Analyse Spectral

jean-philippe mullerAnalyse spectrale

Physique applique

Analyse spectrale

Harmoniques 50 Hz

Spectre dun signal FSK

2000 Hz

500 Hz

Spectre dun signal priodique


Sommaire

1- La reprsentation temporelle dun signal2- La reprsentation frquentielle du signal3- Exemple du spectre dun signal sinusodal4- Instrumentation : lanalyseur balayage5- Instrumentation : lanalyseur numrique6- Signaux spectre stable dans le temps7- Exemple de signal spectre stable8- Signaux spectre variable dans le temps9- Exemple de signal spectre variable10- Les outils mathmatiques de lanalyse spectrale11- La dcomposition en srie de Fourier12- Spectre dun signal priodique13- Dcomposition des signaux usuels 14- Spectre dune impulsion15- Harmoniques et timbre dun son16- Evolution des harmoniques dune lame vibrante17- Mesure de la distorsion harmonique 18- Mesure de la distorsion dintermodulation19- Diminution des rayonnements parasites20- Les harmoniques sur le rseau 50 Hz21- Consquences des harmoniques sur le rseau22- La transforme de Fourier23- Leffet de fentre24- La transforme de Fourier discrte25- Exemple dapplication de la TFD26- La transforme de Fourier rapide ou FFT27- Les fentres de pondration28- Application : test dun haut-parleur29- Application : la FFT dans le domaine mdical


1- La reprsentation temporelle dun signal

Llectronique traite des signaux analogiques ou numriques de natures trs varies :

le support du signal est le plus souvent une tension, mais peut aussi tre un courant, une onde lectromagntique (radio, TV, radar), une onde lumineuse ou infrarouge (fibres optiques), une onde sonore

linformation contenue dans le signal peut tre un message audio (parole, musique), vido (image TV), binaire (liaison ordinateur-imprimante) ou un signal analogique traduisant ltat dun capteur

Une premire faon de connatre un signal est dobserver son allure en fonction du temps donne par loscillogramme.

Exemple 2 : signal sinusodal et signal modul en amplitude

Exemple 1 : signal x(t) = 10sin(400t)

amplitude

temps

amplitude

10

temps

cest un signal sinusodal son amplitude est de 10 Vsa pulsation vaut 400 radians/secondesa frquence vaut f = 63,7 Hz

Dfinition : loscillogramme dun signal est la reprsentation des variations de son amplitude en fonction du temps.

Loscillogramme nous renseigne sur lamplitude, la valeur crte, la valeur moyenne mais pas sur les frquences contenues dans le signal.


2- La reprsentation frquentielle dun signal

Pour voir les frquences contenues dans un signal, on le reprsente sous la forme dun diagramme amplitude-frquence appel spectre :

Exemple 1 : le signal x(t) = 10sin(400t) est un signal sinusodal damplitude 10 et de pulsation 400

amplitudeamplitude

1010

temps

pulsation (ou frquence f)oscillogramme 400 spectre

Exemple 2 : frquences captes par une antenne entre 88 et 108 MHz ( bande FM )

amplitude

frquence

12

3

41 : France-Musique 91,2 MHz2 : France-Inter 95,7 MHz3 : Radio France alsace 102,4 MHz4 : France-Info 105,7 MHz

Dfinition : le spectre est la reprsentation des amplitudes des diffrentes composantes en fonction de la frquence


3- Exemple du spectre dun signal sinusodal

On sintresse au spectre dun segment de signal sinusodal de frquence 500 Hz :

il dure 54 ms et est donc compos de 27 priodesson amplitude est de 10 mV crtependant son existence, son spectre est form dune raie 500 Hz

amplitude

oscillogramme

10

spectre

frquence f500

Diagramme temps-frquence

Pour visualiser lvolution du spectre en fonction du temps, on utilise un diagramme temps-frquence sur lequel la couleur indique lintensit de la composante spectrale.


