TEORIA DOS CONJUNTOSSmbolos: pertence

A = {a,e,i,o,u} B = {2,3,4} O conjunto pode ser determinado por uma sentena. Exemplo: A = { x/x nmero par}

: existe

: no pertence

: no existe

Atravs de diagrama de Venn A

: est contido

: para todo (ou qualquer que seja)

a e i o u

: no est contido

: conjunto vazio

Subconjunto: contm N: conjunto dos nmeros naturais

Um conjunto A subconjunto de B, se e s se, todo elemento que pertence a A pertence a B. A B l-se A est contido em B (relao de incluso. A = {1,2,3,4} B = {1,2} A

: no contm

Z : conjunto dos nmeros inteiros

/ : tal que

Q: conjunto dos nmeros racionais

: implica que

Q'= I: conjunto dos nmeros irracionais

4 3 1 B 2

: se, e somente se

R: conjunto dos nmeros reais

Obs: A, A Na Matemtica, conjunto, elemento e relao de pertinncia so aceitos sem definio. Notao: Um conjunto indicado por letras maisculas A, B, C, ..., colocando-se seus elementos entre chaves. Exemplos: Operaes sobre os conjuntos: Conjuntos iguais: Dois conjuntos so iguais A = B, se e s se, A B e B A.

1

a) Interseco A interseo dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

Propriedades:

A

B = { x: x

Aex

B}

A=A AA=A AB=BA (A B) C = A (B C)

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={a,e,b,c} ento A B = {a,e}.

c) Diferena Dados os conjuntos A e B, define-se como diferena entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que no pertencem a B, ou seja:

A - B = {x: xQuando a interseo de dois conjuntos A e B o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos so disjuntos. Propriedades:

Aex

B}

b) Unio

A= AA=A AB=BA (A B) C = A (B C)

Obs: Se B A, define-se complementar de B em relao a A:B C A = A - B = {x/ x

Aex

B}

CONJUNTOS NUMRICOSa) Naturais ( ) = {0,1,2,3,4,....} contagem 3+2a 34a 3.2 a 3:2a b) Inteiros (Z) Z = { ...,- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} 34aZ 3:2aZ necessidade da

A unio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A

B = { x: x

A ou x

B}

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} ento A B = {a,e,i,o,3,4}.

2

c) Racionais (Q) Q = {p/q / p e q a Z e q 0} 3:2aQ um Definimos um nmero racional como valor x tal que Os racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou infinitos e peridicos.

1 0 1 = 0,5 =0 = 0,333 ... 2 4 3d) Irracionais (I ou Q ) So aqueles que no podem ser expressos na forma p/q, com p e q inteiros e q diferente de 0. So compostos por dzimas infinitas no peridicas.

p p, q Z e q 0 . Admitindo q por reduo ao absurdo que p 0 e q = 0, podemos representar x da seguinte forma: x=

x=

p p = x.0 , qual o valor que x deve 0

assumir de modo que multiplicado por zero resulta p ? Como pode-se ver facilmente esta igualdade uma impossibilidade. Deve-se portanto admitir que medida que o denominador fica prximo de zero, tornandose muito pequeno, x torna-se excessivamente grande ou infinitamente grande. Assim:

e = 2,71828 .... (base neperiana)e) Reais (IR) a unio do conjunto dos nmeros irracionais com o dos racionais.

p x = = 0Por outro lado se admitirmos que p = 0 e q = 0, tem-se:

x=

0 0 = x.0 , qual o valor que x deve 0

assumir de modo que multiplicado por zero resulta zero ? Qualquer valor torna a igualdade 0 = x.0 verdadeira, logo pode-se representar qualquer nmero real atravs da frao

0 , ento esta frao caracteriza 0

uma indeterminao.

