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Capítulo 1
Considerações iniciais
L
' A eletrotécnica i5 a área da engenharia elétrica que estuda a geração, transmiseb e diatribuiçb de energia elêtrica. A figura I .1 moetra um esquema típico de um sistema de energia elétrica, ou eeja, urn conjunto de equipamentos utilizadoe para r d í z a r ss tarefa de gerar, transmitir, distribuir e consumir energia eldtrica.
Figura 1.1 : Si8 téma de energia elitrica típico
O processo começa nas úsincrs, onde a energia elétrica é gerada. A figura 1.1 apresenta um doa tipoe de usinas exi8tentm, chamada de hidmlétricu. A água é conduzida através de tubulações até seu inipacto com as palhetas de uma t ustina que é p m ta a girar. A turbina é conectada ao eixo de uma máquina elétrica - gemdor ou alternador - que fornece uma tensão em aeus terminais, em conmqiiencia du movimento da turbina. Exiatem outroa tipcm de usinas, chamadm de termoelétricas, em que o vapor a alta pressão eubstitui a &a. Q vapor 15 obtido atravéri da queima de cornbuativeis &eis ( c i r v k , pitróleo, ou de reat$es nuclearce (fiesão). . ,
Deve-se natar qac sas ~ i a ~ ei t d a s txorre uni processo de transformação de energia m & i . ~ ~ . em energia clctriea. A cnmfis ejetrica pode eer gerada através de outros tipos de tran~forrnaçk, como por exemplo da Iiiz do sol ou da força do vento. No entanto, a &d&acia dmkw p r o t x ~ ~ w aiada + bixa ,
A ernergim dktr im ~ e r d a neLq uainu dmr, então ser transmitida m a centros de consumo ktravk 89 aiadcrnn de trariamiaah, qur 4 mrnpcwl~ par mnd u b w muarankados por %ORE++
Por r- cconomicm, a t r m a r n i ~ ~ k de energia eleiria deve wr dei ta c d t a tcnflães, pelo menas urna ordem dc e m d e z a maior ds, quc a norrndnienle fum&ds pela ~r&dm=a- Aaairn, nntm de eer irmmitida, n enargin g~radu pmsa por um tmnafamadnr, que 4 u m equipamento eeletrornagnt?lica que. trnnadurnla iirn atvd de I m a h em outro, mkior OU menor, depndmda da atxmmidade. Sa a gerador fornece m a tensk de, digamos 15 kV (1501#3 VQ~EE), pode-se ter na sarda do tran~íurmador devadar I c r r b da ordem db 138, 230, 440 kV r =sim por diante. Em niwl de di~trihuiçko, deve% inatdar um t r~s fa rmdar ahuixdor, para adequar o nivel dc tensão f n e c i d ~ equigmcntw dw
L - consum idms, -
Hoje em diq B tnmgia ~FEtrica tem eidã cada vez mais utilizada, devido irs suaa ca- ruteria;licair pdpriaer de flcxibilídde e eficiência. Como coaqiiência, a operação doa ãietprna~~ el&rimi; ahirmgiii altm níveis de mmplexidade. húmeroa problema devem aer c n f ~ n t d c w t m i v i b ~ pela eagenk~iso elcl,ricista, tais como:
a) Que quantidade de energia elétríca a usina deve gerar?
A energia elétrica gerada nas usinas deve ~ ~ a p r i r a demanda, que é variável com o tem*. Estas variaçiies podem aer:
- de curto prazo: cargas 880 ligadas e desligadas a todo instante. O controle da energia gerada a curto prazo faz parte da operação da rede elétrica.
- de longo prazo: previeáo de cargas que entrarão no sistema no futuro. Ae p r e v i h de expansão da geração e da t ransrnissáo para atender As novaa cargas fazem parte do planejumento da rede elébrica.
b) Csso uma rede eiétrica teu ha várim geradores,, qual a maneira mais econôrnica de dividir a carga entre eles?
É pmível realizar um despacho econ6mico L cava, através do qual ae ddioe a quantidade de ener:rgia que cada erad dor deve fornecer em função do custo da energia gerada por d a um. ,
C) Como manter o fornecimento de energia com níveis de qualidnde, confiabilidade e - eegurança adequados?
' Deve-se manter OB nIveis de tensão e hqüência dentro de limites pré-estsbelecidos. As correntes nos conduioree não podem exceder os limites especificadoa para os meemas. O siatema não deve d r e r interrupções de fornecimento. Em amo de
defeito na r& (curt*circuito em urna. linha, queima de um trmsformador, saída de operação de um gerador qtc.), deve haver urii meio de proteger o restante da rede contra daiios e de reatabdecer o erviço aos consumidores ú mais rApido possível.
Para que a rede détrica opere de forma eficiente uni grandc nGrnero de variãveis deve =r analisado, e todas dependem do conhecimento de técnicas de wluçáo de circuitos elétrim.
As instalações industriais são também circuitos elbtricos e devem ser analieadm como tal a fim de que apresentem alta eficiência de operasão. Uma indúetria recebe tensão em eua entrada, fornecida pela empresa concessionária de energia elét rica. Eet a tensão alimentará euas cargãs (motores, iluminação ct c.). Aririirn , dme-se mer?e;urir que a tenaia em todos os pontue da indústria esteja dentm de btraitm p r ~ ~ ~ i f i d ~ . Um molar+ por exemplo, tem sua e6ciéncia reduzida n t e n s a aplicada h muita diferente dri: sua tensão nominal (tensão normal de operaC;ir2). D e v ~ m ttmthern otltnizar a utilizagb de energia a fim de rniuimizar os gatos, por crxemplo, izwndo uma corrqã6 adeqirada do fator de potência (conwito que eerá eotudadci gcsekiormetrtc) e nüdmizsndo ris prrdas .de potência no circuito. Finalniente, deve-se ter um -querria dc prakqryi daqumia pafa proteger o restante da indúetria de um event uxl dryeiio e m dpnria r~giãio daia %Urna boa eepecificação de instalqão rmidendnl parisa p a r rain arreio &man~ionamento da fiqk e dos dispositivm de proteçib, tmh qrrr wqiict conb~rnenlos de d c u l r í de circuitos elét ricos.
Todos os casos citadoa são exemplos de circuitos elClricm que RP m q u d r m t m uma classe específica de circuitos - os circuitos $e msçrnbr ultrrnud~. Iata w dpw ao faia de que quase toda a energia elétrica é gerada, t rmmi l ida e crithslirnid~ na fama de corrente alternada (CA ou AC, do ingles Allcrnaiing Cumnt). Por iãsn, miá wr5 O k-ma fundamental de estudo a eer desenvolvido neste livro.
O objctivo deata obra é apresentar a teoria báuica de ariálise de circuitos de corrente . -. alternada. Pmteriormente, os assuntos apresentados aqui podem ser deeenvolvidos de forma mais aprofundada, permitindo o estudo e eoluçáo de problemaa reais como os citados anteriormente.
Leitura adicional Ejementos de análisc de sistemas de poiência. W.D. Steveneou Jr., McGraw-Hill, 1986. Capítulo 1
Capítulo 2
Circuitos de corrente alternada
Nmtc upaulo aíro estudmlm rn coou4 tos bhicos que pcrrni t.em a análiw de citciii tori
rnondhiean dc corrente ilternarln. Siia cprnrntadn. JEI lomns de onda dr LPnIÒE. 6 carrenlni. mm irifssr para ro nlkmsdu, e a maneira pela qaal elas sc wlacicnnni ua* =' ' dmun tipai de circuitos. 0 muceilu dr lanor P oe d i o ~ a m s t I w r i a i s r%> Larnlkni
9 , .
; r '7
I
2.1 Introdução . . $ I
! , v > ? ' , , ! ?
A figura 2.1(a) mostra um circuito de corrente continua, mi que urna bateria alimenta :; :, uma lâmpada. 5.1 :
Figura 2.1 : Circuito de corrente contínua
A bateria apresenta ursia diferença de potencial entre meus terminais. Eita diferença de potaocid C i y s l a V volls e C eon~tante .o longo da tempo.
- .
- 5t @( i ) for defiiúda como uma f u n ~ á o que repreeenta o valor instanthm da tensão 'fo~nrx;Ida pela fonte, e n t k q
., . - ' , P , , . 7
v ( t ) = V "r .-; a .
i:-; . ' L
Õ @&c0 de ri(t) em função do tempo é mostrado na figura S.l(b). Se em um instante h chave for fechada, a tens* da bateria será aplicada na lbpada e, em conseqiiência, cdarã tuna corrente pelo circuito. Se i(t) for a função que representa o valor instantâneo
nmntc pelo birchito, tem-me:
i-:.' ' . \ i ( t ) = I para t > to . . . . 8 . ., . L ' ? t l . b : ! ! , ? t < . ;
i,:::. t . 0 grbficq de i(t) em função do tempo também é mostrado na figura S.I(b). O inetante i; f = Is ,p~s trJ i Uma ~ ~ R B ~ ~ Ü O no estado do circuito. No entanto, para t > to, o circuito .. - r I :: 4 ak~k $si, v i m e permanente, ou aimplesmente regime, e os valores de tensão e corrente GI. pamancmn A1tm.lte8.
1,: 1 SE a batena que alimenta B lâmpada for substituída por uma fonte cuji tensão é
j"'! ~vari6dvel, ou seja, assume valores distiutoa para cada instante de tempo, circulará pelo :I , . circuiio uma mrrente também variável. Nas ee+s eeguintes eerá definida a tensão al- ' ternada, que é um tipo particular de tensão variável, assim como a maneira de obtê-la.
t ,
Em-%~fiiida, má estudado o comportamento dos circuitos quando eubrnetidos s tensões 1' dterndas.
ia I = 2 12 Formas de onda 1 . ' .
i!; 8s- tens* e co~pt-apreeentam um comportamento ao longo do tempo que define 1 ,r
1 . as firinrrs de onda: Assim, a forma de onda de uma grandeza é representada pelo v'! g;kfico deeta grandeza em funçáo do tempo. Par exemplo, uma tensão apr-ta uma i ' forna de onda eenoídal ae seu comportamento for do : tipo mostrado na figura 2.2(a), ou
triangular, ,ee seu wmportamento for do tipo mostrado na figura 2.2(b). Itih utegoiias de formas de onda sáo de aipxial interesee, e suas uractcríst icaa serão
. bprmntadas a seguir. . .. ' r Fornas de onda oscilatórias: são formas de onda que crescem e decrescem alter-
nadamente ao longa do tempo de acordo com dguma lei definida.
A figura 2.3(s) mostra uma corrente cuja forma de onda é oscilatória. A lei que a a "!define&: '
- . . -.-_. I . I
4> \ . . - . - - . - M - . . iI
'i
Figura 2.2: Formas de onda (a) senoidal e (h) triangulax
r Frrrmaa de onda são formm de onda oecilatóriaa cujos vdoras ee repetem a iotervdoe de tempo iguais. A figura 2.3(b) mostra urna corrente priódica. A lei
, que a define é do tipo:
Os dores instantâneas de corrente ee repetem a cada intervalo de tempo T', ou seja:
r Formas de onda aliernadas: são formas de onda periódicas cujos valores médios são nulm. A definição matemática de valor médio de uma forma de onda eerá apre- sentada na eeção seguinte. Aesim, uma interpretação intuitiva do valor médio aerá utilizada para identificar uma forrna de onda alternada.
A figura 2.3(c) mostra uma forma de onda que, evidentemente, possui as carac- teríeticas de uma forma de onda periódica, ou seja, eeus.valores se repelem a inter- valoe de tempo T. Além dieeo, no intervalo (O < i < tl) a corrente aseume valores instanthneos positivos e no intervalo ( t l ( 1 < t 2 ) , valores instantânmm negativos. Atravhe dc u m a R ~ I I I ~ I P R vie~alia~(;RC), ~ I O ~ A - R C que a b c a cotititfa entre ri. forma de onda e o eixo das abscisaau (terripo) rio primeiro intervalo de tempo é igual em rriódulo b área corrcepondente ru> ~cgtltido int.ervalo de terriyo.
Figura 2.3: Formas de onda (a) osciletdria, (b) periódica, . . , . (c) alternada e (d) perióâica
I : ' . - 1;: : . . I De acordo com a figura, a área para o primeiro intervalo de tempo é:
b...: ' !I . * . *,-,
' - Ia! ,, I . ,!,\q.a,r.i i ,
I . "I'* I PWA O segundo intervalo de tempo, a área é: r
i ( : , . .>.. 1 1; . . i;:. . P,!*ld 11 L 1 ;
I 'J I h ' , .r
I..' . i i . . ,r!b ..m. . , . . e, W ~ O ( t p - ta) = At: 1, .. ! , ' I ,
1.1 I .. !r- ! , I.
' A eoma das áreas é igual a zero, podendeee concluir que a forma de onda é alternada. A figura 2.3(d) mostra a mesma forrna de onda triangular dealocada verticalmente de AI. Neate caso, verifiLse que o intervalo de tempo em que os valores ee repetem continua o mesmo, mas as áxeas para os intervalos de tempo em que a forma de onda u s u m e valores positivos e negativos são diferentes, o que resulta em urna eoma não nula. Assim, esta iorrria de onda é periódica, maa náo é alternada.
2.3 Valores caracteristicos das formas de onda I
peribdicas Os valores caracteristicos que eerãr~ apresentadm nesta eeçG se aplicam naturalniente
bs formas de onda alternadas, que formam uma clmse pãirticular das formas de onda periódicas. Entre as formiu de onda alternada destaca-se a lorina de onda eenoidal, que é a utilizada comercialmente no fornecimento de energia elétrica pelaa empresas concea- eionárim e que se constitui no objeto principal de estiido desse livro. Assim, a descriçãu
.. doe valores característicos das iorrnas de onda yeriórlicas será exeniplificada através de formas de onda ee~ioidais, seni perda da
. Ciclo: 6 o conjunto corripleto de valores positivos e negativos que ee repetem a intervalo6 de tempo iguais. A figura 2.4 mosirra um ciclo de corrente, des t~ado em linha continua.
'I Figura 2.4: Ciclo e período de u m a forma de onda
* Pen'odo: é o intervalo de tempo em que ocorre um ciclo. A figura 2.4 moritra o período T para a forma de onda, medido em dois pontos diferentes.
era de ciclos por unidade dr: tempo. A freqúência f i dada por: .i
1 f = - T
. . emde T 4 O M d o . Sua unidde 6 o Hertz (Hz), sendo que ciclos por eegundo, ou
, , Vclocidede swda* nu Jrqüi!nil.ia angular: a figura 2.5 mostra a forma de onda de !i ,i L . , , . tama a t s m k e wnenoids! Idada por:
,:1 ,. T I ! ' y.l,l&, i "
1:' . ?i VI -.ai ' . i(t) = I,,,,, . sen(wt)
(i.; p a i r i * ' 1 - , .
r. -"'J..'i, . r i . . I..':' 1 m a L ; n .
h' , i
[ . - ln.
/., ' . . ..
l,,:.l:l '
! ) . i 1
, . . .
- a . ' I .
, . . . 1 . Figura 2.5: Velocidade angular ou 'fkeqüéncia angular de
I I t I ' "
. um a forma de onda
. t .' I
';' ' 6 - .. :
Asaumindo que o período da forma de onda de wrl-ente seja T , pode-se notar pela . . figura 2.5 que u m ciclo completo ocorre entre t = O e t = T. A figura 2.5 mostra
. , 1,
C'" - - .- . - - -
também a mesma forma de onda de corrente, agora ern funçb do ângulo wt, dado em radianos (rad). Nota-se que um ciclo completo ocorre entre wi = 0'e wt = 2r rad. Comparandeee os 'dois gráficos da forma de onda da corrente i(t), nota-se que um certo valor instantánm da corrente ocorre para urrl inetmte de tempo tc e tamb6m para um ângulo (w . t ; ) . Em particular, para t ; = T , tem-ae:
w . T = 2~ rad
ou:
que é a velocidade angular ou freqiiericia angular da corrente i(l).
Exemplo 2.1 No Brasil, a freqiéncta adotada é de 60 Bz. Calcular o período e u freqüência angular das tensões e correlites.
Solu*: de acordo com as definições aprese dadas, o período é igual a:
e a freqüéncia angular é:
w = 2n j = 2n - 60 = 377 rad/s
e Valor de pico: é o valor instantâneo rnkimo que a forma de onda atinge no ciclo. Considerando a corrente da figura 2.5, o seu valor de p iw é igual a:
Fme: é um ângulo arbitrkio definido para a fornia de onda de modo a estabelecer um referencial de tempo para a mesma.
.. .
d, onda de corrente repreicntada por: C
I
i(l) = I , . sen(wt + ai)
a na figura 2.6. No instante 1 = O o valor instantâneo da corrente é:
Figura 2.6: Fase de u m a forma de onda
k.'ll?
i Dvemn@a de fb~r ,ou dejusagcm: é a diferença entre aa fases de duas formas de onda. Se dum cormitea si*, dadaa por:
1 ? - -,,-
L i ' . .
, I . ' = , ., , .. " 1 1 t h :+&..i .!>[>'-- h 1 . .
11 ' diferença da Im entre etap, dada por:
A figura 2.7 ilustra JM formas de onda e a diferença de fase entre elas. A corrente i > ( t ) da figura 2.7 está a(ionlada de r e m relação a i i ( t ) ou, de outra forma, i , (t) eetá atmada de rp e m rel- a i 2 ( i ) . Uma maneira eimples de f~ determinar, e forma de onda que eeth rtrariada ou adiantada é mostrada na figura 2.7. O ponto R d definido como uma referência. Tornam-ee dois pontos equivalentes d a duas forrnm de onda, como por exemplo os e e u ~ valores de pico fi e P2, e deslocam-ee aa dum formas de onda simultaneamente para a esquerda. Nota-ee facilmente que o ponto P2 eobrepor-ee-8 ao ponto R antes que o ponto Pl , indicando que io(t) está adiantada e m relação a i,($).
1 ,,'
Figura 2.7: Diferença de fase entre duas formas de onda
Será visto nas eções ~eguintes que as diferenças de iase entre tensóes e correntes .
para um determinado circuito elétrico s ã o bem determinadas e dependem dos ele- mentoe que o conetituem. No entanto, s fase de uma forma de onda foi definida como um vdor arbitrário. Conclui-se então que, em um circuito, pode-se definir aleatoriamente a fase de apenas uma das formas de onda. Todas rn outras terão suas fases determinadas em função da primeira e dos elemento8 que o constituem.
c Valor médio: é definido para uma forma de onda ~eriiídica v ( t ) de período T corno:
Atravéa da definição de valor médio, torna-se maia clara a andiac feita na apre- sentação de uma forma de onda alternada, pois ele é proporcional E sua área no peht io T .
I %!a+: [I' , = .
I r". I m F - r m : : I i
I ' - :z7nF. F i p a 2.8: Foms de anda para r, exemplu2.2 I':
' , 1 1 1 I
e , , Aasim, de ãcordo com a definiçio opreaentada anter iomenie , v(t) C uma jorma de
i anda alternada, pois seu valor médio é igual a zero.
6) i ( t ) também tem pert'odo igual a 2n/w e apresetaia uma forma de onda õenoidol deslocada no eíze vertical de 7 A. O seu vaior médio é calculado por:
A w m n t e i ( t ) é uma forma de onda pem'dica, porém, não é alternada.
lhlor eficaz a figura 2.9 moatrb um circuito em que uma lâmpada pode ser di- mentada por uma fonte de corrente continua (fechandeae a chave chl ) ou por uma
, fonte de corrente alternada (fechando-se a chave ch2).
lâmpada
I
Figura 2.9: Circuito para definição de valor eficaz de uma forma de onda
Se s chave ehl for fechada, circulaká uma corrente contínua de valor I, pela Ihpada. I A potência entregue a ela mrá igual a: . . a
I
A energia, ammmida gala I h p d a em um inkrvdr, dc Gmpa igud a T vale:
1,:li , P, .dt=R.1;* d t = R - 1 L . T a, 'I
$,-i ,
, SE r &ave ch2 for fehdn, i l m ~ ctlman~.~ ãl I , C I I I ~ L L do tipo: "1 1
t 'i, y: .. , . . , cirdarA pda lâmpada. Neate caao, a potencia entregue h lámpada será igual 80 I. I .: : . produto de uma teneão variável no tempo por uma corrente variável no tempo, r;.: sendo, portanto, também variável no tempo: .., ,.h..* - r ?. . C . .
C
. .
y L . : ' , , ' I . ... .. . . A energia consumida pela limpada em um intervalo de tempo T slerd igual a:
- . I .
I.!. . k-, . . r .a . ~ ( t ) V df = R i dl
Impndeee a wndiçâio de que as energias coneumidas pela lâmpada nos dois casos eejam iguais, chega-se a:
I .- a I O
E,, = E, :
R 1:. T = R . l O b + = i 2 ( i ) -di _ I 1 . . r ia ,
I ou: , '
i
a
e
m e a
-il(a) .. = ,/r I. ,' I t "*
1. - I ' I 30 I
!I , .
e * I.
iI) I
i ; ,' I. I
I) a
- . - - . - - - -
I m L
Se T for o período da corrente i(!), o termo da direita da expressão mterior derá chamado de valor efica~ da corrente alternada i ( t ) , ou aeja:
Assim, se a iontc de corrente contínua for ajustada de tal forma que a corrente que circula pela l h p d a , I,., 6 igual aa valor eficaz IeI da corrente alternada i ( t ) , a energia conaumida pela lâmpada nos doie casos erá a mesma. 0 valor eficaz de uma forma de onda é também chamado de vdor RMS (mobmean-aquarc), ou a raiz quadrada do valor médio da forma de oada ao quadrado.
- - - - . . - -
, Exemplo 2.3 Calcular o valor eficaz do tensão v(t) = 179,6 . aen(ut) V.
Salução: o peráodo de v ( t ) i T = 2n/w E. O seu valor eficaz C dado por:
Considerando a sr!ul;ãn trtgnnom&ifim:
J
:,;;o valor eficaz de u(t) vale:
- - { [ 2 ~ - o] - [o - 01) = 127 v
" \1X &&o entre o valor de pico c o d o r eficaz é:
V, 179,6 -=-- V,, 127
- & I..
8 , ' a*:
, . .. . .
" ,
! I ( Esta'elação é uálida pata todas as formas de onda alternadas senoidais.
2.4 Geração de tensões alternadas I :. '.. . . ,. , ,.. ,
: A geração de tensões dternadaa é realizada pelos gemdoties elélricos, também chamados , ,. de altenadoms, e é baseada e m fenômenos eletromagn6ticos. Nesta eeção serão aborda- ' - .!, : . dos de maneira simplificada alguna tópicos blicos de eletromagnetismo, essenciais ao
entendimento do princípio de funcionamento dos geradores.
I
i ' 2.4.1 Alguns aspectos básicos de eletromagnetismo i a A cxpcrieucia de O~riitdl (2819) rnoetmu n exiniencia de rd~i~cwi rn&gn&lime, mhirsr- ' , nodwee a defEex& dr uma biissola mlocada prbximi de um fia pelo qual circula comnl,e r c l & f r i ~ . h figura 2-10 iiustrã 8 aikuyk.
O campo magnético existe ao redor do fio e é representado pelas linhas de campo
' :bag+aktico, onde H 6 definido wmo intensidade de campo magnético. O sentido das
, hbae de campo C facilmente obtido alinhandeae o dedo polegar direi to com o sentido da a : btiamte. Os demais dedos da máo direita indicam o eentido das lirihas. I
Figura 2.10: Campo magnético produzido por correrite elé t rica
A diferença entre as figuras Z.ll(a) e 2.11 (b) i o meio em que ap, linhas de campo
e ; magnético estib, eeado que no primeiro cesú o meio é o ar e no iwguado caso um material rn ferro-rrarrffo&kics - corno por exemplo uma liga de ferro-silício - chamado de nijclco ferro- *: m@kica. A intmaidsdr de campo mqn&tico H ~ r o d u z u m a induçâo mag*ética i3 na
* regi& em que da exiuiec. h iradrrfb mqn&fica, cuja unidade é o Weber/rn2, depende da tntcnaidade de campo rnagn61,icn a da peme,abilidade magnética p d o meio. A per~neabi- *
A figura 2.11 mostra as linhaa de campo no caso do fio eer enrolado, formando uma \ bobina. Neett caao, a bobina pode ser comparada a um irnã. Aaeocia-se ã extremidade da
bobina e m que ae linhas de campo saem como sendo o pblo norte (N) e iL extremidade eni que as linhas entram como sendo o pólo sul (S). Na prática, o senlido das linhas de campo é dado pela regra da. mão direita. Se s corrente que circula pela bobina for alternada,
. o campo magnético gerado também aerá alternado, implicando em u m a altcrnância dos
* ~ 6 1 0 s da bobina. A intensidade de canipo niagnélico II é proporcional à corrente e ao nirmero de espiraa da bobina e inversamente proporcional ao comprimento do caniiriho
I. 1 percorrido pdas linhas de campo, selido a sua unidade o ampère/mctro.
i+' rn * I + *
, m 'a : + m m m,
/
,
, I
. 'I Ii J d e magnética do
--
vácuo F, vale 4r.10m' We r.'- , , mcim C n o r r n h n t e expnsaa em função de &.
da meteriais ferromagnéticori varia de 2000 a & b000p,. A relação entre i3 e H é dada
!.I onde p = p, I'; magnÉtiro.
, fi I.,. a . 8s \I
I ,r .T '1- -
kr/(A.m). A permeabilidade de outros Por exemplo, a permeabilidade relativa
6000, ou seja, a permeabilidade varia de por:
B = p . H
p,. A figura 2.12 mostra uma curva BxH tipica para um material ferro-
0.8 [Wb JmZ]
4
= jA/ml I-
I -' 1.. a
I ' Figura 2.12: Curva &=H
[ ,q 1 O I
A permeabilidade relativa dos materiais ferromagnéticos não é constante, mas varia i ': de bordo com o wu grau de saturyáo com relagão b linhas de campo confinadas nele.
' Somandose ainda os efeito. da histerese e das correntes de Fouçault, a relação entre B e 1 , f . 1 para um material ferromagnético não é linear, como mostra a figura 2.12. r, "
)I O fluzo magnético é definido como o produto da indução magnética B pela área da
L - reta do núdeo em que as linhas de campo estão confinadas, sendo sua unidade o " I ! Weber(Wb). i" I'
!i 2 *4,2. Gerador monofásico de corrente alternada 1; + ~, I A f i y r i 2.13(a) mostra as uracteristicas sxteross de um gerdor elétrico. O gerador i' :C ~ m p o e t o por uma mtrutura externa dc material ferromagnético, chamada de estator, i . - ',,que . é fixa, e de uma estrutura interna, também de material ferromagnético, chamada de ; r ~ t o t , que é móvel (pode girar). Há um espaço entte o estator e 0 rotor, chamado de 1. . ,intmfem.
Figura 2.13: Gerador moriofásico de corrente alternada: (a) característica exlerna, (b) corte transver- ai, (C) e (d) det albes do ro tor
Do estator sai um par de fios, que são os terminais do gerador. Se o rotor é pmto a girar com velocidade angular w , pde-se ler uma tensão gerada no voltimetro conectado' aos terminais aa'do gerador. )
A figura 2.13(b) mostra um corte transversal do gerador, onde E pode ver uma bobina, cujm extremidadee a h a e a ', acomodada em ranhuras rio estator da máquina. O rotor é composto por uma peça de material ferromagnético onde uni campo magnética é pra; duzidu, e eujb linbaa de campo têm eu trajeto mostrdo. O campo magnético é p r ~ duzido por uma bobina enrolada no rotor e alimeut d a por corrente continua, como mostra a figura 2.13(c), e cujas extrernidadk são acessíveis no aitrtor, não sendo mostradas na figura 2.13(a) por simplicidade. Como o rotor é móvel, a corrente diega até a sua bobina através de &covas de carvão e anéiri coletores, como mostra a figura 2.13(6).
