1

5.- MÉTODO DE LAS FUERZAS (FLEXIBILIDAD)

5.1.- FORMULACIÓN DEL MÉTODO

El método de las fuerzas, permite resolver las estructuras hiperestáticas considerando

como incógnitas a las fuerzas y momentos.

En una estructura hiperestática, tales incógnitas pueden ser exteriores o interiores,

estando las primeras asociadas a las componentes de reacción en los apoyos, en tanto

las segundas corresponden a fuerzas en los elementos tales como: N, V, M, Mt.

Sea la siguiente estructura aporticada mediante la cuál se expondrá el método:

2

En la figura 1 se muestra a una estructura continua cuyo grado de hiperestaticidad

exterior es 3; el procedimiento consiste en isostatizar la estructura incluyendo como

cargas a las incógnitas escogidas en la isostatización. En este caso, corresponde a las

componentes de reacción del apoyo D, tal como se aprecia en la figura 2.

Aplicando el “principio de superposición”, la estructura isostatizada puede

descomponerse en tantas estructuras parciales como cargas existan en ella. Así, en la

figura 2a se muestra la estructura isostatizada con todas las cargas externas actuantes.

En las figuras 2b, 2c y 2d se muestra la estructura con cada una de las fuerzas

incógnitas actuantes en el apoyo D.

A continuación, se determinan los desplazamientos horizontal, vertical y giro en D para

cada estructura parcial, con lo cuál aplicando el ‘principio de compatibilidad’ se originan

las siguientes ecuaciones:

Incognita3ºIncognita2ºIncognita1ºactuantes

reales

cargas

00

00

00

3

2

1

0

3

2

1

0

3210

DDD

DDDDD

VDVDVDVDVD

HD HD HD HD HD

MVH

↑↑↑↑

=+++→=

=+++→=

=+++→=

θθθθθ

δδδδδ

δδδδδ

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene las reacciones o incógnitas

hiperestáticas de la estructura propuesta. Aplicando luego las ecuaciones de equilibrio

que nos da la estática, se pueden encontrar las reacciones restantes.

3

Problema: Calcular las reacciones en A (EI=cte). Considere sólo efectos de flexión

Solución:

a) Calculo del G.H.E, ( )eErge +−=

( ) º2 035 =→+−= gege

b) Alternativas para isostatizar.

c) Empleando la alternativa b.1)

4

( ) ( )

22 12 21 11 20 10 21

2

1

2222332

22232

2

2

221

2

12121

,110

0

22422422

2222

000000

mmm··

δδδδδδ===

=↑↑↑↑↑↑↑↑

+−−−−+−−

−−−−

xxx

x

xaaxaaxqaqaqaxaaqaaCCD

aaxxqaxqxaxqxaBBC

xxaAAB

mmMmMmmMLOTRAMO

d) Ecuaciones de compatibilidad

=++→=

=++→=

0'·'· 0'

0'·'· 0'

222 121 20

212 111 10

xx

xx

VA

HA

δδδδ

δδδδ (I)

Resolviendo las integrales:

IE

aq

IE

dxqa

IE

dxqxaa

·

6

·4

·2

4

0

3

2

0

3

10 ⋅⋅

=+= ∫∫δ

( )IE

aq

IE

dxxqaqa

IE

dxqaxaa

··

3

13

·22

··

2

4

0

23

2

0

2

20 ⋅

−=−−+

−= ∫∫δ

∫∫ ⋅⋅

⋅=⋅+=

aa

IE

a

IE

dxa

IE

dxx

0

32

2

0

2

11

3

20

·4

··δ

( )∫∫ ⋅

⋅−=⋅−⋅−+⋅−==

aa

IE

a

IE

dxxaa

IE

dxxa

0

32

2

0

12 21 5

·22

··δδ

[ ]∫ ∫∫ ⋅⋅

⋅=+++=

a aa

IE

a

IE

dxxa

IE

dxa

IE

dxx

2

0

3

0

22

0

2

22

3

14

··

···δ

Finalmente:

↓⋅⋅=

←⋅⋅=

aqx

aqx

18.0

036.1

2

1

5

Problema: Determinar los diagramas de momento flector y fuerza cortante, de la

siguiente estructura que se encuentra sometida a la acción de una fuerza lateral.

Datos:

2cm 210 tonEHA

=

3,2

HAHA

EG =

2,1=K (Factor de forma de una sección rectangular)

Solución:

1) Cálculo del grado de hiperestaticidad exterior: ( ) º2 035 =→+−= ee gg .

2) Modelación de la estructura: línea formada por loe ejes neutros de cada elemento.

6

En que: TP 10=

mh 85,2=

mL 07,5=

3) Isostatización: se liberará al apoyo D.

4) Método de solución: se empleará el método de las fuerzas. Se considera el efecto de

la flexión en todos los elementos, además en el muro se introducirá el efecto del corte,

debido a que una de las dimensiones de su sección transversal es comparable con su

altura.