4- Instrumentation : lanalyseur balayage

Pour visualiser le spectre dun signal, on dispose de deux types dinstruments : lanalyseur balayage et lanalyseur numrique.

Lanalyseur balayage fonctionne comme un rcepteur changement de frquence en balayant la gamme de frquences analyser :

il permet de visualiser le spectre de signaux de frquences leves, une frquence maximale de 3 GHz tant une valeur courante cause de son mode de fonctionnement, il ne permet pas de visualiser le spectre de signaux brefs et non rptitifspar contre, il est idal pour visualiser des spectres de signaux stables dans le temps ou rptitifs

Anritsu MS2711 : 100 kHz 3 GHzTektronix 2712 : 9 kHz 1,8 GHz

Rohde+Schwartz : 100 kHz 3 GHz

Les principaux rglages de lappareil sont : la plage de frquence visualise ( frquence centrale, dviation ), la sensibilit et la bande passante du filtre danalyse.

Applet : principe de lanalyseur balayage Vido : le fonctionnement de lanalyseur balayage


5- Instrumentation : lanalyseur numrique

Lanalyseur de spectre numrique chantillonne le signal analyser et calcule des points du spectre laide dun algorithme de calcul qui est souvent une FFT ( Fast Fourier Transform) :

il permet de visualiser le spectre de signaux dont la frquence est limite quelques dizaines de MHz il peut faire lacquisition de signaux non rptitifs et visualiser leur spectreil peut montrer lvolution du spectre en fonction du temps pour les signaux qui ne sont pas stablesde nombreuses options daffichage permettent une visualisation optimale des spectres ( spectre unique, sonagramme, waterfall )il est souvent ralis autour dun PC par lassociation dune carte dacquisition interne ou externe et un logiciel

Fluke 43B : analyseur des harmoniques du rseau 50 Hz

Onosokki DS2000 : 0 40 kHz

Les principaux rglages de lappareil sont : la plage de frquence visualise ( frquence centrale, dviation ), la sensibilit et le choix de la fentre de pondration.


6- Signaux spectre stable dans le temps

Pour lanalyse spectrale, il existe un grand nombre de signaux dont lessentiel de la forme reste stable dans le temps : leur spectre est fixe ou volue peu dans le temps, la connaissance du spectre un instant donn permet de bien connatre les caractristiques du signal.

analyseur balayage ou numrique

spectre de la tranche A

spectre de la tranche B

f f

x(t)

t

tranche Btranche A

Dans cette catgorie, on trouve : les signaux priodiques, les signaux moduls en amplitude, en frquence ou en phase, les signaux vido


7- Exemple de signal spectre stable

La squence analyse correspond un signal modul en amplitude :

nombre dchantillons : N = 10 000frquence dchantillonnage : fe = 11025 kHzfrquence de la porteuse : f = 1000 Hzsignal modulant sinusodal F = 150 Hz

Oscillogramme dune tranche de 42 ms

1000 Hz

850 Hz 1150 Hz

Spectre moyen (FFT des chantillons)

Diagramme spectre-temps

Remarques :on retrouve sur le spectre moyen et le diagramme spectre-temps la porteuse

1000 Hz et les 2 raies latrales 850 et 1150 Hzloscillogramme montre que le signal est stable dans le tempsle diagramme spectre-temps montre que le spectre ne change pas lorsque le

temps scoulele spectre FFT du signal est donc suffisant pour connatre les proprits

frquentielles du signal


8- Signaux spectre variable dans le temps

Lautre famille correspond aux signaux dont la forme et donc le spectre voluent au cours du temps : la connaissance du spectre des instants successifs est alors trs riche en informations.

amplitude

A

B

temps

analyseur numrique

spectre de la tranche A

spectre de la tranche B

f f

le spectre volue dans le temps

frquence

x(t)

Diagramme spectre-temps t

tranche Btranche A

Dans cette catgorie, on trouve : les signaux vocaux ou musicaux, les signaux biologiques, ceux issus de capteurs


9- Exemple de signal spectre variable

La squence sonore analyse correspond un enregistrement du chant dun groupe de baleines :

