1UNIDAD IINTERACCIN ELECTROSTTICA1.1. CAMPO y POTENCIAL ELECTRICOS En este apartado se introduce el concepto de carga elctricay, a travs de la leyemprica de Coulomb, se describe la interaccin elctrica entre cargas elctricas puntuales. Aprovechando que la ley de fuerzas es del tipo conservativo y la analoga con la interaccin gravitacional, defini-remos los conceptos de vector campo elctrico ( ) r ( EGG y de potencial elctrico ( ) r ( VG como fun-cionesdeposicin,yseestablecenlasecuacionesdiferencialeseintegralesquelosrelacionan. Seguidamente,atravsdelprincipiodesuperposicin,sepresentanlasfrmulasparaextender losresultadosadistribucionesdiscretasycontinuasdecargaelctrica.Finalmente,estable-ceremos la ley de Gauss, destacando sus ventajas en lasolucin de problemas en que es nece-sario determinar el campo elctrico generado por distribuciones simtricas de carga elctrica. Una partcula material, caracterizada por poseer masa, puede interactuargravitacionalmen-tecon otra partcula, pero adems puede o no estar dotada de un especial atributo llamado car-gaelctrica , y por consiguiente, interactuar elctricamente con otras partculas cargadas. A diferencia de la masa (siempre de valor positivo),una partcula material puede tener carga elctrica de valor positivo, nuloonegativo. Ademsdemodificarsuentorno,generandouncampoelctrico,lacargaelctricapresenta algunas propiedades importantes, entre las cuales destacaremos: i) Aditividad El valor de la carga inicial en un cuerpo puede aumentarse, disminuirse o anularse, medianteprocesosde carga, descarga y neutralizacin, respectivamente. Si un cuerpo posee la carga Q1 y se lo pone en contacto con otro cuerpo con carga Q2, entonces la carga adquirida por el con-junto ser (Q1 + Q2).As la carga total de un conjunto es la suma algebraica de las cargas de sus componentes.En particular, si Q2= -Q1, entonces la carga neta es nula y el sistemaest elctri-camente neutro. Un cuerpo neutropuedecargarse, si se separa sus cargas de signoopuesto. Entrelosmtodosparaseparardichascargaspodemoscitar:elfrotamiento(queeselmtodo tradicional),laelectrlisis,elefectotermo-inico,elefectofoto-elctrico,elcampoionizanteyla separacin de cargapor colisiones. Sobre estos procedimientos para separar carga y sus aplica-ciones, le recomendamos leer el Captulo deltexto de Serway. ii) Conservacin La evidencia experimental hasta ahora disponible, muestra que en todo fenmeno ocurrido en la naturaleza,el valorde lacargatotalpermanececonstante. Esta pareceser una leybsica del universo y es conocida como principio de conservacin de la carga. iii) Cuantizacin En forma macroscpica, todo intercambio de carga se produce por valores discretos de carga,mltiplos de un valor particular de ella llamado cargaelemental e,cuyovaloraceptadoes de 1e = 1.6* 10-19 C,siendo 1Coulomb [C], la unidad de carga elctrica en el sistema internacional de unidades.Dentro de un tomo, el protn posee la carga de +1eyel electrn la carga de 1e.21.2.LEY DE COULOMB La interaccin elctrica entre cargas en reposo, se rige por la ley de Coulomb: rrKQqF3GG= (1.1) En sta expresinKes una constante, Qyqson las respectivas cargas elctricas de las partculasinteractuantes yrKelvector posicindeq respecto dela carga Q. Setratapuesde una Fuerza Centraly, al igual que la fuerza de interaccin gravitacional, es una fuerza conserva-tiva.LaconstantedeCoulomb 2920Nm 1K 9 * 104 C (= = (tc ;donde 0c (permitividadelctricadel vaco) es una constante que caracteriza elctricamente al vaco. De laexpresin (1.1) se infiere quela magnitud de la fuerza elctrica depende tanto de las cargaselctricascomodeladistanciarelativaentreellas.Respectodelascargas,esnecesario conocer su valor y forma en que se distribuye sobre el cuerpo. Sin embargo, cuando las dimensio-nes del cuerpo son despreciables comparadas con la distancia entre las cargas, se puede conce-bir a la carga distribuida sobre un cuerpo que es un punto del espacio, y se denominacarga pun-tual. As, la expresin (1.1) es la ley de fuerzas o ley de Coulomb para la interaccin entre cargas puntuales en reposo y en el vaco.

El problema de determinar el movimiento de una carga puntual dentro del campo elctrico, es anlogo al problema dinmico para el movimiento de una partcula de masa m dentro de un campo gravitacional. El hecho que la interaccinelctricaseaconservativa, implica que son vlidas las relacio-nes siguientes:

edW F d dU == G GA(1.2) siendo dU la variacin de la energa potencial electrosttica.As, la carga puntual Q genera en todo el espacio una funcin vectorial, Vector Campo Elc-trico EG , cuya unidad en el sistema SI se expresa en (N / C) (oen V / m, como veremosms adelante): 3 2F KQ KQ E(r ) r rq r r= = =GGG G (1.3) Y, adems, una funcin escalar denominada Potencial elctricoV(r )G, cuya unidad es el [volt]: KQV(r )r=G(1.4) Note bien que: *TantoEK comoVse originanen la presencia de Q. *Adems, para un punto a la distancia r de la carga puntual Q: 3

rKQV y rrKQE2= =G siendor el vector unitario que apunta desde Q al punto donde se calcula, yr =rG es la distancia entre la carga y el punto. *Poranalogaconlainteraccingravitacional,semantienelaformadelasrelacionesentre campo y potencial: dV = - dW/q = - dK/q = - r d EKK ,(1.5) o, en forma integral, VB VA = -)

BAr d EKK= (KA - KB) / q = -BAW q A ) / 1 ((1.6)VB- VA se designa tambin como el potencial en B respecto del punto A. Si la posicin deAest tericamenteenelinfinito, y suponemosV() = 0 ,entonces, por definicin, diremos que:

PP extV E .dr= )GG en queVP es el potencial en P respecto del infinito, y que llamaremos potencial absoluto en P; y corresponde al trabajo realizado sobre una carga unitaria para desplazarla, en contra del campo, desde el infinito hasta el punto P: Note bien: Siendo E EextG G =y,en presencia del campo generado por la carga Q, el trabajo que debe realizar un agente externo para trasladar una carga q dada desde una posicin inicialArK hasta su posicin finalBrK,puede calcularsea travs de: ) V V ( q dV q r d ) E ( q WA BBABAext = = = A) )GG(1.7) que slo requiere el conocimiento del potencial en A y en B.