A continuación se analizará cada estructura:

4.1) Estructura 0.

00

00

··

==

==

−==

DCDC

BCBC

ABAB

MV

MV

hPxPMPV

7

4.2) Estructura 1.

xHMHV

HhMV

xHMHV

DDCDDC

DBCBC

DABDAB

·

· 0

·

−=−=

−==

−=−=

4.3) Estructura 2.

0 0

··

· 0

==

−=−=

==

DCDC

DDBCDBC

DABAB

MV

xVVLMVV

VLMV

5) Compatibilidad:

0

0

2

1

0

2

1

0

=++

=++

DDD

DDD

VVV

HHH

δδδ

δδδ

8

6) Desplazamientos:

∑∫∑∫∑∫∑∫

∑∫∑∫∑∫∑∫

∑∫∑∫∑∫∑∫

+=+=

+=+=

+=+=

LL

V

LL

H

LL

V

LL

H

LL

V

LL

H

dxAG

vVKdx

IE

mMdx

AG

vVKdx

IE

mM

dxAG

vVKdx

IE

mMdx

AG

vVKdx

IE

mM

dxAG

vVKdx

IE

mMdx

AG

vVKdx

IE

mM

DD

DD

DD

··

· ,

··

·

··

· ,

··

·

··

· ,

··

·

22222

12122

21211

11111

20200

10100

δδ

δδ

δδ

Reemplazando:

( )( ) ( )MM

H

h

M

h

M

HAG

Kph

IE

Phdx

AG

PKdx

IE

xhxPDD ··6

·

1

·

30

00

0 −

⋅=→

−+

−−= ∫∫ δδ

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫

−−+

−−+

−−+

−−=

h

M

D

h

P

D

L

V

D

h

M

D

H dxAG

HKdx

IE

xxHdx

IE

hHhdx

IE

xxHD

0000

1

·

1

·

·

·

·

·

·δ

D

MPVM

H HAG

hK

IE

h

IE

Lh

IE

hD

···3·

·

·3

3231

⋅+

⋅++=→ δ

( ) ( )( )D

VM

H

L

V

D

h

M

D

H VIE

hL

EI

Lhdx

IE

hxLVdx

IE

xVLDD

··22

··

· 222

00

2

−−=→

−−+

−= ∫∫ δδ

( )M

V

h

M

VIE

hLPdx

IE

LhxPDD ·2

··

·

· 20

0

0 −=→

−= ∫ δδ

( )D

VM

V

L

V

D

h

M

D

V HIE

hL

IE

hLdx

IE

xLHhdx

IE

LxHDD

··2

·

·2

·

·

·

·

·· 221

00

1

−−=→

−−+

−= ∫∫ δδ

( )D

VM

V

L

V

D

h

M

D

V VIE

L

IE

hLdx

IE

xLVdx

IE

LVLDD

··3·

·

··

·· 322

0

2

0

2

+=→

−+= ∫∫ δδ

9

Finalmente:

444 3444 21

321

444444444 3444444444 21B

I

Lh

A

Kh

I

h

P

R

V

H

A

I

L

I

hL

I

hL

I

Lh

I

hL

I

Lh

A

Kh

I

h

I

Lh

I

h

M

MM

D

D

VMVM

VMMPVM

+−

=

+−−

−−+⋅

++

·2

·44.0·6·

·3·2·2

·2·2·44.03·32

3

3222

22323

La ecuación matricial tiene la forma:

=

e

d

V

H

cb

ba

D

D

Aplicando GAUSS-JORDAN, se tiene:

−⋅

⋅−⋅−⋅

⋅−⋅

=

2

2

bca

dbeabca

ebdc

V

H

D

D

2 56,0414,0 mAM

=×=

43

75,012

414,0mIM =

×= , 4 00032,0 mI

V= , 4 00003,0 mI

P=

luego:

53,385927 56.0·44.0

85.22.1

00003.03

85.2

00032.0

07.585.2

75.0·3

85.2 323

=→⋅

+⋅

+⋅

+= aa

59,114494 00032.0·2

85.207.5

75.0·2

85.207.5 22

−=→⋅

−⋅

−= bb

68,135851 00032.0·3

07.5

75.0

85.207.5 32

=→+⋅

= cc

PdPd ⋅=→

⋅+−= 74.8 ·

56.0·44.0

85.22.1

75.0·6

85.23

P, eP e 452775.0·2

85.207.5 2

=→⋅

=

10

Evaluando en la solución de GAUSS:

⋅

⋅=

P

P

V

H

D

D

0003.0

0001.0

11

1.- CARGAS DE NUDOS COMBINADAS

El cálculo de los desplazamientos en una estructura mediante ecuaciones matriciales requiere

que la estructura esté sujeta a cargas que actúen únicamente en los nudos.

En general, las cargas reales que actúan sobre una estructura no cumplen con este requisito.

Por esta razón existen dos tipos de carga:

a) Cargas que actúan en los nudos.

b) Cargas que actúan en los miembros o tramos.

