APUNTES DE MATEMATICAS IV - tesoem.edu.mxtesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/2010.004.pdf · transformaciones lineales y sus representaci on matricial, los espa-cios asociados a los

APUNTES DE MATEMATICASIV

Autor:Jorge Garcıa Nieva

Tecnologico de Estudios Superioresdel Oriente del Estado de Mexico

29 de julio de 2010

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INTRODUCCION

El Algebra Lineal es el estudio de los espacios vectoriales yde los conceptos derivados de ellos, como son las combinacioneslineales, los conjuntos bases y la representacion de los elementosde un espacio vectorial mediante ellas, las bases ortogonales , lastransformaciones lineales y sus representacion matricial, los espa-cios asociados a los autovalores y vectores propios de una trans-formacion lineal(descomposicion espectral), etc.

El conocimiento de los conceptos anteriores y su interrelacion,proporciona a los estudiantes de las areas de ingenierıa una solidabase para trabajar en la modelacion matematica de los fenomenosfısicos dentro de sus respectivas areas.En efecto,la teorıa de losespacios vectoriales tiene amplias aplicaciones , interviniendo porejemplo en la resolucion matematica de problemas de optimizacion,como sucede con el metodo simplex en la Ingenierıa Industrial, obien en el tratamiento simplificado y elegante de la teorıa de laregresion lineal y multilineal, la estadıstica avanzada , la teorıadel control de calidad, la teorıa de la simulacion, la teorıa de lasecuaciones diferenciales,etc.

Por lo anterior, es muy importante proporcionar a los estudi-antes material didactico de calidad, que no se reduzca a la repro-duccion sin sentido de calculos, sino que tenga un nivel adecuadode la exposicion de la parte teorica. Es con este fin como el autorde estas notas ha recolectado una serie de resultados importantesdentro del Algebra Lineal que han sido considerados tradicional-mente como fundamentales por los especialistas de esta area y queson consideradas basicas dentro de un curso basico de eta asig-natura.

Estas notas comienzan con una exposicion acerca de los numeros

2

complejos, lo cual es importante para abordar el tema de las ma-trices ortogonales y sus aplicaciones en la descripcion geometri-ca de fenomenos fısicos,amen de que interviene en el tratamientoalgebraico de la diagonalizacion de la representacion de transfor-maciones lineales mediante matrices y su ulterior aplicacion en eltratamiento de sistemas dinamicos.

El capıtulo 2,trata de las matrices , sus propiedades y con-ceptos fundamentales asociados.Los conceptos estudiados en estecapıtulo tienen relacion directa con el capıtulo 3, el cual trata sobrelos sistemas lineales y su resolucion mediante matrices, expresa-do esto en el procedimiento de Gauss-Jordan , en el metodo deCramer y en el metodo de la inversa de la matriz de coeficientesde un sistema lineal. Cabe notar que los conceptos estudiados enlas unidades 2 y 3 son de amplia apliacacion en varios campos den-tro de la ingenierıa,como por ejemplo,las ecuaciones diferenciales,la Investigacion de operaciones y la estadıstica multivariable. Enla unidad 4 se estudian los espacios vectoriales, los cuales repre-sentan una generalizacion de la geometrıa plana y del espacio aespacios multidimensionales, ası como a espacios con objetos nonecesariamente geometricos, como lo son los espacios de matri-ces o de soluciones de un sistema de ecuaciones ya sea algebraicolineal o de ecuaciones diferenciales lineales , y que en ingenierıason de suma importancia para estudiar fenomenos o sistemas detipo lineal. En la unidad 5 se estudian las transformaciones lin-eales, las cuales aparecen en la practica en el analisis de objetosque se pueden ampliar, reducir,transladar o rotar; desde luego,suaplicacion a la robotica es ineludible,ası como en la programacionde graficos.

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Indice general

Introduccion 2

1 Numeros Complejos complejos. 61.1. Definicion y origen de los numeros complejos. . . 6

1.2. Operaciones fundamentales con numeros complejos 61.3. Potencias de “i”, modulo o valor absoluto de un

numero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Forma polar y exponencial de un numero complejo 121.5. Teorema de De Moivre, potencias y extraccion de

ra ıces de un numero complejo. . . . . . . . 13

2 Matrices y determinantes. 20

2.1. Definicion de matriz, notacion y orden. . . . . . . . 20

2.2. Clasificacion de las matrices. . . . . . . . . . . . 22

2.3. Operaciones con matrices. . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Transformaciones elementales por renglon. Escalonamientode una matriz. Rango de una matriz. . 38

