Apresentação do PowerPointttome/cursos/dinamicaestocastica/de_aula2.pdf · Tânia Tomé - Din Est - 2016 18 ³ f f x exp( x /2 ) dx 2 1 2 2 2 2 2 V SV P Integral gaussiana (*) Derivando

Tânia Tomé - Din Est - 2016 1

Dinâmica Estocástica

Segunda aula

Ifusp, agosto de 2016

Segunda aula

1. Variável aleatória e distribuição de probabilidades

2. Médias de grandezas sobres distribuições de probabilidades; Momentos de uma distribuição

3. Função característica: a partir da qual nos podemos obter os momentos da distribuição de probabilidades

4. Cumulantesde uma distribuição (estão relacionados com os momentos da distribuição). Esses são obtidos também por meio da função característica

5. Função geratriz

Bibliografia básica para essa aula:Tânia Tomé & MJO, Cap. 1Van Kampen, Cap. 1Gardiner, Cap. 2

2Tânia Tomé - Din Est - 2016

Variável aleatória

(i) Valores discretos

Variável aleatória discreta

Exemplos: número de indivíduos infectados por uma doença em uma certa população número de moléculas em uma reação química

Variável aleatória contínua

Exemplo: valores assumidos por uma das componentes cartesianas do momento linear associado às moléculas de um gás ideal.


(ii) Valores contínuos

Variável aleatória discreta

Associa-seum número


A cada valor de n

Variável: n

(1)

normalização

distribuição de probabilidadesassociada a

0nP

1 n

n

P

nP

n

Exemplo de distribuição de probabilidades associada a variável aleatória discreta


Distribuição binomialnNn

n qpn

NP

1 qp

10 p

)!(!

!

nNn

N

n

N

Essa distribuição normalizada, isto é: 10

n

N

n

P

De fato:nNnN

n

n qpn

Nqp

0

)(

expansão binomial

n variável aleatória discreta

(*)

(2)

(3)

(4)

Variável aleatória contínua

( ) 0x

x


],[ 10 xx

dxx

x

x

)(1

0

( )x dx probabilidade de encontrar com valores

entre dxxex

( )x

x

(6)

probabilidade de que a variável x assumavalores no intervalo

x assume valores sobre a reta real

1)(

dxx

normalização

( )x densidade de probabilidade

(5)

)2/exp(2/)(2

mpmp xx

Densidade de probabilidade associada a uma das componentes cartesianas do momento linear de uma molécula:

Gás ideal clássico de moléculas monoatômicas contido em um recipiente. Cada molécula tem massa e o sistema está a uma temperatura


Exemplo – variável aleatória contínua & distribuição de probabilidades

m

T

p

),,( zyx pppp

TkB/1

Essa é umadistribuição gaussiana!

Bk constante de Boltzmannn

(7)

Vamos ver a seguirdistribuições gaussianas

Distribuição gaussiana


Distribuição gaussiana

)exp(2

1)( 2

2

2/2

xx

2 é a variância

Distribuição de probabilidades gaussiana centrada no zero, média =0


(8)

(9)

(a definição de variância vai a ser vista nessa aula)

Exemplo de distribuição gaussiana

)exp(2

1)( 2

2

2/2

xx 12

FIGURA

com


Momentos de uma distribuição


Valor médio ou médiaDefinição

Valor médio de uma função da variável

Caso especial:


(10)dxxxfxf )()()(

dxxxx )((11)

xxf )(

)(xf x

momento de ordem 1

1,2,3,...m

Momentos de uma distribuição

Momento de ordem 1

Momento de ordem 2

Momento de ordem definição:m

(valor médio)


m

dxxxx mm

m )(

dxxxx )(1

dxxxx )(22

2

(12)

(13)

(14)

Variância


Variância(A variância também é chamada de dispersão )

Definição

Pois:


222 xx

22 )( xx

ou,

)2( 222 xxxx

22 2 xxxx

22 xx

(15)

(16)

Dedução da expressão (16) a partir da expressão (15)

12

2

2 variância em termos dos momentosde segunda ordem e de primeira ordem.

2

é uma medida do grau em que os valores de x estão afastados de seu valor médio.

