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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE VINCENZO C. NARDOZZA 1. Anello delle Matrici Definizione 1.1. Siano m, n N ed R un anello commutativo con unità. Diciamo matrice m × n a coefficienti in R ogni tabella fatta da m righe ed n colonne nei cui m · n posti siano posizionati elementi di R. Se m = n, la matrice si dice quadrata. Se m =1 la matrice si dice matrice riga. Se n =1 la matrice si dice matrice colonna L’insieme delle matrici m × n a coefficienti in R si indica con M m×n (R). Esempio 1.2. La tabella 2 2 3 1 0 2 è una matrice 2 × 3 a coefficienti in Z (ma anche a coefficienti in Q, R, C). La matrice ( 1 2 3 4 ) è una matrice riga, la matrice 1 2 3 4 5 M 5×1 (R) è una matrice colonna a coefficienti in R. I posti in cui compaiono i numeri di una matrice sono detti case. Una matrice m × n ha mn case. La casa (i, j ) sarà posta all’incrocio tra la riga i e la colonna j . L’elemento di R che compare nella casa (i, j ) viene detto l’entrata (i, j ) della matrice. Per convenzione, fissati m, n, R, una matrice di M m×n (R) verrà indicata in grassetto con una lettera minuscola. Inoltre, scriveremo a =(a ij ) per indicare a = a 11 a 12 ... a 1n a 21 a 22 ... a 2n . . . . . . . . . a m1 a m2 ... a mn Definizione 1.3. (Somma tra matrici) Siano a, b M m×n (R), con a =(a ij ) e b =(b ij ). La matrice a + b := (a ij + b ij ) M m×n (R) è detta la somma delle matrici a e b. 1

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE

VINCENZO C. NARDOZZA

1. Anello delle Matrici

Definizione 1.1. Siano m,n ∈ N ed R un anello commutativo con unità. Diciamomatrice m×n a coefficienti in R ogni tabella fatta da m righe ed n colonne nei cuim · n posti siano posizionati elementi di R.

• Se m = n, la matrice si dice quadrata.• Se m = 1 la matrice si dice matrice riga.• Se n = 1 la matrice si dice matrice colonna• L’insieme delle matrici m× n a coefficienti in R si indica con Mm×n(R).

Esempio 1.2. La tabella(

2 2 31 0 2

)è una matrice 2 × 3 a coefficienti in Z (ma

anche a coefficienti in Q, R, C). La matrice(1 2 3 4

)è una matrice riga, la matrice

1234√5

∈M5×1(R)

è una matrice colonna a coefficienti in R.

I posti in cui compaiono i numeri di una matrice sono detti case. Una matricem× n ha mn case. La casa (i, j) sarà posta all’incrocio tra la riga i e la colonnaj. L’elemento di R che compare nella casa (i, j) viene detto l’entrata (i, j) dellamatrice.

Per convenzione, fissati m,n,R, una matrice di Mm×n(R) verrà indicata ingrassetto con una lettera minuscola. Inoltre, scriveremo

a = (aij) per indicare a =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

Definizione 1.3. (Somma tra matrici)Siano a,b ∈Mm×n(R), con a = (aij) e b = (bij). La matrice

a + b := (aij + bij) ∈Mm×n(R)

è detta la somma delle matrici a e b.1

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2 VINCENZO C. NARDOZZA

Osservazione 1.4. Si noti che per poter essere sommate, le matrici date devonoavere la stessa forma. Se ciò avviene, la loro somma è la matrice della stessa formaavente come entrata (i, j) la somma delle entrate (i, j) in a e b.

Esempio 1.5. Siano a :=

(1 2 33 2 1

)e b =

(1 −2 00 1 −1

). Allora

a + b =

(2 0 33 3 0

)E’ immediato provare che

Lemma 1.6. L’addizione tra matrici è associativa e commutativa. La matrice 0avente 0R in tutte le case è detta matrice nulla m × n ed è l’elemento neutro pertale operazione. La matrice opposta della matrice a = (aij) è la matrice (−aij), everrà indicata con −a.

Possiamo definire un prodotto tra matrici, ma la cosa è più elaborata. Il proto-tipo di tale prodotto è il seguente:

Definizione 1.7. Siano r = (r1,j), c = (ci,1) una matrice riga e una matricecolonna, rispettivamente. Se la lunghezza n di r coincide con l’altezza di c si pone

(1) r · c :=

n∑j=1

r1,jcj,1 = r1,1c1,1 + r1,2c2,1 + · · ·+ r1,ncn,1 ∈ F.

Esempio 1.8. Siano r =(1 2 3

), c =

321

. Allora

r · c =(1 2 3

321

= 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Fatto questo, si dà la seguente definizione di prodotto tra matrici:

Definizione 1.9. Siano a := (aij) ∈ Mm×n(R) e b := (bhk) ∈ Mn×p(R). Sidefinisce

a · b :=

n∑j=1

aijbjk

∈Mm×p(R).

Commento: in proposito al prodotto tra matrici, si noti che• la lunghezza n di (ogni) riga della matrice a deve coincidere con l’altezza

di (ogni) colonna della matrice b;• l’entrata (i, k) della matrice a ·b è il prodotto (1) tra la riga i-ma ri di a e

la colonna k-ma ck di b, cioè

a · b =

r1 · c1 r1 · c2 . . . r1 · cpr2 · c1 r2 · c2 . . . r2 · cp

......

...rm · c1 rm · c2 . . . rm · cp

∈Mm×p(R).

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 3

Esempio 1.10. Siano a =

(0 1 23 4 5

), b =

2 4 6 81 3 5 70 2 7 8

matrici a coefficienti

in Z9. Allora

a · b =

(1 7 1 51 7 1 2

)∈M2×4(Z9)

Per esempio, l’entrata (2, 3) della matrice prodotto è ottenuta moltiplicando secondo(1) la riga 2 di a con la colonna 3 di b:

3 · 6 + 4 · 5 + 5 · 7 = 1 ∈ Z9.

Definizione 1.11. Sia n ∈ N. Indichiamo con 1n la matrice avente 1R nelle case(i, i) per ogni i = 1, . . . , n e 0R altrove.

Lemma 1.12. Siano a ∈Mm×n(R), b ∈Mn×p(R) e c ∈Mp×q(R). Allora

(1) (a · b) · c = a · (b · c) ∈Mm×q(R);(2) 1ma = a · 1n = a.

Focalizziamo ora la nostra attenzione sulle matrici quadrate:

Proposizione 1.13. Sia n ∈ N. La terna ordinata (Mn(R),+, ·) è un anello conunità 1n, detto anello delle matrici quadrate di taglia n su R.

Osservazione 1.14. Anche se R è commutativo, l’anello Mn(R) è non commuta-tivo non appena n > 2. Invece, M1(R) è un anello isomorfo ad R.

E’ possibile in effetti definire anche un’altra “operazione” per matrici, la cosid-detta moltiplicazione per scalari: se α ∈ R e a = (aij) ∈Mm×n(R) poniamo

αa := (αaij) ∈Mm×n(R).

In merito a ciò, si noti che basta definire α ·1m come la matrice avente α nelle case(i, i) per ogni i = 1, . . . ,m per avere

αa = (α1m)a.