2.5. Calculo de la inversa de una matriz. . . . . . . . . . 45

2.6. Definicion de determinante de una matriz. . . . . . 46

2.7. Inversa de una matriz cuadrada a traves de la adjunta. 49

2.8. Aplicacion de matrices y determinantes . . . . . . . 66

3 Sistemas de ecuaciones Lineales. 713.1. Definicion de sistemas de ecuaciones lineales. . . . . 713.2. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones lineales y

tipos de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3. Interpretacion geometrica de las soluciones. . . . . . 81

4

Indice general

3.4. Metodos de solucion de un sistema de ecuacioneslineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una ma-triz y regla de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.5. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4 Espacios vectoriales. 1284.1. Definicion de espacio vectorial. . . . . . . . . . . . 1284.2. Definicion de subespacio vectorial y sus propiedades. 1354.3. Combinacion lineal. Independencia lineal. . . . . . . 1404.4. Base y dimension de un espacio vectorial, cambio de

base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.5. Espacio vectorial con producto interno y suspropiedades. 1794.6. Base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de

Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5 15Transformaciones lineales. 1935.1. Introduccion a las transformaciones lineales. . . . . 1935.2. Nucleo e imagen de una transformacion lineal. . . . 2125.3. La matriz de una transformacion lineal 2055.4. Aplicacion de las transformaciones lineales: reflexion,dilatacion, contraccion y rotacion . . . . . . . 219

5

5

UNIDAD I. Los números complejosOrigen y definición. Operaciones con complejos. Forma polar. Teoremade DeMoivre. Potencias y raíces de complejos

1.1. Definición y origen de los números complejos.

Los números complejos aparecieron históricamente cuando Cardano,en1539,trató ecuaciones como x2 + 1 = 0 ,la cual no tiene solución en R.Posteriormente Gauss desarrolló la teoría con mayor formalidad. La impos-ibilidad de resolver estaclase de ecuaciones en el campo real crea la necesidadde ampliar R construyendo un supercuerpo conmutativo K en el que todoelemento admita una raíz cuadrada y, en consecu.encia, que la ecuaciónanterior tenga solución.Supongamos que K existe y sea i un elemento de K que satisface i2+1 = 0.

Vamos a ver que el subconjunto K0 de K engendrado por R∪ {i} y descrito porlos elementos de la forma

a+ bi

en donde a, b ∈ R es un cuerpo. Es evidente que

a+ bi = 0 =⇒a = b = 0

ya que de lo contrario, para b 6= 0 se deduciría que i es un elemento de R y estono es posible.

1.2. Operaciones fundamentales con númeroscomplejos.

Por otro lado, de las reglas de cálculo en el cuerpo conmutativo K y teniendoen cuenta que i2 = −1, se deduce

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ b) + (b+ d)iLas igualdades demuestran que:

a+ bi = c+ di ⇐⇒ a = b y c = d

y , que:

(a+ bi) · (a− bi) = a2 + b2

Puesto que en R se cumple

a2 + b2 = 0 ⇐⇒ a = b = 0

6

1. (R× R,+) es un grupo conmutativo de elemento neutro (0, 0), en el que(−a,−b) es el simétrico de (a, b).

2. La multiplicación es distributiva respecto a la suma .

3. (R × R − {(0, 0)}, ·) es un grupo conmutativo de elemento neutro (1, 0),en el que el simétrico de (a, b) esµ

a

a2 + b2,−b

a2 + b2

¶Como consecuencia, (R × R,+, ·) es un cuerpo conmutativo al que denom-

inaremos cuerpo de los números complejos y designamos porC. Un númerocomplejo es un elemento de C, o lo que es lo mismo, un par ordenado denúmeros reales.Identificamos el número real a con el número complejo (a, 0), pues la apli-

caciónf : R −→ C

a 7−→ (a, 0)

es un homomorfismo inyectivo entre (R,+, ·) y (C,+, ·). En efecto,f(a+ b) = (a+ b, 0)

= (a, 0) + (b, 0)

= f(a) + f(b)

f(a · b) = (ab, 0)

= (a, 0) · (b, 0)= f(a) · f(b)

yf(a) = f(b) ⇐⇒ (a, 0) = (b, 0) ⇐⇒ a = b

Como consecuencia, podemos considerar R como un subcuerpo de C, y entonceses natural afirmar que C es una extensión de R.Puesto que

