Apostila Avaliacoes Regress o

7/24/2019 Apostila Avaliacoes Regress o

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UNIVERSIDADE COMUNITRIA REGIONAL DE CHAPEC

REA DE CINCIAS EXATAS E AMBIENTAIS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

ENGENHARIA DE AVALIAES

REGRESSO LINEAR

Prof Cesar Augusto Seidler

[email protected]


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Engenharia Econmica e Avaliaes - Regresso Linear Curso de Engenharia Civil 8 Perodo

Prof. Cesar Augusto Seidler

2

4.0 - REGRESSO LENEAR SIMPLES

No perodo de 1809 a 1821 nos trabalhos de astronomia de Gauss teve a origem do modelo

clssico de regresso. Hoje um dos ramos da teoria estatstica utilizada na pesquisa cientfica para

estudar o comportamento de uma varivel (dependente) em relao a outras que so responsveis

pela sua formao (variveis independentes). (Dantas, 1998).

Segundo Silva (1998), a regresso linear simples constitui uma tentativa de estabelecer uma equao

matemtica linear (linha reta) que descreve o relacionamento entre duas variveis.

Ainda, Silva (1998) descreve que a equao linear simples tem como caractersticas o coeficiente

angular da reta de regresso e a cota desta reta em determinado ponto, representado como Y = a

+ bx, onde b o coeficiente angular.

assim denominada por apresentar apenas uma varivel independente, onde a estimativa dos

parmetros da equao de regresso linear feita pelo mtodo dos mnimos quadrados, que consiste

em minimizar a soma dos quadrados dos desvios.

4.1 - O modelo linear

4.1.1 Modelo matemtico

A regresso linear estuda a relao que existe entre uma varivel independente (X) e outra chamada

dependente (Y).

Yi = f (Xi)

Figura 4.1

4.1.2 - Modelo estatstico

Figura 4.2

.

.

.

X

Y

.

.

. .

.

X

Y


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3

A figura mostra que existem erros de mensurao da varivel dependente e a equao fica afeta-

da de um erro:

Yi = f (Xi) + ei (4.1)

4.1.2.1 - O Modelo de regresso linear simples:Yi= + + ei (4.2)

Onde e parmetros da populao

Pressupostos de uma regresso linear:

- Relao linear entre X e Y

- A varivel independente (X) no aleatria

- E(ei) = 0 (mdia do erro nula)

- A varincia(2) dos erros constante chamado de homocedstico- Os erros possuem distribuio normal

- O erro entre observaes distintas no correlacionado

Na Engenharia de Avaliaes trabalha-se com amostras extradas da populao das quais pretende-se

estimar os parmetros da populao.

Yest i= a + bXi (4.3)

Sendo a e bestimadores da regresso, aquele chamado de coeficiente linear e este de coeficiente

angular.

Figura 4.3 Representao grfica da equao de regresso linear

Y

Yest = a + bXi

Dy b = Dy/Dx

Dx

a

0

X


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4

4.1.3 - Mtodo dos mnimos quadrados

Figura 4.4 - erros

A cada valor observado pode ser calculado

um valor estimado( Yest) obtendo-se o erro (ei).

ei = Yi Yest = Yi - (a + bXi) (4.4)

Consiste o mtodo na soma dos quadrados dos desvios.

(4.5)

A funo S tem mnimo quando suas derivadas parciais em relao a a e b forem nulas.

(4.6)

Simplificando e reordenando, temos o seguinte sistema de equaes:

Y=na+bX (4.7)

(XY)=a X +bX2 (4.8)

Resolvendo, temos:

.

.

.

X

Y

( )[ ]2

1 1

2

= =+==

n

i

n

i iii

bXaYeS

( )[ ]

( ) ( )[ ] 02

0)1(2

1

1

=+=

=+=

bXaYXb

S

bXaYa

S


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5

(4.9)

As estatsticas bsicas de regresso so o coeficiente de correlao linear, coeficiente de

determinao e o erro padro da regresso.

Exerccio 4.1:

Avaliar um apartamento com 102,00 m2 na cidade X tomando como base a amostra obtida nas

imobilirias locais.

NUMERO DA AMOSTRA PREO TOTAL (R$) REA TOTAL (m2)

1 60.000,00 55

2 74.000,00 643 76.900,00 60

4 78.102,00 63

5 80.000,00 61

6 84.000,00 65

7 86.732,00 75

8 90.000,00 61

9 100.000,00 72

10 88.000,00 8011 111.446,00 86

12 114.000,00 90

13 130.000,00 103

14 145.054,00 106

15 146.000,00 105

( )

( )

=

=

22

22

2

XXn

YXXYnb

XXn

XYXYXa


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6

SOLUO:

Linearidade

0

20

40

60

80

100

120

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000

reas

Preos

Como se pode ver existe uma linearidade entre as variveis.

Clculo dos coeficientes linear ( a) e angular (b) da reta de regresso:

A obteno dos somatrios so calculados pelo quadro a seguir:

( )

( )

=

=

22

22

2

XXn

YXXYnb

XXn

XYXYXa


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QUADRO DE REGRESSO

Observao Valor Total Y rea Total X X*Y X Y (X-Xmed)2

1 60000 55 3.300.000,00 3.025,00 3.600.000.000,00 457,96

2 74000 64 4.736.000,00 4.096,00 5.476.000.000,00 153,76

3 76900 60 4.614.000,00 3.600,00 5.913.610.000,00 268,96

4 78102 63 4.920.426,00 3.969,00 6.099.922.404,00 179,56

5 80000 61 4.880.000,00 3.721,00 6.400.000.000,00 237,16

6 84000 65 5.460.000,00 4.225,00 7.056.000.000,00 129,96

7 86732 75 6.504.900,00 5.625,00 7.522.439.824,00 1,96

8 90000 61 5.490.000,00 3.721,00 8.100.000.000,00 237,16

9 100000 72 7.200.000,00 5.184,00 10.000.000.000,00 19,36

10 88000 80 7.040.000,00 6.400,00 7.744.000.000,00 12,96

11 112446 86 9.670.356,00 7.396,00 12.644.102.916,00 92,16

12 114000 90 10.260.000,00 8.100,00 12.996.000.000,00 184,96

13 130000 103 13.390.000,00 10.609,00 16.900.000.000,00 707,56

14 145054 106 15.375.724,00 11.236,00 21.040.662.916,00 876,16

15 146000 105 15.330.000,00 11.025,00 21.316.000.000,00 817,96

Soma 1.465.234,00 1.146,00 118.171.406,00 91.932,00 152.808.738.060,00 4.377,60Mdia 97.682,27 76,40


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Engenharia Econmica e Avaliaes - Regresso Linear Curso de Engenharia Civil 8 Pe


Clculo do coeficiente linear da equao linear:

003.1100,146.100,932.9115

00,406.171.11800,146.100,234.465.100,932.912 =

= x

xx

a

Clculo do coeficiente angular:

59,422.100,146.100,932.9115

00,234.465.100,146.100,406.171.118152

=

=

x

xxb

Equao de regresso:

XYest

.59,422.158,003.11 +=

Comentrio: Observa-se que o sinal do coeficiente angular est coerente com realidade do mercado, aumentando a rea aum

Para um apartamento de 102,00m2 o valor estimado ser:

56,100.134102.59,422.158,003.11 =+=estY


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4.1.4 Estatstica da Regresso:

As estatsticas bsicas de regresso so o coeficiente de correlao linear, coeficiente de

determinao e o erro padro da regresso.

4.1.4.1 Coeficiente de correlao linear.

Este mede a quantidade de disperso em torno da equao linear ajustada

Quanto mais prximo de 1 ou -1 melhor o ajuste da reta de regresso. Quando positivo, indica

que a varivel cresce no mesmo sentido.

r=1 r=-1]

r>0 - relao positiva forte r


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10

Podem existir outras formas de relao no linear como tambm uma pequena amostra indicar a no

relao.

Figura 4.6- Relao no linear e amostra insuficiente

Grau de relao Valor do Coeficiente r

Zero Nula

Acima de zero at 0,30 Fraca

Acima de 0,30 at 0,60 Mdia

Acima de 0,60 at 0,90 Forte

Acima de 0,90 at 0,99 Fortssima

1,0 perfeita

Tabela 4.1 - Grau de relao entre X e Y

Pode-se definir que o coeficiente de correlao a relao entre a covariao e a raiz quadrada do

produto das variaes de X e Y.

(4.10)

Xmed=X/n (mdia dos valores de X

Ymed=Y/n ( mdia dos valores de Y

Pode-se tambm escrever a equao de outras formas:

(4.11)

. . .

. . .

. . . .

. . .. . .

. . .

. .

X

Y

. .

. .

. .

. .

X

Y

( )( )

( )[ ] ( )[ ]

=

22

. medmed

medmed

YYXX

YYXXr

( )[ ] ( )[ ]

=

2222 . YYnXXn

YXXYnr


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11

ou

(4.12) Donde:Sx=desvio padro de X

Sy=desvio padro de Y

Duas variveis independentes podem estar fortemente correlacionadas sem expressar uma

relao de causa e efeito, so chamadas de correlaes sem sentido ou esprias expressando apenas

uma relao matemtica. Nestes casos a equao de regresso no pode ser usada para estimar

resultados.

Uma correlao forte entre rea e frente de um terreno geralmente acusa uma relao de causa eefeito que no o caso da varivel topografia.

Exemplo 4.2 - Determine o coeficiente de correlao linear para o exerccio 4.1.

Soluo:

(4.11)

[ ] [ ]9566,0

)00,234.465.1(00,060.738.808.15215)00,146.1(00,932.9115

00,234.465.100,146.100,406.171.11815

22=

=

xxx

xxr

4.1.4.2 - Coeficiente de determinao(r2)

Fornece uma medida de quanto as estimativas baseadas na reta de regresso (Yest) so melhores do

que aquelas baseadas na mdia (Ymed).

Figura 4.7- Disperso em torno da mdia e disperso em torno da reta de regresso

X

Y

. . .Yest

. . .

. . . . d. . .

. . .

X

Y

. . .

. . .. . . . Ymed

. . .

. . .

( )yxSSYXCovr ,=

( )[ ] ( )[ ]

=

2222

. YYnXXn

YXXYnr


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12

O desvio de um ponto em torno da mdia denominado de desvio total e em torno da reta de

regresso chamado de desvio no explicado ou resduo. A diferena entre estes dois denominado

de desvio explicado

Xmed

Figura 4.8 Desvio total, explicado e no explicado

O coeficiente de determinao r2 definido como a relao entre a variao explicada e a variao

total observada na amostra.