Oscillogramme dune tranche de 20 ms

Spectre moyen (FFT des chantillons)

150 Hz773 Hz

967 Hz

1676 Hz

1934 Hz

Remarques :on retrouve sur le spectre moyen et le sonagramme les composantes intenses

autour de 1000, 1650 et 2000 Hzon reconnat sur le sonagramme les variations de hauteur perues loreillele sonagramme est beaucoup plus riche en informations que le spectre FFT

nombre dchantillons : N = 50 000frquence dchantillonnage : fe = 11025 kHzdure D = N.Te = 4,54 secondes

Diagramme spectre-temps (sonagramme)

Son : couter le chant des baleines


10- Les outils mathmatiques de lanalyse spectrale

En fonction du type de signal, on dispose de 3 outils mathmatiques pour calculer le spectre dun signal x(t) :

si le signal x(t) est priodique, la dcomposition en srie de Fourier permet de calculer lamplitude des raies du spectre

amplitudex(t)

si lquation du signal x(t) est connue, la transforme de Fourier permet de calculer lquation de la courbe du spectre

si on dispose de N chantillons du signal x(t), la transforme de Fourier discrte permet de calculer N points de la courbe du spectre

priode To

t

X1dcomposition en srie de Fourier

calcul des Xi

X2

X3f

fo 2fo 3fo 4fo 5fo 6fo

amplitude

x(t)

t

S(f)transforme de Fourier

calcul de S(f)f

amplitudex(t)

N points

x0x1

x2 x3

du signal

t

S1

S2Sk

N points du spectreS0transforme de Fourier

discrte (DFT, FFT)

calcul de S0, S1

f

0 Te nTe 0 fe/N k.fe/N


11- La dcomposition en srie de Fourier

...)sin()cos(...)2sin()2cos()sin()cos()( 00020201010 ++++++++= tnBtnAtBtAtBtAXtx nn

...)sin(...)2sin()sin()( 102021010 ++++++++= nn tnXtXtXXtx

Le mathmaticien Fourier a dmontr quil peut scrire sous la forme :

valeur moyenne

amplitude du fondamental

amplitude de lharmonique 2

amplitude de lharmonique n

Cette dcomposition peut aussi scrire de la faon suivante :

avec : =To

dttxTX )(1

0 dttntxTAT

n )cos().(2 00= dttntxTB

Tn )sin().(2 0

0=

Ces dcompositions sont bien sr quivalentes et on a : 22 nnn BAX += et )(n

nn ABarctg=

Applet : calcul de la dcomposition de Fourier dun signal

Soit x(t) un signal de forme quelconque mais priodique :

x(t)priode To

t

oscillogramme

Jean-Baptiste Fourier 1768-1830

Les fonctions paires ont un dveloppement qui ne contient que des termes en cosinus, les fonctions impaires ont une dcomposition en sinus : cette remarque utile permet souvent de simplifier le calcul.


12- Spectre dun signal priodique

La dcomposition en srie de Fourier permet de tracer aisment le spectre de x(t) constitu par des raies quidistantes :

amplitude

X1

valeur moyenne X0

X2 fo

X3 = 0frquence

fo 2fo 3fo 4fo 5fo 6fo

Exemple : analyse spectrale du son dun didjeridu

le son est priodique et son spectre est un spectre de raiesle fondamental est 65 Hz le signal ne contient pas dharmoniques pairslharmonique 3 a une amplitude suprieure au fondamental


13- Dcomposition des signaux usuelsoscillogramme spectre

t

x(t)

E

Tf

amplitude

0 f

( )x tE

tt t

( ) s ins in ( ) s in ( )

. . .= + + +

4 33

55

3f 5f

x(t)

E

t

Tf

amplitude

( )x tE

tt t

( ) s ins in ( ) s in ( )

. . .= +

8 33

552 2 2

5f0 f 3f

t

x(t)

E

T/2f

amplitude

x tE t t

( )c o s ( ) c o s ( )