(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0)es natural escribir (0, 1) = i, cumpliéndose entonces que i2 = −1, y, por tanto,−1 posee raíz cuadrada en C. Además, si b es un número real, entonces se cumple

(0, 1) · (b, 0) = (0, b)y podemos escribir ib en lugar de (0, b). De este modo, si z es el número complejo(a, b), entonces podemos escribirlo de manera única bajo la forma

(a, b) = (a, 0) + (0, b)

y, en consecuencia, es natural escribir z como a+ ib. Esta manera de representarun número complejo se llama forma binómica. Entonces, a a se le llama partereal de z y se escribe Re z = a, y a b se le llama parte imaginaria de z yse escribe Im z = b. Si b = 0, se dice que z es un número imaginario puro

UNIDAD I. LOS NÚMEROS COMPLEJOS

8

ysi a =0,sediceque z es un número real.Alnúmerocomplejo i se le llama unid-ad imaginaria. Las operaciones (22.7) y (22.8), pueden escribirse en forma binómica,operando como en el caso de números reales, sin más que tener en cuenta que i2

= −1.

(a+ ib) + (c+ id) = (a+ b) + i(b+ d)

(a+ ib) · (c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc)

Observación. El conjuntoC de los números complejos puede ordenarse de variasmaneras. Sin embargo, no existe relación de orden total sobre C de manera queC seauncuerpo ordenado(como lo es R), pues, 1=12 y −1= i2

son cuadrados en C y entonces los dos deberían ser mayores que cero, no siendonulos. Ahora bien, −1 y 1 son opuestos y, por tanto, no es posible que los dossean estrictamente mayores que cero.

El cuerpo de los números complejos dotado con las dos operaciones siguientes

(a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i(b+ d)

yλ(a+ ib) = λa+ iλb (λ ∈ R)

es un espacio vectorial sobre R. Es inmediato comprobarlo. Además, (1, i) for-man una base de este espacio, pues son generadores

a+ ib = a · 1 + b · i

Además , son linealmente independientes

λ · 1 + µ · i = 0 + 0 · i ⇐⇒ λ = µ = 0

La geometría ordinaria del plano proporciona una imagen adecuada del cuer-po de los números complejos. Consideremos en el plano euclídeo un origen O yunos ejes rectángulares Ox y Oy. Sean e1, e2 los vectores de la base ortonormalcorrespondiente. Entonces, entre el espacio vectorial de los vectores libres delplano y el cuerpo de los números complejos, considerado como espacio vectorialreal de base (1, i), existe un isomorfismo definido por la aplicación

x+ yi 7−→ xe1 + ye2

Al vector v = xe1+ ye2 corresponde un representante de origen O y extremo elpunto P de coordenadas (x, y) que se llama afijo del número complejo x+ iy.En forma breve, el vector imagen de z = x+ iy es el vector


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UNIDAD I.LOS NÚMEROS COMPLEJOS

v =−−−→OP , siendo P el afijo de z. De este modo, entre el plano euclídeo y el cuerpo

de los números complejos queda establecida una biyección que lo convierte enel plano complejo. Los complejos que son números reales tienen por afijoslos puntos del eje Ox, y los que son números imaginarios puros, los puntosdel eje Oy. Esta es la razón por la cual estos ejes se denominan entonces ejereal y eje imaginario del plano complejo, respectivamente. Sin embargo, estasdenominaciones son un abuso del lenguaje, pues, tanto el eje Oy como el planoOxy están descritos por puntos de coordenadas reales.

Esta representación geométrica de los números complejos permite interpretarfácilmente la adición de los números complejos: si P y Q son los afijos de z1 yz2 y se tiene,

−−−→OP +

−−−→OQ =

−−−→OR

entonces R es el afijo de z1 + z2, ya que para sumar vectores de origen O bastacon sumar sus componentes respecto de los ejes de coordenadas; obsérvese quez1 + z2 es por tanto la diagonal del paralelogramo que determinan z1 y z2.

En particular, los afijos de los números complejos z y −z son dos puntos simétri-cos respecto a O.

Con la representación geométrica, aparecen de manera natural los conceptosde módulo y argumento de un número complejo.

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1.3. Valor absoluto de un número complejo.

Se llama módulo de un número complejo z = x + iy y se denota por |z| ala norma del vector imagen correspondiente xe1 + ye2, es decir,

|z| = kxe1 + ye2k =px2 + y2

De las propiedades de la norma euclídea se deducen enseguida las propiedadesdel módulo de un número complejo:

1. |z| = 0 si y sólo si z = 02. |zz0| = |z| |z0|3. |z + z0| ≤ |z|+ |z0|

y de este modo la aplicación

C −→ R+z 7−→ |z|

es un valor absoluto en C. Podemos entonces llamar a |z| valor absoluto de z,pero la costumbre hace que se prefiera el término módulo.

