Apostila Estatística

UNIVERSIDADE

Estadual de Londrina

ESTATÍSTICA

Análise Exploratória de Dados

Probabilidade

Variáveis Aleatórias

PROFESSORES: Dr. José Carlos Dalmas

Ms. José da Costa Soeiro

LONDRINA

2014

Dr. José Carlos Dalmas / Ms. José da Costa Soeiro

Centro de Ciências Exatas (CCE) – Departamento de Estatística (DSTA)

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ESTATÍSTICA

INTRODUÇÃO

No moderno ambiente administrativo e econômico global, dispõe-se de uma vasta

quantidade de informações estatística. Os gerentes tomadores de decisão de maior sucesso são

capazes de entender a informação e usá-la eficazmente. A seguir, fornecemos alguns

exemplos que ilustram o uso da estatística.

Nos negócios frequentemente necessita de previsões sobre o futuro do ambiente

econômico, tais como: previsão de taxas de inflação, índice de preços do consumidor, taxa de

desemprego e a utilização da capacidade de produção. Escritórios de Contabilidade usam o

procedimento de amostragem estatística quando realiza auditorias, cálculo de índices etc.

Os consultores financeiros utilizam uma série de informações estatísticas para guiar

suas recomendações de investimentos. No caso das ações, os consultores revêem diversos

dados financeiros incluindo relações preço/ganhos e rendimento de dividendos para concluir

se uma ação individual está sendo sobre ou subavaliada.

Para estabelecer estratégias de marketing, os gerentes utilizam se da estatística para

melhor entender o comportamento do mercado consumidor.

A estatística pode ser utilizada como uma ferramenta de controle da qualidade, com a

criação de cartas de controle, bem como no monitoramento do processo de produção.

Pode se definir a Estatística como: um conjunto de métodos e processos quantitativos

que servem para estudar e medir os fenômenos coletivos, conforme Bernoulli.

No estudo estatístico, o que interessa são os fatos que envolvem os elementos dos

fenômenos, como eles se relacionam e qual o seu comportamento. Para isso, é necessário que

esse estudo seja feito através uma investigação planejada, desenvolvida e redigida de acordo

com a metodologia de pesquisa científica.

METODOLOGIA DA ESTATÍSTICA

Dependendo do objetivo da pesquisa pode-se classificar a metodologia estatística a ser

aplicada como:

Estatística Descritiva

Usualmente a expressão estatística descritiva é empregada para descrever, analisar e

interpretar os registros quantitativos relativos aos atributos do fenômeno em estudo.



3

Estatística Indutiva

A estatística indutiva é a parte da Estatística que tem por objetivo obter e generalizar

conclusões para o todo a partir da análise de uma parcela.

OBTENÇÃO DE DADOS

A aplicação da análise estatística é utilizada a partir dos dados obtidos que descrevem

os elementos observados, tais como: características de pessoas, animais, empresas, indústrias,

sistema de produção, fenômenos físicos ou químicos etc.

A coleta desses elementos pode ser feita através de instrumentos, que se adéquam ao

tipo de pesquisa, ou seja, questionários, planilhas de anotações ou através de desenvolvimento

de experimentos.

NOÇÕES BÁSICAS

População

É o grupo de todos os elementos que possuem características comuns, que determinam

o universo a ser pesquisado.

Censo

É quando no estudo das características utilizam-se todos os elementos da população.

Amostra

Quando somente uma parte da população é analisada, retirada com técnicas estatísticas

adequadas, de forma a garantir a representatividade das características dos elementos da

população.

AMOSTRAGEM

Amostragem é um procedimento usado utilizado na retirada de amostras

representativas da população. Para se aplicar a amostragem deve se observar a composição da

população, o método de amostragem necessário e o tamanho da amostra.



4

RETIRADA DA AMOSTRA

Basicamente existem dois métodos para a composição da amostra: probabilístico e não

probabilístico.

MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

O método de amostragem probabilística exige que cada elemento da população possua

a mesma probabilidade de ser selecionado. Assim, considerando N o tamanho da população, a

probabilidade de cada elemento será 1/N. Trata-se de um método que garante cientificamente

a aplicação das técnicas estatísticas.

Os tipos de amostragem probabilísticos mais usados são:

Amostragem Simples ao Acaso (ASA): Também conhecida como amostragem

aleatória é aplicada quando a população é considerada homogênea, ou seja, quando

todos os seus elementos têm a mesma característica e a mesma chance (probabilidade)

de serem selecionados. Para se aplicar essa amostragem deve-se considerar um

sistema de permita a seleção dos elementos através de um processo aleatório, ou seja,

numerar todos os elementos e, efetuar sucessivos sorteios até atingir o tamanho da

amostra desejado.

Amostragem Sistemática: Trata-se de uma variação da amostragem aleatória,

utilizada quando a população se encontra segundo algum critério, como fichas de um

fichário, listas telefônicas, pessoas organizadas em filas, produção em série etc. Tal

amostragem exige o seguinte procedimento:

Calcular o intervalo de retirada, que corresponde a quantidade de elementos de cada

grupo a ser dividida a população, obtido pela divisão do tamanho da população (N) pelo

tamanho da amostra (n), n

Ns .

Conhecido o valor de S (chamado de salto), sorteia-se um entre eles, que indicará a

posição do primeiro elemento da amostra. Para a retirada dos demais elementos deve-se

somar o valor de S à posição do elemento retirado anteriormente até compor a amostra

desejada.

Por exemplo: Seja o tamanho da população (N) = 1000

O tamanho da amostra (n) = 100

Logo o salto será S = 10



5

Dentre os dez primeiros elementos da população determinado pelo salto, sorteia se um

elemento suponha que tenha sido o número dois. Portanto, os elementos da população que

ocupam as posições: 2o; 12

o; 22

o; 32

o; ...; 992

o, irão compor a amostra, ou seja, a cada dez

elementos da população um será o representante na amostra.

Amostragem Estratificada: Utilizada quando a população é heterogênea onde se

distingui grupos mais ou menos homogêneos, os quais se denominam de estratos. Para a

estratificação de uma população pode-se utilizar de algumas características, tais como: classe

social, idade, sexo, profissão, ou qualquer outro atributo que revele os estratos dentro da

população. Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada

estrato. O número de elementos retirados de cada grupo poderá ser proporcional ao tamanho

do estrato, obtendo assim, a Amostragem Estratificada Proporcional.

Tabela - Tamanho da amostra proporcional aos estratos.

Estrato Tamanho do estrato Relação (%) Tamanho da amostra

I 50 10 4

II 150 30 12

III 300 60 24

Total N= 500 100 n=40

Amostragem por Conglomerado: Algumas populações não permitem, ou tornam

extremamente difícil que se identifiquem seus elementos, mas pode ser relativamente

fácil separá-los na forma de grupos. Por exemplo, podem-se separar os grupos levando

em consideração: quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios, etc. O

procedimento de retirada da amostra consiste em sortear os grupos e todos os

elementos desses participarão da amostra. Assim, por exemplo, num levantamento da

população de uma cidade, pode-se dispor do mapa indicando cada quarteirão e não

dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. Então, colhe-se uma amostra

dos quarteirões e faz-se a coleta dos dados de todos os que residem naqueles

quarteirões sorteados.

MÉTODOS NÃO PROBABILÍSTICOS

São amostragens em que os elementos são retirados em situações que não possibilitem

a seleção aleatória. Esse tipo de amostragem pode oferecer boas estimativas das

características da população.



6

São utilizadas em casos como: ensaios de drogas, vacinas, técnicas cirúrgicas,

pesquisa de opinião, etc.

Destacam-se entre elas:

Amostragem por conveniência: Ocorre quando o pesquisador seleciona os membros

da população dos quais é mais fácil se obter informações. Esse tipo de amostragem,

embora não aleatória, é bastante utilizada na área de marketing. Neste caso, é

importante o senso crítico do pesquisador para evitar vieses, como, não selecionar

sempre pessoas de mesmo sexo, de mesma faixa etária, etc.

Amostragem por julgamento: Ocorre quando o pesquisador utiliza seu próprio

julgamento ao selecionar os membros da população, através do estabelecimento de

uma característica que permite identificar elementos com boas perspectivas de

fornecer as informações necessárias.

Amostragem por quotas: devem–se determinar as quotas de controle dos elementos

pelas características da população alvo, que podem ser determinada através do sexo,

idade, raça, renda, escolaridade etc. Com esse procedimento de quotas fica assegurada

que a composição da amostra seja a mesma que a composição da população. A seguir

os elementos da amostra são selecionados à medida que se ajustem as quotas de

controle.

Exemplo:

Quantidade Sexo Escolaridade Idade Renda

5 Masculino Superior 30 10 s.m

3 Feminino Médio completo 18 3 s.m

Observação: Quanto menor o número de características da quota mais facilmente

fecha-se a coleta.

VARIÁVEL

Representa as características dos indivíduos que pode assumir diferentes valores.

Se um instrumento de uma pesquisa contém as seguintes perguntas:

Perguntas

Gerem informações

para as seguintes

variáveis

Variáveis

Qual a sua idade?

Qual o número de pessoas de sua família?

Qual a renda familiar?

Qual é o seu estado civil?

Você tem emprego fixo?

Qual o tempo de trabalho na empresa?

- Idade

- Tamanho da família

- Renda familiar

- Estado civil

- Emprego

- Tempo de trabalho.



7

CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS

Ao se fazer um estudo estatístico tem-se que considerar o tipo da variável:

Variáveis qualitativas são as que descrevem os atributos de um elemento.

Variáveis quantitativas são as provenientes de uma contagem ou mensuração.

As variáveis qualitativas e as quantitativas dividem-se em dois tipos:

Variáveis Tipos Descrição Exemplos

Qualitativas

ou

Categóricas

Nominal Sem ordenação. Cor dos olhos, sexo, estado civil.

Ordinal Com ordenação. Grau de instrução; classe social.

Quantitativas

Discretas Oriunda de contagem. Número de funcionários; número

acidentes de trabalho ocorrido durante um

mês.

Contínuas Oriunda de medição. Altura, peso, diâmetro de uma peça.

ATIVIDADE 1 - AMOSTRAGEM / VARIÁVEIS

TAMANHO DA AMOSTRA

Outro fator importante na aplicação da técnica de amostragem a ser considerado é o

tamanho da amostra que possa representar significativamente a população.

Para a determinação do tamanho da amostra deve se levar em conta além do tamanho

da população, os seguintes níveis:

Nível de confiança (nível de segurança) é a probabilidade associada aos resultados,

obtidos em uma amostra, como sendo verdadeiros para os parâmetros da população.

A probabilidade complementar é denominada de nível de significância, que consiste

na probabilidade do erro, ou seja, afirmar um valor que não é verdadeiro para a

população.

Margem de erro (nível de precisão) é a diferença máxima a ser aceita entre a

estatística amostral e o parâmetro populacional.



8

No caso de uma pesquisa com o objetivo de analisar variáveis categóricas, onde a

estatística de interesse na pesquisa é a proporção, onde os resultados são representados por

porcentagem de ocorrência dos itens:

Determina se o tamanho mínimo inicial de uma amostra baseado nos níveis definidos

pelo pesquisador:

2

2

0

1.

d

ppZn

Sendo: n0 tamanho inicial da amostra

Z (distribuição normal) associado ao nível de confiança estabelecido;

p proporção populacional estimada que possa ter o aspecto pesquisado (chamada de

prevalência ou incidência).

d margem de erro (nível de precisão).

Caso se conheça o tamanho da população (N), adéqua o tamanho inicial da amostra ao

tamanho da população finita pela relação:

Nn

Nnn

0

0 .

