angenTten und die erste Ableitung - mathi.uni-heidelberg.dethaeter/surprises/Tangenten.pdf · ben. Anschlieÿend folgt ein einfacher Einstieg in das Thema mit der bereits bekannten

Tangenten und die erste Ableitung

Christin Throm

Ausarbeitung zum Vortrag im ProseminarÜberraschungen und Gegenbeispiele in der reellen Analysis

(Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)

Zusammenfassung:In dieser Ausarbeitung werden die Tangente und die erste Ableitung vorgestellt. Zu Beginnwird ein Rückblick über die Methode von de Fermat zur Bestimmung der Tangenten gege-ben. Anschlieÿend folgt ein einfacher Einstieg in das Thema mit der bereits bekannten De�niti-on der Tangenten, ihren Voraussetzungen, usw. Im Hauptteil wird eine interessante De�nitionnäher verfolgt, welche beispielsweise in dem folgenden Theorem und der Beispiel�gur 8 An-wendung �ndet. Die folgenden Beispiele für spezielle Tangenten beinhalten Überraschungen,wie bei der Betragsfunktion zu erkennen ist. Im Hinblick auf die erste Ableitung wird zu-nächst auf bekannte Eigenschaften, wie beispielsweise die Ableitungsregeln, Extrempunkte,usw. näher eingegangen. Anschlieÿend wird ein Gegenbeispiel zu den Extremwerten gezeigt.Im Speziellen wird abschlieÿend die konstante Funktion und deren Ableitung betrachtet.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 31.1 Historischer Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Hinführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Tangenten und die erste Ableitung 62.1 De�nitionen der Tangenten und der ersten Ableitung . . . . . . . . . . 62.2 Gegenbeispiel und Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Anwendung der De�nition 2.3 und spezielle Tangenten . . . . . . . . . 11

3 Die erste Ableitung 173.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Extremwerte mit Hilfe der ersten Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Resümee 21

Abbildungsverzeichnis

1.1 Kurve mit bestimmter Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Parabel OP mit Tangente in P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Cartesisches Blatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Tangente, Sekante und Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1 Übergang der Sekanten in die Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Veranschaulichung der De�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 x rational, x irrational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 1. Veranschaulichung zum Beweis (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 2. Veranschaulichung zum Beweis (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 1. Veranschaulichung zum Beweis (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 2. Veranschaulichung zum Beweis (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8 Weierstraÿ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9 waagerechte Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.10 Die Wurzelfunktion f(x) =

√x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.11 Wendetangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.12 Die Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.13 symmetrische Annäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.14 symmetrischer Di�erenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.15 Figur 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.16 zwei sich schneidende Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.17 1. mögliche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.18 2. mögliche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.19 angenommene Tangente = Steigungsgerade . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Extremstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

1 Einleitung

1.1 Historischer Hintergrund

Das Zentrum der Analysis bildet die von Leibniz undNewton begründete Di�erential-und Integralrechnung. Leibniz brachte sie zur Behebung des sogenannten Tangenten-problems hervor, welches seit der Antike bestand, Newton hingegen für die Mechanik.Zwar haben sowohl Newton als auch Leibniz die Leitgedanken der Analysis zur sel-ben Zeit gefunden, aber es gab viele weitere Wegbereiter, die Ansätze von besondererBedeutung hervorgebracht haben.Zu ihnen gehörte u. a. Pierre de Fermat (1601�1665), dessen Entdeckungen nachseinem Tod von seinem Sohn publiziert wurden. Der Lösungsansatz bestand in derApproximation der Tangente als Sekante in einem Intervall, welches beliebig klein,jedoch gröÿer 0 war.Allerdings lag das Hindernis darin mit einem solch kleinen Intervall zu rechnen.De Fermat widmete sich diesem Tangentenproblem und schrieb1 1629 dazu:

�Wir benützen die zuvor angegebene Methode (hierbei ist eine Methode zurBestimmung von Maxima und Minima von Kurven gemeint), um die Tan-gente in einem gegebenen Punkt dieser Kurve zu bestimmen.�

Im Folgenden wird näher auf die Ausführungen von De Fermat eingegangen. Im17. Jahrhundert betrachtete man Kurven nicht in vorgegebenen Koordinatensystemen,weswegenDe Fermat sie durch bestimmte Eigenschaften charakterisierte. Als Beispielsei hier aufgeführt, wobei OQ die Länge der Strecke OQ bezeichnet:

f(x) = r√x =

OQ′

OQ=P ′Q′

2

PQ2

Sei Q(a | 0), P (a | b), Q′(x | 0), P ′(x | y) und OQ′ = x, OQ = a, P ′Q′ = y, PQ = b.