Si VB, en la posicin final, es mayor que el potencial inicial VA, el trabajo externo realizado es positivo (esto significa que el agente ha entregado energa al sistema). Basndose en la Ec. (1.7), el valor deW Apuede calcularse,alternativamente, a travs de:W Aext = - q)

BAr d EKK

se puedeelegirarbitrariamentelaformade la trayectoriapara ir desdeA hastala posicinde B. (esto por tratarse de una interaccin conservativa ). Sin embargo, para realizar la integracin ante-rior, es necesario conocer el campo en funcin de la posicin.

4 1.3. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Si el potencial tiene un valor igual y constante en todos los puntos de una superficie, se dice questaesunasuperficieequipotencial.Paraundesplazamientoelementalr dG,sobreesta superficie, deacuerdo a la Ec.(1.7), resultar d EGG. = 0.Estoimplicaqueen todo puntodela superficieequipotencial,elcampoelctricoestorientadoendireccinperpendicularadicha superficie.Por ejemplo,el campo elctrico generado por una carga puntual Q es radial y, por lo tanto, las superficies equipotenciales son esferas concntricas con el centro en la posicin de Q. 1.4.DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE CARGAS FIJAS Hasta aqu nos hemos referido al campo ypotencialelctricosen torno de unacarga pun-tualfija. Para una distribucin discreta de cargasfijas, aplicando el principiodesuperposi-cin, se obtiene para el campo elctrico y el potencial resultantes:

__==iii2iirKqVrrKqEG(1.8)EG debe interpretarse como la fuerza neta que experimenta una carga unitaria (q = 1C ) colo-cada en el punto donde se calcula el campo resultante. VR, por su parte, es el potencial absoluto enelpuntocalculadoyrepresentaeltrabajoparatraerlacargaunitariadesdeelinfinitohasta dichopuntoen presencia de las cargas fijas de toda la distribucin.Note bien: El vectorjrKva desde la cargajhasta el punto P donde se calcula el campo elctrico; mientras que para el clculo del potencial, slo interviene el mdulo de jrK=rj1.5.DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA ELECTRICA Elpasosiguienteconducealageneralizacinde lasexpresiones anterioresparauna distri-bucincontinua decarga elctrica.Eneste casolas ecuaciones paraelclculodelcampoelctrico y delpotencialen un punto dado del medio, se escriben como: ))==VV3rKdqVrrKdqEGG(1.9) donde la integracin debe hacerse para toda la carga de la distribucin, lo que implica incluir toda la reginocupada por la carga;rG y r son, respectivamente, el vector que apunta desde el infinit-simodecargadqhaciaelpuntodondeseevalaelcampoy/opotencial,yladistanciaentre ellos. Note bien: Sielproblemaseplanteacomoelclculodelcampoy/odelpotencialparaunaposicinrGrelativaaunorigenelegidoenunaposicindadaarbitraria,entonceslasexpresiones(1.9)se escriben como: 5))tt' =' ' =r rKdq) r ( V) r r (r rKdq) r ( E3G GGG GG GGG(1.10) siendor 'G el vector que barre los puntos de la distribu-cindecargaspartiendodesdeelorigenelegido;ytdenotaelvolumendelcuerpocargado.Adems,la expresin(1.10)exige conocer, previamente, comose distribuyelacargaenelcuerpo;paraesteefecto,se defineunafuncindistribucindenominadadensidad decargavolumtrica(),superficial(o)ylineal()como: ( )( )AGGGddqrdAdqrdVdq) r (= = o= Elclculodelasintegralesdebeabarcartodalacargaincluidaenladistribucincontinua.Adems, conocida la densidad de cargas la integracin debe abarcar todo el espacio ocupado porla carga.1.6.LEY DE GAUSS En este prrafo introduciremos el concepto de flujo en dos acepciones relacionadas entre s. Una en relacin al transporte de un fluido y la otra en su forma matemtica aplicada a una funcin vectorial de posicin (como es el caso de nuestro vector campo elctrico). Para fijar las ideas consideremos un elemento de tubo, dentro de un medio en el cual se mue-ve un fluido ideal con rapidez constante y cuyo volumen esx S A A = A. t . El movimiento del flui-do es en el sentido del eje X, que coincide con el eje deltubo elemental. Ax

u------------------- --- - t A ----------------------- -------------------- X S A

Aqu u A = Acos S S , siendocosu=i n. y ) . .( . i n x SIA A = At ; supondremos que el fluido tieneunadensidadconstantet d dm/ = ,entonces,dentrodeltubolacantidaddefluido= Am t A .=). .( . i n x S A A se est moviendo con rapideztSvAA= que suponemosconstante. Or 'GrGr r ' G G6 Rescribiendo= Am S A v At( i n. ),definimosahoraelelementovectorialdereacomo SGA = n S A y el vector velocidad como= vGvi yas obtenemos: S vtmGGA =AA(1.11) El primer miembro en esta ecuacin representa la cantidad de fluido que pasa en la unidad de tiempo a travs de la seccinS A , que,en fenmenos de transporte se designa porflujo,co-rriente ocaudaldel fluido a travs de dicha seccin. En el caso del movimiento de cargas elctricas dentro de un conductor, la corriente elctricai,a travs de la seccin S, puede escribirse:

) = =AASS d v itQGG(1.12) en que la integracin debe hacerse abarcando toda la seccin S. ElvectorJ vGG= esconocidoenElectromagnetismoconelnombredevectordensidadde corriente (concepto que volveremos a encontrar ms adelante en este Curso). A su vez, la expresin ) = uSS d JG Gdefineel operador matemtico flujo del vector densi-dad de corriente a travs de la superficie S. En el fenmeno de transporte analizado, hemos mostrado que el flujo o corriente de un fluido, est directamente relacionado con el flujo matemtico delvectorvG . Volvamos ahora a la expresin que nos da el vector campo elctrico generado por una carga puntual Q; al expresar el flujo de este vector a travs de una superficie S A ,obtenemos:

)A= uSES d r r KQGG). / (2

y recordando la definicin de un elemento de ngulo slido2/ r SA = Ae, el elemento vectorial de rea es dS = r S d .G=2) ( r e A Al reemplazar e integrar sobre una esfera de radio r , se obtiene: )c= t == uQKQ 4 S d EEG G

En palabras, el flujo del vectorEG a travs de la superficie esfrica que encierra la carga pun-tual Q, es igual a Q dividido por 0c . Este resultadoes un caso particular de la ley de Gauss, una de las leyes bsicas del Elec-tromagnetismo. La generalizacindel resultado anterior considera el campo generado por la car-ga total, encerrada por una superficie cerrada de forma arbitraria.7 Entonces, la ley de Gauss en forma integral, queda expresada por:

0SQS d Ec== u)G G (1.13) Como mostraremos en los ejercicios, la ventaja interesante de aplicar la ley de Gauss se ma-nifiesta enproblemas que requieren el clculo, en todo el espacio, del campo elctrico generado por distribuciones continuas y espacialmente simtricasde carga elctrica. Esta ventajaconsiste en tener laposibilidadde elegir lasuperficie que encierra la distribucin continua de carga, (su-perficie llamada comnmente gaussiana, que incluye el punto donde se calcula el campo).Esta ventaja es aplicable, por condiciones de simetra, siempre que para todo punto de la gaussiana, se verifique que:-el mdulo deEG tiene igualvalor-el campoEG est orientado en direccin perpendicular a la gaussiana (esto garantiza queEGy S dG son paralelos) As,0/ cTQ dS E =)G, siendo )dSel rea total de la gaussiana elegida yTQla carga encerra-da por la gaussiana. En particular, para unagaussiana esfrica de radior0, resulta: 20Tr 4QEtc=G(1.14) (este valor es igual al que resultapara el campo a la distancia 0rdeuna carga puntual). En caso que la distribucin no sea uniforme y que se conozca la densidad de carga t= ddQcomo funcin de posicin, la carga total queda dada por )tt = d Q . As,la expresinpara la ley de Gauss, en su forma integral es: ) )tt c= ) SG (0SGd1S d EG G(1.15) enque la integracindel segundo miembro, debe hacerse sobre todoel volumenocupado por la carga que es interior a la superficie gaussiana. Usando el teorema de Gauss delclculo vectorial, el flujodeunvector atravs de unasuperficie cerrada (por ejemplo, nuestra gaussiana) queda expresado por: ) )ttV =d ) E ( S d ESG G G,siendo tel volumen delimitado por la gaussiana; aplicado a nuestro caso: t c= tV) )t td1d ) E (0G8Si el dominio de integracin es el volumentdentro de la gaussiana, la expresin diferencial para la ley de Gauss del Electromagnetismo, es: 0Ec=VG(1.16)

Nota: La leyde Gauss, sea en forma integralo diferencial,es una de las ecuaciones bsicas del Electromagnetismo y forma parte de las llamadas Ecuacionesde Maxwell.1.7.EJEMPLOS DE APLICACIN DE LA LEY DE GAUSS Como ya se dijo, la ley de Gauss proporciona un mtodo ventajoso para el clculo del campo elctrico generado por distribuciones espacialmente simtricas de carga. Esto basado en el cum-plimiento de dos requisitos: -el mdulo del vector campo elctrico debe ser constante sobre la superficie gaussiana utiliza-da.-el sentido deEG debe serperpendicular en cualquier punto de dicha gaussiana;as el vector campo elctrico es paralelo al vector rea en todo punto de la gaussiana.Bajo estas condiciones: )=0/ cTQ S d EG G, siendo TQla carga total dentro de la gaussiana, y cuyo valor podr calcularse a travs de: )=tt d QT

EJEMPLO1.-UnaesferaderadioRtieneunacarga total Q,uniformementedistribuidasobresusuperficie. Calculeelcampoelctricogeneradoentodoelespa-cio. SOLUCION:Si se elige como gaussiana una esfera concntrica con la esfera de cargas, por simetra se cumplen los requisi-tosparaelcampoquedebemoscalcular(esteesun casodesimetracentral).Dadoqueladistribucinde cargaesuniforme,( ) cte = o lacargatotales o t24 R QT= , y la aplicacin de la ley de Gauss da: 20Tr 4QEtc=G, para todor >R; en cambio para r < R el campo es nulo,esto porque en el interior de la esfera no hay carga elctrica (i.e., la gaussiana no encierraningunacarga). Nota:-Lo que se pide en el enunciado es el vector campo elctrico y lo que entrega la ley de Gauss es slo su modulo. El sentido lo da la propia simetra, que en este caso es radial (sentido hacia afuera o hacia el centro, segnsi el signo deQ es positivo o negativo) ) R ( EGnQAS9-El resultado obtenido, parar >R, es el mismo que correspondeauna carga puntualQ, colo-cada en el centro de la esfera del enunciado. EJEMPLO2.-Unavarillarectilneamuylarga(tericamentedelargof),tieneunadensidad lineal de cargacte dx dQ / O . Determine el campo generado en todo el espacio SOLUCION SeaQ ' lacargaelctricasobreellargoh ' delavarilla.Por simetra, para una superficie cilndricacoaxialde alto h ' ,elegidacomogaussiana,secumplenlosrequisitosparala aplicacinventajosadelaleydeGauss.Enefecto,aunadis-tanciabdelavarilla,elcampoelctricoesperpendicularal mantodecilindro,ysobrelascarasbasaleslacontribucinal flujo deEG a travs de esta gaussiana es nulo. Por lo tanto: 0Qh b 2 ) b ( EH' ' Sde donde:

bK 2b 2) b ( E0O

SHO

Nota: La simetra axial del problema nos permite afirmar que, el senti-do del campo encualquierpunto, estar dirigido radialmente hacia fuera respecto de la varilla, ysu mdulo es inversamente proporcional a la distancia b, es decir, es un campo con simetra ciln-drica. EJEMPLO 3.- Dado un plano, de extensin tericamente infinito, con una densidad superficial de cargacteSQ

'' V . Calcule el vector campo elctrico generado en todo el espacio. SOLUCION:

Esta distribucin de carga presenta simetra especu-lar.Siseeligecomosuperficiegaussiana,uncilin-dro coaxial de reas basalesS 'y altura 2h (siendo hladistanciadesdeelplanoalpuntodondese calculaelcampoelctrico).Comoseindicaenla figura,podemosverificarquesecumplenlascondi-cionesparalaaplicacinventajosadelcampoelc-trico generado.En efecto sobre el manto de cilindro, elflujosobrelagaussianaesnulodebidoaqueel campoelctricoylanormalalasuperficiesonall perpendiculares, en cambio sobre cadacarabasales S EE'')HG , siendo el flujo total:

EG)= 20/ S S E H ' V'G,y el mdulo del campo no depende de la distancia h.Por lo tanto:

02EHV

G ; con el campo dirigido segn la perpendicular al plano de cargas. 'Qb'h'S'QV12UNIDAD II.DIELCTRICOSLosmaterialesdielctricospuedenserdefinidoscomoaquellosqueno poseenelectroneslibresensuestructura;enotraspalabras,sonaquellosque tienen sus electrones fuertemente ligados a los ncleos y que, por lo tanto, reque-riran de un gran suministro de energa externa para desplazarlos de un tomo a otro.Para los propsitos de este curso, esta definicin implica que los dielctricos pueden mantener fija una cierta distribucin de carga, que puede ser una distribu-cin volumtricar&U y/ounadistribucinsuperficialr&V ,ancuandoseapli-que sobre l un campo elctrico externo de moderada intensidad; a diferencia de un cuerpo conductor en equilibrio electrosttico que slo puede poseer una densi-dad superficial de cargas r&V . Sin embargo, es probable que un material dielc-tricorespondaalaaccindeuncampoelctricoexternocondesplazamientos relativos infinitesimales de su carga positiva respecto de la carga negativa, gene-rndoseunconjuntoalineadodedipoloselctricosenlamuestradielctrica,fe-nmeno denominado polarizacin. La polarizacin del dielctrico tiene como consecuencia inmediata la mo-dificacindelcampoelctricoexternoquelaprodujo.Estacontribucinproviene de la superposicin de los campos producidos por cada uno de los dipolos elctri-cos en puntoslejanos. Sin embargo, como se verms adelante, resulta conve-niente visualizar macroscpicamente la polarizacin del dielctrico en trminos de una carga equivalente de polarizacin, que se agrega a la carga libre existente. Paraobtenerdichacargaequivalentedepolarizacin,esconvenienteanalizar primeramenteelpotencialelctricoyelcampoelctricoproducidoporundipolo elctrico. As, posteriormente, se obtiene el efecto de polarizacin resultante me-diante superposicin de los campos anteriormente calculados. 2.1 DIPOLO ELECTRICO.Eldipoloelctricoesunsistemadedoscargaspuntualesdeigualvalor, signoscontrarios,yseparadosunadistancia drelativamentepequea(Fig.2.1). Eldipoloserepresentamedianteunacantidadvectorialdenominadamomento dipolar elctrico:u qd p =*dondeu es un versor que tiene una direccin coincidente con la recta que une a las dos cargas y un sentido que, convencionalmente, apunta desde la carga nega-tiva a la carga positiva.13Parasimplificarelclculo,seeligeun sistemadereferenciacartesianoXYtalqueel origen est centrado en el dipolo y el eje X coin-cida con la direccin del versoru . Se determina el potencial elctrico resultante en un punto defi-nido por el vector posicinr&como la suma alge-braicadelospotencialesdebidoacadaunadelascargas, yluegoseaplicalacondicindedi-polo(d @ 0 B d I B Id F = = =} }

(5.7)dado que la integral cerrada equivale a sumar vectores

d que constituyen las aristas de un polgono y, por consiguiente, su suma es igual a cero.EjempIo: Seaunaespiracuadradadeladoa, enelplanoXY,queesrecorridaporunaco-rriente I en sentido "horario; en la regin existe uncampomagnticok`B B0=

.Lafuerzamag-ntica que acta sobre la espira es:-sobre la arista vertical izquierda,) i`( IaB k`B ) j`( Idy F0 0 1= =}