Una matrice del tipo α1m si dice una matrice scalare.Alla luce di questo prodotto, alcune matrici sono particolarmente semplici e

simultaneamente importanti:

Definizione 1.15. Sia n > 2, e siano i, j ∈ {1, . . . , n}. Indichiamo con eij lamatrice di Mn(R) avente 1R come entrata (i, j) e 0R altrove.

Le matrici eij , per i, j ∈ {1, . . . , n}, si dicono le matrici unità di taglia n.

Esempio 1.16. Le matrici unità di taglia 2 sono le seguenti:

e11 =

(1 00 0

)e12 =

(0 10 0

)e21 =

(0 01 0

)e22 =

(0 00 1

)Proposizione 1.17. Sia a = (aij) ∈ Mn(R). Allora a =

∑ni,j=1 aijeij. In

particolare 1n =∑ni=1 eii.

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4 VINCENZO C. NARDOZZA

Il prodotto di matrici unità è particolarmente semplice. Detto

δuv :=

{1 se u = v

0 altrimenti

(delta di Kronecker), si ha infatti

Lemma 1.18. Siano eij , ehk ∈Mn(R). Allora

eijehk = δjheik.

2. Trasformazioni elementari

Da questa sezione in poi e salvo esplicita indicazione contraria le matrici con-siderate saranno a coefficienti in un campo F . Alcune delle considerazioni chefaremo saranno valide anche nel contesto più generale di matrici a coefficienti in unanello commutativo, ma non è scopo di questi appunti entrare nei distinguo di taligeneralità.

Lo scopo di questa sezione è introdurre un insieme particolare e importante dimatrici quadrate. La loro definizione è la seguente

Definizione 2.1. Sia F un campo, n > 2. Poniamo• Rij(a) := 1n + aeij per ogni i, j ∈ {1, . . . , n} con i 6= j e a ∈ F ;• Tij := 1n − eii − ejj + eij + eji per ogni i, j ∈ {1, . . . , n} con i 6= j;• Mi(α) := 1n − eii + αeii per ogni i ∈ {1, . . . , n} e α ∈ F ∗.

Le matrici Rij(a), Tij , Mi(α) si dicono le matrici di trasformazioni elementari perrighe di taglia n.

Commento: Che forma hanno le matrici di trasformazioni elementari?• Le matrici Rij(a) hanno tutti 1 sulla diagonale principale (le case (1, 1),

(2, 2),. . . , (n, n)), a nella casa (i, j) e altrove tutti 0;• le matrici Tij sono ottenute scambiando tra loro le righe i e j della matrice1n;

• Le matrici Mi(α) hanno entrate non nulle solo sulla diagonale principale,ed esse sono tutte 1 tranne che l’entrata (i, i), dove c’è α.

Le matrici di trasformazioni elementari esplicano il loro effetto nella moltiplicazionea sinistra di una data matrice. Precisamente, sia a ∈ Mn×p(F ) una matrice (nonnecessariamente quadrata, ma con n righe), e sia t una matrice di trasformazionielementari di taglia n. Detta b := ta la matrice prodotto, si ha

• se t = Rij(a) allora b è ottenuta da a sommando alla riga i-ma ri di a lariga j-ma di a moltiplicata per a, arj ;

• se t = Tij , allora b è ottenuta da a scambiandone le righe i e j;• se t = Mi(α) allora b è ottenuta da a moltiplicandone per α la riga i-ma.

Esempio 2.2. Sia a =

(1 2 34 5 6

)∈ M2×3(Z7). Calcoliamo i prodotti R12(3)a,

T12a, M2(3)a.

• R12(3)a =

(1 + 3 · 4 2 + 3 · 5 3 + 3 · 6

4 5 6

)=

(6 3 04 5 6

): alla riga 1 di a

sommiamo la riga 2 dopo averla moltiplicata per 3.

• T12a =

(4 5 61 2 3

): abbiamo scambiato di posto le righe 1 e 2 di a;

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 5

• M2(3)a =

(1 2 3

3 · 4 3 · 5 3 · 6

)=

(1 2 35 1 4

): abbiamo moltiplicato per 3

la terza riga di a.Le matrici elementari considerate erano

R12(3) =

(1 30 1

), T12 =

(0 11 0

), M2(3) =

(1 00 3

).

Il lettore può verificare che facendo esplicitamente le moltiplicazioni righe percolonne si ottengono gli stessi risultati annunciati. 2

Convenzione: quando nel seguito partiremo da una matrice assegnata a edeffettueremo una moltiplicazione ta con una matrice di trasformazioni elementarit, diremo che abbiamo effettuato una trasformazione elementare t su a, usando lastessa notazione che usiamo per t ma senza usare il grassetto (t).

Esempio 2.3. Riprendendo l’esempio precedente scriveremo, per esempio,(1 2 34 5 6

)→

R12(3)

(6 3 04 5 6

)→

M2(2)

(6 3 01 3 5

)→T12

(1 3 56 3 0

)per indicare la matrice T12 ·M1(2) ·R12(3) · a, ottenuta da a effettuando successi-vamente le operazioni elementari R12(3), poi M1(2) e infine T12.

Definizione 2.4. (Matrici in forma normale)Sia N ∈ Mm×n(F ). Si dice che N è in forma normale o a scala se N = 0 o, seN 6= 0, se sussistono tutte le seguenti condizioni:

(1) esiste p ∈ {1, . . .m} tale che le righe (p+ 1)-ma, (p+ 2)-ma, . . . , m-ma diN sono tutte nulle;

(2) per ogni i 6 p esiste 1 6 γ(i) 6 n tale che aiγ(i) = 1 ma aij = 0 se j < γ(i);(3) è γ(1) < γ(2) < · · · < γ(p);(4) ahγ(i) = 0 per ogni h < i.

In tal caso gli elementi a1γ(1), a2γ(2), . . . , apγ(p) si dicono i pivot di N.

Osservazione 2.5. Una matrice in forma normale e non nulla è perciò del tipo

γ(1) γ(2) γ(3) γ(4)1 0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . .2 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . .3 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . .4 1 ∗ . . .

. . .

(le entrate non segnate sono tutte nulle; le entrate con ∗ possono essere non nulle).

Esempio 2.6. La matrice

N =

0 0 1 2 0 0 1 0 10 0 0 0 1 0 2 0 10 0 0 0 0 1 3 0 20 0 0 0 0 0 0 1 40 0 0 0 0 0 0 0 0

è in forma normale. Qui, p = 4, e la sequenza γ(1) < γ(2) < γ(3) < γ(4) è3 < 5 < 6 < 8.

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6 VINCENZO C. NARDOZZA

Il motivo dell’introduzione delle trasformazioni elementari è il seguente:

Teorema 2.7. (Riduzione a forma normale)Sia a ∈Mm×n(F ). Allora esiste una successione finita di trasformazioni elementarisulle righe che porta da a a una matrice in forma normale N. Inoltre, la matriceN non dipende dalla particolare sequenza seguita ma dipende solo da a.

Osservazione 2.8. Dire che t1, t2, . . . , tk è una sequenza che porta la matrice aa una forma normale N vuol dire che tk . . . t2t1a = N. Posto q := tk . . . t2t1, ciòvuol dire qa = N.

Ci possono essere più sequenze che portano a in forma normale, cioè più matriciq ottenute come prodotto di matrici di trasformazioni elementari tali che qa sia informa normale. Tuttavia, come specificato nel Teorema precedente, se q e q′ sonodue di esse, risulta

qa = N = q′a.

