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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA – UNESP FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA – FEIS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE ELETRICIDADE BÁSICA (ELETRÔNICA 1) Versão 1.1 Professor: Cláudio Kitano email: [email protected] Ilha Solteira - 2009 ELETRICIDADE BÁSICA O objetivo desta apostila é apresentar ao aluno de Eletrônica 1, de forma rápida, noções gerais sobre circuitos elétricos operando em corrente alternada. Primeiramente, trata-se do regime permanente senoidal segundo uma abordagem no domínio do tempo. Na seqüência, são definidos os conceitos de valores médio e eficaz de grandezas instantâneas, e o cálculo da potência média. Será assumido que o aluno ainda não tenha tido qualquer envolvimento com eletricidade, de forma que a introdução de alguns conceitos fundamentais como carga, corrente, tensão e bipolos elétricos, será incluída. Não se pretende aprofundar excessivamente no estudo de técnicas como a representação fasorial ou a transformada de Laplace, as quais não são obrigatoriamente necessárias em Eletrônica 1, e que deverão ser detalhadas nos cursos de Circuitos Elétricos. 01 – Conceitos Fundamentais Nesta seção, apresentam-se alguns conceitos fundamentais de eletricidade, os quais são necessários à solução de circuitos elétricos simples. 1.1 – Carga Elétrica e Corrente de Condução As cargas elétricas são medidas em coulomb (C), e podem ser positivas ou negativas. A carga elétrica mínima (ou carga elementar) corresponde à carga do elétron e = -1,602 x 10 -19 C. Um deslocamento de cargas elétricas através de uma seção transversal, como representado na Fig. 1.1, constitui uma corrente elétrica. Figura 1.1 – Corrente elétrica constituída pelo fluxo de cargas positivas. Supondo-se o caso de N cargas elementares positivas, calcula-se a corrente elétrica como: dt dq t i ) ( (1.1) sendo e N q (1.2) onde dq é a soma das cargas elétricas que atravessam a superfície dada, no intervalo de tempo dt e num sentido pré-fixado, sendo que esta superfície é chamada de superfície de medição. A corrente elétrica é medida em C/s, ou então, em ampére (A). A corrente elétrica num metal, é causada pelo fluxo de elétrons e é conhecida como corrente de condução. Além desta, existem também as correntes de convecção, de difusão e de deslocamento, as quais serão estudas nos cursos de Eletromagnetismo.

Apostila - Eletricidade básica · ELETRICIDADE BÁSICA (ELETRÔNICA 1) Versão 1.1 Professor: Cláudio Kitano email: [email protected] Ilha Solteira - 2009 ELETRICIDADE BÁSICA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA – UNESP FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA – FEIS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE

ELETRICIDADE BÁSICA

(ELETRÔNICA 1) Versão 1.1

Professor: Cláudio Kitano email: [email protected]

Ilha Solteira - 2009

ELETRICIDADE BÁSICA O objetivo desta apostila é apresentar ao aluno de Eletrônica 1, de forma rápida, noções gerais sobre circuitos elétricos operando em corrente alternada. Primeiramente, trata-se do regime permanente senoidal segundo uma abordagem no domínio do tempo. Na seqüência, são definidos os conceitos de valores médio e eficaz de grandezas instantâneas, e o cálculo da potência média. Será assumido que o aluno ainda não tenha tido qualquer envolvimento com eletricidade, de forma que a introdução de alguns conceitos fundamentais como carga, corrente, tensão e bipolos elétricos, será incluída. Não se pretende aprofundar excessivamente no estudo de técnicas como a representação fasorial ou a transformada de Laplace, as quais não são obrigatoriamente necessárias em Eletrônica 1, e que deverão ser detalhadas nos cursos de Circuitos Elétricos. 01 – Conceitos Fundamentais Nesta seção, apresentam-se alguns conceitos fundamentais de eletricidade, os quais são necessários à solução de circuitos elétricos simples. 1.1 – Carga Elétrica e Corrente de Condução As cargas elétricas são medidas em coulomb (C), e podem ser positivas ou negativas. A carga elétrica mínima (ou carga elementar) corresponde à carga do elétron e = -1,602 x 10-19C. Um deslocamento de cargas elétricas através de uma seção transversal, como representado na Fig. 1.1, constitui uma corrente elétrica.

Figura 1.1 – Corrente elétrica constituída pelo fluxo de cargas positivas.

Supondo-se o caso de N cargas elementares positivas, calcula-se a corrente elétrica como:

dt

dqti )( (1.1)

sendo eNq (1.2)

onde dq é a soma das cargas elétricas que atravessam a superfície dada, no intervalo de tempo dt e num sentido pré-fixado, sendo que esta superfície é chamada de superfície de medição. A corrente elétrica é medida em C/s, ou então, em ampére (A). A corrente elétrica num metal, é causada pelo fluxo de elétrons e é conhecida como corrente de condução. Além desta, existem também as correntes de convecção, de difusão e de deslocamento, as quais serão estudas nos cursos de Eletromagnetismo.

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Embora a corrente num fio condutor (por exemplo) corresponda a um deslocamento de elétrons, por convenção, o fluxo de corrente elétrica é estabelecido pelo movimento das cargas positivas. Assim, no caso da Fig.1.1, onde só existe movimento de cargas positivas, a corrente elétrica acontece da esquerda para a direita. Por outro lado, no caso mostrado na Fig.1.2, onde as partículas são elétrons, o fluxo de corrente acontece da direita para a esquerda. Esta convenção existe por motivos meramente históricos.

Figura 1.2 – Corrente elétrica convencional, quando as cargas são constituídas por elétrons.

1.2 – Amperímetros Os amperímetros são instrumentos usados para medir correntes elétricas e podem ser analógicos ou digitais. Na Fig. 1.3 ilustra-se um amperímetro inserido num circuito. O instrumento deve estar em série com a corrente que quer medir, ou seja, ela deve atravessá-lo completamente. Seus terminais são marcados com sinais (+) e (-). O deslocamento de elétrons segue do terminal negativo para o positivo, causando deflexão positiva de seu indicador.

Figura 1.3 – Amperímetro inserido num circuito.

O amperímetro conta o número de elétrons que atravessam a seção transversal de medição por unidade de tempo. Na Fig. 1.4 a) apresenta-se uma foto de um amperímetro analógico, enquanto que na Fig. 1.4 b), tem-se uma foto de um amperímetro digital. O funcionamento do amperímetro será estudado na disciplina Medidas Elétricas. Amperímetros digitais serão vistos no laboratório de Eletrônica 1.

(a)

(b)

Figura 1.4 – Amperímetros. a) Analógico. b) Digital.

Quando a corrente i=dq/dt é constante, então, i ≠ i(t), e a corrente é chamada de corrente

contínua (C.C.). Por outro lado, quando i = i(t), ou seja, é variável no tempo, é denominada de corrente alternada (C.A.). Existem amperímetros para medir correntes contínua e alternada. 1.3 – Bipolos Passivos Um dispositivo elétrico com dois terminais acessíveis e pelo qual se possa fazer circular uma corrente elétrica, de modo que a corrente que entra num dos terminais seja, em qualquer instante, igual à corrente que flui do outro lado, é um bipolo elétrico. Na Fig.1.5., tem-se o diagrama de um bipolo.

Figura 1.5 – Diagrama geral de um bipolo elétrico.

