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Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso:EngenhariaCivil
Teoria das Estruturas II (2º Semestre / 2012)
Professor: Marcelo Cechinel E‐mail: [email protected]
2
Conteúdo Programático
Capítulo I – Revisão (Grau de Hiperstaticidade)
Capítulo II – Método das Forças
Capítulo III – Método dos Deslocamentos
Capítulo IV – Processo de Cross
Objetivo
Capacitar o aluno na análise de estruturas hiperestáticas, com ênfase nas estruturas planas, fornecendo subsídios para a determinação de esforços solicitantes, bem como o traçado de diagramas de estado, visando aplicação em estruturas de concreto armado.
Metodologia
Apresentação do conteúdo dividido em capítulos através de aulas expositivas;
Incentivo à pesquisa bibliográfica;
Proposição de tarefas e solução de exercícios propostos pelo professor;
Acompanhamento pelo professor para esclarecimento de dúvidas;
Critérios de Avaliação
A avaliação será realizada da forma que segue: Avaliação 01: Prova escrita, individual, SEM consulta. Conteúdo: Capítulo II (Método das Forças) Avaliação 02: Trabalho individual e/ou prova escrita, individual, SEM consulta. Conteúdo: Capítulo III (Método dos Deslocamentos) Avaliação 03: Prova escrita, individual, SEM consulta. Conteúdo: Capítulo IV (Processo de Cross) Além das três avaliações citadas, cabe ressaltar que a presença e a participação contarão como parâmetro na avaliação final do aluno.
3
Capítulo I - Revisão
1.1. Vínculos:
São classificados de acordo com o número de movimentos que impedem.
Vínculo Simples ou de Primeira Ordem: impedem apenas um
movimento, normalmente a translação.
Vínculo Duplo ou de Segunda Ordem: impedem dois movimentos
permitindo geralmente a rotação.
Vínculo Tríplo ou de Terceira Ordem: impedem três movimentos, a
saber, duas translações e uma rotação.
1.2. Classificação das Estruturas:
Estrutura Hipostática: Estruturas cujos movimentos de corpo‐rígido NÃO são restringidos e NÃO atingem, portanto, uma configuração de equilíbrio estável, ou seja, não possui vínculos suficientes para garantir a sua total estabilidade.
4
Estrutura Isostática: Estruturas com movimentos de corpo‐rígido restringidos e o número de incógnitas a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio estável, em outras palavras, estruturas com vínculos estritamente necessários para garantir a sua total estabilidade.
Estrutura Hiperestática: Estruturas com movimentos de corpo‐rígido restringidos e número de incógnitas a determinar maior que o número de equações de equilíbrio estável, resumidamente, são estruturas que possuem vínculos mais que necessários para garantir a sua total imobilidade.
Obs.: cabe ressaltar que na prática a grande maioria das estruturas classifica‐se como HIPERESTÁTICA ou ESTATICAMENTE INDETERMINADA.
1.3. Grau de Hiperestaticidade:
1.3.1. Grau de Hiperestaticidade Externo (ge):
Seja a estrutura abaixo:
B
Como pode ser visto, dispomos de 05 reações de apoio (03 do apoio do
engaste e 02 do apoio de segunda ordem) e apenas 03 equações universais da
estática no plano (ΣFx / ΣFy / ΣM) além de mais uma (momento fletor nulo em
5
A
B C
D
A
B C
D
“B”). Ou seja, 05 incógnitas e apenas 04 equações. A essa deficiência damos o
nome de GRAU DE HIPERESTATICIDADE EXTERNO. Desta forma podemos dizer
que o grau de hiperestaticidade externo é o número de equações
suplementares necessárias para o cálculo das reações de apoio da estrutura.
1.3.2. Grau de Hiperestaticidade Interno (gi):
Seja a estrutura abaixo:
Neste segundo caso apesar de as reações de apoio ser de imediata
obtenção (a partir das equações universais da estática), isso NÃO significa que a
estrutura esteja resolvida.
O simples conhecimento das reações não nos habilita a traçar seus
diagramas solicitantes devido ao fato de ser uma ESTRUTRA FECHADA e de, por
este motivo, não sabermos todas as forças a que está sujeita a estrutura. É
necessário, portanto, ABRIRMOS a estrutura.
Assim pode‐se definir GRAU de HIPERESTATICIDADE INTERNO da
estrutura como sendo o número de equações suplementares necessárias para
traçarmos os diagramas de esforços internos, o que no caso em questão é três.
6
( 1 ) ( 2 )
( 3 ) ( 4 )
1.3.3. Determinação do Grau de Hiperestaticidade Total (g):
onde: r – nº de reações e – nº de equações nr – nº equações provenientes das rótulas e que é igual a (b ‐1) b – nº de barras ligadas a rótulas.
número de esforços internos necessários ao traçado dos diagramas, conhecidas as reações.
1.3.4. Aplicações:
Classifique quanto à estaticidade e determine o grau de hiperestaticidade
total das estruturas que seguem:
7
( 5 ) ( 6 )
( 7 ) ( 8 )
( 9 ) ( 10 )
8
Capítulo II – Método das Forças
Formalmente, a resolução de estruturas hiperestáticas pelo Método das Forças resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas pelo modelo estrutural na seguinte ordem: 1° Condições de equilíbrio; 2° Condições sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas); 3° Condições de compatibilidade. Na prática, entretanto, a metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura hiperestática é: • Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para na superposição restabelecer as condições de compatibilidade. Cada solução básica (chamada de caso básico) não satisfaz isoladamente todas as condições de compatibilidade da estrutura original, as quais ficam estabelecidas quando se efetuam a superposição de efeitos todos os casos básicos. A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos. Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças vai ser explicada detalhadamente através da resolução de exemplos que serão apresentados a seguir.
9
Exemplos de Aplicações
10
q= 2 kN/m
q= 2 kN/m
X1 = 1 kN
2 kN/m
s1
EXEMPLO I:
Calculando o grau de hiperestaticidade da estrutura obtemos:
1 → 1 á
Desta forma se conclui que a estrutura apresenta 04 reações (incógnitas) – Rax,
RAy, MA e RBy – e apenas 03 equações (ΣFx=0 / ΣFy=0 / ΣM=0)
Pelo método das forças devemos então liberar um dos vínculos, para tal
adotaremos liberar o RBy.
X1:
X0:
Desta forma, pela superposição de efeitos, se obtêm a seguinte equação para o
problema:
. 0
Seção S1 (X0):
Σ 0 ∴ 2 0
11
2 kN/m
s1
v
M +
+
10 kN
[D.E.C.]
-
-25 kN.m
[D.M.F.]
2 0
10
ΣM 0 ∴ 2 . /2 0
²0
25 .
E = 210x109 [N/m²]
Seção da Viga (20x40)cm → 1,067 10
Sabendo‐se que a derivada segunda do momento é análoga a derivada segunda
do deslocamento, tem‐se:
" ∴ "
" ∴3
3∴
12
112
Aplicando as condições de contorno:
1º. x = L → y’ = 0
13
→1 1
30 ∴
3
12
s1X1
s1
v
M +
2º. x = L → y = 0
112 3
→1
12 30 ∴
12 3
4
Desta forma, a expressão final será:
112 3 4
Sabendo que ymax → x=0
14 4
54 210 10 1,067 10
6,97 10
Obs.: atentar para as unidades na entrada dos dados
Seção S1 (X1):
Σ 0 ∴ 1 0 ∴ 1
Σ 0 ∴ . 0 ∴ .0 . 5 .
13
- 1 kN
[D.E.C.] +
5 kN.m
[D.M.F.]
Seguindo o mesmo procedimento do caso X0, obtêm‐se a seguinte expressão
final:
16 2 3
Sabendo que ymax → x=0
13 3
53 210 10 1,067 10
1,860 10
Seguindo no campo dos deslocamentos e sabendo que esse deslocamento no
ponto B deve ser nulo:
E = 210x109 [N/m²] = 210x106 [kN/m²]
Seção da Viga (20x40)cm → 1,067 10
. 0 ∴ 6,97 10 1,86 10 3,75
Como X1 refere‐se à reação de apoio no ponto B:
3,75
Da mesma forma que o deslocamento é calculado pela soma ux0+ux1.X1, os
esforços internos e reações de apoio também são calculados:
14
+
10 kN
[D.E.C.]
-
-25 kN.m
[D.M.F.]
RAy=10 kN
M=
25 k
N.m
+
M=
-5 k
N.m
-
RAy=-1 kN
.
.
çã .
Resultados para X0:
Resultados para X1:
- 1 kN
[D.E.C.] +
5 kN.m
[D.M.F.]
15
+
-
+
-
[D.E.C.]
[D.M .F.]
6,25 kN
-3,75 kN
. . .
Em x = 0:
0 ∴ 1
. 0 1 . 3,75 3,75
Em x = 5:
10 ∴ 1
. 10 3,75 . 1 6,25
. . .
Em x = 0:
0 ∴ 0
. 0 3,75.0 0
Em x = 5:
25 . ∴ 5 .
. 25 3,75 . 5 6,25 .
1,875 3,52 .
1,875 1,875 .
16
25 kN.m
[D.M.F.] +
5 kN.m [D.M.F.]
-
xo
x1
+
5 kN.m [D.M.F.]x1
+
5 kN.m [D.M.F.]x1
25 kN.m
[D.M.F.] +
5 kN.m [D.M.F.]
-
xo
x1
O valor dos deslocamentos pode ser obtido também através de tabelas
elaboradas a partir da resolução destas integrais.
Da tabela obtêm‐se os valores de δij (deslocamento na direção i, provocado pelo
caso de carregamento xj:
δ10:
. . 25.5 156,25
δ11:
3.
53. 5.5 41,67
. 0 ∴ 156,25 . 41,67 ∴ 3,75
17
Tabela I: Cargas virtuais utilizadas para calcular deslocamentos e rotações em vínculos eliminados de estruturas hiperestáticas
18
Tabela II: Integração de diagramas de esforços
19
RAx
RBy RCyRAy
A B C
2 kN/m
[x0]
A B C
2 kN/m
X1=1 [kN]
[x1]
A B C
EXEMPLO II:
Incognitas:
RAx , RAy, RBy, RCy – (4)
Número de Equações:
Σ 0 ∴ Σ 0 ∴ Σ 0 – (3)
Grau de Hiperestaticidade:
0 4 3 0 á
Optaremos por liberar o vínculo RBy.
Desta forma teremos:
+
20
RAx
RCyRAy
A C
2 kN/m
S1
+_
+
[D.E.C.]
[D.M.F.]
-10 kN
+10 kN
+25 kN.m
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
.2
2 . 10
2∴ 10
.8
2 . 10
8200 .
825 .
Seção S1:
Σ 0 ∴ 2 10 0 ∴ 2 10 2. 4 10 2
2. 0 10 10
2. 10 10 10
Σ 0 ∴ 10 2 .2
0 ∴ 10
10. 4 4 24 .
10. 0 0 0
10. 10 10 0
21
RAx
RAy
X1=1 kN
RCy
(a) (b)
X1=1 kN(a) (b)
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
-0,4
+0,6
-2,4
2º Caso de Carregamento [ X0 ]:
. 4 . 110
∴ 0,40
. 6 . 110
∴ 0,60
. . . . 1 . 6 . 410
2,4 .
22
Pela tabela de integração de diagramas de esforços:
3. . . 1
. 103. 25. 2,4 . 1
6.410
248
3. .
103. 2,4. 2,4 19,20
. 0 ∴ 248 . 19,20 0 ∴ 12,92
Reações de Apoio:
. ∴ 10 12,92. 0,4 4,83
. ∴ 0 12,92. 1 12,92
. ∴ 10 12,92. 0,6 2,25
Σ 4,83 12,92 2,25 20 ⇔ Σ 2 . 10
20
D.E.C.