2

L’unicità della forma normale di una matrice consente di dare la seguente

Definizione 2.9. Si dice rango di una matrice a ∈Mm×n(F ), e si indica con rk(a),il numero di pivot della sua forma normale.

Osservazione 2.10. Dato che su ogni riga e ogni colonna ci può essere al più unsolo pivot, risulta che rk(a) 6 min{m,n}. Inoltre, la matrice nulla è l’unica adavere rango 0.

In particolare, si ha

Lemma 2.11. Siano a ∈Mn(F ) ed N la forma normale di a. Allora(1) rk(a) < n ⇐⇒ l’ultima riga di N è nulla;(2) rk(a) = n ⇐⇒ N = 1n.

Dimostrazione. Il primo punto è ovvio.Per il secondo, si noti che siccome la matrice è quadrata, l’unico modo per dispor-

re gli n pivot in N è di allinearli lungo la diagonale principale. Automaticamentein tal caso la matrice ottenuta è la matrice 1n. �

L’importanza di quest’ultimo risultato sarà evidente nella sezione seguente.

3. Matrici invertibili

In un anello, l’insieme degli elementi invertibili è sempre un sottoinsieme im-portante di cui tener conto. Nel caso di anelli non commutativi, la questione delladeterminazione degli elementi invertibili è complicata dalla considerazione che, ingenerale, ab = 1 ; ba = 1.1 Noi in questa sezione limiteremo le nostre considera-zioni agli anelli Mn(F ) di matrici quadrate a entrate in un campo F , con un’unicarapida incursione nel casoMn(R) con R anello commutativo con unità (nella sezionededicata ai determinanti).

Cominciamo lo studio delle matrici invertibili con una definizione:

Definizione 3.1. Si pone

GLn(F ) := {a ∈Mn(F ) | a è invertibile in Mn(F )},e si chiama gruppo Generale Lineare di ordine n su F .

1In effetti si possono dare esempi in cui ab = 1 epperò ba 6= 1!

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 7

Osservazione 3.2. In altri termini più espliciti, data a ∈Mn(F ) si ha

a ∈ GLn(F ) ⇐⇒ ∃b ∈Mn(F ) tale che ab = ba = 1n.

Come accade in generale, se a è invertibile, allora ha uno ed un solo inverso. Lamatrice b è quindi unica, e la si denota senza ambiguità con a−1.

Isoliamo un caso facile da dirimere:

Corollario 3.3. GL1(F ) = {(α) ∈M1(F ) | α 6= 0} ∼= F ∗.

Nel seguito, assumeremo n > 2 per considerare solo i casi significativi.Il primo passo per determinare GLn(F ) è elencare alcuni elementi importanti:

Proposizione 3.4. Siano nel seguito a ∈ F , α ∈ F ∗, i, j ∈ {1, . . . , n} con i 6= j.(1) 1n ∈ GLn(F );(2) le matrici di trasformazioni elementari Rij(a), Tij, Mi(α) sono invertibili;(3) tutti i prodotti di matrici di trasformazioni elementari sono matrici inver-

tibili.

Dimostrazione. Il punto (1) è ovvio: l’identità di un anello è sempre invertibile.Per il punto (2) possiamo esibire esplicitamente gli inversi:

Rij(a)−1 = Rij(−a), T−1ij = Tij , Mi(α)−1 = Mi(α−1).

La verifica di questo semplice fatto è lasciata al lettore. La cosa importante danotare è che l’inversa di una matrice di trasformazioni elementari è ancora unamatrice di trasformazioni elementari.

Infine, sia q = t1t2 . . . tk un prodotto di k > 2 matrici di trasformazioni elemen-tari. Allora è immediato verificare che la matrice t−1k · . . . t

−12 t−11 è l’inversa di q.

Si noti che anch’essa è un prodotto di matrici di trasformazioni elementari. �

L’invertibilità è completamente caratterizzata dal rango:

Proposizione 3.5. (invertibilità e rango)Sia a ∈Mn(F ). Allora

a ∈ GLn(F ) ⇐⇒ rk(a) = n.Inoltre, a è un divisore di 0 se e solo se rk(a) < n.

Dimostrazione. Sia N la forma normale di a e sia q la matrice associata a una se-quenza di trasformazioni elementari che porta a in forma normale. Allora qa = N.a ∈ GLn(F )⇒ rk(a) = n : Supponiamo per assurdo che rk(a) < n. Allora l’ulti-ma riga di N è nulla per il Lemma 2.11 ⇒ ennN = 0. Ma allora

ennqa = 0 ⇒∃a−1

ennq = ennqaa−1 = 0a−1 = 0 ⇒

∃q−1enn = ennqq

−1 = 0q−1 = 0

e questo è falso (enn 6= 0!). Perciò rk(a) = n.rk(a) = n⇒ a ∈ GLn(F ) : rk(a) = n ⇒ N = 1n per il Lemma 2.11. Alloraqa = 1n e dato che q è invertibile si ha a = q−1. Perciò a è invertibile e la suainversa è q.

L’ultima parte dell’enunciato è immediata: se a è un divisore di zero non puòessere invertibile, e quindi rk(a) < n. Viceversa, se rk(a) < n, abbiamo già trovatoche d := ennq è non nulla (perchè?) e da = ennN = 0. �

Da questa Proposizione si hanno i seguenti corollari:

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8 VINCENZO C. NARDOZZA

Corollario 3.6. Se a ∈Mn(F ), allora• o a = 0n• o a è invertibile• o a è un divisore di zero.

In altri terminiMn(F ) = {0n} ]GLn(F ) ]Div(Mn(F )),

dove Div(Mn(F )) è l’insieme dei divisori di zero in Mn(F ) e ] indica un’unionetra insiemi disgiunti.

Dimostrazione. La collocazione di a è decisa dal suo rango: rk(a) = 0 ⇐⇒a = 0. Se 0 < rk(a) < n allora a è un divisore di zero. Se rk(a) = n allora a èinvertibile. �

Corollario 3.7. Siano a,b ∈Mn(F ). Allora

ab = 1n ⇒ ba = 1n.

Dimostrazione. Se ab = 1, allora a 6= 0 e così rk(a) > 0. Se rk(a) < n allora a èun divisore di zero e quindi esiste una matrice d 6= 0 tale che da = 0. Ma allora

d = d1n = dab = 0b = 0,

assurdo. Pertanto rk(a) = n e quindi

b = (a−1a)b = a−1(ab) = a−1 ⇒ ba = 1n.

Osservazione 3.8. E’, questa, una cosa che come già sottolineato è sicuramentenon ovvia e non automatica per anelli non commutativi.

Corollario 3.9. Le matrici invertibili di Mn(F ) e 6= 1n sono precisamente lematrici prodotto di matrici di trasformazioni elementari.

Dimostrazione. Se a ∈ GLn(F ) ed è diversa da 1 allora esiste una matrice q ot-tenuta come prodotto di matrici di trasformazioni elementari tale che qa = 1n.Perciò a−1 = q. Ciò equivale a a = q−1. Dato che l’inversa di un prodotto dimatrici di trasformazioni elementari è ancora un prodotto di matrici di trasforma-zioni elementari (si veda in merito quanto notato nel corso della dimostrazione dellaProposizione 3.4) , si ha quanto voluto. �

Osservazione 3.10. Ciò consente di controllare l’invertibilità di una assegnatamatrice e, nel caso, automaticamente di invertire la stessa. Basta infatti eseguireuna sequenza t1, t2, . . . , tk che porti la matrice assegnata in forma normale. Sela forma normale è 1n, allora la matrice data è invertibile. La stessa sequenzat1, t2, . . . , tk applicata alla matrice 1n dà la matrice q che è l’inversa di a.

