Analiza Microeconomica a Consumatorului Si Producatorului - Aplicatii 2

2. Comportamentul producătorului

2.1 Funcţii de producţie. Productivităţi medii. Productivităţi marginale.

Rată marginală de substituţie tehnică.

Într-o întreprindere, pentru producerea unei anumite game de produse se

folosesc doi factori de producţie. Diferite combinaţii de forţă de muncă (L)

şi capital (K), pentru diferite nivele de producţie sunt ilustrate în tabloul de

mai jos:

?Problema 34

Producţii Combinaţii de L şi K

Y1 = 30 K:300 600 900 1200 1500

L:270 150 105 75 60

Y2 = 45 K: 600 900 1200 1500 1800

L: 375 225 180 135 120

Y3 = 60 K: 600 900 1200 1500 1800

L: 600 450 300 240 210

Y4 = 75 K: 900 1200 1500 1800

L: 750 525 375 330

Se cere:

1. Ilustraţi pe acelaşi grafic izocuantele acestei întreprinderi (punând K pe

abscisă);

2. Calculaţi pentru aceeaşi izocuantă (de exemplu cea cu producţia 30) rata

marginală de substituţie tehnică între:

K = 1500 şi K = 1200;

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii

K = 1200 şi K = 900;

K = 900 şi K = 600;

K = 600 şi K = 300;

şi comentaţi evoluţia.

3. Fie şi preţurile celor doi factori de producţie. Calculaţi

panta funcţiei de izocost;

5,1=Kp 6=Lp

4. În condiţiile în care preţurile factorilor şi tehnologia de fabricaţie rămân

neschimbate, determinaţi grafic direcţia expansiunii firmei precizând

semnificaţia unei poziţii optimale;

5. Ce se întâmplă cu funcţiile de izocost dacă , variază?Kp Lp

1. Graficul cerut este următorul:

Rezolvare

2. Deoarece datele sunt discontinue, nu se pot calcula decât ratele marginale

0 600 900 1200

L 700 400 300 20

Y

D

C B

A

YY

Y Z

Comportamentul producătorului de substituţie:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−

−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−

−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−

−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−

−

=−=

5,2120300

66.645

300

1030

300

2015300

dLdKRMSTKL

Descreşterea acestei rate ilustrează faptul că devine din ce în ce mai dificil

de a schimba capitalul cu forţa de muncă, de unde forma convexă a unei

izocuante.

3. O curbă de izocost este locul geometric al punctelor pentru care costul

diferitelor combinaţii de factori de producţie, este identic. Dacă C este

anvelopa costurilor, ecuaţia sa este :

LL

KLK p

CKppLLpKpC −=⇔⋅+⋅=

Folosind datele enunţului, panta este deci:

41

−=−L

K

pp

4. Curbele de izocost cu panta -1/4, sunt tangente la izocuante în punctele:

[ ] [ ] [ ] [ ]375;1500;300;1200;225;900;150;600 DCBA .

Dacă unim aceste puncte se obţine direcţia de expansiune a firmei OZ, atâta

timp cât preţurile şi tehnologiile de fabricaţie rămân invariante.

5. De îndată se unul din preţurile factorilor se schimbă, venitul rămânând

constant, se înregistrează o rotaţie a curbei de izocost în jurul punctului fix

situat când deasupra axei absciselor (atunci când variază pL) când deasupra

axei ordonatelor (atunci când variază pK).


Se obţine un anumit produs prin combinarea a doi factori: pământul (T) şi

munca (L). Producţia totală a acestui bun variază în funcţie de unităţile de

lucru folosite, factorul pământ fiind presupus fix; datele sunt reprezentate în

următorul tabel:

30042044044042038032024014060

10987654321

1111111111

)()()( YLT

bunurideUnitatilucrudeUnitatipamantdeUnitati

Având în vedere datele specificate, se cere:

1) Să se calculeze produsul mediu şi marginal pentru o unitate de factor de

muncă;

2) Să se reprezinte aceste funcţii cât şi funcţia producţiei totale într-un

singur sistem de coordonate;

3) Să se comenteze punctele izolate şi zonele pe care le determină.

1) Amintind că , si dLdYP

LYP mM ==

Rezolvare

?Problema 35

Comportamentul producătorului se realizează următorul tabel:

T L y MP mP

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

60

140

240

320

380

420

440

440

420

300

60

70

80

80

76

70

62,8

55

46,6

30

-

80

100

80

60

40

20

0

-20

-120

2. Graficele sunt reprezentate în figura de mai jos:

y D

400 350 250 A B 100 C 50 0 -50 -100

E L

3 8 9 10

I II III


I – Zona randamentelor crescătoare;

II - Zona randamentelor descrescătoare;

III - Zona randamentelor negative.

3. Punctul A constituie punctul de inflexiune a curbei producţiei totale; el

este pe aceeaşi paralelă cu punctul B, punctul de maxim al curbei producţiei

marginale. Cele două puncte au aceeaşi abscisă L = 3.

În punctul C curba producţiei marginale intersectează pe cea a producţei

medii în punctul ei de maxim (PM = Pm =80).

În sfârşit D şi E au aceeaşi abscisă (L = 8) deoarece prin definiţie, atunci

când producţia totală este maximală producţia marginală se anulează.

În figura de mai sus au fost puse în evidenţă trei intervale distincte. La

stânga dreptei AB producţia totală are o rată de creştere crescătoare.

Aceasta reflectă o defectoasă utilizare a factorilor disponibili, căci factorul

capital este supraabundent: cu cât se folosesc mai mulţi muncitori producţia

creşte mai mult decât proporţional. A rămâne în această zonă constituie o

eroare din partea decidenţilor. În cursul acestei zone raportul capital/forţă de

muncă este prea mare. Pentru a evita această supraabundenţă a factorului

fix, ce corespunde situaţiei în care producţia marginală a capitalului este

negativă, factorii de decizie au două soluţii: fie să diminueze capitalul

disponibil, ceea ce este imposibil în cadrul unei perioade scurte de timp, sau

să crească cantitatea de factor de muncă, ceea ce va conduce către zona a-

II-a.

În zona a -II– a mărginită de dreptele verticale AB şi DE, deciziile devin

raţionale pentru că producţia marginală rămâne pozitivă şi descrescătoare

(Ym = şi 0)( >′ Lg 0)( <′′=′ LgYm ). Cu alte cuvinte, cu toate că sunt

pozitive, randamentele descresc. Din contră în zona a-III-a randamentele

Comportamentul producătorului devin negative; de data aceasta factorul forţă de muncă este supraabundent

în raport cu cantităţile de capital disponibil şi drept consecinţă orice decizie

de producţie în această zonă este nefondată din punct de vedere economic.

În această zonă pentru a mări raportul capital/forţă de muncă care este foarte

mic există două soluţii: fie să se mărească cantitatea de capital, ceea ce este

prin ipoteză imposibil, sau restrângerea forţei de muncă ceea ce conduce

către zona a-II-a.

Decizia optimală corespunde punctului de intersecţie a curbelor producţiei

medii şi marginală.

Pentru fiecare din funcţiile de producţie următoare :

?Problema 36

0,,1 >= βαγ βα KLQ

bKaLQ +=2

43

41

3 KLQ ⋅=

LKKLQ 80][9 224 +−−=

se cere:

1. Să se calculeze productivităţile marginale;

2. Să se deducă valoarea ratei marginale de substituţie tehnică între forţa de

muncă şi capital;

3. Să se discute convexitatea;

4. Să se estimeze elasticitatea de substituţie;

5. Să se caracterizeze natura randamentelor ;

6. Să se precizeze dacă verifică teorema lui Clark-Wickstced.


1. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiilor de producţie, adică

productivităţile marginale ale factorilor sunt, după cum urmează :

Rezolvare

- pentru prima funcţie: L

QKLQ L11

,1' ααγ βα == −

KQ

KLQ K11

,1' ββγ βα == −

- pentru a doua funcţie : aQ L =,2'

bQ K =,2'

- pentru a treia funcţie : ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅=

⋅=

KQ

QL

QQ

K

L

3,3

3,3

43'41'

cu 1=γ , 41

=α , 43

=β

Se observă că funcţia Q3 este un caz particular al funcţiei Q1.

- pentru prima funcţie : KLQ L 8018' ,4 +−=

LKQ K 8018' ,4 ++= .

2. Ratele marginale de substituţie tehnică, definite ca un raport al

productivităţilor marginale sunt, pentru fiecare funcţie, după cum urmează:

- pentru prima funcţie : LKRMSTLK β

α=

1

- pentru a doua funcţie: baRMSTLK =

2

- pentru a treia funcţie: L

KRMSTLK 33=

- pentru a patra funcţie: LKKL

LKKLRMSTLK 409

40980188018

4 ++−

=++−

= .

Comportamentul producătorului Pentru ca funcţia să fie convexă, este necesar şi suficient ca RMST (pe care

o vom renota cu θ să fie descrescătoare. Vom avea deci:

0....

21

21

21 <⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=⇒⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

=L

KLL

KdLdKL

dLd

LdLKdKLd

θβα

βαθ

βαθ

şi deci funcţia Q1 este concavă.

Deoarece 02 =−dLdθ funcţia Q2 este în acelaşi timp şi convexă şi concavă

deoarece este o dreaptă.