(4.13)

O valor de r2 indica qual a porcentagem da variao no valor de Y que est sendo explicada

pela equao de regresso. O complemento (1- r2) indica o percentual da variao de Y no explicado

pela varivel X, ficando atribudo a outras variveis no consideradas na equao e a perturbaes

aleatrias. O coeficiente de determinao varia de 0 a 1.

Com a incluso de mais variveis independentes no modelo o valor de r2 aumenta at o valor de 1,

quando o nmero de variveis for igual ao nmero de observaes. Para evitar estas influncias

definido o coeficiente de determinao ajustado (r2ajust), que ajusta o coeficiente em relao ao

nmero de observaes.

(4.14)

onde: n- nmero de amostras

k- nmero de variveis independentes

Y . Xi; Yi Yest

(variao total) Yi Yest (desvio no explicado)

Yi Ymed

Yest Ymed ( desvio explicado )

Ymed

X

( )

( )

==

2

2

.var

exp.var

medi

medest

YY

YY

totaliao

licadaiaor

( )22 11

11 r

kn

nrajust

=


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13

Exemplo 4.3 - Calcular o coeficiente de determinao e o coeficiente de determinao ajustado para

a equao a equao de regresso obtida no Exemplo 4.1.

Soluo:Clculo do coeficiente de determinao:

(4.13)

Ser usado um quadro para o clculo do valor estimado (Y est), do Y mdio (Ymed) e das somatriasdo quadrado da diferena de Y estimado com o Y mdio e somatria do quadrado de Y observado

com o Y mdio.

( )

( )

==

2

2

2

.var

exp.var

medi

medest

YY

YY

totaliao

licadaiaor


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PLANILHA DE CLCULO

Observao Valor totalY

V.estimadoYest

Residuose= Y-Yest

Diferenarelativa%

(Y-Yest) (Yest- Ymed) (Y- Ymed)

1 60000 67.238,85 -7.238,85 12,1 52.400.926 926.801.715 1.419.953.221 2 74000 80.042,16 -6.042,16 8,2 36.507.639 311.173.534 560.849.754 3 76900 74.351,80 2.548,20 -3,3 6.493.341 544.310.833 431.902.608 4 78102 78.619,57 -517,57 0,7 267.874 363.386.575 383.386.843 5 80000 75.774,39 4.225,61 -5,3 17.855.812 479.955.225 312.662.554 6 84000 81.464,74 2.535,26 -3,0 6.427.519 263.008.016 187.204.421 7 86732 95.690,64 -8.958,64 10,3 80.257.252 3.966.572 119.908.340 8 90000 75.774,39 14.225,61 -15,8 202.368.087 479.955.225 59.017.221 9 100000 91.422,87 8.577,13 -8,6 73.567.120 39.180.018 5.371.888 10 88000 102.803,59 -14.803,59 16,8 219.146.258 26.227.946 93.746.288

11 112446 111.339,13 1.106,87 -1,0 1.225.167 186.509.839 217.967.822 12 114000 117.029,49 -3.029,49 2,7 9.177.784 374.314.886 266.268.421 13 130000 135.523,15 -5.523,15 4,2 30.505.197 1.431.932.530 1.044.435.888 14 145054 139.790,92 5.263,08 -3,6 27.700.012 1.773.138.682 2.244.081.119 15 146000 138.368,33 7.631,67 -5,2 58.242.382 1.655.355.775 2.334.603.354

Soma 1.465.234,00 822.142.370 8.859.217.373 9.681.359.743

Mdia 97.682,27

Substituindo os valores calculados da planilha em (4.13), temos:

9151,0743.359.681.9

373.217.859.82==r


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Poderamos ter calculado o coeficiente de determinao elevando ao quadrado o coeficiente de

correlao:

9151,09566,0

22==

r

Clculo do coeficiente de determinao ajustado:

( 4.14)

4.1.4.3- Erro padro da equao de regresso.

D a medida de preciso das estimativas de regresso. A quantidade de disperso na populao pode

ser estimada a partir da disperso na amostra em relao reta de regresso, segundo a equao:

(4.15)

Onde Se o desvio padro dos resduos.

Exemplo 4.4 Calcular o erro padro da equao de regresso do Exemplo 4.1 .

Soluo:

- Coeficiente de variao.

Mostra a disperso relativa das observaes.

(4.16)

( )

1

2

=

kn

YYs

est

e

med

e

YSCV =

( )22 11

11 r

kn

nrajust

=

( ) 9086,09151,011115

11512

=

=ajustr

( )46,952.7

1115

370.142.822

1

2

=

=

=

kn

YYs

est

e


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16

Obs.: Quanto menor for o coeficiente de variao melhor ser o ajuste da reta de regresso.

Exemplo 4.5 Calcular o coeficiente de variao

4.2 Linearizao

Na maioria das vezes a nossa amostra no possui uma tendncia linear, alguns modelos nolineares podem ser linearizados pela simples transformao das escalas de medio das variveis. Por

exemplo, numa amostra coletada, conforme figura 4.9, o ajustamento de uma reta seria inadequado,

pois s se pode ajustar retas aos pontos dispostos com tendncias linearidade. Seja (P) o preo de

reas urbanizveis e (A) a rea.

Figura 4.9 Ajustamento de reta aos pontos

Obs.: Observa-se uma tendncia de decrscimo dos preos unitrios de forma hiperblica. A soluo

utilizar a transformao inversa Z=1/P nos dados da figura 4.9 . A recproca tambm seria verdadeira

.Fazendo-se a regresso de Z sobre A, obtm-se a equao

Z=bo + b1.A ( 4.17)

Em seguida, retorna-se escala original, substituindo-se Z por 1/P na equao (4.17).

P . .

. . .. . .

. . .. .

. . . .

. . . .. . .

. . .

. . . .

. . .

. . . . .

. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

A

0814,027,682.97

46,952.7==

med

e

Y

SCV


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17

Figura 4.10 Linearizao dos pontos da figura 4.9

Comentrio: O conhecimento do comportamento dos grficos orienta o avaliador em relao

transformao a adotar. Iremos mostrar algumas funes no lineares, bastante usadas, que possam

ser linearizadas atravs de transformaes com seus respectivos grficos:

4.2.1 - Funo exponencial

xbaY .= ( 4.18 )Aplicando logaritmo equao (4.18 ) , obtemos:

bXaY lnlnln += (4.19)Fazendo: lnY= Z ; lna = A ; lnB = B, obtm-se

BXAZ += ( 4.20 ) - Modelo linear

Figura 4.11 Grfico da funo exponencial Fonte: Fonseca

1/P =Z

. .....

. . .. . .

. . . .. . . .

. . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .. A

Y

b>1

a

0


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18

4.2.2 Funo potncia

bXaY .= (4.21)Aplicando logaritmo a ambos os membros da equao, temos:

XbaY ln.lnln += (4.22)

Fazendo, Z= lnY ; A= lna ; T=lnX

Tem-se a equao linearizada:

bTAZ += (4.23)

Figura 4.12 Grfico da Funo Potncia Fonte: Fonseca

4.2.3 Funo logartmica

bay Xee .= (4.24)Por transformao logartmica, temos:

XbaY ln.+= (4.25)Fazendo, lnX = T obtem-se a equao linearizada:

TbaY .+= (4.26)

Y

b>1 b=1

0


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19

Figura 4.13 Funo logartmica

4.2.4 Funo Hiprbole I

1. = XbaY (4.27) ouX

baY = (4.28)

Fazendo, 1/X = T temos:Modelo linear ( transformada recproca):

TbaY .= (4.29)

Figura 4.14- Funo Hiprbole I

Y

a>0 b>0

a

a>0 b


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20

4.2.5 Funo Hiprbole II

bXaY

+=

1 (4.30)

Fazendo , 1/Y = Z, obtemos

Modelo linear ( transformada recproca)

bXaZ += (4.31)

Figura 4.15- Grfico funo hiprbole II

4.2.6 Funo Hiprbole III

bX

aY = (4.32)

Por transformao logartmica:

XbaY ln.lnln = (4.33)

Fazendo: lnY = Z ; lna = A ; lnX = T, obtemos o modelo linear

bTAZ = (4.34)Segundo Dantas (1998) a transformao no um mero exerccio de matemtica, deve-se entender o

que representa a escala proposta. A equao deve realmente ser coerente para explicar o mercado.

Deve-se conhecer as teorias do mesmo. Por exemplo, se a questo inferir a taxa de valorizao

territorial em uma regio e de conhecimento do avaliador que o crescimento segue uma taxa

aproximadamente constante, faz sentido utilizar um modelo exponencial; mas se o avaliador espera

que a taxa seja decrescente no perodo observado, o modelo mais apropriado seria o potencial.

Y

a > 0 b>0

0 X


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21

Figura 4.16 Grfico funo hiprbole III

Exemplo 4.5 Calcule os modelos de regresso , do Exemplo 3.1, com funes no lineares

determine e justifique o melhor modelo.

Soluo:

Y

a 0


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FUNO POTNCIA

Observao Valor Total Y rea Total X lnY=Z lnX=T Z*T Z T1 60000 55 11,0020998 4,00733319 44,09 121,05 16,06

2 74000 64 11,2118204 4,15888308 46,63 125,70 17,303 76900 60 11,2502612 4,09434456 46,06 126,57 16,764 78102 63 11,2657709 4,14313473 46,68 126,92 17,175 80000 61 11,2897819 4,11087386 46,41 127,46 16,906 84000 65 11,3385721 4,17438727 47,33 128,56 17,437 86732 75 11,3705782 4,31748811 49,09 129,29 18,648 90000 61 11,4075649 4,11087386 46,90 130,13 16,909 100000 72 11,5129255 4,27666612 49,24 132,55 18,2910 88000 80 11,3850921 4,38202663 49,89 129,62 19,2011 112446 86 11,6302284 4,4543473 51,81 135,26 19,8412 114000 90 11,6439537 4,49980967 52,40 135,58 20,2513 130000 103 11,7752897 4,63472899 54,58 138,66 21,4814 145054 106 11,8848614 4,66343909 55,42 141,25 21,7515 146000 105 11,8913619 4,65396035 55,34 141,40 21,66

Soma 171,86 64,68 741,85 1.970,01 279,62Mdia - 11,46 4,31

Funo:Y= a.XbModelo linear( transformao logaritmica): lnY= lna + b.lnXFazendo: lnY= Z

lna=AlnX= T

Temos: Z= A + b.T


23/65



A= 6,71980 a=

b= 1,0986

( )

=

22.