Portanto, os nmeros naturais, inteiros, racionais e irracionais so todos nmeros reais. Como subconjuntos importantes de IR temos: IR* = IR-{0} IR+ = conjunto dos nmeros reais no negativos

3

Intervalos em IR Dados dois nmeros reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos nmeros reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os nmeros p e q so os limites do intervalo, sendo a diferena p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo fechado e caso contrrio, o intervalo dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos. REPRESENTAO [p;q] = {x IR / p x q} (p;q) = { x IR / p < x < q} [p;q) = { x IR / p x < q} (p;q] = {x IR / p < x q} [p; ) = {x IR / x p} (- ; q] = { x IR / x q} (- ; q) = { x IR / x < q} (p; ) = { x IR / x > p } (-,a) (b, +) = { x R / x a x b} Nota: fcil observar que o conjunto dos nmeros reais, (o conjunto IR) pode ser representado na forma de intervalo como IR = ( - ; + ). Exerccios: Numa indstria, 120 operrios trabalham de manh, 130 trabalham tarde, 80 trabalham noite, 60 trabalham de manh e tarde, 50 trabalham de manh e noite, 40 trabalham tarde e noite e 20 trabalham nos trs perodos. Quantos operrios trabalham s de manh ? Representao geomtrica

1) Represente os seguintes conjuntos enumerando seus elementos: a) A = {x / x > 3} c) C = {x / 3 < x < 8} e) F = {x / x > - 3} b) B = {x / x < 8} d) D = {x / 4 x < 11} f) G = {x / x = 2k e k }

g) H = {x / x = 2k + 1 e k }

4

2) Em uma escola, cujo total de alunos 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que os alunos costumam beber. Os resultados foram: A = 200 , A e B = 20 Nenhum = 100 a) Quantos bebem apenas o refrigerante A ? b) Quantos bebem apenas o refrigerante B ? c) Quantos bebem B ? d) Quantos bebem A ou B ? 3) Numa comunidade constituda de 1800 pessoas, h trs programas de tv favoritos: (E) esporte, novela (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas: Programas E N H EeN NeH EeH E,N e H Nmero de telespectadores 400 1220 1080 220 800 180 100

Atravs desses dados, calcule o nmero de pessoas da comunidade que no assistem a qualquer dos trs programas. 4) Sendo A = [2;5] e B = (3;7) determine graficamente e atravs da notao de conjuntos: a) A B c) A - B b)

A B

A d) C

5) Sendo A e B dois conjuntos finitos e no vazios, onde o conjunto B um subconjunto do conjunto A, assinale com V ou F:

a) A B = A ( ) b) A - B = B ( )d) B - A = ( ) c) (A B) - B = e) B A ( ) ( )

5

Geometria EspacialConceitos primitivos So conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definio) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notao:

pontos: letras maisculas do nosso alfabeto

retas: letras minsculas do nosso alfabeto

planos: letras minsculas do alfabeto grego

Observao: Espao o conjunto de todos os pontos. Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

6

Axiomas Axiomas, ou postulados (P), so proposies aceitas como verdadeiras sem demonstrao e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.

Postulados sobre pontos e retas P1)A reta infinita, ou seja, contm infinitos pontos.

P2)Por um ponto podem ser traadas infinitas retas.

7

P3) Por dois pontos distintos passa uma nica reta.

P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semirretas.

Postulados sobre o plano e o espao P5) Por trs pontos no-colineares passa um nico plano.

P6) O plano infinito, isto , ilimitado.

8

P7) Por uma reta pode ser traada uma infinidade de planos.

P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regies chamadas semiplanos. P9) Qualquer plano divide o espao em duas regies chamadas semiespaos.

Posies relativas de duas retas No espao, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:

9

Temos que considerar dois casos particulares:

retas perpendiculares:

retas ortogonais:

10

Postulado de Euclides ou das retas paralelas P10) Dados uma reta r e um ponto P P, tal que r // s: r, existe uma nica reta s, traada por

Determinao de um plano Lembrando que, pelo postulado 5, um nico plano passa por trs pontos no-colineares, um plano tambm pode ser determinado por:

uma reta e um ponto no-pertencente a essa reta:

duas retas distintas concorrentes:

11

duas retas paralelas distintas:

Posies relativas de reta e plano Vamos considerar as seguintes situaes: a) reta contida no plano Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano nesse plano: , ento r est contida

Aplicao 01. (EsPCEx-96) Considere as seguintes proposies: I - Toda reta paralela a um plano paralela a qualquer reta desse plano. II - Uma reta e um ponto determinam sempre um nico plano. III - Se uma reta perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, ento ela perpendicular a esse plano.