Cum :

01654

31

223 <−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +−=

LK

L

KL

KL

dLdθ

rezultă că şi funcţia Q3 este convexă. Pentru funcţia Q4:

[ ][ ] [ ][ ][ ]24 409

409409409409LK

dLdKKLdKdLLKd+

++−−+−+=θ

[ ][ ] [ ][ ][ ]

[ ]LKLK

KLLKdLd

θθθθ+−=

++−+−−+−+

= 1681409

4094094094092

4

[ ] [ ] [ ] 0409

409409004 ≥+

+−++⇔≥+⇔≤

LKKLLLKKLK

dLd

θθ

Deoarece K şi L sunt mărimi pozitive este necesar ca numărătorul fracţiei să

fie pozitiv sau nul, adică:

[ ] [ ]910999809 22 ≥⇔≥+−+=++−

LKKLKLKLKL ,


deci funcţia Q4 este convexă pentru orice pereche (K, L) pentru care 91

≥LK .

Se observă că rata marginală de substituţie tehnică devine mai mică ca zero

pentru 409

≤LK .

4. Reamintim că elasticitatea de substituţie (σ ) a unei funcţii se defineşte :

θθσ

/

/

dLK

LKd ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

de unde pentru funcţia Q1:

111

11 ==⇒=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⇒=⇒=

LK

LK

dLKd

LK

LK β

α

αβσ

αβ

θθ

αβ

βαθ

Funcţia de producţie Q1 admite o elasticitate de substituţie constantă. Acest

lucru nu e de mirare deoarece ea este de tip Cobb-Douglas. Pentru Q2 :

xdba

=⇒=⇒= 222 0 σθθ .

Elasticitatea de substituţie este infinită; funcţia Q2 este o dreaptă cu forma

generală:

aQL

baK +−= .

Pentru Q3, ce este o aplicaţie numerică a lui Q1, se găseşte:

1333 ==

LKL

K

σ .

Comportamentul producătorului

În ceea ce priveşte Q4, vom transforma 4θd obţinut mai înainte, astfel încât

să apară 4θ :

( )[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

×+−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

×+−−+−−+=

24

2444

)409()(1681

)409()409)(409()409(409

LKdLLK

LKdLKLLKd

θ

θθθ

Calculăm ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

LKd . Obţinem:

[ ] [ ] dLK

LKL

LKLKd

dLLKLL

KdLLdKLKd ⋅⋅+−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⇔+−=−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 111

42422 θθ

Deci:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

+−==LK

LKK

LKLd

LKLKk

4

2

44244

41

1681)409(11

/)//()/(

θθθ

θθσ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−

=LK

LKKL )409)(409(1681

14σ .

În concluzie, atâta timp cât 04 >θ , adică ,409

>LK elasticitatea de

substituţie este pozitivă ( 04 >σ ); valoarea sa depinde de valorile atribuite

lui L şi K.

5. Se spune că o funcţie este omogenă de grad k dacă ea verifică ecuaţia:

0),;( >=⋅ λλλλ KLfQk,

şi se deduce:

- că este cu randamente la scară constante dacă k = 1;

- că este cu randamente la scară crescătoare dacă k > 1;

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii - că este cu randamente la scară descrescătoare dacă k < 1;

[ ] [ ] QKLKL βαββαβα λλγλλλλ +==⋅ 2.

Dacă:

⇒=+ 1βα randamentele la scară sunt constante;

⇒>+ 1βα randamentele la scară sunt crescătoare

⇒<+ 1βα randamentele la scară sunt descrescătoare.

Deoarece:

[ ] [ ] [ ] 2QbKaLKbLa λλλλ =+=+

randamentele la scară sunt constante. Pentru Q3 deoarece este o aplicaţie

numerică a lui Q1 în care 1=+ βα , randamentele la scară sunt de asemenea

constante.

Pentru Q4 :

[ ] [ ] 4222222 8099))((80)()(9 QLKKLKLKL λλλλλλ =++−=+−−

deci randamentele la scară sunt crescătoare.

6. Teorema lui Clark-Wickstced afirmă că pe o piaţă cu competiţie perfectă

şi din perspectiva unui echilibru pe termen lung, plata fiecărui factor de

producţie la nivelul producţiei sale marginale afectează integralitatea

produsului fizic total.

În consecinţă, singurele funcţii liniare omogene ce verifică identitatea lui

Euler, unde sunt implicaţi mai mult de doi factori sunt cele ale lui

Schneider. Cum o funcţie liniară omogenă este o funcţie ce admite

randamente la scară constante, rezultă că Q1, (dacă 1=+ βα ), Q2, Q3,

verifică teorema lui Clark-Wicksteed, ceea ce nu e cazul pentru Q4.


Fie o funcţie de producţie de forma: 2/122 ]2[ bLaKmKLY −−=

ce leagă produsul Y de factorii capital K şi forţa de muncă L cu ajutorul

parametrilor astfel încât . abm >2

Se cere:

1. Care este gradul de omogenitate al acestei funcţii? Comentaţi.

2. Calculaţi productivităţile marginale ale factorilor;

3. Demonstraţi că această funcţie respectă regula de epuizare a produsului;

4. Exprimaţi funcţiile de cerere de factori pentru un nivel al producţiei dat

(Y0) desemnându-le prin r şi w. Verificaţi şi condiţiile de ordinul doi.

Rezolvare

?Problema 37

1. Pentru a afla gradul de omogenitate, multiplicăm factorii de producţie cu

acelaşi scalar strict pozitiv λ .

Obţinem:

=−−= 2/122 ])()())((2[),( LbKaLKmLKF λλλλλλ

=−−=−−= 2/12222/122222 )]2([]2[ bLaKmKLLbKaKLm λλλλ

YbLaKmKL λλ =−−= 2/122 ]2[

Gradul de omogenitate fiind unitar, rezultă că funcţia admite randamente la

scară constante.

2. Productivităţile marginale sunt obţinute prin derivarea parţială de ordinul

întâi a funcţiei, astfel:

11 ][]22[21 −− −=−=′ YbLmKYbLmKYL


11 ][]22[21 −− −=−=′ YaKmKYaKmKYK

3. Regula de epuizare a produsului afirmă că integralitatea produsului fizic

total dispare dacă factorii au preţurile unitare la nivelul productivităţilor

marginale; se verifică identitatea lui Euler:

LYKYY LK ′+′= .

Înlocuind pe şi obţinem: KY ′ LY ′

=−+−=−+− −−−− 121211 ][][][][ YbLmKLYaKmKLLYbLmKKYaKmK

YYYYbLaKmKL ==−−= −− 12122 ]2[

4. Problema de minimizare cu restricţii se scrie:

2/1220 ]2[

]min[bLaKmKLY

wLrKC−−=

+=

Pentru rezolvare se recurge la metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se

construieşte funcţia:

].)2([ 2/1220 bLaKmKLYwLrK −−−++= λL

Condiţiile de ordinul întâi sunt:

rw

aKmLbLmL

YaKmLrYbLmKw

K

L =−−

⇒⎭⎬⎫

=−−=′=−−=′

−

−

0)(0)(

1

1

λλ

LL

2220

2/1220 20)2( bLaKmKLYbLaKmKLY −−=⇔=−−−=′λL .

Din raportul primelor două ecuaţii scoatem pe K:

La

rwm

mrwb

K

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

Comportamentul producătorului care introdus în relaţia a treia, dă:

2/1

22322

0

2)2(

][ˆ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

bmabbmrwabmam

rw

arwmY

L

2/1

22322

0

2)2(

][ˆ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

bmabbmrwabmam

rw

mrwbY

K

Pentru condiţiile de ordinul doi trebuie să formăm matricea hessiană; ea are forma:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−−−

−−−

=0

K

L

K

KK

LK

L

KL

LL

FF

FFF

FFF

H λλ

λλ

.

Se ştie că pentru ca extremul să fie minimal, determinantul matricii hessiene trebuie să fie negativ:

.0det 22 <= HD

Dar dacă pe deoparte folosim condiţiile de optimalitate, iar pe alta, împărţim

primele două coloane prin λ− , iar cea de-a treia prin λ1 obţinem:

=−−

−−=−

−

−

−−

−

−−

=0

)1)()((

022

2 rw

wFF

wFF

r

w

rFF

wFF

D KK

LK

KL

LL

KK

LK

KL

LL

λλ

λλλ

λ

λ

λ

λλ

λ

λλ

( ) [ ]LKKKLLKK

LK

KL

LL

wrFFwFrrw

rFF

wFF

21

0

1 222 +−−−=−

−

−−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

λλ

λ


Deoarece 0>λ , şi ,0>= KLLK FF ,0, <KKLL FF este evident că avem un

minim.

2.2 Cost pe termen scurt. Cost pe termen lung. Prag de închidere.

Prag de rentabilitate.

Pentru funcţia cost pe termen scurt:

?Problema 38

C(y) = 3ln y + 22

2

+y , y > 0

Să se determine principalele tipuri de costuri.

Rezolvare

Costul total pe termen scurt este:

CT ts(y) = 3ln y + 22

2

+y .

Costul variabil:

CV(y) = 3ln y + 2

2y , y > 0.

Costul fix:

CF(y) = 2.

Costul variabil mediu:

CVM(y) = 2

ln3)9 yy

yy

yCV+= .

Comportamentul producătorului Costul fix mediu:

CFM = yy

CF 2= .

Costul mediu:

CM(y) = y

yy

yy

yCT 22

ln3)(++= .

Costul marginal:

Cm(y) = yydy

ydCT S

+=3)( .

Fie o firmă pentru care vectorul costurilor de producţie este ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

61

31

21 ,,q .

Restricţia de producţie a firmei este 2321 =++ xxx . Să se calculeze

costul minim pe termen scurt.