Existe uma tensão elétrica entre os terminais do bipolo, v(t), a qual é medida em volts (V), e que será melhor discutida a seguir. Em geral, os bipolos são recíprocos (seus terminais são intercambiáveis), mas existe a necessidade de marcá-los com sinais (+) e (-). Na Fig.1.5, utiliza-se a convenção de receptor (a ser justificada adiante). Aconselha-se ao aluno, memorizar a convenção de sinais para corrente e tensão mostrada na figura. 1.4 - Tensão Elétrica, Energia e Potência A passagem de corrente através dos bipolos é sempre acompanhada de fenômenos energéticos: desprendimento de calor, transformação de energia elétrica em magnética ou vice-versa, etc. No caso onde o bipolo é ativado por uma corrente elétrica i(t), que circula durante um instante de tempo dt, a carga correspondente que atravessa a seção transversal de medição será

dttidq )( (1.3) Segundo o Eletromagnetismo, a passagem desta carga põe em jogo uma energia dW, dada por: dqtvdW )( (1.4) medida em joules (J). A grandeza v(t) é chamada de tensão elétrica ou diferença de potencial entre os terminais do bipolo. Em geral, v(t) é uma função do tempo.

A tensão elétrica é medida por meio do voltímetro, um instrumento indicador que possui dois terminais demarcados por (+) e (-), como esquematizado na Fig. 1.6. O voltímetro é inserido em paralelo com o bipolo no qual se quer medir a tensão. Na figura, o bipolo é uma lâmpada. Se a indicação do voltímetro for positiva, num dado instante, é porque o terminal (+) está à um potencial maior que a do terminal (-). Portanto, o terminal (+) do bipolo é aquele que deve ser ligado ao terminal (+) do voltímetro a fim de produzir uma deflexão positiva.

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Figura 1.6 – Voltímetro inserido num circuito elétrico.

Como no caso dos amperímetros, os voltímetros também podem ser analógicos ou digitais, como os mostrados na Fig.1.7, e existem voltímetros para medir grandezas contínuas e alternadas. Isto será melhor discutido no laboratório de Eletrônica 1.

(a)

(b)

Figura 1.7 – Voltímetros. a) Analógico. b) Digital.

Segundo o Eletromagnetismo, a potência instantânea, p(t), fornecida (ou recebida) por um bipolo elétrico relaciona-se com a energia envolvida, dW, por: dttpdW )( (1.5) e assim, com o auxílio de (1.3) e (1.4), mostra-se que ).()()( titvtp (1.6) sendo esta potência medida em watt (W). Portanto, a potência instantânea fornecida (ou recebida) por um bipolo, é igual ao produto da tensão entre seus terminais pela corrente que o atravessa. 1.5 – Alguns Tipos de Bipolos Receptores Neste item são estudados os principais tipos de bipolos receptores: o resistor, o indutor e o capacitor. a) Resistor

O símbolo de um resistor está desenhado na Fig. 1.8. Um resistor é um bipolo no qual a relação entre v(t) e i(t) é linear, ou seja:

)()( tiRtv (1.7 a)

ou então por seu dual )()( tvGti (1.7 b)

onde R é a resistência, medida em ohms (), e G =1/R é a condutância, medida em mho (℧ ou ohm escrito de trás para frente). Estas relações são conhecidas como lei de Ohm.

Figura 1.8 – Símbolo do resistor.

Resistores são introduzidos em circuitos elétricos para limitar correntes elétricas ou causarem quedas de tensão. Isto é obtido às custas de conversão irreversível de energia elétrica em energia térmica, ou seja, de dissipação de potência elétrica em calor. O fluxo de elétrons num dado material (um condutor metálico, ou um material resistivo) não é exatamente suave ou bem comportado como mostrado na Fig. 1.2. De fato, na trajetória de um elétron ocorrem inúmeras colisões com os átomos fixos do meio material. A trajetória é, portanto, composta por um zigue-zague, como esquematizado na Fig.1.9. Esta dificuldade que a rede atômica impõe ao elétron em se movimentar é denomidada, no Eletromagnetismo, de resistividade elétrica. Na Fig.1.9 a), os átomos da rede estão mais espaçados que os da Fig.1.9 b) e, portanto, sua resistividade é menor. Como, em geral, o número de elétrons que constitui uma corrente elétrica é extremamente elevado, na média, o efeito do zigue-zague microscópico não é percebido macroscopicamente, e esta tem uma aparência de um fluxo suave. Contudo, o resultado da colisões é perceptível, através da geração de calor (mesmo num bom condutor).

(a)

(b)

Figura 1.9 – Colisões eletrônicas com a rede atômica. a) Material com menor resistividade. b) Material com maior resistividade.

Assim, aplicando-se (1.7 a-b) a (1.6), conclui-se que a potência instantânea consumida na

resistência elétrica será: )()()( 22 tvGtiRtp (1.8)

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Em resumo, a energia recebida por um resistor é convertida de forma irreversível em calor, ou seja, é dissipada termicamente. Conforme revela (1.5), integrando-se (1.8), pode-se calcular a energia dissipada no resistor no intervalo de tempo entre 0 e t:

tt

dttvGdttiRtW0

2

0

2 )()()( (1.9)

b) Indutor O símbolo de um indutor, segundo a convenção de receptor, está mostrada na Fig. 1.10.

Figura 1.10 – Símbolo do indutor.

Na prática, indutores são normalmente obtidos a partir de enrolamentos (bobinas ou solenóides), como os mostrados nas Figs. 1.11 a) e b). Estes dispositivos são usados para armazenar energia magnética em seu campo de força [as linhas em vermelho mostradas na Fig.1.11 b)]. Este é um processo não dissipativo, e o dispositivo pode operar num circuito ora armazenando energia, ora devolvendo esta energia, de forma cíclica ou repetitiva.

(a) (b)

Figura 1.11 – Indutor na prática. a) Bobina. b) Linhas de campo magnético.

Num indutor, a relação entre v(t) e i(t) é dada por:

dt

tdiLtv

)()( (1.10)

ou então, por se dual

dttvL

ti )(1

)( (1.11)

onde L é a indutância, medida em henry (H). A relação (1.10) informa que a tensão no indutor é proporcional à taxa de variação da corrente no tempo. Assim, se a corrente for contínua, i(t) é

constante, e a tensão entre seus terminais é nula. Portanto, em CC., em indutor se comporta como um simples trecho de fio condutor sem resistência elétrica (um curto-circuito). Aplicando-se (1.10) em (1.6), conclui-se que a potência instantânea recebida pelo indutor é

dt

tidL

dt

tdiLtitp

2)]([

2

1)()()( (1.12)

Enquanto que, integrando-se (1.5), obtém-se a energia armazenada entre 0 e t:

)(2

1)]([

2

1)]([

2

1)()( 2

0 0 0

22

tiLtidLdtdt

tidLdttptW

t t t

(1.13)

onde considerou-se que não há corrente circulando no indutor em t=0. Na Fig. 1.12 a), é mostrado que a circulação de corrente elétrica por uma indutância causa o aparecimento de um fluxo magnético , medido em weber (Wb). Isto será detalhado nos cursos de Eletromagnetismo mas, por hora, é interessante observar que um indutor percorrido por uma corrente elétrica se comporta como um imã permanente, mostrado na Fig.1.12 b). Nota-se que o padrão de linhas de força magnética são muito semelhantes.

(a) (b)

Figura 1.12 – Linhas de fluxo magnético. a) Num indutor. b) Num imã permanente.

Matematicamente, define-se o fluxo magnético concatenado com o indutor, pela corrente i(t), como

)()( tiLt (1.14)

e assim, aplicando-se (1.13) obtém-se a energia armazenada

L

ttW

)(

2

1)(

2 (1.15)

c) Capacitor

O símbolo de um capacitor, segundo a convenção de bipolo receptor, é mostrado na Fig. 1.13.

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Figura 1.13 – Símbolo do capacitor.

Uma forma simples de se implementar um capacitor é usando um par de placas paralelas, energizadas com cargas elétricas de sinais opostos, como ilustrado na Fig.1.14 a). Estes dispositivos são usados para armazenar energia elétrica em seu campo de força, como mostrado na Fig.1.14 b). Este processo é não dissipativo e reversível, ou seja, sob certas circunstâncias, o capacitor pode devolver a energia armazenada ao circuito.

(a)

(b)

Figura 1.14 – Capacitor prático. a) Placas paralelas. b) Linhas de campo elétrico.