. 10 12,92 . 0,40 4,83
. 2 12,92 . 0,40 7,17
. 2 12,92 . 0,60 5,75
. 10 12,92 . 0,60 2,25
D.M.F.
. 0 . 12,92 . 0 0,00
. 24 . 12,92 . 2,40 7,00 .
0,00 .
23
RAy=4,83 kN
RBy=12,92 kN
RCy=2,25 kN
2 kN/m
AB
C
4,83 kN
5,75 kN
-7,17 kN
-2,25 kN
7,00 kN.m
24
A B C D
10 kN/m
A D
q=10 kN/m[X0]
A D
[X1]
X1=1 kN
A D
[X2]
X2=1 kN
EXEMPLO III:
Incógnitas:
RAx , RAy, RBy, RCy e RDy – (5)
Número de Equações:
Σ 0 ∴ Σ 0 ∴ Σ 0 – (3)
Grau de Hiperestaticidade:
0 5 3 0 á
Neste exemplo liberaremos os vínculos RBy e RCy, assim:
25
A B C D
q=10 kN/m
RAX
RAy RDy
[X0]
A B C D
q=10 kN/m
RAX
RAy=60kN RDy=60kN
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]-60kN
60kN
180kN
S1
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
0
.2
10 . 12
2∴ 60
.8
10 . 12
81440 .
8180 .
26
q=10 kN/m
M
V
A D
RAX
RAy RDy
[X1]
X1=1 kN
Seção S1:
Σ 0 ∴ 10 60 0 ∴ 10 60 10. 0 60 60
10. 12 60 60
Σ 0 ∴ 60 10 .2
0 ∴ 60 5
60. 0 5. 0 0 .
60. 4 5. 4 160 .
60. 7 5. 7 175 .
60. 12 5. 12 0 .
2º Caso de Carregamento [ X1 ]:
0
. 1,00 .8,0012
∴ 0,667
. 1,00 .4,0012
∴ 0,333
. . 1,00. 8,00.4,0012
32 . ²12
2,667 .
27
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
0,333-0,667
A D
RAy=-0,667 RDy=-0,333
[X1]
X1=1 kN
-2,667
A D
RAX
RAy RDy
[X2]
X2=1 kN
3º Caso de Carregamento [ X2 ]:
0
. 1,00 .5,0012
∴ 0,417
. 1,00 .7,0012
∴ 0,583
. . 1,00. 7,00.5,0012
35 . ²12
2,917 .
28
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
0,583-0,417
A D
RAy=-0,417 RDy=-0,583
[X2]
X2=1 kN
-2,917
-2,667
180kN
-2,667-2,667
Pela tabela de integração de diagramas de esforços:
3. . . 1
. 123. 180. 2,667 . 1
4.812
2.346,96
6. . . 2
.126. 2,667. 2,667 . 2 0 28,45
29
180kN
-2,917
-2,917-2,917
-2,667
-2,917
-2,667-1,667
-2,667-1,667
M1
M2
M3 M
4
-2,917
-1,667 -1,667
-2,917
3. . . 1
.²
123. 180. 2,667 . 1
7.512
2.610,72
3. .
123. 2,917. 2,917 34,03
(δ12)1 (δ12)2 (δ12)3
30
3. .
62. . 2.
3.
43
2,667. 1,667
36
2,667. 2. 1,667 2,917
1,667. 1,667 2. 2,91753
1,667. 2,917
5,928 14,588 8,104 28,62
. . 0
. . 0
2.346,96 . 28,45 . 28,62 02.610,72 . 28,62 . 34,03 0
Desta forma obtêm‐se um sistema de equações de simples resolução (2
equações e 2 incógnitas).
Resolvendo‐se o sistema obtemos:
34,54
47,67
Cálculo das Reações de Apoio:
. .
60 34,54. 0,667 47,67. 0,417 17,08
34,56
47,67
60 34,54. 0,333 47,67. 0,583 20,71
31
VX0 [kN]
-60kN
60kN
0,333-0,667
0,583-0,417
VX1 [kN]
VX2 [kN]
D.E.C. [kN]
17,08
11,38
29,29
-18,38-20,71
Cálculo do Esforço Cortante:
D.E.C.
. .
60 34,54. 0,667 47,67. 0,417 17,08
20 34,54. 0,667 47,67. 0,417 22,92
20 34,54. 0,333 47,67. 0,417 11,38
10 34,54. 0,333 47,67. 0,417 18,38
10 34,54. 0,333 47,67. 0,583 29,29
60 34,54. 0,333 47,67. 0,583 20,71
32
180kN-2,667
-2,917
160
kN
175
kN
-1,667
-1,667
MX0 [kN.m]
MX1 [kN.m]
MX2 [kN.m]
D.M.F. [kN.m]
M1
M2
-11,58
M3
Cálculo do Momento Fletor:
D.M.F.
. .
0,00
160 34,54. 2,667 47,67. 1,667 11,58 .
175 34,54. 1,667 47,67. 2,917 21,63 .
17,081,712
14,62 .
11,58 11,38.1,1382
5,10 .
21,63 29,29.2,9292
21,26 .
33
A B C D
10 kN/m
X1=1 kN.m X2=1 kN.m
A B
X1
C
10 kN/m
X1
10 kN/m
C D
10 kN/m
B
A B
X1
C
X1
C DB
A B C C DB
X2 X2
[X0]
[X1]
[X2]
1 kN/m
R=q.L 2
R=q.L 2
R=-P L
R=P L
1 kN/m
R=-P L
R=P L
D.M.F. [kN.m]
D.E.C. [kN]-q.L 2
q.L 2
-1 L
1L
q.L² 8
-1 -1
EXEMPLO IV:
Outra maneira de resolver o anterior é liberando a continuidade da estrutura e
impondo momentos de engastamento unitário, conforme apresentado a seguir:
Desta forma:
Sabe‐se que:
34
A B
X1
C
10 kN/m
X1
10 kN/m
C D
10 kN/m
B
[X0]
+20
-20
+15
-15
+25
-25
+20
+11,25
+31,25
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
.2
10 . 4
2∴ 20
.8
10 . 4
820 .
.2
10 . 3
2∴ 15
.8
10 . 3
811,25 .
.2
10 . 5
2∴ 25
.8
10 . 5
831,25 .
2º Caso de Carregamento [ X1 ]:
1 14
0,25 ∴1
0,25
1 13
0,33 ∴1
0,33
0,00
35
A B
X1
C
X1
C DB
[X1]
-0,25
-0,33
-1 -1
A B C CB
X2 X2[X2]
-0,33
0,20
-1 -1
-1+20
+11,25
+31,25
-1
3º Caso de Carregamento [ X2 ]:
0,00
1 13
0,33 ∴1 1
30,33
1 15
0,20 ∴1 1
0,20
Cálculo do :
10:
3 30
43. 20. 1
33. 11,25. 1 0 37,92
36
-1 -1
-1 -1
+20
+11,25
+31,25-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
20:
03 3
33. 11,25. 1
53. 31,25. 1 63,33
11:
3 30
43. 1. 1
33. 1. 1 2,33
22:
03 3
33. 1. 1
53. 1. 1 2,67
21=12:
06
036. 1. 1 0,50
37
Compatibilização das Rotações:
. . 0
. . 0
37,92 . 2,33 . 0,50 063,33 . 0,50 . 2,67 0
Novamente um sistema de fácil resolução, que resulta em:
11,63 .
21,57
Observa‐se que ao invés de obtermos os valores das reações de apoio, neste
caso, obtemos os valores dos momentos fletores nos apoios.
Fazendo‐se o mesmo procedimento do Exemplo III têm‐se os esforços e as
reações de apoio.
. .
. .
. .
E, desta forma, obtendo‐se os diagramas de esforços cortantes e de momento
fletores do exemplo anterior.
38
A B C D
10 kN/m
E
10 kN/m
20 kN/m
1 kN/m
R=q.L 2
R=q.L 2
R=P L
R=-P L
1 kN/m
R=P L
R=-P L
D.M.F. [kN.m]
D.E.C. [kN]-q.L 2
q.L 2
1L
-1 L
q.L² 8
1 1
A B C
10 kN/m10 kN/m
D E
10 kN/m
B
A B
X1
C
X1
D EB
[X0]
D
10 kN/m
C
D
X2
C
X2 X3 X3
A B C
10 kN/m10 kN/m
D E
10 kN/m
B
[X0]
D
20 kN/m
C
RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN
20 2030
25
-20 -20-30
-25
20 20 22,531,25
Mmax=q.L² =10.4²=20 kN.m 2 2
Mmax=q.L² =10.4²=20 kN.m 2 2
Mmax=q.L² =20.3²=22,5 kN.m 2 2 Mmax=q.L² =10.5²=31,25 kN.m
2 2
EXEMPLO V:
Dados os diagramas: g = 3
Resolução:
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
39
A B
X1
C
X1
D EB
[X1]
DC
1/4 -1/4
1/4
-1/4 1/4
-1/4
1 1
A B C D EB
X2
[X2]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
1/4
-1/3
1 1
A B C D EB
X2
[X3]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
-1/5
1/3
1 1
2º Caso de Carregamento [ X1 ]:
3º Caso de Carregamento [ X2 ]:
4º Caso de Carregamento [ X3 ]:
40
1 1
20 20 22,531,25
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
Cálculo de :
3 30 0
43. 20.1
43. 20.1 0 0 53,33
3 30 0
43. 1.1
43. 1.1 0 0 2,67
06
0 043. 1.1 0 0 0 0,67
0 0 0 0 0,00
41
1 1
20 20 22,531,25
1 1
1 1
1 1
1 1
03 3
0 043. 20.1
33. 22,5.1 0 49,17
03 3
0 043. 1.1
33. 1.1 0 2,33
0 06
0 0 036. 1.1 0 0,50
42
1 1
1 1
1 1
20 20 22,531,25
0 03 3
0 033. 1.1
53. 1.1 2,67
0 03 3
0 033. 1.22,5
53. 1.31,25 74,58
Resolução do Sistema:
. . . 0. . . 0. . . 0
53,33 . 2,67 . 0,67 . 0,00 049,17 . 0,67 . 2,33 . 0,50 074,58 . 0,00 . 0,50 . 2,67 0
Substituindo temos:
0,67. 53,332,67
0,251. 19,97
0,50. 74,582,67
0,187. 27,93
49,17 0,251. 19,97 . 0,67 2,33. 0,187. 27,93 . 0,50 0 21,8252,0685
10,55 .
43
A B
X1
C
X1
D EB
[X1]
DC
1/4 -1/4 -1/4 1/4
A B C
10 kN/m10 kN/m
D E
10 kN/m
B
[X0]
D
20 kN/m
C
RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN
A B C D EB
X2
[X2]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
A B C D EB
X2
[X3]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
Da mesma forma determinamos:
17,33 .
25,96 .
Cálculo das Reações de Apoio:
. . .
17,33. 10,55. 25,96.
20 17,33.14
10,55.0 25,96.0 15,67
20 20 17,33. 14
14
10,55.14
25,96. 0 46,03
20 30 17,33.14
10,55.14
13
25,96.13
43,17
30 25 17,33. 0 10,55.13
25,96.13
15
65,33
25 17,33. 0 10,55. 0 25,96.153
19,81
44
20 2025
-20 -20-25
-30
1/4
-1/4
1/4
-1/3
-1/5
1/3
15,68
21,7024,86
30,19
-24,33
-18,30
-35,14
-19,81
D.E.C. [kN]
Cálculo dos Esforços Cortantes:
. . .
17,33. 10,55. 25,96.