A figura 2.14 mostra novamente um corte transversal do gerador em um determinado instante. Supãe-ee que o rotor esteja girando corn velocidade angular conetante w . A
-.A-- - - . . -
- -- -.- l i . . ' a @>*
pobiçáo instantbnea do rotor 6 dada pelo ângulo # entre o eixo do rotor e o eixo do e eetator. hgo, tern-tw B = wl. w *
Figura 2.14: Corte transversal do gerador & corrente alternada
L O @a pelo rutor me di~tribui rdialmentme ma ont~tlmra cama mmtra a f i y a 2.15(e). A fomia de onda wnoidal do campo í. coaaeguidx strnvCs dr: um formato
C .I
mnvenienic do rotor. A pnmla da iadução miy;o&tics OJ dinliads cum u eixu do estator d e ~ d e da pmiçh
* , lastantbea do mler e i dada por: I a
a
onde BM C a induçíio no eixo do rotor. Como B 6 lun* do tempo, tem-r: 1 . . . . ,.:
"' A8mciado h indu~áo Bs, o fluxo O é pmpoiiiotial i própria induqáo Bs e b área onde a ela exiete. De maneira genérica:
, v ' > 1 a I e
@(i) = Bs (l) A = . A . coe(wd)
I 36 a a e
t
da : a; 3, -
- m
Figura 2.15: Formas de onda (a) da dlstribuíção radial da induçib magnética e (b) da tensão gerada
'.
O fluxo O é chamado de fluxo wncatenado ou fluxo enlaçado pela bobina aa '. Far aday (1831) determinou uma relação entre a lensão induzido (gerada) e o fluxo concatenado:
d v('i!) = -N -@(!I
dt - ou, a tensão induzida é proporcional à taxe de variação do fluxo wncatenado, e a relqáo
t de proporcionalidade é o número de espiras N da bobina. Assim:
d ~ ( t ) = -N - [BM - A - ~os(wt)]
di
d u(t )= -N.BM- A#- [coa (wt ) ] = N . B M . A . w - a e n ( w t )
dt
O produto (N BM - A w ) é igual ao valor de pico da tensão gerada, cuja forma de onda aerá dada finalmente por:
v(l) = V, . een(wt) V Se a velocidade do gerador e a corrente aplicada ao enrolamento de campo forem m a r
tidaa constantm (w e BM constantes), lem-m uma forma de onda de tensão senoidal como a mostrada na figura 2.15(b). No Capftulo 4 wrãn apresentados os geradores bifbicos e trifáeicoa, wndo estea últimm OEI m a i ~ utilizados na prática.
37
2.5 Análise de circuitos CA
2 . 6 . Circuitos de corrente contfnua - uma revisão
OS arrpectos bbeicoe da resolução de circuitos CC eerão apresentadoa atravée de circuitos simples de primeira ordem. Considere-ae inicialmente o circuito moetrado na figura 2.16. hp6s o fechamento da chave, a fonte de tens& constante VF = V é ~plicada a um circuito f& série. Durante um intervalo de tempo, chamado de transitório, os vdoree de corrente t tcnt5m nos elementos do circuito variarão, dai a nomenclatura ;(i), uR( t ) e v ~ ( t ) . Após tran~corrido -te intervalo de tempo, aa tensões e correntes tendem a valores constantes, e
o circuito entra em regime. Aplicando-ee a lei d a tens&# de Kirclihoff ao circuito, tem-8e:
Figura 2.16: Circuiko Ri, skrie alimentado por i,ma Em te de c m e n te contínua
cbega-se a:
ou, dividindo todoa os termos por L:
que O uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Sua eoluçáo é composta pela soma de duas componentes:
i ( t ) = i H ( t ) + i p ( t ) I
onde iH( t ) C a mlução da equação homogênea (resposta B entrada aula) e i p ( i ) 6 a ~ l u ç i k particdar (respmta forçada).
A equaqib homogênea é obtida considerando o circuito com entrada nula, ou eeja, = O, e determina o comportamento transitório do circuito. Pode-se reescrever a equa-
çãio (2.1) com entrada nula como:
çuja solução é do tipo:
', i H ( t ) = A . eamt1
Subetituindese a equqão (2.3) na equação (2.2):
-9 1 *
. determina-se o valor de a:
: . 91 m
& R a . A . 40" + - . A . eQ't.= O L
i : :
A comtante de tempo do circuito é dada por:
A eoluçb particdar é obtida aasumindese que ela é do mesma tipo da tensão da fonte, e determina ae caruckerieticas de regime do circuito. Como a tensão fornecida pela fonte 4 constante, a soluçãa particular seiti:
i p ( t ) = K
A equação obtenção da BO~U+ particular será:
a- m m m,
.--- a-. - - m ,
a .O .I'
Subetituindo a equyio (2.4) na equyáo (2.5), chega-se a: .I a!
ou seja, a m m n t e tende ao vdor de regime permanente V / R . Aasim, rpó . o fechamento .a da &ave a comente no circuito tem a forma: 4 e,
O valor de A depende daa eondiçiks iniciai~ do circuito. Assumindo que a chave C m: fechada no instanb t = O e que no insiaote imediatamente após o fechamento da meama A corrente eeja nula, ou:
6
I i I 1 Finalmente, a expreasb completa para a corrente do circuito é: 1:
A forma de onda da corrente é mostrada na fi y r a 2.17. Ap6s transcorrido um periodo de tempo igual a u m a constante de tempo (T segundos), a corrente atinge 63,2% do e u valor de regime, VIR.
A tensão eobre o indutor é dada por:
Logo apóe o fechamento da chavc, ou seja, para L = O+, m valores de tensão e corrente sbo:
Figura 2.17: Forma de onda da corrente para o circrrito RL série
indicando que neete inetante o indutor .se comporta como um circuito aberto. Esta i situ* C ilustrda na figura 2.18(a), onde é mostrado o circuito equivaiente para -te
inetsnte. Os valorni de tensão e corrente de regime podem ser obtidoa calculandose os limita,
dos mesmos quando o tempo tende ao infinito:
e conclui-me que em regime permanente o indutor se comporta como um curt*circuito. A figura 2.18(b) rnoatra o rmpectivo circuito equivalente para nita situqáo.
Figura 2.18: Circuitos equivdentes para (a) t = O+ e (b) t 4 w
Análise semelhante pode aer realizada para um circuito RC &rie alimentado por uma fonte de corrente continua, como mústra a figura 2.19. A equaçh diferencia que deecreve o comportamento do circuito é:
A mlução para uc(t ) d dada por:
onde A depende das wndiçõa iniciais do circuito. Asauniindo quc a tensão inicial do q< capacitar seja nula (capacitor inicialmente descarregado), tem-se: a,
i
A corrente pelo circuito é dada por:
Fiyra2.19: CircuitoRCdriealimentadopor umafonte de correa t e con t in ua
No instante imediatamente apóe o fechamento da chave, tem-se:
ou seja, inicialmente o capacitor comporta-se como um curto-circuito, e a corrente pelo circuito 6 limitada pelo r e s i a t ~ r . ~ Erri regime, tem-ee:
I I e o capacitor ee comporta como um circuito aberto. Atravéa da análise feita, podeae notar uma complementaridade entre os comportamentos do indutar e do capacitor em wrren te continua. *
Na prática, considera-se que após um tempo equivalente a cinco constantee de ternpo ( 5 ~ ) ~ O circuito opera em regime, e os valoree de tensões e correntes eáo conetantem.
' \ '. .:I 2.5.2 Resolução de circuitos CA
rm
Figura 2.20: Circuito de correntedternada
Um circuito de corrente alternada é constiluido por uma ou mais fontes de tensão ou
!e;
-* i
Se no instante de tempo t = O a chave for fechada, a tensão aplicada à carga RL terá um valor entre - V, e V,. A definição deste valor é feita atrevés do ângulo de fase da forma de onda. A figura 2.21 moatra a teneão da fonte para um ângulo de fase B.
A figura 2.20 rnostra um circuito CA composto por uma fonte CA que alimenta uma
I carga do tipo RL aéxie. Supõe-se que a forma de onda da tensão fornecida pela fonte seja wnoidd, com valor de pico V' e freqüência angular w . A forma de onda senoidal é fornecida pelas empresas de energia elétrica aos coneumidores e por i ~ s o será utilizada de agora em diante.
' I I
rn' ma
. wrrente alternadas que alimentam cargaa compoetas basicamente por resistores, indutòrea 'e capacitares. Eata seção será dedicadk4 à, obtenção das relações entre teneõea e cortentee em circuitos CA.
i) Circuitos RL
'A expreesão para a tensão inetantânea aplicada è, carga é:
Aplicand-me a lei das tensões de Kirchhoff ao circuito, tem-ae:
A expmwb é s mama que foi obtida para o caso do circuito CC da eeçb antbrior,' dterandwte apenas a forma de onda da tensão aplicada. A corrente pelo circuito ser& compoeta pela =ma das componentes i H ( t ) e i P ( t ) . A wmpoaente i ~ ( t ) é r eoluç+ da equação homogénea e determina a macten'stica tranaitbria da corrente do circuito; tendendo a wro wm o passar do tempo. A componente i p ( t ) é a eoluçbo particular e determina a cuacteristica de regime da corrente do circuito.
A equaçb homogênea descreve o comportamento do circuito para entrada nula:
A solução da e g u q h 6:
que, substituída na q u q ã o (2.7) fornece:
A mlugio particular para a q u q & (2.6) é do mesmo tipo da entrada. Absirn, a' componente ip(t) é do tipo:
A componente i p ( t ) tem um valor de pico I , e apresenta uma defmagem de em r e l w b tensão v ( t ) . A derivada de i p ( t ) em re1qá.o ao tempo é igual a:
Substituindo as expressões de i p ( t ) e ilua derivada na equ* (2.6) tem-se:
R '5 ,(,i + O ) - 1,- [sen(wt + 8 ) . cos 6 - coa(wt + 8 ) . senqb] = - - L L
A equ- (2.8) pode mer decompoeta em duas outras equ-, comparando-se os aodicientni de aen(wt + B ) e de cos(wt + 8 ) dos seus termos da direita e da esquerda:
A i indgi i tas mão Jp e #. A equaçáo (2.10) fornece o valor de 4:
O ingulo 4, que representa a defasagem entre a tensão da fonte e a corrente, depende doa elemento. do circuito (R e L) e da frequência u iy lar u. A cguyío (2.9) pode ser reeecrita como:
o valor de pico da corrente eerá igual a:
I,, = v, '*+*
Asaim, o valor da corrente de pico de regime I, dependerá do valor da tens& de pico apliuda Vp, dos elementop do circuito ( R e L) e da freqùência angular u. A expressão completa para a corrente i ( i ) é:
O valor de A 4 obtido em funçáo da condição inicial do ciruito. Se a corrente no instante t = O* for igud a O:
'L
que rmulta em:
1 Finalmente, a. expressão pare, a 'mrrente no circuito RL série alimentado por uma fonte
4 . de tensão senoidal é:
r . \ ,
v, i(t1 = d-( R2 + W - q2 . {aen [wt + 8 - tm-l (v)] -
[ (Y;L)]-C-~~~) aen í? - tali-' - f 2.12)
A fim de simplificar a notação, define-se: *.. .
e a equaçb da corrente fica:
1
t ( t ) = -- . v, ~ ~ ( e i ) ) - e - f - t + - . a e n ( u t + e - # ) z ,_ z (2.13) + . * Q '
transitório regime permanente
onde se distinguem claramente on termos transitório e de regime permanente. Devido ao elemento expoaencial, o termo trans;tório tende a zero ax, longo do tempo. De maneira análoga ao que foi discutido na análise do circuito RL de corrente continua, (LIR) é a conetsnte de kxnpo T do circuito. Para fins prdticos, diz-ee que para. t < 5.r o circuito está em regime transitório e para 1 > 5r o circuito está em regime permanente ( 6 ~ '
simplesmente regime), eendo desprezado o termo transitório da corrente.
/, .J !.p - - -
Exemplo 2.4 Uma tensão senoidal de valor de pico 100 V e freqüência 60 Hz d aplicada a um cimuito RL série em que o msistor é de 10 12 e o' indutor é de 300 mH, conforme mostra a figura 2.20. Obter a ezpressão de i(t) e o gráfico [ i ( t ) r i] considerando que no instante em que a chave é fechada, a tensão da jonte é nula e cmscente.
Solução: se a fique'ncia é 60 IIz, a velocidade angular será:
w = 2 . n - J = 2 . ~ - 6 0 = 3 7 7 rad/a
47
PUPU t = ' O a fewúo i nula e ct.escente, indicando que 8 = O", de acordo com a jigum t.81. Assim, a ezpmsiío pum a tensão aplicada aerá:
u(l) = 100 - een(377 t) V
Substituindo todos os dados na quaçãó (i?. 18) chega-se a:
i(t) = 0,8807 (aen(377 - 1 - 84,950) +0,9961 -e-..'] A (2.14),
O gr&co F ( t ) r I] t mostrado na figura 9-82,
Figura 2.22: Corrente no circuito do exemplo 2.4 '--.
4
: O t e m o tzponencial da equaçáo (2.1/), mostrado em linha pontilhada, jaz wm 'que a comnle nos primeiros imtunies seja deelocada em relação ao eizo horizontal. Com o M a r do tempo o termo ezponcncial decmsce (é tmnsitrín'o) e a corriente assume a forma acnoidal. A constante de tempo pam o cireuiio e':
I
"Após Srunecotridoe 150 ma (equivalentes a cinco consiantes de tempo), comidera-se . . . -e o circuito opera em regime ( t e m o ezpnencial igual a zeno), e a wrnnte L senoidal
(-lar médio igual P zero), O que pode ser comprovado na Jíguro 2.22.
Assim, a corrente de regime t(t) para o cimuito r!: rn
Embora a análise feita para o circuito RL seja ilustrativa e dê uma visão completa da seu funcionamento, de agora em diante este livro mmende tratará da análise de circuitoe CA em regime. Atençáo eerá dada ao comportamento do circuito após transcorridas cinco conatantm de tempo, em que o termo exponencial da equação (2.12) torna-se deaprwível. Aeciim, o valor da tensão no instante em que a chave é fechada deixa de ter importância prática.
Como jb visto, e wrrente de regime de u m circuito é a própria solução particular da equação que o descreve. Aséim, ee uma tenaão do tipo:
i aplicada a um circuito RL série, a corrente de regime será:
i ( t ) = J,, een(wt + 8 - 4) A
onde:
A figura 2.23 mostra as formas de onda de tensão e wrrente, indicando a defasagem $, Nota-ee que a corrente está almsadrvern relação EL tenab. Esta & uma característica doe circuitos indutivos. L..e
Alguns csaos particulares podem ocorrer:
L = O: o circuito é pummenteiresistivo. Neste caso:
e a corrente fica:
I Figura 2.23: Tensão e corrente para um circuito indutivo
As formas de onda de tensão e corrente são mostradas na figura 2.24. O fato de $ aer nulo implica em duas formas de onda em fase.
Figura 2.24: Formas de oada de t a a á o e corrente para um Orcuit o puramente reaistivo
m R = O: o circuito é puramente indulivo. Neste caeo:
v, I,, = - e $ = 90" ou n / 2 rad o - L
e a corrente fica:
As formas de onda de tensão e corrente são mostrada na figura 2.25. A corrente está rtraaada de 90" em ;elaçáo k teneh.
Figura 2.25: Formasdeondadetensãoecorreatepara um circuito puramente indutivo
Para um circuito RL genekico, a corrente estará atrasada em relação à teneb e a faixa de varia+o do ârigulo 4 eerá:
J Exemplo 2.5 Uma tensão alternada senoidal de valor de pico igual a 100 V e fmqüéncia
I 60 Hz é ligada u um ciwuito RL em pamleio composto por um iiesidtor de 100 R e um indutor de 3011 mH, conforme mostra a figum E.26. Obter a wrrente de regime fornecida
. e I pela fonte.
%lução: a tensão aplicada pela jonte'é:
" 9 .
.m u(t) = V, - een(wi + 8 ) V l..rn3 ,
A corrente de regime fornecida f ela fonte é do mesmo tipo da tensão de entmda, porém,
;-m d e j a a d a de u m úngulo 4 e com ualor de pico diferente:
Figura 2.26: Circuito RL para o exemplo 2.5
Aplicando ri lei d a correntes de Kirchhofl ao ponto a do circuito, tem-se:
t(t) = i ~ ( t ) + i ~ ( f )
Derivando ambos os membnoa em relaçiio ao tempo, cliega-se a:
I Lembrando que a tensão v ( i ) i jomecida a R e a L, e que as relaçóe8 entre tensóes e comentes pura eetcs elementos a&:
o equação (2.15) fico:
A derivada da tensão é igual o:
I
d -v(i) = L3 . vp . COS(W~ 4- 8 )
! di
1 c ' a derivada da comnte vale;
1 . _I - . . . - - - . - - , . .:I1 - .. . - :,- - a . r* )I. , :. - - . ., . ' 1 ' - _ . I .* ! e,; ' .
i :C; ..; I h ' . , E"a, . ? , I I : I. . ' 1 r:*;bi5.@w,iC'$
Subatituindo-te a derivadu~~na quaçPo (E 16): , o?;., < .. ;:- ; . ,,rtm~4ilh .'' ' . 1.:; :.i 8 . . , .
, - . w . v,, VP !q; ,. , - r . U. I,, . CO(I(YI + e - #) = R. u>I)(w~ + B ) + L . Y U ( W ~ + d) .:! !r-i:ir,ll+I~3~: i ! 1 . ,.
., . I " 7 , ,' i" ;a , ).. . a w . v, VI w .I,, (ccm#.m(u<+B) +mn$.8en(wt 4-81] = - .cm(wt+ @) + - . a e n ( ~ t + @ ) I, 1 'i. I
, ,: R L
Dividindo o tquaçóo (P.17) pela equapía (9.1 $1, obiém-se, o wlor de 4:
Elevando as equu~óea (9.17) e (!?:.18) ao e somondo-os membro a membm, ' 5 chega-se a:
em:
lm, * F -
i ,=v , . , 9 - *, . r . ., .h, - 'a L . R ' z , t.,.8,tp:ly
' " A expresaáo para a cormnte de nzgime k:
i r * ? : i i ( t ) = V, !'. I*.
A connte d e p i w e a defasagem entre a corrente e a tensão dependem do valor, de.pMo da temão aplicada, da freqüêaeio c dos eZcrnentos que compóem o cimrito. Substituindo os aaloi.es numkricoa dede ezemplo, tem-se:
i ( t ) = 1,3348 . en(377 . t - 4i,48') A
53
- - - .
.. . - - w . .
.. ' 1
.i . 'I
a J 4 Circuito. RC e . < .
A figura 2.27 moetra uma carga RC série alimentada por uma fonte de tensão alternada C' ienoidal do tipo: *'I
18' I a v ( t ) = V,. sen(wt + 6 ) V Y
.i O'
, % a' e.! " I , *;
, . aii a .
+: a. ,q! * Figura 2.27: Circuito RC eérie
.i/ ' S . . .I Para o circuito tem-se: . '.
ml ., ,.J, , :.r 7 :'!':+ + + : a;; v ( t ) = V R ( ~ ) + V C ( ~ ) 1
,a', . , ou :
./i mjl
'. d d d
h,' p ( t ) = z v ~ ( t ) + z~c( t )
,h) a1
A rela#a entre s corrente que circula pelo resietor e pelo capacitor e as tensões noe . clementoa é: , h
.,i +I!
V R ( ~ ) d I ;(i) = - - - c -vc(t) . . mil R dt
C . . $ . . , < i'. Ujdasirn; r equaço para o circuito fia: , *. m l l ,,i :, '. , i . , , . , S . . t , +,:; :, . .,
$ . , , lL, . ' - 3
6 d ,v(l) = R - i ( t ) d t + - C
--.*--a ..+ i - i . . . . . 1
L
54
A comente de regime é do tipo:
m v-. cos(wt t 8 ) i ' . 11 8 ' 1 v * *
a* : L i(t) = I , . sen(wt + 0 - #)
e aua derivada é igual a:
d -+v) dt = w - I,, - m ( w t + #I - 4)
, ! Utilizando as exprmsã~ das tensás, cormnkea e suas derivadm, a equqih da circuito e fica: a'
a
. .
L.. : , . . .. - .-I 6 '
11 1 ri
que pode wr dividida e m duas equações, de scordo com os coeficientes de aen(wi + 8 ) e a cos(wt + O ) :
m
O vdor de 4 é obtido facilmente da equaq-b (2.20):
A equação (2.19) resulta em: a - v, - a
' P - R . ~ $ - L . ,.,,C bend 12m21) 9 a -
m 1 m i rn F
55 m r m I
' : I m
- - - - -
I
Considerando:
e iubstituindo na equação (2.211, chega-se a:
A expreartão para a corrente de regime de um circuito RC &rie é:
Alguns csaos particulares podem ocorrer: , ,
. C + oo: a capacitância é inversamente proporcional b distância entre aa plaças do . . !:.i;. I i . çapacitor. Se a distância entre ae placas for zero (placas encoritadas), a capzicitâacia tenderá no infinito. Neate caso:
e o circuito será pummenfe reststiuo. As formas de onda de tensão e corrente i5.q mostradae na figura 2.24.
. .! . R = O: Nerrte c-, o circuito será puramente capacitirio, e: , ,i . .
i : i '4. i
, i ,,. As forrnaa de onda de tensão e corrente são mostradas na figura 2.28, onde ¬a que a corrente está adiantada de 90" em relqão 6 tensão.
i :i* ..,Processo semelhante poderia ser aplicada ee o reaistor e o capacitar estiveseem em paralelo, eubrnetidos h mesma teneão senoidal. Neste caso, o valor de pico e r fase da corrente fornecida pela fonte = r i m : ,, . d ,.,: h . - :
Para um circuito RC genérico, a corrente catará adiantada e m relação à tensáa e a . ,
faixa de varia.+ do ângulo 4 eerá:
j . .
. . . I2 :
. .
.. .
' . . , '
: ! ..!- ' , ! ' .
, nie ,' Jitr 0 Figura 2.28: Formas de onda de tensão e correi te para um , .it,, , , .,:,
. . circuito puramente capaci ti vo n .,. ..
\. - Circuitoe RLC -, . , ! v i a5,r+x:q (~1
A figura 2.29 mostra um circuito RLC série.
i . ; , ; , . , , I < - , j ., b . C
Figura 2.29: Circuito RLC série , .:o
, , > > , \ < , + i 7 1 1 ' I n
Se br mpido o maimo pmcedirneoh dotado pata bs citmitw RL drie e RC YFic, chega-se a uma wrrenk ~ ~ Y A T b:
. , 3 ) . a .. 4
' a
- '. a m a
* 19 * rn onde: "E
;m Os circuitcni RL série e RC eérie eetudados anteriormente são a m e particulares de
m circuitos RLC skrie. A faixa de varíaçáo de 4 é:
,.I! , ,
j l -90" <_ # < 90" I+ 1
i ou aejg, dependendo dos valores de R, L e Cio circuito pode ter sua corrente adiastada,
a atrasada ou em fm com a teria* aplicada. ' a -
e q ~ x c m ~ l o 2.a O circuito da Figrm 2.29 tem as seguiaies c ~ p c c i f i a ~ 6 e s :
Solução: de ucmdo com os valons fornecidoe, as equagões (2.22) e (I?, P3) fiam: '
i * . ' 0. gráficos & r L] t (4 x L) a i o rnortndo. na jgum 2.90. Algumas o b ~ e t v a ~ f e s I ' '
impodoiJu &em acr f e i t a a pariir das mmas de I. r 4: ' e . im-. , , 9 , O angulo qi po#e assumir valoris positivos ou negativos, implicando em c o k n t e ,,*. ,
utmsada ou adiantada em nlação a tensão. Em particular, para L = L,, o êngulo $ ' m . 4 i igual a xcm, indicando que a comnte eetf em fase com a tensão. Eaia C uma mb' . ~ r a c t e r í s t i c a dos ciricuitos resistivos. Para valores muito grnndes de L . o circuito -
;*. . fica fortemente indutioo, e 4 tende Q 90°. Pam L = O, o circuito apresenta um
,'i . - comportamento capacitivo, e 4 = = -69,3O.
b e
-
\ I m
1 I I
4 r.. 10 3n L [mH]
- 14 - - yq
_ ___, . - . . - + . "-' m ,m I.
- 8 .. *, a 1.;
- C
. > . ' i'%
I: ;+ a
m A mázima corricnte elo circuito o c o m para L = L,, e vale: a
I -
I -'-. . ' > C ! . h a
I p = 5 - ! 2 = , , , - A R 1 . .. a
Pawt L = O , o mmnie de pico vale IO = 0,53 A. Para valores muito gmnder de L, a u c o m n l e diminui, tendendo a 2em.
m m, .' a
.+ * *
O valor de L, k obiido impondo-se a wndtçüo 4 = 0' na equação (2.95): ' . '
a " .
.- . . 4 . -. .. . . -* <
Figura 2.30: Gráiicos (a) [iF x L] e (b) [$ I. L] para o \. circuito RLC série do exemplo 2.6
, . r : , : ,i' O
' 4 ?.L*
Este é o valor de L paru o qual oeom reseonância. Neste caso, 'os efeilos individuais () do indutor e do capacitar ae anulam e o conjunto LC eérie ae comporta como um a cudo-circuito. Assim, o n s ú l o r limita a corrente pelo cizicuito. Se o msislor na'o.. ezisibse, a jonte estaria em curto-circuito.
, e + Pum L = 10 mH, tem-se:
A c o m n t e está atmsado de 48,2" em ~ l u ç t i o ci tensáo, Para L = 4 mH, a corrente será:
, :a 1: A w m n l c está crdianiada de 48,g0 em relaçiío à tensão. :
2.6 Representaeo fasorial +I' *I I 2.6.1 Números complexos - uma revisão
Um número complexo z é representado por um par ordenado de números rede (s, y), onde:
;Y\ I a r é denominado parte realde z e y é denominado parte irnaginúria de z: I
i*
e também h mostrado na figura 2.31. O conjugado x* i simétrico a z e m relação ao eixo real.
C
k , . 1 ,
2 = &{z) = lm(z) 1
h; # ) '
rn 1 8 . 1 :.L ; e z pode ser aicri to na forma nlangular como: , A
I
z = x + j - p
, , , onde j - a. A figura 2.31 mostra a repreeentsção de z no plano compleso.
-I' O número complexo conjugado de x , representado por r*, 6 dado por: Yi L " , h .i I I
Figura2.31: Repme.ntação do número complexor e seu. , . > .. conjugado z* no plano complexo
r pode ser escrito na jorma polar como: I
onde I z I é o rnóduio de z e representa o co~n~rirnento do vetor r, e a k o hgulo a entre o vetor z e o eixo real, sendo chamado de ángulo de jose de r . O conjugado a de z pode ser escrito na forma polar wmo:
Atraveh da figura 2.32 é possível obter uma relação de transformação entre as forrnw a retuyilar e polar de representação de um número complexo. As expreeeóes ião mostradas e
na tabela 2.1. A snáliee de circuitos CA atravéa de representaçáo fmorial (que será viata nas se*
@ seguintee ) exige apenas o conhecimento das operaçóes ari tmkt iuy k i c a s envolvendo a aúmeroe complexos.
Dadoe dois números complexoe 21 e zz: e *
Figura 2.32: Relação entre as formas reiangular e polar de representação de um número complexo
aa o p e r e aritméticas são:
a Soma:
. I r ' J. Tabela 2.1: Slancrfme IpIar ++ mda.ugdar/ de ali- ,
> b 3
meras mmpI~xm
olar -t retmgular
- relangular -, polar
-- --
x =I z \ - c o s a ~ Z I = JFT-2 y =I z 1-eena a = tan-'(y/z) -
3; = 21 - 21 = (.i + j YI) - ( t ~ + j . un) = (zi - * a ) + j (91 - j/a) m:
m: ni mja, mmam-r ou iubtrtem-m as raipstivaa parta, reais e imaginárias do. núrnuod).: . complexos. A figura 2.33 ilustra se operclções de eoma e subtraçáo de números comp!exori~~~. ' do ponto de vieta gráfico, considerando que: < L , v : ? 3 , a\
. . - - m'
Z = 21 - 3 2 = 21 + (-2) : , r ' - - ? , . ,
1.1,;: .I ' :i\. ; * . j 4 - . , : > v 4
I .: ' .i r .
k. I
a i, I
. a . :i , .i
- ' ' . .L,
a I .r
. .. Si . - - a
,I . * i
. .