12

Pode-se afirmar que: a) S I verdadeira. d) S III falsa. b) S III verdadeira. e) S I e III so falsas. c) S I e III so verdadeiras.

02. (EEAR-00) Assinale a afirmativa VERDADEIRA: a) b) c) d) Dois planos paralelos a uma reta so paralelos entre si. Dois planos perpendiculares a uma reta so perpendiculares entre si. Duas retas perpendiculares a um plano so paralelas entre si. Duas retas paralelas a um plano so paralelas entre si.

1.1.-Funo Exponencial Definio : Uma funo dada por y = a x

chama-se

exponencial ( a uma constante positiva , com a 1). Exemplo 1 : As funes dadas por y = 2 x e y = (1/2) x so funes exponenciais. Seus grficos podero ser representados por: y= 2x y 1 x

y 1 y

x

13

x -3 -2 -1 0 1 2 3

| __y |__ 1/8 | _ | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 y = (1/2)x y = 2xx

y= (1/2) x | y -3 | 8 -2 | 4 -1 | 2 0 | 1 1 | 1/2 2 | 1/4 A funo exponencial y = a x ser crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Seu grfico ter um dos seguintes aspectos : 0 < a < 1 funo decrescente a > 1 funo crescente EXERCCIOS Construa os grficos das funes exponenciais e classifique-as em crescentes ou decrescentes: a) y = 3 x b) y = (1/3) x

14

LOGARITMOS

John Napier(Edimburgo, 1550 4 de abril de 1617) foi um matemtico, astrlogo e telogo escocs. Ele mais conhecido como o decodificador do logaritmo natural (ou neperiano) e por ter popularizado o ponto decimal.Originrio de uma famlia rica, ele mesmo baro de Merchiston, era um defensor da reforma protestante, tendo mesmo prevenido o rei James VI da Esccia contra os interesses do rei catlico Felipe II de Espanha. Est enterrado na igreja de Saint Cuthbert, em Edimburgo. Uma unidade utilizada em telecomunicaes, o neper, tem este nome em sua homenagem. No incio do sculo XVII, inventou um dispositivo chamado Ossos de Napier que so tabelas de multiplicao gravadas em basto, permitindo multiplicar e dividir de forma automtica, o que evitava a memorizao da tabuada, e que trouxe grande auxlio ao uso de logaritmos, em execuo de operaes aritmticas como multiplicaes e divises longas.Idealizou tambm um calculador com cartes que permitia a realizao de multiplicaes, que recebeu o nome de Estruturas de Napier. Bibiliografia: http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Napier Matemtica Cincias e Aplicaes Vol.1 Ensino Mdio (Gelson Iezzi e outrosAtualEditora)Briggs,Henry (1561-1630) foi um matemtico ingls, nasceu em fevereiro de 1561, e morreu em 26 de janeiro de1630. Foi o homem mais responsvel pela aceitao dos LOGARITMOS pelos cientistas. Briggs foi educado na Universidade de Cambridge e foi o primeiro professor de geometria na Faculdade de Gresham, Londres.Em 1619 ele foi designado o professor de geometria em Oxford. Briggs publicou trabalhos em navegao, astronomia, e matemtica. Ele props os logaritmos "comuns", com base dez, e construiu uma tabela de logaritmos que foi usada at o sculo 19.

Fontes:http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Historia/briggs. htmValle Poussin,Charles Jean Gustave Nicolas De la (1866 1962 )Charles De la Valle Poussin (Nascido a: 14 de agosto de 1866 em Louvain, Blgica Falecido a: 2 de MAro de 1962 em Louvain, Blgica),ficou conhecido pela sua demonstrao do Teorema dos Nmeros Primos, e pelo seu trabalho Cours d'analyse. 15

