INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 1 Ol pessoal, Recentementefoipublicadorealizaodeconcursopblicodestinadoa selecionar candidatos para o provimento de cargos vagos de Tcnico de Planejamento e PesquisadoInstitutodePesquisaEconmicaAplicadaIPEA.Oconcursoser realizadopelaEscoladeAdministraoFazendriaESAF.Dentreasmatrias presentesnocontedoprogramtico,hamatriamtodosquantitativos,aqual contempla, por sua vez, as matrias estatstica e econometria. O programa, no tocante estatstica, est a seguir transcrito: Estatstica: 1. Estatstica descritiva (dados agrupados e no agrupados). 1.1. Medidas deposio:tendnciacentral(mdia,medianaemoda),separatriz(mediana,quartil, decil,percentil).1.2.Medidasdedisperso:absoluta(amplitudetotal,desvio quartlico, desvio mdio, varincia e desvio padro), relativas (coeficiente de variao evarinciarelativa).1.3.Medidasdeassimetria:coeficientedemomento,coeficiente quartlico e coeficiente percentilico). 1.4. Medidas de curtose (coeficiente de momento e coeficiente percentlico). 1.5. Nmeros ndices: ndice agregativo simples, laspereyres, PaasheeFischer.2.TeoriadeprobabilidadeeInfernciaEstatstica.2.1.Variveis aleatrias:Funodistribuio deprobabilidades,funodensidade.Valoresperado, momentos,varincia.Distribuioconjuntadevariveisaleatrias.Covarinciae correlao.Expectativacondicionadaeleidasexpectativasiteradas.Variveis aleatriasindependenteseno-correlacionadas.2.2.Estimaopontualepor conjunto. Estimadores de mxima verossimilhana. Propriedades dos estimadores, (no viesado,consistente,assintoticamentenormal).DesigualdadedeCramer-Rao, eficincia de um estimador. Intervalos de confiana. Teste de hipteses, erros dos tipos IeII,potnciadoteste.TestedeWald,razodeverossimilhanaemultiplicadorde Lagrange. Naminhaopinioparticular,aspessoasquevmsepreparandoparao concursodeAnalistadoBancoCentraldoBrasil,ouaspessoasquerecentemente fizeram a prova da Associao Nacional dos Cursos de Ps-Graduao em Economia ANPECestaromelhorespreparadasparafazeresseconcurso,poisocontedo programticodemacroeconomia,microeconomia,estatsticaeeconometriaso,em essncia,osmesmossolicitadosnosreferidosconcursos,salvoalgunstpicos avanados.Quanto estatstica, que podemos perceber trata-se de estatstica bsica e avanada,recomendo queoscandidatossepreparempormeiodosseguintesmateriais de estudo: ESTATSTICA BSICA (Todo o tpico 1 do contedo programtico): As aulas do professoreamigoSrgioCarvalho, asquaisestodisponibilizadas aqui no site ponto dos concursos. TOLEDO, G.L e OVALLE, I.I Estatstica Bsica. So Paulo: Atlas, 1995. HOFFMANN, R. Estatstica para Economistas. Rio de Janeiro: Pioneira, 1973. ESTATSTICA AVANADA (Todo o tpico 2 do contedo programtico): MEYER,P.L.ProbabilidadeAplicaesEstatstica.SoPaulo:Livros Tcnicos e Cientficos Editora, 1983. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 2 Disponibilizo,aseguir,apostiladeexercciosdeestatsticabsicae avanada,aqualpodersertilquelaspessoasqueestosepreparandoparaos concursosquepedemessasduasdisciplinas.Leiamasobrasqueeuindiquei,e pratiquemseusconhecimentosnomaterialaseguir.Aprimeiraparte,reservada estatstica bsica, atende quelas pessoas que esto se preparando para concursos como oAuditorFiscaldaReceitaFederal,readepolticaeadministraotributria.A segundaparte,reservadaestatsticaavanada,atendespessoasqueestose preparando para os concursos de Tcnico de Planejamento e Pesquisa do IPEA, Analista doBancoCentraldoBrasil,AnalistadaComissodeValoresMobilirios,Auditor-Fiscal da Previdncia Social e outros concursos, bem como quelas pessoas que vm se preparandoparaaprovadaAssociaoNacionaldosCursosdePs-Graduaode Economia ANPEC. Em minhas primeiras aulas aqui no site, cheguei a comentar duas provas de estatstica, uma realizada pelo CESPE/UnB, e outra realizada pela ESAF. Sugiro que osconcursandosimprimatambmessematerial,afimdequeessematerialsirvade complemento s obras anteriormente citadas, as quais so imprescindveis preparao do candidato. Um forte abrao, bom final de semana, e at o nosso prximo encontro. Serginho. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 3 ESTATSTICA BSICA Questes Selecionadas de Concursos Pblicos e do Exame Nacional da ANPEC 2004 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 4 CONTEDO PROGRAMTICO DE ESTATSTICA BSICA I ESTATSTICA DESCRITIVA 1. Conceito. Populao; Censo; Amostra; Experimento aleatrio; Variveis e atributos; Variveis aleatrias discretas e contnuas; Normas para apresentao tabular de dados. 2. ORGANIZAO DE DADOS ESTATSTICOS. -Quadros e tabelas;-Distribuio de freqncias;-Intervalos de classe;-Ponto mdio;-Freqncias absolutas e relativas;-Freqncias acumuladas;-Grficos: barras, colunas, histogramas e polgonos de freqncias. 3. MEDIDAS DE POSIO. -Mdia aritmtica;-Propriedades da mdia;-Clculo Simplificado da mdia;-Mediana;-Moda;-Mdias geomtrica e harmnica. 4. MEDIDAS DE DISPERSO. -Amplitude;-Desvio mdio;-Varincia absoluta;-Propriedades da varincia;-Clculo simplificado da varincia;-Desvio padro;-Varincia relativa e coeficiente de variao. 5. MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE. NMEROS NDICES. -Nmeros relativos;-Nmerosndices:aritmticossimpleseponderado,harmnicosimplese ponderado, Geomtrico simples e ponderado;-ndices complexos de qualidade e de preos: Laspeyres e Paasche;-Mudana de base. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 5 Questes de Concursos Pblicos Para a soluo das questes de nmeros 01 a 06 utilize o enunciado que se segue. O atributo do tipo contnuo X, observado como um inteiro, numa amostra 100 obtida de uma populao de 1000 indivduos, produziu a tabela de freqncias seguinte: ClassesFreqncia (f) 29,5 39,54 39,5 49,58 49,5 59,514 59,5 69,520 69,5 79,526 79,5 89,518 89,5 99,510 01 (ESAF/AFRF/2002-2) - assinale a opo que corresponde estimativa da mediana amostral do atributo X. a)71,04 b)65,02 c)75,03 d)68,08 e)70,02 02 (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opo que corresponde estimativa do nmero deindivduosnapopulaocomvaloresdoatributoXmenoresouiguaisa95,5e maiores do que 50,5. a)700 b)638 c)826 d)995 e)900 03 (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opo que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a)69,50 b)73,79 c)71,20 d)74,53 e)80,10 04- (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opo que corresponde ao desvio absoluto mdio do atributo X. a)16,0 b)17,0 c)16,6 d)18,1 e)13,0 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 6 05 (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opo que d o valor do coeficiente quartlico de assimetria. a)0,080 b)0,206 c)0,000 d)0,095 e)0,300 06) (ESAF/AFRF/2002-2) Para a distribuio de freqncias do atributo X sabe-se que: 7i=1(Xi -___X )2 fi = 24.500 e que 7i=1(Xi - ___X )4 fi = 14.682.500 NessasexpressesosXirepresentamospontosmdiosdasclassese ___X amdia amostral. Assinaleaopocorreta.Considereparasuarespostaafrmuladacurtosecombase nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado populacional. a)A distribuio do atributo X leptcrtica. b)A distribuio do atributo X platicrtica. c)AdistribuiodoatributoXindefinidadopontodevistadaintensidadeda curtose. d)Ainformaodadaseprestaapenasaoclculodocoeficientedeassimetriacom base nos momentos centrados de X. e)A distribuio de X normal. 07 (ESAF/AFRF/2002-2) Uma varivel contbil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes: GrupoMdiaDesvio Padro A204 B103 Assinale a opo correta. a)No grupo B, Y tem maior disperso absoluta. b)A disperso absoluta de cada grupo igual disperso relativa. c)A disperso relativa do Grupo B maior do que a disperso relativa do Grupo. d)A disperso relativa de Y entre os Grupos A e B medida pelo quociente da diferena de desvios padro pela diferena de mdias. e)Sem o conhecimento dos quartis no possvel calcular a disperso relativa nos grupos. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 7 08 (ESAF/AFPS-2002/Auditoria nasEnt.Fech.dePrev. Complementar)-Sabe-sequeavarivelaleatriaXtemdistribuiodeprobabilidadesuniformenointervalo (a,b) com 0 x (Mdia aritmtica) , ela diz-se assimtrica a direita e, assimtrica a esquerda, em caso contrrio. II TPICO ESPECIAL: NMEROS-NDICES Questes de Concursos Pblicos 01 - A cesta bsica das quantidades consumidas por uma pessoa nos perodos T1 e T2 apresenta os seguintes resultados: I O somatrio do valor T1 igual ao somatrio do valor T2 II O ndice de preo de Laspeyre do perodo T2 base T1 125. EntopodemosafirmarqueondicedequantidadedePaaschedoperodoT2base perodo T1 ser: a)75 b)80 c)100 d)120 e)125 02 - (ESAF/AFRF-2002-2) - No tempo t0 + 2 o preo mdio de um bem 30% maior do que em t0 + 1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0 + 3. Assinale a opo que d o relativo de preos do bem em t0 + 3 com base em t0 + 1. a)162,5% b)130,0% c)120,0% d)092,9% e)156,0% 03(ESAF/AFPS-2002/AuditoriadasEntidadesFechadasdePrevidncia Complementar)-Ondicedeinflaonomsdejunhofoide10%esemanteve constantenessenvelemjulhoeagosto.Assinaleaopoquemaisseaproximada desvalorizao da moeda nesse perodo. a) 33% b) 30% c) 25% d) 20% e) 10% 04 (ESAF/AFRF-2002-1) A inflao de uma economia, em um perodo de tempo t, medidaprumndicegeraldepreos,foide30%.Assinaleaopoqueda desvalorizao da moeda dessa economia no mesmo perodo. a)30,00% b)23,08% c)40,10% d)35,30% e)25,00% INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 18 05(AnalistadoBancoCentraldoBrasil)-Emjaneiro,fevereiroemarodeum certoano,astaxasdeinflaoforam,respectivamente,5%,7%e9%.Ainflao acumulada no trimestre foi de(A) 21% (B) 22,46% (C) 23,72% (D) 24,02% (E) 25,08% 06(Analistado BancoCentraldoBrasil)-Numcertopas,ainflaoacumulada em 97 foi de 25%. A perda do poder aquisitivo da moeda, no final do ano, em relao ao incio do mesmo ano foi de (A) 27% (B) 25% (C) 22% (D) 20% (E) 18% 07-(ESAF/Analista(Planej.eExecuoFinanceira)-CVM-2000)-Atabela abaixodaevoluonostempost1et2dospreos,emreais,edasquantidades,em unidades apropriadas, de trs produtos A, B e C. Assinale a opo que corresponde ao ndice de preos de Paasche com base em t1, com duas casas decimais. ProdutosPreosQuantidades t1t2t1t2 A2,203,005040 B2,002,0023 C0,500,6080100 a) 131% b) 202% c) 129% d) 186% e) 154% Questes do Exame Nacional da ANPEC (ANPEC 1992 - QUESTO 12) - Pode-se fazer as seguintes afirmaes a respeito dos ndices de Laspeyres (IL) e de Paasche (IP): (0)O IP sempre inferior ao IL porque ele resulta de uma mdia harmnica e o IL de uma mdia aritmtica. (1)No IL os pesos so fixos. (2)OcustodelevantamentodondicedePaaschemaiorqueodondicede Laspayres. (3)A multiplicao do IL de quantidade pelo IP de preo resulta no ndice de valor. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 19 (4)O ndice do Custo de Vida sempre superestimado pelo IL e subestimado pelo IP. (ANPEC1994-QUESTO2)-Comrelaoconstruodenmeros-ndices podemos afirmar que: (0)OndicedepreosdeLaspeyresumamdiaaritmticaponderadadendices relativos,sendoosfatoresdeponderaoosvaloresdosbensconsideradosno perodo base. (1)O ndice real de Fisher a mdia harmnica dos nmeros-ndices de Laspeyres e de Paasche. (2)Deflatorqualquerndicedepreosutilizadosparaequiparar,porreduo, valoresmonetriosdediversaspocasaovalormonetriodeumadeterminada poca tomada como base. (3)Se a produo de certo produto em 1991 foi de 520.000 toneladas e em 1992 foi de503.000toneladas,podemosafirmarqueocorreuumdecrscimode5%na produo entre esses dois anos. (ANPEC 1995 - QUESTO 8) - O ndice Nacional de Preos ao Consumidor (INPC) tem as seguintes caractersticas: (0) calculado mensalmente pela Fundao Getlio Vargas. (1)Resultadamdiaaritmticaponderadadosndicesdepreosaoconsumidor, preos por atacado e preos da construo civil. (2)Abrange todas as capitais de estado brasileiras. (3)Mede perfeitamente a inflao do pas. (4) uma verso modificada do ndice de preos de Laspyres. (ANPEC1996-QUESTO11)-Considereasinformaessobrepreose quantidades consumidas por um conjunto de famlias em dois perodos sucessivos dadas na tabela a seguir: BEMPERODO 0 PERODO 1 Preo (em Reais)Quantidade (Kg)Preo (em Reais)Quantidade (Kg) Feijo1,0041,502 Acar1,0022,001 Carne1,0020,502 Podemos afirmar que: (0)A variao percentual do nvel de preos pelo ndice de Paasche foi de 20% e pelo ndice de Laspeyres foi de 30%. (1)A variao percentual do nvel de preos pelo ndice de Laspeyres foi maior que a variao pelo ndice de Paasche. (2)Ambas variaes percentuais foram inferiores a, no mnimo, 30%. (3)AvariaopercentualdonveldepreospelondicedeLaspeyresfoi superior a 35%. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 20 (4)AvariaopercentualdonveldepreospelondicedeLaspeyresfoi exatamente de 37,5% e pelo ndice de Paasche foi superior a 25%. (5)AvariaopercentualdonveldepreospelondicedeLaspeyresfoi exatamente de 37,5% e pelo ndice de Paasche foi inferior a 25%. (ANPEC1997-QUESTO13)-Supondoqueosdadosaseguirreferem-seao consumo bsico de uma famlia de baixa renda, determine a inflao (ou a variao dos preos)ocorridanoperodoespecificadoparaoconjuntodeitensdoconsumobsico, utilizando,paratanto,omtododeLaspeyres.Coloquearespostaexpressaem percentagem. Itens Participao relativa no gasto em Jan/95 Preo por unidade (%)Janeiro/95Janeiro/96 feijo110,750,90 arroz80,500,80 farinha100,450,63 leo60,751,05 po 181,002,00 leite60,450,63 caf74,506,75 acar90,600,78 margarina101,702,55 carne151,802,16 Total100-- (ANPEC 1998 - QUEST0 12) - Com base na equao da Renda Nacional (Y = C + I + X - M) e nos dados a seguir, calcule a Renda Nacionalem 1996, a preos constantes de 1990.

