Analiza stabilitii dinamice i reprezentarea rspunsului n timp la
mrimi de intrare standard
Fie urmtoarea funcie de transfer:
(16) modelul utilizat pentru a proiecta sistemul de comand al
aeronavei este:
(17)Derivatele de stabilitate se iau din directorul \ANA, mai
precis din fiierul ANA.REZ. De asemenea, numrul Mach se transform n
viteza V [km/h]. Sunt 4 condiii ce vor fi analizate n vederea
stabilirii stabilitii dinamice. Prin urmare:
conform DCOEFA.REZ (codul este scris n programul
Matlab):MACH=[0.5000000E+00 0.6000000E+00 0.7000000E+00
0.8000000E+00 0.9000000E+00 0.1100000E+01 0.1200000E+01
0.1300000E+01 0.1400000E+01 0.1500000E+01 0.1600000E+01
0.1700000E+01 0.1800000E+01 0.1900000E+01 0.2100000E+01
0.2300000E+01 0.2400000E+01 0.2500000E+01];
Pentru altitudinea de 5000 de metri (15000 feet), conform ISA
(,,International Standard Atmosphere") transformarea este urmtoarea
(notat cu V):
V=[580.16851199 696.20221440 812.23591679 928.26961919
1044.30332159 1276.37072640 1392.40442880 1508.43813120
1624.47183359 1740.50553599 1856.53923839 1972.57294079
2088.60664319 2204.64034559 2436.70775039 2668.77515519
2784.80885760 2900.84256000];Se realizeaz urmtoarele notaii:
- unde: csi = factorul de amortizare;Revenind: conform ANA.REZ
(codul este scris n programul Matlab):kod=[0.2586756E+00
0.3061019E+00 0.3613695E+00 0.5595279E+00 0.8268599E+00
0.8437352E+00 0.8285293E+00 0.8172149E+00 0.8131306E+00
0.8162441E+00 0.8231096E+00 0.8347529E+00 0.8529013E+00
0.9144728E+00 0.1074958E+01 0.1099604E+01 0.1125593E+01];
csi=[0.1178213E+00 0.1185347E+00 0.1201559E+00 0.1219775E+00
0.1378084E+00 0.1382161E+00 0.1367352E+00 0.1356120E+00
0.1346921E+00 0.1339069E+00 0.1332340E+00 0.1326404E+00
0.1320953E+00 0.1311050E+00 0.1309096E+00 0.1310170E+00
0.1312509E+00];
T=[0.1713069E+01 0.1465842E+01 0.1276305E+01 0.1128235E+01
0.8515871E+00 0.7749910E+00 0.7166407E+00 0.6667641E+00
0.6285680E+00 0.5997782E+00 0.5743809E+00 0.5518793E+00
0.5321608E+00 0.4998434E+00 0.4729415E+00 0.4643796E+00
0.4579683E+00];
rspunsul oferit de program: - funcia de transfer cu valori
efective:Transfer function: 150.1------------------------2.935 s^2
+ 0.4037 s + 1- matricile derivatelor de stabilitate:a = x1 x2 x1
-0.1376 -0.6815 x2 0.5 0 b = u1 x1 8 x2 0 c = x1 x2 y1 0 12.78 d =
u1 y1 0 Continuous-time model.ans = -0.0688 + 0.5797i -0.0688 -
0.5797i Cazul 1 linia de cod este
urmtoarea:V_1=580.16851199;kod_1=0.2586756E+00;T_1=0.1713069E+01;csi_1=0.1178213E+00;num=V_1*kod_1;den=T_1^2*s^2+2*csi_1*T_1*s+1;%
Functia de transfer este:H_1=num/den sys_1=ss(H_1)% Raspuns
treapta:step(sys_1)figure;impulse(sys_1)grid;% Raspunsul in
timp:ltiview(sys_1)% pentru determinarea
stabilitatii:pole(sys_1)
c = x1 x2 y1 0 12.78 d = u1 y1 0 Continuous-time model.-
polii:ans = -0.0688 + 0.5797i -0.0688 - 0.5797i c = x1 x2 y1 0
12.78 d = u1 y1 0 Continuous-time model.ans = -0.0688 + 0.5797i
-0.0688 - 0.5797i Se observ c polii au 3 valori negative i 1
pozitiv, cu partea real negativ => sistemul este stabil. Din
diagrama rspunsului la impulsse poate observa c stabilizarea are
loc dup70 de secunde, iar suprareglajul are o valoarede 75.