O seu pai foi Professor de Geologia na Universidade de Louvain. Matriculou-o no Colgio de Jesutas em Mons, mas cedo Valle Poussin achou que o ensino a era inaceitvel e virou-se para as engenharias onde veio a obter o seu diploma dentro desta ltima rea. No entanto um pouco depois, sentiu-se atrado pela matemtica. Em 1891 tornou-se assistente na Universidade de Louvain, onde trabalho com Louis Claude Gilbert que tinha sido um dos seus professores. No entanto Gilbert faleceu em 1892, com apenas 26 anos de idade, e Poussin foi eleito para ocupar o seu cargo. Valle Poussin foi eleito para a Academia Belga em 1909. Mas mais honrarias se seguiriam. Foram celebrados a permanncia dos seus 35 anos e, 50 anos, na Cadeira de Matemtica em Louvain. Um dos primeiros trabalhos de Valle Poussin , de 1892, sobre equaes diferenciais, foi premiado, no entanto o mais conhecido datado de 1896, quando provou o Teorema dos Nmeros primos, isto , (x) - > x/log x. Este Teorema foi demonstrado independentemente por Hadamard, no mesmo ano, de modo diferente. Valle Poussin continuou a trabalhar dentro desta rea fazendo publicaes sobre a funo zeta de Riemann em 1916, para alm do seu trabalho na aproximao de funes por polinmios algbricos e trigonomtricos, datado de 1908 a 1918. A seu maior trabalho foi no entanto Cours d'analyse. Teve vrias edies, cada uma contendo novo material. A terceira edio do Volume 2 foi queimada na Alemanha quando superou Louvain. Teria contido assuntos como o integral de Lebesgue, trabalho esse que nunca foi editado. Contrariamente a muitos livros semelhantes aos do seu tempo Cours d'analyse no contm anlise complexa. Depois de 1925 Valle Poussin estudou variveis complexas, teoria do potencial e representaes conformistas. A publicao do seu trabalho Le potencial logarithimique foi retido pela guerra, sendo apenas publicado em 1949.2.LOGARITMOS Introduo - Considere o seguinte problema: 1.) A que expoente x se deve elevar o nmero 3 para se obter 81? 3x = 81 3x = 34 x = 4 Esse valor 4 encontrado para x denomina-se logaritmo de 81 na base 3 se representa por log. 3 81 = 4 Definio de logaritmo: Apresentaremos uma definio aprimorada, da seguinte forma : Sejam a e b dois nmeros reais positivos e, b 1. Chama-se log. de a na base b ao nmero c tal que bc = a log b a = c bc = a A finalidade das condies apresentadas (a > 0 e 0< b 1), garantir a existncia e unicidade de log b a. Exerccios 1- Determine, pela definio, o logaritmo de: a) log2

8

b) log2 0,5

c) log 3 x = 45

2- Para que valor de x se tem log4 x = 2 3- Determine, pela definio, o logaritmo de: a) log 4 b) Log 5 0,2

16

8

c) Log 2

8 643

d) Log 16 32 f) Log 4 22

e) Log 47 g) Log 2

7

36 4

h) log 5 0,000064

Geometria analticaEntre os pontos de uma reta e os nmeros reais existe uma correspondncia biunvoca, isto , a cada ponto de reta corresponde um nico nmero real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta (origem) e um segmento u, unitrio e no nulo, temos que dois nmeros inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algbrica de um segmentoFazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os nmeros reais xA e xB , temos:

A medida algbrica de um segmento orientado o nmero real que corresponde diferena entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento. Plano cartesiano 17

A geometria analtica teve como principal idealizador o filsofo francs Ren Descartes (1596-1650). Com o auxlio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. Quando os eixos desses sistemas so perpendiculares na origem, essa correspondncia determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). Assim, h uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferncia) e da lgebra (relaes, equaes etc.), podendo-se representar graficamente relaes algbricas e expressar algebricamente representaes grficas. Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

Exemplos: A(2, 4) pertence ao 1 quadrante (xA > 0 e yA > 0) B(-3, -5) pertence ao 3 quadrante ( xB < 0 e yB < 0) Observao: Por conveno, os pontos localizados sobre os eixos no esto em nenhum quadrante. Distncia entre dois pontos Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distncia entre eles, temos:

18

Aplicando o teorema de Pitgoras ao tringulo retngulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distncia entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Razo de seco 19

Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma reta C divide

, o ponto

numa determinada razo, denominada razo de seco e indicada por:

em que

, pois se

, ento A = B.