Num capacitor, a relação entre v(t) e i(t) é dada por:

dt

tdvCti

)()( (1.16)

ou então, por se dual

dttiC

tv )(1

)( (1.17)

onde C é a capacitância, medida em farad (F). A relação (1.16) informa que só há circulação de corrente no capacitor se a tensão entre seus terminais for variável no tempo. Caso contrário, o capacitor se comporta como um circuito aberto, impedindo a passagem da corrente. A corrente que circula através de um capacitor é constituída por movimento de dipolos elétricos (no caso de serem preenchidos por materiais dielétricos), ou, por corrente de deslocamento (em particular, quando existe vácuo entre as placas), fenômenos que serão estudados no Curso de Eletromagnetismo. A potência recebida pelo capacitor é obtida a partir de (1.6) e (1.16):

dt

tvdC

dt

tdvCtvtitvtp

2)]([

2

1)()()()()( (1.18)

enquanto a energia armazenada entre 0 e t, é obtida a partir da integral de (1.5):

tt

tvCdtdt

tvdCdttptW

0

22

0

)(2

1)]([

2

1)()( (1.19)

onde considerou-se que não há tensão no capacitor em t=0. Segundo o Eletromagnetismo, existe uma relação entre a carga elétrica armazenada no capacitor, q(t), e sua tensão v(t): )()( tvCtq (1.20) e assim, com o auxílio de (1.20), a energia armazenada (1.19) também pode ser calculada através de

C

tqtW

)(

2

1)(

2

(1.21)

1.6 – Bipolos Geradores Os bipolos R, L e C são dispositivos passivos, pois não são capazes de gerar suas próprias tensões ou correntes (excluindo-se os casos dos capacitores previamente carregados, ou os indutores com correntes iniciais não nulas, que serão estudados no curso de Circuitos Elétricos). Bipolos geradores são capazes de fornecer energia aos circuitos (excitam as redes elétricas), causando o aparecimento de tensões e correntes. a) Geradores de tensão

Um gerador de tensão é um bipolo que tem a capacidade de manter a tensão entre seus terminais, sempre idêntica e igual a uma função do tipo:

. arbitrária no tempo (Fig.1.15 a); . senoidal (Fig. 1.15 b); . constante (Fig. 1.15 c).

(a)

(b)

(c)

Figura 1.15 – Tipos de geradores de tensão. a) Tensão arbitrária. b) Tensão senoidal. c) Tensão constante. b) Geradores de corrente Um gerador de corrente é um bipolo que tem a propriedade de fornecer em seus terminais uma corrente constantemente igual a uma função do tipo:

+

-

+

-

+

-

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. arbitrária no tempo (Fig. 1.16 a); . constante (Fig. 1.16 b).

Figura 1.16 – Tipos de geradores de tensão. a) Tensão arbitrária. b) Tensão constante.

Em geral, as fontes de correntes senoidais também são representadas pela simbologia da Fig.1.16 a). Uma vez apresentados os principais tipos de bipolos lineares que interessam ao curso de Eletrônica 1, passa-se a estudar o comportamento desses bipolos em circuitos elétricos. 02 – Fundamentos de Circuitos Elétricos Uma associação qualquer de bipolos, interligados por condutores perfeitos, é chamada de rede de bipolos. 2.1 Leis de Kirchhoff a) Primeira Lei de Kirchhoff – Lei das correntes (LKC) ou dos nós Os pontos em que convergem os terminais dos bipolos das redes são chamados de nós, como o representado na Fig. 2.1. Como num nó de uma rede de bipolos não há criação ou destruição de carga elétrica, segue que: “a soma algébrica das correntes que convergem num dos nós de uma rede é igual a zero”. Se as correntes forem variáveis no tempo, a LKC é válida em cada instante.

Figura 2.1 – Nó de uma rede elétrica.

Na figura, adota-se, arbitrariamente, a convenção de que corrente entrando no nó é positiva, e que a corrente saindo do nó é negativa. Obtém-se então 0)()()()( 4321 titititi (2.1)

Se a convenção adotada fosse oposta, bastaria inverter cada sinal algébrico em (2.1). Porém, nota-se que isto seria indiferente, pois a soma é identicamente nula. Assim, fica a critério do aluno especificar a sua própria convenção. a) Segunda Lei de Kirchhoff – Lei das tensões (LKT) ou dos ramos Os bipolos são designados como ramos da rede. Uma malha é um subconjunto de bipolos de rede, interligados de modo a constituir uma trajetória fechada, como aquela mostrada na Fig. 2.2. A LKT afirma que: “a soma algébrica das tensões medidas ordenadamente ao longo da malha, em um instante qualquer, é nula”.

Figura 2.2 – Malha de uma rede elétrica.

Adotando-se, arbitrariamente, a convenção de que tensões positivas são aquelas que percorrem a malha no sentido horário, obtém-se 0)()()()()( 54321 tvtvtvtvtv (2.2)

Aqui também, a convenção (sentido horário ou anti-horário) adotada para especificar o sinal algébrico das tensões é indiferente, uma vez que a soma é identicamente nula. Exemplo 2.1: Calcular todas as correntes e tensões no circuito da Fig.2.3.

Figura 2.3 – Circuito elétrico do Exemplo 2.1.

Solução: As tensões e correntes sobre os bipolos mostrados na figura têm orientações de acordo com as estabelecidas nas Figs. 1.8 e 1.15 c). Como todas os elementos da rede estão em paralelo, as tensões são as mesmas: 12321 vvv V

Aplicando-se a LKC ao nó mostrado na figura, obtém-se

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0321 iii 321 iii

Num resistor, aplica-se a lei de Ohm (1.7 a), e assim, i2 e i3 valem

62

12

2

22

R

vi A, 3

4

12

3

33

R

vi A

Portanto, 9321 iii A

Exemplo 2.2: Supor que não se saiba, em princípio, qual o sentido da corrente i2, de forma que ele é arbitrado como mostrado na Fig. 2.4. Resolver novamente o circuito.

Figura 2.4 – Circuito elétrico do Exemplo 2.2. Solução: Não importa o sentido exato da corrente ou da tensão arbitrados num circuito. No final da análise, se o sentido foi trocado, a própria formulação o revelará. O importante é manter a convenção de tensão e corrente definidas para cada dipolo das seções 1.5 e 1.6. No caso do resistor, é aquela identificada na Fig.1.8. Assim, se i2 inverter de sentido, v2 também o fará. Procedendo desta forma, aplicam-se (atenção para o sinal de v2): 12321 vvv V

Devido a LKC, tem-se 0321 iii 321 iii

As correntes nos resistores são:

62

12

2

22

R

vi A, 3

4

12

3

33

R

vi A

E por fim, 93)6(321 iii A

Como se observa, a própria formulação revelou que a corrente i2 foi arbitrada no sentido oposto, resultando num valor negativo. Não parece de bom sensor cometer um “erro” no sentido de i2 como aconteceu neste exemplo simples. Contudo, em redes mais complexas, as vezes, torna-se impossível saber a princípio, os sentidos corretos das tensões e correntes. Nestes casos, o que foi discutido no exemplo pode seu útil. Exemplo 2.3: Resolver o circuito mostrado na Fig.2.5.

Figura 2.5 – Circuito elétrico do Exemplo 2.3.

Solução: Todas as correntes e tensões arbitradas na figura obedecem à convenção de bipolos definidas nas Figs. 1.8 e 1.15 c). Como todos os elementos estão em série, segue que só existe uma corrente global: iiii 321

Aplicando-se a LKT à malha, no sentido mostrado na figura, obtém-se 0321 vvv

De imediato, observa-se que

121 v V enquanto as tensões nos resistores obedecem a (1.7 a) iiRiRv 22222 , iiRiRv 43333

Assim, a soma das tensões na malha conduz a 04212 ii 2i A Portanto, v2= 4 A e v3= 8 A, concluindo-se o exemplo. Exemplo 2.4: Supor que não se saiba, em princípio, qual o sentido da tensão v3, de forma que ele é arbitrado como mostrado na Fig. 2.6. Resolver novamente o circuito.