De asemenea, din graficul rspunsuluin timp, suprareglajul are
valoarea de 250, iarstabilizarea are loc dup 70 de secunde.
- rspuns la impuls:
- rspuns n timp:
Cazul 2
rspunsul oferit de program: - funcia de transfer cu valori
efective:Transfer function: 1154------------------------0.5136 s^2
+ 0.196 s + 1 - matricile derivatelor de stabilitate: a = x1 x2 x1
-0.3816 -1.947 x2 1 0 b = u1 x1 64 x2 0 c = x1 x2 y1 0 35.1 d = u1
y1 0 Continuous-time model.ans = -0.1908 + 1.3823i -0.1908 -
1.3823i linia de cod este
urmtoarea:s=tf('s');V_7=1392.40442880;kod_7=0.8285293E+00;T_7=0.7166407E+00;csi_7=0.1367352E+00;num=V_7*kod_7;den=T_7^2*s^2+2*csi_7*T_7*s+1;%
Functia de transfer este:H_7=num/den sys_7=ss(H_7)% Raspuns
treapta:step(sys_7)figure;impulse(sys_7)grid;% Raspunsul in
timp:%ltiview(sys_7)% pentru determinarea
stabilitatii:pole(sys_7)
c = x1 x2 y1 0 35.1d = u1 y1 0Continuous-time model.- polii:ans
= -0.1908 + 1.3823i -0.1908 - 1.3823i Se observ c polii au 3 valori
negative i 1 pozitiv, cu partea real negativ => sistemul este
stabil. Din diagrama rspunsului la impulsse poate observa c
stabilizarea are loc dup24 de secunde, iar suprareglajul are o
valoareiniial de 1300.
De asemenea, din graficul rspunsuluin timp, suprareglajul are
valoarea de 1900, iar stabilizarea are loc dup 24 de secunde.
- rspuns la impuls:
- rspuns n timp:
Cazul 3
rspunsul oferit de program: - funcia de transfer cu valori
efective: Transfer function: 1781-------------------------0.2832
s^2 + 0.1406 s + 1 - matricile derivatelor de stabilitate:a = x1 x2
x1 -0.4964 -1.766 x2 2 0 b = u1 x1 64 x2 0 c = x1 x2 y1 0 49.14 d =
u1 y1 0 Continuous-time model.ans = -0.2482 + 1.8627i -0.2482 -
1.8627i linia de cod este
urmtoarea:s=tf('s');V_13=2088.60664319;kod_13=0.8529013E+00;T_13=0.5321608E+00;csi_13=0.1320953E+00;num=V_13*kod_13;den=T_13^2*s^2+2*csi_13*T_13*s+1;%
Functia de transfer este:H_13=num/den sys_13=ss(H_13)% Raspuns
treapta:step(sys_13)figure;impulse(sys_13)grid;% pentru
determinarea stabilitatii:pole(sys_13)
Se observ c polii au 3 valori negative i 1 pozitiv, cu partea
real negativ => sistemul este stabil. Din diagrama rspunsului la
impulsse poate observa c stabilizarea are loc dup18 de secunde, iar
suprareglajul are o valoareiniial de 2700.
De asemenea, din graficul rspunsuluin timp, suprareglajul are
valoarea de 2950, iar stabilizarea are loc dup 18 de secunde.