Esempio 3.11. Si decida se la matrice

a :=

2 3 45 6 01 2 4

∈M3(Z7)

è invertibile e in caso affermativo si determini la sua inversa.

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 9

SvolgimentoLa tavola degli inversi degli elementi di Z7 è la seguente:

1 2 3 61 4 5 6

Fatto questo mettiamo a in forma normale tramite trasformazioni elementari sullerighe: 2 3 4

5 6 01 2 4

→M1(4)

1 5 25 6 01 2 4

→R21(2)R31(6)

1 5 20 2 40 4 2

→M2(4)

1 5 20 1 20 4 2

R12(2)R32(3)

1 0 60 1 20 0 1

→R13(1)R23(5)

1 0 00 1 00 0 1

Quindi

q = R23(5)R13(1)R32(3)R12(2)M2(4)R31(6)R21(2)M1(4)

è la matrice inversa di a. Per conoscerla esplicitamente, basta effettuare le stesseoperazioni elementari sulla matrice 1n:1 0 0

0 1 00 0 1

→M1(4)

4 0 00 1 00 0 1

→R21(2)R31(6)

4 0 01 1 03 0 1

→M2(4)

4 0 04 4 03 0 1

R12(2)R32(3)

5 1 04 4 01 5 1

→R13(1)R23(5)

6 6 12 1 51 5 1

Il lettore può provare a controllare che qa = 13 effettuando direttamente il prodottotra matrici. 2

Nell’esempio, abbiamo usato il modo più sistematico per ottenere la forma nor-male di a. A seconda dei casi, si possono usare altre sequenze, che accorcianola procedura. Il risultato ottenuto scegliendo un’altra sequenza è di variare lafattorizzazione di q, mentre non cambia q.

4. Sistemi Lineari

Un sistema lineare di m equazione in n incognite a coefficienti nel campo F è ilproblema di determinare gli elementi (α1, α2, . . . , αn) ∈ Fn = F × F × · · · × F︸ ︷︷ ︸

n volte

tali

che le m identitàn∑j=1

a1jαj = c1,

n∑j=1

a2jαj = c2, . . . ,

n∑j=1

amjαj = cm,

i cui coefficienti aij , ci sono in F , siano tutte contemporaneamente soddisfatte.Un sistema lineare è rappresentato in forma compatta come{ ∑n

j=1 aijxj = cii = 1, . . . ,m

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10 VINCENZO C. NARDOZZA

e in forma più esplicita daa11x1 +a12x2 . . . +a1nxn = c1a21x1 +a22x2 . . . +a2nxn = c2

...am1x1 +am2x2 . . . +amnxn = cm

E’ chiaro che tutte le informazioni essenziali per il problema sono contenute solonei suoi coefficienti, non nel nome delle incognite. Precisamente detta a la matricedei coefficienti

a :=

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a1n...

......

am1 am2 . . . amn

e detta c :=

c1c2...cm

la colonna dei termini noti, il sistema può essere riscritto

compattamente come un’equazione lineare avente come incognita la colonna x :=x1x2...xn

:

ax = c.

Tale informazione sul problema può essere codificata ancora un po’ più compatta-mente introducendo la definizione seguente:

Definizione 4.1. Sia ax = c un sistema lineare di m equazioni in n incognite acoefficienti in F . La matrice s ottenuta aggiungendo alle colonne di a la colonnadei termini noti in ultima posizione si dice la matrice completa del sistema.

Si noti che c ∈ Mm×(n+1)(F ). Nel seguito, la rappresenteremo come s = (a | c)per evidenziare il ruolo diverso che a e c giocano nel problema.

La matrice completa del sistema gioca un ruolo essenziale nella risolubilità delsistema lineare e, una volta che essa sia stata controllata, nella determinazione dellesue soluzioni.

L’osservazione principale è riassunta nel seguente

Lemma 4.2. Sia ax = c un sistema lineare di m equazioni in n incognite acoefficienti in F ed s la sua matrice completa.

(1) se t è una matrice di trasformazioni elementari inMm(F ), allora il sistemadi matrice completa s′ = ts è equivalente al sistema di matrice completa s;

(2) se N = (a′|c′) è la forma normale della matrice s = (a|c), il sistemaa′x = c′ è equivalente al sistema ax = c.

Dimostrazione. E’ facile rendersi conto che le trasformazioni elementari sulle ri-ghe corrispondono a trasformazioni sul sistema che conservano l’equivalenza tra iproblemi. Esplicitamente, si ha

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 11

• sia t = Rij(a). Allora ts è la matrice ottenuta da s sommando alla riga i dis la sua j-ma riga dopo averla moltiplicata per a ∈ F . Pertanto il sistemache ha come matrice completa ts è il sistema ottenuto sommando membroa membro la i-ma equazione alla j-ma dopo aver moltiplicata quest’ultimaper a ∈ F , e pertanto è equivalente al sistema di partenza;

• sia t = Mi(α). Allora ts è la matrice ottenuta da s moltiplicandone perα ∈ F ∗ la riga i-ma ⇒ il sistema di matrice completa ts è ottenuto dalsistema di partenza moltiplicandone per α l’i-ma equazione, e pertanto èequivalente ad esso;

• se infine t = Tij allora ts è ottenuta da s scambiano tra loro le righe i e j⇒ il sistema associato a ts è ottenuto dal sistema originale scambiando diposto le equazioni i e j, e quindi manifestamente è equivalente al sistemadi partenza.

SeN è la forma normale di s⇒N = qs dove q = t1 . . . tk è un prodotto di matrici ditrasformazioni elementari ti ⇐⇒ N è la matrice completa del sistema ottenuta da seffettuando la sequenza tk, . . . , t2, t1 (in quest’ordine!) di trasformazioni elementarisulle righe. Dato che a ogni passo la matrice che si ottiene è associata a un sistemalineare equivalente al sistema originale, si ha quanto voluto. �

Il punto in tutto ciò è che è assai facile decidere se il sistema è risolubile e qualieventualmente siano le sue soluzioni se la sua matrice completa è in forma normale.Si ha infatti

Lemma 4.3. Sia ax = c un sistema tale che la matrice completa s sia in formanormale. Esso è risolubile ⇐⇒ nessun pivot cade nella colonna dei termini noti.

Inoltre, se il sistema è risolubile, siano p = rk(s) e siano (i, γ(i)), per i =1, . . . , p, le case dove sono collocati i pivot. Allora le soluzioni sono le n-ple (y1, . . . , yn)in Fn dove

yj

{= ci −

∑h>γ(i) aihyh se j = γ(i)

∈ F se j /∈ {γ(1), . . . , γ(p)}

In particolare, il sistema lineare ha |F |n−p soluzioni distinte, dipendenti da n − pparametri liberi yj al variare di j in {1, . . . , n} \ {γ(1), . . . , γ(p)}.

Dimostrazione. Sotto la p-ma riga ci sono solo righe nulle. Se l’ultimo pivot cadenella colonna dei termini noti, l’ultima equazione del sistema è 0 = 1, che nonammette soluzioni e quindi il sistema è incompatibile, cioè non ha soluzioni.