I ' m
. . i . ' ' ,
r Multiptica~&o:
= I 1 . I t2 I . e j ( ~ ~ + a a ) =I h I . I +r I L ( ~ I +PZ)
ou =ja, multiplicam-se o. móduloa e somam-= oa ki-lm.
63
C I
81 rn
. -
Exemplo 3.7 Dado o número complezo: m .I
a z = z + j . y = I z I L a * mlizar u aquintu o p c m ~ ~ c s : [I+ r * a) z + r*;
; I+* b) r . z*.
i m. ;; 19 Solução:
I6 a) r + z * = ( ~ + j - ~ ) + ( z - j - ~ ) = 2 . 1 Q ~ e é u m n ú m e m ~ l . ! I.,
I ?) r - i* = (1 r I La) . (I r I L - 0) =( z I*= z2 + y2 que também é um ndrnero -1.
Uma corrente alternada aenoidal i ( t ) tem a forma geral:
e ,
A figura 2.34 maitrs r forma de onda i ( ( ) c a m l y b mtre i(t) s um vctor .,.? mo
plmo complexo. Obearvlr-se que .? é um ~ e t n i que dnno plmo complexa mm velocidade angular w . Para um detaminaho instante ii , o d o r inaLanLhai de i(i), i(li), carapoodi: i pmjqáo de j no eixo irnaginúio. O mádub de j, J, C igual u> d o r de pim de i(l), 4. Ia,, e eeu ângulo é igual a (w - ti + 8). Portinto, o vstor j pode ser escrito como:
*
Figura 2.34: Relação entre t(t) e o vetor J 0 a
e, conseqüentemente: ' a ;(i) = 1m{j] = ~ m { a - i., - e>*(*"+*)) = lrn{JZ. I., . ej' ej"}
* a
Pode-se obter vetores wrrielhantea a j meociadm a t o d a as teneões e wrrentee para e um determinado circuito. Como todas elas têm a mesma freqiiência, o termo ejwt aparece em todos a vetores aseociados. O fator fi é constante e relaciona os valores de pico e eficazes de todas as formas de onda alternadas nenoidais, aparecendo tambern em t d ~ QE
vetores arrmiados. A diferenciação entre as vváaa formas de onda de um circuito ra ide em oeus d o r e s eficazes e respectivas fases. Pode-8e então definir o fwor corno:
a ,'. ~
- I , v
l í=r , .de= I,, 1 * ' C___ I
. que contém somente as informaçõles próprias da forma de onda i f t ) e que a diferenciam e
das demais formas de onda do circuito. O f-t i é fixo no plano complexo, ao contrhio O I de 5, que gira eom velocidade w. Além diam, j é f i menor que 5 em rnódulo. De acordo a + com a defini* apresentada, s re1aq.h entre o fasor f e a forma de onda i ( t ) é: . e @ *
- - -
I Exemplo 2.8 Obter os jasorea associados a: I
'I , .a) De awdo com a definição:
imI
b) Pam estafoma de onda, tem-se:
e então:
A figura 2.35 mostra um elemento de um circuito que pode ser u m resistor, um indutor, um capacitar ou urna combinrçáo qualquer deates. Se a. tensão aplicada ao elemento for \ do tipo:
1 . '
r corrente pelo elemento será
Figura 2.35: Elemento de um circuito
, * ' -'.r,? onde, como já vieto em iwções anteriores, o valor eficaz da corrente e sua defasagem em *
r e l w h teneão 4 eão bem definidos e dependem do valor eficaz e freqüência da tens@ 0 aplicada e da caracteríetica do elemento e m si (reeietiva, indutiva ou cõpacitiva). e
'.. Pua este elemento define-se o número mrnplexo Z , &amado de impedúncia c que a caracteriza, corno a rei* entre os fasores de k n s k mbra ek t: mmnk par de+ No cwm da figura 2.35, os faeorm aeauciados b teneão e h rm?ieot.e n b ;
a m
A ímpedância será dada por:
Sendo definida -mo uma rclaçáa entre tenriãn e mmtcl, r unida$* da í rnpãdg~c i~ a 6 o Ohm (Q). O &do da impedáncia, ( Z i, 6 a, r e l q i a cnbre oa d o r a i cfic-uefl- h 8 á d e corrente no elemento. O ángulo da impadhncin, 4, ragrarenta r defnarrgem entra
rn os faaorm de tensão e currente no ekmento.
' i: ,. . . -' 1 Resistor (R) " a . L
Já foi mostrado em eeçõea anteriores que a tensão e corrente em um circuito resistivo e
c e t h em fase, ou eeja: a a
Além diseo, r relação entre oa valores eficazes de tensão e corrente é:
e Assim, a impedância ZR do resistor é: 1' m i * i * .: a> que é um número real.
a indutor (L) ' , I
, A mrrente em uqj indutor está de 90" e m relação iL tenn80, ou seja: '
I '
A r e l w entre tensão e corrente em um indutor é:
A impedância ZL do indutor é igual a:
"m
ZL=wLL9O0= j - w L d " I
. I
oqde XC é chamada de motância indutiva. A impedância do indutor é um número ima- knário. a . .:. .
I .
. a " . 1 Capacitor (C) , I 7 5
A corrente em um capacitar e ~ t á adiantada de 90" em relação iL teneão, 04 aeje: ., '.. ' ,
A relação entre tensão e corrente no cspacitor é:
Aplicando-se a lei das tensões de Kimhhoflao circuito tem-se:
~ ( i ) - V, ( i ) - V&) = O
Lembmndo o conceito de faaona, pode-ee escrever:
.- . Ç o i ~ n d o fi c ejmd em evidência e considcmndo que a eoma das parta .imagindrias de númews complezoa é igual 4 parte imaginária da soma desses números, tem-se: , , .
onde ir, fl e fi são os faaons associados a v ( t ) , vi(t) r y(t ) , ~spediwrncnic. Como eiM é nio nulo, deve-se ter:
Conclui-se, portanto, que a lei das tensões de KirchRoR e' ucilida também na to rna fyon'al. Cpmo a impedância é a relaçúo entm os /asores de tensão e comnte:
L . . $&'> ;.I ,
Logo:
a Atruda de proeedimenlo semelhante ao ulil i lndo para m tensões, podem oerificar~)~eji' puro o circuito da lig.m 2.36(4) em que as impcdtíneiar Zi e 22 estão ligodad em pmlelo;
I , .. tem-se: . :.,i;, ,
. i .;r,.
ou seja, a lei das comntes de Kirchhofl d udlida tombkm na forma fiuvrial. Utitizando ' *
- . hovamente a iielaçâo entre os faaoms de iemão e corrente: ; a
Lago: C)
r) i
i, 1 -- 1 1 - -+ - O 21 z2 Z'P n
O lt: . +.. n
n - I
, 2, . z2 1 ri_? zi + 2 2 fi
ConcFi-se QUP uw -ar.racrwcr de imped6nci.s em cirruitor CA reoawncl - a v~oCt&i$M~- -- - m - u h i ~ 0 ~ 7 . CC. - a , r >
m Exemplo 2.10 Conddemr o circuito da figum 2.37(a), onde:
I
R i = m i2 L = 100 mEI R2 = .W Íi C = . M pF @
r WJ { I I - W Hx a Se a tcruão aplicada L o(:) = f i 127 - wn(wt) V, culcular a impedánciu v ida pela
a fonte, aa correntes ;(i), i i ( l ) e i z ( l ) e a. tenaão v i ( t ) . a * Solução: Este circuito L naaluido com maior facilidade ae forem utilizados os conceitos a de f a o n a e impedâncias. O resbtor R2 e o capacitar C calão ligados em sérr'e. Amim, a impedância comspondent e a ecila amociaçâo é:
a I
Figura 2.37: Circyitoparaexemplú2.10
: i;
Se Z3 escrita na forma polar for do tifio:
tem-se:
c pt são mciultados já obtidos anteriormente. Substituindo os valores nume'ricos:, b T ,:.-. ct
.nr. i:: t , ., ,.; L I . . . _ , I .<,+ '! %.: Se 2, na fomo +r for do tipo: . .
h ! . , .
que são resultados jú conhecidos. Subdtifuindo os valores nurnérims, tem-se:
, - : <. '1 " A figura L37(bJ maatni a circuito com os impedtincias e as fasons de temao c mrnrn;!l
~88ociados, onde Z3 = R, .= 30 fl. A impedáncia vista pela fonte é >guul a: rn
I + '
' " r i a . R 7
I ". 42,677 L62,05* 50,281 L -6,06" *
Z,, = 30 + = 55,69R L14,SBQ $2 a i 42,677 L62,0!j0 + 50,281 L - 6, I)GQ I
i a , - - , d \ { , i * , O favor associado d tehsáo da fontc é: I
rn Y = 127 ei.'ID = 127 LOO V a
I e A c o m n t e jomeeida pela fonie, f, uale:
t . 1 , * .I I
A temdo .RO ponto I pode ser calculada p r : i ,
a ! 1
j 1
A tens60 C aplicada .obre UT irnpeddncias Zl e Z2. Porlanto, a mmntea por elas . = 1 1
wlcm: I
As m p e c t i u w czpressóes das jormas de onda são:
i - - 4
Como uerificrção da nlação entre a3 jormas de onda e os f a o n s , pode-se culculur a comente total i ( t ) como a soma de i l ( t ) e i 2 ( i ) :
' 1 , \ L
i l ( t ) + i l ( t ) = 1,486-&.sen(wi -45,87')+ 1 , 2 6 2 . f i - s e n ( w t +22,24O) = 1,486 . fi [cos(45,87') . sen(wt) - aen(45,87O) - cos(wt)] + , . .
T, 1,262 . f i - [cos(22,24") een(wt) + een(22,24O) corr(wd)]
= 1, 4625 . een(wt) - 1,5092 - - (wt) + 1,651 3 - aen(wt) + 0,6772 - ~ ( w t ) '.
. a , A mmnfe total i(t) pode ser escriia na forma: j-,? i
t . a
1
Identificando os coeficienies em een(wt) e m ( w t ) nas equações acima,, obtéq-se:
. -a - - - "- h
'. 8 r , -J\.r,-, F. \I Dividindo a equação (9.26) pela equa~õo (2.!?7]:
*
Subafituindo o valor de a na equação (2.26): .I
,,a:.., b s -; ~ ~ x e r n ~ l e 2.11 Uma jonte de tensão de 127 V, 60 Hz é cohectad. dia aanud . . : _ . Mrgoscs-
,~ $
:pt~lf ict~da seguir. Obter a cumnle fornecida pela fonte pam cada &O. i,. , , : i', 2, . .
i>. . o) L = 10/377 ZI , . ; t e . - 1- 6) R = 10 R em aérie com L = 10/377 H . . f I . ~ a c) R = 10 R em série com L = 10/377 H tm siri. com C = 1/7540 F a d) R = 10 n em série com L = 10/377 H crn sir ir emn C = 11370 F *
, e) R = 10 CI em ~a io le lo com L = io/aíi H em pnmlclo mm C = 1/3770 P a m
S o ~ u ç ~ : \'.. . . -.
ta) A reaiância do tndutor 6:
A impdáncia total da curga e:
Se a t e n d o da fonte for tomada como mferZnrio anglilar, *eu fa#r dc IeniÜa . - s e r d e : - 1 .e = 127 LO" V. A comnte fornecida pdcr fonte a e d : . i . 1 ~ 1 I+
A c o m n t e u t d 90' aimsoda em mlaGáo à ttnréa, p i a a mtpa 6 pu~mcnte ibdiu-a t i a . Confirme tambCm jd mencionado antcrionncs#c. .c a rarpu k i r e purrinicnb capcitiva, o mwente estaria 90. adiantada em mluçio i Icruúo. Se a a t p e fa&e
m pummenie ~ b t i v a , OS f a o w de t e ~ ã o C cowwtle c#fuham crn fmc. +I
- *
*-
i A mlúncii do induiar a l e XL = 10 n. A irnpcddecia #oral da m a ~ & i c d : a 8 , f i
-V.T ;o i . b$ . O valor eficaz da cormnte diminuiu, pois o mddulo da impedúncia qumentg,~,:;tA comnte wtd agem 46' d n r s d o em m 4 6 o b isnráo. Esta dcjasogem ck ceperp-
i d , da, pois 'devevia estar entn 0" (carga puramente resiaiiva) e 90' (cava puramente
!- II; I ' 8 indutivu). s - : . c) A rcaUncaa do capacitar C: 1,. : rl .. . ?
A impedúncia total da carga é:
d 4 ,
rf A comnte fornecida pela fonte eerá:
8 i = - - = s , g s ~ 4 5 * A zc
L& Neste caao, a corrente estú 45' adiantada em relação à tensõo. Coneiderundo um I. . : I circuito RLC e tomando i tensão da fonte como mferéneia angular,^ ângulo de
fcree da w m n t e variará entre -90°. (puramente indutivo) ca 90" (punamente capaci- tiuo), dependendo dos valores de R, 4 e C. Pum este ezemplo, e fonte enzerga uma impedâacio total do tipo mpuciiiva.
- - -- * -c - -. - - - --- r í
*: - -u 1
I e m
A impcdoncia total é: m -
. T ' p - 9 7.m -k -. rn " I , +I
Z = R + j . X L + j - X C = 1 0 R I . a . L e a comnle vale: + .e . ~ n p .
O , -. -
' a * 7 7
i. 8 i=-- - 12,7 LOO A
zc a rn
$ 8 , O ingulo de fase de 1 é OD c está no interwlo [-mo; 90'1 mencionado i n t e ~ o m e n t c . ~
Este m o particular mostra que a tensão eaiú sm jur ,mm a rnmttt~, rnedtná 6orn u eziaténcia dos elementos L. e C que, como uimo~, C U U P P ~ II drJmùgem. 0.9 UGI I~R~
m , t +
de L, C e jreqüincia deste caso resultam t.m rrai$nciaq ,indutiau E MPQEI~~UU i q u u ~ ~ (10 iZ) . Portanto, a associação série de L. a C mieauka em urna irnpcdlnciri:
\ a
ZLC = j - X t + j-XC = O fl a a
A prsoçia~ão série de L e C neste coso apresento um comportamento idéntico u (rm. curto-eircuilo do ponto de vista da fonte, A cumnte no circuito é limitada a p e n a b
I pelo reststor R. Se este não existisse, a fonte estaria em curto-circuito. 'Pa?u o* -\ 'i valores de L, C e fmqüéncia deste ezemplo tem-se uma resmnhcia série'pad a qua
vale a seguinte relação: . , .*I- b n
r . .'! . ,,:a3
n 1 x, = -xc =5 wL = - n
w c n I
e) Ncafe m o , os três elementos tetão em pamlelo formando um circuilo IELCparalelo@ , A impedincia resultante da aaociapio cna parnleh d~ R com h i.í- r , a
' b
4 4
''.'.n'' . Aj * :Ja rn i . b I l ~ * ~ 5 !
R - j a X L 30 - = - [45" fl - \@l'!?LJ+,J;:{c rn C
ZRL = R + j . X s , 1 f!+tt/bg a A tmplância tola1 da carga será:
A cornnie nauliante vale:
Novamente a w m n t c está em faae com a tensõo apesar da presença de L e C. A
m Mpul.níia ruy l tonfe da msocia~üo c& paralelo de L e C é:
., . . ,: : , , ! ' I ;
que rua&= em um denominador nulo. A d i v i d o por zero indica que a'inpedância' ;1 i r i i r Zio C infinita, ou aeju, do ponto de &ta da fonte a associuçúo de L e C,'neste coso, \ > i i t , i I ruuiia em um circuito aberto. Eate i o coio do reseonância paralela. :Obscíw-se, , ' ,~Y. ;C ' h0 ehtanto, que ezide co-nte em L 4 C:
, ,. . . "
h .. .
nDi< 1: ;
. , d ' o r h , a ioma j~ + ja C nula. Serd kuto no prózimo capitulo que mie waultado, ilrir.+ ,. . indica uma troca de energia entre L e C, sem o porticipaçúo da jante. #.
De nuneira gerd, u m a associação de elementos e m u m circuito aprssmta uma impe- ddacia do tipo:
nide R é reeistência c X C a reatáncia. Se o elemento rpreseiita caracteriatici iodutiva, X e # =rio paitivoa. Se o memto apresenta característica capacitiva, X e &io negativm. Define-ae a admitiância Y como:
onde G G s wnduiánc ia e B é a susceptõncio. A unidade da adrnitância é o Siemens (S), mado tunbém utilizado na prática o M o (B). Pode-se facilmente obter ui áeguintea
2.6.4 Diagrama fasorid - A npmwnlw$b dai larom dc t n a & c corrente de um tireuib no plmo rwin
cbmida de diogmma faram'al. O diwramn frsbrial pode icr umr importuite feri auxiliar nn a d i w de circuikoa CA.
-- - , , -- 7 1 --!:I :i1h a-
__C-- _ - -' . Exemplo 2.12 %$ar o diagmma fa~oriol pu.n 9 sí r ru i !~ rnos!*&o r.k'fiçzill! L I G ; ottdt: a - . , - - *
v ( t ) = fi- 50 - mn[wi) V R - 1 2 á l
rn
* * a e
' e O e a e
Figura 2.38: Circuito para exemplo 2.12 e e
I SIM*.- O josor associado ti iehMo da J~ntc é: • a
P=srillab v
1 . a 4 - . m
A correnie pelo circuito é igual a:
Y i = - = 50 LOO = 2 , 5 ~ - 53,13" A
.i Z,, 20 L53,13O O
1: Fi . O - --r, e
79 1 7 , 1 I i lh rn I C
a
* I
O diynrno fuonal pn o sircuilo C rnastmdo na fiOYra 8.'99, onde pade notar que: - - .
C -+ki~ . . 9 r. fwom VR 6 jutão em fase (camctcriútiu do ~ i s i o r ) ; I I 3
m rn o f u o r f u t á ataaado de W em rclopáo ao jrsor (camctcrúiic. do indutor);
a a .orna dor ~O.OM 6'' C re~ul ta em i &i das ~CRSÕCI de Kirchhofl aplicada ao circuito). m
*. Figura 2.39: Diagrama fasorial do circuito do exemplo
2.22
- . ~ . , ,$sii.ll r,\&*+ t , . . . 2 . .
Exemplo 2.11 O cinuito d o figura E.40 tem um niietor de 2 í k e um induior de na- tencia 5 ít. Se a tensão v2(t) é igual a:
O diagmma fusorio1 pam o circuito é mosimdo na k u m 9.41.
10 7,,Bf1 i /
. . - - - - ---. , - '
a , f j
/ -\I1, m
.. t .L rn / Mt -v rn
,
vz(t1
* I . ;e
0 , * &I; - u z 2 " , +
El i a m .+ t - m
L - - .I m
2 , - c ! m Figura 2.40: Circuito para a exen~plo 2.13 m
, a ~ ~ c u l a r a tem~áo y( t ) e imçar o diagmma fasorial p a r . o circuito. , i :., 4,!,!frt!i3
' , I '
.I
'i SO~UÇ~O: A impedtíncia da aasociaçtio série do mister e do induter i igual a: ,
a m m
Z = R + j - X L = 2 + j . 5 * = 5,385 L68,2" iTt , m
0 s f-M de tensão e comnte fornecidoa 8.0: +I : +
p2 = 127L0° V - . a i = 1 0 ~ -300 A
a rn A tensão fi é miculada por
a 3g 2 53 ,sb rn r)
, . = h + z - Í = ~ 2 7 ~ 0 % 5 , 3 8 5 ~ 6 8 , ~ . 1 0 [ . ~ J O : í ~ , . I , , .
= 172,564 LI1, la V . . .. [23+.o$ .\.6k !. Tr-&\jl . I
As tensões no wirtor e no tndulor valem: a 42,31)r b 33;.7,4.
% = R - i = 2 0 ~ - 3 0 ' V P t = j - ~ L - I = ~ ~ ~ O V rn
r
Figura 2.41: Diagrama fasoriai do circuito do exemplo 2.13 ;Ir:
Exernpl~ 2.14 O citcuilo molitmdo na figura 2-48 i teatado no laborat6'rio.
Figura 2.42: circuito para exemplo 2. J 4
A corrente medida no ompenlinetm é de 1 A. A tensão fornecida pela fonte e a tensão sobre o resistor sõo observadw no osciloscópio e o multado é mostrudo na figuni 2.43. i Desenhar um diagrama fasorial e através dele obter informações sobre o elemento desconhecido.
Soluçã~: de a w d o com. as escalas cspecificudtu na figura 2.43, os valores de p i w das tensões são:
(V), = doo v ( V R ) ~ = 200 V
n Figura 2.43: Tensõe3 viatar no osciloecópio para o exemplo
-,+ h 2.14 L . ..' 1 e
''i r a . '5 s;r.p Q , J :>*i:, 0 ' o que re~ulta nu8 seguinte8 valores eficazes:
a (V),, = 400/JZ = 282,84 V (VR)~! = m/&! = 141,42 V
. , 3 %
. i . : ' . Pode-se nolar que a tens60 ~ ~ ( 2 ) estd adiantado em relação u v ( t ) . Pelas cscíab e , e;' indicudas, a diJennça de joae é de 3P. Tomando a tensão da jonte como referência I
angular, os respeclivos Jajores são: i1
1
A c o m n l c pelo cimuito i(t) estd em j a ~ c com a tamão ~ ~ ( 1 ) (cor~clerbtico do nsislo~). '
O fasor associado é: em . ' i = i ~ 3 0 0 A . . - I
Aplicando a lei d a tensões de Kimhhoflpom o circuito obtém-se: .r a: - .
. 1 - v , . - , . , . .L *: Y z = Y - C ; i (i.%)
3 A figum 2.4 m08im O diagmmu fasohaf em eacala par. o circuito. . - . a c . 7 + ' i
" , I ' : - 1 . i -<-. 1
Figurn 2.44: Diagrama fasorid para o circuito do exemplo 2.14
: 'a m , Como a tensão sobre o elemento Z está crimsada em relapio d corrente, conclui-se
'Ia, que o elemento apresenta caracterbtica capacitiva. Medindo-se o rnbdulo do jmor h obtém-se: . ..
9 I,, ,
:& c o ângulo é: . di3$ > ..,
s t b: ' i ,,
r ; :
,I 3 r!
i ,
o que pode ser confirmado rresoluendo-se a cquupío (2.98). Finalmente, pode-se obtpr a ' I impedância do elemento:
'. I
ci 2,7 Teoremas de circuitos :m . ) m + Naita oeçáo mão apresentadsa apli+ em mmntc dtemrda de alguns teoremaa de
circuito. Dc fato, os teoremas apresentados Uo geraia, e Buaa apliuqãa iáo rmelhantea tanto para m circuitai da mmnte alternada m o para ni circuitos de corrente contínua.
Ii
-- -
* * e m -
mi i.1 *I
A equaçáa (2.30) pode ser reescrita como:
, . - i&-% I2 =
2 2 f
e, eubatituida na equwão (2.32), fornece:
2 1 V;=t,-z,.i.+--(i.,-U.~ 2 2
& + 2 2 I
e, finalmente: I
Se for igual a zero (terminais A e B em fberto), a tensão ierá igual ao tcrmom da equqâo: (2.33). Se a.a dum fonte de lensã.0 f k anulada (fontes de tensão apbatit uídaa por cur~circuibs , ou, C; = Y, = O), s rei- entre Y. e 1. mrá igual ao t g h o da quaçáo i (2.33), q4e por sua vez C igual A impedância quivalente à. aasociaÇáo :da Zi e 4 çm paralelo. . ~ Ehrmuido o termo de p;r e o termo de Z T h , a. equaçk (2.33) fia: h .,
, , I 9 , . , I .. .. , . b
Y . = f & , - ~ T h . f c (2.34)
onda é r taisio de circuito aberto medida entre OB termioaia 4 e B, c .ZTq,,é a impsdíiicis do circuito v ida pslm terrninai. A c i3 com ae fonte. &ladia. Assim, o circuito da figura 2.45(b) é o circuito equivalente de ThCvenin do circuito da figura 2.45(a).
Exemplo 2.16 Calcular a wmrte que possa pela impedância 2. do circuito moatmdo p4 &um e.46, pgm Ze = 750 il e 2, = 1000 42.
Figura 2.46: Circuito para o exemplo 2.15 I
Cowiderundo inicialmente 2, = 750 R e aplacando a lei das tewóea da K t ~ h h a f l dr malhas, obtém-se:
8
m: ,m 1 a i
z . [r] = [v]
. cuja ~oZuç40 é:
* I a , . a . -
i
. , . '-. .+"i
1 2 7 ~ 0 0 - ' ( 1 + L O L ~ ~ O ) - ~ ~ - m-(jl +L) = o : . , - t :I 127L30° - , ( 2 + 2 0 L 9 O 0 ) - j i - 750*(Il+h) = O
ou: +i.
.. ,
: , a i;
( i + 10 ~ 4 5 . + 750) . i, + , :
750 - f2 = 127L0° 750 . j , + (2 + 20 L ~ U O + 750) 1, = , 127 ~ 3 0 9 . L .. (2.35) a,
As cpua~óes (2.95) podem ser escritas na forma matriciat como: 9 ; e
[ I ] = E-'. [V] = Y - [V]
7
9' a'
Nate ezemplo, a matriz Y L igual a:
e o uetor de cotnntei de malha [ I ] acrle:
I) 1 '
A w m n t e por 2, & igual a:
1 L 1: I,, L 1 '
!, = 1, + = O, 18 L9,7' A
Pmcesso semelhante e tmbalhoao deve ser repetido para 2, = 1000 0. A nova matriz Y é igual a: ' ?w:
I !. I I, !
34,5525 L - 6#, 80' 34,4767 L1 10,05O I . .
Y = 1 0 ~ ' - 34,4767L110,05" 34,7558L-69,54*
O vetor [v L o rneemo e o vetor das corrientes é: , . , . '*
[ I ] = Y - [V] = 2, I844 L - 144,23" [ 2,3051 LW, 40' 1 q \
J ..
1. = fl + 9 2 = O, 13 L9.8" A
Pode-se resolver o problema com maior facilidade utilizando-se o teonma de Thbvenin. ão fonte quivalente de Théucnin é obtida wlculondo-se I tens60 'ae'. circuito entre o8 terminais A e B, wmo moalra a figure F.47(a). mntc pelo circuito vale:
- - 127 - 127 L30°
1 +lOL45" +20L90° $ 2 = 2,2760L - 144,5g0 A
. 88
?. * , e Figura 2.47: Circuitue para o cáiculo (a) da fonte de : ' ::, .i.'$:
, I t e n g b equivalente e (b) da impdância eq ui- valente de Thdvenin t i:
I "
a I ' , L I . ;.,.l.i .
p t % ? * $ I \ !
, . , A tensóo da fonte equivalente é igual a: : . . , . -v
. e . .
I ' \
I , . r . - , . A tmpedúncia equivalente C igual d impedância vista dos tenninuis A e B com asfonle4q 1 : ' , h andadas, conforme mostm ta Jgum Z.d7(b): 4 . 't. . . a
. '-.