. . .= + +

21

2 23

2 41 5

0 2f 4f

t

x(t)

E

T

f

amplitude

( )x tE

tt t

( ) s ins in ( ) s in ( )

. . .= + +

2 22

33

0 f 2f 3f


14- Spectre dune impulsion

Le train dimpulsions est dune grande importance en lectronique et son spectre a une allure caractristique :

t

x(t)

E

T

aT

f

amplitude

( )

++++= ...)cos()sin(2...cos)sin(21)( tnan

antaaaEtx

0 f 2f 3f

y aEn an a

= 2sin( )

....3,2, =anet passe par zro pour n tel que :La courbe enveloppe des raies a pour quation :

....3,2,1 aTaTaTfx =soit pour des frquences fx telles que :

2,5 MHz 5 MHz0

1,15 MHz

2,3 MHz

3,45 MHz

Spectre dun signal impulsionnel

Exemple :

spectre dun train dimpulsions de frquence 140 kHz et de largeur 870 nslenveloppe passe par zro 1/870ns=1,15 MHz, 2,3 MHz, 3,45 MHz le spectre est form de raies f = 140 kHz, 280 kHz, 420 kHz

Applet : dcomposition et synthse dune impulsion

t

x(t)

EaT=800 ns

f = 125 kHz


15- Harmoniques et timbre dun son

La rpartition, lamplitude et la dure des harmoniques dfinissent le timbre dun instrument ou dune voix :

le son du violon diffre de celui de la trompette et de lorgue parce que les trois sons ont une composition en harmoniques diffrentependant toute la dure dune note, lallure temporelle et la composition harmoniques ne restent pas identiquesce sont ces variations de niveau sonore et de composition harmonique qui rendent la musique si vivante et si riche

oscillogramme spectre

F

H2

H3

Son dune trompetteSon dun violon

oscillogramme spectre

F

H2

H3

Vido : spectre dun violoncelle


16- Evolution des harmoniques dune lame vibrante

Une lame mtallique frappe met un son dont le timbre volue au cours du temps :

le bruit de limpact est un bruit large bande qui contient toutes les frquencesla vibration de la lame se fait selon diffrents modes qui correspondent diffrents harmoniquesces harmoniques steignent au bout dun temps variable, ce qui fait voluer le timbre du sonla reprsentation de lvolution des harmoniques en fonction du temps sappelle un sonagramme

frquence

chelle damplitudes

faible

intense

Sonagramme de la lame vibrante

5000 Hz

4000 Hz

3000 Hz

2000 Hz

1000 Hz

0 Hz

temps0 1 s 2 s 3 s 4 s

Son : couter le son de la lame vibrante


17- Mesure de la distorsion harmonique

Cette mesure, couramment utilise en lectronique et en lectrotechnique, nous renseigne sur :

la qualit dun oscillateur sinusodal (par analyse spectrale du signal produit par le dispositif)la linarit dun amplificateur (analyse spectrale de la sortie si lentre est sinusodale)la linarit dune charge alimente par le rseau (analyse spectrale du courant si la tension est sinusodale)

Exemple : test dun ampli Hi-fi

Amplitude des principales raies :

F = 0 dB = 1VH2 = - 102 dB = 7,9 uVH3 = - 102 dB = 1,6 uVH5 = - 102 dB = 1 uVH7 = - 102 dB = 1,8 uVH9 = - 102 dB = 1,4 uVH13 = - 102 dB = 1 uVH14 = - 102 dB = 1 uVH16 = - 102 dB = 1 uV

FHHHtd ...

24

23

22 +++=

%00086,010.6,810...16,19,7

66

222

==+++

= dt

Le taux de distorsion harmonique scrit :

on applique sur lentre un signal 1 kHz de niveau 1V le spectre en sortie montre lapparition dharmoniquesces harmoniques sont dans la bande audio et doncpeuvent tre audibles

Distorsion harmonique dun amplificateur :

voie de gauchevoie de droite

F

H2

H3 H5

Remarque : ce taux de distorsion extrmement faible est caractristique dun trs bon amplificateur, mais il ne faut pas oublier quune trs bonne enceinte acoustique a un taux de distorsion qui descend rarement en-dessous de 1% !