Ponto A: 20 17,33. 10,55. 0 25,96. 0 15,67
Ponto Besq: 20 17,33. 10,55. 0 25,96. 0 24,33
Ponto Bdir: 20 17,33. 10,55. 25,96. 0 21,70
Ponto Cesq: 20 17,33. 10,55. 25,96. 0 18,30
Ponto Cdir: 30 17,33. 0 10,55. 25,96. 24,86
Ponto Desq: 30 17,33. 0 10,55. 25,96. 35,14
Ponto Ddir: 25 17,33. 0 10,55. 0 25,96. 30,19
Ponto E: 25 17,33. 0 10,55. 0 25,96. 19,81
45
20 20 22,531,25
1 1
1 1
1 1
-17,33
-10,55
-25,96
11,34
6,06 4,24
18,27
D.M.F. [kN.m]
Cálculo dos Momentos Fletores:
. . .
17,33. 10,55. 25,96.
ã 20 17,33.12
10,55. 0 25,96. 0 11,34 .
ã 20 17,33.12
10,55.12
25,96. 0 6,06 .
ã 22,5 17,33. 0 10,55.12
25,96.12
4,24 .
ã 31,25 17,33. 0 10,55. 0 25,96.12
18,27
46
20 kN/m
A
C
B
D
20 kN/m
X1=1
X2=1
A
C
B
D
EXEMPLO VI:
Grau de Hiperestaticidade: g = 2 (2x hiperestática)
Liberaremos os vínculos do apoio de segunda ordem
47
20 kN/m
A
C
B
D
RAx
RAy
MA
s3 s1
s2
[X0]
V
N M
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
Cálculo das Reações de Apoio:
Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 20.6 ∴ 120
Σ 0 ∴ 20.6.62
0 ∴ 360 .
Seção S1:
Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 0
48
V
N M
V
N
M
RAx=0
RAy=120 kN
MA=360 kN.m
-120 kN
120 kN
[D.E.N.] [D.E.C.]
-360 kN
[D.M.F.]
-360 kN
Seção S2:
Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 20. 0 ∴ 20.
x 0 ∴ 0 x 6 ∴ 120
Σ 0 ∴ 20. . 0 ∴
10. ² x 0 ∴ 0 x 6 ∴ 360 .
Seção S3:
Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 120 0 ∴ 120
Σ 0 ∴ 360 0 ∴ 360 .
Diagrama de Esforços [X0]:
49
A
C
B
D
RAx
RAy
MA
s3 s1
s2
X1=1
[X1]
V
N M
X1=1
2º Caso de Carregamento [ X1 ]:
Cálculo das Reações de Apoio:
Σ 0 ∴ 1 0 ∴ 1
Σ 0 ∴ 0 ∴ 0
Σ 0 ∴ 0
Seção S1:
Σ 0 ∴ 1 0 ∴ 1
Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 1. 0 ∴
x 0 ∴ 0 x 3 ∴ 3 .
50
V
N M
X1=1
V
N
M
RAx=-1
RAy=0 kN
MA=0 kN.m
-120 kN
[D.E.N.] [D.E.C.]
1 kN
1 kN -1 kN
-360 kN
[D.M.F.]
3 kN.m 3 kN.m
3 kN.m
Seção S2:
Σ 0 ∴ 1 0 ∴ 1
Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 1.3 0 ∴3 .
Seção S3:
Σ 0 ∴ 1 0 ∴ 1
Σ 0 ∴ 0 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 1. 0 ∴
x 0 ∴ 0 x 3 ∴ 3 .
Diagrama de Esforços [X1]:
51
A
C
B
D
RAx
RAy
MA
s3 s1
s2
X2=1
[X2]
V
N M
X 2=1
3º Caso de Carregamento [ X2 ]:
Cálculo das Reações de Apoio:
Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 1 ∴ 1
Σ 0 ∴ 1.6 6 .
Seção S1:
Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 1 0 ∴ 1
Σ 0 ∴ 0
52
V
N M
X2=1
V
N
M
RAx=0
RAy=-1 kN
MA=-6 kN.m
-120 kN
[D.E.N.] [D.E.C.]
1 kN
1 kN -1 kN
6 kN.m
[D.M.F.]
6 kN.m
Seção S2:
Σ 0 ∴ 0 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 1 0 ∴1
Σ 0 ∴ 0
Seção S3:
Σ 0 ∴ 0 Σ 0 ∴ 1 0 ∴ 1
Σ 0 ∴ 6 0 ∴ 6 .
Diagrama de Esforços [X1]:
53
Cálculo do δ:
3. . . .
3. .
33. 3.3 6.3.3
33. 3.3 72
03. . . . 0
63. 6.6 3.6.6 180
02. .
2. . 0
62. 3.6
32. 3.6 81
δ12 = δ21= 81
2. .
3. . 0
32. 3. 360
62. 3. 360 3.780
54
04. . . . 0
64. 6. 360 3.6. 360 9.720
Sistema de Equações:
. . 0
. . 0
3.780 . 72 . 81 09.720 . 81 . 180 0
Resolvendo‐se o sistema obtemos:
16,71
61,52
Cálculo das Reações de Apoio:
. .
120 16,71. 0 61,52. 1 58,48
0 16,71. 1 61,52. 0 16,71
360 16,71. 0 61,52. 6 9,12 .
16,71
61,52
360 16,71. 3 61,52. 6 41,01 .
0 16,71. 3 61,52. 0 50,13 .
55
BIBLIOGRAFIA
BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E. R. (1989). Resistência dos materiais. 2a ed. São Paulo: McGraw-Hill. CAMPANARI, Flávio Antônio.(1985). Teoria das estruturas. v.1, 2, 3 e 4. Ed. Guanabara Dois. POPOV, Egor P. (1978). Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard Blücher. SUSSEKIND, José Carlos. (1994a). Curso de análise estrutural. v.2. 11a ed.São Paulo: Ed.Globo. TIMOSHENKO, Stephen P. (1967). Resistência dos materiais. v.1. 3a ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. LA ROVER, H.L. e DE MORAES, POLIANA DIAS. R. (2005). Apostila ECV 5220 –Análise Estrutural II. Santa Catarina: ECV/UFSC.
56
Capítulo III – Método dos Deslocamentos O método dos deslocamentos, também conhecido como método da rigidez, apesar de também ter aplicabilidade na resolução de estruturas isostáticas é um método de análise estrutural bastante aplicado no caso de estruturas grandes e complexas. Estas estruturas exigem a solução de um grande número de equações, sendo necessária para a sua solução a utilização de ferramentas computacionais. Comparativamente, a formulação matemática do método dos deslocamentos é muito semelhante à do método das forças, decorrendo daí, quando da análise de problemas, qual dos dois se torna mais vantajoso. Em linhas gerais, podem‐se resumir os métodos das forças e dos deslocamentos para aplicação a estruturas hiperestáticas como: ‐ Método das forças: A solução se dá pela determinação de seus esforços para, a partir deles, obter as deformações, impondo como incógnitas os esforços em vínculos. ‐ Método dos deslocamentos: A solução se dá pela determinação das deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obterem os diagramas de esforços solicitantes da estrutura. Estruturas hiperestáticas são resolvidas impondo como incógnitas os deslocamentos em nós rígidos. Ainda na seara das semelhanças e diferenças entre os dois métodos têm: MétododasForçasIdéiabásica:Determinar, dentro do conjunto desoluçõesemforçasquesatisfazemascondições de equilíbrio, qual asolução que faz com que ascondições de compatibilidadetambémsejamsatisfeitas.Metodologia:Superpor uma série de soluçõesestaticamente determinadas
MétododosDeslocamentosIdéiabásica:Determinar, dentro do conjunto desoluções em deslocamentos quesatisfazem as condições decompatibilidade, qual a solução quefaz com que as condições deequilíbriotambémsejamsatisfeitas.Metodologia:Superpor uma série de soluçõescinematicamente determinadas
57
(isostáticas) que satisfazem ascondiçõesdeequilíbriodaestruturapara obter uma solução final quetambém satisfaz as condições decompatibilidade.Incógnitas:Hiperestáticos: forças e momentosassociados a vínculos excedentes àdeterminaçãoestáticadaestrutura.Númerodeincógnitas:Éonúmerodeincógnitasexcedentesdas equações de equilíbrio,denominado grau dehiperestaticidade.Estruturaauxiliarutilizadanassoluçõesbásicas:Sistema Principal (SP): estruturaestaticamente determinada(isostática) obtida da estruturaoriginalpelaeliminaçãodosvínculosexcedentesassociadosaoshiperestáticos. Essa estruturaauxiliar viola condições decompatibilidade de estruturaoriginal.Equaçõesfinais:São equações de compatibilidadeexpressas em termos doshiperestáticos.Essas equações recompõem ascondições de compatibilidadevioladasnassoluçõesbásicas.Termos de carga das equaçõesfinais:Deslocamentos e rotações nospontosdosvínculos liberadosnoSPdevidos à solicitação externa(carregamento).
(configurações deformadasconhecidas) que satisfazem ascondições de compatibilidade daestrutura para obter uma soluçãofinal que também satisfaz ascondiçõesdeequilíbrio.Incógnitas:Deslocabilidades: componentes dedeslocamentos e rotações nodaisque definem a configuraçãodeformadadaestrutura.Númerodeincógnitas:Éonúmerodeincógnitasexcedentesdas equações de compatibilidade,denominadograudehipergeometria.Estrutura auxiliar utilizada nassoluçõesbásicas:Sistema Hipergeométrico (SH):estrutura cinematicamentedeterminada (estrutura comconfiguração deformada conhecida)obtida da estrutura original pelaadiçãodosvínculosnecessáriosparaimpedir as deslocabilidades. Essaestruturaauxiliarviolacondiçõesdeequilíbriodaestruturaoriginal.Equaçõesfinais:São equações de equilíbrioexpressas em termos dasdeslocabilidades. Essas equaçõesrecompõem as condições deequilíbrio violadas nas soluçõesbásicas.Termos de carga das equaçõesfinais:Forças e momentos (reações) nosvínculos adicionados no SH devidosàsolicitaçãoexterna(carregamento)
58
1
11
21
P2
12
22
P2
1)1
P1
2
2)1 2
Coeficientesdasequaçõesfinais:Coeficientes de flexibilidade:deslocamentos e rotações nospontosdosvínculos liberadosnoSPdevidosahiperestáticoscomvaloresunitáriosatuandoisoladamente.
Coeficientesdasequaçõesfinais:Coeficientes de rigidez: forças emomentosnosvínculos adicionadosno SH para impor configuraçõesdeformadas com deslocabilidadesisoladascomvaloresunitários.
Tal qual no método das forças, no método dos deslocamentos iremos nos valer do Princípio da Superposição de Efeitos (White et al. 1976, West 1989, Felton & Nelson 1996) para formalização dos métodos básicos da análise estrutural. Esse princípio prescreve que a superposição dos campos de deslocamentos provocados por vários sistemas de forças atuando isoladamente é igual ao campo de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças atuando concomitantemente. Tal qual representação abaixo:
Para que se possa utilizar esse princípio é necessário que a estrutura tenha um comportamento linear, comportamento este baseado em duas condições: 1ª Condição: que o material trabalhe no regime elástico‐linear. 2ª Condição: que seja válida a hipótese de pequenos deslocamentos (os deslocamentos podem ser considerados pequenos quando as equações de equilíbrio escritas para a geometria indeformada da estrutura fornecem
59
P
resultados praticamente iguais aos obtidos pelas mesmas equações de equilíbrio escritas para a geometria deformada da estrutura) Exceto em casos particulares, as estruturas civis têm deslocamentos pequenos em comparação aos tamanhos característicos dos seus membros (comprimento da barra ou altura da seção transversal, por exemplo). Um contra‐exemplo, para o qual não é possível adotar a hipótese de pequenos deslocamentos, é mostrado na figura abaixo.