Se llama argumento de un número complejo z = x+ iy no nulo y se denotapor arg z, la medida del ángulo θ que determinan los vectores e1 y xe1 +ye2.Recordemos que esta medida es un número real módulo 2π, es decir, si θ0 esuna medida de dicho ángulo, también lo son θ0 + 2kπ para k ∈ Z. Para evitarambigüedades, a menudo es conveniente utilizar el valor principal para elargumento de z, el cual se define mediante 0 ≤ θ < 2π.Si un número complejo z 6= 0 tiene módulo r y argumento θ, se denomina

forma polar omódulo-argumental de z al par (r, θ), representado a menudopor rθ. De este modo, tenemos

(r, θ) = (r0, θ0) ⇐⇒ r = r0 y θ0 = θ + k · 2π

Dado un número complejo z = x+ iy no nulo, entonces las siguientes relaciones

r =p x2+ y2

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y

θ = arctan³yx

´(x 6= 0)

permiten determinar la forma polar de z. Si x = 0, podemos tomar θ = π/2 siy > 0, y θ = 3π/2 cuando y < 0.

1.4.Formas trigonométrica y exponencial de un númerocomplejo

Dado un número complejo z = (r, θ) en forma polar, la siguiente figura

muestra que se cumplen las siguientes relaciones

x = r cos θ y y = r sin θ

de manera que cualquier número complejo no nulo de módulo r y argumento θse puede escribir como

z = r cos θ + ir sin θ

= r(cos θ + i sin θ)

que se llama forma trigonométrica de z. Obsérvese que si z 6= 0 está dado enforma binómica, entonces las siguientes relaciones

r =px2 + y2

ysin θ =

ypx2 + y2

y cos θ =xp

x2 + y2

permiten determinar la forma trigonométrica.La forma trigonométrica nos permite dar una interpretación geométrica del

producto de dos números complejos. En efecto, si

z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) y z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)

entonces

z1z2 = r1r2(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 + i sin θ2)

= r1r2 [(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)]

= r1r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

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Por tanto,|z1z2| = |z1| |z2| y arg(z1z2) = arg z1 + arg z2

Este resultado se interpreta de la siguiente manera: el afijo del producto z1z2se construye como tercer vértice del triángulo que tenga uno en O, otro enel afijo de z2 y sea semejante al triángulo que tiene como vértices homólogosrespectivamente el afijo de z1, O y el afijo de e1. Dicho de otro modo, se aplicauna homotecia de centro el origen y razón r2 al triángulo de vértices O, el afijode z1 y el de e1, y después un giro de centro el origen y ángulo θ2, formándoseel triángulo semejante de vértices O, el afijo de z1z2 y el de z2.De la misma forma se interpretan las relaciones siguientes¯

z−1 ¯ = |z|−1 y arg z−1 = − arg zque se obtienen al hacer en (22.9) z1 = z y z2 = z−1, y también

¯z1z2¯ = |z1|

|z2| y arg

µz1z2

¶= arg z1 − arg z2

1.5.Teorema de DeMoivre.Cálculo de potencias .Es claro que (22.9) se extiende por inducción a un producto de un número

finito de números complejos, cumpliéndose¯ nYi=1

zi

¯=

nYi=1

|zi| y argÃ nYi=1

zi

!=

nXi=1

arg zi

En particular, para n ∈ Z tenemoszn = rn [cos(nθ) + i sin(nθ)]

y si, además r = 1, entonces tenemos la fórmula de De Moivre

(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ

Puesto que

ex =Xn≥0

xn

n!

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para todo x ∈ R, podemos escribir formalmente

eiθ = 1+ iθ − θ2

2!− i

θ3

3!+

θ4

4!+ i

θ5

5!− · · ·

obteniendo

Re eiθ = 1− θ2

2!+

θ4

4!− · · · =

Xn≥0

(−1)n(2n)!

θ2n = cos θ

y

Im eiθ = θ − θ3

3!+

θ5

5!− · · · =

Xn≥0

(−1)n(2n+ 1)!

θ2n+1 = sin θ

De este modo, deducimos que

eiθ = cos θ + i sin θ

De aquí, como un número complejo z se expresa en forma trigonométrica como

z = r(cos θ + i sin θ)

tenemosz = reiθ

que se llama forma exponencial del número complejo z.