Figura 2.6 – Circuito elétrico do Exemplo 2.4.

Solução: O importante é manter a convenção estabelecida na Fig. 1.8. Assim, se v3 se inverter, i3 também o fará. A solução repete os passos do exemplo anterior, tomando-se o cuidado com os sinais algébricos: iiii 321

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0321 vvv

121 v V, iiRiRv 22222 , iiRiRv 4)(3333

0)4(212 ii 2i A

Portanto, v2= 4 A e v3= -8 A. Como se observa, a própria formulação revela que o sentido arbitrado para v3 estava

invertido. Exemplo 2.5: Resolver o circuito mostrado na Fig.2.7, considerando-se que se opera em regime estacionário.

Figura 2.7 - Circuito elétrico do Exemplo 2.4. Solução: Num circuito de corrente contínua operando em regime estacionário, todas as tensões e correntes não variam no tempo. Assim, de acordo com (1.10), não existe queda de tensão entre os terminais do indutor, e ele se comporta como um curto-circuito. De acordo com (1.16), não existe corrente circulando pelo capacitor, o qual se comporta como um circuito aberto. Portanto, em regime, o circuito da Fig.2.7 torna-se idêntico ao da Fig.2.5. Consequentemente,

2321 iii A

121 v V, 42 v V e 83 v V.

Exemplo 2.6: Calcular i(t) e vC(t) após a chave SW, mostrada no circuito da Fig.2.8, alimentar o circuito RC série com a fonte E. Supor que o capacitor está descarregado em t 0.

Figura 2.8 – Circuito RC série alimentado por uma fonte de tensão DC. Solução: No Exemplo 2.5, considerou-se que o circuito alimentado pela fonte CC. estava em regime estacionário, ou seja, que o mesmo havia sido ligado e que decorrera tempo suficiente

para que a corrente e a tensão não mais variassem no tempo. No presente exemplo, se está interessado no comportamento do circuito da Fig.2.8, desde o instante em que ele é ligado até o momento em que entra em regime. Isto é chamado de comportamento transitório. Obviamente, em regime, o capacitor C da Fig.2.8 não permitirá a passagem de corrente, de forma que i(t)=0, o que causa )()( tiRtv =0, e daí, EtvC )( . Ou seja, em regime, não haverá circulação de

corrente no circuito e a tensão sobre o capacitor será igual a E. Após a chave SW conectar a fonte E ao sistema, pode-se considerar que a tensão que alimenta o circuito RC série, aqui denominada de e(t), tem a forma mostrada na figura abaixo.

Para t 0 tem-se:

Ete )( A partir de (1.1) e (1.7 a), vem

dt

tdqRtiRtvR

)()()(

e, de (1.20)

C

tqtvC

)()(

Aplicando-se a LKT à malha da Fig.2.8, tem-se

0C

q

dt

dqREvvE CR

Esta equação pode ser reorganizada como

dtqdqRCdtCE dtqCEdqRC )( e daí, realiza-se a integração

tq

q

dtqCE

dqRC

00

onde q0 é a carga inicial do capacitor (q0=0 em t=0). Fazendo-se uma mudança de variáveis, tal que u=CE-q e du=-dq, esta integral se converte em

tu

duRC

q

0

cuja solução é conhecida do Cálculo:

tuRCq 0

ln tqCERCq 0

)ln( tCE

qCERC

)(ln

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A partir daí, é possível extrair o valor da carga elétrica:

)1()( / RCteCEtq O comportamento da tensão no capacitor com o tempo será então:

)1()(

)( / RCtC eE

C

tqtv

cujo gráfico está desenhado ao lado.

Assim que a chave SW conecta E à RC, a tensão no capacitor cresce exponencialmente, tendendo ao valor E no limite. Este é o valor que havia sido previsto para a operação em regime estacionário. A rapidez com que o transitório acontece depende dos valores de E, R e C.

Pode-se também calcular a corrente elétrica

RCtRCt eR

Ee

RC

CE

dt

tdqti //)()(

e daí, a queda de tensão no resistor

RCtR eEtRitv /)()(

cujo gráfico é mostrado ao lado.

Observa-se que vR(t) e i(i) são proporcionais entre si, e assim, a corrente no circuito cessa após o transitório, tendendo a zero no limite. Em resumo, capacitor se carrega, e tende à vC(t) = E em t = (no regime estacionário). Também está mostrado, que a tensão no resistor tende a zero à medida que o capacitor vai se carregando. Em t = , a corrente i(t) tende à zero e vR(t)=0. Exemplo 2.7: Partindo-se do ponto em que o circuito atingiu o regime no Exemplo 2.6, resolver o problema quando a chave SW da Fig. 2.8 muda de posição, aterrando o circuito RC série, como mostrado na Fig.2.9.

Figura 2.9 – Circuito RC série com capacitor previamente carregado.

Solução: Será criada uma nova origem para o tempo neste novo exemplo. Assim, t=0 corresponderá ao instante em que a chave SW aterrar o par RC, o qual havia atingido o regime estacionário no exemplo anterior. Considere-se que o capacitor esteja carregado com uma carga inicial q=q0 em t=0. No Exemplo 2.6, deduziu-se que )1()( / RCteCEtq , de forma que em t= ocorre q=CE, naquele caso. No presente caso (usando-se uma nova origem para o tempo), tem-se então q0=CE em t=0.

Aplicando-se a LKT,

0)()( tvtv CR

e, usando-se (1.1), (1.7 a) e (1.20), resulta que

0C

q

dt

dqR

C

qiR

Esta equação pode ser reorganizada como

dtq

dqRC

q

q

t

dtq

dqRC

0 0

tq

qRCqRC

q

q

0

lnln0

RCteq

q /

0

Portanto, a carga elétrica no capacitor varia como

RCteqtq /0)(

enquanto sua tensão será

RCtRCtC Eee

C

q

C

tqtv //0)()(

cujo gráfico está desenhado ao lado.

A corrente elétrica no circuito varia conforme

RCtRCt eR

Ee

RC

q

dt

tdqti //)()(

cujo gráfico está desenhado ao lado. A tensão no resistor será

)()()( / tveEtRitv CRCt

R

Como se percebe, o capacitor, inicialmente carregado com carga q0=CE, inverte sua corrente original em t=0-, e se descarrega sobre o resistor, dissipando sua energia. A rapidez deste transitório depende dos valores de E, R e C.

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Este constitui um exemplo de solução de circuitos elétricos em regime transitório. Nem todo circuito pode ser resolvido de forma tão simples, por isto, em Circuitos Elétricos será estudada a poderosa técnica da análise espectral, através da transformada de Laplace. 2.2 Associação de Bipolos É freqüente a necessidade de se associar bipolos em circuitos elétricos. A fim de simplificar a análise da rede, são apresentadas algumas regras para associação de bipolos em série (ou em cascata) e em paralelo. a) Associação série de resistores Na Fig. 2.10 a) tem-se uma rede com n resistores ligados em série. Diz-se que o circuito mostrado na Fig. 2.10 b) é equivalente ao da Fig. 2.10 a), se v(t) e i(t) são iguais para ambos em todos os instantes. O valor REQ é chamado de resistor equivalente da associação série.

(a)

(b)

Figura 2.10 – Associação série de resistores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente. Aplicando-se a LKT à malha da Fig.2.10 a), em conjunto com a lei de Ohm, vem

)()...(

)(...)()()(

21

21

tiRRR

tvtvtvtv

n

n

(2.3)

Por outro lado, a Fig.2.10 b) revela que )()( tiRtv EQ (2.4)

Comparando-se (2.3) com (2.4), conclui-se que nEQ RRRR ...21 (2.5)

ou seja, que a resistência equivalente é obtida pela soma das resistências em série individuais. b) Associação paralela de resistores

Na Fig.2.11 tem-se uma rede com n resistores em paralelo, representadas por suas condutâncias G1, G2, ..., Gn. Na Fig.1.11 b), tem-se o seu circuito equivalente.