Essa estrutura tem duas barras e três rótulas alinhadas, e o estado de equilíbrio estável só pode ser alcançado para a estrutura na configuração deformada. Cabos, que são estruturas muito flexíveis, é outro exemplo de estruturas cujo equilíbrio é alcançado na geometria final, considerando os seus deslocamentos sobrepostos à geometria inicial indeformada. Essas estruturas não serão tratadas aqui, e serão classificadas como instáveis. Para facilitar o entendimento do método seguiremos a mesma linha de raciocínio apresentada por SÜSSEKIND (Curso de Análise Estrutural, vol.3), que segue: 1. INCOGNITAS: Contrário ao método das forças que considerava esforços simples (ou reações de apoio) como incógnitas do problema, o método dos deslocamentos determinará inicialmente as deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obterem os diagramas de esforços solicitantes da estrutura. Desta forma, as incógnitas serão os ângulos de rotação e os deslocamentos. Em seu cálculo serão desprezadas as deformações das barras que compõem a estrutura devida a esforços normais, bem como as devidas a esforços cortantes, não se constituindo este fato em nenhum erro especial peculiar ao método. Iniciaremos nosso estudo estabelecendo as deformações possíveis em uma barra, a fim de determinarmos os esforços nela atuantes. Seja a barra AB representada abaixo uma barra genérica de uma estrutura; devido aos esforços
60
que solicitam a barra, ela se deformará assumindo a posição A’B’, sendo essa mudança de posição encarada como resultante das seguintes deformações, independentes uma das outras:
Figura I – 1.2: Translação da barra de δA: durante esta translação, a barra se mantém reta e paralela à sua posição primitiva, de modo que não é despertado qualquer esforço simples resta fase; Figura I – 1.3: Deslocamento linear de uma das extremidades da barra ao longo de uma
direção perpendicular a seu eixo, de valor ρBA (deslocamento ortogonal recíproco dos nós B em relação ao nó A), sem rotação das extremidades da barra. A barra se comporta como se fosse uma viga biengastada AB, cujo
engaste B sofreu recalque vertical igual a ρBA Figura I – 1.4: Rotação da extremidade A da barra de valor ϕA. A barra se comporta como viga biengastada em que um dos engastes sofreu recalque angular de valor ϕA. Figura I – 1.5: Rotação da extremidade B da barra de valor ϕB. A barra se comporta como viga biengastada em que um dos engastes sofreu recalque angular de valor ϕA.
61
Figura I – 1.6: Deformação da barra, sem deslocamentos lineares nem rotações de extremidade, devido ao carregamento externo aplicado. Nesta fase, a barra funciona como uma viga biengastada submetida ao carregamento externo e que pode ser determinado sem maiores dificuldades pelo método das forças.
Concluindo, basta conhecer os valores de ϕA, ϕB e ρBA para obtermos o diagrama de momento fletores e, a partir dele, os demais diagramas solicitantes para uma barra de uma estrutura, já a translação δA da barra não introduz qualquer esforço na mesma.
Observação Importante: para estruturas espaciais é necessário conhecermos a rotação e o deslocamento linear resultante de cada extremidade das barras que compõem a estrutura. Esta rotação será dada por suas componentes (ϕX, ϕY, ϕZ), e o deslocamento linear por suas componentes (δx ,δy, δz), num total de 6 incógnitas por nó da estrutura espacial, nos casos mais gerais. Para grelhas precisaremos conhecer as rotações (ϕX, ϕY) e o deslocamento linear δz, num total de 3 incógnitas por nó, nos casos gerais.
No caso da barra possuir uma das extremidades rotuladas (por exemplo “A”), sua rotação nesta extremidade não será incógnita do problema, pois o diagrama de momentos fletores final na barra AB será igual à soma daquele provocado
pelo deslocamento ortogonal recíproco ρBA, com o da rotação ϕB e com o do carregamento externo, supostos aplicados numa viga apoiada AB (vide figura abaixo).
62
Note que o método das deformações só pode existir devido à existência do método das forças, que é aquele que fornece os diagramas para vigas
biengastadas (ou engastadas e rotuladas) devidos a ϕA, ϕB e ρBA... a partir dos quais formularemos o método das deformações. 2. NÚMERO DE INCOGNITAS (Deslocabilidade interna e externa): a. Deslocabilidade interna: Seja a estrutura abaixo: Já sabemos que as incógnitas do problema serão rotações e deslocamentos lineares dos nós B e C, já que os engastes A e D não sofrem deformações. No caso, entretanto, o nó C não apresenta deslocamentos lineares, pois, neste caso, o apoio de 1º gênero impede a componente vertical, assim como o engaste D a componente horizontal de deslocamento. Desta forma, a única incógnita em C será sua rotação. O nó B também não apresentará deslocamentos lineares, pois sua componente vertical e horizontal será impedida, respectivamente, pelos engastes A e D, de modo que a única incógnita, também no nó B, será a rotação. Concluindo, teremos neste exemplo 2 incógnitas, número de nós rígidos (não rotulados) da estrutura. Portanto, dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder resolvê‐la. Então, o número de deslocabilidades internas (di) de uma estrutura, é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui (não incluídos os nós extremos apoiados ou engastados, bem como, os rotulados).
63
Observação Importante: para estruturas espaciais, o número de deslocabilidades internas é igual ao triplo do número de nós internos rígidos que a estrutura possui.
b. Deslocabilidade externa: Seja a estrutura abaixo: Como todos os nós internos são rotulados, não necessitaremos conhecer as rotações das barras nestes nós. Resta‐nos analisar o problema dos deslocamentos lineares dos mesmos para conhecermos o número de incógnitas do problema. Iniciando a análise pelo nó D, vemos que ele não terá componente vertical de deslocamento (engaste em A); nada impede, porém, seu deslocamento horizontal (primeira incógnita do problema). Para indicar a incógnita, indicaremos um apoio de 1º gênero em D (Figura I – 4.2), mostrando que seria necessário mais um vínculo na estrutura para que o nó D não deslocasse. Da mesma forma que ocorre em D, ocorre no nó G (segunda incógnita do problema). Desta forma, caso os apoios ❶ e ❷ exis ssem, seriam indeslocáveis linearmente os nós D e G, e por conseqüência os nós E e F. A estrutura em questão possui então, dois deslocamentos lineares que são impedidos pelos apoios do 1º gênero ❶ e ❷, e dizemos, então, que ela possui duas deslocabilidades lineares ou externas. Ou seja: a deslocabilidade externa (de) é igual ao número de apoios do 1º gênero que precisamos acrescentar para que todos os nós sejam linearmente indeslocáveis. c. Deslocabilidade Total: É a soma das deslocabilidades internas e externas:
64
Aplicação I: Determine o número total de deslocabilidades para as estruturas planas a seguir.
65
Aplicação II: Obter o número total de deslocabilidades para as grelhas (estruturas planas que serão solicitadas perpendicularmente a seu plano) abaixo:
66
CONVENÇÃO DE SINAIS: Deste ponto em diante, estabeleceremos uma convenção de sinais que será adotada neste método em especial. Convenção esta, que consiste em chamar de positivo os momentos e rotações nos extremos das barras quando os mesmos tiverem o sentido anti‐horário, além das demais convenções abaixo. A convenção de sinais para momentos fletores será explorada para descrever os diagramas nos passos intermediários do método, conforme será visto. Uma das utilidades desta convenção de sinais mostrada acima é considerar informações sobre os esforços que atuam em uma barra. Por exemplo, considere a viga biengastada abaixo:
67
3. INTRODUZINDO O MÉTODO: A base deste método consiste em determinarmos primeiramente os deslocamentos e de forma indireta, a partir destes, os esforços. Este método pode ser empregado tanto em estruturas ISOSTÁTICAS quanto em estruturas HIPERESTÁTICAS; sua única limitação são as VIGAS BI‐ENGASTADAS. No que se refere a estruturas reticuladas (barras ligadas por nós) o número de incógnitas será igual ao número de deslocamentos nodais ou o número de graus de liberdade (GL) de todos os nós da estrutura. Já para o caso de vigas, não serão considerados deslocamentos axiais, portanto cada nó terá apenas 2GL, que são: translação paralela a Y e rotação em torno de Z. No caso de existirem forças horizontais aplicadas na viga, estas serão modeladas como pórticos planos.
Em resumo, o método consiste em FIXAR a estrutura, introduzindo vínculos fictícios, de forma a tornar a estrutura cinematicamente determinada, e através das cargas aplicadas nas barras calcularem os esforços causados na estrutura fixa (SP – Sistema Principal). Na sequência são aplicados os deslocamentos nos nós e calculados os esforços decorrentes destes na estrutura. Através da superposição de efeitos calculam‐se os esforços totais que devem estar em equilíbrio com as forças externas aplicadas nos nós, gerando um sistema de equações de forças em torno dos nós da estrutura.
68
Obs.: em estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de todos os nós, o que torna conveniente a utilização de programas computacionais.
4. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ‐ VIGAS: a. Sistema de um GRAU DE LIBERDADE:
Seja a viga engastada‐apoiada de rigidez EI abaixo:
A mesma apresenta apenas um grau de liberdade, a saber: rotação em B (em geral, as vigas apresentam 2 graus de liberdade) A temática do método baseia‐se em fixar a estrutura (limitar os deslocamentos, inversamente ao que era feito no método das forças, onde, liberávamos os vínculos e deixávamos a estrutura deslocar) e calculam‐se então os esforços de ENGASTAMENTO PERFEITO, calculando para a estrutura fixa, o esforço (momento) que surge na barra na direção de GL devido ao carregamento externo. Como segue:
69
Posteriormente, aplica‐se o deslocamento B no nó e calculam‐se os esforços correspondentes. De forma elucidativa: como a estrutura NÃO é fixa em B e este em teoria sofreria um deslocamento, impõem‐se este deslocamento no nó e calcula‐se o esforço correspondente na barra. Este esforço será proporcional ao deslocamento imposto, proporcionalidade esta dada pelo coeficiente da barra 4
Por fim, efetua‐se o equilíbrio das forças em torno de B. Por superposição de efeitos calcula‐se o esforço total na extremidade da barra e iguala‐se à força aplicada no nó.
124.
. 0 ∴ 4.
.12
∴ 48.
Nesta linha de raciocínio, podemos escrever a equação de equilíbrio das forças da seguinte maneira:
. Onde: FEP é o esforço de engastamento perfeito; S é o coeficiente de rigidez; d é o deslocamento e A a ação (força ou binário) aplicada no nó. De forma a sistematizar o método, faremos a imposição de deslocamentos unitários (assim como feito no método das forças) na direção dos GL. Desta
forma: para d1 = 1 teremos 4. . Logo para d1 = B tem‐se
. . ∴ . . , onde S11 representa o esforço na
barra na direção 1 causado por um deslocamento unitário na direção 1. Em linhas gerais, o grau de liberdade pode ser calculado pela seguinte equação de equilíbrio de forças na direção 1:
70
. De forma geral, para muitos graus de liberdade tem‐se:
. Onde: { FEP } é o vetor de esforços de engastamento perfeito; [ S ] é a matriz de rigidez da estrutura; { D } é o vetor de deslocamentos nodais e; { A } é o vetor de ações nodais. Casa coeficiente Sij ( i – efeito / j – causa), representa o esforço na barra na direção ou GLi, causado por um deslocamento unitário na direção ou grau de liberdade j. Esforço de ESGASTAMENTO PERFEITO: Os esforços de engastamento perfeito podem ser encontrados através do Método das Forças.