..

TTn

ZTTZnb

Observao: O valor estimado para um apartamento de 102,00m de:

Zest= 11,80102

Como lnY = Z, temos:

Yest=eZest= R$133.388,78

Ou

Yest=a.Xb= R$133.388,78

=

22

2

)( TTn

TZTZTA

TZest

.0987,102689,6 +=


24/65



FUNO EXPONENCIAL

Observao Valor Total Y rea Total X lnY=Z Z*X Z X

1 60000 55 11,0020998 605,12 121,05 3.025,002 74000 64 11,2118204 717,56 125,70 4.096,003 76900 60 11,2502612 675,02 126,57 3.600,004 78102 63 11,2657709 709,74 126,92 3.969,005 80000 61 11,2897819 688,68 127,46 3.721,006 84000 65 11,3385721 737,01 128,56 4.225,007 86732 75 11,3705782 852,79 129,29 5.625,008 90000 61 11,4075649 695,86 130,13 3.721,009 100000 72 11,5129255 828,93 132,55 5.184,0010 88000 80 11,3850921 910,81 129,62 6.400,0011 112446 86 11,6302284 1.000,20 135,26 7.396,00

12 114000 90 11,6439537 1.047,96 135,58 8.100,0013 130000 103 11,7752897 1.212,85 138,66 10.609,0014 145054 106 11,8848614 1.259,80 141,25 11.236,0015 146000 105 11,8913619 1.248,59 141,40 11.025,00

Soma 1.146,00 171,86 13.190,91 1.970,01 91.932,00Mdia 76,40 11,46

Funo:Y=a . bx

Modelo linear( transformao logaritmica): lnY= lna + x.lnbFazendo: lnY= Zlna=Alnb=B

Temos: Z= A + B.x


25/65



A= 10,39640 a=

B= 0,0139 b=

( )

=

22.

..

TTn

ZTTZnb

Observao: O valor estimado para um apartamento de 102,00m de:

Zest= 11,81284

Como lnY = Z,temos:

Yest=inv Zest= R$134.974,65

=

22

2

)( XXn

XZXZXA

XZest

.0139,070389,9 +=


26/65



FUNOLOGARITMICA

Observao Valor Total Y rea Total X lnX=T T*Y T1 60000 55 4,00733319 240.439,99 16,062 74000 64 4,15888308 307.757,35 17,303 76900 60 4,09434456 314.855,10 16,764 78102 63 4,14313473 323.587,11 17,175 80000 61 4,11087386 328.869,91 16,906 84000 65 4,17438727 350.648,53 17,437 86732 75 4,31748811 374.464,38 18,648 90000 61 4,11087386 369.978,65 16,909 100000 72 4,27666612 427.666,61 18,2910 88000 80 4,38202663 385.618,34 19,2011 112446 86 4,4543473 500.873,54 19,8412 114000 90 4,49980967 512.978,30 20,2513 130000 103 4,63472899 602.514,77 21,48

14 145054 106 4,66343909 676.450,49 21,7515 146000 105 4,65396035 679.478,21 21,66

Soma 1.465.234,00 64,68 6.396.181,28 279,62Mdia 97.682,27 4,31

Funo:ey=ea. XbModelo linear( transformao logaritmica): ln(ey)= ln(ea)+ b.lnxFazendo: lnX=TTemos: y=a+b.T

=n

b

a= -383159,07

b= 111.508,4097Observao: O valor estimado para um apartamento de 102,00m de: Yest = R$132.564,29

=

22

2

)( TTn

TYTYTa


27/65



FUNO HIPERBOLE-1

Observao Valor Total Y rea Total X 1/X=T T*Y T 1 60000 55 0,018182 1.090,91 0,000331 2 74000 64 0,015625 1.156,25 0,000244 3 76900 60 0,016667 1.281,67 0,000278 4 78102 63 0,015873 1.239,71 0,000252 5 80000 61 0,016393 1.311,48 0,000269 6 84000 65 0,015385 1.292,31 0,000237 7 86732 75 0,013333 1.156,43 0,000178 8 90000 61 0,016393 1.475,41 0,000269 9 100000 72 0,013889 1.388,89 0,000193 10 88000 80 0,012500 1.100,00 0,000156 11 112446 86 0,011628 1.307,51 0,000135 12 114000 90 0,011111 1.266,67 0,000123 13 130000 103 0,009709 1.262,14 0,000094

14 145054 106 0,009434 1.368,43 0,000089 15 146000 105 0,009524 1.390,48 0,000091

Soma 1.465.234,00 0,21 19.088,27 0,002938 Mdia 97.682,27 0,01

Funo:Y=a+b/XModelo linear( transformao logaritmica):Fazendo: 1/X=TTemos: y=a+b.T

( )

=

22.

..

TTn

ZTTZnb

a= 213009,88b= -8412107,94

Observao: O valor estimado para um apartamento de 102,00m de: Yest=213009,88 - 8412107,94*1/

=22

2

)( TTnTYTYTa


28/65

4.3 - Teste de Hiptese: uma regra de deciso para aceitar ou rejeitar uma hiptese baseada na

amostra. Designa-se por H0a hiptese nula e por H1a hiptese no nula.Dois tipos de erros podem ser cometidos num teste de hipteses:

Erro Tipo I: rejeitar H0quando ela verdadeira

Erro Tipo II : Aceitar H0quando ela falsa.

Para que exista regresso de Y sobre X necessrio que o coeficiente angular da reta de regres-so (b) seja diferente de zero caso contrrio no significativo.

A significncia do coeficiente da reta de regresso pode ser testada comparando-o com seu desviopadro, da seguinte forma:

b= coeficiente angular(4.34)

Sb= desvio padro de b

Devemos ter: tobs> ttab, ento rejeita-se a hiptese b=0 ao nvel de significncia testado concluin-

do-se que a varivel X importante na formao do valor de Y.

A NB 14653-2:2004 determina que os testes de hiptese para os coeficientes da reta de regressodevem ser feitos ao nvel de significncia () de no mximo:Para grau III: 10% (somatrio das duas caudas)Para grau II:20% idemPara grau I: 30% idem

(4.35)

EXEMPLO: Efetuar o teste de hiptese para o coeficiente angular da equao de regresso doexerccio anterior.Dados: n= 15

k= 1b= 1.422,59

Soluo: t = b/Sb Sb= 120,19 tobservado= 11,84

Da Tabela de Student com Nvel de confiana 90% ou t0,95= 1,771, como tobs>ttaba hiptese nuladeve ser rejeitada donde se conclui que a varivel X (rea) importante na formao do valor deY (preo total).

bs

bt =

=

n

XX

kn

YY

S

est

b2

2

2

)(

1

)(


29/65



29

4.4 - ANLISE DA VARINCIA OU TESTE DA SIGNIFICNCIA DO MODELO DE REGRESSO

A significncia da regresso pode ser testada pela razo Fcentre a varincia explicada com a varincia

no explicada ( ou residual). Demonstra-se que Fc , sob hiptese Ho, tem distribuio de Snedecor com

1 grau de liberdade no numerador e (n-K-1) no denominador. Esta distribuio foi tabelada por Fisher.Estes pontos crticos esto tabelados para os nveis de 5% e 1%, onde o nmero de graus de liberdade

do numerador indica a coluna e o nmero de graus de liberdade do denominador indica a linha onde se

localiza o ponto crtico correspondente.

Pela NBR14.653-2:2004 podem ser examinados ao nvel de significncia de 1% ( para classificar a

avaliao no grau III), 5% (grau II) e 10% (grau I).

A anlise feita utilizando-se a distribuio de Snedecor, que representa a distribuio amostral do

quociente entre a varincia de duas amostras independentes.

Fonte devariao

Soma dosquadrados

Graus deliberdade

Varincia Funo F de Snedecor

Explicada (Yest-Ymed)2 k (Yest-Ymed)

2/k

No explicada (Y-Yest)2 n-k-1

(Yt-Yest)2/n-k-

1

Total (Y-Ymed)2 n-1

Quadro 4.1 Significncia do modelo.

Regra de deciso:Para rejeitar a hiptese nula de no haver regresso ao nvel de significncia

adotado (1%, grau III;5%, grau II e 10%, grau I), necessrio que Fcal > Ftab.

O teste unilateral e mostrado pela figura 4.18 abaixo:

Fc

Aceitao de Ho Rejeio de Ho

1

)(

)(

2

2

=

kn

YY

k

YY

F

est

medest

obs


30/65



30

Figura 4.16 Distribuio de Snedecor

Exerccio:Verificar o teste de significncia do modelo de regresso do exerccio anterior

Soluo:

Fonte devariao

Soma dosquadrados

Graus deliberdade

Varincia Funo F de Snedecor

Explicada 8.859.217.373 1 8.859.217.373No explicada 822.142.370 13 63.241.721

Total 9.681.359.743 14

Fobs= 140,085

Comentrio:Para =1%,1 grau de liberdade no numerador e 13 graus de lib. no denominador

tem-se Ftab= 9,07


31/65



31

Quanto maior o nmero da amostra (n) e quanto mais dispersa for a varivel X, menor ser o erropadro e consequentemente a amplitude dos intervalos de confiana.A norma NBR 14653-2:2004 estipula uma amplitude do intervalo de confiana de 80% em torno dovalor central da estimativa, que corresponde ao nvel de significncia igual a 20%().

O grau de preciso da avaliao est associado amplitude do intervalo de confiana ( de 80%,em torno do valor central da estimativa).

GrauDescrio

III II IAmplitude do intervalo de confiana de

80% em torno do valor central daestimativa

50%

Tabela 4.2 Grau de preciso da estimativa de valor. Fonte: NBR 14653-2

Deve ser analisado de forma desassociada do intervalo de confiana e representa o intervalo noentorno do estimador pontual adotado na avaliao, corresponde semi-amplitude de 15% em tor-no da estimativa pontual adotada. Caso no seja adotada a estimativa pontual, o engenheiro deavaliaes deve justificar sua escolha.

Exerccio: Calcular o intervalo de confiana para a mdia do imvel avaliado no exerccio anterior edetermine o grau de preciso atingido na estimativa do valor.a)Dados: n= 15 (Nmero de amostras)

k= 1(Nmero devariveis)

t0,10;13= 1,35 (Valor crtico da tabela de Student)X0= 102 (rea do apartamento)

Xmed = 76,40

(X-Xmed)2= 4.377,60

Yest= 134.974,65 (Equao Exponencial) Obs.: Eq.c/ menor erro

Soluo:Y= 134.974,65 + / - 4.993,88

Limite inferior: Y= 129.980,77Limite superior Y= 139.968,53

Comentrio: Nota-se que quanto mais X se afastar da mdia a amplitude aumenta, conforme pode-se

verificar pela equao 4.31 e pela Figura 4.23.