18- Mesure de la distorsion dintermodulation

)(tvs)cos()( 1tXtx = )(tve

...)(.)(.)(.)( 32 +++= tvCtvBtvAtv eees

)(.)( tvAtv es =

Pour tester la linarit dun dispositif (ampli, HP ) on applique sur son entre une somme de deux signaux sinusodaux de frquence f1 et f2 :

si le systme est parfaitement linaire :

dispositif tester+

)cos()( 2tYty =

distorsion quadratique

distorsion cubique

pour un systme rel, la caractristique doit tre modlise par un polynme :

21, .. fnfmf nm =Les distorsions quadratique, cubique et suivantes font apparatre de nouvelles frquences en sortie de la forme :

Distorsion dintermodulation dun amplificateur :voie de gauchevoie de droite

on applique sur lentre deux signaux 19 kHz et 20 kHzleur amplitude est -20 dB sous 1V, soit X=Y=0,1Vla distorsion dintermodulation cre du 1 kHz audiblela distorsion (canal gauche) est de -110 dB soit 3,2 uVles autres produits dintermodulation sont hors bande audio

%0032,010.2,3 5=== XDtdi

Le taux de distorsion par intermodulation vaut :

intermodulation

19 kHz

20 kHz

Exemple : test dun ampli Hi-fi


19- Rduction des rayonnements parasites

Dans les systmes lectroniques actuels, les signaux analogiques ctoient souvent les signaux numrique :

les signaux numriques sont frquence leve et fronts raides, et leur spectre est donc trs largeles harmoniques de rang lev sont facilement rayonns car les pistes de circuit imprim peuvent constituer de bonnes antennescela se produit chaque fois que la longueur de la piste est voisine du quart de la longueur dondepar exemple une piste de 10 cm constitue une excellente antenne pour lharmonique 40 dun signal 10 MHz

Les constructeurs de circuits intgrs prennent actuellement en compte ce problme et proposent des circuits intgrs qui dgradent volontairement les fronts des signaux pour limiter lamplitude des harmoniques de rang lev.

oscillogramme oscillogramme

spectre spectre

harmoniques de rang lev

moins dharmoniques

Ces interfaces divisent les perturbations lectromagntiques par 100, par rapport tous les autres circuits bipolaires et CMOS RS 485.


20- Les harmoniques sur le rseau 50 Hz

La tension disponible sur les prises de courants nest pas toujours parfaitement sinusodale :

lorsquune charge linaire est connecte au rseau, le courant i(t) appel dans la ligne est sinusodalexemples de charges linaires : ampoules dclairage, radiateurs lectriques si la charge est non-linaire, le courant i(t) est dform et peut mme devenir impulsionnel, donc riche en harmoniquesces charges non-linaires peuvent tre diverses : alimentations classiques ou dcoupage, ordinateurs, variateurs de vitesse pour moteurs,

machines souder contrle lectronique, clairages fluorescents etc

vu(t)vc(t)

Poste de transformation

EDF M

impdance de ligne Z

charge non linaire

vu(t)

i(t)

vc(t)

si la charge nest pas linaire, le courant nest pas sinusodal et la chute de tension lie limpdance de ligne non plusla tension vu(t) disponible sur les prises de lutilisateur nest plus sinusodaleles harmoniques de la tension vu(t) peuvent perturber le fonctionnement de certains appareils ds que la distorsion dpasse 5 %

310

t t

de la centrale

La ligne EDF entre le poste de transformation et lutilisateur est caractrise par son impdance de ligne Z :