Abbildung 1.1: Kurve mit bestimmter Charakteristik

1u. a. Brüstle, G.; Buck, H.: LS 11 - Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium,Klett, Seite 154, Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig 1998.

3

Wendet man nun dies auf die Gleichung

OQ′

OQ=P ′Q′

2

PQ2

an, so erhält man die Gleichungx

a=y2

b2.

Da b > 0 und y > 0 gilt: y = b√a

√x und für r = b√

agilt: y = r

√x.

Eine weitere Überlegung von De Fermat war, dass man eine Parabel OP mit demScheitel O und der Tangente im Punkt P betrachtet.

Abbildung 1.2: Parabel OP mit Tangente in P

Wenn sich der Punkt R auÿerhalb der Parabel be�ndet, gilt

OQ

OS>PQ

2

RS2 .

Aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt auÿerdem

PQ2

RS2 =

QT2

ST2

und es folgt:OQ

OS>QT

2

ST2 .

In der folgenden Überlegung von De Fermat geht es u. a. auch darum wie man eineTangente in dem Punkt P konstruieren kann. Der Punkt P , die Ordinate PQ, derPunkt Q und OQ seien gegeben. Sei OQ = d, QT = a und QS = e, dann ergibt sichfolgende Gleichung

d

d− e>

a2

a2 + e2 − ae⇒ de2 + a2e > 2ade.

Daraufhin formt De Fermat ihn folgendermaÿen um, was man nicht exakt begründenkann: de2 + a2e ≈ 2ade bzw. de + a2 ≈ 2ad. Im Folgenden wird der Term de vernach-lässigt, was sich womöglich darauf zurückführen lässt, dass e als klein angenommen

4

wird. Jedoch lässt er hier den Begri� des Grenzwertes auÿen vor. Zudem schreibt erdas Ergebnis wiederum als Gleichung a = 2d. Seiner Meinung nach hat er somit be-wiesen, dass QT das Doppelte von OQ ist. Will man nun die Tangente in dem PunktP konstruieren, wobei die Punkte P , Q und O gegeben sind, so muss der Punkt O derMittelpunkt von QT sein.

Ein Kritiker dieser Überlegungen von De Fermat war Descartes, dessen Zugangdarin bestand, an einen Graphen einen Kreis anzulegen, welcher zwei Schnittpunktemit der Kurve besitzt oder den Graphen nur berührt. Auf diese Weise gelang es ihmfür bestimmte Funktionen die Steigung der Tangenten zu ermitteln. Er forderte DeFermat auf, an die in Abbildung 1.3 dargestellte Kurve, welche auch als CartesischesBlatt bekannt ist, die Tangente in einem beliebigen Punkt zu �nden.

Abbildung 1.3: Cartesisches Blatt

De Fermat löste mit Hilfe seiner Überlegungen dieses Tangentenproblem und im Jahr1640 das Tangentenproblem für Polynome.

Erst durch Augustin L. Cauchy wurde die Ableitung Anfang des 19. Jahrhundertsals Grenzwert der Sekantensteigung de�niert. Die heute übliche De�nition des Grenz-wertes geht auf Karl Weierstraÿ zurück.

1.2 Hinführung

Wenn man sich mit dem Begri� der Tangenten (aus dem Lateinischen von tangere =berühren) auseinandersetzt, denkt man sofort an eine Gerade, welche eine Kurve nurin einem bestimmten Punkt berührt. In diesem bestimmten Punkt ist die Tangente diebeste lineare Annäherung an den Graphen.Man kann sich dies mit Hilfe eines Kreises veranschaulichen (siehe Abbildung 1.4): DieTangente berührt den Kreis in genau einem Punkt, die Sekante hat mit dem Kreis zweigemeinsame Schnittpunkte und die Passante passiert den Kreis, d. h. sie haben keinegemeinsamen Punkte.