' ~ r i v
A w m n t e que circula pela impedância 2, é igual a: ". +.I
a
* 1, -- --
r--- m Q a. ' ,
I Conipnndo ar circuitos d a . f i g u ~ $.@(a) C -C.d6(a,l obacrw-.c que: .i.. 4 I
r)
fi ; .' ' = 1 2 7 ~ 0 ' V I I
%=127L30° V . , , , I i 2,s 1 +10L45'= 10,7304L41,22° f I : 1
I
! 2, = 2 + 20 L90° = 20,0998 L84,2ge R
i i I
i - s pude-.= 4 c u l . r $?--A e ZTn pelas expressócs d o ~ termos c @ do yuapão (2.33)i
I i
e 2.7.2 %rema de Norton
rn Q d.rcuib e q l d m i e de Martoa pode ser obtido stravée do circuito equivalente de Ir Thtwsin, t +r: brseia n o fato de que parte de um circuito pode ser eubstituida por uma
fonle de r a m n i e am pudelo uim uma irnpal&cia de vaiora apropriada. Podop. nrs- , @ cfever a equ- (2.33) como:
:r ) I ' R 1 1 , , 1, = (2.36) z1 . zz
b r, T
# b
ta Ia e F s'lii .'. . . ,, * I > S . '
a 4 , l * ' d . < .
I+ - Se for iaia1 a zcia (tmmirmis A c B em curtecircuito), a mrrente 1. n 6 igual r> .. !. tema da quiçãD (2.36). Sr sa dum fontes de tensão forem anuladaa (2; = 2; = 0, ou, h n t m de tenaalo suhti~uidaa par cufi,c4rcqitos), a relqão entre k e será igual so I a Lav- do t n m o da cgu- (2.36), que por pua vez d i y J i irnpsdâncii equivdeote
i i usoci.çí<i de ZA e 3 2 em pmdelo. . , . , ~ . ;
:: Chmaada o termo de i#. e io ttnno de YN., i equação (2.36) fica: 1
1 a i: .,' (2.37) ' + L = lNe - Y N ~
nids .f~, 1 r earrrat.c de curtecircuilo medida entre oa terminaii A a E, c YN. L a , ' dmithcia do circuito vi i tr palas brminais A e B u>m ai fontai muladss. Assim, o
, *muiko d r 6 p r ~ 2.45(c) & o. cimuilo quivalcnte de Norlon do circuito da figura 2.45(r).
,a &mando r aqu- ~(2.34) e dividindo arnboa oe termos por ZTh, tem-se: i ' i)
' PT* -E-- fc ..i..,.; } I z~b
I{ ;C I i a r
i4 %I 1
Qc 'i ( I,----. (2.38) &h
1 i b ! ' i I I' 90
; . - - R - - -.-- - - .- -. . . . . - a - - I A ,:.
T q l r $ r . , . . , i~ it\
Comparando aa eguaçúes (2.37) e (2.38) chega-se a: , ' I N ' 3
%-h IHd = - r 1
YMm = - &-a ZTI , . , ' - h
Finalmente, uinvCm obwrru que mulu urna l o o k dc h b r i p i f i e i mbrtituí-ls c ~ k l r c u i t c i , e anular uma fnnk de wmab significa inibniilní-L8 p a r circ
abETt0. I
a . ' I R \< Exemplo 2.16 Obter o circuito equivalente de Norton pn o eirruito' do figuuho 'f.4 6 é',!" ealcirkir a cumnte pela impedância 2, = 750 íl.
Salug": O wlor da e o m n t e íN,, C obtido o partir do circuito da figura Q.44 onde 68 : , ~, pontos A e B sbo curto-circuitadosc
. . G a i t n
. .. 3 ! i '
4 *I
. . I I
7 , ) ; ' q , , ' . , ! ( ( ? i ' 9 ..,i
' . . I
I ' . ' ; r I l ! t l
* *, , , .
. , K.iifi-B I , :, * . - - , . I , , ',!l!<? +i *: Figura 2.48: Circuito para o cálculò da fonte de co&ntt !, : .,*!,-"ke
, , i 1 , , , ,
i , ? , i ? . , >, equivalente de Norton . . ! .+i
. .
m .,, . ' U ' ,
? . i Q',
. ' ' O mwmo rcsdtado L obtido uliikando a crpnsião de dada pelo Icmo kr . , ' i!@kigLo (2.96). A admilincia cquiwlente é obtida afmvés do cirrri to da figura P./7fi): i
. , .. . :"<,v.$ : ' i
) ( - ; \ I .' 1 - 1 - 1 . m:
YNa = - - ., , .. Z T ~ [(I + 10 L45.)/ / (2 + 20 LWe)J - 7,4672 L55,92*
= 0,1339 L -, 55,92'. .U) ; r " * I
..q..,"t * . : 91
A n l . g h entra a tewão c a comnle na i~pulónc ia 2. é dadg p r : e . i , ! .. R
ai: Como r: 2, 1,:
a:; L . I . .
*
i, = I,, - Y,, . V ,
. 18,047 L - 4Sb 76" I, = = O, 18L9,7* A
. , [I + 750 - (O, 1339 L - 55, 9S0)] m 9 % %
2.7.3 h r e m ' a da superpbsiçáo Substituinder o famr par 2. 1. na equ y ã o (2.36) obtém-r:
O termo é iguk i &ente pela impedâncis 2, quando a fAte de tensáo que fornece é anulada. Da mairna forma, o termo é igual i corrente por 2. quando r fonti que
fornece 2; é andada- Assim, a corrente total pode .cr decomposta em dum cornpowntss, d a uma fornecendo s moluçío do circuito w crso de uma fonte hiocjonmda e a outra mulada. De maneira gerd, o tamma da supsrpoeiçío atabelm que r corrente por u m ramo ou a tenpío mtre doii ponto^ de um circuito que contém vúiaa fontes pode uer ulculrda pela .orna da. correntes ou teu& parciais quaudo .e considera apenas uma fonte operando e aa demais rnuladaa.
~ x e m p l o 2.17 Calcular o conrnte j. do circuito da Jgum 2!.46(~) pim 2, = 750 $2, utilizando o tconmo da superpoeição.
- - ' . - L- L . - - - - -,
+1 1 - ; l , ~ a - . \
*I Rwolvendó os cincuitoa, tem-se:
" . r m .L',+.F *q . a"
z1 P2 8 .' I 1!-.
l, = . b
m g = O,C)63L1,16" A ,. -
2, 2, + zi 2, + 5 2, m
- . que multa em uma cotrente totaf:
k = & + j 2 = 0 , 1 8 ~ 9 , 7 0 A a a a1 a' a .'I
1
ai a O +I .'
Figura 2.49: Circuitm com fontes de teneão anuladas para e o exemplo 2.1 7 e.
.1 @i '
Leituras adicionais e r Cimuilos de Corrente Alternada, C.F. Corcoran, R.M. Kerchner, Globo, 1977.
Capítulos 2, 3 e 5 I)
Q Twria Btbica de Circuitos, C.A. Ilesoer, E.S. Kuh, Guanabara Dois, 1979. a, *;
Capftdm 4, 7 e 16 e! i Cémuiloe R&tr ico~ , Y. Burian Jr., Almeida Nevem, 1977. a!
Cspituloa 3, 9 e 11 a! @I
93 a r 1
m
-
rn 1
e +I
Limear Mccir+c Circrita, W.L. Cae-1, John WiIey agd SOQ., 1866, . . . . . L i , , v ?
Cipftuloe 2,3 c 6 m
Cimuitoí, Elitriws, J.A. Edminieter, McGraw-Hill, 1972. Cspitdae 2, 3, 5, 6, 11, 12 e 16 i
a Máguinas Elétn'ca, A.E. Fitzgerald, C. Kingsley Jr., A. Kuuko, McGraw-Hil1,1979.
m Capitulori 1 e 3
m 3 ' a
I
Exercícios I
2.1 A corrente e m um circuito é: +.
I 1. * i(€) = iOQ - ~en[314,2 i ) + 20 ~n(942,õ . E - 15") A e
IM um páfico [i[t) r wi]. Obter o valor mhimo de ( i ) ;
dekrmhmr me à m m n t e 6 peri6dica Em c a o afirmativo, dekminar o ~'dtt e c fqii6ncia;
d d a r o valor rn6dio de i[i);
I LU!
1 : - -. , - d *
. - . . '- w-- 4 Y F
Figura 2.50: Circuito para o exercicio 2.2 . 2 \-
A figura 2.51 mostra um circuito RC e a forma de onda da tensão aplicada ~ ( i ) . Se 0,5 I t e C = 1 F:
I a) esboçar i ~ ( t ) e ic(t) em iunção do tempo; +I m
b) -h= i~( t ) ; * c ) esboçat o sinal de potência consumida no rmistor, que é dado por pn( t ) = v(i)-in(t). a
Observar que a forma de onda.de potência tem o dobro da freqiiéncia de v(t); a d) esboçar o uind da potência wnaumida no cspacitor, que é dado pela expr-~áo e
pc(L) = v(t) - ic(t). Observat que a forma de onda da potência tem o dobro da Ltqüência de u(t) e valor médio nulo. rn
, 1'5
Figura 2.51 : Circuito para o exercício 2.3 3 ,
2.4 A tenaio v ( t ) maitrada na fi y r a 2.52 6 apliuda a um circuito puramente kap&itivo, de capacitância iyd a 1 F. Eiboçm aa for- de onda da corrente e da potência forpecida ao eapacitor, que C dada por p c ( i ) = u(t) ic(t), e obter a respativm vdora médios.
2.6 Uma tensão continua vi(t) é aplicadi a um circuito recortador (chopper), fomo mostra a figura 2.53. A tensão de uida é ~ ~ ( 1 ) . Obter oe valorea médio e eficaz de v.(t) em h n g " do ângulo a, onde a é o hgulo de gatilho do chopper dado por:
F ~ e r um puico (c! x o] c verificar o que ocome p u a 0. e a = u . T,'ondc T é o periodo de v,(t) .
I- + i i Figura 2.52: Circuito para o exercicio 2.4 '
. . . .I Figura 2.53: Circuito para o exercício 2.5 1 + 1 * ;< 0 A figura 2.54 mostra as formas de onda da tensão de salda doe circuitos retificadorai a
de meia wda e de onda completa quando a entrada é uma tensão alternada eenoidd dr! . .
.. rn freqüéncia angular w. Obter os eus valores médios e eficazes. : ,i S.;C. rn
6 +I
.r I. * m *
:L " O
Figura2.52: Circuitopara oexercicio2.6 rn
2.7 Uma tensh aeuoidai ui(t) de vdor de pico V, e freqiiência angular w C aplicada a e um circuito eletrhicú. A tensão de aaida v,(t) tem ari 8eguint.m csracterí~ticas:
m I e
* I
v/& v i ( t ) 2 ~ p / & rn I ' Obter os valores mkdio e eficaz de v,(t ).
-
a I)
e -- -
81 ; b a *
%8 nb ten- raoidaii i" aplicada L um circuito retificdor trifiaiw de meia onda,
'e C O n f ~ m ~ m t r . figura 2.55 (linha pwttilhwiu). A tensb retinoda de iaida 6
e mdd. linha awtlnua. Obter a vdorcs médio s eficaz de vo(f).
m * !+I
X
'a a 4
. . - , . . . . - - I . . . - . . . -.v2s/9 ". . - , . + . _. :'4*/3 - - + - - -
.. :I - 2. . _ . . * - * * . . - . . . I. ' . P , . .-..,: .,. ......
I +
- 1 . +
YB j ' MA(^)
( ? ' : m .., ..)
ÇldOUITI) L.mTl?tC LDOR I ~ i r I ~ ~ ~ i C 0 lllt * ! r E i + b H a x
c: Figura 2.55: Circuito para o exercicio 2.8 . i
' > I 1 *
2.9 Um circuito RLC drie tem as seguiota carid.eriaticls: i
a* I u(t) = 100 • s m ( w t ) V f =60 Hz R = 1 W Q L = l O rnR
Calcular o d o r do upifitor para que a mrrente fique e m fase com a t m m í o Neste obter o d o r eficaz da ~orrente raiultmte.
2.1Q Doia cirruitoa RL sáa rnatradoi na figura 2.56. SE 8 t e w h hplioda 6 ipd i ~ ( t ) = 127 \ / 2 r n ( w t ) V c f = 60 Hz, obter o valor do indutor p . r ~ que rs' correatea
8 i , , t ' I . 1
efiuwe do. doia circuitos ~ jaxKI i p d e . - . =k @ &&doir o rirniitamwtrdo o i h p a 2.5'7. A tenião fornecida pela fonte é igud
r v(<) S= Y M i cn(3Tl i) V. Uet-inw se a corrente i ( $ ) ailá adiantada ou atrasada com rei+ a u(f).
v l t 1 = , , I
.i - - - .. a - - " - .. . .-" - - . . - . . . . . , - . . . -. . . - - q L A ; :d C)
n n n
. - ". * a
e a I) a
Figura 2.56: Circuiiopara'~exer;clcio2.10 e a
. . a ~ r n a tensão v ( t ) = 150 . rn(377 - t + 15') V é aplicada ao circuito da figura 2.58.
a) obter i ( t ) para os casos abaixo, fornecendo a d o r dchz da m m t e F s d i f m de faee entre v(l) e i ( t ) , identificando a romã de onda. que -?i diadada:
., i ) R = 20 51, L = 60 mH, C = 50 j1iF;
, * I
ii) R = 3 0 R, L = 100 mN,C= 150 pF; I *
, i * se R = 30 fl c L = 45 rn~,'dekrminar C de lorma que a diferenqa de fase e n t g u(t) e i ( i ) mja nula. Neste c m , calcular o valor de p i a da corrente. - *
" ;.: t > q '
2.1ã Um indutor real pode ser niodclado por uni indutor em d r i e coni um resistor. St.. R = 10 11 e L = 300 mlI, fwcr ae #&coa [ f ZL I x Jj e [+I, x /I. So uma tensão eenoidaa de 127 Vrrrio, (i0 Ela, k aplicdh ao iridutrir, calcular o valor eficaz da corrente que pms- - por ele.
a , .wt
Figura 2.57: Circuito para o exercício 2.11 e i )
91 p -m I rn m
a m : m %,= tk-+ 2c + Z L :. 1
: m i Q
a i m 10
' ,
I 'a Figura 2.58: Circuito para o exercício 2.12 * : . ml obter os fmrea iursociadus hs forna da oadr wguinlsi: $ 1b:n -A-
$' 6 ) V ( , ) = lõq 6 m ( ~ t + 30°) V; ., v ( t ) = 155,6 . m ( w t + 90") V; u(t) = -179,6 ms(wt - 120") V.
) I I I +v . 2.16 Fornecer o resultado daa operqhe s seguir como uma forma de onda seaoidal.
' im Rasolver .s operat$ie~ no domínio do tempo e at rav& de f w r e s e comparar os r~ult ig los . . I .+.A ,
: :i 2.1.8 Determinar aa impedâncias dos circuitos do exercício 2.12, itens (a.i), (a-ii) e (.b). \
' ' * ' ' e 2.17 Considerar ai circuitos mostradoe na figura 2.59, onde R = 5 n, L = 10 mH, : ,m' e C = 1000 pF. Obter R e X' de forma que os dois circuitos sejam equivalentes. Se '
" A S ~ ( t ) 5 179,6 a54377 1 ) V, dcu lar o valor eficaz de i ( t ) . Determinar a diferença de : ;e .* fase entre u( t ) e i ( t ) . Determinar também ee a corrente está struadr ou adiantada em I
rn relaqib a h s k . - O circuito RLC aérie do exercício 2.12 tem R = 10 fl, L = 30 mH, C = 2000 .pF
aplicada for v(t) = fi - 127 sen(wt) V. Pede-ae:
L) Q f-r P; ia-+w v = ' ,,# I I
' 4 b) u mtâncirs indutiva (XL), cap"tiva (Xc) e to td (X);
: .c c) r impedância do circuito; I .
. - 1 ..c----- -.- - -. - - - - - - -
I e * a I i
e
Q e * e * O *
O !
Figura 2.59: Circuito para o exercício 2.1 7 .I , r - .
d) r mrrente ( i ( t ) e i); . .+ ' A s a
rial do circuito contendo p, i, Q' e p'. - t 0
2.19 Uma carga de irnpedáncia 10 L30° F1 é alimentada p m uma fonte atravéa de unii~ e linha de reaietência 0,1 R e reatáncia 1 Tt. Calcular a tens& ap l ida na carga se h (I, tensão no início da linha vale 230 L 5. V. Fazer um diagrama C-rial contendo i corrente! e ae t enW da fonte, da carga e da linha. O
rciaib rncxrtlndo na figura 2.60. O reaistor é de 1 k f l , o indulor i: I) de 1.5 H e o cspacitor E v.rt>(vel. Uma rraistència r desprezível (r < R) é inserida n~ @ cirtitih. O m n T 1 do mcilmedpia indicrt a tensão da fonte e o canal 2 a tensão mbre o m i a h r r. Entb. e mmte fornwida pela fonte é obtida por: e
e i ( t ) = -
O r
Aplica-se .o circuito uma tensão alternada rnoidal de d o r eficaz 1W V, 60 Hz. e e
a) o capacitar é ajustado em 6.5 pF. Caieular o valor efiw da mrrente i ( l ) ; , e b) determinu se a corrente viata no unal 2 do weiloadpio está atrmada ou diantad. , .
e m re ly io i tendo da fonte (mal 1). I k k r n i i n a r o h y l o de ddaaagem; , t >
c ) fazer um diagrama fasorial completo para o circuito, indicando is eacdae utilizadas; (d') determinar o vdor que ao deve ajustar o ~spacitcr para, se ter corrente mínima pelo e -
circuito. Calcular o valor da corrente mínima. ! ii)
k v (I)
m 101 a; .i
*: O!
O
r CBZ * GPD
h i W p i o
Figura 2.60: Circuito para o exercicio 2.20
I <
A figura 2.61 mostra um circuito em que r tensão aplicada pela fónte C igual a I , , < L 6 50 . wn(wt) V.
Figura 2.61: Circuito para o exercício 2.21
. b) fazer um diagrama fasorid completo; , i I ...
, ' c) obt& g r ú i c ~ e n t e r corrente fornecida pela fonte. Determinar r o circujto . é I iqdu- ,
ii!'~i '~'$4 ti^^ OU cspacitivo; , ' I
. i :>. , , - d) calCulu o valor eficaz da corrente fornecid. pela fonte;
1 a s
s impedhcia wifika *Ir fonte. , . rnwofáiim cujr irnpsdbcia e m regime pekmmts C 40L60Q f l C di-
d b por uma fntc alkrnedi~ de 22U Vrms, 60 Hz, adravks de uma linha de resistência O, 1 n e indutãncia 1 mH. * .
q* r ) calcular a corrente fornecida pela fonte c a deiseagem entre a mmtc e k i i a ã a ! da . fonte; X : -5,6 /22!!.'. I , ,. .i
I
b) um upadtor de 40 pF C colofado em pucklo com o motor. Calcuk oa n?a, e vilore de corrente e i defuiagem entre a corrente e a bnab da fonte; I = ?,ij *!{i-
c) caieular - viriaçike percentuais de corrente e ddaaagem. q?,i3 / gJ 5% ' 4$3$ e. 7 .. @
m motor monof8eico tem uma impedhcía de 4.4 f 30" R em operqiia nomd a mtado rtravés de uma linha de mietência 1 f l e teatiincia 5 Tt. Urna unidade de I.
quecimento de 22 $2 6 instalada e m paralelo w m o motor. Pede-ee: : A @
a) a wrrente fornecida pela fonte antes c drpojs da iaatd- da u n i d d ~ de ~ U F T Í - Q
mtnto (U.A.), ae k aplicada uma tcnsk de 220 Vrms, 60 IIz, no inicio da Linha; rn bj n tenaáo no motor antes e depois da iii~talaçio da 1J.A.;
+I 9 . , I r,- qC >
, . c ) a defaeagem entre a tensão da fonte e a rorrcntt antm e dcpóis da iwtb@ &c m
U.A.; I. '.
d) o diagrama Fnsohrl c ~ m p l ~ t o para o circuito. a\\
2.24 Urna tensãa VIL) = 100 - ri~n(3T7 t ) V é aplicada ao circuito moetrado &a a figura 2.62. Ou wintoamr m k d~ 3, f C! t ã iadutar é de 1,5 mH.
, a
. . < ;
. a , a! a) calcular s. corrente fornecida pela fonte ee o capacitor for ajuetsdo em 1000 pF.
Dekmúnar corrente está .Iraasda ou .adiantada em re ly io h ten~ão da fon,k; , , . . 7 ,,.
S . ' . - ' b) deular h tensão sobre r: ' . . a, I , , e,!
c) determinar o valor a aer ajuetado no capacitor para que r c o m t e pelo circuito sejd < . . infnima. Neiite cam, obter s corrente e a defasanem entre corrente e h&. a'
( , , , n BQO witimeim V do circuito da Rgurn 2.63 indica uma t e ~ i o de *I V. belmiiou , h rrentc indicada pela ampen'metro A e a tensão e comente fomecidaa pela fonte.
' .i
Figura 2.63: Circuito para o exercicio 2.25
e * i . * . 2.26 Considerar o Wrcujto moetrsdo na figiya 2.64, composto por um gerador ligado a
uma linha de trmsmieaáo. I+
i
m 1
i I -* I
;m I i* i :l, / '+ 1
,
+I * ; 6 Figura 2.64: Circuito para o exercício 2.26
a) obter o circuito e g u i d e a t e de T h h i n em relaqáo uia pontas A e B; .'nIii b).' %bkr o circuito cquidentc de Norton am rei* iai ponioa A c B;
I) *:rd) . . cbts o circoito e g u i d m t e de Th+veain ~YII re lq io ui. p a n k A e B dap-anda oa eapacitmen da linhr d t kenarnisn8a. h p w m uim o r e s u l t d o obtido ao item
I . (L). Repetir Q d c d o . do item (c) c mmpirar ai r e a u l l d a . A v d i u a qudidsrle nrn i: 4 1 da &proxian@ fEi t a;
, a
. n a - , ,
4 104
'I
I ;TF- - - - * - . - - - - .. - - , z : - - - - - . i m
~,
E ' e) calcule r corrente fornecida pelo gerador se um ~ g u n d o gerador (127L306 v,. a' impedância interna desprezível) for ligado aos ponta A e 8. I
2.27 Coneiderar o circuito moetrdu na figura 2.65
* I m I *
,
Figura 2.65: Circuito para o exerci'cio 2.27 I ' $ ' '>
a I+
a) obter o circuito equivalente de Thévepin em relação aoe pontos A e B; e,
b) se R = 40 51, calcular a tenrrão VAB para A e B em aberto; . *, a
c) se R = 40 R e Z A ~ = 100 R, calcular YAB. *I,,
+I m m a rn m +i Q m I+ m m
a m * *
105 rn I
a ,
- ---- a m
Capitulo 3
i: r ., ; m . i 1.. I :;
i.. i m .a
Potência em circuitos CA
\ ' .
,
';'
'
Neste eapitulo aio apreacntda as coaceitai bhiaicaa kdativaa wi ~mei~>ntk'&ui;- suma da poihcia. em cirsuiim CA. i?, i a tduz ido o maceita de fatm da p o k c l a e erãr, apmmmtdou w8tdos p e r ~ aus m&. As condi+ para rnkima trmai&ncia de
% hpo&riia. a i o driicutidm. FIndrnmtt, a& abdsdps; wpxta rcfmentm srr armazena- m m h da en-a m iadtrhrm e rapacitoreri. , . ! ;,
3 Conceitos básicos A figura 3.1 mocltra um circuito mnatituido por uma fonte de tensão alternada e u m t r
carga, representada por sua impedância.
Figura 3.1: Circuitogenérico de correntedtemada
Se a tenaiio aplicada for do tipo:
, : . ' l j :, e i impedância de carga valer:
A ' :':i'l
I ! corrente fornecida pela fonte eerá:
;(i) = 1.1 .en(wi - 4) A
onde:
A potência inituitãnea fornecida pela fonte, cuja unidade é o watt (W), C dada pelo
< , . - produto d. temiia cplieada pela corrente fornecida por ela: . .. . . i
" ,' . , ,
. I ( :
e . , , 6 ;
.I i p ( t ) = v ( i ) ;(i) w : 8 : (3.1)
. .
Substituindo aa raipectivm erpresaóes de " ( i ) e i ( t ) na equ&io (3.11, obtém:&."
I' 3
p(i) = 2 V., . I.! nen(wl) aen(wt - #) = 2 V., . I., =o(wi) . [rae(+) e .en(ui) - ~ n ( 4 ) . m ( w t ) ] ,,;:r;i, ~ : : .
= 2 - V.f - lei - (coa(#) . sena(wi) - aen(4) - sen(wt) . cm(ut)) '
Utilizando ia =pintes relyõea trigonométricas: I
1 "na("'] = - 11 - 006(2Wt)J
1 2 aen(wl) . cos(wi) = - - een(2ut)
2 \ I p . ~ ~ k O(Co
8 ~ U B Ç ~ O para a potência instanthea fica:
7-- - - K, - I., - een(#) een(2ut) (3.2) --
Ijg yL,;\,&;h ~ l f i - ~ ;,.rji.l.),i--Jn constante, V., - Ief . um(#), *ornada a
a r m n p ~ ~ m t t c a o i d d a j a fraqiiinçia é o dobro da Irsqüência da tenião. 0 tcrm. @ 6 ~ ~ m p o a t o por uma aornpoacatc m o i d i l iuabi?rn mm fiqiiènei. diipli.
Aasim, a polCncii i n i k m t b c s p(i) aprtaenta um& brmi dc onda m ~ o i d d cuni k q í C n c i a dupla. .omdn u uma wa~turie (ver cxordeia 3.1 no fiar! dmiç upltula).
A forma dc omda da pot6seir inulanrinei Ai) depende d a nlorm de r ~ n u i o C comente, da fnqiiênda e da impedância da carga conec tda I fonte. Será feita uma in&he d d d h d a da u p m s á o da potência dada pela equ* (3.2) para cada tipo de carga.
Cava R: neste caso X = O e: . . - . . + a : . i m*fi7,mm I=
A exprasão da potência dada pela q u a ~ á o (3.2) fia: , I " 'I '"'
A figura 3.2 mostra as forrnaa da onda de tensão, corrente e potência imtatrtkneir para um circuito rwiativo.
,
Figura 3.2: Formas de onda de tensão, corrente e potén- a .. . ,
c.ia pars um circuito riesbtívo I . I
O h m a da cgulyio ~(3.2) C ippd a r;-. P* ob++) t- dobra daIrq@ucia .de. u(fj e ifi) e l rmorrmaior o11 ' - -- -- - + o. h~:&- ~ h b i t i v d ~ m m t t r n ~ de --E
w_tk~i a-&.Jm - te. ' ' 1
Podes obter facilmente o d o r m a i o da potência fornecida pela fonte aplicmdc+~ s definição apresentada no Capitulo 2: r I F J ~
. I 4 I I I
b) Carga L: pua um circuito pur
= 90' OU u / 2 rad. I Z ~ ; = X L ="L
A erpreesío da potência inatanthca p u a um circuito puramente indutiva contém mrntnte o termo mndo dada por:
[ E c ' !
I ma*!^-: 1 4 , p( t ) = -V,! I=, ' aen(Swl) L
A figura 3.3 moetra aa forma de onda de tensão, corrente e potência para um . _ circuito puramente indutivo. A cidr maio ciclo de tensão, a potbcia aasume valores
poeitivw e negativos, reeultando em um valor médio igual a zero.
-2 t *c? be 7 n~ rg ai
3 $ t n : ~ ~ OkfYJin
I
1
Figura 3.3: Formar deonda de terieão, correnteepotêm- a 1 8, .. I .. .* cia para um circuito puramente indutivp w 9L'. 8 1 '.
izl-9 C l r . O' iidutar C um *ementa imiarenuior de energia. Awim, no intervalo do tempo mp~~cptênciiwumevdorespitiimi-~ueui~pndeaumquirtodcciclo +
*.c-ail~ii dr k n n b - o indubr recebe energia da loole. No intervalo de Impo mpinte, em h ' a
que a pt lnc ib sasume va1ores negativoa, ú indiitar iornme energia i fonte, '
~~~~C;!purumcireuitopunmc~tecspicikivotem-reR=0e:
1 z (= -xc = l / w C
110
Pua um cinkito puramente capacitiw o termo tmbém é igual a srto e. L potência instantánea é i& a: . , .
! 1 , .. . . . , .