Exemplos:

1) Se considerar que uma pesquisa terá o nível de confiança de: 95%, com margem de

erro de 3% para mais e para menos, sendo que a proporção populacional (incidência)

com o atributo pesquisado seja de 15%. Determine:

a) a amostra mínima inicial;

b) a amostra mínima final, caso a população tenha 25.486 elementos.

c) a amostra mínima final se a população tiver 250 elementos.

2) Considerando nível de confiança de 90%, com margem de erro de 4% e proporção de

incidência de 30%. Qual o tamanho mínimo da amostra para uma população infinita?

3) Determine o tamanho da amostra inicial com nível de confiança de 95% e margem de

erro de 3%?

Quadro do tamanho mínimo da amostra conforme o tamanho da população, ao nível de

confiança de 95% e incidência de 50%.

POPULAÇÃO

(N)

AMOSTRA (n)

MARGEM DE ERRO

d=3%

MARGEM DE ERRO

d=5%

100 91 79

1000 516 277

5000 879 356

20000 1013 377

100000 1055 383

500000 1064 384

1000000 1067 384



9

Todavia, algumas observações podem ser levadas em considerações, a saber:

Quanto maior o número de elementos numa amostra, menor a margem de erro.

Quanto maior a homogeneidade da população, menor o tamanho da amostra.

ATIVIDADE 2: TAMANHO DA AMOSTRA

DESCRIÇÃO E APRESENTAÇÃO DE DADOS

Os dados obtidos em pesquisas devem ser analisados e interpretados com o auxílio de

métodos estatísticos, o que consiste na análise exploratória dos dados.

Na primeira etapa deve-se fazer uma análise descritiva que consiste na organização,

descrição dos dados, na identificação de valores que representem o elemento típico e, na

quantificação da variabilidade presente nos dados.

DADOS

São as informações inerentes às variáveis que caracterizam os elementos que

constituem a população ou a amostra.

Dados Brutos

São os dados obtidos diretamente da pesquisa, sem terem passados por nenhum

processo de síntese ou análise.

O grupo dessas informações obtidas através das variáveis compõe o que se denomina

de Banco de Dados.

Exemplo: Banco de Dados dos funcionários da Companhia Estilo Modas.

N Estado Civil Grau de Instrução No de filhos Salário (x s.mínimo) idade

1 solteiro fundamental 4,00 26

2 casado fundamental 0 4,56 32


4 solteiro Médio 5,73 20





9 casado Médio 1 7,59 34






10

N Estado Civil Grau de Instrução No de filhos Salário (x s.mínimo) idade







19 solteiro Superior 10,53 25



As variáveis: estado civil, grau de instrução são qualitativas, enquanto que o número

de filhos é uma variável quantitativa discreta e os salários e as idades representam variáveis

quantitativas contínuas, embora à idade esteja escrita de forma discreta.

ROL

Rol é o arranjo dos dados brutos numéricos em ordem crescente ou decrescente, se os

dados forem qualitativos o rol é construído em ordem alfabética.

Pode-se, pelo rol, verificar de maneira mais clara e rápida o comportamento dos dados

do conjunto identificando o maior e o menor valor, além de alguns elementos que podem se

repetir várias vezes.

REPRESENTAÇÃO TABULAR

Consiste em apresentar os dados coletados através de tabelas mostrando de forma

resumida o que ocorre com os dados observados.

Para organizar uma série estatística ou uma distribuição de frequências existem

algumas normas nacionais ditadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) as

quais devem ser respeitadas. Assim, toda tabela estatística deve conter:

Elementos essenciais

Título – indica a natureza do fato estudado (o quê?), o local (onde?) e a época (quando?).

Corpo – é o conjunto de linhas e colunas que contém as informações.

Cabeçalho – designa a natureza do conteúdo de cada coluna.

Coluna indicadora – mostra a natureza do conteúdo de cada linha.

Elementos complementares (se necessário)

Os elementos complementares geralmente são colocados no rodapé da tabela, que se

situa abaixo do traço horizontal da parte inferior da tabela, os quais são:



11

Fonte – é o indicativo da entidade responsável pela sua organização ou fornecedora dos

dados primários.

Notas – são colocadas para esclarecimentos de ordem geral.

Chamadas – servem para esclarecer minúcias em relação às caselas, colunas ou linhas.

Nenhuma casela da tabela deve ficar em branco, apresentando sempre um número ou

sinal.

Exemplo: Percentuais de exportações brasileiras por Estados, Maio/2008 TÍTULO

Estados Percentuais CABEÇALHO

Minas Gerais 21,92

CORPO

São Paulo 39,96

Rio Grande do Sul 17,50

Espírito Santo 7,68

COLUNA INDICADORA Paraná 9,56

Santa Catarina 3,38

Total 100,00

Fonte: Ministério da Agricultura RODAPÉ

Sinais Convencionais

- (hífen), quando o valor numérico é nulo;

... (reticência), quando não se dispõe do dado;

0; 0,0; 0,00 (zero), quando o valor numérico é muito pequeno para ser expresso pela

unidade utilizada, respeitando o número de casas decimais adotado;

Normas de construção

a) As tabelas devem ser fechadas acima e abaixo por linha horizontal, não sendo fechadas à

direita e à esquerda por linhas verticais.

b) O cabeçalho, os totais e os subtotais devem ser destacados por traços horizontais;

c) Manter a uniformidade do número de casas decimais.



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Exemplo - Tabela univariável

Tabela – Mercado brasileiro de chocolate (2000)

Empresas Porcentagem

Lacta 35,4

Nestlé 31,6

Garoto 22,0

Neugbauer 3,6

Ferrero Rocher 0,9

Outras 6,5

Total 100,0

Fonte: ACB

Exemplo - Tabela bivariável

Tabela - Índice percentual do rendimento da Poupança no Brasil (2007)

Meses Índice (%)

Mensal Anual

Agosto 0,65 5,29

Setembro 0,54 5,85

Outubro 0,61 6,50

Novembro 0,56 7,10

Dezembro 0,56 7,70

Total

Fonte: Indicadores Econômicos da Agência de notícias Dossiê-Dinheiro

ATIVIDADE 3 - REPRESENTAÇÃO TABULAR



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TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o

comportamento dessa variável através da variação contida nos seus dados. A simples inspeção

visual desses dados dificilmente trará alguma informação relevante, assim, é necessário

sintetizá-los na forma de tabelas.

Uma distribuição de frequência é um sumário tabular de dados que mostra a

frequência (o número) de observações em cada uma dos diversos intervalos ou categorias.

Para os dados qualitativos:

Distribuição dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB

segundo o grau de instrução – 2011

Grau de instrução Frequência

Absoluta (fi)

Frequência

Relativa (fr%)

Fundamental 12 33,33

Médio 18 50,00

Superior 6 16,67

Total 36 100

Fonte: RH

Observa se de forma rápida e concisa as informações sobre o grau de instrução dos

empregados da empresa, onde se destaca que a metade deles cursou o ensino médio (50%) e

somente seis têm curso superior o que equivale a 17% aproximadamente de todos os

empregados.

Para dados quantitativos

a) discretos:

Idade dos funcionários da Companhia MB (2011)

Idade Frequência

Absoluta (fi)

Frequência

Relativa (fr%)

20 8 22,22

22 17 47,22

26 6 16,67

30 4 11,11

35 1 2,78

Total 36 100,00

Fonte: RH



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b) contínuos:

Faixa salarial de empregados da seção de orçamentos da Companhia MB (2011)

Faixa Salarial (s.m) fi fr%

4,00 | 8,00 10 27,78

8,00 | 12,00 12 33,33

12,00 | 16,00 8 22,22

16,00 | 20,00 5 13,89

20,00 | 24,00 1 2,78

Total 36 100

Fonte: RH

Para se agrupar os dados selecionam-se intervalos contínuos, onde cada valor coletado

será alocado. Estes intervalos são chamados de intervalos de classe.

Etapas para a construção tabela de distribuição de frequências:

1a Etapa: Encontrar o menor e o maior valor do conjunto de dados e calcular a amplitude

entre eles por: At = no do maior – n

o do menor

2a. Etapa: Não existindo um critério rígido para estabelecer o número ideal de intervalos,

sugere-se que não se utilize menos de 6 e não mais de 15 intervalos. A experiência tem

demonstrado que se pode determinar o número de intervalos (classes) através de:

n tamanhode amostra uma para ,nlog.3,31K ou nK

3a. Etapa: Determinar a amplitude dos intervalos usando:

K

AtC

Sempre que possível pode-se arredondar o valor da amplitude dos intervalos para

valores inteiros, o que possibilita melhor leitura da tabela.

4a. Etapa: Definir os limites dos intervalos que podem ser expressos:

a) 20 ||30: contém os extremos 20 e 30;

b) 20| 30: contém o extremo 20 e não contém o extremo 30;

c) 20 |30: não contém o extremo 20, mas contém o extremo 30;

d) 20 30: não contém os extremos 20 e 30.



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Exemplo:

1) O conjunto de dados apresenta o número de clientes atendidos na LOJA AKI-É-BARATO nos meses de

março e abril de 2012.

42 47 51 52 55 56 57 57 58 59

60 60 62 62 63 63 63 63 65 67

68 69 71 72 72 72 72 73 74 74

75 76 77 77 77 79 80 80 80 81

82 84 84 86 86 91 93 95 95 98

99 100 103 105 106 107 108 110 112 113

2) O conjunto de dados apresenta o número de minutos que 50 usuários de Internet gastaram na rede

durante o dia 30 de janeiro de 2013.

7 7 11 17 17 18 19 20 21 22

23 28 29 29 30 30 31 31 33 34

36 37 39 39 39 40 41 41 42 44

44 46 50 51 53 54 54 56 56 56

59 62 67 69 72 73 77 78 80 86

3) Faturamento (R$ 1000) do Supermercado Pague e Leve Ltda. Nos 40 dias de funcionamento nos meses

janeiro e fevereiro de 2013.

381 389 389 418 429 430 472 486 568 623

669 682 699 728 821 821 822 856 866 904

904 912 924 926 968 973 989 996 1006 1007

1028 1084 1109 1112 1148 1149 1168 1175 1201 1209

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

A representação gráfica da distribuição de uma variável tem a vantagem de, rápida e

concisamente, informar sobre sua variabilidade. Nos gráficos deve sempre:

Ter um título, onde se destaca o fato, o local e o tempo.

Ser construído em uma escala que não desfigure os fatos ou as relações que se deseja

destacar. A altura de um gráfico deve compreender entre 60% a 80% da largura.



16

Colocar a fonte de obtenção dos dados, caso não seja o próprio autor que tenha feito a

coleta.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA PARA VARIÁVEL QUALITATIVA (CATEGÓRICA)

Para esse tipo de variável os gráficos mais utilizados são: de colunas, de barras, de

setores e de linhas.

a) Gráfico de Colunas

Figura – Porcentagem total de produtos exportados em alguns estados do Brasil em março

de 2010.

b) ráfico de Setores

Figura – Porcentagem total de produtos exportados em alguns estados do Brasil

em março de 2010.



17

c) Gráfico de Barras

Figura – Porcentagem total de produtos exportados em alguns estados do Brasil em março

de 2010.

d) Gráfico de Linha

É o tipo mais utilizado para representar a evolução de uma variável ao longo

do tempo.

Figura – Série de cotações históricas da arroba do boi gordo no estado de São Paulo, Janeiro de 1999 à

Dezembro 2008.



18

DISTRIBUIÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS QUALITATIVAS

Figura – Produção internacional de carne bovina no Brasil e Estados Unidos entre os

anos de 2000 e 2005 (FAO)

Figura – Produção internacional de carne bovina no Brasil e Estados Unidos entre os

anos de 2000 e 2005 (FAO)

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS

Para variáveis contínuas organizadas em tabelas de distribuições de frequências,

três tipos de gráficos são utilizados: histograma, polígono de frequência e ogivas.