5

Abbildung 1.4: Tangente, Sekante und Passante

2 Tangenten und die erste Ableitung

2.1 De�nitionen der Tangenten und der ersten Ableitung

De�nition 2.1 Di�erenzierbarkeit

Eine Funktion f : I → R sei de�niert auf dem Intervall I. Sie heiÿt di�erenzierbar(ableitbar) in x0, wenn der folgende Grenzwert existiert:

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= f ′(x0)

Dieser wird als Di�erentialquotient oder erste Ableitung von f in x0 bezeichnet. Eineweitere Darstellung des Di�erentialquotienten ist:

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= f ′(x0)

wobei für h > 0 man das Intervall [x0, x0 + h] und für h < 0 das Intervall [x0 + h, x0]betrachtet. Die Funktion f heiÿt ableitbar, wenn sie in jedem Punkt des Intervalls Idi�erenzierbar ist.

Bemerkung 2.2 Geometrische Erläuterung

Der Di�erenzenquotient

f(x)− f(x0)

x− x0

bzw.f(x0 + h)− f(x0)

h

ist die Steigung der Sekanten durch die Punkte P (x | f(x)) und P0(x0 | f(x0)) desGraphen von f . Beim Grenzübergang von x → x0, bzw. h → 0 entsteht im PunktP0(x0 | f(x0)) der Übergang der Sekanten in die Tangente.Mit anderen Worten: Man lässt eine Folge von Punkten Pn, welche sich auf der Funk-tionskurve f be�nden, gegen P0 streben.f ′(x0) bezeichnet somit die Steigung der Tangenten im Punkt P0(x0 | f(x0)) genaudann, wenn f an der Stelle x0 di�erenzierbar ist. Dabei ist die Tangentengleichung inP0 wie folgt de�niert:

T : y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

6

Abbildung 2.1: Übergang der Sekanten in die Tangente

Den Steigungswinkel α der Tangenten erhält man mit Hilfe der Gleichung:

tan(α) = f ′(x0)

Voraussetzungen für Tangenten

(i) Die Tangente im Punkt P0(x0 | f(x0)) muss in diesem Punkt in die gleicheRichtung wie die Funktion f verlaufen. Dies wird durch die Steigung der Funktionin (x0 | f(x0)) ausgedrückt. Die Steigung der Tangenten in P0(x0 | f(x0)) stimmtmit der Steigung von f überein. Mathematisch ausgedrückt:

f(x0) = T (x0); f ′(x0) = T ′(x0)

(ii) Die Tangente zu dem Graphen der Funktion f existiert im Punkt P0(x0 | f(x0))genau dann, wenn f an der Stelle x0 di�erenzierbar ist.Ein Beispiel, für welches es keine Tangente in x0 gibt, sei die Betragsfunktionf(x) = |x| für x0 = 0. Auf diese Funktion wird in dem Kapitel 2.3 nähereingegangen.

De�nition 2.3 Alternative De�nition der Tangente

Sei der Graph der Funktion f in R2 und P0 ein Punkt der Funktion. Eine Gerade T ,welche f in P0 berührt, heiÿt Tangente zu f , wenn für ein gegebenes ε > 0 ein δ > 0existiert, sodass der Winkel θ zwischen PP0 und T kleiner als ε für jeden Punkt Pder Funktion f ist. Dabei wird die Distanz zwischen P0 und P mit δ bezeichnet. Diefolgende Abbildung 2.2 verdeutlicht diese De�nition.

Die De�nition der Tangente (Die Tangente zu dem Graphen der Funktion f existiertim Punkt P0(x0 | f(x0)) genau dann, wenn f an der Stelle x0 di�erenzierbar ist.), wirdintuitiv als �richtig� wahrgenommen. Jedoch zeigt das nachstehende Gegenbeispiel,dass diese De�nition korrigiert werden muss. Diese Relativierung wird in dem darauffolgenden Theorem vorgenommen.

7

Abbildung 2.2: Veranschaulichung der De�nition

2.2 Gegenbeispiel und Konsequenzen

Sei

f(x) =

{ √1− x2 wenn |x| ≤ 1, x rational

−√

1− x2 wenn |x| ≤ 1, x irrational

Die Funktion f ist ein sogenannter �ghost circle�. Sie ist in x = 0 nicht di�erenzierbar,da sie nicht einmal stetig ist. Dies veranschaulicht die folgende Abbildung 2.3.

Abbildung 2.3: x rational, x irrational

Dennoch besitzt sie eine Tangente im Punkt (0 | 1), was nicht mit der ersten De�nitionder Tangenten vereinbar ist.

8

Theorem 2.4

(i) Wenn die Ableitung einer Funktion f in einem Punkt x = x0 existiert, dannexistiert die Tangente zu dem Graphen der Funktion f in P ≡ (x0 | f(x0)).