Las cargas tipo (b) deben reemplazarse por cargas estáticamente equivalentes que actúen en

los nudos, denominándose así por CARGAS EQUIVALENTES EN NUDOS. Cuando estas

cargas se suman a las cargas de nudo reales o cargas tipo (a), resultan las cargas totales o

CARGAS DE NUDO COMBINADAS. Con estas cargas es posible analizar estructuras por

métodos matriciales.

Es ventajoso en el análisis que las CARGAS DE NUDO COMBINADAS se valoren de tal modo

que los desplazamientos resultantes de la estructura sean los mismos que los desplazamientos

producidos por las cargas reales. Este resultado se consigue mediante el empleo de

ACCIONES DE EMPOTRAMIENTO, tal como se muestra en el ejemplo siguiente.

Se establece la siguiente convención de signo en el método matricial de flexibilidad:

“Un momento que genere compresión en la cara superior del elemento y un corte hacia

arriba son positivos”.

Figura 1. Cargas de nudo combinadas.

12

La figura 1a muestra una viga ABC apoyada en los nudos A y B, y sujeta a varias

cargas. En la figura 1b pueden verse las cargas de nudo reales, en tanto que en la

figura 1c las cargas reales actúan sobre los elementos. Para determinar las cargas de

nudo equivalentes, se fijan los nudos de la estructura completamente. En consecuencia,

en la figura 1d se tienen dos vigas doblemente empotradas sujetas a las cargas de

miembro, originándose en cada una de ellas acciones de empotramiento. En la figura

1e se tienen dichas acciones de empotramiento, actuando en la estructura completa y

fija. Si estas acciones se invierten en dirección, constituyen un juego de fuerzas y

momentos que son estáticamente equivalentes a las cargas de miembro. Finalmente, la

figura 1f resulta de sumar las cargas de nudo de las figuras 1b y 1e, dando lugar a las

CARGAS DE NUDO COMBINADAS de la estructura mostrada en la figura 1a.

2.- ELEMENTO RETICULADO PLANO O ESPACIAL

Se estudiarán estructuras reticulares planas o espaciales y se supondrán en principio

que son estáticamente determinadas y sometidas a cargas que actúan únicamente en

los nudos.

Como método básico se empleará el método de la carga unitaria para determinar los

desplazamientos en cualquier nudo de la estructura. El desplazamiento D en un nudo

cualquiera es:

∑∫ ⋅

⋅=

L

dxEA

nND (1)

Siendo D el desplazamiento a calcularse, N representa la fuerza axial en cualquier

barra o elemento de la estructura debido a las cargas externas, n representa la fuerza

axial en cualquier barra o elemento de la estructura debido a una carga unitaria

ubicada en donde se desea evaluar D, L es la longitud del elemento y AE es la rigidez

axial de elemento. El símbolo ∑ ubicado en el segundo miembro de la ecuación, indica

13

que la integral debe evaluarse para cada miembro de la estructura y los resultados

sumarse a fin de obtener el desplazamiento D.

Si se tienen que N y AE son constantes, la ecuación (1) adopta la siguiente forma:

∑ ⋅⋅⋅

=EA

LnND (2)

Se puede adoptar como convención de signos que todos los miembros en tracción son

positivos. También el sentido positivo para el desplazamiento D será el mismo que en el

sentido positivo de la carga unitaria. Se supondrá que la carga unitaria y el

desplazamiento D son positivos cuando tienen direcciones positivas de los ejes

coordenados utilizados como una referencia para la estructura.

Con la finalidad de generalizar las expresiones que se derivarán más adelante, se

introduce a continuación el término ACCIONES DE EXTREMO. En el caso de un

miembro de un reticulado plano o espacial, sólo son posibles dos acciones de extremo,

a saber, las fuerzas axiales que actúan en los dos extremos del elemento. A pesar que

pueden emplearse cualquiera de las dos acciones de extremo, se adoptará una

convención que es la que a continuación se explica.

En la figura 2a y 2b se muestran dos miembros típicos pertenecientes a una estructura

plana y a otra espacial, respectivamente. El elemento de la estructura plana esta

localizado en el plano XY, donde se supone está la estructura, mientras que el

elemento de la estructura espacial puede encontrarse en cualquier dirección con

respecto a los ejes X, Y, Z.

14

Figura 2. Acciones de extremo a) Elemento de una estructura plana, b) Elemento de

una estructura espacial.

El elemento e se encuentra conectado a la estructura a través de los nudos i y j. Los

ejes X, Y, Z son ejes referidos a la estructura y comúnmente se les conocen como ejes

globales, en tanto que los ejes Xm, Ym, Zm son los ejes referidos al elemento y se les

conoce como ejes locales.

La acción de extremo a utilizar es la fuerza axial ubicada en el extremo j, denominada

AM en la figura 2. La acción de extremo ubicada en i, se omite en la figura debido a que

no se utiliza en el análisis.