Observe a representao a seguir:

Como o

, podemos escrever:

Vejamos alguns exemplos: Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razo em que o ponto P divide :

20

Se calculssemos rp usando as ordenadas dos pontos, obteramos o mesmo resultado:

Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:

Assim, para um ponto P qualquer em relao a um segmento orientado um eixo, temos: se P interior a se P exterior a

contido em

, ento rp > 0 , ento rp < 0

se P = A, ento rp =0 se P = B, ento no existe rp (PB = 0)

21

se P o ponto mdio de

, ento rp =1

Ponto mdio Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide ao meio, temos:

Assim:

Logo, as coordenadas do ponto mdio so dadas por:

Vamos Praticar! 1) Os pontos A = (-4, -2) e B = (-2, 2) pertencem respectivamente aos quadrantes: a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 2 22 d) 4 e 2 e) 3 e 4

2) O ponto A = (m+3, n-1) pertence ao 3 quadrante, para os possveis valores de m e n: a) m > 3 e n < 1 b) m < 3 e n > 1 c) m < -3 e n > 1 d) m < -3 e n < -1 e) m < -3 e n < 1 3) Num tringulo ABC, sendo A = (4,3), B = (0,3) e C um ponto pertencente ao eixo Ox com AC = BC. O ponto C tem como coordenadas: a) (2,0) b) (-2,0) c) (0,2) d) (0,-2) e) (2,-2) 4) A distncia entre os pontos P = (1,0) e Q = (2, 8 ) : a) 7 b) 3 c) 2 d) 2 7 e) 5

23

MatrizesMatriz uma tabela de nmeros dispostos em linhas e colunas.

A=

4 3

3 2

2 9

2 x 3

A=

4 3

3 2

2 9 2 x 3

onde: 2 x 3 o tipo (ou ordem) da matriz e significa: matriz com 2 linhas e 3 colunas.

Representao Genrica da matriz Amxn:

a11 a 21 A = a31 a m1

a12 a 22 a32 am 2

a13 a 23 a33 a m3

a1n a2n a3n a mn

Cada elemento da matriz A indicado por aij. O ndice i indica a linha e o ndice j a coluna s quais o elemento pertence. As linhas so numeradas da esquerda para a direita enquanto as colunas so numeradas de cima para baixo.

MATRIZES ESPECIAIS

1) Matriz linha: E toda matriz que possui uma nica linha (ordem 1 x n). Ex: A = [3 4 1] . 2) Matriz coluna: toda matriz que possui uma nica coluna (ordem m x 1). 4 0 Ex: B = 2 100

.

24

3) Matriz nula: a matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Ex:0 O = 0 0 0 0 0 0 0 a matriz nula 3x3. 0

4) Matriz quadrada: a matriz em que o nmero de linhas igual ao de colunas. A matriz quadrada do tipo n x n pode ser chamada de matriz de ordem n. Ateno: representando genericamente uma matriz 3 x 3, temos:

os elementos tais que i = j definem a diagonal principal. J os elementos tais que i + j = n + 1 definem a diagonal secundria. 5) Matriz diagonal: uma matriz quadrada onde os elementos situados fora da diagonal principal so nulos. Ex:12 0 D = 0 0 21 0 0 1 / 3 0

6) Matriz identidade (In): uma matriz quadrada onde os elementos situados fora da diagonal principal so nulos e os elementos da diagonal principal so iguais unidade. Ex:I 1 = [1] (matriz identidade de ordem 1).1 I2 = 0 1 I 3 = 0 0 0 (matriz identidade de ordem 2) 1 0 1 0 0 0 (matriz idenidade de ordem 3) 1

E assim por diante. 7) Matriz oposta: Dada a matriz A, sua oposta ser a matriz -A, obtida trocandose os sinais dos elementos da A.IGUALDADE DE MATRIZES

25

Sejam duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n. As matrizes A e B so iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes de A e B so iguais.ADIO DE MATRIZESSejam A e B duas matrizes de mesma ordem m x n. Chamamos de soma das matrizes A e B, e escrevemos A + B, a uma matriz C, tambm do tipo m x n, tal que seus elementos sejam obtidos somando-se os elementos correspondentes das matrizes A e B.

