Apostila -cálculo_iv_-_equações_diferenciais_-_2010-2

ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MINAS GERAIS – UEMG FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE DIVINÓPOLIS – FUNEDI

INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO E PESQUISA – INESP

APOSTILA DE CÁLCULO IV

EQUAÇÕES DIFERENCAIS

ENGENHARIA CIVIL

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado Versão: 2010/2


2

PLANO DE ENSINO CURSO DISCIPLINA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Nº DE AULAS SEMANAIS ANO 2010

03 SEMESTRE 2º CARGA HORÁRIA PERÍODO 4º

54 UNIDADE ACADÊMICA INESP EMENTA Equações diferenciais de primeira e segunda ordem. Aplicação de equação diferencial em: cinemática, dinâmica, vibrações mecânicas, biologia, economia. OBJETIVOS Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de utilizar as técnicas de resolução das equações diferenciais para resolver problemas. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO I – Equações Diferenciais de Primeira Ordem 1.1 – Equações Lineares e Não-Lineares 1.2 – Equações de Variáreis Separadas 1.3 – Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem 1.4 – Problemas de Mecânica 1.5 – Equações Exatas e Fatores Integrantes 1.6 – Equações Homogêneas 1.7 – Problemas e Aplicações Diversos 1.8 –Teorema da Existência e Unicidade 1.9 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem II – Equações Lineares de Segunda Ordem 2.1 – Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes 2.2 – Soluções Fundamentais das Equações Homogêneas Lineares 2.3 – Independência Linear 2.4 – Raízes Complexas da Equação Característica 2.5 – Raízes Repetidas; Redução de Ordem 2.6 – Método dos Coeficientes Independentes 2.7 – Método de Variação de Parâmetros 2.8 – Oscilações Mecânicas e Oscilações Elétricas 2.9 – Oscilações Forçadas MÉTODOS E RECURSOS DIDÁTICOS Aula expositiva, seguida de debates, exercícios de sondagem e fixação; Proposição de situações problemáticas, mediante condições explicativas para as possíveis soluções, pesquisa em livros e na www. Quadro negro, giz, internet, e-mail. Atividades extra-classe: - Resolução de listas de exercícios de fixação e aprofundamento. - Resolução virtual de exercícios em editor de texto matemático. AVALIAÇÃO Serão distribuídos 100 créditos no decorrer do semestre através de trabalhos e provas. Serão distribuídos 30 pontos no primeiro bimestre letivo, 35 pontos no segundo bimestre e 35 pontos no terceiro bimestre. As recuperações das avaliações ocorrerão ao longo do semestre. BIBLIOGRAFIA BÁSICA


3

BOYCE, W. E. & PRIMA, R. C. Di. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999 LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Ed. Harbra, 1994. ABUNAHMAN, Sergio. Equações diferenciais. 2.ed. Rio de Janeiro: Erica, 1993. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR SIMMIONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: MacGraw-Hill, 1987. STEWART, James. Cálculo. 5. São Paulo: Thomson, 2006. PISKUNOV, N.. Cálculo diferencial e integral. 7. ed. Porto: Lopes da Silva, 1984. GOLDSTEIN, Larry J.. LAY, David C. e SCHNEIDER, David I.. Matemática aplicada: economia, administração e contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. LANG, Serge. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos, 1975.


4

1 – Equações Diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função sua variável e suas derivadas, ou seja

1.1 – Equações de Variáveis Separáveis

A equação geral de primeira ordem assume a forma

yxfdxdy

, . (Eq.1)

Se a Eq.(1) é não-linear, isto é , se f não é uma função linear da variável dependente y , não existe um método geral

para resolver a equação. Consideremos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processo

direto de integração pode ser usado.

Em primeiro lugar, reescrevemos a Eq.(1)

0,0 ,,,,,

,

,

,

yxyxyxyxyxyx

yx

yx

NdxdyNMM

dxdyN

NM

dxdy

fdxdy

0,, dxdyNM yxyx Eq.(2)

Caso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y , a Eq.(2) se torna

0dxdyNM yx Eq.(3)

Uma equação deste tipo é dita separável porque é escrita na forma diferencial

dxMdyN

dxMdyNdyNdxM

xy

xy

yx 0

Exemplos

Ex.-1 Resolva a equação 2

2

1 yx

dxdy

.