Si la acción de extremo AM está originada por las cargas reales, se denominará AML y si

es causada por la carga unitaria se denominará AMU. Así, la ecuación (2) se escribe en

términos de acciones de extremo:

∑=AE

LAAD

MUML ·· (3)

15

Es posible introducir en la ecuación (3) la noción de flexibilidad de miembro,

denominada FM. En el caso de un miembro cargado axialmente, la flexibilidad FM puede

entenderse como el desplazamiento del extremo del elemento debido a una fuerza axial

unitaria, como lo muestra la figura 2 para el elemento e. En consecuencia, la flexibilidad

de un elemento reticulado se define como:

EA

LFM

·= (4)

Figura 3. Flexibilidad FM para un miembro de un reticulado.

Introduciendo la ecuación (4) en la ecuación (3), se tiene:

...······ 222111 ++==∑ MLMMUMLMMUMLMMU AFAAFAAFAD (5)

Con la finalidad de expresar la ecuación (5) matricialmente, es necesario contar con

tres matrices tales como:

[ ]MUnMUMUMUT

MU AAAAA ...321= (6)

[ ]MLnMLMLMLT

ML AAAAA ...321= (7)

16

=

Mn

M

M

M

F

F

F

F

L

MOLM

L

L

00

00

00

2

1

(8)

n = número total de elementos

en la estructura.

en que, AMU es un vector formado por las acciones de extremo AMU debidas a la carga

unitaria, AML es un vector formado por las acciones de miembro debidas a las cargas

reales y FM es la matriz de flexibilidad formada por las flexibilidades de los elementos

de la estructura ubicados en la diagonal principal.

Sustituyendo adecuadamente las ecuaciones (6), (7) y (8) en la ecuación (5), se tiene:

MLMMU AFAD T ··= (9)

La ecuación (9) puede emplearse para determinar cualquier desplazamiento de nudo D

en una estructura plana o espacial. Las matrices AMU y AML representan acciones de

extremo debidas a la carga unitaria y a las cargas reales, respectivamente. Todas estas

acciones se obtienen mediante análisis de equilibrio estático de la estructura.

17

Ejemplo 1. En la estructura plana mostrada en la figura, determinar el desplazamiento

vertical del nudo B. Suponer AE = cte.

Nótese que la estructura es isostática.

Sol.-

EA

L

catrimeSi

FM

·

1

01

001

0002

00001

= , Matriz de flexibilidad.

Por estática se tiene: [ ][ ]01021

01121

−−=

−=T

MU

TML

A

PA

Finalmente, empleando la ecuación (9) se tiene que:

( )↓=EA

PLD 83,4

18

CALCULO DE VARIOS DESPLAZAMIENTOS.

Por lo general, es necesario calcular varios desplazamientos en los nudos de una

estructura. Para ello, basta con generalizar la definición de la matriz de acción extrema

AMU. Anteriormente, por tener una sola carga unitaria, se tenía un vector; ahora debido

a que existen tantas cargas unitarias como desplazamientos se desean conocer, la

matriz AMU adopta la forma:

=

MUmnMUmMUm

nMUMUMU

nMUMUMU

MU

AAA

AAA

AAA

A

L

MMM

L

L

21

22221

11211

(10)

El coeficiente AMUij es la fuerza en la barra i-ésima debido a la j-ésima carga unitaria.

Los diferentes desplazamientos en la estructura pueden colocarse en un vector

desplazamiento D, tal como:

[ ]nDDDD L21= (11)

Por consiguiente:

MLMU AFMAD T ··= (12)

Nótese que en forma las ecuaciones (12) y (9) son las mismas.

19

Ejemplo 2. Determinar todos los desplazamientos de los nudos B y D de la estructura

del ejemplo 1.

Sol.- Tanto la matriz de flexibilidad FM y la matriz de cambio AML de las acciones de

extremo causadas por la carga P son las mismas que las obtenidas en el ejemplo 1.

La matriz de cambio AMU es distinta e igual a:

1111 4321

0 1 0 0

1011

1000

2020

1 0 1 0

====

−−

−

−−

=

DDDD

MUA

Sustituyendo en la ecuación (12), se obtiene que:

AE

PLD

−

−=

83,5

0

83,4

1

20

3.- ELEMENTO RETICULADO HIPERESTÁTICO

Hasta este momento se ha desarrollado la formulación para obtener el o los

desplazamiento(s) de un sistema de reticulado isostático. A partir de esta formulación y

la compatibilidad de desplazamientos estableceremos una que nos permita determinar

los valores de las incógnitas escogidas como redundantes, así como también el

desplazamiento en cualquier nudo. Cabe señalar que al momento de decidir cual

reacción del apoyo o elemento de reticulado queremos liberar, debemos estar

concientes que en todo momento debemos asegurar la estabilidad tanto externa como

interna de la estructura.