MULTIPLICAO DE UMA MATRIZ POR UM NMERO REAL

Seja k um nmero real e A uma matriz do tipo m x n. Definimos o produto de k por A, e escrevemos kA, a uma matriz B, tambm do tipo m x n, tal que seus elementos so obtidos multiplicando-se todos os elementos da matriz A pelo nmero k.MULTIPLICAO DE MATRIZES - DEFINIO

Sejam as matrizes Am x n e Bn x p. Chama-se produto das matrizes A e B, nesta ordem, a matriz Cm x p tal que cada elemento Cij da matriz C obtido pela soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos da coluna j de B. Observaes:1) Somente possvel a multiplicao de duas matrizes, se o nmero de colunas da primeira matriz for igual ao nmero de linhas da segunda matriz, isto :

2) Na matriz produto Cm x p, o nmero de linhas igual ao nmero de linhas da primeira matriz e o nmero de colunas igual ao nmero de colunas da segunda matriz. Ex: Sejam as matrizes A = 1 0 3 3 e B = 2 4 4 1 1 . Observamos que o produto AB 0

existe pois o nmero de colunas de A igual ao nmero de linhas de B, nesse caso, 2.

Podemos utilizar o seguinte algoritmo 26

3 2 1 0 3 4 1 4

4 1

1 0

1 3 + 3 2 1 4 + 3 (1) 0 3 + 4 2 0 4 + 4 (1) 1 0

1 1 + 3 0 0 1 + 4 0

= 8

9

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAO DE MATRIZESSendo A, B e C matrizes e um nmero real e supondo as operaes abaixo possveis temos que:

1. A . (B . C) = (A . B) . C 2. A . (B + C) = A . B + A . C 3. (A + B) . C = A . C + B . C 4. Am x n . In = Am x n 5. Im . Am x n = Am x n 6. ( . A) . B = A . ( . B) =

(associativa) (dist. esquerda) (dist. direita) . (A . B)

Observao: Dadas as matrizes A e B e supondo que o produto AB exista, h trs possibilidades para o produto BA: 1 possibilidade) BA pode no existir 2 possibilidade ) BA pode existir e ser diferente de AB 3 possibilidade) BA pode existir e ser igual a AB. Nesse caso, dizemos que as matrizes A e B comutam na multiplicao.MATRIZ TRANSPOSTA

Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A, e indica-se por At, matriz do tipo n x m, que tem as colunas ordenadamente iguais s linhas de A. Propriedades da transposta temos: Sendo A e B matrizes e um nmero e supondo as operaes abaixo possveis

27

1. 2. 3. 4.

(A + B)t = At + Bt ( . At) = . At (At)t = A (A . B)t = Bt . At

Ateno: Uma matriz quadrada A : Simtrica, quando: A = At Anti-Simtrica, quando: A = At .MATRIZ INVERSA

Dada a matriz An x n , chamamos sua inversa matriz A-1n x n tal que 1 1 Anxn Anxn = Anxn Anxn = I nxn Onde I nxn a matriz identidade de ordem n. A determinao dos elementos da matriz inversa feita pela resoluo da equao matricial acima. Convm ressaltar que uma matriz A pode no possuir inversa. Caso possua, A dita inversvel e sua inversa nica. Caso contrrio, A dita singular. Obs: Uma matriz A ortogonal se, e somente se, A 1 = ATDETERMINANTES

Determinantes so nmeros que associaremos s matrizes quadradas conforme as definies e regras a seguir. Dada, por exemplo, a matriz A=5 8 1 2 2 x 2

o seu determinante ser representado das seguintes maneiras:

det A ou

5 8

1 2

DETERMINANTE DA MATRIZ 1 X 1

Dada a matriz A = (a11)1 x 1, o seu determinante igual ao seu nico elemento. Exemplo : A = [ 5 ]1x1 det A = 5

DETERMINANTE DA MATRIZ 2 X 2

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O determinante de uma matriz de ordem 2 igual diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria. Exemplo: A=4 2 1 62 x 2

det A = = 4 . 6 - 2 . 1 = 24 - 2 = 22

DETERMINANTE DA MATRIZ 3 X 3

O determinante da matriz de ordem 3 calculado pela regra de Sarrus, da seguinte forma:4 5 2 3 0 1 2 4 33 x 3