?Problema 39

Rezolvare

Se rezolvă problema cu ajutorul multiplicatorilor Lagrange. Programul ce

trebuie rezolvat este:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

2

61

31

21min

321

321

xxx

xxx

Funcţia lagrangean are forma:

( )321321 261

31

21 xxxλxxx −−−+++=L

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii iar condiţiile de ordinal întâi:

02

02

161

02

131

02

121

321

33

22

11

=−−−=∂∂

=−=∂∂

=−=∂∂

=−=∂

∂

xxxλ

xλ

x

xλ

x

xλ

x

L

L

L

L

a căror rezolvare dă:

93 3

11

3 xx

xx

=⇒=

42 3

22

3 xx

xx

=⇒=

223 3

33 =++ xxx

12136

12116

1211441211 2133 ==⇒=⇒= x;xxx

În consecinţă, costul minim este:

114

12144

12124128

==++

=C

Funcţia de cost pe termen scurt a unei întreprinderi este:

?Problema 40

( ) 0cu111 >−+= +++ dc,b, a, ,

yx

dxcbayxy,CTS m

mm

unde 1mx + reprezintă cantitatea de factor fix.

Comportamentul producătorului Să se determine funcţia de cost pe termen lung.

Rezolvare

Se determină mai întâi:

( )11

min ++

mXxy,CTS

m

.

În consecinţă, avem:

02 11

=−=∂∂

++ mm xy

dcxCTS

de unde rezultă:

ycdxm 2

2

1 4=+ .

Înlocuind pe 1x +m în expresia funcţiei de cost pe termen scurt se obţine

funcţia de cost pe termen lung:

cyd

bay

cyd

cyd

bayCTL(y)

424

222

−=−+= .

Să se determine funcţia de cost pe termen lung a unei întreprinderi, ştiind că

funcţia de cost pe termen scurt este:

?Problema 41

( ) 0cu1

12

1 >++=+

++ cb, a, , x

cxybayxy,CTSm

mm .

Rezolvare

Se rezolvă problema:

( )11

min ++

mXxy,CTS

m

.

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii Din condiţiile de ordinul întâi obţinem ecuaţia:

02

2111

=−=∂∂

+++ mmm x

c

x

ybxCTS

care are soluţia:

32

2

14

ybcxm =+ .

Înlocuind ultima expresie în funcţia de cost pe termen scurt se obţine funcţia de cost pe termen lung:

223

42

3 223

23 22 cyb

aycybcybayCTL(y)⋅

+=++= .

Fie funcţia de producţie F(K, L)= AK L . Să se calculeze costul minim de producţie dacă p si p sunt preţurile unitare pentru cei doi factori de

producţie.

α β

K L

?Problema 42

Se consideră problema ⎩⎨⎧

=

+βα LAKY

LpKp LK )min(Rezolvare

Se construieşte lagrangeanul:

L (K, L, µ) = K p + L p + µ(Y- AK L ). K Lα β

Se rezolvă sistemul de condiţii de ordinul întâi:

K∂∂ L = p - µ αAK L = 0 K

α − 1 β

L∂∂ L = p - µβ AK L = 0 L

α β −1


µ∂∂ L = AK L - Y = 0. α β

Se împart primele două ecuaţii şi se obţine

pp

K

L =

βα

βα

αβ

βα

LK

LLLK

=−

−

1

1

de unde:

Y = AK L = α ββ

α

αβ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛K

pp

AKL

K = β

βα

αβ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

L

K

pp

AK

şi deci:

K = ββα

ββα

β

βα

βα

11

YppA

K

L++

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

L = αβα

α

βαα

βα

αβ 11

YppA

L

K+++

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Deci, costul minim de productie este:

p K + p L = pK L Kβ

βαβ

βαβ

βα

βα

11

YppA

K

L++

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

p Lα

βαα

βαα

βα

αβ 11

YppA

L

K+++

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

= ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++++

++− βα

αβα

β

βαβ

βαα

βαβα

αβ

βα

LK ppYA11

.


Fie o firmă pentru care se cunosc vectorul de preţuri p = (3,5) şi restricţia de

producţie x1x2 = 5. Să se calculeze costul minim de producţie.

Se formulează următorul program: x⎩⎨⎧

=+

5)53min(

21

21

xxxx

1, x2>0

Se aplică metoda multiplicatorilor lui Lagrange:

L (x1, x2, λ) = 3x1 + 5x2 + λ(5 - x1x2).

Condiţiile de optim dau:

21

3 xx

λ−=∂∂L =0

05 12

=−=∂∂ x

xλL

,

215 xx−=∂∂λL = 0

de unde:

x1x2 = 5

53

2

1 =xx ⇒ x1 =

53

x2 ⇒ x2 = 3 .

Împărţind primele două ecuaţii se obţine:

x1 = 53

3 = 53

Costul minim de producţie va fi:

3x1 + 5x2 = 353

+ 5 3 = 5 3 + 5 3 = 10 3 .

Rezolvare

?Problema 43


Fie funcţia de producţie y = Ax1αx2

β cu preţurile unitare p1 şi p2. Să se

calculeze costul minim de producţie.

Se formulează problema: ⎩⎨⎧

=+

βα21

2211 )x min(x Axy pxp

Lagrangeanul asociat:

L (x1, x2, λ) = p1x1 + p2x2 + λ(y - Ax1αx2

β)

iar condiţiile de optim ordinul întâi se scriu:

021

111

=−=∂∂ − βααλ xAxp

xL

01212

2

=−=∂∂ −βαβλ xAxp

xL

021 =−=∂∂ βα

λxAxyL

de unde:

21

21

2

11

21

21

1 xppx

pp

xAx

xAxβα

βλ

αλβα

βα

=⇒=−

−

βαβαα

βαα

βαβα

αβ

βα +++

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=−

1

2

11

2221

2 0)( ypp

Axxxpp

Ay

βαβα

βα +

−+=

11

1

21 Ay

pp

x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

++++

++− βα

αβα

β

βαβ

βαα

βαβα

αβ

βα

21

11

2211 ppyAxpxpCTOTAL

Rezolvare

?Problema 44


Pentru a produce y unităţi dintr-un anumit bun o întreprindere suportă pe

termen scurt costul variabil CV(y) şi costul fix CF, cu :

( )CV y y y y= − +12

43 2 şi CF = 4. Costul său total este definit prin

CT(y) = CV(y) + CF. Obiectivul întreprinderii este de a-şi maximiza

profitul.

Se cere:

a) Determinaţi care sunt ecuaţiile funcţiilor de: cost mediu , cost

marginal

( )C yM

( )C ym , cost variabil mediu ( )CV yM , cost fix mediu ; ( )CF yM

b) Reprezentaţi funcţiile ( )C yM , ( )C ym şi ( )CV yM pe acelaşi grafic,

determinând explicit nivelurile unde ele îşi ating minimul. Definiţi pragul de

închidere şi pragul de rentabilitate;

c) Întreprinderea vinde producţia pe o piaţă cu concurenţă perfectă la un preţ

unitar egal cu p. Determinaţi producţia aleasă când p = 3, p = 4 şi p = 6.

Calculaţi în fiecare caz profitul realizat şi comentaţi rezultatele obţinute.

a) ( )C yy

yyM = − + +

2

24

4,

Rezolvare

?Problema 45

( )C y y ym = − +32

2 42 ,

( )CV yy

yM = − +2

24 ,

CFyM =4


( )C yMb)

(2,6) ( )C ym ( )CV yM

( )0 4,

23

103

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 1

72

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

5,30 =p , 61 =p , iar intersectează ( )C ym ( )C yM şi ( )CV yM în punctele

lor de minim.

c) Fie profitul. Dacă Π p p y= ⇒ =3 00< , deci Π = − = −CF 4

( ( ) ( )Π y py CV y CF py y y y CF= − − = − − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

12

43 2 ).

Dacă p = 4 ∈ (3, 5, 6) atunci Cm(y) = 4 implică 32

2 42y y− + = 4 şi

deci y = 0 sau y = 4/3.

Profitul este maxim când costul marginal este crescător, adică y >23

. Deci

y =43

şi Π =−

> −92

274 . Dacă p p= =6 1 , atunci y = 2 şi Π = 0 .Când p

= 3, preţul este inferior pragului de închidere şi este deci inferior costului

variabil mediu minim; este mai bine ca întreprinderea să nu producă şi să

suporte o pierdere egală cu costurile fixe.

Dacă p = 4 > , producţia este pozitivă deci permite să se recupereze o

parte din costurile fixe angajate iar

p0

0<Π .

y


Funcţia de cost pe termen scurt pentru o firmă dată este:

C(y) = ay3 + by2 + cy + d

unde y reprezintă nivelul producţiei.

Să se calculeze indicatorii funcţiei de cost.

- Costul variabil este CV(y) = ay3 + by2 + cy;

Rezolvare

?Problema 46

- Costul fix este CF = d > 0,

- Costul total pe termen scurt este: C(y) = ay3 + by2 + cy + d.

a) Indicatori medii:

Costul mediu:

CM(y) = ydcbyay

ydcybyay

yyCT

+++=+++

= 223)( .

Costul variabil mediu:

CVM(y) = cbyayy

cybyayy

yCV++=

++= 2

23)( .

Costul fix mediu: CFM(y) = yd

b) Indicatori marginali:

Costul total marginal: Cm(y) = cbyaydy

ydCT++= 23)( 2

Costul variabil marginal: CVm(y) = cbyaydy

ydCV++= 23)( 2

Costul fix marginal: CFm(y) = 0.

c) Indicatori procentuali sau elasticităţi


CMC

yCy

CT

E mc =∂

∂

=

ydcbyay

cbyay

+++

++=

2

2 23

?

