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Dinâmica Estocástica
Instituto de Física, outubro de 2016
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 1
2
Dinâmicas estocásticas para o modelos definidos em redes
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Sistema definido em um reticulado em um espaço de d dimensões
i variável estocástica associada ao sítio i -> assume 2 valores
Exemplo: rede quadrada (d=2) em que cada sítio pode estar em 2 estados
Rede tem N sítios
i
Cada sítio pode estar em um número de 2 de estados
Valor assumido por fornece o estado do sítio i
Estado do sistema )...,,...,,,( 21 Ni
i=1, 2, ..., N
1i
i
1
1
3
1i
Dinâmicas estocásticas em redes com mudança de um único sítio
1( ,...., ,...., )i N
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)...,,...,,,(' 21 Ni
' Transição com mudança de um único sítio e
O sítio i mudou do estado para o estado ii
Todos os outros sítios permaneceram no mesmo estado
Equação mestra para dinâmicas em rede com mudança de um único sítio
)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
)()()()(),(1
PwPwtPdt
di
ii
i
N
i
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 4
1iCaso:
Obtida na aula
passada
Equação Mestra
)(iw = taxa de transição por sítio
5
Regime estacionário
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
0)()()()(1
PwPw i
ii
i
N
i
)(P distribuição de probabilidades estacionária
0/ dtdP
6
Balanceamento detalhado
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0)()()()( PwPw i
ii
ipara qualquer par
),( i
Condição de balanceamento detalhado
)(P é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado
Se BDé obedecida
(BD)
7
Balanceamento detalhado
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)(
)(
)(
)(i
i
i
i
P
P
w
w
para qualquer par ),( i
Condição de balanceamento detalhado
)(P é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado
(BD)
)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising
Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising
Dinâmicas com mudança de um único sítio e algoritmo de Metropolis
Duas das dinâmicas famosas que levam o modelo para o estado estacionário (que é de equilíbrio) são:
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 8
Dinâmica de Metropolis
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 9
O algoritmo de Metropolis foi apresentado em 1953 em artigo de Nicholas Metropolis,Arianna Rosenbluth, Marshal Rosenbluth, Augusta Teller e Edward Teller [1].
[1] N. Metropolis, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller, E. Teller, Equation of StateCalculations by Fast Computing Machines, Journal of Chemical Physics 21, 1087 (1953)
Algoritmo de Metropolis
Método de Monte Carlo – Algoritmo de Metropolis
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11
Taxa de transição por sítio - Dinâmica de Metropolis
Algoritmo de Metropolis
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)exp(,1min)( Ewi )()( EEE i
)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
)(iw
)exp( E
0E
0E
se
se
i
Taxa de transição por sítio
12
Dinâmica de Metropolis estado estacionário possui balanceamento detalhado -> demonstração a seguir
Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado
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)()( EE i ))()((exp[)( EEw i
i
)( i
iw
i
Nesse caso, na transição inversa a energia diminui i
)()( iEE
i
Seja )()( EE i
13
Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
))]()((exp[)(
)(
EEw
wi
i
i
i
Se )()( iEE
))()((exp[)( EEw i
i
)( i
iw
A razão entre as taxas de transição é:
i
i
))()(exp(
1iEE
14
Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)(
)(
w
w i
i
A razão entre as taxas de transição é:
))()(exp(
1iEE ))(exp())(exp(
1
EE i
)(
)(
w
w i
i
))(exp(
))(exp(iE
E
15
Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Mas,
Z
EP
))(exp()(
Z
EP
ii ))(exp()(
distribuição de probabilidades de Gibbs associada ao estado
distribuição de probabilidades de Gibbs associada ao estado i
Z é a função de partição
Portanto,
))(exp(
))(exp(
)(
)(ii E
E
P
P
16
Dinâmica de Metropolisestado estacionário possuibalanceamento detalhado –demonstração finalizada.
Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado
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)(
)(
w
w i
i
))(exp(
))(exp(iE
E
))(exp(
))(exp(
)(
)(ii E
E
P
P
)(
)(
w
w i
i
)(
)(iP
P
Modelo de Ising & Dinâmica de Metropolis
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 17
Energia de um estado
i
i
ij
ji HJE )(
)(
1i
i =1, 2, 3, ... , Nvariável associada ao sítio i da rede
),...,,...,,( 21 Ni
)(
...ij
soma sobre os pares de átomos vizinhos na rede
H constante proporcional ao campo
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 18
Modelo de Ising
J constante relacionada à interação entre dipolos magnéticos
19
Modelo de Ising a campo nulo
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)(
)(ij
jiJE
(campo nulo)Energia associada ao estado
20
Taxa de transição por sítio - Dinâmica de Metropolis
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising a campo nulo
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)exp(,1min)( Ewi
)(
)(ij
jiJE
)()( EEE i
)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
.const
TkB/1
i
)(iw
21
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)(
)(ij
jiJE
)()( EEE i
(...)
soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i
Modelo de Ising / energia do estado (campo nulo)
)()( EEE i
Portanto, na transição a variação de energia é i
iiJ2
Obtida na última aula
22
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
iii Jw 2exp(,1min)(
iiJE 2 (...)
soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i
TkB/1
i
Taxa de transição por sítio / Metropolis / Ising
Simulação do modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 23
24
Simulação do modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Transformar processo markoviano a tempo contínuo em processo markoviano a tempo discreto
tdiscretizar em intervalos de tempo
taxa de transição -Dinâmica de Metropolis
e tal que )()( ii pw 1)(0 ip
)
2exp(,1min)(
ii
B
iTk
Jw
25
Simulação do modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Probabilidade de transição -Dinâmica de Metropolis
)()( ii pw
)exp(,1min)( Epi
iiJE 2 (...)
soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i
i
)(ip
26
Simulação do modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Probabilidade de transição -Dinâmica de Metropolis
)exp(,1min)( Epi
]2exp[)(
iii Jp
1)( ip
)()( EE i
)()( EE i 0E
0E
se
se
isto é,
isto é,
iiJE 2
27
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)exp( Ep
Simulação de Monte Carlo para o modelo de Ising com a dinâmica de Metropolis
Gera-se um número aleatório e escolhe-se um sítio para ser atualizado sítio i foi escolhido ao acaso
Calcula-se
Gera-se um número aleatório no intervalo [0,1]
Se então o estado (em que a variável está invertida ) é o novo estado do sistema
p
ii
i
Se então a variável não é invertida e o sistema e o estado do sistema é p i
i
)...,,...,,( 1 Ni
)...,,...,,( 1 Ni
i )()( EEE i
Se: 0E então o estado (em que a variável é invertida ) será o novo estado do sistemai
i
Se: 0E calcula-se
ii JE 2
ii JE 2
ii
Vamos supor que o sistema esteja no estado
Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising
Modelo de Glauber-Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 28
29
Dinâmica de Glauber
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
iii Jw tanh12
)(
)(
)(ij
jiJE
Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising – Modelo de Glauber-Ising
R. J. Glauber, J. Math. Phys. 4, 294 (1963)
(...)
soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i
Modelo de Glauber-Ising
.constTkB/1
30
Estado estacionário: possui balanceamento detalhado para essa dinâmica
em que é a probabilidade estacionária associada ao modelo de Ising:
( ) ( )
( ) ( )
i
i
i
i
w P
w P
Dinâmica de Glauber
Dinâmicas com mudança de um único sítio para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)()()()( ii
ii PwPw
Z
eP
ji
ji
J
),(
)(
)(P
iii Jw tanh12
)(
MOSTRAR!