-sobre la arista vertical derecha,) i ( IaB k`B ) j`( Idy F0 0 2 = =}

-sobre la arista horizontal superior.) j`( IaB k`B ) i`( Idx F0 0 3 = =}

-sobre la arista horizontal inferior,) j`( IaB k`B ) i`( Idx F0 0 4= =}

Luego, 0 F F F F F4 3 2 1= + + + =

tal como lo predice (5.7).XYZEspira cuadrada595.4. CARGASEN MOVIMIENTOEN UN CAMPOMAGNTICO.Experimentalmenteseencuentraquesobreunacargaelctricaq0quesemuevecon velocidad v

respectode un sistemade coordenadas,al entrarenun campomagnti-coB

es sometidoun fuerzadada por:B v q F0

= (5.8)El mdulode estafuerzaesF = q0 v B sen u , siendo u el nguloque forma el vector velo-cidad ( v

) con el vector campo magntico ( B

). El valormximo de F es Fmx = q0 v B parau= 2t.Una situacin ms general, es la que contempla a una carga elctrica puntual q0 mo-vindose con velocidadv

en una regin, en la cual existe un campo elctrico ( E

) y un campo magntico( B

), dando como resultado la fuerza de Lorentz:B v q E q F0 0

+ = (5.9)La fuerza magntica realiza un trabajo nuIo sobre una partcula cargada, en efecto:0 dt v B v q W dt v d perod B v q d F W00= = = ==}} }

y,enconsecuencia,lafuerzamagnticaactasobrelacarga modificandosutrayectoria,perosincambioensurapidez.En particular,silavelocidaddelapartculaesperpendicularal campo magntico uniforme ( cte B =

), la fuerza tiene el carcter de una fuerza central y su trayectoria se hace circunferencial (en la figura se supone que el vector campo magntico es perpendi-cularplanoyapuntandohaciaadentro).Lafuerzamagntica, entonces, equivale a una fuerza centrpeta:Rmvqvb F2= =siendo R el radio de la trayectoria circunferencial. De aqu, se obtiene una expresin para el radio de la rbita:qBmvR =v

F

60y una expresin para la frecuencia, denominada frecuencia ciclotrnica,mqB= equedaunarelacinlinealentrelafrecuenciaylamagnituddelcampomagnticoaplicado, con una constante de proporcionalidad dada por la relacin "carga-masa de la partcula car-gada.El movimiento de la carga, obviamente, es peridico, con un perodo T igual a:qBm 2Tt=61UNIDAD VIINDUCCION ELECTROMAGNETICA6.1 LEY DE FARADAYEn el captulo sobrecorrientecontnua, se estudi el movimiento de carga elctrica como resultado de aplicaral circuito una diferencia de potencial constante,por medio de su conexin a unabatera(femcontnua).Alllaenergaproporcionadaalcircuito,provenadeunareaccin electroqumica.En este captulo nos ocuparemos de corrientes en espiras conductoras o circuitos de comportamiento hmico, que pueden ser generadas por alguna variacin temporal del flujo de un campo magntico a travs de la espira.As, el voltaje"inducido que causa el movimiento de lascargaslibresdelconductor,segeneraporunagentefsicodirectamenterelacionadoconun campo magntico y la forma en que vara la posicin u orientacin relativas del camporespecto de la espira.Este fenmeno se rige por una de las leyes fundamentales de la teora electromagntica, que fuera introducida en el siglo XIX por el fsico ingls M. Faraday.Fundamentos experimentales de la Ley de Faraday:i) En presencia del campo magntico generado por la corriente en un alambre conductor, el desplazamiento deunaespiraconductoraensusvecindades,produceelmovimientode cargalibreenlaespira.Esdecirapareceunacorrienteinducida.Estemismofenmeno puede observarse haciendo que la espirasolamente gire en torno de un eje fijo.ii) Tambin se detecta corriente inducida en la espiraen reposo, cuando el campo magntico externovaraconeltiempo.Estopuedeocurrirporejemplocuandolacorrienteenel alambre que genera campo magntico, presenta variaciones temporalesI (t).iii) Igualmente,elacercaroalejarrpidamenteuntrozodeimn alplanodelaespira, tambindar lugar a la generacin de una corriente inducida en la espira. Enlafigura(a)elimnsemueveacercndosealanilloconductor.Laevidenciaexperimental muestra que en el anillo aparece una corriente inducidaI; el sentido de esta corrientees tal que su campo frena el aumento de flujo a travs de la seccin del anillo. (Ley de Lenz )El sentido de la corriente inducida est directamentedeterminado por la forma como vara el flujo del campo magntico, segn si ste crece o decrece con el tiempo.LaexpresinmatemticaparalaleydeFaraday,quepermiteladeterminacincuantitativadel voltaje causante de la corriente inducida es:62)` =u =}Sinda d BdtddtdV&&(6.1)El signo negativo es un requisito para la conservacin de la energa y fue introducido por el fsicofrancsLenz..Esto permite predecir cul debe ser el sentido de la corriente inducida: Elvector campo magntico que debe generar la propia corriente inducida, debe apuntar en el sentido talquefrene larapidezconqueestvariandoelflujodelcampomagnticocausantedelvoltaje inducido.Siestonofueraas,elcampomagntico"auto-inducidoharaqueelflujo %&u se incrementara, lo quea su vez hara aumentar el voltaje inducido y, en consecuencia, aumentara tambin el campo "auto-inducido,generando asuna corrienteinducida de valor creciente hasta infinito.La Ley de Faraday se puede escribir, en su forma integral, como:^ `}} }- = - a d Bdtdd E&&"& &(6.2)quemuestraexplcitamentelainterdependenciaqueexisteentreloscamposelctricosy magnticos.Si se considera un elemento del flujo de campo magntico, causante de la induccin:6 cos G$ % G%&&= u ,donde 6es el ngulo entre elvector campo magntico y la normal al plano de la espira.La expresin anterior muestra que %&u puede variar con el tiempo ya sea a travs delmdulo del campo%&, y/o del elemento de rea de la espira, y/o de la orientacin relativa de la espira respecto delcampomagntico,dadaporelngulo6 . Enelcasoen quesolamenteelcampomagntico depende del tiempo t , r B B&& &= , se habla de un circuito rgido y estacionario (porque el rea de la espira no vara con el tiempo ni tampoco el ngulo que forman los vectores campo magntico B&y reaA&); as entonces, la ley de Faraday se expresa como:a dtBVind&&-cc =}}(6.3)Porotrolado,silaespiraconductorasemueveconvelocidadY&dentrodeuncampo magntico %&estacionario(constanteeneltiempo),entoncessegnlovistoenelcaptulo anterior, cada elemento de carga libre dQ sobre el conductor, experimentar una fuerza de origen magntico de la forma:B v dQ F d&&& =lo que es equivalente a la accin de unCampo Elctrico: B x v E&&&=Dadoqueconsideramoslaespiracomounconductorcerrado,estecampo genera un voltaje que toma la forma de unaf.e.m.63} }- = - = "& &&"& &d B v d E V (6.4)As,enunaespiraenmovimiento,uncampomagnticonoestacionario ) (W %&, genera un voltaje inducido de la forma general:} }- + - = a d )dtB d( d ) B v ( Vind&&"& &&(6.5)En esta expresin aparece separadamente el voltaje inducido por el movimiento delaespira(primertrmino)yelvoltajeinducidoporlavariacintemporaldelcampo) (W %&{segundo trmino}.EjempIo. Unavarillaconductorasemueveconvelocidadconocidadentrodeuncampomagntico estacionario. Demuestre que entre los extremos de la varilla aparece una diferencia de potencial.Resolveremosesteproblemaparaelcaso especialenqueelcampomagnticoestgeneradoporla corrienteconstanteI0enunhiloconductormuylargoque coincideconelejeY.LavarillaSTsedesplazaconvelocidad = Y&v0v PDQWHQLHQGR XQD RULHQWDFLyQ TXH IRUPD HO iQJXOR ,FRQHOHMH;Solucin:La corrienteI0genera uncampomagntico.) k`(x 2IB0 0t=&La fuerza sobre cada elemento de carga dQ en lavarilla es:% [ Y G4 ) G&&&=quecorresponde a un campo elctrico inducido en la varilla por la presencia del campo magntico y que, pordefinicin,puede escribirse como:) j`(x 2v Ik`x 2Ii`vdQF dE0 0 0 00t= t = =&&DadoquelacargalibredQslopuedemoversealolargodelavarilla,ladiferenciade potencial en unelemento dl de la varilla debe escribirse comoxdx2tan v Ixsen d2v Id`E d E dV0 0 0 0 0 0to =ot = - = - ="" "&"& &y entre los extremos de la varilla la diferencia de potencial (o "potencial inducido ) es:XYI0STov&64((