21- Consquences des harmoniques sur le rseau

La prsence dharmoniques sur le rseau de distribution 50 Hz pose de nombreux problmes :

la prsence dharmoniques cre une surchauffe parce que la valeur efficace du courant est suprieur celle indique par les ampremtre usuels prvus pour une mesure en rgime sinusodal

la prsence dharmoniques 3 cre dans un systme triphas un courant de neutre qui nest plus nul, il en rsulte une surchauffe du fil de neutre qui ne vhicule normalement aucun courant si la charge est quilibre

la prsence dharmoniques 5 dans la tension dalimentation dun moteur asynchrone ou synchrone triphas cre un champ tournant en sens inverse, donc une perte de couple pour le moteur et une surchauffe du rotor

La suppression des harmoniques ncessite quelquefois linstallation de filtres passifs ou actifs encombrants et coteux :

L1 L2

C1 C2

fusibles

Filtre actif suppresseur dharmoniques

charge non linaire

i(t)rseau

filtre actif

courant ic(t) non-sinusodalcourant i(t) sinusodal courant if(t) absorb par le filtre

if(t)

ic(t)

filtre L2C2 accord sur lharmonique 5

filtre L1C1 accord sur lharmonique 3vers le rseau

Filtre passif suppresseur dharmoniques

Vido : le problme des harmoniques sur le rseau


22- La transforme de Fourier

Le spectre S(f) dun signal x(t) non priodique mais dexpression mathmatique connue ( impulsion unique, salve de motifs simples ) peut tre calcul laide de la transforme de Fourier :

S j x t e dtj t( ) ( ). =

+

e t j tj t = +cos( ) sin( )avec

Cette transformation donne une fonction S(j) complexe dont on extrait le spectre en prenant le module S() en se limitant aux frquences positives qui seules ont une signification physique.

x(t)

Exemple : spectre dune impulsion unique damplitude E = 10V et de largeur to = 1 ms :t

10 V

1 ms

2200 ttt +


23- Leffet de fentre

Lorsquon travaille avec des signaux de dure limite, le spectre est dform : cest leffet de fentre. Pour observer cet effet, calculons le spectre dun signal z(t) sinusodal de frquence fo et de dure T :

x(t)

t

le signal z(t) est le produit dune fonction sinusodale x(t) et dune fonction fentre f(t)

on dit quon observe le signal travers une fentre temporelle rectangulaire de largeur T

la transforme de Fourier de z(t) se calcule aisment :

S f ET f f T

f f T( )

sin ( )( )

=

2

0

0

f(t)1

[ ]S j z t e dt E t t j t dtj tT

T( ) ( ). sin( ) cos( ) sin( )

/

/ = =

+

+

22

t-T/2 T/2

[ ]= + + + +

+

E

t t j t j t dtoTT

2 0 0 022sin( ) sin( ) cos( ) cos( )

/

/ z(t)= x(t).f(t)

=+

+

jE

T TT

TT2

22

22

0

0

0

0

sin( ) /( ) /

sin( ) /( ) /

t

si on se limite aux frquences positives, le spectre S(f) scrit :

amplitude 2/T

lobe principal

cause de la dure limite T, la raie la frquence fo est devenue un lobe de largeur 2/T, associ des lobes secondaires

plus la dur dobservation T est longue, plus le lobe principal saffine et se rapproche dune raie

leffet de fentre se manifeste dans tous les analyseurs numriques car ils calculent tous le spectre partir dune portion de signal limite dans le temps

lobes secondaires

ffo


24- La transforme de Fourier discrte

Par chantillonnage et conversion analogique-numrique, il est facile de faire lacquisition dun signal x(t) par un ordinateur : lapplication de la transforme de Fourier discrte ( cest--dire discontinue) permet alors de calculer le spectre et de le visualiser :

stockagepondration

fc

x(t)

calcul de la TFD

x*(t)

fe

CAN

filtre anti-repliement affichage

lchantillonnage se fait une frquence fe et la prise de N chantillons dure un temps T = N.Te = N/fela dure T reprsente donc la largeur de la fentre temporelle danalyse la fin de lopration dacquisition, on a en mmoire une srie de N valeurs numriques x0 = x(0), x1 = x(Te) ... , xn = x(nTe) ...

