Anderson-Lokalisierung - Hauptseminar: Wechselwirkende ... · Anderson-Lokalisierung Hauptseminar: Wechselwirkende Quantengase - WS 2009/2010 David Peter 26. Januar 2010

Anderson-LokalisierungHauptseminar: Wechselwirkende Quantengase - WS 2009/2010

David Peter

26. Januar 2010

Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung

Unordnung in der Physik

Normalerweise storend

Reibung in der klassischen Physik

BEC: Kuhlen um thermische,,Unordnung“ zu beseitigen

Aber: Neue Phanomene

Quanten-Hall-Effekt

Hochtemperatursupraleiter

Anderson-Lokalisierung

Anderson-Lokalisierung David Peter 2







Quanten-Hall-Effekt










Quanten-Hall-Effekt










Quanten-Hall-Effekt





Inhalt

1 Einfuhrung

2 Theorie

3 Simulationen

4 Experimente



Inhalt

1 EinfuhrungFestkorperphysikAnderson-Lokalisierung

2 Theorie

3 Simulationen

4 Experimente



Festkorperphysik

Festkorperphysik

periodischer Kristall

Translationsinvarianz

Losung: Blochwellen (1928)

Leitend, falls Fermienergie imBand

Kristall mit zufalligen Storungen

Translationsinvarianz gebrochen

Blochwellen keine Losungenmehr

bei starker Unordnung keineStorungstheorie moglich

Semi-klassische Theorien(Drude-Modell 1900) konnenTransport nicht richtigbeschreiben



Festkorperphysik

Festkorperphysik

periodischer Kristall

Translationsinvarianz

Losung: Blochwellen (1928)

Leitend, falls Fermienergie imBand

Kristall mit zufalligen Storungen

Translationsinvarianz gebrochen

Blochwellen keine Losungenmehr

bei starker Unordnung keineStorungstheorie moglich

Semi-klassische Theorien(Drude-Modell 1900) konnenTransport nicht richtigbeschreiben




Veroffentlichung 1958

Durch Unordnung konnen Teilchen (quantenmechanisch) lokalisiertwerden

Andersons Veroffentlichung wurde 4500 mal zitiert (Platz 5)

und ...







und ...







und ...




Nobelpreis 1977

,,for their fundamental theoretical investigations of the electronicstructure of magnetic and disordered systems“

Philip WarrenAnderson

b1923

Sir Nevill FrancisMott

b1905 d1996

John Hasbrouckvan Vleck

b1899 d1980




Anderson-Lokalisierung: Erklarung

Teilchen im zufalligen Potential:

Teilchen wird an Storstellen gestreut(nicht am Gitter!)

Auf jedem Pfad andert sich die Phase

Teilchen kann zuruckgestreut werden

Fur geschlossenen Pfad gilt:∆ϕhin = ∆ϕzuruck

Beide Streu-Pfade interferierenkonstruktiv: ,,coherent backscattering“

Wahrscheinlichkeit zuruckzukehren isterhoht

Anderson-Lokalisierung ist 1-TeilchenPhanomen!
























































































Anderson-Lokalisierung: Relevante Skalen

Es treten zwei relevante Langenskalen auf

De Broglie-Wellenlange λdB

Mittlere freie Weglange l

Ioffe-Regel Kriterium

Lokalisierung findet statt, falls

l < λdB

Fuhrt zu einer Mobilitatskante

l

λdB




Anderson-Lokalisierung: Relevante Skalen

Es treten zwei relevante Langenskalen auf

De Broglie-Wellenlange λdB

Mittlere freie Weglange l

Ioffe-Regel Kriterium

Lokalisierung findet statt, falls

l < λdB

Fuhrt zu einer Mobilitatskante

l

λdB




Was bedeutet Lokalisierung?

Energie

Vmax

klassisch: Teilchen ist raumlicheingegrenzt, falls Eges ≤ Vmax

QM: Teilchen kann tunneln,kein ausreichendes Kriterium

Anderson-Lokalisierung findetauch im Fall Eges � Vmax statt!

Lokalisiert, falls Wellenfunktionvon Zentrum aus hinreichendschnell abfallt

Anderson-Lokalisierung:

Ψ(x) ∝ exp(− |x − x0| /ξ)

mit der Lokalisierungslange ξ

−4 −2 0 2 40

0.20.40.60.8

1

x/ξ

Ψ(x

)




Was bedeutet Lokalisierung?

Energie

Vmax

klassisch: Teilchen ist raumlicheingegrenzt, falls Eges ≤ Vmax

QM: Teilchen kann tunneln,kein ausreichendes Kriterium

Anderson-Lokalisierung findetauch im Fall Eges � Vmax statt!