CxyyouCxyy

dxxdyy

dxxdyy

yx

dxdy

33

33

22

22

2

2

333

1

1

1


5

Ex.-2 Achar a solução do problema de valor inicial 12243 2

y

xxdxdy

, 10 y . Determine y em função de

x .

Cxxxyy

Cxxxyy

dxxxdyy

yxx

dxdy

222

22

43

32

2

24312

12243

232

232

2

2

como 10 y então

32102020121 232

CCC

3222 232 xxxyy

42214221

4221

4221

132212

23

2

23

1

23

23

232

xxxyouxxxy

xxxy

xxxy

xxxyy

Ex.-3 Resolver o problema de valor inicial

221cos

yxy

dxdy

, 10 y .

Cxsenyy

Cxsenyxdxxdyyy

dxxdyyy

y

dxxdyy

ydxxdyy

yyxy

dxdy

2

22

22

2

ln

22lncos21cos21

cos21cos2121

cos

como

10y então 1010011ln 2 CCCsen

1ln2

xsenyy

Exercícios

Resolva a equação diferencial proposta:

E-1. yxy

2\ E-2. 3

2\

1 xyxy


6

E-3. 0sen2\ xyy

E-4. y

xy23

13 2\

E-5. yxy 2coscos 22\

E-6. 212\ 1 yxy

E-7. y

x

eyex

dxdy

E-8. 2

2

1 yx

dxdy

Determine a solução do problema de valor inicial dado:

E-9. 2\ 21 yxy e 61

0 y .

E-10.

yxy 21\

e 21 y .

E-11. 0 dyyexdx x e 10 y .

E-12. 2

\

2 yxyxseny

e

3

0y

E-13.

2rddr

e 21 r .

E-14. yxy

xy 2\ 2

e 20 y .

E-15. 2123\ 1 xxyy e 10 y .

E-16. y

xy21

2\

e 02 y .

E-17.

3

2\

41

yxxy

e 21

0 y .

E-18. 52

3 2\

y

exyx

e 10 y .

E-19. yeey

xx

43\

e 10 y .

E-20. 03cos2 dyydxxsen e

32

y

E-21. dxxdyxy arcsen1 2122 e

00 y

Respostas

R - 1 cxy

32

32

ou cxy 32 23

R - 2 cxy 3

2

1ln31

2 ou cxy 32 1ln23

R - 3 cxy

cos1 ou xc

ycos1

ou xcy

cos1

R - 4 cxxyy 323

R - 5 Cxxsenytg 2

2412

21

ou Kxxsenytg 2222

R - 6


3

R - 7 cexey xy

22

22

ou cexey xy 22 22

R - 8 cxyy 33

33

ou cxyy 333

R - 9 61 2 xx

y ou 61 2

xxy

R - 10 22

22

xxy ou 422 22

xxy

R - 11 21

2

2

xx exey

ou 1222

xx exey

R - 12 2

3ln49cos2

ln22

xsenxxyy ou

69,6cos2

ln22

xsenxxyy

R - 13 )ln(211

r

R - 14 21ln2

22

xy ou 41ln2

22 xy

R - 15 231

21 2

12

2 xy

ou 231

21 2

2 xy

ou 2

2 1231 xy

R - 16 422 xyy

R - 17 41

24

244

xxy ou

21

22

xy

R - 18 3532

xexyy

R - 19 732 2

xx eeyy

R - 20

21

22cos

33

xysen

ou 32cos332 xysen

R - 21

Bibliografia

BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p.


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2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem

As equações diferenciais de primeira ordem

yxfdxdy

, (1)

onde f é uma função de duas variáveis. Qualquer função diferenciável xgy que satisfaça a esta

condição para todos os valores de x em um certo intervalo é considerada como uma solução; nosso

objetivo é determinar as essas soluções existem e, em caso afirmativo, desenvolver métodos para

encontrá-las. Infelizmente, para uma função arbitrária f , não existe nenhum método geral para revolver

a equação em termos de funções elementares. Assim, vamos descrever vários métodos, cada um dos

quais se aplica a uma subclasse das equações de primeira ordem. As subclasses mais importantes são

as das equações lineares e das equações separáveis.

Se a função f da Eq. (1) depende linearmente da variável dependente y , então a equação

pode ser escrita na forma

xxxx qypyqypdxdy

\ , (2)

que é chamada equação diferencial linear de primeira ordem.

