu točaka [ ]baxxx Ni ,,,,,1 ∈KK , gdje je: Ni ,,1K= broj točaka opisa, određen je opis

analitičkom funkcijom preslikavanja ∞⊂∈ CIRf , s vrijednostima na zadanom skupu točaka

( ) ( ) ( )Ni xfxfxf ,,,,1 KK . Zadani su jednoliki razmaci između ulaznih točaka skupa

[ ] [ ]NNN xxrxxr ,,,, 11211 −− == K , koji na početku iznose 11 −

−=−== + N

abxxhh iii .

Pogreška opisa neke analitičke funkcije na zadanom skupu točaka može se, prema [42], prikazati izrazom za

ostatak Taylorovog izvoda u red neke analitičke funkcije u nekoj točci [ ]xxc ,1∈ , te primjenom teorema o

srednjoj vrijednosti kao:

( ) ( )( )

( ) ( )cfn

xxxR n

n

n1

11

!1+

+

+−

= (33)

gdje je: n - posljednji član razvoja u red.

Ovaj izraz se naziva i Lagrangeov ostatak prema analogiji sa izrazom za pogrešku opisa Lagrangeovom

interpolacijom:

( ) ( )( ) ( )rr

r

r cfrhxE 1

1

!1+

+

+≤ (34)

gdje je: h - jednoliki razmak između točaka

r - raspon između točaka za koji se pogreška računa

cr - točka ekstrema opisa na promatranom rasponu r, prema Roleovom teoremu

Poopćeni Rolleov teorem

Ako je f kontinuirana na [ ]ba , i diferencijabilna na ( )ba , , te ( ) ( ) 0== bfaf , tada postoji c na ( )ba ,

takav da je ( ) 0=′ cf .

Ako je f' kontinuirana na [ ]ba , i diferencijabilna na ( )ba , i postoje točke 210 ,, aaa na [ ]ba , gdje je

( ) ( ) ( ) 0210 === afafaf , tada postoji c na ( )ba , takav da je ( ) 0=′′ cf .



47

Općenito, neka su ( )nfff L,, ′′′ sve kontinuirane na [ ]ba , , i pretpostavimo n + 1 rješenja od f na [ ]ba , .

Tada postoji ( )bac ,∈ takav da je ( ) ( ) 0=cf n .

2.4.2.3. Točnost opisa

Uobičajena mjera točnosti koja će se koristiti je RMSE (eng. Root Mean Squared Error –kvadratni korijen

srednjeg kvadrata pogreške):

N

yxfN

ii∑

=

−= 1

2))((RMSE

(35)

gdje su: N - broj elemenata ulaznog skupa podataka,

Niyi ,...,1, = - skup izlaznih podataka,

)(xf - radijalna osnovna funkcija.

Zahtjevana točnost opisa će pritom ovisiti o svojstvima integracije odabrane funkcije, te pripadnog efekta

grupiranja pogreške opisivanja u 1 točci, koji se javlja kod malih točnosti opisa, kao što će biti pokazano u

poglavlju 7 disertacije.

2.4.2.4. Točnost poopćavanja

Osim pogreške opisivanja u točkama, što je najčešće tema teorijskih razmatranja točnosti, zanima nas i točnost

poopćavanja, tj. točnost između zadanih točaka opisa. Za interpolaciju se predpostavlja velika lokalna točnost

opisivanja u zadanim točkama, pa će se ovdje razmatrati međuprostor između točaka. Kod globalnog analitičkog

opisivanja su česte neželjene oscilacije između točaka opisivanja, na rubovima opisa, te blizu diskontinuiteta, pa

je lokalna točnost opisa od presudne važnosti za točan opis.

Točnost poopćavanja će se promatrati kroz maksimalnu pogrešku opisivanja na cijelom skupu točaka za

poopćavanje kao:

( )( )PPPTxyzxf −=

∈,maxErrmax (36)

gdje je: PPP zxX ,≡ . – skup podataka za provjeru točnosti poopćavanja.

Kod opisivanja brodske forme, točnost poopćavanja će se provjeravati proračunom lokalnih pogrešaka na

određenim pozicijama kao što je uzvoj sa određenim radijusom, prijelaz sa zakrivljenog na ravni dio kod

prijelaza sa uzvoja na ravni bok, opis ranih dijelova, s prihvatljivom vrijednosti Errmax od 0,1 mm.



48

2.4.3. Konvergencija Konvergencija je općenito mjera ponašanja korištene metode proračuna koja nam pokazuje da li postoji neka

granična vrijednost točnosti postupka ili ne. Ovdje nas zanima konvergencija opisa radijalnim osnovnim

funkcijama, općenito, pa ćemo razmotriti konvergenciju tog opisa bez detaljnog razmatranja vezanog za

pojedinu radijalnu osnovnu funkciju.

Prema [43] i [44], Lagrangeovi polinomi imaju svojstvo graničnih funkcija analitičkog opisa, tj. opisi analitičkim

funkcijama konvergiraju prema Lagrangeovim polinomima kada parametar oblika RB funkcija teži 0, tj. za

c → 0. Kako su RB funkcije analitičke funkcije, njihov opis također konvergira prema Lagrangeovim

polinomima [45], pa će se razmotriti njihova teorijska svojstva opisa kao referentna RBF opisu geometrije.

2.4.3.1. Konvergencija Lagrangeove interpolacije

U [40] je definirana granična vrijednost pogreške opisa Lagrangeovim polinomima, koji ovisi o broju jednoliko

razmaknutih točaka opisa za skalirani raspon opisa na područje opisa 11 ≤≤− x , te promatra konvergenciju

tog opisa ne temelju maksimalne vrijednosti pripadnih polinoma, tj. pomoću Lebesquove konstante ΛN.

Konvergencija opisa Lagrangeovom interpolacijom za jednoliki raspored točaka opisa se može odrediti

Lebesqueovom konstantom, [46], kao:

( ) ∑ ∏=

≠=

≤≤− −−

=Λn

j

n

jkk kj

k

xN xxxx

X0 111

max (37)

Kod jednoliko razmaknutih točaka Lebesqueova konstanta ΛN raste eksponencijalno, te postoji asimptotska

procjena:

( )NNe

XN

N ln2 1

⋅⋅≈Λ

+

(38)

dok kod Čebiševljevog rasporeda točaka pripadni NΛ raste logaritamski, te postoje donja i gornja granica od

ΛN, [47]:

( ) 4ln21ln42 +≤Λ≤− NXN N ππ

(39)

gdje je: X – točka u kojoj se javlja maksimalna pogreška.

Ovdje nas osim kovergencije zanima i raspodjela lokalne pogreške opisa, čija vrijednost opada s udaljavanjem

od rubova domene. Tj., najveća vrijednost odstupanja, ( )1sup f , se uvijek nalazi najbliže rubovima opisivane

krivulje na rasponima [ ]101 , xxr ≡ i [ ]NNN xxr ,1−≡ , a zatim opada i mijenja predznak kako je to pokazano

slikama 10 i 11.



49

U literaturi nije moguće naći približan izraz za raspodjelu pogreške po duljini raspona kod opisa neke krivulje

Lagrangeovim polinomima, pa će se u ovoj disertaciji razmotriti nekoliko karakterističnih slučajeva opisa

krivulja sa i bez diskontinuiteta.

U svrhu razmatranja problema, ovdje će se promotriti opisivanje polukružnice jediničnog radijusa R = 1

Lagrangeovim polinomima s jednolikim razmakom točaka, te pripadna raspodjela ekstrema. Osim slike s

maksimalnom lokalnom pogreškom, ovdje će se pokazati i raspodjelu pogrešaka sljedećih raspona

5,,2 , K=iri .

10 20 30 40 50 6010-2

10-1

100

N

log(

Err)

min(Errmax)

Nmin

Nzn

Sl. 10: Globalna točnost opisa polukružnice Lagrangeovim polinomima

Iz ovojnice tog opisa Lagrangeovim polinomima je moguće odrediti maksimalnu globalnu pogrešku opisa Errmax, kojom određujemo potreban broj točaka N. Ako pogledamo raspodjelu globalne točnosti Errmax kod

opisa polukružnice Lagrangeovim polinomima na slici 10, vidimo da postoji kontinuirano smanjenje pogreške

do nekog broja točaka Nmin iza koje dolazi do povećanja pogreške i divergencije opisa.

Značajan je međutim broj točaka Nzn jer je opis do tog broj stabilan, tj. broj ekstrema odgovara redu polinoma, a

iza njega dolazi do nekontroliranih oscilacija "valićastog" tipa. Razlog nastanka ovih oscilacija je smanjenje

razmaka između točaka, koje iza neke granične vrijednosti dmin rezultira nestabilnošću opisa.

Broj ekstrema n je do minimalne vrijednosti pogreške opisa Errmax jednak N – 1, tj. na svakom rasponu

[ ]ii xx ,1− se nalazi jedan ekstrem, a zatim se nakon povećanja broja točaka nekontrolirano povećava bez obzira

na broj točaka opisa N.



50

Nadalje, vidimo da vrijednost ekstrema opada prema sredini raspona opisa, te je uvijek ( ) ( )21 supsup ff > ,

kao to pokazuje višestruka slika 11. Vrijednost ( )2sup f može biti i nekoliko redova veličine manja od

maksimalne pogreške prvog ekstrema, kako je to pokazuje slika 11d). Tu činjenicu će se iskoristiti kod

opisivanja zadanih točkama za povećavanje točnosti prikaza, translacijom opisa izvan područja najvećih

oscilacija, kako će to biti opisano kasnije u ovom poglavlju.

-1 -0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x 10-4

x

Err

0 10 20 30 40 50 6010-20

10-15

10-10

10-5

100

N

log(

|Err

|)

0 10 20 30 40 50 6010-8

10-6

10-4

10-2

100

N

log(

|Err

|)

sup(f1)

sup(f2)

sup(f3)

sup(f4)

sup(f5)

Sl. 11: Opis jedinične polukružnice Lagrangeovim polinomima,

a) x - y, b) x – Err, c) N – log(|Err|), d) N – log(|Err(1:5)|)

Prikazano samo preko broja točaka opisa s jednolikim razmakom imamo izraz:

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( )rr

r

r

rr

r

r cfrN

abcfr

Nab

xE 11

11

1

11!11 +

+

++

+

+−−

=+

−−

≤

Ovdje nas zanimaju oscilacije rubova opisa koje se u teoriji nazivaju Rungeov fenomen. To jest, zanima nas

najveća oscilacija opisa, koja se kod opisa analitičkim funkcijama bez diskontinuiteta nalazi u rasponu između

točaka najbliže rubovima, tj. r1 i rN-1, uz pripadnu pogrešku:

( ) ( ) ( )( )

( )12

2

1

2

1 !21!2cf

NabcfhxE ′′

−−

=′′≤



51

Također, kada postoji konvergencija opisa ona je održiva do nekog razmaka točaka, kada dolazi do izražaja

problem minimalne dozvoljene udaljenosti točaka, te divergencije opisa radi povećanja ( )cf ′′ . Nadalje,

raspodjela pogreške po rasponu opisa kod Lagrangeove interpolacije je takva da udaljavanjem od rubova

pogreška uvijek opada po nekom zakonu, tj. imamo:

iEEE >>> K21 odnosno ( )ifff >>′′′>′′ K .

2.4.4. Poboljšanje točnosti Lagrangeove interpolacije

2.4.4.1. Povećanjem broja točaka unutar promatranog raspona

Poboljšanje opisa, tj. povećanje točnosti kod jednolikog rasporeda točaka se najčešće pokušava postići

povećanjem broja točaka unutar razmaka zadanog skupa točaka s N na neku vrijednost N~ , gdje je

dNNN +=~, a dNj ,,1K= broj dodanih točaka opisa unutar raspona opisa. Iz gore navedenog razmatranja

vidimo da postoji ograničenje razmaka hmin s obzirom na konvergenciju povoljnih opisa kod kojih se točnost

opisa povećava smanjenjem h.

Ako dakle promotrimo ponašanje pogreške opisa Lagrangeovim polinomima na rasponu r1 vidjet ćemo da bi

pripadna pogreška ( )xE1 trebala padati sa smanjenjem h, tj. povećanjem broja točaka N.

Postavljanjem u omjer početne pogreške ( )xE1 s početnim brojem točaka N i pogreške ( )xE1~

s povećanim

brojem točaka N~ , tj. uz NN ≥~ dobiva se sljedeći omjer na rasponu r1:

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )1

12

1

12

2

12

2

12

2

1

1~

1~1~

1~1

!21

~!21~~

cfcf

NN

cfcf

NN

cfN

ab

cfN

ab

xE

xE′′′′

⋅

−−

=′′′′

⋅−

−=

′′−−

′′−

−

= (40)

Osnovni zahtjev je ostvarenje konvergencije opisa i smanjenje pogreške opisa, pa vidimo da 1. član omjera

pogrešaka, nakon povećanja točaka, opada s kvadratom omjera broja točaka, jer je NN ≥~. Međutim, promjena

2. člana izraza je puno veća što se više približavamo rubovima, jer se zbog povećanja broja točaka točka 1~c

nalazi između točaka 0a i 1c , tj. 110~ cca << , pa je za ponašanje pogreške s obzirom na promjenu broja točaka

dominantan omjer ( ) ( )11~ cfcf ′′′′ .

Dakle, uvjet konvergencije opisa Lagrangeovom interpolacijom je:

( )( )

2

1

1

11~~

−−

<′′′′

NN

cfcf

(41)



52

2.4.4.2. Povećanjem broja točaka izvan promatranog raspona

Vidjeli smo da se povećanje točnosti opisa može u nekim slučajevima postići povećanjem broja točaka unutar

raspona opisa [ ]ba, do ograničenja razmaka točaka hmin. Ovdje će se pokazati povećanje točnosti opisa

dodavanjem točaka istog, početnog razmaka h , izvan početnog raspona opisa [ ]ba, kada je to moguće učiniti s

obzirom na oblik krivulje na rubovima opisa. Tj., to su krivulje za koje je ( ) .lim konstxfx

=±∞→

ili kod kojih je

kut nagiba tangente rubova krivulje 2πα << .

Na taj način se raspon opisa povećava za hNd ⋅ , tj. na [ ]bhNa d ,⋅+ , odnosno na [ ]bbhNaa d =⋅+=~,~ .

Pritom nas zanima samo pogreška unutar početnog raspona [ ]ba, , dok proširenje zanemarujemo.

Promatrani, početni raspon točaka r1 se ne mijenja, a u novom opisu s dodanim točkama izvan raspona opisa on

je pomaknut u dNr~ , tj.:

1~ rr

dN ≡

Odgovarajuća Lagrangeova pogreška opisa s dodanim točkama na rasponu [ ]1,~+=

ddd NNN xxr je tada:

( ) ( )( ) ( )

d

dd

d NN

d

N

N cfNhxE ~~

!1~ 1

1+

+

+≤

Prikazano samo preko broja točaka N~ opisa s jednolikim razmakom h imamo izraz:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

d

d

d

d

d

d

d NN

dN

N

NN

d

N

N cfNN

abcfN

Nab

xE 11

11

1~

~11

~!1

1~ ++

++

+

+−−

=+

−−

≤

Ako postavimo omjer pogrešaka na početku ( )xE1 , te nakon dodavanja točaka izvan raspona opisa ( )xEdN

~

dobiva se sljedeći izraz:

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )1

1

1

1

12

2

11

1

1

~

1!12

!21

~!11

~

cfcf

NNab

cfN

ab

cfNN

ab

xE

xEd

d

d

dd

d

d

d

d NN

Nd

NNN

N

N

N

′′⋅

−+−⋅

=′′

−−

+−−

=+

−

−+

+

+

Uvrštavanjem početnog razmaka točaka h imamo izraz:

( )( ) ( )

( ) ( )( )1

11

1

~

!12

~

cfcf

hNxE

xEd

d

dd NN

N

d

N

′′⋅

+=

+− (42)

Na primjer, ako je broj dodanih točaka jednak 1=dN imamo:



53

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )1

2

1

20

1

2

1

1~

31

~

!21!2

~~

cfcf

cfcfh

xE

xE

xE

xEdN

′′′′′

=′′′′′

⋅+

===

Za 2=dN imamo:

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )1

3

1

31

1

3

1

2~

121

~

!31!2

~~

cfcf

hcfcf

hxE

xE

xE

xE ivivNd

′′=

′′⋅

+==

=

Vidimo da konvergencija opisa ovisi o početnom razmaku između točaka, omjeru derivacija na promatranom

razmaku, te broju dodanih točaka dN . Vrijednost člana s faktorijelama opada s povećanjem dN , kao i omjer

derivacija jer vrijedi ( )ifff >>′′′>′′ K , dok član koji ovisi o početnom razmaku točaka može rasti ili

padati.

Skaliranjem početnog skupa točaka tako da bude 1<h , konvergencija opisa će uvijek postojati jer funkcija

faktorijela u gornjem izrazu brže raste od funkcije potencija, te vrijednosti derivacija opadaju s povećanjem broja

dodanih točaka.

Za razliku od smanjenja razmaka između točaka gdje postoji minh iza kojeg dolazi do divergencije opisa, ovdje je

.konsth = , pa u slučaju dodavanja točaka izvan raspona opisa konvergencija uvijek postoji.

Broj točaka dN , koji je potrebno dodati za ostvarenje zahtjevane točnosti opisa Err se određuje iz izraza za

pogrešku opisa Lagrangeovom interpolacijom, na temelju potrebne vrijednosti derivacije na razmakudNr~ :

( ) ( )( ) ( ) Err~

!1~ 1

1

<+

≤ +−

d

dd

d NN

d

N

N cfNhxE

Iz tog izraza dobiva se potrebna vrijednost derivacije na razmakudNr~ kao:

( ) ( ) ( )Err

!1~1

1 ⋅+

< −+

dd

dNd

NN

hN

cf (43)

Pomoću izraza (43) je moguće odrediti broj točaka koji je potrebno dodati opisu.

2.4.4.3. Zaključak o konvergenciji s obzirom na dodavanje točaka opisa

Dakle, vidimo da je dodavanjem točaka opisa izvan početnog raspona opisa uvijek moguće postići konvergenciju

opisa, te zahtjevanu točnost kod situacija kada je proširenje izvan raspona moguće. Kada se kut nagiba tangente



54

rubova krivulje α približi kutu π/2 moguće je produženje opisa po pravcu, a kod krivulja s kutom tangente

jednakom π/2 antisimetrično zrcaljenje, kako će biti pokazano na slici 15, na stranici 59.

Za opisivanje izvan raspona zadanog skupa ulaznih točaka potrebno je općenito dodavati točke bez stvarne

informacije o njihovom odnosu prema zadanim točkama, te se za njihovo određivanje mogu koristiti dostupne

informacije o razmaku točaka oko rubova ili diskontinuiteta, te zakrivljenosti na rubovima.

2.4.5. Stabilnost Stabilnost interpolacijskih metoda je povezana s proračunom inverzije interpolacijske matrice, te pripadnim

brojem točaka potrebnim za željeni opis. Pritom se nastoji postići dobra uvjetovanost interpolacijske matrice

koja neće biti singularna, tj. otežavati proračun inverzije.

Standardni kriterij mjerenja numeričke stabilnosti interpolacijske metode je njen uvjetni broj. Kod RBF

interpolacije promatramo uvjetni broj interpolacijske matrice H s članovima ( )jiij xxH −Φ= . Za bilo koju

matricu H njen uvjetni broj se za normu L2 se definira kao:

( )min

max2

12 σ

σ== −HHHcond (44)

gdje su: maxσ i minσ , najveća i najmanja vrijednost pojedinačnog elementa matrice H.

Proračunski problemi sa stabilnošću interpolacijskog postupka su vezani za direktnu inverziju matrice, te

pripadan broj ulaznih točaka N, koji određuju dimenziju pripadne matrice. Kod RBF opisa se definira kvadratna

interpolacijska matrica H, što nam daje matrice dimenzija NN × . Kako je navedeno u podpoglavlju 2.2.3.3

gdje je razmatran jednoliki raspored točaka opisa po koordinatnim osima, broj točaka kod opisivanja geometrije

brodskog trupa može brzo narasti na vrijednosti oko 4000.

Kod klasičnih jednoprocesorskih računala procesorski i vremenski zahtjevne su inverzije matrice već od oko

1000x1000 elemenata. Međutim, kod višeprocesorskih računala je rješavanje inverzije matrice sa oko

4000x4000 elemenata je dostižan cilj, pa će se u ovoj disertaciji kao granica direktne interpolacije postaviti

matrica s 5000x5000 elemenata. Pretpostavlja se da je iznad ove vrijednosti broja točaka potrebno koristiti

metode brzih transformacija i raščlane proračuna interpolacijske matrice.



55

2.5. POSTUPAK ELASTIČNOG POMAKA (ELP)

2.5.1. Osnovne postavke U prethodnom podpoglavlju smo vidjeli da proširenjem opisa povećanjem točaka izvan raspona opisa dobivaju

se opisi veće točnosti kod kojih je konvergencija usto uvijek moguća. Nadalje, opisivanja loma pomoću

elastičnog pomaka (ELP) se temelji na osnovnom svojstvu opisivanja krivulja i ploha analitičkim funkcijama

kod kojih opis ima manje oscilacije u sredini opisa nego je to slučaj na krajevima opisivanog objekta, kako to

pokazuje slika 12, na kojoj je pokazan opis Frankeove 1D funkcije, Lagrangeovim polinomima, koji

predstavljaju granični opis RB funkcijama.

-1 -0.5 0 0.5 1-5

0

5

10

15

x

y

Ulazne točke, N=21Lagrangeov polinomFrankeova 1D funkcija

Sl. 12: Opis Frankeove 1D funkcije na rasponu od -1 do 1, N = 21

Pripadna jednadžba Frankeove 1D funkcije je zadana izrazom prikazanim u Dodatku A. 1).

Stoga će se analitički, globalni funkcijski opis neke krivulje prema metodi elastičnog pomaka premjestiti u

područje manjih oscilacija izglađivanjem opisa dodavanjem točaka između razdvojene točke diskontinuiteta, te

oko rubova izvan domene opisa. Opis metode će se promotriti na primjeru 2D opisa geometrije. Sl. 13 prikazuje

opis Frankeove 1D funkcije dodavanjem po 10 dodatnih točaka jednakog razmaka oko rubnih točaka raspona,

kojima se prvotni raspon od -1 do 1 proširuje na -2 do 2.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

0

1

2

3

4

5 x 106

x

y

Ulazni podaci, N=41Lagrangeov polinomFrankeova 1D funkcija

Sl. 13: Opis Frankeove 1D funkcije na rasponu od -2 do 2, N = 41



56

Vidimo da je povećanjem broja točaka značajno povećana oscilacija opisa Lagrangeovim polinomima na

rubovima, na red veličine 105, tj. opis Lagrangeovim polinomima divergira povećanjem broja točaka kod

opisivanja Frankeove 1D funkcije.

Međutim, ako pogledamo samo prvotni raspon funkcije od -1 do 1 prikazan na slici 14, vidjet ćemo da su

oscilacije oko -1 i 1 značajno smanjene s vrijednosti reda 100 na vrijednosti oko 10-2, što je značajno poboljšanje,

te se u ovom slučaju pretpostavlja da postoji konvergencija Lagrangeovog opisa.

Dodavanje točaka izvan područja opisa je efikasna metoda poništavanja oscilacija ruba, što će se pokazati na

opisu brodske forme.

-1 -0.5 0 0.5 10.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x

y

Ulazne točke, N=41Frankeova 1D funkcijaLagrangeov polinom

Sl. 14: Prikaz dijela opisa Frankeove 1D funkcije na rasponu od -2 do 2, N = 41, u dijelu od -1 do 1

Za primjere rješenja diskontinuiteta su odabrani opisi klina dobijenog od jedinične polukružnice, te ravnih grana,

kako je pokazano na slikama 16 i 45. Na oba prikaza se mogu uočiti oscilacije rubova, koje se pojačavaju

postojanjem loma krivulje kao kod klina. U dijelu krivulja koji su udaljeni od rubova i gdje nema diskontinuiteta

dolazi do smanjenja oscilacija, pa se vidi da su to povoljna područja opisa s malim pogreškama. Iz ovih činjenica

proizlazi osnovna ideja elastičnog pomaka, kojim se opis premješta u područje malih oscilacija dodavanjem

točaka izvan domene opisa.

Ovdje će se dalje pokazati matematska formulacija ELP metode, a detaljna procedura izvođenja metode

elastičnog pomaka je pokazana u Dodatku B.

2.5.2. Matematska definicija postupka Sumiranjem svega navedenog se može odrediti matematska definicija za analitičko globalno opisivanje ELP

postupkom. Postupak će se pokazati na 2D opisu kad se sastoji od 2 pomaka s , po koordinatama osi x i y,

jednog funkcijskog analitičkog opisivanja f, te se može prikazati kao kompozicija funkcija ( )sfs −oo .



57

Definicija 5: Zadani skup točaka Njyx jj ,,1,, K= , s [ ] sj IRbax ⊆∈ 0, i [ ] IRdcy j ⊆∈ 0, je

potrebno proširiti točkama sk IRx ∈ , dNk ,,1K= , tako da dobijemo novi skup točaka

( ) djj NNjyx += ,,1,, K . Na novom skupu točaka može se zatim odrediti bijektivno preslikavanje

kompozicijom funkcija rft oo kao:

( ) [ ]( ) yyxrfsyxELPx →= ,,: oo , [ ] sj IRbax ⊆∈ , , [ ] IRdcy j ⊆∈ , , 0bb ≠ , 0dd ≠ (45)

gdje su: ( )yxELP , – složeno preslikavanje ELP postupkom,

s – funkcija koja ostvaruje pomake ( )yx ∆∆ , ,

f – analitičko, funkcijsko preslikavanje,

r – translacijska funkcija koja vrši pomake povrata za ( )yx ∆−∆− , .

Translacijska funkcija t pomiče prošireni skup točaka za pomake ( )yx ∆∆ , tako da se dobije bijektivan odnos

između ulaznog i izlaznog skupa točaka pogodan za rješavanje problema oscilacija ruba ili opisivanje

diskontinuiteta. U oba slučaja, potrebno je najprije poredati ulazne točke po redoslijedu pojavljivanja, tj. kreirati

orjentirani skup točaka ( ) dodjj NNjy += ,,1 ,, Kvvx , gdje oznaka strelicom označava orjentaciju.

Njoj ista po veličini, ali suprotnog predznaka je funkcija translacijskog pomaka r, koja vraća točke u početni

položaj, te stoga vrijedi: r = –s.

Kao funkcije translacije s za ELP postupak su odabrane:

− linearna funkcija, tj. translacija, te

− kvadratna funkcija kojom se vrši pomak po kružnici oko točke loma.

Translacija se može napisati kao:

( )( ) ( )

=−⋅+−⋅

≡∆∆=≡0

0, jj yyBxxA

yxtsjj

jj

yyxx

yyxx

>∧>

>∧>

,

,

gdje je: NLj ,,1L= – točka loma.

Odgovarajući pomak po kružnici se može napisati kao:

( ) ( ) ( )

=−+−

≡∆∆=0

,222 Ryyxx

yxs jj

a pomak ovisi o kvadrantu kružnice po kojem se vrši rotacija.



58

Dakle, postupkom elastičnog pomaka se najprije ulazni skup točaka Nixi ,,1 , K= , na rasponu s njegovim

injektivnim parovima izlaznih točaka [ ] Nidcyi ,,1 ,, K=∈ , proširuje za dodN dodanih točaka i pomiče za

pomake ( )yx ∆∆ , , tako da se dobiva novi ulazni skup podataka dodiiii NNiyyxx +=∆+∆+ ,,1,, K .

Zatim se skup točaka za poopćavanje određuje prema tom novom proširenom skupu kao Ps Njx ,,1, K= .

Nakon toga se određuje funkcijski opis f proširenog skupa točaka za dodane i pomaknute točke kao ( )xxf ∆+

uz interpolacijske uvjete yy ∆+ . Dobivene se funkcijske vrijednosti translatiraju u početne vrijednosti

pomacima ( )yx ∆−∆− , i tako dobiva opis krivulje s lomom, a dodane točke translatiraju u točku loma L.

Kratko zapis navedenog se može prikazati u sljedećem obliku:

( ) yxfyxxx

∆−=∆+=

ˆˆ

(46)

odnosno pisano zajedno:

( ) yxxfy ∆−∆+=

xxx ∆−= ˆ (47)

Provjera efikasnosti postupka će se pokazati u poglavlju 5, gdje će se rješavati problem opisivanja

diskontinuiteta brodskog rebra.

2.5.3. Konvergencija ELP postupka U razmatranjima svojstava Lagrangeove interpolacije prikazanima prethodnim podpoglavljima, vidjeli smo

probleme konvergencije opisa koje ona ima kod povećanja broja točaka opisa unutar definiranog raspona. Za

neke od krivulja koje smo željeli opisati nije bilo moguće postići željenu točnost, a slična je situacija i kod

postojanja diskontinuiteta krivulje, gdje nikako nije moguće postići poboljšanje točnosti opisa na cijelom

rasponu opisa.

Za razliku od standardne procedure povećanja broja točaka unutar raspona opisa, kod postupka Elastičnog

pomaka se točke dodaju izvan početnih raspona opisa. Vidjeli smo da kod određivanja pripadne pogreške opisa

proširenjem izvan raspona ulaznih točaka uvijek postoji konvergencija opisa, prema (43). Kako se diskontinuiteti

različiti od rubova sastoje od najmanje 2 grane, proširenje opisa će se izvršiti s obje strane loma L.



59

2.6. RJEŠENJA PROBLEMA ANALITIČKOG OPISIVANJA

GEOMETRIJE ELP POSTUPKOM

2.6.1. Rješenje nebijektivnih opisa U slučaju nebijektivnog opisa je potrebno je odrediti nebijektivno područje geometrije, tj. odrediti njegovu

početnu TNB i završnu točku TB. Zatim je potrebno preslikati nebijektivni skup oko točke nebijektivnosti TNB,

metodama ELP postupka.

Kod pomaka translacijom u odnosu na točku nebijektivnosti tako imamo pomak ( )ii yx ∆∆ , :

( ) ( )( )

−+=∆−>∆−+=∆

≡NBiii

NBiiNBiii

yyfyyxxxxxfxx

t,

Dakle, dozvoljeno je odabrati bilo koju funkciju, ali je potrebno zadovoljiti uvjet da je točka ix koja se nalazi u

nebijektivnom području veća od točke xNB. Na primjer, u slučaju linearne funkcije bismo mogli imati izraz:

( )NBiii xxxx −⋅+=∆ 2 .

Kod zakrivljenih dijelova geometrije broda koji su nebijektivni, kao što su to bulbovi, potrebno je odrediti točke

kod kojih počinje nebijektivnost, te je postaviti kao os antisimetričnog preslikavanja, kako to pokazuje slika 15,

dolje. U tu svrhu je potrebno odrediti i središte zakrivljenosti u točci nebijektivnosti, koje se određuje na temelju

normala u okolnim točakama geometrije.

Sl. 15: Određivanje središta zakrivljenosti u točci nebijekcije

Nakon toga se vrši antisimetrično zrcaljenje, kako je pokazano na slici 15.



60

2.6.2. Rješenje oscilacija ruba - Rungeovog fenomena Primjenom ELP postupka je moguće ostvariti povećanje točnosti opisa dodavanjem točaka istog, početnog

razmaka h, izvan početnog raspona opisa [ ]ba, , kako je to opisano u potpoglavlju 2.4.4.2. Izraz za kovergenciju

Lagrangeove interpolacije dodavanjem točaka izvan raspona opisa (43), pokazuje da je rješenje Rungeovog

problema ovim načinom uvijek moguće. To pokazuje i slika 14 na kojoj je pokazan opis Frankeove 1D funkcije,

kod koje se vidi povećanje točnosti opisa u odnosu na Lagrangeov opis povećanjem broja točaka unutar raspona

opisa, na slici 12.

2.6.3. Rješenje problema opisivanja diskontinuiteta - Gibbsovog fenomena

Provjera efikasnosti rješenja opisa diskontinuiteta, tj. Gibbsovog fenomena, metodom elastičnog pomaka, ispitat

će se na slučaju opisa loma s granama određenim dijelovima jedinične kružnice, prikazane na slici 16, koja

pokazuje i jedan od rezultata opisa za N = 11.

-0.5 0 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

L

-0.5 0 0.5

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

x

Err

0 10 20 30 40 50 6010-5

100

105

1010

1015

0 10 20 30 40 50 60

10-5

100

105

1010

1015

N

log(

|Err

|)

Sl. 16: Opis loma određenog dijelovima jednične kružnice Lagrangeovim polinomima za N = 11



61

Nakon postupka elastičnog pomaka na kružnicu najvećeg zajedničkog radijusa, pogreška opisa simetričnog klina

s granama radijusa jedinične kružnice Lagrangeovim polinomima s N = 11 točaka se mijenja u opis kružnice s

N = 21 točkom, koji pokazuje slika 17, dolje. Usporedbom pogrešaka opisa koje pokazuje slika 18, vidimo da

se dodavanjem 10 točaka (5 sa svake strane loma) pogreška opisa sa oko Errmax ≅ 0,15 pomiče na oko Errmax ≅

10-6.

Dakle, približan potreban broj točaka se može odrediti iz dijagrama pogreške opisa kružnice, prikazan na slici

16, određen za jednoliki raspored točaka opisa. Pritom, pripadni dijagrami pogreške N – Err i r – Err, izrađeni

za jediničnu kružnicu, daju najbolju konvergenciju za glatke opise Lagrangeovim polinomima.

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

y

LD

RL1RD1

LL

P+

Sl. 17: Dodavanje točaka po najvećem radijusu, ELP faza III

-1 -0.5 0 0.5 110-20

10-15

10-10

10-5

100

x

log(

|Err

|)

Klin Klin log(Err(x)) Kruznica Kruznica log(Err(x))

Sl. 18: Usporedba lokalne točnosti opisa loma prije i nakon dodavanja točaka po ELP postupku

Za drukčije rasporede točaka je potrebno napraviti odgovarajuće dijagrame pogreške opisa jedinične kružnice,

kao što su Čebiševljev raspored ili Haltonove točke.



62

2.7. ZAHTJEVI BRODSKE PRORAČUNSKE GEOMETRIJE Prema definiranim osnovnim ciljevima brodske proračunske geometrije moguće je definirati zahtjeve koje

osnovne funkcije opisa promatrane geometrije brodskog trupa moraju ispuniti. To su:

2.7.1. Nedvosmislen i precizan opis Prvi cilj proračunske geometrije je moguće ispuniti ako metoda i funkcije opisa omogućavaju nedvosmislen i

precizan opis svih geometrijskih karakteristika objekta. Pritom, najveću prepreku u ispunjavanju tog cilja

predstavlja opis loma forme brodskog trupa, odnosno bijektivnost geometrije. Osim toga, opis forme odabranim

funkcijama mora zadovoljavati vrijednosti G i C kontinuiranosti. Radi izbjegavanja efekta grupiranja pogreške u

jednoj točci dodatno je potrebno uvesti i kriterij velike preciznosti opisa, pa iz svega toga proizlaze i sljedeći

zahtjevi koje funkcije trebaju ispuniti. Oni su:

Zahtjev 1: Velika lokalna preciznost opisa odabranim funkcijama od RMSE < 10-4, što je deseti dio

zahtjevane točnosti u brodogradnji.

Zahtjev 2: Odabrane funkcije moraju omogućiti gladak opis promatranog objekta, tj. ispuniti zahtjeve C i G

kontinuiranosti po cijelom promatranom objektu, odnosno dijelovima objekta.

Zahtjev 3: Odabrane funkcije moraju omogućiti opis lomova forme bez oscilacija.

Zahtjev 4: Odabrane funkcije moraju omogućiti opis nebijektivnih dijelova forme.

2.7.2. Proračun presjeka Nadalje, odabrane funkcije moraju omogućiti direktni proračun presjeka kod 2D, odnosno 3D problema opisa.

Kod proračuna brodske geometrije, to znači da je potrebno omogućiti proračun presjeka vodne linije VL s

brodskim trupom. Proračun presjeka nam dalje omogućava i proračun intrinsičkih, hidrostatskih svojstava broda.

Zahtjev 5: Direktan proračun presjeka brodske geometrije s morskom okolinom za ravninske vodne linije.

Direktni proračun presjeka kod 2D, odnosno 3D problema opisa, može se postići samo opisom objekta

polinomima, bilo algebarskim, bilo trigonometrijskim.

Iz toga proizlazi sedmi zahtjev za osnovne funkcije opisa a temelji se na ograničenju današnje matematske

znanosti koja poznaje rješenja cjelobrojnih polinoma do uključivo 6. stupnja.

Zahtjev 6: Stupanj odabranih polinoma mora biti niži ili jednak 6. stupnju, tj. prihvatljivi su polinomi

stupnjeva od 1 do 6.



63

Rješenja polinoma do uključivo 4. stupnja se mogu odrediti osnovnim algebarskim operacijama (Abelov

teorem), dok se rješenja polinoma 5. i 6. stupnja mogu odrediti pomoću hipergeometrijskih funkcija.

2.7.3. Proračun intrinsičkih svojstava Proračunom intrinsičkih svojstava nekog objekta se dobivaju njegova vlastita svojstva. U slučaju brodske forme,

intrinsička svojstva su geometrijska svojstva trupa broda, zajedno sa njegovim hidrostatskim svojstvima. Njihov

direktni proračun se u slučaju primjene funkcija opisa vrši dvostrukom integracijom po 2 odabrane osi globalnog

koordinatnog sustava. Pritom nastaje problem grupiranja pogreške u jednoj točci. Iz toga proizlazi sljedeći

zahtjev za globalnom točnošću opisa:

Zahtjev 7: Velika globalna preciznost opisa odabranim funkcijama od iskustvenih oko RMSE < 10-4.

Zahtjev 8: Integrabilnost odabrane funkcije za 2D i 3D probleme integracije, tj. s odabranim funkcijama je

potrebno mogućiti proračun jednostrukih i dvostrukih osnovnih 6 integrala u brodogradnji.

Zahtjev 9: Derivabilnost odabrane funkcije iznad minimalno 2. derivacije, u svrhu osiguranja proračuna

zakrivljenosti, tangenti, normala i binormala, te drugih svojstava diferencijalne geometrije krivulja

i ploha.

U potpoglavlju 7.1.1.4 je prikazan primjer opisa brodskog rebra kod kojeg se javlja grupiranje pogreške u jednoj

točci u slučaju niske globalne preciznosti opisa.

2.7.4. Ispunjavanje ciljeva proračunske geometrije standardnih RBF

Standardne RBF koje su opisane u prethodnom poglavlju ispunjavaju samo neke od ciljeva proračunske

geometrije. Sve odabrane funkcije ispunjavaju kriterije invertibilnosti interpolacijske matrice, zahtjev 1, te

djelomično zahtjev G i C kontinuiranosti, zahtjev 3. Ovaj zahtjev ispunavaju djelomično radi beskonačne

derivabilnosti koju posjeduju posjedovanjem racionalnog eksponenta što im osigurava analitička svojstva, ali i

oscilatorni karakter. Iscrtavanje krivulje centara zakrivljenosti i vektora normala u zadanim ulaznim točkama

nam pokazuje neželjene oscilacije između točaka opisa niskog intenziteta.

Međutim, zahtjeve lokalne točnosti, zahtjev 2, i točnosti opisa loma bez oscilacija, zahtjev 4, ispunjavaju samo

funkcije s polinomskom preciznošću i funkcije s kompaktnom podrškom (u Dodatku G) je prikazana tablica s

rezultatima točnosti različitih RBF funkcija u opisivanju odabranog testnog brodskog rebra s lomom i prelukom).

Nadalje, RBF s polinomskom preciznošću i RBF s kompaktnom podrškom, radi velike preciznosti opisa,

omogućuju i proračun intrinsičkih svojstava broda, tj. proračun jednostrukih integrala kod 2D metoda. Proračun



64

dvostrukih integrala intrinsičkih svojstava kod 3D metoda proračuna se ne može izvesti radi nepostojanja

rješenja dvostrukih integrala radijalnih osnovnih funkcija sa Euklidskom L2 normom (što će biti opisano u

Poglavlju 4 ove disertacije).

Konačno, standardne RBF ne omogućuju direktan proračun presjeka jer ispunjavaju zahtjev kod kojeg im

eksponent ne smije imati cjelobrojnu vrijednost. Stoga imaju racionalne vrijednosti eksponenta, te se dobivaju

polinomi s racionalnim eksponentima za koje današnja matematika ne poznaje rješenje. Iz tog razloga se

standardne RBF izvode u redove (Taylorov, Laurentov, …), izvode u nove oblike metodama brze transformacije

(FFT, FGT, FMM, …), odnosno modificiraju metodama dekompozicije.

U sljedećem poglavlju će se pokazati nestandardne RBF koje zadovoljavaju sve zahtjeve koje funkcije opisa

moraju ispuniti u cilju opisivanja brodske geometrije.



65

3. RADIJALNE OSNOVNE FUNKCIJE

3.1. OPĆENITO Razvoj matematske teorije bezmrežnih metoda započinje prije stotinjak godina radovima statističara

Woolhousea 1870., De Foresta 1873. i 1874., te Grama 1883. godine, koji su razvijali metode bezmrežne lokalne

regresije temeljene na metodi pokretnih najmanjih kvadrata (eng. Moving Least Squares Method).

Zatim se razvoj bezmrežnih metoda usmjerava ka rješavanju problema interpolacije raštrkanih podataka (eng.

Scattered Data Interpolation Problem), odnosno problemu inverzije pripadne interpolacijske matrice.

Kao rješenje problema interpolacije raštrkanih podataka su određene radijalne osnovne funkcije (RBF), čijom se

primjenom dobiva interpolacijska matrica čiju inverziju je potrebno osigurati. Radovi i teoremi Bochnera, 1933.,

[48], Schoenberga 1938., [49], [50] i Williamsona 1956. godine, [51], iz sredine 20.-og stoljeća se usmjeravaju

ka osiguranju invertibilnosti interpolacijske matrice, što je moguće postići pozitivno definiranim funkcijama.

Njihov rad u zadnja 3 desetljeća nastavljaju Micchelli 1986., [52], Schaback 1995., [53], Wendland 1995., [54], i

Wu 1995., [55], koji razvijaju nove, bezmrežne tehnike proračuna temeljene na RBF.

Nadalje, Poggio and Girosi su u radu iz 1998., [56], dokazali da RBF imaju svojstvo najboljih aproksimatora

(eng. the best approximation property), te se RBF od tada sve više koriste za modeliranje 3D objekata složene

geometrije pomoću tehnika lokalne interpolacije i aproksimacije.

3.1.1. Problem interpolacije raštrkanih podataka

Problem interpolacije raštrkanih podataka se može definirati kao problem određivanja funkcije Pf koja dobro

opisuje skup točkama zadanih podataka, određenih mjerenjem na točkama mjerenja koje ne moraju biti pravilno

raspoređene u mrežnom obliku.

3.1.1.1. Definicija problema

Definiramo preciznu formulaciju problema interpolacije raštrkanih podataka:

Definicija 6: (Interpolacija raštrkanih podataka). Za zadani skup točaka ( ) Njy jj ,,1 ,, K=x , s

IRyIR js

j ∈∈ ,x potrebno je naći (kontinuiranu) funkciju fP takvu da je ( ) .,,1 , NjyP jjf K==x

Kako je dozvoljeno da se xj nalazi u proizvoljnom s – dimenzionalnom prostoru sIR („s“ označava prostor

Soboleva – prostor kontinuiranih integrabilnih funkcija), formulacija problema nam dozvoljava razne primjene

rješenja gore navedenog problema, pa tako i u opisivanju geometrije objekata kao što je brodski trup.



66

3.1.1.2. Rješenje problema baznim funkcijama

Kod uobičajenog pristupa rješavanju problema raštrkanih podataka koristi se pretpostavka da je funkcija Pf

linearna kombinacija odeđenih baznih funkcija Bk, tj.:

( ) ( ) sN

kkkf IRBwP ∈= ∑

=

xxx , 1

(48)

Oblik rješenja (48) proizlazi iz svojstava RBF po kojima se one nalaze u Hilbertovom prostoru repodukcijskih

jezgri (eng. Reproducing Kernel Hilbert Spaces), te imaju orto-normalne osnovne funkcije, što će biti pokazano

u sljedećem potpoglavlju.

Rješavanjem interpolacijskog problema uz gore navedenu pretpostavku dobiva se sustav linearnih jednadžbi:

ywA =⋅ (49)

gdje su: ( ) NkjxBA jkjk ,...,1, , == - članovi interpolacijske matrice A,

[ ]TNww ,,1 K=w , i

[ ]TNyy ,,1 K=y .

3.1.1.3. Reprodukcijske jezgre Hilbertovih prostora

Pretpostavka (48) je rezultat razmatranja Hilbertovih prostora, te pripadnih reprodukcijskih jezgri (eng.

Reproducing Kernel), koji je u analizu uveo Aronszajn 1950. godine, Error! Reference source not found..

Teorem 1: Neka je H Hilbertov prostor realnih funkcija ( ) IRIRf s →⊆Ω: sa skalarnim umnoškom

H.,. . Tada se funkcija IRK →Ω×Ω: zove reprodukcijski kernel na H ako vrijedi:

1) ( ) Ω∈∀∈ xHxK ,.,

2) ( ) ( ) Ω∈∀∈∀= xHfxKfxfH

, , .,,

Postojanje reprodukcijskog kernela je ekvivalentno činjenici da su funkcionali xδ u točci orubljeni linearni

funkcionali na Ω (Rieszov reprodukcijski teorem), tj. postoji pozitivna konstanta M = Mx takva da je:

( ) Ω∈∀∈∀≤= xHffMxffHx , , δ

Također vrijedi i ( ) Ω∈∀∈ yHyK ,., , pa Hilbertov prostor ima svojstva:

1) ( ) ( ) ( ) Ω∈∀⋅= yxxKyKyxKH

, ,.,.,,

2) ( ) ( ) Ω∈∀= yxxyKyxK , ,,,



67

3) Konvergencija norme Hilbertovog prostora proizlazi iz Caushy-Schwartzove nejednakosti:

( ) ( ) ( ) Ω∈∀−≤−=− xxKffxKffxffHnHnn , ., .,,

a implicira konvergenciju u točci (eng. Pointwise convergence), tj.:

Ako 0→−Hnff za ∞→n , onda ( ) 0→− xff n , Ω∈∀x .

Reprodukcijski kernel K je pozitivno definiran, pa se pojam pozitivno definitne funkcije može proširiti na

pozitivno definiranu jezgru.

Iz svojstava Hilbertovog prostora reprodukcijskih jezgri proizlaze i sljedeća svojstva:

− konvergencija u točci (poglavlje 3.1.1.3),

− striktno pozitivna definiranost,

− ortonormalnost rješenja.

3.1.2. Invertibilnost interpolacijske matrice. Dobro-postavljen interpolacijski problem

Problem 1. je dobro postavljen, tj. rješenje problema će postojati i biti jedinstveno, onda i samo onda ako je

matrica A nesingularna.

Za jednodimenzionalne probleme je poznato da je moguće interpolirati N proizvoljnih različitih podataka

korištenjem polinoma stupnja N – 1. Međutim, to ne vrijedi i za višedimenzionalne probleme o čemu govori

teorem Mairhubera iz 1956., [58], i Curtisa iz 1959. godine, [59].

Teorem 2: (Mairhuber-Curtis). Ako ,2 , ≥⊂Ω sIRs sadrži unutarnju točku, tada ne postoje Haar prostori

kontinuiranih funkcija osim za jednodimenzionalne prostore.

Teorem Mairhuber-Curtisa nam dalje govori da se dobro-postavljen problem interpolacije raštrkanih podataka ne

može dobiti za unaprijed zadan fiksni skup osnovnih funkcija, već on treba ovisiti o položaju ulaznih podataka.

Rješenje ovog problema je jednostavno i zahtjeva malo odstupanje opisa od mrežnog. Iz tog razloga se osnovne

funkcije B nadalje temelje na udaljenostima između točaka, tj. njihovim pripadnim normama.

Iz gore navedenog se može definirati zahtjev koji odabrana funkcija opisivanja mora ispuniti:

− Osnovna funkcija koja se koristi za opisivanje geometrijskog objekta mora omogućiti ispunjavanje

zahtjeva invertibilnosti interpolacijske matrice.

Takve funkcije su funkcije temeljene na normi, a jedne od njih su radijalne osnovne funkcije.



68

3.1.3. Radijalne (osnovne) funkcije Prema Teoremu Mairhuber-Curtisa dobro postavljen interpolacijski problem se dobiva korištenjem osnovnih

funkcija koje se temelje na udaljenostima između ulaznih točaka. Takve funkcije su radijalne osnovne funkcije,

kao funkcije koje se temelje na normama (obično Euklidskoj, L2 normi) između skupa točaka ulaznih podataka i

točaka centara razvoja.

Ove funkcije obično imaju samo jedan parametar koji se zove parameter oblika, c, a njihova definicija u slučaju

interpolacije je:

( ) sjjj IRccc ∈−Φ=Φ=Φ=Φ xxxxxtx ,,);,();,(

2 (50)

gdje su: tj – točke centara razvoja RBF s Mj ,...,1= , gdje je broj O centara razvoja funkcije,

xj – točke centara razvoja RBF za interpolaciju, gdje je O = N.

Točke xj i tj se ne moraju nužno poklapati s točkama x ulaznog skupa podataka.

Ovaj oblik funkcije omogućava definiranje funkcija više varijabli, koje su pritom i radijalne. Možemo pisati

sljedeću definiciju:

Teorem 3: Funkcija IRIRs →Φ : se zove radijalna ako ona omogućava postojanje funkcije jedne varijable

[ ) IR→∞0,:φ takve da je:

( ) ( ) xxx =∈=Φ rIRr s , ,φ (51)

Iz uvjeta radijalnosti funkcije proizlazi svojstvo:

( ) ( ) sIRxxxxxx ∈=Φ=Φ⇒= 212121 ,

To znači da je vrijednost radijalne funkcije Φ konstantna za bilo koju točku na nekoj udaljenosti od ishodišta.

3.1.4. Definicija RBF mreža RBF mreže se po analogiji s neuronskim mrežama mogu definirati kao direktne, unaprijedne, jednoslojne

neuronske mreže. Osnovno svojstvo im je da imaju:

− moguć beskonačan broj članova ulaznog skupa podatka,

− moguć beskonačan broj članova izlaznog skupa podataka,

− moguću beskonačnu dimenziju ulaznog skupa podataka,

− moguću beskonačnu dimenziju izlaznog skupa podataka.

Njihovi ulazi i izlazi su povezani težinskom sumom radijalnih osnovnih funkcija što im omogućuje pripadnost

reprodukcijskim jezgrama Hilbertovog prostora, te se definicija RBF mreže, kao što je pokazuje slika 19.



69

RBF mreže su mreže čiji su ulazi i izlazi su povezani težinskom sumom radijalnih osnovnih funkcija

translatiranih oko točaka centara razvoja, čiji broj ovisi o odabranoj matematičkoj proceduri opisa promatranog

objekta, interpolaciji ili aproksimaciji.

Sl. 19: Unaprijedna, jednoslojna RBF neuronska mreža

Kada je broj elemenata ulaznog skupa podataka jednak broju elemenata skupa centara razvoja, O = N, imamo

interpolacijsku mrežu, sa interpolacijskom metodom proračuna i odgovarajućom matricom. Ako to nije tako, tj.

O ≠ N, dobiva se aproksimacijska mreža, sa odgovarajućom aproksimacijskom matricom. Položaj točaka

ulaznog skupa u odnosu na točke centara razvoja je prikazuje slika 20, gdje su točke ulaznog skupa označene s

xi, a točke centara razvoja sa O.

Matematski, RBF mreže su definirane kao linearna kombinacija određenih osnovnih funkcija, sljedećim

izrazom:

( ) ( )∑∑∑===

=Φ==O

jjj

O

jjj

O

jjj txwxwBwxf

111,)(ˆ φ (52)

gdje su: si IRxNix ∈= ;,...,1, – skup ulaznih podataka,

Bj – osnovne funkcije,

Φj – radijalne osnovne funkcije,

tj – centri razvoja RBF mreže s Oj ,...,1 = , gdje je O broj centara razvoja,

wj – težinski koeficijenti RBF mreže,

φ – radijalne osnovne funkcije temeljene na Euklidskoj normi između ulaznih podataka i

centara razvoja mreže, te

)(ˆ xf – poopćena interpolacijska/aproksimacijska funkcija.



70

Sl. 20: Položaji točaka ulaznog skupa i točaka centara razvoja

U svrhu zadovoljenja zahtjevane preciznosti opisa kojom se može postići i integrabilnost i derivabilnost

poopćene funkcije RBF mreže, u ovoj disertaciji će se primarno razmatrati interpolacijske metode.

Odabrane radijalne osnovne funkcije će morati zadovoljiti uvjet invertibilnosti inverzne matrice, tj. one će morati

biti pozitivno definitne funkcije.

3.1.5. Rješenje problema interpolacije raštrkanih podataka

Rješenje problema interpolacije raštrkanih podataka se dobiva direktnom inverzijom interpolacijske matrice H

pomnoženom s vrijednostima izlaznog skupa podataka y, tj. s:

y⋅= −1Hw (53)

gdje su: y – točke izlaznog skupa podataka, 1×N .

w – vektor težinskih koeficijenata RBF izraza, 1×N ,

H – interpolacijska matrica neuronske mreže, NN × s elementima jir :

=

)()()(

)()()(

)()()(

1

1

1111

NNNjN

iNiji

Nj

rrr

rrr

rrr

φφφ

φφφ

φφφ

KK

MOMNM

KK

MNMOM

LK

H

gdje je: jir - norma ij xx − , Nij ,,1, K= .

Kao rezultat proračuna se dobivaju težinski koeficijenti mreže wj, čiji je broj jednak broju centara razvoja.

Glavni nedostatak RBF mreža je problem s proračunom težinskih koeficijenata mreže povezan s mogućom

singularnošću gornje interpolacijske matrice, odnosno problem invertibilnosti te matrice. Matrica H mora biti

dobro-postavljena, a glavni kriterij za to je da je interpolacijska matrica pozitivno definirana.



71

3.1.6. Pozitivno definitne funkcije Pozitivno definitne funkcije je prvi proučavao Mathias 1923. godine, [60], a Stewart je 1976., u [61], prvi

proširio to razmatranje na striktno pozitivno definitne funkcije. Konačno, Michelli je 1986. godine, [52], prvi

povezao interpolaciju raštrkanih podataka s pozitivno definitnim funkcijama.

3.1.6.1. Definicija pozitivno definitnih funkcija

Definicija pozitivno definitnih funkcija je:

Teorem 4: Kompleksno definitna funkcija ICIRs →Φ : se zove pozitivno definitna na sIR ako je:

( ) 01 1

≥−Φ∑∑= =

N

jkj

N

kkj xxww (54)

za bilo kojih N različitih točaka sN IRxx ∈,,1 K i [ ] NT

N ICww ∈= ,,1 Kc .

Definicija 7: Osnovna svojstva pozitivno definitnih funkcija su, [39]:

1) Ne-negativna linearna kombinacija pozitivno definitnih funkcija je pozitivno definirana.

Ako su NΦΦ ,...,1 pozitivno definirane na IRs i Njwj ,...,1 ,0 =≥ tada je i funkcija

( ) ( ) sn

jjj IRxxwx ∈≥Φ=Φ ∑

=

,01

također pozitivno definirana. Usto, ako je ijedna Φj striktno pozitivno definirana, te ako je odgovarajući

težinski koeficijent 0>jc , tada je Φ pozitivno definirana.

2) ( ) 0≥Φ 0 ,

3) ( ) ( )xx Φ=−Φ ,

4) Bilo koja pozitivno definirana funkcija je orubljena, tj.

( ) ( )0Φ≤Φ x ,

5) Ako je Φ pozitivno definirana s ( ) 0=Φ 0 tada je 0≡Φ ,

6) Umnožak (striktno) pozitivno definitnih funkcija je (striktno) pozitivno definitna funkcija.

Svojstva 1) i 2) proistječu direktno iz definicije 3. Svojstvo 5) proistječe iz 4), a 6) je rezultat teroretskih

zaključaka iz linearne algebre prema Schurovom teoremu koje je iznio Wendland 2005. godine, [62].



72

Postojanje Haar prostora osigurava invertibilnost interpolacijske matrice H, odnosno postojanje i jedinstvenost

interpolanta oblika (48) za podatke iz prostora B određene u točkama Nxx ,,1 K .

3.1.6.2. Kriteriji prihvatljivosti osnovnih funkcija za rješavanje problema

interpolacije raštrkanih podataka

Glavni uvjet prihvatljivosti osnovne funkcije u rješavanju problema interpolacije raštrkanih podataka može biti

ispunjen ako osnovna funkcija zadovoljava jedan od sljedeća 3 kriterija; tj. da je funkcija:

− Striktno pozitivno definitna,

− Potpuno monotona, i

− Višestruko monotona funkcija.

Funkcije koje zadovoljavaju gore navedene uvjete se nazivaju pozitivne, radijalne osnovne funkcije.

3.1.6.3. Bochnerov teorem o pozitivno definitnim funkcijama

Integralnu karakterizaciju pozitivno definitnih funkcija su definirali Bochner i Schoenberg 30.-ih godina prošlog

stoljeća. Bochner je u svojim radovima definirao karakterizaciju pozitivno definitnih funkcija za s = 1, 1932.,

[63], te za opći s, 1933. godine, [48], u smislu Fourierove transformacije, za pozitivno definitne funkcije iz (57).

Teorem 5: (Bochner) Neka (kompleksna) funkcija ( )sIRC∈Φ je pozitivno definitna na sIR ako i samo onda

ako je Fourierova transformacija konačne ne-negativne Borelove mjere µ na sIR , tj.:

( ) ( )( )

( ),y2

1ˆ ∫ ⋅−==ΦsIR

yx

sdexx µ

πµ sIRx ∈ (55)

3.1.6.4. Striktno pozitivno definitne funkcije

Da bismo dobili dobro-postavljen problem Bochnerova karakterizacija se mora proširiti na striktno pozitivno

definitne funkcije:

Teorem 6: Neka jeΦ kontinuirana funkcija na ( )sIRL1 , gdje je L Lebesqueova mjera. Φ je striktno pozitivno

definitna onda i samo onda ako je Φ orubljena i ako je njena Fourierova transformacija Φ ne-

negativna i nije identično jednaka nuli.

Wendland je u svojoj knjizi iz 2005., [62], pokazao da je za osiguranje pozitivne definiranosti funkcije Φ

potrebno osigurati samo to da je Φ ne-negativna.



73

Kada nam Fourierova transformacija nije dostupna, postoje 2 alternativna kriterija za ocjenu da li je funkcija

striktno pozitivna i radijalna na sIR .

3.1.6.5. Potpuno monotone funkcije

Schoenberg je 1938. godine u svojim radovima [64] i [65], dokazao da je funkcija φ striktno pozitivna i radijalna

na sIR ako je potpuno monotona.

Uvjet potpune monotnosti za svaki s je:

( ) ( )( ) ... ,2 ,1 ,0 ,0 ,01 =>≥− lrrllφ , ∨ .konst≠φ (56)

Wendland je 2005. dokazao da vrijedi i obrnuto, [62].

Teorem 7: (Haussdorff-Bernstein-Widder). Funkcija [ ) IR→∞,0:φ je potpuno monotona na [ )∞,0 onda i

samo onda ako je Laplaceova transformacija konačne Borelove mjere µ na [ )∞,0 , tj. ako jeφ

oblika:

( ) ( ) ( )∫∞

−==0

tderLr rt µµφ

3.1.6.6. Višestruko monotone funkcije

Williamson je dodatno 1956. godine, [51], pokazao da su osim potpuno monotonih funkcija i višestruko

monotone funkcijeφ striktno pozitivne i radijalne na sIR za neki fiksni s.

Uvjet da je višestruke monotonosti je da je funkcijaφ ne-negativna, ne-rastuća, i konveksna ili jednostavno:

0≥′′φ (57)

3.2. STABILNOST I UVJETOVANOST RBF INTERPOLACIJE

3.2.1. Uvjetni broj U poglavlju 2 smo vidjeli da se ocjena stabilnosti i uvjetovanosti neke interpolacijske matrice može dati na

temelju uvjetnog broja. Kod RBF interpolacije promatramo uvjetni broj interpolacijske matrice H s

članovima ( )jiij xxH −Φ= . Za bilo koju matricu H njen L2 uvjetni broj se definira kao:



74

( )min

max2

12 σ

σ== −HHHcond (58)

gdje su: maxσ i minσ , najveća i najmanja singularna vrijednost od H.

Ako promatramo samo pozitivno definitne matrice, tada se uvjetni broj od H može izračunati kao omjer:

( )min

max

λλ

=Hcond (59)

najvećeg i najmanjeg rješenja (eng. eigenvalue).

Prema Gershgorinovom teoremu (Meyer 2000. [66]) vrijedi:

NiHHN

ijj

ijii ,...,1 za , 1

max ∈≤− ∑≠=

λ

gdje je: λmax - najmanje rješenje simetrične pozitivno definitne matrice.

Stoga vrijedi:

( )jiXxxijNjixxNHN

ji

−Φ⋅=⋅≤∈= ,,...,1,max maxmaxλ

Tj., za striktno pozitivno definitne funkcije vrijedi:

( )0max Φ⋅≤ Nλ (60)

što proizlazi iz svojstava pozitivno definitnih funkcija u ishodištu.

Dakle, za određivanje granica uvjetnog broja od H, potrebno je naći njegove donje graniceλmin, odnosno gornje

granice norme inverzne matrice2

1−H , Ball i ostali 1992., [67], Narkowich i ostali 1994., [68].

Iz Courant-Fischerovog teorema proizlazi najmanje rješenje simetrične pozitivno definitne matrice kao:

wwHww

T

T

IRw N 0/min min

∈=λ (61)

3.2.2. Minimalna udaljenost između točaka

Narcovich i Ward, [68], su uspostavili granice norme inverzije od H u smislu minimalne udaljenosti između

točaka koja je dozvoljena da bi matrica bila dobro uvjetovana s:

2min

21

jijiχ xxq −=≠

(62)



75

gdje za χq možemo uzeti radijus najveće kugle koja se može opisati oko neke točke bez preklapanja s kuglom

druge točke.

3.2.2.1. Granice odabranih RBF s L2 normom

Granice odabranih RBF koje će se dalje koristiti su navedene u tablici 1, ispod, [62]. Sve su skalirane radi

eliminiranja utjecaja parametra oblika funkcija c.

Tab. 1: Granice nekih RBF

Osnovna funkcija, ( )rφ Izraz Granice norme od H-1

Gaussove 22 xce− ( ) ( )2

271,40

min 2 εχελ Xq

ss

s eqC−

− ⋅⋅≥

Poopćena (inverzna)

multikvadratna ( ) 0

2 / ,1 INIRcx ∈+ ββ

( ) cqMsX

s

eqcsC2

21

2min ,,

−+−⋅⋅≥

β

χβλ

Tankostijeni spline ( ) ( ) INxx ∈− + βββ ,log1 21 ( ) ( ) βχ

ββλ 22

min 2 qMcsC s ⋅⋅⋅≥ −−

Funkcije radijalnih potencija ( ) INx 2 0,1 2 ∉<− βββ ( ) ( ) βχ

ββλ qMcsC s ⋅⋅⋅≥ −−2min

RBF s kompaktnom podrškom ( ) ( )xx ksks ,, ϕ=Φ ( ) 12min , +⋅≥ kqksC χλ

Vrijednosti granica norme λmin inverzije matrice H-1 podijeljene s konstantama C će se korisititi u provjeri

dobre uvjetovanosti interpolacijskih matrica u daljnjem proračunu.

3.3. TIPOVI RBF I NJIHOVA SVOJSTVA

3.3.1. Podjela RBF s obzirom na normu Najčešće korištene RBF, danas, su osnovne funkcije koje se zasnivaju na Euklidskoj L2 normi razlike ulaznih

podataka i centara razvoja, za koje postoji teorijska podloga temeljena na Bochnerovom teoremu, odnosno

Fourierovim transformacijama radijalnih osnovnih funkcija. Ostale norme su manje korištene, i nedovoljno

istražene. Razlog tome je prvobitna namjena RBF u statistici i kartografiji, te u skorije vrijeme razvijenim

bezmrežnim metodama proračuna u čvrstoći (Meshless methods) i mehanici fluida (SPH method), [38].

RBF su do sada malo korištene u svrhu geometrijskog modeliranja, te u proračunskoj geometriji. U tim

primjenama su uglavnom korištene u metodama aproksimacije, s točnošću koja ne omogućava integriranje i

deriviranje bez pojave grupiranja pogreške u jednoj točci. Zahtjevi proračunske geometrije zahtjevaju rješavanje



76

problema presjeka dvaju geometrijskih tijela, te proračun njihovih svojstava, kako je to opisano u potpoglavlju

2.7.4.

U ovom podpoglavlju će se opisati standardne, dosad korištene radijalne osnovne funkcije s njihovim

svojstvima, dok će se u idućem podpoglavlju opisati nove RBF definirane u ovoj disertaciji.

3.3.2. Svojstva RBF mreža RBF mreže predstavljaju direktnu, eksplicitnu metodu opisivanja promatranih geometrijskih objekata. To je

metoda opisa po dijelovima (eng. piecewise), koja može biti globalnog i lokalnog karaktera.

Osnovni problemi takvih metoda opisa su osiguravanje bijektivnosti opisa promatranog objekta, te opis lomova i

singulariteta oblika.

Iz tog razloga je za ispunjavanje zahtjeva proračunske geometrije potrebno izvršiti metode preslikavanja opisane

u dijelu 2 ove disertacije.

3.3.3. Intrinsička svojstva RBF RBF mreže imaju neka dobra intrinsička svojstva koja su redom:

− Translacija,

− Rotacija, i

− Refleksija.

Ova svojstva RBF proistječu iz njihove pripadnosti Hilbertovom prostoru reprodukcijskih funkcija – njihovom

Nativnom prostoru. Ona će se koristiti u izboru koordinantog sustava opisa, te u rješavanju problema opisa loma.