Lokalisiert, falls Wellenfunktionvon Zentrum aus hinreichendschnell abfallt

Anderson-Lokalisierung:

Ψ(x) ∝ exp(− |x − x0| /ξ)

mit der Lokalisierungslange ξ

−4 −2 0 2 40

0.20.40.60.8

1

x/ξ

Ψ(x

)



Inhalt

1 Einfuhrung

2 TheorieAnderson-ModellAubry-Andre-Modell

3 Simulationen

4 Experimente



Anderson-Modell

Anderson-Modell

Hamilton-Operator

Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:

H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+∑

k

∆ka†kak︸︷︷︸

ext. Potential



Anderson-Modell

Anderson-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+∑

k


ext. Potential

Beschreibung

Tight-Binding-Modell

J: Tunnelrate

∆k : Zufallszahl, z.B. gleichmaßig aus Intervall [0,∆]



Anderson-Modell

Anderson-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+∑

k


ext. Potential

Beschreibung


J: Tunnelrate




Anderson-Modell

Anderson-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+∑

k


ext. Potential

Beschreibung


J: Tunnelrate




Anderson-Modell

Anderson-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+∑

k


ext. Potential

Beschreibung


J: Tunnelrate




Anderson-Modell

Anderson-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+∑

k


ext. Potential

Eigenschaften

Metall-Isolator-Ubergang in 3D, Ordnungsparameter ∆/J

Fur d = 1, 2 sind alle Zustande lokalisiert (Isolator)



Anderson-Modell

Anderson-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+∑

k


ext. Potential

Eigenschaften

Metall-Isolator-Ubergang in 3D, Ordnungsparameter ∆/J

Fur d = 1, 2 sind alle Zustande lokalisiert (Isolator)



Anderson-Modell

Anderson-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+∑

k


ext. Potential

Grunde fur ein abgewandeltes Modell

Anderson-Modell zeigt Phasenubergang nur in 3 Dimensionen

Experimente aus Florenz realisieren Aubry-Andre Modell



Anderson-Modell

Anderson-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+∑

k


ext. Potential

Grunde fur ein abgewandeltes Modell

Anderson-Modell zeigt Phasenubergang nur in 3 Dimensionen

Experimente aus Florenz realisieren Aubry-Andre Modell



Aubry-Andre-Modell

Aubry-Andre-Modell

Hamilton-Operator

Hamilton-Operator fur das diskrete Aubry-Andre-Modell:

H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+ ∆∑

k

cos (2πβk) a†kak︸︷︷︸ext. Potential



Aubry-Andre-Modell

Aubry-Andre-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+ ∆∑

k


Beschreibung

∆: Starke des außeren Potentials

β: Irrationale Zahl −→ quasiperiodisches Potential



Aubry-Andre-Modell

Aubry-Andre-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+ ∆∑

k


Beschreibung

∆: Starke des außeren Potentials

β: Irrationale Zahl −→ quasiperiodisches Potential



Aubry-Andre-Modell

Aubry-Andre-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+ ∆∑

k




Aubry-Andre-Modell

Aubry-Andre-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+ ∆∑

k




Aubry-Andre-Modell

Aubry-Andre-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+ ∆∑

k


Eigenschaften

Phasenubergang auch in 1D, Ordnungsparameter ∆/J

Fur β =√

5+12 −→ Phasenubergang bei ∆/J = 2



Aubry-Andre-Modell

Aubry-Andre-Modell

Hamilton-Operator


H = −J∑<k,l>

(a†kal + a†l ak

)︸︷︷︸

kinetische Energie

+ ∆∑

k


Eigenschaften

Phasenubergang auch in 1D, Ordnungsparameter ∆/J

Fur β =√

5+12 −→ Phasenubergang bei ∆/J = 2



Inhalt

1 Einfuhrung

2 Theorie

3 SimulationenVerfahrenErgebnisse

4 Experimente



Verfahren

Verfahren

Simuliere Aubry-Andre-Modell (1D)

Stelle diskreten Hamilton-Operator auf (N × N-Matrix, N: AnzahlGitterpunkte)

(Wahle Randbedingungen)

Berechne Eigenwerte (Energien) und Eigenvektoren (Zustande)numerisch

Grundzustand = Eigenvektor zum niedrigsten Eigenwert

Berechnung der Lokalisierungslange (Korrelationslange)

Die Lokalisierungslange ξ ist proportional zur Streuung:

∆x =√〈x2〉 − 〈x〉2

Fur exponentiell lokalisierte Zustande gilt ∆x = ξ/√

2



Verfahren

Verfahren

Simuliere Aubry-Andre-Modell (1D)

Stelle diskreten Hamilton-Operator auf (N × N-Matrix, N: AnzahlGitterpunkte)

(Wahle Randbedingungen)

Berechne Eigenwerte (Energien) und Eigenvektoren (Zustande)numerisch

Grundzustand = Eigenvektor zum niedrigsten Eigenwert

Berechnung der Lokalisierungslange (Korrelationslange)

Die Lokalisierungslange ξ ist proportional zur Streuung:

∆x =√〈x2〉 − 〈x〉2

Fur exponentiell lokalisierte Zustande gilt ∆x = ξ/√

2



Ergebnisse

Dichteverteilung

Aufgetragen ist jeweils die Dichte |Ψ(k)2| uber der Position.

