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Grundkurs Mathematik
Berater
Prof. Dr. Martin Aigner,Prof. Dr. Peter Gritzmann,Prof. Dr. Volker Mehrmann,Prof. Dr. Gisbert Wüstholz
Die Reihe „Grundkurs Mathematik“ ist die bekannte Lehrbuchreihe im handlichen kleinen Taschenbuch-Format passend zu den mathematischen Grundvorlesungen, vorwiegend im ersten Studienjahr. Die Bücher sind didaktisch gut aufbereitet, kompakt geschrieben und enthalten viele Bei-spiele und Übungsaufgaben.
In der Reihe werden Lehr- und Übungsbücher veröffentlicht, die bei der Klausurvorbereitung unterstützen. Zielgruppe sind Studierende der Ma-thematik aller Studiengänge, Studierende der Informatik, Naturwissen-schaften und Technik, sowie interessierte Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II.
Die Reihe existiert seit 1975 und enthält die klassischen Bestseller von Otto Forster und Gerd Fischer zur Analysis und Linearen Algebra in aktuali-sierter Neuauflage.
Otto Forster
Analysis 1
Differential- und Integralrechnungeiner Veränderlichen
11., erweiterte Auflage
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deut-schen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internetüber http://dnb.d-nb.de abrufbar.
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
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Ludwig-Maximilians-UniversitätMünchen, Deutschland
ISBN 978-3-658-00316-6 ISBN 978-3-658-00317-3 (eBook)DOI 10.1007/978-3-658-00317-3
Springer Spektrum© Springer Fachmedien Wiesbaden 1976 ... 2004, 2006, 2008, 2011, 2013
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Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach
Prof. Dr. Otto Forster
www.springer-spektrum.de
Planung/Lektorat:
V
Vorwort zur ersten Auflage
Dieses Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich imWS 1970/71 fur Studenten der Mathematik und Physik des ersten Semestersan der Universitat Regensburg gehalten habe. Diese Ausarbeitung wurde spatervon verschiedenen Kollegen als Begleittext zur Vorlesung benutzt.
Der Inhalt umfaßt im wesentlichen den traditionellen Lehrstoff der Analy-sis-Kurse des ersten Semesters an deutschen Universitaten und TechnischenHochschulen. Bei der Stoffauswahl wurde angestrebt, dem konkreten mathe-matischen Inhalt, der auch fur die Anwendungen wichtig ist, vor einem großenabstrakten Begriffsapparat den Vorzug zu geben und dabei gleichzeitig in sys-tematischer Weise moglichst einfach und schnell zu den grundlegenden Be-griffen (Grenzwert, Stetigkeit, Differentiation, Riemannsches Integral) vorzu-dringen und sie mit vielen Beispielen zu illustrieren. Deshalb wurde auch dieEinfuhrung der elementaren Funktionen vor die Abschnitte uber Differentiati-on und Integration gezogen, um dort genugend Beispielmaterial zur Verfugungzu haben. Auf die numerische Seite der Analysis (Approximation von Großen,die nicht in endlich vielen Schritten berechnet werden konnen) wird an ver-schiedenen Stellen eingegangen, um den Grenzwertbegriff konkreter zu ma-chen.
Der Umfang des Stoffes ist so angelegt, daß er in einer vierstundigen Vorlesungin einem Wintersemester durchgenommen werden kann. Die einzelnen Para-graphen entsprechen je nach Lange einer bis zwei Vorlesungs-Doppelstunden.Bei Zeitmangel konnen die §§ 17 und 23 sowie Teile der §§ 16 (Konvexitat)und 20 (Gamma-Funktion) weggelassen werden.
Fur seine Unterstutzung mochte ich mich bei Herrn D. Leistner bedanken.Er hat die seinerzeitige Vorlesungs-Ausarbeitung geschrieben, beim Lesen derKorrekturen geholfen und das Namens- und Sachverzeichnis erstellt.
Munster, Oktober 1975 O. Forster
VI
Vorwort zur 5. Auflage
Die erste Auflage dieses Buches erschien 1976. Seitdem hat es viele Jahrgangevon Studentinnen und Studenten der Mathematik und Physik beim Beginn ih-res Analysis-Studiums begleitet. Aufgrund der damaligen Satz-Technik warenbei Neuauflagen nur geringfugige Anderungen moglich. Die einzige wesentli-che Neuerung war das Erscheinen des Ubungsbuchs zur Analysis 1 [FW].
Bei der jetzigen Neuauflage erhielt der Text nicht nur eine neue außere Form(TEX-Satz), sondern wurde auch grundlich uberarbeitet, um ihn wo moglichnoch verstandlicher zu machen. An verschiedenen Stellen wurden Bezuge zurInformatik hergestellt. So erhielt §5, in dem u.a. die Entwicklung reeller Zah-len als Dezimalbruche (und allgemeiner b-adische Bruche) behandelt wird,einen Anhang uber die Darstellung reeller Zahlen im Computer. In §9 findensich einige grundsatzliche Bemerkungen zur Berechenbarkeit reeller Zahlen.Verschiedene numerische Beispiele wurden durch Programm-Code erganzt, sodass die Rechnungen direkt am Computer nachvollzogen werden konnen. Da-bei wurde der PASCAL-ahnliche Multiprazisions-Interpreter ARIBAS benutzt,den ich ursprunglich fur das Buch [Fo] entwickelt habe, und der frei uberdas Internet erhaltlich ist (Einzelheiten dazu auf Seite VIII). Die Programm-Beispiele lassen sich aber leicht auf andere Systeme, wie Maple oder Mathe-matica ubertragen. In diesem Zusammenhang sei auch auf das Buch [BM]hingewiesen.