Problema 47

Fie o întreprindere ale cărei costuri sunt:

Cantităţi

produse Q

Costuri

fixe CF

Costuri

variabile CV

1 60 100

2 60 170

3 60 230

4 60 275

5 60 310

6 60 340

7 60 375

8 60 420

9 60 480

10 60 575

11 60 705

12 60 875

1. Calculaţi: - costurile totale;

- costurile medii;

- costurile marginale;

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii 2. Trasaţi curbele costurilor şi comentaţi.

Rezolvare

1. Se găsesc valorile:

q CF CV CT CFM CVM CTM Cm

1 60 100 160 60 100 160 -

2 60 170 230 30 85 115 70

3 60 230 290 20 76,6 96,6 60

4 60 275 335 15 68,7 83,7 45

5 60 310 370 12 62 74 35

6 60 340 400 10 56,6 66,6 30

7 60 375 435 8,6 53,6 62,1 35

8 60 420 480 7,5 52,5 60 45

9 60 480 540 6,7 53,3 60 60

10 60 575 635 6 57,5 63,5 95

11 60 705 765 5,45 64,1 69,5 130

12 60 875 935 5 72,9 77,9 170

unde s-a notat prin CT – costul total; CFM – costul fix mediu; CVM – costul

variabil mediu; CTM – costul total mediu; Cm – costul marginal.

2. Graficele cerute sunt ilustrate mai jos. După cum se observă, curba

costului fix mediu este descrescătoare, aceasta explicându-se prin faptul că

costul fix unitar descreşte odată cu creşterea ritmului producţiei. Aplicarea

legii randamentelor descrescătoare explică forma de U mai mult sau mai

puţin deschisă a celor trei curbe. Se observă că ecartul dintre CTM şi CVM

se reduce o dată cu dezvoltarea producţiei, iar Cm intersectează cele două

Comportamentul producătorului curbe precedente în punctele lor de minim. Convergenţa tangenţială între

CTM şi CTV îşi găseşte originea într-o scădere continuă a costului fix

mediu. În ceea ce priveşte CVM acesta îşi atinge minimul în S căci derivata

sa în acest punct este nulă, iar:

0)()()()()()(

22 =−

=−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −′=

′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=′

qqCTMqC

qqCTqqC

qqCTqqTC

qCTMCT mm

de unde:

)()( qCTMqCm = .

În lumina acestui fapt, toate cele trei curbe de cost CT, CM, şi Cm sunt

legate între ele precum sunt legate curbele producţiei totale, producţiei

medii şi producţiei marginale. Pe grafic se constată o aliniere a punctelor A

şi B în raport cu abscisa; minimul funcţiei de cost marginal corespunde

punctului de inflexiune al funcţiei de cost total. Se verifică că:

))((0)( ′==′′ qCqTC m .

La stânga dreptei AB, costurile descresc astfel că zona de costuri

descrescătoare corespunde celei de randamente descrescătoare. La dreapta

acestei linii, costul marginal creşte, intersectează costul mediu şi se duce

către infinit. Intrăm în zona costurilor crescătoare care se întinde de la AB

până puţin după DC, randamentele fiind descrescătoare. O dată cu creşterea

quasi exponenţială a lui CT şi Cm intrăm în zona costurilor infinite, şi ca

atare devine absurdă producerea bunului atunci când costurile devin

prohibite; pe scurt randamentele sunt negative.


CFM, CVM, CTM, Cm

CT

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Q

Q

C

F G

D

A

S

B

CTM CVM

Zona costurilor crescătoare

Zona costurilor descrescătoare

140

130

120

110

100 E 90

80

70 H J 50

40

30

20

10

0

700 600 500 400 300 200 100 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

CFM

Cm

CT

K l

Comportamentul producătorului Această analogie, în realitate, nu este deloc forţată. Legea randamentelor

descrescătoare şi cea a costurilor crescătoare formează două versiuni ale

unui singur enunţ. Subliniem că productivitatea şi costul mediu pe de o parte

şi productivitatea şi costul marginal pe de altă parte se găsesc într-o strânsă

relaţie. Astfel, de exemplu, pentru factorul forţă de muncă, avem:

PMw

LqLw

qLw

qwL

qCTCM 1

/=====

mm P

wdLdq

wdqdLw

dqwLd

dqCTdC 1

/1)()(

=====

În consecinţă, în general:

PMCM 1γ= şi

mm P

C 1γ=

unde coeficientul de legătură γ nu e altul decât preţul unitar al factorului în

chestiune. Ori după cum se ştie, preţurile factorilor de producţie sunt

considerate ca fiind date în regim concurenţial, de unde şi similitudinea

raţionamentelor.

?

Problema 48

Fie o întreprindere care fabrică un bun x pe o piaţă cu concurenţă perfectă.

Funcţia sa de cost total se scrie:

483 23 ++−= xxxCT

Se cere:

1. Trasaţi şi comentaţi această funcţie, cât şi cele ale costului marginal şi

mediu.

2. Care este funcţia de ofertă a acestei întreprinderi pe termen scurt.

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii 3. Care este nivelul de producţie care îi permite maximizarea profitului său

pe termen scurt pentru px = 17 (px fiind preţul unitar al bunului x)? Calculaţi

acest profit.

4. Care este cantitatea oferită de către întreprindere pe termen lung? Cât este

preţul? Care este profitul?

O investiţie suplimentară va modifica funcţia de cost total a întreprinderii

astfel:

32146 23 ++−= xxxCT .

5. Arătaţi consecinţele unei astfel de investiţii asupra costurilor

întreprinderii (pragul de închidere şi pragul de rentabilitate) şi asupra

funcţiei sale de ofertă pe termen scurt.

6. Precizaţi dacă, ea are interesul să crească capacitatea sa de producţie

pentru un preţ px = 32. Şi pentru px = 17. Comentaţi.

1. Funcţiile de cost mediu (CM) şi cost marginal (Cm) fiind de forma:

Rezolvare

xxx

xCTCM 4832 ++−==

863)( 2 +−=′= xxCTCm

se poate trasa următorul tabel:

x 0 1 2 3 4 5

CT 4 10 16 28 52 94

CM - 10 8 9,33 13 19,25

Cm 8 5 8 17 32 53

Comportamentul ucătorului Date ce sunt repre tate grafic în figura următoare:

CT

Cm

Facem următoare

• ex

• cu

CM

• ap

de

2. Funcţia de ofe

a costului margin

Egalitatea dintre c

Cm

prod

zen

C 100 90 80 70 60
50 40 30 20 10 0
A B

CM

CF

1 2 3 4 5 x

le constatări:

istă costuri fixe deoarece: );0(4 CFCF ==

rba de cost marginal Cm intersectează curba costului mediu

în punctul său de minim (punctul B);

ariţia unei zone de costuri crescătoare, deci de randamente

screscătoare, plecând din punctul A.

rtă pe perioadă scurtă se identifică cu ramura crescătoare

al ce se află deasupra minimului costului mediu.

ostul marginal şi preţ dă următoarea ecuaţie:

0863863 22 =−+−⇔=+−= pxxpxx

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii ce admite rădăcinile:

31533

2,1−±

=p

x

din care reţinem valoarea pozitivă:

3153

1−

+=p

x pentru .5≥p

Din punct de vedere economic, costul marginal trebuie să depăşească

minimul costului mediu. Deci:

( ) .204320432 232 =⇔=−−⇔=−−=′ xxx

xxCM

Ori, dacă 8 atunci funcţia de ofertă se scrie: ,2 ≥≥ px

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥−

+=.8pentru 0

8pentru 3

1531

p

pp

x

3. Profitul total se scrie:

49348317)()( 2323 −++−=−−+−=−=Π xxxxxxxxCTxVT .

Din condiţiile de ordin întâi se obţine soluţia pozitivă:

.3=x

Profitul global maxim este:

.23)3( =Π

4. Pe perioadă lungă avem:

⎩⎨⎧

==

⇒=8

2

xm p

xCMC .

Rezultă atunci că:

.016483

1623 =Π⇒

⎭⎬⎫

=++−===

xxxCTxpVT x

Comportamentul producătorului 5. În ceea ce priveşte pragul de închidere, firma trebuie să aibă în vedere ca

veniturile să acopere costul mediu, ceea ce revine la a calcula cantitatea

cospunzătoare costului minim:

- înainte de investiţia suplimentară: ( ) .32032 =⇔=−=′ xxCVM

- după investiţia suplimentară: ( ) .3062 =⇔=−=′ xxCVM

Se observă că este necesară dublarea cantităţii minimale de bun.

În ceea ce priveşte pragul de rentabilitate, se observă că:

- înainte de investiţia suplimentară, pragul este de .2=x

- după investiţia suplimentară, pragul devine 4=x deoarece:

( ) 0)]822)(4[()32146( 22 =++−⇒′++−=′ xxxx

xxCM

Din egalitatea se obţine: pCm =

3636

14123 2,12 −±

=⇔=+−p

xpxx .

Ţinând cont de restricţia matematică: 063 ≥−p rezultă că şi

ţinând cont de cea economică:

2≥p

)( ′≥ CMCm rezultă că de unde

În consecinţă:

4≥x

.10≥p

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥−

+=.10pentru 0

10pentru 3

632

p

pp

x

Putem spune în final că investiţia suplimentară duce la creşterea costurilor

de producţie ceea ce obligă firma să crească producţia sa şi preţul său

minimal.

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii 6. Pentru cele două cazuri avem:

- ⎩⎨⎧

=Π=⇒=Π′=Π=⇒=Π′

⇒=83,24 şi 5,16x0

76 şi 4032

xpx

după cum investiţia suplimentară are loc sau nu. În acest caz întreprinderea

are tot interesul să crească capacitatea sa de producţie.