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆/J = 0

0 50 100 150 2000

0.5

1

∆/J = 0.5

0 50 100 150 2000

5

10

∆/J = 1.9

0 50 100 150 2000

20

40

60

∆/J = 2.1



Ergebnisse

Dichteverteilung


0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆/J = 0

0 50 100 150 2000

0.5

1

∆/J = 0.5

0 50 100 150 2000

5

10

∆/J = 1.9

0 50 100 150 2000

20

40

60

∆/J = 2.1



Ergebnisse

Dichteverteilung


0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆/J = 0

0 50 100 150 2000

0.5

1

∆/J = 0.5

0 50 100 150 2000

5

10

∆/J = 1.9

0 50 100 150 2000

20

40

60

∆/J = 2.1



Ergebnisse

Dichteverteilung


0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆/J = 0

0 50 100 150 2000

0.5

1

∆/J = 0.5

0 50 100 150 2000

5

10

∆/J = 1.9

0 50 100 150 2000

20

40

60

∆/J = 2.1



Ergebnisse

Phasenubergang

Trage die Lokalisierungslange uber dem Verhaltnis ∆/J auf:

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆/J

ξ/ξ(

0)

Phasenubergang bei ∆/J = 2



Inhalt

1 Einfuhrung

2 Theorie

3 Simulationen

4 ExperimenteMotivationBEC im Laser-SpeckleBEC im quasiperiodischen Gitter



Motivation

Warum? (Wiederholung)

Warum untersucht man die Anderson-Lokalisierung mitBose-Einstein-Kondensaten?

Wechselwirkung kann kontrolliert (abgeschaltet) werden(Feshbach-Resonanzen, Einstellen der Dichte)

Dimension frei wahlbar

Externe Potentiale konnen beliebig und genau eingestellt werden(vgl. Festkorper mit Phononen)

Direkte Messung der Dichteprofile

Bisher noch nie an Materiewellen beobachtet(!), jedoch mit

1990: Ultraschall Weaver, R. L. et al., Wave Motion 12, 129-142

1991: Mikrowellen Dalichaouch, R. et al., Nature 354, 53-55

1997: Licht Wiersma, D. S. et al., Nature 390, 671-673



Motivation

Warum? (Wiederholung)

Warum untersucht man die Anderson-Lokalisierung mitBose-Einstein-Kondensaten?

Wechselwirkung kann kontrolliert (abgeschaltet) werden(Feshbach-Resonanzen, Einstellen der Dichte)

Dimension frei wahlbar

Externe Potentiale konnen beliebig und genau eingestellt werden(vgl. Festkorper mit Phononen)

Direkte Messung der Dichteprofile

Bisher noch nie an Materiewellen beobachtet(!), jedoch mit

1990: Ultraschall Weaver, R. L. et al., Wave Motion 12, 129-142

1991: Mikrowellen Dalichaouch, R. et al., Nature 354, 53-55

1997: Licht Wiersma, D. S. et al., Nature 390, 671-673



BEC im Laser-Speckle

BEC im Laser-Speckle (Paris 2008)1

Experimenteller Aufbau

BEC aus 20.000 87Rb Atomen

Quasi-1D Falle mit Fallenfrequenzen

ω⊥/2π = 70Hz, Ausdehnung: 3µmωz/2π = 5,4Hz, Ausdehnung: 35µmwird abgeschaltet

Expansion im Laser-Speckle Potential (siehe nachste Folie)

Wechselwirkung durch niedrige Dichte vernachlassigbar

Dichtemessung durch Fluoreszenz-Aufnahmen (Auflosung 15µm)

1Billy, J. et al., Direct observation of Anderson localization of matter waves in acontrolled disorder. Nature 453, 891-894 (2008).




Laser-Speckle

Speckle: Leite koharenteStrahlung durch diffusesMedium

Im Experiment: AufgeweiteterLaser bei 514nm (großes δL)mit niedriger Leistung

charakteristische Großen:

Korngroße πσR ≈ 0,82µmImpuls Cut-off bei

kc = 2/σR.