Se ciò non accade, la i-ma equazione del sistema in forma normale sarà

aiγ(i)xγ(i) +∑h>γ(i)

aihxh = ci.

Notato che aiγ(i) = 1 perchè è il pivot della i-ma riga di s, si ha

xγ(i) = ci −∑h>γ(i)

aihxh.

Si noti che se h ∈ {γ(1), . . . , γ(p)} è aih = 0. Per ogni assegnazione delle variabi-li xj con j /∈ {γ(1), . . . , γ(p)} si ha allora un’assegnazione forzata per le variabilixγ(1), . . . , xγ(p), ottenendo una soluzione del sistema. Dato che ciascuna delle varia-bili “libere” xj (con j /∈ {γ(1), . . . , γ(p)}) può essere assegnata in |F | modi differentie le n-ple ordinate che si ottengono sono tutte distinte, si ha quanto asserito. �

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12 VINCENZO C. NARDOZZA

Osservazione 4.4. Parlando in termini informali, il rango della matrice completadel sistema ci dice quante sono le equazioni effettivamente essenziali. Ognuna diesse “inchioda” una incognita (quella corrispondente al pivot). Quelle rimanentisono invece libere di assumere uno qualunque dei valori possibili in F .

Se il campo è infinito, un sistema risolubile ha una sola o infinite soluzioni, senzapossibilità intermedie. L’unicità si ha quando ci sono tante equazioni essenzialiquante le incognite disponibili: esse saranno tutte inchiodate a un valore particolare.Se almeno una variabile resta libera di variare (se cioè n− p > 0) allora essa daràa luogo a infinite soluzioni.

E’ prassi nella terminologia usuale esprimere questa situazione dicendo (conabuso di notazione) che il sistema ha ∞n−p soluzioni.

Se il campo è finito, naturalmente, un sistema lineare a coefficienti in esso ha sem-pre necessariamente un insieme finito di soluzioni (alla peggio, esso ha 0 soluzioni).2

Esempio 4.5. Si dica se il seguente sistema lineare a coefficienti in Z7 x1 +2x2 +3x3 = 42x1 +3x3 = 53x1 +2x2 = 6

è compatibile e, se si, si dica quante e quali sono le sue soluzioniSvolgimentoLa matrice dei coefficienti, la colonna dei termini noti e la matrice completa sonorispettivamente

a =

1 2 32 0 33 2 0

, c =

456

, s =

1 2 3 42 0 3 53 2 0 6

Tramite una sequenza di trasformazioni elementari, arriviamo alla forma normaledella matrice completa s:

N =

1 0 0 00 1 0 30 0 1 4

,

corrispondente al sistema lineare x1 = 0x2 = 3x3 = 4

che ha come unica soluzione (0, 3, 4) ∈ (Z7)3. Si noti che qui p = 3, n − p = 0 eeffettivamente 70 = 1.

Esempio 4.6. Si dica se il seguente sistema lineare a coefficienti in Z7 5x1 +2x2 +2x3 = 23x1 +4x2 +4x3 = 46x1 +6x2 +2x3 = 5

è compatibile e, se si, si dica quante e quali sono le sue soluzioniSvolgimento

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 13

La matrice dei coefficienti, la colonna dei termini noti e la matrice completa sonorispettivamente

a =

5 2 23 4 46 6 2

, c =

246

, s =

5 2 2 23 4 4 46 6 2 5

Tramite una sequenza di trasformazioni elementari, arriviamo alla forma normaledella matrice completa s:

N =

1 0 2 40 1 3 50 0 0 0

,

corrispondente al sistema lineare{x1 +2x3 = 4

x2 +3x3 = 5

in cui x3 può variare liberamente in tutto Z7. Ognuna delle 7 possibili assegnazionidi x3 dà luogo a una assegnazione forzata di x1 e x2:

se x3 = y ∈ Z7 allora dev’essere

{x1 = 4− 2y

x2 = 5− 3y.

L’insieme delle soluzioni è allora

{(4+5y, 5+4y, y) | y ∈ Z7} = {(4, 5, 0), (2, 2, 1), (0, 6, 2), (5, 3, 3), (3, 0, 4), (1, 4, 5), (6, 1, 6)}.

Si noti, di nuovo, che p = 2, n− p = 1 e effettivamente ci sono 71 soluzioni distintedel sistema.

Esempio 4.7. Si dica se il seguente sistema lineare a coefficienti in Z7 5x1 +2x2 +2x3 = 43x1 +4x2 +4x3 = 56x1 +6x2 +2x3 = 6

è compatibile e, se si, si dica quante e quali sono le sue soluzioniSvolgimentoLa matrice dei coefficienti, la colonna dei termini noti e la matrice completa sonorispettivamente

a =

5 2 23 4 46 6 2

, c =

456

, s =

5 2 2 43 4 4 56 6 2 6

Tramite una sequenza di trasformazioni elementari, arriviamo alla forma normaledella matrice completa s:

N =

1 0 2 00 1 3 00 0 0 1

,

corrispondente al sistema lineare equivalente a quello dato x1 +2x3 = 0x2 +3x3 = 0

0 = 1

in cui la terza equazione non ammette soluzioni. Il sistema pertanto è incompatibile.

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14 VINCENZO C. NARDOZZA

Si noti che anche in questo caso p = 3 e n − p = 0, ma stavolta NON ci sonosoluzioni, perchè la loro esistenza dipende NON SOLO da qual è il rango dellamatrice completa del sistema, ma anche da dove compaiono i suoi pivot

La formulazione di questo principio in termini classici è la seguente:

Teorema 4.8. (Rouchè-Capelli)Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è compatibile se e solo se il rangodella matrice completa del sistema uguaglia il rango della matrice dei coefficienti.

In tal caso, detto p tale rango, le soluzioni del sistema dipendono da n − pparametri liberi.

Dimostrazione. Basta notare che dire rk(s) = rk(a) equivale a dire che tutti i pivotpresenti nella forma normale N di s compaiono nelle prime n colonne, e cioè chenella ultima colonna di N non compare un pivot. �

5. Determinanti

In questa sezione torniamo a considerare la situazione più generale di matriciquadrate a coefficienti in un anello commutativo con unità R.

In questa sezione, le matrici saranno indicate con le lettere grassetto maiuscole.Cominciamo con una convenzione:

Definizione 5.1. Sia A ∈Mn(R), e siano i, j ∈ {1, . . . , n}. Indichiamo con Aij lamatrice ottenuta da A cancellandone la riga i e la colonna j. 2

Si noti che pertanto Aij ∈Mn−1(R).

Esempio 5.2. Sia A =

1 2 34 5 67 8 9

∈M3(Z10). Allora

• A11 =

(5 68 9

)∈M2(Z10);

• A23 =

(1 27 8

)∈M2(Z10).

In generale, una matrice quadrata di taglia n dà luogo a n2 matrici Aij . 2

Diamo ora la seguente definizione ricorsiva sulla taglia n delle matrici quadrate:

Definizione 5.3. Sia A = (aij) ∈Mn(R). Poniamo• det(A) := a11 ∈ R se n = 1;• det(A) :=

∑nj=1(−1)1+ja1j det(A1j) ∈ R se n > 2.