19

Histograma

Figura – Faturamento em milhões de reais da empresa AJK, 2010.

Polígono de Frequências

Figura – Faturamento em milhões de reais da empresa AJK, 2010

0

10

20

30

40

50

60

3 11 13 5 7 9 15 17 21 19 23 25 27

0

10

20

30

40

50

60

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 22 26 28



20

Ogiva

Figura – Faturamento em milhões de reais da empresa AJK, 2010

ATIVIDADE 4 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

MÉTODOS NUMÉRICOS

Vimos que o resumo dos dados por meio de tabelas, gráficos e distribuições de

frequências nos fornece informações sobre o comportamento de uma variável, mais

informações complementares podem ser obtidas através valores representativos do conjunto,

determinados pelas seguintes medidas:

Medidas de Posição: média, mediana e moda.

Medidas de Dispersão: amplitude total, variância, desvio-padrão e coeficiente de

variação.

Medidas Separatrizes: quartil, decil e percentil.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25



21

MEDIDAS DE POSIÇÃO

As medidas de posição (média, mediana, moda) descrevem apenas uma das

características dos valores numéricos de um conjunto de observações, o da tendência central,

pois representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a

concentrar seus valores. Também são chamadas por medidas de tendência central.

Média Aritmética

Seja uma amostra de n elementos composta pelos seguintes valores: x1, x2,..., xn. A

média aritmética simples desses elementos é a soma das observações dividida pelo número

delas. É representada por:

n

x

X

n

i

i 1 ou simplesmente

n

xX

Onde: n é o número de observações da amostra.

Se os dados são relativos a uma população, a média aritmética simples é calculada por:

N

x

Sendo N é o número de elementos da população.

Exemplo: As taxas de juros recebidas por uma amostra de 10 ações durante certo período

foram (medidas em porcentagem):

2,59; 2,64; 2,60; 2,62; 2,57; 2,55; 2,61; 2,50; 2,63; 2,64. Calcule a média.

X =

Mediana

A mediana é outra medida de tendência central de uma variável. A mediana é o valor

que fica no meio da sequencia quando os dados são arranjados na ordem ascendente.

Com um número ímpar de observações, a mediana é o valor do meio, ou seja, que

divide os valores em partes iguais.



22

Um número par de observações não tem um valor único no meio. Neste caso,

seguimos a convenção de definir a mediana como sendo a média dos valores das duas

observações do meio.

50% 50%

Md

Exemplo: Para ilustrar o cálculo da mediana vamos considerar os seguintes dados que se

referem aos salários iniciais pagos para uma amostra de 11 economistas:

2350; 2450; 2550; 2380; 2560; 2210; 2390; 2630; 2440; 2420; 2380

Arranjando as observações na ordem crescente, obtém-se a seguinte lista, chamada de rol:

2210; 2350; 2380; 2380; 2390; 2420; 2440; 2450; 2550; 2560; 2630

Uma vez que o número de observações é ímpar, a mediana é o valor que se encontra

exatamente do meio da série. Assim, a mediana dos salários é 2420.

Se retirar o valor 2210 dessa amostra, teremos um número par de salários:

2350; 2380; 2380; 2390; 2420; 2440; 2450; 2550; 2560; 2630

Assim, a mediana será a média dos dois valores centrais, que são: 2420 e 2440.

24302

24402420

MdMediana

Moda

A moda é a observação mais freqüente. Caso não haja observação mais freqüente, a

distribuição é amodal. Podemos ter um conjunto unimodal (com uma moda), bimodal (com

duas modas) ou multimodal (com três ou mais modas). Para ilustrar a identificação da moda,

considere a amostra dos salários iniciais para os graduados em economia, apresentados

anteriormente, nela verifica-se que o salário mensal inicial que ocorre mais de uma vez é 238,

portanto, ele é a moda.



23

A moda é uma importante medida de posição para os dados qualitativos.

Exemplo: O conjunto de dados de preferência de refrigerantes resultou na seguinte

distribuição de frequência:

REFRIGERANTES FREQUÊNCIA

Coca-Cola 19

Coca-Cola Light 8

Pepsi-Cola 13

Sprite 5

TOTAL 45

A moda ou o refrigerante mais comprado é a Coca-Cola. Para este tipo de dados não tem

sentido falar em média ou mediana. A moda fornece a informação de interesse, o elemento

que ocorre com maior freqüência.

MEDIDAS DE DISPERSÃO

São valores que representam a variabilidade de um conjunto numérico, isto é, o

afastamento dos dados em relação a medida central.

Quanto maior a dispersão menor poder representativo da medida central (média).

Vários grupos podem ter a mesma média, mas serem muito diferentes na composição

dos seus valores. Por exemplo:

GRUPO VALORES MÉDIA

A 5 5 5 5

B 4 5 6 5

C 1 5 9 5

A média dos três grupos é a mesma (5), mas no grupo “A” não há variação entre os

dados, enquanto no grupo “B” a variação é menor que no grupo “C”.

Verifica se que embora a média seja a mesma, mas os elementos são diferentes em

cada grupo, logo a medida de dispersão pode representar, através de um único valor, as

distâncias entre os elementos e a média dos grupos.

Esses valores são determinados pelas seguintes medidas:

Amplitude total.

Variância.

Desvio padrão.

Coeficiente de Variação.



24

Amplitude Total

A amplitude total é a medida de dispersão mais simples. É denotada por At e calculada

pela diferença entre os valores extremos, ou seja:

At = valor máximo – valor mínimo

GRUPO VALORES MÉDIA AMPLITUDE TOTAL

A 5 5 5 5 0

B 4 5 6 5 2

C 1 5 9 5 8

Facilmente observa se a dispersão dos conjuntos através, da amplitude total, maior

dispersão maior valor.

Exemplo: Os seguintes dados foram obtidos para o número de minutos gastos ouvindo

música.

8,3 14,3 24,6 37,0 39,2 50,2 59,2 64,9 81,7 90,3

Assim a amplitude total do conjunto é: At =

Variância

Como a amplitude total é uma medida que não leva em consideração todos os valores

coletados, o cálculo da variância permite que seja usado todos os valores, sendo que sua

medida corresponde a média dos quadrados das diferenças de cada valor com a média do

grupo.

É calculada pelas as expressões abaixo:

Amostra População

1nn

xx

s

2

i2

i2

N

N

xx

2

i2

i2



25

Exemplo 1: A amostra apresenta o preço (R$) recomendável para diversas ações comerciais

20 22 14 15 25 18 40

Exemplo 2: Um departamento de produção usa o procedimento de amostragem para testar a

qualidade de seus produtos. O departamento emprega a seguinte regra de decisão em uma

estação de inspeção: se uma amostra de 14 itens tem uma variância maior que 0,005, a linha

de produção precisa ser interrompida para reparos. Para testar a qualidade de seus produtos

coletou-se uma amostra conforme quadro abaixo:

3,43 3,45 3,43 3,48 3,52 3,50 3,39

3,48 3,41 3,38 3,49 3,45 3,51 3,50

A linha de produção deveria ser interrompida?

Desvio – Padrão

O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância o que possibilita uma

medida na mesma unidade dos dados.

Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população, e o

desvio padrão s de um subconjunto em amostra

Amostra População

2ss 2

Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, tem-se:

2ss =

http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada

http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A2ncia



26

Coeficiente de Variação

Para uma variável quantitativa

O coeficiente de variação serve para nos indicar o grau de representatividade da média

dentro de um conjunto de dados, bem como para comparar o comportamento de dois

conjuntos com unidades diferentes, pois trata se de uma medida relativa.

É calculado por:

x

sCV

É uma medida descritiva que indica a magnitude do desvio-padrão em relação à

média.

Por ser uma medida sem a influência das unidades (adimensional), podendo ser

representada na forma percentual, bastando para isso multiplicá-la por 100.

Exemplo: Tomando a média e desvio padrão do Exemplo 1 anterior, o coeficiente de

variação será:

ESTATÍSTICAS VALOR

Média

Desvio padrão

Coeficiente de Variação

Quanto menor o coeficiente de variação maior a representatividade da média.

Exemplo: Em uma semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os

produtos A e B. Determine os coeficientes de variação para cada produto.

PRODUTO A 39 33 25 30 41 36 37

PRODUTO B 50 52 47 49 54 40 43

PRODUTO MÉDIA DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

A

B



27

Para duas variáveis quantitativas

Exemplo para a comparação dos coeficientes de variação entre duas variáveis.

A tabela a seguir apresenta as medidas de tendência central; a dispersão absoluta e

a relativa dos pesos e alturas de funcionários:

PARÂMETROS ALTURA PESO

Média (X) 168 cm 53 kg

Desvio-padrão (s) 30 cm 9,49 Kg

Coeficiente de Variação (C.V) 17,86% 17,90%

Observa-se então, que embora o desvio padrão das alturas, seja aproximadamente,

três vezes maior que o desvio padrão dos pesos, os coeficientes de variação são praticamente

iguais para as duas amostras, isso significa que, embora os desvios padrão sejam discrepantes

e por possuírem unidades diferentes, não podemos fazer esse tipo de comparação diretamente

nos desvios, porém o grau de concentração dos dados em torno da média em cada variável é

aproximadamente igual é o que indicam os coeficientes de variação, onde os resultados não

têm influencia das unidades.

Exemplos:

1) Uma variável contábil, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de

empresas apresentando os resultados seguintes:

GRUPO MÉDIA DESVIO PADRÃO

A 20 4

B 10 3

Qual produto que apresenta a maior dispersão absoluta e o de maior dispersão relativa?

2) Os dados abaixo representam o volume de vendas de dois vendedores em cinco meses.

MÊS VENDEDOR 1 VENDEDOR 2

Janeiro 20 30

Fevereiro 22 14

Março 18 20

Abril 20 12

Maio 20 24

Verifique qual vendedor tem menor variação nas quantidades vendidas mensalmente.

ATIVIDADE 5 – MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO



28

MEDIDAS SEPARATRIZES: QUARTIS, DECIS E PERCENTIS

Quartis

Frequentemente é desejável dividir os dados em quatro partes, cada parte contendo

aproximadamente um quarto, ou 25% das observações. A figura abaixo mostra um

conjunto de dados divididos em quatro partes.

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

Os pontos da divisão são referidos como quartis e estão definidos como:

Q1 = primeiro quartil, separa 25% dos elementos abaixo do seu valor.

Q2 = segundo quartil, separa 50% dos elementos (também mediana).

Q3 = terceiro quartil, separa 75% dos elementos abaixo do seu valor.

Decis

Os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais.

10% 10% ... 10%... 10% 10%

D1 D2 ... D5 ... D9

onde: D1 = 10 decil, deixa 10% dos elementos abaixo do seu valor.

D2 = 20 decil, deixa 20% dos elementos abaixo do seu valor.

.............................................................

D5 = 50 decil, deixa 50% dos elementos (coincide com a mediana)

............................................................

D9 = 90 decil, deixa 90% dos elementos abaixo do seu valor.

Percentis

Os percentis são as medidas que dividem um conjunto de dados em cem partes iguais.

1% 1% . . . 1 % 1%

P1 P2 P50 . . . P98 P99

onde: P1 = 10 percentil, deixa 1% dos elementos abaixo do seu valor.

P2 = 20 percentil, deixa 2% dos elementos abaixo do seu valor.

.............................................................

P50 = 500 percentil, deixa 50% dos elementos. (coincide com a mediana)

.............................................................

P99 = 990 percentil, deixa 99% dos elementos abaixo do seu valor.