RENDA NACIONAL A PREOS CORRENTES (em milhes de unidades monetrias) COMPONENTES 19901996 Consumo ( C )15,020,0 Investimento ( I )5,08,4 Exportao ( X )2,03,0 Importao ( M )1,01,8 Renda Nacional ( Y )21,029,6 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 21 DEFLATORES (Base: 1990 = 100) NDICES 1996 Custo de Vida125 Investimento105 Exportaes150 Importaes180 (ANPEC 1999 - QUESTO 3) - Com base na teoria dos Nmeros ndices, pode-se afirmar que: (0) Os ndices de Laspeyres de preos e de quantidades podem ser obtidos ponderando-se, respectivamente, os ndices simples relativos de preos e de quantidades aos diferentes bens pelos valores no perodo base.

(1) EmrelaoaondicedeLaspeyresedePaasche,osdeFisherpossuemduas vantagens: observam a propriedade de reverso no tempo, e o ndice de preos vezes o de quantidade igual ao ndice de valor. (2) OndicedepreosdeLaspeyres,emgeral,maiordoqueondicedepreosde Paasche,poisparaoprimeiro,aponderaofixanapocabaseeparaosegundo varivel na poca atual. (3) Os ndices de Fisher, definidos como a mdia geomtrica dos ndices de Laspeyres e de Paasche, so sempre maiores do que estes dois ltimos. (ANPEC2000-QUESTO02)-Atabelaabaixoapresenta,paraosanosde1994e 1999,dados hipotticos sobrepreos e quantidades vendidas de 6 diferentes produtos comercializadosporcertacompanhia.Calculeavariaopercentualdospreosdos produtos da companhia neste perodo, utilizando o ndice de Paasche. 1994 1999 Tipodeproduto PreoQuantidade Vendida PreoQuantidade Vendida A5 8020100 B710061000 C22005200 D36004500 E13002200 F21003200 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 22 (ANPEC 2001 - QUESTO 02) - Em relao a ndices de preos, correto afirmar: (0) Os ndices de Laspeyres e Paasche permitem comparar o custo de aquisio de uma cestademercadoriasnoperodot,comocustodeaquisiodessamesmacestade mercadorias no perodo base. (1) ndice de Laspeyres subestima a variao do preo entre dois momentos enquanto o ndice de Paasche superestima. (2)OndicedeFischerdadopelamdiaharmnicadosndicesdeLaspeyrese Paasche e obedece ao critrio da decomposio das causas. (3) Se o preo de determinado produto teve acrscimo de 16% e provocou crescimento do ndice de custo de vida de 0,4%, ento esse produto representa 2,5% das despesas da famlia tpica objeto da pesquisa de oramentos familiares. (4) Tomando o ano zero como base, foram observados os seguintes valores para o ano 1:ndicedoPIBnominal=120;ndicedequantidadedeLaspeyres=80.Pode-se entoconcluirqueataxadeinflaonoperodo,medida pelodeflatorimplcito do PIB, foi de 50%. (ANPEC 2002 - QUESTO 02) - Em relao a ndices e deflacionamento de preos correto afirmar: (0)OsndicesdepreosdeLaspeyresedePaaschegeram,emgeral,resultados diferentesquandoutilizadosparaavaliaravariaodonveldospreosdeum conjunto de produtos, mas ambos atendem condio de reverso no tempo. (1) Se um determinado ndice de preos com ano base em 1992 assume os valores I95 = 300eI96 = 400em1995e1996,respectivamente,entoumprodutocompreo corrente de R$ 10,00 em 1996, tem preo de R$ 7,50, em moeda de 1995. (2) Multiplicando-se um ndice de preos de Laspeyres por um ndice de quantidades de Laspeyres, obtm-se um ndice relativo de valor das vendas (I(Vt|V0)). (3) Se os preos dos automveis aumentam em 20% e isso se reflete em um aumento de 0,1%noICV0-3SM(ndicedeCustodeVidade0a3salriosmnimos)eemum aumentode1,2%noICV10-20SM,entoopesodosautomveisnasdespesasdos famliastpicascomrendaentre10-20SM12vezesmaiordoquenasfamlias tpicas com renda entre 0 a 3 SM. (4) Para calcular o ndice de preos de Paasche para uma srie de anos requer-se menos informao do que para calcular o ndice de Laspeyres. (ANPEC 2003 -QUESTO 01)-Comrelaoaosnmerosndice, corretoafirmar que: (0) o ndice de Fisher uma mdia harmnica dos ndices de Paasche e Laspeyres; (1)ondicedepreosdeLaspeyresumamdiaharmnicaderelativosdepreos ponderados pelo valor dos bens no perodo base;(2)ondicedepreosdePaascheumamdiaaritmticaderelativosdepreos ponderados pelo valor dos bens no perodo atual; INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 23 (3)emboraosndicesdeLaspeyresedePaaschenosatisfaamaocritrioda decomposiodascausas,oprodutocruzadodeumLaspeyresdepreoporum Paasche de quantidadesatisfaz; (4) o ndice de Paasche de preos pode ser calculado pela diviso de um ndice de valor por um ndice Laspeyres de quantidade. GABARITO DAS QUESTES DE CONCURSOS PBLICOS INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 24 I ESTATSTICA DESCRITIVA 01 A 02 C 03 B 04 E 05 D 06 B 07 C 08 A 09 D 10 B 11 A 12 C 13 B 14 E 15 C 16 A 17 E 18 C 19 A 20 A 21 B 22 D 23 C 24 C 25 C 26 F-F-V-V-F 27 C 28 E 29 E 30 C II TPICO ESPECIAL: NMEROS-NDICES 1 B 2 D 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 25 GABARITO DA ANPEC ANPEC 1990 ANPEC 1991 ANPEC 1992 ANPEC 1993 1.(0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 2.(0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V 3.(0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V 4.(0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F 5.(0) F - (1) V - (2) F - (3) V 6.03 7.(0) F - (1) V - (2) F - (3) V 8.(0) F - (1) F - (2) V - (3) F 9.(0) F - (1) F - (2) F - (3) V 10.(0) F - (1) V - (2) F - (3) F 11.(0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F 12.(0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F 13.(0) V - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F 14.(0) F - (1) V - (2) V - (3) V 15.(0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F ANPEC 1994 1.(0) P - (1) P - (2) V - (3) F - (4) F 2.(0) V - (1) F - (2) V - (3) F 3.20 4.(0) F - (1) F - (2) V - (3) F 5.08 6.(0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 7.(0) V - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F 8.(0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 9.03 10.(0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V 11.P 12.55 13.P 14.(0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F - (5) V 15.(0) F - (1) F - (2) V - (3) F ANPEC 1995 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 26 1.23 2.(0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F 3.(0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) V 4.(0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F 5.(0) F - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F 6.(0) F - (1) F - (2) F - (3) V 7.(0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F 8.(0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) V 9.(0) V - (1) V - (2) V - (3) F 10.30 11.(0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V 12.(0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V 13.(0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) V 14.(0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F 15.(0) V - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V ANPEC 1996 1.(0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F - (5) F - (6) V - (7) F 2.97 3.(0) V - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V - (5) F 4.22 5.(0) V - (1) V - (2) F - (3) V 6.(0) F - (1) F - (2) V - (3) F 7.41 8.(0) V - (1) F - (2) F - (3) F 9.(0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) V - (5) V 10.(0) V - (1) V - (2) F - (3) F 11.(0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F - (5) V 12.(0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F 13.(0) F - (1) V - (2) V - (3) F 14.00 15.(0) V - (1) F - (2) F - (3) F ANPEC 1997 QUESTES 123456789101112131415 0EC25C58CCECCEE48CC Q1CCCEECEECCEC U2ECEECCCCEEEC E3CCCEEECEECCE S4ECCCECC I5 T6 O7 S8 9 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 27 ANPEC 1998 QuestesQuesitos 010203040506070809101112131415 00VXFVVXXFFVV25FVV 01VFVFFXVVVFFVFV 02FXVVVXFVVFVFFF 03FVVVFXFVFFVVFV 04FVVV ANPEC 1999 PROVA DE ESTATSTICA ques./quest 123456789101112131415 00E11CECCEXEECEEEE 01CCCCCCEECECCE 02CCCCECCCECCEC 03EEEEXECCECECC 04CCCEECC (nc* = no consta) (X = anulada) ANPEC 2000 IT\QUES 123456789101112131415 0F20FVFVVV3217FFV13V 1VFFVVFFFFFV 2FVVFFFVVVFF 3FVFFFVVVF 4VVVFFFV ANPEC 2001 123456789101112131415 0VVVVFFVFFFVV99225 1VFVVFFFVVVFF 2FFFFVFVVFVVV 3VVFFVVVFFFFF 4VVFFFFVFFVVV ANPEC 2002 Prova de Estatstica (4) 123456789101112131415 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 28 0FFFVAVFVFVFF20650 1FVVVFFVFFVVF 2VFFFFVFFVFVF 3VVFFFFVVVFFV 4FFVFFVVFVVFF GABARITO DA PROVA 2 - ANPEC 2003 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 F F F F AF F F F F 75 40 04 25 111 F V F V V VF F F V2 F V V F F F FV V V3 V F F F V FV F F V4 V F F V F F V V V F INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 29 ESTATSTICA AVANADA Questes de concursos pblicos, do Provo do MEC e do exame nacional ANPEC Braslia-DF 2003 I PROBABILIDADE INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 30 Questes de Concursos Pblicos 01 - (BACEN/ESAF/2002) - Uma empresa fabrica motores a jato em duas fbricas A e B.Ummotorescolhidoaoacasodeumlotedeproduo.Nota-sequeomotor apresenta defeitos. De observaes anteriores a empresa sabe que 2% e 3% so as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fbrica A responsvel por 40% da produo, assinale a opo que d a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A. a) 0,012 b) 0,030 c) 0,308 d) 0,400 e) 0,500 02-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria)-Suponhaquea probabilidadedeumeventoCseja0,4equeaprobabilidadecondicionaldoeventoD dadoqueCocorreuseja0,2.Assinaleaopoquedovalordaprobabilidadede ocorrncia de D e C. a) 0,50 b) 0,08 c) 0,00 d) 1,00 e) 0,60 03-(ESAF/AFPS-2002/AuditorianasEnt.Fech.dePrev.Complementar)- Considere um ensaio aleatrio com espao amostral {T,U,V,W}. Considere os eventos M={T}, N={U,V} e S={W}. Assinale a opo correta relativamente probabilidade de MNS. a) No se pode determinar a probabilidade da interseo sem maiores informaes. b)oprodutodasprobabilidadesdeM,NeS,poisoseventossoestatisticamente independentes. c) A probabilidade um, pois pelo menos um dos trs eventos deve ocorrer. d)Aprobabilidadedainterseo1/3seoseventoselementaresforemigualmente provveis. e) A probabilidade da interseo nula, pois os eventos so mutuamente exclusivos. 