32/65



32

Figura 4.17 Intervalo de confiana para Y

b) grau de preciso obtido:

A NBR 14653-2 em seu item 9.5.2 apresenta os critrios para a determinao do grau de preciso da

avaliao, conforme tabela 4.3 abaixo.

Soluo:

%39,70739,065,974.134

76,987.9... ====

Estimativa

CIAmplitudeprecisoGrau

Comentrio: Como 7,39% < 30% o grau de preciso obtido Grau III

Y

Yest

Yest max

Yest min

Xmed X


33/65



33

4.6 - EXTRAPOLAO DE VALORES

GrauItem Descrio

III II I

5

Ex

tra

p

o

la

o

Noadmitida

Admitida apenas parauma varivel, desde

que:a)as medidas dascaracteristicas do

imvel avaliando nosejam superiores a

100% do limite amostralsuperior, nem inferiores

metade do limiteamostral inferior.b) ovalor estimado noultrapasse 10% do

valor calculado no limiteda fronteira amostral,para a referida varivel.

Admitida, desde que:a)as medidas das

caracteristicas do imvelavaliando no sejamsuperiores a 100% do

limite amostral superior,nem inferiores metade

do limite amostralinferior.

b) o valor estimado noultrapasse 10% do valorcalculado no limite da

fronteira amostral, paraas referidas variveis,simultaneamente.

Figura 4.18- Extrapolao

V.U.

Distncia

X extrapoladoXmaxXmin

Y extrapolado

Yreal

. .. . .

. .

. .


34/65



34

4.7- ANLISE DA NORMALIDADE:

Y Yest erroerro

padroMduloE.P.orden. Frequncia

Distrib.Normal

60000,00 70.274,90-

10274,90 1,3641 0,0341

74.000,00 79.630,28 -5630,28 0,7475 0,0571

76.900,00 75.327,70 1572,30 0,2087 0,2087

78.102,00 78.532,13 -430,13 0,0571 0,3146

80.000,00 76.381,04 3618,96 0,4805 0,4323

84.000,00 80.743,79 3256,21 0,4323 0,4805

86.732,00 92.772,25 -6040,25 0,8019 0,5792

90.000,00 76.381,04 13618,96 1,8081 0,7015

100.000,00 88.986,76 11013,24 1,4622 0,8019

88.000,00 99.442,62-

11442,62 1,5192 0,7475

112.446,00 108.083,13 4362,87 0,5792 0,9110 73% 1 DP=68%

114.000,00 114.256,65 -256,65 0,0341 1,3641

130.000,00 136.862,07 -6862,07 0,9110 1,4622

145.054,00 142.684,17 2369,83 0,3146 1,5192 93% 1,64 DP=90%

146.000,00 140.716,46 5283,54 0,7015 1,8081 100% 1,96 DP=95%

Comentrio: Os resduos tem uma distribuio aproximadamente normal.

Valor estimado Xresduos


35/65



35

4.8 - AUTOCORRELAO

Os erros devem ser independentes sob a condio de normalidade.

O conceito de independncia dos resduos est ligado independncia dos dados amostrais.A

situao ideal aquela onde cada transao se realiza independentemente da outra, onde o preo e

condies de uma no interfira na outra. (Dantas, 1998)A existncia de auto-correlao pode ser calculada com o auxilio da razo de Von Neumann:

( )

=

=

=n

i

i

n

i

ii

e

ee

d

1

2

2

2

1

(4.36)

Onde: ei o i-simo resduo do modelo, ordenado crescentemente em relao aos valores ajustados,

considerando-se uma amostra de tamanho n.

A hiptese a ser testada :

Ho: r=0 (no h auto-correlao)

H1: r0 (apresenta auto-correlao)

Para ngrande, demonstra-se que d=2(1-r), onde r o coeficiente de correlao entre e(i) e

e(i-1) .

Quando r=-1 os resduos e(i) e e(i-1) so perfeitamente correlacionados negativamente e d=4. Se r=1

tem-se auto-correlao positiva perfeita e d=0.Quando no existe auto-correlao r=0e d=2.

A estatstica d foi tabelada por Durbin-Watson para nveis de significncia de 5%, 2,5% e 1%,

considerando ajustamentos de modelos com 15 a 100 observaes, com at seis variveisindependentes, estabelecendo limites crticos dLe dU. Entre as regies (dL du) e [(4-dU) (4-dL)] o

teste inconclusivo.

Segundo Dantas (1998) aput Kmenta (1978), pode-se demonstrar com facilidade que, quando as

perturbaes so auto-regressivas os estimadores de mnimos quadrados ainda so no-tendenciosos e

consistentes, porm no so mais eficientes, nem mesmo assintoticamente.


36/65



36

Figura 4.19 Representao grfica do teste de Durbin-Watson

Exemplo 4.6 Testar a hiptese se existe auto-correlao no modelo do Exemplo 4.1.

Soluo:

Comentrio: como os dados foram coletados aleatoriamente sem respeitar qualquer ordenamento, seja

temporal ou outro critrio, faremos a verificao para efeitos didticos.

Abaixo quadro de clculo para obteno da somatria dos quadrados dos resduos:

Quadro de clculo para obteno da estatstica de Von Neumann:

Obsresiduos

(e) (ei-ei-1)^2 ei21 -7.673,77 58.886.731,762 -5.933,80 3027479,44 35.210.026,543 2.437,65 70081227,47 5.942.134,65

4 -460,69 8400376,88 212.236,165 4.173,07 21471715,21 17.414.490,366 2.692,97 2190692,68 7.252.078,727 -8.417,58 123444215,74 70.855.600,288 14.173,07 510337202,01 200.875.835,589 9.023,51 26517910,75 81.423.783,9410 -14.141,12 536600036,48 199.971.166,1711 1.858,13 255975927,96 3.452.652,9512 -2.251,69 16890651,12 5.070.117,5813 -4.826,21 6628143,00 23.292.304,6214 5.907,27 115207693,97 34.895.892,4415 8.294,80 5700296,63 68.803.772,31

Soma 1702473569,33 754672092,30

Regio no conclusiva

f(d)

Regio no

auto-correlao

dL dU (4-dU) (4-dL) d

Regio auto-cor- Regio auto-correlao

Relao positiva negativa


37/65



37

Frmula da razo de Von Neumann:

( )25,2

30,092.672.75433,569.473.702.1

1

2

2

2

1==

=

=

=

n

i

i

n

i ii

e

ee

d

Determinao das regies:

Pela tabela de Durbin-Watson, ao nvel de 1% para n=15 dados, com uma varivel (K=1), temos:

du= 1,07

dL = 0,81

Concluso: Como 2,25 est entre 1,07 e 2,93 pode-se concluir que no existe auto-correlao nos

resduos ao nvel de significncia de 1%.

EXERCCIO PROPOSTO( Dantas, 1998):

1- Para a avaliao de uma gleba, coletaram-se cinco dados relativos s distncias ao centro urbano e os

respectivos preos unitrios, conforme quadro a seguir:

DADOS DISTNCIA (KM) PREO UNIT (R$/M2)

1 0 3

2 1 2

3 1 1

4 2 1

5 1 3

dL du 4-dU 4-dL

0,81 1,07 2,93 3,19


38/65



38

Com base nos dados coletados, pede-se:

1- Verificar graficamente o comportamento do preo unitrio com a distncia ao centro urbano.

Interpretar a figura, traar a reta de regresso e encontrar a sua equao.

2- Estimar os parmetros do modelo de regresso pelo mtodo dos mnimos quadrados.

3- A equao do modelo com a sua devida interpretao.4- Os coeficientes de correlao e determinao, com as devidas interpretaes.

5- Calcular o desvio- padro do modelo

6- Construir a tabela de ANOVA ( Anlise da varincia do modelo)

7- Testar a significncia do modelo ao nvel de 5% e interpretar o resultado

8- Testar a significncia do parmetro correspondente varivel distncia, ao nvel de 5% e interpretar o

resultado.

9- Encontrar um intervalo de confiana de 80% em torno de b1

12- Analisar o grfico dos resduos padronizados versus valores ajustados11- Testar a hiptese de no auto-regresso ao nvel de 5%.

12- Testar a normalidade dos resduos

13- Estimar o valor unitrio mdio para uma gleba que est a 1,5Km do centro urbano

14- Estimar o intervalo de confiana ao nvel de 80% em torno do valor unitrio mdio estimado e

interpretar o resultado.


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39

5.0 - REGRESSO LINEAR MLTIPLA

O modelo de regresso mltipla tem os mesmos pressupostos que o modelo linear simples com o

objetivo de obter avaliaes no tendenciosas, eficientes e consistentes deve atender aos pressupostos

bsicos.

5.1-Pressupostos bsicos:

a)- Para evitar a micro-numerosidade, o nmero mnimo de dados efetivamente utilizados (n) no modelo

deve obedecer aos seguintes critrios com respeito ao nmero de variveis independentes (k):

n> ou = 3(k+1)

ni > ou =5, at duas variveis dicotmicas ou trs cdigos alocados para a mesma caracterstica.

ni > ou=3, para 3 ou mais variveis dicotmicas ou quatro ou mais cdigos alocados para a mesma

caracterstica.Onde ni o nmero de dados de mesma caracterstica, no caso de utilizao de variveis dicotmicas ou

de cdigos alocados,ou nmero de valores observados distintos para cada uma das variveis

quantitativas.

b) Os erros so variveis aleatrias com varincia constante, ou seja, homocedsticos.

c) Os erros so variveis aleatrias com distribuio normal.

d)Os erros so no autocorrelacionados, isto , so independentes sob a condio de normalidade.

e) No devem existir erros de especificao no modelo, isto , todas as variveis importantes devem

estar incorporadas- inclusive as decorrentes de interao- e nenhuma varivel irrelevante deve estarpresente no modelo.

f) Em caso de correlao linear elevada entre quaisquer subconjuntos de variveis independentes, isto ,

multicolinearidade, deve-se examinar a coerncia das caractersticas do imvel avaliando com a estrutura

de multicolineaeidade inferida, vedada a utilizao do modelo em caso de incoerncia.

g) No deve existir correlao entre o erro aleatrio e as variveis independentes do do modelo.)

possveis pontos influenciantes, ou aglomerados deles, devem ser investigados e sua retirada fica

condicionada apresentao de justificativas.