Números complejos conjugados

Con la ayuda de la representación geométrica vamos a considerar una trans-formación de C que deja invariante R, elemento a elemento. Esto resulta de lasimetría respecto del eje real entre afijos

es decir,C −→ C

z = x+ iy 7−→ z = x− iy

El complejo z se llama conjugado de z. Es claro que se trata de una biyeccióny, además, transforma la suma y el producto en la suma y producto de losconjugados. Se tiene entonces que

z = z z + z0 = z + z0

zz0 = zz0

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Es evidente que

Re z = Re z Im z = − Im z

Re z = 12(z + z) Im z = 1

2i (z − z)

También es claro que un número complejo z es real si y sólo si z = z, y esimaginario puro si y sólo si z + z = 0. Si z = x+ iy, entonces

zz = (x+ iy) · (x− iy)

= x2 + y2

es decir, zz es un número real positivo. Además, se cumple

|z| = √zzy, para todo número complejo z 6= 0,

z−1 =z

zz=

z

|z|2

En particular, de aquí se deduce que un número complejo z es unitario (tienemódulo 1) si y sólo si z−1 = z.

Ejemplo. Efectuar las siguientes operaciones con números complejos, ex-presando el resultado en forma binómica:

a) (i−1)3i+1 b) −5+3i

(1+i)2c) (2 + i)(8 + 5i)i d) 1+i

2+i ÷ −1+i−2+i

Solución: (a) Expresando z1 = −1 + i en forma polar tenemos

r1 =√2 y θ1 = arctan(−1) = 3π

4

Del mismo modo, para z2 = 1 + i tenemos

r2 =√2 y θ2 = arctan 1 =

π

4

Por tanto,

z31 = ((√2)3, 3 · 3π

4)

= (2√2,9π

4)

y, en consecuencia,

z31z2

= (2√2√2,9π

4− π

4)

= (2, 2π)

o bien, en forma binómicaz31z2= 2

15


(b) Tenemos

−5 + 3i(1 + i)2

=−5 + 3i(1− i)2

=−5 + 3i−2i

=−5i− 32

= −32− 52i

(c) Tenemos

(2 + i)(8 + 5i)i = (11 + 18i)i

= −18 + 11i(d) Tenemos

1 + i

2 + i÷ −1 + i

−2 + i=

(1 + i)(−2 + i)

(2 + i)(−1 + i)

=−3− i

−3 + i· −3− i

−3− i

=8 + 6i

10

=4

5+3

5i

Ejemplo Utilizando la fórmula de De Moivre, expresar cos 5x en términos desinx y cosx.Solución: Según esta fórmula, tenemos

(cosx+ i sinx)5 = cos 5x+ i sin 5x

Por tanto,cos 5x = Re(cosx+ i sinx)5

Mediante la fórmula del binomio de Newton, obtenemos

cos 5x = cos5 x− 10 cos3 x sin2 x+ 5 cosx sin4 x

1.6 . Ecuaciones polinómicas .Un número complejo z0 = r0(cos θ0 + i sin θ0) se llama raíz n-ésima de un

número complejo z = r(cos θ + i sin θ) si

(z0)n = z

Por consiguiente, tenemos£r0(cos θ0 + i sin θ0)

¤n= r(cos θ + i sin θ)

(r0)n(cosnθ0 + i sinnθ0) = r(cos θ + i sin θ)

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y, por tanto,(r0)n = r y nθ0 ≡ θ (mod 2π)

o de forma equivalente,

r0 = n√r y θ0 =

θ

n+2kπ

n(k = 0, 1, 2, ..., n− 1)

Como consecuencia, todo número complejo z = r(cos θ+ i sin θ) no nulo tiene nraíces n-ésimas

zk =n√r

µcos

θ + 2kπ

n+ i sin

θ + 2kπ

n

¶(k = 0, 1, 2, ..., n− 1)

Es evidente que se cumple

|zk+1| = |zk| y arg zk+1 ≡ arg zk + 2πn

(mod 2π)

y, por tanto, para n > 2, las n raíces n-ésimas de un número complejo no nuloson los afijos de los vértices de un polígono regular de n lados. Estos afijos seencuentran sobre la circunferencia de centro O y radio n

√r.