L’elemento det(A) ∈ R si dice il determinante della matrice A. 2

Esempio 5.4. Calcoliamo il determinante di una matrice quadrata di taglia 2: se

A =

(a11 a12a21 a22

)si ha dalla definizione

det(A) = (−1)1+1a11 det(A11) + (−1)1+2a12 det(A12)

= a11a22 − a12a22 ∈ R

Si noti che ora sappiamo calcolare direttamente il determinante di una matrice 2×2senza dover passare dalla definizione: è l’elemento di R che si ottiene moltiplicando

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 15

gli elementi della diagonale principale a cui viene sottratto il prodotto degli elementisull’altra diagonale.

Usiamo questo fatto per calcolare il determinante di una matrice 3× 3:

se A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

si ha

det(A) = (−1)1+1a11 det(A11) + (−1)1+2a12 det(A12) + (−1)1+3a13 det(A13)

= a11 det

((a22 a23a32 a33

))− a12 det

((a21 a23a31 a33

))+ a13 det

((a21 a22a31 a32

))= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a21a23a13)− (a13a22a31 + a12a21a33 + a23a32a11).

La formula è molto più complicata da spiegare, ma si può notare che l’elementodet(A) ∈ R è stato ottenuto formando una somma algebrica di prodotti; ogniprodotto ha tre fattori presi da A. I prodotti che hanno segno + sono quelliottenuti prendendo i fattori nei posti contrassegnati da •:• · ·

· • ·· · •

,

· • ·· · •• · ·

,

· · •• · ·· • ·

cioè gli elementi che stanno sulla diagonale principale e quelli che stanno sui triangoliaventi base parallela ad essa.

I prodotti preceduti da segno −, similmente, sono i seguenti · · •· • ·• · ·

,

· • ·• · ·· · •

,

• · ·· · •· • ·

cioè quelli ottenuti prendendo gli elementi sulla diagonale secondaria e quelli suitriangoli aventi base parallela ad essa (regola di Sarrus).

Osservazione 5.5. Ognuno degli addendi del determinante di una matrice diordine 3 è

• un prodotto di 3 addendi• in ogni addendo, ognuno dei tre fattori proviene da una riga e una colonna

distinte.Questa cosa è un fatto generale, cioè

• se A ha taglia n, allora det(A) è una somma algebrica di addendi;• ogni addendo è un prodotto di n fattori, ciascuno scelto in una riga e una

colonna diversa dagli altri (non ci sono cioè due fattori che provengono dallastessa riga o dalla stessa colonna).

Tuttavia non abbiamo nè tempo nè interesse in questa sede di approfondire questadiscussione valida in generale. 2

Per matrici di taglia n > 4 non c’è vantaggio nello scrivere una formula peril calcolo diretto del determinante, in quanto essa sarebbe non più semplice daapplicare che la definizione stessa.

Definizione 5.6. (Trasposta e matrici simmetriche)Sia A = (aij). Si dice trasposta della matrice A, e si indica con AT , la matrice(bij) tale che per ogni i, j 6 n sia bij = aji.

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16 VINCENZO C. NARDOZZA

Si dice poi che A è simmetrica se A = AT .

Osservazione 5.7. In altri termini, la trasposta di A è la matrice ottenuta da Aeffettuando una riflessione delle sue entrate lungo la diagonale principale.

Esempio 5.8. Sia A :=

1 2 34 5 67 8 9

. Allora AT =

1 4 72 5 83 6 9

. 2

Definizione 5.9. (Complementi algebrici)Sia A = (aij) ∈Mn(R), con n > 2. Si dice complemento algebrico di aij l’elemento

γij := (−1)i+j det(Aij) ∈ R.La matrice Γ := (γij) ∈Mn(R) si dice la matrice dei complementi algebrici di A.

Osservazione 5.10. Utilizzando la nozione di complemento algebrico, la defini-zione di determinante di una matrice di taglia n > 2 può essere riscritta come

det(A) =

n∑j=1

a1jγ1j .

2

La relazione tra una data matrice e la sua matrice dei complementi algebrici èespressa nel seguente importante

Teorema 5.11. (Formule di Laplace)Siano n > 2, A = (aij) ∈ Mn(R) e Γ = (γij) la matrice dei complementi algebricidi A.

Allora per ogni i1, i2, j1, j2 ∈ {1, . . . , n} risultan∑j=1

ai1jγi2j =

{0 se i1 6= i2

det(A) se i1 = i2

n∑i=1

aij1γij2 =

{0 se j1 6= j2

det(A) se j1 = j2

Queste formule in apparenza complicate hanno due serie conseguenze:

Corollario 5.12. Scelto i ∈ {1, . . . , n}, si ha

det(A) =

n∑j=1

aijγij .

La precedente espressione viene detta sviluppo di det(A) lungo la riga i. Analoga-mente, scelto un qualunque indice di colonna j ∈ {1, . . . , n}, si ha

det(A) =

n∑i=1

aijγij

ed essa vien detta sviluppo di det(A) lungo la colonna j.

Nella definizione di determinante, in effetti noi abbiamo effettuato lo sviluppo deldeterminante lungo la prima riga. Il precedente corollario dice che avremmo potutodare la definizione scegliendo una riga qualunque o anche una colonna qualunque:il risultato sarebbe stato lo stesso.

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 17

Osservazione 5.13. Alla luce di quanto detto, si capisce che al fine di calcolare ildeterminante di una matrice è comodo scegliere di sviluppare il determinante lungouna riga o una colonna in cui il numero di entrate nulle è il massimo possibile.

Esempio 5.14. Il lettore può calcolare per esercizio il determinante di alcunematrici particolari. Qui di seguito diamo il risultato:

• det(1n) = 1;• det(Rij(a)) = 1;• det(Tij) = −1;• det(Mi(α)) = α;• det(α1n) = αn per ogni α ∈ R.

In generale, una matrice è detta triangolare (inferiore o superiore) se tutte le entrateda uno stesso lato della diagonale principale (tutte al di sopra o tutte al di sottorispettivamente) sono nulle. Gli esempi considerati rientravano tutti in questo tipodi matrici.

E’ un facile ma istruttivo esercizio provare che se A è triangolare allora det(A) =a11a22 . . . ann, cioè il determinante è il prodotto degli elementi della diagonaleprincipale.

Esempio 5.15. Calcoliamo il determinante della matrice

A =

1 2 0 42 2 0 44 3 1 73 2 0 5

∈M4(Z9).

Usando la definizione direttamente, dobbiamo calcolare

det(A) = 1 · det(A11)− 2 · det(A12) + 0 · det(A13)− 4 · det(A14)

= det

2 0 43 1 72 0 5

− 2 det

2 0 44 1 73 0 5

− 4 det

2 2 04 3 13 2 0

= −8− 2 · (−2)− 4 · (6− 4) = 2 + 4 + 2 = 8 ∈ Z10.

Abbiamo dovuto calcolare 3 determinanti di ordine 3. Avremmo invece potuto agirepiù intelligentemente e sviluppare il determinante lungo la 3-a colonna, ottenendo

det(A) = (−1)3+3 det(A33) (gli altri addendi sono nulli)

= det

1 2 42 2 43 2 5

= (10 + 6 + 4)− (4 + 8 + 0) = −2 = 8 ∈ Z10.

Osservazione 5.16. Sempre alla luce di quanto detto, è chiaro che se una matriceha una riga o una colonna nulla, il suo determinante è nullo. Inoltre, è parimentichiaro che det(A) = det(AT ), quale che sia la matrice A. 2

Come si è visto, il calcolo di un determinante è cosa che coinvolge una quantitàdi moltiplicazioni rapidamente crescente al crescere della taglia della matrice. E’ unbuon esercizio calcolare esplicitamente quante moltiplicazioni sono necessarie per ildeterminante di una matrice di ordine n.