o+to = 00 0 0S Txcos1 ln2tan v IV V"Dadoquelarapidez 0vsesupusoconstanteyelcampo %&esestacionario(novaraconel tiempo), se deduce que entreS y Tse mantiene una diferenciadepotencial constante. Al considerarelsignonegativo,yelsentidodelcampoelctricoinducido,puedeconcluirse,quelas cargas positivas se desplazarn hacia el extremo S.6.2 INDUCTANCIAConsidere un circuito rgido y estacionario, entonces las variaciones de flujo magntico son debidas exclusivamente a variaciones temporales del campo magntico. Pero a su vez, el campo magntico depende de la corriente y, por lo tanto, el flujo magnticose hace variable en el tiempo a travs de variaciones temporales de la corriente. Aplicando propiedades de la diferenciacin, se tiene:dtdIdIddtdVindu =u = (6.6)Se define como inductancia (L) a las variaciones del flujo magntico a travsdel rea quelimitael circuito, respectodelas variaciones de la corriente en el circuito:dIdLu= (6.7)La inductancia se mide en unidades llamadas henry en el S.I. de medidas.Reemplazando(6.7)enlaexpresin(6.6)seobtieneunaformaoperacionaldelaLeyde faraday:dtdIL Vind= (6.8)Sepuedemostrarqueelparmetroinductancia(L) dependeslodelageometradel circuito inductor y de la permeabilidad magntica del medio. En efecto, si se considera una bobina toroidal, de N espirasde rea A y con vaco como medio interior, recorrida por una corriente I, se tiene que:"""&A NdIdLAI N) bobina la de erior int el en aproximado campo (NIB20200=u= = u =I