2.1 – Para xp e xq constantes

A equação mais geral de primeira ordem com coeficientes constantes é

byadxdy

(3)

onde a e b são constantes xx qbepa .

temosapormembrosegundoodividindobyadxdy ,

0

apara

abya

dxdy

. Assim temos, abyparaa

abydxdy

ku

kudxdquerecordandoaaby

dxd

1lnln . Então, 0ln Caxaby

onde 0C é uma constante arbitrária. Tomando as exponenciais dos dois membros,

axCCaxCaxaby eeabyeeabyee 000ln

, para 0Cec temos:

axceaby . (4)

O comportamento geral da solução (3) depende principalmente do sinal do parâmetro a . Se

0a , então 0axe quando x , e os gráficos de todas as soluções tendem para a assíntota


5

horizontal aby . Por outro lado, se 0a , axe quando x , e os gráficos das soluções

divergem da reta aby .

A solução constante aby é freqüentemente chamada de solução de equilíbrio, já que

dxdy

é sempre zero para esta solução.

Exemplo

Ex.-4 Resolva a equação diferencial 62 ydxdy

x

xxCCxCxy

key

keyeeyeeyee

Cxydxydy

dxydyy

dxdyy

dxdyy

dxdy

2

22223ln

3

333

23ln23

23

326262

Ex.-5 Resolva a equação diferencial 82 ydxdy

usando a solução da Eq. (4)

Escrevendo na forma da Eq. (3) 8282 ydxdyy

dxdy

assim temos 2a e

8b , então:

xx ceycey 22 42

8

Ex.-6 Resolva a equação diferencial 44\ yy .

a) Determine a função que passa pelo ponto 0,1 .

b) Determine a função que passa pelo ponto 1,0 .

c) Verifique se as funções satisfazem a equação.

Exercício

Resolva a equação diferencial:

E-22. 0186\ yy

E-23. 03\ yy

E-24. 02\ yy

E-25. 032\ yy


6

E-26. 63\ yy

E-27. 342 \ yy

E-28. 22 \ yy

E-29. 63 \ yy

E-30. 1\ yy

E-31. 32\ yy

Resolva a equação diferencial e determine a função que passa pelo ponto dado:

E-32. 0102\ yy e 3,0

E-33. 93\ yy e 2,0

E-34. 02\ yy e 1,0

E-35. 32\ yy e 0,1

E-36. 153\ yy e 0,2

E-37. 55\ yy e 0,3

Respostas

R - 22 t

t key 63

R - 23 t

t key 3

R - 24 t

t key 2

R - 25 t

t key 2

23

R - 26 t

t key 32

R - 27 t

t key 2

43

R - 28 22 t

t key

R - 29 36 t

t key

R - 30 t

t key 1

R - 31 t

t key 2

23

R - 32

R - 33

R - 34

R - 35

R - 36

R - 37

2.2 – Fator Integrante

O objetivo é multiplicar a equação diferencial (2) por um fator integrante apropriado e assim

coloca-lo em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante, primeiro multiplicamos a Eq. (2)

por uma função xm , ainda indeterminada. Temos então

xxxxx

xxx

qmypmym

mqypy

\

\

. (5)

Devemos reconhecer o lado esquerdo da Eq.(5) como a derivada de alguma função. O fato de

que existem dois termos e um dos termos é \ym x sugere que o lado esquerdo da Eq.(5) pode ser a

derivada do produto ym x . Para que isto seja verdade, o segundo termo do lado esquerdo da Eq.(5),

ypm xx , deve ser igual a ym x\ . Isto, por sua vez, significa que xm deve satisfazer à equação

diferencial

xxx pmm \ . (6)


2

Se admitirmos, temporariamente, que xm é positiva, podemos escrever a Eq.(6) como

0ln

\

xxxxx

x mparapmdxdp

mm

. (7)

Integrando os dois termos, tem-se:

0ln

0lnCdxpm

xx

xx ee

Cdxpm

.

0Cdxp

xxem . (8)

Observe que xm é positiva para todo x conforme admitido na Eq.(7).