5.2 - Verificao dos pressupostos do modelo:

5.2.1 - Linearidade:

A suposio de um relacionamento linear entre a varivel dependente e variveis independentes o

ponto de partida em um estudo de anlise de regresso. Todavia, estas relaes podem ser no lineares

ou podem assumir uma combinao de duas ou mais formas e a alternativa utilizar as relaes no

lineares, desde que linearizveis por transformao conforme visto na regresso linear simples. Segundo

a norma: as transformaes para linearizar o modelo devem, tanto quanto possvel, refletir o

comportamento do mercado, com preferncia pelas transformaes mais simples de variveis, que

resultem em modelo satisfatrio.

5.2.2- Normalidade:


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40

A sua violao acarreta problemas nos testes de hipteses e na construo de intervalos de confiana,

pois suas propriedades so calcadas na suposio de que os resduos tem distribuio normal. A

verificao da normalidade, implica em examinar se o histograma formado pelos resduos adere

razoavelmente a uma distribuio normal.

Para a verificao da hiptese, divide-se cada resduo pelo desvio padro e compara-se a percentagemdesses resduos com os intervalos a seguir:

T a b e l a d e G a u s s

Z= nmero de desvios padro rea sob a curva entre z z

-1 - 1 68,00%

- 1,64 - 1,64 90,00%- 1,96 - 1,96 95,00%

Figura 5.1 Curva de Gauss indicando 1,0 desvio-padro

f(z)

68%

16% 16%

- 1 +1 Z


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41

Figura 5.2 Curva de Gauss indicando 1,64 desvios-padro

Figura 5.3 Curva de Gauss indicando 1,96 desvios-padro

f(z)

95%

2,5% 2,5%

- 1,96 +1,96 Z

f(z)

90%

5% 5%

- 1,64 +1,64 Z


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42

EXERCICIOS PROPOSTOS:

1- Um engenheiro de avaliaes coletou e tabulou os preos por metro quadrado de um determinado

Bairro de Chapec obtendo um valor mdio de R$ 150,00/m2 com um desvio padro de R$22,50/m2

para tal populao. Admitindo-se comportamento normal da distribuio dos valores, pede-se calcular:

a) A probabilidade de um terreno selecionado aleatoriamente ser inferior a R$ 160,00/m2.b) - A probabilidade de um terreno selecionado aleatoriamente ser superior a R$ 160,00/m2

c) - A probabilidade de um terreno selecionado aleatoriamente ser inferior a R$ 120,00/m2

d) - A probabilidade de um terreno selecionado aleatoriamente ser superior a R$ 120,00/m2

e) - A probabilidade de um terreno selecionado aleatoriamente entre os valores de R$ 125,00/m2 e R$

140,00/m2

f) O valor limite para que um terreno selecionado aleatoriamente tenha 80% de probabilidade de ter

preo inferior.

g)- O intervalo de preos eqidistantes da mdia, que correspondem probabilidade de 80% de umterreno selecionado aleatoriamente, tenha sido negociado por preo dentro deste intervalo.

Comentrio: A padronizao de uma varivel X feita dividindo-se o seu desvio em relao a mdia,

pelo desvio-padro.

XXz

=

Onde: X = varivel

amostradamdiaX ..=

amostradapadrodesvio ..=

Z = desvio padronizado ( tabelado)


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43

5.2.3 - -Homocedasticidade:

A hiptese de varincia constante, chamada homocedasticidade do modelo em contraposio varincia

varivel (heterocedasticidade) fundamental, pois toda teoria das regresses est baseada nessa

condio. A constatao feita pela plotagem dos resduos versus valores ajustados pela regresso, pela

anlise grfica, se os pontos apresentarem uma tendncia definida indica que a varincia no constante.

5.2.4 - - Autocorrelao:

O modelo clssico de regresso linear supe que o termo de perturbao (erro) de uma observao no

seja influenciado pelo de outra observao. A possibilidade de auto-correlao deve ser levado em conta

quando o estudo envolve variveis temporais ou dados sequenciais. A existncia de autocorrelao entre

os resduos verificada atravs do teste de Durbin-Watson, usando a estatstica que foi originalmente

chamada de razo de von Neumann

com d~2(1-r)

Onde r coeficiente de correlao entre ei e ei-1

Se r=-1 os resduos so correlacionados negativamente e d=4. Se r=+1, os resduos sero

correlacionados positivamente e d=0. Se r=0 no h autocorrelao e d=2.A hiptese a ser testada :

H0 r=0 ( no h autocorrelao)

H1 r#0 ( h autocorrelao)

Calcula-se a estatstica de depois compara-se com os pontos crticos dLe du , tabelados por Durbin-

Watson.

Na tabela abaixo esto mostrados os critrios do teste de autocorrelao:

Valor de d Tem-se

du< d < 4 - du No h outo-correlaoD -< dL Auto-correlao positiva

D > 4 - dL Auto-correlao negativadL< d < du ou 4 - du < d < 4 - dL Teste inconclusivo

Valores de d prximos de zero ou de 4 conduzem em aceitar a hiptese alternativa, de que no existecorrelao. Existe ainda um conjunto de valores para os quais no pode-se aceitar nem rejeitar H0.Nos casos em que existe auto-regresso, os estimadores de mnimo quadrado dos parmetros so no-tendenciosos e consistentes, porm no so eficientes, ou seja, no apresentam varincia mnima. Istoconduz a testes e intervalos de confiana incorretos. Nos casos de autocorrelao positiva, os errospadres sero subestimados, o que leva a uma superestimao de estatstica t .Quando a autocorrelaofor negativa, os erros-padres sero superestimados e as estatsticas t subestimadas. Assim, a auto-correlao positiva mais prejudicial, porque corre-se o risco de rejeitar-se a hiptese nula de ausncia

de efeito, quando ela deveria ser aceita.

=

=

=n

i

i

n

i

ii

e

ee

d

1

2

2

2

1)(


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44

5.2.5 - - Anlise da Varincia (ANOVA):A anlise da varincia para um modelo de regresso mltipla feita do mesmo modo que da

regresso simples. A hiptese nula neste caso, considera que nenhuma varivel usada na construo domodelo importante para explicar a variabilidade dos preos observados. A hiptese alternativaconsidera que pelo menos umas das variveis escolhidas contribui de maneira significativa para avariao dos preos na amostra.

5.2.6 - - Determinao do intervalo de confiana do modelo:

(5.1)

O desvio padro de Yest dado pela equao:

(5.2)

Onde:(5.3) desvio padro dos resduos ou Erro Padro

i,j = 1,....,k ; l < j

)()( )1;2/()1;2/( estknestestknest YstYYYstY +

++=k

ji

ljmedjjmedljbjmedjjl

eest bbXXXXsXXn

ssYs

,

22

),cov())((2)()(

1

)( 2

=

kn

YYs

est

e


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45

EXERCICIO 5.1

Avaliar um apartamento com 132 m2 com 01 vaga de garagem, 02 quartos e um apartamento com133m2 com 01 garagem e 3 quartos tendo por base a amostra abaixo :

Preos de Apartamentos

Dados Valor T. rea T. N GarDep.Empr N Elv N Suit N Q

1 85.000,00 160,00 1 1 1 1 32 80.000,00 146,00 1 0 1 1 33 86.000,00 160,00 1 1 1 1 34 81.000,00 146,00 1 0 1 1 35 82.000,00 146,00 1 0 1 1 36 85.000,00 161,00 1 0 1 1 37 136.000,00 307,00 2 1 1 1 38 125.000,00 285,00 2 0 1 1 39 97.000,00 136,00 1 0 1 1 3

10 88.000,00 124,00 1 0 1 1 311 92.000,00 126,00 1 0 1 1 312 82.000,00 119,00 1 0 1 0 313 86.000,00 119,00 1 0 1 0 314 63.308,88 110,22 1 0 1 1 215 60.300,00 110,60 1 0 1 1 216 59.750,00 106,02 1 0 1 0 217 60.849,70 106,02 1 0 1 0 218 64.520,00 106,00 0 0 1 1 219 66.340,00 110,22 1 0 1 1 220 62.500,00 106,00 1 0 1 0 221 66.470,00 110,56 1 0 1 1 2

22 62.590,00 103,23 1 0 1 0 123 99.400,00 173,00 1 1 1 1 324 88.100,00 155,00 1 0 1 1 325 111.000,00 173,00 1 1 1 1 326 99.100,00 155,00 1 0 1 1 327 45.000,00 75,00 1 0 1 0 128 65.000,00 108,00 1 0 1 1 229 74.000,00 145,00 1 1 0 1 230 78.772,00 133,00 1 0 1 1 331 40.000,00 112,00 1 0 1 0 132 32.000,00 96,02 0 0 0 0 333 55.000,00 138,00 1 0 0 1 2

34 74.000,00 114,85 1 0 0 1 235 27.500,00 60,04 0 0 0 0 236 80.000,00 185,00 0 0 2 1 337 25.300,00 82,69 1 0 0 0 238 58.320,00 94,00 1 0 1 0 239 57.120,00 89,00 1 0 1 0 240 75.280,00 113,00 1 0 1 1 341 106.040,00 237,00 1 0 1 1 342 81.280,00 154,00 1 0 1 0 243 78.680,00 154,00 1 0 0 0 244 91.000,00 213,00 1 0 1 0 245 75.750,00 113,00 1 0 1 1 346 57.800,00 89,00 1 0 1 0 247 93.770,00 146,00 1 1 1 1 348 102.300,00 160,00 1 1 1 1 3


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46

Sero utilizadas para avaliar o apartamento as variveis: rea, quartos e nmero de vagas de garagem.