Zustande oberhalb nicht(exponentiell) lokalisiert: vgl.Mobilitatskante




Ergebnisse - Lokalisierung (raumlich)

Lokalisierung auf Millimeterskala

Exponentieller Abfall der Dichte am Rand: Starker Hinweis aufAnderson-Lokalisierung




Ergebnisse - Lokalisierung (zeitlich)

Lokalisierungslange andert sich zeitlich nicht

Lokalisierter Zustand uber Sekunden hinweg beobachtbar




Ergebnisse - Mobilitatskante

unterhalb der Mobilitatskante:

kmax < 1/σR

exponentiell lokalisierter Zustand:

Dichte ∝ e−|z|/ξ

oberhalb der Mobilitatskante:

kmax > 1/σR

algebraisch lokalisierter Zustand:

Dichte ∝ |z |−β

mit β = 2,01± 0,03.

kmax: Großte Impulskomponente im BEC, σR: Speckle-Korngroße




Ergebnisse - Mobilitatskante

unterhalb der Mobilitatskante:

kmax < 1/σR

exponentiell lokalisierter Zustand:

Dichte ∝ e−|z|/ξ

oberhalb der Mobilitatskante:

kmax > 1/σR

algebraisch lokalisierter Zustand:

Dichte ∝ |z |−β

mit β = 2,01± 0,03.

kmax: Großte Impulskomponente im BEC, σR: Speckle-Korngroße



BEC im quasiperiodischen Gitter

BEC im quasiperiodischen Gitter (Florenz 2008)2

Experimenteller Aufbau

BEC aus 10.000 39K Atomen

Durch Feshbach-Resonanz: Wechselwirkungsenergie � kin. Energie

Realisiert Aubry-Andre-Modell

Optische Gitter (1D) durch zwei stehende Wellen:

1032nm und 862nm −→ β ≈ 1,1972

2Roati, G. et al., Anderson localization of a non-interacting Bose-Einsteincondensate. Nature 453, 895-898 (2008).




Ergebnisse - Lokalisierung




Ergebnisse - Universalitat

Lokalisierung auf der Mikrometerskala

Universelles Verhalten fur verschiedene J




Ergebnisse - Phasenubergang

Fitte n(z) = n0 exp (− |x/ξ|α)an das Dichteprofil

Ubergang von GaußschemWellenpaket (α = 2) zulokalisiertem Zustand (α = 1)

Phasenubergang bei ∆/J ≈ 2



Ausblick

Was ist mit den wechselwirkenden Quantengasen?

Theoretische Herausforderung: gemeinsame Behandlung vonUnordnung und Wechselwirkung

Viele offene Fragen, Experimente mit BEC konnen Vorreiter seinTheoretisch vorhergesagt:

Anderson-Lokalisierung von SolitonenMott-Anderson-Ubergang, neue Quantenphasen. Experiment3:

3Deissler, B. et al, arXiv 0910.5062v2 (2010)Anderson-Lokalisierung David Peter 29


Ausblick

Was ist mit den wechselwirkenden Quantengasen?

Theoretische Herausforderung: gemeinsame Behandlung vonUnordnung und Wechselwirkung

Viele offene Fragen, Experimente mit BEC konnen Vorreiter seinTheoretisch vorhergesagt:

Anderson-Lokalisierung von SolitonenMott-Anderson-Ubergang, neue Quantenphasen. Experiment3:

3Deissler, B. et al, arXiv 0910.5062v2 (2010)Anderson-Lokalisierung David Peter 29


Zusammenfassung

In Zufalls-Potentialen tritt (exponentielle) Lokalisierung auf

Phasenubergang bei kritischer Unordnungsstarke (3D)

Grund: Koharente Ruckstreuung an den Storstellen (1 TeilchenPhanomen)

Wechselwirkungsfreie Anderson-Lokalisierung theoretisch (und jetztexperimentell) gut verstanden

In Zusammenhang mit WW sind noch viele Fragen offen

Fragen?



Zusammenfassung

In Zufalls-Potentialen tritt (exponentielle) Lokalisierung auf

Phasenubergang bei kritischer Unordnungsstarke (3D)

Grund: Koharente Ruckstreuung an den Storstellen (1 TeilchenPhanomen)

Wechselwirkungsfreie Anderson-Lokalisierung theoretisch (und jetztexperimentell) gut verstanden

In Zusammenhang mit WW sind noch viele Fragen offen

Fragen?



Dichteverteilungen 2


0 200 4000

5

10

15

∆/J = 2.4, β = 1.62, fest

0 200 4000

2

4

6

8

∆/J = 2.4, β = 1.62, per .

0 200 4000

20

40

60

80

∆/J = 2.4, per .

0 200 400

0.2

0.2

0.21

0.21

∆/J = 0.01, per .


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