(ii) Wenn nun die Tangente zu dem Graphen der Funktion f in einem Punkt P ≡(x0 | f(x0)) existiert und f zudem stetig in x = x0 ist, dann existiert die Ableitungder Funktion f in x = x0.

Mit Hilfe der De�nition 2.3 lässt sich nun dieses Theorem beweisen.

Beweis zu (i)

Sei P0 ein Punkt der Funktion f , da f stetig in x = x0. Für alle ε > 0 existiert nun einη > 0, sodass die Geraden mit der Steigung f ′(x0)− η und f ′(x0) + η einen kleinerenWinkel als ε mit der Tangenten T bilden. Dies wird in Abbildung 2.4 veranschaulicht.Da nun f in x = x0 di�erenzierbar ist, existiert für η ein δ > 0, sodass

Abbildung 2.4: 1. Veranschaulichung zum Beweis (i)

∣∣∣∣f(x0 + h)− f(x0)

h

∣∣∣∣ < η,

wenn 0 < |h| < δ. Wie bereits in De�nition 2.3 erwähnt, ist tan(θ) = f ′(x0). Dies lässtsich nun auch auf f ′(x0)− η und f ′(x0) + η übertragen:

tan(θ1) = f ′(x0)− η und tan(θ2) = f ′(x0) + η.

Wenn nun 0 <∣∣P0Ph

∣∣ < δ und 0 < |h| < δ (siehe Abbildung 2.5), dann ist die Steigungvon P0Ph zwischen f ′(x0) + η und f ′(x0)− η.Auf diese Weise entsteht ein Winkel zwischen P0Ph und T , der kleiner ist als ε undsomit ist T die Tangente in dem Punkt P0 zu dem Graphen von f .

9

Abbildung 2.5: 2. Veranschaulichung zum Beweis (i)

Abbildung 2.6: 1. Veranschaulichung zum Beweis (ii)

Beweis zu (ii)

Sei ε > 0 und T die Tangente in P0, sodass ein Winkel α mit der x-Achse entsteht mittan(α) = m. Sei Ph ein Punkt, der nahe bei P0 liegt (siehe Abbildung 2.6).Dann folgt aus der zuvor genannten De�nition 2.3, dass der Winkel θ zwischen P0Ph

und T klein ist, was zur Folge hat, dass tan(θ) klein ist. Wenn nun h klein ist folgtdaraus, dass |f(x0 + h)− f(x0)| klein ist und somit auch

∣∣P0Ph

∣∣ (siehe Abbildung 2.7).Laut Voraussetzung ist f stetig in x = x0 und für |h| < δ ist∣∣P0Ph

∣∣ < η

und es folgt ∣∣∣∣f(x0 + h)− f(x0)

h−m

∣∣∣∣ < ε.

f ist di�erenzierbar in x0 und f ′(x0) = m, da

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

existiert.

10

Abbildung 2.7: 2. Veranschaulichung zum Beweis (ii)

Bemerkung 2.5 Zu einer Funktion f in einem gegebenen Punkt P0(x0 | f(x0)) kannes immer nur maximal eine Tangente geben. Alle weiteren Geraden, welche durch diesenPunkt verlaufen, schneiden den Graphen.

2.3 Anwendung der De�nition 2.3 und spezielle Tangenten

Zunächst ist darauf hinzuweisen, dass nicht für jede Funktion f und an jedem Punkt(x0 | f(x0)) eine Tangente existiert. Beispielsweise ist die Bedingung der Stetigkeitnicht ausreichend, da es stetige Funktionen gibt, die an der Stelle (x0 | f(x0)) keineTangente haben. Auch gibt es stetige Funktionen, die an keiner einzigen Stelle ihresGraphen eine Tangente besitzen.Ein Beispiel hierfür ist die Weierstraÿ-Funktion, welche den pathologischen Funk-tionen zugeordnet wird. Diese Funktion ist in ganz R stetig, aber nicht di�erenzier-bar (siehe Abbildung 2.8). Eine (relativ) anschauliche De�nition der Weierstraÿ-Funktion ist:

f(x) =∞∑

n=0

sin(101nx)

10nfür x ∈ R

Sie wäre di�erenzierbar, wenn ihre Anzahl von Summanden endlich wäre, da durchjeden hinzukommenden Summanden die Funktion verändert wird, wenn auch nur mi-nimal.