29

Exemplo: A tabela representa o tempo de espera para ser atendido.

4,44 4,47 4,48 4,51 4,54 4,54 4,61 4,64 4,66 4,68

4,68 4,69 4,71 4,73 4,76 4,78 4,80 4,81 4,86 4,86

4,87 4,88 490 4,90 4,95 4,95 4,96 4,97 4,98 4,98

4,99 5,00 5,01 5,01 5,01 5,02 5,04 5,05 5,08 5,09

5,09 5,10 5,11 5,11 5,16 5,16 5,18 5,18 5,19 5,24

5,24 5,26 5,27 5,27 5,29 5,32 5,35 5,46 5,50 5,85

Para se determinar o valor correspondente de um percentil, deve se:

1o) Ordenar os dados em rol crescente.

2o) Determinar o indicador de localização (L), dado por:

100

.nkL ,

onde: k é o percentual desejado e n é o número de valores do conjunto de dados.

Se o valor de L for decimal, deve se recorrer a um dos seguintes procedimentos:

1) Interpolação aritmética, que calcula o valor da parte decimal a partir da diferença

com o menor valor do intervalo a qual esta inserido o percentil. Por exemplo, se o

valor do L for igual a 12,6, isso mostra que o valor do percentil pretendido está entre

os valores que ocupam as posições 12a e 13

a, devendo então calcular a diferença de 0,6

a partir do valor que ocupa a 12a através de uma regra de três, ou

2) Arredonda se o seu valor para o maior inteiro mais próximo.

Se o valor de L for inteiro, deve se somar o valor correspondente a L ao valor de L+1

e dividir o resultado por dois.

Exemplo: Calcular o percentil 25, que corresponde ao primeiro quartil, que deixa 25% dos

dados abaixo e 75% dos dados acima do seu valor, usa se:

15100

60.25L

Por se tratar de um número inteiro, deve se usar o 15º e o 16º valor em seu cálculo. Assim:

77,42

78,476,425

P = Q1.

Isto equivale a dizer que 25% das pessoas levaram até 4,77 minutos para serem atendidas.

Para se calcular o percentil 78 (P78), que deixa pelo menos 78% dos dados abaixo do

seu valor, deve se:

Localizar a sua posição na amostra através de: 8,46100

60.78L .

Como o valor de L é decimal, vamos considerar as duas possibilidades:

1) Interpolação aritmética: no valor de L está entre as posições 46a e 47

a, onde estão

os valores 5,16 e 5,18, observa-se que para uma diferença de uma unidade na posição

tem se uma diferença de 0,02 nos valores dos tempos, assim aplicando uma regra de

três para determinar o valor para a diferença de 0,06, logo;



30

Posição Tempo

1 → 0,02

0,06 → X

X = 0,0012

Como a diferença 0,06 é com a posição 46a então basta somar o valor 5,16 e o valor de

X, então o valor do P78 é 5,16 +0,0012 = 5,1612. (valor exato)

2) Arredondamento

Sendo 8,46100

60.78L , arredonda se para 47

a posição, assim o valor de P78 será o valor

5,18 (valor aproximado).

Assim, o valor 5,18 é o P78 que representa o tempo máximo gasto para serem

atendidos 78% dos clientes.

Observação: Caso se deseja calcular o quartil ou o decil, devem-se considerar as seguintes

maneiras de determinar a posição do valor procurado.

Para o quartil: 4

.nkL sendo K = 1, 2, ou 3.

Para o decil: 10

.nkL sendo o valor de K um número de 1 a 9.



31

BOX PLOT

O box plot introduzido pelo estatístico americano John Tukey em 1977 é a forma de

representar graficamente os dados da distribuição de uma variável quantitativa em função de

seus parâmetros. Os cinco itens ou valores: o menor valor (x1), os quartis (Q1, Q2 e Q3) e o

maior valor (xn), é importante para se ter uma idéia da posição, dispersão e assimetria da

distribuição dos dados. Na sua construção são considerados os quartis e os limites da

distribuição, permitindo uma visualização do posicionamento da distribuição na escala da

variável. Para melhor compreensão deste box plot, a figura abaixo apresenta um esquema

sintetizado:

Figura – Esquema para construção do box plot

A escala de medida da variável encontra-se na linha horizontal do quadro onde está

inserida a figura.

Na caixa retangular da figura são fornecidos os quartis Q1, na parte esquerda, e Q3 na

parte direita da caixa. Entre eles encontra-se a mediana da distribuição. Observe que 50% da

distribuição têm valores dentro da caixa.

As linhas horizontais que saem da caixa terminam nos limites: inferior (LI) e superior

(LS) da distribuição. Esses limites são determinados em função da distância entre os dois

quartis (Q3 e Q1), isto é, do desvio inter-quartílico dado por: DQ = Q3 – Q1 seja o tamanho da

Q1 Md Q3

Ponto Externo

* 0

Ponto Solto

1,5DQ DQ 1,5DQ

Valores LI LS

Valores típicos

3,0DQ

Limite inferior Limite superior



32

caixa. Para determinar os limites deve-se primeiramente calcular, o denominaremos de B1 =

1,5. DQ, assim os limites serão:

LI = Q1 – B1 e LS = Q3 + B1

Entre esses limites encontram-se os valores considerados como típicos da distribuição.

Valores com afastamento superior a B1, para cima ou para baixo, são considerados

atípicos, ou possíveis outliers.

Caso detecta a presença desses pontos, deve-se calcular o B2 = 3. DQ, e verificar a

existência de pontos entre B1 e B2, são chamados de pontos soltos, representados por (o).

Valores com afastamento superior a B2 para cima ou para baixo são considerados

como pontos externos, representados na figura por (*).

Quanto maior for o valor do desvio inter-quartílico (DQ), maior a variabilidade da

distribuição.

Exemplo: O objetivo do administrador é lucrar o máximo possível com o capital

investido em sua empresa. Uma medida de bom desempenho é o retorno sobre os

investimentos. A seguir são apresentados os mais recentes retornos em milhares (R$).

2.210 2.255 2.350 2.380 2.380 2.390

2.420 2.440 2.450 2.550 2.630 2.825

Resumo de cinco pontos:

menor valor = 2.210,

quartil 1 = 2.365,

quartil 2 = 2.405,

quartil 3 = = 2.500

e o maior valor = 2.825.

Desvio inter-quartílico (Tamanho da caixa) = DQ = Q3 – Q1 = 2.500 – 2365 = 135 e o

B1 = 1,5..DQ = 1,5. 135 = 202,5, logo os limites serão:

LI = Q1 – B1 = 2365 – 202,5 = 2162,5 e o

LS = Q3 + B1 = 2.500 + 202,5 = 2.702,5.

Verifica-se que do lado esquerdo do conjunto todos os valores são menores que o

limite inferior calculado, assim, a semi reta não deve ultrapassar o menor valor do conjunto,

do lado direito do conjunto existe um ponto fora de B1, então, a semi reta deve atingir o

tamanho de LS, em seguida, deve se calcular o B2,

B2 = 3. DQ = 3. 135 = 405, assim os pontos de referencia para o novo limite do lado

direito é dado por: Q3 + B2 = 2.500 + 405 = 2.905, observa-se que o valor (2825) esta entre B1



33

e B2, logo se trata de um ponto solto que deve ser representado por (0). Os dados fora destes

limites são considerados pontos fora da curva. A Figura apresenta um esquema do box plot

com esses resultados:

Figura – Resultados do desempenho de retorno de investimento da empresa

Observações atípicas (outlier)

É muito comum aparecerem entre os dados coletados, observações atípicas (outliers),

isto é, valores muito grandes ou muito pequenos em relação aos demais. Um conjunto de

dados pode apresentar apenas um ou vários outliers.

Observações atípicas alteram enormemente a média e a variabilidade do grupo a que

pertencem e podem até mesmo distorcer as conclusões obtidas através de uma análise

estatística padrão. Portanto, é de fundamental importância detectar e dar um tratamento

adequado a elas.

Causas do aparecimento de outliers

Dentre as possíveis causas do aparecimento de outliers, pode citar as seguintes:

Leitura, anotação ou transição incorreta dos dados.

Erro na execução do experimento ou na tomada da medida.

Mudanças não controláveis nas condições experimentais ou dos pacientes.

Medidas a serem tomadas

Quando um outlier é detectado, duas medidas podem ser tomadas: abandoná-lo ou

conservá-lo. Existem justificativas para cada uma dessas medidas e o tipo de análise pode

variar, dependendo se o outlier foi ou não eliminado.

2.162,5 2.365 2.405 2.500 2.702,5

Ponto fora da curva

2.825 2.210



34

Um outlier deve ser eliminado da análise quando houver uma justificativa

convincente, por exemplo, quando a observação é incorreta ou houve erro na execução do

experimento ou na anotação da medida. Após a eliminação do outlier pode-se fazer a análise

estatística usando-se apenas as observações restantes, ou uma análise mais sofisticada, que

foge ao nível deste texto.

Por outro lado, se nenhuma explicação pode ser dada à observação atípica, o outlier

pode refletir uma característica do que está sendo estudado. Neste caso, tal observação deve

ser incluída na análise e um tratamento especial deve ser dado aos dados. Por exemplo, pode-

se usar uma ponderação da influência das observações ou alternativamente uma

transformação ( x , log x, etc.) da variável estudada.

Exemplo:

Considere uma amostra com os seguintes valores dos preços praticados em 13

estabelecimentos comerciais:

3 15 17 18 21 21 22 25 27 30 38 49 68

a) Forneça a regra de cinco itens para os dados.

b) Calcule os limites superior e inferior.

c) Trace o gráfico em caixa

ATIVIDADE 6 – SEPARATRIZES / BOXPLOT



35

PROBABILIDADE E AS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E

CONTÍNUAS

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

As decisões nos negócios são freqüentemente baseadas na análise de incertezas tais

como as seguintes:

Quais são as chances de as vendas decrescerem se aumentarmos os preços?

Qual é a plausibilidade de um novo método de montagem aumentar a produtividade?

Qual é a probabilidade do projeto terminar no prazo?

Quais são as chances de um novo investimento ser lucrativo?

A probabilidade é uma medida numérica associada a ocorrência de certo fato.

Os valores da probabilidade são sempre atribuídos numa escala de 0 a 1. A

probabilidade próxima de zero indica baixa possibilidade de ocorrência do fato; já próxima de

1 indica a maior facilidade de ocorrência deste fato. Por exemplo, se considerarmos o fato

"chover amanhã", entendemos que quando a previsão do tempo indica 0,05 "uma

probabilidade próxima de zero de chover" significa "quase sem chance de chover". No

entanto, se uma probabilidade 0,90 de chuva é anunciada, sabemos que é muito provável que

chova. Uma probabilidade de 0,50 indica que é tão provável que chova como não. A

probabilidade pode assumir qualquer valor dentro da seguinte escala:

A aplicação da probabilidade está presente em qualquer área de trabalho, até na nossa

vida particular onde nos ajuda desenvolver planejamentos, estratégias nos negócios e nas

atitudes que iremos tomar, como no caso do motorista que anda em alta velocidade, achando

sempre que existe pouca possibilidade de ser apanhado. Nos negócios, as pessoas se sentem

mais estimuladas aplicar seu dinheiro onde houver maior chance de se obter lucro. Assim, a

probabilidade mede a possibilidade de ocorrência de um determinado fato.

Como a probabilidade está associada à ocorrência de um acontecimento, denominado

de experimento, os possíveis resultados desse acontecimento determinam um conjunto

0 0,5 1,0

Chance crescente de ocorrência



36

chamado de espaço amostral, e sub grupos associados a esse espaço são chamados de

eventos.