(a)

(b)

Figura 2.11 – Associação paralela de resistores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente. Aplicando-se a LKC ao circuito da Fig.2.11 a), e usando a equação (1.7 b), vem

)()...(

)(...)()()(

21

21

tvGGG

titititi

n

n

(2.6)

Da Fig.2.11 b), obtém-se )()( tvGti EQ (2.7)

Então, comparando-se (2.6) com (2.7), conclui-se que nEQ GGGG ...21 (2.8)

ou seja, que a condutância equivalente da associação em paralelo é igual a soma das condutâncias individuais. Como G=1/R, (2.8) conduz a um resultado alternativo:

nEQ RRRR

1...

111

21

(2.9)

em temos de resistências. c) Associação série de indutores

Na Fig. 2.12 a), tem-se uma rede com n indutores ligados em série, e, na Fig.1.12 b), o seu circuito equivalente.

(a)

(b)

Figura 2.12 – Associação série de indutores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.

Aplicando-se a LKT à malha da Fig.2.12 a), e usando-se (1.10)

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dt

tdiLLL

tvtvtvtv

n

n

)()...(

)(...)()()(

21

21

(2.10)

Por outro lado, a Fig.2.12 b) revela que

dt

tdiLtv EQ

)()( (2.11)

Comparando-se (2.10) com (2.11), conclui-se que nEQ LLLL ...21 (2.12)

ou seja, que a indutância equivalente é obtida pela soma das indutâncias individuais em série. d) Associação paralela de indutores

Na Fig.2.13 a) tem-se uma rede com n indutores em paralelo, e, na Fig.1.13 b), o seu circuito equivalente.

(a)

(b)

Figura 2.13 – Associação paralela de indutores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.

Aplicando-se a LKC ao circuito da Fig.2.13 a), e usando a equação (1.11), vem

dttiLLL

titititi

n

n

)()1

...11

(

)(...)()()(

21

21

(2.13)

Da Fig.2.13 b), obtém-se

dttiL

tiEQ

)(1

)( (2.14)

Comparando-se (2.13) com (2.14), conclui-se que

nEQ LLLL

1...

111

21

(2.15)

ou seja, que o inverso da indutância equivalente é igual a soma dos inversos das indutâncias individuais ligadas em paralelo.

e) Associação série de capacitores

Na Fig. 2.14 a), tem-se uma rede com n capacitores ligados em série, e, na Fig.1.14 b), o seu circuito equivalente.

(a)

(b)

Figura 2.14 – Associação série de capacitores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.

Aplicando-se a LKT à malha da Fig.2.14 a), e usando-se (1.17)

dttiCCC

tvtvtvtv

n

n

)()1

...11

(

)(...)()()(

21

21

(2.16)

Por outro lado, a Fig.2.14 b) revela que

dttiC

tvEQ

)(1

)( (2.17)

Comparando-se (2.16) com (2.17), conclui-se que

nEQ CCCC

1...

111

21

(2.18)

ou seja, que o inverso da capacitância equivalente é igual a soma dos inversos das capacitâncias individuais ligadas em série. e) Associação paralelo de capacitores

Na Fig.2.15 a) tem-se uma rede com n capacitores em paralelo, e, na Fig.1.15 b), o seu circuito equivalente.

(a)

(b)

Figura 2.15 – Associação paralela de capacitores. a) Circuito original. b) Circuito equivalente.

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Aplicando-se a LKC ao circuito da Fig.2.15 a), e usando a equação (1.16), vem

dt

tdvCCC

titititi

n

n

)()...(

)(...)()()(

21

21

(2.19)

Da Fig.2.15 b), obtém-se

dt

tdvCti EQ

)()( (2.20)

Comparando-se (2.19) com (2.20), conclui-se que nEQ CCCC ...21 (2.21)

ou seja, que a capacitância equivalente é obtida pela soma das capacitâncias individuais em paralelo. 2.3 Algumas Regras Práticas Regras práticas, como o divisor de tensão e de corrente, podem simplificar substancialmente a solução de circuitos, e são abordados neste item. a) Associação em paralelo de dois resistores Quando os resultados obtidos na equação (2.9) é aplicada à associação paralela de apenas dois resistores, tem-se como resistência equivalente:

21

21

21

111

RR

RR

RRREQ

(2.22)

Invertendo-se (2.22), obtém-se a regra prática

soma

produto//

21

2121

RR

RRRR (2.23)

que informa que a resistência equivalente é dada pela razão entre o produto e a soma das resistências. b) Associação em paralelo de dois resistores : caso onde 21 RR Neste caso, 0/ 12 RR , e (2.23) pode ser rescrita como:

212

2

1

21

1

21

/1R

RR

R

R

RRR

RR

REQ

(2.24)

Portanto, dadas duas resistências muito diferentes entre si, o resultado da associação em paralelo é aproximadamente igual a menor delas. No exemplo da Tabela 2.1, apresenta-se o resultado da associação R1//10 , para R1 igual a 10 , 100, ..., 100 k. Neste último caso, 100 k >> 10 , e 100 k//10=9,999, ou seja, aproximadamente 10.

Tabela 2.1 - Caso onde R1>>R2.

R1 () Associação Resultado em 10 10 //10

51010

10.10

100 100 //10 091,9

10100

10.100

1000 1000 //10 901,9

101000

10.1000

10 k 10 k //10 990,9

1010

10.10

k

k

100 k 100 k //10 999,9

10100

10.100

k

k

Mesmo no caso onde R1= 100 , o resultado de R1//10 ainda é aproximadamente igual

a 10 , dentro de uma tolerância de 10% de erro. Exemplo 2.8: Dado o circuito mostrado na Fig. 2.16, pede-se para calcular a resistência vista pela fonte de tensão e a potência fornecida pela mesma.

Figura 2.16 – Circuito elétrico do Exemplo 2.8.

Solução: Procura-se resolver este circuito aplicando-se algumas das regras estudadas neste item. Por exemplo, aplica-se (2.23) aos resistores de 3 e 6, em paralelo, bem como, aos de 4 e 12.

263

6.36//3

3124

12.412//4

Com isto, o circuito da Fig. 2.16 pode ser simplificado como na figura ao lado.

Aplicando-se (2.5) à associação em série dos resistores de 1 e 3, tem-se o novo circuito desenhado ao lado.

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Usando-se, novamente, (2.23) com os resistores de 2 e 4 em paralelo, obtém-se

3

4

42

4.24//2

e daí, o circuito ao lado.

A associação em série dos resistores de 2 , resulta em

3

10

3

41 EQR

a qual constitui a resistência elétrica vista pela fonte de tensão. A corrente elétrica fornecida é obtida por:

2

3

3/10

55

EQRi A

a partir da qual se calcula a potência fornecida pela fonte:

2

15

2

3.5 vip W.

c) Regra do divisor de tensão A regra do divisor de tensão será amplamente utilizada no curso de Eletrônica 1. Na Fig.2.17, dois resistores em série, R1 e R2, são usados para dividir a tensão v(t). A tensão v0(t) constitui uma porção menor de v(t), cujo valor deseja-se conhecer. Admite-se que nenhum bipolo será conectado em paralelo com R2.

Figura 2.17 – Circuito divisor de tensão de v(t).