Depois de determinarmos o fator integrante xm , voltamos à Eq.(5). Como xm satisfaz à

Eq.(6), a Eq.(5) se reduz a

xxx qmymdxd

. (9)

Integrando ambos os membros da Eq.(9), obtemos:

cdxqmym xxx

x

xx

mcdxqm

y

. (10)

Uma vez que y representa qualquer solução da Eq.(2), concluímos que toda solução da Eq.(2)

está incluída no segundo membro da Eq.(10). Portanto, esta expressão é uma solução geral da Eq.(2).

Observe que para se encontrar a solução dada pela Eq.(10) são necessárias duas integrações, a primeira

para ter xm pela Eq.(8) e a segunda para determinar y pela Eq.(10).

Nota-se primeiramente, que antes de determinar o fator integrante xm pela Eq.(8) é

necessário ter certeza de que a equação diferencial tem exatamente a forma da Eq.(2); em particular o

coeficiente de \y deve ser a unidade. De outra forma, a função xp usada para o cálculo de xm será

incorreta. Em segundo lugar, depois de encontrar xm e de multiplicar a Eq.(2) pelo fator integrante é

preciso verificar que os termos envolvendo y e \y são, de fato, a derivada de xm como devem ser.

Esta verificação proporciona certeza sobre a correção de xm . Como é natural, uma vez que se tenha

encontrado a solução y , é possível também verificar a sua correção, substituindo-a na equação

diferencial.

A interpretação geométrica da Eq. (10) é a de uma família de curvas, uma para cada valor de c .

Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar um

membro da família de curvas integrais, o que faz pela identificação de um ponto particular 00 , yx

contido no gráfico da solução. Esta exigência se escreve, usualmente, como


3

00yy x , (11)

e é conhecida como uma condição inicial. Uma equação diferencial de primeira ordem, como a Eq.(1) ou

Eq. (2), e uma condição inicial, como a Eq. (11), constituem, em conjunto, um problema de valor inicial.

Exemplo

Ex.-7 Determine a solução geral da equação diferencial 2\ 43 tyty .

tyt

y

tty

ty

tt

ttyty

43

43

43

\

2\

2\

tp

Ex.-8 Determine a solução do problema de valor inicial xeyy 2

\ e 10 y .

Ex.-9 Achar a solução do problema de valor inicial ttyy 2\ e 00 y .

Ex.-10 Achar a solução do problema de valor inicial tyy 2\ e 00 y .

Exercício

Determine a solução geral para a equação diferencial

E-38. tetyy 2\ 3

E-39. tetyy 22\ 2

E-40. 12\ tetyy

E-41. tyt

y 2cos31\ , 0t

E-42. teyy 32\

E-43. tyty sen2\ , 0t

E-44. 2

22\ ttetyy

E-45. 22\2 141 ttyyt

E-46. tyy 32 \

E-47. tetyty 2\

E-48. tteyy 2\ 3

E-49. 2\ 32 tyy

Ache a solução do problema de valor inicial proposto

E-50. tteyy 2\ 2 , 10 y

E-51. tteyy 2\ 22 , 01 y

E-52. 12 2\ ttyty , 21

1 y ,

0t

E-53.

2\ cos2

tty

ty , 0y , 0t

E-54. teyy 2\ 2 , 20 y

E-55. tyty sen2\ , 12

y


25

E-56. teytyt 2\3 4 , 01 y E-57. tytty 1\ , 12ln y

Respostas

R - 38

tt

tCeety 32

91

3

R - 39

tt

tCeety 2

23

3

R - 40

ttt

tCeetey

193

22

R - 41

tCt

ttseny

t 2cos

942

32

R - 42

tt

tCeey 2

3

R - 43

221cos1

tCtsen

tt

ty

t

R - 44 tt e

Cty 2

3

R - 45

221 t

Ctarctgyt

R - 46 263 tt e

Cty

R - 47

Ctteety tt

t

2

R - 48

ttt

tCeetey 322

R - 49 tt te

Ct

ty 22

R - 50

R - 51

R - 52

R - 53

R - 54

R - 55

R - 56

R - 57

2.3 – Discussão sobre as Equações Lineares

Já foi visto que achar soluções dos problemas de valor inicial, com equações lineares de primeira

ordem, é possível mediante o fator integrante para transformar a equação diferencial numa forma

integrável. Agora vamos analisar algumas questões de natureza geral que são:

a) Os problemas de valor inicial mencionados têm sempre uma solução?

b) Podem ter mais de uma solução?

c) A solução vale para todos os t , ou somente para um intervalo restrito nas vizinhanças do ponto

inicial?