Por exemplo: No caso do lançamento de um dado, todos os resultados possíveis,

compõem o espaço amostral representado por:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Nesse experimento a probabilidade de sair cada um desses valores é 1/6, ou 0,17. O

valor da probabilidade é sempre expresso sem unidade de medida, pois, representa o

relacionamento entre dois conjuntos, ou de um elemento com seu próprio conjunto. Para

melhor entendimento dessa relação, expressa se em porcentagem, logo a probabilidade de

cada elemento no lançamento de um dado é aproximadamente 17%.

Para o experimento do lançamento de um dado sua distribuição de probabilidade é

expressa da seguinte forma:

Número 1 2 3 4 5 6 Soma

Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 6/6 = 1

Verifica se:

Que os elementos do espaço amostral têm a mesma probabilidade, o que determina um

espaço amostral considerado equiprovável.

Todas as probabilidades são positivas.

A soma das probabilidades é igual a um, ou seja, para todos os espaços amostrais a

probabilidade a será: P(S) = 1.

É importante salientar que:

A probabilidade é igual a zero quando o evento for vazio (), isto é: P() = 0.

Sendo A , o evento complementar do evento A, a sua probabilidade pode ser calculada

através de: P( A ) = 1 - P(A)

No caso de um evento com o seguinte atributo o número ser menor que quatro, o

evento é: A={1, 2, 3}, para o cálculo da probabilidade associada a esse evento,usa se:

amostralespaçodoelementosdeNúmero

AeventodoelementosdeNúmeroAP

)( ou



37

possíveiscasosdeNúmero

favoráveiscasosdeNúmeroAP

)(

Assim para o evento A, tem se: %505,06

3)( AP .

Outros exemplos:

1) Num encontro consiste 25 estudantes de administração, 10 de economia, 15 de contábeis a

e 8 de engenharia de produção. Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente pelo o instrutor

para responder a uma pergunta, determine a probabilidade de que o estudante escolhido: a)

seja da administração; b) seja da engenharia de produção ou contábeis; c) não seja da

economia.

2) Suponha que em um lote de 12 peças, 4 sejam defeituosas. Duas peças são retiradas

aleatoriamente. Calcule a probabilidade de: a) ambas sejam defeituosas; b) ambas sejam

perfeitas; c) pelo menos uma seja defeituosa.

3) Um grupo de pessoas está numa sala e é constituído por: 5 rapazes de mais de 21 anos, 4

rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21

anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18. Qual a probabilidade de: a) ter mais de

21 anos; b) ser um rapaz; c) ser uma moça; d) ser moça com menos 21 anos.

4) O sistema escolar do país Só alegria fornece acesso a internet a 21.733 escolas do nível

fundamental, 7.286 escolas do nível médio e 10.682 do nível superior. Existem no país 51.745

escolas do nível fundamental, 14.012 do nível médio e 17.229 do nível superior.

a) se você escolher aleatoriamente uma escola do nível fundamental para visitar, qual é a

probabilidade de que ela tenha acesso a internet?

b) se você escolher aleatoriamente uma escola do nível médio para visitar, qual é a

probabilidade de que ela tenha acesso a internet?

c) se você escolher aleatoriamente uma escola para visitar, qual é a probabilidade de que ela

seja do nível fundamental?

d) se você escolher aleatoriamente uma escola para visitar, qual é a probabilidade de que ela

tenha acesso a internet?

ATIVIDADE 7 - PROBABILIDADE



38

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Uma variável aleatória fornece um meio para se descrever os resultados experimentais,

através de valores numéricos, associando um valor numérico a cada resultado do experimento.

Essa variável aleatória se classifica como discreta ou contínua, dependendo dos valores

numéricos que assume.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Uma variável que pode assumir tanto um número finito de valores como infinita

seqüência de valores tais como 0,1,2,3,4,... é denominada variável aleatória discreta.

EXEMPLOS:

EXPERIMENTOS VAR. ALEATÓRIAS

DISCRETAS

POSSÍVEIS VALORES DA

VARIÁVEL

Atender cinco clientes no de clientes que compram 0,1,2,3,4,5

Inspecionar 50 declarações de

Imposto de Renda n

o de declarações com erros 0,1,2,3,...,49,50

Verificar as refeições servidas num

restaurante durante um dia n

o de refeições servidas 0,1,2,3,4,5,...

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

Para uma variável aleatória discreta x, a distribuição de probabilidade é definida por

uma função de probabilidade, denotada por f(x). Essa função dá a probabilidade para cada um

dos valores da variável aleatória.

No desenvolvimento de uma função de probabilidade para qualquer variável discreta,

duas condições precisam ser satisfeitas:

p(x) 0 e p(x) = 1

Considere as vendas de automóveis de certa empresa como exemplo de uma variável

aleatória discreta e sua distribuição de probabilidade.

Nos últimos 300 dias de operação, os dados de vendas mostram 54 dias sem vendas de

automóveis, 117 dias com 1 automóvel vendido, 72 dias com 2 automóveis vendidos, 42 dias



39

com 3 automóveis vendidos, 12 com 4 automóveis vendidos e 3 dias com 5 automóveis

vendidos. Sendo a variável aleatória de interesse x o número de automóveis vendidos durante

um dia.

E sua distribuição de probabilidade é dada por:

X 0 1 2 3 4 5 Total

p(x) 54/300 117/300 72/300 42/300 12/300 3/300 300/300

A principal vantagem de se definir uma variável aleatória com sua distribuição de

probabilidade é que observando a distribuição das vendas de automóveis desta empresa,

vemos que o número mais provável de automóveis vendidos durante um dia é um com a

probabilidade de 0,39 (117/300). Além disso, outras probabilidades podem ser calculadas,

pois se o gerente quiser saber qual a probabilidade de se vender três automóveis ou mais

durante um dia, p(3) + p(4) + p(5) = 0,14 + 0,04 + 0,01 = 0,19. Essas probabilidades fornecem

informações que possibilitam entender o processo de venda de automóveis da sua empresa.

Uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta apresenta

sempre duas características numéricas que são muito importantes para descrição do

comportamento dessa variável, são os parâmetros das distribuições, que chamamos de

esperança matemática e variância.

ESPERANÇA MATEMÁTICA

Denotada por E(x), que representa a média de uma variável aleatória. O valor esperado

é uma média ponderada dos valores que a variável aleatória pode assumir, onde os pesos são

as probabilidades. A expressão matemática para representar o valor esperado da variável

aleatória x é:

)(.)( xfxxE

Exemplo: Tendo a distribuição de probabilidade do número de automóveis vendidos durante

um dia na SOCAR.

X f(x) x.f(x) x2.f(x)

0 0,18 0 0

1 0,39 0,39 0,39

2 0,24 0,48 0,96

3 0,14 0,42 1,26

4 0,04 0,16 0,64

5 0,01 0,05 0,25

Total 1,5 3,5

)x(f.x)x(E 1,5. Significa que se espera vender em média 1,5 carros por dia.



40

VARIÂNCIA

A variância é uma média ponderada dos desvios da variável aleatória em relação a sua

média, elevados ao quadrado, onde os pesos são as probabilidades. A expressão matemática

usada para o seu cálculo está a seguir.

Sendo )x(f.x)x(E 22 = 3,5. Logo a variância é:

2222 )x(E)x(E)x(f.)x()x(V = 3,5 – (1,5)2 = 1,25

DESVIO – PADRÃO

O desvio padrão da variável x é a raiz quadrada da variância, isto é:

)( xV = 12,125,1

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Vários tipos de variável aleatória são usados com tanta freqüência que receberam

nomes especiais. Uma distribuição de variável aleatória discreta importante é a chamada

distribuição binomial.

A distribuição binomial se aplica a qualquer situação em que se realizam várias provas

independentes, cada uma das quais comporta apenas um dentre dois resultados possíveis.

Esses dois resultados chamam-se “sucesso” e “fracasso”. Seja X o número de sucessos. Se a

probabilidade de sucesso em cada prova é p e a probabilidade de fracasso é q = 1 – p. Então a

fórmula da função de probabilidade para a variável aleatória binomial é:

xnxx

n qpCxP ..)(

Onde: p = probabilidade do sucesso (o que se está sendo verificado)

q = probabilidade do fracasso, sendo p + q = 1, logo q = 1 – p.

x

nC A combinação de n elementos tomados x a x, dada por: !xn!x

!nC x

n



41

Sendo a Esperança (média) dada por: pnxE .)( e a variância qpnxV ..)(

Exemplo 1: Sabendo-se que 80% dos clientes de uma agência bancária são homens, qual a

probabilidade de se encontrar numa amostra de dez clientes:

a) Exatamente sete clientes homens? b) Mais de sete clientes homens?

c) Nenhum cliente homem? d) Calcule a média esperada e o desvio padrão de

clientes do sexo masculino.

Exemplo 2: Uma firma exportadora sabe que 5% das exportações algum problema na

documentação. Se ela realizar negócios com seis clientes, determine a probabilidade de:

a) Exatamente dois apresentarem problemas. b) Ao menos um apresentar problema.

c) No mínimo quatro apresentarem problemas. d) Exatamente cinco não apresentarem

problemas. d) Determine a média esperada e variância que descreve o comportamento deste

negócio de exportação.

Exemplo 3: O departamento de qualidade de uma empresa seleciona, aleatoriamente, alguns

itens que chegam “a empresa e submete-os a testes”. Para avaliar um lote de 150

refrigeradores, o departamento de qualidade selecionou 10 refrigeradores. Ele vai recomendar

a aceitação do lote se não existir item defeituoso na amostra. Supondo que o processo

produtivo desses refrigeradores gera um percentual de 3% de defeituosos, responda: qual a

probabilidade de que o lote venha a ser aceito?

ATIVIDADE 8 - DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

Uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou

uma coleção de intervalos é chamada de variável aleatória contínua. Como exemplo,

podemos considerar os resultados experimentais baseados em medição, ou seja: tempo, peso,

distância, temperatura etc.

EXEMPLOS:

EXPERIMENTOS V. A.

CONTÍNUAS

POSSÍVEIS VALORES V.

A. C.

Anotar o tempo gasto no atendimento de clientes. Tempo x 0

Anotar os volumes em recipientes de refrigerante

(Max =300 ml). Volume 0 x 300 ml

Anotar o tempo gasto nas ligações telefônicas. Tempo x 0



42

FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE

Para as variáveis aleatórias contínuas a sua FUNÇÃO DE DENSIDADE DE

PROBABILIDADE satisfaz as seguintes condições:

a ) p (x) 0 , x R b )

1 )( dxxp

A aplicação da integral em uma função é um cálculo matemático, que às vezes, é

difícil devido ao tipo da função que determina o comportamento da variável, sendo que a

probabilidade é dada pela área determinada através da integral entre dois pontos que

determina o intervalo considerado na função.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros

fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística. É também conhecida

como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.

A distribuição normal é um exemplo de distribuição de variável aleatória contínua. Na

verdade há muitas distribuições normais diferentes. Pode-se identificar uma distribuição

normal especificando-se dois números: a média e a variância (ou desvio padrão). A média está

localizada no pico da distribuição. A variância define a forma da distribuição, se ela é muito

dispersa ou se a maior parte da área se concentra na proximidade do pico, ou seja, do valor

médio.

Se X é uma variável aleatória normal com média () e variância (2)

, então sua função

de densidade é dada por:

0

.2

1)(

2

2

1

x

paraexp

x

Onde é a média o seu desvio padrão.



43

O gráfico determinado pela função da distribuição normal assemelha-se muito a um

sino, com o pico localizado na média () conforme figura abaixo:

A distribuição normal é especificada pela média e o desvio padrão. A variância (2)

determina a forma da curva; sendo que quanto maior o valor da variância significa maior

dispersão na curva.