04 (Analista do Banco Central 1994) O gerente de finanas de um banco chefiou odesenvolvimentoeaimplantaodeumnovosistemaqueveiocausarsrios problemasinstituiodevidoa um errocometido por um dosmembrosdaequipe. O Gerente,comprobabilidadeiguala0,8,oresponsvelpeloerrocometido.Dois assessores diretos, X e Y, sabem se o gerente ou no culpado e foram chamados para umareuniocomapresidnciadobanco.OassessorX,primeiroaserchamado, amigodogerenteediraverdade,seogerenteforinocente,masmentir,com probabilidadeiguala0,2,seogerenteforculpado.JoassessorY,segundoadar testemunho, odeia toda a equipe e dri a verdade, se o gerente for culpado, mas mentir, com probabilidade igual a 0,3, se o gerente for inocente. Com base na situao apresentada, julgue os itens que se seguem. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 31 a)SeXdisserpresidnciaqueogerenteoresponsvelpeloerro,achancedeo gerente ser inocente ser igual a 0,2 b)O testemunho falso mais provvel ser dado pelo assessor X. c)OsassessoresXeYdaro,comprobabilidadeiguala0,16,testemunhos conflitantes. d)SeXeYderemtestemunhosconflitantes,achancedeogerenteserinocenteser igual a 3/11 e)Os eventos {X mente} e {Y mente} so dependentes. 05(AnalistadoBancoCentral1998)Deumaurnacontendo10bolinhas numeradasde1a10,duassosorteadassucessivamentesemreposio(aordemdos nmerosnolevadaemconsiderao).Aprobabilidadedequeosnmerossejam inferiores a 4 : a)3/10 b)1/15 c)2/7 d)1/3 e)19/86 Questes do Exame Nacional da ANPEC (ANPEC 1992/QUESTO 2) - Com relao Teoria da Probabilidade pode-se afirmar que: (0)O espao amostral de um experimento o conjunto de resultados possveis deste experimento. (1)O evento um resultado possvel do experimento. (2)Se A e B so eventos independentes, ento P(A/B) = P(A). (3)Se A e B so eventos mutuamente exclusivos, ento eles so independentes. (4)A definioclssicadeProbabilidadepressupequetodososresultados deum experimento so igualmente provveis. (ANPEC1992/QUESTO3)-Emumauniversidade,30%doshomense20%das mulheresestudammatemtica.Almdisso,45%dosestudantessomulheres.Seum estudante escolhido aleatoriamente est estudando matemtica, qual a probabilidade de que esse estudanteseja mulher? (use duas casas decimais e multiplique o resultado por 100). (ANPEC1993/QUESTO6)-Suponhaduascaixasdebombons.NacaixaAtemos dois bombons com recheio e quatro sem recheio. Na caixa B temos trs bombons com recheioetrssemrecheio.Umbombomretiradodeumadascaixasnotemrecheio. Qual a probabilidade que tenha vindo da caixa B? (Multiplique o resultado por 7). (ANPEC1994/QUESTO3)-Umagrandeempresatemdoisdepartamentosde produo:ProdutosMartimoseProdutosparaOficinas.Aprobabilidadedequea diviso de Produtos Martimos tenha, no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mnimo 10% estimada em 0.30; a probabilidade de que a diviso de Equipamentos INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 32 para Oficinas tenha uma margem de lucros de pelo menos 10% 0.20; e a probabilidade dequeambasasdivisestenhamumamargemdelucrodenomnimo10%0.06. Determine a probabilidade de que a diviso de Equipamentos para Oficinas tenha uma margemdelucrodenomnimo10%dadoqueadivisodeProdutos Martimostenha alcanado tal nvel de lucro. (Multiplique o resultado por 100). (ANPEC1994/QUESTO14)-ComrelaoteoriadaProbabilidadepode-se afirmar que: (0)Se A e B so eventos independentes, ento: P A B P A P B ( ) ( ) ( ) = +(1)Se A, B e C so eventos quaisquer com P(C) 0, ento: P A B C P A C P B C ( | ) ( | ) ( | ) = + (2)Se A e B so eventos quaisquer ento: P A B P A B ( ) ( ) = (3)P A P A ( ) ( ) + = 0. (4)A, B e C so eventos independentes se, e somente se, P A B C P A P B P C ( ) ( ). ( ). ( ) =(5)A definio freqentista de Probabilidade fundamentada na idia de repetio do experimento. (ANPEC1995/QUESTO1)Aprobabilidadedequeopreodoscombustveis aumente no ms vindouro estimada em 0,4. Se isto ocorrer, a probabilidade de que os preosdostransportescoletivostambmaumentemde0,5;casocontrrio,esta probabilidadede0,1.Senaquelemso preodapassagens, defato,subirem,quala probabilidade de os preos dos combustveis no terem sofrido majorao? (Multiplique o resultado por 100 e considere apenas a parte inteira do resultado). (ANPEC1995/QUESTO6)-Sejam{ } S s s sn=1 2, , , K oespaoamostraldeum experimento aleatrio eE e E1 2dois eventos de S. Ento: (0)P(s1) + ... + P( sn) = 1 se s sn 1, , K forem independentes. (1)P( E E1 2 ) = P( E1).P( E2) seE1 eE2 forem mutuamente exclusivos. (2)P( E E1 2 ) = P( E1) + P( E2) seE1 eE2 forem independentes. (3)P( E1/ E2) = P( E2/ E1) se e somente se P( E1) = P( E2) 0. (ANPEC 1996/QUESTO 1) -Considere um espao amostralcomaterna) , , ( P , onde oconjuntouniverso,oconjuntodospossveiseventosePuma medida de probabilidade. Podemos afirmar que: (0)Se A, B so dois eventos, ento A B um evento, isto , A B . (1)Se A, B so dois eventos disjuntos, isto , A B = , ento P(A B) = 0. (2)Se A um evento tal que P(A) = 0, ento A = . INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 33 (3)Se A um evento tal que P(A) = 1, ento A = . (4)Dois eventos independentes A, B so necessariamente disjuntos. (5)Se A, B so dois eventos quaisquer, ento P(A B) = P(A) + P(B). (6)Se dois eventos A, B so independentes, ento P(A B) = P(A) P(B). (7)Dados dois eventos A, B , se P(A B) = 0, ento A e B so necessariamente disjuntos. (ANPEC 1996/QUESTO 7)-Trslmpadasdefeituosasforammisturadascom seis lmpadas boas. Se duas lmpadas so escolhidas aleatoriamente, calcule a probabilidade de ambas serem boas. Multiplique o resultado por 100 e considere apenas a parte inteira do resultado. (ANPEC1997/QUESTO2)-SejaS={s1,...,sN}oespaoamostraldeum experimento aleatrio e E1, E2, E3 eventos de S.Ento: (0)( ) ( ) ( )P E E E =P E EE P E E P(E )1 2 3 3 1 2 2 1 1I I I . (1) P(E1) > P(E2) implica ( ) ( )P E E P E E1 2 2 1> , casoP E ( )20 . (2)( ) ( ) P E E P E E1 2 1 2I U + P E P E ( ) ( )1 2. (3)SeE1,E2,E3foremeventosindependentes,ento ( ) P E E E =P(E ) P(E ) P(E )1 2 3 1 2 3I I . (ANPEC1998/QUESTO2)-Considereumespaoamostralcomaterna(,,P), onde o conjunto Universo, o conjunto dos possveis eventos e, P , uma medida de probabilidade. Assim, pode-se afirmar que : (0)Se A, B e C so eventos de , ento o evento exatamente um dos eventos ocorre expresso na notao de conjunto como( ) ( ) ( ) A B C A B C A B C I I U I I U I I .(1) Se A e B so dois eventos quaisquer de , ento P(AUB) P(A) + P(B). (2)SeAeBsodoiseventosquaisquerde,ondeP(A)=1/2,P(B)=1/3eP(AB) =3/4, ento P( A B)=1/4 e P( A B I ) =1/4.(3)SeAeBsodoiseventosquaisquerde,entoseP(A|B)>P(A)tem-seque P(B|A) > P(B). (ANPEC 1998/QUESTO 3) - A tabela de contingncia a seguir apresenta os dados de umaamostrade150empresas,classificadossegundoquatrogruposindustriaiseseo retorno sobre o capital prprio maior ou menor que o retorno mdio na amostra. Grupo Retorno sobre o capital prprioTotal IndustrialAcima da mdia (A)Abaixo da mdia (B) I204060 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 34 II101020 III201030 IV251540 Total7575150 Com base nestas informaes, verifique as seguintes afirmaes: (0) Seselecionarmosumaempresaaoacaso,aprobabilidadedaempresaserdogrupo III ou ter o retorno sobre o capital prprio abaixo da mdia 40%. (1)Se selecionarmos uma empresa ao acaso, a probabilidade da empresa ser do grupo I de 40%. (2)Se a empresa escolhida ao acaso for do grupo II, a probabilidade do retorno sobre o capital prprio estar acima da mdia 50%. (3)Seduasempresasdiferentessoescolhidasaoacaso,aprobabilidadedesair primeiroumaempresadogrupoIedepoisumaempresadogrupoIII aproximadamente igual a 8%. (4)OeventogrupoIindependeestatisticamentedoeventoretornosobreocapital prprio acima da mdia. (ANPEC1999/QUESTO15)-ComrelaoTeoriadasProbabilidadepodemos afirmar que: (0) Sendo A e B dois eventos independentes e se P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4, ento P(AB) = 0,5. (1) Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos e se P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4, ento P(AB) = 0,5. (2)SejaSumespaoamostraleAeBdoiseventosquaisquerassociadosaS.Ento P A B P A B ( | ) ( | ) + = 1,ondeP A B ( | ) =probabilidadedeocorrnciadoeventoA dado de ocorreu o evento B. (3)UmprojetoparasertransformadoemleideveseraprovadopelaCmarados DeputadosepeloSenado.AprobabilidadedeseraprovadopelaCmarados Deputadosde40%.CasosejaaprovadopelaCmara,aprobabilidadedeser aprovado noSenado 80%.Logo,aprobabilidadedesseprojetosertransformado em lei de 32%. (4) Num processo eletivo 55% dos votantes so homens. Sabe-se que dentre os homens 40%preferemocandidatoA,50%ocandidatoBeos10%restantesvotamnos demais candidatos. Dentre as mulheres 60% preferem A, 25% preferem B e o restante osdemaiscandidatos.SeumvotoescolhidoaoacasoforparaocandidatoA,a probabilidade deste voto ser de uma mulher de 55,1%. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 35 (ANPEC 2000/QUESTO 01) - Considereaterna(S,,P),emqueSo conjuntoUniverso,oconjuntodospossveiseventose,Pumamedidade probabilidade.Verifiquequaisdasafirmativasabaixosoverdadeiras(V)equaisso falsas (F): (0)Se dois eventos so disjuntos, eles sero tambm independentes.(1) Para doiseventos quaisquer AeB,Prob(A)=Prob(ABc)+Prob(AB),em que Bc o complemento de B. (2)Sejam dois eventos A e B, em que Prob (A) = 1/2 e Prob (B) = 1/3. Se A e B so eventos mutuamente exclusivos, ento Prob (BAc) igual a 1/6.