- rspuns la impuls:
- rspuns n timp:
Cazul 4
rspunsul oferit de program: - funcia de transfer cu valori
efective: Transfer function: 3265-------------------------0.2097
s^2 + 0.1202 s + 1 - matricile derivatelor de stabilitate:a = x1 x2
x1 -0.5732 -2.384 x2 2 0 b = u1 x1 64 x2 0 c = x1 x2 y1 0 121.6 d =
u1 y1 0 Continuous-time model.ans = -0.2866 + 2.1647i -0.2866 -
2.1647i linia de cod este
urmtoarea:s=tf('s');V_18=2900.84256000;kod_18=0.1125593E+01;T_18=0.4579683E+00;csi_18=0.1312509E+00;num=V_18*kod_18;den=T_18^2*s^2+2*csi_18*T_18*s+1;%
Functia de transfer este:H_18=num/den sys_18=ss(H_18)% Raspunsul in
timp:%ltiview(sys_18)step(sys_18)grid;figure;impulse(sys_18)grid;%
pentru determinarea stabilitatii:pole(sys_18)
c = x1 x2 y1 0 121.6 d = u1 y1 0 Continuous-time model.-
polii:ans = -0.2866 + 2.1647i -0.2866 - 2.1647i Se observ c polii
au 3 valori negative i 1 pozitiv, cu partea real negativ =>
sistemul este stabil. Din diagrama rspunsului la impulsse poate
observa c stabilizarea are loc dup16 de secunde, iar suprareglajul
are o valoareiniial de 5900.
De asemenea, din graficul rspunsuluin timp, suprareglajul are
valoarea de 5400, iar stabilizarea are loc dup 16 de secunde.
- rspuns la impuls:
- rspuns n timp:
c). Determinarea indicilor de calitate ai zborului standard
Pentru sinteza sistemului de comand al aparatelor cu zbor
automat, este necesar cunoaterea unor parametrii care definesc
dinamica obiectului comandat, adic dinamica aparatului de zbor.
Aceti parametri poart numele de indici de calitate ai zborului. A).
Indici de calitate ai micrii de tangaj se va analiza micarea rapid
de tangaj pentru configuraii axial-simetrice; prin urmare, pentru
analiza calitilor de zbor, se pornete de la ecuaiile micrii rapide
longitudinale scrise ntr-o form neomogen:
(18) aplicnd transformata Laplace sistemul devine:
(19) - sub form matriceal:
(20) nmulind la stnga cu inversa matricei A(s) rezult:
(21)*unde: P(s) este polinomul caracteristic asociat sistemului
omogen. n acest caz, principalele funcii de transfer sunt:
- sistemul se poate pune sub urmtoarea form:
(23)Pentru construirea unei scheme structurale generale a
sistemului rachet comandat pe canalul de tangaj, se va exprima
viteza unghiular a tangentei la traiectorie, pornind de la legtura
geometric:
(24) derivnd:
(25) cu ajutorul relaiei (24) se obine:
se aduc funciile de transfer la o form aproximativ simplificat;
funcia de transfer a vitezei unghiulare a tangentei la traiectorie
cu intrare n bracaj devine:
(27)
*unde: factor de comand n tangaj. pentru funcia de transfer a
vitezei unghiulare a tangentei la traiectorie cu intrarea n moment
perturbator se poate scrie:
(28)
funcia de transfer a vitezei unghiulare a tangentei la
traiectorie cu intrare n fora perturbatoare se poate exprima sub
forma urmtoare:
(29)
Pentru a stabili legtura dintre inciden , viteza unghiular (q) i
viteza unghiular a tangentei la traiectorie , se va ncepe cu
funciile de transfer care exprim aceti parametri n funcie de
bracajul de comand; fie funcia de transfer:
(30)- pus n form simplificat, funcia devine:
(31) legtura simplificat ntre inciden i viteza unghiular are
urmtoarea form:
(32)
*unde: timpul de avans la comanda n tangaj. prin urmare, se
poate scrie:
(33)- funcia de transfer fiind:
(34) pentru exprimarea incidenei, se poate nota n urmtorul
fel:
(35)
*unde: constanta de timp a aparatului de zbor; reprezint
raportul dintre incidena de zbor i viteza unghiular a vectorului
vitez, iar din punct de vedere al vitezei unghiulare de tangaj
reprezint un timp de avans la comand. acceleraia dup normala la
vectorul vitez n planul de comand:
(36)
fie urmtoarea ecuaie diferenial omogen a incidenei:
(37)
- condiiile iniiale sunt: soluia ecuaiei omogene este:
(38) dac se aplic o perturbaie de durat scurt, de tip impuls,
rspunsul sistemului la inciden poate fi obinut impunnd condiiile
iniiale:
n acset caz, soluia ecuaiei omogene este:
(39)
timpul de amortizare reprezint durata pn la care deviaia
incidenei (datorat unei perturbaii de tip impuls introdus n sistem)
scade la din valoarea iniial i este notat sub urmtoarea form:
(40) indicii secundari de manevr corespunztori bracajului maxim
sunt:- factorul de sarcin maxim:
(41)- raza de curbur minim a traiectoriei:
(42)Relaiile astfel obinute corespund micrii rapide
longitudinale (a canalului de tangaj). Pentru canalul de giraie,
avnd n vedere simetria, se obin relaii analoge celor reprezentate
anterior.