Observación. 1. En el caso particular de n = 2, tenemos

z0 =√r(cos

θ

2+ i sin

θ

2)

y

z1 =√r

·cos

µθ

2+ π

¶+ i sin

µθ

2+ π

¶¸=√r(− cos θ

2− i sin

θ

2)

= −z0es decir, encontramos que las dos raíces son opuestas y, como consecuen-cia, son los afijos de dos puntos simétricos respecto al origen.

2. En particular, las raíces n-ésimas de la unidad son las soluciones de laecuación zn = 1. Vienen dadas por la fórmula

zk = cos2kπ

n+ i sin

2kπ

n(k = 0, 1, 2, ..., n− 1)

En este caso el polígono que forman sus afijos está inscrito en la circun-ferencia de radio 1, siendo uno de sus vértices el punto z0 = 1.

3. Las raíces n-ésimas de un número complejo cualquiera son los productosde una de ellas por las raíces n-ésimas de la unidad, pues, si u0 es unaraíz particular de orden n de z, y u es una cualquiera de las otras, se tiene

un = un0 = z =⇒³

uu0

ń= 1

y el cociente u/u0 es una cualquiera de las raíces n-ésimas de la unidad.

17


Ejemplo. Calcular 5p1−√3i.

Solución: Expresando z = 1−√3i en forma polar, obtenemos

|z| = 2 y arg z = arctan(−√3) =

5π

3

En consecuencia, las raíces quintas de z vienen dadas por

zk =5√2

µcos

5π/3 + 2kπ

5+ i sin

5π/3 + 2kπ

5

¶(k = 0, 1, 2, 3, 4)

es decir,z1 =

5√2¡¡¡cos π3 + i sin π

3

¢z2 =

5√2 cos 11π15 + i sin 11π15

¢¢¢z3 =

5√2¡¡¡cos 17π15 + i sin 17π15

z4 =5√2 cos 23π15 + i sin 23π15

¢¢¢z5 =

5√2¡cos 29π15 + i sin 29π15

Ejemplo. Hallar las raíces de la ecuación

(1 + i)z3 − 2i = 0Solución: Es claro que

z3 =2i

1 + i

=2i

1 + i· 1− i

1− i

=2 + 2i

2= 1 + i

Por tanto, z = 3√1 + i. Para determinar las raíces cúbicas de este complejo,

determinamos primero el módulo y el argumento de z0 = 1 + i. Obtenemos

|z0| =√2 y arg z0 = arctan 1 =

π

4

Por lo tanto, tenemos

zk =3√2

µcos

π/4 + 2kπ

33 + i sin

π/4 + 2kπ

3

¶(k = 0, 1, 2)

es decir,z1 =

3√2 cos π

12 + i sin π12

z2 =3√2¡¡¡cos 9π12 + i sin 9π12

¢¢¢z3 =

3√2¡cos 17π12 + i sin 17π12

¢Ejemplo. Expresar en forma binómica e

√i.

Solución: Puesto que

√i = cos

π/2 + 2kπ

2+ i sin

π/2 + 2kπ

2(k = 0, 1)

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obtenemos√i =

(cos π4 + i sin π

4 =√22 + i

√22

cos 5π4 + i sin 5π4 = −√22 − i

√22

Por tanto,

e√i =

e√22 +i

√22 = e

√22 ei

√22 = e

√22

³cos

√22 + i sin

√22

é−√22 −i

√22 = e−

√22 e−i

√22 = e−

√22

³cos

√22 − i sin

√22

´

Ejemplo. Dados los números complejos z1 = −1 + i y z = −2 + 3i, cal-cular dos números complejos z2, z3 tales que los afijos de z1, z2 y z3 formen untriángulo equilatero de centro el afijo de z.Solución: Sabemos que los afijos de las raíces cúbicas de un número com-

plejo w son los vértices de un triángulo equilatero inscrito en una circunferenciade centro el origen y radio 3

p|w|. Puesto que nuestro triángulo ha de estar cen-trado en el afijo de z, deberemos efectuar una traslación de vector el asociado az. De este modo, se tiene

zi = z + 3√w (i = 1, 2, 3)

Como una de las raíces cúbicas de w es z1−z, podemos obtener las raíces cúbicasde w multiplicando z1− z por las raíces cúbicas de la unidad. Las raíces cúbicasde la unidad son

u1 = 1

u2 = cos2π3 + i sin 2π3 = − 12 + i

√32

u3 = cos4π3 + i sin 4π3 = − 12 − i

√32

Por tanto, las raíces cúbicas de w son

w1 = 1− 2iw2 = (1− 2i)