(3) Sejam os eventos A, B e C,tais que Prob (ABC) = Prob(A). Prob(B). Prob(C). Pode-se ento afirmar que estes eventos so independentes. (ANPEC 2001/QUESTO 01) - Os formandos de determinada faculdade de economia tomaram as seguintes decises para o ano seguinte: DecisoHomensMulheresTotais Fazer mestrado em economia7916 Fazer outros cursos5611 Procurar emprego16925 Totais282452 Com base nessas informaes, correto afirmar: (0) A probabilidade de que as mulheres continuem estudando aproximadamente 46% superior dos homens. (1) Sabendo-se que algum optou por procurar emprego, a probabilidade de ser homem 64%. (2) Se a probabilidade de ser aprovado no exame de seleo para mestrado em economia de 30%, espera-se que 1/4 dos homens iniciem o curso no ano seguinte. (3) Se a probabilidade de encontrar emprego de 40% e a de ser aprovado nos exames de seleo de 30% e 45%, respectivamente, para o mestrado em economia e para os outros cursos,espera-se que 9 mulheres atingiro seus objetivos. (4) Entre os formandos que pretendem continuar estudando, 1/3 mulher que pretende fazer mestrado em economia. (ANPEC 2002/QUESTO 01) - Considere o espao amostral S, os eventos A e B referentes a S e a medida de probabilidade P. (0)SeP(A)= 21,P(B)= 41,eAeBsomutuamenteexclusivos,entoP(AB) =81. (1) Se A B, ento P(A|B) P(A). INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 36 (2)Se P(A) = 21, P(B) = 31 e P(AB) = 41, ento P(AC BC) = 125, em que AC e BC indicam os eventos complementares. (3) Se k 2 1B , ,......... B , Brepresentam uma partio de umespao amostral S, ento para A S tem-se que==kjj ji iiB A P B PB A P B PA B P1) | ( ) () | ( ) () | ( ,. ,........ 2 , 1 k i =(4) Se P(A|B) = 0 ento A e B so independentes. (ANPEC 2003/QUESTO 12) - Trs mquinas, A, B e C, produzem respectivamente 50%,30%e20%do nmero total depeasdeumafbrica. Asporcentagensde peas defeituosas na produo dessas mquinas so respectivamente 3%, 4% e 5%. Uma pea selecionadaaoacasoeconstata-seserela defeituosa.Encontreaprobabilidade de a pea ter sido produzida pela mquina A. (Use apenas duas casas decimais. Multiplique o resultado final por 100). (ANPEC 2003/QUESTO 13)- A probabilidade de um homem acertar um alvo . Quantasvezeseledeve atirarparaquea probabilidade deacertarpelo menos umavez no alvo seja maior que 2/3? (ANPEC1994/QUESTO9)-Umempresrioperguntasevalerapenafazerum segurocontrachuva,porocasiodeumdeterminadoacontecimentoesportivoqueele estempresariando.Senochovereleesperaobter$10.000derenda,porocasiodo evento, mas s $2.000 se chover. Uma aplice de seguro de $7.000 lhe custar $3.000. Determine a probabilidade p de chover, de tal modo que sua expectativa seja a mesma, faa ele o seguro ou no. (Multiplique o resultado por 7). INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 37 IIVARIVEISALEATRIASDISCRETASECONTNUAS.FUNODE PROBABILIDADEEDENSIDADEDEPROBABILIDADE.DISTRIBUIO CONJUNTA,DISTRIBUIOMARGINAL,INDEPENDNCIA ESTATSTICA.ESPERANAMATEMTICAEVARINCIADEUMA VARIVELALEATRIA.COVARINCIAECOEFICIENTEDE CORRELAO.PRINCIPAISDISTRIBUIES:BERNOULLI,BINOMIAL, POISSON,GEOMTRICA,HIPERGEOMTRICA,UNIFORME,NORMAL, LOGNORMAL, QUI-QUADRADO, t e F. Questes de Concursos Pblicos e do Provo do MEC 01 - (ESAF/Analista do Banco Central/2001) Uma varivel aleatria X tem funo de distribuio de probabilidade dada pr Assinale a opo que d o valor da probabilidade de X = 2 a)7/12 b)11/12 c)1/3 d)3/ 4 e)10/12 < < < 1) = 0,25 a)4 b)0 c)3 d)1 e)2 03-(ESAF/AnalistadoBancoCentral/2002)Umavarivelaleatriadotipo absolutamente contnuo tem a funo densidade de probabilidade seguinte: =casos outros emx xx f015 10 08 , 0 2 , 1) ( Assinale a opo que d a probabilidade de que a varivel aleatria assuma valores entre 10 e 12. a)0,640 b)0,200 c)0,500 d)0,160 e)0,825 04 - (ESAF/Analista do Banco Central/2002) Considere duas variveis aleatrias X e Y. Sejam 45 e 65 as mdias deX e Y, respectivamente. Sejam 4 e 16 as varincias de XeY,respectivamentee3acovarinciaentreessasduasvariveis.Assinaleaopo que d a varincia da diferena X Y. a)23 b)20 c)14 d)26 e)No possvel calcular a varincia de X Y com a informao dada. < < =xxx f02 / 1) ( INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 39 05-(ESAF/Analista(Planej.eExecuoFinanceira)-CVM-2000)-Umafirma distribuidora de eletrodomsticos est interessada em estudar o comportamento de suas contasareceberemdoismesesconsecutivos.Comesteobjetivoseleciona,paracada ms, uma amostra de 50 contas. As observaes amostrais constam da tabela seguinte: Valor (R$)Freqncia de MaroFreqncia de Abril 1.000,00610 3.000,001314 5.000,001210 7.000,001513 9.000,004- 11.000,00-3 No contexto das distribuies de freqncias, as mdias amostrais so, respectivamente, R$4.920,00eR$4.520,00,paraosmesesdemaroeabril.Questiona-seseovalor mdiopopulacionaldascontasareceberdemarodiferesignificantementedovalor mdiopopulacionalcorrespondentedeabril.Paraverificarestaconjectura,realiza-se umtestedemdias,assumindo-seasamostrasindependenteseprovenientesde populaes normais com varincias homogneas. O valor obtido para a estatstica teste foi de 0,78 com valor probabilstico de 43,4%. Assinale a opo correta. a) No h evidncia de que as mdias sejam distintas no nvel de significncia de 5% e a estatstica teste se distribui como t de Student com 97 graus de liberdade, sob a hiptese da igualdade das mdias populacionais. b) As mdias diferem significantemente no nvel de 45% e a estatstica teste se distribui comotdeStudentcom97graus deliberdade, sobahiptesedaigualdadedasmdias populacionais. c) No h evidncia de que as mdias sejam distintas para qualquer nvel < 43,4% e a estatstica teste se distribui como t de Student com 97 graus de liberdade, sob a hiptese da igualdade das mdias populacionais. d)Nohevidnciadequeasmdiasdifiramnonveldesignificnciade5%ea estatstica teste se distribui como t de Student com 98 graus de liberdade, sob a hiptese da igualdade das mdias populacionais. e)Ovalorprobabilsticoassociadoaovalordaestatsticatestenodefineinformao suficiente para que se possa dizer que uma mdia difere da outra significantemente e a estatstica teste se distribui como t de Student com 97 graus de liberdade, sob a hiptese de igualdade das mdias populacionais. 06-(ESAF/Analista(Planej.eExecuo Financeira)-CVM-2000) -Uma pessoa estindecisase compraumacasaagoraouseespera paracomprardaquia umano.A pessoaacreditaqueoaumentodopreodacasaemumanotenha distribuionormal com mdia de 8% e desvio-padro de 10%. Se o preo aumentar mais de 25% a pessoa noterdinheiroparaadquiriroimvel.Poroutrolado,seopreodacasacair,a pessoa sair lucrando. Assinale a opo que d as probabilidades de ocorrncia de cada umdesseseventos,respectivamente.Nosclculosuseatabeladosvaloresdas probabilidades P(Z > z) para a distribuio normal padro dada a seguir. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 40 zP(Z>z)zP(Z>z) 0,50,3091,50,067 0,60,2741,60,055 0,70,2421,70,045 0,80,2121,80,036 0,90,1841,90,029 a) 4,5% e 10,4% b) 6,7% e 24,2% c) 4,5% e 24,2% d) 2,9% e 18,4% e) 4,5% e 21,2% 07-(ESAF/Analista(Planej.eExecuoFinanceira)-CVM-2000)-Acredita-se queopreodeumbem(X),emreais,tenhadistribuiopopulacionaluniformeno intervalo aberto (1; 7). Assinale a opo que corresponde probabilidade de se observar na populao um valor de X de pelo menos 3 reais e de no mximo 5 reais. a) 2/7 b) 1/3 c) 5/6 d) 1/2 e) 3/4 08-(ESAF/Analista(Planej.eExecuoFinanceira)-CVM-2000)-Acredita-se queologaritmoneperianodavarivelrenda(X),medidaemmilharesdereais,tenha distribuiopopulacionalnormalcommdia2evarinciaunitria.Assinaleaopo que corresponde ao valor esperado de X. Em todas as opes a constante e representa a base do sistema de logaritmos neperiano. a) e2,5 b) e2,0 c) loge 2,0 d) 1+loge2,0 e) e3,0 09-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria)-Amdiaeo desvio-padroobtidosnumlotedeproduode100peasmecnicasso respectivamente, 16 Kg e 40g. Uma pea particular do lote pesa 18Kg. Assinale a opo que d o valor padronizado do peso dessa bola. a) 50 b) 0,05 c) 50 d) 0,05 e) 0,02 10-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria)-OatributoX tem distribuio normal com mdia 2 e varincia 4. Assinale a opo que d o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padro 0,6745. a) 3,3490 b) 0,6745 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 41 c) 2,6745 d) 2,3373 e) 2,7500 11-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria)-Tem-seuma varivel aleatria normal X com mdia e desvio-padro . Assinale a opo que d o intervalo contendo exatamente 95% da massa de probabilidades de X. a) (-0,50; +0,50 ) b) (-0,67 ; +0,67 ) c) (-1,00 ; +1,00 ) d) (-2,00 ; +2,00 ) e) (-1,96 ; +1,96 ) 12 - (ESAF/AFPS-2002/Administrao Tributria Previdenciria) - Considere uma varivelaleatriaXdotipodiscretocomespao{x1,...,xn}ondeosxisodistintos. Sejaf(x)afunomassadeprobabilidadesdeXexasuaexpectncia.Assinalea opo que corresponde varincia de X. 13-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria)-Umavarivel aleatria X tem funo de distribuio de probabilidades Assinale a opo correta + < < 4,3465}= 0,05 onde X tem distribuio F com 3 graus de liberdade no numerador e 7 graus de liberdade no denominador. Assinale a opo que d o valor de y tal que P {Y>y}=0,95,ondeYtemdistribuioFcom7grausdeliberdadeno numeradore3 graus de liberdade no denominador. a) 0,500 b) 0,230 c) 0,641 d) 0,150 e) 0,780 15-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria)-Avarivel aleatria X tem distribuio uniforme no intervalo (0, ) onde uma constante maior doque0,5.DetermineovalordetalqueF(0,5)=0,7,sendoF(x)afunode distribuio de X. a) 3/4 b) 1/4 c) 1 d) 5/7 e) 1/2 16-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria)-Sabe-sequeo nmero de clientes que procuram atendimento numa agncia da previdncia no perodo das17s18horastemdistribuiodePoissoncommdiade3clientes.Assinalea opo que d o valor da probabilidade de que mais de 2 clientes apaream no perodo. Sabe-se que e-3 = 0,0498, sendo e o nmero neperiano. a) 0,776 b) 0,667 c) 0,500 d) 0,577 e) 1,000 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 43 17-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria)-Temosduas populaesnormaisAeBcommesmavarinciaeamostrasaleatriasindependentes dessaspopulaesdetamanhosn1=20en2=20respectivamente.Assinaleaopoque donmerodegrausdeliberdadedaestatsticadeStudentutilizadanotestede igualdade das mdias das populaes A e B. a) 40 b) 19 c) 16 d) 20 e) 38 18(AnalistadoBancoCentral1994)AsvariveisaleatriasxeYtm varincias respectivamente iguais a 3 e 1 e tm covarincia igual a 1. A varincia de X 2Y vale: a)1 b)2 c)3 d)5 e)11 Paraaquesto19,atabelaabaixo,quedvaloresdasfunesdedistribuioda varivel normal reduzida e da varivel t de Student, pode ser til. Z0,511,522,53NORMAL F(z)0,6910,8410,9330,9770,9940,999 