I ! ,:'r'iA' , - I A figura 3.4 mmtra as formu, de onda de teniáo, corremite e potência pua utn5':: ; i
circuito puramente cagacitivo. ,O comportamento da potência neste amo ii ÚimilhS i . .-
I io do circuito puramente indutivo, ou seja, a cada meio ~ i d o de tensío, a patêncis I I rabume valama pmitivm t rreg~.i,iwm, rmclultmdo em -um d a r m S o igual a m r ~ .
Figura 3.4: Fornas de onda de tensão, corrente e potén- . cia para um circuito puramente capacitivo
O capacitbr também 8 um elemento armazenador de energia: Aásim, no intervalo .
de tempo em que a potência aasume valores poeitivos, o capacitar recebe ener&a da "i. : I&. Ocap~torforneceener~a~f~ntenointenraloseyioteemgu~a~o&k~' maume valores negativos. I
i ;L, ?i ! . , J
- d) . Carga RLC um circuito RLC genériw apresenta as formaa de onda de tensáoi:: :: 1 i . '>
C corrente e potência moetrdaa na figura 3.5. O valor médio da potência é dado por: :r- / :]r , ! S . a . . ? .i -
, , ; : r , . 1 I r ; f i ' # ." " Ii t ' ,
Pm = KJ Iet m(4) . I ' ? ;I . 18
r '
, , Voltando L a p r a s i o da pot&ncia in'stanlinea dada pela equy io (3.21, dl; ci nkci'dè --: i , etének atiw iwtant6nea ( p l ( t ) ) ao termo e de pléncia rrotim iinstontddeti (pR(I)) .'j. 1 ,,;u, t a m o @
, ' . ' S . $
I I ,I
Figura 3.5: Formm de omda de tens#, corrente e p o t b - 4
cia pcue um circuito REC geriérico i P 1
Os respectivos valores médios de pA(t,) e pR(L) são:
Definindo:
P e v,t + I,, -ca(~] =i POTRNCIA ATIVA - d o r m a i o dcpA(i) s de p(f) II h
,,;,. - , , , Q = *I., m(#) s POTCNCIA REATIVA- valor de picode p ~ ( 1 b 4
4 I PL I ' I r iu I IP I IL~~D. wc,d171%\i:lrm 1 ia I
i , I .li . . I = P * I l - - ( & J f ) ] - Q . = o ( ~ q I [ (3-61
I - - - 's i
R manctra da M eliminara ternpú ne endlise da ten- _ m~&%et~ (1ie ~ircuitm GA atrawk da ~ t i l i z q i i o de re~om. Súrnentc a i o cxplicittderi as 4
~ & - e r j a t i m a prrlicmjiarea dm ten* e cormnta, ou seja, scus valare~ ~ I C . W W S t mari 4 f-, j 4 que u farmui dr: onda c Iqí i f incia de todss elns i& is mcsmui. pce-uivci fazer 4 a -no na m d i ~ da. p t h c i a , utilizando CH fmm jã, dsfinibm. I
A q u W (3.6) spmamla a forma 8-d da, p tSr ic i& instantbea para, um circuito CA. SI b c n l c a. n l r ncs de P e Q mudam de w r d u com aa carxteristicis de ub. c i ~ u i t o . j i
4 [C ~ Y Ç dpmdem doe valores Fficazea de tena& e corrente e da defasagem entw elas. Aisnim, 1
a :4: P c 4 forna conhecidoa, a potência inatuitânei também .e=& conhecida, butuida a I &tituir oeua respectivos valores na equqão (3.6). Q t L a
112 I Q 1
1
0 1 Imaom rswidw h t e n h e i mmnte do circuito da figura 3.1 podem du' - C
b L-
F r : - - I
. F
h 1 . I a j r !.*R:
T 1 b . r m .7 * , . ' 3 I 1 Y = v,, LOO !=I,IL-#
a - . h !.:h', . . . . I . ..,..
onde r tensão k tomada como referência angular. A equação (3.1) mmtra uma tltprbik~ para potência, definida como o produto da teneão pela corrente. Assim, define-ed ;* i I~W, cr b h e m complexo S, c h a h de poténcia comvleza ,
u Subetituindo as expresshs doe f m r a de tcneáo e corrente na equqáo (3.7) &rnhsa:
Utilizaodo as definições de potência ativa P e polêncis reativa Q, a potência coniplexrr 4 dada por:
., O módulo de S i chamado de +dia aparente e é dado por:
circriítae para oe quain as potências atingem d o r e s altoe, utiliza-ae o &lo-uofi-a~pèm (kVA) que 6 igual a 103 VA, e o mega-volt-ampère (MVA), igual a 1V VA. A unidade p g . p p ~ e - ~ ~ ~ I t j _ ~ ~ ~ w ~ ~ ~ á ~ - ~ i ~ ~ ~ n c n IWLUZE+-& ( V i r Dh mesma forma, eão utilizadoa o kW, MW, kVAr e o MVAr.
&q&?nae iy* e emli- t m p d m x u z p - d e m t r m k - - , .
&tu, expressóes t o r n a daraa aa relaçóes existentes entre .s potências ativk e reativa e oa elementas do circuito. ,AyGo-iria k rtlacimda cwis- rniitiv-, ~ - ~ l , t n ~ a b @ i ~ h b d ~ s m r p ~ ~ A ~ psihm (indutores e capacitares).
I) e
e *. ; a ;
'
* C e e m m
e a,
e a .' a a:
a a , * a a . . a; a ' a * * ,- a a- * * Ir I)' m
I : . " *' ta! ,,J . . + / r L ,
1.1 ,
1 *I .., Exemplo 8.1 Um Olcuito RL rérie C composto por um nsistor de I0 0 r um indutor !.. --
I - de 1/37,7 H. Se é aplicada uma tensão v(t) = - 100 sen(wt) V, 60 Hz , determinar
i / A - (.) e c o m d e fornecida pela fonie ; ( i ) , (b) o potência p(t) na carga e (c) S, P, & 4 e O
.tddngu10 de poléncim. : *I ' * + tb.
a) Assume-rc a ienriio jomccida pela jonte como referência angular:
: ; ~ c J i ! , ; , . Y = 100- ejo' ?= ~ O ~ L O " =: 100 V
Pam uma jkqu'ência de 60 Hz a impedSncia do circuito vale:
1 2 = R + j u L = 10 + j377 da- = 10 + j10 = 10&~450 n
37,7 L
' ' I A mnnte fornecida pela fonle vale: ;:L
8
14 - 4
. ? +?
z V 100 ". /Ã . .c0 A
<,(i i ou:
i 1 ' I
,, ,.){,,,i! ;; , , : d , C 4.1 11
h) Apl*mndo ,kidcfiniGües das potêncíor gtiw e motiva: - .7 I L : ~ ' - k ~ ~ . j , \ ( t& : , , . . 1
P = Kt . Ie j C O B ( ~ ) = 100 5 f i ~ ( 4 5 ~ ) = 500 W I ., - i: . .
. . L I 2 r i . r . . . . ,. .
'? ;:. , ' Q = V', Jel - m ( 4 ) = 100 .5& . ~ n ( 4 5 ~ ) = 500 VAr
o* 4 é o ~ ~ ~ r n ~ d ~ c b I d d a k &efionncnlg r.-
:$, : -\ 3 -
entre tenrrão e mma&. Do cquaçõo (3.6):
. I .
a 'I ' p(t) = 500 . [I - ras(2wt)l- 500 sen(2wt) . . - . . ;w: :'i; 8 -
&ui$ai-, , I ' ,, 3 . ,Da c p u ç f i ~ (3.7); *C'!*. ... J . 8 . .. .
' r P x ~ : ~ < ~ r ~ ~ - % , , ~ ~ -:, .! ,
~ = Y - ~ = 5 O f i f 4 5 ~ VA h . .
114
a . , ,
ou:
4 A eomntc está rgon adiantada de 49 cdklogâa ti tensio. Aplicundo-re definiçóes
- Idos'ptincíus atiuà e motiva: 1 ,
P = V., . I., m(4) = 1W 5 d - cos(-45O) = 500 W Q = v, I , sen(#) = 100 5 4 - m(-45') = -500 VAr
' 1 .# , A p l ç n c i i mati;. C negativa no coso do circuito pmdominantementc apuci<ivo. Do tquuç40 (3+6):
, ,<.
s = t .i*= ~OO.&L ' I ! -450 VA '
I I ! .
f
I S (= 5 0 0 a V A e potência aparente - 1 ' ,
. ; i
4 = -45" i - -1 h . h i
P = Re(S) = 500 W =S p~iência ativa ii
,;i ,< .< " . . Q = Im{S) = -500 Vqr + potência reativa , , , r. , ,:.b.il i, .
1 4 . ? 4 $ :
Comparando os msultadoa dos exemplos 3.1 e 3.2, nota-se que a potência ativa é sempre positiva c que oclrrrc uma mudança no sinal da potência matiua, resultado da mudança de ainal do ângulo da impedância 2.
Para um circuito CA genérico w m o o moatrado na figura 3.1, a defasagem gntre te* 6 corrente v k a mtre -90' e +Ma. Assim, obeerva-se que a potência ativa P e m um circuito umprp apresenta inlarean maiam ou i p a i ~ a zqro (UM 4 > O). Como r potência titi&'iatá re'lmcimada 4 diamp- de p ~ i b c i , n m elementos resistivos do circuito, associa-a urn d a r paitim de pt5n;cia ativa w mwumo de potência pela cutlpa, ou ao fornecirntnto de plêncu'u p i a fonie. A poikncia, mliva Q pode apresentar valores positiva ou negativoe, pua m g g ~ ~ ~ ; -h~dutím ou ~ ; ~ p a c i f i m , r-pectivamente. Por analogia com a poténcia ativa,
CAROA MDlJTlVh O FONTE n
- -
I+ l+i e
I meocja-LR vdor positivo de potèncir reatirn (carga indutiva) u, comuma dc I I
pela carga, ou AO fornecimento de nstiw.9 pela fonte. Do tnmrno mtr<lu$uiúlda-a hrn 0 I valor negativo de potência mativi (urga upacitiva) ao fornecimenio h mliws pela
- euiJa, ou ao consumo de reatiwa pela fonte. A figura 3.7 ilustra a dise(llsio p r d b n i c . N b r deve, no aitanto, perder de viata ca lenômenoa f í a i u a envolvidos na operqào dor rn elementos armazendorea de energia em fun pão da nomenclst ura u tilicada.
8 - ' ma
- a a
P,II - PZU O
- r , Q L a u s a 1 - 1 ' " - -. " a
t- I. Figura 3.7: Fluxos das potêncise ativa e reativa em cir-
cujtm CA I.
.Q
I r n
-a ~ x e r n ~ l o 8.3 Uma fonte ahenado de 148 V sBrn~nLa i m a caga R b de " i p c d ~ d a
I
igual o 100 L 90' Q. Calcular u m n t e c os walivaa Jornerido. pltz junte e OB tcatiwn m ~ u m i d o s pela miga. É mnectado um mpaorilot dc iinpcdtíncia 300 I 1 em p a d c l o mm rn u cava. Cdctilar a nova c o m n t e e os nouor maiinn. fanrcidos pela jnnle c 8s noouri * nafivoa cans~midos pela carga. a Solugb: D circuito utiltzado neste czemplo é moslmdo no jigum 9.8, i.
I -
- r'
I
a r
. I . a
- 1, a !. I I
--
!
e Figura 3.8: Circuito pura o exemplo 3.3 i
I, +1 ' a: +I
117 'I m .ti
I .!I
I
* a I
4dOV 100L30° íl
I
wai:Ll't 6 . - . , Considgmndo c Cemdo da fonte como nferéncia angular, trm-#c:
1:4, 1
, , ! . $ ' - 4 4 0 ~ ~ V rn rn Com a chove aberta, o cornnte fornecida pela fonte vale:
i;. ?'o&-rc notar que u comente eatá atrasada em nlaçüo ti iensúo, poia a &rga 4' indutiv~. '[a A potência completa no jonte uale:
- s '= .i'= 440 LO0 4,4 L30° = ib36 LWO = i676,6 + j968 VA . e ' E
:'. Assim, a fonte fornece 968 VAr, que eõo cdliaiiirnido~ pela carga (Q > 0). O consumo
1 .'
, . .-., . de potência atiua C de aprozimadanrer~te 1,7 kW. Fccliandu-&e a chqve, correc?u-aç unia
I irppcdrinck ZCI = - jYOI) I1 em prulclo corn a cutga. A nova iiirycdúncio VIUCQ pelu jonlc m: M ~ * S , . . ' de:' I - , i . , . "'li ., a 'I . . ,
1. i , <, " , C ,.4k!
l i i . C " i d!l<hal :,i-. . , . . I
t
A nova cxomnie fon)ecidrs. pela fonte vale: ,
~ ~ i ' ~ ~ * ~ ~ ' : É importante notar que corno a tenstío .plimda 110 carga continua ia rncarnq, a mmnte 8, ,,,,,!,$" ! 1 , , , carga C igual d comnte fornecida pela fonte com a chave aberta, c a potc*ncia m p l e r a 1 ;, , ;.,, p.,;2 ., 1 . .
" a ,
na c o r p C igual ti potência completo na fonte com a chave abedo, OU ucfi: , ' . * 1 *'": .
A potência complexa fornecido pela fonte t igual a: . . > $ i . , .. e.
r)
Como i> eapoeil~r n.0 comorne p f â r i o atir>o, a fonte Jornme a mesmo d o r ~omumido fie mqã. A eawa irrbbtim mniinlra Q mnsiumir g6R vhr, sendo que d. f c d I~raece 382,6 VAr rr o cwpciier fornece 6J5,d Vhr. *
N a mhdada, mrr~ um imlcmámbia dc snflrgia mino a indrrfat, n mpifrrr e Jml * A mda punrfa dc l i r l o de icmio, a energia fanrccidu plcr finde i pdo m p c i l o í I r r - mmnadrx na tnduio~, p t u demlvr no guadr, de c i t h dr icnsia aqrrirtic. Dcae-se abm 9 mr que a indutrrr c apucitor re mmpiamentorn no que diz respeito ao inteivtbnbio t#
energia. Estr jnio p o d ~ ser mnfircnadr, taimnés da análise das figunrs 3.8 e 3.4 e ezpiica. jafu de puc eaircntr fornecida @a Jonlr diminui com o incftisúo do mpacitor, embom a camnt.r pela B.TIJU nela a r UILEW. m
Urna caractwi~tica importante na análi~e de circuitos CC e CA é que as pbtência fornecida por uma fonte a várias cargas é igual à soma das potências fornecidas k c a d P uma delas, independentemente da forma como elas estão ligadas. Oe exemplm a eeguii ilustram csaa situqão. • m'
v
Exemplo 3.4 Uma fonte de tens60 $' é conccfada a duas mrgm de impedoncia Zi e &a Calcular a potincia compleía fodrcidu pelo /ante pana os casos em que as impeúâncig são ligadas em série e em pamleb;
. L
Sduçb: e figum S. 9(a) mostra as myas l igada em ai&. As potências Jomecidd a Zl e Z2 valem:
II
S, = C, P = (a. i). i* = 2,. I:,
S, = G . rd = (2,. 11 - tt = Z, . I ;
Ib , ;I ;.>;
/ ; + . , '. , ,\ ,,, ! Figura 3.9: Circuitoe com impedânci.s em sbrie e em + . . parde10 --<g$ ', :,,' ,
! m I ' .*,,.., e #.h. .i A potência jomcsida pela Jonte C igual o: I. i I i* ! % r,l
. .
i , -L .-*, , e.. . Portanto, a potência fornecida pela fontg ' é igual . soma dos p o t h c i k en tng t i e a i b i *cada cirg.. A figum 9.916) mostríi a3 imp&âncias ligadas em pamlelo. Neste caso, as.
, . .,,! . :potências fornecidar tis impedincias valem:
S .
t 1 ! 1 , , c! . . . . . , 1 , ' > '
+d. -. . s,=t . . i ;=p. : . . :.\i.+,'. I * L % . : . . ($1 =+ t : ,; i , 3 ':
x ~ ~ ~ - ~ n i , ~ ,v,, : s2= P . e P V . I . , .: ' , c
. , i.8 A potência fooieçidu pela fonte C igual a: : :; ( , , , , . ,". c. . . ,
lii -
Doa rrniltadt18 obtidos acima, conclui-#c qpe a p tencia fornecido pela fonte C igual d / 8oma das p t E n c i u fomecidpi a cada elemento do rinuito, independntenenb da lipaç60
!. h d w c s elcrnentoa.
.. ------~ --a y/.-- I
1 . , ..-,& O
.. a Exemplo S.5 Pan o c i m i l o do figura $.P(bJ tem-se: --
h , , * Y = 1 0 0 ~ 0 ~ v 2, = i0 L30° fZ (RLJ ? (c 2 . Zt = 5 L - 30" R (RC)
Obter is plénciaa fornecidas a Zi e & e a corrente e potência total fornecida3 pela - e fonte.
'i
Solução: au potências fornecidas a cada impedáncia valem:
a . K 1002 Sz=- - --- - 2000 L - 30' .I 2,. 5L30°
Pa = 1732 W = 1732 - jlMHI VA = -1000 VAr (< 0) =+ capacitivo a!
As correntes em cada irnpedância são iguais a: I
A corrente iotal ,fornecida pela fonte é:
f = i i +i,=26,46~10,89' A
A potência total fornecida pela fonte vale:
A fagum 3.10 mostra uma anúlise grdfica das potências s i i v a , reaiivas e complexas
121 e a
a - - .
:.E J
Figura 3.10: Potências para 0 circuito do exemplo 3.5
3.2 Medição de potência ativa :e
A potência ativa wneumida por uma impedBricia é obtida atravks de um instrumento I de medida chamado u r i t t í m c l ~ ~ , que C m&poe~+.por: I. I
u m a bobina de corrente, calocada em dr ie com a irnpedâricia. É coristi tuida por um número pequena de espirtw de fio de grande diiimetro, para que aiia reaiatêricia eeja deaprezívc!. É relacionada mrn i niedigb de corronto;
1 - uma bobina de potencial, colocada em paralelo com a irnpedhcia. É matituida &r i: u m grande número de wpiraa de fio de pequeno diámetro, para que sua resistência
I. seja muito alta. É relacionada com a medição de tenek.
e A figura 3.11 moetra o esquema de l i g q b do wattimetro em um circuito. A bobina * de corrente C desiguada por BC e a bobina de potericial pqr BP. Os csmpoe mapéticoa gerados pelati d u u bobinas resultõrn erri uma força que d;eflete
O ponteiro do rattimetro, e u j i aicaia é ajustada para indicar o produto da tensáo pela somente e pelo -anD da defuagem entre tensáo e çorrentc, ou seja:
I'.- \ , . . I @
&xemplo 3.8 A impedrincia da figura 9.11 é igual a 44 ,!O0 61 e o valor eficaz da c o m n l c ' . ' I é 5 A. Determinar a tensão aplicada e a leiium do wattímeiro. 8;
S?luçh: a tensão aplicada é facilmente obtida por: U
V,, =I Z I .I,, = 44 5 = 220 v
A Ztitum do watiímetro P é igual a:
Deue-se notar que como a impedância é purumente resistina, tem-se:
A medição de potência re-ativa pode ser realizada com um equipamento eimilar ao a wat timetra, chamado acrrt'metm, cuja leitura é: 3
rn
a Como na pritica é mais comum se ter voltímetroa, arnperímetrm e wattimetros que I @ wimetr<u, frogüeiitemantc .e opta pelo cdculo da potência r u t i v r a partir d a vaiorem de
teneão, corrente e potência ativa. Assim, se deeeja obter a potência reativa fornecida a
, uma carga, mede-se a tensão, a corrente e a pot%ncia ativa através da conexão aproprida * doa equipamentos de mediçáa e:
, * 3.3 Fator de potência ' <.", , I
lm A figura 3.12 rnoetra um diagrama fiurorial para o circuito exeniplo,da f i~urp 3.1 o de
r . . , , a ? * 'I! w fasorart seeociadoe h tensão e i~ corrente e&: #../#
Figura 3.12: Diagrama fuorial para o circuito exemplo da figura 3.1
' !
i i m --.- A potência complexa fornecida ii carga é igual a:
onde o bgulo da poténcia # corrospoude defasagem entre as faaorni de t n * o e corrente. I A potência aparente é dada pelo módulo da potência complexa, ou aeja, pelo produto dos '. nlorae efi- de tensão e corrente. I -
A potênda ativa (paxte reai de S) é dada por:
C
Comoo&ylo#stácompreendidoentre-90" e90°,ms(+)wiscotnOe 1. Aaaim>n potência stiva, que corresponde ii potência dissipada nos elementos reairitivoo do circuito, @ pode variar entre O e 100% da poténcia aparente I S 1. O fstor rnscd) =hun& da !dor de
- - -"-. --. - - -L- polCn~l'fl-dctcrmin~~-in B a r ~ i ~ da-pottncis oparcyi te WF: E U - f- 4
n *. Da definição de potência ativa, tem-se:
O fator de potencia é o m-seno do ângulo de derasagem entre tensão e corrente dc, circuito. ;w d( LpidO;rh ) a d- a pm& & pa;( n+nX~ qd i dd?.ty&.
r Q ~cvmh 41 p&iiw . rw v-,, , W J ~ O I V i h c~.& &&.i d< p o f & n ~ !+A 4 ~ - A yt..ymA.lf-g 4' e --A indr1i.7 l.r-i.m &qn t m b ~ u-tii ( P . * a / ', Exemplo 3.7 Se t = 100 LOO V c f = 2 L - A. determinar S! I S 1, P, 4 e o fato,.
de ple'ncia para 4 igual n U0 ~ s t s l i v o ) , 30' (indulivo) e -30' (eapacitioo). ,! a1
6) t$ = 30' (tndutivo):
S=200L-30 ' VA P = 173,'2 W -*Q = -100 VAr
19 A potência apwnte L a mesma p m os três cwos. No entanto, nos itens (b) e (C),
rorncntr 86.6% duta potência C dbsipada nos elcmcnioa resiet iws do cimuilo. -_-- O valor da rn plé~cu'u - neaiiwa Q iII' 6"_rroaifivo -mm ceqas xnd- ~g~.Li.m pu-m -aiw. O
Jutor dc pdinci. l o mcrrno pia a q a n indufiuaa c capaciliv~s eorn mesmo wlar tzbrolulo do dngulo de impcddncia, como neste czernplo,~ondc coe(30°) = coe(-30') = O, 866. Pam tomar y l í e i l o a di/cranga mtn as cargw, du-.c ta -a indutivo. o j a h ~ & ~ < > t ~ ~ ~ ~ $ 6 - 6 ~ i a d u t i ~ ~ r u ~ ~ , i n d t ~ , n d p ~ - c a ~ ~ o ~ e & e a n I A ~ t , i ~ ~ ~ f ~ ~ ~ m d u ~ Ü u -
' $J,cu+&- Para a carga capacitivo, o / d o r de polêncicr será 0,866 capcrcitivo ~u adiantado,
,a indieondo que a corrente está adiantada em rclação a tensão. I'wle-re também jornccer
a o /alar de potência em termos pementuais, como 846% puni este ezemplo.
!Q ? >.
3.4 ' Cotreçáo do fator de pcbtência , ,
, ' "
Seja o circuito da figura 3.1, onde a tensãa aplicada pela foriie hem um valor eficaz de ' 69 LV e a carga d indutiva e conaarne 5 MW r;5 MVAr. glliia é a a i t i i y ã o normdrnedr
i, encontrada em inatalqões industriais, onde a indiislria reprelienta uma uuga indutiva pm* i e m p m que f o r n m eocrgia ~MLF~CP, devido à i n s t a l a ~ b de motores, ilurninaçk
i. fluormcentz, i r a t i s f ~ m d s i r a ~ crnridiciw~srlsrcri de ar etc. A gstencia cempliexa [orneida. pela fonrc; (S i ) & igual È potência complexa conaumida
r : * p ~ i ~ g i i ( s ) , o u ~ j i :
, b ~ , = ~ + j ~ = 5 + j 5 = 5 f i f 4 5 ~ MVA Sf = S, = 5JZ~45" MVA
* O fator de potência visto pela fonte é igual aa -seno do ârlgulo de defaesgem entre a J l d ,
, teniío aplicada e 4 corrente fornaida fonte, ou rioda i yal no ui.isno do íngulo da
I'
,'i 'a potência complexa Si, Para Q circuito wnaiderado tem-se:
O valor eficaz da corrente fornecida pela fonte é igual a:
A figura 3.13 ilustra a traiiemissb de potência da fonte para a carga atravéa de um condutor ideal.
' 6
t ri d
'L 6 * 111 a
Figura 3.13: Fluxo de potência em um circuito CA
' Atrsvb dos cálculos realizados, percebe-se que quanto maiores forem os reativos for- necidos pela fonte, menor eerá o valor do fator de poténcia. Como a fonte é projetada para atender à potEncia aparerite requerida, um baixo fator de potência significa que unia pequena pormn t agerri da potèricia aparente fornecida pela fonte ser8 utilizada para a. realiza+o de trabalho útil, r i o caeo, a dissipação de potência ativa nos elementcm resistivoa do circuito. Firialrriente, prcele-se tarnòéni que quanto mais baixo for o fator de potsncia. maior eerá a wrreritc no wtidii tor. Tendo eni viata m fntcm niprmntadori, conclui-ae que é vantajosa a e1evq.k do fator de potência da instalação.
É possfvel faúer uma alteração no circuito de n ido que a fonte mmeotc fnrnep p&hcii atiua que, em wtiwqi?&ncia, e e r i transrnilida à, cargn pelo condi~tor. Obviamehte, reativss necessários para a opera@ da carga deverão twr fornecidos por outra fonte. A figura 3.14 ilustra o circuito alterado, no qual é ineerida uma fonte de potência hatiua, que fornece os reativcm coneurnidw ela carga. A nova potência aparente fornecida pela fonte ser&:
I
I Si I= P = 5 MVA
que é menor que a potência aparente fornecida anteriormente. Assim, se o circuito for *
novo, pode-se especificar uma fonte de menor capacidade para alimentar a merima carga. e Se o circuilo j$ exiatir, pude-ac instdnr mais cargaa util izsndese a mesma fonte. , e '
e .: 127
'
a O *
L-- - - -- -.-- - -
a a I
i <;\'
, ' c Figura 3.14: Fluxo de potén$ia e m um circuito com fonte
de potência reativa adicional
O novo fator de potencia visto pela fonte será:
4 e s nova arrente fornecida pela fonte será igual a:
que C menor que a comente fornecida mterihrmente. A ditiiinuiçia -- da eqrreqte-~~ - deve h-elhinyío d i - ~ o r n ~ . w n c n t ~ ~ ~ ~ ! l ~ n ~ ~ t ; ~ - ~ a n ~ ~ i d ~ ~ d h ~ d 1 ~ ~ ~ ~ a t o 8 , mtivorr da carga. Aasim,nqcaari - de -um-çircuitanovtl,-pcde-BB eapadhr-iyn-cpaduhr- de menor m+~. S. o circuiko j i - e x i a t i r , . p o t k d w t u U e ur~sr-utilizando-sc-o. mearno wnduior.
a O p r ~ i ~ r n ~ ~ - d , t ~ o p a r . elevyáo do fdor de potência de urni-iaitd.FáPL. - - - - - -
chpm-da- de, m m s ~ o - d o Jaior-de. pot.Zritia., he-e na~m-qu-h h ã - d t e r ~ h x ~ m c d ~ - noa dois caaos, ou
aja78 potência consumida par - ela - - é a - mesma. - - No ent-yoei consumidoono - cmo ilustrado pela figura 334 sã0 fornecidos por o (fonte de po<ência reativa),
-L_ L------
cuj. instd* -- impliu em c u u O , um compromisso entre a -nomia obtida com 8 fõnfe--e!-& condutores e oe gaetos de instalqão de fontea de potência rutiva. h t u d a d i z d o i indicaram a n e c c ~ i d d c d c e indústriui ,muiteem -_ -___-_ --- -- um f h r de potência médio menial mínimo de OS92. I n s t a l ~ s cili que o fator de potência m a 0 maiud for menor que o LiTor mínimo &tipulado a i o psnalieadaa no papmcnto da oontr de wnnuno de energia elétrica. A canta de mnaumo para indal-a com fdor de
- - - -. . - . - - - ------ - - . -
potência abaixo do mínimo especificado pode .rr d e u l d a da seguinte mnaciia~. p,:p- .