Dados Valor T.reaT. N Gar N Q

1 85.000,00 160,00 1 32 80.000,00 146,00 1 3

3 86.000,00 160,00 1 34 81.000,00 146,00 1 35 82.000,00 146,00 1 36 85.000,00 161,00 1 37 136.000,00 307,00 2 38 125.000,00 285,00 2 39 97.000,00 136,00 1 3

10 88.000,00 124,00 1 311 92.000,00 126,00 1 312 82.000,00 119,00 1 313 86.000,00 119,00 1 314 63.308,88 110,22 1 215 60.300,00 110,60 1 216 59.750,00 106,02 1 217 60.849,70 106,02 1 218 64.520,00 106,00 0 219 66.340,00 110,22 1 220 62.500,00 106,00 1 221 66.470,00 110,56 1 222 62.590,00 103,23 1 123 99.400,00 173,00 1 324 88.100,00 155,00 1 325 111.000,00 173,00 1 3

26 99.100,00 155,00 1 327 45.000,00 75,00 1 128 65.000,00 108,00 1 229 74.000,00 145,00 1 230 78.772,00 133,00 1 331 40.000,00 112,00 1 132 32.000,00 96,02 0 333 55.000,00 138,00 1 234 74.000,00 114,85 1 235 27.500,00 60,04 0 236 80.000,00 185,00 0 337 25.300,00 82,69 1 2

38 58.320,00 94,00 1 239 57.120,00 89,00 1 240 75.280,00 113,00 1 341 106.040,00 237,00 1 342 81.280,00 154,00 1 243 78.680,00 154,00 1 244 91.000,00 213,00 1 245 75.750,00 113,00 1 346 57.800,00 89,00 1 247 93.770,00 146,00 1 348 102.300,00 160,00 1 3


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Ser usado a planilha eletrnica do Excel para o clculo da equao de regresso, as estatsticas daregresso, anlise da varincia, os coeficientes e significncia dos b, os resduos para verificao danormalidade, multicolinearidade, homocedasticidade, auto-correlao.

a) Determinao da equao de regresso.

a.1 Coeficientes de Determinao e de Correlao.

Obs.: Foram eliminados os dados de n 25, 32, 33, 35 e 37 (outliers ou dados atpicos de mercado).

RESUMO DOS RESULTADOS

Estatstica de regressoR mltiplo 0,948642197R-Quadrado 0,899922018R-quadradoajustado 0,892223712Erro padro 6275,02545Observaes 43

a.2- Anlise de varincia.ANOVA

gl SQ MQ FF de

signif.Regresso 3 1,38E+10 4602996800 116,8987 1,55E-19Resduo 39 1,54E+09 39375944,4

Total 42 1,53E+10

Obs.: A pequena significncia


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a.5 - RESULTADOS DE

RESDUOS

Obs Previsto V. total ResduosResduospadro

1 90809,2048 -5809,2 -0,96071272 87545,47881 -7545,48 -1,24785373 90809,2048 -4809,2 -0,7953354 87545,47881 -6545,48 -1,0824765 87545,47881 -5545,48 -0,91709836 91042,32808 -6042,33 -0,99926617 133260,4725 2739,527 0,453056658 128131,7602 -3131,76 -0,5179232

9 85214,24596 11785,75 1,9491004610 82416,76655 5583,233 0,923342111 82883,01312 9116,987 1,5077459812 81251,15012 748,8499 0,1238430413 81251,15012 4748,85 0,7853536914 65623,01579 -2314,14 -0,382706415 65711,60264 -5411,6 -0,894958216 64643,898 -4893,9 -0,809341417 64643,898 -3794,2 -0,627475618 57100 8062,909 1,333425119 65623,01579 716,9842 0,11857317

20 64639,23553 -2139,24 -0,353781821 65702,27771 767,7223 0,1269641222 50412,17214 12177,83 2,0139407123 93839,8075 5560,193 0,9195316424 89643,58837 -1543,59 -0,25527525 89643,58837 9456,412 1,5638792526 43831,10181 1168,898 0,1933096527 65105,4821 -105,482 -0,017444428 73731,04364 268,9564 0,0444793729 84514,87611 -5742,88 -0,949743430 52456,66335 -12600 -2,060053931 66702,3766 7297,623 1,2068639

32 88455,14207 -8455,14 -1,398291633 61841,75611 -3521,76 -0,582419834 60676,13969 -3556,14 -0,588106135 79852,41041 -4572,41 -0,756174536 108759,6977 -2719,7 -0,449777337 75829,1532 5450,847 0,901448338 75829,1532 2850,847 0,4714663839 89583,427 1416,573 0,2342695340 79852,41041 -4102,41 -0,67844741 60676,13969 -2876,14 -0,475649342 87545,47881 6224,521 1,0293967743 90809,2048 11490,8 1,90032085


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49

b) TESTES COMPLEMENTARES:b.1. Normalidade dos resduos.

RESULTADOS DE RESDUOS

ObservaoPrevisto V.

total ResduosResduos

padroResduos padroem

mod.1 90809,2048 -5809,2 -0,960712712 0,9607127122 87545,47881 -7545,48 -1,247853651 1,2478536513 90809,2048 -4809,2 -0,79533505 0,795335054 87545,47881 -6545,48 -1,082475988 1,0824759885 87545,47881 -5545,48 -0,917098325 0,9170983256 91042,32808 -6042,33 -0,999266096 0,9992660967 133260,4725 2739,527 0,453056654 0,4530566548 128131,7602 -3131,76 -0,51792319 0,517923199 85214,24596 11785,75 1,949100458 1,949100458

10 82416,76655 5583,233 0,9233421 0,9233421

11 82883,01312 9116,987 1,507745983 1,50774598312 81251,15012 748,8499 0,123843043 0,12384304313 81251,15012 4748,85 0,785353694 0,78535369414 65623,01579 -2314,14 -0,382706369 0,38270636915 65711,60264 -5411,6 -0,894958197 0,89495819716 64643,898 -4893,9 -0,809341413 0,80934141317 64643,898 -3794,2 -0,627475597 0,62747559718 56457,09068 8062,909 1,333425099 1,33342509919 65623,01579 716,9842 0,118573172 0,11857317220 64639,23553 -2139,24 -0,353781772 0,35378177221 65702,27771 767,7223 0,126964118 0,12696411822 50412,17214 12177,83 2,013940709 2,013940709

23 93839,8075 5560,193 0,919531641 0,91953164124 89643,58837 -1543,59 -0,255275038 0,25527503825 89643,58837 9456,412 1,563879254 1,56387925426 43831,10181 1168,898 0,19330965 0,1933096527 65105,4821 -105,482 -0,017444383 0,01744438328 73731,04364 268,9564 0,044479375 0,04447937529 84514,87611 -5742,88 -0,949743429 0,94974342930 52456,66335 -12456,7 -2,060053872 2,06005387231 66702,3766 7297,623 1,206863902 1,20686390232 88455,14207 -8455,14 -1,398291634 1,39829163433 61841,75611 -3521,76 -0,582419795 0,58241979534 60676,13969 -3556,14 -0,588106071 0,58810607135 79852,41041 -4572,41 -0,756174548 0,75617454836 108759,6977 -2719,7 -0,449777253 0,44977725337 75829,1532 5450,847 0,901448304 0,90144830438 75829,1532 2850,847 0,471466381 0,47146638139 89583,427 1416,573 0,234269532 0,23426953240 79852,41041 -4102,41 -0,678447046 0,67844704641 60676,13969 -2876,14 -0,47564926 0,4756492642 87545,47881 6224,521 1,029396767 1,02939676743 90809,2048 11490,8 1,900320855 1,900320855


50/65



50

PontoResduospadro Ordem Porcentagem

30 2,060 1 100,00%22 2,014 2 97,60%9 1,949 3 95,20% 95,20%

43 1,900 4 92,80%25 1,564 5 90,40% 90,40%11 1,508 6 88,00%32 1,398 7 85,70%18 1,333 8 83,30%2 1,248 9 80,90%

31 1,207 10 78,50%4 1,082 11 76,10%

42 1,029 12 73,80%6 0,999 13 71,40% 71,40%1 0,961 14 69,00%

29 0,950 15 66,60%10 0,923 16 64,20%23 0,920 17 61,90%5 0,917 18 59,50%

37 0,901 19 57,10%15 0,895 20 54,70%16 0,809 21 52,30%3 0,795 22 50,00%

13 0,785 23 47,60%35 0,756 24 45,20%40 0,678 25 42,80%17 0,627 26 40,40%

34 0,588 27 38,00%33 0,582 28 35,70%8 0,518 29 33,30%

41 0,476 30 30,90%38 0,471 31 28,50%7 0,453 32 26,10%

36 0,450 33 23,80%14 0,383 34 21,40%20 0,354 35 19,00%24 0,255 36 16,60%39 0,234 37 14,20%

26 0,193 38 11,90%21 0,127 39 9,50%12 0,124 40 7,10%19 0,119 41 4,70%28 0,044 42 2,30%27 0,017 43 ,00%

Observao: Para termos uma distribuio normal, devemos ter:

68% na faixa de 1DP..........................71,40%

90% na faixa de 1,64DP...................... 90,40%95% na faixa de 1,96DP......................95,20%

Logo podemos concluir que os resduos tem uma distribuio normal.


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51

b.2.PONTOSATPICOS

Previsto V. total Resduos padro90809,2048 -0,960712712

87545,47881 -1,24785365190809,2048 -0,79533505

87545,47881 -1,08247598887545,47881 -0,91709832591042,32808 -0,999266096133260,4725 0,453056654128131,7602 -0,5179231985214,24596 1,94910045882416,76655 0,923342182883,01312 1,50774598381251,15012 0,123843043

81251,15012 0,78535369465623,01579 -0,38270636965711,60264 -0,894958197

64643,898 -0,80934141364643,898 -0,627475597

56457,09068 1,33342509965623,01579 0,11857317264639,23553 -0,35378177265702,27771 0,12696411850412,17214 2,013940709

93839,8075 0,91953164189643,58837 -0,255275038

89643,58837 1,56387925443831,10181 0,19330965

65105,4821 -0,01744438373731,04364 0,04447937584514,87611 -0,94974342952456,66335 -2,060053872

66702,3766 1,20686390288455,14207 -1,39829163461841,75611 -0,58241979560676,13969 -0,58810607179852,41041 -0,756174548108759,6977 -0,449777253

75829,1532 0,90144830475829,1532 0,47146638189583,427 0,234269532

79852,41041 -0,67844704660676,13969 -0,4756492687545,47881 1,029396767

90809,2048 1,900320855

Obs.: quando o resduo padro maior que 2,0 desvios padro, elimina-se aquele dado e calcula-se

novamente a planilha pois acredita-se tratar-se de dado atpico de mercado, os chamadosoutliers

.Neste caso temos dois valores com desvios padro um pouco acima dos 2 desvios padro que no entantoforam considerados aceitveis no presente trabalho.