A partir de ces N chantillons, la TFD permet de calculer N points du spectre dfinis par leur abscisse f(k) et leur ordonne S(k) :

Nfkkf e.)( =abscisse du point du spectre : avec k = 0, 1, 2 ... N-1

[ ] =

= ==

1

0

1

0/2 )/.2sin()/.2cos()(1)(1)( N

n

N

nNkjn NknjNknnxNenxNkS

ordonne du point du spectre :

amplitude

S0

f

N points du spectre

S2Sk

S1Remarques :la TFD ncessite de nombreux calculspour 1024 points, il faut effectuer 1048576 additions et

multiplications cela rend difficile le calcul en temps rel si fe est leve

0 fe/N k.fe/N


25- Exemple dapplication de la TFD

Le spectre du signal chantillonn a des caractristiques particulires :

le signal tant chantillonn, le spectre obtenu est forcment symtrique par rapport fe/2, seule la premire moiti N/2 des points calculs sera donc effectivement utilise pour tracer le spectresi on veut un spectre prcis, il suffit daugmenter le nombre de points du signal et donc la dure de lchantillonnage Tle nombre de calculs et donc la dure du traitement mathmatique augmente trs vite avec le nombre N dchantillons

Exemple : on dispose de N = 10 chantillons du signal x(t) chantillonn fe = 1 kHz allant de x0 x9

[ ] moyenXxxxxS =++++= )9(...)2()1()0(101)0(amplitude :1er calcul : k = 0 frquence f(0) = 0

On retrouve le rsultat bien connu que la composante spectrale la frquence nulle correspond la valeur moyenne du signal

2me calcul : k = 1 frquence f(1) = fe/N = 100 Hz

[ ] [ ] [ ]{ })10/1..9.2sin()10/1..9.2cos()9(.......)10/1..1.2sin()10/1..1.2cos()1()10/1..0.2sin()10/1..0.2cos()0(101)1( jxjxjxS +++=amplitude :

frquence f(9) = 9.fe/N = 900 Hz10me calcul : k = 9

[ ] [ ] [ ]{ })10/9..9.2sin()10/9..9.2cos()9(.......)10/9..1.2sin()10/9..1.2cos()1()10/9..0.2sin()10/9..0.2cos()0(101)9( jxjxjxS +++=amplitude :

amplitudeAxe de symtrie

fe/2Conclusions : partir des 10 chantillons du signal on peut calculer sans difficults

particulires 10 point du spectrele calcul de chaque point ncessite 10 multiplications et additionsle calcul de la TFD sur 10 chantillons ncessite donc 100 oprationsde la mme faon, le calcul dune TFD sur 1024 chantillons ncessite

1048576 oprations de multiplication et daddition

S0

f

S2S7

S1 S9

0 100 700 900


26- La transforme de Fourier rapide ou FFT

Le calcul d'une TFD, ncessite une grande quantit d'oprations et devient est trs long si le nombre dchantillons est lev :

il existe une faon de calculer la mme chose autrement, c'est l'algorithme de Transforme de Fourier Rapidecet algorithme a t publi en 1965 James Cooley (IBM) et John Tukey (Bell Labs) il repose sur une faon particulire de calculer la TFD qui conomise certaines oprations et acclre donc le calcul

Cet algorithme ncessite que le nombre N dchantillons soit un multiple de 2 et son principe est le suivant :

=

= ==

1

0

1

0/2 )(1)(1)( N

nnkN

nNkjn WnxNenxNkS

NjeW /2 =pour la TFD, un point du spectre se calcule par : avec

2N oprationssi on spare les chantillons en chantillons pairs p(n) et impairs i(n), on peut crire :

un point du spectre est pass de :