31
Simulação do modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Transformar processo markoviano a tempo contínuo em processo markoviano a tempo discreto
tdiscretizar em intervalos de tempo
taxa de transição -Dinâmica de Glauber
e tal que )()( ii pw 1)(0 ip
iii Jw tanh12
)(
32
Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising – Modelo de Glauber-Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
i
B
iTk
Jp tanh1
2
1
Simulação de Monte Carlo para o modelo de Glauber-Ising
Gera-se um número aleatório e escolhe-se um sítio para ser atualizado sítio i foi escolhido
Calcula-se
Gera-se um número aleatório no intervalo [0,1]
Se então o estado (em que a variável está invertida ) é o estado do sistema
p ii i
Se então a variável não é invertida e o estado do sistema é p i
i
)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
i
Vamos supor que o sistema esteja no estado
Considerações sobre o
método de Monte Carlo
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 33
Método de Monte Carlo
Realização computacional de um processo estocástico markoviano
distribuição de probabilidades estacionária
Simulação computacional de um modelo definido por uma dinâmica estocástica
Trajetória estocástica no espaço de configurações gerado pela
34Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Estados (configurações) do sistema
Médias de grandezas de estado )(F
)()()2()1( ,...,,...,, Rk
R número total de estados gerados pela dinâmica (*)
35
Método de Monte Carlo
)(...)(...)()()( )()3()2()1( Rk FFFFF
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(*) (descartados os estados iniciais)
Médias de grandezas de estado )(F
)()(...)(...)()(1 )()()2()1( FFFFFR
Rk
Se o número de estados gerados for muito grande então espera-se queR
36
Método de Monte Carlo
(*) Deve-se sempre descartar os estados iniciais. Portanto R aqui significa o número de estados gerados depois de descartar os passos iniciais.
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)()(1
1
)( FFR
R
Se for muito grande então espera-se queR
Ou seja se gerarmos, por meio de simulações de Monte Carlo,
uma sequência de configurações muito grande
então
a soma acima é uma estimativa para a média de F (valor esperado)
)(
37
Método de Monte Carlo
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Problema: como gerar estados com probabilidade ? )(P
Método de Monte Carlo
Construir um processo estocástico em que a probabilidade estacionária é atingida para tempos longos (regime estacionário)
)'()',()('
PTP
Processo markoviano: no regime estacionário a distribuição de probabilidades obedece:
)',( T probabilidade de transição do estado para o estado
)(P
38
Método de Monte Carlo
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
'
gerar estados com probabilidade
No regime estacionário teremos uma série de configurações (estados )
)(P
)(P
)(P
39
Método de Monte Carlo
A probabilidade associada a um estado qualquer deve ser a probabilidade
estacionária
Se escolhermos ao acaso uma delas então estaremos escolhendo essa configuração com a probabilidade estacionária
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Relaxação para o equilíbrio termodinâmico
a probabilidade estacionária é dada por uma distribuição de probabilidades de equilíbrio
40
Método de Monte Carlo
Nesse caso (estado estacionário de equilíbrio) a construção do processo markovianodeve se basear no fato de que no regime estacionário:
a condição de balanceamento detalhado deve ser obedecida
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Z
eP
E )(
)(
Distribuição de Gibbs de equilíbrio
41
Distribuição de probabilidades de Gibbs
Probabilidade do estado
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Z
eP
E )(
)(
)(EeZ função de partição
TkB/1 Bk Tconstante de Boltzmann temperatura
Distribuição de Gibbs
soma sobre todos os possíveis estados microscópicos(...)
)(E energia do estado
42
Distribuição de probabilidades de Gibbs
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Estado estacionário descrito por uma distribuição de Gibbs
( , ') ( ') ( ', ) ( )T P T P
( , ') ( )
( ', ) ( ')
T P
T P
A condição de balanceamento detalhado
Z
eP
E )(
)(
Construção do processo markoviano para um sistema que relaxa para o equilíbrio termodinâmico
43
deve ser obedecida
Método de Monte Carlo
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
FIM
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 44
![^ u i v ] Ì o v ] v i µ À o i v i Ì ] v - MINGOR · 2020. 12. 3. · h µ P ^ µ v W D ] o v a ] i v ] ] v l : l o s Ì ] i u i v ] í X í U µ } v } µ v Z } v µ À Ì ] i](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/60ba63f6d5e65d21ab0c827a/-u-i-v-oe-o-v-v-i-o-i-v-i-oe-v-2020-12-3-h-p-v-w-d-.jpg?t=1686129144)
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![KOENZIMI ENZIMA 3 15.12.2017. - ucg.ac.me · Z À Ì v l ] i i Z ] } P v } À v i Z ] } Z ] v } v µ Z ] v } v U l } i Ì } ] v i ] } ] i ] i } u Z ] } Z ] v } v µ](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/60e664aa3c2c8271dc603a7e/koenzimi-enzima-3-15122017-ucgacme-z-oe-v-l-i-i-z-p-v-v-i-z.jpg?t=1686129144)
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