La ecuación de compatibilidad para un sistema de 1 grado de hiperestaticidad es:

R

DDD +=0 (13)

Donde,

,0D es el desplazamiento que sufre el apoyo o la barra.

,D es el desplazamiento en la dirección de la redundante que ha sido liberada producto

de las cargas reales y equivale a MLMMU AFAD T ··= .

,RD es el desplazamiento en la dirección de la redundante (R) producto de esta misma.

La definición de RD , implica que se ha analizado una estructura isostática sometida a

una carga desconocida (R) y que con la finalidad de conocer el desplazamiento que

esta provoca, se ha aplicado y analizado la misma estructura bajo la acción de una

carga unitaria en la dirección de R. En consecuencia se tiene la misma estructura, la

misma dirección de la carga, pero distinta magnitud, por lo que es esperable que la

tensión de la barra i-ésima producto de R sea R veces la tensión de la misma barra

producto de la carga unitaria. Al generalizar, podemos concluir que:

MUML ARA ⋅= (14)

21

Reemplazando (14) en (9)

RAFAD MU

T

MU

RM ⋅⋅= · (15)

Finalmente reemplazando (9) y (15) en (13) obtenemos

RAFAAFAD MU

T

MUML

T

MU MM ⋅⋅+= ···0 (16)

Para varios desplazamientos al igual que el caso isostático se tendrá la siguiente

ecuación

RAFAAFADMU

T

MUML

T

MUMM ⋅⋅+= ···

0 (17)

Ejemplo 3. Determinar el desplazamiento vertical del nudo C de la siguiente estructura.

Note que la estructura es una sola vez externamente hiperestática.

22

Sol.-

La matriz de flexibilidad es:

⋅=

10000

01000

00100

00020

00001

AE

LFM

Aplicando la estática en la figura (b), determinamos el vector de acción extrema MLA

[ ]01121 ++−+⋅= PAT

ML

Aplicando la estática en las figuras (c) y (d), determinamos la matriz de acción extrema

MUA

−+−

−=

01021

00001T

MUA

Evaluando en la ecuación (17)

⋅

⋅+

−

−

⋅

⋅=

0828.41

11

828.4

10 A

VC

V

AE

L

AE

LP

δ

Resolviendo

↓⋅

⋅⋅=

AE

LPVC

83.3δ

23

Ejemplo 4. Determinar el desplazamiento vertical del nudo C de la siguiente estructura.

Note que la estructura es una sola vez externamente hiperestáticas y una vez

internamente.

Sol.-

La matriz de flexibilidad es:

⋅=

200000

010000

001000

000100

000020

000001

AE

LFM

Aplicando la estática en la figura (b), determinamos el vector de acción extrema MLA

[ ]001121 ++−+⋅= PAT

ML

24

Aplicando la estática en las figuras (c), (d) y (e), determinamos la matriz de acción

extrema MU

A

+−−−

+−

−+−

−

=

12

1

2

1

2

11

2

1001021

000001T

MUA

Evaluando en la ecuación (17)

⋅

⋅+

−

−

−

⋅⋅

=

6

0

828.4414.37071.0

414.3828.41

7071.011

121.4

828.4

1

0

0

T

V

AE

L

AE

LPA

VCδ

Resolviendo

↓⋅

⋅⋅=

AE

LPVC

69.1δ

4.- ELEMENTO VIGA

El análisis de una viga por el método de las fuerzas, requiere el cálculo de los

desplazamientos de nudo en la estructura libre. Por tal razón, se desarrollarán las

ecuaciones matriciales necesarias para encontrar los desplazamientos de nudo en una

viga estáticamente determinada.

Considerando efectos de flexión, el desplazamiento de una viga en algún punto

específico se obtiene de:

dxIE

mMD ∫ ⋅

⋅= (18)

25

Siendo D el desplazamiento a calcularse, M el momento flector debido a las cargas

reales que actúan sobre la estructura, m el momento flector debido a la carga unitaria

aplicada en el punto donde se desea evaluar el desplazamiento y EI es la rigidez

flexural de la sección transversal de la viga.

En caso de existir más de un elemento en el sistema estructural, la ecuación (18)

adopta la siguiente forma:

∑∫ ⋅⋅

= dxIE

mMD (19)

Indicando el símbolo de sumatoria el aporte o contribución de todos los elementos de la

estructura.

Si se considera para la evaluación de la ecuación (19) el miembro típico e de una viga,

ubicado entre los nudos i y j, con ejes locales orientados con el miembro y con el origen

de coordenadas en el extremo i, se tiene que el eje Xl está dirigido de i a j y el eje Yl

está orientado de forma tal que el plano Xl-Yl quede en el plano de flexión de la viga,

según lo muestra la figura 4.

Figura 4. Acciones en los extremos de un elemento viga.

Como se aprecia en la figura 4, el elemento está sujeto a fuerzas y momentos aplicados

en el nudo j, únicamente. Tales acciones consisten en una fuerza cortante AM1 y un

momento flexionante AM2, ambos con sentidos positivos según la convención. Nótese

que el efecto axial, el cuál puede estar presente, fue omitido.