0,92 Valor a pagar = Cue to da e~crgia coneumida fator de potência medido t
que pode multar e m um scréacimo caneideriivel.
1 Até 1994, o fator de potência médio meneal mínimo era 0,85. Em abril de 1994 novcia nrirrnhs dekrminarm que o. v~lctr Icrm dttrado para 0,92. A partir de 1996, medidaa rioda msis iuvcrm dnrrão wr doiadu, com a medição borárja da fator de potência, exigindorm um fator mEnit~iri dio 0,92. "&R mudanças visam a um aumento da eficiência de uEilis@ $0 sistema dr ~ ~ r q j b e d.ranerníesb de energia existente.
1 As principks fontes de p t h c i a restiva uliiizgdaa são os capacitorea e oa condensadores 4. nincroacm. Nmte upitulo wrnaoi,a m pBm~iros e r i b estudados.
Exemplo 3.8 Os dados pura o circuito da Fgura 3.1 5 são os eeguinlca: $' = 100LOo V, f = 6 0 H z , R = 1 0 R e X L = 1 0 n. .
--
I *: d 4 .x
Figura 3.15: Circuito para o exemph 3.8 'd i.! ,I.: a) Com P chave ch aberta, determinar as potbnciaa aliua, recitiwa e aparente fornecidU6-
pela jante, assim como a comente f e o falor de poiéncia;
b) Com a chave ch jechada, determinar o w l o r do capacitar (C) para que o fito? de potência r>isto pela fonie paase a 0,92 induiiuo. Determinar tambkm as n o a a pténcias e a noao corriente.
1 29
e u Para o cimuito tem-se: :
I S I= f i kVA P=lkW . . j p = cos(4) = 0,707 (indutioo) Q = l kVAr
A figurn 3.16 mostre o triingulo de potências para este caso (P, Q e S).
1.
\ ? %
Figura 3.16: Tkiâogulo de potê~ciss para o circuito da . . exemplo 3.8
b) Com o fechamento da chave, 4 potência fornecida ri carga continua a merima, pois a tenuão aplicada nela r e mantdm. Neste caso, o capacilot fornece polência nativa, não coneumindo potência ativa. Deda forma, ti poiência atiua fornecida pela fonte P' aerá igual I P (i kW).
130
O novo ingulo da potência wmpleza é obiido facilmente pois o ualor do nauo fator de puiéncia t! conhccido:
#* = coe-' (0,921 = &23,07"
C o m o se deseja um fator de pot6ncia indutivo, #' = 23,07O. Conhecidos os ualorer~ de P' e b', p i e - s e determinar os novos valores das potências s p n n t e e reativít fornecidas pela fonte:
\ P' P 1.10" I S ' ) =; - = - = - = 1,087 kVA
'% fP' IP' 0,92 Q' = S' . mn(q5') = 0,426 kVAr
Deve-se notar que a potência aparente agora k menor que a anterior. A 4gum S. I t i mostra o LridnguIo de poiênciaa para o circuito com o capacibor (P', Q', S'). A potência reafiva fornecida pelo capacitor, AQ, é determinada pela diferença enirti
potências reatiuas jornecidas pela lonle depois e antes d e sua instalação:
r l l g AQ = Q' - Q = 0,426 - 1 = -0,574 kVAr => potência reativa do capacitar
Pode-se obter o valor do capacitor a partir da potência reativa que ele deve fornecer ao eirruilo (AQ). Se uma tensio = V., L o V é aplicado a um m p c i t o r , a
c o m n t e será do tipo Í = Ie j L ( a + 90') A. A potência compleza / o rnec lL ao a capacitar vale: m'
S , , = V e j - 1 , j ~ - 9 0 0 = ~ - j V e l - -ief VAr
Definindo Zc como a impedância do capacitor, tem-se:
--= I,, = - - - I zc I
w . C . v=, xc A poiência rcativa no capacitor uale então:
Q a a p = - w . C - b $
-
, e finalmente o valor do capacito~ e':
8-1 F C=-- (3.11) . vi
Apltuindo a equação (3.11) ao ezemplo, tem-se:
A nova w m n t e fornecida peta fonte vale:
que é menor que o comn te 1. A Jigum 8.1 7 rnostm os f a s o m de tenstio .c wrnnie antes e depois da wmzção dofator de potência, onde se pode potar o efeito da ligação do capacitor em pamlelo com o carga. R corrente & no uapacitor, adiantada de 90" e m relaçáo i tensão, se sorna ti comnte f da curgn nsultando na novu corrente total j'. Pode-ae notar também que 4' < 4, rignificando um aumento do jator de pqiência. I :
Figura 3.17: Diagrama fasorial do circuito do exemplo 3.8
A
Quanto maior for o valor do capacitor, maior será a corrente Ic, fazendo com que i defuagern entre f' c 1' diminua aiada mais. O valor mínimo de oçom p m u m ddtwninaL vala de f~ puna o qual r dejusagem entre Y c 1' é nula, ou reja, o circuito p s a a aprtsentar um comportamento msidtiuo. Aumentando-se ainda maia o valor do copacitor, a comntc P> possa o crescer mwameentr, findo adiantada em mlogiio a f'.
N u t e m o , a dejabagern e n t n c f' cornega o aurnerfar, diminuindo, prianto, o jalor de :. potência. A partir de então, o circuiio pssa a apresentar um comporiamcnto cupocitiao, , "
O i- mdtodo de obtcn+o do aatot do rolpncttor attuivéa da-andlbe do triãnguhdíq~~i$n- - - .- - -- -
cian i eúiidi-qiuwi6ü~n-htrrnta tewtia aplicada ao c(p.pariior r i ca cal ou seja, quando &dum trnptddntiw d 6 a tm-pomlrIa. f i l o í a r i iuopia ~rrruel. 7 pmíwl - c&git h - futor de pk;rtria i i~i5werniÜndo ropaci!orris rrn r&r com n mry& na ~nfanlct, b l a n60 r' feito no pniiicu. A mwçüze $0 jdor de p i ê n c r n mrrr e-JGpzçãadr mpbciiorim ãfiG r t ~ d t u em uni aumcrita da comnhr jomcra'da @a fonk E em Üm ãurnrnioXefGi-E~~ - na - . cargü, pdrndo, podanjs, comar $ano.* mos tquipcrmcrr.las. Na ~ntania, r imiaiapicl de wPç~iom.ç em s~'ric!, iumhdrn chamada de mrnprm~agtia nlo'~e, i ulJiyada em nuimr '
situuçõeli nu operação de sisiernab elétricos. Um méiado meisgml d~ 06iep&do uttior da cupariior é ci ba-undfi~e-bõd_imp~de'fici+ V ---
da - cimuilp. NO caso deste ezemplo, o impedáncia da carga é dada pelo reei~tor R em paralelo com o indutor cuja malcincia é XL: ,i ? >
I
2 = R / / ( j X L ) = .10 .10 L90°
= 5 4 . 2 ~ 4 5 " R 10 + j10
i I Com o fccharntnto da chave ch, o c h c i t o r é colocado em paralelo cam a carga Z . Se
a impeddncia do capacifor é Zc =I Zc 1 L - 90" = jXc 51, então, a impedrlnciá vista peta fonte, Zf, vale:
. lia I !a
' I -1 5&~41~i'- I ZC I L-Wb 5 f i . JZc ( L-45' I 1
2, = z / / z c = - 5 +j(r> CxC) - 5 + j ( S + X c )
I 1
O ángulo do número complexo do denominador, t9, é igual a: i\ I
54-XC @ = t M - ' ( ) I .6
e o bngulo da impcdãncia 2, 6: :a. \, 4/ .= -45" - /3= -45* - tan- ' (5 +a) (3.12)
Coma se deseja urn fafor dc poténcia de 0,92 indrtivo:
4w -(&I) = 0, 92 e 4, = 23,07"
'"'il '*
133
t
Subdituindo o valor de 4, no equa~áo (3.I#): 5
Xc = ~1 '7 ,42 f l ' I - .
, E o valor do wpc i tor i:
O procedimento descrito é válido para indú~trias, cuja carga i fortemente indutiva. No txtw de insta]* residenciaia I& é medida e cobrada a potência ativa consumida, pois s potência reativa Meume vdorea despreziveis do ponto de vista da empresa wnceaaiúnária
, ; de eneigii. 4 .
A w r r w do fator de potência implica também na diminuiçãú da queda de tensão e das perdaa de potgncia ativa em linhas da transmiesáo. Na figura 3.18 tem-se um4 fonte que alimenta uma carga atravéie de u m a linha de transmissb, representada pela '
impedância ZL. I i;
I '* 1
Figura 3.18: Circuito CA genérico
Aplicando-se a ki dss tensás de Kirchhoff para o circuito tem-se: .;. I 9- c ab 5 !: i ;,;: ;::,k* .A,
'. r:.v i!):) ,k i ;=Yc+zL.i ' C
. . . : . q c ; f i r m V , - g = z L . j '- i,
O f-r ~ f i representa s queda de tensão na linha. Conforrne foi mostrado anterior- rn mente, a correção do fator de: potência reeulta na. diminuição da corrente. Assim, a queda de tensão na linha será menor. As perdas de poténcia ativa na traaemiesGo não dadd Por: +
" , a Pr = R - I:, C
; , " - 0 A potência de perdas na tranmmirisão também depende da corrente. Se a corrente
diminui com a correçío do fator de potência, ra perds. na linha também dirninuerri.~!. : ' Conclui-se poie que a correçálo do fator de potência aumenta a eficiência e qualidade 9
de operação de uma inetalaçb, liberando a capacidade de fornecimento das fontes, me- @ lhorando o perfil de t e n a , a travb da diminuição das quedas de tensão, reduzindo w. e perdaa e reduzindo m gastos com as contas de coneuma de energia. a
< 3.5 Máxima transferência de potência
Seja a função f(z) = - x 2 - 32 -(t 4, cujo gáfiw é mostrado na figura 3.19. a' a
Figura 3.19: Grdfico da função f (x) = -xz - 32 + 4
-
1 . : 1 i É pai ivc l obter um ponto x. t i l que o vilor da funqáa n a t c ponla, /(z.), wj jr nihimo. I a A derivada da função f ( x ) calculada no po~ito z, reprmeats a duclividade da mta tangente /. i curva (f ( x ) x z ) no ponto r,. No ponto oride f (z) i máirimo, a dec l iv id~ lc da reta
tangente C igual s zuro. Porlanto: rn
. ' c o valor da função e m r. = -3/2 C f (3,) = 25/4 = 6,25.
I ' Este meamo procedimento matemático pode ser utilizado em circuitos para a deter-
m i n a do valor de carga a ser conectadu a uma fonte para que haja a máxima trane- ferência de potêncis. Inicialmente, seja o circuito de corrente continua mostredo na fi- * puri 3.20, composto por um raiator variável R ligado a urna fonte de tensão real, que C
- rsproantada por m a fonte ided ( E ) em .Crie com uma reaiitência interna ( r ; ) . O objstivo *e C determinar o vdor do resietor R para que a potência coneumida nele eeja máxima. * , p x , k . !
* * .e rn) 'b ;m I
1+1 ':m e Figura 3.20: Circuito de corrente contínua a
Aplicand-se a lei dae tensões de Kirclihoff ao circuilo pode-ae obter o valor da corrente I pelo circuito:
A potâncis wneuniida no reaiiutur R é igual a:
P = R . 1 2 = ~ - E2 = E' R - (ti +R)"
(ri + R)2
1 36
,-,r- . - . . . . . - - 1 . - *- ..- 1.
e depende do próprio valor de R. A derivada da potência em relação a R vale: i
. h
- - i a Z P = E'{ (ri + R)-' + R[-2 (r; + R)-']}
O vaiar de R para que P seja máxinio C obtido igualando-ee a derivada da potêncii~ obtida anteriormente a zero, resultando em:
I .\. 3 , Aariim, a carga dissipará máxima potência quando eua resistência for igual à reei~têncir~
r . 'IA .. interna da fonte. Seja agora o circuito de corrente aiternada mastrado na figura 3.21. Deseja-se obter ci
vdor da irnpedância Z de tal forma que a potência ativa consumida na impedâucia eeje, máxima. Considerando Z = R + jX e Zi = R, + j X i , a corrente no circuito vale:
I m ' e
Figura 3.21: Circuito de c o m t e alternada * e. *
137 e m * m
*
'i m a a
---
O mau10 da corrente é igual a:
I = , v
J(IZ + R)' + (.r. + X ) I J
A potència ativa consumida em R vale: .
P = R * I a = ~ - v= I
(R, + R)' + (Xi + X)' " ,
= V' . R . [(Q + R)' + (Xi + X)']-'
A poUncia ativa consumida em R dependa doa valor- de R e X. Aaaim, p u a a obtcnç& da impedância de máxima transferência de potência dsve-ss obter u dei& , ~ u c i d a e m r c l q h a R a X e ambaa devem ser igualada i zero. As d e r i 4 . q p u c i r i i 350 aa eeguintm:
-P = v'{[(Q f R)' + (.Y; + ~ ) ' j - ' - R [(R, + H)' + ( X i + X)']-' - 2 . ( R + R ) }
= ~ { [ ( R + R ) ~ , + ( X . + X ? ~ - ~ - R * ( R . + R ) [(R. -b RIr + [Xy; + X j 2 ] 2 1 (3.13)
f
-V' R [ (R, + R)' + (Xi + X)']-' 2 . (X, + X) [2 . R . (Xi + X ) ] 1 [(R, + R)' + (Xi + X)'ji (3.14)
Igualruido a equ-ào (3.14) a zero obtém-se:
Xi+X=O * X = -Xi (3.15)
Subatih-indo a e q u ~ b (3.15) e m (3.13) e iyaiando a derivada puc id em rslagk a R s zero, obtém-se:
( R + R ) " ~ ~ R * ( & + R ) (4 + R)' } = o
( R ~ + R ) - S . R = O =++ R = & (3.16)
138
Neate c-, a impedância vista pela fonte wrd 2 $ Zi = 2 4 , ou wja, na a I t ~ ~ dc miwma traneferéncia de potência o fator de pati?.ncia & uni ik io . +I
3.6 Energia armmenada e m indutores e i Foi observado em uma wçào mtárior que indutores e capacitores L&O elementos ai.- @
mazenadons de energia. Essar elementos não mnsomprs energia, Iato que pode ser ot- eervado através do cálculo do valor médio da wtGracia inntanthnea. No mtanta, a c d a quarto de ciclo de tensão, es.ws elementos armazcninm uma certa quantidade da cnarq-
e gia, que é devolvida no quarko de ciclo de k n n b wifitr. E k a quantidade de rnmgiair . + armazenada rierá calculada nesta wçb, tanto para induture mma 6apwitorm. C
a) Indutor: a potência instantânea para um indutor é dada por:
A figura 3.22 mostra as fornias dc onda da teneão e da potência inetanthea para o e indutor. A energia consumida :em um certo intervalo de tempo é calculada por:
Pela figura 3.22, o indutor recebe energia da fonte quando p( t ) > O, e devolve energia • para a fonte quando p(i ) < O. A brea hachurads corresponde à energia que o indutor . recebe da fonte em u m quarto de ciclo de taneão. A energia é armazenada entre 0 s inetanles a/% e r / w e pode &r calculada por:
- V., . 1, J
W
. Figura 3.22: Fonnrrs de onda de tènaáo e potência iue- a , taatânea p u a um inchttor *
I Corno Kl = I Z I 'Iel = WL - IeI:
a & = L . l Z , J
+ , i , I
ou, em função da corrente de pico:
m a L. lp ' * a' = -
2 J
i i ; 4 .> L
, b) h i i Capaci(or: a energia armazenada pelo capaci tor em um quarto de ciclo de tenaão I. di P . pode aer calculada pelo mesmo procedimento adotado para o caso do indutor.
I* A potência inetantânea para um capa&& é dada por:
A energia armw~nada pelo capacitar é cdculada entre a, inatmtes O e r / L , quando a potência apresenta vdorm mitivcwr-
- df = E, . I., 1 sen(2wt) df
= - 1,; - Ir f
2d - 1 rc~J~) - cãcr(D)]
W
Como: 3. i
? I
I=, = - Kf = w C . X , l Z l '1
,I tem-se finalmente: 1
I
C . V3 I;(; C . v; = ---L J
2
*
l e i t mas adicionais r Címaitos de Connlci. Alletnada, C.F. Cotrmars, R.M. Kerchaer, Cloh, 1977.
1 capitulo^ 2, 3 e 5 i
i s Circuitos Blétn'cos, 3.A. Mniinieter, McGraw-liill, 1972.
Capitulo 7 1
r Itutalaçõea ECétricrrs, H. Creder, Livros Tknium e Científicos, 1986. 3
Capítulo 7 Y
-
e
e
Exercícios
S.1 Coneiderar o circuito da figura 3.1. A tensão aplicada e a corrente resultante cão:.
u ( t ) = 4. V., . sen(wl) V i ( t ) = f i . ~ . , . s r n ( w l - #) A
Mostrar que r potência inatantbea pode r r expresaa por:
p(d) = A t B .sen(2wd t a) W
e determinar A, B e a. Se = 10 V, fazer o gráfico ( p ( t ) x wi) para:
a) Z = 10L45" R;
c) Z = 10L90" 0;
d) Z = 10L - 90' a.
3.2 A comente periódica mostrada na figura 3.23 passa por um reeistor de 1 SI. Deter- minar o valor médio da potência dissipada no resistor.
. ,. , " \
, i , , 9
Figura 3.23: Circuito para o exercício 3.2
S.3 A tenmdo aplicada so circuito moatrado na figura 3.24 é:
v ( t ) = 127& aen(wt) V
onde w = 377 rbd/a, R = 10 'R e L = 10/377 H.
Figii ra 3.24: Circuito para o exercicio 3.3
a) Se o capacitar é ajustada em 1/3770 F, calcular M potênciae aparente, ativa c: 4 . . . \ . mtiva e o fator de potência na fonte. Calcular também a corrente fornecida pelr, . _
. . fonte; f b) Esboçar a curva ( I , , r C), onde /,, é o valor eficáz da arrente fornecida pela fonlt:
e C s. capacitbcia. Variar a capacitãncia de 10 a 10000 pF. (Sugeatáo: utiliaaj: escala iogarítmica para a capacit ância) .
4 3.4 As impedhcias Zl = 5L45" Q e Zz = 15 fl são ligadaa em paralelo wnfotmt: nioetra a figura 3.25. Se o wattimetto mede 2000 W, determinar OB valores medidos pelcr amperfrnetro e pelo voltimetro.
-3 3.6 As impedâncias Zi = 10 L30" $2 e Z2 = 5 LMO fl são conectadas em série e consomen: unta potência reativa de 34MJ VAr. Ddermioar:
a) a tensàn a p l i d a e a corrente pelas impedhcias;
b) ui potin8as ativa c aparenie fornecidas i carga;
c) o f a h de potihcia viõtu pela fonte.
--> 3.8 Um m i a t o r de 10 R é ligado cm &rie com uma impedihcia Z. O conjunto coneomc * q
600 W, e o fator de potência C 90% itrsaado. Obter o tri8ngulo de potências, a impedáncia. @' Z e a corrente fornecida pela fonte, w a tensão aplicada é 100 V. ' d
143 a mj
.'
Figura 3.25: Circuitopua oexercfcjo3.4
Carga 2 - 500 W, fator de potência 50% atrasado
C s r ~ a 3 - 300 VA, fator de potincia 90% adihtado
Carga 4 - 1250 VA, resistivs,
fornecida pela fonte. . I _ .
: I r l i . - ) 8.9 Medições na entrada de uma iodiistria indicam um consumo de potência atiyp de'l25 kW com fator de potência 90% indutivo. Se a indúetria é alimentada com uma tens&) de 13,8 kV, determinar r corrente na entrada da indú~tria e ui potências nativa e cpueote.
-3 8.10 Um transformdor foi ~ubrnetido a um ensaio conforme mostra r fi y a 3.27. As #yintea medidaa foram obtidaa:
1 44
5.F - -
r - --- - - -- i u L
' ' I
Figura 3.26: Circuito para o exercicio 3.8 I' \
3-11 Medi-s feitas e m uni motor monofásico ligado a uma rede de 60 Hz indicaram:
V,, = 220 V I , j = 7 A P=lOOO W
Calcular:
a) o fator de pot&ncia do motor;
b) O valor do capacitar a ser ligado eni paraielo com a motor para que o fslor'dt: potência atinja 0,90;
c ) a nova corrente fornccida pela fonte.
- 3.12 Uma carga indutiva de 1 kVA tem EU fator de potência melhorado de 0,50 patti 0.85. Calcular a kVAr do capuitor inntaldo e m pardclo. <:nlciilai inrnihn a iua capacitância, se a tensão aplicaala for ZLO V , W Ilr.
II
Figura 3.27: Circuito para o excrcfuo 3.10
145 3
1
--r- -- - - -
a
. 'J * S.13 Urna carga industrid de 75 kVA teve eeu fator de poténcir melhorado de 80% para 90% depie da in s tdy io de um broco de rqistèncias de aquecimento de líquidos. * Determinar os kW que foram instaladoa.
1.14 Urna carga de impedância Z = 1 0 f i ~ 4 5 0 R é Jimenida p o r uma fonte de 127 V e f i m stravk de uma linha de reuistência 0,l fl e reatâacia 1 R. Pede-se:
* r ) B tensão e a corrente na carga; * b) .s potências aparente, ativa e reativa, mim' uimo o fitor de potência da carga; 8 -
I 'I,
c) a potência aparente e o fator de potência na fonte;
* d) r queda de tensáo e a perda de potência atiya na linha; j e) o diagrama fseorial wrnpleto para o circuito;
, e I) o valor do capacitar a ser ligado em pude10 min a carga para se obter fitor de
,* . potência unitário depois da linha; : ,I
i>rsg) a tenaão e a corrente na carga após a corre* do fator de potfucia;
. i -h) a queda dk tendo e a perda de potkncia rt4%a na linha após a eorreçb do fator de
* potência;
i i) o novo diagrama fasorial; ''a <;,: !,,!,
j) a nova comote fornecida pela fonte. Comparar com o resultado do item (a);
1 ' k) s nova potência aparate na fonte. Comparar com o resultado do item (c) .
i * S,10 I Um transformador de 150 IrVA opera com um carregamaito de 75%, aliment.ando uma carga indutiva de fatos de pkincir 90%. Calculu as potêncim ativa, reativa e
+; aparente coneumidas pela carga (o carregamento é medido como uma porcentagem dm
'm kVA nominais). Dalarminu ai k W de urga resistiva que podem ser ligada em parddo wm a caga indutiva para que o transformador pasme a operar a plena carga (carregamento de 100%).
D 8.16 Um transformador de 10 kVA opera a plena carga alimentando uma carga cujo fator
de potência 6 0,50 indutivo. Especificar um banco de capacitares (em kVA) pua elevar o f h r de pdkncia pua 0,90 indutivo. Determinar o camgamento do trmsformador ap6s
, , a msreçh do fator de potência. , '
P
I 8.17 A fonte de teneão do circuito de corrente continua da figura 3.20 apresenta uma
k n a k de circuito aberto E = 10 V e uma residência interna ri = 1 R. Trsçar a. curva (P x R) em papel milimetrado, para R variando de O a 4 a. Identificar o valor de R para o qual ocorre máximo conaumo dó potência. Repetir o procedimento para ri = 2 fl.
146
I
d.18 Calcular fornecida s ela
s impedáncia 2 do circuito da figura 3.28 de modo que a poténcia ktiv~t '.
eeja máxima. Coneiderar m casos Z = R e Z = R + j X .
Figura 3.28: Circuito para o exercicio 3.18
147
_ . .
Capítulo 4
Circuitos t rifásicos
Este capitulo trata da análiee doa circuitos trifáaicoe, que aáo oa circuib pIifSm: mais utilizados na prática. São apresentadas s~ conexõee usuais de fontes e cargm trifásicas e discutidoe os métodos de reaoluçk de circuitw trifáaicoe equilibradoe e d m - quiiibrada. O conceito de potência trifásica e sua medi* são também apreaenta2-
4.1 Geração de tensões polifásicas A geração de u m a tens& alternada senoidal foi mcmtrada no Capitulo 2. Se uma M%
gunda bobina, idêntica h primeira, for colocada no mtator do gerador da maneira moatrda na figura 4.1, serão induzidas duas lerieões, nas bobinas aa' e bb'. Se as bobinas forem idênticas, os valores eficazes das terisões induzidas serão os mesrrioa e, devido k diapmi* das mesmas no estator, defaqadas de 90".
Figura 4.1 : Gerador bifhico elementar
Si: as exlremidades a' e 6' das I>r>t ir iaq fort:rii c,otiectadas coriforriir riioetra a figu- ra 4.'L(a), uirl ponlo de potc.ocia1 c . o i r i i i i i i , n, wrá criado P tter~tlt~tti 111Juzidl~i iwrã(i du Li j>o:
van( t ) = h. . ~t 'u (~c! t f V t i b n ( L ) = - \II - B ~ ! I I { G ~ - 90')
Figura 4.2: ( ' 3 ) t.:oi~t!-jac~ (ia!! I ~ i ~ l ~ i r t ; ~ ~ c ( 1 ) ) hrrr~a\ dc: onila (Jas Le~i.q&:.s ~c-ratliiv por utii gc.i.iitIur bifiisic <,
1,,, = Fcj LI )" V
\.i,, = L - 9UC1 V
Solur;%o: aplicandu a lei das Lertsòiis dr h'iir:hlrofl ir-cl o cir.cutlo da Jigum 4.3, obfrtii-sc: a terisão indicoda prlo vol~í~rrclro.
i Assim, o voliii,ietro r i icr i i~oi #i. \,LI V , yuil e' iyrrcrl o» valor cJicur da iensùu errtrr: 0 s
i po~i ios a e b e iguul ao valor de pico du icribiio dt radu la-9~ (v,,,(t) c vb,,(i)).
I
'i 15U
' x, ,
...
. . Figura 4.3: Tens& doexemplo4.3
' - 3 ,
- -- - . .
De maneira geral, tenrrk n-!bicas sBo obtidss s t ravb da m l w de n bbhiu: - - + _ _ - - - - - - . - - . %
uniformemente - - - - espagndas no estator -- - da mGuina rlktrica, de forma analoga - ao - que ti Ici to para o gerador bilbica. Na prét icn, qonrc ~da-a-cner@s-é-~~iul~~rãRrnni~d~.-* -_- __. . _ - -A - - - por crrcuiZo;--tZf&icoe. As razões que levarri a ~ T t a mcirlba são deecritaa no Apêndice k -- Assim, este capitulo será dedicado exclusivamente k ariáliec de circuitoe trifásim.
4.2 Geração de tensóes trifásicas
Se três bobinas idênticas fureni colocadas no estator de um gerador, corno moatra a. figura 4.4, serão induzidas três tensões, nm bobinas au', bb' e cc'.
Figura 4.4: Gerador trif8sico elemen t u
I Devido à disposição das bobinm, as trés tensões induzidas serão defasadas de 120"
I umas das outras e os seua valores eficazes eeriio iguais. Se M extremidades a', V e d
1
i / I : . d a bobinas forem conectsdsa, lormando urri ponto de yotencid wrnurn, n, u> LeoMes
'I i! . inetmlãueas nas t r ê s bobinas serim iguais a:
!
I u.,(t) = J5. v., - sen(wt) V
I' -
= \/Z * v., . W ~ ( L L . ! - 120') v I I v,(l) = V., . ~ . i i ( ~ t - 240') = d? - V., W U ( W ~ + 120') V t4-2) 1
I onde a iensào da fase o, v..(i), foi tolrida conio refcrêi,cia angular. Qudquer uma I I
das tensões pode ser couaiderada coiiiu referência ptigular e a defasagein entre ela per- J
manecerá coostante. A figura 4.5 niostra a cuuenão dar bobinas e aa fornias de onda das tensões induzidas.