t com 9 graus de liberdadeF(z)0,6850,8280,9160,9620,9830,993 t com 8 graus de liberdadeF(z)0,6850,8270,9140,9600,9820,991 19(AnalistadoBancoCentral1994)-Suponhaospesosdaspessoas, normalmente distribudos, em certo grupo, com mdia de 70kg e desvio padro de 8kg. Escolhidas ao acaso 4 dessas pessoas, a probabilidade da soma dos seus pesos ser maior do que 296kg de : a)0,309 b)0,159 c)0,067 d)0,023 e)0,006 20 (Analista do Banco Central 1994) O coeficiente de correlao linear entre X e Y r. Se Y = 4 2X, ento: a)r = 1 b)0 0 so constantes, ento Y uma varivel aleatria e sua funo de densidade g yafy ba( ) ( ) = 1. (2)SeY=aX+b,ondea,b>0soconstantes,entoE(Y)=aE(X)+be Var(Y) = a Var(X), onde Var denota a varincia e E denota a expectncia. (3)SeX Normal ~ ( , ) 2 eYX= , ento Y ~ Normal (0,1) e Y dita uma padronizao de X. (4)SejaY=aX+besejamX*eY*aspadronizaesdeXeY, respectivamente.EntoX* = Y*. (5)ApadronizaodavarivelaleatriaXeliminaefeitosdeorigem,masno necessariamente elimina efeitos de escala. (ANPEC1996/QUESTO4)-SejamX X e X1 2 3, variveisaleatriasindependentes comvarincias 1222321 2 4 = = = , e ,respectivamente.SejaY X X X = + + 2 21 2 3. Calcule a varincia de Y. (ANPEC 1996/QUESTO 5) - Seja X uma varivel aleatria com funo de densidade f(x). (0)Sef xx se xcaso contr rio( ),,= `)3221 10, ento E(X) = 0. (1)Sef x xse xcaso contr rio( ) ( ),,= +>`)11002 entoE X ( ) = . (2)SeX~U[a,b]uniformeem[a,b],ondea0, ento Cov(X,Y)>0. (3) No possvel ter-se (X,Y)=1, onde designa probabilidade conjunta. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 51 (ANPEC 1996/QUESTO 14) - Considere a distribuio seguinte: Valores de Y 01f(x) Valores de X 1 2 3 0 1/3 0 1/3 0 1/3 1/3 1/3 1/3 f(y)1/32/31 Calcule Cov(X,Y). (ANPEC/1997QUESTO 3) - Qual deve ser o valor de k, de modo que: f xkxx( ).=|\

|| t), para quaisquer s, t > 0. (ANPEC 1998/QUESTO 10) - Considere a distribuio de probabilidade conjunta de (X,Y), de acordo com a tabela abaixo:

X -101 -11/81/81/8 Y01/801/8 11/81/81/8 Pode-se afirmar que : INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 54 (0) O coeficiente de correlao,xy, entre X e Y igual a zero.(1)As variveis aleatrias X e Y so independentes.(2)SeZ aX b = +eW cY d = +ondea b c , ,edso constantes coma 0ec 0 , ento o coeficiente de correlao,ZW, entre Z e W diferente de zero.(3)As variveis aleatrias X e Y apresentam uma relao linear. (ANPEC 1999/QUESTO 11) - Podemos afirmar que: (0) A distribuio qui-quadradomuda de formadeacordocomo tamanhoda amostra. Para amostras pequenas, a distribuio se inclina para a direita assimetricamente e torna-se cada vez mais simtrica medida que o tamanho da amostra cresce. (1) A distribuio t sempre simtrica com mdia zero e medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuio t aproxima-se da distribuio normal padro. (2)AdistribuioFumarazoentreduasvariveisaleatriastindependentes, cada uma delas dividida pelo respectivo nmero de graus de liberdade. (3) A distribuio normal apresenta dois pontos de inflexo na sua funo de densidade de probabilidade f(x) nos pontos x = - 2. e x = + 2., onde a mdia e o desvio padro. (4)SeXumavarivelaleatriauniformecomaseguintefunodedensidadede probabilidade f xk a x b( ) =< < se quaisquer outros valores. 0 ento k = b - a. (ANPEC1999/QUESTO12)-Sobreasdistribuiesdeprobabilidadepodemos afirmar que: (0)NadistribuioBinomialnopossvelcontarasno-ocorrnciasdoeventoea mdia e a varincia so iguais ao parmetro da distribuio. (1) As caractersticas da distribuio de Poisson so: (i)n repeties de um experimento de Bernoulli; (ii)as repeties so independentes; (iii)cadaexperimentotemdoisresultadospossveisquesomutuamente exclusivos; (iv)adistribuiodeprobabilidadedefinidacomo P X xnxp qx n x( ) . . = = |\

||,x=1,2,,n,onden=nmerode repeties do experimento, p = probabilidade de ocorrncia de sucesso eq = 1 - p. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 55 (2)AmdiadeumadistribuioGeomtrica1/p,ondep=probabilidadede ocorrncia de sucesso. (3)UmlevantamentojuntoaoSetordeContabilidadedeumalojadedepartamentos mostrouque30%dosclientespagamsuasmensalidadescomatraso.Seemcerto diaselecionarmosaoacaso10pessoasquepagaramsuasdvidasmensais,a probabilidadedenomximoumclienteterpagocomatrasoaproximadamente 15%. (ANPEC1999/QUESTO13)-Sejaaseguintedistribuioconjuntade probabilidade entre as variveis aleatrias X e Y. Y X135 20,10,20,3 40,20,10,1 Podemos afirmar que: (0) A distribuio marginal de X X135 P(X)0,30,30,4 (1) A varincia de Y 2,76. (2) A covarincia entre X e Y -0,56. (3) O coeficiente de correlao entre X e Y 0,344. (4)Ocoeficientedecorrelaoexprimeamedidadedependncialinearentreduas variveis e pode assumir um valor qualquer no intervalo [0; 1]. (ANPEC1999/QUESTO14)-ComrelaoasdefiniesdeCoeficientede Correlao e de Esperana Matemtica, pode-se afirmar que : (0) SeXeYsoduasvariveisaleatriasdeformaqueY=aX+b,ondeaebso constantes, ento o coeficiente de correlao entre X e Y igual a 1 se a < 0 e igual a-1 se a > 0. (1) Se XY ocoeficientedecorrelaoentreasvariveisXeYondeW=aX+be Z=cY+dcoma,b,cedconstantes,ento XY WZacac = ondeaecsodiferentesde zero. (2) SeocoeficientedecorrelaoentreasvariveisXeYigualazero,ento E(XY)=E(X)E(Y).Assim,pode-seconcluirqueXeYsovariveisaleatrias independentes. (3) Se a funo densidade de probabilidade de uma varivel aleatria X simtrica em relao a um ponto X=a , ento E(X)=a.INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 56 (4) Dados os seguintes eventos : X=1 se o evento A ocorre, e 0 em caso contrrio. Y=1 se o evento B ocorre, e 0 em caso contrrio. SeasprobabilidadesdoseventosAeBso,respectivamente,maioresdoquezero, entoocoeficientedecorrelaoentreXeYigualazeroimplicaemqueXeYso independentes. (ANPEC 2000/QUESTO 03) - Dados os seguintes enunciados envolvendo variveis aleatrias, correto afirmar que: (0)Se Y* = a + bY2eX* = c + dX2, em que a, b, c, d so constantes reais,(b,d)> 0, E(X) = E(Y)=0, ento correlao (Y*, X*) = correlao (Y,X).(1)Se(Y,X)possuemumadistribuioNormalbivariada,ento,segue-sequeE(Y|X) = a+ b Y, em que a e b dependem dos momentos de Y e X. (2)Se X ~ Normal(0,1) ento Y= eX tem distribuio lognormal comE(Y)= e1/2. (3)Se(X,Y)possuemdensidadeconjuntaf(x,y)=2e-y,>0,e0xy,ento E(X)= 1/. (ANPEC 2000/QUESTO 13) - Dados os seguintes enunciados envolvendo variveis aleatrias, correto afirmar que:(0)SeX uma varivel aleatria com mdia finita e varincia 2 = 1, ento Pr ( |X - |2)0.75. (1)E( eX) e, em que E(X) = . (2){E[(X-E(X))(Y-E(Y))]}2E[X-E(X)]2E[Y-E(Y)]2,desdequetodosos momentos necessrios ao clculo de cada uma destas expresses existam.(3)E(Var(Y|X)) Var(Y). (4)SeYeXsovariveisaleatriasindependentes,ambascommdiaevarincia finitas,entoavarinciadavarivelZ=Y/XserdadaporVar(Z)=Var(Y)/ Var(X). (ANPEC 2000/QUESTO 14) - Seja uma funo de densidade de probabilidade :

Calculeaprobabilidadede(0x1).Arredondeoresultadoemultipliquepor 100. (ANPEC 2001/QUESTO 04) - Seja X uma varivel aleatria, com funo densidade de probabilidade f(x) contnua, definida sobre o espao amostral A, do universo U: (0) Tanto A como U devem ser contnuos. (1) A probabilidade P(X x0) dada por oxdX X f ) ( . )` 10? Resposta em percentagem. (ANPEC 2002/QUESTO 03) - Considere um investidor cuja composio da carteira formada por dois ativos A e B. (0) Se os retornos esperados de A e B so iguais a 10% e 5%, e as participaes de A e Bnacarteirasode40%e60%,respectivamente,entooretornoesperadoda carteira de 7,5%.(1)Supondo-sequeosretornosdosdoisativosreferidosnoquesitoanteriorsejam independentes e que suas varincias sejam iguais a 10 e 20, respectivamente, ento a varincia da carteira ser igual a 8,8.(2)Supondo-sequeosretornosdeAeBtenhamamesmavarincia,adiversificao dessacarteiranestesdoisativossomentereduziroriscototalseocoeficientede correlao entre os respectivos retornos for negativo.(3) No caso de correlao negativa perfeita, se a varincia de A duas vezes a varincia deB,entoprecisoinvestirduasvezesmaisemAparaeliminaroriscoda carteira. (4) Se existir uma correlao negativa perfeita entre os retornos dos ativos A e B, haver umaparticularcomposiodessesativosqueeliminarcompletamenteoriscoda carteira. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 58 (ANPEC2002/QUESTO07)-Emrelaosdistribuiesdeprobabilidade discretas: (0) UmavarivelaleatriaXcomdistribuiobinomialde parmetrop,baseada emn repeties, aproxima-se de uma Poisson quando n e p permanece constante.(1) Uma varivel aleatria Y, definida como o nmero de repeties necessrias para a primeiraocorrnciadeA,temdistribuioGeomtrica,desdequeasrepeties sejam independentes e que P(A) = p e P(AC ) = 1-p. (2) Pode-se utilizar a distribuio Binomial para, por exemplo, calcular a probabilidade de se encontrar k peas defeituosas em um lote de n peas selecionadas ao acaso, sem reposio. (3) Se uma varivel aleatria segue uma distribuio Hipergeomtrica, sua distribuio serprximadaBinomialseotamanhodapopulaoforgrandeemrelaoao tamanho da amostra extraida . (4) Se Z tiver distribuio de Poisson com parmetro , ento, E(Z) = V(Z) = . (ANPEC2002/QUESTO08)-Emrelaosdistribuiesdeprobabilidade contnuas: (0) Se X tem distribuio Normal(2, ), ento a funo densidade de probabilidade de X, f(x), atinge o seu valor mximo quando x =e nesse ponto 21) ( = x f . (1)SeXtemdistribuioUniformenointervalo[0, ], >0,ento, temqueser igual a 4/3 para que P(X > 1) = 1/3.(2)AdistribuiotdeStudentassemelha-seNormalpadro,N(0,1),maspossui caudas mais pesadas, quando n, o tamanho da amostra, maior do que 30. (ANPEC 2003/QUESTO 03)-OcustoX deproduodecertobemumavarivel aleatria com funo densidade de probabilidade =contrrio caso 04 1) (2x kxx f correto afirmar que: (0) o valor de k 63;(1) o custo mdio do produto aproximadamente 1,04;(2) o custo menor do que 2 com probabilidade 1/9; (3) a varincia do custo do produto aproximadamente 3,04; (4) o custo maior do que 3 com probabilidade 8/9. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 59 (ANPEC 2003/QUESTO 04) - Com relao variveis aleatrias discretas correto afirmar que: (0)seX1,...,Xnsovariveisaleatriasidenticamentedistribudascomdistribuio Bernoulli com parmetro p, ento ==niiX Z1 ter uma distribuio Poisson quando n for grande; (1)umavarivelaleatriacomdistribuiobinomialrepresentaonmerodesucessos em n experimentos de Bernoulli; (2) a distribuio hipergeomtrica um caso especial da distribuio Normal; (3) a distribuio Qui-quadrado possui mdia igual a n e varincia igual a 4n, em que n o nmero de graus de liberdade;(4)adistribuiobinomialpodeseraproximadapeladistribuiodePoissonpara valoresgrandesden(tamanhodaamostra)epequenosdep(probabilidadede sucesso). (ANPEC2003/QUESTO09)-SendoYeXduasvariveisaleatrias,correto afirmar que: (0) Var(Y + X) = Var(Y) + Var(X) - 2Cov(Y, X); (1) Var(Y - X) = Var(Y) - Var(X) - 2Cov(Y,X); (2) Var (Y + X) = Var(Y) + Var(X), se Y e X forem independentes; (3) se Cov(Y, X) = 0, ento Y e X so independentes;(4)seCov(Y,X)=0eseYeXtmdistribuioconjuntanormal,entoYeXso independentes. (ANPEC 2003/QUESTO 14) - Considere o vetor aleatrio X = (X1, X2, X3) com distribuio de probabilidade =contrrio caso 02 0 , 1 0 , 1 0 6) , , (3 2 1 322 13 2 1x x x x x xx x x fX Encontre a probabilidade de5 , 0 01 x .(Multiplique o resultado por 100). (ANPEC2002-QUESTO13)-Suponhaqueafunodensidadedeprobabilidade conjuntadavarivelaleatriabidimensional(X,Y)sejauniformementedistribuda na regio de domnio,2 0, 2 0 ) ( ) , ( = y x y x x k y x fEncontreE(X).Multipliquearespostapor10etranscrevasomenteaparteinteirado nmero encontrado. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 60 (ANPEC2002-QUESTO14)-Umacompanhiadesegurostem400seguradosde certotipo.OprmiodoseguroR$1.000,00porano.Casoocorraumsinistroa seguradora indenizar R$ 8.000,00 a cada acidentado.Sabe-se que a probabilidade deocorrnciadesinistro,0,1porano.OscustosfixosdaseguradorasodeR$ 8.000,00porano.Qualaprobabilidadedaseguradoraterprejuzoemumcerto ano?(Ignoreofatordecorreoparacontinuidade,multipliquesuarespostapor 100 e transcreva a parte inteira do nmero encontrado). (ANPEC2002/QUESTO08)-Emrelaosdistribuiesdeprobabilidade contnuas: (0) Se X tem distribuio Normal(2, ), ento a funo densidade de probabilidade de X, f(x), atinge o seu valor mximo quando x =e nesse ponto 21) ( = x f . (1)SeXtemdistribuioUniformenointervalo[0, ], >0,ento, temqueser igual a 4/3 para que P(X > 1) = 1/3.(2)AdistribuiotdeStudentassemelha-seNormalpadro,N(0,1),maspossui caudas mais pesadas, quando n, o tamanho da amostra, maior do que 30. (3) Se uma varivel aleatria contnua tem funo de distribuio0 se 0 0 se 1 ) (< = =xx e x Fx ento a funo densidade de probabilidade de X ser. 0 se 0 0 se) (< = =xx e x fx (4)AvarivelaleatriaZtemdistribuioLognormalseesomenteseexp(Z)tiver distribuio Normal.(ANPEC1991)SejamXeYvariveisaleatriasindependentestaisque:E(X)=3, E(Y) = 2, E(X2) = 10 e E(Y2) = 7. Pode-se afirmar que: (0) E(X,Y) = 6 (1) VAR(X + Y) = 4 (2) VAR (Y 3X) = 6 (3) O coeficiente de correlao entre X e Y igual a 1/9 (4) E{[X E(X)][Y E(Y)} no pode ser calculado. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 61 IIIPrincipaisteoremasdeprobabilidade.TeoremadeTchebycheff.Leidos GrandesNmeros.TeoremadoLimiteCentral.Infernciaestatstica.Estimao pr ponto e pr intervalo. Propriedades desejveis dos estimadores em pequenas e grandes amostras Questes de Concursos Pblicos e do Provo do MEC 01(ESAF/AnalistadeComrcioExterior/2002)-Deseja-sedeterminar,parauma populaocomNelementos,emumesquemadeamostragemaleatriasimples,o tamanhodeamostrannecessrioparaestimaramdiapopulacionaldoatributoX. Deseja-sequeoerroemvalorabsolutodoprocedimentonosejasuperiora10%da mdiapopulacional,comprobabilidadede95%.Deumestudopilotoobtm-sequea varinciadeXtemovalor80equeamdiatemovalor20.Tomandocomo aproximadamente2oquantildeordem0,975dadistribuionormalpadro,supondo queamdiadaamostratemdistribuioaproximadamentenormaledesprezandoa frao de amostragem n/N, assinale a opo que d o valor de n. a) 1000 b) 100 c) 80 d) 200 e) 150 02-(ESAF/AFPS/2002/AdministraoTributriaPrevidnciria)Emum esquemadeamostragemaleatriasimplesdeseja-sedeterminarotamanhodaamostra quepermiteestimaramdiadeumatributoXcomerroabsolutono-superiora2 unidadescomprobabilidade95%.ComoinformaopreliminaresperasequeXseja aproximadamente uniformemente distribudo com amplitude populacional de cerca de 100 unidades. Considerando como aproximadamente zero a taxa n/N e tomando como 2 o quantil de ordem 97,5% da normal padro, assinale a opo que d o valor de n. a) 431 b) 133 c) 400 d) 830 e) 1.000 03-(ESAF/AFPS/2002/AdministraoTributria Previdnciria) SejamX1,..., Xn observaes de um atributo X. Sejam a)Pelo menos 95% das observaes de X diferem de x___ em valor absoluto pr menos que 2S. b)Pelo menos 99% das observaes de X diferem de x___ em valor absoluto pr menos que 2S. c)Pelo menos 75% das observaes de X diferem de x___ em valor absoluto pr menos que 2S. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 62 d)Pelo menos 80% das observaes de X diferem de x___ em valor absoluto pr menos que 2S. e)Pelo menos 90% das observaes de X diferem de x___ em valor absoluto pr menos que 2S. 04-(ESAF/AFPS/2002/AdministraoTributriaPrevidnciria)Odesvio-padrodamdiaparaumaamostradetamanho10030.Afimdetornarodesvio-padro da mdia igual a 15, o que deveramos fazer? a) Aumentar o tamanho da amostra para 200. b) Aumentar o tamanho da amostra para 150. c) Diminuir a amostra para 50. d) Aumentar o tamanho da amostra para 400. e) Aumentar o tamanho da amostra para 300. 05- (ESAF/AFPS/2002/Administrao Tributria Previdnciria) Assinale a opo correta em referncia ao significado do termo amostragem aleatria simples. a) Refere-se a um mtodo de classificao da populao. b) Refere-se representatividade da amostra. c) um mtodo de escolha de amostras. d) Refere-se a amostras sistemticas de populaes infinitas. e) Refere-se amostragem por quotas. 06 (VUNESP/Analista do Banco Central 1998) Atravs de uma amostra de 100 trabalhadores de certa categoria profissional, estimou--se um salrio mdio amostral de R$ 2000,00. O desvio padro populacional vale R$ 400,00. Desta forma, o intervalo de confianaparaosalriomdiodetodaacategoriafoi2000,00+ 80,00,com umcerto coeficientedeconfiana.Setivssemosobtidoomesmodadoamostralcomuma amostrade400pessoas,ointervalodeconfiana(comomesmocoeficientede confiana) seria dado pr a)2000,00 + 80,00 b)2000,00 + 60,00 c)2000,00 + 40,00 d)2000,00 + 20,00 e)2000,00 + 10,00 07(ESAF/IBGE1999)X1,X2,X3umaamostraaleatriasimplesdeuma distribuio com mdia e varincia 2. A estatstica T = (3 X1 X2 + X3)/5 tem mdia e varincia, respectivamente, iguais a: a)3 e 122 b) e 2 c)0,6 e 22 d)0,6 e 0,442 e) e 0,22 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 63 08 (ESAF/IBGE 1999) Uma amostra simples de tamanho 10 de uma distribuio normal com mdia e varincia 2 forneceu os seguintes valores: 2,02,02,42,73,03,53,84,04,3 Usando estimao pr mxima verossimilhana, a estimativa de 2 igual aa)0,025 b)0,251 c)0,652 d)0,725 e)1,237 09 (ESAF/IBGE 1999) X1, X2, X3, X4 uma amostra aleatria simples de uma distribuio com mdia . Considere os seguintes estimadores de : T1 = 2X1 + X2+ X3/5 T2 = X1 + X2+ X3/4 T3 = 2X1X2- X3 X4 T4 = X1+ 2X2- 3X3 + X4 So estimadores no viesados de : a)T1 e T2 b)T1 e T4 c)T1 e T3 d)T3 e T4 e)T2 e T4 Questes do Exame Nacional da ANPEC (ANPEC1992-QUESTO9)-Considerex x xn 1 2, , , K umaamostraaleatria extradadeumapopulaoquetemdistribuioNormalcommdiaevarincia2. Pode-se dizer que: (0)xxin_= um estimador no-viesado em . (1)Sxi xn221=( )_ um estimador no-viesado de 2. (2)x_ tem distribuio Normal com mdia e varincia unitria. (3)S2 tem distribuio qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade. (4)P[- x_ < 0. (3)SejaXumavarivelaleatriacommdiaevarincia2.Peladesigualdadede Tchebycheff temos que [ ]P X kk| | . > 220se k (ANPEC 1997 - QUESTO 10) - Seja X1,...,XNuma amostra aleatria de uma populao com mdiae varincia 2. Sejam W e Z estimadores dedados por: Wi XiiiNiN===11; ZXNiiN==1. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 67 Pode-se afirmar que: (0) W no-tendencioso. (1) W tendencioso, e Z no-tendencioso. (2) Z consistente. (3) W consistente. (4) seN>2 , Z relativamente mais eficiente que W. (ANPEC 1998 - QUESTO 6) - Seja $o estimador do parmetro : (0)O erro quadrtico mdio igual a varincia do estimador $se $for um estimador no-tendencioso de . (1)Um estimador $1 ditoeficientese $1for no-tendenciosoeVar($1)Var($2), onde $2 outro qualquer estimador no-tendencioso de . (2)Seja X uma varivel aleatria normalmente distribuda com mdia e varincia 2. Sejamx1ex2duasobservaesdeumaamostraaleatriadetamanho2.Podemos afirmar que ~=+ 3 251 2x x um estimador tendencioso de . (3)Se $ consistente, ento no tendencioso. (ANPEC1998-QUESTO7)-Combasenateoriadaestimao,pode-sefazeras seguintes afirmaes : (0)Se um parmetro populacional e $seu estimador, a afirmao de que $ um estimadorconsistentede selim { $} P = 1paratodo > 0quando n ,equivalenteaafirmaodequese = )( limE elim ( $) Var = 0quandon , ento $ser um estimador consistente de .(1) SexumavarivelaleatriacomE(X)=evarincia2,entoamdia amostral, X , ser um estimador consistente da mdia populacional .(2)Aestatstica,Sx xniin221==( ),baseadaemumaamostraaleatriax1, x2,x3,....,xn um estimador no tendencioso da varincia populacional.(3)Aestatstica,Sx xniin221==( ),baseadaemumaamostraaleatriax1, x2,x3,....,xn um estimador inconsistente da varincia populacional. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 68 (ANPEC1998-QUESTO11)-ComrelaoadesigualdadedeTchebycheffeao Teorema Central do Limite, pode-se afirmar que : (0)SeumavarivelaleatriaXtemmdia,E(X)=,evarinciaigualazero, Var(X) = 0, entoP X { } = 1 para todo > 0, ou seja, toda a probabilidade estar concentrada na mdia E(X) = .(1) SejaXumavarivelaleatriacommdiaevarincia2.Quandoseconsiderao eventocomplementar,umadasformasdadesigualdadedeTchebycheffiguala 211 } {kk X P > , ondek um nmero real.(2)Se a populao tem distribuio Normal, ento a distribuio das mdias amostrais tambm ser Normal, independente do tamanho da amostra.