Sua probabilidade é determinada pela área sob a curva, através da integral no intervalo

associado aos valores da variável.

As principais características dessa função são:

A curva é simétrica em relação à média ()

A média = mediana = moda

É assintótica em relação ao eixo das abscissas.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA

Na maioria das vezes em que necessitamos da área sob a curva normal, devemos

recorrer a uma tabela. Seria impossível elaborar uma tabela para cada distribuição normal

com todos os valores possíveis da média e da variância. Felizmente, podemos achar os

resultados para qualquer distribuição normal apelando para uma tabela de distribuição normal

com média = 0 e variância 2 = 1. Essa distribuição normal especial é chamada distribuição

normal padrão.

Na prática, a distribuição normal apresenta um número muito grande de combinações

entre a média e o desvio padrão. No entanto, através da mudança de variável, contornamos

esse problema, fazendo com que todas as inúmeras distribuições normais reduzam-se a apenas

uma, ou seja, à distribuição Z. Além da variável z ser desprovida da unidade de medida (isto

é, constitui um número puro), ela serve para qualquer tipo de variável, independentemente de

sua unidade usando a seguinte fórmula:

x z

Onde z tem distribuição normal reduzida com a seguinte função densidade de probabilidade.



44

.e2πσ.

1 = p(x)

2

σ

μx

2

1

Sendo

x z 2

2

.2

1z

ezp

Exemplo 1: Usando a tabela da normal reduzida, calcule as seguintes probabilidades.

a) P (-2,34 < z < 0) b) P (-0,5 < z < 1,48)

c) P (0,86 < z < 2,89) d) P (-1,02 < z < -1,97)

e) P (z > 1,47) f) P (z < 2,05)

g) P (z > -2,63) h) P (z < -0,44)

Exemplo 2: Os salários pagos para os funcionários em determinada empresa seguem uma

distribuição normal com média igual a R$ 1.400,00 e desvio padrão igual a

R$ 227,00. Calcule a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso apresentar salário:

a) maior que R$ 1.680,00

b) menor que R$ 1450,00

c) qual o salário máximo para os 15% que detém os menores salários?

Exemplo 3: O tempo para um sistema computacional execute determinada tarefa é uma

variável aleatória com distribuição normal, com média 320 segundos e desvio padrão de 7

segundos.

a) Qual é a probabilidade de a tarefa ser executada entre 310 a 325 segundos.

b) Qual o tempo mínimo que separa os 10% dos tempos que mais demoram na execução?

Exemplo 4: Seja x a variável aleatória contínua com distribuição normal com um tempo

médio de atendimento de 2 minutos por cliente e desvio padrão 0,04 min. Determine a

probabilidade de um cliente ser atendido:

a) Entre 2 e 2,05 min.

b) Menos de 1,90 min.

ATIVIDADE 9 - DISTRIBUIÇÃO NORMAL



45

ATIVIDADE 1 - AMOSTRAGEM / VARIÁVEIS

1) Classifique as seguintes variáveis como quantitativas ou qualitativas: idade, sexo, renda familiar,

religião, cor, tempo de execução de uma tarefa e atividades esportivas.

2) Identifique as situações apresentas abaixo como variável quantitativa discreta ou contínua:

a) cada cigarro ( Ki-Mata) tem 16,1 mg de alcatrão;

b) o altímetro de um avião indica uma altitude de 21359 pés;

c) uma pesquisa efetuada com 1015 pessoas indica que 40 delas são assinantes de um serviço de

computador on-line;

d) o radar indica que Guga executou um saque com 110 Km/h;

e) de 1000 consumidores pesquisados, 930 reconheceram a marca da sopa Ki-delicia;

f) o tempo total gasto anualmente por um motorista de táxi em Nova York ao dar passagem a pedestres

é de 2,4 segundos;

g) ao terminar uma partida de vôlei um atleta pesa 1,4 Kg a menos do início da partida

3) Escreva sobre a forma de obter uma amostra de uma população que se considera organizada

alfabeticamente.

4) Destaque a característica observada na população para aplicação da amostragem estratificada ou por

conglomerado. Escreva os procedimentos que devem ser realizados nessas amostragens.

5) O Laboratório de Teste Produtos para o Consumidor seleciona uma dúzia de pilhas (indicadas como

de nove volts) de cada um dos fabricantes, e testa a capacidade efetiva de cada uma.Que tipo de

amostragem (aleatória, estratificada, sistemática, por conglomerado, de conveniência) está sendo

utilizado?

6) Identifique o tipo de amostragem utilizada: simples ao acaso, sistemática, estratificada, por

conglomerado, por conveniência e por quota:

a) Um assessor de um candidato deseja retirar uma amostra de 200 das 7.964 residências familiares de

um município. Para isto, lhes atribui os números: 0001, 0002, ..., 7964.

b) Um pesquisador da Universidade Estadual de Londrina pesquisa todos os estudantes de uma das

turmas de Economia selecionada aleatoriamente.

c) A empresa Sony seleciona um a cada 100 CDs de sua linha de produção para fazer teste de

qualidade.

d) O Programa de Planejamento Familiar deseja se informar sobre os pontos de vista dos homens e das

mulheres sobre o uso de anticoncepcionais. Para isso entrevista todos os homens e mulheres desta

comunidade.

e) O departamento de compras de uma Empresa deseja verificar a qualidade das peças adquiridas de

seus fornecedores. Para isto, seleciona aleatoriamente uma amostra das peças de cada um de seus

fornecedores.

f) Ao fazer uma pesquisa para o noticiário vespertino, um repórter da TV entrevista 20 pessoas que

saem do auditório do Teatro Cultura.

g) Das pessoas escaladas para um de júri, fez-se um sorteio entre as mulheres e entre os homens.



46

ATIVIDADE 2 - TAMANHO DE AMOSTRA

1) Em uma população de 4.780 elementos, qual o tamanho mínimo de uma amostra para que sejam

respeitados os seguintes níveis de probabilidade: de significância de 5% e o erro amostral de 2%?

(Z=1,96)

2) Deve-se extrair uma amostra de tamanho n = 320 de uma população de tamanho N = 2000, que

consiste de quatro estratos de tamanhos N1 = 500, N2 = 1200, N3 = 200 e N4 = 100. Se a alocação deve

ser proporcional, qual o tamanho da amostra a ser extraída de cada um dos quatro estratos.

3) Deseja-se fazer uma pesquisa junto a uma empresa para saber o interesse dos funcionários em

realizar cursos no exterior. Existem 3 mil funcionários, sendo 1,8 mil com mais dez anos de empresa e

1,2 mil com menos. Qual deve ser o tamanho da amostra probabilística sabendo-se que em cursos

semelhantes 5% dos funcionários acima de dez anos e 10% dos com menos de dez anos de empresa

participaram. Considerando 2% para o erro amostral e 90% de segurança. (Z = 1,64)

4) Qual o tamanho da amostra necessária para obter o intervalo de 98% de segurança para uma

proporção populacional se o erro tolerável é 9%?(Z=2,33)

5) Em uma pesquisa recente de mercado, o analista deseja estimar a proporção de pessoas que

compram o sabonete Cremoso e Refrescante. Pede-se: a) que tamanho de amostra devemos escolher se

queremos que, com probabilidade de segurança de 87%, a estimativa não desvie do verdadeiro valor

por mais de 3%? (Z=1,51), b) se tivermos a informação adicional de que a aceitação do sabonete é de

no mínimo 82%, qual deve ser então o tamanho da amostra?(Z=1,51). c) se decidimos por uma

amostra de tamanho 81, qual o erro máximo que cometemos com uma probabilidade 90%, caso nada

saibamos? (Z=1,64)

6) Uma pesquisa de mercado tem como objetivo estimar a proporção de pessoas que consomem o

biscoito Delícia Total. Pede-se: a) que tamanho de amostra devemos colher se queremos que, com

nível de confiança de 92%, a estimativa não desvie do verdadeiro valor por mais de 4%?(Z=1,75), b)

se tivermos a informação adicional de que a proporção de consumo do tal biscoito é no máximo de

35%, qual então deve ser o tamanho da amostra?(Z=1,75), c) decidimos colher uma amostra de

tamanho 130. Qual o erro máximo que cometemos com nível de confiança de 96%? (Z=2,05)

7) Uma empresa de pesquisa eleitoral foi contratada por u, político com o objetivo de investigar a

preferência dos eleitores pelo candidato da situação na próxima eleição. Sabe-se que a empresa e o

partido concordaram em usar um nível de confiança igual a 95% e um erro máximo igual a 4%.

Calcule os tamanhos das amostras necessárias nos seguintes casos.

Município Universo dos eleitores Valor suposto para a incidência

Gigantópolis Muito grande Nenhum

Miracema do Sul 5.000 6%

Bela Morada do Oeste 30.000 Nenhum

8) Um candidato a prefeito gostaria de fazer uma pesquisa eleitoral sobre a intenção de voto na sua

cidade de 45.896 eleitores. Sabe-se que sua popularidade é muito grande e existem boas perspectivas

para o candidato no primeiro turno das eleições. Estima-se que 72% dos eleitores pretendem votar no

candidato. Assumindo um nível de confiança de 91% e um erro amostral de 2%, qual deveria ser o

tamanho da amostra a ser analisada? (Z=1,70)



47

ATIVIDADE 3 - REPRESENTAÇÃO TABULAR

1) Numa pesquisa visando analisar os moradores da cidade Morando Bem, um dos pontos recaiu sobre

a renda familiar e o tamanho das famílias dos moradores. Numa amostra de 150 moradores

entrevistados verificou-se que:

-dos 52 moradores de renda baixa, cinco tinham famílias pequenas e 15 famílias médias;

-dentre aqueles de renda média baixa, oito tinham famílias pequenas, 10 famílias médias e 20 famílias

grandes;

-dentre os 45 moradores de renda média, 25 tinham famílias médias e oito famílias grandes;

-dos 12 que representavam os moradores de renda média alta, seis tinham famílias pequenas e apenas

duas de famílias grandes;

-além disso, a amostra continha três moradores de renda alta: dois com famílias pequenas e um com

família média.

De acordo com os dados acima, construa uma tabela que descreva os dados, apresentando as

frequências e porcentagens em relação ao total geral.

2) No ano de 2003, foram atendidos 627 clientes no setor de reclamação no Banco Money. Em 2004

foram atendidos 813 clientes. Em 2003, 595 eram brasileiros, dos quais 185 mulheres, sendo que havia

apenas cinco moças estrangeiras. Em 2004 foram atendidos 50 estrangeiros, dos quais apenas 6 eram

mulheres. Dos brasileiros atendidos nesse ano, haviam 204 mulheres. Represente esses dados na forma

tabular.

3) Uma pesquisa de opinião pública entrevistou 950 pessoas a respeito da fluoração da água da cidade,

dessas 432 mostravam-se favoráveis, 322 eram contrárias, 122 não tinham opinião formada sobre a

questão e as restantes não responderam. Mostre esses dados através de uma representação tabular,

apresentando as frequências e também os percentuais.

4) Construa uma distribuição tabular para mostrar que, de acordo com uma pesquisa desenvolvida pelo

PNAD (Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios), em 1996 havia no Brasil 53,6 milhões de

pessoas com renda familiar mensal até 330 reais (pobres e miseráveis), 58,7 milhões de pessoas com

renda familiar mensal de 330 reais até 1300 reais (emergentes) e 32,2 milhões de pessoas com renda

familiar mensal acima de 1300 reais (classe média e rica), apresentar também em porcentagem.