B). Indici de calitate ai micrii de ruliu lund n considerare
termenul de comand i momentul perturbator, se poate scrie:
(43)- se realizeaz urmtoarele notaii:
(44)
*unde: factorul de comand n ruliu;
timpul de ntrziere la comanda n ruliu;
factorul de reducere a perturbaiei la comanda n ruliu. fie:
(45) aplicnd transformata Laplace, se obine urmtoarea funcie de
transfer:
(46) dac se pornete de la ecuaia diferenial omogen a vitezei
unghiulare de ruliu:
(47) aplicndu-se o perturbaie de scurt durat, de tip impuls, cu
condiia iniial:
(48) soluia ecuaiei omogene devine:
(49)
se definete timpul de amortizare n ruliu ca fiind durata pn la
care deviaia vitezei unghiulare de ruliu datorat unei perturbaii de
tip impuls introdus n sistem scade la din valoarea iniial, ceea ce
conduce la relaia:
(50)
Capitolul 4 - Sinteza i analiza sistemului de comand
a). Construierea schemei structurale decuplate pe canale
bloc cinematic; funcia de transfer a acestuia este:
(51)
timpul final de intercepie; ;
Se ia ca int avionul de lupt F-16; ; vitez int;
vitez mobil ;
b). Sinteza sistemului de comand printr-o metod simplificat
Metoda care va fi prezentat n continuare se numete metoda
coeficienilor standard i face parte din clasa metodelor de alocare
poli-zerouri. Aceasta se aplic sistemelor din clasa SISO (,,o
singur intrare, o singur ieire") i are la baz ideea de a aduce
funcia sistemului nchis la una din formele ,,standard" care asigur
o bun comportare n regim tranzitoriu. Se consider funcia de
transfer scris sub urmtoarea form:
(52)
*unde: este un polinom de ordinul n. prin simplificarea funciei
de transfer cu coeficientul a0 , numitorul se poate rescrie:
(53)
pulsaia proprie a sistemului. pulsaia proprie se determin
astfel:
(54)
*unde: timp de rspuns adimensional; acesta depinde de forma
funciei standard;
timpul de rspuns al sistemului; se impune din necesiti de
proiectare.Forma funciei de transfer depinde de numrtor.
Aplicarea metodei se face prin identificarea coeficienilor
funciei sistemului analizat cu coeficienii standard prezentai
anterior. Dup impunerea unui timp de rspuns , care precizeaz
pulsaia proprie , se obine un sistem algebric care permite
determinarea parametrilor sistemului de comand. Prin urmare:
pentru Schema 1, funcia este de forma:
- cazul general: (55)- cazul concret: Calculul funciei de
transfer este urmtorul (este prezentat detaliat n Anex):
*unde:
coeficienii standard pot avea forma indicat n Tabelul 1 dac
numitorul funciei are rdcini reale multiple:
Tabelul 1n
1113
21214,8
313316
4146417,9
5151010519
6161520156110,5
Se observ c ; prin urmare relaia (55) devine:
(56)
i , cu: (conform tabel).