3.3.4. Striktno pozitivno definitne radijalne osnovne funkcije

Ako kao osnovne funkcije iB u formulaciji RBF mreže izaberemo funkcije koje generiraju striktno pozitivno

definitnu interpolacijsku matricu, Mitcchelli 1986. godine, [52], uvijek ćemo imati dobro-postavljen

interpolacijski problem.

3.3.4.1. Definicija

Prema Wendlandovom teoremu, [62], radijalna osnovna funkcija je striktno pozitivno definitna i radijalna

na sIR onda i samo onda ako je s–dimenzionalna Fourierova transformacija od ( )xφ ne-negativna i identično

različita od nule.

3.3.4.2. Primjeri funkcija

Primjere striktno pozitivno definitnih funkcija navodi Fasshauer, 2007., [39]:



77

− Gaussove funkcije – radijalne funkcije,

− Laguerre-Gaussove – beskonačno diferencijabilne, oscilatorne funkcije (ne striktno pozitivno definitne i

radijalne na sIRs ∀, ), Andrews i ostali (1999), [69],

− Poissonove funkcije - oscilatorne funkcije koje su radijalne i striktno pozitivno definitne na sIR (i sve

sIR ≤σ ), nisu definirane u ishodištu, ali se mogu proširiti tako da budu beskonačno diferencijabilne za

sve sIR , Fornberg i ostali (2004), [70],

− Matérn funkcije – ovise o modificiranim Besselovim funkcijama 2. vrste (ponekad se zovu modificirane

Besselove funkcije 3. vrste, ili MacDonaldove funkcije, ili Sobolevljevi splineovi reda v , Schaback

(1995), [71].

Gore navedene funkcije su poopćenja Gaussove funkcije i mogu se svrstati u jednu kategoriju, tj. samo osnovna

Gaussova funkcija će se dalje razmatrati u određivanju prikladnih funkcija za opisivanje geometrije brodskih

formi. Tab. 2 i slika 21 prikazuju funkcije koje su poopćenje Gaussove funkcije.

Tab. 2: Striktno pozitivno definitne funkcije koje se temelje na Gaussovoj funkciji

Osnovne funkcije,

( )xΦ Izrazi

Fourierova Transformacija,

Φ

Gaussova 0,22

>− ce xc ( )2

2

4

2

1 cs e

c

ω−

Laguerre-Gaussova

( )( ) ( ) k

N

i

ksn

sn

x

tknsn

ktL

xLe

∑=

−

−+−

=0

2/

22/

2/!1

,2

04!2 0

24

2

≥∑=

−n

jj

j

s je ω

ω

Poissonova ( )

2,12/12/ ≥−

− sx

xJs

s ( )( )

1,...,1,,

22

11

1

22

2

<<−≤

−

Γ

−

−

−−

s

s

ss

ωωσπσ

ω

σσ

σ

Matérn spline ( )

( ) 2,2 1

2/2/ ≥

Γ−

−− s

xxK ss

ββ

ββ ( ) ββω

β2,0,1 2 <>+

−s



78

-10 -5 0 5 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Laguerre-Gaussian, s=2, n=2 Gaussian, c=2Poisson, s=2Matern, β=2, s=2

Sl. 21: Striktno pozitivno definitne funkcije koje se temelje na Gaussovoj funkciji

Druga grupa striktno pozitivno definitnih i radijalnih osnovnih funkcija koje se ne temelje na Gaussovoj funkciji

su prema Fasshaueru, 2007., [39]:

− Inverzne Multikvadratne (eng. MQ, Multiquadrics) – beskonačno diferencijabilna, Hardy 1971., [72],

− Opće Multikvadratne, Fornberg and Wright 2004, [73],

− Odrezane funkcije potencija (eng. Truncated Power Functions) – funkcije s kompaktnom podrškom,

− Potencijali i Whittakerove radijalne funkcije, Abramowitz and Stegun (1972), [74].

Tab. 3, dolje, pokazuje funkcije striktno pozitivno definitne funkcije koje nisu poopćenje Gaussove funkcije.

Tab. 3: Striktno pozitivno definitne funkcije koje se ne temelje na Gaussovoj funkciji

Osnovne Funkcije, ( )xΦ Izrazi

Inverzna Multikvadratna

( ) sIRxINcr ∈∉≤+ ,2,0,22 βββ

Opća Multikvadratna

( ) sIRxINcr ∈∉>+ ,2,0,1 22 βββ

Odrezane funkcije potencija

( )lr +−1

Potencijali i Whitteker

( ) ( ) 22/,10

1 +≥−∫∞

−+ skdttfrt k

gdje je 2jxxr −= .

Sl. 22 prikazuje grafove funkcija koje izlistava tablica 3.



79

-10 -5 0 5 100

5

10

15

20

Truncated Power, l=2 Generalized Inverse, MQ, β=-0.5Whittakers Function, α=0,k=2

Sl. 22: Striktno pozitivno definitne funkcije koje se ne temelje na Gaussovoj funkciji

3.3.5. Uvjetno pozitivno definitne radijalne funkcije Iduća klasa radijalnih osnovnih funkcija su uvjetno pozitivno definitne funkcije (eng. Conditionally Positive

Definite) reda m , Micchelli (1986), [52], i Guo i ostali (1993), [75]. To su funkcije koje omogućuju prirodno

poopćavanje RBF interpolacije s polinomskom preciznošću, koja se može primjeniti na opis geometrije

brodskog trupa.

3.3.5.1. Definicija radijalnih funkcija

Izraz za RBF opis se dakle može izmijeniti u izraz:

( ) ( ) sM

lll

N

jji IRxxpctxwxf ∈+= ∑∑

==

,;,)(ˆ11ωφ (63)

gdje Mpp K1 tvore osnovu za ( )11

−+−= ms

mM – dimenzionalni linearni prostor sm 1−Π polinoma ukupnog

stupnja manjeg ili jednakog m – 1 za s varijabli.

Postoje uvjetno i striktno pozitivno definitne funkcije. Potreban uvjet da bi funkcija Φ bila uvjetno pozitivno

definirana je da ima poopćenu Fourierovu transformaciju reda m, kontinuiranu na 0sIR , tj. ako je Φ ne-

negativna i ne iščezava.

Za osiguranje jedinstvenog rješanja potrebno je dodati M dodatnih uvjeta:

( ) MlpwN

llll ,,1 ,0

1K==∑

=

x (64)

s najvećim stupnjem polinoma 1−m .

Funkcija Φ je striktno uvjetno pozitivno definitna funkcija reda m na sIR ako je njen kvadratni oblik jednak 0

samo za 0≡w .



80

Ako se njihova uvjetna pozitivna definitnost može povezati s potpuno monotnim i višestruko monotonim

funkcijama ali ne i poopćenom Fourierovom transformacijom, imamo novi kriterij striktno uvjetno pozitivno

definitne radijalne funkcije Φ.

3.3.5.2. Primjeri funkcija

Primjere uvjetno pozitivno definitnih funkcija navodi Fasshauer 2007., [39]:

− Poopćene multikvadratne, Hardy (1971), [72],

− S radijalnim potencijama (bez parametra oblika c), bez parnih potencija,

− Tankostijeni splineovi (bez parametra oblika c, poliharmonijski splineovi), Duchon (1976), [76].

Tab. 4 i slika 23 pokazuju neke od uvjetno pozitivno definitnih radijalnih funkcija.

Tab. 4: Uvjetno pozitivno definitne radijalne funkcije

Osnovne Funkcije,

( )xΦ Izrazi

Fourierova Transformacija,

Φ

Opće Multi-kvadratne

( ) sIRxINcr ∈∉>+ ,2,0,1 22 βββ

( ) ( ) 0 , 2

2

21

≠

−Γ +

−−+

ωωω

β β

ββ

cKc s

s

Radijalnih Potencija (tankostijeni 3D spline)

( ) sIRxINr ∈∉>− ,2,0,1 ββββ ( ) 20,

2

22 2

INβ

ss

s

∉<

−Γ

+

Γ−−

+

β

β

ωβ

β

0 , ≠ω

Tankostijenispline 2D

( ) sIRxINrr ∈∈− + ,,log1 21 βββ ( ) INs ss

∈

+Γ− −−+−+ βωββ βββ ,!

221 22

121

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 550

10

20

30

40

50

60

x

y

Generalized MQ, β=1.5,c=2Radial Power, β=3, c=2Thin-plate spline, β=2

Sl. 23: Uvjetno pozitivno definitne radijalne funkcije



81

3.3.5.3. Neka svojstva uvjetno pozitivno definitnih funkcija

Uvjetno pozitivno definitna matrica NN × reda 1 je pozitivno definirana na podprostoru dimenzije N – 1i ima

svojstvo da je najmanje N – 1 njenih rješenja (eng. eigenvalues) pozitivno. To svojstvo proizlazi iz Courant –

Fischerovog teorema iz linearne algebre.

Teorem 8: (Courant-Fischer) Neka je H realna simetrična matrica NN × s rješenjima Nλλλ ≥≥≥ ...21 .

Tada je:

HxxT

xvxkk

1dim

minmax=

∈==

υλ (65)

i

HxxT

xvxkNk

11dimmaxmin

=∈+−=

=υ

λ (66)

Ako dodatno uvjetujemo da je matrica uvjetno pozitivno definitna matrica NN × reda 1 i nema pozitivni trag,

tj. ( ) 01

≤= ∑ =

N

k kAtr λ , tada ona ima jedno negativno i N – 1 pozitivnih rješenja. Ovo dodatno svojstvo

vrijedi za negativne Hardyjevu MQRBF za 10 << β ili negativne polinomske radijalne funkcije s

cjelobrojnim eksponentima.

Teorem 9: (Michellijev teorem o interpolaciji) Pretpostavimo da je Φ striktno uvjetno pozitivno definitna reda 1

i da je ( ) 00 ≤Φ . Tada za bilo koje različite točke sN IRxx ∈,...,1 , matrica H, sa

elementima ( )kjjk xxH −Φ= , ima N – 1 pozitivnih i 1 negativno rješenje, te je stoga

nesingularna.

3.3.6. RBF s kompaktnom podrškom

RBF s kompaktnom podrškom (eng.Compactly Supported Radial Basis Function, CSRBF) su striktno uvjetno

pozitivne i radijalne funkcije reda m > 0, ali ne za sve s na sIR , Micchelli (1986), [52]. Prihvatljiv raspon RBF

s kompaktnom podrškom je definiran na nekom ograničenom rasponu s , sa uvjetom 22 −+≤ mks , tj. za

maksimalnu s vrijednost. Ovo ograničenje omogućava da Φ bude integrabilna i stoga posjeduje klasičnu

kontinuiranu Fourierovu transformaciju Φ . Za integrabilne funkcije, poopćena Fourierova transformacija se

poklapa s klasičnom Fourierovom transformacijom.



82

Sl. 24: Kompaktna podrška funkcija

U svrhu dobivanja kompaktne podrške, udaljenost točaka centara od točaka poopćavanja se dijeli s nekom

veličinom, d, koja mora biti veća od minimalne udaljenosti između točaka (na primjer 2,5 puta), kako pokazuje

slika 24. Na toj slici se vidi primjer kod kojeg točka poopćavanja Gx ima kompaktnu podršku točaka centara t

koje su označene crveno, dok plava točka ne pripada kompaktnoj podršci točke xG.

Funkcije φs,k s kompaktnom podrškom su podržane na [0, 1] i imaju polinomski opis, s minimalnim stupnjem

opisa za zadanu dimenziju prostora s i glatkost 2k.

Ove funkcijeφs,k su striktno pozitivno definitne i radijalne na sIR i imaju oblik:

( ) [ ]

>

∈=

1 ,0,1,0 ,,

, rrrp ks

ksφ (67)

s polinomom s jednom varijablomφs,k stupnja 132 ++ ks .

Na primjer, Wendlandove RBF s kompaktnom podrškom, [54], su dobivene uzastopnim ponavljanjem operatora

I, odnosno njegove inverzije D po nizu dimenzija (eng. "Dimension walk") nad odrezanom funkcijom potencija

( )ll r +−= 1φ , uz konačno dobivene funkcije: 12/, ++= ks

kks I ϕφ .

Wendland je pritom operatore I i D definirao kao:

Definicija 8: Operatori I i D su definirani kao:

Neka jeφ takva da je ( ) [ )∞∈→ ,01Lttt φ . Tada definiramo integralni operator I kao:



83

( )( ) ( ) 0 , ≥= ∫∞

rdtttrIr

φφϕ (68)

Za parne ( )IRC 2∈φ definiramo diferencijalni operator D kao:

( )( ) ( ) 0 ,1≥′−= rr

rrD φφ (69)

Tab. 5, dolje, pokazuje popis nekih od funkcija s kompaktnom podrškom, Wendland (1995), [54], Wu (1995),

[55], Buhmann (1998), [77].

Tab. 5: Funkcije s kompaktnom podrškom

Osnovne Funkcije

( )xΦ Izrazi

Wendland

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]363341

111

12/ with ,1

2222,

11,

0,

+++++−=

++−=

++=−=

++

++

+

rlrllr

rlr

kslr

ls

ls

ls

φ

φ

φ

Wu ( ) ( )( ) ( )324

3,

43252,

52029161

525484081

rrrr

rrrrr

s

s

++++=

+++++=

+

+

φ

φ

Buhmann 1123221log12 2344 +−+−= rrrrrφ

Sl. 25 prikazuje grafove funkcija s kompaktnom podrškom koje izlistava tablica 5.

-1 -0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

BuhmannWu, k=2Wendland, k=2

Sl. 25: Grafovi funkcija s kompaktnom podrškom



84

Poznate su još i oscilatorne RBF s kompaktnom podrškom, Gneiting 2002., [78], te funkcije koje se zovu

"Euklidov šešir" (eng. Euclid's hat). Funkcije "Euklidovog šešira", konstruirane po analogiji prema B-spline

funkcijama konvolucijom karakteristične funkcije, nisu striktno pozitivno definitne i radijalne za sve IRs za s >

1, a za s = 1su striktno pozitivno definitne za parne redove.

Oscilatorne RBF s kompaktnom podrškom su striktno pozitivne i radijalne na SIR za 3≥s korištenjem

posebnog operatora (eng. "turning bands operator") i koje se neće koristiti za geometrijsko opisivanje radi

oscilatornog karaktera.

Najveća prednost RBF s kompaktnom podrškom je što daju interpolacijsku matricu H kvazi-dijagonalnog

oblika, tj. kompaktna podrška osigurava da je velik broj elemenata matrice H jednak 0. Radi smanjenja broja

članova različitih od 0, inverzija odgovarajuće interpolacijske matrice je lakša za računanje.

3.3.7. Polinomska preciznost Općenito gledano, rješavanje proširenog interpolacijskog problema s polinomskim članom vodi ka rješavanju

sustava linearnih jednadžbi oblika:

=

0y

ωw

0PPH

T (70)

gdje su: ( ) NjixBH jiij ,,1,, K== ,

( ) MlxpP jllj ,,1, K== ,

[ ]TNww ,,1 K=w ,

[ ]TMωω ,,1 K=ω ,

[ ]TNyy ,,1 K=y ,

0 je nulti vektor duljine M.

Gornji sustav linearnih jednadžbi se može rješiti samo pomoću kriterija (64) i stoga se jedinstveno rješenje može

dobiti uvrštavanjem tog kriterija.

3.3.8. Minimalan stupanj polinoma funkcija Za odabranu uvjetno pozitivno definitnu RBF, određen je minimalni stupanj polinoma prema, [79], kako je

pokazano u tablici 6.



85

Tab. 6: Minimalni stupanj polinoma ovisno o odabranoj RBF

Minimalan zahtjevani stupanj Osnovna Funkcija,

( )rφ

Osnovni stupanj

2D 3D

Biharmonijski spline

1 1 0

Triharmonijski spline

2 2 1

Multikvadratna 2β

212:02

polinomaBez:02−

=≥

<ββ

β

d

Dodani polinom osigurava dodatnu glatkost opisa, pa je potrebno pažljivo koristiti ga, te ga njegov stupanj treba

birati prema karakteristikama geometrije koja se opisuje.

3.3.9. Analogija RBF s kubičnim splineom Splineovi imaju nekoliko značajnih svojstava koji su motivirali daljnji razvoj teorije aproksimacije, te nastanak

radijalnih osnovnih funkcija. Ta svojstva su:

1. Oni su polinomi po dijelovima,

2. Interpolacijski prirodni kubični spline ima svojstvo minimalne norme,

3. Posjeduju lokalne osnovne funkcije (B-spline).

Njihovo najvažnije svojstvo je definicija po dijelovima dok su svojstvo minimalne norme i posjedovanje

osnovnih funkcija dalje doprinijeli razvoju teorije multivarijantih funkcija.

Poznato je da kubični spline ( )XS3 ima baze ( ) Njx j ≤≤−⋅+

1,3 , uz dodatnu prozvoljnu baznu funkciju.

Oznaka +x označava nenegativne vrijednosti x , a ostale su jednake 0. Prema [62], svaki prirodni

spline ( )XS3N se može napisati kao:

( ) ( ) ∑∑==

++−=

3

01

3

j

jj

N

jjj xxxxs βα (71)

Kako prirodni spline s ima dodatne uvjete, s je linearan na vanjska 2 intervala. Stoga je u njegovom

prikazu ( ) ∑=

=3

0j

jj xxs β nužno 032 == ββ .

Nadalje, korištenjem jednakosti ( ) 2/333 xxx +=+ , uz uvjete 011

== ∑∑==

N

jjj

N

jj xαα koje moraju zadovoljiti

koeficijenti αj prirodnog splinea, dobiva se:



86

( ) ( ) xxxxxxsN

jj

jN

jj

j10

1

3

1

3

22ββ

αα++−+−= ∑∑

==

( ) ( ) xxxl

xxxsN

j

lljj

l

lN

jj

j10

1

33

0

3

1

31

321

2ββα

α++−

+−= ∑∑∑

=

−

=

−

=

( ) xxxxsN

jjj 10

1

3 ~~~ ββα ++−= ∑=

(72)

gdje su: 2~jj αα = , Nj ≤≤1

∑−= 321

00~

jj xαββ

∑+= 223

11~

jj xαββ

Rezultirajući spline je linearna kombinacija pomaka radijalnih funkcija ( )⋅=Φ φ .

Funkcija se zove radijalna jer je kompozicija univarijantnih funkcija s Euklidskom normom na IR . Poopćenje

radijalnih funkcija na dIR daje interpolante oblika jednakim onima u matričnom obliku (70) opisanim kod

polinomske preciznosti:

( ) ( ) ( )xpxxxsN

jjj +−= ∑

=1

3φα , dIRx ∈ (73)

gdje je: [ ) dIR→∞,0:φ – univarijatna funkcija,

( )dm IRp 1−∈π – d-varijantni polinom niskog stupnja.

Dodatni uvjeti za koeficijente su:

( ) 01

=∑=

N

jjj xqα , ( )d

m IRq 1−∈∀ π (74)

U praksi se dodatni polinomski članovi često izostavljaju, a kada se koriste govori se o polinomskoj preciznosti

kao što je pokazano u potpoglavlju 3.3.7.

Na temelju teorije splineova se dalje razvila teorija multivarijantnih funkcija. Gore navedeno 2. svojstvo

splineova omogućuje nepromjenivost funkcijskog izraza bez obzira na broj dimenzija problema, što proizlazi iz

sljedećeg razmatranja:

Ako prirodni interpolacijski kubični spline označimo s Xfs , , uz pretpostavku da je funkcija

[ ] [ ]baLbaCf ,, 2⊂∈ , dio prostora svih integrabilnih funkcija Soboleva [ ]baH ,2 , te da zadovoljava

interpolacijske uvjete ( ) Njfxf jj ≤≤= 1, , vrijedi jednakost:

( ) [ ] 0,,,,

2=′′′′−′′

baLXfXf ssf



87

što je lako zaključiti iz Pitagorinog teorema:

[ ] [ ] [ ]2

,

2

,,

2

,,222 baLbaLXfbaLXf fssf ′′=′′+′′−′′

Kako je prije navedeno, tražimo kontinuiranu funkciju interpolacije s na nekom definiranom području

bxxaX N <<<< K1: na kojem imamo definirane vrijednosti funkcija Nff ,,1 K . Dakle, tražimo

funkciju [ ] IRbas →,: s uvjetima:

( ) Njfxs jj ,,1, K== .

Poznato je da se za funkciju s može odabrati polinom p s najvišim stupnjem 1−N , tj. ( )IRp N 1−∈π .

Općenito, za jednodimenzijske probleme uz 1=d , ako je Haarov prostor ( )IRCS ⊂ dimenzije N fiksan,

uvijek postoji jedinstven interpolant Ss ∈ . S pritom ima svojstvo da ovisi samo o zadanim točkama. Prema

Maierhuber-Curtisovom teoremu to nije moguće i za višedimenzijske slučajeve za 2≥d , kako je to navedeno

ranije u potpoglavlju 3.1.2. Skup kubičnih splineova za gore zadani ulazni skup se može napisati kao:

( ) [ ] [ ] ( ) NiIRxxsbaCsXS jj ≤≤∈∈= + 0,,|:, 312

3 π , gdje je: ax =0 i bxN =+1 .

On se sastoji od dva puta diferencijabilnih kubičnih polinoma na intervalu X . Prostor ( )XS3 ima

dimenziju ( )( ) 4dim 3 += NXS , tako da interpolacijski uvjeti ( ) Njfxs jj ,,1, K== ne osiguravaju

dovoljan broj uvjeta za postojanje jedinstvenog interpolanta. U tu svrhu će se dodati još 4 dodatna uvjeta kojima

će se dobiti prirodni kubični spline, tj. dodavanjem uvjeta ( ) ( ) 011 =′′′=′′ xsxs i ( ) ( ) 0=′′′=′′ NN xsxs .

Stoga prirodni kubični spline ( )XS3N ima dimenziju ( )( ) NXS =3dim N .

3.3.10. Hermiteova RBF interpolacija Kao jedna od metoda opisivanja geometrije, u literaturi se navodi i Hermiteova RBF interpolacija, [80], [39],

[81], koja je potencijalno primjenjiva u opisivanju brodskih formi.

Definiramo skup podataka sjjj IRNjfL ∈= xx ,,,1,, K , gdje je NLL ,,1 K=L skup linearno

nezavisnih linearnih funkcionala. Tražimo interpolant oblika:

( ) ( )ξxx ξ −= ∑=

φN

jjjf LwP

1 (75)

gdje funkcional diferencira RBF izraz po centrima razvoja, uz zadovoljenje uvjeta:

NifLPL ifi ,,1, K==



88

Formiramo linearni sustav jednadžbi fL ⋅=⋅ wH s članovima φξjiij LLH = , Nji ,,1, K= . Uz

pretpostavku 2, IRyx ∈=x zadan je skup ulaznih podataka kao unija skupova ( ) niii f 1, =xx i

( ) N

niixf

i 1, +=∂∂ xx .

Tada imamo:

( ) ( ) ( )j

N

njjj

n

jj x

wwPf xxxxx −∂∂

−−= ∑∑+==

φφ11

(76)

i

−=

xxx

x

ΦΦΦΦ

H (77)

gdje su: ( )jiij xx −=Φ φ , nji ,,1, K=

( )jiijx xxx −

∂∂

−=Φ−φ

, , Nnjni ,,1;,,1 KK +==

( )jiijx xxx −

∂∂

=Φφ

, , njNni ,,1;,,1 KK =+=

( )jiijxx xxx −

∂∂

=Φ 2

2

,φ

, Nnji ,,1, K+=

Ovaj pristup se u literaturi zove Kansin pristup Hermiteovoj RBF interpolaciji, [80]. U slučajevima konstantnih

vrijednosti parametra oblika funkcije kod MQRBF interpolacijska matrica postaje singularna, pa je potrebno

koristiti Njkonstc j ,,1., K=≠ .

Rezultati opisa brodskog rebra s lomom su pokazani u Dodatku E i vidljivo je da točnost opisa nije

zadovoljavajuća. Potrebno je dakle primjeniti neki drugi pristup problemu opisa loma, što će biti učinjeno u

sljedećim poglavljima.

3.4. OVISNOST SVOJSTAVA RBF O PARAMETRIMA c I β

3.4.1. Općenito

Svojstva RBF ovise o odabiru parametara oblika funkcije c , te eksponentu funkcije β , kako je to pokazano u

jednadžbi (50), gdje je naveden osnovni oblik RBF. U prethodnom potpoglavlju su navedene radijalne osnovne

funkcije temeljene na L2 normi, koje se najčešće koriste u opisivanju. Iz pripadnih Fourierovih transformacija

RBF se dalje mogu odrediti i područja dozvoljenih vrijednosti globalnih eksponenata funkcije β , što umnogome

određuje proračunska svojstva RB funkcija s L2 normom.



89

Za razliku 3D primjena, u 2D opisima geometrije se prirodno L2 norma reducira u L1 normu, sa slabijim

ograničenjima parametara RBF, kao:

( ) ( ) ( ) sjj IRxcxxcxxcr ∈−=−== ,,,;

1φφφφ (78)

gdje je: jxxr −=

Za gore odabrane RBF pokazat će se njihova ovisnost o parametru oblika c , te glavnom eksponentu β , za L1 i

L2 norme razlika vrijednosti ulaznih točaka jx i centara razvoja ix . Kao testne funkcije će se koristiti standardne

Frankeove funkcije, koje su navedene u Dodatku A.1).

Za potrebe daljnjeg razmatranja izvest će prošireni oblik definicije RBF s više parametara.

3.4.2. Prošireni oblik definicije RBF

Kao glavni parametri kojima su standardno definirane RBF određeni su globalni eksponent β , te parametar

oblika c , kako je to navedeno u jednadžbi (50):

( ) ( ) sj IRxccr ∈−== ,,;

2xxφφφ , gdje je:

2jr xx −=

Kod standardnih RBF s euklidskom L2 normom, o parametru oblika direktno ovise i svojstva funkcije, tj. točnost

opisa, kako je to pokazano na slici 26, dolje.

Za razliku od L2 norme, RBF s L1 normom imaju drukčija svojstva, sa slabijim ograničenjima parametra

funkcije, koji omogućavaju bolja proračunska svojstva RB funkcija, slika 26. Stoga će se u ovoj disertaciji broj

parametara RB funkcija proširiti odabranu normu, eksponent normeγ , globalni eksponent funkcije β , te

parametar oblika c, čime će se RBF definirati u obliku:

( ) ( )∑ +=βγγγβ crlcrf l,,;; (79)

gdje su: rl - Lebesqueova norma,

l - parametar Lebesqueove norme,

γ - eksponent norme.

3.4.3. Norma L2

3.4.3.1. Parametar oblika c

Kao što je prije spomenuto, o parametrima oblika RB funkcije, ovise, ne samo točnost RBF opisa, već i njegova

glatkost. Stoga se u literaturi preporuča izbor vrijednosti parametra oblika c blizu 0, kako to pokazuje slika 26, za

MQ i Gaussovu RBF kod opisa Frankeove 2D funkcije.



90

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.510-10

10-5

100

105

1010

1015

c

RM

SE

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.510-5

100

105

1010

1015

1020

c

RM

SE

Sl. 26: Dijagram senzitivnosti funkcija u opisu Frankeove 2D funkcije s N=841 točkom,

a) MQRBF, 5,0=β b) Gaussova RBF 2=β

Izbor vrijednosti parametra oblika osim toga direktno utječe na dobru uvjetovanost interpolacijske matrice RBF

opisa, te je potrebno pažljivo birati vrijednosti parametra c.

Sl. 27: Opis Frankeove 2D funkcije s N=841 točkom, uz MQRBF s 5,0=β 001,0=c

Vidimo da se može odrediti granična vrijednost parametra c, tj. područje za koje je točnost opisa

zadovoljavajuća, ovisno o odabranoj RB funkciji. Gaussova RBF tako ima nešto nižu točnost opisa u odnosu na

MQRBF, te kod većeg broja točaka kod nje može doći do oscilacija ruba opisa. Kod MQRBF ne dolazi do

oscilacija, pa su one općenito najpogodnije za 3D opisivanje geometrije.



91

3.4.3.2. Glavni eksponent funkcije β

Vrijednosti globalnih eksponenata funkcije β su ograničene na nepovoljne vrijednosti sa stajališta proračunske

geometrije, kako će to biti dalje pokazano u ovom potpoglavlju.

Promotrit ćemo utjecaj glavnog eksponenta β funkcije MQRBF, te Fourierovu transfomaciju njenog poopćenog

izraza određenu s:

( ) ( ) ( ) ss

s

IRxccKc

∈>≠

−Γ=Φ +

−−+

,0 ,0 , 2ˆ2

21

ωωω

βω β

ββ

(80)

gdje su: Γ – Gama funkcija,

Kv – modificirana Besselova funkcija 2. vrste, reda v (MacDonaldova funkcija).

U nazivniku gornjeg izraza se nalazi Gama funkcija čiji graf i graf njene recipročne vrijednosti su prikazani na

slici 28.

-4 -2 0 2 4-15

-10

-5

0

5

10

x

y

Γ1/Γ

Sl. 28: Graf Gama i recipročne Gama funkcije

Vidimo da funkcija MQRBF nije definirana za cjelobrojne vrijednosti eksponenta β, te se u literaturi preporuča

korištenje vrijednosti K,2,1,2 == kkβ

Ako se pogleda dijagram senzitivnosti funkcije MQRBF o glavnom eksponentu funkcije β kod opisa testne

Frankeove 2D funkcije dobije se dijagram na slici 29.



92

-2 0 2 4 6 8 10 12 14

100

1020

β

log(

RM

SE)

Sl. 29: Dijagram senzitivnosti β - log(RMSE), kod MQRBF opisa Frankeove 2D funkcije s N=841

Iz slike 29 vidimo da funkcija ima singularne vrijednosti za cjelobrojne, pozitivne vrijednosti eksponenta β, što

potvrđuje gornje razmatranje o Fourierovoj transformaciji MQRBF. Također, vidi se da su rezultati opisa točniji

što je eksponent funkcije niži. Za negativne vrijednosti eksponenta, tj. u području definicije inverzne MQ RBF,

točnost opisa je odlična, ali bez potrebne glatkosti opisa, kako će to biti pokazano u Dodatku F.

Općenito se može uočiti problem glatkosti poopćavanja opisa geometrije f , gdje je moguće postići zahtjevanu

točnost opisa, ali to istovremeno ne osigurava i pripadnost RBF opisa prostoru kontinuiranih funkcija, tj.

( )IRCf ∉ˆ . Slični zaključci se mogu izvesti i za druge RB funkcije, kako je prikazano Fourierovim

transformacijama u tablicama 1 do 3.

Dobijeni funkcijski izrazi za RB funkcije s L2 normom sadrže racionalne funkcije, u kompoziciji s drugim

funkcijama, te su ti izrazi proračunski nepovoljni kako će to biti pokazano u Poglavlju 4. Proračunski su

najpovoljnije funkcije s cjelobrojnim eksponentom, tj. polinomi, pa će se dalje potražiti RBF s takvim

svojstvima u ovisnosti o drugim normama argumenata funkcije, kao što je norma L1.

3.4.4. Norma L1

3.4.4.1. Općenito

Ako se umjesto norme L2 odabere norma L1, glatke funkcije se dobivaju u području definicije 2D funkcija, tj. za

( )IRCf ∈ , dok se za 3D opise dobivaju opisi ( )IRCf 0∈ , tj. opisi su mogući, ali bez osiguranja

kontinuiranosti derivacija, što ove funkcije čiji prikladnim za potrebe proračunske geometrije, ali ne i

geometrijskog oblikovanja.



93


Dok je područje efikasnih vrijednosti parametra oblika funkcije c kod L 2 normi ograničeno, kod L1 norme cijelo

područje vrijednosti daje dobre rezultate točnosti opisa, kako to pokazuje slika 30, dolje. Lošu uvjetovanost

interpolacijske matrice je lako izbjeći izbjegavanjem jednolikog razmaka točaka po pravcu, te izborom drukčijeg

rasporeda točaka, kako je to opisano u poglavlju 2, tj. izborom Čebiševljevih ili Haltonovih točaka, odnosno

slučajnim rasporedom.

Kao primjer za istraživanje senzitivnosti parametra oblika c kod L1 norme je uzet opis Frankeove testne 1D

funkcije s β = 3, prikazan dijagramom c - log(RMSE), na slici 30.

Sl. 30: Dijagram senzitivnosti )RMSElog(−c , kod MQRBF opisa Frankeove 1D funkcije,

β = 3, γ = 1, N = 65, bez skaliranja, raspon [ ]15,10−

Vidimo da je oblik dijagrama ( )RMSElog vrijednosti obrnut od onog kod norme L2, gdje je porastom

vrijednosti parametra c padala točnost opisa MQRB funkcijom. Umjesto toga, minimalna točnost opisa se

postiže za 0→c , dok povećanjem vrijednosti ∞→c vrijednost ( )RMSElog dobiva neku asimptotsku

vrijednost iznad tražene točnosti od 10-4.

Što se tiče negativnih vrijednosti c, kao i kod norme L2, kod poopćavanja nije osigurana glatkost opisa funkcije

poopćavanja f , pa se ovo područje funkcija preporuča samo u proračunske svrhe.



94

3.4.4.3. Pomoćni eksponent funkcije γ

Promjenom norme L 2 u normu L 1, svojstva opisivanja funkcije MQRBF kod 3D problema se ne mijenjaju, tj. za

vrijednosti glavnog eksponenta β je i dalje potrebno izabirati vrijednosti različite od cjelobrojnih. Međutim,

odabrana vrijednost pomoćnog eksponenta 2=γ , kojom se reducira racionalna funkcija norme i osigurava

dodatna glatkost opisa, kod norme L1 ne mora biti jednaka 2. Ako se pomoćni eksponent funkcije, tj. eksponent

normeγ, sγ = 2 u γ = 1, dobiva se povoljnija situacija vezano za izbor vrijednosti glavnog eksponenta funkcija

MQRBF, kako će biti dalje pokazano.

Kao i ranije, i ovdje će se promotriti MQRBF opis Frankeove testne 2D funkcije, tj. osjetljivost izbora glavnog

eksponenta funkcije β.

-2 0 2 4 6 8 10 12 14

10-10

100

1010

1020

β

log(

RM

SE)

Sl. 31: Dijagram senzitivnosti β - log(RMSE) za Frankeovu 1D funkciju uz γ = 1

Interpolacija MQ RBF, 019,0=c , N = 65, nije skalirano [ ]15,1 −

Na slici 31, gore, se vidi da singularne točke log(RMSE) nisu jako izražene, za razliku od rezultata proračuna

za normu L2, te se ne javljaju kod cjelobrojnih vrijenosti eksponenta. Kako izborom norme L1 argument RB

funkcije više nije racionalna funkcija, a za glavni eksponent β možemo izabrati cjelobrojne vrijednosti, kao

rezultat dobiva se polinom, tj. RBF polinomskog tipa, prikladne za namjenu u proračunskoj geometriji.



95

Potrebno je još ispitati svojstva polinomskih RBF u opisivanju brodske geometrije s diskontinuitetima, što će biti

učinjeno u narednim poglavljima.

3.5. RBF PRORAČUNSKE GEOMETRIJE I NJIHOVA SVOJSTVA Kao što je objašnjeno u poglavlju 3.4 standardne RBF ne mogu ispuniti sve zahtjeve koje osnovne funkcije

moraju ispuniti da bi se ostvarili svi ciljevi proračunske geometrije. Zbog toga se prema zaključcima iz

prethodnog poglavlja u ovoj disertaciji uvode nove radijalne osnovne funkcije koje će ispuniti veći broj ili sve

gore navedene zahtjeve ovisno o dimenzionalnosti metode koja se koristi u opisivanju brodske geometrije.

Nove radijalne funkcije se temelje na eksponentima blizu i jednakim cjelobrojnima, te normama različitim od L2,

s osnovnom primjenom kod 2D problema opisa geometrije.

3.5.1. Problem interpolacije raštrkanih podataka za p – norme. Uvjetno pozitivno definitne funkcije i p – norme

Osim L2 norme moguće je koristiti i druge norme, tj. promatramo problem interpolacije raštrkanih podataka

radijalnim funkcijama s p – normama, Baxter 1991., [82]. Te norme su općenito obično definirane kao:

∞<≤∈

= ∑

=

pIRxxx sps

i

pip

1 , ,

1

1

(81)

3.5.1.1. Problem singularnosti inverzne matrice

Dyn i ostali su 1989., [83], pokazali da ako promatramo samo matrice udaljenosti, tj. interpolacijske matrice

generirane osnovnim funkcijama ( )p

xx =Φ uz izbor p = 1 dobiva se singularna matricu za vrlo jednostavan

skup različitih interpolacijskih točaka ( ) ( ) ( ) ( ) 1,0,1,1,0,1,0,0=Χ , kod koje je matrica udaljenosti za normu

L1 singularna. Iz tog razloga L1 norme se više nije koristila kod radijalnih funkcija, niti istraživala.

Međutim, istraživanje primjene L1 norme kod opisivanja brodske forme u ovoj disertaciji je pokazalo njenu

nadmoć nad drugim normama kod 2D problem opisivanja, te moguću primjenu i kod 3D opisivanja brodske

geometrije, što će se pokazati u narednim poglavljima

3.5.1.2. Haltonove točke

Primjenom Haltonovih točaka se, međutim, nikada ne dobiva singularna L1 matrica udaljenosti. U stvari, matrica

ima N – 1 negativno i1 pozitivno rješenje.

Postupak dobivanja Haltonovih točaka je opisan u podpoglavlju 2.2.3.6.

3.5.2. Problem cjelobrojnih vrijednosti glavnih eksponenata

Osim ograničenja na L2 normu, standardne radijalne funkcije su ograničene i izborom racionalnog eksponenta

funkcija, osim onih Gaussovog tipa. Na taj način se ograničava izbor RBF na funkcije različite od polinoma, što



96

je ograničavajući faktor za daljnje proračune svojstava. Jedino je korištenjem polinoma, algebarskih ili

trigonometrijskih, moguće direktno izračunati sve potrebne karakteristike objekta, te proračun presjeka

promatranog objekta. Zbog toga se u ovoj disertaciji istražuje efikasnost radijalnih baznih funkcija i s

cjelobrojnim eksponentima.

3.5.3. PRBF Kao vrlo povoljne funkcije s obzirom na zahtjeve proračunske geometrije općenito, mogu se definirati

Polinomske RBF, skraćeno PRBF, koje možemo pisati u obliku:

( ) ( )cfc jj ;;, xxxx −=φ (82)

Odnosno, PRBF možemo pisati u razvijenom obliku kao:

( ) ( ) ccj

jj +−= ∑βγφ xxxx ;, (83)

Vidimo da umjesto L2 norme, kao argumenta funkcije PRBF, imamo normu L1, koja predstavlja apsolutnu

vrijednost razlike ulaznih varijabli x i centara razvoja xj. Također, vrijednost parametra oblika c se više ne

nalazi unutar zagrade pod eksponentom funkcije, već izvan njega, te omogućuje uglađivanje funkcije na željenu

točnost opisa, kako će to biti pokazano kasnije.

3.5.3.1. Ograničenje na 2D primjene

Kako je već ranije navedeno, Maierhuber-Curtisov teorem ograničava primjenu polinomskih RBF na 2D

probleme, uz pretpostavku korištenja L2 norme kao argumenta funkcija. Kao argument funkcije kod 2D

problema ostaje samo jedna varijabla x , pa se gornji izraz može reducirati:

( ) ( ) cxxcxxj

jj +−= ∑β

φ ;, (84)

Ovdje će se dodatno ispitati mogućnost primjene PRBF kod 3D problema opisivanja, korištenjem norme L1, te

promjenjivog pomoćnog eksponenta funkcijeγ .

3.5.3.2. Glavni eksponent funkcije

Kao glavni eksponent β funkcije PRBF se mogu odabrati i cjelobrojne vrijednosti, kako to pokazuje slika 32,

ispod. Iz nje se vidi da je moguć izbor neparnih cjelobrojnih vrijednosti glavnog eksponenta, čime su omogućeni

direktni, jednostavni proračuni presjeka, te integrala svojstava u hidrostatici.



97

0 2 4 6 8 10 1210-20

10-10

100

1010

1020

β

log(

RM

SE)

Sl. 32: Dijagram ovisnosti β - log(RMSE) funkcije PRBF kod opisa 1D Frankeove funkcije s N = 41


Kod PRBF dobri rezultati opisa se postižu za cijeli raspon vrijednosti parametra oblika c, kako to pokazuje slika

33, dolje.

Sl. 33: Dijagram ovisnosti c - log(RMSE)funkcije PRBF kod opisa 1D Frankeove funkcije s N = 41

Za razliku od MQRBF, međutim, moguć je i izbor c = 0, pa se time izraz za PRBF može reducirati u izraz:

( ) ( )∑ −=j

jj xxcxxβ

φ ;, (85)

uz provjeru glatkosti opisa.

Vidimo da je točnost opisa PRBF vrlo velika u širem rasponu vrijednosti parametra oblika c, pa je u svrhu

osiguranja glatkosti opisa provjeriti ispravnost odabira parametra oblika.



98

3.6. PROBLEM OPISA DISKONTINUITETA Jedan od osnovnih problema direktnog, analitičko, globalnog opisivanja određene geometrije je postojanje

diskontinuiteta oblika koji se očituje postojanjem lomova i singulariteta. Lomovi forme su uobičajeni na

modernim brodskim formama, te je taj problem potrebno rješiti što je izrečeno 4. zahtjevom proračunske

geometrije.

Glavna prednosti i razlog široke primjene parametarskih spline metoda kao što su B-spline, te NURB spline su

mogućnost opisivanja loma ponavljanjem iste točke, s željenim C prekidom koji se želi ostvariti.

Prema trenutnom razvoju matematskoj znanosti, direktne, analitičke metode proračuna ne mogu točno opisivati

lomove, pa tako ni RBF opisi. Problemi analitičkog opisivanja diskontinuiteta su direktno povezani sa

uvjetovanošću interpolacijske matrice vezano za minimalnu udaljenost točaka ulaznog skupa. U poglavlju 5 će

se pokazati da je to za 2D metode moguće primjenom kompozicije RB funkcija s gustim opisom oko točke loma,

te postupkom Elastičnog pomaka.

Problem kojeg je potrebno rješiti se u literaturi naziva Gibbsov fenomen, koji se opisuje kao neželjene oscilacije

oko točke loma. Uz njega se vezuje i problem oscilacija ruba, koji se naziva Rungeov fenomen.

3.7. VIŠEDIMENZIONALNOST RBF Jedna od glavnih osobina RBF je višedimenzionalnost ulaznog i izlaznog skupa opisa. Za razliku od definicije 5,

gdje je zadani ulazni skup podataka pripadao sIR i imao dimenziju ( ) lX =dim , izlazni skup podataka koje je

potrebno opisati može imati pripadati sIR s dimenzijom ( ) kY =dim .

Definicija 9: (Interpolacija raštrkanih podataka s višedimenzijskim izlaznim skupom). Za zadani skup točaka

( ) Njjj ,,1 ,, K=yx , s sjj IR∈yx , potrebno je naći (kontinuiranu) funkciju Pf takvu da

je ( ) NjP jf ,,1 , K== yx , uz zadanu dimenziju ulaznog skupa 2≥l i dimenziju izlaznog

skupa koja je veća od 1, tj. 1>k .

Teorijski rješenje ovako određenog višedimenzijskog problema su također RBF opisi, te je njegovo rješenje

osnova rješenja problema izrade prostora hidrostatskih svojstava, kako će to biti pokazano u poglavlju 8.



99

4. SVOJSTVA RBF U PRORAČUNSKOJ GEOMETRIJI

4.1. OPĆENITO Osim primjena u statistici, prve primjene radijalnih osnovnih funkcija u opisivanju geometrije započinju u

kartografiji i geodeziji, [72]. Osnovna namjena RBF opisa je pritom 3D prikazivanje Zemljine površine, koju

matematski karakterizira bijektivnost, te glatkost opisa. U ostalim primjenama u geometriji, RBF su danas

zastupljene u medicini u opisivanju ljudskog tijela, gdje se uglavnom primjenjuju implicitne metode opisivanja, s

velikim brojem točaka ulaznog skupa. U posljednje vrijeme započinje primjena RBF u opisivanju geometrije u

brodogradnji, gdje je prepoznato njihovo svojstvo opisivanja po dijelovima, te moguća primjena u opisivanju

složene brodske geometrije,[84].

Vezano za proračunska svojstva RBF, ona se u relevatnoj literaturi spominju u kontekstu bezmrežnih metoda

proračuna u čvrstoći, te mehanici fluida, ali ne u proračunu geometrijskih svojstava prikazanih objekata. Razlog

tome je složenost RBF izraza koji se sastoji od sume kompozicija više funkcija, s obzirom da je argument RB

funkcija norma između ulaznih točaka i centara razvoja, To naročito vrijedi za 3D opisivanje geometrije, gdje

pripadna L2 norma razvojem daje racionalnu funkciju s 2 ulazne varijable 2, IRyx ∈=x . Osim toga razvoj

funkcije se vrši oko definiranog broja točaka centara, čiji se udio zbraja, te dobiva konačan RBF izraz. Stoga je

njihova primjena u proračunskoj geometriji ograničena, te standardne RBF ne omogućavaju ispunjavanje

zahtjeva integracije brodske proračunske geometrije koji su određeni u poglavlju 2.7, što će biti pokazano u

ovom poglavlju, koji pokazuje proračunska svojstva najznačajnijih standardnih RBF s L2 normom u 2D i 3D

problemima opisa. Rješenja pripadnih integrala i razvoji u red su dobijena računalnim programom

„Mathematica“, [85].

Međutim, kako je navedno u poglavlju 3, osim standardnih RBF temeljenih na normi L2, mogu se promatrati i

RBF s normom L1 koje su proračunski povoljnije, te omogućuju razvoj proračunski efikasnih polinomskih RBF.

Dalje će se pokazati njihova primjenjivost u proračunima brodske geometrije u 2D i 3D opisima.

Osim točnosti opisivanja geometrije, glavni zahtjevi proračunske geometrije su integrabilnost RBF izraza, te

mogućnost direktnog proračuna presjeka geometrije brodske forme s vodnim linijama, pa će se ovdje promotriti

sva 3 glavna zahtjeva.

4.2. INTEGRACIJA RBF IZRAZA Kao jedan od glavnih proračunskih problema RBF izraza jest nepostojanje odgovarajućih rješenja pripadnih

integrala. Dok rješenja standardnih, odabranih, preciznih RB funkcija jedne varijable uglavnom postoje i

navedena su u Dodatku F, analitička rješenja integrala volumena RB funkcija dvije varijable ili ne postoje ili su



100

složena, te proračunski zahtjevna što onemogućava praktičan proračun u brodogradnji. U ovom potpoglavlju će

se opisati problemi integracije i ispunjavanje ostalih zahtjeva proračunske geometrije RBF opisa.

4.2.1. Standardne RBF Za potrebe integracije u proračunskoj geometriji, izraze za opis 3D geometrije, s 2 ulazne

varijable 2, IRyx ∈=x , potrebno je transformirati u prikladne oblike, kako će to biti pokazano ispod u

tekstu.

4.2.1.1. 3D MQRBF

Izraz za 3D opis geometrije pomoću standardnih MQRBF je za integriranje potrebno transformirati u oblik:

( ) ( ) ( )[ ]222,β

cbyaxyxf +−+−= (86)

te se dobiva pripadni dvostruki integral kao:

( ) ( )[ ] dxdycbyaxId e

∫ ∫ +−+−≡0 0

222β

, ∞= ,,3,1 Kβ

gdje su: a , b – koordinate točke centra razvoja funkcije MQRBF

d , e – gornje granice integracije MQRBF,

c – globalni parametar oblika RBF izraza.

Kao rezultat integracije se dobiva vrlo složen izraz. Ako se provede samo 2D intergracija po varijabli y, uz

granice d, e, kao rješenje integrala se dobije izraz koji vrijedi uz uvjet postojanja rješenja, prema [85]:

( ) ( ) ( )(

) ( )

( )( )[ ]2222

2

12

22222

2

12222

2212222

22/2

,21,

23,1

22

,21,

23,15

525222 2

xcaxabcxaxa

bF

xcbaxacxaxa

bFxeec

bebaxaxecbebaxaI

++−+

++−

−−+

⋅

⋅+++−−

++−

−+

⋅++++

++−++−+++−+−≡

+

ββ

ββ

βββ

(87)

gdje su: 12 F - Gaussove hipergeometrijske funkcije.

( )1,02 22

∉−−+−±

excaxab

– uvjet postojanja rješenja

Dakle, rješenje gornjeg integrala nije uvijek definirano, pa tako to nije ni rješenje integrala po obje varijable x i

y, koje je još složenije ili ne postoji.



101

Stoga se može zaključiti da direktno integriranje MQRBF s više varijabli nije pogodno za primjenu u brodskoj

proračunskoj geometriji, gdje je potrebno izvesti veliki broj istovrsnih proračuna svojstava.

4.2.1.2. 3D Gaussova RBF

Zapis dvostrukog integrala 3D Gaussove RBF za potrebe integriranja se može napisati kao:

( ) ( )[ ]dxdyeId e

byaxc∫ ∫ −+−−≡0 0

22

,

gdje su parametri funkcije istovjetni onima kod MQRBF, gore.

Kao rezultat intergriranja, prema [85], se dobiva izraz s funkcijama pogreške koje se dobivaju integracijom

normalne razdiobe:

( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]c

ebcErfcbErfdacErfcaErfI4

−−−−≡

π (88)

gdje je: ( ) ∫ −=x

t dtexErf0

22π

Ovaj izraz je pogodan za daljnji proračun, pa će se dalje ispitati mogućnost primjene Gaussove RBF za daljnju

primjenu u proračunskoj geometriji.

4.2.1.3. Tankostijeni spline

Tankstijeni splineovi imaju različitu definiciju s obzirom na dimenzionalnost problema, te se razlikuju, kako je

to pokazano u tablici 3. Ovdje će se promotriti oba slučaja, tj. 3D i 2D problemi integracije.

3D

Tankostijeni 3D spline se za potrebe integracije može napisati kao:

( ) ( ) ( )[ ]222,β

byaxyxf −+−= , IN∈β

Pripadni dvostruki integral tada glasi:

( ) ( )[ ] dxdybyaxId e

∫ ∫ −+−≡0 0

222β

Vidimo da se ovaj izraz od 3D MQRBF razlikuje samo po tome što funkcija nema parametar oblika c , pa je

pripadni integral vrlo sličan i složen kao i kod 3D MQRBF, pa se može zaključiti da je također neprikladan za

daljnje proračune.

2D

Pripadni tankostijeni 2D spline se može napisati kao:

( ) ( )[ ] axaxyxf −−= ln, 2β , IN∈β



102

Za potrebe integracije, apsolutna vrijednost ispod prirodnog logaritma se promatra kao pozitivna vrijednost.

Pripadni jednostruki integral tada glasi:

( )[ ] ( )∫ ⋅−−≡d

dxaxaxI0

2 lnβ

Njegovo direktno rješenje je jednostavno i glasi:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )2

2121

21ln211ln211

βββ ββ

++−++−+−+−++−−

≡++ dadaaaI (89)

Međutim, područje definicije funkcije prirodnog logaritma je 0/IRx ∈ , pa izvodivost integracije ovisi o

odnosu točke centra razvoja i granice inegracije, tj. nije je uvijek moguće postići, što onemogućava primjenu

direktne integracije i tankostijenog 2D splinea.

4.2.1.4. Funkcije s kompaktnom podrškom

Funkcije s kompaktnom podrškom imaju oblik odrezanih funkcija potencija, tj. definirane su samo u pozitivnom

području ulaznih varijabli, između 0 i 1, kao [ ]1,0, ∈yx . Po obliku su međutim istovjetne MQRBF ili

složenije, pa su stoga također neprikladne za integriranje.

4.2.1.5. Integracija multivarijantnih standardnih RBF

Kao rješenje problema opisa multivarijatnih RBF s velikim brojem podataka se u literaturi navode približne

metode rješenja interpolacijske matrice raštrkanih podataka kao što su metode predprocesiranja, [86], [87], [88];

raščlane: metoda jediničnih particija, [89], [90], metoda kodiranih brzih stabala, [91]; transformacija i brzog

proračuna: NFFT, [92], brza Gaussova transformacija, [93], [69]. Ovdje će se razmotriti mogućnost primjene

razvoja RBF u Taylorov red, kojim se RBF transformiraju u integrabilni polinomski oblik.

4.2.2. Izvodi standardnih RBF u Taylorov red Kako je navedeno u prethodna 2 poglavlja proračun integracije i presjeka brodske forme s ravninskom vodnom

linijom je moguće izvesti izvodom standardnih 2D RBF u Taylorov red (15), uz matematsko ograničenje

maksimalnog stupnja polinoma s poznatim rješenjem, to jest 6. stupnja. U određivanju stupnja polinoma je

pritom potrebno odabrati najniži stupanj polinoma koji zadovoljava zahtjeve lokalne i globalne točnosti opisa.

Kod izvoda multivarijantnih RB funkcija u Taylorov red povećava se i pogreška opisa, pa je potrebno razmotriti

njihovu primjenjivost u svrhe proračunske geometrije.

4.2.2.1. 3D MQRBF

Kod razvoja u Taylorov red, izraz za 3D MQRBF će biti istovjetan onom kod intergiranja, (86). Pripadni izvod u

red prema [85], s maksimalnim stupnjem polinoma n = 6, glasi:



103

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( )

( ) [ ] ( )

( ) ( )

( ) [ ] ( )

( )

( )

( ) [ ] ( ) [ ]76766

45

243

4765

44232

2764

43221

7634221

12

22

32

42

5272

1

12

22

32

4224

1

12

22

3212

112

2212

1

12

22

32

4224

1

12

22

328

112

224

1124

1

12

22

3212

1

12

224

1122

121

22

1212

1124

121

2

2

22

2

222

2

222

2222

axOaxbyObyc

byc

bycc

axbyObyc

bycbycc

axbyObyc

bycbycc

byObycbycbyccT

−+−

−+−

−

−

−

−

−+

+−

−

−

−

−+

+−

−

−

−+

−

−+

+−

−+−

−

−

−

−+

+−

−

−

−+−

−

−+

−+

+−

−+−

−

−

−+

+−

−

−+−

−++

+

−+−

−

−+−

−+−+≡

−

−

−−

−

−−−

−

−−−

−−−

ββββββ

βββββ

βββββββ

βββββ

βββββββββ

ββββ

ββββββ

ββββββ

β

β

ββ

β

βββ

β

βββ

ββββ

(90)

Vidimo da je pripadni izvod u Taylorov red složen. Kad se tome dodaju problemi s točnošću ovih izraza, te

pripadni problemi s grupiranjem pogreške kod proračuna integracije kako će to biti pokazano u potpoglavlju

7.1.1.4, može se zakjučiti da izvodi u Taylorov red 3D MQRBF nisu prikladni za proračun RBF izraza koji se

sastoji od sume razvoja funkcija oko zadanih centara razvoja, čiji broj kod multivarijantnih problema opisa

brodske forme vrlo brzo može narasti na nekoliko tisuća.

4.2.2.2. 3D Gaussove RBF

Kao i kod razvoja u Taylorov red 3D MQRBF, izraz za Gaussove RBF će biti istovjetan onom kod intergiranja.

Pripadni izvod u red prema [85], s maksimalnim stupnjem polinoma n = 6, glasi:

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]7676645243

476544232

27644322

763422

361

121

61

6

121

41

22

61

21

61

211

axOaxbyObycbycbycc

axbyObycbycbycc

axbyObycbycbycc

byObycbycbycT

−+−

−+−−−+−−−

+−

−+−−−+−−+

+−

−+−−−+−−−

+

−+−−−+−−≡

(91)

Ovaj izraz je puno povoljniji od izraza za razvoj u Taylorov red MQRBF. Međutim, on je još uvijek složen s

obzirom na potrebu direktnog proračuna presjeka brodske forme s VL, te to da je za približno točan proračun

potrebno raditi s polinomima 6. stupnja, čije rješenje uvijek ne postoji, kako će biti objašnjeno u poglavlju 6.



104

4.2.2.3. Tankostijeni spline i RBF s kompaktnom podrškom

Pripadni izrazi za tankostijene RBF i RBF s kompaktnom podrškom odgovaraju onima kod izvođenja pripadnih

integrala. Izraz za 3D im je sličan izvodu u red MQRBF, dok izraz za razvoj u red 2D tankostijenog splinea ne

postoji, pa se može zaključiti da tankostijene RBF nisu prikladne za primjenu u proračunskoj geometriji.

4.2.2.4. Razvoj u red multivarijantnih standardnih RBF

Vidimo da izrazi za razvoj u red multivarijantnih RBF uglavnom nisu prikladni za primjenu u proračunskoj

geometriji, osim Gaussovih RBF. Iako osiguravaju traženu glatkost, zbog čega se često primjenjuju u RBF

aproksimaciji, odnosno neuronskim mrežama, Gaussove RBF su temeljno aproksimacijske [56]. Rezultati opisa

prikazani u Dodatku F, pokazuju da Gaussove RBF ne mogu točno opisivati diskontinuitet rebra broda, pa se

pretpostavlja da to nije izvedivo ni u 3D slučajevima.

Iz gore navednih razloga se nameće zaključak korištenja RBF s jednom varijablom, tj. 2D proračunski postupci

integracije RBF. Pripadni izrazi su rješivi uz korištenje vrlo preciznih postupaka interpolacije, kao što je to

opisano u poglavlju 7.

4.2.3. PRBF Kao najpovoljnije RBF za integriranje se mogu odrediti polinomske RBF, čiji je integral jednostavan. Također,

polinomske RBF svojom definicijom osiguravaju rješenje presjeka brodske forme s ravninskom vodnom linijom,

do uključivo 6. stupnja. Maierhuber-Curtisov teorem definira ograničenje primjene polinomskih RBF za 3D

opise, pa će PRBF koristiti za 2D opisivanje brodske forme. Dalje će se u ovom poglavlju provjeriti točnost

opisivanja brodske forme pomoću PRBF, dok će se u poglavljima 6 i 7 pokazati primjena PRBF u proračunu

presjeka brodske forme s ravninskom vodnom linijom, odnosno integrala PRBF u određivanju hidrostatskih

svojstava broda.

4.3. PRORAČUN PRESJEKA BRODSKE GEOMETRIJE S VODNOM

LINIJOM

Standardne RBF imaju L2 normu, što uz racionalni eksponent, onemogućava zahtjevani, direktan proračun

presjeka brodske geometrije s pretpostavljenom ravninskom vodnom linijom, prema pretpostavci iz 1.3.3..

Današnja matematska znanost poznaje rješenja algebarskih i trigonometrijskih polinoma, pa se kao rješenja

problema presjeka nameću izvodi RBF u Taylorov red kod ravninskih vodnih linija, odnosno u Fourierov

trigonometrijskih red kod sinusoidalnih valova.

Kako je ranije pretpostavljeno, izvršit će se proračun dvodimenzijskog presjeka ravninske vodne linije s

brodskom formom direktnim rješavanjem pripadnih polinoma, što će se detaljno pokazati u poglavlju 6.



105

4.4. PRECIZNOST OPISA BRODSKE GEOMETRIJE Svrha korištenja RBF proširenih polinomom je njihova velika preciznost, kako lokalne tako i globalne, uz

postizanje zahtjevane glatkosti opisa. Dalje će se ispitati primjenjivost RBF sa ovim svojstvom, zajedno sa

uvjetno pozitivno definiranim RBF, RBF s kompaktnom podrškom, te Gaussovim RBF koje imaju povoljna

proračunska svojstva s obzirom na integrabilnost i mogućnost razvoja u Taylorov red.

4.4.1. Točnost opisa U Dodatku F pokazani su rezultati proračuna raznim standardnim RBF, iz kojih proizlazi gore izveden zaključak

o standardnim RBF prihvatljivim za daljnje proračune, s naglaskom na integraciju RBF opisa, koja zahtjeva

veliku točnost proračuna. To je, uz zahtjev za opisivanjem diskontinuiteta, glavni razlog korištenja postupaka

interpolacije, umjesto aproksimacije, kod geometrijskog opisivanja brodskih formi.

U svrhu proračuna geometrijskih i hidrostatskih svojstava brodskog trupa i unutarnjih brodskih prostora,

potrebno je izvršiti postupke integracije RBF opisa. RBF opisi manjih preciznosti ne omogućuju točan proračun

integracije, uz pojavu efekta grupiranja pogreške u točci, kao što će se pokazati u poglavlju 7.

4.4.2. Opisivanje diskontinuiteta Navedeni Dodatak F opisuje i svojstva standardnih RBF u opisivanju loma krivulje odabranog testnog rebra.

Vidljive su oscilacije opisa u području loma koje se ne mogu eliminirati povoljnim postavljanjem ulaznih točaka,

uz nisku točnost opisa, pa je potrebno rješiti taj problem. U Dodatku E je pokazan pokušaj opisivanja testnog

rebra s ravnim bokom Hermiteovom RBF interpolacijom, koji nije dao zadovoljavajuće rezultate, pa se može

zaključiti da se opće rješenje opisa mora temeljiti na principima poboljšane Lagrangeove interpolacije

dodavanjem točaka izvan raspona opisa ili smanjivanju minimalnog dozvoljenog razmaka između točaka.

Postupci rješenja opisa diskontinuiteta forme će se pokazati u poglavlju 5.

4.4.3. RBF opis osnovnih geometrijskih sastavnica brodskih formi Iz analitičkih svojstava RBF mreža proistječu odgovarajući problemi njihovog opisivanja brodske geometrije,

kao što su bijektivnost i opisivanje loma forme, za razliku od parametarskih metoda pomoću B i NURB

splineova. Također, RBF mreže sa standardnim parametrima funkcija nemaju intrinsičko svojstvo opisivanja

čunjosječnica kao što to imaju NURB splineovi, što je dodatni razlog velike upotrebe B i NURB splineova u

opisivanju i modeliranju geometrije, kao što je opisano u poglavlju 2. Nadalje, standardne RBF mreže kao ni

NURB-ovi ne mogu opisivati linearne geometrijske oblike kao što su pravac i ravnina, te je osim gore navedenih

potrebno naći rješenja i tih problema za omogućavanje potpunog opisa brodske geometrije RBF mrežama. U

poglavlju 2 su opisane RB funkcije koje se temelje na L1 normi koje mogu opisivati linearne geometrijske

oblike, pa će se ovdje ispitati svojstva RBF mreža kod opisivanja i takvih osnovnih oblika.

Analitičkom raščlanom složene brodske geometrije u dijelove, mogu se odrediti osnovne geometrijske sastavnice

brodskih formi te njihovi matematski ekvivalenti, s obzirom na dimenziju problema, odnosno 2D ili 3D opis.



106

Raščlanom se dakle dobivaju sljedeći osnovni 2D oblici brodskih formi zajedno s njihovim matematskim

prikazom za koje se ispituju svojstva RBF mreža:

a) Paralelni srednjak - pravac,

b) Kružni uzvoj - dio kružnice,

c) Uzvoj u obliku elipse – dio elipse,

d) Trup podmornice - polukružnica,

e) Trup podmornice - kružnica,

f) Opis glavnog rebra bez preluka – spoj uzvoja s ravnim dnom i ravnim bokom – spoj pravaca s dijelom

kružnice,

g) Opis glavnog rebra s prelukom – opis krivulje promjenjive zakrivljenosti s lomom krivulje.

Opisi dijelova kružnice, odnosno cijele polukružnice i kružnice, te istovjetni opisi elipse pripadaju istoj

kategoriji opisa, tj. opisu krivulja koje su čunjosječnice. Čunjosječnice su pritom krivulje koje nastaju presjekom

stošca ravninama, slika 34, a ovdje se neće razmatrati opis krivulja parabola i hiperbola.

Dakle, problemi b), c), d) i e) spadaju u istu kategoriju opisa, pa će se razmatrati u jednom potpoglavlju,

potpoglavlju 4.1.2., o opisivanju čunjosječnica RB funkcijama.

Dakle, ovdje će se promatrati raščlanjeni presjek brodskog rebra koji se sastoji od osnovnih krivulja, pravaca,

kružnica i elipsi.

Sl. 34: Presjeci stošca ravninama koje daju razne kvadratne krivulje

Gore navedeni problemi analitičkog opisivanja RBF mrežama sadržavaju sljedeće osnovne zadatke opisivanja

brodske geometrije:

1. Opisivanje pravca,

2. Prirodno opisivanje čunjosječnica,



107

3. Opis loma,

4. Bijekciju.

Pripadna rješenja ovih problema će se tražiti uz zadovoljavanje zahtjeva za RB funkcije navednih u poglavlju 2

ove disertacije.

Osim navedenog, pokazat će se i rješenja 2 problema koja se javljaju kod opisivanja krivulja čunjosječnica RBF

s cjelobrojnim eksponentima funkcije:

− Problem simetrije opisa kod osnovnog svojstva opisivanja čunjosječnica s RBF s parnim eksponentima.

− Problem "gužvanja" krivulje opisanu s RBF s neparnim eksponentima kada se nagib tangente na krivulju

opisa približava vrijednosti nula.

4.4.4. Opisivanje pravca Pretpostavka je mnogih autora koji se bave RBF mrežama da RB funkcije nemaju osnovno, intrinsičko svojstvo

opisivanja linearnih oblika, tj. pravaca i ravnina, definiranih u pravokutnom koordinatnom sustavu. To je točno,

ako se promatraju samo standardne RB funkcije u njihovom području definicije eksponenta i za dimenziju

problema za koju su izvedene, uz ograničen broj točaka ulaznog skupa. Međutim, proširenjem raspona i broja

eksponenata RB funkcija, dimenzije primjene, te korištenjem drugih normi osim L2 norme, moguće je

zadovoljavajuće opisati linearne oblike, što će se ovdje pokazati. Ovdje će se u vezi s navedenim stoga

promotriti dva slučaja, opis funkcijom radijalnih potencija, te opis ostalim RB funkcijama uz odabir povoljnog

broja točaka ulaznog skupa koji daje željenu točnost opisa.