26

Las acciones de extremo debido a las cargas reales serán AML1 y AML2, mientras que

para la carga unitaria serán AMU1 y AMU2, respectivamente. De esta forma, los

momentos M y m de la ecuación (19), que aparecen en cualquier sección X quedan

expresados de la siguiente manera:

( )( ) 21

21

·

·

MUMU

MLML

AxLAm

AxLAM

+−=

+−= (20)

Siendo L la longitud de la viga. Cabe destacar que se ha supuesto que el momento

flector es positivo si ocasiona compresión en la cara superior de la viga.

Sustituyendo las ecuaciones (20) en la Ec. (19) e integrando de 0 a L, teniendo en

consideración de que EI es constante, se tiene:

+++=∫ LAA

LAA

LAA

LAA

EIdx

EI

MmMLMUMLMUMLMUMLMU

L

··2

··2

··3

··1

22122111

223

0

(21)

Expresando la ecuación (21) en la forma matricial, se tiene:

MLMMU AFAdxIE

mM T

L

··0

=⋅

⋅∫ (22)

siendo: [ ]21 MUMUMU AAA T = : vector con acciones de extremo debido a la carga

unitaria.

[ ]21 MLMLML AAA T = : vector con acciones de extremo debido a las cargas

reales.

=

=

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

FF

FFF

MM

MM

M

2

232

23

2221

1211

: Matriz de flexibilidad del elemento viga e.

27

Una forma de interpretar los coeficientes de la matriz FM es mediante la visualización

de los desplazamientos en el extremo libre de una viga en voladizo originados por

valores unitarios de las acciones de extremo (ver figura 5).

Figura 5. Coeficientes de flexibilidad de un elemento viga.

Si se aplica el símbolo sumatoria a la ecuación (22), a fin de considerar el aporte de

todos los elementos que conforman la estructura a la determinación del desplazamiento

D, se tiene:

( ) ...······ 222111 ++==∑ MLMMUMLMMUMLMMU AFAAFAAFAD TT

ii

T

i (23)

Expresando la ecuación (23) matricialmente:

MLMMU AFAD T ··= (24)

28

siendo:

[ ]MUmMUMUMU AAAA T L21=

[ ]MLmMLMLML AAAA L21=

: vectores de acciones de extremo de cada

: elemento debido a carga unitaria y cargas reales.

=

Mm

M

M

M

F

F

F

F

L

MOMM

L

L

00

00

00

2

1

: Matriz de flexibilidad de la estructura.

Ejemplo 1. La viga que se muestra en la figura está sometida a un momento puntual M

aplicado en el nudo B y a una fuerza concentrada P aplicada en el nudo C.

Considerando sólo efectos de flexión, se pide determinar el desplazamiento vertical del

nudo C.

Sol.- a) Determinación de las matrices de flexibilidad de los elementos 1 y 2.

=

=

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

F

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

F MM

28

824

2

232

23

2

23

21

Luego la matriz de flexibilidad de la estructura es:

=

12300

300

002412

00128

24 2

2

L

LL

L

LL

EI

LFM

29

Debido a las cargas reales sobre la estructura, empleando la estática se obtienen las

acciones de extremo tales como:

−=

−

+−=

0

2

221

PA

PLM

P

L

M

A MLML

Del mismo modo:

=

−=

0

1

2

2

1

21 MUMU AL

A

Finalmente se tienen los vectores de cambio AML y AMU:

−−+−= 0,,2

,2

PPL

MP

L

MA

TML

−= 0,1,2

,2

1 LA

TMU

Sustituyendo en la ecuación (24), se obtiene:

EI

PL

EI

MLD

86

32

−=

Siendo D, el desplazamiento vertical del nudo C.

30

Ejemplo 2. La viga que se muestra en la figura está sometida a una carga

uniformemente distribuida de intensidad q en el tramo A B. Considerando sólo efectos

de flexión, se pide determinar el desplazamiento vertical del nudo C.

Sol.- a) Del ejemplo 1 se tiene que:

=

12300

300

002412

00128

24 2

2

L

LL

L

LL

EI

LFM

Debemos determinar las cargas equivalentes en los nudos.

Por Tabla 1 (Ver Anexo A) se sabe que los momentos y reacciones verticales en una

viga doblemente empotrada sometida a una carga uniformemente distribuida son:

2

12

2

LqVV

LqMEPMEP

BA

BA

⋅==

⋅==

31

Las cargas equivalentes en los nudos quedan representadas en la figura 2.1

Debido a las cargas reales sobre la estructura, empleando la estática se obtienen las

acciones de extremo tales como:

=

⋅=

0

0

12

021

2MLML ALqA

Del ejemplo 1 se sabe que:

=

−=

0

1

2

2

1

21 MUMU AL

A

Finalmente se tienen los vectores de cambio AML y AMU:

⋅= 0,0,

12,0

2LqA

TML

−= 0,1,2

,2

1 LA

TMU

Sustituyendo en la ecuación (24), se obtiene:

IE

LqD

⋅⋅

⋅=

48

4

Siendo D, el desplazamiento vertical del nudo C.