. ²8
∴ 1
3.. ²8
. 1. ³
24
31. 1
3
6. 1. 1
6
71
. ³8 3
.6. 0
. ³8 6
.3. 0
Resolvendo o sistema obtemos: . ²
Desta forma, os momentos de engastamento perfeito da estrutura ficam assim determinados:
Coeficientes de RIGIDEZ: Também podem ser determinados pelo Método das Forças, impondo‐se deslocamentos unitários nos graus de liberdade. Sejam a estrutura engastada e apoiada estudada até agora, na qual se pretende determinar o coeficiente S11 (grau de liberdade 1 causado pelo deslocamento unitário imposto):
Através do Método das Forças (capítulo II), eliminam‐se os vínculos excedentes obtendo‐se o seguinte SP:
72
0 ∴ 1
0
31. 1
3
6. 1. 1
6
. . . . ∴ . 1 . . .. . . . ∴ . 0 . . .
3.
6.
6.
3. 0
4.
∴ 2.
Desta forma o coeficiente de rigidez é 1 4 . O esforço na
extremidade da barra é igual à reação no engaste e observa‐se que na outra
extremidade ele equivale à metade 2 .
73
b. Sistema de dois GRAUS DE LIBERDADE: Seja a figura abaixo com 2 graus de liberdade:
Pela superposição de efeitos, inicialmente fixa‐se a estrutura, aplica‐se as cargas nas barras e determinam‐se os esforços de engastamento perfeito.
Posteriormente impomos o deslocamento unitário no grau de liberdade 1 (d1=1 e d2=0), determinando os esforços correspondentes (coeficientes de rigidez S11 em GL1 e S22 em GL2)
Pelas condições de equilíbrio, a soma dos esforços em um nó em certa direção tem que ser igual à ação aplicada neste mesmo nó na mesma direção. No GL1: FEP1 + S11.d1 + S12.d2 = A1 = M No GL2: FEP2 + S21.d1 + S22.d2 = A2 = 0 O que resulta no seguinte sistema:
74
Resolvendo o sistema obtém‐se o vetor de deslocamentos { D }: [ S ] . { D } = { A } – { FEP } { D } = [ S ]‐1 . { A – FEP } Desta forma se a estrutura for isostática ou hiperestática, a matriz [ S ] poderá ser invertida sempre, logo, do sistema de equações obtém‐se { D }. Caso a estrutura seja hipoestática, a matriz [ S ] será singular (det[ S ]=0) e o sistema NÃO terá solução. Visando simplificar a resolução do método no que tange a determinação dos momentos de engastamento perfeitos, serão apresentadas na sequência as tabelas algumas tabelas bastante úteis. As que são parte integrante desta apostila foram extraídas da apostila TABELAS DE VIGAS: Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito do professor Libânio / UFSCar, porém, as mesmas podem ser encontradas em SUSSEKIND, José Carlos (Curso de análise estrutural, volume III), que embasa este estudo teórico do Método dos Deslocamentos.
75
76
77
78
79
5. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS – TRELIÇAS: a. Sistema com um GRAU DE LIBERDADE Usaremos como exemplo uma barra de material homogêneo e seção transversal constante, submetida a uma carga axial. Imaginaremos a mesma como uma barra de treliça engastada em uma extremidade e na outra uma carga de tração, conforme abaixo:
Fazendo analogia a mola elástica de rigidez k, deve‐se ter que a força P é
proporcional ao deslocamento u1, sendo esta proporcionalidade dada pela
rigidez axial da barra e desta forma temos a seguinte equação de equilíbrio:
Sabendo que a rigidez é o inverso da flexibilidade, e considerando conhecida a
rigidez, sendo esta obtida pelo PTV (Principio dos Trabalhos Virtuais = tabelas de
integração), temos:
Para obtermos a solução da equação de equilíbrio temos:
b. Sistema com dois GRAUS DE LIBERDADE
Para tanto analisaremos uma barra composta de duas hastes de comprimento e
seções desiguais.
80
Seguindo o raciocínio anteriormente adotado:
Teremos como constantes elásticas das molas:
Sendo a extremidade à esquerda fixa, teremos 2 graus de liberdade (u1 e u2).
Teremos então, o seguinte sistema de equações de equilíbrio:
Ou em sua forma matricial: [ S ] . { D } = { A }
A matriz de rigidez [ S ] pode ser obtida impondo‐se os deslocamentos u1 = 1 e u2 = 0 obtendo‐se assim os coeficientes S11 = k1 + k2 e S21 = ‐k2.
81
Posteriormente impomos os deslocamentos como seguem: u1 = 0 e u2 = 1
obtendo‐se assim os coeficientes S12 = ‐k1 + k2 e S21 = k2.
Substituindo‐se os coeficientes Sij no sistema temos:
Para estruturas com muitas barras, ao invés de analisarmos de forma global,
dividimos a estrutura em elementos. As matrizes de rigidez de cada elemento
são calculadas isoladamente e, a partir delas, obtém‐se a matriz de rigidez da
estrutura, somando‐se os coeficientes correspondentes aos mesmos graus de
liberdade. Para n graus de liberdade, teremos um sistema de equações de
equilíbrio da estrutura n x n.
82
EXEMPLOS/APLICAÇÕES
Exemplo 01:
Seja a viga abaixo, cuja rigidez das barras é constante e igual a 72x10³ kN.m².
Determine o grau de liberdade. Calcule os deslocamentos pelo método da
rigidez.
Portanto a estrutura em questão possui 2 graus de liberdade (d1 e d2).
Dessa forma, para resolvermos o problema, primeiramente aplicamos as cargas
nas barras e encontramos os esforços de engastamento perfeito.
Pelas tabelas de momentos de engastamento perfeito temos:
83
Aplica‐se então d1 = 1 e conseqüentemente d2 = 0 e determinam‐se os esforços
correspondentes.
Aplica‐se após d2 = 1 e conseqüentemente d1 = 0 e determinam‐se os esforços
correspondentes.
Pela superposição de efeitos, defini‐se o seguinte sistema de equações:
No nó B (GL1): . .
No nó C (GL2): . .
84
Em sua forma matricial temos:
Substituindo os dados já determinados na forma matricial do problema tem‐se:
Que resulta em:
A partir dos deslocamentos d1 e d2 podem‐se encontrar os esforços nas barras
multiplicando‐se os coeficientes de rigidez de cada barra pelos deslocamentos
sofridos nas suas extremidades e somando‐se o resultado com os esforços de
engastamento perfeito nas extremidades das barras.
85
Exemplo 02:
Considere a viga abaixo. O valor da rigidez à flexão da mesma é EI = 1,2 x 104
kN.m². O valor da carga distribuída é de q = 12 kN/m. Determine o grau de
liberdade da mesma, calcule os deslocamentos e gere os diagramas DEC e DMF.
Como podemos verificar, as únicas deslocabilidades da estrutura são as
rotações em B e C.
Identificadas as deslocabilidades e o sistema hipergeométrico (SH) seguimos
com a superposição nos casos básicos.
Caso 0 – Carregamento Externo:
Fazendo as considerações dos momentos de engastamento perfeitos, temos:
86
.12
12. 412
16 .
.12
12. 412
16 .
. ²8
12. 48
24 . 16 . 8 .
.12
12. 612
36 .
.12
12. 612
36 .
. ²8
12. 68
54 . 36 . 18 .
.12
12. 212
4 .
.12
12. 212
4 .
. ²8
12. 28
6 . 4 . 2 .
(A)
(B)
Apresentamos o diagrama de duas formas. A primeira com a convenção usual
(lado da fibra da seção transversal que é tracionada), na segunda os valores dos
momentos são indicados nas extremidades das barras pela convenção de sinais
do método (anti‐horário positivo).
87
16 36 20 .
36 4 32 .
Caso 1 – Deslocabilidade d1:
2..
2.14. 1,2. 10 6.000 . /
4..
4.14. 1,2 10 12.000 . /
4..
4.16. 1,2. 10 8.000 . /
2..
2.16. 1,2. 10 4.000 . /
0
12.000 8.000 20.000 . / 20. 10 . /
4.000 . / 4. 10 . /
88
Caso 2 – Deslocabilidade d2:
0
2..
2.16. 1,2. 10 4.000 . /
4..
4.16. 1,2 10 8.000 . /
4..
4.12. 1,2. 10 24.000 . /
2..
2.12. 1,2. 10 12.000 . /
89
4.000 . / 4. 10 . /
8.000 24.000 32.000 . / 32. 10 . /
Montando o sistema matricial, temos:
Resolvendo o sistema determinamos os seguintes deslocamentos:
O valor negativo de D1 indica que a rotação da seção no apoio interno da
esquerda se dá no sentido HORÁRIO e o valor positivo de D2 indica que a
rotação no outro nó interno tem o sentido anti‐horário.
Para determinação dos momentos fletores, temos:
. . ∴ 1,25. 10 . 1,15. 10 .
90
A determinação dos demais esforços e das reações seguirá sempre o mesmo
formato: conhece‐se a configuração deformada e daí se tiram as demais
informações.
6. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS – DIVISÃO EM ELEMENTOS (SISTEMA DE COORDENADAS):
As estruturas reticuladas são divididas em elementos ligados entre si por nós, aonde se supõem concentradas todas as forças de ligação. As ações e deslocamentos são discretizados nos nós e a composição destes elementos para constituir a estrutura resulta em um sistema de equações montado em forma de matriz. No caso deste método, as equações são equações de equilíbrio de forças em torno dos nós. Uma estrutura com N nós, que em cada tem M graus de liberdade (GL) resulta em um sistema NxM. Considerações pertinentes: Cada elemento é representado por uma linha reta, coincidente com o eixo da barra, ligando 2 nós. Uma extremidade livre, assim como uma vinculada a um apoio também é considerada nó. Deve‐se criar um nó fictício sempre que houver descontinuidade de tipo de material ou seção da barra. Pode‐se inclusive, criar nó fictício sob cargas concentradas.
91
Sistema de Coordenadas:
Em estruturas reticuladas utiliza‐se coordenadas cartesianas. Um sistema global
(X, Y, Z) para a estrutura e um local para os elementos (x, ,y, z ou XL , YL, ZL).
No sistema local, o eixo x coincide com o eixo LONGITUDINAL DA BARRA
passando pelo centroide da seção e o sentido positivo deste eixo é definido pela
incidência dos nós no elemento, conforme abaixo:
Grau de Liberdade:
Em relação ao sistema global, definem‐se os graus de cada nó: translação
paralela ao eixo X (UX); ao eixo Y (UY); ao eixo Z (UZ); rotação em torno do eixo
X (RX); do eixo Y (RY) e do eixo Z (RZ).
92
Exemplos de Estruturas Reticuladas:
Viga – 2 GL por nó – translação paralela a y e rotação em z;
Treliça Plana – 2 GL por nó – translação paralela a x e a y;
Treliça Espacial – 3 GL por nó – translação paralela a x, y e z;
93
Pórtico Plano – 3 GL por nó – translação paralela a x e y e rotação em torno de
z;
Grelha – 3 GL por nó – translação paralela a z e rotação em torno de x e y;
Pórtico Espacial – 6 GL por nó – translação paralela a x, y e z e rotação em torno
de x, y e z;
94
RESUMO DO MÉTODO PARA ESTRUTURAS RETICULADAS DIVIDIDAS EM
ELEMENTOS:
Cada elemento é considerado isoladamente;
Será calculada a matriz de rigidez do elemento não restringido, em
relação a todos os GL do elemento, inicialmente no sistema local [ SL ];
Quando houver cargas aplicadas ao longo dos elementos ou barras, será
calculado o vetor de esforços de engastamento perfeito, inicialmente no
sistema local { FLEP };
Através de uma transformação de coordenadas, encontra‐se a matriz de
rigidez do elemento no sistema global [ SG ] e o vetor de esforços de
engastamento perfeito também no sistema global { FGEP };
Levando em conta e contribuição de todos os elementos será formada o
sistema de equações de equilíbrio para a estrutura não restringida, em
relação a todos os GL:
∗ ∗. ∗ ∗
∗ Σ "
∗ Σ "
Impõem‐se as condições de contorno, encontrando o sistema de
equações de equilíbrio da estrutura restringida:
.