Variância (continuação)


222 xx

Desvio padrão

(17)

(18)

isto é,

Exemplo: momentos da distribuição gaussiana:

2 2

2

1( ) exp( /2 )

2x x

(19)

Momento de ordem 1 da distribuição gaussiana

2 2

12

1( ) exp( /2 ) 0

2x x dx x x dx

(20)


Momento de ordem 2 da distribuição gaussiana


dxxx )/2exp(2

1 222

22

Integral gaussiana (*)

Derivando ambos os lados da Eq. (22) com relação a temos:

2)/2exp( 2

dxx 0

(21)

(22)

2

2

1)/2exp()

2( 2

2

dxxx

21)/2exp( 22

dxxx (23)

(*) ver apêndice no final dessa apresentação

Momento de ordem 2 da distribuição gaussiana (continuação)


)exp(2

1)( 2

2

2/2

xx

Portanto, o momento de ordem 2 da distribuição gaussiana é dado por:

(*) Estamos calculando o momento de ordem 2 para a distribuição gaussiana:

portanto:

dxxx )/2exp(2

1 222

22

2)2(

2

1 2/12/32

2

2

2

(23)

2

1

(24)

(25)2)2(

2

1 2/132/3

2/12/1

(26)

2)/2exp( 2/322

d

ddxxx

d

d 2/524 22

3)/2exp(

dxxx

2/524

2

13)/2exp(

2

1

dxxx

2/1

2/5224

24 )(

13)/2exp(

2

1

dxxx

424

24 3)/2exp(

2

1

dxxx

Momento de ordem 4 da distribuição gaussiana 4224

24 3)/2exp(

2

1

dxxx

Demonstração

(23) 2)/2exp( 2/322

dxxx (24)2/1

Portanto:

(27)

Tânia Tomé - Din Est - 201620

Outros momentos da distribuição gaussiana

Momentos de ordem par podem ser obtidos por derivação da

integral gaussiana com relação a


Momentos de ordem ímpar nulos

2)/2exp( 2

dxx

0)/2exp(2

1 22

21

dxxxx

Por exemplo: (20-a)

0)/2exp(32

13 22

23

dxxxx

(20-b)

todos os momentos de ordem par podem ser escritos em termos de potências da variância EXERCÍCIO

= variância (para o caso <x>=0)


Resumo: momentos da distribuição gaussiana

)/2exp(2

1)( 22

2

xx

OBTER!

2

2

4

4 3

6

6 15

8

8 105

(26)

(27)

Função característica - definição

Função característica & Momentos


Função característica

( ) exp( ) exp( ) ( )g k ikx ikx x dx

Definição:

)(kg = função geradora dos momentos

Os coeficientes da expansão em série de Taylor de g(k) (quando é possível fazer a expansão) são os momentos


(28)

(29)

0

( )exp( )

!

m

m

ixkikx

m

0

( )( ) exp( ) ( )

!

mm

m

ikg k ikx x

m

1 !

)(1)(

m

m

m

m

ikkg


(momento de ordem n) e, portanto, m

n x

Portanto, podemos escrever a seguinte expressão para a função característica :

Função característicaExpansão em série de Taylor:

ikxekg )(

Mas,

(30)

(31)

(32)

Função característica - Exemplo

Utilizando a definição de função característica:


distribuição gaussiana (33)

dxxikxkg )()exp()(

e a expressão (33) temos:

(28)

dxikxxkg )/2exp(2

1)( 22

2

(34)

)/2exp(2

1)( 22

2

xx

Função característica de uma gaussiana - continuação


dxikxxkg )/2(exp2

1)( 22

2

22222 /2)2()/2( ikxxikxx

2/2/)(}2{2

1 22222424222

2

kikxkkikxx

dxikxk

kg )/2)(exp(2

)2/exp()( 222

2

22

(34)

(35)

Função característica de uma gaussiana - continuação

28


(36)

axikxz 2

complexa

dxzk

kg )/2exp(2

)2/exp()( 22

2

22

integral no plano complexo

Avaliar a integral no plano complexo! EXERCÍCIO da lista.