(3)SeXtemdistribuiodesconhecidacommdia500evarincia2.500,parauma amostraaleatriadetamanho100podemosafirmarqueamdiadaamostratem distribuio aproximadamente normal com mdia 500 e varincia 25. (ANPEC1999-QUESTO6)-Combasenateoriadaestimao,pode-sefazeras seguintes afirmaes : (0) De acordo com o critrio de eficincia, medido pela comparao entre as varincias dosestimadores,amdiaamostralX prefervelaprimeiraobservao 1X como estimador da mdia populacional, supondo-se que 2seja a varincia da populao. (1) Sejaumestimadorno-viciadode .Seg()umafunodoparmetro , entoE[g()] g[E()]comaigualdadeocorrendosomentequandog( )foruma funo linear.(2) Afunodensidadedeprobabilidadedavarivelaleatriaxdadapor 1) ( = x f para x 0 e0paraoutrosvalores.Assimsendo,considerando-seumaamostra aleatriadetamanhon , nx x x x , , ,3 2 1 ,oestimadordeMximaVerossimilhanade ser igual ao Mnimo de nx x x x , , ,3 2 1 .(3) Dadoqueasvarinciasdasestatsticas Sx xniin221==( )e Sx xniin221==( ) so, respectivamente , iguais a 124 n e 24)1(12nnn , entoSx xniin221==( ) mais preciso do que Sx xniin221==( ) embora seja uma estatstica viciada. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 69 (ANPEC 1999-QUESTO 8)- Deseja-seestimarofaturamentomdio,,de uma empresa.Ainformaoquesetemdequeodesviopadrodosvaloresdasfaturas desta empresa de R$25,00. Se existem 500 faturas desta empresa, encontre o tamanho daamostranecessrioparaestimar,,comumlimitesobreoerrodeestimaode R$5,00. Considere somente a parte inteira da resposta. (ANPEC 1999 - QUESTO 9) - Podemos afirmar que: (0) Pelo Teorema do Limite Central podemos afirmar que se a varivel aleatria X tem umadistribuioqualquercommdiae varincia 2,entoa distribuiodeX(mdia da amostra) aproxima-se da distribuio normal com os mesmos parmetros mdia e varincia 2, quando o tamanho da amostra aumenta. (1)SejamasvariveisaleatriasXi(i=1,2,,10)independentesenormalmente distribudascommdia=10edesviopadro=2.Ento,se Y Xii==110podemosafirmarque,amedidaquencresce,Ytendeparauma distribuio normal com mdia E(Y) = 1 e V(Y) = 0,2. (2) Uma distribuio binomial tendea uma distribuio normal quando o nmero n de provas independentes de Bernoulli cresce. (3) Se a distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria X conhecida, podemos calcularsuaesperanaesuavarincia,seexistirem.Emboraarecprocanoseja verdadeira,poderemosestabelecerumlimitesuperior(ouinferior)muitotilpara as probabilidades da distribuio atravs do uso da desigualdade de Tchebycheff. (4)Paraqualquertamanhodeamostra,adistribuioamostraldeproporesdeuma amostra de sucessos mais dispersa quando a proporo populacional igual e menos dispersa quando a proporo populacional igual a zero ou a um. (ANPEC 2000 - QUESTO 04) -Seja X1, X2 , ..., Xn uma amostra aleatria da densidade Normal(0,) e seja T= 1/n =niiX12. correto afirmar que: (0)T o estimador de mxima verossimilhana (EMV) de . (1)T um estimador tendencioso de . (2)AvarivelaleatriaZ= /12=niiX temdistribuioqui-quadradocomngrausde liberdade. (3) E (3221X X ) = 2. (4)Tum estimador eficiente de . INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 70 (ANPEC 2000 - QUESTO 07) -SejaYumavarivelaleatriacontnuacomdistribuiodeprobabilidadef(y;), em que = (1,2 ,...,p). Considere uma amostra aleatria de Y, com tamanho n. Com relao funo de verossimilhana L(), correto afirmar que: (0)l()= ln L() ==niiy f1) ; ( log , em que ln o logaritmo natural. (1)A funo de verossimilhana tambm uma funo de densidade de probabilidade, quepossui,assim,todasaspropriedadesmatemticasassociadasumafunode densidade de probabilidade. (2)Uma condio necessria aqueosestimadoresdemximaverossi-milhana devemsatisfazerqueamatriz{j il / ) (2}i,j=1,2,...,p,avaliadano ponto de mximo, seja negativa definida.(3)SendoTn o estimador de mxima verossimilhana do parametro escalar 1, segue-se que Tn apresenta a seguinte propriedade:

0 ) | Pr(|1lim= nTn,> 0. (4) Sendo=g(1),emqueg(.) umafuno um aumde1,e Tno estimadorde mximaverossimilhanade1,segue-sequeoestimadordemxima verossimilhanadeserGn=g(Tn)[d/d1],emqueaderivadaavaliadaem 1= Tn.

(ANPEC 2000 - QUESTO 08) -Sejamp ep~dois estimadores do parmetro p da distribuio Binomial, em que Y a varivel desta distribuio e n o tamanho da amostra:. 11~++= =nYpnYp(0)p o estimador de mxima verossimilhana do parmetro p. (1)Sob o critrio do erro quadrado mdio, para pequenas amostras, no h supremacia de um estimador sobre o outro. (2)O vis do estimadorp~ dado por )] 1 ( ) 1 [( n p + . (ANPEC 2000 - QUESTO 12) -Dados os seguintes enunciados, correto afirmar que: (0)ALeiFracadosGrandesNmerosdizque:dadaumavarivelaleatriacom distribuio arbitrria emdia e varincia finitas, a mdia amostralobtida a partir de uma amostra aleatria de tamanho n ter distribuio Normal. (1)SeX1,X2,...,Xnsovariveisaleatriasindependentes,comdistribuio Poisson(), > 0, ento, para n "grande", vlida a seguinte aproximao:n (___X - ) / ~ N(0,1), em que __X a mdia amostral. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 71 (2)SeX1,X2,...,Xnsovariveisaleatriasindependentes,comdistribuio Normal(,2), 2 > 0, ento, para qualquer tamanho de n, n (___X - ) / ~ Normal(0,1), em que __X a mdia amostral. (ANPEC 2001 - QUESTO 03) - Uma amostra de tamanho n foi selecionada de uma populao de m elementos. Pode-se afirmar que : AmdiaamostralX umestimadornotendenciosoeeficientedamdia populacional setodoselementosdemtiveremamesmaprobabilidadedeserem selecionados .A varincia da distribuio amostral deX 2n se a populao for infinita ou se a amostragem for com reposio.Seapopulaoforfinita,avarinciadadistribuioamostraldeX 21(1 )n nporque as observaes da amostra so independentes. Se X for uma varivel aleatria qualquer a distribuio deX ser normal com mdia e varincia 21 n.Selim( ) 0nE X= , entoX um estimador assintoticamente no tendencioso.(ANPEC 2002 - QUESTO 04) -SejaXumavarivelaleatriacomdistribuiodeprobabilidadequedependado parmetrodesconhecido,talqueE(X)=.Sejatambmx1,x2,...,xnumaamostra aleatria de X. Para amostras suficientemente grandes, o estimador de mxima verossimilhana de , caso exista, segue uma distribuio Normal. Se ==nii ix c1 um estimador de , este no ser viciado desde que1 cn1 ii = =. Alm do mais, ter varincia mnima seci=1/n para todo i. Se == n1 iixn1 um estimador no viciado de , ento 2tambm ser um estimador no viciado de 2 . Se a varivel aleatria X uniformemente distribuda no intervalo [0,], com > 0, ento nn1 += mximo[x1, x2, ..., xn] no um estimador consistente de . Se 1e 2so dois estimadores do parmetro em que E (1) = 1 e E (2) 2 mas Var (2) < Var (1), ento o estimador2 deve ser prefervel a 1. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 72 (ANPEC2002-QUESTO06)-IndiqueseasseguintesconsideraessobreaLei dosGrandesNmeros,DesigualdadedeTchebycheffeteoremadoLimiteCentral so verdadeiras (V) ou falsas (F). DeacordocomadesigualdadedeTchebycheff,seavarinciadeumavarivel aleatriaXformuitoprximadezero,amaiorpartedadistribuiodeXestar concentrada prxima de sua mdia. OteoremadoLimiteCentralafirmaque,paraumaamostragrandeosuficiente,a distribuio de uma amostra aleatria de uma populao Qui-quadrado se aproxima da Normal. As condies suficientes para identificar a consistncia de um estimador so baseadas na Lei dos Grandes Nmeros. Em n repeties independentes de um experimento, se Af a freqncia relativa da ocorrnciadeA,ento 2An) P 1 ( P1 } P f { P < ,emquePaprobabilidade constante do evento A e qualquer nmero positivo. Se uma varivel aleatria X tem distribuio Binomial com parmetros n = 20 e P = 0,5,ento( )510} { aa X P emque) ( afunodedistribuio Normal padro. (ANPEC2002-QUESTO15)-Quantasvezester-se-dejogarumamoeda equilibrada de forma a se ter pelo menos 95% de certeza de que a freqncia relativa do resultado cara fique a menos de 0,01 da probabilidade terica , ou seja, de maneira que a amplitude do intervalo de confiana da probabilidade terica seja 0,02?(Utilize o teoremadeTchebycheff.Dividaarespostapor1.000etranscrevaaparteinteirado nmero encontrado). (ANPEC2003-QUESTO02)-Sejam:X1,X2,...,Xnvariveisaleatrias independentesenormalmentedistribudascommdiaevarincia2; ==niiX n X11; e ==niiY Z12, em que( ) =X Yi1. correto afirmar que: X um estimador tendencioso da mdia ; Z uma varivel aleatria com distribuio 2com n graus de liberdade; ( )= =niiX X n s121 2 um estimador tendencioso da varincia 2; X n uma varivel aleatria normalmente distribuda com mdia n e varincia 2; a varivel aleatria nZYWii=possui distribuio F com n1 e n2 graus de liberdade, em que n1 = 1 e n2 = 2n. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 73 (ANPEC 2003 -QUESTO 11)- O nmerodeclientes Y quepassadiariamente pelocaixadeumsupermercadofoiobservadodurantecertoperodo.Constatou-se queovalormdiodeYde20clientes,comdesviopadroiguala2.Encontreo limitemnimoparaaprobabilidadedequeonmerodeclientesamanhsesitue entre 16 e 24. (Pista: Utilize o teorema de Tchebycheff). Multiplique o resultado por 100. IV-IntervalodeConfianaeTestedeHipteses.Tiposdeerro.Nvelde significncia INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 74 Questes de Concursos Pblicos e do Provo do MEC 01-(ESAF/Analista(Planej.eExecuoFinanceira)-CVM-2000)-Acredita-se queopreodeumbem(X),emreais,tenhadistribuiopopulacionaluniformeno intervalo aberto (1; 7). Assinale a opo que corresponde probabilidade de se observar na populao um valor de X de pelo menos 3 reais e de no mximo 5 reais. a) 2/7 b) 1/3 c) 5/6 d) 1/2 e) 3/4 02-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria)-Tem-seuma varivel aleatria normal X com mdia e desvio-padro . Assinale a opo que d o intervalo contendo exatamente 95% da massa de probabilidades de X. a) (-0,50; +0,50 ) b) (-0,67 ; +0,67 ) c) (-1,00 ; +1,00 ) d) (-2,00 ; +2,00 ) e) (-1,96 ; +1,96 ) 03 (ESAF/AFPS-2002/Administrao Tributria Previdenciria) - Um atributo X tem distribuio aproximadamente normal com mdia e varincia 2. A partir de uma amostraaleatriadetamanho16dapopulaodefinidaprX,deseja--setestara hiptese H0: = 22, contra a alternativa Ha: = 22. Para esse fim, calcula--se a mdia amostral30____=X e a varincia amostral S2 = 100. Assinale a opo que corresponde probabilidade de significncia (p-valor do teste) a)2P{T>3,2} onde T tem distribuio de Student com 15 graus de liberdade. b)P{|Z|>3,2} onde Z tem distribuio normal padro. c)P{Z< - 2,2} onde Z tem distribuio normal padro. d)P{T< - 3,2} onde T tem distribuio de Student com 15 graus de liberdade. e)P{|T| > 2,2} onde T tem distribuio de Student com 15 graus de liberdade. Paraaquesto04,atabelaabaixo,quedvaloresdasfunesdedistribuioda varivel normal reduzida e da varivel t de Student, pode ser til. Z0,511,522,53NORMAL F(z)0,6910,8410,9330,9770,9940,999 t com 9 graus de liberdadeF(z)0,6850,8280,9160,9620,9830,993 t com 8 graus de liberdadeF(z)0,6850,8270,9140,9600,9820,991 04(AnalistadoBancoCentral1994)Umaamostraaleatriasimples,de tamanhon=9,deumapopulaonormal,reveloumdiaamostral12____=Xedesvio padro amostral S = 6. O intervalo de confiana [8,16], para a mdia da populao, tem nvel de confiana de: a)92% INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 75 b)92,4% c)96% d)96,2% e)97,7% 05(AnalistadoBancoCentral1994)Umtestedehiptesefoiaplicadoe,ao nveldesignificnciade5%,rejeitou-seH0.Oqueacontecer,seforemadotadosos nveis de significncia de 1% e de 10%, respectivamente? a)Rejeitar-se- H0 em ambos os casos. b)Rejeitar-se- H0 A 1% e nada se pode afirmar quanto ao de 10%. c)Nada se pode afirmar quanto ao de 1% e rejeitar-se- H0 a 10% d)Nada se pode afirmar em ambos os casos. e)Aceitar-se- H0 a 1% e rejeitar-se- H0 a 10%. 