5) Substituir por uma tabela o trecho do relatório seguinte, retirado de um artigo da revista Veja, de

1987: “Ao contrário do que muitos imaginavam a Lei no 6515/77 não motivou muitos casais. Não

existem estatísticas recente que permitam afirmar-se que hoje, conforme asseguram alguns, os

divórcios têm aumentado. Baseado em dados existentes entre 1982 e 1985, a situação no Rio, São

Paulo e Brasília, é a seguinte: 1982 – Rio: 5.288 separações e 3.840 divórcios; São Paulo: 17.855

separações e 11.585 divórcios; Brasília: 941 separações e 430 divórcios; 1983 – Rio: 6.183 separações

e 4.428 divórcios; São Paulo: 11.549 divórcios e 20.646 separações; Brasília: 739 separações e 228

divórcios; 1984 – Rio: 6.819 separações e 3.854 divórcios; São Paulo: 10.606 divórcios e 23.970

separações; Brasília: 1.000 separações e 354 divórcios; 1985 – Rio: 4.603 divórcios e 8.298

separações; São Paulo: 30.340 separações e 13.257 divórcios; Brasília: 1.317 separações e 557

divórcios”. As informações foram obtidas nas Varas de Família.



48

6) Construa uma tabela com os dados abaixo, destacando as marcas, frequências absolutas e as

frequências relativas percentuais e elabora um título para a tabela. Os dados representam as marcas de

refrigerantes comprados no supermercado Barato que Só, em 10 de janeiro de 2010.

Coca-Cola Pepsi-Cola Coca-Cola Light Pepsi-Cola Sprite

Coca-Cola Sprite Coca-Cola Coca-Cola Coca-Cola

Coca-Cola Light Coca-Cola Pepsi-Cola Coca-Cola Light Coca-Cola

Pepsi-Cola Sprite Coca-Cola Sprite Coca-Cola Light

Coca-Cola Pepsi-Cola Coca-Cola Light Coca-Cola Light Coca-Cola

Pepsi-Cola Sprite Coca-Cola Pepsi-Cola S*+- prite

Coca-Cola Coca-Cola Coca-Cola Light Coca-Cola Pepsi-Cola

Pepsi-Cola Coca-Cola Light Coca-Cola Light Coca-Cola Sprite

Coca-Cola Light Pepsi-Cola Sprite Pepsi-Cola Pepsi-Cola

Pepsi-Cola Coca-Cola Light Coca-Cola Coca-Cola Light Coca-Cola

7) A tabela seguinte apresenta a tabulação cruzada de uma pesquisa sobre o fato de um estudante

possuir habilitação ou não. Encontre o que se pede:

a) tamanho da amostra analisada;

b) número de alunos habilitados analisados;

c) número de alunos Economia analisados;

d) o percentual de alunos habilitados do curso de Administração;

e) percentual dos alunos não habilitados que cursam Engenharia.

Distribuição de alunos da Faculdade do Saber, quanto ao curso e a habilitação - 2008

Curso Possui habilitação

Total Sim Não

Administração

fi 3 2 5

% linha 60 40 100

% coluna 30 20 25

% total 15 10 25

Economia

fi 3 6 9

% linha 33,3 66,7 100

% coluna 30 60 45

% total 15 30 45

Engenharia

fi 4 2 6

% linha 66,7 33,3 100

% coluna 40 20 30

% total 20 10 30

Total

fi 10 10 20

% linha 50 50 100

% coluna 100 100 100

% total 50 50 100



49

ATIVIDADE 4 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

1) O rol abaixo apresenta as idades de uma amostra de executivos da cidade de Londrina em agosto de

2008. Construa uma tabela de distribuição de frequências completa.

28 31 32 35 36 36 36 38 39 39

40 40 40 41 42 42 42 42 42 43

44 44 45 47 47 47 48 48 48 49

49 49 49 50 50 51 51 51 54 54

54 55 56 56 57 57 60 61 61 62

2) Os dados abaixo se referem ao tempo de atendimento de telefone (segundos) da empresa

SÓQUEROVOCÊ. Construa uma tabela de distribuição de frequências completa.

756 587 929 871 378 503 564 1128 693 748

448 670 1023 335 540 853 852 495 666 474

443 325 514 404 820 915 793 778 627 483

861 337 292 1070 625 457 676 494 420 862

991 615 609 723 794 447 704 396 235 552

626 688 506 700 240 363 860 670 396 345

3) O Departamento de Pessoal da Empresa AZ Ltda. fez um levantamento dos salários dos 120

funcionários do setor administrativo, em salários mínimos conforme a tabela:

a) Complete a tabela com as frequências possíveis e os pontos médios.

b) Represente graficamente através do histograma e polígono de frequência.

Salários do setor administrativo da Empresa AZ Ltda. – março/2008

Faixa Salarial (s.m) fi

1 | 3 30

3 | 5 48

5 | 7 24

7 | 9 18

Total

4) Responda as questões considerando a seguinte distribuição de frequências.

Tempo gasto para emissão de notas fiscais da Empresa AKI - fevereiro de 2006

Tempo (min) fi fr%

1 | 3 30 15

3 | 5 40 20

5 | 7 70 35

7 | 9 38 19

9 | 11 13 6,5

11| 13 09 4,5

Total 200 100

a) Quantas notas tiveram um tempo menor que 7 minutos?

b) Qual a porcentagem de notas que demoraram 9 minutos ou mais?

c) Qual o tempo médio para as notas pertencentes à classe de maior frequência?

d) Qual a porcentagem das notas emitidas que demoraram o menor tempo?

5) Tendo a seguinte distribuição de frequências complete as informações.

Distribuição dos salários (R$ mil) dos empregados da Empresa Só Ganha - 2008



50

Salários fi fr% Fc Frc%

2,75 | 2,80 5

2,80 | 2,85 13

2,85 | 2,90 32

2,90 | 2,95 8

2,95 | 3,00 47

3,00 | 3,05 3

Total 50 100

6) A tabela a seguir apresenta a distribuição de renda de uma amostra da população de uma cidade do

nordeste do país. Faça uma análise da tabela e descreva o perfil da renda nesta cidade, represente

através do histograma e do polígono de frequência.

Renda de 80 pessoas da cidade Sósofre – março de 2008

Renda (s.m) fi fr% Fc Frc%

1 | 3 58 72,50 58 72,50

3 | 5 10 12,50 68 85,00

5 | 7 7 8,75 75 93,75

Mais que 7 5 6,25 80 100,00

Total 80 100,00



51

ATIVIDADE 5 – MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO

1) Os dados representam os números de acidentes ocorridos em julho de 2002, em Vila Boa de Morar,

em 18 cruzamentos sem indicação de conversão à esquerda:

2 6 8 10 12 11 14 18 22 24 25 26 28 29 31 32 32 35

Faça uma análise de exploração de dados, calculando as seguintes estatísticas:

a) média; b) mediana; c) moda; d) desvio- padrão; e)coeficiente de variação.

2) Um dos objetivos do aplicador é lucrar o máximo possível com o capital investido. Uma medida do

bom desempenho é retorno deste investimento. A seguir estão apresentados os retornos dos

investimentos de 24 aplicadores (em porcentagem).

5,0 5,1 6,2 8,6 9,0 9,2 9,6 11,2 12,2 12,3 12,8 14,5

14,7 15,8 16,6 17,3 17,3 19,2 19,6 22,9 30,3 31,1 41,6 52,7

Determine as seguintes medidas: média, mediana, moda, desvio padrão e o coeficiente de variação.

3) Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comercializada destes

produtos vale respectivamente $200,00; $300,00; $500,00; $1.000,00; $5.000,00. A loja vendeu em

determinado mês 20; 30; 20; 10; 5 unidades respectivamente. Qual foi o lucro médio comercializado

por esta loja?

4) Os dados abaixo informam os minutos gastos para o atendimento no caixa de um determinado

banco. Calcule: média, mediana, moda, desvio padrão e coeficiente de variação.

2,0 2,4 2,7 3,0 3,6 3,9 4,2 4,2 4,2

5,1 5,4 5,7 5,9 6,0 6,0 6,0 6,1 6,2

6,4 6,5 6,8 6,9 6,9 7,2 7,2 7,4 7,5

7,5 7,7 7,8 7,8 7,8 7,8 8,0 8,1 8,1

8,4 8,4 8,7 9 9,1 9,3 9,4 9,5 10,9

10,9 10,9 11,2 11,3 11,8 13,2 13,6 13,8 15,3

5) Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote só é aprovado se

apresentar um peso superior a 40 quilos. Se as unidades que compõem determinado lote pesam 3; 4;

3,5; 5; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto?

6) O transporte público e o automóvel são dois meios que um empregado pode usar para ir ao trabalho

diariamente. Amostras de tempo para cada meio estão registradas a seguir. Os tempos estão em

minutos.

T.Público 28 29 32 37 33 25 29 32 41 34

T.Automóvel 29 31 33 32 34 30 31 32 35 33

a) Calcule o tempo médio da amostra de cada meio de transporte para ir ao trabalho.

b) Calcule o coeficiente de variação para cada meio de transporte.

c) Com base nos resultados (a) e (b), descreva as características de cada meio de transporte?

7) Considerando os resultados das turmas A e B. Compare as turmas quanto à homogeneidade dos

dados calculando o coeficiente de variação.



52

TURMA MÉDIA DESVIO-PADRÃO

A 22,5 4,5

B 24,0 5,4

8) Deseja-se comparar a qualidade de um produto produzido por duas fábricas. Essa qualidade é

definida pela uniformidade com que o produto é produzido em cada fábrica. A qualidade das duas

fábricas é a mesma conforme as medidas abaixo?

ESTATÍSTICAS A B

Tamanho 21 117

Média 21,15 21,12

Variância 0,0412 0,1734



53

ATIVIDADE 6 – SEPARATRIZES / BOXPLOT

1) Os dados abaixo se referem aos minutos gastos para o atendimento no caixa de um determinado

banco (min). Faça uma analise descritiva completa para os dados abaixo, ou seja, calcule as medidas

de posição, dispersão e construa o gráfico de Box plot.

6 12 12 14 15 15 15 15 16

17 18 18 19 19 19 20 21 21

22 22 22 23 23 23 23 23 23

24 25 25 25 27 27 28 32

2) Um dos objetivos da administração é lucrar o máximo possível com o capital investido em sua

empresa. Uma medida de bom desempenho é o retorno sobre a contrapartida - razão da entrada liquida

pela contrapartida das ações. Mostrados a seguir estão os mais recentes retornos sobre as porcentagens

de contrapartida para 25 empresas.

9,0 19,6 22,9 41,6 11,4 15,8 52,7 17,3 12,3 5,1

17,3 31,1 9,6 8,6 11,2 12,8 12,2 14,5 9,2 16,6

5,0 30,3 14,7 19,2 6,2

a) Forneça a regra de cinco itens para os dados.

b) Calcule os limites inferior e superior.

c) Trace o gráfico em caixa.

3) Os dados abaixo se referem aos resultados obtidos em um teste em um grupo de pessoas:

1,5 1,5 1,8 1,8 1,9 2,0 2,4 2,7 3,0 3,6

3,9 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 4,5 5,1 5,1

5,4 5,7 5,9 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,1 6,2

6,4 6,5 6,8 6,9 6,9 7,2 7,2 7,2 7,4 7,4

7,5 7,5 7,7 7,8 7,8 7,8 7,8 8,0 8,1 8,1

8,1 8,1 8,4 8,4 8,7 9,0 9,1 9,3 9,4 9,5

4)Uma amostra dos salários iniciais pagos aos novos graduados em economia é apresentada a seguir.

Os dados estão em milhares de reais.