Teorema: Se as funções p e q são contínuas num intervalo aberto I : t , que contém o

ponto 0tt , então existe uma única função ty que satisfaz à equação diferencial

tt qypy \ para cada t em I e que também satisfaz à condição inicial 00yy t , onde 0y é

um valor inicial arbitrário.

O teorema afirma que dado um problema de valor inicial tem uma solução e também que a

problema tem somente uma solução. Em outra palavras, teorema assegura a existência e a unicidade da


2

solução do problema de valor inicial tt qypy \ e 00yy t . Além disso, o teorema afirma que

a solução existe em algum intervalo I que contenha o ponto inicial 0t , no qual os coeficientes p e q

sejam contínuos. Isto é, a solução pode ser descontínua ou pode não existir, somente nos pontos onde

pelo menos uma das funções p e q seja descontínua. Estes pontos podem ser identificados, muitas

vezes, por simples inspeção.

Exemplo

Ex.-11 Determine o intervalo no qual o problema de valor inicial 2\ 42 tyty e 21 y , tem uma

solução única. Determine essa solução.

Ex.-12 Achar a solução do problema de valor inicial 12\ tyy e 5,00 y .

Obs.: t s

t dseref0

22

é a função erro, que foi extensamente tabelada e é considerada

uma função conhecida, dado um valor t , podem consultar uma tabela de valores de função erro,

ou então lançar mão de um procedimento numérico.

A seguir temos algumas das mais importantes propriedades das equações diferenciais lineares

de primeira ordem e respectivas soluções.

a) Há uma solução geral, com uma constante arbitrária, que inclui todas as soluções da equação

diferencial. Uma solução particular, que satisfaz a uma certa condição inicial, pode ser

determinada pela escolha conveniente do valor da constante arbitrária.

b) Há uma expressão fechada para a solução, a equação

x

xx

mcdxqm

y

ou a equação

x

t

t ss

m

ydsqmy

00

. Além disso, embora a expressão envolva duas integrações, é uma

solução explícita para ty e não uma equação defina implicitamente.

c) Os possíveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da solução podem ser identificados

(sem a resolução do problema) pela determinação dos pontos de descontinuidade dos

coeficientes. Assim, se os coeficientes forem contínuos para todos os t , então a solução

também existe e é contínua para todos os t

Exercício

Achar a solução geral da equação diferencial:

E-58. tyt

y sen1\ , 0t E-59.

tttyyt sen3\2 , 0t


25

E-60. teyy t 22\ E-61. 12 \ tyy

RESPOSTAS

R - 58 tCt

ttseny t 2cos

432

23

R - 59

R - 60

R - 61

Bibliografia

BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p.


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Capítulo 3 – Equações Lineares de Segunda Ordem

3.1 Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes

Uma equação diferencial ordinária de segunda ordem tem a forma

dtdyyt

fdt

yd,,2

2

, onde f é

uma função conhecida. Dizemos que esta equação é linear quando a função f é linear em y e suas

derivadas, isto é, quando yqdtdypgf ttt

dtdyyt

,,

. Neste caso a equação fica

ttt gyqypy \\\ . Uma equação diferencial linear de segunda ordem é homogênea se o termo

tg for nulo para todo t .

Vamos dirigir a atenção para as equações nas quais as funções P , Q e R são constantes. Neste

caso a equação fica 0\\\ cybyay .

A equação 02 crbrar é a equação característica da equação diferencial

0\\\ cybyay , trtr ececy 2121 é uma solução esta equação diferencial.

Exemplo

Ex.-13 Achar a solução geral da equação 067 \\\ yyy .

Ex.-14 Dado 065\\\

yyy ,

20y e

3

\

0y .

a) Ache a solução do problema de valor inicial.

b) Faça o gráfico da função.

c) Determine o ponto crítico.

d) Descreva seu comportamento quando t aumenta indefinidamente.

Ex.-15 Achar a solução do problema de valor inicial 0384\\\

yyy ,

20y e

21\

0y . Faça o gráfico da

função e determine o ponto crítico. Descreva seu comportamento quando t aumenta.