- ⎩⎨⎧

=Π=⇒=Π′=Π=⇒=Π′

⇒=,3612 şi 4,24x023 şi 30

17x

px

La acest nivel al preţului, firma nu are nici un interes să crească capacitatea

sa de producţie.

2.3 Funcţia de cerere de factor. Maximizarea profitului. Oferta globală.

?

Problema 49

Fie o funcţie de producţie cu doi factori:

Y = x1+ 2x , x1, x2 ≥ 0

cu preţurile factorilor p1 = 3, p2 = 1.

Se cere:

a) Reprezentaţi o variantă corespunzatoare nivelului de producţie Y;

b) Determinaţi funcţia de cerere de factori;

c) Determinaţi funcţia de cost total şi reprezentaţi-o grafic;

a) Y = x1 + 2x => x2 = (Y - x1)2 x1, x2 ≥ 0.

Rezolvare

Din x2 = (Y - x1)2 pentru Y fixat => x2 = f(x1).


Dar (xf ′ 1) = 2(x1 - Y) < 0 este o funcţie descrescătoare de x1 iar (xf ′′ 1) = 2

> 0 deci f este funcţie concavă de x1

Graficul corespunzător unui anumit nivel y dat este:

x2 x1 = Y

x1

b) ⎩⎨⎧ +

}3 {min

21

21

x+x=Yxx

La optim, raportul productivităţilor marginale este egal cu raportul

preţurilor:

2

1

2

1

pp

xYxY

=

∂∂∂∂

=>

49323

211

22

2

=⇒=⇒= xx

x

deci: x1 = Y - 49 = Y -

23

x1= Y - 23 ;

x2 = 49 .


c) Costul total este CT(Y) = 3(Y - 23 ) +

49 = 3Y -

49 care este o dreaptă.

?

Problema 50

Fie o industrie competitivă (în care firmele se află în concurenţă perfectă)

formată din 100 de firme identice, fiecare cu o funcţie de cost pe termen

lung de forma:

C(y) = 4y + 40, C(0) = 0

Se cere:

a) Să se determine funcţia ofertă la nivelul fiecărei firme;

b) Să se determine oferta la nivelul industriei;

c) Cunoscută fiind cererea din acest produs la nivelul industriei D(p) = 200 -

p, să se determine preţul produsului şi cantităţile de echilibru (p*, Y*, y*).

Rezolvarea) Vom determina funcţia de ofertă la nivelul fiecărei firme punând

condiţiile:

p = Cm(y) de unde: p = 8y

Dar p > (min) CVM(y) de unde: p > (min) ( 4y + 40/y).

Dar CVM(y) = 4 – 40/y iar min CVM(y) se realizează pentru y = 10.

Deci, y = (1/8) p, pentru p > 10 0, pentru p < 10.

b) Oferta la nivelul industriei va fi: (100/8) p = (25/2) p , pentru p > 10 S(p): Y = 100y = 0, pentru p < 10.

Comportamentul producătorului c) Presupunând că cererea la nivelul industriei din acest produs este: D(p) =

200 – p şi din condiţia de echilibru (cererea egală cu oferta) D(p) = S(p)

rezultă:

p* = 400 / 27

Y* = (25/2) p*

y* = Y*/100.

Se consideră o întreprindere în concurenţă perfectă a cărei funcţie de

producţie se scrie:

?Problema 51

y z z= 1

13

2

13 ;

unde reprezintă volumul producţiei şi cantităţile utilizate din cei

doi factori 1 şi 2. Preţurile unitare ale factorilor sunt egale cu unitatea şi se

notează cu p preţul bunului produs. Analiza are loc pe termen lung, cei doi

factori fiind variabili.

21 ,, zzy

Se cere:

1. Determinaţi funcţia de cost total. Deduceţi funcţia de ofertă a

întreprinderii şi cererea pentru fiecare factor în funcţie de p;

2. Regăsiţi rezultatele de la punctul 1. prin calcul direct, adică fără a trece

prin calculul funcţiei de cost total.

Rezolvare

1. Vom determina mai întâi funcţiile cererii de factori. Ele se obţin

minimizând costul de producţie pentru un volum de producţie dat, adică,


[ ]min r x r x1 1 2 2+ cu restricţia:

y z z= 1

13

2

13

Din egalitatea raportului productivităţilor marginale cu raportul preţurilor (la

optim), obţinem:

1313

1

23

2

13

1

13

2

23

1

2

2

1

z z

z z

rr

zz

−

−= = , 1

2

12 z

rrz =

Deci: zrr

z1

13 1

2

13

1

13⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ = y ; z y

rr1

23 2

1

13

= ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒

( )z r r y yrr1 1 2

32 2

1

12

, , = ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . Analog:

( )z r r y yrr2 1 2

32 1

2

12

, , = ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Pentru cazul particular r obţinem r1 = 2 z y1

32= , z y2

32= .

Costul total va fi:

( )CT r r y r r y1 2 1 2

322, , = ;

iar costul mediu:

( )C y r r yM = 2 1 2

12 .

Dar ( )CT y y= 23

2 de unde ( )C y yM = ≥21

2 0

0

deci pragul de rentabilitate

este egal cu . Întreprinderea produce întotdeauna indiferent de

nivelul preţului de vânzare p.

( )CM 0 =

Comportamentul producătorului Cantitatea care maximizează profitul va fi obţinută din relaţia:

( )p C y r r ym= = 3 1 2

12 ,

deci:

( )y r r ppr r1 2

2

1 29, , = .

Cererea exprimată de firmă pe piaţa factorilor de producţie se obţine înlocuind y prin cantitatea aleasă de întreprindere (deci cantitatea definită prin funcţia de ofertă) în funcţiile de cerere ale factorilor. Obţinem :

( ) ⇒⋅⋅⋅⋅

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

2

2121

3

1

22

3

21

2

211 279,,

rr

rrrrp

rr

rrpprrz

( )z r r ppr r1 1 2

3

12

227, , = ,

( )z r r ppr r2 1 2

3

1 2227

, , = şi

( )y r r ppr r1 2

2

1 29, , = .

2. Problema de maximizare a profitului se scrie :

[ ]max py r z r z− −1 1 2 2

y z z= 1

13

2

13

sau: [ ]max Π = − −pz z r z r z1

13

2

13

1 1 2 2 (omogenă de grad 23

1< , deci funcţia

de producţie este strict concavă). Din:

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−⇒=Π

=−⇒=Π

−

−

031 0

z

031 0

z

23

2

23

1

12

13

1

23

2

11

rzpz

rzpz

∂∂∂∂

rr

zz

1

2

2

1=

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii iar din:

22

21

21

22

221

2

3

312

1

23

13

2

1

31

2

27

27

3

rr

zz

rrzp

rzzp

rz

zp

=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=⋅

sau zz

rr

12

22

22

12=

de unde:

( ) 221

3

212 27,,

rrpprrz = şi ( )z r r p

pr r1 1 2

3

12

227, , =

( ) ( )21

23

12121 9

,,rr

pzzprry ==

O întreprindere are ca funcţie de producţie

?Problema 52

Y = K1/2L1/3 ,

K fiind factorul capital şi L factorul forţă de muncă.

Presupunând că preţul unitar al capitalului este r =1, că preţul unitar al forţei

de muncă este w = 1, iar p preţul outputului şi că întreprinderea îşi

maximizează în mod direct profitul.

Se cere:

1) Determinaţi cererile din fiecare factor;

2) Deduceţi funcţia de ofertă a întreprinderii;

3) Dacă p = 2 care este cantitatea de output ce maximizează profitul firmei?

Care este acest profit?


1) Scopul întreprinderii este de a-şi maximiza profitul:

wLrKLKp −−=Π )( 3/12/1

Rezolvare

La optim avem:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

⇔=−

=−⇔

=∂Π∂

=∂Π∂

−

−

pr

KY

pw

LY

rLpK

wLpK

K

L0

21

031

0

0

3/12/1

3/22/1

Pentru a-şi maximiza profitul, firma îşi alege factorii de producţie astfel

încât productivităţile marginale să fie egale cu preţurile unitare reale:

pw

LY=

∂∂ şi

pr

KY=

∂∂ .

Împărţind aceste relaţii rezultă raportul:

132

2131

3/12/1

3/22/1

=⇔=−

−−

LK

rw

LpK

LpK căci r = w = 1.

Vom obţine 2

3LK = şi înlocuind în pw

LY=

∂∂ rezultă 1

23

31 3/2

2/1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −LLp

iar în pr

KY=

∂∂ rezultă

pL 3

23 6/1

2/1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = din care se calculează

62/1

323

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

pL rezultând 216

*6pL = şi

144*

23*

6pLK == .

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii 2) Funcţia de ofertă a întreprinderii este:

3/162/163/12/1

216144** ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔=

ppYLKY SS adică 72

5pY S = .

3) Pentru p = 2 cantitatea ce maximizează profitul este 94* =Y .

Profitul realizat va fi:

( )148,0

278

7232

21664

14464

64

1282

***** 3/12/1

=−=−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

=−−=Π wLrKLKp

O întreprindere are ca funcţie de producţie:

?Problema 53

Y = 4K1/3L1/3 ,

K fiind factorul capital şi L factorul forţă de muncă. Se presupune că preţul unitar al capitalului este r =1 şi că preţul unitar al forţei de muncă este w =1. Se notează cu p preţul outputului şi se consideră că întreprinderea îşi maximizează indirect profitul. Se cere: 1) Să se determine funcţia de ofertă a întreprinderii; 2) Dacă p = 3 care este cantitatea de output ce maximizează profitul ?

1) Maximizarea indirectă a profitului se face în două etape: Rezolvare

a) se determină funcţia de cost total a întreprinderii:

⎩⎨⎧

=+=

0

minYY

wLrKC unde Y0 este un nivel dat al outputului.