52/65



52

b.3. MULTICOLINEARIDADE

rea total Resduos N Quartos ResduosNgaragens Resduos

160,00 -5809,2048 3 -5809,2 1 -5809,205146,00 -7545,47881 3 7545,48 1 -7545,479

160,00 -4809,2048 3 -4809,2 1 -4809,205146,00 -6545,47881 3 -6545,48 1 -6545,479146,00 -5545,47881 3 -5545,48 1 -5545,479161,00 -6042,32808 3 -6042,33 1 -6042,328307,00 2739,52749 3 2739,53 2 2739,5275285,00 -3131,76024 3 -3131,76 2 -3131,76136,00 11785,754 3 11785,8 1 11785,754124,00 5583,23345 3 5583,23 1 5583,2335126,00 9116,98688 3 9116,99 1 9116,9869119,00 748,849878 3 748,85 1 748,84988119,00 4748,84988 3 4748,85 1 4748,8499110,22 -2314,13579 2 -2314,14 1 -2314,136

110,60 -5411,60264 2 -5411,6 1 -5411,603106,02 -4893,898 2 -4893,9 1 -4893,898106,02 -3794,198 2 -3794,2 1 -3794,198106,00 8062,90932 2 8062,91 0 8062,9093110,22 716,984207 2 716,984 1 716,98421106,00 -2139,23553 2 -2139,24 1 -2139,236110,56 767,72229 2 767,722 1 767,72229103,23 12177,8279 1 12177,8 1 12177,828173,00 5560,1925 3 5560,19 1 5560,1925155,00 -1543,58837 3 -1543,59 1 -1543,588155,00 9456,41163 3 9456,41 1 9456,411675,00 1168,89819 1 1168,9 1 1168,8982

108,00 -105,482101 2 -105,482 1 -105,4821145,00 268,956363 2 268,956 1 268,95636133,00 -5742,87611 3 -5742,88 1 -5742,876112,00 -12456,6634 1 -12456,7 1 -12456,66114,85 7297,6234 2 7297,62 1 7297,6234185,00 -8455,14207 3 -8455,14 0 -8455,14294,00 -3521,75611 2 -3521,76 1 -3521,75689,00 -3556,13969 2 -3556,14 1 -3556,14

113,00 -4572,41041 3 -4572,41 1 -4572,41237,00 -2719,69773 3 -2719,7 1 -2719,698154,00 5450,8468 2 5450,85 1 5450,8468

154,00 2850,8468 2 2850,85 1 2850,8468213,00 1416,573 2 1416,57 1 1416,573113,00 -4102,41041 3 -4102,41 1 -4102,4189,00 -2876,13969 2 -2876,14 1 -2876,14

146,00 6224,52119 3 6224,52 1 6224,5212160,00 11490,7952 3 11490,8 1 11490,795


53/65



53

-15000

-10000

-5000

05000

10000

15000

0 50 100 150 200 250 300 350

rea Total

Resduo

s

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0 1 2 3 4

N de Quartos

Residuos

-15000

-10000

-50000

5000

10000

15000

0 1 2

N de Garagens

Resd

uos


54/65



54

Valor total rea total N garagens N Quartos

85.000,00 160,00 1 380.000,00 146,00 1 386.000,00 160,00 1 381.000,00 146,00 1 382.000,00 146,00 1 385.000,00 161,00 1 3

136.000,00 307,00 2 3125.000,00 285,00 2 397.000,00 136,00 1 388.000,00 124,00 1 392.000,00 126,00 1 382.000,00 119,00 1 386.000,00 119,00 1 363.308,88 110,22 1 260.300,00 110,60 1 2

59.750,00 106,02 1 260.849,70 106,02 1 264.520,00 106,00 0 266.340,00 110,22 1 262.500,00 106,00 1 266.470,00 110,56 1 262.590,00 103,23 1 199.400,00 173,00 1 388.100,00 155,00 1 399.100,00 155,00 1 345.000,00 75,00 1 165.000,00 108,00 1 2

74.000,00 145,00 1 278.772,00 133,00 1 340.000,00 112,00 1 174.000,00 114,85 1 280.000,00 185,00 0 358.320,00 94,00 1 257.120,00 89,00 1 275.280,00 113,00 1 3

106.040,00 237,00 1 3

A norma indica comoaceitveis a correlao

entre variveisindependentes cujoresultado seja inferior a0,80

81.280,00 154,00 1 278.680,00 154,00 1 291.000,00 213,00 1 275.750,00 113,00 1 357.800,00 89,00 1 293.770,00 146,00 1 3

102.300,00 160,00 1 3

Valor total rea totalN

garagensN

QuartosValortotal 1reatotal 0,864112 1Ngaragens 0,470157 0,4864 1

NQuartos 0,746943 0,4856 0,1223607 1

Os coeficientes de correlao entre as variveis independentes so aceitveis.


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55

.b.4. HOMOCEDASTICIDADE

a varincia constante dos erros. Pode ser mostrada pela plotagem do valor previsto

( Yest) X resduos

O grfico indica a existncia de uma pequena tendncia, no permitindo concluir pelahomocedasticidade. Um nmero maior de apartamentos com valor superior aR$ 100.000,00 permitiria, provavelmente, uma anlise mais conclusiva.

Obs.: Pelo grfico percebe-se que o valor da tangente praticamente zero, indicandoque o ngulo que a reta faz com o eixo muito pequeno ou seja a varincia muito pe-quena.


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56

b.5. AUTO- CORRELAO

Quando o resduo de uma observao no correlacionado com o resduo de outrapodemos afirmar que no h autocorrelao.A situao ideal aquela na qual uma transao se realiza independentemente deoutra, ou seja, o conhecimento do preo e condies de uma no interfere na outra.

( Dantas, 1998)O que se pretende que os resduos no sejam correlacionados, ou seja, no tenhamnenhuma tendncia.

A existncia de auto-correlao entre os resduos verificada atravs do teste deDurbin-Watsonoriginalmente chamada de " razo de von Neumann":

( )

=

=

=n

i

i

n

iii

e

ee

d

1

2

2

2

1

r = coeficiente de correlao entre eieei-1

A hiptese a ser testada ( Kelejian e Oates, 1978):

H0: r = 0 ( no h auto-correlao)

H1: r 0 ( h auto-correlao)

Calcula-se a estatstica de compara-se com os pontos crticos dLe dUtabelados por Durbin-Watson.Se dassumir um valor prximo de 2, a hi-ptese nula aceita, ou seja, no h auto-correlao.Valores de dprximos de zero ou de 4 conduzem a aceitar a hiptesealternativa, de que existe auto-correlao.Existe ainda um conjunto de valores para os quais no pode-se nem acei-

tar nem rejeitar H0.

Nos casos em que existe auto-correlao, os estimadores de mnimo qua-drado dos parmetros so no tendenciosos e consistentes, porm noso eficientes, ou seja, no apresentam varincia mnima, alm de seuerro padro ser viesado. Isto conduz a testes e intervalos de confianaincorretos.Nos casos de auto-correlao positiva, os erros padres sero subestima-dos o que leva a uma superestimao da estatstica t. Quando a auto-cor-relao for negativa, os erros padres sero subestimados e as estatsti-cas t, subestimadas. Assim, a auto-correlao positiva mais prejudicial,porque corre-se o risco de rejeitar-se a hiptese nula de ausncia de efei-to, quando ela deveria ser aceita (Matos, 1997).


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Clculo da razo de von Neumann

ei-1 ei (ei - ei-1)2 ei

2

-5809,2 33.746.860,4-5809,2048 -7545,48 3.014.647,45 56.934.250,5-7545,4788 -4809,2 7.487.195,48 23.128.450,8

-4809,2048 -6545,48 3.014.647,45 42.843.292,9-6545,4788 -5545,48 1.000.000,00 30.752.335,2-5545,4788 -6042,33 246.859,20 36.509.728,7-6042,3281 2739,527 77.120.987,33 7.505.010,92739,52749 -3131,76 34.472.019,67 9.807.922,2-3131,7602 11785,75 222.532.232,29 138.903.998,211785,754 5583,233 38.471.261,58 31.172.495,8

5583,23345 9116,987 12.487.413,31 83.119.449,99116,98688 748,8499 70.025.716,96 560.776,1748,849878 4748,85 16.000.000,00 22.551.575,24748,84988 -2314,14 49.885.766,59 5.355.224,5-2314,1358 -5411,6 9.594.300,88 29.285.443,1-5411,6026 -4893,9 268.018,10 23.950.237,6

-4893,898 -3794,2 1.209.340,09 14.395.938,4-3794,198 8062,909 140.590.993,86 65.010.506,7

8062,90932 716,9842 53.962.615,73 514.066,4716,984207 -2139,24 8.157.991,19 4.576.328,7-2139,2355 767,7223 8.450.403,78 589.397,5767,72229 12177,83 130.190.509,03 148.299.491,3

12177,8279 5560,193 43.793.097,70 30.915.740,65560,1925 -1543,59 50.463.702,71 2.382.665,1

-1543,5884 9456,412 121.000.000,00 89.423.720,89456,41163 1168,898 68.682.879,04 1.366.323,0

1168,89819 -105,482 1.624.045,11 11.126,5-105,4821 268,9564 140.204,16 72.337,5268,956363 -5742,88 36.142.129,66 32.980.626,0-5742,8761 -12600 47.020.148,06 158.760.000,0

-12600 7297,623 395.915.416,91 53.255.307,37297,6234 -8455,14 248.149.619,85 71.489.427,4

-8455,1421 -3521,76 24.338.296,97 12.402.766,1-3521,7561 -3556,14 1.182,23 12.646.129,5-3556,1397 -4572,41 1.032.806,18 20.906.937,0-4572,4104 -2719,7 3.432.544,30 7.396.755,7-2719,6977 5450,847 66.757.797,83 29.711.730,85450,8468 2850,847 6.760.000,00 8.127.327,5

2850,8468 1416,573 2.057.141,34 2.006.679,11416,573 -4102,41 30.459.177,89 16.829.771,2

-4102,4104 -2876,14 1.503.739,89 8.272.179,5-2876,1397 6224,521 82.822.028,44 38.744.664,06224,52119 11490,8 27.733.641,98 132.038.374,4

Soma= 2.148.012.520,22 1.539.253.369,84D=DW= 1,395

Da tabela: DL= 1,34e DU= 1,664-DL=2,66e 4-DU=2,34

Como DL


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Contudo, o grfico abaixo mostra que no existe uma tendncia ntidade auto-correlao, permitindo concluir pela independncia dos resduosou seja, a distribuio dos resduos aleatria, com erros independentes.