Resolve‐se o sistema e obtêm‐se o vetor de deslocamentos:
A partir de { D } obtêm‐se as reações de apoio, encontra‐se o vetor de
deslocamentos nas extremidades de cada elemento, no sistema local { uL
}, e os esforços no elemento no sistema local:
95
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UM ELEMENTO NO SISTEMA LOCAL (ESTRUTURAS
RETICULADAS PLANAS):
Elemento de Viga:
Seja o elemento de viga com 2 GL abaixo. Cujo sistema local coincide com o
global.
O elemento ( i ), tem nó inicial J e final K, comprimento l e momento de inércia
I. O vetor de deslocamentos nodais é dado por:
E a matriz de rigidez por:
Para se obter os coeficientes da matriz de rigidez SLij, inicialmente fixam‐se as
extremidades do elemento e impõe‐se u1 = 1; em seguida u2 = 1.
96
Impõe‐se então o deslocamento unitário u3 = 1 e finalmente u4 = 1, com o
elemento fixo nas extremidades.
Desta forma, todos os coeficientes de rigidez já podem ser calculados, inclusive
pelo método das forças.
Impondo u2 = 1, temos:
4.. ∴
2..
Pelas condições de equilíbrio temos que ∑MJ=0 e ∑Fy=0:
∑ 0 ∴ .2.
.4.
. 0 ∴6.
. .1
6..
∑ 0 ∴ 0 ∴6.
.6.
.
De forma análoga, impomos u4 = 1:
4.. ∴
2..
Pelas condições de equilíbrio temos que ∑MJ=0 e ∑Fy=0:
∑ 0 ∴ .2.
.4.
. 0 ∴6.
. .1
6..
∑ 0 ∴ 0 ∴6.
.
Por equilíbrio definimos os demais coeficientes:
6. ∴
6.
97
∑ 0 ∴6. 6. 12
∑ 0 ∴ 12.
6. ∴
6.
6. 6. 12
12.
Desta forma a matriz de rigidez do elemento de viga (não restringido) no
sistema local é:
Esta matriz de rigidez é singular, não é inversível. É necessário restringir o
elemento para resolver o sistema de equações de equilíbrio. Não existe,
portanto, uma matriz de flexibilidade para elemento não restringido.
98
Elemento de Treliça:
Seja o elemento de barra de 2 GL formado pelos nós J e K. Em geral, o sistema
local não coincide com o sistema global; o vetor de deslocamentos nodais é { uL
}4x1 e a matriz de rigidez [ SL ]4x4.
O elemento tem comprimento l e área da seção transversal A. Inicialmente,
fixa‐se o elemento a movimentos de translação, lembrando que as ligações são
articuladas (rotação não produzem esforços nos elementos).
Impõe‐se u1 = 1 e obtêm‐se:
Σ 0 ∴ 0
Impõe‐se u2 = 1, movimento de corpo rígido e obtêm‐se: S12=S22=S32=S42=0
99
Impõe‐se u3 = 1 e obtêm‐se:
Σ 0 ∴ 0
Impõe‐se u4 = 1, movimento de corpo rígido e obtêm‐se: S14=S24=S34=S44=0
A matriz de rigidez do elemento de treliça plana no sistema local pode ser então
escrita como:
Elemento de Pórtico Plano:
Seja o elemento de pórtico plano de 3 GL formado pelos nós J e K. O vetor
deslocamento nodal é { uL }6x1 e a matriz de rigidez [ SL ]6x6.
100
A matriz de rigidez do elemento de pórtico plano pode ser encontrada
superpondo‐se a matriz de rigidez do elemento de viga com a do de treliça
plana, uma vez que não há interação entre esforço axial e de flexão (pequenos
deslocamentos, estrutura linear).
GL 1 do elemento de viga GL 2 do elemento de pórtico plano
GL 2 do elemento de viga GL 3 do elemento de pórtico plano
GL 3 do elemento de viga GL 5 do elemento de pórtico plano
GL 4 do elemento de viga GL 6 do elemento de pórtico plano
GL 1 do elemento de treliça GL 1 do elemento de pórtico plano
GL 3 do elemento de treliça GL 4 do elemento de pórtico plano
Desta forma resultando:
101
De forma didática para facilitar o entendimento e aprendizado do método,
segue abaixo relacionada as matrizes de rigidez elementares
102
MATRIZ DE ROTAÇÃO – TRANSFORMAÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS:
Seja por exemplo um elemento de pórtico plano, com eixo local XL formado com
um ângulo em relação ao eixo global XG:
Decompondo‐se os deslocamentos uG1 e uG2 nos eixos xL e yL temos:
De onde, empregando conhecimentos de geometria analítica e com base nos
ângulos de Euler, se tira que: uL1 = uG1.cos + uG2.sen e uL2 = uG1.sen + uG2.cos
Uma vez que a resultante dos vetores de translação é a mesma.
Observa‐se também que uL3 = uG3 e uL6, pois a rotação do nó J assim como do nó
K é a mesma no plano (xL, yL ou xG, yG)
Na forma matricial temos:
103
De forma análoga para o nó K temos:
Escrevendo a relação entre o vetor de deslocamentos nodais do elemento no
sistema local, { uL }, e o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema
global, { uG }, vem:
A matriz [ R ]6x6 é chamada de matriz de transformação de coordenadas do
sistema global para o sistema local ou matriz de rotação ( positivo do eixo global para o local no sentido anti‐horário). Observa‐se que a matriz inversa
[ R ]‐1 pode ser obtida substituindo‐se por ‐ (rotação inversa no sentido horário do local para o global).
104
Uma vez que cos(‐)=cos e sen(‐)=‐sen, observa‐se que [ R ]‐1 = [ R ]T, ou seja, a matriz [ R ] é uma matriz ortogonal. Portanto { uG } = [ R ]
‐1 { uL } = [ R ]T{ uL }.
Para o elemento de treliça plana, tem‐se 2 GL no nó. Não se considera o GL de
rotação do nó, pois este não resulta em esforço na barra.
A matriz de transformação é:
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO NO SISTEMA GLOBAL:
Seja por exemplo um elemento de pórtico plano. Supondo que não haja cargas
atuando ao longo do elemento, os esforços nas extremidades do elemento
dependem apenas dos deslocamentos nodais. As equações de equilíbrio no
sistema local e global se escrevem como segue:
105
Sendo { AL } e { AG } os vetores de esforços, [ SL ] e [ SG ] as matrizes de rigidez, {
uL } e { uG } os vetores de deslocamentos.
Já foi visto anteriormente que: { uL } = [ R ]. { uG }, analogamente:
Substituindo‐se temos:
Multiplicando por [ R ]T:
Substituindo em { AG }:
Comparando as equações obtém‐se a matriz de rigidez do elemento no sistema
global:
Apesar de esta expressão ter sido desenvolvida para o elemento de pórtico
plano, ela é genérica e, portanto, vale para todos os tipos de estrutura
reticulada.
VETOR DE ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO NO SISTEMA GLOBAL:
Para formar o vetor de esforços de engastamento perfeito devem‐se
transformar os esforços de engastamento perfeito de todos os elementos do
sistema local para o global. Desta forma:
106
SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA ESTRUTURA NÃO RESTRINGIDA:
Equações de equilíbrio de forças generalizadas em torno dos nós para estrutura
com apoios podem ser escritas: { A } = { FEP } + [ S ].[ D ], sendo:
{ A } as ações aplicadas nos nós;
{ FEP } os esforços nas extremidades dos elementos devido às cargas atuando
para a estrutura fixa (esforços de engastamento perfeito);
[ S ].[ D ] esforços devido aos deslocamentos nodais.
Essas mesmas equações podem ser reescritas para estruturas NÃO restringidas
(sem apoios): { A }* = { FEP }* + [ S ]*.[ D ]*
Ambos os sistemas de equações acima são considerados no sistema global de
todos os elementos, formulados em relação ao GL do elemento. A relação entre
os GLs do elemento e os GLs da estrutura será efetuada através da regra de
correspondência.
MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA:
A matriz de rigidez da estrutura não restringida [ S ]* é formada a partir das
matrizes de rigidez dos elementos no sistema global:
∗ . .
Onde nelms é o número de elementos da estrutura.
A matriz [ S ]* é formada somando‐se a contribuição de todos os elementos, isto
é, os coeficientes S*ij, cujo primeiro índice “i” é o GL de um nó da estrutura, são
encontrados somando‐se os coeficientes das matrizes de rigidez [ SG ] dos
elementos que concorrem a este mesmo nó correspondentes ao mesmo GL”i”.
Deve‐se então identificar qual GL na extremidade do elemento que corresponde
a um GL de nó na estrutura.
107
Como exemplo, usaremos o pórtico plano abaixo:
Por exemplo, no nó “5” concorrem três elementos: (4), (5) e (6), cujos GL nas
extremidades (vetor deslocamento { uG }), no sistema global, estão
apresentados a seguir:
Para o elemento (6) o sistema local e o global coincidem, já para os elementos
(4) e (6), deve‐se transformar o vetor de deslocamentos do sistema local para o
global, como a seguir:
{ uL } = [ R ] . { uG }
{ uG } = [ R ]T . { uL }
108
A direção generalizada, ou GL 14 da estrutura (D14, que é o segundo GL do nó 5),
correspondem as direções: 5 do elemento (4) / 2 do elemento (7) / 2 do
elemento (6).
A direção 15 (D15) corresponde às direções: 6 do elemento (4) / 3 do elemento
(7) e 3 do elemento (6).
O coeficiente S*14‐15 que exprime a influência de um deslocamento na direção
15 sobre o esforço na direção 14 (força vertical no nó 5), será a soma dos
coeficientes de influência das matrizes [ SG ] dos elementos (4), (6) e (7).
Para compreender fisicamente o significado desta expressão, multiplicam‐se
ambos os lados da mesma por D15:
Sendo que S*14,15 D15 (que é uma parcela de A14) representa a força na direção
14 devido a uma rotação no nó 5 (=D15), cuja magnitude é igual à soma das
forças nos elementos (4), (6) e (7) na direção correspondente à 14 (5, 2 e 2
respectivamente), devido a esta rotação do nó 5 nas extremidades dos mesmos.
109
Para S*14,15 contribuem três elementos que concorrem no nó 5, já para o
coeficiente S*14,21 contribui apenas o elemento (7), pois S*14,21 exprime a força
na direção 14, causada por uma rotação unitária no GL 21 (existe um único
elemento que liga GL 14 ao GL 12).
Verifica‐se que S*14,10 é nulo, pois não há elemento ligando o nó 5 ao qual
pertence à direção 14 ( o que ocorrerá em vários outros coeficientes), o que
explica o fato dos coeficientes da matriz [ S ]* se agruparem em uma faixa em
torno da diagonal principal, os demais coeficientes fora desta faixa são nulos.
REGRA DE CORRESPONDÊNCIA:
Relaciona a numeração dos deslocamentos das extremidades dos elementos ({
uG }), com a numeração dos deslocamentos nodais da estrutura ({ D }). Em cada
elemento (i) os deslocamentos são numerados de 1 a 2 x NGL/nó
Na estrutura, os deslocamentos são numerados na ordem dos nós, sendo que,
em cada nó há NGL/nó, deslocamentos em ordem determinada pelos eixos do
sistema global.
Exemplo Teórico 1:
110
Tomando como exemplo o elemento 7 que liga o nó 5 ao 7 (J=5 / K=77), temos:
Exemplo Teórico 2: Elemento de Viga
Seja a viga abaixo cujo número de GL por nó é igual a dois (vigas).