Comportamentul producătorului Lagrangeanul se scrie:

)( 0 YYwLrK −++= λL ,

λ fiind multiplicatorul lui Lagrange, deci . )4( 3/13/10 LKYwLrK −++= λL

La optim , avem:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

⇔

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=

−

3/13/10

3/13/2

3/23/1

43434

0

0

0

LKY

LKr

LKw

K

Lλ

λ

λL

L

L

Împărţind primele două relaţii obţinem:

KYLY

rw

LK

rw

LK

LK

rw

∂∂∂∂

=⇒=⇔=−

−

3/13/2

3/23/1

3434

λ

λ .

La optim, raportul preţurilor factorilor este egal cu raportul productivităţilor

marginale ale acestora.

Deci: LK

=1 căci r = w = 1 şi ca atare K = L.

Înlocuind pe K = L în relaţia a treia a sistemului de optim, obţinem:

Y0 = 4L2/3 şi 2/3

041* ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= YL .

În consecinţă: 2/3

041* ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= YK .

L* şi K* reprezintă cererile optimale de muncă şi capital ce asigură

întreprinderii cea mai mică cheltuială.

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii Costul muncii este deci: C* = rK* + wL*.

2/3

0

2/3

0 41

41* ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= YYC căci r = w = 1.

Rezultă 2/30

2/3

0 41

412* YYC =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Deci funcţia de cost total se obţine înlocuind pe Y0 cu Y.

2/3

41)( YYC = .

b) Etapa a doua constă în maximizarea profitului întreprinderii.

Profitul 2/3

41)( YpYYCpY −=−=Π .La optim avem:

mCpYpYpY

=⇔=⇔=−⇔=∂Π∂ 2/12/1

830

830

În plus este vorba de un maxim căci:

0163 2/1

2

2

<−=∂Π∂ −Y

Y.

În consecinţă 22

964

38* ppY =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Pentru ca Y* să fie oferta întreprinderii, trebuie impusă o condiţie:

unde reprezintă costul mediu ceea ce arată că

întreprinderea va oferi outputul său atâta timp cât va realiza un profit pozitiv

sau nul, adică atâta timp cât va fi superior sau egal cu pragul său de

rentabilitate.

)(min YCp MY> )(YCM

Dar 2/1

41)()( Y

YYCYCM == .

Minimul lui este când = 0, deci p = 0. )(YCM )(YCM

Comportamentul producătorului În concluzie oferta întreprinderii este:

2

964 pY S = cu . 0≥p

2) Dacă p = 3 cantitatea ce maximizează profitul este Y* = 64.

O ramură a unei întreprinderi este compusă din zece întreprinderi având

aceeaşi funcţie de cost total. Funcţia de ofertă a unei întreprinderi i este:

12 −= pY Si cu . 2≥p

Determinaţi oferta globală a ramurii.

Oferta globală a unei ramuri este egală cu suma ofertelor individuale ale

întreprinderilor i (i = 1,.., 10).

Fiecare întreprindere i are ca funcţie de ofertă:

12 −= pY Si cu . 2≥p

În consecinţă, oferta globală este: S

iG YY 10= deci YG = 20p - 10 cu . 2≥p

Rezolvare

?Problema 54

?Problema 55

O ramură a unei industrii se compune din două firme A şi B. Funcţiile de

ofertă ale acestor întreprinderi sunt:

pY SA 2= cu ; cu . 1≥p 3−= pY A

B 5≥p

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii Se cere:

1) Calculaţi oferta totală a ramurii;

2) Faceţi o reprezentare grafică a acestei oferte.

Rezolvare

Oferta globală cu , . SB

SAG YYY += 1,2 ≥= ppY S

A 5,3 ≥−= ppY SB

Distingem trei cazuri:

a) dacă [ )1,0∈p În acest caz, nici o întreprindere nu va produce un output

căci preţul pieţei este strict inferior pragului său de rentabilitate: p < 1 şi p <

5.

Deci oferta globală este nulă: YG = 0.

b) dacă [ ]5,1∈p

În acest caz numai întreprinderea A va oferi output, preţul pieţei fiind

întotdeauna strict inferior pragului de reantabilitate pentru firma B: p < 5.

Oferta globală va fi: YG = 2p.

c) dacă [ )∞∈ ,5p

În acest caz cele două firme vor produce iar oferta globală a ramurii va fi

egală cu suma ofertelor individuale ale firmelor Aşi B:

YG = 2p + p – 3 = 3p = 3p - 3.

2) Reprezentarea grafică este:

YG 15 12 15 1 5 6

YG

Comportamentul producătorului Se observă la curba ofertei globale că aceasta prezintă două discontinuităţi,

una în p = 1 şi una în p = 5.

Industria Y este perfect competitivă şi costurile sunt constante. Ea se găseşte

într-o poziţie de echilibru pe termen lung. Curba cererii industriei este dată

de expresia :

?Problema 56

y = 1500 - 25p.

Curba ofertei pe termen scurt este:

⎩⎨⎧

<≥−

=10,010,10015

ppp

Y

Se face ipoteza că există 25 de firme în industrie.

Se cere :

a) Calculaţi preţul şi cantitatea, la echilibru pentru fiecare firmă;

b) Fiecare firmă operează la capacitatea optimă. Care trebuiau să fie

costurile medii variabile pe termen scurt pentru această întreprindere şi

costurile medii eficiente?;

c) Presupunem că guvernul impune o taxă de 10 u.m. pentru fiecare unitate

produsă.

- Ilustraţi grafic pierderea ce apare în surplusul consumatorului ca

rezultat al acestei taxe. Dacă acest surplus este o măsură exactă a

consimţirii de plată pentru a cumpăra bunurile la un preţ mai scăzut, ce

trebuie să fie adevărat pentru acesta?

- Ce se întâmplă pe termen lung cu preţul plătit de consumator?


a) 1500 - 25p = 15p - 100 ⇒ p = 40 y = 15*40 - 100 = 500

b) Costul variabil mediu pe termen scurt este 10. Costul mediu eficient este

40.

c) pierderea în surplus este dată de suprafaţa haşurată BC din figura

alăturată. Pentru ca surplusul consumatorului să fie o măsură exactă a

consimţirii de plată, efectul de venit trebuie să fie zero.

Pe termen lung, firmele vor ieşi de pe piaţă până ce preţul va creşte la 50

u.m. (preţul iniţial plus 10 u.m. taxele).

Rezolvare

p 60 40 16,4 6,4

0 y’ 500 1500 y

CA

B

S’

S

Funcţia de producţie a unei întreprinderi are forma:

?Problema 57

[ ] LKKLKLKLfQ 34.),( 23 ++−==

unde L şi K simbolizează factorul forţă de muncă, respectiv de capital şi

presupunem că stocul de capital dat este egal cu unitatea.

Se cere:

Comportamentul producătorului 1. Să se calculeze cantitatea de muncă ce conduce la maximizarea producţiei

firmei.

2. Delimitaţi numeric zonele de decizie raţională.

3. Precizaţi volumul de forţă de muncă şi volumul de producţie care asigură

utilizarea optimală a factorilor.

1. Dacă K = 1, funcţia de producţie se rescrie:

Rezolvare

LLLQ 34 23 ++−= .

Maximizarea sa implică rezolvarea condiţiilor de ordinul întâi şi doi.

Condiţia de ordinul întâi constă în a anula derivata întâi:

0383 2 =++−−=′ LLQ .

Această ecuaţie de gradul doi admite soluţiile:

.331

21 =−= LL

Valoarea lui L1 nu are nici un sens economic aşa că ne vom opri la L2. Deci :

183 =⇔= QL

Condiţia de ordinul doi cere negativitatea derivatei secunde:

34086 >⇔<+−=′′ LLQ

condiţie evident îndeplinită deoarece 343 >=L .

2. Zona de decizii raţionale, numită şi zona randamentelor descrescătoare,

coincide cu partea descrescătoare a curbei producţiei marginale Qm, în care

intră şi valoarea sa maximală şi anularea sa:

⎩⎨⎧

==

⇒=+−=′′⇒)inflexiune de(punct 74,8

4086

QL

LQMaxQm


⎩⎨⎧

==

⇒=′maxim) de(punct 18

30

QL

Q

Limitele zonei sunt deci:

334

<< L .

3.Conform raţionamentului expus anterior, utilizarea optimală a factorilor

este obţinută la intersecţia curbei productivităţii marginale şi a

productivităţii medii QM, adică în în punctul de maxim al acesteia din urmă:

342 ++−== LLLQQM

de unde:

042 =+−=′⇒ LQMaxQ MM

deci:

.142 =⇔= QL

?

Problema 58

Funcţia de producţie Y a unei întreprinderi ce are drept factori de intrare

forţa de muncă L şi capitalul K se scrie: 3/12/1 KLY =

Cunoscând că preţul acestor factori sunt w respectiv r şi că întreprinderea

nu-şi poate permite decât suma C0 pentru achiziţionarea acestora, se cere:

1. Să se determine cererile optimale de factori;

Comportamentul producătorului 2. Să se precizeze transformarea suferită atunci când, pe deoparte costul

capitalului este unitar şi pe de altă parte există următoarea relaţie între

cantitatea de muncă şi preţul său unitar: .0,12/1

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= u

uLw

1. Programul ce trebuie rezolvat este:

Rezolvare

0

3/12/1maxCrKwLC

KLY=+=

=

Soluţia programului se obţine din anularea derivatelor parţiale ale funcţiei

Lagrange, notată:

)( 03/12/1 rKwLCLL −−+= λL

şi care sunt:

021 3/12/1 =−=

∂∂ − wKL

LλL

031 3/22/1 =−=

∂∂ − rKL

KλL

00 =−−=∂∂ rKwLC

LL

Împărţind membru la membru ecuaţiile primele două ecuaţii se găseşte:

rw

LK

32

=

expresie care arată că direcţia de expansiune a firmei este o funcţie liniară a

cărei pantă este egală cu .32

rw Introducând în ultima ecuaţie, se obţine:

rC

Kw

CL

52ˆ

53ˆ 00 == .