Abbildung 2.8: Weierstraÿ-Funktion

11

Die unendliche Zahl von Spitzen derWeierstraÿ-Funktion erinnert an dieKoch'scheSchnee�ockenkurve der fraktalen Geometrie.

Somit ist die notwendige Bedingung für die Existenz der Tangenten die Di�erenzier-barkeit.

Einige spezielle Tangenten sollen im Folgenden näher betrachtet werden:

(i) Die waagerechten Tangenten:Die Funktion f hat in lokalen Extrempunkten P0(x0 | f(x0)) eine Tangente,welche parallel zur x-Achse verläuft und deren Steigung in P0 = 0 ist. Mit die-ser Tangente können nun alle möglichen Hoch- und Tiefpunkte einer Funktionermittelt werden. In Kapitel 3.2 wird näher auf dieses Verfahren eingegangen.

Abbildung 2.9: waagerechte Tangente

(ii) Die senkrechten Tangenten:Senkrechte Tangenten existieren, wenn eine Funktion f an der Stelle x0 ihresDe�nitionsbereiches zwar nicht di�erenzierbar ist, aber der Wert der Ableitungs-funktion für x→ x0 betragsmäÿig gegen ∞ strebt.Zur Veranschaulichung dient die Wurzelfunktion f(x) =

√x (siehe Abbildung

2.10), welche für R+ de�niert ist, aber in x = 0 die Di�erentiation nicht möglichist. In x = 0 be�ndet sich die senkrechte Tangente.

Abbildung 2.10: Die Wurzelfunktion f(x) =√x

12

(iii) Die Wendetangenten:Weitere Tangenten sind die Wendetangenten, welche sich an den Wendepunktender Funktion be�nden. Hierbei ist hervorzuheben, dass die Wendetangenten dieFunktion schneiden, da sich die Krümmung der Funktion in den Wendepunktenändert, beispielsweise von einer Links- in eine Rechtskurve bzw. umgekehrt. Somitberührt diese Tangente die Funktion nicht nur, sondern sie schneidet sie auch,wie es in Abbildung 2.11 dargestellt ist. Dennoch sind die Wendetangenten eineArt von Tangenten, da sie u. a. die Bedingung, dass die Richtung der Tangentenan dem gegebenen Punkt mit der Richtung der Funktion übereinstimmen soll,erfüllen (siehe Voraussetzungen für Tangenten).

Abbildung 2.11: Wendetangente

(iv) Die Halbtangenten:Wenn man nun Intervalle betrachtet, welche abgeschlossen sind, untersucht manin den Randpunkten die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte. Man spricht dement-sprechend von rechts- bzw. linksseitigen Halbtangenten (siehe Abbildung 2.12).Ein Beispiel, für welches es keine Tangente in x0 = 0 gibt, ist die Betragsfunktionf(x) = |x| (siehe Abbildung 2.12).

Abbildung 2.12: Die Betragsfunktion

13

Zwar ist f an der Stelle x = 0 stetig für alle x aus R, aber nicht di�erenzierbar,da der Graph in diesem Punkt einen �Knick� aufweist. Ihre erste Ableitung

f ′(x) =

{−1 für x < 0

1 für x > 0

ist für x 6= 0 stetig. Für x→ 0 hat f ′(x) keinen Grenzwert, somit ist f nicht di�e-renzierbar in x = 0 und die notwendige Bedingung für die Existenz der Tangentenist nicht erfüllt, d. h. f besitzt keine Tangente in x = 0. Allerdings existieren dielinks- und rechtsseitigen Tangenten an der �Knickstelle� x = 0.

Überraschenderweise erhält man mit Hilfe des gra�schen Taschenrechners (GTR)

dy

dx(0) = 0.

Der GTR verwendet dabei den symmetrischen Di�erenzenquotienten, wodurcheine symmetrische Annäherung erfolgt:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x− h)2h

|0 + h| − |0− h|2h

=h− h2h

= 0 für alle h

Zur Veranschaulichung dienen die Abbildungen 2.13 und 2.14, welche die allge-meine Vorgehensweise des GTRs (Abbildung 2.13) und die spezielle Vorgehens-weise des GTRs für die Funktion f(x) = |x| (Abbildung 2.14) verdeutlichen.

Abbildung 2.13: symmetrische Annäherung

Demnach hätte die Funktion f(x) = |x| in x = 0 aufgrund der symmetrischenAnnäherung eine waagerechte Tangente, welche die x-Achse wäre.