³³³−12 + i

√32

´= −12 +

√3 + i

³³³√32 + 1

´w3 = (1− 2i) −12 − i

√32 = −12 −

√3 + i −

√32 + 1

ý, en consecuencia, los números complejos que buscamos son

z1 = z + w1 = −1 + i

z2 = z + w2 = −52 +√3 + i

³³³√32 + 4

´z3 = z + w3 = −52 −

√3 + i −

√32 + 4

´

19

Unidad II. Matrices y Determinantes

2.1. Definición de matriz.Notación y orden.

Definicion 1.1. Sean m, n ∈ Z+. Una matriz real A de orden m por n (m × n) es un

arreglo bidimensional de numeros reales dispuestos en m filas y n columnas como sigue

A = (aij)m×n =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...

.....

...

.

am1 am2 · · · amn

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...

.....

...

.


donde aij ∈ R para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}, el cual es llamado componente

ij-esima de A.

Para cada i ∈ {1, . . . , m} la i-esima fila de A la denotaremos por A(i) y esta dada por

A(i) =[ai1 ai2 · · · ain

]

Para cada j ∈ {1, . . . , n} la j-esima columna de A la denotaremos por A(j) y esta dada por

A(j) =

a1j

a2j

...

amj

Cuando m = n, diremos que A es una matriz cuadrada de orden n, en este caso, las

componentes a11, a22, . . . , ann forman lo que llamaremos diagonal principal de A.

Cuando m = 1, diremos que A es una matriz fila y cuando n = 1, diremos que A es una

matriz columna.

La notacion A = (aij)m×n, significa que A es la matriz de orden m× n cuya ij-esima compo-

nente es aij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}.El conjunto formado por todas las matrices reales de orden m×n lo denotaremos porMm×n(R).

Operaciones con matrices. Matrices especiales . Operaciones porfilas. Matrices escalonadas. Determinantes

20

UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES

Observacion 1.1. Podemos considerar matrices sobre un campo K ,l, por ejem plo K =C, en lugar de matrices reales, en cuyo caso las componentes de las matrices son

elementos de K.

Observacion 1.2. Se debe tener cuidado cuando se usa la notacion (aij)m×n, el cambio de

ındices no significa que se trata de otra matriz, los ındices son “mudos”, esto es

(aij)m×n = (akr)m×n = (apq)m×n = (aji)m×n

Ejemplo 2.1.

1. A =

[−2 0

√5

23

4 1

]es una matriz real de orden 2×3, la componente 2, 1 de A es a2,1 = 2

3,

la fila 2 de A es A(2) =[

23

4 1], la columna 3 de A es A(3) =

[ √5

1

]

2. B =

−1 4 0

5 12 −3

0 2 −8

es una matriz cuadrada real de orden 3, las componentes de la

diagonal principal son a1,1 = −1, a2,2 = 12, a3,3 = −8.

3. La matriz In = (δij)n×n, donde δij =

{1 si i = j

0 si i 6= j, para cada i, j ∈ {1, . . . , n}, es llamada

matriz identidad de orden n, esto es,

In =

1 0 · · · 0

0 1. . . ...

...

.. . .

. . . 0

0 · · · 0 1

n×n

4. La matriz 0/m×n = (ξij)m×n, donde ξij = 0 para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n},es llamada matriz nula de orden m× n, es decir

0/m×n =

0 · · · 0.... ...

0 · · · 0

m×n

21


Cuando m = n, solo escribiremos 0/n en lugar de 0/n×n, es decir,

0/n =

0 · · · 0....

. . .....

0 · · · 0

n×n

�

Definicion 2.2 Sea A ∈Mn×n(R). Diremos que A = (aij)n×n es

1. Triangular superior si aij = 0 para i, j ∈ {1, . . . , n} con i > j.

2. Triangular inferior si aij = 0 para i, j ∈ {1, . . . , n} con i < j.

3. Diagonal si aij = 0 para i, j ∈ {1, . . . , n} con i 6= j, es decir, A es triangular superior e

inferior simultaneamente.

4. Escalar si es diagonal y existe λ ∈ R tal que aii = λ para i ∈ {1, . . . , n}.

Observacion 2.3. Una matriz cuadrada es triangular superior (respectivamente inferior) si y

solo si todas sus componentes bajo (respectivamente sobre) la diagonal principal son iguales a

cero.