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii În ceea ce priveşte condiţiile de ordinul doi, ele sunt verificate deoarece:

=

−−

−−

−−

== −−−

−−

092

61

61

41

3/52/13/22/1

3/23/13/12/3

2

rw

rKLKL

wKLKL

D

KL

KKKKL

LLKLL

λλλλ

λ

λ

LLLLLLLLL

=++++= 3/5

2/12

3/22/13/22/12/3

3/12

92

61

61

41

KLw

KLwr

KLwr

LKr

039

24 3/22/13/5

2/12

2/3

3/12

>+++=KL

wrK

LwLKr deoarece L, K, w, r >0

2. Programul precedent se transformă în:

[ ]3/12/1 KLYMax =

cu restricţia: 0

2/1

1 CKLu

LC =+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= .

Cum funcţia Lagrange se scrie:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+= KL

uLCKL

2/1

03/12/1 1λL

sistemul derivatelor parţiale de ordinul întâi:

02

3121 2/1

3/12/1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=′ −

uLKLL λL

031 3/22/1 =−=′ − λKLKL

012/1

0 =−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=′ KL

uLCλL

dă relaţia:

uLLK

uL

LK 2/32/1

32

231

23

+=⇒+= .


Expansiunea firmei este descrisă de curba .32 2/3

uLLK +=

Fie o industrie competitivă (în care firmele se află în concurenţă perfectă)

formată din 100 de firme identice, fiecare cu o funcţie de cost pe termen

lung de forma:

?Problema 59

C(y) = 4y + 40, C(0) = 0.

Se cere:

a) Să se determine funcţia ofertă la nivelul fiecărei firme;

b) Să se determine oferta la nivelul industriei;

c) Cunoscută fiind cererea din acest produs la nivelul industriei D(p) = 200 -

p, să se determine preţul produsului şi cantităţile de echilibru (p*, Y*, y*).

a) Vom determina funcţia de ofertă la nivelul fiecărei firme punând

condiţiile:

Rezolvare

p = Cm(y)

de unde: p = 8y.

Dar p > (min) CVM(y) de unde: p > (min) ( 4y + 40/y).

Dar CVM(y) = 4 – 40/y iar min CVM(y) se realizează pentru y = 10.

Deci, ⎩⎨⎧

<>=

=10pentru 0

10pentru81 p ,

p ) p, / (y y

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii b) Oferta la nivelul industriei va fi:

S(p): Y = 100y = ⎩⎨⎧

<>=

10pentru010pentru2258100

p , p ) p , / () p /(

c) Presupunând că cererea la nivelul industriei din acest produs este: D(p) = 200 – p

şi din condiţia de echilibru D(p) = S(p) rezultă: p* = 400 / 27 Y* = (25/2) p* y* = Y*/100.

Fie o întreprindere în care funcţia de producţie bifactorială se scrie:

?Problema 60

4/14/13 LKY = funcţia de cost total pe termen scurt:

rYWYC TS 161296

)( 4 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

iar funcţia de cost total pe termne lung este:

( ) 2/12

92)( rwYYC TL = .

Presupunem că preţul unitar al capitalului este r = 1 şi că preţul unitar al factorului muncă este w = 4. Se notează cu p preţul produsului. Se cere: 1) Determinaţi, pe termen scurt, nivelul outputului ce maximizează profitul întreprinderii; 2) Determinaţi, pe termen lung, nivelul outputului ce maximizează profitul întreprinderii;

Comportamentul producătorului prin:

a) maximizarea indirectă a profitului;

b) maximizarea directă a profitului.

Se ştie că: TSYCpY )(−=Π

Rezolvare

deci: 16324

4

−−=ΠypY , căci r = 1 şi w = 4.

La optim avem:

mCpYpYpY

=⇔=⇔=−⇔=∂Π∂

810

810

33

Se observă că este un maxim al profitului căci:

027

2

2

2

<−=∂Π∂ Y

Y şi deci ( ) 3/181* pY = .

2) a) Maximizarea indirectă a profitului constă în primul rând în a determina

o funcţie a costului total prin minimizarea costurilor întreprinderii pentru un

nivel dat al outputului.

Acest program admite ca soluţie:

( ) 2/12

92)( rwYYC = .

În al doilea rând, se maximizează profitul întreprinderii ţinând cont de

această funcţie a costului total )()( YCpYY −=Π , p fiind preţul outputului.

De unde: 2

94 YpY −=Π căci r =1, w = 4.

La optim, avem: mCpYpYpY

=⇔=⇔=−⇔=∂Π∂

980

980 .

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii Este vorba de un maxim al profitului căci:

0982

<−=∂Π∂Y

; deci 8

9* pY = .

b) Maximizarea directă constă în a maximiza:

wLrK)LK3(p 4/14/1 −−=Π K, L fiind variabile.

La optim avem:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

⇔=

∂∂

=∂∂

⇔=−

=−⇔

=∂Π∂

=∂Π∂

−

−

pr

KY

pw

LY

rKYp

wLYp

rLpK

wLpK

K

L0

43

043

0

0

4/14/3

4/34/1

Pentru a-şi maximiza profitul, întreprinderea îşi alege factorii de producţie

astfel încât productivităţile marginale ale acestora să fie egale cu preţurile

lor unitare reale:

;pw

LY=

∂∂

pr

KY=

∂∂ .

Împărţind cele două productivităţi marginale se obţine:

4

4343

4/14/3

4/34/1

=⇔=−

−

LK

rw

LpK

LpK căci r =1, w = 4, adică K = 4L.

Înlocuind pe K cu această expresie în ⇒=∂∂

pw

LY ( ) 44

43 4/34/1 ==LLp

iar în ⇒=∂∂

pr

KY 2

24/12/14/1

1289*

1634

3164 pLpL

pL =⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒== .

Înlocuind pe L* în K = 4L 2

329* pK =⇒ .

Deci: 8

9128

93293**3*

4/12

4/124/14/1 pppLKY =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== .

Comportamentul producătorului În plus este vorba de un maxim căci:

0169 4/74/1

2

2

<−=∂Π∂ −LpK

L

şi:

=−

−=

∂Π∂

∂∂Π∂

∂∂Π∂

∂Π∂

−−−

−−−

4/14/74/34/3

4/34/34/74/1

2

22

2

2

2

169

163

163

169

LpKLpK

LpKLpK

KLK

KLL

025672 2/32/32 >= −− LKp căci p > 0, K > 0, L > 0.

?

Problema 61

O întreprindere are ca funcţie de producţie

Y = K1/2L1/3 ,

K fiind factorul capital şi L factorul forţă de muncă.

Presupunând că preţul unitar al capitalului este r =1, că preţul unitar al forţei

de muncă este w = 1, iar p preţul outputului şi că întreprinderea îşi

maximizează în mod direct profitul, se cere:

1. Determinaţi cererile din fiecare factor;

2. Deduceţi funcţia de ofertă a întreprinderii;

3. Dacă p = 2 care este cantitatea de output ce maximizează profitul firmei ?

Care este acest profit?

Rezolvare

1) Scopul întreprinderii este de a-şi maximiza profitul:

wLrKLKp −−=Π )( 3/12/1

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii La optim avem:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

⇔=−

=−⇔

=∂Π∂

=∂Π∂

−

−

pr

KY

pw

LY

rLpK

wLpK

K

L0

21

031

0

0

3/12/1

3/22/1

Pentru a-şi maximiza profitul, firma îşi alege factorii de producţie astfel

încât productivităţile marginale să fie egale cu preţurile unitare reale.

pw

LY=

∂∂ şi

pr

KY=

∂∂ .

Împărţind aceste relaţii vom obţine:

132

2131

3/12/1

3/22/1

=⇔=−

−−

LK

rw

LpK

LpK căci r = w = 1.

Vom obţine 2

3LK = şi înlocuind în pw

LY=

∂∂ rezultă 1

23

31 3/2

2/1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −LLp

iar în pr

KY=

∂∂ rezultă

pL 3

23 6/1

2/1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = din care se calculează

62/1

323

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

pL rezultând 216

*6pL = şi

144*

23*

6pLK == .

2) Funcţia de ofertă a întreprinderii este: 3/162/16

3/12/1

216144** ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔=

ppYLKY SS adică 72

5pY S = .

3) Pentru p = 2 cantitatea ce maximizează profitul este:

94* =Y .

Comportamentul producătorului Profitul realizat va fi:

( )148,0

278

7232

21664

14464

64

1282

***** 3/12/1

=−=−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

=−−=Π wLrKLKp.

O întreprindere are ca funcţie de producţie:

?Problema 62

Y = 4K1/3L1/3 ,

K fiind factorul capital şi L factorul forţă de muncă. Se presupune că preţul unitar al capitalului este r =1 şi că preţul unitar al forţei de muncă este w =1. Se notează cu p preţul outputului şi se consideră că întreprinderea îşi maximizează indirect profitul. Se cere: 1) Să se determine funcţia de ofertă a întreprinderii; 2) Dacă p = 3 care este cantitatea de output ce maximizează profitul? 1)Maximizarea indirectă a profitului se face în două etape:

Rezolvare

a)se determină funcţia de cost total a întreprinderii:

⎩⎨⎧

=+=

0

minYY

wLrKC

unde Y0 este un nivel dat al outputului. Lagrangeanul se scrie:

)( 0 YYwLrK −++= λL ,

unde fiind multiplicatorul lui Lagrange, deci: λ

)4( 3/13/10 LKYwLrK −++= λL .