Aplicando-se a lei de Ohm (1.7 a) ao resistor R2, obtém-se

)()( 20 tiRtv (2.25)

Por outro lado, como a corrente i(t) flui por R1 em série com R2, vem

2

021

21

)()(

)()()(

R

tvRR

tiRRtv

(2.26)

onde extraiu-se i(t) de (2.25). Finalmente, reorganizando-se os termos de (2.26), obtém-se

)()(21

20 tv

RR

Rtv

(2.27)

Observe-se o caso trivial, no qual R1 = R2 em (2.27), que resulta v0(t)=v(t)/2, ou seja,

divide-se a tensão v(t) à metade, como esperado.

d) Regra do divisor de corrente Na Fig.2.18 ilustra-se o circuito divisor da corrente i(t). Deseja-se determinar o valor da corrente i0(t).

Figura 2.18 – Circuito divisor de corrente de i(t).

Pela lei de Ohm, aplicada ao resistor R2, obtém-se:

2

0

)()(

R

tvti (2.28)

e, ao resistor R1:

11

)()(

R

tvti (2.29)

Da LKC, observa-se que:

)()()(

)()()(

21

21

21

01

tvRR

RR

R

tv

R

tv

tititi

(2.30)

onde (2.28) e (2.29) foram usadas. Reorganizando-se (2.30), vem

)()(21

21 tiRR

RRtv

(2.31)

Por fim, substituindo-se (2.31) em (2.28), conclui-se que

)()(21

10 ti

RR

Rti

(2.32)

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É interessante comparar (2.32) com (2.27) para observar as diferenças. Esta regra também será muito usada em Eletrônica 1. e) Aplicação: Gerador de tensão real – efeito do carregamento Nas seções anteriores definiu-se geradores de tensão ideais. Modelos de geradores reais possuem uma resistência interna equivalente não nula, e assim, podem ser representados pela Fig.2.19, onde vs(t) é a tensão em vazio (ou força eletromotriz) e Rs é a resistência interna da fonte. A tensão acessível nos terminais deste gerador prático é vi(t).

Figura 2.19 – Circuito equivalente de um gerador de tensão prático.

Na prática, é importante adquirir geradores com a menor resistência interna possível, a fim de se evitar o efeito de carregamento: com a presença de uma carga conectada à vi(t), haverá circulação de corrente, e assim, a queda de tensão em Rs causa redução na tensão útil entregue à saída do gerador, vi(t). Observe que se o gerador estiver em vazio, não haverá corrente através de Rs e vi(t)=vs(t). Isto será melhor compreendido com o exemplo a seguir. Exemplo 2.9: Dados vs=100 mVp (lê-se 100 milivolts de pico) e RL=1 k, como mostrado na Fig.2.20, investigar o valor de vL(t) para os valores de Rs apresentados na Tabela 2.2.

Figura 2.20 – Circuito usado para estudar o efeito do carregamento. Solução: Ao contrário do circuito da Fig.2.19, agora, existe uma carga RL ligada na saída do gerador (vs, Rs). A tensão medida sobre a carga corresponde a vL(t). A tensão na carga pode ser obtida aplicando-se o divisor de tensão (2.27):

1001

1

kR

kv

RR

Rv

ss

Ls

LL mVp

Na Tabela 2.2, apresenta-se o resultado dos cálculos para diversos valores de Rs:

Tabela 2.2 – Efeito de Rs sobre a tensão na carga.

Rs, vL, mVp Redução de vs, em % 1 99,90 0,1

10 99,01 0,99 50 95,24 4,76 100 90,91 9,09 500 66,67 33,33 1000 50,00 50,00

Portanto, para uma carga RL=1 k Rs deve ser no máximo igual a 100 a fim de que se perca menos de 10% de vs, caso contrário, em vez da tensão vs chegar integralmente à carga, uma boa parcela de si ficará retida sobre a resistência interna Rs. Normalmente, geradores de sinais são fabricados com Rs=50 . f) Aplicação: Gerador de corrente real Geradores de corrente práticos devem levar em conta uma resistência interna shunt finita, como esquematizado na Fig. 2.21, onde is(t) é a corrente de curto-circuito e Rs é a resistência interna. Ao se conectar uma carga na saída do gerador de corrente, corre-se o risco da corrente is(t) não atingir integralmente esta carga, ficando uma parcela retida na resistência interna Rs.

Figura 2.21 – Circuito equivalente de um gerador de corrente prático.

É interessante adquirir geradores de corrente cujo valor de Rs seja o maior possível. Caso

contrário, pode haver uma perda de corrente substancial em Rs, antes de se atingir a carga. Obviamente, se a fonte estiver curto-circuitada, não haverá tensão em Rs e, portanto, também não haverá corrente nesta resistência. Com isto, a corrente de curto-circuito é o próprio valor de is(t). Exemplo 2.10: Dados Is=1 A e RL=1 k, conforme representado na Fig.2.22, investigar o valor de IL para os valores de Rs apresentados na Tabela 2.3.

Figura 2.22 – Circuito usado para estudar o efeito do carregamento.

Solução: Uma carga RL=1 k encontra-se conectada à saída da fonte de corrente (Is, Rs). Aplicando-se o divisor de corrente (2.32), obtém-se

11

kR

RI

RR

RI

s

ss

Ls

sL A

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Na Tabela 2.3, variou-se Rs e calculou-se IL. Como se observa, quanto maior o valor da resistência interna Rs, uma maior porção de Is consegue atingir a carga RL. Caso contrário, a corrente dará preferência por circular através de Rs.

Tabela 2.3 – Efeito de Rs sobre a corrente de carga.

Rs, IL, mVp Redução de Is, em % 1 k 0,5 50 10 k 0,909 9 100 k 0,990 1 1 M 0,999 0,1

Na prática, é importante utilizar fontes de corrente com resistência shunt da ordem de M. g) Percurso preferido pela corrente Dado duas resistências em paralelo, como desenhado na Fig.2.23, a corrente sempre terá predileção por circular pela menor das duas resistências.

Figura 2.23 – A corrente prefere circular pela menor resistência.

De fato, se 21 RR , ou seja, 0/ 12 RR , e

)()(01

1)(

1

1)()()(

1

2

1

21

1

1

21

10 tititi

R

Rti

R

RRR

R

tiRR

Rti sssss

(2.33)

Ou seja, a corrente is(t) passa praticamente toda por R2. Se ocorresse o inverso, ou seja, R2<<R1, a corrente teria predileção por circular através de R1. Este resultado é amplamente explorado para proteção de pessoas contra choques elétricos. Na Fig.2.24 a), mostra-se um motor elétrico no qual existe uma fuga (um vazamento) de corrente, dos enrolamentos para a carcaça (devido a algum tipo de defeito ou falha). Normalmente, o motor está sobre um pedestal isolado do solo, de modo que se uma pessoa tocar em sua carcaça, haverá circulação de corrente através da mesma. Tem-se o choque elétrico. Contudo, se a carcaça do motor for aterrada, cria-se um trajeto seguro para esta corrente de falta para o solo, no qual ela será dissipada (embora com prejuízo na conta de energia do proprietário do motor). Mesmo se uma pessoa tocar a caraça do motor, a corrente dará preferência por circular pelo fio condutor com resistência bem menor que o a do corpo da pessoa.

(a)

(b)

Figura 2.24 – Proteção contra choque elétrico. a) Circuito sem aterramento. b) Circuito com fio terra de proteção.

03 – Corrente Alternada 3.1 O regime permanente senoidal Estuda-se neste tópico, sinais de tensão que variam senoidalmente no tempo conforme )()( tsenVtv m (3.1)

onde Vm é o valor de pico (ou amplitude, medida em volts), é a freqüência angular (rad/s) e é a fase inicial (rad) da senóide. A frequência angular () se relaciona com a frequência linear (f, medida em ciclos por segundo ou Hz) através de f 2 (3.2) Este tipo de sinal pode ser encontrado, por exemplo, nos geradores de corrente alternada de usinas de geração de energia onde, normalmente, se usa f=60 Hz. Os sistemas de distribuição de energia, o rádio, a televisão, os sistemas de comunicação, os sistemas de computação, etc., dependem fundamentalmente de tensões e correntes senoidais. Exemplo 3.1: Considere-se um sinal senoidal no qual f= 1 kHz, Vm=1 V e =0 rad. Desenhar o gráfico de v(t). Solução: Na Tabela 3.1, consideram-se alguns valores de t para o cálculo de (3.1), ou seja,

tsentv 31021)( .