111
Os coeficientes da matriz de rigidez da estrutura não restringida são formados a
partir dos coeficientes das matrizes de rgidez no sistema global de cada
elemento, usando‐se a regra da correspondência e somando‐se os coeficientes
que correspondem ao mesmo GL da estrutura nos nós onde concorrem os
elementos.
112
EXERCÍCIOS E APLICAÇÕES
1. Calcule a viga abaixo de rigidez EI = 72x10³ kN.m² pelo método dos
deslocamentos, levando em consideração a não restrição da mesma.
Primeiramente divide‐se a estrutura:
Fazendo a regra da correspondência:
Elemento
J K
(1)
1 2
(2)
2 3
2J – 1 1 3 1
2J 2 4 2
2K – 1 3 5 3
2K 4 6 4
113
Matrizes de rigidez de cada elemento (sistema global coincide com local):
114
Vetores de esforços de engastamento perfeito:
115
SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA ESTRUTURA RESTRINGIDA:
Para considerar a estrutura como sendo restringida, devem‐se impor as
condições de contorno (deslocamentos nulos nas direções restringidas por
apoios)
O que equivale a eliminar as colunas de [ S* ] correspondentes aos GL
restringidos por apoios, e, consequentemente, como [ S* ] é simétrica, eliminar
também as linhas que correspondem aos CL restringidos. Ficando o sistema de
equações como segue:
Desta forma, seja a viga abaixo:
116
A mesmo possui 4 GL. As direções ou GL 1 e 2 são restringidas. Neste caso, os
esforços de engastamento perfeito do elemento são:
Para a estrutura não restringida tem‐se:
Fazendo‐se D1 = 0 e D2 = 0 no sistema, obtém‐se:
Observa‐se que os coeficientes da coluna 1 e 2 de [ S ]* são multiplicados por
zero, portanto as colunas podem ser eliminadas.
Eliminando‐se também as linhas i e ii de [ S ]*, obtém‐se o sistema de equações
de equilíbrio para a estrutura restringida, em relação apenas às direções ou GL
livres (iii e iv)
117
Resolvendo o sistema: . Inserindo D3 e D4 nas equações (i) e (ii)
obtém‐se as reações R1 e R2.
O sistema de equações pode ser escrito na forma ( D deslocável; R
restringida).
Da segunda linha { FEP }D + [ SDD ].{ D } = { A }, onde:
[ SDD ] é a matriz de rigidez da estrutura restringida [ S ];
{ FEP }D é o vetor de esforços de engastamento perfeito da estrutura restringida {
FEP };
Resolvendo o subsistema obtém‐se { D }.
Inserindo { D } na primeira linha do sistema { R } = { FEP }R + [ SRD ] . { D },
obtém‐se as reações de apoio.
Nem sempre o sistema está assim arrumado, com direções restringidas no inicio
ou no final. Seja a viga bi‐apoiada abaixo:
{ FEP }* e [ S ]* não mudam em relação ao exemplo anterior, mudam as direções
restringidas:
118
Impõe as condições de contorno da estrutura, eliminando‐se as colunas 1 e 3 de
[ S ]* e por simetria as linhas 1 e 3 também (i e iii) no sistema de equações, o
que sobra é o sistema de equações da estrutura restringida:
Cuja solução fornece o vetor de deslocamentos nodais da estrutura:
Inserindo D2 e D4 nas linhas (i) e (iii) do sistema de equações, obtêm‐se as
reações de apoio R1 e R3.
119
APLICAÇÕES
Para fixar melhor o método segue uma série de exercícios resolvidos e
propostos.
Estruturas SEM deslocabilidades Externas:
Aplicação 01: Obter o diagrama de momento fletores e as reações de apoio
para a estrutura abaixo.
Dados: E = 2x106 t/m² / I = 0,024 m4
Sistema Principal:
Podemos verificar que a estrutura abaixo apresenta apenas deslocabilidades
internas (2), a saber: rotação em B e C. Desta forma, para representá‐las
colocaremos chapas rígidas nos nós citados.
120
Efeitos no sistema principal:
a. Carregamento Externo:
FEP1=+6 FEP2=+12
Para Barra 2:
Para Barra 3:
Desta forma obtemos as rotações indicadas no esquema acima:
FEP1=+6
FEP2= +18 ‐ 6 = +12
b. Rotação em S1:
Neste método não somos obrigados a impor rotações unitárias, podemos
trabalhar com a rigidez relativa da barras. De forma a simplificar os cálculos,
multiplicaremos a rigidez real por 4E/10³.
Assim, girando o nó 1, teremos:
S11=+7 S21=+1,5
121
Como sabemos, o coeficiente de transmissão neste caso vale +0,50
c. Rotação em S2:
Adotando o mesmo critério acima e girando o nó 2, teremos:
Para a barra 2: 248 3
Para a barra 3: 246 4
Para a barra 4: 3. 4.3.24
4.6 3
Desta forma resulta em:
S21 = +1,5 S22 = +10
Cálculo das Incógnitas:
. .
7 1,51,5 10 . 6
121
67,75.10 1,51,5 7 . 6
120,621,11
Efeitos Finais:
Serão dados por E = E0 – 0,62.E1 – 1,11.E2, obtendo‐se os momentos finais nas
extremidades das barras indicadas, a partir dos quais, obteremos as reações de
apoio e o diagrama de momentos fletores pedidos.
Notar que a soma dos momentos em torno de cada nó deve ser zero, pois não
existe carga‐momento aplicada à estrutura (geralmente há apenas um valor
residual)
122
Obs.: Lembre que as rotações verdadeiras serão dadas por:
123
Aplicação 02: Obter o diagrama de momento fletores e as reações de apoio
para a estrutura abaixo.
Aplicação 03: Obter o diagrama de momento fletores para a viga de inércia
constante abaixo.
Estruturas COM deslocabilidades Externas:
Aplicação 04: Obter o diagrama de momento fletores para a estrutura abaixo
devido ao carregamento e ao recalque de apoio em D de 1 cm de cima para
baixo, associado a um recalque horizontal de mesmo valor da esquerda para a
direita ( EJ = 2x104t.m² )
124
Sistema Principal:
Note que a estrutura apresenta uma deslocabilidade interna (rotação em B),
porém, também apresenta uma externa (deslocamento horizontal em B ou C).
Desta forma, para se tornar indeslocável o sistema, devemos:
Efeitos no sistema principal:
a. Carregamento Externo:
Aplicando o carregamento externo temos o funcionamento da barra BC
como engastada e apoiada e desta forma, da tabela de engastamento
perfeito:
2.6²8
9
125
Devido a este funcionamento, aparecerão reações verticais em B e C que se
transmitirão aos apoios A e D, conforme a figura abaixo. Nenhuma reação
horizontal é despertada nesta fase.
b. Rotação em S1:
Aplicando uma rotação em S1 à chapa 1, tal que EJ.S1 = 6 t.m² temos o
aparecimento dos seguintes momentos nas barras.
As reações de apoio, que serão despertadas foram obtidas da seguinte
forma:
S11 = +7
S21 = +1
c. Rotação em S2:
Aplicando o deslocamento S2 ao apoio 2, tal que EJ.S2 = 6 t.m², teremos o
aparecimento de deslocamentos ortogonais recíprocos de igual valor para as
barras 1 e 3, permanecendo horizontal a barra 2, conforme esquema.
Teremos os seguintes momentos de engastamento perfeito devido a estes
deslocamentos ortogonais recíprocos:
126
Para barra 1: .
²
.
²1
Para barra 3: 0 pois a barra é bi‐rotulada.
Temos desta forma: S12 = +1
S22 = +1/3
Cálculo das Incógnitas:
. .
7 11 1/3 . 9
02,256,75
Efeitos Finais:
127
128
Aplicação 05: Obter o diagrama de momento fletores para a estrutura abaixo.
Aplicação 05: Obter o diagrama de momento fletores para a estrutura abaixo.
Esta apostila foi elaborada a partir de outras bibliografias indicadas, em vários
casos sendo fielmente transcritos os textos e as figuras das mesmas.
Reservem‐se então os direitos autorais bem como os créditos a quem é de
direito.
129
BIBLIOGRAFIA
BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E. R. (1989). Resistência dos materiais. 2a ed. São Paulo: McGraw-Hill. CAMPANARI, Flávio Antônio.(1985). Teoria das estruturas. v.1, 2, 3 e 4. Ed. Guanabara Dois. POPOV, Egor P. (1978). Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard Blücher. SUSSEKIND, José Carlos. (1994a). Curso de análise estrutural. v.3. 11a ed.São Paulo: Ed.Globo. TIMOSHENKO, Stephen P. (1967). Resistência dos materiais. v.1. 3a ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. LA ROVER, H.L. e DE MORAES, POLIANA DIAS. R. (2005). Apostila ECV 5220 –Análise Estrutural II. Santa Catarina: ECV/UFSC.
130
Capítulo IV – Processo de Cross
INTRODUÇÃO
O método desenvolvido por Hardy Cross em 1932 baseia‐se no método
dos deslocamentos e assim como os outros dois métodos estudados
(Capítulos II e III), permite a resolução de estruturas hiperestáticas.
Também chamado de DISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS consiste em obter
esforços nas barras pelo equilíbrio do nó, distribuindo o momento total no
nó (momento aplicado mais os momentos de engastamento perfeito das
barras que concorrem no nó) de acordo com a rigidez das barras.
A grande vantagem do processo reside no fato de que o mesmo, devido
seu simplificado processo de resolução, dispensa e/ou reduz em muito a
necessidade de ferramentas computacionais, o que não ocorre com os
demais métodos e em especial o dos deslocamentos.
PRINCÍPIOS DO PROCESSO
1. Pode ser considerado como um processo matemático de resolução
por aproximações sucessivas dos sistemas lineares (método
interativo);
2. Inicialmente supõe‐se que os nós estão rígidos e não podem sofrem
rotação; após aplicação das cargas os nós são liberados
sucessivamente e passam a sofrer rotação;
3. Bloquear o nó liberado antes de passar para o próximo;
4. Essa sequência é repetida até que a liberação dos nós não provoque
mais rotação, ou seja, o estado de equilíbrio foi alcançado.
Como se pode ver, o processo de Cross transforma a resolução de
estruturas hiperestáticas em uma simples solução aritmética, o que não é
em todo verdade.
131
Para vigas com seção constante, o processo de Cross depende de solução
de três problemas específicos:
a. Determinação dos momentos de engastamento perfeito
(tabelados);
b. Da rigidez de cada viga;
c. Do fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura.
RIGIDEZ DE UMA LIGAÇÃO
A rigidez de uma barra em um nó qualquer, será igual ao valor do
momento fletor que, aplicado neste nó, supostamente livre para girar,
provoca uma rotação UNITÁRIA da barra no nó.
Desta forma, a extremidade apoiada de uma viga simples esta associada a
um coeficiente de rigidez (k) (rigidez à rotação que a viga apresenta aos
momentos aplicados nos nós). Este coeficiente por sua vez apresenta a
mesma dimensão do momento fletor aplicado, uma vez que a rotação é
unitária. A isso damos o nome de MOLA ROTACIONAL.
Neste contexto, quanto maior for a mola, maior terá que ser o momento
fletor aplicado no nó para produzir o giro:
.
Se = 1, então M = ki
Nos casos usuais da engenharia é possível mostrar que o valor do
coeficiente de rigidez é dado por:
4
132
3
* levar em consideração a extremidade de aplicação da rotação.
(vide tabelas de momentos
de engastamento perfeito 30)
COEFICIENTE DE TRANSMISSÃO
Como resultado do momento aplicado na extremidade da viga
biengastada, surge um momento na extremidade oposta de metade de
seu valor, por este motivo dizemos que, o coeficiente de transmissão da
barra biengastada é de 0,50, ou de outra forma:
Já no caso de vigas engastada e apoiada esse coeficiente é igual a ZERO:
CONVENÇÃO DE GRINTER
Pela convenção de Grinter os momentos exercidos pelas barras sobre os
nós serão considerados POSITIVOS no sentido HORÁRIO. Isto equivale a
dizer que devem ser considerados positivos os momentos anti‐horários
exercidos pelos nós sobre as extremidades das barras.