65Estadefinicindelcircuitoinductorentrminosdelainductancia,permiteindependizarse de la geometra del circuito. Se introduce, as, un smbolo (ver figura) para representarcualquierinductancia,conlocualsesimplificatantola combinacindeinductanciascomoeldiagramadecircuitosenlosque intervienen inductancias. 6.3 COMBINACIN DE INDUCTANCIAS.Alhacercombinacindeinductancias,porejemplounainductancia1conectadaconuna inductancia2,sedebencontemplardossituaciones:i)queelcampomagnticoproducidoporla corriente en la inductancia 1 no genere flujo a travs de la inductancia 2, y viceversa; en este caso se dice que las inductancias conectadas estn desacopladas magnticamente; o bien, ii) que el campo magntico producido por la corriente en la inductancia 1 genere flujo magntico a travs de la inductancia 2.y/o viceversa; aqu se habla de inductancias acopladas magticamente.Porrazonesdesimplicidad,seconsiderarnslocombinacionesdeinductancias desacopladas magnticamente. Existen, entonces, dos tipos de combinaciones de inductancias: la combinacin serie y la combinacin paralela.6.3.1 Combinacin Serie de Inductancias.Enstacombinacinseconectanlasinductanciassucesivamente,medianteconductores ideales, de modo que en cada una deellas se registre la misma tasa de variacin dela corriente elctrica. Esquemticamente, una combinacin de N inductancias, desacopladas magnticamente,se representa como:Aplicando las propiedades que debe satisfacer la combinacin serie:dtdi........ .......... ..........dtdidtdidtdi) bV .......... .......... V V V V ) aN 2 1N 3 2 1 ab= = = =+ + + + =y la expresin de Farady (6.8), se puede obtener el valor de la inductancia equivalente (Leq) de la combinacin:= + + + + = + + + + = N1i N 3 2 1 eqNN332211 eqL L ........ L L L L ) b de ydtdiL .. ..........dtdiLdtdiLdtdiLdtdiL ) a deAs,=ii eqL L (6.9)666.3.2 Combinacin ParaIeIa de InductanciasSean N inductancias conectadas en paralelos, mediante conductores ideales, que se diagraman como en la figura:Ahora deben cumplirse:dtdi.. ..........dtdidtdidtdidtdi) bV .. .......... V V V V ) aN 3 2 1N 3 2 1 ab+ + + + == = = = =y aplicando (6.8) da para la inductancia equivalente de una combinacin paralela:= + + + + = + + + + = ii N 3 2 1 eqNN332211eqabL1L1........L1L1L1L1) a por yLV.........LVLVLVLV) b deAs,=ii eqL1L1(6.10)6.4 ENERGA MAGNTICAEltrabajonecesarioparagenerarunacorrienteelctricaatravsdeunainductancia,se calcula como:2i0Li21Lidi WdtdqidtdiL VVdq W= = )`===}}As,672Li21W = (6.11)Trabajo que se expresa en unidades de Joule, si la inductancia se mide en Henry y la corriente en Ampere.Este trabajo externo realizado, es almacenado en la inductancia en trminos de un campo magntico que se crea en todo su volumen interior. Se demuestra que ste trabajo es proporcional al cuadrado de la magnitud del campo magntico, En efecto, si se considera la bobina toroidal de N espiras, se tiene que:202020020B2AUNB A N21U WNiBA NL= ((

(((

= = )`=="""""se suele especificar la densidad de energa magntica (energa magntica por unidad de volumen):]|

\|=320mJouleB21

(6.12)6.5 CIRCUITO RLLas inductancias presentan un comportamiento similar alos condensadores, en cuantoal proceso de almacenamiento de energa. Aqu tambin se puede reconocer un proceso de "carga y un proceso de "descarga de un inductancia. El circuito a considerar es:Cons conectadoena sedaelproceso de "carga; mientrasque,s conectadoenbda el proceso de "descargaParaelprocesode"carga, aplicando la ecuacin de Kirchhoff se tiene:RidtdiL V0+ =ecuacin diferencial que se resuelve separando variables e integrando:68]]|

\| = =((

=} }LRt000t0i00e 1RV) t ( itL1VRi Vln dtL1Ri Vdiqueindicaquelacorrienteenlainductanciatiendeasintticamenteasuvalormximo RV0.Se define,entonces,unaconstantedetiempoinductivaRL= t medidaenunidadesdetiempo (seg).El proceso de "descarga satisface la condicininicial: RV) 0 ( i0= y se produce cuando se lleva el interruptor s desde a hacia b. La ecuacin diferencial que se cumple ahora es:LRt0t00) 0 ( ieRV) t ( i dtLRidi0 RidtdiL= = = +} }la cual establece que la corriente va asintticamente a cero en el proceso de "descarga; tambin con una constante de tiempo inductiva RL= t .Note que para t = t, la corriente a travs de la inductancia a disminuido a:RV37 . 0e1RV) ( i0 0~ = t69UNIDAD VIICIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNAEn estaunidad se analizan las relaciones entre voltaje y corrienteinstantneos en cadaunodeloselementos:fuentedealimentacinofem,resistencias,inductanciasycondensadores.Enparticularsesuponequelafemproporcionaunvoltajeinstantneosinusoidal,delaformau = e V ) t ( V0(en notacin compleja), o bien,u = sen V ) t ( V0(en notacin real; siendo posible tambin expresarlaenfuncincoseno),siendo V0laamplituddevoltaje (quecorrespondealvalormximo delasealdevoltaje) yu lafasedelvoltajeproporcionado.Asuvez,lafase 0t o + e = ucomprendela frecuencia angularZ = 2Sv,siendov la frecuencia en Hertzo ciclos /seg.; Goes lafase inicial determinada por la eleccindel origenpara eltiempo.Relacinentre voltaje y corrienteen cadaelemento:L cia tan induc la de extremos los entre voltajedtdiL ) t ( V. C capacidad de r condensado del placas las entre voltaje dt ) t ( iC1) t ( VR a resistenci la de ohmico ento comportami un implica que ) t ( Ri ) t ( VLCR===}Se analizaran, detalladamente, dos tipos de ciruitos: circuito RLC serie y circuito RLC paralelo. Sin embargo, el procedimientoinferido es vlido para otros circuitos, como por ejemplo, el RL serie, RC serie, etc...7.1 RELACIN VOLTAJE - CORRIENTE.Aqu se analiza la relacin voltaje corriente que se establece en cada uno de los elementos elctricosconsiderados:Resistencia,CondensadoreInductancia.Encadacasoseconectael elemento respectivo a una fuente alterna |=i0e V ) t ( V (en notacin compleja), o bienu = sen V ) t ( V0(en notacin real), cont e = u y o0 = 0.7.1.1. ResistenciaI V 0 0j0j0R Ry RI V n comparaci pore RI e V) t ( Ri ) t ( V ) t ( VI V| = | = = = =| |(enlasexpresionesanterioressereemplazaelimaginariapuro1 i = por"jparaevitarconfusin con la notacin de corriente)70este resultado indicaque las ampIitudes de las seales alternas devoltajey corriente, satisfacen la relacin de Ohm, y que ambas seales estn siempre en fase, es decir, en notacin real ellas tienen la forma:t senRV) t ( it sen V ) t ( V0R0 Re =e =(7.1)7.1.1 InductanciaSea ) t ( jL 0 Lt jL 0 Le I ) t ( i e e V ) t ( Vo + e e= => @1 e ) b y LI V ) a : obtiene se igualandoe e LI j e LI j e IdtdL e V)2( jL 0 L 0j jL 0) t ( jL 0t ( jL 0t jL 0= e =e = e = =t+ oo e o + e o + e eDelresultadoa)sedefineunareactanciainductiva O e = L XL;adems,sedeterminaun desfase 2t = o entreelvoltajeylacorriente.As, elvoltajeylacorrienteinstantneaenuna inductancia quedan como:]|