1 E
Figura 4.5: ( a ) C*>rit:xão das boliiiias e ( l i ) furrn~v de onda dac. t e u s k s g c r a d ~ q por uiri ~crador
! t rifisico '11
Se o rotor for girado no aeotido opost,o ao maLradu na Figura 4.4, rn tensões iiiduzidaa 1 i 1 wráo:
v.,,(t) = - KO(W() V . d
vh( t ) = f i . . W U ( U ~ + 120') V I ', (
I
v,( i ) = K I . W U ( Y I - 120') V .. ,I
.( ou seja, há uma inversb entre as ten-s v h ( t ) C v,(I). Pude-u observar na figura 4.4 I I
: que o rolor girar no sentido indicado, seu pólo oor te passará yelw extremidadni livre6 ! das bobinas na següêneia a - b - c, reeultando na! terisáa iodicdss pelaa q u a ç i i a (4.2). I I Sc o mlor girar no sentido oposto, aeu pólo norte passará p l a a extremidade livres das9
I 152
. , , ,
j ' .I/ ! 4
. - I I1
r h .! - I i I
L R L W - ------
bobinas na . m q ü 6 ~ d a u - z - 6, c M hd tG.o d d a a p e h q a q . i h (4.Q)1, ,~a segiincria de jm~d, que pode wr ubc ou rrcb, d ~ f i n e a~ delartqcn~ entre m te b
= v,, /!O0 V P, = V,, L - 1200 \r 11iFirl-fl i: V, = V,, L120° V
e, para seqüência acb sào:
= v., LOO V = v,, ~ 1 2 0 0 V ~ N V ~ A ~ J
v, = v,, L - 120" v
A figura 4.6 mostra os diagramas famriais das tens& trifhicaa geradas para se dm-9 ., eeqüências de fases possíveis.
Figura 4.6 : Teus&s trifbicas erad das para següências de frrses (a) abc e (b) acb
No Capitulo 2 foi comentado que a fasc de uma forma de onda é um valor arbitr&~. e tem - - - a finalidade --L- de estabelecer - --- urn-Gf&i&GCidXk-&G~-~&Z-a forina de onda. '. .Nc.
._---_L _. __ .-- - -- - -- entanto, a diferenga de i-a entre duas forma de onda é bem definidii e tem irnwit fundamental na nriáiise de urri circuito. O mesmo se pode dizer da tqüéncia de Um circuito idado não tem seu comportamento dterado em fun@ da''iníidiuqri. dx eeqüência de fases. No entanto, aomente é poesível ligar dois circuitm trifésicoé at de suas respectivas fases.
Exemplo 4.2 So as tcns6es tndwidor no grrudur trijástco rnusimho na figum 1.4 660 4s
- da equação (I.!?}, obter a tensâo medida cniw as crimrnidades dus bobirios a e C.
- So~uçáo: a figura 4.7 ilustin a ailuti(üo. A trrisáo rniw os t e n i ~ l n a b a c b í obtido através da aplicaçáo do lei dar trns6rs d e h'irclihofl p r n a nmiIiu iridicoda:
P J3 - I$, L30° -----.L- - d 3 ~ 3 0 " O tl i;, -- é. . J3 L 300 v,, LU0 Kn
O p n t o comum n C chamado de neutro. A s t e ~ õ e s entre uo lwes 4 :S t C C O -neuln-~ são chamadas de tensás de I-. A s tensões cntn fmes r i o chambdad'dr i e n e &r ] linha. Pam a segÜ6ncia de fases abc n tensõo de linha Prnb tem rm d o r efimz fi vtrct - i
I maior que a tensão de frrse R, c tsiá 3U' adiantada em rxkçõo ti tensão &C ~ Q R L P d c - ~ , verificar facilmente que se a seqüéncia de faa for acb, o mlaçio entre o8 WOM eficnru , será a mesma, com a tensão de linho atrasada de $V em niaçiio Q tem60 de f m ~ , >I figum 4.8 mosira um diogmrna fasotiol eornpleio, com rs sei. tcmóes pssíocl, pnde as nota que a soma das tensões de fase i igual a zero, w i m como a soma dm i e m a e a dz ,,
linha.
Figura 4.8: Djagran~a façoria1 das teriss dc f ~ e e de linha
1 4.3 Conexões trifásicas I
Liga.t$io e m eetrela ou Y - com neutro
I * m
8 Ligaçb e m triângulo ou A (delta)
Liga* em eetrela ou Y - seni neutro
A figura 4.9 ilustra as conexbm para is cargae ~rifáoicss. O neutro da carga pode OU não estar ligado ao neutro da fonte, que por nua vez pode ou r i ia artur aterrado. .
Figura 4.9: Conexões de cargm triiásicas
I
3c &=@bciu d o m a l m ~ m imds %, =- %),rd raCehun& opuilibmda. CUY) <i~nt,r%%~-~ tri1hic-a =r1 d r ~ ~ y w
Se rs tensões fornecidas pela iuute t i ~ = v i l o r r(icaz c at ivr rern d d d - de 120" umas das o u t r ~ , a fonte será chamada de equilibrada. Nn praia , q a i & r ~ -
h .
me GPCEm LR ionXm wma &r) - crebradas. 4- . . &T&-~sgid?~d? c 4 ; i ; b r ; d w - ~ ~ - 6 - ~ + ~ i b~arlarln,n,n,Un,n,~nnm~~ foi- o r i r ~ ~ i ~ ~ ~ ~ i - d m u j . 1 i2rroriuU~+~
- -
-I desequilibra&. A anase de circuitoe trifáaiccta não ayreoenta novidade rlguna do ponto de vbta
Mriw. Áeaim, iu principais caracteristicae dos mesmoe par& os diferentes tipm de w g a krão apieseotád&na firma de euempfg nas ptóximas m.
Triiinguio (A) -74 iL E
, ::+i$ -- - -
: . + 5
L
,
:zZJ-, r
C
- .
btrela icm neutro (Y) 1 :- C*
*- - >
I
Estrela (Y ) ' w m neutro
C
- -- - .
. - ,
4.4 Circuitos equilibrados - :Y - '
. " . .- 7
4.4.1 Carga equilibrada e m estrela (Y)
Exempla 4.5 Uma: ~nrxrgri fri:f&iru rqai'ltbmda ligada em a lw lu com nruim fiem arm mdrr j-C uma m#Cdincin d~ IPQ $1 em ninr m m urna m l i n c i ú indrilia~ de Ibb n. &EU áorpil ; concc~udu a uma fodc iriJd5ir:a rqtri!êQmãa de LtmPo $r j m e i p u I Q 197 V - QcL&miita~* M CO?TW~ILP dt hflha 6 de L ~ c u ~ ~ W .
- - -
4 jA b H j.X
4
'H - It? b R j X - -
C' 4 ic R jX
I chave fechada
-- -
e ; Figura 4.10: Circuito coni carga equilibrada em estrela e ' com neutro . i O / A impedtincía de carga vale:
I • ! Z=R+jX=120+j lEiO=200L53,13" R a '1
1
As l e t w maiúsculas A, B, C c N indrcorn os lenniniaiq da ,fonte. As letrus minbcuktg
1 a, b, c e n indicam 03 terminais da carpa. Neste ezcmplo, não há difennga de potencial 1 e ; entre os pontos A e a, I3 e b, C e c e N e n pia oe meemos são ligrdoa por wndutored:
ideais . - r I
31 Considerando a seqüêncio de fases abc e a tensão de Iase a como refmFacia an
e-ten+ões & fase fornecida-s pela fonte são iguais a:
. 1 d i lyN
h ~ E ~ T L E F A K E N E U T ~ O = i z t t !oO v
1 5
r 4 V B N = 127L-120 ' V li 14
= 127L12Oo V / bc ~r
* + I i @ 1 .I?? -
, i- JvGr:
@ : h.u; i r -#,, i, I t v a c t L ; l , ~ . 157
'.' '+
A s tewõea de f a e rão aplicadas a cada irnpedáncia e m comníca de linha, que rã0 aquelas jornccidua pela funt e, tialem:
As correntes de linha tém o mesmo ualor $caí c rão d e l u a d o s de I QU'. Asaim, ba la calcular u corrente de uma das fases e as o~rms são deteminadas rtmplwmente wnsidcmndo as dehagens upropnadas. O diagrama ftworial das tensões e correntes na carga i mosimdo na figura 4.11.
Figura 4.1 1 : Disgrama fasorid para o circuito corn carga I equilibrada ern csticla ,
O diogmrno fasofiol Ia grundcras da fase r e IA) é idéniico ao diagrurno f u o n ~ l d a grande%- dw ,fases b e c, comidemndo-se tu defasagens de L$@.
Aplimndo o lei das a r m n t e s dc Kirchhoflpnz o ponto n, pale-se obter a mmnte de neutro, IN:
. Amslm, ae a chave do fio neutro for abeda nada mome.
4.4.2 Carga equilibrada err i triângulo (A) /
I .; - - . . . - - -- - - - -
a Exemplo 4.4 As impedáncius do e ~ ~ n i p l o 4.9 são conectodas em A . D e t t m l n a r ã* .I correntes de fase e de linha e traçar utn diagmmu fusoria1 completo. a 1
1
Q I Solução: 0 circuito é mostrado na Jigurn 4.12. Neste caso, as ienaões de linho sáo upk-
'
.1 cadas a cada impedincia. 1 * I
m ; a a 1 + m I
:I
e ; a I a , j Figura 4.1 2: Circuito c o m carga equilibrada e m triangdo
I
A temio de linha PAR scrd tornado corno reJerência angular e, para ecgCénciu de /asa abc, tem-se:
1 3 1.27 i
A s cornnfes em cada irripcdáncia ao chaiiiadns dc <:orrerites de fase e valerri:
, A s ' m m n l e s de Jose têm o mesmo valor eficaz r rsiiío dc/osodos de 120' c i u o aomo i
. igual i rem. As m m n t c s de linha a io o b t i d a aplicando-$c a lei das wmntu h Ki&fl nos mo's a, b c c . Para o nó a, tem-se: . , *
I 5 c
i,, =i.,-i, =0,2279 - j1,8916 = 1,9053L-83,13' A
Da mesma j o m a paru as autrns fascs;
AO comntes de linha tarnbéni t i r r i seus wabns eficazes iguais e cstõo def'adu de lw. Pode-se observar jacdmente que a soma das c o m n l r s de lanha 6 igud a zem. 0 diagruma fasorial pum o circuito é mosimdo no fiyum 4-13.
A mlaçúo entre correde de linha e corrente de fase é:
ou itpLa-c!=nte de ltnha te; um valor rjirn: _ . - & ._. ~ 2 p - q rnuiarq~.r4~_nr~!k3kkLC Cdl"i-gdPPdr-$_~e &-a ~ t @ ~ ; i f i a - d ~ _ l n + ~ I u r nt !~ , i(~ m I p L + - c n ~ m a ~ ~ ~ C ~ ~ ~ ~ ; C Q * Z P , r ~+in~rn cr m, r a a>mnt'e-de linha cst a rcí-ndtrnaar&gldr2P' 1 n k d r u k a m uiílidc~+~ -_ - p b r r p - c i ~ ~ ~ t g ~ tqurliLmdevJ~a-iL
4.5 Circuitos desequilibrados
-- - -
* ! +
\ . j e I
I I ) ! .I
a O .:
i r) i
a. 11 Figura 4.13: Diagrawlia faorid para o circuito com carga
4.5J Carga desequilibrada e m triângulo (A)
a e 1 '
equilibrada em t r i bgu lo
i .
e 1 ! Exemplo 4.5 O cimuito da fgum 4.14 é composto p r uma fonte trr'jcíaieo h $311 \i " i de linha, seqiência de foscs acb, que alimenta uma carga dueguiliámda em A, cujai
n : impedâncias por Iase valem: n
Z,b = 100 + j 1 0 0 a = 200L6D0 61
i 6 Zbc = 100 - j100 = 100fif - 450 11
'
f i I
2, = 150 f2
fl 1 Calcular os comntes de fase e de linha e lmçar o diagrcima jworiol. n! . - C) '4
i
# ! * I e1 I61 + 1
I :! r---
Figura 4.14: Circuito com carga desequilibrada e m A
Solução: de acordo com a seqüência de fases indicada, a tensões de linha dem:
onde a terrsão de linha entre as fases A e B foi tomada como referência angular. A s correntes de fase são iguais a:
NmLc mr ~ G D h4 n&4u cn i r r os uai'oms rrRc.arr,r e fmr3 dm- mmn#rs ----- , $eya acrbm 1 = . d ~ - ~ ~ R T impddncra. w r f i s c . As c o m n t c s de linho são colculodus por; - -
/ r
/A = 1, - 1, = 1,3416 +.jD,332 = 1,3820L13,W0 A 4 L *
IB = I& - Iob = -2,1459 + jl,4168 = 2,5714L14G,57° A * L
Ic = I , - Ibc=0,8063 - 11,7488 = 1,9249L -65,30° A
Pode-se uefificor que a soma das correiatea de linha I! igual a zero.
O diagmma fasorial pam o circuito é moslmdo na figuro 4.15. . ;.:a T7. : . .. - - ; , ;h ,,+-: -. -
Figura 4.15: fiagrama fmorid para o circuito w m carga desequilibrada em triángulo
4.5.2 Carga desequilibrada e m estrela (Y) com neutro .
Exemplo 4.6 Uma fonte trifásicu equilibroda cujos tensões de& são iguais o alimenta uma carga desequtlibmda em Y com neutm. As impedúncztu por f'e da curair -
valem:
z, = ioo n Zb = 30- j 4 0 = 5 0 L - 5 3 , l Y 12 2, = 50 + j50 = 50flf45" 52
. , Calcular as c o n n i e s de linha e de neutm. %$ar i diugmrna fuorial.
bluçáo: a figura 1.16 mostm o circuito com carga desequilibmda em Y com neulm. Considerando a iensáo da j a s e a como wfrrência e acqüència de J c r s e ~ abc tem-se:
t thavr fechada
Figura. 4.16: Circuito c,oiii carga dest:quilibrada erii estrela corii aeu lro
A s tensõcs de lrnha são.
Como o neutro da carga ri eslú çancctudu ao neutro da íont i N, ambos eslâo no niesrno potencial. Assim, a tehróes de Iase na curga são iguais òs irnsões d e j a e na fonte c ar correntes de linha uulem:
A figura 4-17 mostra o diagmnza faaotial pam o circuito.
Figura 4.17: Diagrama fmoriai para o circuito do exm- plo 4.6
a - I r
Exemplcii47 Uma instalaçúo msidencial recebe da wmpanhia /orneceáom de enema eléfrica d u a jases e o neutro, con/orme mostm o k u m 4.18. Em um detemina tante, somente a geladeira e o chuveiro a lão ligadori. Pam cate inelanfe, obter nntes comumidua pelos equipumentoa c os correntes de linha c de neutm fornecia companhia.
Figura 4.18: C'jrcuito para o exc!rriylo 4.7
Suluq"i; tornando a josc b w m o rejPrtncio angular. e as'rurnindo sequência de fmes abc,
e a f e w ó o dc linha entm L e c:
Os dados fornecidos pam a geladeira são PG, = 900 W e jdor de potência 90% indu- tiuo. Assim:
x , : < ;
A potência wrnpleza lomecida à geladeira é igual a:
h- " .,\I /
O chuveim consome 4000 W e tem jalor de potência unitdrio. Lqm: P r * A 4 - /-'
4
)TI SCI( = 4 LOO kVA /
l - 1 ~ ~ ~ , ,
Como a iensáo pBc está aplicada sobre ele, a comnte será igual a:
A corrente de linha é igual t i corrente na chuveiro:
Aplicrindo-se a le i das correntes de Kirchhofl ti faae c, tem-se:
i I
m a a ; e
i 7 . . ; . a - q i~ = -i& = i, 9 L34,2' A
i A corrente no fio neutm também pode ser calculada por:'
4 4.5.3 Carga desequilibtada e m estrela (Y) sem neutro
- - - -
Exemplo 4.8 Cdcuhr as wrrrntes de linha para o circuito do tzemplo 4.6 8e a chave - do fio neutro for aberta.
Solução: os seguintes pontos devem ser cunsidemdos na resoluçcio deste czcmplo:
i A e o m n l e de neulw, que ezpressa o deeequil:'&rio da carga, é aqont igual a zero. Assim, aplicando a lei das corrciiles de firchhofl pata o ponto neutm da carga, tem-se:
i A fonte triwica é equilibmda. Yodanto, os valoms deJnidos para as tensões de fase e de linha fornecidas pela jonie continuam os mesmos definidos no ezernplo 4.6;
e As tensões de linha aplicadas 4 carga são iguais 8s fewões d e linha fornecidas pela fonte. No tntanio, devido ao fato dr. que os pri tos neutros da mrga n e da fonte N não estarem conectados, há uma diferença de potencial entre os doia pontos, levando a conclusão de que as iensóes dc /me aplicadas à carga nâo são iguais &i iensões de fase fornecidas pela fonte (VAN # c;>,,, e t ~ . } .
Estas camcfe&ticas fazem w m que a resolugáo de urra circuito conr carga destquiltbmda [ em Y sem neutm aeja mais tmbalhosa que a dos demais tipos de carga. Este wemplo eerá
,
.i , resolvido de duas fornras, que aeráo mostradas a seguir.
cr) Pde-se montar um.sistetna de equoçiies das malhas do circuilo e resolvê-lo, obtendo o d o r das c o m n t e s de malha. A figura 4.19 ilustm o ciricuito.
S ã o def i idas duas rnolhm e suas respectivas comntes de niallto, e h. Aplicando- se a lei das tensões de Kimhhoflpara a.9 duas malhas, tem-se:
Y*, - z. i, - Z b . (il - L) = o
Y,, - z, . (i, - i,) - z, - i, = o
ou:
Figura 4.19: Circuito com car8a desequilibrada em ee- trela sem neutro - ~ 1 u ç i o por sistema de e q u a ç k de malha
cuja súluçáo é: I
+ 1 Neute ezenplo, a matriz Y t igual a:
y = 2-1 = 10 -~ .
e o vetoi: de c o n n t e e de malha ( I ] wle:
Assim, as c o m n t e s de linha uateni:
As iens8es de fasr na cargo sõu calculados em jutiçõo das c a m n t e s de linha e das impedâncias de fase:
i;, = L, . iA = 46 ~ 3 5 0 V kn = z~b .jH = 1 2 7 , Z ~ - 151,g0 1) v- = íí, . jc = 159,3 ~ 1 3 4 , ~ ~ V
A dilerença de poterrciol e i i i n os pontos ii e IS p o d e ser obtida com o auxílio da figura 4.20, onde yornente a jasr' a é rtyreseritarla.
Figura 4.20: Circuito para delerriiiiiqáo da diferrngs de yotericial eutre o neutro da carga e v neutro da fuc~tc.
Aplicando-se a l e i das tensaes dt h'ircfrhofl ti nialha, riblLm-sc:
0 diagrorna jaaorial pam o circuito é tnostmda na figura 4.21.
b A segunda maneim de resolver a cirruito C aplicar o Método do Deslournerito da Neutro. Se a carga {osse equilibrndu, o p o d o neuini da carga miaria no mesmo
que o pondo neutro da fonte. Como a carga é descquilibmda, o neulto brr carga se desloca em relaçtio ao neutn, da fonte. A figutri 4.21 ilurrtni esta ailuu~iri, No método de deslocurnento de neutm, o diferença de polenctai entre 08 dois pnim é calculada em primeiro lugar. De acordo com a figura 4.20, tem-se: , . ,
YAN = kn + pnN 14 ,S \
Como p.,, = 2. - jA, pode-de obter uma u p m ã o p m a comnte de lnrha;'~.
Considerando a odmitância da fase a como: . . . l l . 8
a etpressão pata a corrente de linha fica:
I A = 1; VAN - Ya V n ~
Se procedimento semelhante for adolado coni n l o ~ õ o àa jmes b e c, obtém-se:
Como a soma da9 três c o m n i e s de linha ci' igual o zero, &titi-st.
que fornece, finaln~enie, a teirsão enlm os pontos n e N :
1,; -i;, +i;. v-, +v.. Y,, \:nN = --
Yo + 1; + 1,; (4.5)
Pode-se eniáo obter {acilnrentc os L ~ n s ô c s de 1u.ç~ rra carga. Da equaçüa (d..f):
Para estc ezemplo:
A tensão entre os neulms da carga e da fonte valer
L I = 67,6C - 23,1° V $
As iensóes de fase na carga tialc:rri: , I
.I V,, = Vm - VnN = 100 - (67,Ci L - 23, 1°) = 46 L35' V Y&, =YBN - -Yd = 1WL-120'- ( 6 7 , 6 L -23,1°) E 127,2L-151,8' V
I
, 4 *, = VCN - VnN = 1UO L 120' - (67,6 L - 23,1°) = 159.3 L 134,f0 Y
Finalmente, pode-se calcular as w m n t c a de linha: . .
fA = Qmn/Za = 0v46f350 A J .
= P h / ~ b = 2 , 5 ( f - 9 8 , ~ A fc = Q,/Z. = 2,25L89,7O A
A utilização do método do deslocamento de neutro implica em uma paan2idade mzntw de cólculos. Pode-se notar que na epuagáo (4.5) os t e m o s (Y. . P,N), (Y, ~ B N ) C pc . C I C N )
stão iguais ii.s correnlen de linha nas /unes a, b e c se houvesse wnezao rri pontos n e N . Portanto, pode-se escrever:
onde Íi, Í;l, 4 r 1~ sóo as comntcs de linha e de neutm um oi ponios'Pr&N estivessem conectados.
& , ,..
Exemplo 4.9 É possivel ezplorrir as caracteMticas das cargas deeequilibrrid& eh3Y Mrik neutm panz determinar a aeqüência de fases de um determinado sisfemu trifíísico. SE$ a fonte trif'ica de 220 V de linha mostmda na figuru 4.22, onde os dois msialorea são idênticos. As especificações para a carga são as seguintes:
Mostrar que, fechando-se a chave trijásica, a sequência de fases será:
(resistor com MAIOR tensão) + (reator) (resistor com MENOR tepão) , : 4: :. fii '+'&
Solução: a impeda'ncia do m t o r é igual a:
Figura 4.22: Circuitopara oexeniplo4.9
Assumindo que a seqüência de fases seja abc, identificadas na figura 4.22, as iensões de fase fornecidas pela fonte serão:
Utilizando o método do deslocamento de neutro para:
Y, = 1/H = 0,0050 U = l / Z R =0,0124L - 60" U
.Y, = 1/R = 0,0050 U
I obt,ém-se a tensão entre os neutms da carga e do jonte: ,
As tensões de fase na carga aerão:
+ I ou reja, a temão sobre o reaistor R~ é maior que a tensão 8 0 b ~ t ~ ' ~ b f ~ r ; ? & * ~ ( m: se ao ser ligada a chave tR/dbica a tensão sobn RI for maior que a irmão rol - ---, a! a aeqüincia assumida estará comta. Cano contrútio, a acqGincia aend u b . &te tiutc
1 m também pode ser feito substituindo-se os msiatores R, e R, por duas limpudo, i d b t k . Neste caso, a següéncia de fmea ierd dado por:
(lâmpada que brilha MAIS) + ( d o r - ) + (lâmpada que b d h a MENOS)
4.6 Transformações Y-A e A-Y A remiu* de circuitos trií'ásim eventualmente pode su facilitada se cargaa em Y ,.;
forem t rsnsformadsa e m cargaa em A equi valente8 ou vice-versa, a fim de +rem mmociadib com o u t r a cargas (ern série ou em paralelo). As regras para aitas tranaform* r r b
~ : >
obtidas nesta q ã o . . ,, ' . ."
Se uma fonte de tensão monofásica for aplicada entre aa fases a e d de m a curp ,
Y conforme mostra a figura 4.23(a), a iinpedhcia vista será igud a:
d m
rn a I qq Zhr zea . 0 * r z* C
..' - ' I - I I I , 7
(b)- a (4 - , t
QI IC > I ' Figura 4.23: Cargas trilhicas em (a) Y e em (b) A ' . IIi a Se a carga estiver em A corno na figura 4.23(b), a impalância vista mí: O
, -
a ZAq = Z.b//(Zi, + 2,)
1$ a 175 * m
. - - -. - - . - . ..- #Ii
Impondo a condi* de que as irnpedihcias vistas wjarn iguais, tern-ae:
Repetindo o mesmo procedimento para aa outras fases, chega-se a:
Somando as equaçks (4.6) e (4.8) membro a membro, obtém-se:
Subtraindo a equação (4 .7 ) da equação (4.9), chega-se a:
Através de procedimento semelhante, pode-se obter as exprcssóes das impedãncias das fases b e c: * a
As equações (4.10), (4.11) e (4.12) fazem a. transformação de uma irnpedância em A em uma impedância em Y equivalcnte.
A transforma@ Y-A é facilmente obtida, realizando a seguinte operação:
a; 6 * +
C m e, portanto:
rl z,,, = 2, Zb + Zb ' Zc + 2, . Z a
m z c (4.
# Para as outras faees:
m I L ,
a z b c = 2, - Zb + Zb Zc 4- 2, - Z a
za -
2, ' zb + zb $. z c . z a zca = (4.15:.
rn Zb As equqões (4.13), (4.14) e (4.15) rdizam a transformação de uma carga em Y e uma carga equivalente ezn A.
rn m - - e Exemplo 4.10 Uma fonte irilá3ica dr 2.20 V de linha alimenta duas cargas em padtb,
rn corno mostru a jigum 4.24. Calcular as correntes fornecidas pela fonte.
rn * * * a Q * m Q
9 a m
0 Figura 4.24: Circuito para 6 exemplo 4.10 i Q m Solução: este problema pode ser resolvido de duas maneiras: (4) mlculando as comfites h:
I+ linha fornecidas a cada carga individuolnienie e depois somando-as para obter a w m n t c - total, ou (b) obtendo a irnpeddncia equivalente c calculando dintamente a corrente totd-
a i, m rn 177
.1 m
c-+- 1 v- rr I
- -
- - -A
n- 4 -
Fonte 1 Tkiibicm Ç L
N . p.
.'V,
I D P
O @ . 1.: 1:. ., --
Em ambos os m o s , m icwúee fornecidas pela fonte são:
a) A mrgo A é desqui l ibmda c está ligada em Y Bem neutro. As admttáncim por /me valem:
Y, = 0,0100 U Yb = 0,0050 U Y, = 0,0025 U
e a tensiio entre o neutro da carga e o da {ante é calculada por:
ya. qAN + & - + yc V ~ N = -- -
Y, + Yb + K -
O, 01 -127 L - 30' + 0,005.127 L - 150' + 0,0025 127 L9O0 -
O , ni + O, 005 + ri, 0025 =48L-49,1° V
As tensóes de fase na carga A são iguais a:
As comentes de linha da carga A são:
A carga B também é desequilibrada c ligada em A. As comntui de / m e valem:
As correntes de linha sdo:
ai
m; I
aJ iI'
_. ( a r. * * a . * ~ 4 '
m' 1 Q q
. r , , a r - + -
a, Finalmente, us comntcs de linha na fonte r i o iguob a: ,. , - t .