133
COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO
Seja a estrutura fundamental do processo de Cross:
A mesma possui aplicado sobre o nó 0 um momento denominado M,
momento este que gera uma deformação nas barras 1, 2 e 3 conforme
representada na figura (b)
Pelos conceitos já aplicados sabemos que o momento em cada barra
estará assim definido:
.
.
.
Tendo, desta forma, o equilíbrio da figura (a) com a (b) é obtido como
segue:
134
E, por compatibilidade de deslocamentos:
. ∴ Σ
Sabe‐se ainda que:
. . Σ ∴ . Σ
. . Σ ∴ . Σ
. ∴ . Σ ∴ . Σ
Da expressão acima se pode dizer que: um momento aplicado num nó de
uma estrutura totalmente indeslocável irá se distribuir, entre as diversas
barras concorrentes neste nó, segundo parcelas proporcionais à rigidez,
neste nó, de cada uma das barras.
Assim, denominamos coeficiente de distribuição de momentos para barra
i:
Σk ∴ .
Que representa a parcela do momento atuante no nó que propagará para
a barra i. Isto implica em dizer que i = 1 para que o momento M seja
recomposto.
135
Aplicação 01: Determine a parcela de momento aplicado no nó “0” da
estrutura abaixo que será distribuído para a barra 1:
Coeficientes de rigidez:
4 42 2
4 4 33 4
3 3 24 1,5
Atentar ao fato de que as rigidezes das barras são diferentes.
Coeficientes de distribuição:
Σ2
2 4 1,50,27
Σ4
2 4 1,50,53
Σ1,5
2 4 1,50,20
Σ 1 0,27 0,53 0,20 1,0
136
A parcela do momento que irá para a barra 1 será então:
. 0,27.35 . 9,45 .
O sinal negativo decorre do fato do momento de reequilíbrio ser igual e
contrário ao momento aplicado no nó.
A parcela que chegará ao apoia A será dada por:
0,5 ∴ ,
4,72 .
PROCESSO DE CROSS – ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS
Para um nó apenas (um grau de liberdade – Rotação):
Como apresentado anteriormente, o processo consiste em fixar os nós,
calcular os momentos de engastamento perfeitos devido às cargas nos
elementos (transferidos para os nós adotando a convenção de Grinter) e
somam‐se aos momentos aplicados nos nós. Posteriormente calculam‐se
a rigidez das barras (ki), os coeficientes de distribuição (i) e de
transmissão (ti). Em seguida distribui‐se o momento total no nó pelas
barras usando os coeficientes de distribuição para obter o equilíbrio no nó
(M=0). Os momentos obtidos nas barras ligadas ao nó devem ser
transmitidos para a outra extremidade de acordo com seu coeficiente de
transmissão. Finalmente geram‐se os diagramas de momento fletor.
137
Exemplo 01: Seja o pórtico plano indeslocável com rigidez EI constante e
igual a 30 kN.m²: Resolva a estrutura pelo Processo de Cross.
Para resolver a estrutura primeiramente fixa‐se o nó e calculam‐se os
momentos de engastamento perfeito:
Após determinam‐se as rigidezes das barras:
Calculam‐se os coeficientes de distribuição i:
138
Efetua‐se o equilíbrio do nó, obtendo o momento nas barras:
Com os momentos nas barras determinados, efetua‐se a transmissão dos
momentos para as extremidades opostas, obtendo‐se os momentos finais.
Nas barras, os momentos finais M>0 (anti‐horário +) e M<0 (horário ‐)
Resultando no seguinte diagrama de momento fletor:
139
Exemplo 02: Seja a viga contínua com rigidez EI constante e igual a 9
kN.m². Resolva a estrutura pelo Processo de Cross.
Para resolver a viga primeiramente fixa‐se o giro do nó B e calculam‐se os
momentos de engastamento perfeito devido às cargas nas barras.
Verifica‐se que o nó B está desequilibrado de uma parcela MB como
ilustrado abaixo. Esta parcela do momento deve ser repartida entre as
barras que concorrem neste nó na proporção dos coeficientes de
distribuição.
140
Então se calculam os coeficientes de distribuição a partir das rigidezes das
barras a fim de efetuar o equilíbrio do nó.
Calculados os coeficientes de distribuição determina‐se a parcela
desequilibrante do momento no nó e distribui‐se esta parcela entre as
barras concorrentes a este nó, na proporção dos coeficientes.
Efetua‐se o equilíbrio dos momentos, encontra‐se o momento no apoio
interno igual a 14,40 kN.m
141
As reações podem ser obtidas a partir das equações de equilíbrio da
estática, como mostrado. A partir dos valores das reações é possível
determinar o ponto de momento máximo e traçar o diagrama de esforço
cortante da viga.
O diagrama de momentos fletores é ilustrado abaixo:
142
Exemplo 03: Seja a viga contínua com engaste e rigidez EI constante e
igual a 8 kN.m². Calcule a mesma pelo Processo de Cross.
Devemos fixar os nós deslocáveis. Fixamos o nó B e determinamos os
momentos de engastamento perfeito.
Posteriormente determinamos as rigidezes das barras para, a partir dos
coeficientes de distribuição, calcular os de transmissão.
Fazemos então o equilíbrio do nó B e a transmissão dos momentos para as
outras extremidades da barra.
143
A diferença dos momentos aplicados no nó é MB = +60, portanto a
parcela que cabe a cada barra é M1 = ‐0,27.60= ‐43,62 e M2 = ‐0,273.60 = ‐
16,58.
Com o nó B equilibrado obtêm‐se os momentos no engaste A e no apoio
B. Desta forma, as reações nos apoios podem ser determinadas utilizando
as equações de equilíbrio da estática e o diagrama de momentos pode ser
traçado pendurando‐se na linha de fechamento o diagrama de momentos
das cargas atuantes nos tramos considerando estes tramos vigas
isostáticas.
De forma a complementar o exercício, de posse dos momentos, calcular e
desenhar o diagrama dos esforços cortantes.
144
Exercício Proposto 01: Calcule a estrutura abaixo pelo Processo de Cross.
Considerar EI constante.
Para dois nós ou mais:
O processo deverá ser iniciado pelo nó mais desequilibrado e os
momentos que surgem devido à rotação do nó são somados para
equilibrá‐lo. Estes momentos são transmitidos aos nós adjacentes pelos
coeficientes de transmissão. Passa‐se para o próximo nó em desequilíbrio
e assim sucessivamente até chegar a um valor ínfimo e desprezível a ser
transmitido.
Exemplo 04: Seja a viga contínua abaixo com engaste e rigidez EI
constante e igual a 12 kN.m². Calcule a mesma pelo Processo de Cross.
Calculam‐se os coeficientes de distribuição e transmissão:
145
Calcula‐se a rigidez relativa das barras que concorrem em cada nó a fim de
determinar o coeficiente de distribuição. No nó B, esses parâmetros são
dados por: k1 = 9 e k2 = 16.
No nó C esses parâmetros são dados por k2 = 16 e k3 = 12.
Determinam‐se as parcelas desequilibrantes nos nós B e C,
respectivamente:
Iniciamos o processo pelo nó mais desequilibrado (B). Como agora o
equilíbrio do nó B não depende apenas da rotação em B, mas da rotação
em C também, ao equilibrarmos o nó B não chegaremos aos esforços
finais. No entanto, transmitindo‐se o momento da barra (2) para o nó C,
fazendo‐se o equilíbrio deste, transmitindo o momento da barra (2) para B
e assim sucessivamente, chega‐se aos esforços finais nas barras, converge‐
se para o equilíbrio final dos nós. Cada vez que se procede a um equilíbrio
de nó passa‐se um traço abaixo dos momentos equilibrantes.
146
A partir dos momentos finais traça‐se a linha de fechamento do gráfico de
momento fletor e sobre essa se penduram os diagramas de momentos
devidos aos carregamentos.
Exemplo 05: Seja o pórtico indeslocável abaixo com rigidez EI e igual a 1
kN.m². Calcule o mesmo pelo Processo de Cross.
Fixam‐se os nós B e C e determinam‐se os momentos de engastamento
perfeito nas barras e do balanço.
Determinam‐se as rigidezes das barras e os coeficientes de distribuição
nos nós.
147
No nó B temos:
No nó C temos:
Como se pode ver o nó C é o mais desequilibrado, é nosso ponto de
partida do Processo de Cross.
A figura abaixo ilustra os momentos que atuam nos nós em equilíbrio B e
C. O somatório dos momentos e cada nó são iguais a zero.
148
Atingindo‐se o equilíbrio dos nós do pórtico, determinam‐se os momentos
das extremidades das barras. Estes momentos formam a linha de
fechamento do diagrama de momentos. Sobre estas linhas penduram‐se
os diagramas de momentos originários do carregamento externo.
Diagramar os esforços normais e cortantes, localizando, com as distâncias,
os pontos de esforços nulos e conseqüentemente os pontos de momentos
fletores máximos, bem como os momentos máximos.
Para estruturas com mais de 2 nós, aplica‐se o mesmo procedimento.
Inicia‐se pelo nó mais desequilibrado e passa‐se para os demais, sempre
na mesma seqüencia.
149
ESTRUTURAS SIMÉTRICAS
Eixo de Simetria passando pelo CARREGAMENTO SIMÉTRICO:
Seja a viga contínua com carregamento simétrico abaixo:
Como o esforço axial não está sendo considerada, a estrutura pode ser
considerada simétrica. Lembrando que M e N são simétricos e V anti‐
simétrico, para carregamento simétrico, pode‐se considerar metade da
estrutura e substituir o apoio C por um engaste.
Resolve‐se então a metade, fazendo o equilíbrio do nó B.
É bom lembrar que sobre o eixo de simetria de uma viga a rotação é nula.
Eixo de Simetria passando pelo APOIO:
Seja o exemplo abaixo:
150
Pode‐se considerar metade da estrutura deixando C como apoio simples.
É como se rotulássemos o apoio C uma vez que em C o momento fletor
deve ser nulo. Resolve‐se apenas esta metade, lembrando que, para a
estrutura toda, o DMF será anti‐simétrico e o DEC, simétrico.
Lembrando que, em uma viga simétrica com carregamento anti‐simétrico,
o deslocamento vertical sobre o eixo de simetria é nulo.
Se houver um momento (M0) aplicado em C, resultará em um momento
M0/2 com o mesmo sentido na metade da estrutura. Devido à simetria da
estrutura, cada metade resiste à metade do momento aplicado. Como
ilustrado abaixo:
151
Exercício Proposto 02: Calcule a estrutura abaixo pelo Processo de Cross.
Considerar EI constante.
Exercício Proposto 03: Calcule a estrutura abaixo pelo Processo de Cross.
Considerar EI constante.
Exercício Proposto 04: Calcule a estrutura abaixo pelo Processo de Cross.
Considerar EI constante.
152
BIBLIOGRAFIA
BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E. R. (1989). Resistência dos materiais. 2a ed. São Paulo: McGraw-Hill. CAMPANARI, Flávio Antônio.(1985). Teoria das estruturas. v.1, 2, 3 e 4. Ed. Guanabara Dois. POPOV, Egor P. (1978). Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard Blücher. SUSSEKIND, José Carlos. (1994a). Curso de análise estrutural. v.3. 11a ed.São Paulo: Ed.Globo. LA ROVER, H.L. e DE MORAES, POLIANA DIAS. R. (2005). Apostila ECV 5220 –Análise Estrutural II. Santa Catarina: ECV/UFSC.