Seja a matriz A =

1o) Escreve-se os elementos da matriz, repetindo-se ordenadamente as duas primeiras colunas:

2o) Acompanhando os traos em diagonal, multiplicamos os elementos entre si, associandolhes o sinal indicado. Assim: det A = 4.0.3 + 3.4.2 + 2.5.1 - 2.0.2 - 1.4.4 - 3.5.3 det A = - 27

Limites, Derivadas e Integrais29

O que se entende por limite de uma funo f ( x ) quando x tende para a ? LDT010101Dizemos que o limite de uma funo f ( x ) quando x tende para a b, quando para toda a sequncia de valores de x pertencentes ao domnio da funo tendendo para a (mas diferentes de a) corresponde uma sequncia de valores da funo tendendo para b

Importante: importante lembrar que no clculo do limite de f(x) quando x tende para a, estamos interessados no comportamento da funo quando x se aproxima de a e no o que ocorre com f(x) quando x = a Exemplo:

Integrais LDT04O que primitiva de uma funo y = f (x) ?30

uma funo F (x) que derivada igual a f (x), isto , F'(x) = f (x). Exemplo: A funo F (x) = x3 + 4x uma primitiva de f (x) = 3x2 + 4, uma vez que F'(x) = f (x). importante verificar que cada funo possui uma infinidade de primitivas, que se diferenciam de um valor constante, conforme exemplo abaixo:

Funo3x2 + 4 3x2 + 4 3x2 + 4 3x2 + 4

Primitivax3 + 4x x3 + 4x + 1 x3 + 4x + 2 x3 + 4x + c onde c uma constante

Qual a interpretao grfica da primitiva de uma funo ? LDT040102

Considere uma funo y = f (x) e a rea A da superfcie compreendida entre a curva e o eixo dos X. Quando x variar evidente que A varia, logo, A uma funo de x >>>> A = F (x).

Considere um acrscimo infinitesimal de x representado por dx. O acrscimo dx acarreta um acrscimo de rea dA cujo valor dA = y.dx. Consequentemente dA / dx = y >>> F'(x) = f (x) ou seja

a primitiva de f (x) representada pela rea A

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O que integral indefinida de uma funo y = f (x) ? LDT040103 a designao do conjunto de primitivas de y = f (x). Exemplo: A integral da funo y = 6x2 + 8x + 7 F (x) = 2x3 + 4x2 + 7x + C onde C uma constante.

Como representar a integral indefinida de uma funo y = f (x) ? LDT040104Seja A = F (x) a funo que representa o conjunto de primitivas de y = f (x) Representamos por

Leia F (x) a integral de f (x).dxExemplo: Seja a funo y = 4x3 + 2x + 5, a sua integral

e o seu valor F (x) = x4 + 3x3 + 5x + C onde C uma constante

O que a integral definida de uma funo y = f (x) entre os limites x = a e x = b ? LDT040105 o acrscimo da funo primitiva quando x varia de a para b

Como se representa a integral definida ? LDT040106Seja uma funo y = f (x). A sua integral entre a e b representada por:

Como calcular a integral definida de uma funo y = f (x) entre x = a e x = b ? LDT040107Chamando de F (x) a primitiva de f (x), a integral ter como valor: 32

Exemplo: Vamos calcular a integral da funo f (x) = 3x2 + 2 entre x = 1 e x = 3

I = (33 + 2.3 + C) - (13 + 2.1 + C) = 12 O clculo da integral de uma funo pode ser considerada como uma operao de soma ? LDT040108

Sim, uma vez que a

rea A a soma das reas dA entre a e b

Exemplo: Vamos calcular o impulso durante os 10 primeiros segundos de funcionamento de um foguete propulsor qu exerce uma fora de direo constante cujo mdulo em kgf (quilogramas fora) F = 30t2 + 2500 onde t o tempo em segundos. Sabemos da mecnica que o impulso produzido por uma fora o produto da fora pelo tempo durante o qual ela atua, logo o impulso I :

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Se fosse construido o grfico da funo F = 30t2 + 2500 o impulso I = 3,5x104kgf.s corresponderia a rea azul da figura.

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Curso de Pedagogia Disciplina: Matemtica Aplicada Belm de Maria - PE Aluno(a): ________________________________________

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