OBSERVAO IMPORTANTE:Como os dados no esto ordenados segundo um critrio conhecido(como uma srie temporal, por exemplo), no tem sentido fazer a an-lise de auto-correlao. Esta anlise foi feita apenas para mostrar dida-dicamente o respectivo procedimento.

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000

e(i-1)

e(i)


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c) Avaliao do Apartamento.c.1. Valor Total do Apartamento

Valor Total=4583,39+233,12 * rea total + 13581,31 * NQuartos + 8182,14 * NGaragens

Valor Total= 4583,39+233,12 * 132 + 13581 * 2 + 8182,14 * 1

Valor Total= R$70.700,44

c.2. Intervalo de confiana para a estimativa de valor:

c.2.1.-Clculo de b1:

LSb1= b1 + t . Sb1 b1=233,1232848

LIb1=b1 - t . Sb1 Sb1=26,65...

t0,90;39g.l.= 1,3001g.l=n-k-1=43-3-1=39

LSb1=233,1232848+1,3001.26,65= 267,77

LIb1=233,1232848-1,3001.26,65= 198,48

c.2.2.- Clculo de b2: LSb2= b2 + t . Sb2 b2=13581,31189

LIb2=b2 - t . Sb2 Sb2=1776,497268

t0,90;39g.l.= 1,3001g.l=n-k-1=43-3-1=39

LSb2=13581,31189+1,3001.1776,49726= 15.890,94

LIb2=13581,31189-1,3001.1776,497268= 11.271,69

c.2.3.- Clculo de b3: LSb3= b3 + t . Sb3 b3=8182,144849

LIb3=b3 - t . Sb3 Sb3=3631,486007

t0,90;39g.l.= 1,3001g.l=n-k-1=43-3-1=39

LSb3=8182,14484+1,3001.3631,486007= 12.903,44

LIb3=8182,144849-1,3001.3631,486007= 3.460,85

c.2.4.-Clculo de Y:

YS=a+LSb1. rea + b2 . N Quartos +b3 . N Garagens

YI=a+LIb1. rea + b2 . N Quartos +b3 . N Garagens

YS=a+b1 . rea + LSb2. N Quartos +b3 . N Garagens

YI=a+b1 . rea + LIb2. N Quartos +b3 . N Garagens

YS=a+b1 . rea + b2 . N Quartos +LSb3. N Garagens

YI=a+b1 . rea + b2 . N Quartos +LIb3. N Garagens


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YS= 4583,3987+267,77 . 132+13581,31189 . 2+8182,144849 . 1 = 75.273,95YI= 4583,3987+198,48 . 132+13581,31189 . 2+8182,144849 . 1 = 66.126,93

YS= 4583,3987+233,1232848 . 132+15890,94 . 2+8182,144849 . 1 = 75.319,69YI= 4583,3987+233,1232848. 132+11271,69 . 2+8182,144849 . 1 = 66.081,19

YS= 4583,3987+233,1232848 . 132+13581,31189 . 2+12903,44 . 1 = 75.421,74YI= 4583,3987+233,1232848. 132+13581,31189 . 2+3460,85 . 1 = 65.979,15

Quadro Resumo:

Intervalo de confiana para a estimativa dovalor:

b inf b sup Y inf Y sup Intervalo

b1 267,77 198,48 75.273,95 66.126,93 9.147,02

b2 15.890,94 11.271,69 75.319,69 66.081,19 9.238,50

b3 12.903,44 3.460,85 75.421,74 65.979,15 9.442,59

c.3. Campo de arbtrio do avaliador.

O menor intervalo de variao foi obtido para b1. Ento:LIYValor Total=R$66.126,93LSYValor Total=R$75.273,95


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d) - GRAUS DE FUNDAMENTAO

Existem trs graus de fundamentao: Grau I, Grau II e Grau III. O enquadramento do laudo feito coma soma dos pontos. Cada requisito atingido no Grau III vale 03 pontos, no Grau II 02 pontos e no Grau Ivale 01 pontos. A NBR 14653-2, na seo 9 apresenta os requisitos, conforme quadro abaixo. Para atingirGrau III obrigatria a apresentao do laudo na modalidade completa. Quando a norma no puder ser

atendida o trabalho ser classificado como parecer tcnico.

Quadro para o Modelo de regresso Linear

GrauItem Descrio

III II I

1 Caracterizao doimvel avaliando

Completa quanto a todas asvariveis analisadas

Completa quanto svariveis utilizadas no

modelo

Adoo desituao paradigma

2 Coleta de dados nomercado

Caractersticas conferidas pelo

autor do laudo

Caractersticas conferidas

por profissional credenciado

pelo autor do laudo

Podem ser utilizadas

caractersticas fornecidas

por terceiros

3 Quantidade mnima dedados de mercadoefetivamente utilizados

6 (k+1), onde k onmero devariveisindependentes

4 (k+1), onde k onmero de variveisindependentes


4 Identificao dos dadosde mercado

Apresentao deinformaesrelativas a todos osdados e variveisanalisados namodelagem, comfoto

Apresentao deinformaes relativasaos dados e variveisefetivamenteutilizados no modelo

Apresentao deinformaesrelativas aos dadose variveisefetivamenteutilizados nomodelo

5 Extrapolao No permitida Admitida para apenas umavarivel, desde que:a) as medidas dascaractersticas do imvelavaliando no sejamsuperiores a 100% dolimite amostral superior,neminferiores metade dolimite amostral inferiorb) o valor estimado noultrapasse 10% do valorcalculado no limite dafronteira amostral, para areferida varivel

Admitida, desde que:a) as medidas dascaractersticas doimvel avaliando nosejam superiores a 100%do limite amostralsuperior, nem inferiores metade do limite amostralinferiorb) o valor estimado noultrapasse 10% do valorcalculado no limite dafronteira amostral, para asreferidas variveis,simultaneamente

6 Nvel de significncia (somatrio do valordas duas caudas)mximo para a rejeioda hiptese nula decada regressor (testebicaudal)

10% 20% 30%

7 Nvel de significnciamximo admitido nosdemais testesestatsticos realizados

1% 5% 10%

Fonte: NBR 14653-2 Tabela 1


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Para o enquadramento feita uma soma de pontos conforme Tabela 2 da norma abaixo:

Graus III II I

Pontos mnimos 18 11 7

Itens obrigatrios nograu correspondente

3, 5, 6 e 7, com com osdemais no grau II

3, 5, 6, e 7 no mnimono grau II

Todos, no mnimo nograu I

Para o enquadramento no Grau III a norma exige:

a- Apresentao do laudo no modelo completo

b- Discusso do modelo, verificadas a coerncia da variao das variveis em

relao ao mercado, bem como suas elasticidades no ponto de estimao.

c- Na utilizao de cdigos alocados no modelo de regresso implica na

obteno, no mximo, de Grau II de fundamentao.d- A utilizao de tratamento prvio por fatores de homogeneizao, para a

transformao de variveis em modelos de regresso, implica na obteno,

no mximo, de Grau II de fundamentao.

e) GRAUS DE PRECISO

Segundo a norma, em seu item 9.2.2.1, a utilizao de cdigos alocados no modelo de regresso implica

a obteno, no mximo, de Grau II de preciso. Quanto ao Grau de preciso, este dependeexclusivamente das caractersticas do mercado e da amostra coletada e, por isso, no passvel de

fixao a priori. No caso de informaes insuficientes para a utilizao dos mtodos previstos nesta

Norma, conforme 8.1.2 da ABNT NBR 14653-2, o trabalho no deve ser classificado quanto a preciso, e

deve ser considerado parecer tcnico.

GrauDescrio

III II I

Amplitude do Intervalo

de confiana de 80%

em torno do valor

central da estimativa

50%

Fonte: NBR 14653-2


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Enquadramento da avaliao do Exerccio 5.1. Quanto Fundamentao:

GrauItem Descrio

III II I1 Caracterizao do

imvel avaliando

Completa quanto a todas asvariveis analisadas (*3)

Completa quanto svariveis utilizadas no

modelo

Adoo desituao paradigma

2 Coleta de dados nomercado

Caractersticas conferidas pelo

autor do laudo

Caractersticas conferidas

por profissional credenciado

pelo autor do laudo

Podem ser utilizadas

caractersticas fornecidas

por terceiros (*1)

3 Quantidade mnima dedados de mercadoefetivamente utilizados

6 (k+1), onde k onmero devariveisindependentes (*3)

4 (k+1), onde k onmero de variveisindependentes


4 Identificao dos dadosde mercado

Apresentao deinformaesrelativas a todos osdados e variveisanalisados namodelagem, comfoto

Apresentao deinformaes relativasaos dados e variveisefetivamenteutilizados no modelo (*2)

Apresentao deinformaesrelativas aos dadose variveisefetivamenteutilizados nomodelo

5 Extrapolao No permitida (*3) Admitida para apenas umavarivel, desde que:a) as medidas dascaractersticas do imvelavaliando no sejamsuperiores a 100% dolimite amostral superior,neminferiores metade dolimite amostral inferiorb) o valor estimado noultrapasse 10% do valorcalculado no limite dafronteira amostral, para areferida varivel

Admitida, desde que:a) as medidas dascaractersticas doimvel avaliando nosejam superiores a 100%do limite amostralsuperior, nem inferiores metade do limite amostralinferiorb) o valor estimado noultrapasse 10% do valorcalculado no limite dafronteira amostral, para asreferidas variveis,simultaneamente

6 Nvel de significncia (somatrio do valordas duas caudas)mximo para a rejeioda hiptese nula de

cada regressor (testebicaudal)

10% (*3) 20% 30%

7 Nvel de significnciamximo admitido nosdemais testesestatsticos realizados

1% 5% (*2) 10%

Total de pontos no Grau 12 4 1

Total de pontos 17

* grau especfico obtido


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Graus III II I

Pontos mnimos 18 11 7

Itens obrigatrios no

grau correspondente

3, 5, 6 e 7, com com os

demais no grau II

3, 5, 6, e 7 no mnimo

no grau II

Todos, no mnimo no

grau I

Comentrio: Foi atingido Grau IIde fundamentao.

b) Quanto a Preciso:

%93,121293,044,700.70

02,147.9... ====

Estimativa

CIAmplitudeprecisoGrau

GrauDescrio

III II I

Amplitude do Intervalo

de confiana de 80%

em torno do valor

central da estimativa

50%

Comentrio:Foi atingido Grau IIIde preciso.


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Engenharia Econmica e Avaliaes - Regresso Linear Curso de Engenharia Civil 8 Perodo 65

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Apostila Avaliacoes Regress o