24

Exercícios

Achar a solução geral da equação diferencial proposta:

E-62. 032 \\\ yyy

E-63. 023\\\

yyy

E-64. 06 \\\ yyy

E-65. 032\\\

yyy

E-66. 05 \\\ yy

E-67. 094\\\ yy

E-68. 099 \\\ yyy

E-69. 022\\\

yyyDetermine a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe o gráfico da solução e descreva

seu comportamento quando t aumenta.

E-70. Corrigir

E-71. 034 \\\ yyy ,

2

0y e

1

\

0y .

E-72. 056 \\\ yyy ,

4

0y e

0

\

0y .

E-73. 03 \\\ yy ,

2

0y e

3

\

0y .

E-74. 035 \\\ yyy ,

1

0y e

0

\

0y .

E-75. 042 \\\ yyy ,

0

0y e

1

\

0y .

E-76. 098 \\\ yyy ,

1

1y e

0

\

1y .

E-77. 04 \\ yy ,

1

2

y e

1

\

2

y .

E-78. 025\\\

yyy ,

10y e

1

\

0y .

Respostas


17

R - 62

tt

tececy 3

21

R - 63

tt

tececy 2

21

R - 64

3

2

2

1

tt

tececy

R - 65

tt

tececy

2

2

1

R - 66

t

teccy 5

21

R - 67

23

2

23

1

tt

tececy

R - 68

tt

tececy 2

539

2

2539

1

R - 69

tt

tececy 31

2

31

1

R - 70

t

tey ; quando t temos que y .

R - 71

tt

teey 3

21

25

; quando t temos que 0y .

R - 72

23 812tt

teey ; quando t temos que y .

R - 73

t

tey 3

1

; quando t temos que 1y .

R - 74

tt

teey 2

1352

135

2613513

2613513

.

R - 75

tt

teey 4

3314

331

332

332

.

R - 76

199

109

101

tt


R - 77

22

22

23

21

tt


R - 78

tt

teey 2

3332

333

332337

332337

; quando t temos que y .


18

3.2 – Raízes complexas da equação característica

A equação 0\\\ cybyay onde a , b e c são números reais. Se procurarmos

soluções de y como combinação de rtce , então r deve ser raiz da equação característica

02 crbrar . Se as raízes 1

r e 2

r foram complexas temos que ir 1

e ir 2

onde e são reais. As expressões correspondentes de y são

ti

tey

1

e

ti

tey

2

.

Pelo cálculo direto, podemos mostrar que o wronskiano de u e v é

t

tvueW

2

, .

Assim, desde que 0 , o wronskiano W não é zero, e assim u e v formam um conjunto

fundamental de soluções. Portanto, se as raízes da equação forem números complexos i ,então a

solução geral da equação 0\\\ cybyay é

tsenectecy tt

t

21cos , onde

1c e

2c são constantes arbitrárias.

Se 0 a função t

y é decrescente, se 0 a função t

y é crescente e se 0 a

função t

y oscila de forma permanente.

Exemplo

Ex.-16 Achar a solução geral de 0\\\ yyy .

Ex.-17 Achar a solução geral de 09\\

yy .

Ex.-18 Achar a solução do problema de valor inicial 0145816 \\\ yyy

2

0y e

1

\

0y .

Exercícios

Achar a solução geral da equação diferencial:

E-79. 022\\\

yyy

E-80. 062 \\\ yyy

E-81. 082\\\

yyy

E-82. 022 \\\ yyy

E-83. 0136 \\\ yyy

E-84. 094\\

yy

E-85. 025,12 \\\ yyy

E-86. 0499\\\

yyy

E-87. 025,1\\\ yyy

E-88. 025,64 \\\ yyy


Achar a solução do problema de valor inicial proposto:

E-89. 04\\ yy ,

0

0y e

1

\

0y

E-90. 054 \\\ yyy ,

1

0y e

0

\

0y

E-91. 052 \\\ yyy , 0

2

y e 2\

2

y

E-92. 0\\ yy , 2

3

y e 4\

3

y

E-93. 025,12 \\\ yyy ,

3

0y e

1

\

0y

E-94. 022 \\\ yyy , 2

4

y e 2\

4

y

Respostas

R - 79

tsenectecy tt

t 21cos

R - 80

tsenectecy tt

t55cos

21

R - 81

tsenectecy tt

t77cos

21

R - 82

tsenectecy tt

t

21cos

R - 83

tsenectecy tt

t22cos

3

2

3

1

R - 84

23

23cos

21

tsenctcyt

R - 85

22cos

21

tsenectecy tt

t

R - 86

34

2

3

1

tt

tececy

R - 87

tsenectecytt

t

2

2

2

1cos

R - 88

23

23cos 2

2

2

1

tsenectecy tt

t

R - 89

tsenyt

221

a oscilação é estacionária.