4.4.4.1. Opisivanje pravca funkcijom radijalnih potencija

Kao jedna od osnovnih RB funkcija navodi se funkcija radijalnih potencija, izvedena kao tankostijeni spline koji

je rješenje sfernog problema opisivanja, kako je to pokazano u poglavlju 3:

( ) =rφ ( ) sIRxINr ∈∉>− ,2,0,1 ββββ

Svođenjem L2 norme na L1 normu u 2D opisivanju dobiva se sljedeći oblik funkcije radijalnih potencija:

( ) ( ) βφ xxxf == (92)

Uvrštavanjem β = 1 dobiva se:

( ) xxxf == 1 (93)

tj., dobiva se linearna jednadžba za apsolutnu vrijednost argumenta funkcije. Ograničavanjem raspona ove

funkcije na pozitivne ili negativne argumente dobivaju se funkcije pravca, što je rješenje ovog problema.

Dodatno, ova funkcija ima točku loma, tj. diskontinuitet derivacije C0 za x = 0, pa je pogodna i za opisivanje

diskontinuiteta, što će biti pokazano u poglavlju 5 ove disertacije.



108

Štoviše, linearne FRP imaju intrinsičko svojstvo opisivanja pravca, tj. za opisivanje pravca trabaju minimalni

broj točaka, što u slučaju pravca znači N = 2, a povećanjem broja točaka to svojstvo se ne mijenja, kao što je

pokazano u Dodatku D.

Tab. 7: Značajni rezultati proračuna pravca RBF opisom

Standardni Čebišev Halton Parametri Rezultati Rezultati Rezultati

ϕ

β γ c RMSE Err Opis RMSE Err Opis RMSE Err Opis

1 MQ 1 1 0,01 5,315⋅10-10 2,75⋅10-10 „pravac“ 6,112⋅10-14 1,80⋅10-14 „pravac“ 2,226⋅10-14 1,0⋅10-14 „pravac“2 GMQ 1 1 0,01 9,935⋅10-11 7,16⋅10-12 „pravac“ 4,239⋅10-14 7,10⋅10-15 „pravac“ 2,172⋅10-14 1,8⋅10-14 „pravac“3 FRP 1 1 0 2,383⋅10-10 4,24⋅10-11 „pravac“ 4,790⋅10-14 2,40⋅10-14 „pravac“ 1,796⋅10-14 1,0⋅10-14 „pravac“4 PRBF 1 1 0,01 5,316⋅10-10 2,71⋅10-11 „pravac“ 6,112⋅10-14 1,8⋅10-14 „pravac“ 2,226⋅10-14 1,0⋅10-14 „pravac“ k s d

5 Wend 1 0 5 2,714⋅10-11 par. 1⋅10-11 „pravac“ 2,714⋅10-11 1,00⋅10-11 „pravac“

Vidimo iz rezultata proračuna da su dobri opisi pravca postignuti za γ = 1, tj. 1L normu MQ, GMQ, PRBF i

FRP funkcija. Također, dobar rezultat je postignut i za Wendlandovu CSRBF za konstantu glatkosti jednaku 0,

što odgovara opisu linearnih dijelova. Ipak, rezultati opisa pravca pomoću FRP i PRBF su jako dobri, pa je

prirodna njihova primjena u opisivanju linearnih dijelova krivulje.

4.4.4.2. Opisivanje pravca ostalim RB funkcijama

Oblik i svojstva opisivanja RB funkcija ovise o njihovim parametrima, a najviše o parametru oblika c, te

eksponentima norme. Za razliku od svojstava RB funkcija sa eksponentom γ = 2 kod koje točnost opisa opada s

porastom vrijednosti parametra oblika c te brzo prelazi u neželjeno područje točnosti ispod 10-4, kako to

pokazuje slika 35, dolje, kod γ = 1 točnost opisa raste s porastom vrijednosti c, odnosno ima visoku točnost za

veliki raspon vrijednosti parametra oblika c.

Sl. 35: Dijagrami osjetljivosti ( )RMSElog−c kod MQRBF za γ = 2 i γ = 1



109

Dakle, radijalne bazne funkcije sa eksponentom γ = 1 imaju povoljnije područje parametra oblika c s obzirom

na točnost, pa ga je potrebno birati s obzirom na željeni oblik i raspon funkcije opisa.

U Dodatku D su tablično prikazani rezultati opisa pravca za odabrane RB funkcije, uz promjenu glavnog i

pomoćnog argumenata funkcije, β i γ .

Vidimo da se standardne RB funkcije s obzirom na mogućnost opisivanja ravnih oblika mogu podijeliti na one

koje mogu opisivati pravce i one koje to ne mogu. One koje mogu opisivati pravce imaju ograničenu C

kontinuiranost, te postaju sve više ravne (eng. Flat) povećanjem vrijednosti parametra oblika c prema

beskonačnoj vrijednosti, tj. za ∞→c .

Funkcije koje ne mogu opisivati pravce su C∞ glatke, te promjena parametra c ne mijenja to njihovo svojstvo.

Međutim, povećanje vrijednosti parametra prema beskonačnosti vrlo brzo smanjuje točnost opisa ovih funkcija

oblika c, uz gubitak stabilnosti opisa i nastanak grubih oscilacija gdje se pokazuje valićno (eng. wavelet)

svojstvo RB funkcija.

4.4.5. Opisivanje čunjosječnica

4.4.5.1. Općenito

Kao i kod opisivanja linearnih geometrijskih objekata, standardne RBF nemaju intrinsičko svojstvo opisivanja

čunjosječnica, tj. ne mogu opisivati dijelove kvadratnih funkcija kao što su kružnice, elipse, parabole i hiperbole,

uz minimalan broj točaka. Kod opisivanja brodske geometrije nam je interesantan opis dijelova kružnice i elipse,

pa ćemo ovdje razmotriti mogućnosti opisivanja ovih geometrijskih oblika drugim RBF.

Kod opisivanja geometrije čije se tangente krajeva objekta približavaju kutu od 90° se javlja dodatnih efekt

oscilacija, pa će se ovdje pokazati postupak rotacije za neki povoljni kut, te usporedba rezultata s nezakrenutim

RBF opisom.

4.4.5.2. Rotacija ulaznog skupa podataka

U svrhu proračuna hidrostatskih svojstava broda za razne nagibe broda za neki kut oko bilo koje osi vršit će se

rotacija geometrije oko neke točke koja se nalazi u presjeku centralne ravnine s osnovicom.

Dakle, matrica ulaznih podataka se rotira za neki kut:

−

=

=

yx

yx

rotyx

ϕϕϕϕ

ϕ

ϕ

cos

sinsincos

(94)

Nove, zakrenute vrijednosti ulaznih veličina se data mogu napisati kao:



110

ϕϕϕ sincos ⋅+⋅= yzz

ϕϕϕ sincos ⋅−⋅= zyy

ili pojedinačno za svaku točku prikazanu RBF interpolacijom:

( )∑ −⋅+⋅=⋅+⋅=i

ii zzfczyzz ϕϕϕϕϕ sincossincos

( ) ϕϕϕϕϕ sincossincos ⋅−−⋅=⋅−⋅= ∑ zzzfczyyi

ii

Prikazano pomoću interpolacijske matrice, izraz za ϕy je tada:

ϕϕϕ sincos ⋅−⋅⋅= zcHy (95)

Ovaj će se oblik RBF jednadžbe koristiti dalje u proračunima, kod zakrenutih opisa.

4.4.6. Intrinsičko svojstvo opisivanja čunjosječnica RB funkcija s parnim cjelobrojnim eksponentima

Slično opisivanju pravca, korištenjem L1 norme u 2D prostoru, eksponenti i parametri RB funkcija se mijenjaju,

te je moguće koristiti i cjelobrojne eksponente. Štoviše, odabirom parnih eksponenata moguće je opisivati

kvadratne krivulje, te RBF pokazuju svojstvo intrinsičkog opisivanja čunjosječnica uz uvjet ∞→β2 , tj. kada

parni glavni eksponent funkcijeβ teži u beskonačnost, uz uvjet da je dio čunjosječnice koji se opisuje zakrenut

za neki kut. To je potrebno učiniti, ako je to moguće s obzirom na dio polukružnice koji se opisuje, da bi se

postigla željena točnost opisa. Na taj način se postiže veća simetrija prikaza, radi svojstava domene RB funkcije

koja je simetrična i parnosti glavnog eksponenta.

4.4.6.1. Funkcije radijalnih potencija

Za parne eksponente funkcije RP, koja nema parametar oblika funkcije, tj. on je jednak 0, postoji granična

vrijednost broja točaka N za koje je točnost opisa zadovoljavajuća, te ona iznosi Ngran = β + 1. Taj broj

odgovara minimalnom broju točaka polinoma odgovarajućeg stupnja koji odgovara eksponentu RB funkcije, što

dodatno opravdava naziv, polinomske RBF, funkcija s radijalnim potencijama koje imaju cjelobrojne

eksponente. To svojstvo se može nazvati intrinsičko polinomsko svojstvo potrebnog broja točaka opisa FRP s

parnim cjelobrojnim eksponentima.

Pritom je skup ulaznih točaka potrebno zakrenuti za neki povoljni kut, jer je točnost opisa Errmax za početni kut

prema položaju uzvoja na brodu u odnosu na globalni koordinatni sustav mala za cijeli raspon promatranih

kuteva i opada s porastom globalnog eksponenta funkcije, kako to pokazuje tablica 8, dolje.



111

Sl. 36 ispod pokazuje opise četvrtine kružnice pomoću funkcija RP s različitim parnim eksponentima,

nezakrenute i zakrenute za neki kut oko osi ravnine crtanja u središtu koordinatnog sustava.

13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.50

0.5

1

1.5

2

2.5

R = 2,5 m

7 8 9 10 119.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

13

13.5

y/2

z R = 2,5m

Sl. 36: a) Nezakrenuti opis uzvoja radijusa R = 2,5m, b) Zakrenuti opis uzvoja radijusa R = 2,5m za kut od 45°

Nadalje, slika 37, ispod, pokazuje opise četvrtine elipse pomoću funkcija RP s različitim parnim eksponentima,

nezakrenute i zakrenute za neki kut oko osi ravnine crtanja u središtu koordinatnog sustava.

13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.5 170

0.5

1

1.5

2

2.5

y/2

z

8 9 10 11 128

9

10

11

12

13

14

y/2

z

a = 2,5m

b = 3,5m

Sl. 37: a) Opis eliptičkog uzvoja, a=2,5m i b=3,5m b) Zakrenuti opis eliptičkog uzvoja sa a=2,5m i b=3,5m

U pripadnoj tabilici rezultata se vidi da se povećanjem parnog eksponenta funkcije povećava i točnost opisa

funkcija radijalnih potencija, Errmax kada se objekt zakrene za neki kut.

Vidimo da kod nezakrenutih opisa dolazi do oscilacija blizu rubova. Kod zakrenutih opisa se oscilacije smanjuju,

pa je u slučaju većih oscilacija ruba to jedan od načina rješavanja problema. Prestpostavlja se da je razlog

pojačanih oscilacija krivulje kod kuteva nagiba tangente od 90° sama definicija RB funkcija, koje daju gladak

opis na cijelom rasponu, bez mogućnosti opisa dijelova bliskih tg(90°).



112

Tab. 8: Rezultati opisa kružnog i eliptičkog uzvoja s FRP, za granične vrijednosti broja točaka

2 4 6 8 10 12 1410-15

10-10

10-5

100

105

β

log(

RM

SE)

Sl. 38: Vrijednosti RMSE za različite vrijednosti parnih eksponenata FRP

Vidimo iz rezultata koje pokazuje tablica 8 da vrijednost Errmax iza β = 12 počine opadati, te se maksimum

točnosti nalazi oko te vrijednost glavnog eksponenta.

4.4.6.2. Multikvadratne funkcije

Slično svojstvo gore navedenom svojstvu opisivanja čunjosječnica ima i familija MQ funkcija s pozitivnim

glavnim eksponentom, tj. uz β > 0, te promjenjivim cjelobrojnim eksponentima γ . Kao i kod FRP, MQ

pokazuje intrinsičko svojstvo opisivanja čunjosječnica s parnim cjelobrojnim eksponentima, jer su to iste

funkcije kao i FRP samo imaju aditivnu konstantu γc . Aditivna konstanta parametra oblika translatira PRBF

funkciju dalje od ishodišta i time mijenja granični broj točaka funkcije.

Tab. 9 prikazuje granični broj točaka opisa kružnice za c = 0,01, za različite vrijednosti eksponenta γ, uz

pretpostavku da je RMSE manje od 10-3 bez rotacije oko osi z.

Kružnica Elipsa 0° 45° 0° 45°

β RMSE ErrMax RMSE ErrMax RMSE ErrMax RMSE ErrMax 2 1.657⋅10-14 4,210⋅10-1 3,077⋅10-15 1,410⋅10-1 2,121⋅102 334,894 1,026⋅10-15 8,847⋅10-2 4 1,072⋅10-12 6,520⋅10-1 1,043⋅10-13 2,700⋅10-2 6,347⋅103 1,169⋅104 3,346⋅10-14 1,758⋅10-2 6 4,231⋅10-10 2,301 6,082⋅10-13 5,034⋅10-3 7,695⋅105 1,547⋅106 1,025⋅10-12 8,040⋅10-3 8 9,956⋅10-8 12,878 1,721⋅10-10 9,040⋅10-4 3,485⋅108 7,723⋅108 3,524⋅10-10 2,284⋅10-3

10 5,807⋅10-4 93,397 3,553⋅10-8 1,560⋅10-4 4,834⋅1010 1,144⋅1011 1,188⋅10-6 4,300⋅10-4 12 5,621 807,325 7,073⋅10-6 8,900⋅10-5 6,625⋅1012 1,657⋅1013 3,731⋅10-5 1,250⋅10-4 14 7,334⋅104 2,460⋅105 3,783⋅10-3 7,233⋅10-3 - - - -



113

Tab. 9: Granične vrijednosti broja točaka za različite γ kod MQ RBF

0° 45° β γ = 1 γ = 2 γ = 3 γ = 1 γ = 2 γ = 3

2 41 (→∞) 5 8 41 (→∞) 5 7 4 16 9 11 15 9 11 6 11 13 10 11 11 10 8 10 13 8 10 10 10

10 11 13 8 11 10 8 12 12 12 8 11 10 6 14 10 8 4 10 8 4

Vidimo da se granični broj točaka opisa Ngran promijenio s aditivnom konstantom γc , pa to znači da je

korištenjem MQ funkcije moguće postići nešto veću točnost opisa.

Osim toga, promjenom pomoćnog eksponenta funkcije γ općeg izraza za RB funkcije se dobivaju RBF različitih

svojstava kao što je to pokazano u poglavlju 3. Rezultati proračuna MQ funkcijom za broj točaka Ngran uz raspon

parnih glavnih eksponenata funkcije β od 2 do 12, te pomoćne eksponente vrijednosti γ = 1, 2 i 3, su prikazani u

tablicama 10 i 11, dolje.

Tab. 10: Rezultati opisa kružnog uzvoja s MQ i γ = 1 za granične vrijednosti broja točaka ulaznog skupa

0° γ = 1 γ = 2 γ = 3

β RMSE ErrMax RMSE ErrMax RMSE ErrMax 2 5,048⋅10-8 3,572⋅10-3 3,187⋅10-13 0,652 4,321⋅10-4 0,756 4 3,491⋅10-3 8,500⋅10-2 2,588⋅10-7 12,878 3,459⋅10-3 5,886⋅102 6 1,367⋅10-3 1,953 9,551⋅10-4 5,880⋅102 2,471⋅10-5 7,375⋅104 8 8,256⋅10-5 6,922 5,603⋅10-3 3,630⋅103 1,018⋅10-4 4,336⋅108 10 2,649⋅10-4 89,339 1,114⋅10-4 5,830⋅105 1,114⋅10-4 1,098⋅1010 12 9,148⋅10-3 176,093 1,049⋅10-3 3,480⋅107 3,144⋅10-3 1,657⋅1011 14 5,452⋅10-7 1010 2,295⋅10-3 1,739⋅109 7,435⋅10-7 2,687⋅109

Tab. 11: Rezultati opisa kružnog uzvoja s MQ za γ = 1, za granične vrijednosti broja točaka ulaznog skupa, uz

rotaciju ulaznog skupa za kut 45° oko osi z

45° γ = 1 γ = 2 γ = 3

β RMSE ErrMax RMSE ErrMax RMSE ErrMax 2 1,414⋅10-10 2,178⋅10-3 1,075⋅10-14 2,695⋅10-2 1,332⋅10-12 5,032⋅10-3 4 8,186⋅10-8 3,761⋅10-3 2,208⋅10-10 9,040⋅10-4 3,868⋅10-8 2,067 6 5,215⋅10-9 4,680⋅10-3 3,703⋅10-8 2,067 9,552⋅10-4 5,885⋅102 8 1,287⋅10-9 3,318⋅10-2 7,004⋅10-7 29,257 4,070⋅10-4 3,279⋅103 10 1,467⋅10-7 2,668⋅10-2 1,910⋅10-5 3,140⋅102 5,558⋅10-2 2,019⋅105 12 2,953⋅10-6 8,533⋅10-1 1,801⋅10-4 3,279⋅103 6,535⋅10-9 1,462⋅106 14 6,891⋅10-7 9,629 8,870⋅10-3 6,579⋅104 5,362⋅10-11 1,368⋅105



114

Iz tablica rezultata opisa kružnice je ponovo vidljivo da se zakretanjem opisa za 45° postižu bolji rezultati radi

simetričnosti opisa i bolje prilagođenosti karakteru RB funkcija, kao i kod funkcija RP. Pritom, se najbolje

vrijednosti dobivaju za pomoćni eksponent γ = 1, pa je njih potrebno preferirati u opisu kružnica.

4.4.7. Opisivanje čunjosječnica s RBF s neparnim cjelobrojnim eksponentima

Osim RBF s parnim cjelobrojnim eksponentima posebno će se razmotriti i korištenje neparnih cjelobrojnih

eksponenata RB funkcija. Za razliku od parnih eksponenata funkcije RBF s neparnim eksponentima nemaju

intrinsičko polinomsko svojstvo potrebnog broja točaka opisa.

4.4.7.1. FRP i PRBF

Tab. 12, ispod, pokazuje rezultate opisa kružnice za neparne glavne eksponente funkcije RP za

...1,5; 1; 0,5; ,12 =+⋅= kkβ , uz c = 0.

Tab. 12: Rezultati opisa za neparne glavne eksponente funkcije RP za ...1,5; 1; 0,5; ,12 =+⋅= kkβ , uz c =

0, za N točaka ulaznog skupa raspodjeljenih na Čebiševljevim čvorovima

Kružnica 0° 45°

β N RMSE ErrMax N RMSE ErrMax 3 22 7,817⋅10-4 6,924⋅10-2 63 5,601⋅10-6 2,224⋅10-3 5 12 8,525⋅10-4 2,127 24 9,232⋅10-5 1,980⋅10-3 7 11 1,436⋅10-4 9,320 18 5,608⋅10-4 7,237⋅10-3 9 11 8,256⋅10-5 6,922 16 3,658⋅10-4 3,355⋅10-3 11 11 2,649⋅10-4 89,339 15 1,271⋅10-4 2,257⋅10-2

Generalizacijom opisa se može uočiti problem neželjenih oscilacija krivulje opisa RB funkcijama s neparnim

cjelobrojnim eksponentima kada se nagib tangente na krivulju opisa približava vrijednosti nula, slika 39.

13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.50

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

-0.1 -0.05 0 0.05 0.10

0.5

1

1.5

2

2.5

Err

y

Errmax = 6,924e-2na y = 5,810e-3

Sl. 39: Opis funkcijom RP uz β = 3 kod nezakrenutog prikaza



115

Zakretanjem ulaznog skupa točaka za neki povoljni kut se dobiva točniji opis, te smanjuje efekt neželjenih

oscilacija kod FRP i PRBF s neparnim eksponentima funkcija, kako pokazuje slika 40, dolje.

13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.50

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

-2 0 2 4x 10

-3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Err

y

Errmax = 2,246e-3na y = 0

Sl. 40: Opis funkcijom RPuz 3=β kod zakrenutog prikaza za 45°

Vidimo da se oscilacije blizu samog ruba prikaza, pri nagibu tangente od 90° ne mogu izbjeći, ali su smanjene u

odnosu na nezakrenuti prikaz, te su naglašene samo blizu ruba opisa.

4.4.7.2. MQ

Tab. 13, ispod, pokazuje rezultate opisa kružnice za neparne glavne eksponente MQ RB funkcije za

...1,5; 1; 0,5; ,12 =+⋅= kkβ , uz c = 0,01.

Tab. 13: Rezultati opisa za neparne glavne eksponente funkcije MQ RBF za 12 +⋅= kβ , ...2; 1; 0; =k , uz

c = 0,01, za N točaka ulaznog skupa raspodjeljenih na Čebiševljevim čvorovima

Rezultati opisa kružnice MQ RB funkcijom nepovoljniji što se tiče globalne i lokalne točnosti opisa od FRP

RBF. Kako su PRBF slične funkcije u odnosu na FRP, ovdje se neće izvoditi njihov proračun, radi sličnosti

rezultata.

4.4.7.3. Zaključak

RBF opisi s cjelobrojnim eksponentima imaju prirodno svojstvo opisivanja čunjosječnica parnim potencijama

eksponenata funkcija kao što su MQ , FRP i PRBF. Također, iste navedene funkcije mogu dovoljno točno

opisivati i pravce, što je preduvjet za točan opis brodske forme.

Kružnica 0° 45°

β N RMSE Errmax N RMSE Errmax 3 47 1,287⋅10-4 5,851⋅10-3 77 5,485⋅10-4 7,066⋅10-3 5 12 4,418⋅10-4 2,355 26 2,092⋅10-4 1,183⋅10-3 7 11 2,538⋅10-4 9,385 19 1,990⋅10-3 3,455⋅10-3 9 11 9,178⋅10-4 39,403 17 6,847⋅10-3 3,893⋅10-3 11 11 4,451⋅10-4 215,037 14 7,596⋅10-4 4,148⋅10-2



116

Također, moguća je i upotreba cjelobrojnih neparnih glavnih eksponenata PRB funkcija polinomskog tipa,

povoljnih za daljnje proračuna svojstava, uz moguće oscilacije rubova i u situacijama kad se nagib tangente

krivulje opisivane krivulje približava kutu od 90°.

Može se zaključiti da je upotreba RB funkcija u opisivanju čunjosječnice moguća, ali uz pažljivo korištenje

funkcija i pripadnih eksponenata radi oscilacija rubova i kod kuta nagiba tangente od 90°.

Rješenja problema oscilacija ruba kod neparnih glavnih eksponenata polinomske RBF će se pokazati u

sljedećem poglavlju.



117

5. RJEŠENJE GLOBALNOG ANALITIČKOG OPISA BRODSKE FORME S DISKONTINUITETIMA

5.1. OPISIVANJE DISKONTINUITETA Jedan od glavnih problema u analitičkom, globalnom opisivanju neke geometrije jest opisivanje lomova forme,

kako je to opisano u poglavlju 2, gdje su opisani problemi oscilacija opisa analitičkim funkcijama oko

diskontinuiteta (Gibssov fenomen), te na rubovima objekta (Rungeov fenomen), na slici 41. Dakle, osim loma

krivulje ili plohe i rubovi opisa predstavljaju diskontinuitete opisa, s jednom singularnom granom loma.

Analitičke funkcije ne mogu opisivati diskontinuitete bez njihovog direktnog, eksplicitnog označavanja

nadziranim učenjem (eng. supervised learning), te prikladne eliminacije loma.

Kako je jedna od najvećih prednosti, koja se pripisuje parametarskim metodama temeljenim na NURB splineu

ispred direktnih, mogućnost opisivanja lomova krivulja i ploha, ovdje će se pokazati istovjetno svojstvo RBF

opisa, tj. mogućnost opisivanja diskontinuiteta RBF opisom. Pritom će se pokazati 2 načina rješevanja problema

oscilacija opisa krivulja s diskontinuitetima: postupkom elastičnog pomaka i primjenom kompozicije radijalnih

osnovnih funkcija.

-0.5 0 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

L

Sl. 41: Klin s granama određenim dijelovima jedinične kružnice, opisan Lagrangeovim polinomima za

jednoliki raspored točaka opisa uz N = 11. (Točka loma je označena s L.)

U svrhu provjere efikasnosti postupaka RBF opisa, odabrana su prva dva test rebra s prelukom, od kojih test

rebro br. 2 ima dodatan diskontinuitet, te predstavlja značajan geometrijski zadatak za RBF opis. Dodatno,

provjera efikasnosti opisa će se izvesti i na rebru s bulbom, prekidom raspona, tj. G kontinuiteta,

diskontinuitetima i prelukom, test rebru br. 4.



118

5.1.1. Gibbsov fenomen Kod globalnih, analitičkih metoda opisa s diskontinuitetima se javlja problem oscilacija generalizacije opisa

poznat pod imenom Gibbsov fenomen. Isti slučaj je i s globalnim opisima kontinuiranim funkcijama po

dijelovima kao što su RB funkcije. Pritom se Gibbsov fenomen najčešće rješava dodavanjem točaka oko mjesta

opisa, [94], postprocesiranjem ulaznog skupa spektralnim filtriranjima, [95], te preslikavanjima kao što je

konformno preslikavanje, odnosno preslikavanje spektralne projekcije na neku drugu osnovicu,[96]. Ovdje

međutim nećemo dalje razmatrati spektralne metode, te metode filtiriranja i preslikavanja, već ćemo promotriti

samo postupak dodavanja točaka oko točke loma.

Kod dodavanja točaka oko mjesta opisa postoji ograničenje međusobne udaljenosti između točaka opisa, kako je

to navedeno u poglavlju 3 ove disertacije, pa je kvaliteta opisa loma time ograničena. To je posebno naglašeno

kod opisa s više varijabli.

Diskontinuitet možemo u općem slučaju opisati nekom krivuljom koja ima lom u točci koja pripada krivulji. Sl.

41 opisuje pretpostavljenu krivulju s diskontinuitetom u točci L. Ta krivulja opisuje klin koji se sastoji od 2

grane određene dijelovima jedinične kružnice, spojene u točci loma L pod nekim kutem. Taj kut tvore 2 pravca

tangenti čiji kutevi nagiba moraju biti različiti.

Radi karakteristika globalnog, analitičkog opisa točkama i u jednom i u drugom slučaju dolazi do oscilacija opisa

oko zadanih točaka Nxi ,,1 , K . Da bi se eliminirale neželjene oscilacije, potrebno je u interpolacijski problem

uključiti dodatne informacije o obliku koji se opisuje. Za razliku od prije spomenutih parametarskih NURB

spline metoda, analitička rješenja opisa loma se najčešće temelje na raščlani opisa, te Hermitteovim metodama.

U ovoj disertaciji će se problem opisa loma rješavati uključivanjem dodatnih točaka opisa uz korištenje

informacija o tangentama i normalama koje se mogu odrediti numeričkim metodama.

5.1.2. Rungeov fenomen Sljedeći problem teorije opisivanja je Rugneov fenomen, tj. problem oscilacija rubova opisa. Ovaj fenomen

može postojati zasebno, a dodatno ga pojačava postojanje diskontinuiteta, kako to pokazuje slika 41, gore,

odnosno veća zakrivljenost na određenom dijelu opisa, slika 42, dolje.

Problem oscilacija rubova globalnih, analitičkih opisa, tj. Rungeov fenomen, se najčešće riješava povećanjem

broja točaka oko ruba, [97], pogodnim rasporedom točaka opisa kao što je Čebiševljev raspored točaka, te

pogodnim vrijednostima lokaliziranih parametara oblika, c, RB funkcija, [98]. Sl. 42, ispod, pokazuje opis

testne, Rungeove funkcije ( ) ( ) 12251 −⋅+= xxf na rasponu [ ]1,1 − .

Ako se pogledaju svojstva RBF opisa, opisi s γ = 2 su optimalni opisi koji minimiziraju oscilacije rubova, dok

se kod ostalih opisa, s γ ≠ 2, mogu javiti oscilacije rubova kako je to pokazano u poglavlju 4, pa je ovaj problem

potrebno razmatrati i riješiti.



119

Ovdje će se taj problem riješavati dodavanjem točaka oko rubova domene, ali izvan područja opisa. Također će

se izbor točaka opisa vršiti preprocesiranjem ulaznog skupa postupkom relativnih odnosa radijusa zakrivljenosti

točaka kako je to pokazano u poglavlju 2.

-1 -0.5 0 0.5 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

Sl. 42: Opis Rungeove funkcije Lagrangeovim polinomima za jednoliki raspored točaka opisa uz N = 11

5.1.3. Brodske forme Današnje brodske forme najčešće imaju poprečni diskontinuitet pri spoju boka i palube, koji se ne može

dovoljno točno opisati globalnim opisima analitičkim funkcijama bez oscilacija oko točke loma čak i kada se

koriste opisi po dijelovima (eng. "piecewise") RB funkcijama, kako pokazuje slika 43, na kojoj je pokazano test

rebro broda za opći teret, opisano s MQ RBF.

0 2 4 6 80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

← Max

MQ RBF, β = 1,5, c = 0,01 Neskalirano, N = 29, Ncrt = 2801 - RMSE = 1,683 ⋅10-6(m) - Maks. pogr. u točci = 4,70⋅10-11(m)- Maks. pogr. = 7,121 ⋅10-1(m)

y/2

z

L

Sl. 43: Globalni opis krmenog rebra broda za opći teret pomoću MQ RBF s β = 1,5, γ = 2 i c = 0,01

Vidimo da RBF opis oscilira oko točke loma L, na spoju boka broda s ravnom palubom.



120

Ovdje će se pokazati rezultati opisa odabranim RB funkcijama za γ = 2 i γ = 1, koje pokazuju tablice u

Dodatku F. Proračuni testnog rebra broda za opći teret su izvršeni za različite glavne, β, i pomoćne eksponente

funkcija, γ , te razne vrijednosti globalnog parametra oblika c, funkcija. Kod γ = 2 su izvršeni proračuni bez i s

polinomskom preciznošću za THS i MQ RBF opise, koji imaju svojstvo rerpodukcije polinoma. Ovdje su

izdvojeni rezultati povoljnih opisa RB funkcijama, tablica 14, ispod, a svi rezultati proračuna su prikazani u

Dodatku F.

Tab. 14: Opis testnog rebra broda za prijevoz općeg tereta povoljnim RBF opisima

Bez polinoma S polinomom Tip RBF β c γ RMSE Errmax 1/cond(H) Ocjena RMSE Errmax Ocjena 1,5 0,01 2 1,683·10-6 7,121·10-1 2,237·10-10 "zakriv." 3,165·10-9 7,086·10-1 "zakriv."

1,5 0,01 1 5,219·10-12 2,984·10-1 2,047·10-5 "zakriv.", "osc. bulb"

2,5 0,01 1 1,562·10-7 6,509·10-1 2,935·10-9 "zakriv." "osc. bulb" MQ

3 0,01 1 5,523·10-6 7,128·10-1 5,395·10-11 "zakriv." "osc. bulb"

Gauss 3 4 1 1,603·10-7 7,097·10-1 9,936·10-10 "zakriv."

2 1 3,413·10-9 5,247·10-1 3,083·10-8 "zakriv." "osc. bulb" 1,262·10-10 5,168·10-1 "zakriv."

"osc. bulb"THS 4 1 1,196·10-3 8,171·10-1 2,406·10-12 "zakriv."

"osc. bulb" 1,956·10-7 8,161·10-1 "zakriv." "osc. bulb"

1,5 0,01 1 3,939·10-11 3,367·10-1 6,066·10-7 "zakriv." "osc. bulb"

2,5 0,01 1 3,693·10-7 6,325·10-1 1,937·10-9 "zakriv." "osc. bulb" PRBF

3 0,01 1 4,698·10-6 7,155·10-1 2,533·10-10 "zakriv."

Prema rezultatima proračuna prikazanim u tablici 14 se zaključiti sljedeće:

− Rezultati proračuna RBF opisa s γ = 2, s polinomskom preciznošću (70) i bez nje ne razlikuju se puno po

veličini u interesantnom području točnosti, pa je utjecaj polinomske preciznosti ovdje zanemariv.

− Željeni glatki opis krivulje rebra ali uz oscilaciju kod malog razmaka točaka na prijelazu s bulba na dno

rebra je dobijen kod MQ RBF za γ = 2 i β = 1,5, te za γ = 1 s β = 1,5, β = 2,5 i β = 3, uz c = 0,01;

te kod THS RBF za β = 2 i β = 4.

− Željeni glatki opis bez oscilacije na prijelazu s bulba na dno rebra je dobijen za MQ RBF za γ = 1, uz

β = 3 i c = 0,01, te kod Gaussove RBF uz β = 3 i c = 4.

− Za MQ RBF je općenito poželjna manja vrijednost globalnog parametra oblika koja teži u 0, c → 0.

− Za Gaussove RBF je općenito poželjna veća vrijednost globalnog parametra oblika koja teži u

beskonačnost, c → ∞.



121

− CSRBF opisi ne osciliraju oko diskontinuiteta u obliku Lagrangeovih polinoma, pa nisu pogodni za ELP

postupak,

− Recipročne vrijednosti uvjetnih brojeva normi su visoke, u odnosu na povoljne vrijednosti blizu 1.

RBF opisi s γ = 2 nemaju oscilaciju rubova, pa je za njih potrebno riješiti jedino problem oscilacije oko točke

loma. Ako se koriste RBF s γ ≠ 2 oscilacije rubova su moguće, pa je potrebno obratiti pažnju na taj problem.

5.2. MATEMATSKI OPIS DISKONTINUITETA

5.2.1. Općenito

Diskontinuitet se može definirati kao prekid unutar raspona dimenzija objekta kod kojeg imamo prekid svih C

kontinuiranosti uz zadržavanje G0 kontinuiteta, tj. kao singularitet u nekoj točci L. Matematski gledano, u točci

loma funkcija opisa ( )xf ima različite derivacije krivulje/plohe s različitih strana loma. Sl. 44 pokazuje općeniti

slučaj loma krivulje s 2 grane, lijevom, GL, i desnom, GD, tangentama tL i tD, normalama nL i nD, te radiusima

zakrivljenosti RL i RD, s centrima CL i CD.

Ako promotrimo analitičku funkciju po dijelovima ( ) [ ]baxf ,∈ za koju smo pretpostavili da je

diskontinuirana u točci Lx = , vidimo da vrijedi:

( )( )

( )

+→

==−→

=

+++

+−

−−−

Lxfff

LxffLxfff

xfn

LLL

LL

nLLL

za ,,,,

za , za ,,,,

'''

'''

L

L

(96)

( )n-L

''-L

'-L

-L

f

f

f

f

M( )nL

''L

'L

L

f

f

f

f

+

+

+

+

M

Sl. 44: Matematski opis diskontinuiteta krivulje



122

U slučaju rubova imamo situaciju kod koje vrijednosti derivacija sa strane izvan područja definicije objekta nisu

određene. Kako je pokazano u poglavlju 2, i energija opisa na rubovima je zbog toga neodređena, pa je potrebno

reducirati je ili proširenjem područja opisa ili minimiziranjem linearizacijom.

Kao mjere točnosti opisa definiraju se globalna i lokalna pogreška opisa Errmax i Err, za odabrani broj točaka

opisa N kao:

( ) Pijiij Nixfy ,,1Err K=−= , (97)

i

( ) iErrmaxErrmax = (98)

gdje je: NP – broj točaka poopćenja opisa.

Broj točaka za crtanje Ncrt jednak je broju točaka poopćenja opisa PN .

Ekstremi se kod opisa analitičkim funkcijama izmijenjuju, te njihov broj ovisi o razmaku između točaka opisa

kako će to biti pokazano dalje u tekstu.

Dakle, za neku točku loma L imamo iste vrijednosti funkcije s obje strane loma, te različite derivacije s jedne i

druge strane loma. Takva singularna točka izaziva oscilacije oko točke loma radi prekida C kontinuiranosti, što

rezultira promjenom ekstrema od lokalnog minimuma prema lokalnom maksimumu, različito od oscilacija bez

loma, s promjenom ritma izmjene ekstrema oko točke loma L, kako pokazuje slika 41, gore. Zavisno da li

imamo konkavni ili konveksni prikaz imamo lokalne minimume, odnosno maksimume oko točke loma. Za

konkavni problem vrijedi:

( )( )

+=<

+−=>=

maksimumi - 1-,,1 ,1,- , ,4 ,2 ,0:sup

minimumi - ,,2,2 , ,3 ,1 ,0:sup:0

''

'''

nnniff

nnnifff

LLii

LLiii

KK

KK (99)

gdje je: n – broj ekstrema

Oko točke loma, s obje starne se povećava broj i amplituda oscilacija, pa je njih potrebno smanjiti ili poništiti.

±=<

=>=

maksimumi - 1 , ,4,2 ,0

minimumi - , ,3 ,1 ,0:0

''

'''

njf

niff

i

ii

K

K (100)

Da bi se lom mogao opisati sa željenom pogreškom pritom je potrebno dodati dodatne točke ili blizu točke loma

da bi se izvršilo lokalno poništavanje oscilacije ili izvršiti translaciju opisa raščlanjivanjem loma u 2 točke.



123

5.2.2. Opis RB funkcijama

Prema definiciji, radijalne bazne funkcije su beskonačno glatke uz C∞ kontinuiranost ili glatke po dijelovima

opisa (eng. piecewise) uz Cn kontinuiranost, gdje je n < ∞. Beskonačno glatke RB funkcije su:

− Gaussove funkcije,

− 2D Tankostijeni splineovi,

− Multikvadratne funkcije.

RB funkcije glatke po dijelovima su:

− Funkcije radijalnih potencija,

− Polinomske RBF.

Funkcije s kompaktnom podrškom:

− Wendlandove funkcije,

− Buchmannove funkcije.

Ako uspoređujemo RB funkcije prema glatkosti, po dijelovima glatke RB funkcije su najpogodnije za opisivanje

formi promjenjivih zakrivljenosti, pa tako i diskontinuiteta oblika. U proračunu će se ostaviti samo slobodni

globalni parametar oblika funkcija c, pa će se u proračunu tražiti njegove pogodne vrijednosti. Također će se

tražiti pogodne vrijednosti glavnog i pomoćnog eksponenta funkcija, β i γ, kao što će biti pokazano u narednim

podpoglavljima.

Kada c → ∞, za dvodimenzijske probleme, prema [99] i [45], Lagrangeovi polinomi imaju svojstvo graničnih

funkcija analitičkog RBF opisa, te u slučaju skaliranih Gaussovih RBF opis konvergira prema de Boor/Ronovoj

"najmanjoj" (eng. "the least") polinomskoj interpolaciji, [100]. (Objašnjenje: to rješenje je najmanjeg stupnja

polinoma, te je dualno prema svim ostalim rješenjima najmanjeg stupnja.). Stoga će se ovdje razmatranje

konvergencije i svojstava opisa RB funkcijama kod primjene postupka elastičnog pomaka promotriti

usporedbom s Lagrangeovim polinomima.

Prema navedenom, RBF ovise o globalnom parametru c, te se može pisati:

( ) ( )∑=

−⋅=N

jjj cxxwcxf

1;;ˆ φ (101)

Pripadan izraz za RBF kod translacije ELP postupkom se prema izrazima (45) i (101) može pisati kao:

( ) ( )∑=

∆−∆−⋅=N

jjj yxcxxwcxf

1;;;ˆ φ (102)



124

5.2.3. Opis brodskih formi Kod brodskih formi se javljaju razni tipovi lomova, te možemo definirati dvodimenzionalni lom forme unutar

raspona, trodimenzionalni lom kod kojeg dolazi do spajanja više lomova, te jednodimenzionalni lom, tj. rub

objekta. Međutim, sve ove tipove lomova možemo svesti na dvodimenzionalne lomove, jer se trodimenzionalni

lom može jednostavno rastaviti na više dvodimenzionalnih. Rubovi objekta se također mogu promatrati kao

diskontinuitet s beskonačnim prekidom s jedne strane objekta, čime se definira unutrašnja i vanjska strana

objekta, pa se i ovaj lom može promatrati kao dvodimenzionalan.

Diskontinuiteti su na brodskim formama uobičajeni na spoju boka i palube, kod izvedbe brizgobrana i uzdužnih

strujnih vodilica, na statvama i kod izvedbe transoma.

Kao primjer graničnog opisa će se ovdje razmotriti opis klina s ravnim granama razmaknutim kutem od 90° na

rasponu [ ]1,1 − , prikazan na slici 45, kao slučaj opisa suprotan od opisa klina s granama definiranim dijelovima

jedinične kružnice.

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

y

L

-1 -0.5 0 0.5 1-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

x

Err

L

0 20 40 6010-5

100

105

1010

1015

N

log(

|Err

|)

0 20 40 6010

-5

100

105

1010

1015

N

log(

|Err

|)

Sl. 45: Opis loma određenog pravcima Lagrangeovim polinomima za N = 11



125

Vidimo da pogreška opisa, za razliku od opisa dijela kružnice, za pojedine raspone divergira nakon određenog

broja točaka opisa, te se točka minimalne pogreške pojedinog raspona [ ]1, +ii xx pomiče prema većem broju

točaka, slično opisu klina s granama koje su dijelovi jedinične kružnice. Međutim, minimalna vrijednost se

nikada ne spušta ispod tražene vrijednosti od 10-4. Kako su grane loma definirane pravcima, središte

zakrivljenosti točaka se nalazi u beskonačnosti, pa nije moguće odrediti ih i koristiti za proračun. Tj., potrebno je

pretpostaviti radijus zakrivljenosti po kojima će se dodavati dodatne točke.

U tu svrhu će se izraditi dijagram raspodjele pogreške Errmax opisa ravnog klina proširenog elastičnim pomakom

po kružnici za različiti broj dodanih točaka Ndod, na pojedinom razmaku između točaka, r. Rezultati su dobiveni

razmicanjem grana loma uz promjenjivi radijus R, te dodavanjem međutočaka Ndod.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

0

r

log(

|Err

|)

Klin - PravciNdod=1Ndod=2

Ndod=3Ndod=4

Ndod=5

Ndod=6Ndod=7

Ndod=8Ndod=9

Ndod=10

Sl. 46: Dijagram ( ) ( )dodNrf ,Errlog =

Sl. 46, gore, pokazuje ovisnost pogreške opisa ( )Errlog o broju dodanih točaka po kružnici Ndod na pojedinim

rasponima [ ]1, +ii xx između točaka 10,,1, == dodi Nir K , klina s ravnim granama. Linija označena

podebljanom plavom bojom pokazuje raspodjelu pogreške ( )Errlog opisa po rasponima r između točaka na

početku, bez dodanih točaka, dok podebljana zelena linija pokazuje pogrešku s 10 dodanih točaka. Vidimo da

raspodjela promjene pogreške s dodanim točkama nije jednolika već promjeniva, te je kao najefikasnija s

obzirom na opis na cijelom rasponu odabrana vrijednost s Ndod = 5 točaka. Isto kao i kod opisa raspodjele

pogreške po rasponu, ni ovdje nije moguće odrediti neku funkcijsku ovisnost pogreške opisa o broju točaka opisa N i Ndod, pa će se ovaj slučaj uzeti kao granični, zajedno s klinom definiranim granama u obliku kružnice. Svi

drugi slučajevi će se promatrati unutar ova 2 granična slučaja.



126

5.2.4. Provjera rezultata opisa RB funkcijama, ELP postupkom Provjera rezultata opisivanja diskontinuiteta RBF opisom korištenjem ELP postupka su izvršeni proračunom 2D

testnog, krmenog rebra broda za prijevoz općeg tereta već korištenog u podpoglavlju 4.1.3, za odabrane

parametre i tipove RBF. Proračuni su izvedeni za postupak ELP s translacijom po pravcu koji opisuje bok

testnog rebra, te prema zajedničkom središtu zakrivljenosti, kako je pokazano u tablicama 15 i 16.

5.2.4.1. Opis testnog rebra s prelukom, ELP postupkom

Kako je opisano prije u tekstu, ELP postupak se može izvoditi na nekoliko načina, a ovdje su odabrani postupci

translacije i pomaka po kružnici. Opis testnog rebra s prelukom će se izvesti na ova 2 načina i usporediti

rezultati.

− ELP, translacija

Tab. 15: Opis testnog rebra ELP postupkom samo s translacijom

Vidimo da su najbolji rezultati opisa testnog rebra s prelukom postignuti za PRBF s β = 3 i c = 0,01, uz

točnost opisa 410189,2RMSE -· = i 4max 10426,1Err -· = , uz oscilacije uz točku loma koje se nastavljaju po

ravnom dijelu boka. Dobar opis je postignut i za PRBF s β = 1,5, ali uz oscilacije blizu bulba radi malog

razmaka između točaka opisa. Za opis s Gaussovom RBF za β = 3 i c = 4 je također postignut dobar opis

probnog rebra, ali uz oscilaciju ruba, pa je taj problem potrebno rješiti, kao i oscilacije ravnog dijela opisa.

Također, vidimo da je broj točaka koji je potrebno dodati za rješavanje problema oscilacija rubova jednak Ndod = 5, dok se za Ndod = 10 dobiva lokalna točnost ili približno zahtjevana točnost opisa.

dodN

3 4 5 10 Tip RBF β c

RMSE Errmax RMSE Errmax RMSE Errmax RMSE Errmax Ocjena

2=γ

1,5 0,01 6,204·10-7 1,367·10-2 9,612·10-6 3,658·10-3 3,834·10-5 1,104·10-3 3,356·10-4 2,267·10-4 "osc. bulb"MQ

2,5 0,01 6,087·10-1 - 3,791 - 1,457·101 - 3,263·102 - -

1=γ

1,5 0,01 1,627·10-11 4,894·10-3 4,864·10-11 3,272·10-3 8,898·10-11 2,375·10-3 1,106·10-10 1,133·10-3 "skok bulb"2,5 0,01 6,048·10-7 6,847·10-3 7,296·10-7 1,838·10-3 8,456·10-8 2,344·10-4 7,033·10-7 7,745·10-5 "skok bulb"

MQ

3 0,01 2,015·10-6 1,379·10-2 1,011·10-5 3,692·10-3 8,057·10-5 1,058·10-3 4,807·10-4 3,198·10-4 "skok bulb"

Gauss 3 4 1,093·10-7 9,898·10-3 6,300·10-7 1,162·10-1 1,065·10-6 6,216·10-3 1,440·10-8 5,151·10-3 "osc. rub"

THS 2 1 2,115·10-8 2,201·10-3 3,235·10-8 2,102·10-3 6,107·10-9 1,340·10-3 3,697·10-8 6,249·10-4 "osc. bulb"

1,5 0,01 2,811·10-11 4,214·10-3 6,885·10-11 2,871·10-3 1,297·10-11 2,081·10-3 1,131·10-10 9,930·10-4 "osc. bulb"

2,5 0,01 2,649·10-7 5,623·10-3 7,075·10-7 1,573·10-3 1,761·10-7 2,223·10-4 1,806·10-6 8,867·10-5 "osc. bulb"PRBF

3 0,01 9,063·10-6 1,367·10-2 7,286·10-5 3,734·10-3 1,116·10-4 8,926·10-4 2,189·10-4 1,426·10-4 "zakriv."



127

Sl. 47: Opis probnog rebra broda za opći teret s PRBF s β = 3 i c = 0,01, korištenjem ELP postupka s

translacijom, s Ndod = 10 dodatnih točaka

Općenito, može se zaključiti da se postupkom Elastičnog pomaka samo translacijom može postići željena

globalna i lokalna točnost opisa primjenom PRBF i Gaussove RBF s β = 3. Dodatno će se dalje još ispitati i

opcije PRBF sβ = 1,5 i β = 2,5 radi povoljnih rezultata proračuna.

b) ELP, pomak po kružnici

Postupak elastičnog pomaka po kružnici će se izvesti dvojako: ravnomjernim rasporedom točaka, te

Čebiševljevim rasporedom točaka.

Iz rezultata koje prikazuju tablice 16 i 17, te slike 47 i 48 vidljivo je da se primjenom ELP postupka s pomakom

po kružnici dobivaju nešto lošiji rezultati proračuna, nego kod ELP postupka s translacijom. Vidi se da je i ovdje

najbolji rezultat opisa testnog rebra s prelukom postignuti za PRBF s β = 3 i c = 0,01, s Čebiševljevim

rasporedom točaka, uz točnost opisa 410754,1RMSE -·= i 4max 10916,9Err -· = , te uz oscilacije uz točku

loma koje se nastavljaju po ravnom dijelu boka, kao i kod postupka s translacijom.



128

Tab. 16: Opis testnog rebra ELP postupkom, pomakom po kružnici, s ravnomjernim rasporedom točaka

Tab. 17: Opis testnog rebra ELP postupkom, pomakom po kružnici, s Čebiševljevim rasporedom točaka

Ndod

3 4 5 10 Tip

RBF β c


MQ γ = 2

1,5 0,01 9,615·10-7 3,644·10-3 6,768·10-6 4,805·10-3 3,188·10-5 1,985·10-3 2,248·10-4 1,309·10-3 "osc. bulb"

MQ γ = 1

1,5 0,01 1,553·10-11 1,010·10-2 4,289·10-11 7,351·10-3 7,297·10-11 5,778·10-3 9,601·10-11 4,103·10-3 "skok bulb"

2,5 0,01 4,580·10-7 1,352·10-3 5,263·10-7 4,169·10-3 7,042·10-8 2,657·10-3 4,698·10-7 1,368·10-3 "skok bulb"

Gauss 3 4 3,157·10-8 1,345·10-2 1,006·10-6 1,504·10-1 8,061·10-7 8,568·10-3 3,699·10-9 6,750·10-3 "osc. rub"

THS 2 1 1,583·10-8 7,157·10-3 2,353·10-8 4,519·10-4 2,875·10-9 1,717·10-2 1,602·10-8 7,198·10-3 "osc. bulb"

PRBF 1,5 0,01 2,519·10-11 9,399·10-3 5,803·10-11 6,861·10-3 1,062·10-11 5,402·10-3 7,634·10-11 3,723·10-3 "osc. bulb"

2,5 0,01 2,004·10-7 1,996·10-3 5,118·10-7 4,114·10-3 7,710·10-8 2,768·10-3 1,017·10-6 1,532·10-3 "osc. bulb"

3 0,01 7,658·10-6 3,602·10-3 5,446·10-5 4,854·10-3 7,552·10-5 2,074·10-3 9,912·10-5 1,187·10-3 "zakriv."

Ndod 3 4 5 10

Tip

RBF β c


MQ γ = 2 1,5 0,01 2,971·10-7 1,858·10-3 2,817·10-6 2,998·10-3 5,133·10-5 1,653·10-3 1,632·10-4 9,762·10-4 "osc. bulb"

MQ γ = 1 1,5 0,01 2,618·10-12 1,015·10-2 3,848·10-11 7,272·10-3 5,172·10-11 5,656·10-3 4,547·10-11 4,104·10-3 "skok bulb"

2,5 0,01 4,934·10-7 3,231·10-3 3,431·10-7 3,124·10-3 2,273·10-7 2,258·10-3 2,495·10-7 1,328·10-3 "skok bulb"

Gauss 3 4 3,157·10-8 1,345·10-2 1,006·10-6 1,504·10-1 8,061·10-7 8,568·10-3 3,699·10-9 6,750·10-3 "osc. rub"

THS 2 1 1,583·10-8 7,157·10-3 2,353·10-8 4,519·10-4 2,875·10-9 1,717·10-2 1,602·10-8 7,198·10-3 "osc. bulb"

PRBF 1,5 0,01 9,945·10-12 9,562·10-3 2,736·10-11 6,781·10-3 3,535·10-11 5,252·10-3 8,251·10-11 3,724·10-3 "osc. bulb"

2,5 0,01 2,442·10-7 3,984·10-3 7,379·10-7 3,178·10-3 1,441·10-7 2,375·10-3 1,271·10-8 1,532·10-3 "osc. bulb"

3 0,01 8,178·10-6 1,816·10-3 7,759·10-5 3,066·10-3 1,138·10-4 1,787·10-3 1,754·10-4 9,916·10-4 "zakriv."



129

6.194 6.196 6.198 6.2 6.202 6.204 6.2067

7.5

8

8.5

9

y/2

z

-6 -4 -2 0 2 4 6 80

5

10

15

← Max PRBF, β = 3,0; c = 0,01 Ncrt = 3801, Neskalirano, N = 29, Ndod=10, po kružnici - RMSE = 9,912⋅10-5 - Maks. pogr. u točci = 2,851⋅10-4(m) - Maks. pogr. = 1,187⋅10-3(m)

z

y/2

0 1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y/2z

Sl. 48: Opis testnog rebra br. 1, s PRBF s β = 3 i c = 0,01, korištenjem ELP postupka s pomakom po kružnici,

s 10=dodN dodatnih točaka, te prikazanim povećanjem područja loma i bulba rebra

Rezultati proračuna za ELP s pomakom po kružnici s ravnomjernim rasporedom točaka i s Čebiševljevim

točkama su približno istog reda točnosti za brodsko rebro s prelukom.

Općenito gledano, ELP postupak s translacijom i ELP s pomakom po kružnici imaju približno jednak red

veličine pogrešaka, ali je postupak s translacijom nešto točniji uz osnovnu prednost u jednostavnosti primjene, pa

se za opis rebra s prelukom preporuča ovaj ELP postupak opisa. Razlog tome je prije naveden problem

analitičkog opisivanja dijelova krivulje čiji se kut nagiba tangente približava kutu do 90°. Poboljšanje opisa se

može postići rotacijom ulaznih točaka za neki kut, kako je to opisano u poglavlju 4, ali to ne bi smanjilo

oscilacije oko točke loma, pa se taj postupak ovdje neće izvesti.

5.2.4.2. Opis testnog rebra s prelukom i lomom ELP postupkom

Osim testnog rebra br. 1 s prelukom, ispitat će se i probno rebro jednog broda za prijevoz auta i kamiona koje uz

preluk ima i bočni lom. Kao probno rebro je odabrano jedno krmeno rebro s bulbom, u Dodatku A.2). Rezultati

su pokazani za RBF opise za odabrane tipove funkcija i parametre prema prethodnom podpoglavlju, proračunom

uz ELP postupak translacijom i pomakom po kružnici.



130

a) ELP, translacija

15.549 15.55 15.55123

24

25

26

27

28

29 ← Max

y/2

z

0 5 10 150

5

10

15

20

25

30

35

40

45

← Max

PRBF, β = 3,0, c = 2,11 Neskalirano, N = 59, Ncrt = 5801 - RMSE = 2,811⋅10-4 - Maks. pogr. u točci = 6,349 ⋅10-4(m) - Maks. pogr. = 3.915⋅10-4(m)

y/2

z

15.5495 15.55 15.5505

10

11

12

13

14

15

16

17

y/2

z

Sl. 49: Globalni opis testnog rebra 2 s bočnim lomom PRB funkcijom s β = 3, c = 2,11, ELP postupkom translacijom s Ndod = 10 dodanih točaka po lomu

Tab. 18: Opis testnog rebra s lomom ELP postupkom s translacijom

Ndod 3 4 5 10

Tip

RBF β c


γ = 2 MQ 1,5 0,01 6,743·10-3 3,832·10-2 8,732·10-2 1,623·10-1 1,015·10-1 1,714·10-1 2,353·10-1 3,371·10-1 "pomak"

γ = 1 1,5 0,01 3,686·10-8 4,107·10-2 3,752·10-8 2,839·10-2 8,189·10-9 2,075·10-2 3,352·10-8 6,893·10-2 "zakriv."2,5 0,01 2,921·10-3 3,084·10-2 1,958·10-3 8,112·10-3 4,503·10-4 1,036·10-2 4,876·10-3 7,148·10-3 "zakriv."

MQ

3 0,01 6,214·10-2 1,329·10-1 5,926·10-3 1,697·10-2 9,670·10-2 1,646·10-1 1,996·10-1 2,859·10-1 "pomak"3 4 4,674·10-10 1,765·100 7,677·10-9 1,757·100 1,193·10-8 4,872·100 1,141·10-8 1,496·100 "osc."

Gauss 20 6,319·10-4 3,949·10-2 5,167·10-4 1,081·10-2 1,906·10-4 2,906·10-3 2,017·10-3 2,016·10-3 "zakriv."

THS 2 1 8,344·10-6 4,405·10-2 1,846·10-5 2,868·10-2 3,540·10-5 2,045·10-2 1,599·10-4 6,419·10-2 " zakriv."1,5 0,01 6,08610-9 4,098·10-2 4,611·10-8 2,831·10-2 1,379·10-8 2,069·10-2 1,226·10-7 6,871·10-3 "zakriv."

2,5 0,01 1,025·10-3 2,627·10-2 6,858·10-4 1,292·10-2 2,264·10-4 9,672·10-3 3,703·10-3 5,428·10-3 "zakriv."PRBF

3 0,01 1,026·10-2 4,386·10-2 1,648·10-2 3,388·10-2 1,472·10-1 2,487·10-1 2,137·10-1 3,063·10-1 "pomak"



131

Iz rezultata tablice 18, gore, vidljivo je da nijedna RB funkcija i odabir parametara ne daje opis zahtjevane

lokalne točnosti. Međutim, za PRB funkcije s cjelobrojnim eksponentima ne vrijedi pravilna raspodjela točnosti

opisa RMSE, pa je potrebno provjeriti pripadni dijagram osjetljivosti PRB funkcije za glavni eksponent

funkcije β = 3.

Tab. 19: PRBF s β = 3 uz parametre oblika c koji daju minimalne vrijednosti RMSE

0 2 4 6 8 1010-4

10-3

10-2

10-1

100

c

RM

SE

Sl. 50: Dijagram osjetljivosti opisa testnog rebra br. 2 opisanog s PRBF, uz β = 3, ELP postupkom uz

translaciju s Ndod = 10

Nakon izrade dijagrama osjetljivosti za PRBF uz β = 3 i razne Ndod, vidi se da za Ndod = 10, s c = 2,11 dobiva

se približno željena lokaln točnost opisa od RMSE = 3,915·10-4.

b) ELP, pomak po kružnici

Tab. 20: Opis testnog rebra s lomom ELP postupkom pomakom po kružnici uz Čebiševljeve točke

Kao i kod ELP postupka s translacijom, rezultati proračuna RB funkcijama ELP postupkom s pomakom po

kružnici također ne daju zadovoljavajuće rezultate lokalne točnosti, pa će se i ovdje odrediti dijagram

senzitivnosti PRB funkcije za glavni eksponent funkcijeβ = 3.

Ndod 3 4 5 10 c 4,26 3,23 1,77 2,11 RMSE 2,883·10-4 1,809·10-4 1,561·10-4 2,811·10-4 Errmax 3,907·10-2 1,078·10-2 3,085·10-3 3,915·10-4

Ndod

3 4 5 10 Tip RBF

β c RMSE Errmax RMSE Errmax RMSE Errmax RMSE Errmax

Ocjena

1,5 0,01 8,455·10-10 4,031·10-2 5,079·10-8 2,770·10-2 3,594·10-8 2,065·10-2 2,753·10-8 8,214·10-3 "osc."2,5 0,01 4,440·10-3 1,741·10-2 8,220·10-6 1,044·10-2 8,701·10-3 2,175·10-2 4,981·10-4 3,084·10-3 "osc." MQ

3 0,01 3,465·10-1 6,170·10-1 2,609·10-2 5,217·10-2 3,470·10-1 5,759·10-1 9,736·10-1 1,372 "pomak"Gauss 3 20 1,161·10-4 2,956·10-2 4,742·10-4 7,315·10-3 7,843·10-4 3,618·10-3 6,960·10-5 3,415·10-3 "osc."

1,5 0,01 3,35710-8 3,993·10-2 2,310·10-8 2,742·10-2 3,480·10-8 2,041·10-2 2,379·10-8 8,059·10-3 "zakriv."2,5 0,01 4,905·10-3 1,300·10-2 3,981·10-4 1,025·10-2 4,388·10-3 7,633·10-3 6,333·10-3 1,093·10-2 "zakriv."PRBF

3 0,01 2,618·10-1 4,659·10-1 1,814·10-1 3,116·10-1 2,490·10-1 4,138·10-1 2,870·10-1 4,047·10-1 "pomak"



132

Tab. 21: PRBF uz β = 3 i parametre oblika c koji daju minimalne vrijednosti RMSE

Ndod 3 4 5 10 c 9,91 8,41 3,46 0,93

RMSE 9,958·10-5 4,552·10-4 3,873·10-4 5,674·10-4

maxErr 2,939·10-2 6,662·10-3 2,667·10-3 8,474·10-4

0 2 4 6 8 1010-4

10-3

10-2

10-1

100

101

c

RM

SE

Sl. 51: Dijagram osjetljivosti opisa probnog rebra s lomom i prelukom s PRBF uz β = 3, c = 0,01, postupkom ELP s pomakom po kružnici, s Ndod = 10 dodanih točaka po diskontinuitetu

15.549 15.55 15.551 15.552

26

26.5

27

27.5

28

28.5

29

29.5

y/2

z

-5 0 5 10 15 20 250

5

10

15

20

25

30

35

40

45

← Max

PRBF, β = 3,0; c = 0,93 Neskalirano, N = 39, N dod=20, Ncrt = 5801, po kružnici - RMSE = 5,674 ⋅10-4 - Max. Point Error = 1,104 ⋅10-3(m) - Max. Error = 8,474 ⋅10-4(m)

y/2

z

15.548 15.549 15.55 15.551 15.552 15.553

10

10.5

11

11.5

12

12.5

y/2

z

Sl. 52: Globalni opis probnog, testnog rebra 2, PRB funkcijom s β = 3 i 93,0=c , ELP postupkom pomakom po kružnici s Ndod = 10 dodanih točaka po lomu



133

5.2.4.3. Zaključak primjene ELP postupka kod opisa diskontinuiteta RB

funkcijama

Iz rezultata prikazanih proračuna za probna rebra s prelukom i rebro s lomom se može zaključiti da je primjenom

globalnih RBF opisa diskontinuiteta ELP postupcima moguće poboljšanje lokalne točnosti opisa za nekoliko

redova veličine, s vrijednosti od približno 10-1 na vrijednosti blizu zahtjevanih 10-4. Pritom ELP postupak

translacijom daje nešto bolje rezultate lokalne točnosti od postupka pomaka po kružnici radi nedostatka opisa

dijelova rebra čiji se kut nagiba tangente približava kutu od 90°. Usporedbom više tipova RB funkcija se moglo

zaključiti da su najpovoljnije funkcije PRBF i Gaussova RBF s β = 3, dok MQRBF daje dobre rezultate, ali

pokazuje efekt oscilacija kod smanjene udaljenosti točaka ulaznog skupa.

Sve navedene funkcije ipak osciliraju oko točaka loma, te ELP postupkom nije moguće nadzirati ponašanje opisa

u blizini loma. Nadalje, zahtjevano povećanje broja točaka može biti zahtjevno sa stajališta računalnog

procesorskog vremena, naročito kod eventualnih 3D primjena kod kojih se broj točaka koje je potrebno dodati

može značajno uvećati. Iz navedenih razloga se može izvesti zaključak da je potrebno odrediti drukčiji postupak

rješavanja problema globalnog opisa diskontinuiteta analitičkim funkcijama kojim će se moći kontrolirati

ponašanje opisa oko točaka loma.

To će se učiniti primjenom kompozicije radijalnih osnovnih funkcija s gustim opisom diskontinuiteta u

narednom podpoglavlju.

5.3. KOMPOZICIJA RB FUNKCIJA

5.3.1. Općenito Iz prikazanog opisivanja rebra s diskontinuitetima pomoću RBF opisa ELP postupkom razmatranog u

prethodnom poglavlju se vidi da je teško postići zahtjevanu lokalnu točnost opisa od 4max 101Err -· = radi

oscilacija opisa blizu točaka loma, tj. nemogućnosti kontrole derivacija krivulje u blizini diskontinuiteta.

Hermitteova RBF interpolacija, postavljena na način opisan u [81] i [39], također ne daje odgovarajuće rezultate

kod primjene na jako zakrivljenu brodsku formu, tj. nije moguće ostvariti kontrolu derivacija u točci loma.

Problem Gibbsovog fenomena je razmatran i u radu [101], gdje je primjenjen postupak adaptivne, lokalne

aproksimacije, te razmatrana svojstva globalnog RBF opisa u blizini 2D diskontinuiteta u ovisnosti o parametru

oblika RB funkcija, uz razdvajanje loma u dvije grane. Ovdje će se također primjeniti postupak razdvajanja

diskontinuteta u dvije grane kako je to opisano u prethodnom podpoglavlju i prikazano na slici 44, koja pokazuje

različite derivacije krivulje s različitih strana loma. U svrhu smanjenja oscilacija i kontrole pripadnih derivacija

obje grane loma će se gusto postaviti dodatne točke oko točke loma vrlo malog razmaka uz 0→δ , tj. lom će



134

se opisati gustim rasporedom točaka, te linearnom PRB funkcijom kako je to opisano u poglavlju 4 koja

predstavlja prirodan opis pravca.

Osnovni problemi takvog opisa su vezani za pogoršanu konvergenciju kod smanjenja udaljenosti hmin ulaznih

točaka, opisanog u poglavlju 3, te primjeni različitih baznih funkcija kod globalne interpolacije upotrebom

lineariziranih RBF oko točke loma te glatkih RBF u ostalom dijelu opisa.

Iz slike 11 koja prikazuje globalnu točnosti opisa polukružnice Lagrangeovim polinomima, može se vidjeti da

postoji granični broj točaka opisa Nzn iznad kojeg opis divergira, te stoga postoji ograničenje razmaka točaka

kod opisa standardnim RBF koje se temelje na normi L2. U usporedbi sa standardnim RBF, polinomske RBF

imaju poboljšanu konvergenciju opisa s obzirom na razmak točaka jer se temelje na normi L1.

U ovom potpoglavlju će se pokazati mogućnost opisivanja diskontinuiteta radijalnim osnovnim funkcijama, te

mogućnost primjene RBF kao metode opisivanja geometrije bez 2 manifolda, kako je to opisano u uvodnom,

prvom poglavlju disertacije.