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Abbildung 2.14: symmetrischer Di�erenzenquotient

Abbildung 2.15: Figur 8

(v) Im Folgendem wird erläutert, weshalb die Figur 8 (siehe Abbildung 2.15) in demPunkt P0 nach De�nition 2.3 keine Tangente besitzt.

Einige Vorüberlegungen:

Als Beispiel seien hier zwei sich schneidende Geraden aufgeführt (siehe Abbildung2.16), welche im Punkt P0 keine Tangente besitzen.

Erklärung:Man wählt sich einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g oder h und einbeliebiges aber festes ε > 0. Nimmt man nun das δ = P0P und lässt es gegeneinen beliebigen Wert streben, so �ndet man keinen Winkel, der kleiner ε ist. DerWinkel θ bleibt für jedes P gleichgroÿ/unverändert.

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Abbildung 2.16: zwei sich schneidende Geraden

Mit diesem Wissen lässt sich zeigen, dass die Figur 8 in P0 keine Tangente besitzt.

Abbildung 2.17: 1. mögliche Darstellung Abbildung 2.18: 2. mögliche Darstellung

Voraussetzung ist, dass die Steigung in P0 6= 0 ist. Wenn man nun den PunktP , der sich auf der Kurve be�ndet gegen P0 streben lässt, dies entspricht δ → 0,erhält man die Steigungsgerade s, da der entsprechende Grenzwert des Di�eren-zenquotienten existiert (siehe Abbildungen 2.17 und 2.18).Der Winkel zwischen der Steigungsgeraden s und der Wunschtangenten (ange-nommene Tangente) ist also untere Abschätzung für θ. Daher �ndet man kein δ,sodass der Winkel θ kleiner als ε ist.

Wenn man nun die Überlegung verfolgt, dass die angenommene Tangente dieSteigungstangente s sein soll, dann stellt man fest, dass die De�nition 2.3 fürjeden Punkt P der Kurve gelten muss. Somit kann man sich einen Punkt P aufder anderen Kurve wählen (siehe Abbildung 2.19), wodurch ein noch gröÿerer

16

Winkel θ zustande kommt. Auch hier �ndet man wiederum kein δ, sodass derWinkel θ kleiner als ε ist.

Abbildung 2.19: angenommene Tangente = Steigungsgerade

3 Die erste Ableitung

Mit Beginn des 19. Jahrhunderts, welches auch das �Zeitalter der Strenge� genanntwird, gelang es Cauchy die De�nition der Ableitung als Grenzwert der Sekantenstei-gung. Nach den Vorstellungen von Leibniz ist

�die Ableitung der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen(in�nitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultie-renden, ebenfalls in�nitesimalen Änderungen des Funktionswertes.�2

Die Ableitung wird auch als die Linearisierung der Funktion bezeichnet.

3.1 Ableitungsregeln

Wie bereits in Kapitel 2.1 erläutert, erhält man die Ableitung in x0, wenn der Di�e-renzenquotient

f(x)− f(x0)

x− x0

für x → x0+ und für x → x0− einen Grenzwert besitzt und diese denselben Wert an-nehmen. Dieser Grenzwert (f ′(x0)) ist die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0.Man spricht von der rechtsseitigen Ableitung wenn gilt:

limx→x0+

f(x)− f(x0)

x− x0

= f ′(x0)

2http://de.wikipedia.org/wiki/Di�erentialrechnung

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http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung

Entsprechend von der linksseitigen Ableitung wenn gilt:

limx→x0−

f(x)− f(x0)

x− x0

= f ′(x0)

Ein Beispiel für eine nicht überall di�erenzierbare Funktion ist f(x) = |x|. Bei die-ser stimmen der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert in x0 = 0 nicht überein. DerGrenzwert existiert nicht und f(x) ist an der Stelle x0 nicht di�erenzierbar. Allerdingsexistieren die rechts- und linksseitigen Ableitungen (siehe Kapitel 2.3: Die Halbtangen-ten) mit den Werten f ′+(0) = 1 und f ′−(0) = −1 (siehe Abbildung 2.12).

Ist zusätzlich die Ableitung stetig, so heiÿt f stetig di�erenzierbar.

Ableitungsregeln

Mit Hilfe des Di�erenzenquotienten kann man neben der Berechnung der Ableitung f ′

für jede ableitbare Funktion f und jede Stelle x0 auch die Ableitungsregeln beweisen.Bei der Di�erentiation geht man nur in seltenen Fällen auf die De�nition der Ableitungzurück. Man verwendet eher die folgenden Ableitungsregeln (f und g zwei Funktionen,die in x0 ableitbar sind, c ∈ R), welche vorwiegend auf die Arbeiten von LeonhardEuler zurückzuführen sind.