Insgesamt wurden aber fur die Neuauflage die bewahrten Charakteristiken desBuches beibehalten, namlich ohne zu große Abstraktionen und ohne Stoffuber-ladung die wesentlichen Inhalte grundlich zu behandeln und sie mit konkretenBeispielen zu illustrieren. So hoffe ich, dass das Buch auch weiterhin seinenLeserinnen und Lesern den Einstieg in die Analysis erleichtern wird.
Wertvolle Hilfe habe ich von Herrn H. Stoppel erhalten. Er hat seineTEX-Erfahrung als Autor des Buches [SG] eingebracht und den Hauptteil derTEXnischen Herstellung der Neuauflage ubernommen. Viele der Bilder wur-den von Herrn V. Solinus erstellt. Ihnen sei herzlich gedankt, ebenso FrauSchmickler-Hirzebruch vom Vieweg-Verlag, die sich mit großem Engagementfur das Zustandekommen der Neuauflage eingesetzt hat.
Munchen, April 1999 Otto Forster
VII
Vorwort zur 10. Auflage
Fur die 10. Auflage habe ich den Text an verschiedenen Stellen weiter uber-arbeitet. Vor allem die Paragraphen 20 bis 23 wurden durch weitere Beispie-le erganzt (z.B. Integral-Sinus, Partialbruch-Zerlegung des Cotangens, Sinus-Produkt, Bernoulli-Zahlen und -Polynome, Fresnel-Integrale). Naturlich kanndieses Material aus Zeitmangel in der Vorlesung nur teilweise oder gar nichtgebracht werden; es eignet sich aber gut zum Selbststudium oder fur Prosemi-nare.
Munchen, Marz 2011 Otto Forster
Vorwort zur 11. Auflage
Bei der Uberarbeitung zur 11. Auflage ergaben sich keine großeren Anderun-gen; an einigen Stellen wurden neue Beispiele und Aufgaben hinzugefugt.
Munchen, Juni 2012 Otto Forster
VIII
Software zum Buch
Die Programm-Beispiele des Buches sind fur ARIBAS geschrieben. Dies ist einMultiprazisions-Interpreter mit einer PASCAL-ahnlichen Syntax. Er ist (unterder GNU General Public License) frei uber das Internet erhaltlich. Es gibtVersionen von ARIBAS fur verschiedene Plattformen, wie MsWindows (Win-dows XP, Windows 7), LINUX, Mac OS X und andere UNIX-Systeme. Furdiejenigen, die hinter die Kulissen sehen wollen, ist auch der C-Source-Codevon ARIBAS verfugbar. Um ARIBAS zu erhalten, gehe man auf die WWW-Homepage des Verfassers,
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/∼forster
und von dort zum Unterpunkt Software/ARIBAS. Dort finden sich weitere In-formationen. Da ARIBAS ein kompaktes System ist, muss nur etwa 1/4 MBheruntergeladen werden.
Von der oben genannten Homepage gelangt man uber den Unterpunkt Bucher/Analysis auch zur Homepage dieses Buches. Von dort sind die Listings derProgramm-Beispiele erhaltlich, so dass sie nicht muhsam abgetippt werdenmussen. Im Laufe der Zeit werden noch weitere Listings zu numerischenUbungsaufgaben und zu Erganzungen zum Text dazukommen. Ebenfalls wirddort eine Liste der unvermeidlich zutage tretenden Errata abgelegt werden. Dieaufmerksamen Leserinnen und Leser seien ermuntert, mir Fehler per E–Mailan folgende Adresse zu melden:
IX
Inhaltsverzeichnis
1 Vollstandige Induktion 1
2 Die Korper-Axiome 17
3 Die Anordnungs-Axiome 25
4 Folgen, Grenzwerte 35
5 Das Vollstandigkeits-Axiom 49
6 Wurzeln 62
7 Konvergenz-Kriterien fur Reihen 70
8 Die Exponentialreihe 83
9 Punktmengen 90
10 Funktionen. Stetigkeit 103
11 Satze uber stetige Funktionen 113
12 Logarithmus und allgemeine Potenz 124
13 Die Exponentialfunktion im Komplexen 136
14 Trigonometrische Funktionen 145
15 Differentiation 163
16 Lokale Extrema. Mittelwertsatz. Konvexitat 177
17 Numerische Losung von Gleichungen 192
18 Das Riemannsche Integral 202
19 Integration und Differentiation 217
20 Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion 235
21 Gleichmaßige Konvergenz von Funktionenfolgen 255
22 Taylor-Reihen 279
23 Fourier-Reihen 304
Zusammenstellung der Axiome der reellen Zahlen 323
Literaturhinweise 324
Namens- und Sachverzeichnis 326
Symbolverzeichnis 332