Za provjeru efikasnosti postupka je odabrano test rebro br. 2, s diskontinuitetima oblika i prelukom, čije

opisivanje predstavlja značajan problem za sve globalne postupke opisivanja geometrije.

5.3.2. Kompozicija RB funkcija

5.3.2.1. Postavke

Kod globalnih opisa krivulja s diskontinuitetima se javlja potreba za korištenjem različitih baznih funkcija:

glatkih RBF i lineariziranih (pseudo-linearnih) RBF u području diskontinuiteta. Upotrebom različitih RBF

također dolazi do oscilacija koje su nepravilne i mogu biti jače od onih kod Gibbsovog fenomena, pa je potrebno

rješiti taj problem, koji će se ovdje rješiti primjenom kompatibilnih osnovnih funkcija koje neće izazvati

oscilacije veće od maksimalnih izvan područja loma. Sibson i Stone su 1991., [102], predložili postupak koji se

temelji na traženju boljih baza za uvjetno pozitivno definirane radijalne bazne funkcije pomoću reprodukcijskih

jezgri pripadnih nativnih prostora, a Beatson, Light i Billings su 2000., [103], taj postupak izveli za

poliharmonijske splineove.

Kompatibilnost različitih RB funkcija treba omogućiti istovremenu primjenu različitih baznih funkcija kod

globalnog opisa nekog objekta bez nastanka oscilacija.

Ako promotrimo beskonačno male dijeliće krivulje oko loma δl, vidimo da se oni približno mogu opisati

linearno, pravcem, kako to pokazuje slika 53, dolje. Tj., ulazni skup točaka se može modificirati dodavanjem

točaka vrlo blizu točke loma L, na udaljenosti δl.



135

Sl. 53: Opis diskontinuiteta gusto dodanim točkama i pravcima

Ulazni skup točaka NNNLjLiL xxxxxxxx ,,,,,,,,,,, 1121 −KKKKK se sada modificira u

NNNLNLNLjLjLjLiLLL xxlxxlxlxxlxxlxxlxxx ,,,,,,,,,,,,,,, 111121 −+−+−+− KKKKK δδδδδδtj. ulaznom skupu je potrebno dodati točke blizu točke loma L, točke

lxlxlxlxlxlx NLNLjLjLLL δδδδδδ +−+−+− ,,,,, 11 KK , gdje je: LjLj ,,1K== ∑ broj

dodanih točaka oko lomova oblika. Položaj dodatnih točaka je lako odrediti pomoću udaljenosti lδ od točke loma

po pravcima tangenti tL i tD grana oko diskontinuiteta.

Stoga se nadalje može iskoristiti osnovno svojstvo RBF mreža opisivanja krivulja i ploha po dijelovima (eng.

Piecewise). To jest, da bi se lom mogao opisati približno linearno, infinitezimalno blizu točke loma, potrebno je

dodati točke opisa vrlo blizu singularne točke loma s njegove obje strane, kao što pokazuje slika 53, ili samo s

jedne strane loma, te koristiti linearnu ili pseudo-linearne RB funkcije.

Dodatne točke je potrebno postaviti vrlo blizu točke loma, reda veličine ispod globalne tolerance opisa od 10-4

(m), što predstavlja problem vezano za problem singularnosti interpolacijske matrice i njene dobre uvjetovanosti,

odnosno njene inverzije, kako je to opisano u poglavlju 3. To je osnovni razlog koji sprječava rješenje ovog

problema korištenjem samo jednog tipa RB funkcije. Stoga će se u ovoj disertaciji pokazati rješenje opisa

diskontinuiteta forme pomoću kompatibilnih radijalnih osnovnih funkcija, kod kojih će se osnovna funkcija

korištena za opis objekta, u području loma zamijeniti drugom osnovnom funkcijom pogodnom za opisivanje

loma.

Izraz za RBF opis s kompozcijom funkcija se sada može napisati u obliku:

( ) ( ) sL

lll

N

iii IRxctxwctxwxf ∈+= ∑∑

==

,;,;,)(ˆ1

221

11 φφ (103)

gdje su: Ni ,,1K= , točke ulaznog skupa, bez dodanih točaka oko diskontinuiteta,

Lj ,,1K= – dodane točke ulaznog skupa, oko diskontinuiteta,



136

1φ – osnovna RB funkcije,

2φ – RB funkcija koja se koriste za opis diskontinuiteta.

5.3.2.2. Usklađenost funkcija

Kako su oscilacije opisa pravcem najmanje, to je opisivanje područja oko loma najefikasnije opisati linearno,

odnosno približno linearno. U poglavlju 4 su razmatrana osnovna svojstva RBF opisa u opisivanju pravca, te

pokazane RB funkcije koje daju dobre rezultate u njegovom opisivanju. Pokazano je da FRP i PRBF imaju

željeni oblik kao u jednadžbi (93), te osim toga, radi apsolutne vrijednosti argumenta funkcije te osnovnog

svojstva RBF opisivanjem po dijelovima, omogućuju opisivanje diskontinuiteta geometrije. U svrhu

izbjegavanja dodatnih oscilacija na spoju lineariziranih dijelova opisa i ostalog opisa potrebno je koristiti

kompatibilne funkcije, tj. funkcije koje međusobno ne izazivaju dodatne oscilacije, te povoljno opisuju ravne

dijelove krivulje. Dodatni uvjet u izboru kompatibilnih funkcija za opis diskontinuiteta jest minimalni dozvoljeni

razmak točaka opisa, koji je ograničavajući faktor i u izboru osnovne RB funkcije i funkcije za opis

diskontinuiteta.

Ovdje će se ispitati svojstva i mogućnosti opisa PRBF, Gaussovih i MQRBF funkcija s 1=γ u opisivanju

diskontinuiteta krivulje rebra. Standardnom rasporedu točaka su dodane točke blizu lomova, na udaljenosti 10-4

(m) , samo na boku, što je rezultiralo lošijim uvjetnim brojevima, kako to pokazuje donja tablica 22.

Tab. 22: Rezultati proračuna testnog rebra br. 2, kompozicijom RB funkcija s gustim opisom loma, po 1 točkom

sa svake strane oko točke loma, na udaljenosti od 10-4 (m)

Tip RBF β c Tip RBF Linearno β RMSE Errmax 1/cond(H) 1/cond(H) *

1,5 0,01 MQ 0,5 4,523·10-9 1,103 5,471·10-9 5,419·10-9 2,5 0,01 MQ 0,5 3,501·10-4 1,381 3,962·10-12 3,896·10-12 MQ 2,5 0,01 MQ 1 6,407·10-5 2,147 3,962·10-12 3 40 PRBF 1 1,103·10-5 2,692·10-2 1,263·10-13

Gauss 3 40 Gauss 1 5,954·10-4 1,301·10-2 -

1,5 0,01 PRBF 0,5 6,369·10-10 8,898·10-1 1,988·10-7 3,540·10-10 1,5 0,01 PRBF 1 1,424·10-9 1,416 5,197·10-9 2,5 0,01 PRBF 0,5 2,036·10-5 1,164 1,393·10-9 6,549·10-14 2,5 0,01 PRBF 1 9,251·10-5 8,338·10-1 7,274·10-11 3 0,01 PRBF 1 5,251·10-3 1,196·10-2 1,401·10-11 4,703·10-15

PRBF

3 3,08 PRBF 1 1,424·10-4 2,388·10-4 1,396·10-11

* Uvjetni broj funkcije bez kompozicije s drugom RB funkcijom

Iz tablice 22 se može zaključiti da su PRB i Gaussova RB funkcije s β = 3 prikladne za opis diskontinuiteta.

Pritom, PRB funkcija s β = 3 za kompatibilnu funkciju ima PRBF s β = 1, tj. pravcem, pa je to najpogodnija

funkcija za opis kompatibilnim funkcijama. Izradom dijagrama osjetljivosti RMSE−c dobiva se bolja



137

vrijednost točnosti opisa testnog rebra, za c = 3,08, uz vrijednost 410027,2RMSE −⋅= i

4max 10388,2Err −⋅= , što su vrijednosti blizu zahtjevanih globalnih i lokalnih točnosti.

15.5495 15.55 15.5505

27

27.5

28

28.5 ← Max

y/2

z

0 5 10 15 200

5

10

15

20

25

30 ← Max

Glavna funkcija: PRBF, β = 3,0; c = 3,08 Funkcija oko loma: PRBF, β = 1,0 Bez skaliranja, N = 39, Ncrt = 4001 - RMSE = 1,424⋅10-4 - Max. Point Error = 2,027⋅10-4(m) - Max. Error = 2.388⋅10-4(m)

y/2

z

15.5495 15.55 15.5505

10

10.5

11

11.5

12

12.5

13

13.5

14

y/2

z

Sl. 54: Opis probnog rebra s lomom i prelukom kompatibilnim PRB funkcijama, uz PRBF sβ = 3 kao glavnom funkcijom, te PRBF sβ = 1 kao funkcijom za opis loma

Slika 54, gore, pokazuje opis testnog rebra 2, s lomom i prelukom, kompozicijom PRB funkcija, uz PRBF s

β = 3 kao glavnom funkcijom, te PRBF s 1=β kao funkcijom za opis loma. Vidimo da je PRBF s β = 3

prikladna funkcija za gladak opis rebra s diskontinuitetima s njenom kompatibilnom funkcijom PRBF s β = 1.

Štoviše, PRBF s β = 1 predstavlja jednadžbu pravca, pa prirodno odgovara opisu ravnih dijelova, te

diskontinuiteta.

Što se tiče uvjetovanosti matrice, ona se za PRBF značajno poboljšava u odnosu na vrijednosti dobijene bez

kompozicije funkcija, kao što to pokazuje tablica 22, čime se poništava efekt dodanih točaka vrlo blizu točaka

loma.

5.3.2.3. Prirodni opis ravnih dijelova krivulje

Kako je bok broda probnog rebra ravan, tj. pravac, za opis boka broda su dovoljne samo 2 točke, što je prirodan

opis s dovoljnim brojem točaka za opisivanje pravca, kako je to pokazano u poglavlju 4. Stoga će se u ulaznom

skupu točaka izostaviti sve međutočke boka osim gusto dodanih točaka blizu loma i ispitati PRBF opis rebra s

lomom i prelukom postupkom kompatibilne funkcije za tako postavljen skup ulaznih točaka opisa. Pripadni izraz

RBF s kompatibilnim osnovnim funkcijama je:



138

( ) ( ) sL

lll

N

iii IRxctxwctxwxf ∈+= ∑∑

==

,;,;,)(ˆ1

221

13

1 φφ (104)

gdje vidimo da je funkcija kojom opisujemo glatke dijelove rebra kubični spline, a funkcija kojom opisujemo

ravne dijelove krivulje rebra linearna funkcija. Te funkcije kao argument imaju normu L1, tj. apsolutnu

vrijednost razlike x i xi, ixx − .

0 5 10 150

5

10

15

20

25

30

← Max

Glavna funkcija: PRBF, β = 3,0, c = 2,41 Pomocna funkcija: PRBF, β = 1.0, Neskalirani podaci, N = 20, NP = 2101

- RMSE = 6,260⋅10-10

- Maks. Pogr. - tocka = 1,498⋅10-9(m)- Maks. Pogr. - ravno = 2,889⋅10-7(m)

y/2 (m)

z (m

)

15.5499 15.5499 15.55 15.55 15.55010

5

10

15

20

25

30

← Maxz

(m)

Sl. 55: Opis test-rebra br. 2, s lomom i prelukom, prirodnim opisom kompozicijom RBF funkcija,

uz PRBF s β = 3 kao glavnom funkcijom, PRBF s β = 1 kao funkcijom za opis loma, te s

točkama oko loma na udaljenosti 410−=∆z , 0=∆y

Nakon izvedenog proračuna s PRBF uz β = 3 i c = 2,41, te njenom kompatibilnom funkcijom PRBF uz

β = 1, dobivaju se sljedeće vrijednosti pogrešaka kod opisa probnog rebra broda za prijevoz auta i kamiona:

1010260,6RMSE −⋅= i 7max 10889,2Err −⋅= , uz uvjetni broj 1010653,1 −⋅ , koji je reda veličine

prethodno dobijenih vrijednosti bez gustog opisa točke loma.

Vidimo da obje vrijednosti zadovoljavaju kriterije točnosti opisa postavljene u poglavlju 2. Vrijednost lokalne

pogreške opisa Errmax je znatno ispod zahtjevanih 10-4, te je ovime ostvaren zahtjev lokalne točnosti opisivanja

brodskih rebara s diskontinuitetima. Sl. 55, gore, prikazuje prirodni opis rebra s diskontinuitetima kompatibilnim

PRBF opisom, s 1 dodanom točkom blizu točke loma, te izostavljenim točkama koje opisuju ravni bok.



139

Također, područje globalne točnosti za gornje postavke kompozicije funkcija PRBF-PRBF se premješta sa

raspona od 10-3 do 100, na raspon točnosti od 10-8 do 10-6, tj. cijelo područje raspona parametra oblika

c radijalnih osnovnih funkcija je prihvatljivo za korištenje kako to pokazuje donja slika, slika 56.

0 2 4 6 8 1010-10

10-9

10-8

10-7

10-6

c

log(

RM

SE)

Sl. 56: Dijagram osjetljivosti opisa testnog rebra 2, s lomom i prelukom, kompatibilnim PRBF-PRBF

funkcijama, s β = 3 i β = 1

Može se dodatno zaključiti da je kod prirodnog opisa kompatiblinim PRBF-PRBF funkcijama uz β = 3 i β = 1

moguće ispustiti parametar oblika c RB funkcija, te se kao RBF opis dobiva čisti polinomski opis, bez aditivne

konstante. Na taj način se eliminira potreba za traženjem optimalne vrijednosti parametra oblika, što može biti

zahtjevan zadatak kod 3D opisa. Osim toga, smanjuje se i broj točaka ulaznog skupa, jer je potrebno samo

naznačiti područje gdje se nalazi ravnina, odnosno pravac.

Konačni izraz za RBF opis kompatibilnim funkcijama se može napisati kao:

( ) ( ) sL

lll

N

iii IRxtxwtxwxf ∈+= ∑∑

==

,,,)(ˆ1

21

31 φφ (105)

gdje nije potrebno uvoditi parametar oblika funkcije c, tj. funkcijski opis ne mijenja značajno svoja svojstva

promjenom c, kako je to pokazano na slici 56, gore.

Dodatno, za PRBF vrijedi:

( ) ( ) sL

lll

N

iii IRxtxwtxwxf ∈−+−= ∑∑

==

,)(ˆ11

3 (106)

Ovaj zaključak povezuje Polinomske RBF s Funkcijama Radijalnih Potencija, koje su u teoriji navedene kao

poliharmonijski splineovi, tj. one također ne ovise o parametru oblika funkcije c. Izraz (58) objašnjava i



140

potvđuje naziv Polinomske RBF, jer vidimo da se u konačnici dobiva kubični spline sa argumentom apsolutne

vrijednosti razlike između ulaznih točaka i točaka centara RBF opisa.

Sumiranjem članova pojedinih potencija, konačno dobiva se kubni polinom:

( ) 012

23

3ˆ CxCxCxCxf +++= (107)

gdje su: 3C , 2C , 1C i 0C - koeficijenti kubnog polinoma.

Ovaj funkcijski opis polinomima je vrlo jednostavan i omogućuje daljnje proračune hidrostatskih svojstava

broda, tj. ispunjavanje ciljeva brodske proračunske geometrije i pripadnih im zahtjeva opisanih u poglavlju 2. U

poglavljima 6 i 7 će se pokazati primjena PRBF u rješavanju problema presjeka broda s ravninskom vodnom

linijom, te proračun osnovnih integrala koje je potrebno rješiti u svrhu određivanja hidrostatskih svojstava broda.

5.3.3. Točnost opisa oko dodanih točaka loma Kako smo vidjeli ranije, udaljenost između točaka opisa je ograničena na neku vrijednost ispod koje dolazi do

oscilacija opisa, kako je to pokazano kod Lagrangeove interpolacije, gdje postoji neki značajan broj jednoliko

raspoređenih točaka opisa Nzn iznad kojeg dolazi do pojave nekontroliranih oscilacija. Vrijednosti minimalnih

udaljenosti između točaka za RB funkcije, odnosno uvjetnih brojeva koji osiguravaju inverziju interpolacijske

matrice su pokazani u tablici 23, te predstavljaju približne vrijednosti koje je potrebno provjeriti.

Ovdje će se ispitati osjetljivost točnosti opisa kompozicije PRBF s 1 ,3=β i c = 2,41 o položaju točaka

dodanih blizu točaka loma, tj. njihovog smjera i udaljenost u odnosu na točke loma za testno rebro br. 2, sa slike

59, zadanog vertikalnim z∆ i horizontalnim udaljenostima y∆ od točaka loma, kako to pokazuju tablica 23 i

slika 57, ispod.

Tab. 23: Utjecaj položaja dodanih točaka na rezultate opisa testnog rebra s lomom

Vertikalni pomak dodanih točaka z∆ Horizontalni pomak dodanih točaka y∆ , 410−=∆z Pomak RMSE Errmax 1/cond(H) Pomak RMSE Errmax 1/cond(H)

10-1 2,552·10-7 5,091·10-3 1,239·10-9 10-2 2,108·10-7 8,150·10-5 1,222·10-9 10-3 8,682·10-8 9,148·10-7 1,220·10-9 10-4 2,112·10-9 4,576·100 1,653·10-10 10-4 6,260·10-10 2,889·10-7 1,653·10-10 10-5 1,618·10-9 4,576·10-1 1,653·10-10 10-5 1,793·10-7 3,692·10-6 1,653·10-11 10-6 3,078·10-9 4,576·10-2 1,653·10-10 10-6 9,224·10-7 4,033·10-5 1,653·10-12 10-9 4,231·10-9 4,559·10-5 1,653·10-10 10-7 1,160·10-5 5,155·10-4 1,653·10-13 10-8 2,290·10-5 2,537·10-3 1,653·10-14 10-9 9,321·10-4 3,623·10-2 1,653·10-15



141

10-10 10-5 10010-10

10-5

100

log(∆z) (m)

log(RMSE)log(Errmax)

10-8 10-6 10-410-10

10-5

100

105

log(∆y)(m)

log(RMSE)log(Errmax)

Sl. 57: Utjecaj pomaka dodanih točaka za opis loma od točke loma

Iz rezultata se može zaključiti da o točnost opisa ovisi o poklapanju dodanih točaka s tangentama oko točki loma.

U promatranom primjeru opisa značajniji je horizontalni pomak dodanih točaka oko loma, jer on pokazuje

odstupanje od nagiba tangente u točkama loma. Lokalna pogreška Errmax opisa raste linearno s y∆ , dok RMSE

ne ovisi značajno o y∆ .

S druge strane, vertikalni pomak z∆ pokazuje promjenu točnosti opisa o položaju dodanih točaka na tangenti u

točci loma. Vidimo da postoji područje prihvatljivih vrijednosti z∆ , koje daju zadovoljavajuće vrijednosti opisa,

u rasponu od 10-3 do 10-7 (m).

Može se zaključiti da je dodatne točke opisa potrebno postavljati na pravce tangenti u točkama loma, uz

udaljenost na tangenti koja treba iznositi oko vrijednosti zadane tolerancije opisa.

Kao potrebne informacije za opisivanje geometrije kompozicijom RB funkcija s gustim opisom točaka loma,

potrebno je poznavati i tangente s obje strane točaka loma, čime se zahtjevaju dodatne informacije u odnosu na

klasičan RBF opis samo točkama, no s manjim brojem informacija nego je to slučaj kod Hermiteove

interpolacije.

Broj potrebnih informacija za opis kompozicijom RB funkcija s gustim opisom točaka loma je stoga:

LN ⋅+ 2 , gdje je: N – broj točaka opisa, te L⋅2 – broj dodanih točaka opisa oko točaka loma s nagibom

smjera tangente u točci loma.



142

5.4. PROBLEM OSCILACIJA KRIVULJE OPISA RB FUNKCIJAMA

BLIZU NAGIBA TANGENTE OD 90°. PROBLEM BIJEKCIJE

5.4.1. Općenito Kada se nagib tangente geometrijskog objekta koji opisujemo u nekoj od zadanih točaka približava vrijednosti

90°, kod analitičkog opisa RB funkcijama s neparnim cjelobrojnim eksponentima dolazi do efekta "gužvanja", tj.

deformacije opisa koji odstupa od zamišljene glatke krivulje. Pritom dolazi do neželjene infleksije i pojave

minimuma i maksimuma, kako to pokazuju slike 36 i 37 u prethodnom poglavlju, poglavlju 4. Pokazat će se da

problem oscilacija rubova rješava zakretanjem za povoljan kut oko osi okomite na ravninu opisa, tj. kod

brodskog rebra to je os x.

Kao primjer opisa uzet će se probno glavno rebro karakterističnog tankera s ravnim dnom, ravnim bokom

paralelnog srednjaka, kružnim uzvojem, te ravnim prelukom, kao što to pokazuje slika u Dodatku A.1), potpuno

sastavljenog od linearnih dijelova i kružnog uzvoja. Rebro je zadano s N = 38 točaka kako je prikazano na slici

103. Standardne RBF metode opisa zahtijevaju dodavanje dodatnih točaka opisa ravnih dijelova dna i preluka, pa

se broj točaka može znanto povećati.

Kod rebra s ravnim dnom i ravnim prelukom se javlja i problem bijekcije, pa će se ovdje pokazati da je

transformacija ulaznog skupa zakretanjem, zajedničko rješenje problema. Tj., bez zakretanja nije moguće rješiti

problem bijekcije.

U dodatku F se prikazuje proračun opisa zakrenutog probnog, glavnog rebra broda tankera s prelukom bez

komaptibilnih funkcija. Iz rezultata opisa se može vidjeti da se rebro ne može dobro opisati, niti polinomskim,

niti standardnim RB funkcijama, ako se ne koriste kompatibilne osnovne funkcije.

Stoga će se ovdje pokazati proračun glavnog rebra s ravnim dnom, bokom i ravnim prelukom, kompatibilnim

radijalnim osnovnim funkcijama, uz transformaciju ulaznog skupa zakretanjem nebijektivnih dijelova krivulje za

neki povoljan kut.

5.4.2. Opis kompozicijom RB funkcija uz zakretanje presjeka za povoljni kut

Iz slika 58, dolje, vidi se da se rotacijom za neki kut od 45° može rješiti problem neželjene oscilacije krivulje

blizu nultog nagiba tangente na krivulju opisa. Primjenom kompatibilnih PRBF se i ovdje ulazni skup točaka

maksimalno reducira u minimalni skup, gdje nije potrebno ravne dijelove krivulje opisivati s više točaka od

dvije, pa se umjesto početnih N = 38 i više točaka, rebro može zadati s N = 25 točaka.



143

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

PRBF, β = 3,0; c = 0,01 PRBF, β = 1,0 Nije skalirano, N = 25, Ncrt = 2802 Zarotirano za 45° - RMSE = 6,568⋅10-7 - Max. Point Error = 4,831⋅10-9(m)

y/2

z

Sl. 58: Opis probnog rebra s ravnim dnom, bokom i prelukom, kompatibilnim PRBF zakretanjem za 45°

0 10 200

5

10

15

20

y/2

z

0 5 10-5

0

5

10x 10-7

y/2

Err

0 1 2 3-5

0

5

10x 10-3

z

Err

0 10 20-5

0

5

10

15x 10-7

z

Err

17.6 17.8 18-2.2

-2.1

-2

-1.9x 10-5

z

Err

0 5 10-1.4

-1.35

-1.3

-1.25

-1.2x 10-6

y/2

Err

Sl. 59: Rezultati lokalnih pogrešaka i opisa probnog rebra s ravnim dnom, bokom i prelukom, kompatibilnim

PRBF zakretanjem za 45°

Sl. 59, gore, pokazuje rezultate lokalne točnosti opisa probnog rebra po pojedinim segmentima rebra. Iz nje se

može vidjeti da se najveća lokalna pogreška opisa Errmax očekivano dobiva na spoju dna rebra s kružnim

uzvojem, te iznosi 5,172⋅10-3 m, tj oko 5 mm. Ostale lokalne pogreške su značajno manje, s tim da kod se

opisivanja ravnog preluka dobivaju pravci.

Globalna točnost opisa je velika i iznosi 710568,6RMSE −⋅= , što je zadovoljavajuća preciznost opisa,

superiorna pred ostalim metodama opisa, pokazanim u dodacima F i G.



144

5.4.3. Rezultat opisa ploha hidrostatskih svojstava

Kao rezultat opisa rebra dobivaju se vektori težinskih koeficijenata w, RBF opisa dimenzija N x 1, gdje je N -

broj ulaznih točaka opisa. Dakle kao izlazni skupovi podataka opisa dobivaju se težinski koficijenti RBF kao:

RiRiRi yHw ⋅= −1 (108)

U daljnjem proračunu se koriste ovi proračunati težinski koeficijenti rebara wRi, zatim ulazni podaci poluširina y

na kojima je zadano pojedino rebro i koji kod RBF interpolacije predstavljaju centre razvoja RBF opisa, te

postavke odabrane RB funkcije. Ovdje je to kompozicija PRBF s 1,3 =β i gustim opisom točaka loma.

5.5. PROVJERA ZAKRIVLJENOSTI OPISA Osiguranje zakrivljenosti opisa se dodatno provjerava zrakama zakrivljenosti. Ovdje je to učinjeno za testno

rebro br. 1, uz opis PRB kompozicijom funkcija s 1 ,3=β .

0 2 4 6

-2

0

2

4

6

8

10

y/2 (m)

z (m

)

Sl. 60: Opis testnog rebra br. 1 pomoću kompozicije PRBF, uz prikaz zraka zakrivljenosti

Vidimo da je zakrivljenost opisa zadovoljavajuća za potrebe brodske proračunske geometrije. Kako je ravni dio

boka opisan s više točaka od 2, postoje oscilacije opisa boka, ali su nagibi normala zraka zakrivljenosti korektni.

Također, RBF funkcije nemaju aproksimacijsko svojstvo B-splinea, pa je u svrhu preciznijeg geometrijskog

modliranja potrebno je dodati još točaka opisa.



145

Vidimo također da je prema izrazu (107) moguće lako kubno-linearnu PRBF napisati u obliku polinoma 3.

stupnja, tj. dobiva se kubna jednadžba s 4 koeficijenta, koju je lako derivirati, pa se može zaključiti da je

odabirom PRBF ispunjen 9. zahtjev brodske proračunske geometrije, kojim je zahtijevana derivabilnost funkcije

opisa.

5.6. ZAKLJUČAK O GLOBALNOM ANALITIČKOM OPISIVANJU Nakon provedenih globalnih interpolacijskih proračuna opisa rebara s diskontinuitetima RBF opisom,

postupkom elastičnog pomaka, te postupkom kompozicije funkcija može se zaključiti da je moguće opisivati

diskontinuitete analitičkim funkcijama, te rješiti Gibbsov i Rungeov fenomen opisivanja 2D geometrije, uz

ispunjavanje zahtjeva brodske proračunske geometrije.

ELP postupak omogućuje opis diskontinuiteta krivulje, rješenjem Rungeovog i Gibbsovog fenomena, pomakom

u područja nižih oscilacija opisa, uz nemogućnost njihove potpune eliminacije. Kod primjene na RBF opis,

točnost lokalnog opisa se približava vrijednostima od oko 10-4 što su zahtjevane vrijednosti točnosti opisa.

Opis kompozicijom RB funkcija je još efikasniji u opisivanju diskontinuiteta, te omogućuje i opis ravnih

dijelova krivulje. Nadalje, ovim postupkom se omogućuje eliminacija parametra oblika c iz izraza za RBF opis,

te dobiva znatno poboljšana uvjetovana interpolacijska matrica. Na taj način je moguće dodatno smanjiti

probleme singularnosti interpolacijske matrice na nov način. Pritom su najefikasnije kompozicije PRBF funkcija

s glavnim eksponentima β = 3 i β = 1. Primjenom kompozicije RBF uz zakretanje presjeka oko osi okomite na

ravninu 2D opisivanja, može se rještiti i problem bijekcije, te problem oscilacija rubova opisa čiji se nagibi

tangenti približavaju kutevima od 90°.

Može se zaključiti da kompozicija RB funkcija ovime ispunjava sve zahtjeve brodske proračunske geometrije za

2D probleme osim zahtjeva br. 5 i 8. Proračun kompozicijom RB funkcija također povećava lokalne i globalne

točnosti opisa koje omogućuju daljnje proračune geometrijskih i hidrostatskih svojstava brodskih rebara za

proizvoljnu vodnu liniju, proizvoljnog kuta nagiba, te odgovarajući proračun presjeka krivulje rebra i vodne

linije koji se svodi na rjašavanje kubne jednadžbe, kako će to biti pokazano u poglavlju 6, gdje će se rješavati

zahtjev br. 5. Problem integracije RBF naveden zahtjevom 8 će se rješavati u poglavlju 7 disertacije.

Kompozicija radijalnih osnovnih funkcija predstavlja metodu opisivanja geometrije bez 2 manifolda koja je

efikasnija metoda opisivanja od dosada korištenog žičanog modela opisivanja brodske geometrije. Pritom je

rješen problem 2D opisivanja, dok za problem 3D opisivanja geometrije nije nađeno rješenje, što predstavlja

zadatak za buduća istraživanja brodske proračunske geometrije.



146

6. PRORAČUN PRESJEKA BRODSKE GEOMETRIJE S RAVNINSKIM VODNIM LINIJAMA

Nakon proračuna RBF opisa brodske geometrije dovoljne točnosti, potrebno je prema općim zahtjevima

proračunske geometrije odrediti hidrostatska svojstva broda i presjek brodskog trupa i unutarnjih prostora s

nekom proizvoljnom ravninskom vodnom linijom, prema pretpostavci iz potpoglavlja 1.3.3.

U svrhu rješavanja integrala hidrostatskih svojstava, potrebno je odrediti pripadne granice integracije

proračunom presjeka funkcijskog RBF opisa s vodnim linijama vanjske geometrije trupa broda GV i unutarnje

geometrije broda GU. Kako je prethodno rečeno, pretpostavljeno je da se proračun vrši za ravne vodne linije

koje se mogu opisati ravninama, pa su vanjske i unutarnje vodne linije međusobno paralelene.

Proračunom presjeka brodske geometrije s vodnom linijom se pritom ispunjava 3. zahtjev opće proračunske

geometrije, a ovdje se to vrši direktnim proračunom presjeka RBF opisa s ravninama vodnih linija.

Da bi se mogao izvršiti direktni proračun presjeka geometrije s ravninom potrebno je izraze za ravninu i za opis

geometrije prikazati u polinomskom obliku. Jednadžba ravnine prirodno ima taj oblik, dok je RBF opis

geometrije potrebno transformirati u prikladan polinomski oblik razvojem u Taylorov red prema jednadžbi (15),

gdje je to potrebno. Dakako, Polinomske RBF je lako preformulirati u polinomski oblik, kao što je pokazano u

jednadžbi (107).

Rezultat presjeka, kako vanjske, tako i unutarnje geometrije broda s ravninama vodnih linija, su trodimenzijske

krivulje ( )zyxVL ,, , čiji eksplicitni oblik glasi:

( )zxfy ,=

Promatrani 3D proračunski problem se sastoji od 2 jednadžbe: jednadžbe ravnine i RBF opisa geometrije, te se

jedna varijabla može eliminirati iz jednadžbe ravnine.

6.1. OPIS RAVNINE

6.1.1. Jednadžba ravnine Opći oblik jednadžba ravnine jest:

0=+⋅+⋅+⋅ DzCyBxA

gdje su: CBA ,, - koeficijenti jednadžbe ravnine predstavljaju vektor normale na ravninu.

6.1.2. Određivanje koeficijenata ravnine Prikladniji oblik za proračun je segmentni oblik jednadžbe ravnine koji se može pisati kao:



147

1=++cz

by

ax

gdje su: ADa −= ,

BDb −= ,

CDc −= – duljine segmenata na koordinatnim osima

ϑ

Sl. 61: Desnokretni koordinatni sustav broda postavljen u krmenu okomicu

Kutevi smjera su ovdje označeni prema oznakama kuteva koji se koriste u brodogradnji, tj. s ψ , ϕ i ϑ , kako

pokazuje slika 61.

Pripadni međusobni kutevi smjera parova segmenata se računaju prema izrazima:

baz =→= ϑtan0

bcx =→= ϕtan0 , gdje je:ϕ kut bočnog nagiba, kut poprečnog nagiba oko osi x

acy =→= ψtan0 , gdje je:ψ kut trima, kut uzdužnog nagiba oko osi y

6.1.3. Primjena u proračunu presjeka u brodogradnji U sadašnjim teorijskim proračunima u brodogradnji, vodne linije se najčešće zadaju bez nagiba, tj. paralelne su

s ravninom x – y, te se stoga zadaju samo visinom z.

Ovdje će se računati s nagnutim vodnim linijama, te će odgovarajuće ravnine kojima su opisane vodne linije biti

zadane visinom z uz y = 0, te trima kutevima nagiba: kutem bočnog nagiba ϕ i kutem trimaψ, dok će se kut

zaokreta ϑ zanemariti. Kako je pokazano u prethodnom podpoglavlju iz kuteva smjera parova segmenata se

mogu odrediti koeficijenti jednadžbe ravnine.



148

Cilj nam je odrediti veličine segmenata a, b i c iz gornje 3 jednadžbe s 3 nepoznanice, što se može učiniti

poznavanjem jedne točke kroz koju prolazi ravnina. Ta točka je točka z,0,0 , dakle zadana je visina vodne

linije na krmenom perpendikularu ..OK .

Tada je c = z, pa je lako moguće odrediti koeficijente a i b, tj.:

ψtancazc =⇒= i

ϕtancb =

Iz vrijednosti a i b se onda lako određuje i kut zaokretanja ϑ.

Prikladan oblik za proračun presjeka se dobiva prevođenjem ovog izraza u 2D oblik, za poznate vrijednosti x

kod proračuna hidrostatskih svojstava broda metodom rebara, odnosno vrijednosti z kod metode vodnih linija.

Integriranje po presjecima y = konst. nije pritom povoljno, radi moguće velike zakrivljenosti ulaznih podataka

integracije po osi y, te otežanog određivanja lomova forme, pa metoda uzdužnica neće biti razmatrana.

6.1.3.1. Metoda rebara

.konstx = → czby +⋅−= (109)

6.1.3.2. Metoda vodnih linija

.konstz = → bxay +⋅−= (110)

6.2. RBF OPISI

6.2.1. Osnovni oblik RBF opis se u nepromijenjenom, osnovnom obliku, sastoji od težinske sume radijalnih osnovnih funkcija,

translatiranih oko točaka centara razvoja opisa, kao:

( )∑=

−Φ=N

iiiwy

1

xx

Kada se koristi za 2D opisivanje, dobiva se oblik:

( ) ( )∑∑==

−=−=N

iii

N

iii xxwxxwy

11φφ



149

Daljnji oblik funkcije ovisi o odabranoj RBF, ali kod svih funkcija osim PRBF, izrazi su složeni i ne omogućuju

direktno rješavanje presjeka. Štoviše, potrebno je primjeniti numeričke metode traženja rješenja, što može biti

ograničavajući faktor kod proračuna stabiliteta velikih nagiba i kod slučajeva

6.2.2. Polinomski oblik Kao što smo vidjeli u poglavlju 3, kod 2D problema se mogu definirati Polinomske RBF, s vrlo pogodnim

izrazom za daljnje, direktne proračune, kao u jednadžbi (107). Općenito, polinomske RBF se mogu opisati u

obliku polinomskih baza, kao u jednadžbi (21), tj. kao:

( ) ∑=

=n

j

jj xCxf

0

ˆ (111)

gdje su: jC , nj ,,0 K= – koeficijenti polinoma,

n – najveći stupanj polinoma.

Osim polinomskih, neke RBF se mogu izvesti u Taylorov red, te na taj način možemo dobiti željeni polinomski

oblik pogodan za integriranje i proračun presjeka trupa broda s VL.

6.3. DIREKTNA RJEŠENJA PROBLEMA PRESJEKA

6.3.1. Ograničenje stupnja polinoma Prema gore pokazanom, točna rješenja presjeka RBF opisa brodske geometrije s ravninskim vodnim linijama se

mogu dobiti pomoću polinomskog oblika RBF. Radi ograničenja matematske znanosti u rješavanju polinomskih

jednadžbi, stupanj konačni eksponent razvoja Taylorovog polinoma u jednadžbi (15), odnosno eksponent

Polinomske RBF β, su pritom ograničeni na cjelobrojne vrijednosti manje ili jednake 6. To jest, na temelju toga

je definirano ograničenje, odnosno zahtjev 6 za RB funkciju, po kojoj su:

6≤β (112)

Štoviše, prema Abelovom teoremu o nemogućnosti proračuna rješenja polinoma, polinomi sa stupnjem do 4 se

mogu rješiti osnovnim algebarskim, matematskim operacijama zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, dok

se polinomi viših stupnjeva trebaju rješavati na neki drugi način. U teoriji je pokazano da se polinomi viših

stupnjeva, tj. stupnjeva 5 i 6 mogu rješiti hipergeometrijskim funkcijama, dok matematskoj znanosti danas još

nije poznato rješenje polinoma viših stupnjeva od 6.

Iz ovoga se može zaključiti da je za direktan proračun presjeka najpovoljnije korištenje polinoma čiji stupanj

razvoja ne prelazi 4, u što spada i kubna Polinomska RBF. Polinomske RBF i razvoji u Taylorov red viših



150

stupnjeva od 4, daju polinome čija se rješenja određuju složenim proračunom. Rješenja kvintne i sekstne

jednadžbe se radi složenosti neće ovdje pokazati.

6.3.2. Postavke problema

Kao što je prije pokazano, 3D problem presjeka ravninskine vodne linije VL s brodskom geometrijom GV je

transformiran u dva 2D problema presjeka pravaca s presjecima geometrije broda, opisane RBF opisom

presjekom rebara ili presjekom vodnih linija. Kao što je navedeno na početku ovog poglavlja, integriranje po

presjecima y = konst. nije pritom povoljno radi moguće velike zakrivljenosti ulaznih podataka integracije po

osi, pa se neće razmatrati.

6.3.2.1. Presjek rebara

Kod presjeka rebara, koristimo izraz za pravac

czby +⋅−=

te RBF opis krivulje rebra, prikazanog u obliku polinoma:

∑=

=n

j

jj zCy

0

Iz ove dvije jednadžbe s dvije nepoznanice se dobiva jednadžba po z kao:

∑=

=+⋅−n

j

jj zCczb

1 (113)

Grupiranjem članova jednadžbe prema stupnjevima dobiva se izraz:

00

=∑=

n

j

jj zD (114)

gdje su: njCD jj ,,2, K== ,

bCD += 11 ,

cCD −= 00 .

Odabirom stupnja razvoja polinoma, odnosno tipa Polinomske RBF dobiva se odgovarajući polinom čija rješenja

je potrebna naći.

6.3.2.2. Presjek vodnih linija

Kao kod presjeka rebara, i kod presjeka pravca i vodne linije koristimo izraz za pravac:

bxay +⋅−=

te RBF opis krivulje rebra, prikazanog u obliku polinoma:

∑=

=n

j

jj xCy

0



151

Iz ove dvije jednadžbe s dvije nepoznanice se dobiva jednadžba po x kao gore:

∑=

=+⋅−n

j

jj xCbxa

1

Grupiranjem članova jednadžbe prema stupnjevima dobiva se:

00

=∑=

n

j

jj xD

gdje su: njCD jj ,,2, K== ,

aCD += 11 ,

bCD −= 00 .

Kao i gore, odabirom stupnja razvoja polinoma, odnosno tipa Polinomske RBF dobiva se odgovarajući polinom

čija rješenja je potrebna naći. Dalje će se pokazati rješenja kubne i kvartne polinomske jednadžbe, a rješenja

kvintne i sekstne jednadžbe će se ukratko pokazati u podpoglavlju 6.3.5.

6.3.3. Rješenje kubne jednadžbe Kubna jednadžba koju je potrebno rješiti ima osnovni oblik:

0012

23 =+++ azazaz (115)

Njena rješenja je našao N. Tartaglia, a prvi objavio G. Cardano u 16. stoljeću, [104], eliminiranjem kvadratnog

člana jednadžbe supstitucijom:

231 axz −= , u oblik:

qpxx =+3 (116)

Najefikasnije rješenje je dao Vieta, [105], supstitucijom:

wpwx

3−=

kojom se dobiva jednadžba:

027 3

33 =−− q

wpw

Konačno, množenjem s 3w dobiva se kvadratna jednadžba, prema [105]:

( ) 027

33

23 =−− qwpw



152

Kao rješenja kubne jednadžbe se dobiju 3 rješenja, koja ovisno o determinanti imaju realne ili kompleksne

vrijednosti.

3232323

271

41

21

274

21 QRRpqqpqqw +±=+±=

+±= (117)

gdje su: 9

3 221 aaQ −

= ,

542729 0

3221 aaaa

R−−

=

Definiranjem novih koeficijenata kao:

23 RQD +≡

3 DRS +≡

3 DRT −≡

gdje je D diskriminanta polinoma, [105], te dobiva se vrlo jednostavan oblik A i B kao:

TSB += , i

TSA −= .

Iz ovoga se konačno dobivaju rješenja početne kubne jednadžbe kao:

( )

( ) ( )

( ) ( )TSiTSaz

TSiTSaz

TSaz

−−+−−=

−++−−=

++−=

321

21

31

321

21

3131

22

22

21

(118)

Ovdje nas zanimaju samo realna rješenja jednadžbe, pa je u slučaju višestrukih rješenja potrebno izabrati

povoljna rješenja, tj. ona koja se nalaze unutar promatranog raspona točaka 1, +ii xx . Ove 3 jednadžbe koje

daju rješenja kubne jednadžbe se ponekad nazivaju Cardanova rješenja kubne jednadžbe.

Iz gore navedenog se može vidjeti da proračun rješenja kubne jednadžbe nije složen, te ga je potrebno uvrstiti u

osnovno teorijsko obrazovanje studenata tehničkih znanosti, kao i rješenja ostalih polinoma do uključivo 6.

stupnja.



153

6.3.4. Rješenje kvartne jednadžbe Kvartna jednadžba koju je potrebno rješiti ima osnovni oblik:

0012

23

34 =++++ azazazaz (119)

Kao i kod kubne jednadžbe, njena rješenja je prvi objavio G. Cardano u istom djelu kao gore, [104], a pronašao

L. Ferrari. Rješenja jednadžbe se dobivaju eliminiranjem kubnog člana jednadžbe supstitucijom 341 axz −= ,

u oblik:

rqxpxx =++ 24 (120)

Ovaj oblik se zatim transformacijama može pisati u obliku kubne jednadžbe pomoću osnovnih, početnih

koeficijenata jednadžbe kao:

( ) ( ) 044 023

2102031

22

3 =−−+−+− aaaaayaaayay

čije rješenje je prikazano u prethodnom podpoglavlju.

6.3.5. Rješenje kvintne i sekstne jednadžbe Za razliku od polinoma do uključivo 4. stupnja, polinomi viših stupnjeva prema Abelovom teoremu nisu riješivi

osnovnim algebarskim operacijama. Njihova rješenja se mogu izvesti primjenom specijalnih hiperegeometrijskih

funkcija, čija je primjena također ograničena na nekoliko osnovnih oblika jednadžbe polinoma.

Kao što smo vidjeli ranije, u slučaju opisivanja RB funkcijama najčešće se nakon razvoja u Taylorov red dobiva

polinom 6. stupnja, dok se za glavne eksponente PRBF mogu birati neparne cjelobrojne vrijednosti. Prema gore

navedenom ograničenju stupnja polinoma, može se zaključiti za eksponent funkcije PRB: +∈+⋅=≤ INkk ,12,5 ββ

Trenutan razvoj matematske znanosti omogućuje samo ograničen raspon rješenja polinoma 5. i 6. stupnja, pa je

time važnije rješenje opisa geometrije kubnim, analitičkim, kompatibilnim, polinomskim radijalnim osnovnim

funkcijama, prikazano ranije.

6.4. ZAKLJUČAK O PRORAČUNU PRESJEKA POMOĆU RBF Kao i kod opisivanja brodske forme s diskontinuitetima, u poglavlju 5, i u ovom poglavlju o analitičkom rješenju

proračuna presjeka brodske geometrije s ravninama vodne linije, rješavan je 2D problem presjeka, jer se 3D

problem određivanja presjeka s nekom geometrijom svodi na sustav od 2 jednadžbe s 2 nepoznanice. Prema



154

zaključcima iz poglavlja 5 i trenutnom teorijskom poznavanju rješenja polinoma, kao povoljne RB funkcije su

odabrane Polinomske RBF s cjelobrojnim eksponentima, te je kao najpovoljnija odabrana PRBF s eksponentom

β = 3, koja se prema izrazu (107) može napisati kao kubna jednadžba. Stoga se problem presjeka brodske

geometrije s ravninskom vodnom linijom može primjenom kubne PRBF svesti na problem rješavanja kubne

jednadžbe, za koju su poznata rješenja polinoma prema radovima N. Tartaglie, G. Cardana [104] i drugih, od 16.

stoljeća.

Na ovaj način je ispunjen zahtjev br. 5 brodske proračunske geometrije, u kojem se zahtijevalo rješenje presjeka

brodske geometrije s ravninskim vodnim linijama. Također, odabirom kubne PRBF ispunjen je i zahtjev 6 kojim

je stupanj polinoma opisa ograničen na 6. Štoviše, kompozicija kubno-linearnih PRBF daje najniži cjelobrojni

stupanj polinoma kojim je moguće opisati 2D geometriju, te najefikasniji izraz za proračun presjeka geometrije s

ravninskom vodnom linijom.



155

7. PRORAČUN HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA BRODSKE FORME ZADANE RBF OPISOM

7.1. PRORAČUN INTEGRIRANJEM U teoriji broda se definira 5 osnovnih integrala za proračun hidrostatskih svojstava broda, pod pretpostavkom

rješavanja problema metodom rebara ili metodom vodnih linija. Integrali koje je potrebno rješiti su vezani za

određivanje hidrostatskih svojstava plovne vodne linije VL i svojstava pripadne istisnine broda i predstavljaju

jednostruke integrale po nekoj od koordinatnih osi broda.

Svojstva plovne vodne linije i pripadni integrali koje je potrebno odrediti su:

− Površina VL, AVL ,

− Težište VL, VLVLVL yx ,X ≡ i

− Moment tromosti VL, BLVL III ,≡ .

Pripadna svojstva volumena istisnine i integrali koje je potrebno odrediti su:

− Volumen istisnine, ∇, i

− Težište istisnine, BBBB zyx ,,X ≡ .

Nakon dobivanja vrijednosti svojstava po pojedinim presjecima, vrši se integriranje po preostalim odabranim

osima i tako dobivaju ukupna hidrostatska svojstva broda, odnosno pojedinog uzgonskog prostora.

Za proračun težišta VL je potrebno odrediti odgovarajuće momente površina kao:

VLVLVL AM X⋅= ,

odnosno momente volumena istisnine ∇ za proračun pripadnih težišta:

BBM X⋅∇=

U slučaju eksplicitnog 3D opisa brodske geometrije, proračun svojstava istisnine je moguć direktnim

proračunom volumena istisnine ∇ za neku unaprijed određenu VL i poznati opis ( )zxfy ,= , dvostrukim

integralom kao:



156

( )∫ ∫ ⋅⋅=∇2

1

2

1

,x

x

z

z

dzdxzxf

gdje su: 2121 ,,, zzxx – granice intergacije određene presjekom poznate VL s opisom brodske geometrije.

Pripadni moment MB se može također rješavati dvostrukim integralom kao:

( )∫ ∫ ⋅⋅=2

1

2

1

,x

x

z

zMB dzdxzxfM

Za određivanje granica gore navedenih dvostrukih integrala potrebno je najprije odrediti presjek neke opće

vodne linije s brodskom geometrijom opisanom RBF izrazom, što je ionako svakako potrebno učiniti radi

određivanja gore navedenih svojstava plovne vodne linije. Kako je već pokazano u poglavlju 6, kod takvog

određivanja presjeka imamo 2 jednadžbe s 3 nepoznanice, pa je ovaj sustav neodređen. Iz tog razloga se

proračun vrši za poznate vrijednosti x ili z, te dobivaju točke presjeka. Za tako određene točke je zatim moguće

formirati problem RBF opisivanja prostorne krivulje, te odrediti svojstva površina vodnih linija.

Problem proračuna svojstava volumena integriranjem dvostrukog integrala je međutim proračunski vrlo složen, s

RBF izrazom pod integralom, te drugim RBF izrazima koji opisuju granice integriranja, pa nije pogodan za

direktni proračun i neće se razmatrati. Problem određivanja svojstava volumena istisnine za odabranu

proizvoljnu vodnu liniju će se stoga svesti na problem integriranja areala pojedinog svojstva po duljini broda x,

kako će to biti pokazano u poglavlju 8. Brodska geometrija će se presjecati metodom rebara ili metodom vodnih

linija, te dobivati točke na temelju kojih će se RBF opisom formirati areale pojedinog hidrostatskog svojstva.

Poznavanjem eksplicitnog RBF opisa geometrije moguć je direktni proračun integrala hidrostatskih svojstava, pa

ovdje to biti pokazano za PRBF, dok su primjeri proračuna za MQ i Gaussovu RBF pokazani u poglavlju 4.

Direktni proračun je moguć na 2 načina:

− Integriranjem RB funkcije, i

− Integriranjem polinomskog izraza za RBF.

7.1.1.1. Osnovnih 5 integrala

Pet osnovnih integrala koje je potrebno rješiti za određivanje hidrostatskih svojstava broda su sljedeći tipski,

jednostruki integrali po općoj koordinati x:

1. ( )∫2

1

x

xdxxf

2. ( )∫2

1

x

xdxxxf



157

3. ( )[ ]∫2

1

2x

xdxxf

4. ( )[ ]∫2

1

3x

xdxxf

5. ( )∫2

1

2x

xdxxfx

U općem slučaju, opisi geometrije sadržavaju translatirane točke preluka ELP postupkom, prema izrazu (45), te

mogu biti zarotirani za neki kut ϕ , korištenjem izraza (95). Stoga, opći izrazi za pripadne integrale sadrže i

korekcije vrijednosti prema odabranoj funkciji ELP postupka, te rotaciju opisa.

7.1.1.2. Osnovni RBF oblik

Integracija osnovnog RBF opisa ovisi o samoj odabranoj radijalnoj osnovnoj funkciji, koja kod standardnih RBF

sadrži L2 normu. Pritom je osnovni cilj odabira RB funkcije prema zahtjevu 8 proračunske geometrije jesu 2D i

3D integrabilnost odabrane funkcije. Međutim, kod 3D integracija, nijedna osnovna funkcija ne omogućuje

direktno rješavanje dvostrukog integrala, pa je to jedan od razloga odabira 2D opisa i radijalnih osnovnih

funkcija s L1 normom:

( )∑ −=i

ii xxfwy (121)

Kod RBF s L1 normom, intergacija je jednostavnija, a zbog postojanja apsolutne vrijednosti potrebno je paziti na

predznak ispred integrala. Ovdje će se pokazati integracija MQRBF s γ = 1.

7.1.1.3. RBF u polinomskom obliku

Kao što smo vidjeli u poglavlju 3, kod 2D problema se mogu definirati Polinomske RBF, s vrlo pogodnim

izrazom za daljnje, direktne proračune, kao u jednadžbi (107). Općenito, polinomske RBF se mogu opisati u

obliku polinomskih baza, kao u jednadžbi (21), tj. kao:

( ) ∑=

=n

i

ii xCxf

1 (122)

gdje su: iC , ni ,,1K= – koeficijenti polinoma,

n – najveći stupanj polinoma, 6≤n .

Osim polinomskih, neke RBF se mogu izvesti u Taylorov red, te na taj način možemo dobiti željeni polinomski

oblik pogodan za integriranje i proračun presjeka trupa broda s VL.

Proračun intergacije polinoma je jednostavan i ovdje će se pokazati samo integracija kubne Polinomske RBF.



158

7.1.1.4. Grupiranje pogreške u točci kod kvazi-interpolacijskih funkcija

Kod integracije interpolacijskih funkcija male globalne točnosti opisa javlja se efekt grupiranja pogreške u

jednoj točci kako pokazuje slika 62, ispod.

Sl. 62: Grupiranje pogreške u jednoj točci kod integracije s točnošću RMSE = 4,16⋅10-2

To je jedan od glavnih razloga zbog kojeg metode aproksimacije, te približnih opisa, kao što su metode raščlane,

brzog računanja i razvoja u red, nisu pogodne za primjenu u proračunskoj geometriji za proračun svojstava

objekta, odnosno presjeka objekta s okolinom.

Ovaj efekt se naglašeno javlja i kod integracije kvazi-interpolacijskih RB funkcija tipa ( )cxf −1 , čija je

točnost opisivanja vrlo velika, ali ih se kod neke od integracije osnovnih 5 integrala može javiti gore navedeno

grupiranje pogreške koje nije moguće izbjeći, pa one ne ispunjavaju sve proračunske uvjete iz poglavlja 2.7.

7.1.1.5. RBF aproksimacija

U razmatranju mogućih metoda opisivanja geometrije su razmatrane i mogućnost korištenja aproksimacije, bilo

pomoću RBF, bilo Metodom najmanjih kvadrata. Međutim, globalna točnost opisivanja aproksimacijom,

geometrije s diskontinuitetima, je niža od točnosti proračuna interpolacijom kod nižih brojeva točaka opisa, čak i

kada se koristi nadzirano učenje, LOO metoda aproksimacije i ELP postupak.

Za razliku od aproksimacije, interpolacijom RBF opisom, uz primjenu ELP postupka ili kompatibilnih funkcija,

može se postići zadovoljavajuća točnost opisa, koja omogućuje eliminaciju grupiranja pogreške u točci. Zbog

toga je kao jedan od uvjeta opisivanja postavljen Zahtjev 1, kojim se iskustveno zahtijeva globalna točnost

opisivanja od RMSE < 10-4, koji se pokazao kao dobra mjera ispod koje ne dolazi do pojave efekta grupiranja

u točci.



159

7.2. PRORAČUN POVRŠINE

7.2.1. Općeniti izraz Općeniti izraz za određivanje površine nekog presjeka broda se može napisati kao integral krivulje po nekoj osi,

tj. osnovni integral broj 1, a ovdje ćemo pokazati proračun površine rebra, integracijom po osi z :

∫ ⋅=2

1

z

z

dzyA (123)

gdje su: 1z , 2z – granice određenog intergala.

U slučaju funkcijskog opisivanja geometrije krivulje s ( )zfy = imamo:

( )∫ ⋅=2

1

z

z

dzzfA (124)

Ako za donju granicu integrala odaberemo početnu točku presjeka na statvi zS, a za gornju granicu vodnu liniju

na visini zVL za koju računamo integral, dobiva se izraz:

∫ ⋅=VLz

z

dzyA0

(125)

Kao što je to pokazano ranije, integracija se može vršiti direktno ili razvojem u Taylorov red, pa će se ovdje

pokazati ta 2 načina integracije odabranih, efikasnih RB funkcija.

7.2.1.1. Direktna integracija RB funkcija

U poglavlju 5 smo razmatrali efikasne RBF kojima je moguće postići vrlo precizan opis diskontinuiteta, te smo

odabrali PRBF, te Gaussovu RBF i MQRBF s γ = 1. Također, u poglavlju 4 su razmotrena svojstva proračunske

geometrije RB funkcija, te je pokazano da rješenja dvostrukih integrala RB funkcija ili ne postoje ili nisu

prikladna za daljnje proračune svojstava broda. U poglavlju 4 su tako, u jednadžbama od (87) do (89), navedena

redom rješenja 2D RB funkcija: MQ, Gaussove i Tankstijenog splinea. Vidjeli smo da su pripadna rješenja

integrala složena, osim Gaussove RBF, koja ima rješenje s funkcijama pogreške normalne razdiobe ( )xErf .

7.2.1.2. Integracija kompatibilne kubno-linearne PRBF

Osim gore navedenih RBF, ovdje će se pokazati i intergacija kubno-linearne kompatibilne PRBF s β = 3 i

linearnim članom s β = 1, čiji je opći izraz kako je prije navedeno:

( ) ( )∑∑==

+−++−=

1

2

3

31

3

ββi

iii

ii czzwczzwy



160

Pripadni integral se može napisati kao:

( ) ( )∫ ∑∑

+−++−=

==

2

1 1

2

3

31

3z

z iii

iii dzczzwczzwA

ββ

(126)

uz pripadno direktno rješenje:

2

11

2

2

3

31

4

24

z

zi

ii

i

ii zc

zzwzc

zzwA

⋅+

−+

+

−= ∑∑

== ββ

(127)

7.2.1.3. Integracija RB funkcija napisanih u polinomskom obliku

Ako se RB funkcija može napisati u polinomskom obliku, izraz za proračun površine se općenito može napisati

kao:

∫ ∑ ⋅

⋅=

=

2

10

z

z

n

k

kk dzzCA (128)

Pripadno rješenje integrala površine se tada može napisati kao:

2

10

1

11

z

z

n

k

kk zC

kA

⋅⋅

+= ∑

=

+ (129)

Odnosno, rješenje je:

( )∑=

++ −⋅⋅+

=n

k

kkk zzC

kA

0

11

121

1 (130)

7.2.2. Proračun kod zakrenutog rebra Izraz za proračun površine rebra broda se mijenja za rotaciju poprečnog presjeka:

∫=2

1

z

z

dzyA ϕ

Za slučaj funkcijskog opisivanja geometrije imamo:

( )∫=2

1

,z

z

dzzfA ϕ

Prikazano pomoću interpolacijske matrice H RB funkcije i izraza za rotaciju koordinantog sustava (94), imamo:



161

( ) ∫∫∫ ⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=2

1

2

1

2

1

sincossincosz

z

z

z

z

z

dzzdzwHdzzwHA ϕϕϕϕ

Izraz za A možemo napisati i kao:

∫ ⋅⋅−⋅=2

1

sincos 1

z

zA dzzJA ϕϕ (131)

gdje je: ( )∫∫ ⋅=⋅⋅=2

1

2

1

1

z

z

z

zA dzzfdzwHJ – osnovni integral površine.

7.2.2.1. Integracija pomoću kompatibilne kubno-linearne PRBF

Izraz za ϕy za uz korištenu kubno-linearnu kompatibilnu PRB funkciju glasi:

( ) ( ) ϕϕββ

ϕ sincos1

2

3

31

3 ⋅−

+−++−⋅= ∑∑

==

zczzwczzwyi

iii

ii

Uvrštavanjem u izraz za površinu dobiva se:

( ) ( ) ∫∫ ∑∑ ⋅⋅−

+−++−⋅=

==

2

1

2

1

sincos13

33z

z

z

z iii

iii dzzdzczzwczzwA ϕϕ

ββ

Integriranjem po granicama integrala dobiva se:

2

1

2

1

2sin

24cos

2

1

2

3

34 z

z

z

zj

ii

i

ii

zzczz

wzczz

wA ⋅−

⋅+

−+

+

−⋅= ∑∑

==

ϕϕββ

(132)

7.2.3. Proračun kod pomaka ELP postupkom Za proračun površine ELP postupkom ćemo koristiti izraz za funkcijski opis nakon translacije točaka za

pomak yz ∆∆ , čime se dobiva integral za proračun površine kao:

Ako uvrstimo izraz (102), za translatiranu RB funkciju, dobiva se izraz:

( ) ( )∫ ∑ ⋅

−−⋅=

=

2

1 1

;z

z

N

iii dzztczzwA φ (133)

uz elastični povrat ulaznog skupa točaka:

zzz ∆−= ˆ (134)

Razdvajanjem članova integrala površine, dalje možemo pisati:



162

( ) ( )∫∫∑ ⋅−⋅−⋅==

2

1

2

11

;z

z

z

z

N

iii dzztdzczzwA φ

odnosno:

( ) t

z

z

N

iii AdzczzwA −⋅−⋅= ∫∑

=

2

1 1

;φ (135)

gdje je: ( )∫ ⋅=2

1

z

zp dzztA – korekcija površine za pomak ELP postupkom

Kako su funkcije translacije t koje su odabrane, linearna funkcija, te kvadratna funkcija pomaka po kružnici,

zasebno će se pokazati njihovi integrali.

7.2.3.1. Linearna funkcija translacije

Kod linearne funkcije translacije ELP postupka može se napisati sljedeći izraz za integral površine:

( )∫ ⋅=2

1

z

zp dzztA

gdje su: ( ) >+⋅

=0

, jzzlzkzt – funkcija pomaka (136)

NLj ,,1K= – točke loma

Može se dalje pisati:

( ) ∫∫∫ +⋅⋅=+⋅=222

'

z

z

z

z

z

zp

jjj

dzldzzkdzlzkA

Kao rješenje imamo:

( )jj

z

z

p zzlzz

kzlzkAj

−⋅+−

=

⋅+= 2

222

2

22

2

(137)

Ako je 0=k , tada je .,0 konstyy ==∆ , jzzz −=∆ , te imamo izraz:

( )j

z

z

z

zp zzydzydzyA

jj

−⋅==⋅= ∫∫ 2

22

(138)

7.2.3.2. Translacija po kružnici

Kada se vrši elastični pomak po kružnici imamo sljedeći izraz za pomak:

( ) ( )

+−−±

=0

22jj yzzRzt (139)



163

gdje se predznaci pomaka određuju prema položaju točaka. Uz jzz > i jyy > pomak se nalazi u četvrtom

kvadrantu te imamo predznak “– “ , a kod jzz > i jyy < u prvom kvadrantu pa imamo predznak “+“.


( )∫

+−−=

222

z

zjjp

j

dzyzzRA (140)

Gornji integral se može rastaviti u 2 integrala kao:

( ) ∫∫ ⋅+−−=22

22z

zj

z

zjp

jj

dzydzzzRA

Prikladnom supstitucijom ( ) Rzzt j−=sin , uz dzRtdt ⋅= 1cos , rješavamo 1. integral i prema

Wolframovom on-line integratoru, [85], dobiva se:

( )

( )( ) ( )[ ] ( )

( )

−−

−−−+−−−

−−=

=⋅−−= ∫

22

22222

22

221

arctan2

1

2

zzR

zzzzRRRzzzz

zzR

dzzzRA

j

jjjj

j

z

zjp

j

Rezultat integracije je onda:

( )jjpp zzyAA −⋅+= 21

7.3. PRORAČUN STATIČKOG MOMENTA POVRŠINE REBRA U

ODNOSU NA OS Y

7.3.1. Opći integral

Općeniti izraz za statički moment površine rebra broda u odnosu na os y glasi:

∫ ⋅⋅=2

1

z

zy dzyzM (141)

Kada se uvrsti ( )zfy = dobijemo:

( )∫ ⋅⋅=2

1

z

zy dzzfzM (142)

koji ima oblik osnovnog integrala broj 2.

Direktna integracija ovog izraza s RB funkcijama je složena, pa se neće koristiti. Umjesto toga, pokazat će se

intergacija kubno-linearne PRBF, odnosno integracija RB funkcija zapisanih u obliku polinoma.



164

7.3.1.1. Integral u odnosu na os y kompatibilne kubno-linearne PRBF

Integral statičkog momenta površine rebra u odnosu na os y za kubno-linearnu PRBF se može napisati kao:

( ) ( )∫ ∑∑

+−++−=

==

2

1 1

2

3

31

3z

z iii

iiiy dzczzwczzwzM

ββ

(143)

Odnosno, gornji integral se može rastaviti u 2 integrala, kao:

( ) ( )∫∑∫∑ ⋅⋅+−+⋅⋅+−=

==

2

1

2

1 1

2

3

31

3z

z iii

z

z iiiy dzzczzwdzzczzwM

ββ

Da bismo rješili prvi intergal u gornjem izrazu, potrebno je razviti izraz za apsolutnu vrijednost kuba i pomnožiti

ga sa z:

32233 33 iiii zzzzzzzzzzzzz ⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅=−⋅

( )[ ] ( )( )

( )2

1

2

1

2

1

331

22

345

331

223431

3

233

43

5

33

z

z

iii

z

ziii

z

zi

zczzzzzz

dzzczzzzzzdzczzz

−⋅+⋅+⋅⋅−=

=−⋅+⋅⋅+⋅−=+−⋅ ∫∫

Isto radimo i s drugim integralom u izrazu:

ii zzzzzzz −⋅=−⋅

( ) ( )[ ] ( )2

1

2

1

2

1

2

23

22

2 23

z

z

i

z

zi

z

zi zczzdzzczzdzczzz

−+=⋅−⋅+=⋅+−⋅ ∫∫

Konačni izraz za statički moment površine rebra broda u odnosu na os y tada glasi:

( ) ( ) 2323

34

35

3 1

2

2333

1

22

345 2

1

2

1

∑ ∑= =

−++

−++−=

β βi i

z

z

ii

z

z

iiiiy zczzwzczzzzzzwM (144)

Možemo pisati i drukčije, kao:

( ) 333iiiii zzzzzzzzzz −⋅+−⋅−=−⋅

te:

( ) iiiii zzzzzzzzzz −⋅+−⋅−=−⋅

Konačni izraz za direktnu integraciju statičkog momenta površine rebra broda u odnosu na os y tada glasi:



165

( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

+

−+

−+

+

−+

−=

1

2

2

23

3

231

45 2

1

2

1

223245ββ

i

z

z

iii

ii

z

z

iii

iyzcz

zzzzwzcz

zzzzwM (145)

7.3.1.2. Integral u odnosu na os y za RB funkcije napisane u polinomskom obliku

Za RB funkciju napisanu u polinomskom obliku, izraz za proračun statičkog momenta površine općenito se

može napisati kao:

∫ ∑ ⋅

⋅=

=

2

1 0

z

z

n

k

kky dzzCzM (146)

Pripadno rješenje integrala momenta se tada može napisati kao:

2

10

2

21

z

z

n

k

kky zC

kM

⋅⋅

+= ∑

=

+

Odnosno, rješenje je:

( )∑=

++ −⋅⋅+

=n

k

kkky zzC

kM

0

21

222

1 (147)

7.3.2. Proračun statičkog momenta površine zakrenutog rebra u odnosu na os y

Izraz za statički moment površine rebra broda u odnosu na zakrenutu os y glasi:

∫=2

1

z

zy dzzyM ϕ

Uvrštavanjem izraza za yϕ dobiva se:

( ) ∫∫∫ ⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅=2

1

2

1

2

1

2sincossincosz

z

z

z

z

zy dzzdzcHzdzzcHzM ϕϕϕϕ

∫ ⋅−⋅=2

1

21 sincos

z

zMyy dzzIM ϕϕ

gdje je: ( )∫∫ ⋅⋅=⋅⋅⋅=2

1

2

1

1

z

z

z

zMy dzzfzdzcHzJ – osnovni integral za proračun statičkog momenta u odnosu

na os y .