Aleg timpul de rspuns ca fiind egal cu .
pulsaia proprie:; se rescrie relaia (56):
prin identificarea termenilor liberi se obine:
Prin aceast metod se va calcula coeficientul (este singura
necunoscut). Conform a ceea ce s-a scris anterior i a fiierului
ANA.REZ, se cunosc urmtoarele:
Efectund nlocuirile rezult:
Deci: .
Aceast valoare se va analiza n partea de testare; dac sistemul
rezult instabil, se va alege o valoare a amplificrii astfel nct
sistemul s fie stabil.
pentru Schema 2, funcia este de forma:
- cazul general: (57)- cazul concret:
Calculul funciei de transfer este urmtorul
coeficienii standard sunt indicai n Tabelul 2:Tabelul 2n
316,76,711,5
417,9157,913,4
511869691819
6136251485251361-
Se observ c ; prin urmare relaia (57) devine:
(58)
i , cu: (conform tabel).
Aleg timpul de rspuns ca fiind egal cu .
pulsaia proprie:; se rescrie relaia (58):
prin identificarea termenilor liberi se obine:
Prin aceast metod se va calcula coeficientul (este singura
necunoscut). Conform a ceea ce s-a scris anterior i a fiierului
ANA.REZ, se cunosc urmtoarele:
Efectund nlocuirile rezult:
Deci:.
Aceast valoare se va analiza n partea de testare; dac sistemul
rezult instabil, se va alege o valoare a amplificrii astfel nct
sistemul s fie stabil.
c). Analiz a sistemului ce cuprinde partea de comand n regim
tranzitoriu
Pentru valoarea amplificrii se obine: linia de cod scris n
Matlab
este:[A,B,C,D]=linmod('schema_1_sistem_racheta')sys_1=ss(A,B,C,D)step(sys_1)grid;pole(sys_1)
rspunsul afiat de program:A = 0 0 392.0176 0 0 0 0 -0.2898
-789.4444 0 39.8380 0 0 1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0.2000 0 0 0 0 0
7.7237 -10.0000 -128.6000 0 0 0 0.6006 0 -10.0000B = 0 0 0 1 0 0C =
1 0 0 0 0 0D = 0 a = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 0 0 392 0 0 0 x2 0
-0.2898 -789.4 0 39.84 0 x3 0 1 0 0 0 0 x4 -1 0 0 0.2 0 0 x5 0 0 0
7.724 -10 -128.6 x6 0 0 0 0.6006 0 -10 b = u1 x1 0 x2 0 x3 0 x4 1
x5 0
Rspunsul n timp este urmtorul: x6 0 c = x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 1 0
0 0 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model.
- polii:ans = -35.6913 -11.9901 +36.4374i -11.9901 -36.4374i
19.7909 +23.1100i 19.7909 -23.1100i 0.0000
Se observ c sistemul este instabil; se va alege o valoare a
amplificrii astfel nct sistemul s fie stabil. Prin urmare:
; se obine schema urmtoare:
linia de cod scris n Matlab
este:[A,B,C,D]=linmod('schema_1_sistem_racheta')sys_1=ss(A,B,C,D)step(sys_1)grid;pole(sys_1)
rspunsul afiat de program:A = 0 0 392.0176 0 0 0 0 -0.2898
-789.4444 0 39.8380 0 0 1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0.2000 0 0 0 0 0
7.7237 -10.0000 -128.6000 0 0 0 0.6006 0 -10.0000B = 0 0 0 1 0 0C =
1 0 0 0 0 0D = 0 a = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 0 0 392 0 0 0 x2 0
-0.2898 -789.4 0 39.84 0 x3 0 1 0 0 0 0 x4 -1 0 0 0.2 0 0 x5 0 0 0
7.724 -10 -128.6 x6 0 0 0 0.6006 0 -10
b = u1 x1 0 x2 0 x3 0 x4 1 x5 0 x6 0 c = x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 1
0 0 0 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model.
- polii:ans = -0.2137 +28.0437i -0.2137 -28.0437i -13.0810
0.0000 -4.0898 -2.4915 Rspunsul n timp este urmtorul:
pzmap(sys_1)
Se observ c sistemul este stabil. Stabilizarea are loc n 2,5
secunde.