Il a donc t divis par 2

2N ( ) 22.222 NN =

jnkN

nnk

N

nnk eWniNWnpNkS

2120

120

)(1)(1)( =

= +=Grce cette opration, le nombre de calculs pour

( )22N oprations ( )22N oprationsLe processus est rpt sur chacun des deux calculs prcdents, et ainsi de suite, jusquau calcul de TFD sur 2 chantillons. Le gain en nombre de calculs et donc en temps est impressionnant ( facteur suprieur 100 pour N = 4096 ).

calcul TFD

2Noprations

calcul FFT

)(log. 2 NNoprations

transforme de Fourier discrte

transforme de Fourier rapide

N chantillons N chantillons

Pour fixer les ides, un PC actuel quip dun Pentium 4 2GHz est capable deffectuer une FFT sur 2048 points en moins de 0,1 ms.

Applet : calcul de la FFT dun signal


27- Les fentres de pondration

Une raie est transforme en lobe cause de la dure dobservation limite travers la fentre temporelle T. En choisissant dautres types de fentres, cest--dire en pondrant les chantillons avant le calcul de la FFT, on peut donc agir sur la forme du spectre et en particulier diminuer lamplitude des lobes secondaires.

Type Forme quation Allure de la raie

cart lobe principal / 1er

lobe secondaire/

Largeur - 3 dB en Hz

Largeur de bruit en Hz

Pente d attnuation des lobes

secondaires

Rectangulaire

Demi-sinus

Barlett

Hann

Hamming

-13,2 dB

-22,4 dB

-26,6 dB

-31,6 dB

-43,9 dB

0,88/T

1,15/T

1,28/T

1,39/T

1,26/T

1/T

1,26/T

1,33/T

1,5/T

1,36/T

6 db/oct

12 db/oct

12 db/oct

18 db/oct

6db/oct

(au del de 5/T)

)cos(.46,054,0)( TttF +=

)cos(.5,05,0)( TttF +=

TttF 2)( =

)sin()( TttF =

1)( =tF

TttF 22)( =

0>t

0


28- Application : le test dun haut-parleur

Lobservation de la rponse impulsionnelle dun systme et de son spectre nous donne des renseignements trs intressants sur ses proprits lectromcaniques.

rponse impulsionnelle

e(t)

on lexcite par une impulsion trs fine e(t)le spectre de e(t) est presque plat entre 0 et 20 kHzpar un microphone, on enregistre sa rponse s(t)un analyseur FFT affiche lvolution du spectre S(f)le graphique obtenu sappelle waterfall

rponse impulsionnelleRponse en frquence

t

10 s Ampli depuissance

microphone

s(t)

haut-parleur

FFT en waterfall de la

rsonances parasites

Pour tester un haut-parleur ou une enceinte acoustique :

Remarques :

le premier spectre correspond la courbe de rponse de Bode du haut-parleur

les artes de la courbe en waterfall correspondent aux rsonances parasites du haut-parleur

un bon haut-parleur prsente peu dartes et une courbe waterfall qui tombe trs vite 0


29- Application : la FFT dans le domaine mdical

Lallure temporelle des signaux biologiques ( ECG, EEG ) est souvent difficile linterprter et le calcul du spectre par FFT aprs chantillonnage apporte des rsultats intressants au praticien :

100 500 1000

f (Hz)

niveau Exemple 1 : tude sur le spectre du bruit respiratoire lexpiration

bruit respiratoire capt par un microphonecalcul de la FFT et trac du spectrespectre dun non-fumeur en trait pleinspectre dun fumeur en pointill

On distingue bien laugmentation des frquences aigus lies une dtrioration de la paroi de la trache et des bronches.

Exemple 2 : spectre de l'lectroencphalogramme

ltude spectrale des EEG fournit de indications sur les dysfonctionnement du cerveau

elle permet aussi de suivre le processus de gurison de faonatraumatique

lenregistrement concerne un homme de 73 ans 2 jours aprs une hmiplgie ct gauche

dans lhmisphre touch, le maximum du spectre a t abaissde 3 Hz 2 Hz

0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 f (Hz)f (Hz)

temps temps


Physique applique

Coucher de soleil sur tretat

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