(35)

Depois de fazer a integral no plano complexo chega-se a:

)2/exp()( 22kkg

Obtenção dos momentos da gaussiana a partir da função característica

(36))2/exp()( 22kkg

...!2.4/2/1)( 4422 kkkg

...!4/)3(2/1)( 4422 kkkg (37)


Obtenção dos momentos da gaussiana a partir da função característica

Mas, a partir da expressão (32) temos:

...!4/!3/2/1!

)(1)( 4

4

3

3

2

2

1

1

kikkikn

ikkg

n

n

n

(38)

n

n x momento de ordem n

...!4/)3(2/1)( 4422 kkkg(37)

Comparando as expressões (37) e (38) temos:

01 2

2 03 ....3 4

4 (39)

Que são idênticos aos resultados obtidas por outro método: (20), (26) e (27).


Cumulantes


Cumulantes de uma distribuiçãoDefinição:

Tomando-se o logaritmo de g(k) e expandindo-o em série de Taylor (quando é possível fazer essa

expansão) obtemos os cumulantes da distribuição.

Os cumulantes são definidos por:

1

( )ln ( )

!

n

n

n

ikg k

n

n = cumulante de ordem n


(40)

Expandindo em série de Taylor o logaritmo da expressão para a função característica definida na Eq. (32) (quando a expansão puder ser feita) e comparando com a definição de g(k) em termos dos cumulantes (Eq. (33)) obtém-se os cumulantes em termos dos momentos (*):

11 13

1233 23

14

12

222

1344 61234 2

2 2 1

E assim por diante podemos escrever os cumulantes de ordem n como combinações de momentos de ordem igual a n e menor que n.

n cumulante de ordem n

Cumulantes de uma distribuição


1 !

)()(ln

n

n

n

n

ikxkg (41)

(*) Exercício da lista 1: por meio da procedimento explicado acima obter as expressões (42-1) e (42-2).

(42-1)

(43-2)

(42-3)

(42-4)

2 2

2

1( ) exp( /2 )

2x x

2

2


Exemplo: cumulantes de uma gaussiana

OBTER! Lista de exercícios 1.

)2/exp()( 22kkg n

m

n n

ikkg

!

)()(ln

1

01

0........43 n todos os cumulantes de ordem superior a 2 de uma distribuição gaussiana são nulos

(43-3)

(43-1) (43-2)

Função Geratriz


Variáveis aleatórias discretas

36

As derivadas da função geratriz estão relacionadas com os momentos da distribuição

0,1,2,...n


Função geratriz

Função Geratriz

0)(

n

n

n zPzG (44)

0nP distribuição de probabilidades

nP

37

3 2'''(1) 3 2G n n n

4 3 2'''' (1) 6 11 6G n n n n


Derivadas da função geratriz

(45)

(46)

1

1)('n

n

n znPzG

nnPG

n n1)1('

2

2)1()(''n

n

n zPnnzG

nnG 2)1(''

Solução de equações mestras. Muitas vezes é mais conveniente obter a função geratriz e em seguida a distribuição de probabilidades (solução da equação mestra).

Função Geratriz: aplicação importante

A partir da equação mestra encontra-se uma equação para a função geratriz

Essa equação é em geral mais fácil de ser resolvida do que a equação mestra (quando essa tem solução exata)

),( tzGObtém-se a distribuição de probabilidades )(tPn


),( tzGfunçãogeratriz

(*) (vamos ver esse método quando estudarmos o tópico:equação mestra)

FIM



Apêndice I - Aula 2- Integral gaussiana - demonstração

2)/2exp( 2

dxx 0

dxx )(exp 2

ou:



dxxA )(exp 2

ou,

dxdyyxA )exp()(exp 222

dxdyyxA )(exp 222

Utilizando coordenadas polares:

r

y

x

elemento de área

rdrd

0

2

2

0

2 )(exp

rdrdrA

20 ),( r

0

22 )(exp2 rdrrA



0

22 )(exp2 rdrrA

2ry rdrdy 2

0

22 )(exp dyyA

0

2 )exp( yA

A

dxx )(exp 2

Documents

Apresentação do PowerPointttome/cursos/dinamicaestocastica/de_aula2.pdf · Tânia Tomé - Din Est - 2016 18 ³ f f x exp( x /2 ) dx 2 1 2 2 2 2 2 V SV P Integral gaussiana (*) Derivando