\| t e =t e =e =2t senXV)2t ( sen I ) t ( it sen V ) t ( VLL 0L 0 LL 0 L(7.2)y se dice que "la corriente en la inductancia atrasa en 2tal voltaje7.1.3 Condensador) (C1XCIV: igualacin poreC jIe Vdt e IC1e VCC 0C 0) t ( j C 0 t jC 0) t ( jC 0t jC 0Oe= e=e==o + e eo + e e}siendo XC la reactancia capacitiva.71Adems,21 e)2( jt= o =t oes decir, tambin se registra una diferencia de fase de 2tentre el voltaje y la corriente instantnea en un condensador: Las seales quedan como:)2t ( senXV)2t ( sen I ) t ( it sen V ) t ( VCC 0C 0 CC 0 Ct+ e =t+ e =e =(7.3)7.2. CIRCUITORLC en serieLa aplicacinde la ley de las mallas deKirchhoffparavoltajesinstantneos, permiteescribir:) t ( V ) t ( V ) t ( V ) t ( VC L R+ + =reemplazandoloscorrespondientesvoltajes instantneosencadaunodeloselementos elctricos, se obtiene: }+ + = dt ) t ( iC1dt) t ( diL ) t ( Ri ) t ( Vlaquealderivarrespectodeltiempoyreordenar sustrminos, conducealaecuacindiferencialde segundo orden no homognea:dtdViC1dtdiRdti dL22= + + (7.4)Esta ecuacin diferencialtiene lamisma forma de la querigeel comportamientomecnicodeunosciladorarmnicoamortiguado(trminodisipativoend/dt)yforzado(segundomiembro funcin del tiempo).Por consiguientepodemos obtener la solucinI(t) para esta ecuacincomo suma de una solucinhomognea(consegundomiembronulo)yunasolucinparticular(deformasinusoidalo armnica). Lasolucinhomogneaseconocecomocorrientetransiente,mientrasquelasolucin particular o forzada se conoce como corriente permanente.72Sea t0 he I ) t ( i= lasolucinhomognea.Reemplazandotrminoatrminoenlaecuacin (7.1):0 I )C1R L (02= + + de donde se obtiene para :2212 45 5/ / /&J = Casos especiales:a)tL 2R0 he I ) t ( i real esLC1L 2R= =que representa una corrientecrticamente amortiguada.b)) t cos( e I ) t ( i complejo esLC1L 2RtL 2R0 ho + e = es real no nulo, que corresponde a una corriente subamortiguada.En cualquierade estoscasos el aportede esta corriente Ih(t) decae exponencialmenteconel tiempo (sehabladesolucin"transiente") y,enla prctica,la situacin fsicaquedardescritapor lasolucinparticular detipo armnico: Ii0e I ) t ( iu=ParacircuitosRLCserie,con ) t ( i00e V ) t ( Vo + e= (ennotacincompleja),obien, ) t ( sen V ) t ( V0 0o + e = (en notacin real), lasolucinarmnicapara lacorrienteelctrica (que tieneel mismo valorinstantneo a lo largode todo el circuito) es:) t ( sen I ) t ( i , bien o , e I ) t ( i0 0) t ( i00| + o + e = =| + o + edonde Ioeslaamplituddecorriente (valormximodelacorrienteinstantneaenelcircuito),y | + o + e = |0 It sufase.Notequeseestablecequeentreelvoltajedelafemylacorrienteenel circuito existe una diferencia de fase, tal que:| + | = |V I.7.3. REPRESENTACIN MEDIANTEDIAGRAMAS FASORIALES.Suponga una corriente en el circuito RLC serie de la forma t j0e I ) t ( ie= , entonces la ecuacin de voltajes instantneos queda como: )2t ( jC 0)2t ( jL 0t jR 0) t ( j0e V e V e V e Vt et+ ee | + e+ + =73Dividiendo port jeee igualandoentre s partesrealesy partesimaginariasen ambosmiembrosresulta:C 0 L 0 0R 0 0V V sen VV cos V = |= |(7.6)DividiendocadamiembroporIo, cuyovalorpermaneceigualalolargodelcircuito,ytomando 0 0ZI V = ,dondeZsedefinecomolaimpedanciaequivalente delcircuitoRLCserie,seobtieneel siguiente sistema de ecuaciones:C LX X ZsenR cos Z = |= |(7.7)Se define como fasor a un vector de magnitud igual a la amplitud de una seal alterna y que rota en torno de un punto fijo a una frecuencia e constante e igual a la frecuencia de la seal. Aprovechando que respecto de la fase |I, de la corriente, lafase del voltaje en la inductancia |L adelanta ent/2 yla fase del voltaje en el condensador |C atrasa en t/2, se pueden construir los siguiente diagrama de fasores: a) diagrama de voltajes, y b) diagrama de impedancias:a) diagrama de voltajes b) diagrama de impedanciasEl ngulo entre el fasor voltaje de la fuente alterna y el fasor corriente en el circuito, es igual al nguloentrela impedanciaZylaresistenciaR,yqueanteriormentesedenotcomo| (ngulode desfase entre el voltaje de la fuente alterna y la corriente).Cuando XL>XC el ngulo | es positivo, significa queelvoltajeadelantaalacorrienteensengulo,y se dice que el circuito es "inductivo. Por el contrario, si XL