(i)(f + g)(x0) = f ′(x0) + g′(x0), (cf)′(x0) = cf ′(x0)

(ii)(fg)′(x0) = f(x0)g

′(x0) + f ′(x0)g(x0)

(iii)

(f

g)′(x0) =

f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)

g2(x0)

(iv)(g ◦ f)(x) = g(f(x)), (g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))f

′(x0)

Diese gegebenen Ableitungsregeln sind nur ein Auszug aus den existierenden Di�eren-tiationsregeln.

Bemerkung 3.1 Durch die Ableitungen besteht die Möglichkeit noch weitere Aussa-gen über eine Funktion zu tre�en und diese zu analysieren.Einige seien hier erwähnt, wie beispielsweise Hoch-, Tief- und Wendepunkte oder auchSattelpunkte, sowie Konvexität, Monotonie, usw. All dies wird unter dem Begri� Kur-vendiskussion zusammengefasst.In dem folgenden Kapitel wird vor allem auf die Extrempunkte näher eingegangen.

18

3.2 Extremwerte mit Hilfe der ersten Ableitung

Die Di�erentialrechnung erfährt besonders bei der Berechnung der Extremwerte (hierim Speziellen Hoch- und Tiefpunkte) Anwendung (siehe Abbildung 2.20).Im Folgenden wird nur kurz auf die Extremwertbestimmung eingegangen. Man unter-scheidet zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen:

(i) notwendige Bedingung für Extremstelle:

f ′(x0) = 0

(ii) hinreichende Bedingung für Extremstelle:

1. für lokales Maximum:

f ′(x0) = 0 und f ′(x0) hat bei x0 Vorzeichenwechsel von + nach −

2. für lokales Maximum:

f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) < 0

analog dazu lokales Minimum.

Man spricht von absoluten Extremwerten an der Stelle f(x0), wenn{f(x0) ≥ f(x) absolutes Maximum

f(x0) ≤ f(x) absolutes Minimum

Abbildung 3.1: Extremwerte

Die Berechnung der Extremwerte ist dabei die bedeutenste Anwendung der Di�eren-tialrechnung. In dem Schaubild 3.2 sind die verschiedenen Arten von Extremstellenerkennbar.

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Abbildung 3.2: Extremstellen

Satz von Weierstraÿ

Jede stetige Funktion f auf einem Intervall [a, b] besitzt dort ein absolutes Maximumund ein absolutes Minimum.

Abschlieÿend folgt nun ein überraschendes Gegenbeispiel, welches sich auf die Extrem-werte bezieht.Sei

f(x) =

{x4(2 + sin 1

x), wenn x 6= 0

0, wenn x = 0

f besitzt ein absolutes Minimum in x = 0. Die Ableitung von f lautet:

f ′(x) =

{x2(4x(2 + sin 1

x)− cos 1

x), wenn x 6= 0

0, wenn x = 0

f ′ hat in der Umgebung von 0 sowohl positive als auch negative Werte und somit istf nicht monoton weder in dem Intervall (a, 0) noch in (0, b).Somit hat f einen Extremwert in einem Punkt, in welchem die Ableitung keinen Vor-zeichenwechsel besitzt.

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4 Resümee

Im Rückblick auf meine Arbeit habe ich festgestellt, dass das Thema �Tangenten unddie erste Ableitung� durchaus mehr beinhaltet als das, was einem bereits beispielsweiseaus dem Studium und der Schule bekannt ist. Interessant fand ich vor allem, dass fürdie bekannte De�nition der Tangente (Die Tangente zu dem Graphen der Funktion fexistiert im Punkt P0(x0 | f(x0)) genau dann, wenn f an der Stelle x0 di�erenzierbarist.) ein Gegenbeispiel existiert, wodurch man zu einer weiteren De�nition der Tan-genten gelangt. Des Weiteren war für mich die Tatsache überraschend, dass man mitHilfe des graphischen Taschenrechners durchaus eine Tangente an den Graphen vonf(x) = |x| in x = 0 erhält, obwohl hier tatsächlich in diesem Punkt keine existiert.