32

Ejemplo 3: El marco mostrado en la figura tiene cargas aplicadas en los nudos B y C.

Suponiendo que EI = cte, determinar el desplazamiento horizontal del nudo C.

Sol. Las matrices de flexibilidad de los elementos son:

==

63

32

6

2

21

L

LL

EI

LFF MM

Las acciones de extremo debido a las cargas mostradas en la figura (a) son:

−=

−=

L

PA

L

PA MLML

4

9

24

1

8

321

Las acciones de extremo debido a la carga unitaria son:

=

−=

0

1

2

1

1

2

121 MUMU A

LA

Finalmente, reemplazando en la ecuación (24):

EI

PLAFAD MLM

TMUHC

12··

3

==

33

CALCULO DE VARIOS DESPLAZAMIENTOS

Para determinar más de un desplazamiento en la estructura, debe de introducirse

ciertos cambios en la ecuación (24). Tanto la matriz de flexibilidad FM y el vector

acciones de extremo AML debido a las cargas reales, no sufren modificación alguna. Sin

embargo, el vector AMU se transforma en matriz, siendo cada una de las columnas un

conjunto de submatrices de acciones de extremo correspondientes a la carga unitaria

ubicada en el lugar en donde se desea conocer el desplazamiento. Así se tiene:

=

MUmnMUmMUm

nMUMUMU

nMUMUMU

MU

AAA

AAA

AAA

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

(25)

siendo: m, el número de elementos y n el número de desplazamientos a calcular.

Sustituyendo la ecuación (25) en la Ec. (24), se tiene:

MLMT

MU AFAD ··= (26)

CALCULO DE VARIOS DESPLAZAMIENTOS CON VARIOS ESTADOS DE CARGA

Ante la necesidad de considerar más de un estado de carga, el vector AML cambiará a

la matriz AML, conteniendo cada una de las columnas acciones de extremo debido a

distintas cargas reales, así se tiene:

=

MLmnMLmMLm

nMLMLML

nMLMLML

ML

AAA

AAA

AAA

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

(27)

siendo p, el número de estados de cargas a considerar.

34

Sustituyendo la ecuación (27) en la Ec. (24), se tiene:

MLMMU AFAD T ··= (28)

Ejemplo 4. La misma estructura del ejemplo 1, es sometida a dos estados de carga

diferentes. Se puede determinar todos los desplazamientos posibles.

Sol.- Por estática se obtiene:

+

−−−−

=

−−

+

−−

+−

=

1000

0100

12

10

1

2

111

00

22

2

22

M

M

LLLL

M

M

M

M

LL

M

M

LLLL

A

PP

PLM

PLM

PP

L

M

A MUML

Además:

=

12300

300

002412

00128

24 2

2

L

LL

L

LL

EI

LFM

35

Reemplazando en la ecuación (23):

−−

−−

−−

+−+−

=

==

PLMPLM

PLMLPLML

PLMPLM

PLMPLM

EI

L

DD

DD

DD

DD

AFAD MLMMUT

72478

31234

42448

22424

·24

··22

4241

3231

2221

1211

M

M

M

M

Donde ijD indica el desplazamiento i producto del estado de carga j

ELEMENTO VIGA HIPERESTATICA

En la resolución de sistemas de vigas o marcos hiperestáticos se emplea la ecuación

(16) ó (17) determinada para la resolución de armaduras de este tipo.

Ejemplo 5. Para la estructura mostrada en la figura 4.1 se pide determinar las

reacciones en el empotramiento C y la rotación en B.

36

Sol.- Debido a que no tenemos una carga axial externa las reacciones horizontales de

la viga son, 0== CA HH . Entonces las incógnitas o redundantes serán la reacción

vertical en B y C y el momento en C.

La matriz de Flexibilidad es la misma que la del ejemplo 1

=

12300

300

002412

00128

24 2

2

L

LL

L

LL

EI

LFM

Para la viga (a) debemos determinar las cargas equivalentes en los nudos.