Tabela 3.1 – Alguns valores particulares para desenhar o gráfico de v(t).

t, s v(t), V 0 0 10-3/4 sen(/2)=1 10-3/2 sen()=0 3x10-3/4 sen(3/2)=-1 1x 10-3 sen(2)=0

Na Fig.3.1, apresenta-se um esboço do gráfico correspondente, mostrando-se apenas um

de seus ciclos.

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Figura 3.1 – Sinal senoidal típico.

A duração de um ciclo completo de sinal é chamado período, T. No caso do exemplo, T= 1ms. Através de regra de três simples, obtém-se a relação entre o período e a freqüência (comprovar isto):

f

T1

(3.3)

Observe-se que T= 1ms é igual a 1/f=1/(1 kHz) = 1ms. 3.2 – Circuitos resistivos Todas as equações apresentadas nas seções 1 e 2 deste texto podem ser empregadas para o caso onde as fontes de tensão são senoidais. Em particular, quando os circuitos são puramente resistivos, como a maioria dos circuitos que serão estudados em Eletrônica 1, a aplicação destas equações torna-se bastante simples. Os casos não resistivos serão estudados em Circuitos Elétricos. Considere-se o circuito resistivo operando em regime senoidal, mostrado na Fig.3.2. Assume-se que a fonte de tensão v(t) seja ideal.

Figura 3.2 – Circuito resistivo em regime senoidal.

Com isto, a tensão na resistência de carga RL será dada simplesmente por:

)()()( tsenVtvtv mR (3.4)

Usando a lei de Ohm: )()( tiRtv LR (3.5) Assim, extraindo i(t) de (3.5) e usando (3.4), obtém-se:

)()()( tsenR

Vti

L

m (3.6)

Portanto, a corrente resultante tem a mesma freqüência e fase inicial que v(t), porém, sua amplitude é alterada para Vm/RL. Em geral, em Eletrônica 1, considera-se apenas casos onde =00. Em vez de usar a coordenada t, o gráfico da senóide também pode ser desenhado em termos de t. Este é um procedimento interessante, uma vez que dispensa o conhecimento do valor de (ou de f), como aconteceu no caso da Fig.3.1. Desta forma, apresenta-se na Fig.3.3, os gráficos de vR(t) e i(t) dados por (3.4) e (3.6), respectivamente.

(a)

(b)

Figura 3.3 – Sinais na carga. a) Tensão na carga. b) Corrente na carga. No caso de circuito resistivo, diz-se que a tensão e corrente na carga estão em fase, ou seja, atingem seus valores máximos simultaneamente. Isto não acontece em circuitos contendo elementos L ou C, conforme será visto em Circuitos Elétricos. Exemplo 3.2: Para o circuito da Fig.3.4, calcular a tensão v0(t) e a corrente i(t).

Figura 3.4 – Circuito para o Exemplo 3.2. Solução: O circuito abaixo resulta da associação série dos resistores de 1

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Associando-se os resistores em paralelo, de 2e 4

3

4

42

4.24//2

resulta no circuito a seguir.

A tensão v1 é o resultado do divisor de tensão de v(t)

)(5

2)(

23/4

3/41 tvtvv

no qual, substituindo-se a expressão de v(t), obtém-se

tsenv 21 Também, da figura acima

tsentsentv

ti 2

35

10

3

3/42

)()(

Retornando ao circuito original da Fig.3.4 e aplicando o divisor de tensão de v1:

tsentsenvtv 2

32

4

3

13

3)( 10

.

3.3 – Valor médio Alguns sinais, embora sejam de corrente direta (DC do inglês Direct Current), não são de corrente constante (CC), pois variam no tempo. Na Fig. 3.4 ilustra-se um tal caso:

Figura 3.6 – Sinal periódico arbitrário e valor médio. Alguns instrumentos, como amperímetros e voltímetros DC, são capazes de medir o valor médio desse tipo de sinal.

Dada uma função v(t) periódica no tempo, de período T, define-se seu valor médio como:

T

DCAVG dttvT

VV0

)(1

(3.7)

onde a integração do sinal é realizada entre 0 e T. Neste texto, as notações VAVG (do inglês average) e VDC serão usadas indistintamente. VDC é preferida pelo livro de Sedra e Smith. Na realidade, a integração (3.7) pode ser executada em qualquer intervalo de tempo com duração T. Assim, por exemplo, também são válidas as relações:

2/

2/

)(1 T

T

DCAVG dttvT

VV (3.8 a)

ou

0

0

)(1

tT

t

DCAVG dttvT

VV (3.8 b)

para um t0 qualquer. Além disso, quando o período T (medido em segundos) não é fornecido, é mais adequado calcular VAVG, partindo-se de (3.7), como (notar que em t=0 tem-se t=0, e, quando t=T tem-se t=T):

)(1

)(1

0

tdtvT

VVT

DCAVG

(3.9)

Como T=1/f e =2f, então, T=2f.(1/f)= 2Assim, (3.9) torna-se

)()(2

1 2

0

tdtvVV DCAVG

(3.10 a)

Ou então, )()(2

1tdtvVV DCAVG

(3.10 b)

Exemplo 3.3: Calcular o valor médio da forma de onda mostrada na Fig.3.7, ou seja

2,0

0,)(

t

ttsenVtv m

a qual é denominada de meia-onda.

Figura 3.7 – Valor médio da meia-onda.

Solução: Aplicando-se (3.10 a), obtém-se

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dxsenxV

tdtsenVtdtvV mmDC

00

2

0 2)(

2

1)()(

2

1

)]1(1[2

)]0cos(cos[2

]cos[2 0

mmm VV

xV

e assim,

mDC

VV

Este resultado será amplamente utilizado no estudo de retificadores a diodos em Eletrônica 1.

Embora os sinais das Figs. 3.6 e 3.7 sejam do tipo DC, a definição de valor médio é geral, e também se aplica a sinais alternados, que apresentam valores instantâneos positivos ou negativos. Exemplo 3.4: Calcular o valor médio da tensão senoidal tsenVtv m )( , mostrado na Fig.3.8.

Figura 3.8 – Sinal senoidal simples.

Solução: Não é preciso de cálculo para deduzir que o valor médio de v(t) é zero, uma vez que o sinal senoidal é simétrico: cada valor positivo da primeira metade do ciclo é compensado por um valor igual negativo da segunda metade do ciclo. Portanto, ao somar todos os valores da integral entre 0 e 2, se obterá zero como resultado. Apenas para confirmar, aplica-se (3.10 a)

dxsenxV

tdtsenVtdtvV mmDC

2

0

2

0

2

0 2)(

2

1)()(

2

1

0)]1(1[2

)]0cos(2cos[2

]cos[2

20

mmm VV

xV

Na verdade, as funções do tipo )2()(2 tsenVtv m , )3()(3 tsenVtv m , ..., todas,

têm valor médio nulo (verificar isto!). Estes sinais têm freqüências dupla (2), tripla (3), etc., e são denominados de segunda harmônica, terceira harmônica, etc, respectivamente. A função com freqüência é denominada de componente de freqüência fundamental. Os gráficos de v2(t) e v3(t) estão desenhados na Fig. 3.7, e apresentam dois e três ciclos por período 2da fundamental, respectivamente.

Figura 3.9 – Harmônicas senoidais. a) Segunda harmônica.b) Terceira harmônica.

Exercício 3.1: Calcular o valor médio do sinal )](1[2

)( tsenV

tv m .

Exercício 3.2: Calcular o valor médio do sinal mostrado na Fig.3.10, o qual é chamado de onda completa.