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii La optim , avem:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

⇔

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=

−

3/13/10

3/13/2

3/23/1

43434

0

0

0

LKY

LKr

LKw

K

Lλ

λ

λL

L

L

Împărţind prima relaţie la relaţia a doua obţinem:

KYLY

rw

LK

rw

LK

LK

rw

∂∂∂∂

=⇒=⇔=−

−

3/13/2

3/23/1

3434

λ

λ .

La optim, raportul preţurilor factorilor este egal cu raportul productivităţilor

marginale ale acestora.

Deci: LK

=1 căci r = w = 1 şi ca atare K = L.

Înlocuind pe K = L în relaţia a treia din sistemul condiţiilor de optim,

obţinem:

Y0 = 4L2/3 şi 2/3

041* ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= YL .

În consecinţă: 2/3

041* ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= YK .

L* şi K* reprezintă cererile optimale de muncă şi capital ce asigură

întreprinderii cea mai mică cheltuială.

Costul muncii este deci: C* = rK* + wL*. 2/3

0

2/3

0 41

41* ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= YYC căci r = w = 1.


Rezultă: 2/30

2/3

0 41

412* YYC =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Funcţia de cost total se obţine înlocuind pe Y0 cu Y.

2/3

41)( YYC = .

b) Etapa a doua constă în maximizarea profitului întreprinderii.

Profitul 2/3

41)( YpYYCpY −=−=Π . La optim avem:

mCpYpYpY

=⇔=⇔=−⇔=∂Π∂ 2/12/1

830

830

În plus, este vorba de un maxim căci:

0163 2/1

2

2

<−=∂Π∂ −Y

Y.

În consecinţă 22

964

38* ppY =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Pentru ca Y* să fie oferta întreprinderii, trebuie impusă o condiţie:

unde reprezintă costul mediu ceea ce arată că

întreprinderea va oferi outputul său atâta timp cât va realiza un profit pozitiv

sau nul, adică atâta timp cât va fi superior sau egal cu pragul său de

rentabilitate.

)(min YCp MY> )(YCM

Dar: 2/1

41)()( Y

YYCYCM == .

Minimul lui este când = 0, deci p = 0. )(YCM )(YCM

În concluzie oferta întreprinderii este:

2

964 pY S = cu . 0≥p

2) Dacă p = 3, cantitatea ce maximizează profitul este Y* = 64.


2.4 Efecte ale fiscalităţii

Funcţia de cost total a unei întreprinderi se scrie:

32)( 2 ++= QQQC ,

Q fiind volumul de producţie. Vom nota cu p preţul outputului.

Se cere:

1. Determinaţi funcţia de ofertă a acestei întreprinderi;

2. Statul decide să impună un impozit forfetar pe volumul de producţie.

Determinaţi noua funcţie de ofertă a firmei. Comentaţi.

1. Producătorul are ca obiectiv m

La optim ave

aximizarea profitului său, acesta fiind:

m:

?Problema 63

Rezolvare

.32 2 −−−=Π QQpQ

mCpQpQp =⇔+=⇔=−−⇔=Π′ 140140 .

Deoarece 04 <−=Π ′′ este vorba de un maxim dat de .4

1* −=

pQ

Pentru ca Q* să fie oferta întreprinderii, trebuie să impunem condiţia ca

ceea ce are sem a face o ofertă

cât preţul de v

,min CMp ≥ nificaţia că întreprinderea v

atâta timp cât va realiza un profit pozitiv sau cel puţin nul, adică atâta timp

ânzare al outputului va fi superior sau cel puţin egal cu pragul

de rentabilitate. Pragul de rentabilitate este dat de minimul costului mediu.

Dar: .312)(Q

QQQCCM ++==


Din condiţia de optim obţinem (deoarece ): 0≥Q

23032)( 2 =⇔=−=′ Q

QQMC .

Valoarea minimă a costului mediu este dată de:

.899,5

23

31232 =++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=CM

În concluzie, oferta întreprinderii este:

.899,5cu 4

1≥

−= ppQ

2. În cazul în care statul decide să impună un impozit forfetar T0 pe volumul producţiei, atunci profitul întreprinderii se va scrie:

02 32 TQQpQ −−−−=Π .

La optim avem:

CmpQpQp =⇔+=⇔=−−⇔=Π′ 140140 .

Este vorba de un maxim de profit deoarece: 04 <−=Π ′′ şi deci:

41−

=∗ QQ .

Pentru ca să constituie oferta întreprinderii trebuie ca deci

prin împărţirea la Q a funcţiei de cost:

*Q ,min CMp ≥

02 32)( TQQQC +++=

obţinem funcţia de cost mediu:

( )Q

TQCM

312 0 +++=

care prin derivare dă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=′ 2

0 32

QT

MC


şi din condiţia de optim: 0=′MC rezultă că .2

3 0TQ

+= Pragul de

rentabilitate este dat de valoarea minimă a costului mediu:

( ) ( )( ) .1322

23

31

23

2 2/102/1

0

02/1

0 ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= TT

TTCM

În concluzie, noua ofertă a întreprinderii este:

41−

=pQ pentru ( )( ) 1322 2/1

0 ++≥ Tp


QQQC 2)( 2 += ,


Se cere:

1. Determinaţi funcţia de ofertă a acestei întreprinderi;

2. Statul decide să impună o taxă proporţională (T) pe volumul de producţie

T = tQ, t fiind rata marginală de impozitare, t ∈ (0, 1). Determinaţi noua

funcţie de ofertă a firmei. Comentaţi.

?Problema 64

Rezolvare

1. Funcţia de ofertă a întreprinderii se obţine din condiţia de maximizare a

profitului:

QQpQ 22 −−=Π .


La optim avem: .220220 CmpQpQp =⇔+=⇔=−−⇔=Π′ Este

vorba de un maxim deoarece: .02 <−=Π ′′ În consecinţă, avem:

2222 −

=⇒+= ∗ pQQp .

Pentru ca să reprezinte oferta întreprinderii va trebui ca preţul outputului

să depăşească pragul de rentabilitate. Dar cum

*Q

2+= QCM costul mediu

este o dreaptă de pantă pozitivă, deci este o funcţie crescătoare şi îşi va

atinge minimul în adică ,2)0( =CM .2=p

În concluzie, oferta întreprinderii este:

22−

=pQ pentru .2≥p

Dacă statul decide să impună o taxă proporţională (T) pe volumul de

producţie, atunci profitul va fi:

tQQQpQ −−−=Π 22 .

La optim avem:

tCmptQptQp +=⇔++=⇔=−−−⇔=Π′ 220220 .


ceea ce are semnificaţia că întreprinderea va face o ofertă


cât preţul de vânzare al outputului va fi superior sau cel puţin egal cu pragul


,min CMp ≥

Costul total în acest caz este:

tQQQQC ++= 2)( 2

de unde costul mediu are forma:

)2( tQCM ++=

Analiza microeconomică a consumatorului şi producătorului. Aplicaţii şi este crescător. Pragul de rentabilitate este deci egal cu:

tCM += 2)0(

adică . În concluzie, noua ofertă a întreprinderii este: 2 tp +=

22 tpQ −−

= pentru .2 tp +≥

Se observă că funcţia de ofertă şi-a schimbat forma: ,021<

−=

tQδδ oferta

fiind o funcţie strict descrescătoare în raport cu rata marginală de

impozitare. Cu cât rata de impozitare este mai mare cu atât mai puţin va

produce întreprinderea. În ceea ce priveşte priveşte pragul de rentabilitate, el

este mai ridicat în cazul existenţei unui impozit.


QQQC 54)( 2 += ,


Statul decide să impună impozit (T) pe profit T = Πθ , θ fiind rata

marginală de impozitare, θ ∈ (0, 1).

Se cere:

1. Scrieţi profitul net (după impozitare) al întreprinderii;

2. Determinaţi consecinţele acestei fiscalităţi asupra nivelului de producţie şi

asupra profitului întreprinderii.

1. Profitul net al întreprinderii (B) are forma:

?Problema 65

Rezolvare

,TB −Π=

Comportamentul producătorului unde am notat cu profitul întreprinderii. Deci, profitul net este: Π

).54)(1())()(1()1( 2 −−−=⇒−−=⇔Π−= QpQBQcpQBB θθθ

2. Întreprinderea va maximiza beneficiul său net. La optim:

QpQpB 80)8)(1(0 =⇔=−−⇔=′ θ ,

de unde avem că:

.8

* pQ =


ceea ce are semnificaţia că întreprinderea va face o ofertă


cât preţul de vânzare al outputului va fi superior sau cel puţin egal cu pragul


,min CMp ≥

Costul mediu este: ,54Q

QCM += iar .54 2QMC −=′ Din

rezultă că

0=′MC

45

=Q iar costul minim are valoarea .944,854 ==CM

Pragul de rentabilitate este deci .944,8=p

Funcţia de ofertă se scrie:

8pQ = pentru .944,8≥p

Remarcăm că ,0=∂∂θQ adică impozitul pe profit nu afectează în nici un fel

oferta întreprinderii şi deci nici nivelul său de producţie. În plus

,0<Π−=∂∂θB ceea ce ne arată că beneficiul net este o funcţie

descrescătoare în raport cu rata marginală de impozitare atâta timp cât

.0>Π

Documents

Analiza Microeconomica a Consumatorului Si Producatorului - Aplicatii 2