La cosa sarebbe più semplice se fosse vero che det(A + B) = det(A) + det(B).Si vede però subito che ciò non vale non appena n > 2: 1n = e11 + (

∑ni=2 eii) ma

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18 VINCENZO C. NARDOZZA

mentre det(1n) = 1 è det(e11) = det(∑ni=2 eii) = 0. La formula importante che ci

consente una effettiva semplificazione nel calcolo è la seguente:

Teorema 5.17. (Binet)Per ogni A,B ∈Mn(R) risulta

det(AB) = det(A) · det(B).

Osservazione 5.18. In cosa consiste l’utilità di questa formula? A prima vistanon sembra una buona idea quella di calcolare i determinanti di due matrici al finedi calcolare il determinante di una matrice della stessa taglia (AB)!

Invece, se tramite una sequenza di trasformazioni elementari sappiamo mettereA in forma triangolare A′, il calcolo del det(A) è semplificato dalla formula diBinet e dal fatto che già conosciamo il determinante delle matrici di trasformazionielementari. Per essere più specifici, se A′ = t1 . . . tkA, si ha velocemente

det(A′) = det(t1) · det(t2) . . . det(tk) · det(A),

il che ci dà indicazioni sul valore det(A).

Osservazione 5.19. Attenzione: nel nostro contesto generale di matrici a coeffi-cienti in un anello commutativo con unità R, le matrici di trasformazioni elementarinon sono più necessariamente invertibili! Per la precisione, non siamo più sicuri chele Mi(α) siano invertibili! In effetti, ciò accade se e solo se α ∈ U (R). Perciò nonpossiamo in genere effettuare il calcolo più semplice

det(A) = det(t−1k ) . . . det(t−12 ) det(t−11 ) det(A′).

La formula di Binet comunque ci dà come

Corollario 5.20. Se A ∈Mn(R) è invertibile, allora det(A) ∈ U (R) e

det(A−1) =(det(A)

)−1.

Dimostrazione. Poichè A è invertibile, si ha

A ·A−1 = 1n

e per la formula di Binet segue

det(A) · det(A−1) = det(1n)

e pertanto, posto d := det(A) ∈ R e d′ := det(A−1) ∈ R si ha

dd′ = 1.

Quindi d = det(A) ∈ U (R) e d′ = d−1. �

Per chiudere questa sezione, torniamo al problema originale: come individuarele matrici invertibili a coefficienti in R?

Definizione 5.21. Siano n > 2, A ∈ Mn(R) e Γ = (γij) la sua matrice deicomplementi algebrici. Diciamo matrice aggiunta di A, e la indichiamo con adj(A),la trasposta di Γ.

Il Teorema che ci serve è il seguente, la seconda seria conseguenza delle formuledi Laplace

Teorema 5.22. Sia A ∈Mn(R). Allora

A · adj(A) = det(A)1n.

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 19

Dimostrazione. E’ un’immediata conseguenza delle formule di Laplace: detta A =(aij), adj(A) = (αij) e posto d = det(A), risulta

A · adj(A) = (aij)(αij) =

(n∑k=1

aikαkj

)=

(n∑k=1

aikγjk

)= (δijd) = d · 1n,

dove δij è il delta di Kronecker. �

Corollario 5.23. La matrice A è invertibile in Mn(R) ⇐⇒ det(A) è invertibilein R. In tal caso risulta

A−1 = det(A)−1 · adj(A).

Osservazione 5.24. Nel caso particolare in cui R = F è un campo, ciò si traducenell’affermazione A è invertibile ⇐⇒ il suo determinante è non nullo. Inoltre,il precedente corollario dà un altro modo per calcolare l’inversa di una matriceassegnata.

Esempio 5.25. Si decida quale delle due matrici

a =

(2 15 2

), b =

(2 33 2

)è invertibile in M2(Z) e se ne calcoli l’inversa.SvolgimentoDato che Z = {±1}, le uniche matrici invertibili in M2(Z) sono quelle il cui deter-minante è 1 o −1. Dato che det(a) = 4− 5 = −1, essa è invertibile. Per invertirla,possiamo ancora usare le trasformazioni elementari, con l’unica avvertenza che leuniche Mi(α) a disposizione sono quelle per cui α = ±1. Per esempio:(

2 15 2

)→

R21(−2)

(2 11 0

)→T12

(1 02 1

)→

R21(−2)

(1 00 1

).

Applicando la stessa sequenza a partire dalla matrice 12 otteniamo la matriceinversa di a:(

1 00 1

)→

R21(−2)

(1 0−2 1

)→T12

(−2 11 0

)→

R21(−2)

(−2 15 −2

).

Ci saremmo potuti arrivare usando bene le trasformazioni elementari lecite, senzaavere a disposizione il concetto di determinante. Naturalmente possiamo anchecalcolare a−1 = (det(a))−1 · adj(a): la matrice dei cofattori è

Γ =

(2 −5−1 2

),

la sua trasposta è perciò

adj(a) =

(2 −1−5 2

)e quindi a−1 =

(−2 15 −2

).

Invece, avremmo cercato invano una sequenza di trasformazioni elementari cheportasse b in forma normale: non esiste una siffatta sequenza. La certezza di ciò cela da solo il determinante: poichè det(b) = 4− 9 = −5 /∈ U (Z), b non è invertibilein Z.

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20 VINCENZO C. NARDOZZA

6. Esercizi

Esercizio 6.1. Date le matrici

a =

(1 2−1 2

), b =

(−1 2

1 1

), c =

(1 11 −1

),

calcolare il valore delle seguenti espressioni:(1) a + 2b + 3c;(2) ab(3) c2

(4) b2 − 4ac;(5) (a− b)2

(6) a2 − 2ab + b2;(7) a2 − ab− ba + b2.

Esercizio 6.2. Sia a :=

0 1 21 2 32 3 4

∈ M3(R). Sappiamo che le operazioni ele-

mentari sulle righe R13(−2), M2(2), T23 corrispondono a effettuare delle moltipli-cazioni del tipo ba, per opportune matrici b. Dette R13(−2), M2(2) e T23 talimatrici,

(1) esplicitamente, chi sono R13(−2), M2(2) e T23?(2) Cosa accade facendo invece ab per b ∈ {R13(−2), M2(2), T23}?(3) Si determini, se esiste, una matrice quadrata c tale che ac abbia la terza

colonna pari alla seconda colonna di a aumentata di 3 volte la prima.

Esercizio 6.3. Si calcoli il prodotto(

1 a0 1

)(1 b0 1

).

Esercizio 6.4. Si calcoli(

1 10 1

)n.

Esercizio 6.5. Si trovi una formula per esprimere la potenza1 1 10 1 10 0 1

n

e la si provi per induzione.

Esercizio 6.6. Siano a,b matrici quadrate.(1) Quando è vero che (a + b)(a− b) = a2 − b2?(2) Espandere la potenza (a + b)3.

Esercizio 6.7. Per ciascuno dei casi, determinare le matrici quadrate a coefficientiin Q che commutano con la data matrice

(1)(

1 00 0

)(2)

(0 10 0

)(3)

(2 00 6

)

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 21

(4)(

1 30 1

)(5)

(2 30 6

)

Esercizio 6.8. Sia a :=

2 31 22 5

∈M3×2(Q).