+i b] Dum impdincioa cslão em porolcla submetidor d mcsrna diferença de p- 1
h, Icncid. SI ir a p p a E! Jor rubaiiluida par auo irnprdincii opriwlrnie em Y, u f a r e r d , I também deaequilibmdn. Porlonlo, eams os panlos nedm$ dm mqaa A e E! q u i - I
valrnie podem estar r m polcnciuù difcrrnler, n i o eslorãa em prulelo. P o r eu in~
- 1 lodo, r c a cava A for subatiluida por uma carga cquiwlenl~ em A, m irnpedüncim
$, por f u e rsiarüo rrn purolda, ~ubrnrlidm à, eomfipndenfui Lemõu de linha. +li A ~ m ~ u j n m n g ü o do carpa A em A jomece: i
z,A, = z a . zò + z b ' z c + Zc Za zc =3m n
2; = z a . zò + zb ' Zc + Zc . Z,, = 1400 St 2,
zi = 2, . Zb + Za .z, + ZI, .Z, = 700 n h, r-
Zb LGj- t J,. - < \
A carga equiualenle é: h! - 2:; = Z$//Zz = 127,3 R 2:: = Z~//Z: = 93,3 n *1 . 2: = ZL / /Z t = 254,5 Tt
. i ' . . r T . As correntes de !me valem:
, , . . .. E, finalmente, os cornntes de linha são iguais a:
Pude-sc obserwr que o volume de edlculo é menor no s v n d o OM. -
4.7 Potência e m circuitos trifásicos
A potkncia tota1 fornecida a uma carga trifásica é igual ir soma das potência entregues individualmente a cada impedância da carga. A figura 4.25 mostra dum cargae trifáaicae ligadas em Y e e m A.
Figura4.25: Cargas trifásicasern (a) Yeern (b) A .
Para a carga em Y , a potência trifásica vale:
S e as tensões aplicadas são:
e a carga for equilibrada (2, = Za = Z, =I Z 1 L# O ) , as correntes de linha valerão:
A potência trifiaica fornecida pela fonte aerá igual a:
e, como V' = Vt/fi: - --h +-
L r , + rbjmr
s$= J3-VL - f L l $ VA > , , -.r- ' 6
: r . - , r> ' . ? .C:
Para a carga e m A, a potência trifáaica 6 dada por: .L' , '. r.. $*:+L* . + ;.
s; = S., + SbC + s, = k, i:, + t; - i& + v, - i& : .. '
Considerando que as tensües aplicadas aão as mesrrias que para o cam anterior e que a carga é equilibrada (2.b = Zbç = Ze. = I Z j ~ q ó I]), a~ correntes de fase valerão: "
I
= i ( O 0 - 4) A ~ * = C L ( - S O " - Q ) A A 1 .
Im = IFL(I5o0 - 4 ) A : 8
- -, * ' A potência trifkica fornecida pela fonte será igual a:
e, corno IF = 1, /A:
Asaim, para cargas equilibradas, a expmsáo geral:
a depende dar valores de tensão c corrente de linha e do ângulo da impedância de carga e C a válida independentemente do tipo de liga.+o da mesma Deve-se notar que o ângdo 9 é +I o áagulo da irnpedáncia de carga, e não o ùiylo entre a tenaão de linha e a &rente de a linha.
a As potências ativa e rcativa valem: I
* P w = J 3 . v L * j L ' ~ ~ W J ' $ ~ R
rn QW = fi- VL -IL un+ VAr ,cnd, , , + m
a 181 rn I+ m' ' C&.. . .
Exemplo 4.11 Uma curyu indutiw aquilibruda é alimcnfada por uma fcrnie de tensão de 220 V de linha. A corrente de linha medida c' de 5 A e a potencia aiiva total 6 de 900 W. Obter as potência apmnie, compleza, rwrtiua c o jator de put Encia da wrga. Determinar - a s impedâncias por fase p r c l os casos em que a carga está coneciada em Y c em A.
Solução: I. - potência apannte: I Sw I= f l - V' IL = fi - 220 . 5 = 1905,3 VA;
- jaior de potência: cos 4 = Pw/ ) Sw I = 900/1905,3 = 0,47;
- ângulo da impedância: 9 = as-'(0,471 = 61, H";
- potência wrnplezu: Ss = 1905,3 L61,B0 VA;
- potência reativa: Qw =I Sw ( -se114 = 1679,3 VAr
Pam o cálculo das impedâncias de carga, serão wnsidemdas as seguintes f e ~ õ e s apli- cridas ò carga: I.
*
V,, = 127 LOO V c, = 220 L30° V vbn = 127 L - 120' V V*, = 2 2 0 ~ - 900 V p, = 127L12U0 V
*
V, = 220 L 150' V
A potência por f a e é igual a um terço da potência lotal:
Supondo a caga em Y, @e-se calcular a corrente de linha da f'e a par:
Supondo agora a carga em A, pode-se calcuiar a c o m n t e de fase entre a e U p,
e a impedâncta #era' igual a:
A relapio entre cu impedâncias zA e Zy é:
=a-
que é a relação de tninsformaçiio Y-A paru o caso particular em que a mvtz & e brada, e pode lambérn ser facilmente deduzida a partir das equaçõa de trnn.sfoim
Y-A apresentadas na seçâo 4.6. ;j i
I I
Exemplo 4.12 Uma fonte itifásica de 13,B kV alimenta uma carga Iriftbica equilibmdii em Y de impedância 100 + j300 R por fase aimoés de uma linha de tranamiasão dr: impedância j30 R por fase. Pede-se:
a) a corrente de linha; . .-.
b) a tensão na urtya e a queda de tensão na linha;
c) a potência aparente entregue 6 carga;
d) a potência apamnte fornecida pela fonte;
e ) as potências aliva e waliva consumidas pela linha; . .
f ) o fator de poténcia da curga e o fator de potência visto pela fonte.
Solução: o circuito para este ezernplo é mostrado na figuru 4.26. 1
a) Como a carga C equilibrada, só é neccsaório calcular as l e ~ õ e s e mrrientea pcdiddh: para uma fase. Assim, basta definir uma tensão de fue:
Figura 4.26: Circuito para- o exemplo 4.12
Pode-ae calcular a comente na fase a por:
As correntes de linha valem aprozimadornente 23,l A .
fi) A tensão de fase na carga vale:
A queda na linha é dada por:
c) A potência aparenle entregue àr carga é igual a:
( s c ~ = 3 . ~ , - I A = 5 0 6 , 5 kvA
d) A ptc'ncia fornecida pela fonte vale; I
que é um resuliado óbvio, lembrando que PL = 3 - RL I$ e notando rtnna c ',
composta somente por uma mat8ncia. A potência i-eativo wmurnida;t!: : '+ ;.$ ' i/
j) O fotor de poiéncia da carga C igual ao co-seno do Úngula de defasagem tninr a temão da fase a e a corrente da fase a: 1 ! !
b O jator de potência da carga também corresponde ao m-acno da i nph dr: J a e da
a a tmpedincia da carga, ou seja:
a hC = cos [isii-' (%)I = cor [tan-1 (E)]
Da mesma forma, para a fonte:
4.8 Medição de potência ativa e m circuitos
A figura 4.27 mostra uma carga trifbica em Y wm*neutm (a 4 fim). para a qual m quer medir a potência ativa total wnaumida.
I) a
I, - a
a a a
t rifásicos 'a
Figura 4.27: Carga triiibicá a 4 lios
A potincia ativa total é igual à sonia das potência- ativas em cada faae:
4.8.1 Circuito trifásico a 4 fios
.A potência ativa wnaumida pela impedância da fase a. Z., C obtida atravéa da culou- çáo de um rattímetro da maneira. mostrada ns Cura 4.28.
I. Pela bobina de currente órcula a corrente de linha !A e na bobina de potencial C
aplicada a tensão de fase em. Assim, a indica+ do rattimetm eerá: a e
, * a
Figura 4.28: Ligação de um watthetro
.. .... I $ c..,.
m Se dois wattimetros adicionais forem ligados hs outras faeee da carga, como mMra .. -. rt
m figura 4.29, a potência ativa total será dada pela aoma das leituras doa trh w ~ t t i r n r t m .
Figura4.29: Liga* dos wattímetrospara carga a 4fios
e Em particular, ee a carga for equilibrada, basta ligar um wattímetro, que medirá um ,
rn k r t p da pstencia Mal. IIi I+ 4.8.2 Chcuiito trilásico a 3 fios m m 5e a i m p d h c h mliwr mnmtada srn A OU Y E m neutro, a 1igaq.b dm wattfmatrrn
m é feita como muatra s figura 4.30.
Figura 4.30: Ligaç& dos wattímetrospara carga a 3 Tias
Como não h i conexão do neutro da carga ao neutro da fonte, o ponto comum dos ~watlímetrm, o, permaneceem um potencial arbitrário. As indicaçás doe três wattimetrai
A figura 4.31 mostra mmente a fase a da circuito trifáaico. Para a malha mostrada, tem-se:
Figura 4.31: F ' e a da carga a 3 fios
Para ss demais faaes, são obtidari expres- semelhantes: I
Assim, a eoma das leituras dos t r ê s wattímetroe aerá dada por:
Como a sorna das correntes de linha é igual a zero, chega-me finaimente a:
: I
Assim, a soma das leilura. doe tr& wattímetros fornece a pténcia ativa total entregue . i1
i carga, independentemente do potencial do ponto o. Corno o potencial do pnLo o não telu influhncia no resultado final, pode-se atribuir a
ele um potencial eni particular. Portarito, pode-se conectar o ponto o a uma das fases, !v t
como p o r exemplo, à. fase b. Neste caço, o wattimetro 2, que mede: ir , *t
t, i+
;Z f i = ~e {cBo - j&) !ri
,v I '
9 I
parmá a indicar ;rm, p i a irão Iiavcrn' difwrrença de polcocid ~pEcsds em ru i bobinà d e i,; p k o t i a l . Parkuilo, o *ai timotrt, 2 po<le s r iriiradi~ do circui b, que fira corno mas€ r d a r! na fiwra 4.32.
A emma das leiturbs indica& prIm w a t t h i c l r u ~ 1 .e 3 wr8:
Figura 4.32: Ligação dos wattímetrospara carga a 3fim
tem-se:
Corno (íi + j$ = -h), chqa-se finalmente a:
No easo da carga ter 4 40s. mediu-se a potência ativa total atravén de tris wat tímetmi. Para carga a 3 fios, apenas dois wattimetms foram suficientes. Em geral, a potência total entregue a uma carga w m n fios pode ser obtida através da utilização de (n-1) wattímetm. 0, teorema de Blondel formaliza o chamado m i l d o dos (n-1) watiimetms: , . I
"Se a energia é f&kecida a uma carga polifásica por n fim, a potência total na carga é dada pela eoma algébrica das Wturaa de n wattimetros, ligadoe de tal maneira que cada um doe n fios contenha uma bobina de corrente de um apareiho, estando a bobina de potencial correspondente ligada entre este fio e um ponto comum a todaa .s bobinaa de potencial. Se aite ponto estiver tmbre u m doa n fios, bastam (n-1) wattímetroe"
Exemplo 4.13 Obter as ieitururs de cada watii'meirw e a potência otioa total rrri catga mostrada na figura 4.92, onde: .
rn e a tens60 uplicada é de 220 V de linha.
m %3u+3: as admiiâncias da carga valem:
Se as tensões aplicadas ti carga forem:
a tensão entre o ~ & x ~ [ , ~ ~ da carga e m a e r á : / - -
AR tensões de jase nu carga são iguaiq a:
As correntes de linha valem:
' 7 / h " 'L + c.
i 2 na ,"'.i . v ?
.ql 7 i . m ., 7 7 C. Finalmente, as potências por fase e a potência total súo iguais a:, . , . - u. v I
P A = R ~ . I i = 1 3 5 , 5 W PB =Re.l& = 116,2 W P C = R C . I ; = I ~ ~ , ~ w pM=387,2 w
As leitums indicadas por cada wuttt'rnetn, são:
= VAB v IA - C U ~ (30' + 10,9") = 193,6 W
= Vcs - .ic .c0s(90" - 130,g0) = 193,6 M: I I
1
1 cuja soma tesulta em 381;2 W, que é a potênci, ativa total entregue à carga.
. -
A figura 4.33 mwtra um diagrama fasorid da3 tensões e correntes da fi>nte que alimenta uma carga a 3 fim, para o caso particular em que esta carga é equilibrada.
Figura 4.33: Diagrama I ~sorial para carga i luilibrada s 3 fios
i . - _
Assume-se que a eeqüêucia de fases seja abc e a tensão da fárre a é b m d r c.otP1.J
a referência angular. A leitura do wattirnetro 1 eerá:
d
A substituição dos fasores correspondenta resulla erri:
Da mesma foriria, a leitura do wat limetro 3 C dada por:
Das expressões obtidas, nota-~e que os valorna de potencia indicadoa pelos wattímetmi podem ser positivos ou negativos, dependerido do BBgulo da irnpeâância ou, em outrw palavras, do fator de potêiicia da carga. Se > 60" ou 4 < -60". uma daa leituras serti negativa. A poténcia total é dada pela soma algébrica das Wturas doa wattimetrm.
Na prática, ne o falor de potêircia da carga for menor que 45, um dos wattímetmr tenderá a defletir para o lado negativo da escala. Para realizar a leitura, deve-se inverter a ligação de uma das bobinas do niesxno. No entanto, para a obten* da potência total, deve-se lembrar que a leitura daquele waltimetro é nrwtiva.
É fácil concluir pelas expressões de Pi e PJ que no uso de um dcm watiímetrm a ç w , 1 leitura negativa, dev,e-se inverter uma de auaa bobinas e i pothcia total mrá d d a por:
(patéiicia totd) = (maior leitura) - (menor bitura) I
Exemplo 4.14 Coruidemr o circuito da figum 4.32, onde a carpa i equdibtuda:.,
c a iena<íO de li&. é H0 V. Se o módrrlo do irnpeúúncin da mrga é igrd a 100 n, obter 3 , , a leituma dos dob wattimetros e a potência trifóbica totd p m uma wriação da ângulo # de -90' a 90°.
Solução: independentemente do valor de 9, o valor eficaz das comentes de linha é:
A s l e i t u w dos wattímetms são:
A tabela 4.1 mosina 4s leiiums dos watiímetros e a potincia total pam vários oaIone
de 4. ",
Tabela 4.1: Potências para vários valores de 4
Ainrvés dela pode-se notar que:
a) as potências Mais patÜ 4 igual a -90' e 90' são tguaid a rem, canicieritando cuym pummente mativas (capaciiiua e indrrtina, respectivamente).
b} ú Icitum de um dos wattímctros é nula quando o wdor absoluto de 4 C 60". Este t!
o ponto de mudança na defleztío dos wattcínetms.
P = R . (h)'
onde IL é u corrente de linha e R é a resistência da mnpectiva &e, ecndo dada por:
A cor-n ic de linha é conslatile para este ezemplo e R atinge eeu valor máximo panz 4 igual a zero.
4.9 Medição de potência reativa e m circuitos trifásicos
A p1Fncia rratira bola! dc unin casgir tridkiçir C igr~rr! nama das put5ocim mtim: de ra la h, e porie s e r rnrditIn alrawh dr. wattirnctro~ movemi~atenwnir ligdoci.
Q Psquerrkh de i j~q;Mi *r8 deduxide a p r i i r dw lipo m a i ~ geral dc carga, que é t d-~quilibrnda cm atre la scm ncutrtr, c wri vglidu para Lodo Cipa de rnrgn. quilil~radr. ou dewqiiilihrwin, a trh o u quntm fim. A pkCocia realivn tota! C d d a por:
onde axiibe uma di bmnw de p d r n c i d entre o neutro da carga n e o neutro da fonte N 'i (dmlmamento de ncu tro).
Conforme j>i rnai~railo. ~i bn& dc iav da carga se relacionam mrn .a knaóar dr j fase da fariie LLTRV& da5 mguiatm exprm~ãn: i
-"---- , A expreseão de Qs fica: - .
Assumindo as teneões da fonte como equilibradas, na eeqiiência abc e com referência angular na fase a, tem-se:
A rei- entre m tensóea V'& e ~ B C é:
Da mesma forma:
que, substituídas na expressão de Qw, fornecem:
Tomando bomente um doe termos da expreseb de Qw Cem-sc:
Assim, a exprecisâo de 9% fica:
onde Wl, W2 c W3 são aa leituras de t r k wattímetm Ligadoa da m d r a mostrada n~ , . . figura 4.34. Conclui-se que a soma das trCe medidas é fi v- maior que a potência .:,:.:
rativa totd Qw. Deve-se notar que, mesmo que a carga r j a a 4 fios, o neutro n b 6 ,, '; ,
utilizado. , .~ , i .
Figura 4.34: Esquema de ligação de wattúnetnxr para medição de potência reativa
- . Em particular, oe a carga for equilibrada, a, três termos da exprasio de =lu ,, ,;: ,. ,,
iguaia e aomente um wattirnetro 4 neceeeário. V ' , . ' .%
Por exemplo, rnantend+se o wattirnetro 1, a expressão da potência reativs total ficb:; .'id : r h
ou wja, a potência reativa total é vezes maior que s leitura do wattimetro. ' ' Se o método dos dois wattimetros estiver endo utilizado para a medi@ de pthncia
ativa em cargas equilibradas, C poseivel utilizar a mesma ligação para obter s potência reativa total.
Considerando o circuito da figura 4.32, a operação (Ps --- Pl) f o m m :
WM = V L - I L - w n d ; = - fi
I
E possível então obter o ângulo da impedância da carga:
Pl -F p3
f.
Exemplo 4.15 O método dos dois wattimeiros foi uiilizr io para medir a potência total entregue a um motor e as leiduras fomm:
P1 = 1100 w P, = 2200 W i
Se a tensão de linha e a corrente de linha medida5 a! o 220 V e 10 A respectivamente, obter a potência attua total, a potência reativa tutc?, o lator de potência e a p i ê n c i a aparente total consumida pelo motor.
Soluçác: a potência utiua total é dada por:
A potência reetiua total consumida pelo motor t! ~dat.?;r por:
Qss = .& - (15 - 4) = 19%, 3 VAr
1.98
"a- ; Q
* - I
i C i 6 1.
Exercicios ta - 1 I a 6 e 4- Um rnolw trifbicu 11gat2u cni Y coni neutro é conectado a uma fonte trifáaics de
icnurizi de linha igld a 220 V. A torreute rle linha da faae a é igual a 5 A e a diferença de ;
fam entre mta corrente e a tensão de f a ~ a é de 306. Determinar as seio t e n b (de faw e de linha), se trêe correntes de linha e a corrente de neutro. Determinar ss irnpedbciaa i!- fmws do motor. \i -2 Cãlm1a.r rrrr potetrõi;ui mmplexa, sparcnte, ativa, reativa e fator de potência do motor
rn o cxcrcisio d . I . 'I.
U. . 4.3 Uma fonte trifásica de 220 V de linha alimenta uina carga trifásica desequilibrada em A (Za6 = 3 + j 4 Q, Zb, = 5 R, Z,, = j 5 0). Calcular as correntes de fase e de
' a linha. Fazer um diagrama fasorial completo. O raistor de 5 fl queima. Calcular as novari
I)
correntes de fase e de linha. Fazer um novo diagrama fasorial. ' 4.4 Uma carga trifásica em Y mrn neutro ( Z . = 10 R, & = 6 + j8 fl, 2. = 6 - j 8 R) é Ligada a uma fonte trifhica de 110 V de fase. Fazer um diagrama fmorial das mrrentes e t e n s k . O neutro k desligado. Fazer um novo diagrama fworial das correntes e teusões. A fase p abre+ Fwm um nova dIamma fnsorial das correntes e tensões. -
motor triihico wnmmc 10 kVA com fator de potência 60% de uma fonte de V de h h ã . EIe mt i rni paralldo com uma carga em A equilibrada de 16 i l de
rcsistkicia e 12 0 de ratância capacitiva em &rie por fase. Determinar os volt-ampères h t a i ~ ~ ~ a ptGr~cia ativa, a cormntr de l inha e o fator de potência do conjunto. ? a' I
K a f i Um g d o r trifistico larnm, rrn scus terminais, tens& equilibradas de 230 V e entn uma crrp que necessita de 10 A. Se o fator de potência na, termimais do gerador
é 80% adiantado, calcular a tensão de linha na carga ee a mesma é conectada ao gerador mie de uma linha de transrnissk de irnpedância 1 + j 5 R por h.
Urna carga tr-ifbiui equilibrada mnwme 15 kVA com fator de potência 0,5 atrasado. a capacidade em kVh dc urn banco de capacitares que pode &r conectado - 7
em paralelo com r carga para levar o fator de potência do conjunto para 0,866 adiantado. Calcular s redução pcrcentual de corrente. Determinar a capacidade em kVA de um banco
cnlud..dc- de capacitorm para que a- a máxima.
..i 4.8 Obter as correntes de linha e a potência ativa total Zornecida pela fonte para o a
circuito da figura 4.35. Fazer o diagrama fasorid das teneúee de linba, teri&s de fase e 'm arrentes para a carga 1. C
Figura 4.35: Circuito para o exerclcio 4.8
;v, 4.9 Uma carga trifáaica desequilibrada ligada em eetrela wm neutro e com impedhcib;
iguais a Z, = 10 12, Zb = 15 L30° SZ e 2, = 10L - 30" Tt é dimentada por uma fonte trifásica de 208 V eficazes dc linha. Dctermiriar as correntes de linha, tensões de faae na carga e rs potências ativa e reativa totais fornecidas pela fonte. Fazer um diagrama fasorial wniplet,~.
triiica&aqs-entp de 1,s k W, fator de potência unitário, e um ucáo de 5 RP, rendimento de 80% e fator de potência 85% & alimentados
pelo mesmo sia tema trifbico a tris condu tom, 208 V de linha. Dctemanar a comk de linha fornecida pela fonte para regime normal de operação do motor de indu*, e o htor de potência da instalação.
lf v .
.I r Um transformador trifhico de 15 kVA, 13,B kV/220 V h instalado em uma pequena , i t i uetria. Datcrrninar a m p ~ i r l d c d~ w u d u q k de c m m e i b dai k m r setmi Egadw n m
1dm de alta e bAxr t e n a do t ~ s f o m d v r . Swpr trnaiifomsrclor operando r plena
I 4.12 Umn $mie irifhicri da 10a V di menla um3 mgm tqdbrada., i, ttri-ri, -ri
impedhcia de 20 L 4 5 O Q por fw. Determinar ie mtrcntee de f w c de li& e a
diagrama fasoriai. Determinar rs leituras dos vattírnetroa e a potência triibirs, qurnda ae aplica o método dw dois wattimetrtwi u, circuito. .-- - i .
2hr 4.13 'Ite9 hpcdhúsa iguais de 5 1 - 70" R Mo ligadas em estrela r um ristema de
aeqGeacis de f"mm at6 a t r h wnduhrrn, 150 V de Linha. Determinar M 09rrentce de linha c trwm o diagrama f-nal. htemi inar .a leitursa doe wattimetroã e r potência atim
.. tdd qnmde mz kplica o m&todo dru; doia asttimetroa ao circuito. 'q\
i 4.14 Itis impedhcias de 10 L 30° R em aitrela, e Ir& reaist6nci.a de 15 #I tunbém em - aitrela são ligadas a um mamo sistema trifáaim a 3 fim, 250 V de linha. Calcular a w l h c i a r k i v a htd.
I qj , ida carga whtiw cquilibrulh em A ronpime L LVA. Se a tenJo aplicada .da 6
', @c=:
r imped h c i a por I-; w" I
>) a carga egliidente em Y IR uma dw resistências do A queimar.
+@NO circuito da figura 4.36 foram feitas u rguiuiotn medidas:
I w, = 577 W I u/, = 1154 W ! 1 Determinsr as irnpedhcias por fase do motor, sabendese que eh está ligado mi
C I t r i h y l o , considerando uma tenaâo aplicada de 110 V de linha, seqú&ncb de.f=s obf. : I
I i
I i
Figura 4.36: Circuito para o exercicio 4.16 .
i irnpedánciui de 45 L6D0 R em triânylo -tão ligadas i um aiatema trifásico .
?U V s t r h wnduLorm. A i r n p d i n c i r por faee da Linha que liga a w g a fonte 6 de 2 + j 1 $2. Determinar a tens% na carga. . . , , :.. Y . .; ; "
I /
carga equilibrada C alimentada por u m miatema simétriw ami reqùêricia d c A potència trifbica C medida pelo método doe doia ~ t l m e t i o s , ' G d 9 b k "
1 . . I . , ,. .*. I i meamoe cmhectcrdoa nas faaee a e c, com ponto comwn na fase b.
J
i 202
5 a) deduza as e x p r e s h dm leituraa dos wstlimcbrw rkraueb do diqçram .h
b) ~ n d o as leituras dos wattimetros P, = -260 W e P, = 11W W, dekofininc; - t de potência da carga. - ,- {L* .,
* *
4.10 Uma. cmpla em Y q ~ ~ i l i h r d a cujw valorm nonriinda &o 1 kVA, 220 +V, b b dr 0 L& T E .ricin 85% i'rnduiivo 6 alirnmtda por urnb fonk de tens& de 22U V a 3 fioti atrivb dr irrna linha dc irnpediUicia 1áLW' $1 par i e . A i rnpdincia de carga da fane q u k m abrindo n r m p x t i v ~ I ~ P . Cdcislar n polP.nl=ifi LJ?BWT! lt Fornecida pela fonte n n b F dqmi da alwrtura da faw L,
ae medir a potência trifásica ,de uma carga equilibrada pelo m6todo doa doi uni dos wat timetrm forneceu indicação nula. Determinar o fatot de potencii
N o diagrama fz~orial rncwtsdn na figura 4.37 a~ mrrmlm de lilinha não q u E tibrada 1, mMda 10 h, enqiiantu u .i~nnõR dc lialia U m rnululo i16 V. Delemiau i
impedáncia por fase da carga, suposta em Y e equilibrada.
, . ! : - h :
, Figura 4.37: Circuito para o exercfcio 4.21
Uma fonte trifásica equilibrada de 220 V de linha dirnmts duas cargas trilásim e m paralelo corn as eeguiutes especificaçka:
Carga 1: 3 kW - 50% indutivo Carga 2: 4 LVA - 80% capacitivo ' r
Dois wuttímetros eáo conectadm às fases ú e c, com ponto wmum na faee b. Determine as leituras dw wattírnetroe.
4.33 O circuito mostredo na figura 4.38 apresenta inicialmente aa chavee chl e chl f* cbadas e a chave ch3 aberta.
Figura 4.38: Circuito para o exercicio 4.23
a) calcular as correntes de linha, corrente de neutro e polêricia ativa fornecidas pela fonte;
b) a fase a abre (chl aberta). Calcular ss correntes de linha, corrente de neutro e a porcentagem da potência ativa inicial que é forriecida pela fonte;
c) o neutro abre (chz aberta). Calcular as correntes de linha e a porcentagem da potência 8 t h inicial que é fornecida pela fonte;
d) tm chaves chi e chs são fechadas. Calcular as mrrentes de linha e a porcentagem da potência ativa inicial que é fomecida pela fonte.
O circuito da figura 4.39 apreeentou as seguintes medidas para uma carga indutiva equilibrada:
voltímetro + 220 V amperimetro + 5 A . ,
wattimetro 1 3 0 wattimetro 2 t3 930 W
a) calcular s potgncia aparente total fomecida pela fonte;
i. ';a -Ia d
I i'*
. I. 1 i. ,'Jm " ;:.a, ,i'
1: * l:a o ;I* i. 'rm km :m ; 'da: 8 . a-: ; * '+;
I'.
I . . m', , 'rn: 1 -iam ' #$a . '3, 1'. j;m :* #::a -01 ;;m> 'a' I * ' :* i.* : i ;L i l i
Figura 4.39: - Circuito para o exercicio 4.24
b) calcular o fator de potência da carga;
c) espxificar u m banw de capacitorea em kVAr a ser instalado em paralelo com r . . " . < : .
carga de forma que o fator de potência seja unitário; ': d ..
d) determinar os valores indicados pelos medidores após a corregio do fator de potên; ',
cia.
4.25 O circuito trifásico da figura 4.40 tem mqiiência de f e e abc.
- .
I V
Carga A Cuga B 1 - P
Figura 4.40: Circuito para o exerclcio 4.25
r) dcular a ieomG~ RN (mrga R);
c ) obkr a impedânua vista pela fonte; I d) obter as wrrenb de linha fornecidas pela fonte;
i e) dcular r potência ativa btd fornecida pela fonte.