2,07 1,98 2,72 1,82 2,42 2,27 2,38 2,07 2,21 2,59

2,53 2,93 2,91 3,00 3,02 2,89 3,04 3,03 2,11 2,06

2,33 3,06 2,23 3,09 3,01 3,05 2,29 3,18 2,53 2,33

a) Quartil 1 e 3

b) Calcule os decis 3 e 6

c) Calcule os percentis 9 e 90



54

ATIVIDADE 7 – PROBABILIDADE

1) Numa empresa há 10 homens e 20 mulheres. Metade dos homens e das mulheres é casada. Ao

retirar ao acaso uma pessoa, qual a probabilidade de ser:

a) ser mulher b) ser homem c) ser homem e casado

d) ser mulher e solteira e) sabendo que é mulher de ser casada?

2) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:

a) a soma ser menor que quatro b) a soma ser nove c) o primeiro resultado ser maior que o segundo

d) os resultados serem iguais.

3) Um estudo de 500 vôos da Voe Alegre selecionados ao acaso mostrou que 430 chegaram no

horário. Qual é a probabilidade de um vôo dessa empresa não chegar no horário?

4) Dentre 400 motoristas selecionados ao acaso na faixa etária de 20 a 24 anos, 136 estiveram

envolvidos em acidentes de carros no ano anterior. Selecionado ao acaso um motorista dessa faixa

etária, qual a probabilidade de ele (ou ela) se envolver em um acidente de carro no próximo?

5) Quanto o antialérgico Tira Tira foi testado clinicamente, 70 pessoas tiveram sonolência e 711 não.

Com essa amostra estime a probabilidade de um usuário desse antialérgico ter sonolência.

6) Numa bolsa tem se cinco moedas de R$ 1,00 e quatro de R$ 0,50. Qual a probabilidade de ao se

retirar duas moedas se obtenha R$ 1,50.

7) Em um lote tem oito peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas. Qual a

probabilidade ao se retirar: a) uma peça ao acaso e ela seja perfeita ou tenha pequenos defeitos? b)

quatro peças ao acaso, todas tenham grandes defeitos?

8) Se há seis pneus defeituosos em um lote de quinze, escolhem-se três pneus para uma inspeção, qual

é a probabilidade de que: a) um dos pneus defeituosos seja incluído? b) no mínimo dois tenham

defeitos? c) no máximo dois sejam perfeitos?

9) Uma empresa de seguros oferece quatro níveis de dedução- nenhum, baixo, médio e alto- para os

possuidores de apólices de seguros residenciais e três níveis diferentes (baixo, médio e alto) para os

possuidores de apólices de seguros de automóveis. A tabela a seguir fornece as proporções das

diversas categorias de segurados que possuem ambos os tipos de seguros.

AUTOMÓVEL RESIDENCIAL

Nenhum Baixo Médio Alto

Baixo 0,04 0,06 0,05 0,03

Médio 0,07 0,10 0,20 0,10

Alto 0,02 0,03 0,15 0,15

Suponha que um indivíduo que possua ambos os tipos de apólices seja selecionado aleatoriamente.

a) Qual é a probabilidade de que o indivíduo tenha dedução média de automóvel e alta de residência?

b) Qual é a probabilidade de que o indivíduo tenha dedução Baixa de automóvel? Uma dedução baixa

de residência?

c) Qual é a probabilidade de que o indivíduo esteja na mesma categoria para deduções de automóvel e

residência?

d) Com base na resposta da parte c, qual é a probabilidade de que duas categorias sejam diferentes?



55

e) Qual é a probabilidade de que o indivíduo tenha ao menos um nível baixo de dedução?

f) Usando a resposta da parte (e), qual é a probabilidade de que nenhum nível de dedução seja baixo?

10) A tabela abaixo relata a freqüência com que 2000 segurados usaram o hospital.

HOMENS MULHERES TOTAL

Usaram o hospital 100 150

Não usaram o hospital 900 850

TOTAL 1000 1000

Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada:

a) tenha usado o hospital dado que ela seja mulher?

b) não tenha usado o hospital?

11) Num grupo de 15 pessoas temos:

HOMENS MULHERES TOTAL

EMPREGADOS 5 3 8

DESEMPREGADOS 5 2 7

TOTAL 10 5 15

Qual a probabilidade de que um indivíduo escolhido aleatoriamente esteja:

a) Desempregado.

b) Empregado.

c) Mulher desempregada?

d) empregado sabendo que é homem?

12) A tabela abaixo mostra as promoções oficiais masculinas e femininas de uma grande força policial

metropolitana.

MASCULINO FEMININO TOTAL

Promovidos 288 36

Não-promovidos 672 204

TOTAL

Qual a probabilidade de um oficial ser promovido dado que é masculino?

13) Em um levantamento com estudantes de MBA, os seguintes dados foram obtidos sobre a razão

principal de ter se ligado à escola que eles se matricularam.

Qualidade Custo/Conveniência Outras TOTAL

Tempo Integral 421 393 76 890

Tempo Parcial 400 593 46 1039

TOTAL 821 986 122 1929

a) Se um estudante é de tempo integral, qual a probabilidade de que a qualidade tenha sido a razão

de sua escolha?

b) Qual a probabilidade de que o custo/conveniência tenha sido a razão da escolha?



56

ATIVIDADE 8 – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

1) Uma pesquisa revelou que 25% dos clientes de certo banco detinham a maior parte de suas

aplicações em ações. Escolhidos ao acaso 15 clientes, qual é a probabilidade de que pelo menos três

deles tenha esse perfil?

2) Cinco por cento dos motoristas de ônibus de certa cidade são mulheres. Suponha que 10 motoristas

são selecionados aleatoriamente para serem entrevistados sobre a qualidade de suas condições de

trabalho.

a) Qual é a probabilidade de que dois dos motoristas sejam mulheres?

b) Qual é a probabilidade de que nenhum seja mulher?

c) Qual é a probabilidade de que pelo menos um será mulher?

3) A probabilidade de uma imobiliária de não receber um aluguel em imóveis de alto padrão é de um

terço. Em seis casas de alto padrão alugadas, qual a probabilidade de:

a) Não receba o aluguel de duas casas?

b) Não receba o aluguel de nenhuma casa?

4) A probabilidade de um presumível cliente, escolhido aleatoriamente, faça uma compra, é de 30%.

Se o vendedor visita cinco clientes, qual a probabilidade que ele realizará:

a) Exatamente três vendas?

b) Quatro ou mais vendas?

c) Menos de duas vendas

5) Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seus produtos apresentam algum tipo de

defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que numa amostra de nove mesas:

a) Não ache nem uma defeituosa

b) Ache ao menos uma defeituosa.

6) Se há três pneus defeituosos em um lote de 20, e se escolhem quatro pneus do lote para uma

inspeção, qual é a probabilidade de que um dos pneus defeituosos seja incluído?

7) Se os registros indicam que 504 dentre 813 lavadoras automáticas de pratos vendidas por uma

grande loja de varejo exigiram reparos dentro da garantia de um ano, qual é a probabilidade de que em

uma amostra de 10 lavadoras, uma dessas não venha a exigir reparo dentro da garantia?

8) Suponha que haja uma probabilidade de 60% de um carro furtado em certa cidade do sul ser

recuperado. Determine a probabilidade de:

a) dois dentre 10 carros furtados serem recuperados;

b) no mínimo nove dentre 10 carros furtados serem recuperados.

9) A probabilidade de um automóvel, trafegando por uma rodovia, ter seus pneus classificados como

adequados é de 70%. Doze carros são detidos para verificação. Determine as probabilidades:

a) de seis terem pneus adequados;

b) pelo menos 10 terem pneus adequados.



57

ATIVIDADE 9 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL

1) Dado que z é uma variável aleatória normal, encontre a área para cada uma das situações.

a) à direita de 0,44 b) entre –1,57 e 0,49

c) à esquerda de 1,20 d) entre 0,52 e 1,22

e) à direita de –0,23 f) entre –1,74 e –1,04

2) Dado que z é uma variável aleatória normal, encontre z para cada uma das situações.

a) a área à direita de z é 69,15% d ) a área entre –z e z é 90,30%

b) a área à esquerda de z é 21,19% e) a área entre 0 e z é 47,50%

c) a área à esquerda de z é 99,48% f) a área entre –z e z é 20,52%

3) O tempo médio que um assinante gasta lendo o jornal Ki- Notícia é de 49 minutos, com desvio

padrão de 16 minutos e que os tempos sejam distribuídos normalmente.

a) qual é a probabilidade de que um assinante não gastar mais do que 30 minutos lendo o jornal?

b) para que 10% que gastam o maior tempo lendo o jornal, quanto tempo isso representa?

c) qual o tempo máximo gasto pelos 24% dos que gastam menos tempo na leitura?

4) Os depósitos efetuados no Banco da Ribeira durante o mês de janeiro são distribuídos normalmente,

com média de 10.000,00 u.m. e desvio padrão de 1.500 u.m. Um depósito é selecionado

aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que o depósito seja:

a) um valor entre 12.000 u.m. a 14000 u.m.;

b) maior do que 15.000 u.m.;

c) qual o valor do depósito que possa separar os 20% dos menores depósitos.

5) As sardinhas processadas por uma indústria de enlatados têm comprimento médio de 11,5 cm, com

desvio padrão de 0,64 cm. Se a distribuição dos comprimentos das sardinhas pode ser aproximada

satisfatoriamente por uma distribuição normal, qual a porcentagem das sardinhas:

a) tem comprimento inferior a 10,2 cm?

b) tem comprimento entre 11,2 e 11,7 cm?

6) Em qualquer distribuição normal, qual a porcentagem da área total que cai:

a) entre -1 e +1

b) entre -2 a +2

c) entre -3 a +3 Na tabela o valor de =1

7) Suponha que a renda média de uma grande comunidade possa ser aproximadamente normal com

média de R$ 1500,00 e desvio padrão de R$ 300,00.

a) que porcentagem da população terá renda superior a R$ 1860,00;

b) numa amostra de 50 assalariados, quantos terão menos de R$ 1050,00 de renda?

8)A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma

distribuição normal, com média de 3Kg e o desvio padrão de 0,8Kg. Um abatedouro comprará 5.000

coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso, do seguinte modo: 20% dos leves como

pequenos, os 55% seguintes como médios, os 15% seguintes como grandes e os 10% mais pesados

como extras. Quais os limites de peso para cada classe?



58

9) Uma máquina automática de encher de garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume

médio do líquido em cada garrafa seja de 1.000 cm3 e o desvio padrão de 10 cm

3. Pode-se admitir que

a variável volume tenha distribuição normal, qual a porcentagem de garrafas em que o volume de

líquido é menor que 990 cm3?

10) Uma fábrica de sabonetes sabe que seus produtos pesam, em média, 98 gramas, com desvio

padrão de 7 gramas. Em um mês de produção, são fabricadas 420.000 unidades. Para garantir, com

92% de probabilidade, a produção mensal, quantas toneladas de matéria-prima devem ser adquiridas?

11) Há duas máquinas disponíveis para o corte de rolhas para garrafas de vinho. A primeira produz

rolhas com diâmetros que possuem uma distribuição normal com média 3 cm e desvio padrão 0,1 cm.

A segunda máquina produz rolhas com diâmetros que possuem uma distribuição normal com média

3,04 c e o desvio padrão 0,2 cm. A s rolhas aceitáveis possuem diâmetros entre 2,9 cm e 3,1 cm. Que

máquina tem maior probabilidade de produzir uma rolha aceitável?



59

ÁREAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO

Cada casa na tabela dá a proporção sob a curva entre

Z = 0 e um valor positivo Z. As áreas para os valores

de Z negativos são obtidas por simetria.

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0, 4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

Documents

Apostila Estatística