R - 90

tsenetey tt

t

222cos

a oscilação é amortecida.


R - 91

tseneyt

t22

a oscilação é crescente.

R - 92

tsentyt

321cos321 a oscilação é estacionária.

R - 93

tseneteytt

t

22

25cos3


R - 94

tseneteytt

t

44 2cos2


1.7 Bibliografia

BOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6.

ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p.


APLICAÇÃO

Oscilações Mecânicas

Equação do movimento da massa è

ttttFPkPPm

\\\

onde

m é a massa em kg

é a viscosidade do meio sm

N

k é a constante elástica da mola mN

tF força externa

Condições iniciais

00PP posição inicial

\

0

\

0PP velocidade inicial

Exemplo

Ex.-19 Um corpo de massa 4 kg estica uma mola 5 cm. O corpo é deslocado 15 cm, na direção positiva e depois é

solto. O corpo está em um meio que exerce uma resistência viscosa de 60N quando a sua velocidade é

0,5m/s. Determine a função que modela o movimento.

Resolução

a) Coeficiente elástico da mola

kdFm

kdmg mcmd 05,05 2

10 smg kgm 4

05,0104 k

k05,040

mNk 800

b) Coeficiente de viscosidade do meio

vFv

NFv

60 smv 5,0

5,060

605,0

msN120

c) Equação diferencial

ttttFPkPPm

\\\


08001204

\\\

tttPPP

408001204

\\\

tttPPP

020030

\\\

tttPPP

d) Equação característica

020030 \\\

ttt

PPP

101

r e 202

r

e) Equação posição

trtr

tececP 21

21

tt

tececP 20

2

10

1

d) Condições

“O corpo é deslocado 15 cm”

mcmP 15,0150

Ex.-20 Um corpo de massa 10 kg provoca um deslocamento de 5cm em uma mola. Se o corpo for deslocado de 5cm

e depois posto em movimento, com velocidade inicial, de 0,2m/s, determine a posição do corpo nos instantes

posteriores.

Exercícios

E-95. Um corpo de 2kg de massa estica 15cm uma mola. Se o corpo for puxado mais 10cm e depois liberado, se não

houver resistência do ar, determine a sua posição em qualquer instante t .

E-96. Um corpo de massa 100g estica 5cm uma mola. Se o corpo for impulsionada, a partir do equilíbrio, com uma

velocidade para baixo de 10cm/s, e se não houver resistência do ar, determinar a posição em qualquer instante

t .

E-97. Um corpo, pesa 30N, estica em 8cm uma mola. Se o corpo for empurrado para cima, contraindo 3cm a mola, e

depois for impulsionado para baixo,com velocidade de 0,8m/s, e se não houver resistência do ar, achar a sua

posição em qualquer instante t .

E-98. Um corpo pesando 16N estica 10cm uma mola. O corpo está ligado a um amortecedor viscoso, com constante

de amortecimento 2Ns/m. Se o corpo for movimentado, da posição de equilíbrio, com velocidade para baixo de

0,6m/s, achar a sua posição em qualquer instante t .

E-99. Uma mola é esticada 10cm por uma força de 3N. Um corpo com massa de 2kg é pendurado na mola e também

é ligado a um amortecedor viscoso que exerce uma força de 3N quando a velocidade for 5m/s. Se o corpo for

puxado para baixo 5cm além da posição de equilíbrio, e receber uma velocidade inicial para baixo de 10m/s,

determinar a sua posição em qualquer instante t .


Respostas

R - 95

tPt

16,8cos1,0

R - 96

tsenPt

14,140071,0

R - 97

tsentPt

18,11072,018,11cos03,0

R - 98

R - 99

Bibliografia

BOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno.

6.e. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p.

Documents

Apostila -cálculo_iv_-_equações_diferenciais_-_2010-2