166

7.3.3. Proračun kod pomaka ELP postupkom Kao i kod proračuna površine, u izraz za proračun statičkog momenta je potrebno dodati i korekciju za pomak

prema ELP postupku. Ako uvrstimo izraz za RB funkciju s pomakom po RLP postupku dobiva se izraz:

( ) ( )∫ ∑ ⋅

−−⋅⋅=

=

2

11

;z

z

N

iiiy dzzpczzwzM φ (148)


zzz ∆−= ˆ .


( ) ( )∫∫ ∑ ⋅⋅−⋅−⋅⋅==

2

1

2

11

;z

z

z

z

N

iiiy dzzpzdzczzwzM φ

odnosno:

( ) yp

z

z

N

iiiy MdzczzwzM −⋅−⋅⋅= ∫ ∑

=

2

11

;φ

gdje je: ( )∫ ⋅⋅=2

1

z

zyp dzzpzM - moment površine oko osi y uslijed translacije

Dalje će se pokazati integrali korekcije za linearni pomak, te pomak po kružnici.


Kod linearne funkcije translacije ELP postupka može se napisati sljedeći izraz za integral momenta površine:

( )∫ ⋅⋅=2

1

z

zyp dzztzM (149)

gdje su: ( ) >+⋅

=0

, jzzlzkzt – funkcija pomaka kao u (136).

NLj ,,1K= – točke loma


( ) ∫∫∫ ⋅+⋅⋅=+⋅=222

2z

z

z

z

z

zyp

jjj

dzzldzzkdzlzkzM

Kao rješenje imamo:

2323

222

332

23 2

jjz

z

yp

zzl

zzkzlzkM

j

−⋅+

−=

⋅+= (150)



167

Ako je 0=k , tada je Ckonstyy ===∆ .,0 , jzzz −=∆ , te imamo izraz:

2

222

22j

z

z

z

zyp

zzCdzydzCzM

jj

−⋅==⋅⋅= ∫∫ (151)

7.3.3.2. Pomak po kružnici

Kada se vrši elastični pomak po kružnici imamo sljedeći izraz za pomak kao u jednadžbi (139):

( ) ( )

+−−±

=0

22jj yzzRzt


kvadrantu te imamo predznak “– “ , a kod jzz > i jyy < u prvom kvadrantu pa imamo predznak “+“. Možemo

dalje pisati:

( )∫

+−−⋅=

222

z

zjjyp

j

dzyzzRzM (152)

Rješavanjem ovog integrala dobiva se:

( ) ∫∫ ⋅⋅+−−⋅=22

22z

zj

z

zjyp

jj

dzyzdzzzRzM

Supstitucijom ( ) Rzzt j−=sin uz dzRtdt ⋅= 1cos dobiva se za prvi član integrala prema Wolframovom

on-line integratoru, [85]:

( )

( ) ( )( )

−−

−⋅−+−−−−−=

=⋅−−⋅= ∫

22

222222

221

arctan32261

2

j

jjjjj

z

zjyp

zzR

zzRxxRxxxzzR

dzzzRzMj

(153)

Dok je drugi član jednak:

−⋅=

22

222

2l

jypzz

yM (154)

Konačno, možemo pisati:

21 ypypyp MMM += (155)



168

7.4. PRORAČUN STATIČKOG MOMENTA POVRŠINE REBRA U

ODNOSU NA OS z

7.4.1. Opći integral

Izraz za statički moment površine rebra broda u odnosu na os z se može napisati kao:

∫=2

1

2

21 z

zz dzyM (156)

Uvrštavanjem izraza za krivulju ( )zfy = dobiva se sljedeći integral:

( )∫ ⋅=2

1

2

21 z

zz dzzfM (157)

što je osnovni integral broj 3, kako je to navedeno na početku ovog poglavlja.

Kao i kod momenta u odnosu na os y, direktna integracija gornjeg izraza s RB funkcijama je složena, pa neće

biti korištena. Umjesto toga, bit će pokazana će se intergacija kubno-linearne PRBF, odnosno integracija RB

funkcija zapisanih u obliku polinoma. Dodatno će biti pokaano rješenje gornjeg integrala primjenom inverzije

interpolacijskog problema za 2y .

7.4.1.1. Integral momenta u odnosu na os z za kompatibilne kubno-linearne PRBF

Pripadni integral momenta za kubno-linearnu PRBF se može napisati kao:

( ) ( )∫ ∑∑

+−++−=

==

2

1

2

1

2

3

31

3

21 z

z iii

iiiz dzczzwczzwM

ββ

(158)

Gornji integral se može rastaviti u 3 integrala, kao:

( ) ( ) ( )

( )∫ ∑

∫ ∑∑∫ ∑

⋅

+−+

+⋅

+−⋅

+−+⋅

+−=

=

===

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

31

3

2

3

31

3

21

21

z

z iii

z

z iii

iii

z

z iiiy

dzczzw

dzczzwczzwdzczzwM

β

βββ

Kako ovaj izraz, radi RBF zapisa u obliku translatiranih suma osnovnih funkcija, sadrži višestruke članove

integrala, nije pogodan za rješavanje, pa će se ovdje pokazati izraz za proračun integrala u polinomskom obliku.



169

7.4.1.2. Integral momenta površine u odnosu na os z za RB funkcije napisane u

polinomskom obliku

Za RB funkciju napisanu u polinomskom obliku, izraz za proračun momenta se općenito može napisati kao:

∫ ∑ ⋅

⋅=

=

2

1

2

021 z

z

n

k

kkz dzzCM (159)

Kvadriranjem se dobiva:

∫∑ ⋅⋅==

2

1

2

021 z

z

n

k

kkz dzzDM (160)

gdje su: ( )kk CfD =

U slučaju kubno-linearne PRBF, pripadno rješenje integrala momenta se tada može napisati kao:

( )∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=2

1

201

22

332

1 z

zz dzCzCzCzCM (161)

Kvadriranjem se dobiva:

( )∫ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=2

1

012

23

34

45

56

621 z

zz dzDzDzDzDzDzDzDM

Rješenje se zatim može napisati u obliku:

2

1

013243546576

23456721

z

zz zDzDzDzDzDzDzDM

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Odnosno:

( )∑∑=

++

=

+ −+

=+

=n

k

kkk

z

z

n

k

kkz zzD

kzD

kM

2

0

11

12

2

0

1

11

21

11

21 2

1

(162)

7.4.2. Direktna integracija pomoću y2

Umjesto rješavanja osnovnog integrala za proračun momenta zM razvijanjem izraza za RB funkciju koji je radi

postojanja normi složen, navedeni integral se može rješiti određivanjem težinskih koeficijenata w2 za kvadrirani

izraz krivulje y, tj. za y2. Dakle, uvodimo varijablu 2yq = , te dobiva se integral istog oblika kao što je integral

površine, tj.:

∫=2

121 z

zz qdzM (163)

Uvrštavanjem izraza za RBF opis ( )zfq 2= dobiva se integral:



170

( )∫ ⋅=2

1

221 z

zz dzzfM (164)

koji je oblikom identičan integralu površine.

Međutim, funkcija f2 ima različite težinske koeficijente w2 od interpolacije funkcije f, čiji su koeficijenti jednaki

w. Zbog toga je općenito potrebno definirati zaseban problem interpolacijski problem za y2, kako će biti

pokazano dalje u tekstu.

7.4.2.1. Interpolacijski problem za y2

Umjesto interpolacijskog problema wHy ⋅= , definira se problem:

( ) 2222 wHzfy ⋅== (165)

gdje su: H2 – interpolacijska matrica za ulaznog skupa podataka,

w2 – vektor težinskih koeficijenata.

Kao i kod osnovnog problema interpolacije raštrkanih podataka, rješenje ovog problema se dobiva inverzijom

interpolacijske matrice H2 prema (53) kao:

2122 yHw ⋅= −

Kako interpolacijska matrica ne ovisi o skupu izlaznih, već samo skupu ulaznih podataka, interpolacijska matrica

za y i y2 su jednake, pa imamo:

HH =2

Kako su interpolacijske matrice H i H2 jednake, nije potrebno vršiti još jednu inverziju matrice, što značajno

olakšava proračun, tj. imamo:

212 yHw ⋅= − (166)

Dakle, rješenjem inverzije osnovne interpolacijske matrice je moguće odrediti težinske koeficijente bilo koje

kombinacije podataka izlaznog skupa, te je stoga moguće skaliranje izlaznog skupa podataka, bez dodatnih

proračuna. Može se napisati sljedeća definicija:

Definicija 10: Opis RB funkcijama ima osnovno svojstvo afine transformacije skaliranjem izlaznog skupa

podataka Υ .



171

7.4.2.2. Rješenje interpolacijskog problema za y2 kod kubno-linearne RBF

Rješenje integrala statičkog momenta površine u odnosu na os z identično je rješenju integrala za površinu

korištenjem kubno-linearne PRBF uz korištenje težinskih koeficijenata w2:

2

11

2

2

2

3

31

4

2 24

z

zi

ii

i

iiz zc

zzwzc

zzwM

⋅+

−+

+

−= ∑∑

== ββ

(167)

Dakle, ako nam je poznato direktno rješenje integrala RB funkcije, tada možemo lako odrediti i moment u

odnosu na os z. Ovo je najlakši način rješavanja ovog integrala, pa će se on primjenjivati u daljnjim

proračunima.

7.4.3. Proračun statičkog momenta površine zakrenutog rebra za os z

Izraz za statički moment površine rebra broda u odnosu na os z glasi:

∫=2

1

2

21 z

zz dzyM ϕ

( ) ( ) ϕϕϕϕϕϕϕ222222 sincossin2cossincos ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅= zwHzwHzwHy

Najjednostavniji način proračuna 2y se ne dobije kvadriranjem ( )wH ⋅ , već izrazom kako je to pokazano u

prethodnom podpoglavlju:

22 wHy ⋅=

Uvrštavanjem i sređivanjem dobijemo:

( ) ϕϕϕϕ22

222 sin2sin2cos ⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅= zwHzwHy

Uvrštavanjem u izraz za zM dobiva se:

( )( )∫ ⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅=2

1

222

2 sin2sin2cos21 z

zz dzzwHzwHM ϕϕϕ

Drugi član izraza pod integralom jest prvi integral momenta oko osi y, 1MyJ , pa imamo:

( ) ∫∫ ⋅+⋅−⋅⋅⋅=2

1

2

1

2212

2 sin2sin2cos21 z

zMy

z

zz dzzIdzcHM ϕϕϕ



172

( ) ∫⋅+⋅−⋅=2

1

2211

2 sin2sin2cos21 z

zMyMzz dzzIIM ϕϕϕ

gdje su: ∫∫ =⋅⋅=2

1

2

1

221 2

1 z

z

z

zMz dzydzcHJ – osnovni integral za proračun momenta oko osi z.

12 MyMz JJ =

Integral 1MzJ se rješava kao i prvi integral u izrazu za površinu uz zamjenu množenja vektorom koeficijenata w s

vektorom koeficijenata w2, pa imamo:

( )z

zMyMzz

zJIM3

sin2sin2cos21 3

211

2 ⋅+⋅−⋅= ϕϕϕ (168)

7.4.4. Proračun kod translacije ELP postupkom

Kao i kod proračuna površine, u izraz za proračun momenta oko osi z je potrebno dodati i korekciju za pomak

prema ELP postupku. Ako se uvrsti izraz za translatiranu RB funkciju (102) dobiva se izraz:

( ) ( )∫ ∑ ⋅

−−⋅=

=

2

1

2

1

;z

z

N

iiiz dzzpczzwM φ (169)


zzz ∆−= ˆ .


( ) ( ) ( ) ( )∫∫∑∫ ∑ ⋅+⋅⋅−⋅−⋅

−⋅=

==

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

;2;z

z

z

z

N

iii

z

z

N

iiiz dzzpdzzpczzwdzczzwM φφ

Primjenom supstitucije za 2y dobiva se kao gore:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∑∫∑ ⋅+⋅⋅−⋅−⋅−⋅===

2

1

2

1

2

1

2

112 ;2;

z

z

z

z

N

iii

z

z

N

iiiz dzzpdzzpczzwdzczzwM φφ

Odnosno:

( ) zp

z

z

N

iiiz MdzczzwM −⋅−⋅= ∫∑

=

2

11

2 ;φ

gdje je: ( ) ( ) ( )∫∫∑ ⋅+⋅⋅−⋅−==

222

1;2

z

z

z

z

N

iiizp

jj

dzzpdzzpczzwM φ



173

Vidimo da je prvi član integrala već rješen i predstavlja početni izraz za proračun momenta površine oko osi z od

točke loma zj do z2. Ostali članovi ovise o odabranoj funkciji pomaka ( )zp .


Kod linearne funkcije translacije ELP postupka može se napisati sljedeći izraz za integral površine:

( ) ( ) ( )∫∫∑ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅−⋅−==

222

1;2

z

z

z

z

N

iiizp

jj

dzlzkdzlzkczzwM φ (170)

gdje su: ( ) >+⋅

=0

, jzzlzkzt – pomak translacijom po pravcu, ELP postupkom,

NLj ,,1K= – točke loma.


( ) ( ) ( )∫∫∑∫ ∑ ⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅⋅−===

2222

11;2;2

z

z

z

z

N

iii

z

z

N

iiizp

jjj

dzlzkdzczzwldzczzwzkM φφ

Integral prvog člana izraza za korekciju momenta kod ELP postupka zpM je moment površine oko osi y koji je

prije riješen. Integral drugog člana izraza predstavlja površinu, a treći član je potrebno razviti. Tako imamo:

∫∫∫ +⋅+⋅+∆⋅−∆⋅−=222

222 222z

z

z

z

z

zzzp

jjj

dzldzzkldzzkAlMkM

gdje su: ( )∫ ∑ ⋅−⋅⋅=∆=

2

1;

z

z

N

iiiz

j

dzczzwzM φ

( )∫∑=

⋅−⋅=∆2

1;

z

z

N

iii

j

dzczzwA φ

2

22

22 223

2

22

322 z

z

z

z

z

z

z

z

z

zzzpj

jj

jjzlzklzkAlMkM +++∆⋅−∆⋅−=

Konačno, imamo:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )jjj

jjzzzp

zzlzzklzz

k

zAzAlzMzMkM

−+−+−

+

+∆−∆−∆−∆−=

2222

2

3322

22

3

22 (171)

Ako je 0=k , tada je Ckonstyy ===∆ .,0 , jzzz −=∆ , te imamo izraz:



174

( ) ∫∫∑ ⋅+⋅⋅−⋅−==

222

1

;2z

z

z

z

N

iiizp

jj

dzCdzCczzwM φ

( ) ∫∫∑ +⋅−⋅−==

222

1

;2z

z

z

z

N

iiizp

jj

dzCdzczzwCM φ

Prvi član gornjeg integrala je jednak integralu površine i ovisi o odabranoj RB funkciji, dok je drugi integral

trivijalan. Vrijedi:

( ) ( )[ ] ( )jjzp zzCzAzACM −+∆−∆⋅−= 22

22 (172)

7.4.4.2. Pomak po kružnici

Kada se vrši elastični pomak po kružnici imamo sljedeći izraz za pomak kao u (139):

( ) ( )

+−−±

=0

22jj yzzRzt


kvadrantu te imamo predznak “– “ , a kod jzz > i jyy < u prvom kvadrantu pa imamo predznak “+“. Možemo

dalje pisati:

( ) ( ) ( )∫∫∑

+−−+

+−−−−=

=

22 22222

1

;2z

zjj

z

zjj

N

iiizp

jj

dzyzzRdzyzzRczzwM φ (173)

Tj., može se pisati kao:

( ) ( ) ( )

( )∫

∫∑∫∑

⋅

+−−+

+⋅−⋅−−−⋅−⋅−===

2

22

222

1

22

1

;2;2

z

zjj

z

z

N

iiij

z

zj

N

iiizp

j

jj

dzyzzR

dzczzwydzzzRczzwM φφ

Drugi integral u gornjem izrazu je intergal površine, dok je treći rješiv nakon supstitucija. Međutim, prvi

intergal ovisi o odabranoj RB funkciji i vrlo je kompliciran. Kako su RBF opisi translatirane sume osnovnih

funkcija, njihov je izvorni oblik nepraktičan za proračun prvog intergala. Stoga je potrebno razviti RB funkciju u

polinomski oblik. Proračun će se dalje pokazati za Kubno-linearnu PRBF i ELP pomak po kružnici.

Dakle, imamo:

( ) ( )[ ]jjz

zjzp zAzAyAyMj

∆−∆−=∆−= 22 22 2

Rješenje trećeg integrala je sljedeće prema Wolframovom on-line integratoru, [85]:



175

( )( ) ( ) ( )( )

( )2

3arctan

3

22

222223

z

z

j

j

jjjjjjjzp

j

zz

zzR

zzRyzzRzzyyRzzM

−+

−−

−+−−−++−=

Kako se svugdje u izrazu nalazi zj, a donja granica integrala je također zj, ostaje nam samo uvrstiti gornju

granicu integrala z2:

( )( ) ( ) ( )( )

( )3

arctan3

2

22

2222

22

2223

zz

zzR

zzRyzzRzzyyRzzM j

j

jjjjjjjzp

−+

−−

−+−−−++−=

7.4.4.3. Pomak po kružnici za kubno-linearnu PRBF

Kako je ranije rečeno, ovdje će se pokazati pomak po kružnici kod opisa kubno-linearnom PRBF. PRBF će

ovdje biti napisana u polinomskom obliku , tj. kao:

( ) 012

23

3 CzCzCzCz +⋅+⋅+⋅=ϕ

Uvrštavanjem u gornji izraz za korekciju statičkog momenta površine 1zpM u odnosu na os z dobiva se:

( ) ( )∫ ⋅−−⋅+⋅+⋅+⋅−=2

2201

22

331 2

z

zjzp

j

dzzzRCzCzCzCM (174)

Dakle, imamo 4 integrala koja ćemo rješavati zasebno. Prema Wolframovom on-line integratoru, [85], rješenja

gornjih integrala su sljedeća:

( )

( ) (

) ( )( )

−−

−⋅+−+−

−−−−−−−−⋅−−=

=⋅−−⋅= ∫

22

222422

43222223422

223313

arctan34248

1662968366151

81

2

j

jjj

jjjjjjj

z

zjzp

zzR

zzRxRxxxR

RxxxRxxxRxxxxzzR

dzzzRzCMj

( )

( ) ( )

( )( )

−−

−⋅+−

−+−−−−−−−=

=⋅−−⋅= ∫

22

222

32222322

222212

arctan4

632132231

81

2

j

jj

jjjjj

z

zjzp

zzR

zzRxR

xxRxxRxxxxzzR

dzzzRzCMj



176

Oblik integrala ( )∫ ⋅⋅ dzzfz je jednak već rješenom integralu kod momenta oko osi y, pa imamo:

1111 ypzp MCM ⋅=

Isto vrijedi i za integral kod proračuna korekcije površine kod pomaka po kružnici ELP postupkom, pa imamo:

1010 pzp ACM =

Možemo zatim pisati izraz za 1zpM kao:

( ) ( )13121110131211101 22 zpzpyppzpzpzpzpzp MMMCACMMMMM +++⋅−=+++⋅−= (175)

Dakle, konačno imamo izraz za korekciju momenta zpM kao zbroj integrala:

321 zpzpzpzp MMMM ++=

Odnosno:

( ) 32131211102 zpzpzpzpyppzp MMMMMCACM +++++⋅−= (176)

Vidimo da je pripadni proračun prilično složen, pa je općenito potrebno pažljivo birati funkciju elastičnog

pomaka kod opisivanja geometrije.

7.5. PRORAČUN MOMENTA INERCIJE VODNE LINIJE U ODNOSU

NA OS X

7.5.1. Osnovni integral

Izraz za proračun integrala momenta inercije u odnosu na os x se može napisati kao:

∫=2

1

3

31 z

zx dxyI (177)

Uvrštavanjem izraza za krivulju ( )xfy = dobiva se sljedeći integral:

( )∫ ⋅=2

1

3

31 z

zx dxxfI (178)

koji predstavlja 4. osnovni integral u određivanju hidrostatskih značajki broda kojeg je potrebno rješiti.

7.5.1.1. Integral momenta inercije za os x kubno-linearne PRBF

Pripadni integral momenta za kubno-linearnu PRBF se može napisati kao:

( ) ( )∫ ∑∑

+−++−=

==

2

1

3

1

2

3

31

3

31 x

x iii

iiix dxcxxwcxxwI

ββ

(179)



177

Gornji integral se može rastaviti u 4 integrala, kao:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∑∫ ∑∑

∫ ∑∑∫ ∑

⋅

+−+⋅

+−⋅

+−+

+⋅

+−⋅

+−+⋅

+−=

===

===

2

1

2

1

2

1

2

1

3

1

2

2

1

2

3

31

3

1

2

2

3

31

3

3

3

31

3

31

31

x

x iii

x

x iii

iii

z

z iii

iii

x

x iiix

dxcxxwdxcxxwcxxw

dxcxxwcxxwdxcxxwI

βββ

βββ

Kako ovaj izraz, radi RBF zapisa u obliku translatiranih suma osnovnih funkcija, sadrži višestruke članove

integrala, nije pogodan za rješavanje, pa će se ovdje pokazati izraz za proračun integrala u polinomskom obliku.

7.5.1.2. Integral momenta za RB funkcije napisane u polinomskom obliku

Za RB funkciju napisanu u polinomskom obliku, izraz za proračun momenta inercije vodne linije oko osi x se

općenito može napisati kao:

∫ ∑ ⋅

⋅=

=

2

1

3

031 x

x

n

j

jjx dxxCI (180)

Kubiranjem se dobiva:

∫∑ ⋅⋅==

2

1

3

031 x

x

n

j

jjx dxxDI

gdje su: ( )jj CfD =

U slučaju kubno-linearne PRBF, pripadno rješenje integrala momenta se tada može napisati kao:

( )∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=2

1

301

22

333

1 x

xx dxCxCxCxCI (181)

Kubiranjem se dobiva složeni izraz čije se rješenje može napisati u obliku:

( )∑∑=

++

=

+ −+

=+

=n

j

jjj

x

x

n

j

jjx xxD

jxD

jI

3

0

11

12

2

0

1

11

31

11

31

2

1

(182)

7.5.2. Direktna integracija pomoću y3

Umjesto rješavanja osnovnog integrala za proračun momenta inercije Ix razvijanjem izraza za RB funkciju koji

je radi postojanja normi složen, navedeni integral se može rješiti određivanjem težinskih koeficijenata w3 za

kubirani izraz za krivulju y, tj. za y3, kako je pokazano ranije. Dakle, uvođenjem varijable 3yq = dobiva se

integral istog oblika kao što je integral površine, tj.:



178

∫=2

131 x

xx qdxI (183)

Uvrštavanjem izraza za RBF opis ( )xfq 3= dobiva se integral:

( )∫ ⋅=2

1

331 x

xx dxxfI

koji je oblikom identičan integralu površine.

Funkcija f3 ima različite težinske koeficijente w3 od interpolacije funkcije f, čiji su koeficijenti jednaki w, te je

potrebno definirati zaseban problem interpolacijski problem za 3y , kako će biti pokazano dalje u tekstu.

7.5.2.1. Interpolacijski problem za y3

Umjesto interpolacijskog problema wHy ⋅= , definiramo problem:

( ) 333 wHxfy ⋅== (184)

gdje su: H – interpolacijska matrica za ulaznog skupa podataka,

w3 – vektor težinskih koeficijenata.

Kako je već pokazano, interpolacijska matrica ne ovisi o skupu izlaznih, već samo skupu ulaznih podataka, pa

imamo:

HH =3 (185)

Kao i kod osnovnog problema interpolacije raštrkanih podataka, rješenje ovog problema se dobiva inverzijom

interpolacijske matrice H koja nam je prema (53) već poznata kao:

212 yHw ⋅= − (186)

7.5.2.2. Rješenje interpolacijskog problema za y3 kod kubno-linearne RBF

Rješenje integrala momenta oko osi z je identično rješenju integrala za površinu korištenjem kubno-linearne

PRBF uz korištenje težinskih koeficijenata w3:

2

11

2

2

3

3

31

4

3 24

x

xi

ii

i

iix xc

xxwxc

xxwI

⋅+

−+

+

−= ∑∑

== ββ

(187)

Dakle, ako nam je poznato direktno rješenje intergala RB funkcije, tada možemo lako odrediti i moment inercije

vodne linije u odnosu na os x.



179

7.6. PRORAČUN MOMENTA INERCIJE VODNE LINIJE U ODNOSU

NA OS Y

7.6.1. Osnovni integral

Intergalni izraz za proračun momenta inercije vodne linije s obzirom na os y se može napisati kao:

∫ ⋅⋅=2

1

2x

xy dxyxI (188)

Uvrštavanjem izraza za krivulju ( )xfy = vodne linije dobiva se sljedeći integral:

( )∫ ⋅⋅=2

1

2x

xVLy dxxfxI (189)

koji predstavlja 5. osnovni integral za proračun hidrostatiskih svojstava u brodogradnji.

Direktna integracija ovog izraza s RB funkcijama je složena, pa se neće koristiti. Umjesto toga, pokazat će se

intergacija kubno-linearne PRBF, odnosno integracija RB funkcija zapisanih u obliku polinoma.

7.6.1.1. Integral momenta inercije VL za os y kompatibilne kubno-linearne PRBF

Pripadni integral momenta inercije vodne linije u odnosu na os y za kubno-linearnu PRBF se može napisati kao:

( ) ( )∫ ∑∑

+−++−⋅=

==

2

1 1

2

3

31

32x

x iii

iiiy dxcxxwcxxwxI

ββ

(190)

Odnosno, gornji integral se može rastaviti u 2 integrala, kao:

( ) ( )∫ ∑∫ ∑

+−⋅+

+−⋅=

==

2

1

2

1 1

22

3

31

32x

x iii

x

x iiiy dxcxxwxdxcxxwxI

ββ

Da bismo rješili prvi intergal u gornjem izrazu, potrebno je razviti izraz za apsolutnu vrijednost kuba i pomnožiti

ga s 2x :

3222223232 33 iiii xxxxxxxxxxxxx ⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅=−⋅

[ ] ( )( )

( )2

1

2

1

2

1

331

32

456

331

2234531

32

343

53

6

33

x

x

iii

z

ziii

x

xi

xcxxxxxx

dxxcxxxxxxdxcxxx

−⋅+⋅+⋅⋅−=

=−⋅+⋅⋅+⋅−=+−⋅ ∫∫

Isto radimo i s drugim integralom u izrazu:



180

ii xxxxxxx −⋅=−⋅ 22

( ) ( )[ ] ( )2

1

2

1

2

1

2

34

223

22

34

x

x

i

z

zi

z

zi xcxxdxxcxxdxcxxx

−+=⋅−⋅+=⋅+−⋅ ∫∫

Konačni izraz za moment inercije vodne linije broda u odnosu na os y tada glasi:

( ) ( ) 3434

35

36

3 1

2

3433

1

32

456 2

1

2

1

∑ ∑= =

−++

−++−=

β βi i

x

x

ii

x

x

iiiiy xcxxwxcxxxxxxwI (191)

7.6.1.2. Integral momenta za RB funkcije napisane u polinomskom obliku

Za RB funkciju napisanu u polinomskom obliku, izraz za proračun momenta inercije oko osi x se općenito može

napisati kao:

∫ ∑ ⋅

⋅⋅=

=

2

1 0

2x

x

n

j

jjy dxxCxI (192)

To jest, imamo:

∫ ∑ ⋅

⋅=

=

+2

1 0

2x

x

n

j

jjy dxxCI (193)

U slučaju kubne-linearne PRBF, pripadno rješenje integrala momenta se tada može napisati kao:

( )∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=2

1

20

31

42

53

x

xy dxxCxCxCxCI (194)

Rješenje integrala se dobije jednostavno integriranjem svakog člana polinoma kao:

2

1

30

41

52

63 3

141

51

61

x

xy xCxCxCxCI

+⋅+⋅+⋅= (195)

Ili pisano zajedno kao:

2

10

3

31

x

x

n

j

jjy xC

jI

⋅

+= ∑

=

+

Konačno, dobiva se rezultat kao:

( )∑=

++ −⋅+

=n

j

jjjy xxC

jI

0

31

323

1 (196)



181

7.7. PRIMJER PRORAČUNA ZNAČAJKI POVRŠINE REBRA Primjer proračuna hidrostatskih svojstava presjeka broda će biti izveden za testno rebro br. 2, prikazano u

Dodatku A. 2). To je krmeno rebro broda za prijevoz auta i kamiona s ravnim bokom, bulbom, diskontinuitetima

i prelukom, koje je vrlo složene geometrije, te se odgovarajući proračun pripadnih hidrostatskih svojstava po

visini rebra dobije kao:

( )zfzyA BB =,,

Osnovne vrijednosti svojstava odabranog rebra su izračunate u knjizi trima i stabiliteta, [106], broda kojem

promatrano rebro pripada, te ih pokazuje tablica 24, ispod:

Tab. 24: Usporedba rezultata proračuna direktnom integracijom PRBF opisa i vrijednosti iz Knjige trima i

stabiliteta, [106], test rebra br. 2, te test rebra br. 4, tj. polukružnice

Test rebro br. 2, do preluka Test rebro br. 4

PRBF Knjiga T & S PRBF Analitički proračun

A (m2) 311,3901 311,3901 9,8178 9,8175

Bz (m) - 1,4389 1,4389

0 100 200 300 4000

5

10

15

20

25

30

A(y/2, z)zB⋅10

yB⋅10

Sl. 63: Raspodjela svojstava površine test rebra po visini

Analitičko rješenje položaja težišta polukružnice po visini zB se dobije iz izraza:



182

π34rrzB −=

Za r = 2,5 (m) se kao položaj težišta istisnine po visini tako dobije 4389,1=Bz (m).

Vidimo da su rezultati integracije svojstava rebra: površine A , te komponenti težišta istisnine By i Bz po

visini z , glatke krivulje, kao što je to zahtjevano brodskom proračunskom geometrijom. Iz tablice 24, gore, je

vidljivo da su rezultati vrlo precizni i odgovaraju proračunatim vrijednostima u Knjizi trima i stabiliteta test

broda br. 2.

Kao konačni rezultat proračuna se dobivaju poopćeni izrazi rješenja 5 osnovnih intergrala hidrostatskih svojstava

rebara, prema gore navedenim izrazima, koji će se dalje koristiti u određivanju hidrostatskih svojstava broda za

odabrane kuteve nagiba ψϕ,≡Θ , što će biti pojašnjeno u sljedećem poglavlju, poglavlju 8.

7.8. ZAKLJUČAK O RJEŠENJU 5 OSNOVNIH BRODOGRAĐEVNIH

INTEGRALA POMOĆU RBF Rješenjem 5 osnovnih integrala u brodogradnji se ispunjava posljednji neispunjen zahtjev, zahtjev br. 8, koji

odabrana funkcija opisa mora ispuniti u svrhu ispunjavanja svih zahtjeva brodske proračunske geometrije. Osim

integrabilnosti, pokazana je i velika točnost proračuna geometrijskih i hidrostatskih svojstava testnih rebara, uz

eliminiranje problema grupiranja pogreške u točci koji je povezan s globalnom točnošću opisa geometrije.

Omogućavanjem direktnog proračuna RBF integracije eliminira se potreba za numeričkom integracijom koja je

do sada bila dominantno korištena u proračunima svojstava u brodogradnji, te je uvjetovala raspodjelu presjeka

vodnim linijama i rebrima kojima se mrežno opisivao brod. Direktnom RBF integracijom omogućuje se

proizvoljno postavljanje presjeka broda u njegovom opisivanju, te određivanje raspodjele izračunatog svojstva

po visini, uz veliku proračunsku preciznost i kod postojanja diskontinuiteta geometrije.

Na ovaj način su ispunjeni svi uvjeti brodske proračunske geometrije u opisivanju geometrije broda ravninskim i

prostornim krivuljama opisanim radijalnim osnovnim funkcijama iz funkcijskog prostora IR1. Ovime je

dokazana hipoteza disertacije, po kojoj je moguće globalnom interpolacijom bezmrežnim metodama temeljenim

na radijalnim osnovnim funkcijama objekt složene geometrije, kao što je brod, opisati analitičkom preciznošću

na način pogodan za daljnje direktne, analitičke proračune geometrijskih i hidrostatskih svojstava objekta, te

proračune presjeka i objekta s površinom tekućeg fluida koji ga okružuje. Time se omogućuje direktni analitički

proračun stvarne vodne linije te pripadnih hidrostatskih svojstava broda za odabrani broj stupnjeva slobode

gibanja.

Potrebno je još pokazati primjenu RBF u proračunu hidrostatskih svojstava broda za odabrani broj stupnjeva

slobode gibanja, što će biti napravljeno u sljedećim poglavljima.



183

8. MULTIVARIJANTNI RBF OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA BRODA

8.1. PRORAČUN I PRIKAZIVANJE HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA

8.1.1. Primjena proračunskih rješenja PRBF opisa Konačni cilj opisivanja nekog objekta, osim njegovog geometrijskog oblikovanja i prikazivanja na računalu, jest

omogućavanje proračuna njegovih svojstava. Jedan od osnovnih proračuna teorije broda, za kojeg će se ovdje

pokazati primjena RBF opisa, je proračun hidrostatskih svojstava broda kojim se određuju uzgonska svojstva

broda H , koja proistječu iz geometrije, tj. oblika broda. Prema postavkama iz poglavlja 1, geometrija broda je

opisana mješovitim B-rep postupkom, korištenjem ravninskih i prostornih krivulja, uz opisivanje lomova forme

broda.

Zbog složenosti brodske geometrije, proračuni osnovnih hidrostatskih svojstava se danas uglavnom vrše

unaprijed, predprocesiranjem, gdje se određuju pripadna svojstva za odabrani diskretan broj kuteva trima, te

najčešće bez bočnog kuta nagiba, numeričkim metodama proračunima. Hidrostatska svojstva broda, te pripadna

svojstva stabiliteta za velike kuteve nagiba kod kojih je sinϕ ≠ ϕ , prikazuju se samo krivuljama težišta

istisnine za ravnu kobilicu i odabrane diskretne vrijednosti kuteva bočnog nagiba. U proračunu stvarne, trenutne

vodne linije se zatim kreće od nekog početnog položaja vodne linije, te iteracijski, sukscesivno, računaju njena

hidrostatska svojstva, kako je to opisano u podpoglavlju 1.3.3.1. U tim proračunima se, kako je to navedeno u

poglavlju 1, zanemaruju vremenska komponenta t i prostorna putanja gibanja broda, te se promatraju samo

trenutna stanja broda BP opisana položajem zyx ,,≡x na vodnoj liniji VL.

U ovom poglavlju će se pokazati primjena rješenja opisa brodske forme kompozicijom PRBF s gustim opisom

diskontinuiteta iz poglavlja 5, njenog presjeka s ravninskim vodnim linijama iz poglavlja 6, te osnovnih 5

integrala u brodskoj hidrostatici iz poglavlja 7 ove disertacije, u proračunu i opisivanju hidrostatskih svojstava

presjeka rebara za željeni raspon bočnih kuteva nagiba, te cjelokupnih hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora

i cijelog broda za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja.

Nakon određivanja ploha hidrostatskih svojstava rebara za bočne nagibe, izvršit će se proračun ukupnih

hidrostatskih svojstava broda integriranjem po duljini broda, odnosno duljini promatranog uzgonskog prostora.

8.1.2. Postupak proračuna hidrostatskih svojstava pomoću RBF Proračun ukupnih hidrostatskih svojstava broda pomoću RBF izvršiti će se integracijom metodom rebara uz

sumiranje dobijenih vrijednosti po duljini broda. Postupak proračuna sadrži nekoliko koraka koji se sastoje od

pripreme podataka za opis proračunom diskretnih točaka pomoću PRBF, te višedimenzijskog RBF opisa. Ti

koraci su redom:



184

1. Konstrukcija točaka ploha hidrostatskih svojstava rebara,

2. RBF opis ploha hidrostatskih svojstava rebara na temelju prije izračunatih diskretnih točaka,

3. Konstrukcija točaka ukupnih hidrostatskih svojstava broda GV, odnosno pojedinih uzgonskih prostora

broda GU, pomoću dvodimenzijskog RBF opisa ploha hidrostatskih svojstava rebara,

4. Multivarijantni RBF opis hipervolumena hidrostatskih svojstava broda GV, odnosno pojedinih uzgonskih

prostora broda GU, na temelju unaprijed određenih diskretnih točaka, za proizvoljni broj stupnjeva

slobode gibanja d.

Za konstrukciju točaka hidrostatskih svojstava rebara, odnosno uzgonskih prostora broda koristit će se

proračunska svojstva PRBF kako je to već prije navedeno; najprije za proračun svojstava rebra, a zatim za

integriranje areala pojedinih svojstava po duljini promatranog prostora broda.

Kod opisivanja ploha hidrostatskih svojstava rebara koristit će se dvodimenzijske RBF s L2 normom, f(x, z),

odnosno višedimenzijske RBF f(x) kod opisivanja ukupnih hidrostatskih svojstava broda prema Definiciji 9.

Dimenzije vektora multivarijantnog RBF opisivanja, x ∈ IRd i y ∈ IRl , su pritom jednake broju stupnjeva

slobode gibanja broda d, odnosno broju hidrostatskih svojstava l, koji se opisuju.

Kao primjer proračuna će se pokazati proračun hidrostatskih svojstava test brodova: broda u obliku pontona, te

broda u obliku cilindrične forme u obliku polukružnice za cijeli raspon odabranih stupnjeva slobode gibanja

ψϕξ ,,z≡ .

8.1.3. Matematske postavke multivarijantnog RBF opisa Matematska postavka RBF opisa prostora hidrostatskih svojstava ima temelje u višedimenzijskim svojstvima

RBF, prema definiciji 8, iz 3.7. Dakle, potrebno je naći funkcijski izraz F temeljen na RBF, kojim će se opisati

preslikavanje sa skupa ulaznih podataka dxxx ,,, 21 K=x , dIR∈x , na skup izlaznih podataka

lyyy ,,, 21 K=y , lIR∈y . Kada, pritom, broj ulaznih podataka prelazi 2>d , tada govorimo o

geometrijskom hiperprostoru.

Prema analogiji s jednadžbom (52) možemo pisati izraz za višedimenzijski RBF opis kao:

( ) ( )∑∑==

Φ=Φ==N

jjj

N

jjj wwF

11

,)(ˆ xxxxy (197)

Odnosno, u matričnom obliku slično (53) imamo izraz:

yHw ⋅= −1 (198)

gdje su: w – matrica težinskih koeficijenata RBF izraza, lN ×

H – interpolacijska matrica neuronske mreže, NN ×

y – matrica izlaznih podataka, lN × .



185

Vidimo da za razliku od jednodimenzijskog izlaza gdje imamo vektor težinskih koeficijenata w kao rješenje

interpolacijskog problema, kod opisa 3D geometrije imamo matricu w, koja također ima dimenzije izlaznog

skupa podataka. Teorijski, broj ulaznih varijabli d i broj izlaznih varijabli l RBF opisa može biti beskonačan, pa

broj hidrostatskih svojstava koji se želi opisati multivarijatnim opisom nije ograničen.

8.1.4. Točnost višedimenzijskog opisivanja

U poglavlju 2 je razmatrana točnost analitičkog opisivanja, te su definirane veličine RMSE i maxErr na osnovu

čijih vrijednosti je dalje vrijednovan opis RB funkcijama za 2D probleme. Ovdje će se ti izrazi proširiti na

višedimenzijske probleme.

8.1.4.1. Globalna točnost opisa

Za multivarijantne probleme globalna točnost opisa se može napisati kao:

N

fl

k

N

iik∑∑

= =

−= 1 1

2))((RMSE

yx

(199)

gdje su: N - broj elemenata ulaznog skupa podataka,

,,...,1,,...,1, lkNiik ==y - skup izlaznih podataka,

)(xf - poopćeni opis radijalnom osnovnom funkcija.

Vidimo da se za razliku od izraza za RMSE u (35) pogreška sumira po ukupnom broju dimenzija izlaznog

skupa točaka l.

8.1.4.2. Točnost poopćavanja

Kao i kod RMSE , maxErr se računa po svim izlaznim varijablama, te određuje maksimalna pogreška.

( )( )lPPPTxyzxf ,max ,maxErr −=

∈ (200)

gdje je: PdPPP xxx ,,, 21 K≡Χ – skup podataka za provjeru točnosti poopćavanja.

8.1.5. Prikazivanje rezultata hidrostatskih proračuna pomoću RBF Za razliku od dosadašnjeg prikazivanja hidrostatskih svojstava broda dijagramnim listom, arealama rebara,

krivuljama težišta istisnine za bočne kuteve nagiba pantokarenama izoklinama, za ravnu kobilicu,

višedimenzijska svojstva RBF teorijski omogućuju analitički, multivarijantni opis pripadnog skupa

geometrijskih G i hidrostatskih svojstava H , za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja d, te njihovu

primjenu u direktnom proračunu vodne linije broda za cijeli teorijski raspon stanja opterećenja L , odnosno

cijeli raspon kuteva trima ψ i bočnog nagiba ϕ. Ovdje će se pokazati proširenje opisa težišta istisnina



186

Daymardovim krivuljama panotkarena izoklina, za ravnu kobilicu i diskretne kuteve nagiba, [22], na opisivanje

hiperplohama težišta istisnina, težišta vodne linije, te položaja poprečnog metacentra za odabrani broj stupnjeva

slobode gibanja. Također, pokazat će se proširenje Bilesovog opisa sa opisa izoklinama i izovolumenima, [24],

na opisivanje težištima istisnine, težištima vodne linije, te položajima poprečnog metacentra.

Da bi se omogućilo višedimenzijsko opisivanje hidrostatskih svojstava pritom će se pretpostaviti da vrijedi:

− višedimenzijski prostor svih položaja P i prostor hidrostatskih svojstava H su lokalno su glatki s

nekim C kontinuitetom,

− osigurana je bijektivnost opisa pogodnim odabirom ortogonalnog, pomičnog rotacijskog koordinatnog

sustava.

Na taj način se omogućuje multivarijantni RBF opis geometrijskih i hidrostatskih svojstava broda željenog

raspona, bez potrebe za opisivanjem diskontinuiteta.

8.1.6. Pantokarene pantokline Istisninski dio hidrostatskih svojstava broda, potreban za određivanje poluga statičkog stabiliteta prema (9),

najčešće se predočava pantokarenema izoklinama, tj. krivuljama položaja težišta istisnine BΧ , za iste kuteve

bočnog nagiba ϕ u očekivanom rasponu težinskih istisnina broda ∆, uz konstantni kut trima ψ koji se najčešće

postavlja na 0.

Primjena RBF opisa nam, međutim, umjesto opisivanja krivuljama izoklina i izovolumena, [21], [22], [23], [24],

omogućava opis cijele plohe krivulja BΧ u funkciji ϕ i ∆ kao:

( ) ( )ϕϕ ,,X ∇⋅=∆= gffB (201)

Pripadni opis po analogiji s pantokarenama izloklinama se može nazvati:

PANTOKARENA PANTOKLINA što u prijevodu znači „Svi kutevi nagiba za cijeli trup broda“.

Proširenjem prikazivanja stabiliteta za 1 kut na 2 kuta nagibaϕ iψ, možemo formirati opis svih kuteva nagiba za

cijeli raspon istisnina kao:

( ) ( )ψϕψϕ ,,,, ∇⋅=∆=Χ gffB (202) tj. možemo opisati cijeli prostor položaja težišta istisnine broda.

Opet po analogiji s pantokarenama izoklinama ovdje imamo slučaj pantokarene pantokline s 2 kuta nagiba, pa

nju možemo nazvati:

DVOPARAMETARSKA PANTOKARENA PANTOKLINA ili

PANTOKARENA PANTOKLINA ZA 2 KUTA NAGIBA



187

Ova pantokarena pantoklina za 2 kuta nagiba nije plošna, već zbog 3 stupnja slobode gibanja ima određeni

volumen, te predstavlja geometrijsko tijelo položaja težišta istisnine broda.

U slučaju većeg broja stupnjeva slobode gibanja od 3 dobiva se hiperprostor položaja težišta istisnine i

višeparametarske pantokarene pantokline, zavisno o broju rotacija sustava. Dakle, općenito, može se odrediti

izraz za n-dimenzijski opis težišta istisnine kao:

n-PARAMETARSKA PANTOKARENA PANTOKLINA

Po analogiji s težištima istisnine BΧ , moguće je opisati i prostor težišta VLΧ svih mogućih VL koje se mogu

dogoditi brodu za cijeli raspon svih mogućih istisnina ∆ i kuteva nagibaϕ iψ kao:

( ) ( )ψϕψϕ ,,,, ∇⋅=∆=Χ gffVLVL (203)

To je konačan rezultat koji smo tražili, što je jedan od ciljeva ove disertacije. Dalje u tekstu će biti pokazan način

konstruiranja prostora hidrostatskih svojstava broda, te primjer proračuna n-parametarske pantokarene

pantokline test broda br. 1.

8.2. KONSTRUKCIJA TOČAKA PLOHA HIDROSTATSKIH

SVOJSTAVA REBARA

8.2.1. Općenito Današnji pripremni proračuni svojstava rebara u projektnoj dokumentaciji su svedeni na proračun numeričke

integracije Bonjeanovih krivulja za zadane točke, tj. proračun pripadne površine i statičkog momenta u odnosu

na os y lokalnog koordinatnog sustava rebra, bez bočnog nagiba broda.

Kod proračuna ukupnih hidrostatskih svojstava nagnutog broda vrijednosti gaza između zadanih točaka se

određuju numeričkom interpolacijom, a kod bočnog nagiba se najčešće koristi metoda klinova, proračunom s

lijeve i desne strane rebra. Radi analitičkih postavki proračuna, ovdje će se koristiti metoda korekcijskih trokuta

uz postavljanje koordinatnog sustava rebra u točku minimalnog gaza uz rotaciju za zadani kut bočnog nagiba ϕ.

8.2.2. Primjena PRBF u proračunu točaka hidrostatskih svojstava rebra

Prije nego što se prijeđe na proračun točaka hidrostatskih svojstava rebra, potrebno je najprije vrlo precizno

opisati promatrano rebro uz ispunjavanje zahtjeva brodske proračunske geometrije iz poglavlja 2.7. U

prethodnim poglavljima su pokazana vrlo dobra proračunska svojstva kubno-linearne PRBF uz primjenu gustog

opisivanja oko točaka loma, tj. vrlo precizan opis iz poglavlja 5, direktno rješenje presjeka broda s vodnom

linijom u poglavlju 6, te proračun 5 osnovnih integrala hidrostatike direktnom integracijom PRBF iz poglavlja 7.



188

Kao rezultat proračuna PRBF opisa rebra dobivaju se:

− težinski koeficijenti wRi, i

− točke centara razvoja xRi.

Ovi podaci, uz parametre PRBF, čine ulazne podatke za proračun točaka hidrostatskih svojstava rebara za

proizvoljne bočne kuteve nagiba. Ovdje je to kubno-linearna PRBF s β = 3 i β = 1, te γ = 1.

8.2.3. Metoda korekcijskih trokuta Kako je rečeno u tekstu gore, metoda korekcijskih trokuta se sastoji od proračuna svojstava rebra s obje strane

presjeka za točke zadane ulaznim skupom. Osim točaka presjeka za nagnutu VL, lako je odrediti i dodatne

ključne točke, na temelju kojih se dalje konstruiraju korekcijski trokuti.

Kao glavna proračunska varijabla se postavlja gaz zp = zϕ,, za kojeg se računaju sva svojstva rebra. Na taj način

se osigurava bijektivnost opisa, te je zp, uvijek okomit na vodnu liniju zarotiranu za kut bočnog nagiba ϕ.

Sl. 64 pritom pokazuje postupak proračuna pomoću korekcijskih trokuta koji je detaljno opisan u Dodatku H.

Sl. 64: Određivanje korekcijskih trokuta

Postupak proračuna kod postupka korekcijskih trokuta je ukratko sljedeći:

1. Najprije se vrši konstrukcija pomoćnih ploha hidrostatskih svojstava rebara, odnosno pantokarena

pantoklina, svih odabranih poprečnih presjeka, za cijeli raspon kuteva bočnog nagiba ϕ, te dobivaju

odgovarajuće hiperplohe iS za cijeli raspon rebara Ri, RNi ,,1K= , gdje je RN broj rebara kojima je

opisana brodski trup. Pritom su rebra opisana kubno-polinomskom PRBF s β = 3, 1 i gustim opisom



189

točaka loma, te u proračunu koristimo težinske koeficijente wRi pojedinog rebra, dobijene prema izrazu

(108). Proračun se vrši presjecanjem pojedinog rebra na presjeku ix s vodnim linijama kjVL , gdje su

iNk ,,1K= visine točaka ikz ulaznog skupa podataka na rebru Ri, a ϕNj ,,1K= kutevi bočnog

nagiba za koje se vrši proračun, te dobivaju točke presjeka vodne linije s geometrijom broda

( )zyxijk ,,P u koordinatama u globalnom, brodskom koordinatnom sustavu broda. U dobivenom skupu

točaka se posebno izdvajaju dobivene vrijednosti gazova na okomicama ijkKg , i ijkPg , , te zagaznicama

broda ijkld , gdje je l broj zagaznica, kojima se povezuju globalan i lokalni koordinatni sustavi.

2. Za izračunate točke presjeka vodnih linija s rebrom se zatim računaju pripadna svojstva površine

promatranog rebra broda:

− ( )ϕ,zfAR = , površinu rebra,

− ( )ϕ,zfM y = , moment oko osi y,

− ( )ϕ,zfM z = , moment oko osi z,

− ( )ϕ,zflR = , duljine vodnih linija rebara,

odnosno:

− ( )ϕ,zfzB = , težište istisnine oko osi z,

− ( )ϕ,zfyB = , težište istisnine oko osi y.

Pritom je moguće birati podatke koji će se opisivati: momente oko osi y i z, ili njihova težišta oko tih osi.

3. Za dobijene točke rebra i njihova svojstva se zatim u jednom višedimenzijskom RBF izrazu određuju

plohe hidrostatskih svojstava promatranih rebara za kut bočnog nagiba broda ϕ.

4. Nakon toga se promatrana geometrija presjeca po svim rebrima Ri odabranim vodnim

linijama kljVL gdje su iNk ,,1K= visine vodnih linija ikz ulaznog skupa podataka,

ψNl ,,1K= kutevi trima za koje se vrši proračun, te ϕNj ,,1K= kutevi bočnog nagiba, koji ne

moraju nužno biti jednaki onima u koraku 1 postupka.

5. Nakon presjecanja geometrije vodnim linijama, dobivaju se točke presjeka rebara, te presjeka s

krivuljama loma. Za tako dobijene točke ( )ϕ,zPP se zatim direktno računaju hidorstatska svojstva

površina rebara PiH .

6. Na temelju dobijenih točaka presjeka s rebrima pojedine vodne linije se zatim vrši proračun RBF opisa sa

svake strane centralne ravnine, te računaju svojstva VL: VLA , VLx , VLy , VLz , FM ϕ i FMψ , odnosno

pripadni integrali VLA , xM , yM , xI i yI kako je to opisano u poglavlju 7 gdje su rješeni osnovni

brodograđevni integrali, postupkom korekcije trokuta, opisanom u Dodatku H.



190

7. Nakon toga je još potrebno opisati krivulje areale rebara, te pripadnih mometata oko osi y i z u jednom

RBF opisu, kako je prije opisano, te odrediti volumen i momente volumena oko osi x, y i z do pojedine

proračunske vodne linije.

8. Kao rezultat gornjih proračuna se dobivaju ulazni podaci – točke, na temelju kojih je moguće izračunati

konačan, multivarijantni opis prostora hidrostatskih svojstava s gore navedenim svojstvima volumena

istisnine, te svojstvima vodne linije.

Kao rezultat proračuna dobivaju se skupovi točaka potrebne za proračun plohe hidrostatskih svojstava S :

ψψϕϕ MMMMFFFVLVLVLVL zxzyzyxzyxA ,,,,,,,,,,, ∇=y

ψϕ,,pz=x (204)

Vidimo da izlazni skup ima više od 3 varijable, pa se višedimenzijska ploha može nazvati hiperploha. Pripadna

hiperploha kojom se opisuju hidrostatska svojstava broda se stoga može nazvati:

HIPERPLOHA HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA BRODA.

Iz pripadne hiperplohe hidrostatskih svojstava je moguće odrediti bilo koje stanje broda u kojem se brod može

naći, pa je tako moguće odrediti plovnu vodnu liniju VL za bilo koji nagib i gaz .

8.2.4. Veza između globalnog i lokalnih koordinatnih sustava za nagibe broda

Da bi se omogućilo određivanje hidrostatskih svojstava na temelju očitanja vrijednosti gazova u praksi, na brodu,

određena je veza između globalnog koordinatnog sustava x-y-z i lokalnih koordinatnih sustava ϕψx - ϕψy - ϕψz

pomoću gazova ijkKg , i ijkPg , , te zagaznica broda ijkld . Njihovim uvrštavanjem u izlazni skup podataka dobiva

se veza između proračunskih i mjerenih gazova na brodu.

S obzirom na korak u postupku izrade RBF opisa hidrostatskih svojstava potrebno je izvršiti podjele ulaznih i

izlaznih varijabli, pa se tako vrši zasebna podjela varijabli za izradu pantokarena pantoklina rebara, te

pantokarena pantoklina broda i pripadnih unutarnih prostora. Za potrebe proračuna ukupnih hidrostatskih

svojstava integracijom areala pojedinih svojstava po duljini, pantokarena pantoklina rebara se računa za

proračunske gazove zp, pomoću kojih se direktnim uvrštavanjem proračunatog gaza zϕψ presjeka vodne linije i

rebra određuju vrijednosti proračunatog svojstva. Vrijedi sljedeća podjela varijabli ulaznog i izlaznog skupa

multivarijantnog opisa hirostatskih svojstava rebra za 3 stupnja slobode gibanja:

ijklijkPijkKMMMMBBBVLVLVLVL dggzxzyzyxzyxA ,,,,,,,,,,,,,, ,,ψψϕϕ∇=y

ψϕ,,pz=x (205)

Kod konačnog opisa ukupnih hidrostatskih svojstava broda, odnosno unutarnjih brodskih prostora, umjesto

proračunskog gaza zp je kao ulaznu varijablu potrebno postaviti volumen istisnine broda ∇ kako će to biti



191

objašnjeno u poglavlju 9. Na taj način se omogućuje povezivanje hidrostatskih svojstava sa svojstvima težina na

brodu, tj. direktno određivanje hidrostatskih svojstava uvrštavanjem ulaznih varijabli stupnjeva slobode gibanja i

istisnine broda.

8.2.5. Redukcija raspona opisa hidrostatskih svojstava trupa broda

Ukupni skup hidrostatskih svojstava trupa broda H sadrži cijeli raspon mogućih gazova i istisnina broda od 0

do maksimalne vrijednosti volumena trupa. Kako je brod objekt koji je slobodno uronjen u tekućinu, te uvijek

ima neku težinu istisnine, prema 1. uvjetu plovnosti mora uroniti na neki gaz g . Međutim, taj gaz radi vlastite

težine trupa ne može biti jednak 0, već ima neku vrijednost 0>g , pa je tako i istisnina broda 0>∇ . Također,

pravila IMO i klasifikacijskih društava određuju granice dozvoljenih vrijednosti naplave broda, te se stoga može

postaviti i gornja granica mogućih istisnina broda na neku vrijednost ( )∇<∇ max . Iz tog razloga se ukupan

skup hidrostatskih svojstava trupa broda reducira na neki skup svih mogućih događaja L , te nije potrebno

opisivati ukupan prostor hidrostatskih svojstava trupa broda. Također, nije potrebno pokriti ni cijeli raspon

kuteva bočnog nagiba brodaϕ , jer se provjera stabiliteta prema zahtjevima uvijek vrši za neki kut °< 90ϕ .

Uvođenjem navedenih ograničenja se osigurava veća homogenost prostora hidrostatskih svojstava trupa kojeg je

potrebno opisati RBF opisom, jer ukupan prostor hidrostatskih svojstava trupa broda H ima veće gradijente

nekih varijabli blizu 0=∇ i °= 90ϕ . Dakle, u praktičnom proračunu nije potrebno opisivati cijeli skup točaka

hidrostatskih svojstava trupa broda H , već njegov podskup, skup točaka svih mogućih događaja L .

8.3. OPIS PLOHA HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA REBARA

8.3.1. Pantokarene pantokline rebara U proračunima stabiliteta se rezultati proračuna svojstava uzgona za velike kuteve bočnog nagiba najčešće

predstavljaju krivuljama pantokarena izoklina, [21], [23], [23], [24], koje pokazuju položaj težišta istisnine broda

za neki volumen i odabrane diskretne kuteve bočnog nagiba broda. Biles je početkom 20. stoljeća u svom radu,

[24], predložio predočavanje rezultata proračuna težišta istisnine broda izoklinama i izovolumenima na nacrtu

rebara broda, ali radi složenosti postupka i netočnosti dvostruke interpolacije koju je bilo potrebno izvesti ovaj

postupak nije šire prihvaćen.

Izradom plohe hidrostatskih rebara se umjesto krivulja izoklina dobiva ploha za cijeli raspon volumena i kuteva

nagiba, te se dakle dobiva 1-parametarska pantokarena pantoklina pojedinog hidrostatskog svojstva.

Na temelju proračunatih geometrijskih i hidrostatskih podataka, za svako rebro Ri se može izraditi odgovarajuća

ploha hidrostatskih svojstava rebara u obliku:

( )ϕ,,,,, iiiVLiziyiRi zySlMMA = (206)



192

Međutim, za potrebe proračuna ukupne hiperplohe hidrostatskih svojstava broda, funkcijsku ovisnost u (202) je

potrebno transformirati u pogodniji bijektivni oblik, kojim određivanje vrijednosti hidrostatskih svojstava ovisi

samo o visini nagnute vodne linije pi zz =ϕ , te kutu nagiba rebra ϕ, tj. kao:

( )ϕ,,,, piVLiziyiRi zSlMMA = (207)

Vrijednosti visine vodne linije pz se pritom računaju postavljanjem lokalnog koordinatnog sustava rebra u točku

minimalne visine za odabrani kut, kao što je to objašnjeno u postupku određivanja korekcijskih trokuta, u

Dodatku H.

8.3.2. Proračun hidrostatskih svojstava rebara Gore određena procedura koja se temelji na korekcijskim trokutima omogućuje proračun hidrostatskih svojstava

rebara za bilo koji kut nagiba ϕ. Kao rezultat se dobivaju diskretne točke ϕ,pz , koje predstavljaju ulazne

podatke za izradu plohe hidrostatskih svojstava nekog promatranog rebra. U ovom podpoglavlju će se pokazati

diskretni rezultati proračuna hidrostatskih svojstava odabranih test rebara.

Rezultati proračuna hidrostatskih svojstava presjeka će se provjeriti na primjerima jednog pravilnog presjeka, tj.

presjeka u obliku polukružnice, te testnog rebra broj 2, rebra s bulbom, ravnim bokom, 2 diskontinuiteta, te

prelukom, prikazanim u Dodatku A. 2). PRBF opis brodskog rebra omogućuje analitičko, direktno rješenje

integrala hidrostatskih svojstava rebra broda, uz direktno rješenje presjeka s ravninskom vodnom linijom. Na

slici 65 su prikazani rezultati proračuna površine test rebra br. 2 u funkciji proračunske visine ϕz i kuta bočnog

nagibaϕ , ( )ϕ,pR zfA = , dok su ostali rezultati pokazani u Dodatku I.

0 100 200 300 400 500 600 7000

5

10

15

20

25

30

35

40

A (m2)

z P (m

)

Sl. 65: Površine test rebra br. 2 za kuteve bočnog nagibaϕ od 0 do 90° po proračunskoj visini Pz

Provjerom rezultata proračuna sa slike 65 se vidi da izračunate vrijednosti površine rebra RA za sve kuteve

nagiba na krajevima imaju konstantne vrijednosti, te su krivulje površina za pojedini kut glatke krivulje.



193

Sl. 66: Primjer proračuna hidrostatskih svojstava testnog rebra br. 2

Usporedbom rezultata iz tablice 37 u Dodatku J, može se zaključiti da je poklapanje s vrijednostima iz knjige

trima i stabiliteta reda veličine 10-2, što se može ocijeniti odličnim. Na temelju rezultata proračuna integracijom

RBF opisa se može izvršiti i dodatna provjera proračuna, grafički prikazom rezultatata proračuna za jedan kut

nagiba, dok će se cijeli raspon kuteva prikazati u Dodatku J. Na slikama se za pojedino rebro prikazuju položaji

težišta istisnine (zelena boja), položaji težišta vodnih linija (plava boja), položaji metacentara (crvena boja), te

presjeci rebra s cijelim rasponom VL koje prolaze kroz zadane točke rebra.

Vidimo da ova procedura proračuna omogućuje opis hidrostatskih svojstava i složenih rebara kao što je test

rebro 2, s diskontinuitetima, bulbom i prelukom, kao što je prikazano na slici 66. Također, preciznost proračuna

je vrlo velika, prema zahtjevima brodske proračunske geometrije. Ovako dobijene točke predstavljaju ulazne

podatke za formiranje plohe hidrostatskih svojstava rebra.

8.3.3. Opis proračunskih problema Kako je prije navedeno, opisivanje višedimenzijskih diskontinuiteta nije još matematski rješeno, pa se u općem

slučaju javlja problem opisivanja brodskih rebara s lomovima. Iz tog razloga je potrebno raditi s većim brojem

točaka opisa, da bi se omogućio RBF opis. Također, javlja se problem loše uvjetovanosti matrice, pa je potrebno

razmotriti načine analitičkog rješenja ovog problema.

Broj točaka ulaznih podataka za hiperplohu rebara općenito iznosi NR⋅Nϕ. Za potrebe veće točnosti opisa je kod

opisa brodskih rebara potrebno izvesti proračun za što veći broj kuteva bočnog nagiba Nϕ. Ako pretpostavimo

raspon kuteva [ ]1;90,0 =∆°°= ϕϕ dobiva se red veličine oko 3000 točaka, što daje interpolacijsku matricu

dimenzija oko 3000⋅3000, koja je rješiva PC računalima s Pentium 4 procesorom.



194

Za primjere opisa ploha hidrostatskih svojstava rebara odabrana su ista rebra kao kod proračuna hidrostatskih

svojstava rebara, tj. polukružnica i testno rebro br. 2.

Kao osnovne metode analitičkog opisivanja geometrije se koriste metode interpolacije i aproksimacije. U

prethodnim poglavljima je pokazana prednost interpolacije nad aproksimacijom u dvodimenzijskoj brodskoj

proračunskoj geometriji, dok je ovdje potrebno razmotriti i trodimenzijska svojstva RBF opisa.

8.3.3.1. Opis ploha hidrostatskih svojstava rebara RBF interpolacijom

Kod opisivanja ploha s diskontinuitetima kao što je pantokarena pantoklina u općem slučajevima javlja se

problem loše uvjetovanosti matrice. Provjerom rezultata točnosti opisa panotkarene pantokline test rebra br. 2 s

diskontinuitetima, bulbom, ravnim bokom i prelukom, standardnim RBF u dodatku J, nije dobijeno povoljno

rješenje opisa, tj. nijedan interpolacijski postupak nije dao dobre rezultate.

Može se zaključiti da je potrebno naći drugu metodu opisivanja, a ovdje će se to učiniti metodama aproksimacije

uz korištenje standardnih RBF, te primjenom PRBF.

8.3.3.2. Opis ploha hidrostatskih svojstava rebara RBF aproksimacijom

Kao rješenje problema opisa pantokarene pantokline je umjesto interpolacije odabran postupak RBF

aproksimacije. Postupkom aproksimacije se na jednostavan način uklanja problem loše uvjetovanosti

interpolacijske matrice. U svrhu očuvanja visoke točnosti opisa, odabran je aproksimacijski postupak LOO (eng.

Leave-One-Out), [105], kod kojeg se u proračunu izostavlja samo jedna točka ulaznog skupa, tj. broj centara

razvoja je 1−= NM .

Provjerom rezultata proračuna test rebra br. 2 kao povoljna RB funkcija se pokazala MQRBF s β = 0,5.

8.3.3.3. Usporedba preciznosti proračuna interpolacije i aproksimacije

Iz gore dobijenih rezultata proračuna metoda interpolacije i aproksimacije se može vidjeti da je metoda

aproksimacije efikasnija u opisu pantokarene pantokline, pa će se usporediti preciznost RBF opisa

interpolacijom i aproksimacijom na primjeru Frankeove 2D funkcije u ovisnosti o broju točaka proračuna N ,

slika 67, primjenom MQRBF.

Sl. 67: Usporedba rezultata opisa Frankeove 2D funkcije MQRBF interpolacijom i aproksimacijom



195

Vidimo da za određeni broj točaka ulaznog skupa N , aproksimacija postaje efikasnija od interpolacije. Kod

opisa pantokarene pantokline je ovaj odnos još izraženiji prema manjem broju točaka opisa, gdje samo

aproksimacija daje opise s globalnom točnošću manjom od 10-1, pa je kod opisivanja hidrostatske plohe rebara

potrebno koristiti RBF aproksimaciju.