Zunächst möchte ich festhalten, dass die Tangente und die erste Ableitung sehr wichti-ge und interessante Teilgebiete der Mathematik darstellen, deren Grundzüge bereits inder Schule gelehrt werden. Allerdings befürchte ich, dass solche Überraschungen, wennsie in den Unterricht eingebunden werden, wie z.B. das Gegenbeispiel zur De�nitionder Tangenten, die Schüler eher verunsichern würden, wenn sie sich gerade erst mitdiesem Thema �angefreundet� haben. Jedoch sind gerade solche Überraschungen undGegenbeispiele sicherlich für eine Mathematik AG, die etwas tiefer in die mathemati-schen �Geheimnisse� einsteigen möchte, interessant.Was mich persönlich noch interessieren würde, wäre ob es für die Normale auch Über-raschungen, Gegenbeispiele bzw. unbekannte De�nitionen gibt, möglicherweise auch�Parallelen� zu der Tangente. Für jene, die sich gerne mit dem Besonderem befassen,beispielsweise einer stetigen Kurve, die an keiner Stelle di�erenzierbar ist, kann ich dieKochsche Schnee�ockenkurve empfehlen. Informationen hierüber �ndet man u.a. inWikipedia.

Abschlieÿend möchte ich hervorheben, dass die Mathematik keine �stillstehende� Wis-senschaft ist, sondern dass man durchaus neue, interessante Methoden, Vorgehenswei-sen und Beispiele erfahren kann, die einen überraschen.

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Abbildungsnachweis

• Abb. 0.1: http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/tangenten/tangenten.html

• Abb.1.1: u.a. Brüstle, G.; Buck, H.: LS 11 - Mathematisches Unterrichtswerkfür das Gymnasium, Klett, Seite 154, Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig 1998.



• Abb.1.4: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/5/58/SekTangPass.svg (12.06.2009)


• Abb.2.2:Rajwade, A.R.: Surprises and Counterexamples in Real Function Theo-ry, Hindustan Book Agency, Seite 114, Delhi 2007.

• Abb.2.3: eigene Darstellung angelehnt an: Rajwade, A.R.: Surprises and Coun-terexamples in Real Function Theory, Hindustan Book Agency, Seite 114, Delhi2007.





• Abb.2.8: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/WeierstrassFunction.svg(12.06.2009)

• Abb.2.9: http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/tangenten/tangenten.html(12.06.2009)

• Abb.2.10: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Squareroot(Bangin).png(12.06.2009)

• Abb.2.11: http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/tangenten/tangenten.html(12.06.2009)

• Abb.2.12: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/92/Absx.svg (12.06.2009)

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• Abb.2.13: eigene Darstellung


• Abb.2.15: Rajwade, A.R.: Surprises and Counterexamples in Real FunctionTheory, Hindustan Book Agency, Seite 114, Delhi 2007.





• Abb.2.20: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/2/29/Ableitungsss.svg (12.06.2009)

• Abb.2.21: Merziger, G.; Wirth, T.: Repetitorium der höheren Mathematik,Binomi Verlag, Seite 268, Hannover 1999.

Literatur

[1] Rajwade, A.R.: Surprises and Counterexamples in Real Function Theory, Hin-dustan Book Agency, Seite 113-121, Delhi 2007.

[2] Forster, O.: Analysis 1 - Di�erential- und Integralrechnung einer Veränderli-chen, Vieweg, Seite 149-162, Wiesbaden 2006.

[3] Mangoldt-Knopp, K.: Einführung in die höhere Mathematik, S. Hirzel Verlag,Seite 4-20, Leipzig 1959.

[4] Merziger, G.; Wirth, T.: Repetitorium der höheren Mathematik, Binomi Ver-lag, Seite 260-270, Hannover 1999.

[5] u.a. Brüstle, G.; Buck, H.: LS 11 - Mathematisches Unterrichtswerk für dasGymnasium, Klett, Seite 128, 154-155, Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig 1998.

[6] http://de.wikipedia.org/wiki/Di�erentialrechnung (12.06.2009)

[7] http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/tangenten/tangenten.html(12.06.2009)

[8] http://de.wikipedia.org/wiki/Weierstraÿ-Funktion (12.06.2009)

[9] http://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve (12.06.2009)

[10] http://de.wikipedia.org/wiki/Sekante (12.06.2009)

[11] http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX (12.06.2009)

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Documents

angenTten und die erste Ableitung - mathi.uni-heidelberg.dethaeter/surprises/Tangenten.pdf · ben. Anschlieÿend folgt ein einfacher Einstieg in das Thema mit der bereits bekannten