Angle inscrit – Angle au centre –

Angle tangentiel

DEFINITIONS

Angle inscrit : Angle inscrit : définitiondéfinition

• Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle.

• Ici, l’angle inscrit est l’angle bleu.

Angle au centre : Angle au centre : définitiondéfinition

• Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre de ce cercle.

• Ici, l’angle au centre est l’angle mauve.

Angle tangentiel: Angle tangentiel: définitiondéfinition

• Un angle tangentiel à un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont un côté est tangent au cercle, tandis que l’autre côté est sécant au cercle.

• Ici, l’angle tangentiel est l’angle rose.

Propriétés

Propriété n°1:Propriété n°1:

Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle inscrit est égale à la moitié de

celle de l’angle au centre interceptant le même arc de cercle.

Trois cas sont à envisager:Trois cas sont à envisager:

• 1er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de l’angle inscrit.

• 2ème cas: Le centre O du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit.

• 3ème cas: Le centre O du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.

1er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de l’angle inscrit.

• Hypothèses:

BAC est un angle inscrit;BOC est un angle au centre.

• Démonstration:

AOB est un triangle isocèle.Donc, l’angle A = l’angle

B.

L’angle BOC est un angle extérieur du triangle AOB.

Donc, l’angle O= l’angle A + l’angle B

OUL’angle O = 2 x l’angle A

• Conclusion:

• L’angle A = ½ de l’angle O

• Thèse:

BAC = ½ BOC

• Hypothèses:

BAC est un angle inscrit;

BOC est un angle au centre.

• Démonstration: On trace le diamètre [AD].

On a: - l’angle A1 = ½ de l’angle O1

- l’angle A2 = ½ de l’angleO2

On additionne ces deux égalités membre à membre: A1 + A2 = ½ O1 + ½ O2.

• Conclusion:

L’angle A = ½ de l’angle O

• Thèse:

BAC = ½ BOC

2ème cas: Le centre O du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit.

• Hypothèses:

BAC est un angle inscrit;BOC est un angle au centre.

• Démonstration:

On trace le diamètre [AD].

On a: - L’angle A3 = ½ de l’angle O3- L’angle A2 = ½ de l’angle O2.

On soustrait les deux égalités membre à membre: A3 – A2 = ½ O3 – ½ O2

• Conclusion:

L’angle A = ½ de l’angle O

• Thèse:

BAC = ½ BOC

3ème cas: Le centre O du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.

Propriété n°2:Propriété n°2:

Dans tout cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont

la même amplitude.

• Hypothèses:

L’angle A est un angle inscrit;L’angle B est un angle inscrit;L’angle O est un angle au centre.

• Démonstration:

L’angle A est un angle inscrit et l’angle O est un angle au centre.Donc A = ½ O

L’angle B est un angle inscrit et l’angle O est un angle au centre

Donc B = ½ O

• Conclusion:

L’angle A = l’angle B

• Thèse:

L’angle A = l’angle B

Propriété n°3:Propriété n°3:

Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle tangentiel égale la moitié de celle de l’angle au centre interceptant le même arc de cercle.

• Hypothèses:

AB est une tangente au cercle en A;L’angle A1 est un angle tangentiel;L’angle O est un angle au centre.

• Démonstration:

Le triangle AOC est isocèle.Donc, l’angle A2 = l’angle C

Dans le triangle AOC: O + A2 + C = 180°

Or, A1 + A2 = 90°

On en déduit que:O + A2 + C = 2 . (A1 +

A2)OU O + 2A2 = 2A1 + 2A2OU O = 2A1

• Conclusion:

L’angle A = ½ de l’angle O

• Thèse:

L’angle A1 = ½ de l’angle O