8.3.4. Primjer RBF opisa ploha hidrostatskih svojstava rebra

Nakon proračuna hidrostatskih svojstava rebra za sve odabrane kuteve nagiba, dobivaju se točke ϕϕ ,zx = i

XiVLiziyiFiFiRii IlMMzyAy ,,,,,,= kojima se definirati ploha hidrostatskih svojstava rebra.

Kao i u potpoglavlju 8.3.2, za primjer RBF opisa plohe hidrostatskih svojstava odabrano je test rebro br. 2. To je

rebro vrlo složene geometrije s diskontinuitetima, pa je zanjegovo točno opisivanje potrebno raditi sa što većim

brojem točaka opisa. Za primjer je odabran opis s rasponom kuteva [ ]°°= 90,0 ϕ i razmakom °=∆ 2ϕ . Slike

68 do 70 pokazuju plohe hidrostatskih svojstava površine ARi, težišta istisnine po širini rebra yBi, te težišta

istisnine po visini rebra zBi test rebra br. 2, a svi rezultati su grafički pokazani u Dodatku J.

Točnost opisa navedene plohe hidrostatskih svojstava test rebra br. 2 PRBF aproksimacijom LOO postupkom s

izborom izostavljene točke kod kuta 90° (N-15) je vrlo dobra, te za 01,0=c iznosi 210097,2RMSE −⋅= .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

0

100

200

300

400

500

600

700

zP (m), (°)

A (m

2 )

ϕ

Sl. 68: Opis pantokarene pantokline površine rebra A PRBF aproksimacijom:

a) ploha b) presjeci

Ova točnost je nešto niža od točnosti postignute kod opisa pravilnog presjeka polukružnice, gdje je radi glatkosti

presjeka primjenjena interpolacija, kako je to pokazano u Dodacima I i J, ali se kod njene upotrebe kod složenih

geometrijskih oblika s diskontinuitetima javlja problem s lošom uvjetovanošću matrice.



196

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

zP (m), (°)

y B (m)

ϕ

Sl. 69: Opis pantokarene pantokline težišta istisnine površine rebra yB PRBF aproksimacijom:


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

zP

(m), (°)

z B (m)

ϕ

Sl. 70: Opis pantokarene pantokline težišta istisnine površine rebra zB PRBF aproksimacijom:


(Radi bolje usporedbe glatkosti opisa, na slikama 68 do 70, gore, presjeci su normirani na jedinične vrijednosti.)

Lokalna točnost opisa pritom iznosi oko 4max 101Err −⋅= , osim kod opisa xI gdje je ona nešto niža i

iznosi 651,0Errmax = . Ako se izostavi područje opisa blizu kuta 90°, dobiva se zadovoljavajući opis XI .

8.3.5. Rezultat opisa ploha hidrostatskih svojstava

Kao rezultat proračuna ploha hidrostatskih svojstava rebra dobivaju se težinski koeficijenti w RBF opisa, koji

ovdje nisu vektori, već matrice dimenzija lN × , gdje je N - broj ulaznih točaka opisa, a l dimenzija izlaznog

skupa podataka. Izlazni skup podataka ovdje čine hidrostatska svojstva nekog rebra broda. Dakle, prema

analogiji s (198) pišemo:



197

RHiRHiRHi yHw ⋅= −1 (208)

U daljnjem proračunu se dakle koriste sljedeći podaci:

− proračunati težinski koeficijenti wRHi,

− točke centri razvoja RBF opisa xRHi pojedinog rebra, te

− zadani kutevi bočnog nagiba brodaϕ ,

te postavke odabrane RB funkcije. Ovdje je to PRBF s β = 0,5.

8.3.6. Provjera točnosti proračuna kod opisa pontona Kao što je ranije navedeno, provjera točnosti proračuna hidrostatskih svojstava rebra provjerit će se za test brod

br. 1, ponton pravokutnog presjeka. Test brod br. 1 je nepregrađeni ponton pravokutnog presjeka, preuzet iz

literature [21], gdje su za njega izračunata hidrostatska svojstva, tj. položaji težišta istisnine, te poprečnog

metacentra. Duljina pontona je postavljena na L = 1 (m), te je pretpostavljen kut trima jednak 0, tako da nije

potrebno vršiti integriranje po duljini broda. Za tako odabran pravokutni presjek je na taj način moguće analitički

odrediti krivulje panotkarena izoklina, te krivulje položaja metacentara, što je pogodan oblik za provjeru točnosti

PRBF proračuna hidrostatskih svojstava rebra.

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

← Max PRBF, β = 3.00, c = 1.420 , Preluk=0.0001 Funkcija za opis loma: PRBF, β = 1.00 Neskalirani podaci, N = 6, Ncrt = 503 - RMSE = 1.684e-009 - Maks. Pogr. - tocka = 3.637e-013(m) - Max. Pogr. - ravno = 2.382e-009(m)

y (m)

z (m

)

TEST BROD BR. 3, REBRO 60

Sl. 71: PRBF opis polovice pravokutnog presjeka test broda br. 1 – pontona, uz β = 1 i c = 1,42

Nakon PRBF opisa pravokutnog presjeka, dobijen je opis s točnošću RMSE = 1,684⋅10-9 i maksimalnom

pogreškom 2,382⋅10-9. PRBF integracijom opisa rebra određena je maksimalna površina polovice rebra od

1,654 (m2), što odgovara površini rebra pontona s B = 1,1 (m) i visinom H = 1,54 (m), slika 72.

Pripadno, izračunato težište istisnine po visini pomoću PRBF iznosi 0,77 (m).

Na slici 73 su dalje pokazani rezultati proračuna hidrostatskih svojstava osnovnog pravokutnog rebra pontona za

odabrane kuteve bočnog nagiba ϕ od 10° do 90°, prema načinu prikazivanja Bilesa [24], koji će se ovdje

proširiti sa opisivanja krivuljama težišta istisnine, na opisivanje težištima vodne linije, te položajima poprečnih

metacentara broda.



198

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°80°

90°

z P (m)

A (m2)

Test brod br. 1

Sl. 72: Površine osnovnog rebra pontona integracijom PRBF opisa

Sl. 73: Prikaz hidrostatskih svojstava pravokutnog presjeka uz PRBF opis, za kuteve od °= 10ϕ do °= 90ϕ ,

uz °=∆ 10ϕ

Konstrukcijom točaka hidrostatskih svojstava osnovnog rebra pontona određeni su podaci za izradu pripadnih

pantokarena izoklina pripadnih ploha, prikazanih na slici 74, te ostalih hidrostatskih svojstava prikazanih na slici

73.



199

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0°

10°

20°

30°40°

50°60°

70°80°

90°

Test brod br. 1

A (m2)

y B (m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

10°20°30°40°50°60°70°80°

90°

Test brod br. 1

A (m2)

z B (m)

Sl. 74: Krivulje položaja težišta istisnine – pantokarene izokline pravokutnog presjeka uz PRBF opis, za kuteve

od ϕ = 0° do ϕ = 90°, uz ∆ϕ = 2°

Na temelju svojstava višedimenzijskih PRBF s glavnim eksponentom funkcije β = 0,5 zatim je izvršen opis

pripadnih ploha hidrostatskih svojstava za kut trima ψ = 0, prema multivarijantnih postavkama iz potpoglavlja

8.1.3 i izrazima (197) i (198), prikazani na slikama 75 i 76. Kao rezultat RBF opisa dobivaju se težinski

koeficijenti wHi i HHi, prema izrazu (208), tj. izrazu za inverziju interpolacijske matrice.

Sl. 75: PRBF opis pantokarena pantoklina pontona za yB i zB, uz kut trima ψ = 0 i β = 0,5

Provjera točnosti proračuna se dalje provela usporedbom rezultata PRBF proračuna težišta istisnine rebra i

duljine vodne linije, s rezultatima trigonometrijskog proračuna svojstava test broda br. 1, pontona, iz literature

[21]. Proračun točaka pantokarena pantoklina je izveden za raspon kuteva bočnog nagiba ϕ od 0° do 90° s

razmakom od 2° i Nd = 13 dodatnih točaka bokova i dna broda, a zatim su za opis odabrane točke s razmakom

između točaka od 0,025 (m), te dobijene N = 1504 točke za opis. Usporedni rezultati su pokazani u tablici 25.



200

Sl. 76: PRBF opis Pantokarene pantokline pontona za dVL i kut trima ψ = 0 i β = 0,5

Tab. 25: Usporedni rezultati analitičkih proračuna hidrostatskih svojstava pontona za Nd = 13, maksimalni

raspon volumena, te razmak između točaka 0,025 (m)

yB (m) zB (m) dVL (m)

ϕ (°) RBF Trigonom. RBF Trigonom. RBF Trigonom.* Trigonom.**

0 6,52⋅10-7 0 0,54985 0,5500 2,20000 2,200 2,20000 10 0,06465 0,0646 0,55564 0,5557 2,23433 2,239 2,23394 20 0,13369 0,1334 0,57434 0,5743 2,35126 2,342 2,34119 30 0,19580 0,1960 0,60289 0,6025 2,11596 2,115 2,11447 40 0,23749 0,2374 0,63191 0,6318 1,98343 1,980 1,98286 50 0,27015 0,2701 0,66459 0,6645 1,98680 1,985 1,98286 60 0,29335 0,2934 0,69729 0,6975 1,77861 1,780 1,77824 70 0,30599 0,3060 0,72410 0,7243 1,63902 1,640 1,63883 80 0,31237 0,3123 0,74770 0,7479 1,56388 1,565 1,56376 90 0,31433 0,3143 0,76996 0,7700 1,54000 1,540 1,54000

* Duljine vodnih linija određene očitanjem s nacrta, iz [21].

** Točne vrijednosti duljina vodnih linija određene tringonometrijski.

Iz rezultata analitičkih, trigonometrijskih proračuna položaja težišta istisnine i duljine vodne linije pontona za

proizvoljni gaz, i njihovog direktnog proračuna pomoću multivarijatnog RBF opisa, vidi se da je točnost RBF

opisa reda veličine 10-4 kod opisivanja komponenti težišta istisnine, dok ona kod opisa plohe duljina vodnih

linija iznosi 10-2 radi izraženih diskontinuiteta koje ima ta ploha.

Može se zaključiti da je točnost RBF opisa težišta istisnine vrlo velika i zadovoljavajuća s obzirom na uobičajene

zahtjeve kod proračuna stabiliteta, gdje je zahtjevana točnost reda veličine 10-3 (m). Za poboljšanje točnosti

opisa dVL potrebno je koristiti veći broj dodanih točaka ravnog dijela boka pontona, te povećati broj točaka za



201

opis hiperplohe hidrostatskih svojstava, s obzirom da proračun momenata inercije broda ovisi o kubu dVL, te

može rezultirati većim pogreškama.

8.3.7. Povećanje točnosti RBF opisa redukcijom raspona opisa U svrhu povećanja točnosti opisa izvest će se redukcija područja opisa ukupnog skupa hidrostatskih svojstava

H sa maksimalnog raspona volumena na ograničeni raspon mogućih volumena L u kojima se može naći

brod od 0,3⋅Vmax do 0,9⋅Vmax, povećati broj dodanih točaka Nd na 27, te smanjiti raspon između točaka na

0,0005. Na taj način se dobiva N = 3109 točaka opisa pantokarena pantoklina pontona.

Tab. 26: Usporedni rezultati analitičkih proračuna hidrostatskih svojstava pontona za N = 3109 , dobijenih za

Nd = 27, raspon volumena od 0,3⋅Vmax do 0,9⋅Vmax, te razmak između točaka 0,0005 (m)

yB (m) zB (m) dVL (m)

ϕ (°) RBF Trigonom. RBF Trigonom. RBF Trigonom.* Trigonom.**

0 2,17⋅10-8 0 0,54985 0,5500 2,20000 2,200 2,20000 10 0,06467 0,0646 0,55568 0,5557 2,23416 2,239 2,23394 20 0,13348 0,1334 0,57425 0,5743 2,34154 2,342 2,34119 30 0,19578 0,1960 0,60291 0,6025 2,11459 2,115 2,11447 40 0,23749 0,2374 0,63192 0,6318 1,98297 1,980 1,98286 50 0,27013 0,2701 0,66457 0,6645 1,98298 1,985 1,98286 60 0,29336 0,2934 0,69725 0,6975 1,77841 1,780 1,77824 70 0,30599 0,3060 0,72409 0,7243 1,63887 1,640 1,63883 80 0,31236 0,3123 0,74769 0,7479 1,56376 1,565 1,56376 90 0,31433 0,3143 0,76996 0,7700 1,54000 1,540 1,54000

* Duljine vodnih linija određene očitanjem s nacrta, iz [21].

** Točne vrijednosti duljina vodnih linija određene tringonometrijski.

Vidi se da se je smanjenjem razmaka između točaka, te povećanjem njihovog broja redukcijom raspona opisa,

dobila točnost opisa dVL od 10-4 (m), u odnosu na prijašnju točnost od 10-2 (m) bez redukcije raspona opisa.

Općenito se može zaključiti da je potrebno izvršiti detaljan proračun točaka pantokarene pantokline s

povećanjem njihovog broja u području ravnih dijelova geometrije, a zatim odabrati razmak između točaka koji

će zadovojiti zahtjeve točnosti, minimalni dozvoljeni razmak između točaka, te proračunske mogućnosti

računala. Zatim je potrebno izvršiti redukciju raspona opisa gdje je to moguće, kao što je to slučaj s opisom

ukupnih hidrostatskih svojstava trupa broda GU. U slučaju unutarnjih prostora broda GV redukcija opisa nije

moguća, pa je potrebno pažljivo opisivati prostore s diskontinuitetima oblika.



202

8.4. KONSTRUKCIJA TOČAKA I OPIS HIDROSTATSKIH

SVOJSTAVA BRODA

8.4.1. Općenito Nakon određivanja ploha hidrostatskih svojstava rebara broda, može se konstruirati skup točaka za opis

hidrostatskih svojstava cijelog broda. Kako je to prije navedeno, kod metode rebara je sad potrebno sumirati

podatke dobijene presjekom ravnina vodnih linija zadanih kutevima nagiba ψϕ, i proračunskim

visinama Rz ,ϕ , što će se ovdje učiniti integracijom areala pojedinih svojstava po duljini broda. Tj., može se

pisati:

∫=2

1

x

xjj dxaI

gdje su: j - oznake hidrostatskih svojstava broda koje se opisuju.

Hidrostatska svojstva broda koja je potrebno izračunati je moguće podijeliti u:

− svojstva istisnine,

− svojstva vodne linije.

Tako postoji razlika u granicama integracije 1x i 2x integrala jS ovisno o tome da li se radi o svojstvima istisnine

broda ili svojstvima vodne linije. Kod vodne linije se integrira po njenoj duljini presjeka broda, od VLx ,1 do

VLx ,2 dok je integraciju svojstava volumena potrebno izvoditi po cijeloj duljini uronjenog dijela broda, odnosno

od ∇,1x do ∇,2x .

U hidrostatska svojstva istisnine svrstavamo:

− Volumen istisnine, ∇ ,

− Težište istisnine po duljini, Bx , koje dobivamo iz momenta volumena istisnine YM , oko osi y,

− Težište istisnine po širini, By , koje dobivamo sumiranjem momenta zM rebra, , po duljini, te

− Težište istisnine po visini, Bz , koje dobivamo sumiranjem momenta yM rebra, po duljini.

U hidrostatska svojstva vodne linije ubrajamo:

− Površinu vodne linije, VLA ,

− Težište vodne linije po duljini, VLx ,

− Težište vodne linije po širini, VLy ,

− Težište vodne linije po visini, VLz ,



203

− Poprečni moment inercije vodne linije, oko osi x , BI ili XI , kojeg dobivamo sumiranjem momenta

rebra xI , po duljini broda, te

− Poprečni moment inercije vodne linije, oko osi y , LI ili YI .

Kako se vrši postupak 2D integriranja, za opis se odabire PRB funkcija radi svoje točnosti opisa, neovisnosti o

parametru oblika c, te slaboj ovisnosti o položaju točke kojom se opisuje lom preluka broda.

8.4.2. Proračunska visina VL. Izbor koordinatnog sustava broda Kao kod određivanja ploha hidrostatskih svojstava rebra, i kod određivanja hiperplohe hidrostatskih svojstava

cijelog broda je potrebno računati s visinama vodnih linija koje omogućuju bijektivni RBF opis, u tu svrhu je

potrebno postaviti povoljni koordinatni sustav, kao što je to pokazano na slici 64. U slučaju globalne hiperplohe

broda potrebno je za svaki par kuteva nagiba ji ψϕ , naći minimalnu točku trupa broda, tj. vodnu liniju koja

tangira trup broda, te maksimalnu točku broda. Općenito, možemo pisati uvjete:

( ) 0,=

∂∂

xzxf

,( ) 0,

=∂

∂z

zxf (209)

Kako se ovdje koristi 2D metoda proračuna, u slučaju složene brodske geometrije je potrebno gusto, rebrima,

opisati krajeve broda. Tada se uvjeti (209) prevode u 2D uvjete, koji vrijede za proračun rebara broda nagnutih

za kutϕ , tj. tražimo rebro najmanjeg minimuma, zarotirano za zadani kut bočnog nagibaϕ , te najviši

maksimum.

Minimum: ( )

0=∂

∂zzfi ,

( )02

2

>∂

∂z

zfi , RNi ,,1K=

Maksimum: ( )

0=∂

∂zzfi ,

( )02

2

<∂

∂z

zf i , RNi ,,1K=

Nakon toga se desni, lokalni koordinatni sustav za kuteve ji ψϕ , svojom z osi postavlja u pravac normale na

ravninu kroz točku minimuma, kako je to objašnjeno u Dodatku H, te dobivamo koordinatni sustav

ϕψx - ϕψy - ϕψz .

8.4.3. Postupak proračuna

Zadanu formu broda je potrebno presjeći vodnim linijama k za zadane kuteve nagiba ji ψϕ , , ϕNi ,,1K= ,

ψNj ,,1K= , za sve visine broda ijkp zz ≡ , ( )jiNk p ,,,1K= , tako da se pokrije cijeli brod od najniže

točke do najviše točke za određeni nagib. Kao što je navedeno ranije, cijelu ljusku broda je potrebno presjecati

ravninama vodnih linija, te vršiti sumiranje po duljini broda po granicama integrala svojstava vodnih



204

linija VLkx ,1 i VLkx ,2 , te svojstava volumena kx ∇,1 i kx ∇,2 . Zatim se presjecanje nagnutim vodnim linijama nagiba

ji ψϕ , ponavlja dok se ne pokrije cijeli raspon zadanih kuteva nagiba. Broj vodnih linija pN kojima je

potrebno presjeći trup broda je promjenjiv i ovisi o pojedinom paru kuteva nagiba. Konačno se kao rezultat

dobiva skup točaka kojima se može opisati prostor hidrostatskih svojstava broda H.

Ovdje će se pokazati primjer izrade hiperplohe test broda u obliku polucilindra s lomom forme na prijelazu s

boka na palubu, kako je to pokazano u Dodatku A. 3).

8.4.4. Primjer proračuna hiperplohe hidrostatskih svojstava Kao test primjer proračuna hiperplohe hidrostatskih svojstava broda je odabran test brod br. 2 prikazan u

Dodatku A. 3), koji ima oblik polucilindra.

Sl. 77 pokazuje primjer postupka presjecanja trupa broda s ravninskim vodnim linijama k , te proračun svojstava

volumena i svojstava vodnih linija integracijom PRBF opisa rebara.

Sl. 77: Određivanje presjeka broda i ravninske vodne linije po rebrima, uz proračun hidrostatskih svojstava

Pritom je potrebno cijeli trup broda potpuno presjeći vodnim linijama za trenutno promatrane nagibe ji ψϕ , ,

kako to pokazuje slika 78.



205

Sl. 78: Presjecanje cijelog trupa broda vodnim linijama za nagibe ji ψϕ ,

Vidimo da je samo kod jednog presjeka trupa broda s ravninskom vodnom linijom potrebno izvršiti veliki broj

proračuna presjeka rebara i integracija po duljini, što je moguće izvesti na temelju PRBF opisa, radi

neosjetljivosti opisa na parametar oblika c funkcije, te položaj dodanih točaka blizu točke loma L. To jest,

moguće je postaviti udaljenost dodane točke Ld∆ na neku konstantu vrijednost i vršiti automatsku proceduru

proračuna bez obzira na postojanje loma forme broda. PRBF opis omogućava jednostavan i efikasan opis loma,

te pripadni proračun hidrostatskih svojstava presjeka.

Kao rezultat se dobiva skup točaka na temelju kojih se dalje mogu formirati ulazni, x , i izlazni, y , skupovi RBF

opisa, prema podjeli iz izraza (204). Kad se za ulazne varijable, osim kuteva nagiba ϕ iψ odabere volumen

istisnine ∇ , matričnim izborom kuteva nagiba se dobiva kvadar ulaznih varijabli, kao na slici 79.



206

Sl. 79: Ulazne varijable hiperplohe hidrostatskih svojstava, za 90 80,70,60,50,40,30,20,10,4=ϕ i 9 ,4 ,1 ,1,4,10 −−−=ψ

Sl. 80: Težišta istisnine test broda br. 1, za sve kuteve ψϕ,



207

Sl. 81: Težišta vodnih linija test broda br. 1, za sve kuteve ψϕ,

Potrebno je dodatno razmotriti oblik ploha težišta istisnine i težišta vodne linije s obzirom na njihovu

simetričnost u ovisnosti o kutevima nagiba, koja proistječe iz uzdužne simetričnosti odabranog test broda br. 1, u

obliku polucilindra. Vidimo da se za težišta isitisnine dobiva glatka simetrična ploha, koja u sredini duljine broda

ima slabo izražen lom za kut trima 0=ψ . Vrijedi zakonitost da se težište istisnine po duljini za 0<ψ nalazi u

području ( )[ ]2/, FAA xxxx +≡ , a za 0>ψ nalazi u području ( )[ ]FFA xxxx ,2/+≡ , tj. ne dolazi do

preklapanja težišta istisnine s obzirom na kut trimaψ . Isto vrijedi i za bočni kut nagiba ϕ.

Taj lom je međutim jako naglašen kod težišta vodne linije, tj. ne vrijedi grupiranje težišta u područja s obzirom

na kuteve nagiba. Štoviše, težište vodne linije uvijek se rasprostire duž cijelog broda, te to rasprostiranje ne ovisi

o kutevima nagiba. Zbog toga dolazi do preklapanja ploha, a ovdje se radi simetričnosti odabranog test broda,

dobiva simetrična raspodjela hiperplohe težišta vodnih linija. Iz ovog razloga nije moguće formirati jednu

jedinstvenu hiperplohu hidrostatskih svojstava za cijeli raspon odabranih kuteva trima s promjenjivim

predznakom, već je potrebno odvojiti hiperplohe pozitivnih, negativnih kuteva trima i kuta trima jednakog 0.

8.4.5. Zaključak o broju hiperploha opis hidrostatskih svojstava Na temelju dobijenih točaka prostora hidrostatskih svojstava se vidi da je radi diskontinuiteta hiperplohe težišta

vodnih linija VLX , potrebno formirati odvojene prostore hidrostatskih svojstava, za kuteve 0>ψ , 0=ψ i

0<ψ . Dok se težišta vodnih linija VLX za kuteve 0>ψ i 0<ψ protežu po cijeloj duljini broda, za 0=ψ se

nalaze u ravnini ( )( )0=− ψVLxzy . Zbog toga postoji potreba za zasebnim opisima, te zasebnim prostorima

hidrostatskih svojstava H .



208

Također, za bočni kut nagiba 0=ϕ dobivamo diskontinuitet težišta vodnih linija, te se težišta vodnih linija

nalaze u ravnini ( )( )0=− ϕVLxzx , pa bi i ovdje bilo potrebno konstruirati zasebne prostore.

Međutim, iako se u praksi uvijek nastoji postići „ravna kobilica“ odnosno brod bez nagiba, nekakav nagib uvijek

postoji ali je malih vrijednosti bliskih 0, dok kutevi jednaki 0 predstavljaju praktično neostvarive singularitete.

Stoga se može zaključiti da je dovoljno konstruirati prostore hidrostatskih svojstava za negativni i pozitivni trim,

s rasponom kuteva nagiba koji ne uključuje 0=ϕ , te bi tako za opis hidrostatskih svojstava bilo dovoljno

formirati 2 prostora hidrostatskih svojstava H , za 0>ψ i 0<ψ , uz kut bočnog nagiba bez kuta 0=ϕ kao:

0,0 === ψϕ\HH (210)

8.4.6. RBF opis ukupnih hidrostatskih svojstava broda Kao i kod opisivanja hiperplohe hidrostatskih svojstava rebara i ovdje će se iskoristiti multivarijantna svojstva

RBF. Kao rezultat proračuna hidrostatskih svojstava vanjskog trupa broda dobivaju se težinski koeficijenti w

RBF opisa, dimenzija lN × , gdje je N - broj ulaznih točaka opisa, a l dimenzija izlaznog skupa podataka.

Izlazni skup podataka ovdje čine hidrostatska svojstva vanjskog trupa broda. Dakle, prema analogiji s (198) i

(208) pišemo:

HHH yHw ⋅= −1 (211)

U daljnjem proračunu se dakle koriste sljedeći podaci:

− proračunati težinski koeficijenti wH,

− točke centri razvoja RBF opisa xH trupa broda,

− zadani pomaci broda ξ, te

postavke odabrane RB funkcije. Ovdje je to PRBF s β = 0,5.

8.5. KONSTRUKCIJA TOČAKA ZA OPIS HIDROSTATSKIH

SVOJSTAVA UNUTARNJIH PROSTORA BRODA

8.5.1. Općenito U poglavlju 1 je izrazom (9) pokazano da je za proračun stabiliteta osim hidrostatskih svojstava vanjske

geometrije broda GV, tj. trupa broda, potrebno poznavati i svojstva unutarnjih prostora broda Gui. Jedan od

značajnijih utjecaja na stabilitet proistječe od utjecaja momenta slobodnih površina prostora mSPi koji sadrže

rasute terete, te vanjskih i unutarnjih prostora u kojima se može nakupljati tekućina, kako je opisano u

potpoglavlju 1.3.2.3, te izrazom (9). Iz tog razloga Definicija 1 ove disertacije uključuje potrebu opisa i

proračuna hidrostatskih svojstava i unutarnjih prostora na brodu Gui.



209

Stoga je, kao i kod izrade opisa hidrostatskih svojstava vanjskih prostora broda H, potrebno opisati prostore

hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora Hi. Pritom, postoji značajna razlika između opsega opisa vanjskog

trupa broda, te opisa unutarnjih prostora, jer je kod opisa unutarnjih prostora potrebno uvijek opisati cijeli

prostor hidrostatskih svojstava, odnosno prostor položaja rasutog tereta unutar tanka. Dakle, može se zaključiti

da je kod unutarnjih prostora:

Li = Hi (212)

8.5.2. Relativni koordinatni sustav unutarnjih prostora broda

Kao i kod opisa vanjske geometrije broda, na sličan način kao na slici 64, određena je proračunska visina zpi

promatranog unutarnjeg prostora broda Gui za pojedine kuteve nagiba brodaϕ i ψ, s koordinatnim sustavima

postavljenim u najnižu točku prostora. Osim toga, koordinatni sustavi unutarnjih prostora su pomični za relativni

pomak dx promatranog prostora Gui, u odnosu na trup broda. Taj pomak je lako odrediti i on ovisi o položaju

ishodišta koordinatnog sustava unutarnjeg prostora Gui, zpi, koji kao i kod vanjske geometrije mijenja svoj

položaj s kutevima nagibaϕ i ψ.

8.5.3. Određivanje hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora s poprečnom simetrijom

Određivanje hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora s poprečnom simetrijom je istovjetno proračunu vanjske

geometrije broda, tj. potrebno je napraviti proračun pantokarena pantoklina rebara prostora, te zatim izvesti

konstrukciju prostora hidrostatskih svojstava unutarnjeg prostora. Zatim se dobijeni prostor opisuje RBF opisom,

te dobivaju težinski koeficijenti wui prostora, koji se dalje koriste za proračun.

8.5.4. Određivanje hidrostatskih svojstava poprečno asimetričnih unutarnjih prostora

8.5.4.1. Određivanje ploha hidrostatskih svojstava prostora

Određivanje hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora s poprečnom asimetrijom se od proračuna poprečno

simetričnih prostora razlikuje u rasponu kuteva bočnog nagiba ϕ, za koje je potrebno izvršiti proračun. Dok je

kod poprečno simetričnih prostora potreban raspon kuteva ϕ = 0° do 90°, kod poprečno asimetričnih prostora

taj raspon iznosi ϕ = -80° do 90°, tj. potrebno je pokriti cijeli raspon očekivanih kuteva.

Ovdje će se pokazati primjer proračuna hidrostatskih svojstava poprečno asimetričnog tanka test broda br. 1, s

uzdužnom pregradom tanka u centralnoj ravnini. Rezultati opisa pripadne jednoparametarske pantokarene

pantokline rebra četvrtine kružnice su pokazani u Dodatku K.



210

Sl. 82: Primjer proračuna hidrostatskih svojstava rebra asimetričnog tanka test broda br. 1

a) Kut nagiba ϕ = 40°, b) Kut nagiba ϕ = – 40°

Iz slike 82 vidi se da je duljina VL tanka veća kad je kut nagiba jednak 40°, tj. pripadni moment inercije vodne

linije oko uzdužne osi x. Zbog toga je veći i moment slobodne površine koji ima utjecaj na smanjenje poluge

početnog statičkog stabiliteta broda, kao što je pokazano jednadžbom (9). Vidimo dakle, da je moment slobodne

površine tekućine, odnosno rasutih tereta, veći kod nagibanja na stranu broda na kojoj se nalazi tank, pa se

proračun hidrostatskih svojstava asimetričnog tanka može reducirati samo na pozitivne kuteve nagiba ϕ.

Nakon određivanja potrebnih točaka, može se opisati odgovarajuća pantokarena pantoklina asimetričnog tanka

pomoću PRBF interpolacije s β = 0,5.

Sl. 83: Pantokarena pantoklina asimetričnog cilindričnog tanka u obliku četvrtine kružnice, a) yB, b) zB



211

8.5.4.2. Postupak proračuna točaka prostora hidrostatskih svojstava

Kao i kod cijelog trupa, promatrani prostor broda GUin je potrebno presjeći vodnim linijama k za zadane kuteve

nagiba ji ψϕ , , ϕNi ,,1K= , ψNj ,,1K= , za sve visine prostora, inijkinp zz ,, = ,

( )jiNk inpin ,,,1 ,K= . Zatim se vrši sumiranje po duljini prostora po granicama integrala svojstava vodnih

linija VLkx ,1 i VLkx ,2 , te svojstava volumena kx ∇,1 i kx ∇,2 . Kao rezultat dobiva se skup točaka kojima se može

opisati hiperploha hidrostatskih svojstava unutarnjeg prostora GUin.

8.5.5. Primjer rezultata proračuna hidrostatskih svojstava unutarnjeg prostora broda

Konačno, dobiva se ukupni prostor hidrostatskih svojstava unutarnjeg, asimetričnog tanka broda, čiji su svi

položaji težišta istisnine XB,in i vodne linije XVL,in prikazani na slikama 84 i 85.

Sl. 84: Težišta istisnine asimetričnog, cilindričnog unutarnjeg prostora broda u obliku četvrtine kružnice, za sve

kuteve ϕ, ψ (crvenom bojom su označene točke za ϕ = 90°, a zelenom bojom točke za ϕ = 0° )



212

Sl. 84 pokazuje položaje težišta istisnine za negativne kuteve trima ψ , a pozitivni dio vrijednosti kuteva trima je

ovdje izostavljen radi uzdužne simetrije, te smanjenja količine informacija na slici. Vrijednosti težišta istisnine

po širini imaju naravno raspon od 0 do maksimalne širine unutarnjeg prostora, te su radi bolje preglednosti

nacrtane odvojeno na suprotnim stranama od sredine koordinatnog sustava broda koji stoga za poprečnu os ima

koordinatu sign(ϕ)⋅yB.

Vidimo da se položaji XB,in za negativne i pozitivne kuteve bočnog nagibaϕ razlikuju, te se mogu razdvojiti u

odvojene plohe. Pritom je ploha s lijeve strane prikaza, ploha negativnih kuteva bočnog nagibaϕ , glatka, s

graničnim vrijednostima 0 i max(zB) po visini.

Sl. 85: Težišta vodnih linija asimetričnog, cilindričnog unutarnjeg prostora broda u obliku četvrtine kružnice, za

sve kuteve ϕ, ψ (crvenom bojom su označene točke za ϕ = 90°, a zelenom bojom točke za ϕ = 0° )

Kao i kod slike 84, slika 85 pokazuje položaje težišta vodnih linija za negativne kuteve trima ψ , a pozitivni dio

vrijednosti kuteva trima je ovdje izostavljen radi uzdužne simetrije, te smanjenja količine informacija na slici.



213

Također, vrijednosti težišta istisnine po širini imaju naravno raspon od 0 do maksimalne širine unutarnjeg

prostora, te su radi bolje preglednosti nacrtane odvojeno na suprotnim stranama od sredine koordinatnog sustava

broda koji stoga za poprečnu os ima koordinatu sign(ϕ)⋅yVL. Također, kao i težišta istisnine, težišta vodne linije se mogu razdvojiti u odvojene plohe za pozitivne i negativne

kuteve bočnog nagiba ϕ , s tim da se prostor može razdvojiti u negativne, pozitivne kuteve bočnog nagiba, te kut

bočnog nagiba jednak 0.

8.5.6. RBF opis hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora broda Kao i kod opisivanja hidrostatskih svojstava vanjskog trupa broda i ovdje će se iskoristiti multivarijantna

svojstva RBF. Kao rezultat proračuna hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora broda dobivaju se težinski

koeficijenti w RBF opisa, dimenzija lN × , gdje je N - broj ulaznih točaka opisa, a l dimenzija izlaznog skupa

podataka. Izlazni skup podataka ovdje čine hidrostatska svojstva unutarnjih prostora broda. Dakle, prema

analogiji s (198), (208) i (211) pišemo:

HiHiHi yHw ⋅= −1 (213)

U daljnjem proračunu se dakle koriste sljedeći podaci za opis hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora broda i:

− proračunati težinski koeficijenti wHi,

− točke centri razvoja RBF opisa xHi ,

− zadani pomaci broda ξ, te

postavke odabrane RB funkcije. Ovdje je to PRBF s β = 0,5.

8.5.7. Zaključak o opisivanju hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora broda

Zaključak o opisivanju hidrostatskih svojstava unutarnjih prostora broda je sličan zaključku o opisivanju cijelog

trupa broda, uz razliku u karakteru prostora hidrostatskih svojstava asimetričnih unutarnjih prostora broda. Na

temelju dobijenih točaka prostora hidrostatskih svojstava asimetričnog tanka se vidi da je kod poprečno

asimetričnih unutarnjih prostora, radi diskontinuiteta prostora težišta istisnine XB,in i težišta vodnih linija XVL,in,

potrebno formirati odvojene hiperplohe hidrostatskih svojstava, za kuteve, ψ > 0, ψ < 0 i ψ = 0, ali i za

kuteve bočnog nagiba ϕ > 0, ϕ < 0 i ϕ = 0.

Može se zaključiti da je za razliku od poprečno simetričnog trupa broda, odnosno poprečno simetričnih tankova,

kod asimetričnih unutarnjih prostora GUi potrebno dodatno razdvojiti prostor hidrostatskih svojstavaHina

nekoliko dijelova, po kvadrantima koordinatnog sustava prostora kojeg čineψ i ϕ kao:



214

0,0, ==

= ψϕ\HH U

kvkvii (214)

gdje su: 8,,1K=kv - kvadranti 3D koordinatnog sustava kojeg čine nagibi brodaψ i ϕ.

Broj unutarnjih prostora broda koji je potrebno opisati je jednak GUin, in = 1, ..., UN , te je kod poprečne

asimetrije potrebno formirati dUN 2⋅ prostora kvi,H , odnosno odgovarajući broj hiperploha opisa, gdje d

označava stupanj slobode gibanja broda. Opisivanje prostora hidrostatskih svojstava unutarnjih svojstava Hi

dakle može biti vrlo zahtjevan posao, koji se može smanjiti odabirom proračunski važnijih unutarnjih prostora.

Teorijski, detaljan opis svih prostora bi omogućio direktan proračun položaja hidrostatskih svojstava prostora na

broduHi, što bi uz poznavanje hidrostatskih svojstava trupa brodaH, omogućilo direktan proračun

stabiliteta broda, kako će biti pokazano u idućem poglavlju.

Kako je za proračun momenta slobodne površine mSPi interesantnije područje kuteva nagiba sa strane broda na

kojoj se nalazi promatrani prostor, za proračun početnog stabiliteta neoštećenog broda je dovoljno opisati samo

taj raspon kuteva bočnog nagibaϕ , dok je cjelokupni raspon kuteva nagiba potrebno opisati kod razmatranja

sveukupnih svojstava broda. Štoviše, prema izrazu (9), dovoljno je odrediti samo vrijednost pripadnog momenta

inercije slobodne površine tanka iSPin, kojeg je moguće odrediti iz pripadne n-parametarske pantokarene

pantokline, pa nije potrebno koristiti prostor hidrostatskih svojstava tanka.

Za proračun stabiliteta oštećenog broda, te stabiliteta velikih nagiba, potrebno je međutim imati podatke o svim

prostorima na brodu za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja, pa je u tu svrhu potrebno konstruirati pripadne

prostore hidrostatskih svojstava, te njihove opise.



215

9. ODREĐIVANJE PLOVNE VODNE LINIJE BRODA POMOĆU HIPERPLOHE HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA

9.1. OPĆENITO Određivanje plovne vodne linije jest jedan od glavnih zadataka proračuna brodske hidrostatike, kojim se

određuje raspodjela uzgonskih sila. Iz njihovog odnosa sa ukrcanim težinama se zatim proračunava trenutno

stanje krcanja broda. Kako je brod objekt sa 6 stupnjeva slobode gibanja i slobodno je uronjen u tekućinu, stanja

krcanja broda i njegovi pripadni položaji u odnosu na okolnu tekućinu određeni su samo ukupnom težinom

broda G, odnosno istisninom ∆ , težištem sustava broda GX , te nagibima broda pri djelovanju prekretnih

momenata. Određivanje položaja vodne linije broda je glavni zadatak brodske hidrostatike kako je to objašnjeno

u potpoglavlju 1.3.3, za koji će ovdje predložiti rješenje direktnim proračunom pomoću hiperplohe hidrostatskih

svojstava broda. Pritom, težina broda G predstavlja holonomsko ograničenje gibanja broda [106], koje

omogućuje izradu opisa trenutnih položaja broda N , hiperplohom hidrostatskih svojstava broda S .

Hipervolumen trenutnih položaja broda N za konstantnu težinu broda G, odnosno masenu istisninu ∆, sadrži

sve moguće trenutne položaje koje brod može imati za zadanu istisninu broda ∆, pa je trenutan položaj broda u

ravnoteži određen položajem gravitacijskog težišta težina broda GX . U ovom poglavlju će se pokazati da je

poznavanjem svojstava zadanog težinskog opterećenja GS broda, te opisa prostora svih mogućih položaja

broda P moguće rješiti problem određivanja plovne vodne linije VL direktnim uvrštavanjem težinskih

parametara GS .

Prema pretpostavci iz poglavlja 1, za određivanje geometrijskih položaja broda promatramo ravninske vodne

linije VL , pa su one direktno određene jednom točkom i dvama kutevima, tj. pripadnim težištem VLX i

kutevima nagibaϕ iψ . Dakle, umjesto direktnih jednadžbi VL , promatrat ćemo njihova svojstva, tj. težišta VL

kojima su vodne linije potpuno određene, te njihov opis hiperplohama hidrostatskih svojstava S .

9.2. HOLONOMSKO OGRANIČENJE GIBANJA BRODA Istisninski brod, koji plovi na površini tekućine, u gravitacijskom polju, ima holonomsko ograničenje gibanja

unutar Lagrangovog poopćenog koordinatnog sustava, koje se očituje u konstantnoj težini broda G. Prema

pretpostavci iz (4), brod promatramo statički, te se holonomsko ograničenje G predstavlja skleronomsko

ograničenje, bez utjecaja vremenske komponente na gibanje broda. Prema objašnjenju holonomskog ograničenja

nekog općeg koordinatnog sustava iz [106], ono predstavlja ograničenje gibanja koje ima neki objekt unutar



216

okoline u kojoj se giba. Kod površinskog, istisninskog broda to znači da je brod ograničen na gibanje na površini

tekućine, i da je prostor u kojem se on giba određen ukupnom težinom broda G, prema uvjetima plovnosti

navedenim u poglavlju 1. Štoviše, gibanje se u slučaju 3 stupnja slobode gibanja iξ , 5,4,3=i odvija na plohi 2-

parametarske pantokarene pantokline ( ) BXH za kuteve nagibaϕ iψ , koju određuje konstantna težina broda

G, kako će to biti pokazano u potpoglavlju 9.4.

Skleronomsko ograničenje gibanja nam, dalje, uz poznavanje RBF opisa S, svih mogućih događaja broda P ,

omogućuje izradu hiperplohe hidrostatskih svojstva broda S , direktnim presjecanjem opisa S, uz pretpostavku

lokalno glatke plohe S .

9.3. PROBLEM PRORAČUNA PLOVNE VL

9.3.1. Općenito Kako je navedeno u potpoglavlju 1.3.3, osnovni problem u proračunu hidrostatskih svojstava broda jest

određivanje plovne vodne linije VL . Problem gibanja broda sa 6 stupnjeva slobode se za potrebe određivanja

hiperplohe hidrostatskih svojstava reducira na 3 stupnja slobode gibanja: okretanja po osi x i y , te pomak po

osi z , odnosno iξ , 5,4,3=i ; tj. uron/izron broda, bočno nagibanje, i uzdužno nagibanje. Ostala gibanja se

ovdje zanemaruju, jer je pretpostavljena ravninska VL .

U potpoglavlju 1.3.3 je tako jednadžbom (13) postavljen funkcijski problem određivanja plovne ( )zyxVL ,,

kao 3D geometrijski problem presjeka brodske geometrije s ravninskom vodnom linijom. Međutim, položaji

VL ovise o gore definiranim stupnjevima slobode gibanja, tj. o pz ,ϕ iψ , tj. ( )ψϕ,,pzxx = ,

( )ψϕ,,pzyy = i ( )ψϕ,,pzzz = . Ovdje će se stoga taj problem redefinirati izrazom:

( ) ( ) ( )ψϕψϕψϕ ,,,,,, ppp zPzFzVL −= (215)

gdje su: ϕψzz p = – proračunska visina ravninske vodne linije u odnosu na minimalnu točku, za pojedino rebro,

ϕ – proračunski kutevi bočnog nagiba broda,

ψ – proračunski kutevi uzdužnog nagiba broda.

Za neki odabrani volumen istisnine ∇ položajiVL ovise o kutevima nagiba ϕ iψ . Dakle, osim jednadžbe

trenutnog položajaVL moguće je formirati i prostor položajaVL , koji ovisi o kutevima nagiba. Za proračun je

međutim prikladno umjesto krivuljaVL raditi s svojstvimaVL , koji se opisuju površinom VLA i položajima

težišta vodne linije VLX . Vidjeli smo u poglavlju 8 da je položaj ravninske vodne linije potpuno određen



217

njegovim težištem VLX i kutevima nagiba ϕ iψ , pa će se za proračun položaja plovne vodne linije koristiti

potprostor plohe hidrostatskih svojstava koji sadrži težišta vodne linije ( ) VLXH . U tu svrhu je najprije

potrebno odrediti tj. prostor trenutno mogućih položaja broda N , odnosno hiperplohu hidrostatskih

svojstava S , koja je određena težinom broda G.

9.3.2. Određivanje hiperplohe hidrostatskih svojstava broda

U svrhu određivanja hidrostatskih svojstava broda za neko stanje krcanja potrebno je odrediti plohu trenutnih

položaja broda N . To je moguće učiniti uvrštavanjem skleronomske konstante težine broda G u RBF izraz S

za opis ukupnih hidrostatskih svojstava broda H . Kako je varijabla opisa prostora H volumen istisnine ∇ ,

tražimo odgovarajući volumen istisnine za zadanu težinu broda G kao gG /=∇ .

( )

== ψϕψϕ ,.,,,,, konst

gGSzyxVL (216)

gdje je: g - gravitacijsko ubrzanje, (m/s2).

Odnosno, možemo pisati:

( ) ( )ψϕψϕ ,.,,,,, konstSzyxVL =∇= (217)

Dakle, kao rezultat presjeka RBF opisa hidrostatskih svojstava H dobivamo skup trenutno mogućih događaja

D , čiji multivarijatni RBF opis čini hiperplohu hidrostatskih svojstava S .

Ako se VL opisuje pripadnim svojstvima možemo pisati izraz (211) kao:

( ) ( ) ( )ψϕψϕψϕ ,,.,,,X SkonstSVL VL ==∇= (218)

U poglavlju 8, na slici 75 se vidi da je hiperploha ( ) VLS X sastavljena od nekoliko ploha, te da ima

singularitete za kuteve nagiba jednake 0, pa je potrebno odrediti presjeke pojedinačnih hiperploha i povezati ih u

cjelinu. Međutim, lokalno pretpostavljamo da su dobijene hiperplohe glatke i toploški lučno povezane, [107].

Poznavanjem jednadžbe hiperplohe hidrostatskih svojstava S , koja opisuje prostor trenutnih položaja

broda N , može se dalje direktnim uvrštavanjem položaja gravitacijskog težišta težina broda GX , odrediti sva

hidrostatska svojstva koja brod ima za zadano težinsko opterećenje GS broda, što će biti pokazano dalje u tekstu.



218

9.3.3. Prikaz hiperplohe hidrostatskih svojstava

Hiperploha hidrostatskih svojstava S je dakle RBF opis prostora trenutno mogućih položaja broda N , te

predstavlja presjek RBF opisa hidrostatskih svojstava broda H konstantnim volumenom istisnine ∇ . Stoga se

ona može prikazati plohama presjeka ukupnog prostora položaja P , te prostora hidrostatskih svojstava H , u

obliku pripadnih potprostora, a ovdje će se pokazati potprostori ( ) BXH i ( ) VLXH broda u obliku cilindra koji

ima oblik polukružnice, na slikama 86 i 87.

Sl. 86: Presjek potprostora ( ) BXH hidrostatskih svojstava broda u obliku polukružnog cilindra, konstantnim

volumenom istisnine



219

Sl. 87: Presjek potprostora ( ) VLXH hidrostatskih svojstava broda u obliku polukružnog cilindra, konstantnim

volumenom istisnine

Za proračun je dalje značajna ploha ( ) BXH koja opisuje prostor svih trenutno mogućih položaja N broda, za

istisninu broda ∇ određenu konstantnom težinom broda G , i u koju je moguće ucrtati težište težina broda GX ,

tj. njene komponente Gx i Gy , kako će biti pokazano u idućem potpoglavlju.



220

9.4. RJEŠENJE PROBLEMA PRORAČUNA PLOVNE VL

Problem određivanja plovne vodne linije VL ujedno predstavlja i problem određivanja hidrostatskih svojstava

broda, kojim se određuje položaj broda B u okolini O , na temelju kojeg se vrše svi ostali proračuni teorije

broda. Proračun VL se općenito može podijeliti u 2 dijela:

1. određivanje početnog stanja broda u ravnoteži,

2. nagnutog stanja broda za neke kuteveϕ iψ .

Današnje metode proračuna plovne linije i stabiliteta broda su uglavnom numeričke, tj. sekvencijalne i

iteracijske, te ne omogućuju direktan proračun hidrostatskih svojstava broda, uz otežan proračun za velike

kuteve nagiba broda ili velike promjene istisnine broda.

Multivarijatnim RBF opisom prostora S svih položaja broda P koji je dio cjelokupnog prostora hidrostatskih

svojstava H , omogućuje se direktan proračun trenutnih hidrostatskih svojstava za bilo koju istisninu broda, te

kuteve nagiba ϕ i ψ , presjecanjem prostora P skleronomskim ograničenjem G , te direktnim uvrštavanjem

položaja težišta težina broda Gx i Gy u izraz za hiperplohu hidrostatskih svojstava S .

Dakle, nakon što se konstruira prostor hidrostatskih svojstava H , te se opiše funkcijski pomoću RBF kao S ,

možemo konačno odrediti rješenje proračuna plovne vodne linije VL u funkcijskoj ovisnosti koordinata težišta

istisnine Bx i By , pomoću skleronomskog svojstva težine istisnine G kod gibanja površinskih, istisninskih

brodova.

9.4.1. Podjela varijabli multivarijatnog RBF opisa

Podjela varijabli u skupove iz (204) nije pogodna za direktni proračun plovne vodne linije VL . Osnovne

veličina kojima je definirano stanje broda su skleronomska konstanta volumena istisnine, prema 1. uvjetu

plovnosti, te se za nju može odrediti prostor trenutnih događaja broda N .

Podjela varijabli stoga mora biti sljedeća:

ijklijkPijkKyxVLVLVLVLBp dggIIzyxAzz ,,,,,,,,,,,, ,,ψϕ=y

( )BB yxF ,,∇=x (219)

Kao rezultat proračuna dobivamo ostala potrebna hidrostatska svojstva u ovisnosti o položaju težišta istisnine

broda Bx i By .

Dobivamo multivarijatni problem opisivanja, koji se rješava višedimenzijskim RBF opisom, primjenom metoda

aproksimacije.



221

9.4.2. Određivanje hidrostatskih svojstava broda u ravnoteži

Za određivanje trenutne vodne linije VL , potrebno je narinuti dodatne uvjete koji za svako stanje krcanja

proizlaze iz položaja gravitacijskog težišta težina broda GX . Rješenje položaja VL broda u ravnoteži dobivamo

uvrštavanjem vrijednosti GX u hiperplohu pantokarene pantokline ( )BS X , tj. plohu težišta vodnih linija BX .

To jest uvrštavamo koordinate težišta x i y , koje prema 2. zakonu plovnosti moraju biti jednake u ravnoteži.

Vrijede relacije:

GB xx = , GB yy = (220)

Iz skleronomskog ograničenja težine broda G vrijedi:

( ) ( ) 0,,X == BBBB zyxSS (221)

Pisano u eksplicitnom obliku, kao rješenje dobivamo:

( )BBB yxSz ,= (222)

Na ovaj način se na plohi težišta vodnih linija BX dobiva točka koja određuje prostor hidrostatskih

svojstava H . Direktnim uvrštavanjem koordinata težišta istisnine dobivamo točku težišta VL na plohi VLX , te

ostala hidrostatska svojstva trenutnog stanja krcanja broda, kao:

( )BByxVLVLVLVLVLB yxSIIAzyxAz ,),,,,,,,,, =ψϕ (223)

Dakle, rješenje problema proračuna vodne linije se prema jednadžbi dobiva direktnim uvrštavanjem težinskih

parametara stanja krcanja broda W : ukupne težine broda G i gravitacijskog težišta težina broda GX , u

prostor hidrostatskih svojstava H .

Točka ravnoteže koja se dobiva predstavlja trenutni položaj broda s pripadnim hidrostatskim svojstvima broda.

9.4.3. Određivanje hidrostatskih svojstava nagnutog broda Za potrebe proračuna stabiliteta je još potrebno odrediti krivulju promjene težišta plovne vodne linije

( )ψϕ,X B . Za istisninske brodove se mogu odrediti 3 proračunske situacije vezano za određivanje trenutne

vodne linije. Dvije proračunske situacije su vezane za proračun statičkog stabiliteta, a jedna je proračun

dinamike broda pod djelovanjem vanjskih sila. U ovoj disertaciji je naglasak stavljen na statički stabilitet, pa se

ova dinamika gibanja ovdje neće detaljno razmatrati, već će se naglasiti da prostor mogućih događaja N sadrži

sve trenutno moguće plovne vodne linije za istisninske brodove. Dvije situacije koje će se razmatrati su vezane

za statički stabilitet i predstavljaju proračun stabiliteta za brod bez pokretnih tereta i proračun stabiliteta s



222

pokretnim teretima. Većina brodova danas ima tankove, te stoga na njima kod nagibanja dolazi do promjene

položaja težišta težina broda GX .

Gravitacijsko težište težina broda nam je također poznato i dobiva se centracijom broda. Za brod u ravnoteži

se GX ne mijenja i ostaje konstantno. Međutim, za nagnuti brod s rasutim teretima, u koje ubrajamo i tekućine,

dolazi do pomaka ukupnog težišta težina sustava promjenom nagiba broda, uslijed pomaka rasutih tereta.

9.4.3.1. Krivulja težišta istisnine broda s konstantnim trimom

U slučaju kad su sve težine na brodu nepomične ne dolazi do promjene gravitacijskog težišta težina broda GX .

Težište istisnine za kuteve nagiba trimaψ se ne mijenja i ostaje konstantno u fiksnom brodskom koordinatnom

sustavu x - y - z , te promatramo slučaj takozvanog „fiksnog trima“ prema [108].

Dakle, pretpostavlja se sljedeća ovisnost:

( )BG ykonstxkonstf .,., === ψϕ (224)

Kao rezultat ove pretpostavke krivulja promjene težišta istisnine ovisi samo o kutu bočnog nagiba ( )ϕBX , te

predstavlja presjek 2-parametarske pantokarene panotkline s .konst=ψ , tj. 2D krivulju.

Općenito, ova situacija je moguća kod brodova koji su i uzdužno i poprečno simetrični, imaju simetrično ukrcan

rasuti teret i uzdužno i poprečno, te imaju ravnu kobilicu. Ovaj slučaj se može nazvati teorijski, jer ravna

kobilica predstavlja singularni slučaj, kako smo to vidjeli u poglavlju 8, gdje je pokazano postojanje

diskontinuiteta plohe težišta vodne linije za oba nagiba brodaϕ iψ . U svim drugim slučajevima postoji utjecaj

bočnog nagibaϕ na kut trimaψ , pa ne vrijedi relacija (219), gore. Ipak, kod stabiliteta neoštećenog broda se

često proračun radi za fiksni trim, radi pretpostavljene male promjene trima broda.

9.4.3.2. Krivulja težišta istisnine broda bez pomaka težine na brodu

Kao i u prethodnom slučaju i ovdje ne dolazi do promjene gravitacijskog težišta težina broda GX . Za razliku od

gornje pretpostavke, ovdje trim nije konstantnan .konst≠ψ , a promjena težišta istisnine BX predstavlja

krivulju koja ovisi o kutevima nagibaϕ iψ , te se nalazi na plohi 2-parametarske pantokarene panotkline. Imamo

slučaj takozvanog „slobodnog trima“, [108], gdje je u skup ulaznih varijabli potrebno uključiti i kut bočnog

nagibaϕ , čije vrijednosti pretpostavljamo u nekom odabranom rasponu od 0 do ( )ϕmax .

ijklijkPijkKyxVLVLVLVLBp dggIIzyxAzz ,,,,,,,,,,, ,,ψ=y

( ) ( )( )ϕϕϕ ,,, BB yxF ∇=x (225)

U ovom proračunu, položaji težišta istisnine xB i yB više nisu konstantni s promjenom kuta nagiba, već se

mijenjaju uslijed promjene težišta težina xBin i yBin unutarnjih prostora s rasutim teretima.



223

Većina današnjih brodova ima neki tank s tekućinom, u kojoj se, kad je tank djelomično pun, mijenja položaj

vodne linije u tanku. Na taj način se mijenja i položaj težišta svih težina na brodu, te dolazi do utjecaja momenta

slobodne površine tanka. Na sličan način na položaj težišta sustava i stabilitet utječe i djelomično nakrcan rasuti

teret u skladištima brodova za prijevoz rasutog tereta. Zbog toga je potrebno u proračun stabiliteta uključiti i

prostore s ukrcanim rasutim teretima, kao što je to opisano u poglavlju 1, te potpoglavlju 8.5.

Dakle, osim opisa vanjske geometrije broda VG i pripadnog prostora hidrostatskih svojstava potrebno je opisati i

sve unutarnje prostore UinG koji sudjeluju u proračunu stabiliteta. Teorijsko razmatranje utjecaja slobodne

površine određuje dodatni prekretni moment, koji utječe na smanjenje metacentarske visine, kako je navedeno u

izrazu (9).

Iz proračuna se kao rezultat dobiva 3D krivulja položaja težišta istisnine BX .

9.5. PRIMJER PRORAČUNA HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA

BRODA

9.5.1. Podmornica Kao drugi test primjer proračuna broda odabrana je podmornica, prikazana na slici 88, [111].

Sl. 88: Nacrt test-broda br. 2, podmornice

Promatrana podmornica ima nekoliko uzgonskih volumena, koji je potrebno opisati odvojeno, a zatim povezati u

zajednički, glavni koordinatni sustav broda. Općenito, uzgonski volumeni koje je potrebno opisati su:

− krmeni balastni tank,

− pramčani balastni tank,

− unutarnji balastni tank,

− unutarnji trup, te

− toranj podmornice.

Ovdje je za primjer proračuna odabran unutarnji trup podmornice, koji je sastavljen od pravilnih geometrijskih

tijela.



224

9.5.1.1. Proračun hidrostatskih svojstava presjeka unutarnjeg trupa

Unutarnji trup promatrane podmornice se sastoji od cilindričnih, stožastih i toru-sferičnih dijelova, koji svi imaju

kružni, poprečni, vertikalni presjek. S obzirom da RB funkcije imaju svojstvo skalabilnosti, moguće je izvesti

proračun samo jednog kružnog presjeka, a zatim skalirati rezultate proračuna hidrostatkih svojstava presjeka na

željene dimenzije. Iz tog razloga će se pripadni proračun hidrostatskih svojstava pojedinih rebara unutarnjeg

trupa, u 2D postupku proračuna, svesti na proračun samo jednog kružnog presjeka, koji će ovdje biti napravljen

za neki proizvoljno odabrani radijus od R = 2,5 (m).

OPIS OSNOVNOG PRESJEKA UNUTARNJEG TRUPA

Najprije je potrebno izvršiti opis osnovnog presjeka unutarnjeg trupa podmornice u obliku kružnice, što će se

učiniti interpolacijom kubno-linearnom PRBF uz gusti opis krajeva, kako je to opisano u poglavlju 5 ove

disertacije. S obzirom na poprečnu simetriju presjeka kružnice, opisat će se samo jedna polovica presjeka, kako

je to pokazano na slici 89, ispod.

0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

← Max

PRBF, β = 3,0, γ = 1,0, c = 3,43 Neskalirano, N = 34, Ncrt = 3301 - RMSE = 1,343⋅10-6 - Max. Point Error = 9,052⋅10-7 (m) - Max. Error = 9.669⋅10-7 (m)

y (m)

z (m

)

Sl. 89: Opis pola kružnice osnovnog rebra s R = 2,5 (m), unutarnjeg trupa podmornice, kubno-linearnom PRBF s

gustim opisom rubova

Ulazni skup podataka za opis kružnice se sastoji od poluširina y i visina z zadanih vektorima dimenzije N = 34

kao:

z = 0;0,0025;0,010;0,025;0,04083;0,050;0,075;0,1;0,25;0,5;1;1,25;1,5;1,75;2; 2,25;2,4;2,5;2,6;2,75;3;3,25;3,5;3,75;4;4,25;4,5;4,75;4,9;4,925;4,99; 4,9975;5

y = 0;0,11178;0,22338;0,35299;0,45;0,4974937;0,607762;0,7;1,08972474;1,5; 1,78535711;2;2,16506351;2,29128785;2,384848;2,44948974;2,48746859; 2,4979992;2,5;2,4979992;2,48746859;2,44948974;2,384848;2,29128785; 2,16506351;2;1,78535711;1,5;1,08972474;0,7;0,607762;0,22338;0,11178;0



225

Postignuta je zadovoljavajuća točnost opisa kubno-polinomskom PRBF od RMSE = 1,343⋅10-6, koja omogućuje

daljnje proračune integracije hidrostatskih svojstava rebra. Točna površina kružnice radijusa R = 2,5 (m) je

19,63495 (m2), dok je integracijom PRBF dobiveno 19,63186 (m2), što je dobar rezultat, s odstupanjem od

3,09⋅10-3 (m2) od točne vrijednosti.

Kao rezultat proračuna se dobiva matrica težinskih koeficijenata wRO dimenzije ulaznih vektora y ili z, tj. Nx1,

te interpolacijska matrica HRO, N x N, prema osnovnim matričnim izrazima za RBF interpolaciju (49), te

inverziju interpolacijske matrice (53), koje koristimo dalje u proračunu pantokarene izokline osnovnog rebra, te

proračunu točaka prostora hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa podmornice.

Raspon kuteva bočnog nagiba za koji su izvršeni proračuni hidrostatskih svojstava je pritom jednak: 0°- 90°.

PRIKAZ PRORAČUNATIH HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA KRUŽNOG

PRESJEKA PO KUTEVIMA NAGIBA

Sl. 90: Prikaz hidrostatskih svojstava kružnice s R = 2,5 (m), uz PRBF opis, za kuteve od °= 10ϕ do

°= 90ϕ , uz °=∆ 10ϕ



226

Iz geometrije kružnice nam je poznato da težišta istisnine i težišta vodne linije kod presjeka u obliku cijele

kružnice leže točno na pravcu koji prolazi kroz središte kružnice, što nam pokazuju i rezultati proračuna sa slike

Sl. 90, gore. Isto vrijedi i za položaj metacentra presjeka. Također, kod maksimalnog volumena, težište istisnine

i točka metacentra se nalaze u središtu kružnice, dok se težište vodne linije nalazi na presjecištu pravca kroz

središte kružnice i kružnice same. Može se zaključiti da je ostvarena velika točnost proračuna, a na slikama 92 i

93, ispod, bit će pokazani rezultati RBF proračuna pripadnih pantokarena izooklina hidrostatskih svojstava.

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

A (m2)

z P (m)

0 10 20 30 40 50

0

1

2

3

4

5

6

My (m3)

z P (m)

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

Mz (m3)

z P (m)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

dVL (m)

z P (m)

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

zP

(m)

y B (m)

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

zP

(m)

z B (m)

Sl. 91: Proračun hidrostatskih svojstava kružnice PRBF opisom, °÷°= 900ϕ °=∆ 10ϕ



227

PRIKAZ REZULTATA RBF OPISA PANTOKARENA PANTOKLINA KRUŽNICE

Sl. 92: Prikaz hidrostatskih PRBF opisa hidrostatskih svojstava kružnice, A, yB i zB

Presjecanjem krivulje rebra ravninskim vodnim linijama po visini presjeka za zadani raspon kuteva od 0 do 90°

dobivene su N = 663 točke kojima je zadan problem opisivanja panotkarena pantokline osnovnog rebra RO.

Kao i u prethodnim opisima ploha ponovno je korištena PRBF s β = 0,5, te γ = 2, uz c = 0. Proračunom se

dobivaju matrica težinskih koeficijenata wRHO dimenzija N x k, te interpolacijska matrica HRHO dimenzija N x

N prema postavkama za višedimenzijske RBF iz poglavlja 3.7, odnosno jednadžbi za inverziju interpolacijske

matrice, (53), koje se dalje koriste u proračunu prostora hidrostatskih svjostava unutarnjeg trupa podmornice.

Dimenzija k multivarijantne RBF pritom je određena brojem brojem hidrostatskih svojstava koji se opisuje

pomoću PRBF.

Iz slika 92 i 93 vidi se da su pripadne jedno-parametarske pantokarene pantokline, pojedinih hidrostatskih

svojstava kružnice, glatke, uz ostvarenu veliku točnost opisa PRBF interpolacijom od RMSE = 1,764⋅10-5.



228

Sl. 93: Prikaz hidrostatskih PRBF opisa hidrostatskih svojstava kružnice, yVL, zVL i dVL

Ostvarene lokalne točnosti opisa po pojedinoj plohi su pokazane u tablici 27.

Tab. 27: Lokalne točnosti opisa pantokarena pantoklina osnovnog rebra PRBF interpolacijom

A yB zB yVL zVL dVL RMSE 7,194⋅10-6 1,205⋅10-6 4,326⋅10-6 1,779⋅10-6 1,113⋅10-6 3,290⋅10-6

Nešto veće odstupanje od točnih rezultata se može uočiti na maksimalnim vrijednostima duljina vodnih linija

između proračunskih kuteva bočnog nagiba, na slici 93, pa je za veću točnost u tom dijelu opisa potrebno dodati

proračunske točke bočnih nagiba blizu maksimalne visine presjeka.