(1) Trovare infinite matrici b tali che ba = 12;(2) provare che non esiste nessuna matrice c tale che ac = 13.

Esercizio 6.9. Si riducano a forma normale le seguenti matrici reali, tenendotraccia delle operazioni elementari effettuate sulle righe:

(1)(

1 33 1

),(

1 31 3

);

(2)(

1 1 1 13 1 1 2

);

(3)

0 2 10 2 20 2 20 2 1

;

(4)

1 −1

√2 0

0 1√

2 −1√2 0 −1 1−1 2 2 1

Esercizio 6.10. Calcolare, se possibile, le inverse delle seguenti matrici a coeffi-cienti in R:

(1)(

2 30 1

),(

2 21 1

),(

2 13 1

),(

2 −11 −1

),(

1 90 −1

);

(2)

1 3 00 1 10 0 1

,

1 2 00 1 11 2 0

,

1 1 11 2 21 1 2

,

4 2 34 −1 41 0 1

.

Quali di esse sono invertibili anche su Z2, Z3, Z4, Z5? In tali casi si determinino leloro inverse.

Esercizio 6.11. Date le matrici a,b a coefficienti in F = Z2, calcolare

ab, a + b, a− b,

dove

(1) a =

(1 11 0

), b =

(1 −11 1

);

(2) a =

1 1 11 0 00 1 −1

, b =

1 1 −11 1 11 −1 1

.

Esercizio 6.12. Calcolare, se possibile, le inverse delle seguenti matrici a coeffi-cienti in Z2:

(1)(

1 10 1

),(

0 11 1

),(

1 11 1

),(

1 −11 −1

),(

1 00 −1

);

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22 VINCENZO C. NARDOZZA

(2)

1 1 00 1 10 0 1

,

1 0 00 1 11 0 0

,

1 1 11 0 01 1 0

,

0 0 10 −1 01 0 1

.

Esercizio 6.13. Si esibisca, se esiste, una matrice razionale (cioè a coefficienti inQ) A opportuna tale che AB sia una matrice in forma normale, dove

B =

1 3 1 −1−1 0 1 2

2 3 0 −3

Si risponda all’analoga domanda considerando la matriceB inM3×4(Z9) oM3×4(Z11).

Esercizio 6.14. Si determini il rango delle seguenti matrici reali:

(1)(

1 11 1

),(

1 10 1

);

(2)(

1 3 2 −13 1 −1 2

);

(3)

1 0 1

2 1√

3

1 1√

3− 1

,

0 2 −2 1−2 1 0 2

0 −2 0 1

;

(4)

h 0 12 h 21 1 2

, dove h ∈ R.

Esercizio 6.15. Si dica quali delle seguenti matrici quadrate sono invertibili. Sicalcoli l’inversa di quelle invertibili e si determini una matrice X tale che X ·A = 0per le matrici A che non sono invertibili.

(1)(

1 0

1√

3

),(

1 11 2

),(

1 12 2

)(Matrici reali);

(2)

1 1 11 1 21 2 3

,

0 1 11 0 11 1 0

(matrici su Z3);

(3)

2 0 −1 20 0 −1 1−3 1 0 2

3 1 −1 6

(matrice su Z7).

Esercizio 6.16. Si dica per quali valori di h ∈ R la matrice1 0 2 00 h 0 1

h− 1 2 0 20 0 1 2

è invertibile, e se ne determini l’inversa. Si risponda alla domanda considerandoinvece il campo base F ∈ {Z2, Z5, Z11, Z13} ( e di conseguenza h ∈ F ).

Esercizio 6.17. Sia a =

(1 11 2

), e sia f : M2×1(R) → M2×1(R) definita

tramitef :

(xy

)→ a ·

(xy

).

f è iniettiva? E’ suriettiva?

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APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE 23

Esercizio 6.18. Sia R :=

{(a b−b a

)| a, b ∈ Z3

}. Si provi che

(1) R è un anello rispetto le usuali operazioni tra matrici;(2) R è commutativo(3) R è un campo(4) R ∼= GF (9), scrivendo un esplicito isomorfismo di campi.

Esercizio 6.19. Si determinino tutte le soluzioni dell’equazione x1+x2+2x3−x4 =3 a coefficienti in Z23. Quante sono?

Esercizio 6.20. Si risolvano i seguenti sistemi lineari su F ∈ {Q,Z2,Z3,Z5,Z7,Z11}

(1)

x + 2z = 0x − y + 3z = 1

y + 2z = −2

(2)

2x + 3y − z = −3x + z = 0x + 2y − z = −2

(3)

y − z = 0

x + 3z = 2x + 3y + 2z = 2x + 2y + z = 2

Esercizio 6.21. Si risolvano i seguenti sistemi lineari omogenei su F ∈ {Q,Z2,Z3,Z5,Z7,Z11}

(1)

x + 2y + 3z − t = 0

y + 2z + t = 0x − y + 2t = 0x + 3z = 0

(2)

x + y + z + t = 0x + 2y + 3z − t = 0x − 2y − 5z + 7t = 0

Esercizio 6.22. Si discutano i seguenti sistemi lineari al variare di h in F , perF ∈ {Q,Z2,Z3,Z5,Z7,Z11}:

(1)

hx + y − 2hz = 0− y + hz = 0

hx + z = 0

(2)

hx + y + z + 2t = 0

y − z + ht = hhx + 2z + 2t = h

2y + hz + 2t = 0

Esercizio 6.23. Si discuta il seguente sistema lineare al variare dei parametri h, knel campo F , controllando separatamente i casi F = Q, F = Z2, F = Z3, F = Z5. kx − y = −h

kx − y = k − 1kx + (h− k)y = 1− k

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24 VINCENZO C. NARDOZZA

Esercizio 6.24. Discutere e risolvere, al variare del parametro λ ∈ Z13, il sistemalineare seguente: 2(λ+ 1)x1 +3x2 +λx3 = λ+ 4

(4λ− 1)x1 +(λ+ 1)x2 +(2λ− 1)x3 = 2λ+ 2(5λ− 4)x1 +(λ+ 1)x2 +(3λ− 4)x3 = λ− 1

Esercizio 6.25. Discutere e risolvere, al variare del parametro λ ∈ Z17, il sistemalineare seguente:

2x1 +x2 +x3 = 23x1 −x2 +2x3 = 6x1 +2x2 +3x3 = 2

5x1 +λx2 −x3 = 3λ

Esercizio 6.26. Calcolare il determinante delle seguenti matrici

(1)(

1 α2− α 3

)∈M2(GF (9)) dove α2 = 2;

(2)(

1 11 −1

);

(3)

2 0 10 1 01 0 2

(4)

1 0 0 05 2 0 08 6 3 00 9 7 4

(5)

1 4 1 32 3 5 04 1 0 02 0 0 0

(6)

1 2 5 63 1 7 70 0 2 34 1 2 5

.

Esercizio 6.27. Sia a1 := (1) ∈ M1(F ) e ricorsivamente an :=

(0 1

an−1 0

)per

n > 2. Si calcoli per induzione su n il determinante det(an).

Esercizio 6.28. Calcolare

det

1 2 3 . . . n2 2 3 . . . n3 3 3 . . . n...

. . ....

n n n . . . n

.