06 (Analista do Banco Central 1997) Um auditor possui 10.000 comprovantes de operaesfinanceirasreferentesaomsdejulhode1997.Umaamostrade100 comprovantes foi selecionada e apresentou os seguintes resultados: valor mdio das operaes: R$ 1.500,00 e desvio padro observado: R$ 270,00 Considerandoclculosparapopulaesinfinitaseaproximaonormal, julgue os itens seguintes, utilizando, se necessrio, a tabela normal padronizada abaixo. % .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 1.1 .3643 .3643 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4656 .4671 .4671 .4678 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4726 .4738 .4744 .4750 .4756 .4756 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 a)O valor total das operaes realizadas em julho estimado em R$ 150.000,00. b)Seointervalodeconfianaobtidoparaovalormdiodasoperaesfoi [1.440;1.560], o nvel de confiana utilizado para o clculo foi superior a 95%. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 76 c)Aprobabilidadedeumadessasoperaesfinanceirasdejulhotervalorsuperiora R$ 1.770,00 inferior a 0,2. d)Paraestimaraproporodecomprovantescomerrodedigitao,considerando margemdeerroamostraliguala2%enveldeconfianade95%,onmerode comprovantes a serem analisados dever ser superior a 2.750,00. e)Caso,emagosto,ointervalodeconfianaparaomesmoestudotenhasidode [1.450;1.520],comnveldeconfianade97,7%,umtestedehiptesequequeira reduzir a 0,01 o risco de se cometer um erro do tipo I no fornecer evidncia para se afirmar que a mdia de operaes foi diferente de R$ 1.515,00. 07 (CESPE-UnB/Analista do Banco Central/2000) um psiclogo deseja estudar o tempo(emminutos)queosempregadosdeumacompanhialevampararealizarcerta tarefa.Postula-sequeostemposnapopulaoconsideradaseguemumadistribuio normalcommdiaevarincia2,ambasdesconhecidas.Opsiclogoobteveuma amostraden=100empregadoseregistrouotempoquecadaumdelesprecisoupara realizar a tarefa. Para os 100 tempos registrados, obtiveram-se o valor mdio25 , 6____=X minutos e o desvio padro S = 1 minuto. Valores selecionados da tabela normal Z1,2821,6451,9602,576 Pr (X 9.000 horas (1) Ao nvel de significncia de 5%, no podemos contestar a afirmao do fabricante. (2)Seainformaoamostralfosseobtidadeumaamostrade36tubos,aonvelde significncia de 2,5% tambm no podemos contestar a afirmao do fabricante. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 81 (3) O tamanho mnimo da amostra para uma estimativa por intervalo da vida mdia dos tubosdeveriaserde50tubos,demodoqueoerrodaestimativanoexcedessea 100 horas, com uma probabilidade de 95%. (4) Caso desconheamos o desvio padro populacional impossvel testar a validade da afirmao do fabricante. (ANPEC 1997 - QUESTO 12) - Com base na Inferncia Estatstica, podemos fazer as seguintes afirmaes: (0) A reduo da probabilidade de erro do tipo I no tem qualquer efeito sobre a probabilidade de erro do tipo II. (1) Sob condies bastantegerais,medidaemqueotamanho daamostraaumenta,a distribuiodeprobabilidadedamdiadaamostratorna-semaisconcentradaem tornodamdiapopulacionaleointervalodeconfianatorna-semenosamploe mais preciso. (2)Quandodesejamosestimaramdiapopulacional,seestamostrabalhandocom amostras pequenas, com a varincia populacional desconhecida, devemos utilizar a estatsticatdeStudent,qualquerquesejaadistribuiodeprobabilidadeda populao,sendotXSn= ,ondeX =mdiaamostral;S=desviopadro amostral;en = tamanho da amostra. (3) Sejam: H0 a hiptese nula e H1 a hiptese alternativa de uma teste estatstico. Testar H0consisteessencialmenteemdeterminarumaregiocrticaparaaestatsticaem estudo, de forma que a probabilidade da estatstica cair na regio crtica, sendo H0 verdadeira, um valor fixo , concordando em rejeitar esta hiptese se, e somente se, o valor da estatstica cair na regio crtica. (4)possvelreduzirasprobabilidadesdoserrosdotipoIeIIcomoaumentoda amostra. (ANPEC 1998 - QUESTO 9) - Uma mquina est sendo examinada com o objetivo desubstituiramquinaantigadecertaindstria.Segundoofabricantedanova mquina,aproporo(P)depeasdefeituosasproduzidade3%oumenos.Uma amostra de 2.000 peas foi examinada e foram encontradas 74 peas defeituosas. (0)As hipteses para um teste estatstico de hipteses devem serH0: P = 0,03 eHA: P< 0,03. (1) Aorealizarmosotestedehiptesesparaoproblema,aonveldesignificnciade 5%, a hiptese nula deve ser rejeitada. (2)Utilizandoaproporodepeasdefeituosasencontradasnaamostra,a estimativaporintervaloparaaverdadeiraproporodepeasdefeituosas produzidapelanovamquina,utilizandoumaconfianade95%,( 2,87%;4,53%). (3)Admitindoqueaverdadeiraproporodepeasdefeituosasseja3%,seria necessrio uma amostra de 3.000 peas para que o erro mximo admissvel entre a proporo estimada e a verdadeira no excedesse a 1%, com probabilidade de 95%. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 82 (4)Seasprobabilidadedequeumintervalodeconfianacontenhaoverdadeiro parmetropopulacionaliguala(1-),istosignificaqueseretirssemosum nmeroinfinitodeamostrasdapopulaoemestudoeseparacadaumadas amostras calculssemos o intervalo de confiana do parmetro , ento em (1 - )% destes intervalos conteriam o verdadeiro parmetro . (ANPEC1999-QUESTO7)-OcandidatoXagovernadordecertoestadoafirma quedetmmaisde45%dasintenesdevotodoeleitoradonaprximaeleio.Para verificaraveracidadedainformao,ocandidatoYmandourealizarumlevantamento estatstico utilizando, para tanto, uma amostra aleatria de 625 eleitores. O resultado do levantamento foi o seguinte: CandidatoXYOutrosTotal Nmero de votos 255265105625 Com as informaes dadas, podemos concluir que: (0) A afirmao do candidato X verdadeira com base num teste de hipteses, para um nvel de significncia de 5%.(1)Comumaconfianade90%,ointervalodeconfianaparaaverdadeiraproporo de intenes de voto para o candidato Y (39%; 46%), arredondando para nmeros inteiros as percentagens encontradas. (2) Com a mesma confiana de 90%, o intervalo estimado para a verdadeira proporo de intenes de voto para o candidato X (38%; 44%), arredondando para nmeros inteiros as percentagens encontradas. (3) AafirmaodequeocandidatoYdetmmaisde42%dasintenesdevoto verdadeira, com base num teste de hipteses com nvel de significncia de 1%. (ANPEC 1999 - QUESTO 10) - Com relao a teoria de Teste de Hipteses, pode-se afirmar que : (0)Se o objetivo testar a hiptese Nula ,0 0: = H , contra a hiptese Alternativa de que, 0: aH ,entodeve-serejeitar 0H quando 2100( >Cdponde,ovalor crtico, 21C , determinado da distribuiot-Student ou da distribuio Normal em funo do nvel de significncia . (1) Um teste de hiptese dito o mais poderoso se tem o maior poder do que qualquer outro teste, ainda que os nveis de significncias sejam diferentes. (2) Um teste de hiptese no-viciado se seu poder maior ou igual do que a probabilidade do erro do tipo I para todos os valores dos parmetros. (3) A estatstica t-Student utilizada nos testes de hipteses para a mdia populacional quando a varincia dos elementos da populao, 2,no conhecida. INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF. Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha 83 (ANPEC2000-QUESTO05)-Dadasasseguintesafirmativassobretestesde hipteses, correto dizer que: (0)AprobabilidadedoerrotipoIcalculadautilizando-seaestatsticadeteste,para cujo clculo presume-se que a hiptese nula falsa. (1)Umavezdefinidaaregiodeconfianaparaumdeterminadoparmetroda populao, vrias hipteses nulas podem ser testadas utilizando-se este intervalo de confiana. (2)Quanto maior o p-valor, maior a credibilidade da hiptese alternativa. (3)A aceitao de determinada hiptese nula implica que esta hiptese seja verdadeira. (4)O poder de um teste a probabilidade de se rejeitar a hiptese nula quando esta for falsa. (ANPEC 2001 - QUESTO 05) -Aotestarasignificnciadocoeficienteangulardeummodeloderegressolinear simples encontrou-se valor-p = 3x103 . Pode-se afirmar que: O erro tipo II ser igual a 3x103 .Aprobabilidadedeoverdadeirovalordoparmetroencontrar-senointervalo 2S 99,7%. Omaisbaixonveldesignificnciaaoqualahiptesenulapodeserrejeitada 3x103 . O coeficiente significante a 99% de confiana. A potncia do teste definida por (1 0,003).(ANPEC2001-QUESTO06)-Emrelaoaointervalodeconfianaestatstico pode-se afirmar: Utiliza-seadistribuionormalzpadronizadaparaestimar-seointervalode confianadamdiapopulacionalsomentequandoapopulaofornormalmente distribuda. Emprega-seumfatordecorreoparaaestimativadodesvio-padroquandoa populao finita, ou a amostra extrada sem reposio. Paraaumentaraprecisodeumaestimativaporintervalo,opesquisadordeve aumentar ointervalo de confiana de 95% para 99%, por exemplo. Aumentando-se o tamanho da amostra, aumenta-se a preciso de uma estimativa por intervalo.Se