9.5.1.2. Određivanje ukupnih hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa

Kao što je navedeno u prethodnim poglavljima, proračun ukupnih hidrostatkih svojstava broda se vrši

integriranjem izračunatih svojstava poprečnih presjeka broda po duljini. Promatranu geometriju je potrebno

presjecati ravninskim vodnim linijama u cijelom rasponu projektnih visina zP, kojima se prekriva cijeli

promatrani volumen, za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja, što će se ovdje učiniti za kuteve bočnog nagiba

ϕ od 0°- 90°, te kuteve uzdužnog nagiba ψ, koji pokrivaju odabranu geometriju broda. Kako unutarnji trup



229

broda ima diskontinuitete u prelazima s pojedinih dijelova trupa na drugi, te se sastoji od stožastih dijelova, za

kuteve uzdužnog nagiba su odabrani kutevi koji se poklapaju s nagibima izvodnica stošca za bočni nagib jednak

0°, tj:

ψ = -25 -19.11973 -13.981204 -12.200469 -11.9829139 -8 -5.7105931 -4.5739212 -3 -1 -0.4 0 0.4 1 3 5.71059314 6.75053946 9.09027692 10 11.9829139 12.200469 15 20 25 30

OPIS UNUTARNJEG TRUPA

Dimenzije unutarnjeg trupa su određene prema [], te su formirane datoteke s N = 37 i N = 61 presjeka:

− Osnovni presjeci broda x:

x =[4.7,4.95,5.2,5.43,5.939,5.94,5.941,7.165,8.389,8.39,8.391,9.64,10.889, 10.89,10.891,12.5,14,15.9,17.839,17.84,17.841,19.09,20.339,20.34,20.341, 21.565,22.79,23.29,23.79,24.289,24.29,24.54,24.79]

− Pripadni radijusi R, na promatranim presjecima x:

R =2*[0,0.809077,1.07,1.126,1.22978378,1.23,1.230312,1.49,1.749788,1.75,1.7501, 1.875,1.9999,2,2,2,2,2,2,2,1.99996,1.95,1.90004,1.9,1.685,1.4701755,1.47, 1.34,1.21,1.070267,1.07,0.809077,0]

− Odgovarajuće visine dna Hd na promatranim presjecima x su:

Hd =[2,1.190923,0.93,0.874,0.770216216,0.77,0.769788,0.51,0.250212,0.25, 0.2499,0.125,0.0001,0,0,0,0,0,0,0,0.00008,0.1,0.19992,0.2,0.200249,0.505, 0.81,.98835,1.1567,1.329653,1.33,1.590923,2.4]

PRORAČUN PRESJEKA UNUTARNJEG TRUPA S RAVNINSKOM VL

Za proračun presjeka se koristi dobiveni kubno-polinomski PRBF opis osnovne polukružnice određen vektorom

težinskih koeficijenata wRO, te pripadnom interpolacijskom matricom HRO. Svi proračuni se vrše za lokalne

koordinatne sustave, određene za pojedini promatrani par kuteva ϕ i ψ, čije se ishodište nalazi u točci

minimalnog gaza broda, tj. za ordinatu globalnog, zakrenutog koordinatnog sustava. Tj., svakoj vodnoj liniji se

pridružuje odgovarajuća vrijednost proračunske visine zP, te vrijednosti pripadnih kuteva nagiba. Kod proračuna

pojedinog rebra vrši se skaliranje presjeka omjerom radijusa promatranog i osnovnog presjeka, te dobiva

dimenzijski koeficijent sličnosti λi = RO/Ri, a zatim vrši proračun presjeka i dobivaju točke presjeka

TP(x, y, z),.

PRORAČUN HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA

Pripadni proračun ukupnih hidrostatskih svojstava za pojedinu ravninsku vodnu liniju se vrši integriranjem

hidrostatskih svojstava po presjecima trupa po duljini trupa, korištenjem unaprijed izračunatih pantokarena

pantoklina rebara, odnosno u slučaju unutarnjeg trupa podmornice, na temelju pantokarena pantoklina osnovnog

rebra RO određenih matricama težinskih koeficijenata wRHO i interpolacijskom matricom HRHO. Zatim se za

pojedino rebro Ri za izračunati dimenzijski koeficijent λi određuju pojedina hidrostatska svojstva.



230

Sl. 94, dolje, prikazuje rezultate proračuna presjeka unutarnjeg trupa podmornice s ravninskim vodnim linijama

za kuteve uzdužnog nagiba ψ jednake 12,2°, te 0,4°, uz ϕ = 0°.

Sl. 94: Presjeci unutarnjeg trupa podmornice sa izračunatim položajima težišta istisnine i vodnih linija za ϕ = 0°

te kuteve ψ = -25°, 0,4° (N = 37) i12,2° (N = 61).

Kao što je navedeno prije u tekstu, proračun se vrši integriranjem proračunatih hidrostatskih svojstava po duljini

prostora unutarnjeg trupa za promatranu ravninsku vodnu liniju, a primjer proračuna je prikazan na slici 95,

dolje.

5 10 15 20 25

0

1

2

3

4

ψ = 0,40°, ϕ = 0°

x (m)

z (m

)



231

0 5 10 15 20 25-3

-2

-1

0

1

2

3

x = 20,34 z = 2,176 y = 1,8985 ψ = -12.20°, = 0.00

x (m)

y (m

)

10 15 20 250

2

4

6

8

10

A

My

x (m)10 15 20 250

2

4

6

8

10

dVL

Mxy

Ix

x (m)

ϕ

Sl. 95: Integracija hidrostatskih svojstava po duljini uzgonskog volumena unutarnjeg trupa podmornice

0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

x (m)

z (m

)

0 5 10 15 20 25-3

-2

-1

0

1

2

3

x = 20,34 z = 2,176 y = 1,8985 ψ = -12.20°, = 0.00

x (m)

y (m

)

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

4

y (m)

ϕ

Sl. 96: Presjeci unutarnjeg trupa podmornice s ravninskom vodnom linijom

Slika 96 dodatno pokazuje rezultat istog presjeka unutarnjeg trupa i unutarnje vodne linije, te položaje težišta

istisnine (zelena točka) i težišta vodne linije (plava točka).

Ponavljanjem ovakvog proračuna za sve zadane nagibeψ i ϕ i proračunske visine broda zP dobivaju se potrebne

točke potrebne za konstruiranje pripadnog prostora hidrostatskih svojstava i njihov RBF opis.



232

AUTOMATSKI NAČIN PRORAČUNA HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA BRODA

Potrebno je naglasiti da se odgovarajući proračuni integracija odvijaju potpuno automatizirano, uz početno

određivanje položaja uzdužnih presjeka loma za primjenu integracija kubno-linearnih polinomskih RBF. Dakle,

nakon opisa trupa presjecima Ri s pripadnim točkama i = 1, ..., NR, još je potrebno odrediti diskontinuitete Ll,

odnosno njihovu dimenziju i položaj, prema B-rep postupku opisivanja geometrije, a zatim slijedi automatski

proračun svojstava promatranog prostora presjecanjem trupa zadanog s interpolacijskim matricama rebara HRi i

težinskim koeficijentima wRi kubno-linearne PRBF, ravninskim vodnim linijama. Kao rezultat presjecanja se

dobivaju točke presjeka TP(x, y, z), te dodatne krajnje točke opisivanog prostora NK. Tako dobivamo

vrijednosti x za koje se računaju hidrostatska svojstva vodne linije, xVL. Vrijednosti xV za koje se računaju

hidrostatska svojstva volumena ovise o protezanju uronjenog dijela promatranog volumena, te njihov broj i

raspored može biti drukčiji od xVL. Ovaj način rada omogućava mala osjetljivost kubno-linearne PRBF na

parametar oblika c, te općenito velika točnost opisa bilo kakve geometrije sa ili bez diskontinuteta.

U svrhu automatizacije proračuna su određeni 3D opisi torus-sferičnih krajeva unutarnjeg trupa pomoću PRBF s

prije korištenim β = 0,5, te γ = 2, uz c = 0, slika 97. Za opis interpolacijom s N = 1190 točaka dobivena je

točnost od RMSE = 1,741⋅10-11, te su u proračunu presjeka ravninske vodne linije s torus-sferičnim

krajevima unutarnjeg trupa dalje korištene pripadne matrice H3K i w3K, gdje indeks „K“ označava krmu broda.

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5-2

0

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x (m)y (m)

z (m

)

Sl. 97: Opis torus-sferičnog završetka unutarnjeg trupa test broda br. 2 – podmornice pomoću 3D PRBF s

β = 0,5, te γ = 2, c = 0 i N = 1190

Radi pretpostavljene simetričnosti pramca i krme, odgovarajuće matrice H3P i w3P za opis pramca su jednake

H3K i w3K.



233

9.5.1.3. Prostor hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa broda

Nakon presjecanja unutarnjeg trupa svim odabranim kutevima uzdužnog nagiba ψ dobiveni su ukupni rezultati

proračuna kojima je uobličen prostor hidrostatskih svojstava prikazan na slikama 98 i 99.

5 10 15 20 25-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5(xB,zB) = f(ψ = -19,12° ÷ 12,2°, = 0°)

x (m)

z (m

)ϕ

Sl. 98: Položaji težišta istisnine unutarnjeg trupa test podmornice

5 10 15 20 25-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x (m)

(xVL,zVL) = f(ψ = -19,12° ÷ 12,2°, = 0°)

z (m

)

ϕ

Sl. 99: Položaji težišta vodne linije unutarnjeg trupa test podmornice

Na temelju dobivenih točaka hidrostatskih svojstava se zatim, pomoću RBF opisa, generira PRBF opis S

prostora hidrostatskih svojstava H . S obzirom da je promatrani prostor unutarnjeg trupa podmornice gladak,

može se opisati RBF interpolacijom. Kako je navedeno u poglavlju 8, što potvrđuje i slika 99, radi preklapanja



234

vrijednosti težišta VL za negativne i pozitivne kuteve, odgovarajući prostor H se dijeli u prostor pozitivnih i

negativnih kuteva uzdužnog nagiba. Kako promatrani prostor nije potpuno uzdužno i poprečno simetričan, već

ima uzdužno odstupanje simetrije, moguće je vrijednosti za ψ = 0 pridružiti jednom od prostora za negativan ili

pozitivan ψ.

REZULTATI RBF OPISA PROSTORA HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA UNUTARNJEG TRUPA

U donjim tablicama su pokazani rezultati opisa prostora hidrostatskih svojstava H unutarnjeg trupa test broda

br. 2, podmornice, za odabrani raspon kuteva uzdužnog nagibaψ i konstantni kut bočnog nagiba ϕ, jednak 0,

korištenjem PRBF sa β = 0,5, γ = 2 i c = 0, za N = 400 točaka.

Tab. 28: Rezultati globalnog PRBF opisa prostora hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa test podmornice

ψ > 0 ψ ≤ 0

INTERPOLACIJA 1,279⋅10-8 3,412⋅10-7 LOO APROKSIMACIJA 1,013⋅10-2 4,209⋅10-2

Tab. 29: Lokalni rezultati PRBF opisa pojedinih značajki prostora hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa, test

podmornice, za ψ > 0 iϕ = 0

A xB zB xVL zVL dVL

RMSE 8,701⋅10-9 7,164⋅10-12 3,538⋅10-11 5,515⋅10-9 1,061⋅10-9 9,116⋅10-9

Kako je broj točaka opisa prostora N relativno nizak, bolji rezultati opisa se postižu postupkom RBF

interpolacije, kako je to pokazano na slici 67, u poglavlju 8.3.3.3. Iz rezultata u tablici 28 se vidi da se PRBF

interpolacijom postižu vrlo velike točnosti opisa hiperplohe kada se ona izvodi za konstantnu vrijednost bočnog

nagiba ϕ.

Rezultat opisa pojedinih svojstava se može prikazati u funkciji kuta bočnog nagiba ψ i volumena unutarnjeg

trupa V kao što je prikazano na slici 100, dolje.

Iz donje slike je vidljiva glatkost rezultata opisa prostora hidrostatskih svojstava u svim dijelovima osim rubnih,

gdje je dolazi do lomova opisa za više apsolutne vrijednosti kuteva uzdužnog nagiba ψ.

Rezultat PRBF opisa dijelova prostora hidrostatskih svojstava H unutarnjeg trupa test broda br. 2 podmornice

su, po analogiji s prijašnjim opisima ploha, matrica težinskih koeficijenata wH i interpolacijska matrica HH.

Konačno, ovako formiran PRBF opis prostora hidrostatskih svojstava nam omogućuje direktno određivanje

pojedine hidrostatske značajke unutarnjeg trupa, za željeni kut uzdužnog nagibaψ.



235

Sl. 100: Rezultati opisa prostora hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa test podmornice za ψ < 0.

9.5.1.4. Globalna provjera točnosti proračuna hidrostatskih svojstava

Unutarnji trup test broda br. 2 – podmornice se sastoji od pravilnih 3D oblika, cilindara i krnjih stožaca, sa torus-

sferični krajevima koji zatvaraju trup. Na prijelazima između dijelova se nalaze uzdužni diskontinuiteti oblika

koji su 2D tipa, u poprečnoj y – z ravnini, kako je to vidljivo iz slika 88, 94 i 95. Zbog toga je jednostavno

izračunati njihove volumene i pripadna težišta, te konačno odrediti ukupna hidrostatska svojstva unutarnjeg

trupa.

Također, diskontinuiteti su vidljivi i na proračunu svojstava pojedinih vodnih linija kako je to pokazano na slici

94, gdje se vidi da krivulje raspodjele svih hidrostatskih svojstava trupa po duljini osim duljine vodne linije dVL

imaju diskontinuitete na mjestima uzdužnih lomova forme.



236

Volumen cilindara se računa umnoškom površine osnovice i visine h:

V = R2 ⋅ π ⋅ h dok se volumen dijelova stožaca računa kao:

( )12

12

31

++ ++⋅⋅⋅= iiii RRRRhV π

Pripadna težišta volumena stožaca se nalaze na udaljenosti od 1/4⋅h, gdje je h visina od osnovice do vrha stošca,

te leže na pravcu koji spaja težište površine osnovice i vrh stošca.

Krajevi unutarnjeg trupa će se aproksimirati dijelom kugle, za kojeg se dio gornjeg volumena presječenog

vertikalnom ravninom u smjeru koordinatnih y – z osi računa po izrazu:

( )hRhV −⋅⋅⋅= 331 2π

s težištem na udaljenosti od središta kugle:

( )( )hR

hRX−

−=

3423 2

Vrijednosti volumena pojedinih dijelova unutarnjeg trupa po duljini i vrijednosti njihovih težišta su pokazani u

tabilici 30, ispod.

Tab. 30: Volumeni i težišta pravilnih tijela od kojih je načinjen unutarnji trup test broda br. 2 - podmornice

Izračun Dio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ukupno N = 37 N = 61

X (m) 5,2 5,94 8,39 10,89 17,84 20,34 22,79 24,29 24,79

V (m3) 1,0236 3,0795 17,2613 27,6526 87,3363 29,8713 21,9718 7,6634 1,0236 196,8834 196,9756 196,898

xB (m) 5,0280 5,5871 7,3061 9,6955 14,365 19,0686 21,4614 23,4619 24,4620 14,8166 14,8163 14,8179zB (m) 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,0491 2,1824 2,3338 2,400 2,0429 2,0422 2,0426

OCJENA REZULTATA PRORAČUNA HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA UNUTARNJEG TRUPA

PODMORNICE RBF OPISOM

Usporedbom vrijednosti hidrostatskih svojstava maksimalnog volumena unutarnjeg trupa podmornice, test broda

br. 2, s proračunatim vrijednostima dobivenim PRBF opisom S i PRBF integracijom vidimo da su dobiveni vrlo

točni rezultati maksimalnog volumena i pripadnih komponenti težišta istisnine x i z, s pogreškom od oko 10-2 u

proračunu volumena, 10-3 u proračunu uzdužnog težišta xB i 10-4 u proračunu vertikalnog težišta zB istisnine

unutarnjeg trupa.

Izračun PRBF integracije je izvršen za 2 slučaja, s N = 37 i N = 61 presjek po duljini trupa, te s može ustvrditi

da ne postoji značajnija razlika u rezultatima proračuna volumena za povećani broj točaka ako se označe

diskontinuiteti po duljini, dok vrijednosti težišta malo odstupaju i to 10-4. Može se zaključiti da je moguće vršiti

proračun hidrostatskih svojstava promatranih odjeljaka s manjim brojem uzdužnih presjeka, dok je važnije

uključiti diskontinuitete, što se poklapa s postavkama mješovitog B-rep opisa brodske geometrije.



237

10. ZAKLJUČAK Analitički opis brodske geometrije globalnom interpolacijom radijalnim osnovnim funkcijama omogućuje

ispunjavanje svih postavljenih zadaća brodske proračunske geometrije, tj. omogućuje nedvosmislen i vrlo

precizan opis brodske geometrije zahtjevanih globalnih i lokalnih točnosti opisa, direktan proračun presjeka

brodske forme s ravninskim vodnim linijama, te direktan proračun 5 osnovnih integrala brodske hidrostatike,

primjenom postupaka elastičnog pomaka, te kompozicije polinomskih radijalnih osnovnih funkcija s

cjelobrojnim neparnim koeficijentima i s gustim opisom točaka loma.

Primjenom postupka elastičnog pomaka (ELP) kod RBF opisivanja brodske geometrije omogućava se rješenje

problema bijekcije opisa, rješava Rungeov fenomen oscilacija ruba, te Gibbsov problem oscilacija RBF opisa

kod dvodimenzijskog opisivanja geometrije s diskontinuitetima, što su do sada bili nerješeni problemi opisivanja

geometrije globalnom interpolacijom. Pripadna teorijska podloga ELP postupka je dana u poglavlju 2 ove

disertacije, gdje je dokazano postojanje konvergencije ekvidistantnog opisivanja dodavanjem točaka izvan

raspona opisivanja, za razliku od povećanja broja točaka unutar raspona opisivanja koja vodi do divergencije, te

loše uvjetovanosti interpolacijske matrice.

Nadalje, RBF opis kompozicijom kubne i linearne polinomske radijalne osnovne funkcije s gustim opisom oko

točaka loma omogućuje prirodan B-rep opis brodske geometrije s diskontinuitetima globalnom interpolacijom,

uz postizanje velike globalne i lokalne preciznosti opisa, te dobivanje opisa geometrije u obliku proračunski

pogodnih kubnih polinoma, koji dalje omogućuju direktan proračun presjeka brodske geometrije s ravninskim

vodnim linijama, te direktan proračun 5 osnovnih integrala brodske hidrostatike. Velika preciznost opisivanja

kompozicijom kubno-linearnih PRBF eliminira pritom problem grupiranja pogrešaka u točci koji se javlja kod

rješevanja integrala RB funkcija, karakterističan za metode aproksimacije, te metode opisivanja nižih točnosti.

Kompozicija polinomskih RBF rješava, nadalje, problem globalnog opisivanja geometrije s linearnim i

zakrivljenim dijelovima, kao i prekidima forme i diskontinuitetima, analitičkom metodom globalne interpolacije,

te predstavlja efikasnu metodu opisivanja “bez 2 manifolda”.

U petom poglavlju je pokazano da je opis kubno-linearnim polinomskim RB funkcijama s gustim opisom oko

točaka loma još efikasniji u opisivanju diskontinuiteta od ELP postupka, te omogućuje i prirodan opis ravnih

dijelova krivulje. Nadalje, ovim postupkom se omogućuje eliminacija parametra oblika c iz izraza za RBF opis,

te dobiva znatno poboljšana uvjetovana interpolacijska matrica. Na taj način je moguće dodatno smanjiti

probleme singularnosti interpolacijske matrice na nov način. Primjenom kubno-linearne PRBF uz zakretanje

presjeka oko osi okomite na ravninu opisivanja, može se rještiti i problem bijekcije, te problem oscilacija rubova

opisa.

U poglavlju 6 je pokazano rješenje presjeka brodske geometrije s ravninskim vodnim linijama primjenom RBF,

te je pokazano da je primjenom kubno-linearne PRBF moguće direktno, analitički rješiti taj problem. Štoviše,

problem presjeka se na taj način svodi na rješavanje kubne jednadžbe, za koju su odavno poznata rješenja, pa se

time olakšava taj proračun, te osigurava rješenje i kod numerički zahtjevnih problema.



238

Primjenom polinomskih RBF se omogućuje direktan, analitički proračun svojstava broda, za razliku od

današnjih numeričkih metoda proračuna integracije, te interpolacije. U poglavlju 7 su data rješenja svih 5

osnovnih integrala brodske hidrostatike za polinomske RBF, direktnom integracijom PRBF izraza i integracijom

iz PRBF izvedenih kubnih polinoma. Kod direktne integracije je pritom pokazana primjena skaliranja izlaznog

skupa podataka RBF, kojim se omogućuje direktno rješenje složenih RBF izraza. Nadalje, data su rješenja

integrala kod linearnog ELP pomaka i pomaka po kružnici, te rješenja zarotiranih presjeka rebara oko osi x

koordinatnog sustava broda.

Direktna, analitička rješenja opisa 2D geometrije u obliku kubnih polinoma omogućuju dalje direktan proračun

geometrijskih i hidrostatskih svojstava broda za sve odabrane kuteve uzdužnog i bočnog nagiba uz osigurano

postojanje rješenja presjeka, što kod numeričkih, iteracijskih metoda nije uvijek slučaj. U ovoj disertaciji je

predložen teorijski nov način proračuna geometrijskih i hidrostatskih svojstava broda temeljen na

multivarijantnim svojstvima radijalnih osnovnih funkcija prikazan u poglavljima 8 i 9. Primjenom RBF se,

umjesto sekvencijalnog proračuna plovne vodne linije od teorijskog nultog bočnog nagiba broda, unaprijed

računaju hidrostatska svojstva trupa broda, te njegovih unutarnjih prostora, za sve odabrane stupnjeve slobode

gibanja u njihovom cijelom mogućem rasponu. Kao rezultat se dobivaju cjelokupni, multivarijantni prostori

mogućih položaja broda i unutarnjih prostora za odabrani broj stupnjeva slobode gibanja opisan točkama

položaja broda. Za svako promatrano rebro se kao međurezultat proračuna pritom uvode pantokarene pantokline

promatranog hidrostatskog svojstva rebra, koje omogućuju direktan proračun hidrostatskih svojstava. Ovaj

postupak konstruiranja prostora svih hidrostatskih svojstava broda zahtijeva jako velik broj proračuna presjeka

ravninskih vodnih linija s rebrima brodske geometrije, određivanje pripadnih hidrostatskih svojstava, te njihovu

integraciju po duljini broda, što je omogućeno automatizicijom opisa diskontinuiteta na temelju svojstva kubno-

linearnih PRBF po kojem je moguće eliminirati parametar oblika c iz izraza za PRBF.

Nakon konstrukcije prostora hidrostatskih svojstava broda, moguće je odrediti hiperplohu svih plovnih vodnih

linija za trenutno stanje krcanja broda, presjecanjem prostora konstatnim volumenom istisnine na temelju

njegovog svojstva po kojem predstavlja holonomsko ograničenje gibanja broda koji je objekt koji plovi na

površini tekućine unutar potencijalnog, gravitacijskog polja. Time je ispunjen i posljednji, glavni cilj ove

disertacije, po kojem je, na temelju multivarijantnog RBF opisa, moguće odrediti plohu svih trenutnih plovnih

vodnih linija, odnosno plovnu vodnu liniju broda.

Uvrštavanjem uzdužnih i poprečnih koordinata gravitacijskih težišta težina broda u plohu težišta istisnine broda

za konstantan volumen istisnine, prema 2. uvjetu plovnosti, zatim se dobivaju i direktna rješenja plovne vodne

linije, tj. omogućava se direktan proračun stabiliteta broda za promatrani raspon kuteva nagiba.

Sveukupno se može zaključiti da analitičko opisivanje brodske geometrije globalnom interpolacijom radijalnim

osnovnim funkcijama ima superiorna proračunska svojstva u odnosu na metode geometrijskog modeliranja

temeljene na B-splineu, te omogućuju RBF opis i direktan proračun hidrostatskih svojstava broda za odabrani

raspon stupnjeva slobode gibanja, za razliku od dosadašnjeg diskretnog opisa za nekoliko trimova i nulti kut

nagiba broda.



239

Buduća istraživanja primjene radijalnih osnovnih funkcija u brodskoj proračunskoj geometriji će se usmjeriti ka

rješavanju trodimenzijskog opisivanja diskontinuiteta brodske forme radijalnim osnovnim funkcijama uz

ispunjavanje uvjeta proračunske geometrije. Nadalje, izvršit će se proširenje istraživanja obavljenih u ovoj

doktorskoj disertaciji na proračun plovnosti i stabiliteta broda u neoštećenom i oštećenom stanju, te u

određivanju optimalnih procedura prekrcaja broda. Vezano za problem presjeka, istražit će se mogućnost

proširenja proračuna presjeka brodske geometrije s ravninama vodnih linijama, na presjeke s površinama općih

oblika. Osim primjene u hidrostatici, ispitat će se i mogućnost proširenja primjene analitičkog opisivanja

globalnom interpolacijom pomoću RBF opisivanjem hidrodinamskih svojstava broda.



240

LITERATURA [1] Euclid: Elementi, Grčka, 300, pr. n. e.

[2] L. Euler: Scientia Navalis, 1749.

[3] F. H. Chapman: Architectura Navalis Mercantoria, Första sidan till „Tractat om Sheppsbyggeriet“, 1775.

[4] D. W. Taylor: Resistance of ships and screw propulsion, Macmillian and co., 1893.

[5] I. J. Schoenberg: Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic function,

Quart. Appl. Math., vol 4, pp. 45-99 and 112-141, 1946.

[6] G. Birkhoff, C. De Boor: Piecewise polynomial interpolation and approximation, u H. L. Garabedian,

Proc. Gen. Motors Symposium of 1964., pp. 164-190, Elsevier, New York, Amsterdam, 1965.

[7] Š. Matošin: Pomorstvena svojstva broda u funkciji karakteristika broda, Doktorska disertacija, FSB,

Zagreb, 1986.

[8] I. Grubišić, Geometrija broda – internet udžbenik, http://www.fsb.hr/geometrija.broda/, FSB, Zagreb,

2001.

[9] C. De Boor: A practical guide to splines, Applied Mathematical Sciences, Volume 27, Springer-Verlag,

1990.

[10] H. Nowacki, M. I. G. Bloor, B. Oleksiewitz: Computational Geometry for Ships, World Scientific, 1995.

[11] U. Rabien: Ship Geometry Modelling, Ship Technology Research, vol. 43, 115-123, 1996.

[12] J. Letcher: The geometry of ships, SNAME, 2009.

[13] E. Catmull, J. Clark: Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary toplogical meshes, Computer

Aided Design, Vol. 10, No. 6, pp. 350-355, 1978.

[14] H. J. Koelman, I. Horvat, A. Aalbers: Hybrid representation of the shape of ship hulls, International

Shipbuilding Progress 48, no. 3, 247-269, 2001.

[15] L. Bardis, N. M. Patrikalakis. Topological structures for generalized boundary representations, MITSG

94-22, MIT Sea Grant College Program, Cambridge, Massachusetts, 1994.

[16] E. L. Gürsöz, F. B. Prinz: Node-based representation of non-manifold surface boundaries in geometric

modeling, u M. Wozny, J. Turner, and K. Preiss, editors, Geometric Modeling for Product Engineering,

North-Holland, 1989.

[17] L. Piegl, W. Tiller: The NURBS Book, Springer-Verlag, 1997.

[18] P. J. Schneider: NURB Curves: A Guide for the Uninitiated, Apple Developer Catalog, 1996.

[19] M. Hinatsu: Fourier NUBS method to express hull form, Journal of Marine Science and Technology, pp.

43-49, 2004.

[20] IMO Res. A.749(18), Intact Stability Regulations,

[21] J. Uršić: Stabilitet broda I, FSB, Sveučilište u Zagrebu, 1991.

[22] V. Daymard: New method for calculation of stability, Transactions of the Institution of Naval

Architecture 25, 1884.

[23] J. Fatur: Moderno predočavanje rezultata proračuna stabiliteta, Brodogradnja, 123-126, 163-171, 1951.



241

[24] J. H. Biles: The Design and Construction of Ships: Vol. II: Stability, Resistance, Propulsion and

Oscillations of ships, Historische Schiffarht, Band 92, Salwasser Werlag, 1908.

[25] H. Goldstein: Classical Mechanics, 3rd edition, Addison Wesley, p. 45, 1980.

[26] J. P. Comstock, Principles of Naval Architecture, SNAME, 1977.

[27] A. Papanikolau, D. Spanos: On The Modelling Of Floodwater Dynamics And Its Effects On Ship Motion,

2002.

[28] Manuel Ventura: Static Equivalent Method, IST, 2010.

[29] M. Lipshutz: Theory and Problems of Differential Geometry, Schaum's Outline Series, McGraw-Hill,

Inc., 1969.

[30] S. A. Sarra, The MATLAB Postprocessing Toolkit, 2008.

[31] L. N. Trefethen, Spectral methods in MATLAB, SAIM, Philadelphia, 2000.

[32] H. Vandeven, Family of spectral filters for discontinuous problems, SIAM Journal of Scientific

Computing, 6:159-192, 1991.

[33] I. Senjanović: Teorija ploča i ljuski, FSB, Zagreb, 1998.

[34] T. Bernardi: Brodske linije, Sveučilišna naklada Liber, Zagreb, 1969.

[35] E. W. Weinstein: Chebyshev Polynomial of the First kind, From MathWorld - A Wolfram Web

Resource. http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheFirstkind.html

[36] Halton, J. H.: On the efficiency of certain quasi-random sequences of points in evaluating

multidimensional integrals, Numer. Math. 2, 84-90, 1960.

[37] Wong, T.-T., i ostali: Sampling with Hammersley and Halton points, J. Graphics Tools 2, 9-24, 1997.

[38] G. R. Liu, Y. T. Gu: An Introduction to Meshfree Approximation Methods and their Programming,

Springer, 2005.

[39] G. E. Fasshauer: Meshfree Approximation Methods with MATLAB, Interdisciplinary Mathematical

Sciencies – Vol. 6, World Scientific, 2007.

[40] Archer, Branden, Weisstein, E. W. "Lagrange Interpolating Polynomial.", MathWorld-A Wolfram Web

Resource. http://mathworld.wolfram.com/LagrangeInterpolatingPolynomial.html

[41] E. W. Weinstein: Hermite's Interpolating Polynomial, From MathWorld - A Wolfram Web Resource.

http://mathworld.wolfram.com/HermitesInterpolatingPolynomial.html

[42] M. Embree: Numerical Analysis I, Rice University, Lectures CAAM 453, 2009.

[43] R. Schaback: Multivariate interpolation by polynomials and radial basis functions, Constr. Approx. 21,

293-317, 2005.

[44] R. Schaback: Limit problems for interpolation by analytic radial basis functions, J. Comp. Appl. Math.

[45] T. A. Driscoll, B. Fornberg: Interpolation in the limit of increasingly flat radial basis functions, Comput.

Math. Appl. 43, 413-422, 2002 (G. E. Fasshauer, 15.6)

[46] E. W. Weisstein: "Lebesgue Constants." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.

http://mathworld.wolfram.com/LebesgueConstants.html

[47] Erdős, P. "Problems and Results on the Theory of Interpolation, II." Acta Math. Acad. Sci. Hungary 12,

235-244, 1961.



242

[48] S. Bochner: Monotone Funktionen, Stieltjes Integrale un Harmonische Analyise, Math. Ann. 108, pp.

378-410, 1933.

[49] I. J. Schoenberg: Metric spaces and completely monotone functions, Ann. of Math. 39, pp. 811-841,

1938.

[50] I. J. Schoenberg: Metric spaces and positive definite functions, Trans. Amer. Math. Soc. 44, pp. 522-536,

1938.

[51] R. E. Williamson: Multiple monotone functions and their Laplace transform, Duke Math. J. 23, pp. 189-

207, 1956.

[52] C. A. Micchelli: Interpolation of scattered data: Distance matrices and conditionally positive definite

functions, Constr. Approx. 2, pp. 11-22, 1986.

[53] R. Schaback: Creating surfaces from scattered data using radial basis functions, in Mathematical methods

for curves and surfaces, M. Dǽhlen, T. Lysche and L. Schumaker (eds.), Vanderbilt University Press, pp.

477-496, 1995.

[54] H. Wendland: Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of

minimal degree, Adv. in Comput. Math. 4, pp. 389-396, 1995.

[55] Z. Wu, Compactly supported positive definite radial functions, Adv. in Comput. Math., pp. 283-292,

1995.

[56] T. Poggio, F. Girrosi: Networks and the best approximation property, MIT, AI Laboratory, MIT,

Cambridge, MA, A. I. Memo No. 1164, C.B.I.P. Paper No. 45, 1989.

[57] N. Aronszajn: Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc. 686, 337-404, 1950.

[58] J. C. Mairhuber: On Haar's theorem concerning Chebyshev approximation problems having unique

solutions, Proc. Am. Math. Soc. 7, pp. 609-615, 1956.

[59] P. C. Curtis, Jr.: n – parameter families and best approximation, Pacific J. Math. 9, pp. 1013-1027, 1959.

[60] M. Mathias: Ǖber positive Fourier-Integrale, Math. Zeit. 16, pp. 103-125, 1923.

[61] J. Stewart: Positive definite functions and generalizations, an historical survey, Rocky Monutain J. Math.

6, pp. 409-434, 1976.

[62] H. Wendland: Scattered Data Approximation, Cambridge University Press, 2005.

[63] S. Bochner.:Vorlesungen über Fouriersche Integrale, Academische Verlagsgesellschaft (Leipzig), 1933.

[64] I. J. Schoenberg: Metric Spaces and Completely Monotne Functions, Ann. of Math. 39, pp. 811-841,

1938.

[65] I. J. Schoenberg: Metric Spaces and Positive Definite Functions, Trans Amer. Math. Soc. 44, pp. 522-

536, 1938.

[66] C. D. Meyer: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM (Philadeplpia), 2000.

[67] K. Ball, N. Sivakumar, J. D. Ward: On the sensitivity of radial basis interpolation to minimal data

separation distance, Constr. Approx. 8, pp. 401-426, 1992.

[68] F. J. Narkowich, J. D. Ward: Norm estimates for the inverses of a general class of scattered-data radial-

function interpolation matrices, J. Approx. Theory 69, pp. 84-109, 1992.

[69] G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy: Special Functions, Cambridge University Press, 1999.



243

[70] B. Fornberg, E. Larson, G. Wright: A new class of ocillatory radial basis functions, Comput. Math. Appl.

51 (8), pp. 1209-1222, 2004.

[71] R. Schaback: Crating surfaces from scattered data using radial basis functions, in Mathematical Methods

for Curves and Surfaces, M. Dæhlen, T. Lyche, L. Schumaker (eds.), Vanderbilt University Press, pp.

477-496, 1995.

[72] R. L. Hardy: Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces, J. Geophys. Res. 76, pp.

105-1915, 1971.

[73] B. Fornberg, G. Wright: Stable computation for multiquadric interpolants for all values of shape

parameter, Comput. Math. Appl. 47, pp. 497-523, 2004.

[74] M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, NBS Applied Mathematical Series

55, 1972.

[75] K. Guo, S. Hu, X. Sun: Conditionally positive definite functions and Laplace-Stieltjes integrals, J.

Approx. Theory 74, pp. 249-265, 1993.

[76] J. Duchon: Interpolation des fonctions de deux variables suivant le priciple de la flexion des plaques

minces, Rev. Francaise Automat. Informat. Rech. Oper., Anal. Numer. 10, pp. 5-12, 1976.

[77] M. D. Buhmann: Radial functions on compact support, Proc. Edin. Math. Soc. II 41, pp. 33-46, 1998.

[78] T. Gneiting: Compactly supported correlation functions, J. Multivariate Analysis 83, pp. 493-508, 2002.

[79] FastRBF Toolbox, Matlab Interface Version 1.4., FarField Technology, 2004.

[80] E. J. Kansa: Motivation for using radial basis functions to solve PDEs, 1999.

[81] Z. Wu, Hermitte-Birkhoff interpolation of scattered data by RBFs, 1992.

[82] B. J. C. Baxter: Conditionally positive functions and p-norm distance matrices, Constr. Approx. 7, pp.

427-440, 1991.

[83] N. Dyn, W. A. Light, E. W. Cheney: Interpolation by piecewise-linear radial basis functions I, J. Approx.

Theory 59, pp. 202-223, 1989.

[84] D. Ban, B. Blagojević, J. Barle: Ship geometry description using global 2D RBF interpolation,

Brodogradnja, 233-242, 2010.

[85] E. W. Weinstein: OnLine Integrator, Wolfram Research Inc. http://integrals.wolfram.com/index.jsp,

2010.

[86] N. Dyn, D. Levin: Iterative solution of systems originating from integral equations and surface

interpolation, SAIM J. Numer. Analysis 20, pp. 377-390, 1983.

[87] R. K. Beatson, J. B. Cherrie, C. T. Mouat: Fast fitting of radial basis functions: methods based on

preconditioned GMRES iteration, Adv. Comp. Math. 11, 1999.

[88] Y. Saad, M. H. Schultz: GMRES: a gereralized minimal residual algorithm for solving non-symmetric

linear equations, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 7, pp. 856-869, 1986.

[89] I. Babuška, M. Malenk: The partition of unity method, Int. J. Numer. Methods in Eng. 40, pp. 727-758

1996.

[90] H. Wendland: Fast evaluation of radial basis functions: Methods based on partition on unity,

Approximation Theory X: Wavelets, Splines, and Applications. C. K. Chui, L. L Schumaker and J.

Stöckler (eds.), Vanderbilt University Press (Nashville), 2002.



244

[91] K. Lindsay, R. Krasny: A particle method and adaptive treecode for vortex sheet motion in three-

dimensional flow, J. Comput. Physiscs 172, pp. 879-907, 2001.

[92] S. Kunis, D. Potts, G. Steidl: Fast Fourier Transforms at non-equispaced knots: A user's guide to a C-

library, 2002.

[93] L. Greengard, J. Strain: The fast Gauss transform, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 12, pp. 79-94, 1991.

[94] S. A. Sarra, The MATLAB Postprocessing Toolkit, 2008.

[95] L. N. Trefethen, Spectral methods in MATLAB, SAIM, Philadelphia, 2000.

[96] H. Vandeven, Family of spectral filters for discontinuous problems, SIAM Journal of Scientific

Computing, 6:159-192, 1991.

[97] B. Fornberg, T. A. Driscoll, G. Wright, R. Charles: Observations on the behaviour of RBFs

approximations near boundaries, Comput. Math. Appl. 43, pp. 473-490, 2002.

[98] B. Fornberg, J. Zuev: The Runge phenomenon and Spatially Variable Shape Parameters in RBF

interpolation, Comput. Math. Appl. , 2006.

[99] R. Schaback, Multivariate Interpolation by Polynomials and RBFs, 2002.

[100] C. De Boor, A. Ron, The least solution for the polynomial interpolation problem, Matematische

Zeitschrift, 210:347-378, 1992.

[101] J. H. Jung, A note on Gibbs phenomenon with multiquadric radial basis functions, 2007.

[102] R. Sibson i G. Stone: Computation of thin-plate splines, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 12, pp. 1304-1313,

1991.

[103] R. K. Beatson, W. A. Light i S. Billings: Fast evaluation of radial basis functions: methods for two-

dimensional polyharmonic splines, SIAM J. Sci. Comput. 22, pp. 1717-1740, 2000.

[104] G. Cardano: Ars Magna, 1545.

[105] G. Birkhoff, S. Mac Lane: A survey of modern algebra, New York, Macmillian, 1996.

[106] Knjiga trima i stabiliteta broda „Dyvi Puebla“, Uljanik Nov. 419, 1999.

[107] R. M. Clark: Non-parametric estimation of smooth regression function, Journal of Royal Stat. Soc., Series

B, 1977.

[108] H. Goldstein: Classical Mechanics (3rd ed.), Addison Wesley, p. 45, 1980.

[109] J. Borowski, J. M. Borwein: Dictionary of Mathematics, Unwin Hyman's, HarperCollins Pub., 1999.

[110] Računalni program ARGOS, Bureau Veritas, 1992.

[111] B. Čalić: Complex Computer Processing of the Submersible Unit Forms,



245

POPIS OZNAKA

a, b, c – koeficijenti segmentne jednadžbe ravnine,

aj – areala j parametra hidrostatskih svojstava,

bUi – širina unutarnjeg prostora broda, (m),

bUi0 – širina unutarnjeg prostora broda prije nagibanja vodne linije, (m),

bUiϕ – širina unutarnjeg prostora broda nakon nagibanja vodne linije za kutϕ , (m),

c – 1. parametar oblika RBF, 2. točka ekstrema opisa Lagrangeovom interpolacijom,

c~ – točka ekstrema opisa proširenog raspona, Lagrangeovom interpolacijom,

d – 1. dimenzija prostora multivarijantnih funkcija, 2. dimenzija skupa ulaznih podataka, 3. gaz broda

(m), 4. zagaznica broda (m),

dVL – duljina vodne linije, (m),

f – funkcija opisa,

f~ – funkcija opisa proširenog raspona opisa,

f' – derivacija funkcije opisa,

)(ˆ xf – poopćena interpolacijska/aproksimacijska funkcija,

g – gravitacijsko ubrzanje, (m/s2)

gK , gP – krmeni i pramčani gazovi broda, (m)

h – jednoliki razmak točaka ulaznog skupa 2D interpolacije, (m),

hmin – minimalni razmak točaka ulaznog skupa 2D interpolacije s dobrom uvjetovanošću interpolacijske

matrice H , (m),

hUi – visina unutarnjeg prostora broda, (m),

hUi0 – visina unutarnjeg prostora broda prije nagibanja vodne linije, (m),

hUiϕ – visina unutarnjeg prostora broda nakon nagibanja vodne linije za kutϕ , (m),

( )xhv – Hermiteovi interpolacijski polinomi,

i – indeks koji označava broj točaka ulaznog skupa RBF izraza, Ni ,,2 ,1 K= ,

iUi – moment tromosti slobodne površine rasutih tereta i tekućine, (N⋅m)

j – indeks koji označava broj točaka, centara razvoja radijalne osnovne funkcije, Oj ,,2 ,1 K= ,

k – indeks koji označava broj dimenzija izlaznog skupa RBF izraza, lk ,,2 ,1 K= ,

l – 1. dimenzija izlaznog skupa točaka opisa, 2. eksponent Lebesquove norme,



246

( )xlv – Lagrangeovi interpolacijski polinomi,

m – indeks koji označava broj dimenzija ulaznog skupa RBF izraza, dm ,,2 ,1 K= ,

mBi – uzgonski momenti statičkog stabiliteta pokretnih težina na brodu, (N⋅m⋅rad),

mFSi – prekretni momenti slobodne površine prostora s tekućinom i teretima u rasutom stanju, (N⋅m⋅rad),

n – maksimalni član razvoja u Taylorov red,

p – 1. polinom zadanog stupnja, 2. prim broj, 3. pomak ulaznih točaka kod ELP postupka,

pl – dodatni polinom polinomskih RBF,

ps,k – polinom RBF s kompaktnom podrškom,

r – 1. Euklidska norma, argument radijalne osnovne funkcije, 2. povrat pomaka kod ELP postupka,

ri – i -ti raspon između točaka kod 2D interpolacije,

ir~ – i -ti raspon između dodanih točaka kod 2D interpolacije,

rji – članovi matrice H kod interpolacije raštrkanih podataka,

rl – Lebesquova norma,

s – 1. duljina lika krivulje, 2. dimenzija prostora multivarijantnih funkcija,

ds – diferencijalni element luka krivulje,

tj – j - ti centar razvoja radijalnih osnovnih funkcija,

t – vektor centara razvoja RBF kod 3D problema opisa,

qx – minimalna udaljenost između točaka za dobru uvjetovanost interpolacijske matrice H,

w – vektor težinskih koeficijenata RBF izraza,

wRO – vektor težinskih koeficijenata RBF izraza kod opisa osnovnog rebra,

wRi – vektor težinskih koeficijenata RBF izraza kod opisa rebra i,

w3K, w3P – vektori težinskih koeficijenata RBF izraza kod 3D opisa krajeva broda,

wRHi – vektor težinskih koeficijenata RBF izraza kod opisa hidrostatskih svojstava rebra broda i,

wH – vektor težinskih koeficijenata kod RBF opisa S prostora hidrostatskih svojstava broda H ,

x, y – ulazne varijable 3D problema opisa brodske geometrije,

x, y , z – oznake glavnih osi globalnog, brodskog koordinatnog sustava,

x – vektor ulaznih varijabli 3D problema opisa,

x – pomaknuti vektor ulaznih varijabli kod ELP postupka opisa,

BBB zyx ,, – koordinate položaja težišta istisnine, (m),

GGG zyx ,, – koordinate položaja gravitacijskog težišta, (m),

xl – ulazne varijable višedimenzijskog problema opisa, l = 1, 2, ..., d,



247

VLVLVL zyx ,, – koordinate položaja težišta vodne linije, (m),

ϕψx , ϕψy , ϕψz – osi proračunskog brodskog koordinatnog sustava, zarotiranog za kuteve nagibaϕ iψ,

y – vektor izlaznog skupa podataka,

yB0 – poprečni položaj težišta istisnine kod početnog kuta 0ϕ prije nagibanja,

By∆ – razlika poprečnog položaja težišta istisnine By za kut trenutni kutϕ od položaja težišta

istisnine 0By za početni kut prije nagibanja, kut 0ϕ ,

ϕy , ϕz – oznake osi lokalnog, brodskog koordinatnog sustava rebra, zarotiranog za bočni kut nagibaϕ ,

z – 1. izlazni skup podataka kod općeg 3D problema opisa, 2.varijabla polinoma,

zG – položaj gravitacijskog težišta težina sustava po visini,

A – opća interpolacijska ili aproksimacijska matrica,

A – oznaka za površinu, (m2)

A , B , C , D – koeficijenti implicitne jednadžbe ravnine,

AP – oznaka za površinu kod ELP pomaka,

A+ – Moore-Penroseova pseudo-inverzija,

AVL – površina vodne linije, (m2),

B – širina broda, (m),

Bi – i -ta osnovna funkcija opisa,

Bj,k – osnovne funkcije B-splinea,

C – 1. kontinuitet derivacija geometrije, 2. konstanta,

Ci, Di – koeficijenti polinoma,

D – 1. diferencijalni operator funkcija s kompaktnom podrškom, 2. diskontinuitet geometrije,

E – energija krivulje/plohe,

ELP – kratica postupka opisivanja geometrije s elastičnim povratom,

Ei – vrijednost lokalne pogreške na određenom rasponu i između ulaznih točaka 2D interpolacije,

iE~ – vrijednost lokalne pogreške na rasponu i između dodanih ulaznih točaka 2D interpolacije,

Err – lokalna pogreška opisa (eng. Error),

Errmax – maksimalna lokalna pogreška opisa (eng. Error),

F – funkcija implicitnog opisa brodske forme,

G – sila težine broda, (N),

GU – unutarnji brodski prostori,

GV – opis brodske forme,



248

H – 1. Hilbertov prostor realnih funkcija, 2. visina broda,

H – interpolacijska matrica raštrkanih podataka,

Hij – elementi interpolacijske matrice H ,

HRO – interpolacijska matrica RBF izraza kod opisa osnovnog rebra,

HRi – interpolacijska matrica RBF izraza kod opisa rebra i,

H3K, H3P – interpolacijske matrice RBF izraza kod 3D opisa krajeva broda,

HRHi – interpolacijska matrica RBF izraza kod opisa hidrostatskih svojstava rebra broda i,

HHj – interpolacijska matrica RBF izraza kod RBF opisa hidrostatskih svojstava broda H prostora j,

H2 – prostor svih integrabilnih funkcija Soboleva,

Hdi – visina dna pojedinog rebra broda i,

I – 1. integral, 2. integralni operator funkcija s kompaktnom podrškom,

Ix – moment tromosti VL oko osi x , (m4)

Ixp – moment tromosti VL oko osi x kod ELP pomaka, (m4)

( )yxK , – reprodukcijski kernel,

L – 1. duljina broda, (m), 2. Linearni funkcional,

L – skup linearno nezavisnih linearnih funkcionala,

Lp – p-norma između točaka, ∞= ,,1Kp

M – 1. broj dimenzija izlaznog vektora podataka, 2. pozitivna konstanta,

M – statički moment stabiliteta broda, (t⋅m⋅rad),

MB – uzgonski moment statičkog stabiliteta trupa broda, (t⋅m⋅rad),

MD – dinamički moment stabiliteta broda, (t⋅m⋅rad),

MI – ispravljajući moment statičkog stabiliteta broda, (t⋅m⋅rad),

MK – prividni položaj metacentra broda, (m)

MP – prekretni moment statičkog stabiliteta broda, (t⋅m⋅rad),

MS – statički moment stabiliteta broda, (t⋅m⋅rad),

MWA – prekretni moment statičkog stabiliteta uslijed valova, (t⋅m⋅rad),

MWI – prekretni moment statičkog stabiliteta uslijed vjetra, (t⋅m⋅rad),

Mϕ – poprečni statički moment stabiliteta broda oko uzdužne osi x, (t⋅m⋅rad),

Mψ – uzdužni statički moment stabiliteta broda oko uzdužne osi y, (t⋅m⋅rad),

BMK – položaj poprečnog metacentra broda, (m),

LMK – položaj uzdužnog metacentra broda, (m),



249

yM – moment istisnine oko osi y, (t⋅m),

ypM – moment istisnine oko osi y kod ELP pomaka, (t⋅m),

zM – moment istisnine oko osi z, (t⋅m),

zpM – moment istisnine oko osi z kod ELP pomaka, (t⋅m),

N – broj točaka ulaznog skupa RBF opisa,

Nd – broj dodanih točaka ulaznog skupa RBF opisa,

NK – krajnje točke presjeka broda s VL,

NL – broj lomova forme broda,

NLi – broj točaka pojedinog loma forme,

Nmin – broj točaka kod kojeg Lagrangeova interpolacija ima minimalnu pogrešku,

NP – broj točaka poopćavanja,

NPR – broj dodatnih točaka preluka za opis forme broda,

NRi – broj točaka rebara broda,

NR – broj rebara broda,

NR+ – broj dodanih međurebara broda,

NST – broj točaka statve broda,

NVL – broj vodnih linija,

NZN – značajan broj točaka ekvidistantne Lagrangeove interpolacije,

Nϕ – broj kuteva bočnog nagiba u prostoru hidrostatskih svojstava,

Nψ – broj kuteva uzdužnog nagiba u prostoru hidrostatskih svojstava,

NK – stvarni položaj metacentra broda, (m),

NU – broj unutarnjih prostora broda kojima se mijenjaju svojstva,

NV – broj vanjskih prostora kojima se opisuje brod,

O – broj centara kod aproksimacije opisa,

P – implicitni opis površine tekućine koja okružuje brod,

( )xP – polinomska, interpolacijska funkcija opisa,

Pf – funkcional reprodukcijske funkcije,

R – oznaka rebra broda,

RMSE – globalna pogreška opisa (eng. Root Mean Square Error),

Rn – pogreška razvoja u Taylorov red,

S – RBF opis prostora hidrostatskih svojstava broda,



250

Si – RBF opis prostora hidrostatskih svojstava rebra broda i ,

S ili ∇S – RBF opis hiperplohe hidrostatskih svojstava broda dobijene za .konst=∇ ,

dS – diferencijalni element plohe,

SG – raspored težinskih opterećenja broda,

SB – raspored uzgonskih opterećenja broda,

S3 – kubični spline,

T – preslikavanje,

( )xBT – točka forme broda iza koje ulazni skup postaje ponovo bijektivan,

( )xNBT – točka forme broda kod koje je ulazni skup točaka nebijektivan,

U – sila uzgona broda, (N)

VL – oznaka vodne linije,

VL – implicitna funkcija opisa vodne linije,

X – višedimenzijski ulazni skup podataka, sxxx ,,, 21 K=Χ ,

XB – položaj težišta istisnine broda,

XG – položaj gravitacijskog težišta sustava broda,

XP – skup točaka za poopćavanje opisa, PPP zx ,≡Χ ,

XVL – položaj težišta vodne linija broda,

Y – višedimenzijski izlazni skup podataka, Myyy ,,,Y 21 K= ,

Y – matrica izlaznih vrijednosti skupa za učenje,

Wn – ukupni Hermiteov interpolacijski polinom,

+0IN – prostor pozitivnih prirodnih brojeva s nulom,

IN – prostor prirodnih brojeva,

IR – prostor realnih brojeva,

α j – težinski koeficijenti splineova,

β – glavni eksponent radijalnih osnovnih funkcija,

γ – pomoćni eksponent radijalnih osnovnih funkcija,

δ – Kroneckerova delta funkcija,

xδ – funkcional,

ϕ – 1. kut nagibanja, odnosno bočnog nagiba broda oko globalne osi x, 2. radijalna osnovna funkcija,

ϕ0 – početni kut bočnog nagiba broda prije nagibanja,

λi – koeficijent sličnosti rebra i kod opisa geometrije skaliranjem,



251

κ – zakrivljenost krivulje/plohe,

κ1, κ2 – zakrivljenost u glavnim smjerovima plohe,

κM – srednja zakrivljenost plohe,

21κκκ =G – Gaussova zakrivljenost plohe,

µ – Borelova mjera,

φ – univarijantna osnovna radijalna funkcija,

ρ – gustoća mora, (t/m3),

ρU – gustoća tereta u unutarnjim prostorima broda, (t/m3),

σ – kut zaošijanja, odnosno nagiba broda oko globalne osi z,

ω – 1. parametar Fourierove integracije RBF, 2. težinski koeficijent polinomskog člana RBF,

ψ – kut trima, odnosno uzdužnog nagiba broda oko globalne osi y,

ξi – gibanja broda, 6,,1K=i ,

Θ – vektor kuteva rotacije broda,

π – prostor polinomskih funkcija,

Γ – Gama funkcija,

∆ – masena istisnina broda, (t),

Φ – multivarijantna osnovna radijalna funkcija,

Φ – Fourierova transformacija multivarijantne osnovne radijalne funkcije, po parametruω ,

Ω – prostor linearnih orubljenih funkcionala,

∇ – volumen istisnine broda, (m3)

PXr

– orjentirani skup točaka za poopćavanje,

E – skup svojstava okoline broda,

F – prostor svih sila koje mogu djelovati na brod,

G – skup geometrijskih svojstava broda,

H – prostor svih hidrostatskih svojstava,

L – prostor svih mogućih događaja broda,

N – prostor svih trenutno mogućih događaja broda,

P – prostor svih mogućih položaja broda,

W – skup težinskih svojstava broda.



252

POPIS SLIKA Slika 1: Značajni brodski prostori .................................................................................................................. ........ 3 Slika 2: Žičani opis brodske forme (preuzeto iz [8]) ...................................................................................... ........ 4 Slika 3: Promjena položaja težišta VL broda za velike promjene kuteva nagiba broda ................................. ...... 17 Slika 4: Naginjanje tekućine u nekom pravokutnom tanku............................................................................ ...... 19

Slika 5: Utjecaj poprečne dimenzije Uib na moment slobodne površine za tank trokutastog poprečnog presjeka. 20

Slika 6: Opis Rungeove funkcije Lagrangeovim polinomima za jednoliki raspored točaka opisa uz N = 11 ...... 28 Slika 7: Globalni RBF opis krmenog rebra broda za opći teret s lomom na spoju boka i palube .................. ...... 29 Slika 8: Oscilacije opisa između zadanih točaka............................................................................................ ...... 30 Slika 9: Presjeci broda ravninama (preuzeto iz [34]) ..................................................................................... ...... 35 Slika 10: Globalna točnost opisa polukružnice Lagrangeovim polinomima .................................................. ...... 49 Slika 11: Opis jedinične polukružnice Lagrangeovim polinomima,............................................................... ..........

a) x - y, b) x – Err, c) N – log(|Err|), d) N – log(|Err(1:5)|) .............................................................. ...... 50 Slika 12: Opis Frankeove 1D funkcije na rasponu od -1 do 1, N = 21 ........................................................... ...... 55 Slika 13: Opis Frankeove 1D funkcije na rasponu od -2 do 2, N = 41 ........................................................... ...... 55 Slika 14: Prikaz dijela opisa Frankeove 1D funkcije na rasponu od -2 do 2, N = 41, u dijelu od -1 do 1...... ...... 56 Slika 15: Određivanje središta zakrivljenosti u točci nebijekcije ................................................................... ...... 59 Slika 16: Opis loma određenog dijelovima jednične kružnice Lagrangeovim polinomima za N = 11 .......... ...... 60 Slika 17: Dodavanje točaka po najvećem radijusu, ELP faza III ................................................................... ...... 61 Slika 18: Usporedba lokalne točnosti opisa loma prije i nakon dodavanja točaka po ELP postupku............. ...... 61 Slika 19: Unaprijedna, jednoslojna RBF neuronska mreža ............................................................................ ...... 69 Slika 20: Položaji točaka ulaznog skupa i točaka centara razvoja.................................................................. ...... 70 Slika 21: Striktno pozitivno definitne funkcije koje se temelje na Gaussovoj funkciji .................................. ...... 78 Slika 22: Striktno pozitivno definitne funkcije koje se ne temelje na Gaussovoj funkciji ............................. ...... 79 Slika 23: Uvjetno pozitivno definitne radijalne funkcije................................................................................ ...... 80 Slika 24: Kompaktna podrška funkcija .......................................................................................................... ...... 82 Slika 25: Grafovi funkcija s kompaktnom podrškom..................................................................................... ...... 83 Slika 26: Dijagram senzitivnosti funkcija u opisu Frankeove 2D funkcije s N=841 točkom,........................ ..........

a) MQRBF, 5,0=β b) Gaussova RBF 2=β ........................................................................ ...... 90

Slika 27: Opis Frankeove 2D funkcije s N=841 točkom, uz MQRBF s 5,0=β 001,0=c ...................... ...... 90

Slika 28: Graf Gama i recipročne Gama funkcije........................................................................................... ...... 91 Slika 29: Dijagram senzitivnosti β - log(RMSE), kod MQRBF opisa Frankeove 2D funkcije s N=841 ....... ...... 92 Slika 30: Dijagram senzitivnosti )RMSElog(−c , kod MQRBF opisa Frankeove 1D funkcije .............. ...... 93

Slika 31: Dijagram senzitivnosti β - log(RMSE) za Frankeovu 1D funkciju uz γ = 1 ................................... ...... 94 Slika 32: Dijagram ovisnosti β - log(RMSE) funkcije PRBF kod opisa 1D Frankeove funkcije s N = 41 .... ...... 97 Slika 33: Dijagram ovisnosti c - log(RMSE)funkcije PRBF kod opisa 1D Frankeove funkcije s N = 41...... ...... 97



253

Slika 34: Presjeci stošca ravninama koje daju razne kvadratne krivulje ........................................................ .... 106

Slika 35: Dijagrami osjetljivosti ( )RMSElog−c kod MQRBF za γ = 2 i γ = 1..................................... .... 108

Slika 36: a) Nezakrenuti opis uzvoja radijusa R = 2,5m, b) Zakrenuti opis uzvoja radijusa R = 2,5m za kut ..........

od 45° ............................................................................................................................................. .... 111 Slika 37: a) Opis eliptičkog uzvoja, a=2,5m i b=3,5m b) Zakrenuti opis eliptičkog uzvoja sa .... a=2,5m..........

i b=3,5m........................................................................................................................................ .... 111 Slika 38: Vrijednosti RMSE za različite vrijednosti parnih eksponenata FRP............................................... .... 112 Slika 39: Opis funkcijom RP uz β = 3 kod nezakrenutog prikaza.................................................................. .... 114 Slika 40: Opis funkcijom RPuz 3=β kod zakrenutog prikaza za 45° ......................................................... .... 115

Slika 41: Klin s granama određenim dijelovima jedinične kružnice, opisan Lagrangeovim

polinomima za jednoliki raspored točaka opisa uz N = 11. (Točka loma je označena s L.) ........... .... 117 Slika 42: Opis Rungeove funkcije Lagrangeovim polinomima za jednoliki raspored točaka opisa uz N = 11... 119 Slika 43: Globalni opis krmenog rebra broda za opći teret pomoću MQ RBF s β = 1,5, γ = 2 i c = 0,01..... .... 119 Slika 44: Matematski opis diskontinuiteta krivulje ........................................................................................ .... 121 Slika 45: Opis loma određenog pravcima Lagrangeovim polinomima za N = 11 .......................................... .... 124

Slika 46: Dijagram ( ) ( )dodNrf ,Errlog = .............................................................................................. .... 125

Slika 47: Opis probnog rebra broda za opći teret s PRBF s β = 3 i c = 0,01, korištenjem ELP postupka s

translacijom, s Ndod = 10 dodatnih točaka....................................................................................... .... 127 Slika 48: Opis testnog rebra br. 1, s PRBF s β = 3 i c = 0,01, korištenjem ELP postupka s pomakom po

kružnici, s 10=dodN dodatnih točaka, te prikazanim povećanjem područja loma i bulba rebra.. .... 129

Slika 49: Globalni opis testnog rebra 2 s bočnim lomom PRB funkcijom s β = 3, c = 2,11, ELP postupkom

translacijom s Ndod = 10 dodanih točaka po lomu........................................................................... .... 130 Slika 50: Dijagram osjetljivosti opisa testnog rebra br. 2 opisanog s PRBF, uz β = 3, ELP postupkom uz

translaciju s Ndod = 10 ..................................................................................................................... .... 131 Slika 51: Dijagram osjetljivosti opisa probnog rebra s lomom i prelukom s PRBF uz β = 3, c = 0,01,

postupkom ELP s pomakom po kružnici, s Ndod = 10 dodanih točaka po diskontinuitetu.............. .... 132 Slika 52: Globalni opis probnog, testnog rebra 2, PRB funkcijom s β = 3 i 93,0=c , ELP postupkom

pomakom po kružnici s Ndod = 10 dodanih točaka po lomu............................................................ .... 132 Slika 53: Opis diskontinuiteta gusto dodanim točkama i pravcima................................................................ .... 135 Slika 54: Opis probnog rebra s lomom i prelukom kompatibilnim PRB funkcijama, uz PRBF s β = 3

kao glavnom funkcijom, te PRBF sβ = 1 kao funkcijom za opis loma.......................................... .... 137 Slika 55: Opis test-rebra br. 2, s lomom i prelukom, prirodnim opisom kompozicijom RBF funkcija,

uz PRBF s β = 3 kao glavnom funkcijom, PRBF s β = 1 kao funkcijom za opis loma, te s........... .... 138 Slika 56: Dijagram osjetljivosti opisa testnog rebra 2, s lomom i prelukom, kompatibilnim PRBF-PRBF

funkcijama, s β = 3 i β = 1............................................................................................................. .... 139 Slika 57: Utjecaj pomaka dodatnih točaka za opis loma od točke loma......................................................... .... 141



254

Slika 58: Opis probnog rebra s ravnim dnom, bokom i prelukom, kompatibilnim PRBF zakretanjem za 45° ... 143 Slika 59: Rezultati lokalnih pogrešaka i opisa probnog rebra s ravnim dnom, bokom i prelukom,

kompatibilnim PRBF zakretanjem za 45° ...................................................................................... .... 143 Slika 60: Opis testnog rebra br. 1 pomoću kompozicije PRBF, uz prikaz zraka zakrivljenosti ..................... .... 144 Slika 61: Desnokretni koordinatni sustav broda postavljen u krmenu okomicu............................................. .... 147 Slika 62: Grupiranje pogreške u jednoj točci kod integracije s točnošću RMSE = 4,16⋅10-2 ......................... .... 158 Slika 63: Raspodjela svojstava površine test rebra po visini .......................................................................... .... 181 Slika 64: Određivanje korekcijskih trokuta .................................................................................................... .... 188

Slika 65: Površine test rebra br. 2 za kuteve bočnog nagibaϕ od 0 do 90° po proračunskoj visini Pz ......... .... 192

Slika 66: Primjer proračuna hidrostatskih svojstava testnog rebra br. 2......................................................... .... 193 Slika 67: Usporedba rezultata opisa Frankeove 2D funkcije MQRBF interpolacijom i aproksimacijom ...... .... 194 Slika 68: Opis pantokarene pantokline površine rebra A PRBF aproksimacijom: ......................................... .... 195 Slika 69: Opis pantokarene pantokline težišta istisnine površine rebra yB PRBF aproksimacijom: ............... .... 196 Slika 70: Opis pantokarene pantokline težišta istisnine površine rebra zB PRBF aproksimacijom: ............... .... 196 Slika 71: PRBF opis polovice pravokutnog presjeka test broda br. 1 – pontona, uz β = 1 i c = 1,42............. .... 197 Slika 72: Površine osnovnog rebra pontona integracijom PRBF opisa ......................................................... .... 198 Slika 73: Prikaz hidrostatskih svojstava pravokutnog presjeka uz PRBF opis, za kuteve od °= 10ϕ

do °= 90ϕ , uz °=∆ 10ϕ .......................................................................................................... .... 198

Slika 74: Krivulje položaja težišta istisnine – pantokarene izokline pravokutnog presjeka uz PRBF opis,

za kuteve od ϕ = 0° do ϕ = 90°, uz ∆ϕ = 2° ................................................................................... .... 199 Slika 75: PRBF opis pantokarena pantoklina pontona za yB i zB, uz kut trima ψ = 0 i β = 0,5....................... .... 199 Slika 76: PRBF opis Pantokarene pantokline pontona za dVL i kut trima ψ = 0 i β = 0,5............................... .... 200 Slika 77: Određivanje presjeka broda i ravninske vodne linije po rebrima, uz proračun hidrostatskih

svojstava ....................................................................................................................................... .... 204

Slika 78: Presjecanje cijelog trupa broda vodnim linijama za nagibe ji ψϕ , ............................................. .... 205

Slika 79: Ulazne varijable hiperplohe hidrostatskih svojstava, za

90 80,70,60,50,40,30,20,10,4=ϕ i 9 ,4 ,1 ,1,4,10 −−−=ψ ..................................... .... 206

Slika 80: Težišta istisnine test broda br. 1, za sve kuteve ψϕ, .................................................................. .... 206

Slika 81: Težišta vodnih linija test broda br. 1, za sve kuteve ψϕ, ........................................................... .... 207

Slika 82: Primjer proračuna hidrostatskih svojstava rebra asimetričnog tanka test broda br. 1

a) Kut nagiba ϕ = 40°, b) Kut nagiba ϕ = – 40° ............... .... 210 Slika 83: Pantokarena pantoklina asimetričnog cilindričnog tanka u obliku četvrtine kružnice, a) yB, b) zB.. .... 210 Slika 84: Težišta istisnine asimetričnog, cilindričnog unutarnjeg prostora broda u obliku četvrtine

kružnice, za sve kuteve ϕ, ψ (crvenom bojom su označene točke za ϕ = 90°, a

zelenom bojom točke za ϕ = 0° ) .................................................................................................. .... 211



255

Slika 85: Težišta vodnih linija asimetričnog, cilindričnog unutarnjeg prostora broda u obliku četvrtine

kružnice, za sve kuteve ϕ, ψ (crvenom bojom su označene točke za ϕ = 90°, a zelenom

bojom točke za ϕ = 0° )......................................................................................................... .... 212

Slika 86: Presjek potprostora ( ) BXH hidrostatskih svojstava broda u obliku polukružnog cilindra,

konstantnim volumenom istisnine ............................................................................................... .... 218