Por Tabla 1 (Ver Tabla anexo A) se sabe que los momentos y reacciones verticales en

una viga doblemente empotrada de longitud L sometida a una carga uniformemente

distribuida son:

2

12

2

LqVV

LqMEPMEP

BA

BA

⋅==

⋅==

Y que para una viga de longitud 2

L son:

4

48

2

LqVV

LqMEPMEP

CB

CB

⋅==

⋅==

37

Las cargas equivalentes en los nudos quedan representadas en la figura 4.2

Aplicando la estática a (a) determinamos el vector de acción extrema producto de las

cargas reales

−

−

−

=

48

4

124

1

L

L

qLAML

Aplicando la estática a (b) (c), (d) y (e) determinamos el vector de acción extrema

producto de las cargas unitarias

=

0010

1010

012

1

0001L

AT

MU

38

Sustituyendo en la ecuación (17)

⋅

+

−

−

−

−

=

024242412

24362712

24272714

1212148

·24

134

5416

2432

17

·240

0

022

22

3

C

C

B

B

M

V

V

LL

LL

LLLL

LLLL

EI

LL

L

EI

qL

θ

Resolviendo

IE

Lq

M

qLV

B

C

C

⋅⋅

⋅=

=

↑=

192

0

8

3

θ

EFECTOS DE DEFORMACIONES DE CORTE

Todo lo que se requiere es incorporar en la ecuación (22), donde se define la matriz de

flexibilidad FM, lo siguiente:

+

=

EI

L

EI

LEI

L

GA

Lf

EI

L

FM

2

232

23

(29)

39

El coeficiente FM11 es incrementado al considerar la deformación debido al corte.

Nótese que el término GA/f es la rigidez del elemento debido a dicho efecto. f es el

factor de forma de la sección. En la Tabla 2 del Anexo A se presenta el factor de forma

(f) para cada sección.

EFECTOS DE DEFORMACIONES DE CARGA AXIAL

En la figura 6 se muestran las acciones de extremo del elemento e , tales como la

fuerza axial AM1, la fuerza de corte AM2 y el momento flector AM3.

Figura 6. Acciones de extremo de un elemento marco plano: Fuerza Axial, Fuerza

cortante, momento flector.

De esta forma la matriz de flexibilidad del elemento e es:

=

EI

L

EI

LEI

L

EI

LEA

L

FM

20

230

00

2

23

(30)

40

Ejemplo 6: Determinar el desplazamiento horizontal del nudo C, del ejemplo 3,

considerando además el efecto axial. Suponer EA = cte.

Sol.- las matrices de flexibilidad son:

Ψ

==

630

320

006

6

2

2

21

L

LL

L

EI

LFF MM , en que:

2AL

I=Ψ

Y los vectores de acciones extremo son:

[ ]LLP

A TML 4909912

24−−−=

[ ]012122

1LA T

MU −=

Finalmente el desplazamiento será igual a:

)61(12

··3

Ψ−==EI

PLAFAD MLMMUHC

T

5.- ELEMENTO PARRILLA

Las acciones de extremo de un elemento parrilla se muestran en la figura 7. Se supone

que el elemento e está en el plano x-z, mientras que todas las cargas que actúan sobre

él son paralelas al eje Y.

Figura 7. Acciones de extremo del elemento parrilla.

41

Las acciones de extremo del elemento parrilla son la fuerza cortante AM1, el momento

torsor AM2 y el momento flector AM3, respectivamente. Los términos de la matriz de

flexibilidad que a continuación se muestran, pueden interpretarse como los

desplazamientos que ocurren en el extremo libre de una viga en voladizo debido a

valores unitarios de las acciones de extremo, tal como lo muestra la figura 8.

=

EI

L

EI

LGJ

LEI

L

EI

L

FM

02

00

20

3

2

23

(31)

En que GJ representa la rigidez torsional del elemento.

Figura 8. Coeficientes de flexibilidad del elemento parrilla.

42

Ejemplo 1. Determinar los desplazamientos del nudo C de la estructura mostrada en la

figura. Suponer que los elementos son iguales y con propiedades L, EI y GJ constantes.

Sol. Las matrices de flexibilidad de los elementos son:

==

603

060

302

6

2

21

L

LL

EI

LFF MM ρ ,en que:

GJ

EI=ρ

Las acciones de extremo causadas por las cargas reales son:

[ ]LLP

A

L

PALPA MLMLML 060612

6 ,0

6

6 ,

0

2

21 −−=

−

=

−

=

Las acciones de extremo causadas por las cargas unitarias son:

−

−

=

010

100

001

100

01

001

L

AMU

Finalmente:

( )( )

−

+

+−

==

12

314

1211

12··

2

ρ

ρL

EI

PLAFAD MLMMU

T

43

6. ELEMENTO MARCO ESPACIAL

El elemento marco espacial, es el elemento más generalizado y posee un total de seis

acciones de extremo en cada nudo. Tales acciones se muestran en la figura 9.

Figura 9. Acciones de extremo del elemento marco espacial.

La matriz de flexibilidad correspondiente es igual a:

−=

Z

Y

YY

ZZ

EI

LcatrimeSi

EI

LGJ

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

LAE

L

FM

0

00

02

03

2000

3

00000

23

23

(32)

44

Los coeficientes de la matriz de flexibilidad del elemento e mostrados en la figura 10,

pueden interpretarse como los desplazamientos del extremo libre de una viga en

voladizo debido a valores unitarios en cada uno de las seis acciones de extremo

indicadas en la figura 9.

Figura 10. Coeficientes de flexibilidad del elemento marco espacial.

45

ANEXO A

46