Figura 3.10 – Forma de onda para o Exercício 3.2.

3.4 – Valor eficaz Com exceção do osciloscópio, os instrumentos de corrente alternada, tais como amperímetros e voltímetros (analógicos ou digitais) são lentos demais para que possam acompanhar os ciclos efetivos de oscilações de um sinal variável no tempo (como o senoidal). Assim, em geral, estes últimos são calibrados em termos de valores eficazes. Por exemplo, se você ligar um voltímetro de corrente alternada a uma tomada elétrica doméstica, ele deve indicar 127 volts eficazes (127 Vef ou 127 VRMS). A sigla RMS advém do inglês Root Mean Squared. Dada uma função v(t) periódica no tempo (não necessariamente senoidal), de período T, define-se o valor eficaz como:

T

efRMS dttvT

VV0

2 )(1

(3.11 a)

ou então, em termos de (t):

2

0

2 )(2

1tdtvVV efRMS (3.11 b)

Exemplo 3.5: Se tsenVtv m )( , calcular a sua tensão eficaz.

Solução: Aplicando-se (3.11 b)

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2

0

22

0

222

0

22

2

2cos1

22

1)(

2

1dx

xVtdtsenVtdtvV m

mRMS

2]

4

0

4

4

2

0

2

2[

2]

4

2

2[

2

2220

2mmm VsensenVxsenxV

de onde se conclui que

2m

RMS

VV

Assim, em vez de (3.1), também é comum se utilizar a notação:

)(2)( tsenVtv RMS . Este resultado é amplamente utilizado em eletricidade.

Exercício 3.3: Mostrar que todas as expressões abaixo possuem 2/mRMS VV .

a) tVtv m cos)(

b) )()( tsenVtv m , qualquer.

Exercício 3.4: Mostrar que usando-se

tdtvVRMS )(

2

1 2 , para tsenVtv m )( , obtém-se

o mesmo resultado, ou seja, que 2/mRMS VV .

Exercício 3.5: Calcular a tensão eficaz da função de meia-onda v(t) estudada no Exemplo 3.3. Exercício 3.6: Calcular a tensão eficaz da função de onda completa v(t) mostrada na Fig.3.8. 3.5 – Potência Média Quando a corrente e a tensão num bipolo são funções do tempo, é adequado definir uma potência média conforme:

TT

AVG dttitvT

dttpT

P00

)()(1

)(1

(3.12)

onde T é o período de v(t) e i(t).

A expressão (3.12) é válida para quaisquer formato de v(t) e i(t), não obrigatoriamente senoidais como, por exemplo, o sinal arbitrário periódico mostrado na Fig.3.11.

Figura 3.11 – Sinal de tensão arbitrário e de período T.

Outra forma de se calcular PAVG, mais simples que (3.12), é

tdtptdtpPAVG )(

2

1)(

2

1 2

0 (3.13)

Exemplo 3.6: Se tsenVtv m )( e tsenIti m )( , calcular a potência média.

Solução: Este é um caso típico de circuito senoidal resistivo. Aplicando-se (3.13):

dx

xIVtdtsenIVP mm

mmAVG 2

cos1

22

1 2

]0022

[2

]4

)2(

4

2)

2(

2[

2]

4

2

2[

2

mmmmmm IVsensenIVxsenxIV

Portanto, o valor da potência média do sinal senoidal simples será:

RMSRMSmm

AVG IVIV

P 2

No próximo exemplo, emprega-se este resultado para interpretar o significado de valor eficaz. Exemplo 3.7: Considere o circuito de corrente contínua mostrado na Fig.3.12, alimentado por uma fonte de tensão CC cujo valor é Vef..

Figura 3.12 – Circuito resistivo alimentado com fonte CC de valor Vef.

A potência dissipada no resistor é

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R

V

R

VVIVP efef

efefefR

2

Agora, considerando-se o circuito de corrente alternada mostrado no Fig.3.13, no qual

tsenVtv m )( .

Figura 3.13 – Circuito senoidal resistivo. A corrente elétrica resultante será:

tsenR

VtsenIti m

m )( , onde RVI mm

Para um circuito como o da Fig.3.13, já foi visto que a potência média fornecida pela fonte senoidal é:

R

VIVP mmm

AVG 22

2

pois RVI mm / . A partir de PR e PAVG, obtém-se uma interpretação física para o valor eficaz.

Igualando-se PR e PAVG, verifica-se que

R

V

R

Vmef

2

22

a partir da qual, conclui-se que

2/mef VV

como havia sido previsto no Exemplo 3.5. A partir deste resultado, tem-se a seguinte

interpretação: se uma tensão tsenVtv ef 2)( for aplicada a uma resistência R, produz-se a

mesma dissipação de energia que uma fonte CC com valor Vef aplicada à mesma resistência R. 04 – Transformador Não se deve ligar um eletrodoméstico cuja tensão de operação é 127 Vef numa rede de 220 Vef, pois isto danificaria o aparelho. O inverso não existe perigo, porém, a eficiência do aparelho cairia sensivelmente. Necessita-se, portanto, de um dispositivo que consiga aumentar ou diminuir a diferença de potencial num circuito (mantendo-se a potência média constante). O transformador de tensão alternada constitui esse elemento (e não existe um sistema equivalente, com simplicidade equivalente, para corrente contínua).

Em eletrônica, um transformador, normalmente, é usado para abaixar o nível de tensão da rede (127 ou 220 Vef) para níveis compatíveis com os dispositivos semicondutores (normalmente, abaixo de 15 volts). Na Fig.4.1, apresentam-se alguns modelos comerciais destes transformadores.

(a) (b)

Figura 4.1 – Alguns exemplos de transformadores práticos. a) Enrolamento exposto. b) Blindado.

Na Fig. 4.2 a), ilustra-se o esquema de um transformador de potencial, constituídos por dois enrolamentos, sobre um mesmo núcleo de material ferromagnético [ver Fig.4.2 b)]. Assim, o lado de maior tensão corresponde ao enrolamento primário, enquanto o lado de menor tensão, ao enrolamento secundário.

(a)

(b) Figura 4.2 – Transformadores de potencial. a) Esquema elétrico. b) Elementos constituintes.

As tensões do primário e do secundário de um transformador ideal estão relacionadas por:

1

2

1

2

n

n

V

V (3.14)

onde V1 e V2 são as tensões dos enrolamentos primário e secundário (eficazes ou de pico), respectivamente, enquanto n1 e n2 são os números de espiras destes enrolamentos. Assim, se

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n2<n1, então, V2=(n2/n1)V1 < V1. Ou seja, a tensão do secundário é menor que a do primário (trata-se de um transformador abaixador). Além disso, o transformador isola a carga (a qual corresponde aos circuitos ligados no secundário) da linha (ou rede CA). Isto quer dizer que o único acoplamento com a rede CA é através do campo magnético, o qual põe em comunicação os enrolamentos do primário e secundário. Isto reduz os perigos de um choque elétrico, porque não existe mais um contato elétrico direto entre os dois lados da linha. Conforme será estudado na disciplina Conversão de Energia, um transformador prático possui enrolamentos com resistências que produzem alguma perda de potência. O núcleo laminado de material ferromagnético também possui correntes parasitas, que produzem perdas adicionais de potência. E, por fim, apresenta não-linearidade e histerese, que podem distorcer o sinal no secundário do transformador. Contudo, estes problemas causam mais preocupação em grandes transformadores, como os de sistema de transmissão e distribuição de energia. Em eletrônica, normalmente, esta preocupação normalmente não é muito crítica. 05 – Bibliografia [1] Luiz de Queiroz Orsini e Denise Consonni, Curso de circuitos elétricos, volumes 1 e 2, segunda edição, editora: Edgard Blücher, 2002. [2] Albert Paul Malvino, Eletrônica, volumes 1 e 2, quarta edição, editora: Makron Books, 1997.