Slika 87: Presjek potprostora ( ) VLXH hidrostatskih svojstava broda u obliku polukružnog cilindra,

konstantnim volumenom istisnine ............................................................................................... .... 219 Slika 88: Nacrt test-broda br. 2, podmornice.................................................................................................. .... 223 Slika 89: Opis pola kružnice osnovnog rebra s R = 2,5 (m), unutarnjeg trupa podmornice, kubno-linearnom

PRBF s gustim opisom rubova ....................................................................................................... .... 224 Slika 90: Prikaz hidrostatskih svojstava kružnice s R = 2,5 (m), uz PRBF opis, za kuteve od °= 10ϕ do

°= 90ϕ , uz °=∆ 10ϕ ............................................................................................................... .... 225

Slika 91: Proračun hidrostatskih svojstava kružnice PRBF opisom, °÷°= 900ϕ °=∆ 10ϕ ................. .... 226

Slika 92: Prikaz hidrostatskih PRBF opisa hidrostatskih svojstava kružnice, A, yB i zB ................................. .... 227 Slika 93: Prikaz hidrostatskih PRBF opisa hidrostatskih svojstava kružnice, yVL, zVL i dVL ............................ .... 228 Slika 94: Presjeci unutarnjeg trupa podmornice sa izračunatim položajima težišta istisnine i vodnih linija

za ϕ = 0° te kuteve ψ = -25°, 0,4° (N = 37) i12,2° (N = 61). .............................................. .... 230 Slika 95: Integracija hidrostatskih svojstava po duljini uzgonskog volumena unutarnjeg trupa podmornice .... 231 Slika 96: Presjeci unutarnjeg trupa podmornice s ravninskom vodnom linijom ............................................ .... 231 Slika 97: Opis torus-sferičnog završetka unutarnjeg trupa test broda br. 2 – podmornice pomoću 3D PRBF

s β = 0,5, te γ = 2, c = 0 i N = 1190 ................................................................................................ .... 232 Slika 98: Položaji težišta istisnine unutarnjeg trupa test podmornice............................................................. .... 233 Slika 99: Položaji težišta vodne linije unutarnjeg trupa test podmornice ....................................................... .... 233 Slika 100: Rezultati opisa prostora hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa test podmornice za ψ < 0........ .... 235 Slika 101: Test rebro br. 1– Krmeno rebro broda za opći teret ...................................................................... .... 260 Slika 102: Test rebro br. 2 – Krmeno rebro broda za prijevoz auta i kamiona............................................... .... 260 Slika 103: Test rebro br. 3 – Glavno rebro tankera ........................................................................................ .... 261 Slika 104: Test brod br. 2 – Brod u obliku polukružnog cilindra ................................................................... .... 262 Slika 105: Određivanje središta zakrivljenosti krivulje pomoću okomica na spojnice točaka ....................... .... 264 Slika 106: Anti-simetrično zrcaljenje oko tangente u točci loma L................................................................ .... 264 Slika 107: Lom zakrivljene, glatke krivulje .................................................................................................. .... 265 Slika 108: Postupak Elastičnog pomaka točaka pomakom po kružnici.......................................................... .... 266 Slika 109: Postupak ELP – korak IIIa ............................................................................................................ .... 266 Slika 110: Određivanje središta radijusa zakrivljenosti ravne grane i anti-simetrično zrcaljenje grane sa

središtem zakrivljenosti sa suprotne strane................................................................................... .... 267 Slika 111: Određivanje korekcijskih trokuta .................................................................................................. .... 280 Slika 112: Situacija kod koje su obje točke presjeka VL s lijeve strane od CL ............................................. .... 282



256

Slika 113: Situacija kod koje su obje točke presjeka VL s desne strane odCL ............................................ .... 283 Slika 114: Situacija kod koje se točke presjeka VL nalaze s lijeve, odnosno desne strane od CL ................. .... 283 Slika 115: Proračun hidrostatskih svojstava polukružnice uz PRBF opis i °=∆ 10ϕ ................................. .... 285

Slika 116: Prikaz hidrostatskih svojstava polukružnice uz PRBF opis, za kuteve od °= 10ϕ do °= 90ϕ ,

uz °=∆ 10ϕ ............................................................................................................................... .... 286

Slika 117: Prikaz hidrostatskih PRBF opisa hidrostatskih svojstava polukružnice, A, yB i zB ........................ .... 287

Slika 118: Prikaz hidrostatskih PRBF opisa hidrostatskih svojstava polukružnice, VLy , VLz i VLd .............. .... 288

Slika 119: Proračun hidrostatskih svojstava test rebra br. 2, za kuteve od °= 0ϕ do °= 90ϕ ,

uz °=∆ 2ϕ ................................................................................................................................ .... 289

Slika 120: Prikaz hidrostatskih svojstava test rebra br. 2 za kuteve od °= 10ϕ do °= 90ϕ , ...................

uz °=∆ 10ϕ ............................................................................................................................... .... 290

Slika 121: Prikaz rezultata opisa parametara prostora hidrostatskih svojstava VLy , VLz i VLd ..................... .... 292

Slika 122: Proračun hidrostatskih svojstava četvrtine kružnice uz PRBF opis, °÷°−= 9080ϕ °=∆ 10ϕ 293

Slika 123: Prikaz hidrostatskih svojstava četvrtine kružnice uz PRBF opis, za kuteve od °= 10ϕ do

°= 90ϕ , uz °=∆ 10ϕ ............................................................................................................. .... 294

Slika 124: Prikaz hidrostatskih svojstava četvrtine kružnice uz PRBF opis, za kuteve od °−= 10ϕ

do °−= 80ϕ , uz °−=∆ 10ϕ .................................................................................................. .... 295

Slika 125: Prikaz PRBF opisa hidrostatskih svojstava četvrtine kružnice, A, yB i zB...................................... .... 296 Slika 126: Prikaz PRBF opisa hidrostatskih svojstava polukružnice, yVL, zVL i dVL ........................................ .... 297



257

POPIS TABLICA Tablica 1: Granice nekih RBF............................................................................................................................... 75 Tablica 2: Striktno pozitivno definitne funkcije koje se temelje na Gaussovoj funkciji ....................................... 77 Tablica 3: Striktno pozitivno definitne funkcije koje se ne temelje na Gaussovoj funkciji................................... 78 Tablica 4: Uvjetno pozitivno definitne radijalne funkcije ..................................................................................... 80 Tablica 5: Funkcije s kompaktnom podrškom....................................................................................................... 83 Tablica 6: Minimalni stupanj polinoma ovisno o odabranoj RBF......................................................................... 85 Tablica 7: Značajni rezultati proračuna pravca RBF opisom .............................................................................. 108 Tablica 8: Rezultati opisa kružnog i eliptičkog uzvoja s FRP, za granične vrijednosti broja točaka .................. 112 Tablica 9: Granične vrijednosti broja točaka za različite γ kod MQ RBF ........................................................... 113 Tablica 10: Rezultati opisa kružnog uzvoja s MQ i γ = 1 za granične vrijednosti broja točaka ulaznog skupa .. 113 Tablica 11: Rezultati opisa kružnog uzvoja s MQ za γ = 1, za granične vrijednosti broja točaka ulaznog

skupa, uz rotaciju ulaznog skupa za kut 45° oko osi z............................................................. .... 113 Tablica 12: Rezultati opisa za neparne glavne eksponente funkcije RP za ...1,5; 1; 0,5; ,12 =+⋅= kkβ

uz c = 0, za N točaka ulaznog skupa raspodjeljenih na Čebiševljevim čvorovima...................... .... 114 Tablica 13: Rezultati opisa za neparne glavne eksponente funkcije MQ RBF za 12 +⋅= kβ , ...2; 1; 0; =k

uz c = 0,01, za N točaka ulaznog skupa raspodjeljenih na Čebiševljevim čvorovima....................... 115 Tablica 14: Opis testnog rebra broda za prijevoz općeg tereta povoljnim RBF opisima..................................... 120 Tablica 15: Opis testnog rebra ELP postupkom samo s translacijom ................................................................. 126 Tablica 16: Opis testnog rebra ELP postupkom, pomakom po kružnici, s ravnomjernim rasporedom točaka ... 128 Tablica 17: Opis testnog rebra ELP postupkom, pomakom po kružnici, s Čebiševljevim rasporedom točaka... 128 Tablica 18: Opis testnog rebra s lomom ELP postupkom s translacijom ............................................................ 130 Tablica 19: PRBF s β = 3 uz parametre oblika c koji daju minimalne vrijednosti RMSE .................................. 131 Tablica 20: Opis testnog rebra s lomom ELP postupkom pomakom po kružnici uz Čebiševljeve točke............ 131 Tablica 21: PRBF uz β = 3 i parametre oblika c koji daju minimalne vrijednosti RMSE.................................. 132 Tablica 22: Rezultati proračuna testnog rebra br. 2, kompozicijom RB funkcija s gustim opisom loma, po 1

točkom sa svake strane oko točke loma, na udaljenosti od 10-4 (m)............................................. .... 136 Tablica 23: Utjecaj položaja dodatnih točaka na rezultate opisa testnog rebra s lomom..................................... 140 Tablica 24: Usporedba rezultata proračuna direktnom integracijom PRBF opisa i vrijednosti iz Knjige trima

i stabiliteta, [106], test rebra br. 2, te test rebra br. 4, tj. polukružnice ......................................... .... 181 Tablica 25: Usporedni rezultati analitičkih proračuna hidrostatskih svojstava pontona za Nd = 13,

maksimalni raspon volumena, te razmak između točaka 0,025 (m) ............................................. .... 200 Tablica 26: Usporedni rezultati analitičkih proračuna hidrostatskih svojstava pontona za N = 3109, dobijenih

za Nd = 27, raspon volumena od 0,3⋅Vmax do 0,9⋅Vmax, te razmak između točaka 0,0005 (m) ...... .... 201 Tablica 27: Lokalne točnosti opisa pantokarena pantoklina osnovnog rebra PRBF interpolacijom ................... 228



258

Tablica 28: Rezultati globalnog PRBF opisa prostora hidrostatskih svojstava unutarnjeg trupa test

podmornice................................................................................................................................... .... 234 Tablica 29: Lokalni rezultati PRBF opisa pojedinih značajki prostora hidrostatskih svojstava unutarnjeg

trupa, test podmornice, za ψ > 0 iϕ = 0 ........................................................................................ .... 234 Tablica 30: Volumeni i težišta pravilnih tijela od kojih je načinjen unutarnji trup test broda br. 2 -

podmornice................................................................................................................................... ... 236 Tablica 31: Fourierove transformacije nekih RBF s L2 normom ........................................................................ 273 Tablica 32: RBF opisi pravca .............................................................................................................................. 274 Tablica 33: Opisi testnog rebra br. 1 Hermiteovom RBF interpolacijom............................................................ 276 Tablica 34: Opisi testnog rebra br. 1, RBF interpolacijom uz γ = 1.................................................................... 277 Tablica 35: Opis testnog rebra broda za prijevoz općeg tereta RBF opisom za razne tipove RB

funkcija i pripadne parametre β i c, uz γ = 1................................................................................ .... 278 Tablica 36: Opis testnog rebra broda za prijevoz općeg tereta RBF opisom za RBF s kompaktnom

podrškom Wendlandovog tipa...................................................................................................... .... 278 Tablica 37: Rezultati opisa pantokarene pantokline testnog rebra br. 2 pomoću MQRBF LOO

aproksimacije sa izostavljenom točkom N – 15............................................................................ .... 291



259

DODATAK A. 1): OPĆE TEST FUNKCIJE Kao opće test funkcije koje će se koristiti za proračun u ovoj disertaciji su određene Frankeove 1D i 2D funkcije.

Jednadžba Frankeove 1D funkcije je:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2222 49479419429 1.05.075.0 −−−−+−−− ⋅−⋅++⋅= xxxx eeeexf

Jednadžba Frankeove 2D funkcije koja će se koristiti za provjeru je:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ] ( ) ( )2222

2222

794910194919

4397942929

2.05.0

75.0,−−−−+++−

−+−−−+−−

⋅−⋅+

++⋅=yxyx

yxyx

ee

eeyxf



260

DODATAK A. 2): TEST REBRA Test rebra odabrana za provjeru svojstava RBF proračuna su krmena rebra broda za opći teret, te broda za

prijevoz auta i kamiona.

0 2 4 6 80

2

4

6

8

10

← Max

MQ RBF, β = 1.5, c = 0.01 Not scaled, N = 29, Ncrt = 2801 - RMSE = 1.683e-6 - Max. Point Error = 4.70e-11[m] - Max. Error = 7.121e-1[m]

y/2

z

L

z y/2 1 0,6657 0 2 1 0,354 3 1,5 0,4 4 2 0,235 5 2,5 0,14 6 2,625 0,1419 7 2,75 0,161 8 2,919 0,21 9 2,923 0,213 10 3 1,189 11 3,2639 4,5336 12 3,4685 5,2365 13 3,5 5,293 14 3,9252 5,79 15 4 5,8474

z y/2 16 4,4676 6,0944 17 4,5 6,1051 18 5 6,1978 19 5,086 6,2 20 5,5 6,2 21 6 6,2 22 6,5 6,2 23 7 6,2 24 7,5 6,2 25 8 6,2 26 8,5 6,2 27 9 6,2 28 9,248 3,1 29 9,248 0

Sl. 101: Test rebro br. 1– Krmeno rebro broda za opći teret

0 5 10 15 200

5

10

15

20

25

30

← Max

Glavna funkcija PRBF, β = 3.0, c = 3.08 Funkcija za opis loma PRBF, m = 1 Not scaled, N = 20, Ncrt = 2101 - RMSE = 1.547e-7 - Max. Point Error = 3.528e-9[m] - Max. Error = 4.210e-7[m]

y/2 [m]

z [m

]

z y/21 0,0408 02 0,1 0,17583 0,25 0,42284 0,5 0,68575 0,75 0,86886 1 1,0057 1,5 1,1738 2 1,23299 3 1,119810 4 0,825511 5 0,545612 6 0,521813 7 1,071414 8 3,794815 9 9,150716 10 14,5066 17 10,1948 15,5518 11 15,5519 12 15,5520 13 15,55

z y/221 14 15,5522 15 15,5523 16 15,5524 17 15,5525 18 15,5526 19 15,5527 20 15,5528 21 15,5529 22 15,5530 23 15,5531 24 15,5532 25 15,5533 26 15,5534 27 15,5535 28 15,5536 28,5 15,5537 28,6 13,44538 28,7 11,3439 28,7 5,67440 28,7 0

Sl. 102: Test rebro br. 2 – Krmeno rebro broda za prijevoz auta i kamiona



261

17,5

m0,

5 m

z y/2

1 0 0

2 0 13,6

3 0,001 13,6707

4 0,01 13,8234

5 0,025 13,953

6 0,05 14,1027

7 0,1 14,3

8 0,15 14,4529

9 0,2 14,5798

10 0,25 14,6897

11 0,375 14,917

12 0,5 15,1

13 0,75 15,3854

14 1 15,6

15 1,25 15,7651

16 1,5 15,8913

17 1,75 15,9848

18 2 16,0495

19 2,25 16,0875

z y/2

20 2,5 16,1

21 3 16,1

22 4 16,1

23 5 16,1

24 6 16,1

25 7 16,1

26 8 16,1

27 9 16,1

28 10 16,1

29 11 16,1

30 12 16,1

31 13 16,1

32 14 16,1

33 15 16,1

34 16 16,1

35 17 16,1

36 17,5 16,1

37 18 7,3

38 18 0

Sl. 103: Test rebro br. 3 – Glavno rebro tankera



262

DODATAK A. 3): TEST BRODOVI TEST BROD BR. 1: PRAVOKUTNI PONTON Test brod br. 1 je nepregrađeni ponton pravokutnog presjeka dimenzija L = 1 (m), B = 2,2 (m) i H = 1,54 (m).

TEST BROD BR. 2: POLUKRUŽNI CILINDAR

Sl. 104: Test brod br. 2 – Brod u obliku polukružnog cilindra



263

DODATAK B: ELP POSTUPAK Da bi se izbjegle neželjene vrijednosti oscilacije, tj. da bi se one svele na željenu vrijednost, prema postupku

elastičnog pomaka je potrebno neželjeno područje opisa pomaknuti dodavanjem točaka Ndod s obje strane

diskontinuiteta, odnosno rubova prikaza. Tim postupkom se područje većih oscilacija pomiče izvan domene

opisa i opis proširuje za neki pomak x∆+ . Opisivanje RB funkcijama se zatim izvodi za prošireni broj točaka, a

zatim se točke vraćaju u samu točku loma i tako poništava njihov pomak s x∆− , kako pokazuje slika 17.

Odgovarajuću pseudo-kod postupka je:

POSTUPAK ELASTIČNOG POMAKA

Priprema: POČETNA POZICIJA

PRORAČUN SREDIŠTA ZAKRIVLJENOSTI TOČAKA

ODREĐIVANJE SITUACIJE I TIPA LOMA S OBZIROM NA ZAKRIVLJENOST

− Ravna grana

− Zakrivljene grane

RASPORED TOČAKA

− Jednoliki

− Čebišev

Korak I: POSTAVLJANJE SREDIŠTA GRANA LOMA U JEDNU TOČKU, CL = CD,

UZ PARALELNI POMAK PRAVCA nD,

Korak II: TRANSLACIJA PO Dn UZ DLLL LCLC ≡

( )∆yx,∆

Korak III: DODAVANJE TOČAKA dodidod Nix ,,1,, K= , ZA ODABRANI RAZMAK d

Korak IV: VRAĆANJE U POČETNU POZICIJU, SPAJANJEM TOČAKA LOMA DL LL ≡

( )x,-∆,∆−

Postupak se sastoji od 4 koraka, s pripremnom fazom kod koje se određuju središta zakrivljenosti pojedinih

dijelova krivulje koja se opisuje. Prije veličine i smjera elastičnog pomaka je potrebno odrediti središta

zakrivljenosti lijeve i desne grane krivulje s lomom, CL i CD, te tangente i normale svake grane.



264

Sl. 105: Određivanje središta zakrivljenosti krivulje pomoću okomica na spojnice točaka

Postoji nekoliko numeričkih postupaka za određivanje središta zakrivljenosti krivulje, a ovdje će se ona odrediti

presjekom pravaca okomica Oi na segmentne spojnice susjednih točaka opisa Si, kako pokazuje slika 105. Za

određivanje tipa loma s obzirom na zakrivljenost je potrebno provjeriti konkavnost, odnosno konveksnost grana

loma, provjerom vrijednosti drugih derivacija y ′′ , tj. diferencija grana opisa oko točke loma L.

Sl. 106: Anti-simetrično zrcaljenje oko tangente u točci loma L

Ako je ''''DL yy ≠ tada se centar potrebno izvesti anti-simetrično zrcaljenje središta zakrivljenosti oko tangente

jedne grane loma, središta za koje će se dalje izvesti postupak elastičnog pomaka, kako pokazuje slika 106.

Zakrivljene grane loma Za prikaz postupka rješenja diskontinuiteta elastičnim pomakom će biti odabran slučaj loma zakrivljene, glatke

krivulje koji prikazuje slika 107.



265

Dnr Lnr

Oznake na slici su sljedeće:

L – točka loma,

nL – pravac normale lijeve grane loma,

nD – pravac normale desne grane loma,

Lnr

– vektor normale lijeve grane loma,

Lnr

– vektor normale desne grane loma,

RL – radijus zakrivljenosti točke loma s lijeve

strane,

RD – radijus zakrivljenosti točke loma s desne

strane,

CL – središte zakrivljenosti točke loma s lijeve

strane,

CD – središte zakrivljenosti točke loma s desne

strane.

Sl. 107: Lom zakrivljene, glatke krivulje

Izglađivanje opisa se može vršiti na razne načine, a ovdje je odabran postupak zajedničkog radijusa

zakrivljenosti točaka obje grane loma, kako je to pokazuje slika 108, dolje.

Ulaznom skupu točaka se dodaju nove točke tako da se diskontunuitet poništi razdvajanjem grana loma za neki

pomak ( )yx ∆∆ , . Gore naveden postupak elastičnog pomaka je napravljen bez određivanja potrebnog broja

točaka za smanjenje pogreške.

Kao glavni kriterij za određivanje broja i razmaka točaka Ndod koje je potrebno dodati se uzima dozvoljena

vrijednost oscilacije, tj. lokalne vrijednosti pogreške Errmax, određena jednadžbom (36).

Ako se pogleda raspodjela pogreške opisa jedinične polukružnice po dijelovima opisa [ ]1, +≡ iii xxr , koju

pokazuje slika 11, vidimo da pogreška brzo opada i na dijelu r3 ima vrijednost ispod zahtjevane pogreške od 10-4

već iza broja točaka od N = 14.



266

DnrLnr

LnrDnr

LnrDnr

Sl. 108: Postupak Elastičnog pomaka točaka pomakom po kružnici

To je razlog zašto je kao najpovoljniji odabran postupak najvećeg zajedničkog radijusa zakrivljenosti točaka obje

grane loma. Osim toga, postavljanjem loma u sredinu prikaza, postižu se najmanje oscilacije upravo u tom dijelu

prikaza, pa je tu pogreška najmanja. Razmak dodanih točaka može biti promjenjiv ili biti jednak rasponu točaka

s lijeve ili desne strane loma, zavisno o razmaku između točke loma LD i posljednje dodane točke, koji ne smije

prijeći graničnu vrijednost za odabranu funkciju.

Lnr

Dnr

Sl. 109: Postupak ELP – korak IIIa



267

Posljednja dodana točka se može poklopiti s desnom točkom loma, Xdod ≡ LD i u tom slučaju je potrebno izvršiti

dodatnu translaciju po pravcu normale nL, kako to pokazuje slika 109.

Translacija se može obavljati i po nekoj drugoj poznatoj krivulji osim kružnice i može se izvoditi i po pravcu, što

je najjednostavniji postupak. Pritom je potrebno poznavati funkcijski izraz translacije radi poopćenja funkcije, tj.

određivanja funkcijskih vrijednosti povrata zadanih točaka ulaznog skupa.

Lom s ravnom granom/ravnim granama U slučajevima kada lom ima jednu ili obje ravne grane nije moguće odrediti zakrivljenost, tj. radijus

zakrivljenosti pravca teži u beskonačnost, R → ∞. Tada se za radijus zakrivljenosti uzima razmak između

točaka grana loma na promatranom mjestu ili se vrši direktna translacija po jednoj osi, koja ima niži kut nagiba u

odnosu na os apscise. Pomak se vrši prema odabranom rasporedu i broju točaka Ndod.

L

CL

CD

RL

RAVNA GRANA LOMA - ODREĐIVANJE SREDIŠTA ZAKRIVLJENOSTI

nD

nL

tL

Pravac

RD

L

CL

CD

RL

RAVNA GRANA LOMA – ANTI-SIMETRIČNO ZRCALJENJE

nD

nL

tL

Pravac

RD

L

CL

CD

RL

RAVNA GRANA LOMA - ODREĐIVANJE SREDIŠTA ZAKRIVLJENOSTI

nD

nL

tL

Pravac

RD

L

CL

CD

RL

RAVNA GRANA LOMA – ANTI-SIMETRIČNO ZRCALJENJE

nD

nL

tL

Pravac

RD

Sl. 110: Određivanje središta radijusa zakrivljenosti ravne grane i anti-simetrično zrcaljenje grane sa središtem

zakrivljenosti sa suprotne strane



268

DODATAK C.1): JEDNADŽBE DERIVACIJA POJEDINIH BAZNIH FUNKCIJA

Globalno podržane, striktno pozitivne definirane funkcije

Gaussova RBF: ( ) ( )2crer −=ϕ

( ) ( )222 crercrdrd −⋅−=ϕ

( ) ( ) ( )( )122 222

22

−⋅= − crercrdrd crϕ

Ova funkcija je C∞ kontinuirana u ishodištu.

Inverzna multikvadratna (IMQ) RBF: ( )( )( )2

121

1

crr

+=ϕ

( ) ( )

( )( )23

2

2

1 cr

crrdrd

+−=ϕ

( ) ( )

( )( )25

2

22

2

2

1

12

cr

crcrdrd

+

−=ϕ

Basic Matern RBF: ( ) crer −=ϕ

Ova funkcija nema diferenciju u ishodištu.

Linearna Matern RBF: ( ) ( )crer cr += − 1ϕ

( ) crercrdrd −⋅−= 2ϕ

( ) ( )122

2

−= − crecrdrd crϕ

Ova funkcija je C2 diferencijabilna u ishodištu, ali ne izglađuje krivulju.

Kvadratna Matern RBF: ( ) ( )( )233 crcrer cr ++= −ϕ

( ) ( )crrecrdrd cr +−= − 12ϕ



269

( ) ( )( )1222

2

−−= − crcrecrdrd crϕ

Ova funkcija je C4 diferencijabilna u ishodištu.

Kubična Matern RBF: ( ) ( ) ( )( )3261515 crcrcrer cr +++= −ϕ

( ) ( )( )22 33 crcrrecrdrd cr ++−= −ϕ

( ) ( )( )33322

2

−−= − crcrecrdrd crϕ


Globalno podržane, striktno uvjetno pozitivno definirane funkcije 1. reda

Linearna RBF: ( ) rr =ϕ

Ova funkcija nije diferencijabilna u ishodištu.

Multikvadratna (MQ) RBF: ( ) ( )( )21

21 crr +=ϕ

( ) ( )

( )( )21

2

2

1 cr

crrdrd

+=ϕ

( )( )( )2

32

2

2

2

1 cr

crdrd

+=ϕ



Poopćena MQ RBF: ( ) ( )( )23

21 crr +=ϕ

( ) ( )( )21

22 13 crrcrdrd

+=ϕ

( ) ( )

( )( )21

2

22

2

2

1

123cr

crcrdrd

+

+=ϕ




270

Kubna RBF: ( ) 3rr =ϕ

( ) 23rrdrd

=ϕ

( ) rrdrd 62

2

=ϕ

Tankostijeni spline (TPS) RBF: ( ) rrr ln2=ϕ

( ) ( )1ln2 += rrrdrd ϕ

( ) 3ln22

2

+= rrdrd ϕ

Singularnost prve derivacije ove funkcije se može ukloniti, ali druge derivacije ne može.


Poopćena MQ RBF: ( ) ( )( )25

21 crr +=ϕ

( ) ( )( )23

22 15 crrcrdrd

+=ϕ

( ) ( )( ) ( )( )21

2222

2

1145 crcrcrdrd

++=ϕ


Kvintna RBF: ( ) 5rr =ϕ

( ) 45rrdrd

=ϕ

( ) 32

2

20rrdrd

=ϕ

Tankostijeni spline (TPS) RBF 2. reda: ( ) rrr ln4=ϕ

( ) ( )1ln43 += rrrdrd ϕ

( ) ( )7ln1222

2

+= rrrdrd ϕ



271

Kompaktno podržane, striktno pozitivno definirane funkcije

Wendlandova ϕ 3,0 (Striktno pozitivna na IR3): ( ) ( )21 +−= crrϕ

Ova funkcija nije derivabilna u ishodištu.

Wendlandova ϕ 3,1 (Striktno pozitivna na IR3): ( ) ( ) ( )141 4 +−= + crcrrϕ

( ) ( )32 120 +−−= crrcrdrd ϕ

( ) ( )( )222

2

11420 +−−= crcrcrdrd ϕ

Ova funkcija je C2 diferencijabilna u ishodištu

Wendlandova ϕ 3,2 (Striktno pozitivna na IR3): ( ) ( ) ( )( )318351 26 ++−= + crcrcrrϕ

( ) ( )( )52 11556 +−+−= crcrcrdrd ϕ

( ) ( )( )( )4222

2

1143556 +−−−= crcrcrcrdrd ϕ


Wendlandova ϕ 3,3 (Striktno pozitivna na IR3): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1825321 238 +++−= + crcrcrcrrϕ

( ) ( )( )( )722 1171622 +−++−= crcrcrrcrdrd ϕ

( ) ( ) ( )( )( )62322

2

1161516022 +−−−+= crcrcrcrcrdrd ϕ


Wuova ϕ 3,3 (Striktno pozitivna na IR7): ( ) ( ) ( ) ( )( )16292051 234 +++−= + crcrcrcrrϕ

Ova funkcija nije derivabilna u ishodištu.

Wuova ϕ 3,2 (Striktno pozitivna na IR5): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )840482551 2345 ++++−= + crcrcrcrcrrϕ

( ) ( ) ( )( )( )4232 116292059 +−+++−= crcrcrcrrcrdrd ϕ



272

( ) ( ) ( ) ( )( )( )323422

2

181157602018 +−−+++= crcrcrcrcrcrdrd ϕ

Ova funkcija je C2 diferencijabilna u ishodištu

Wuova ϕ 3,1 (Striktno pozitivna na IR3):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )63682723051 23456 +++++−= + crcrcrcrcrcrrϕ

( ) ( ) ( )( )( )5232 141815511 +−+++−= crcrcrcrrcrdrd ϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )4234522

2

1416681421002522 +−−−+++= crcrcrcrcrcrcrdrd ϕ




273

DODATAK C.2): FOURIEROVE TRANSFORMACIJE RB FUNKCIJA S L2 NORMOM

Tab. 31: Fourierove transformacije nekih RBF s L2 normom

Osnovna funkcija,

( )xΦ

Izrazi Fourierova Transformacija,

Φ Gaussova

0,2

>− ce xc

( )2

2

4

2

1 cs e

c

ω−

Laguerre-Gaussova ( )

( ) ( ) kN

i

ksn

sn

x

tknsn

ktL

xLe

∑=

−

−+−

=0

2/

22/

2/!1

,2

04!2 0

24

2

≥∑=

−n

jj

j

s je ω

ω

Poissonova ( )2,12/

12/ ≥−− s

x

xJs

s ( )( )

1,...,1,,

22

11

1

22

2

<<−≤

−

Γ

−

−

−−

s

s

ss

ωωσπσ

ω

σσ

σ

Matérn ( )

( ) 2,2 1

2/2/ ≥

Γ−

−− s

xxK ss

ββ

ββ ( ) ββω

β2,0,1 2 <>+

−s

Opća Multikvadratna ( ) sIRxINcr ∈∉>+ ,2,0,1 22 ββ

β

( ) ( ) 0 , 2

2

21

≠

−Γ +

−−+

ωωω

β β

ββ

cKc s

s

Radijalnih Potencija ( ) sIRxINr ∈∉>− ,2,0,1 ββββ

( ) 20,

2

22 2

INβ

ss

s

∉<

−Γ

+

Γ−−

+

β

β

ωβ

β

0 , ≠ω

Tankostijeni spline ( ) sIRxINrr ∈∈− + ,,log1 21 βββ ( ) INs s

s

∈

+Γ− −−+−+ βωββ βββ ,!

221 22

121



274

DODATAK D: REZULTATI RBF OPISA PRAVCA

Postignuti rezultati pojedinom funkcijom i pripadnim parametrima su vizualno ocijenjeni opisom, kod kojih

pojedina oznaka znači sljedeće:

− „češalj“ – jake „nazubljene“oscilacije, oscilacija s oštrim lomovima,

− „osc.“ – jake oscilacije opisa između točaka, gdje se ne bi trebale pojaviti,

− „parabola“ – opis u obliku parabole,

− „pravac“ – opis u obliku pravca,

− „zakriv.“ – zakrivljeni, glatki opis

− „rub“ – oscilacije ruba,

− „hiperbola“ – opis u obliku hiperbole.

Tablica 32: RBF opisi pravca

Standardni Čebišev Halton Parametri Rezultati Rezultati Rezultati β γ c RMSE Err Opis RMSE Err Ocjena RMSE Err Ocjena

Gaus 1 1 0,01 3,043⋅10-4 - „češalj" 0,000 0,000 2 2,179⋅E-12 - „češalj" 0,000 0,000 3 9,265⋅10-12 - „češalj" 0,000 0,000 1 1 100 9,767⋅10-10 1,00⋅10-4 „osc.“ 1,637⋅10-13 1,201⋅10-3 "češalj" 8,660⋅10-13 "češalj" 2 7,619⋅101 - „parabola“ 7,558⋅102 1,71 1,202⋅102 parabola 3 7,750⋅10-2 zakrivljeno pravac 1,502⋅10-8 osc. zakrivlj. 2,684⋅10-9 rub

MQ 0,5 1 0,01 2,100⋅10-11 osc. "češalj" 2,440⋅10-14 0,3 "češalj" 8,502⋅10-15 0,65 "češalj" 2 2,070⋅10-7 osc. "češalj" 3,681⋅10-14 0,008 rub 3,760⋅10-14 0,009 rub. 1,5 1 1,405⋅10-8 osc. "češalj" 1,047⋅10-13 0,12 "češalj" 2 3,368⋅10-3 zakrivlj. 1,353⋅10-11 0,15 rub. 2,5 1 8,869⋅10-6 osc. rub 1,654⋅10-12 rub. 2 3,965 rub. 1,234⋅10-10 rub. 1 1 5,315⋅10-10 2,75⋅10-10 pravac 6,112⋅10-14 1,8⋅10-14 pravac 2,226⋅10-14 1,0⋅10-14 pravac 2 7,323⋅102 zakrivljeno parabola 8,966⋅101 parabola 4,663⋅102 parabola 2 1 2,247⋅10-7 osc. "češalj" 4,125⋅10-11 "češalj" 1,316⋅10-12 "češalj" 2 1,112⋅103 zakrivljeno parabola 3,017⋅102 600 hiperbola 9,344⋅101 parabola 3 1 2,982⋅10-3 osc. rub 4,365⋅10-12 0,2 rub 2 4,463⋅102 zakrivljeno parabola 2,250⋅102 hiperbola 4 1 1,215 zakrivljeno hiperbola 2 1,044⋅103 zakrivljeno parabola 5 1 5,787⋅10-1 hiperbola 2 5,744⋅103 zakrivljeno rub

IMQ -0,5 1 0,01 1,706⋅10-13 "češalj" 2 1,410⋅10-11 "češalj" -1 7,124⋅10-14 "češalj" 9,053⋅10-12 "češalj" -1,5 2,795⋅10-14 "češalj" 2,64910-12 "češalj" -0,5 1 100 4,149⋅10-9 1,00⋅10-4 "češalj"



275

Standardni Čebišev Halton Parametri Rezultati Rezultati Rezultati β γ c RMSE Err Opis RMSE Err Ocjena RMSE Err Ocjena 2 2,745⋅102 parabola -1 2,092⋅10-9 4,00⋅10-4 "češalj" 7,529⋅102 parabola -1,5 2,309⋅10-9 7,00⋅10-4 "češalj" 4,828⋅101 parabola

GMQ 0,5 1 0,01 2,862⋅10-11 "češalj" 3,058⋅10-14 0,4 "češalj" 1,880⋅10-14 "češalj" 2 5,783⋅10-8 rub 4,924⋅10-14 0,008 rub 7,784⋅10-14 rub. 1 1 9,935⋅10-11 7,16⋅10-12 pravac 4,239⋅10-14 7,1⋅10-15 pravac 2,172⋅10-14 1,8⋅10-14 pravac 2 2,562⋅102 parabola 2,762⋅102 ~500 parabola 8,712⋅103 parabola 1,5 1 5,311⋅10-9 rub "češalj" 1,331⋅10-13 "češalj" 2 9,646⋅10-3 parabola 1,186⋅10-12 "češalj"

TPS 1 1 5,315⋅10-10 2,75⋅10-10 pravac 2 7,323⋅102 zakrivljeno parabola 2 1 2,247⋅10-7 osc. "češalj" 2 1,112⋅103 zakrivljeno parabola 3 1 2,982⋅10-3 osc. rub 2 4,463⋅102 zakrivljeno parabola 4 1 1,215 zakrivljeno hiperbola 2 1,044⋅103 zakrivljeno parabola

FRP 0,5 1 0 1,979⋅10-12 "češalj" 1,082⋅10-14 0,35 "češalj" 6,690⋅10-15 0,75 "češalj" 1 2,383⋅10-10 4,24⋅10-11 pravac 4,790⋅10-14 2,4⋅10-14 pravac 1,796⋅10-14 1,0⋅10-14 pravac 1,5 1,584⋅10-7 "češalj" 4,635⋅10-13 0,016 "češalj" 3 5,172⋅10-3 0,012 parabola 2,365⋅10-11 0,007 osc. 1,625⋅10-12 zakrivlj. rub.

PRBF 0,5 1 0,01 1,297⋅10-12 "češalj" 2,145⋅10-14 "češalj" 9,786⋅10-15 0,75 "češalj" 1 5,316⋅10-10 2,71⋅10-11 pravac 6,112⋅10-14 1,8⋅10-14 pravac 2,226⋅10-14 1,0⋅10-14 pravac 1,5 1,584⋅10-7 "češalj" 3,158⋅10-13 "češalj" 7,125⋅10-12 0,02 zakrivlj. 3 3,173⋅10-3 0,07 parabola 6,824⋅10-11 "češalj"

Wend k s d 5 0 5 2,342⋅10-12 1,2 osc. 2,342⋅10-12 1,2 osc. 2,395⋅10-14 "češalj" 2 1 5 3,381⋅10-11 0,08 osc. 3,381⋅10-11 0,08 osc. 6,859⋅10-15 osc. 1 2 5 5,362⋅10-11 0,06 osc. 5,632⋅10-11 0,06 osc. 2,137⋅10-14 osc. 1 0 5 2,714⋅10-11 par. 1⋅10-11 pravac 2,714⋅10-11 1,0⋅10-11 pravac 1,727⋅10-14 izlomlj.



276

DODATAK E: PRORAČUN TESTNOG REBRA S PRELUKOM RBF HERMITEOVOM INTERPOLACIJOM

I ovdje su, kao u Dodatku D, definirani opisi pooćenja krivulje testnog rebra br. 1, uz dodatak ocjene kada opis

ide u beskonačnost „besk.“, te kad ima valićni izgled.

Tab. 33: Opisi testnog rebra br. 1 Hermiteovom RBF interpolacijom

RMSE Opis RMSE Ocjena ϕ c = 0 c = 0,001

1 ARBF 0,5 2,271⋅10-12 pravac 9,522⋅10-13 zub. 1 1,596⋅10-9 "češalj" 5,804⋅10-9 "češalj" 1,5 9,734⋅10-5 osc. 2,760⋅10-4 osc. 2 2,088⋅103 valići 7,102⋅104 besk. 2,5 7,351⋅101 "Hiperbola" 4,187⋅101 besk. 3 4,399⋅103 besk. 2,074⋅103 besk. c = 0,001 γ = 1 γ = 2

2 MQ 0,5 6,166⋅10-11 osc. 5,581⋅10-5 zub. 1 5,808⋅10-9 "češalj" 7,102⋅104 ravno 1,5 5,163⋅10-6 osc. 1,899⋅104 besk. 2 5,988⋅10-5 valići 2,667⋅104 besk. 2,5 8,535⋅10-3 besk. 3,841⋅104 besk. 3 1,641 besk. 3,596⋅105 valići -0,5 7,321⋅10-13 "češalj" 4,882⋅10-9 "češalj" -1 3,040⋅10-13 "češalj" 1,397⋅10-9 "češalj" c = 1 γ = 1 γ = 2

3 MQ 0,5 1,061⋅10-8 osc. 1,654⋅103 zub. 1 3,224⋅10-8 "češalj" 7,102⋅104 ravno 1,5 6,582⋅10-9 osc. 1,899⋅104 besk. 2 1,580⋅10-8 osc. 2,667⋅104 besk. 2,5 2,792⋅10-8 osc. "češalj" 3,841⋅104 Besk. 3 5,587⋅10-6 osc. "češalj" 3,596⋅105 valići c = 1000 γ = 1 γ = 2

4 IMQ -0,5 1,436⋅10-7 osc. 7,372⋅103 valići -1 2,298⋅10-6 "češalj" 1,058⋅102 pravac -1,5 7,850⋅10-6 osc. 1,541⋅102 besk. -2 6,707⋅10-7 osc. 9,041⋅101 besk. c = 1000 C = 10

5 Gauss 1 2,505⋅10-7 Pravac 5,109⋅10-9 pravac 2 1,085⋅102 Valići 1,778⋅102 valići 3 2,193⋅104 osc. 1,043⋅102 osc. c = 0,001

6 THS 1 1,516⋅10-9 zub. 1,804⋅10-9 "češalj" 2 8,143⋅10-2 besk. 2,632⋅10-1 besk. c = 1

7 THS 1 3,549⋅10-9 "češalj" 4,270⋅10-9 "češalj" 2 3,523⋅10-1 besk. 1,197⋅10-2 besk.

Iz rezultata opisa tesnog rebra s prelukom, uzvojem i ravnim bokom je vidljivo da nijedna od RB funkcija ne

ostvaruje željenu točnost opisa kod korištenja Hermiteove RBF interpolacije.



277

DODATAK F: PRORAČUNI TESTNOG REBRA BR. 1 S PRELUKOM, RB FUNKCIJAMA

Napomena: Crvenom bojom su označeni povoljni opisi testnog rebra br. 1 prikazanog u Dodatku A.2),

izrabranim RB funkcijama s pripadnim parametrima.

Tab. 34: Opisi testnog rebra br. 1, RBF interpolacijom uz γ = 1

Bez polinoma S polinomom Tip RBF

β c RMSE Errmax Ocjena RMSE Errmax Ocjena

MQ 0,5 0,01 7,538·10-12 5,158·10-2 „ravno“ 0,1 2,108·10-10 3,444·10-1 „osc. bulb“ 1 1,473·10-1 1,320·101 „osc.“ 1,5 0,01 1,683·10-6 7,121·10-1 „zakriv.“ 1,584·10-6 7,086·10-1 „zakriv.“ 0,1 1,487·10-6 7,472·10-1 „osc. bulb“ 1,726·10-6 7,426·10-1 „osc. bulb“ 1 7,146·101 1,684·102 - 7,732·101 1,822 - 2,5 0,01 1,709·10-1 5,577·10-1 „osc.“ 1,788·10-1 5,715·10-1 „osc.“ 0,1 8,502·10-2 1,025 „osc.“ 9,486·10-2 1,052 „osc.“ 1 4,319·104 1,003·105 - 2,751·103 6,395·103 - 3 0,01 1,111·107 2,515·107 - 0,1 1,156·107 2,694·107 - 1 4,849·107 1,114·108 -

Gauss 1 0,1 1,462·10-15 5,190 „ravno“ 1 9,898·10-15 1,888·10-1 „češalj“ 4 8,516·10-14 1,209·10-2 „ravno“ 2 0,1 9,523·10-15 6,176 „češalj“ 1 1,876·105 5,621·103 4 1,450·1011 - 3 0,1 2,793·10-15 6,200 „češalj“ 1 1,825·10-9 8,495·10-1 „osc.“ 4 1,603·10-7 7,097·10-1 „zakriv.“ 4 0,1 1,844·10-14 6,200 „češalj“ 1 1,083·10-6 1,806·102 - 4 3,809·106 - -

THS 1 - 1,653·10-12 2,049 „češalj“ 2 - 3,413·10-9 5,247·10-1 „zakriv.“

„osc. bulb“ 2,251·10-9 5,168·10-1 „zakriv.“

„osc. bulb“ 3 - 4,421·10-6 6,368·10-1 „osc.“ 4 - 1,196·10-3 8,171·10-1 „zakriv.“

„osc. bulb“ 1,188·10-3 8,161·10-1 „zakriv.“

„osc. bulb“



278

DODATAK G: PRORAČUNI TESTNOG REBRA BR. 2, S PRELUKOM I LOMOVIMA, RB FUNKCIJAMA

Napomena: Crvenom bojom su označeni povoljni opisi testnog rebra br. 2 prikazanog u Dodatku A.2), izabranim

RB funkcijama s pripadnim parametrima.

Tab. 35: Opis testnog rebra broda za prijevoz općeg tereta RBF opisom za razne tipove RB funkcija i pripadne

parametre β i c, uz γ = 1

Tip RBF β c RMSE Errmax Ocjena

MQ 0,5 0,01 2,056·10-13 4,529·10-1 „češalj“ 0,1 3,849·10-12 2,281·10-1 „češalj“ 1 8,395·10-12 2,931·10-2 „ravno“

1,5 0,01 5,219·10-12 2,984·10-1 „zakriv.“ „osc. bulb“

0,1 2,804·10-12 1,544·10-1 „zakriv.“ 1 1,230·10-11 1,717·10-2 „ravno“

2,5 0,01 1,562·10-7 6,509·10-1 „zakriv.“ „osc. bulb“

0,1 1,422·10-9 1,831·10-1 „osc.“ 1 4,416·10-11 4,525·10-1 „češalj“

3 0,01 5,523·10-6 7,128·10-1 „zakriv.“ „osc. bulb“

0,1 5,146·10-8 9,204·10-1 „osc.“ 1 2,335·10-8 1,296·101 -

PRBF 0,5 0,01 1,134·10-13 6,071·10-1 „češalj“

1,5 0,01 3,936·10-11 3,367·10-1 „zakriv.“ „osc. bulb“

2,5 0,01 3,698·10-8 6,325·10-1 „zakriv.“ „osc. bulb“

3 0,01 4,698·10-6 7,155·10-1 „zakriv.“ 5 0,01 3,394·10-1 7,731·10-1 „ osc.“

Tab. 36: Opis testnog rebra broda za prijevoz općeg tereta RBF opisom za RBF s kompaktnom podrškom

Wendlandovog tipa

Tip RBF l k d RMSE Errmax Ocjena

Wendland 3 0 2 4,123·10-15 2,391 "češalj" 4 1,384·10-14 1,909 "češalj" 6 1,416·10-14 1,885 "češalj" 3 1 2 1,067·10-11 5,241·10-1 "osc." 4 4,297·10-10 3,827 "osc." 6 1,240·10-9 1,742 "osc." 3 2 2 9,334·10-9 4,232·10-1 "češalj" 4 3,385·10-6 1,363 "osc." 6 3,391·10-7 9,447·10-1 "osc."



279

DODATAK H: KONSTRUIRANJE PLOHE HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA REBARA POMOĆU KOREKCIJSKIH TROKUTA

Postupak proračuna. Izbor koordinatnog sustava rebra

Kako je prije navedeno potrebno je konstruirati pomoćne plohe hidrostatskih svojstava iS odabranih rebara

Ri, RiNi ,,1K= . Ovdje je odabran postupak proračuna pomoću korekcijskih trokuta, koji se obavlja

presjecanjem RBF opisa rebara brodske forme vodnim linijama VL sa bočnim nagibima ϕ , koje prolaze kroz

točke opisa rebra ii zy , . Da bi se potpuno pokrio raspon vodnih linija nekog nagiba koje presjecaju neko

rebro, za svako rebro i pojedini nagib se određuju i pripadne točke minimuma MIN i maksimuma MAX, kako

to pokazuje slika 64, gore, te se u slučaju da se razlikuju od ulaznog skupa točaka rebra i one dodaju ulaznom

skupu točaka. Dakle, za svaki odabrani bočni nagib broda ϕ postavlja se uvjet ekstrema RBF opisa ( )zf :

0=dzdf

Provjerom vrijednosti 2. derivacije RBF opisa 22 dzfd se zatim određuju minimum i maksimum promatranog

rebra. Točka sa 022 <dzfd postaje ishodište lokalnog koordinatnog sustava nagnutog rebra.

Također se određuju i točke infleksije i točke loma i dodaju ulaznom skupu točaka.

Na isti način se vrši i proračun presjeka unutarnjih prostora broda, te izrađuju odgovarajuće plohe hidrostatskih

svojstava rebara Si, tih prostora. Dobijene plohe pritom imaju oblik:

( ) ( ) ϕφ ,,,,, iiVLiziyiRii zydMMAS =

Odgovarajući hidrostatski podaci koje računamo su:

− Integral površine rebra, ARi, u ravnini .konstx = ,

− Moment površine oko poprečne osi, Myi,

− Moment površine oko vertikalne osi, Mzi,

− Duljina vodne linije, dVLi.



280

Sl. 111: Određivanje korekcijskih trokuta

Određivanje značajnih točaka Postupak određivanja značajnih točaka je sljedeći:

1. Najprije je potrebno izračunati ekstreme nagnutog presjeka rebra.

2. Koeficijent nagiba nagnutog rebra je dakako jednak tangensu kuta nagiba broda

ϕtan=k

3. Proračunske VLϕ se određuju za točke proračuna iz zadanog ulaznog skupa točaka ii zy , s desne strane

presjeka.

( ) iiiiVL lzyy +⋅=≡ ϕϕ tan

4. Zatim se određuju koeficijenti pravca il :

ϕtan⋅−= iii zyl

Nakon toga se računa točka presjeka VLϕ s osi z, točka Tϕ, koja predstavlja uvjet po kojem se određuje

postupak proračuna točaka TL i TD, te proračun površina presjeka nagnutog broda. Kao uvjet

promatramo položaj točke Tϕ u odnosu na najnižu točku ne-nagnutog presjeka rebra, točku T1, te najvišu

točku TN:



281

:1 Nzzzz ≤∧≥ ϕϕ Točka TD se uzima iz ulaznog skupa točaka, a točka TL se računa te

nalazi s desne strane početnog ne-nagnutog rebra

1zz <ϕ : Točka TD se uzima iz ulaznog skupa točaka, a TL se računa i nalazi s

lijeve strane početnog ne-nagnutog rebra, na strani s negativnim

vrijednostima y.

Nzz >ϕ : Točka TL se uzima iz ulaznog skupa točaka, a TD se računa i nalazi s

lijeve strane početnog ne-nagnutog rebra, na strani s negativnim

vrijednostima y.

5. Zatim se računa točka s lijeve strane minimuma presjeka, TL, kao presjek pravca VLϕ s ( )zfy = .

Točka presjeka se određuje tako da se za sve točke ulaznog skupa računa njihova z ordinata na pravcu

VLϕ , te provjerava da li se ta točka nalazi unutar promatranog raspona.

6. Određivanje točaka infleksije rebra

Točke infleksije rebra su točke krivulje rebra za koje je 0=′′y .

7. Određivanje, tj. prepoznavanje točaka loma

Točke loma L na pojedinom rebru, označene su u postupku proračuna RBF opisa, gdje su one točke

diskontinuiteta.

Presjek krivulje rebra s (ravninskom) VL Proračuni presjeka ravninskih vodnih linija sa RBF opisima prikazanim u obliku polinoma su rješeni u poglavlju

6 ove disertacije, a ovdje će se koristiti rješenja kubne jednadžbe (115):

0012

23 =+++ azazaz

Kao rezultat presjeka se dobivaju 3 rješenja, prikazana u izrazu (118), te je potrebno odabrati realna rješenja na

odgovarajućem segmentu ulaznog skupa točaka [ ]1, +ii zz :

ipp zyz Re, = , 3 ,2 ,1=i , ( )ip max,,1K=

Određivanje raspona na kojem se nalazi presjek

Određivanje raspona točaka ulaznog skupa na kojem se nalazi presjek VL se vrši tako da se za zadani ulazni

skup točaka iz izračunaju točke iP na pravcu VL. Zatim se provjeravaju predznaci razlike vrijednosti točaka

rebra i točaka na pravcu pojedinog raspona. Tamo gdje se predznak razlike mijenja postoji presjek, tj.:

ppiiii yzPYPY ,)sgn()sgn( 11 ∃⇒−≠− ++



282

Broj mogući presjeka rebra. Sparivanje točaka presjeka

Broj mogućih presjeka jedne vodne linije ( )kiz ϕ,VL pojedinog rebra je radi njihovog globalnog opisa, velike

zakrivljenosti, postojanja bulba i raspona kuteva do 90°, postavljen na 4, tj. imamo:

ikpLT , ( )PNp max,,1K= , ( ) 4max ≤PN

ikpDT , ( )PNp max,,1K= , ( ) 4max ≤PN

Točka se najprije sortiraju po veličini, a zatim se svakoj točci presjeka s lijeve strane pridružuje točka presjeka s

desne strane. Točka najbliža glavnoj postaje njen par, a zatim druge dvije postaju idući par, i tako dalje sve do

četvrte. Dakle, imamo:

( )[ ] ( )[ ] ldpzsortzsort ==↔→ ,, DikdLiklDikpLikp TTTT

U slučaju postojanja točaka loma i točaka presjeka u centralnoj ravnini, tim točkama se pridružuju istovjetne

točke, tj. ako ( ) DikpLikp TTTL =⇒=∨∃ 0, PP yz .

Proračun svojstava površine nagnutog rebra Konačno se prema gornjim uvjetima računa površina nagnutog rebra dobiva oduzimanjem, odnosno dodavanjem

trokuta, orubljenim nagnutom VL, početnom VL s točkama TL i TD, i s osi z. Sve točke pritom imaju

koordinate ( )zyT , . Razmatranjem svih sitacija određene su 3 moguće proračunske situacije zavisno o položaju

vodne linije:

1. I lijeva i desna točka presjeka s VL, TL i TD, se nalaze s lijeve strane od CL,

VL

MIN

VL

z

y

TD

MAX

T

TL0

TL

TVL D

TVL L

TN

T1

CL

CL

Sl. 112: Situacija kod koje su obje točke presjeka VL s lijeve strane od CL



283

2. I lijeva i desna točka presjeka s VL, TL i TD, se nalaze s desne strane od CL ,

Sl. 113: Situacija kod koje su obje točke presjeka VL s desne strane odCL

3. Točke presjeka se nalaze svaka sa svoje strane od CL.

Sl. 114: Situacija kod koje se točke presjeka VL nalaze s lijeve, odnosno desne strane od CL



284

Kod proračuna presjeka i svojstava se može zaključiti da su slučajevi b) i c) proračunski istovjetni, dok se slučaj

a) od njih razlikuje. Stoga se odgovarajući izrazi za proračun površine i momenata razlikuju, tj. imamo:

a.) N

zz TT >ϕ

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )iiiiiiiiiii AyAyAALDDL TVLLTVLDTDTLVL TTTTTT ϕϕϕ ∆−∆+−⋅−= sgnsgnmax

b.) i c.) N

zz TT ≤ϕ

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iiiiiiiiii AyAALDLD TVLLTVLDTLTVL TTTTTT ϕϕϕ ∆+∆−⋅−= sgn

gdje su: TDi – proračunska točka s desne strane od točke minimuma visine nagnutog presjeka rebra,

TLi – proračunska točka s lijeve strane od točke minimuma visine nagnutog presjeka rebra,

TL0– proračunska točka s lijeve strane od točke minimuma visine nagnutog presjeka rebra od koje

se u uzimaju točke iz ulaznog skupa točaka s lijeve strane, a računaju točke TDi iz

presjeka ϕVL s krivuljom rebra ( )zfy = ,

ϕT – točka presjeka nagnute ϕVL sa osi početne ne-nagnute osi z,

( )iLTVLT – točka presjeka ne-nagnute početne VL za točku iLT sa osi početne ne-nagnute osi z,

( )iDTVLT – točka presjeka ne-nagnute početne VL za točku TDi sa osi početne ne-nagnute osi z,

1T – najniža točka presjeka ulaznog skupa točaka,

NT – najviša točka presjeka ulaznog skupa točaka,

( )iyDT – poluširina ne-nagnutog rebra za točku TDi,

( )iyLT – poluširina ne-nagnutog rebra za točku TLi,

( )iADT – površina ne-nagnutog rebra za točku TDi,

( )iALT – površina ne-nagnutog rebra za točku TLi,

VLDTTTϕ∆ – trokut između točaka ϕT , DT i VLT ,

1TTT Lϕ∆ – trokut između točaka ϕT , LT i 1T ,

maxA – maksimalna površina poprečnog presjeka rebra.



285

DODATAK I: RBF OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA CILINDRA U OBLIKU POLUKRUŽNICE


Sl. 115: Proračun hidrostatskih svojstava polukružnice uz PRBF opis i °=∆ 10ϕ



286

PRIKAZ HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA PO KUTEVIMA NAGIBA

Sl. 116: Prikaz hidrostatskih svojstava polukružnice uz PRBF opis, za kuteve od °= 10ϕ do °= 90ϕ , uz

°=∆ 10ϕ



287

PRIKAZ REZULTATA RBF OPISA PANTOKARENE PANTOKLINE

Sl. 117: Prikaz hidrostatskih PRBF opisa hidrostatskih svojstava polukružnice, A, yB i zB



288

Sl. 118: Prikaz hidrostatskih PRBF opisa hidrostatskih svojstava polukružnice, VLy , VLz i VLd



289

DODATAK J: RBF OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA TEST REBRA BR. 2


Sl. 119: Proračun hidrostatskih svojstava test rebra br. 2, za kuteve od °= 0ϕ do °= 90ϕ , uz °=∆ 2ϕ



290


-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30

35Test rebro br. 2, Nagib: 10 (°)

y/2 (m)

z (m

)

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30


y/2 (m)

z (m

)

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30


y/2 (m)

z (m

)

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30


y/2 (m)

z (m

)

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30


y/2 (m)

z (m

)

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30


y/2 (m)

z (m

)

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30


y/2 (m)

z (m

)

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30


y/2 (m)

z (m

)

-15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30


y/2 (m)

z (m

)

Sl. 120: Prikaz hidrostatskih svojstava test rebra br. 2 za kuteve od °= 10ϕ do °= 90ϕ , uz °=∆ 10ϕ



291

REZULTATI RBF OPISA TEST REBRA BR. 2

Opis test rebra br. 2

Opis test rebra br. 2 je pokazan na slici 62, u poglavlju 5. Proračun je izveden s PRBF uz β = 3 i c = 2,41, te

njenom kompatibilnom funkcijom PRBF uz β = 1, dobivaju se sljedeće vrijednosti pogrešaka kod opisa

probnog rebra broda za prijevoz auta i kamiona: 1010260,6RMSE −⋅= i 7max 10889,2Err −⋅= , uz uvjetni

broj 1010653,1 −⋅ , koji je reda veličine prethodno dobijenih vrijednosti bez gustog opisa točke loma.

Opis pantokarene pantokline rebra RBF aproksimacijom

Tab. 37: Rezultati opisa pantokarene pantokline testnog rebra br. 2 pomoću MQRBF LOO aproksimacije sa

izostavljenom točkom N – 15

Errmax c RMSE A yB zB My Mz dVL Ix

0,01 4,134 3,13⋅10-1 1,123⋅10-2 7,131⋅10-2 1,876⋅10-2 4,924⋅10-2 9,692⋅10-2 155,766 0,1 3,559⋅10-2 4,209⋅10-3 1,62⋅10-4 4,⋅10-5 5,18⋅10-4 6,53⋅10-4 1,844⋅10-3 1,104 1 2,097⋅10-2 1,05⋅10-4 2,57⋅10-4 4,13⋅10-4 2⋅10-5 1,3⋅10-5 2,62⋅10-4 6,514⋅10-1



292

PRIKAZ REZULTATA RBF OPISA Dio rezultata opisa parametara prostora hidrostatskih svojstava test rebra br. 2 je prikazan u poglavlju 8, na

slikama 78 do 80, a ovdje će se prikazati ostatak rezultata RBF opisa.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

20

30

40

zP (m), (°)

d VL (m

)

ϕ

Sl. 121: Prikaz rezultata opisa parametara prostora hidrostatskih svojstava VLy , VLz i VLd



293

DODATAK K: RBF OPIS HIDROSTATSKIH SVOJSTAVA NESIMETRIČNOG TANKA


Sl. 122: Proračun hidrostatskih svojstava četvrtine kružnice uz PRBF opis, °÷°−= 9080ϕ °=∆ 10ϕ



294


Kutevi od 0° do 90°

Sl. 123: Prikaz hidrostatskih svojstava četvrtine kružnice uz PRBF opis, za kuteve od °= 10ϕ do °= 90ϕ , uz

°=∆ 10ϕ



295

Kutevi od -80° do -10°

Sl. 124: Prikaz hidrostatskih svojstava četvrtine kružnice uz PRBF opis, za kuteve od °−= 10ϕ do

°−= 80ϕ , uz °−=∆ 10ϕ



296

PRIKAZ REZULTATA RBF OPISA PANTOKARENE PANTOKLINE

Sl. 125: Prikaz PRBF opisa hidrostatskih svojstava četvrtine kružnice, A, yB i zB



297

Sl. 126: Prikaz PRBF opisa hidrostatskih svojstava polukružnice, yVL, zVL i dVL



298

KRATAK ŽIVOTOPIS

Dario Ban rođen je 12. lipnja 1968. godine u Splitu. Osnovno i srednješkolsko obrazovanje stekao je također u

Splitu, gdje je maturirao 1987. godine, stekavši zvanje matematičar-informatičar.

Iste je godine upisao sveučilišni diplomski studij brodogradnje na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i

brodogradnje u Splitu. Studij je 1990. godine nastavio na Fakultetu strojarstva i brodogradnje u Zagrebu i

diplomirao 1995. godine, gdje se potom zapošljava kao znanstveni novak na Zavodu za brodogradnju, katedri za

Osnivanje broda. Poslijediplomski studij brodogradnje smjer Osnivanje plovnih objekata je upisao 1995. godine,

te je 2000. godine stekao titulu magistra znanosti radom: „Primjena neuralnih mreža u višekriterijalnom

konceptualnom projektiranju Ro-Ro brodova.

Potom 2003. godine osniva vlastitu tvrtku za savjetovanje i intelektualne usluge gdje radi kao tehnički direktor

na izradi računalnih programa za proračun stanja krcanja brodova izgrađenih u našim brodogradilištima.

Nakon toga se 2006. godine zapošljava na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu na

Katedri za brodogradnju kao asistent, gdje radi do danas.

1

PODACI O AUTORU I DOKTORSKOJ DISERTACIJI

1. AUTOR

Ime i prezime: Dario Ban

Datum i mjesto rođenja: 12. 06. 1968., Split

Naziv fakulteta, studija i godina Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagrebu,

završetka dodiplomskog studija: Brodogradnja, 1995.

Naziv fakulteta, studija i godina Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagrebu,

završetka poslijediplomskog studija: Brodogradnja, 2000.

Sadašnje zaposlenje: Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Split

2. DOKTORSKA DISERTACIJA

Naslov: Analitičko opisivanje brodske geometrije globalnom

interpolacijom radijalnim osnovnim funkcijama

Broj stranica, slika, tablica i

bibliografskih podataka: 298, 126, 37, 111

Znanstveno polje i grana: Brodogradnja, Hidromehanika plovnih objekata

Voditelj rada: Red. prof. dr. sc. Bruno Čalić, dipl. ing.

Fakultet na kojem je rad obranjen: Tehnički fakultet, Sveučilište u Rijeci

3. OBRANA I OCJENA

Datum prijave teme: 04. 05 2010.

Datum predaje rada: 06. 12. 2011.

Datum prihvaćanja ocjene rada:

Sastav povjerenstva za ocjenu rada: Izv. prof.dr. sc. Albert Zamarin

Red. prof. dr. sc. Bruno Čalić

Red. prof. dr. sc. Roko Markovina, FESB-Split

Datum obrane:

Sastav povjerenstva za obranu: Izv. prof.dr. sc. Albert Zamarin



Datum promocije:

2

Oznaka: DD Tek. broj: UDK:

ANALITIČKO OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE GLOBALNOM INTERPOLACIJOM

RADIJALNIM OSNOVNIM FUNKCIJAMA

Dario Ban

Sveučilište u Rijeci

Tehnički fakultet

Republika Hrvatska

Ključne riječi: radijalne osnovne funkcije,

globalna interpolacija,

analitička rješenja brodske proračunske geometrije,

opisivanje brodske geometrije polinomskim RBF

n-parametarske RBF pantokarene pantokline

hiperplohe hidrostatskih svojstava

Sažetak:

Analitičkim opisom brodske geometrije globalnom RBF interpolacijom rješeni su problemi opisivanja 2D

lomova brodske forme i oscilacija rubova. Korištenjem elastičnih pomaka, te kompozicijom polinomskih RBF s

gustim opisom diskontinuiteta, dobiveni su vrlo precizni PRBF opisi brodske geometrije, koji omogućuju

direktna rješenja presjeka broda i valne okoline, te osnovnih integrala brodske hidrostatike.

Multivarijantnim RBF opisivanjem dobijene su n-parametarske pantokarene pantokline željenih nagiba i

hidrostatskih značajki unutarnjih i vanjskih dijelova brodske geometrije, omogućena izrada hiperploha

hidrostatskih svojstava stanja opterećenja broda, te proračun plovne VL.

Rad nije objavljen.

Mentor: Red. prof. dr. sc. Bruno Čalić, dipl. ing.

Povjerenstvo za ocjenu: Izv. prof. dr. sc. Albert Zamarin



Povjerenstvo za obranu: Izv. prof.dr. sc. Albert Zamarin



Datum obrane: Datum promocije:

Rad je pohranjen na Tehničkom fakultetu u Rijeci.

(298 stranica, 126 slika, 37 tablica, 111 bibliografskih podataka, hrvatski jezik)

3

Code: DD No.: UDC:

ANALITIČKO OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE GLOBALNOM INTERPOLACIJOM

RADIJALNIM OSNOVNIM FUNKCIJAMA

Dario Ban

University of Rijeka

Tehnical fakulty

Republic of Croatia

Keywords: radial basis functions,

global interpolation,

ship's computational geometry analytical solutions,

polynomial RBFs ship's geometry description

n-parametric RBF pantocarenas pantoclinas

hydrostatic properties hypersurfaces

Summary:

The ship geometry description problems with 2D form breaks and boundary oscillations are solved by analytical

global RBF interpolation. Very precise descriptions of ship’s geometry are obtained by using elastic shift and

polynomial RBFs composition with dense discontinuities description, which enable direct solutions of the ship –

wave intersection and basic ship hydrostatics integrals.

Using multivariant RBF description, n-parametric pantocarenas pantoclinas for desired inclinations and

hydrostatic properties of inner and outer ship geometry parts are obtained, enabling hydrostatic properties

hyperplane construction for arbitrary ship state and actual waterline calculation.

This thesis has not been published.

Mentor: Red. prof. dr. sc. Bruno Čalić, dipl. ing.

Advisors: Izv. prof. dr. sc. Albert Zamarin



Reviewers: Izv. prof.dr. sc. Albert Zamarin



Presentation: Degree confered:

This thesis is deposited in the library of the University of Rijeka, Faculty of Engineering. (298 pages, 126 figures, 37 tables, 111 references, original in Croatian language)

Documents

ANALITIČKO OPISIVANJE BRODSKE GEOMETRIJE