Observacion 2.4. Cuando A ∈Mn×n(R) es diagonal y las componentes en la diagonal principal

son λ 1, λ 2, . . . , λ n∈ R, entonces escribiremos A = diag(λ 1, λ 2, . . . , λ n)

Ejemplo 2.2

1. Para cada n ∈ Z+, In y 0/n son matrices escalares, y por lo tanto diagonales y consecuente-

mente triangulares superior e inferior.

2. A =

−5 4 0 −7

0 3 12 5

0 0 2 1

0 0 0 0

es triangular superior.

3. A =

−5 0 0 0

0 4 0 0

0 −1 0 0

9 13 −3 8

es triangular inferior.

2.2.Clasificación de las matrices.

22

Unidad II.Matrices y Determinantes

4. A =

6 0 0 0

0 −3 0 0

0 0 −5 0

0 0 0 0

es diagonal, en cuyo caso podemos escribir A = diag(6,−3,−5, 0).

5. A =

8 0 0 0

0 8 0 0

0 0 8 0

0 0 0 8

es escalar, en cuyo caso podemos escribir A = diag(8, 8, 8, 8).

Definicion 2 .3 Sean A, B ∈ Mm×n(R). Diremos que A y B son matrices iguales, lo cual

denotaremos por A = B, si la componente ij-esima de A es igual a la componente ij-esima de

B para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}, es decir, si A = (aij)m×n y B = (bij)m×n,

diremos que A y B son iguales si

aij = bij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}

Observacion 2.5. Notese que para que dos matrices sean iguales, en primer lugar deben ser

del mismo orden.

Ejemplo 2.3 Si A =

[5 −1 0

−6 8 3

]; B =

5 7

0 y

−2 4

y C =

x 7

0 −3

−2 4

, entonces A 6= B

pues ni siquiera son del mismo orden; B = C si y solo si x = 5 e y = −3. �

El siguiente teorema es una consecuencia directa de la definicion de igualdad de matrices, su

demostracion la dejamos como ejercicio.

Teorema.2.1 Sean A, B ∈Mm×n(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes

1. A = B.

2. A(i) = B(i) para cada i ∈ {1, . . . , m}.

3. A(j) = B(j) para cada j ∈ {1, . . . , n}.

Demostracion. Hacerlo como ejercicio.

23


2.3. Operaciones con matrices.

En esta seccion definiremos dos operaciones con matrices que dotaran al conjunto Mm×n(R)

de una estructura algebraica conocida como espacio vectorial , dicha estructura sera tratada

en el captulo 2 del presente trabajo.

Definición 2.4. Sean A, B ∈Mm×n(R) con A = (aij)m×n y B = (bij)m×n. Definiremos la matriz

suma de A con B, como la matriz A + B ∈Mm×n(R) cuya ij-ésima componente viene dada por

aij + bij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}, esto es, si A + B = (cij)m×n, entonces

cij = aij + bij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}.

Observacion 2.6. Para poder sumar dos matrices estas deben ser del mismo orden.

Ejemplo 2.4. Si A =

4 −9 0 8

−7 3 5 −12

1 0 −6 2

y B =

−3 9 5 −4

1 −13 3 9

10 4 7 11

, entonces

A + B =

4 −9 0 8

−7 3 5 −12

1 0 −6 2

+

−3 9 5 −4

1 −13 3 9

10 4 7 11

=

4 + (−3) −9 + 9 0 + 5 8 + (−4)

−7 + 1 3 + (−13) 5 + 3 −12 + 9

1 + 10 0 + 4 −6 + 7 2 + 11

=

1 0 5 4

−6 −10 8 −3

11 4 1 13

�

Definicion 2.5. Sean A ∈ Mm×n(R) y α ∈ R (α es llamado escalar), con A = (aij)m×n.

Definiremos la multiplicacion de α por A (multiplicacion por escalar) como la matriz

α · A ó simplemente αA cuya ij-ésima componente es αaij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈{1, . . . , n}, esto es, si αA = (bij)m×n, entonces bij = αaij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1,. . . , n}.

Observacion 2.7. La notacion de multiplicacion por escalar es α · A o αA y no A · α ni Aα

, se debe colocar primero el escalar luego la matriz.

Observacion 2.8. Toda matriz escalar de orden n es un multiplo escalar de In, ms an, A

∈ Mn×n(R) es una matriz escalar si y solo si existe λ ∈ R tal que A = λIn.

24


Ejemplo 2.5. Sea A la matriz del ejemplo 2.4, entonces

2 · A = 2 ·

4 −9 0 8

−7 3 5 −12

1 0 −6 2

=

2 · 4 2(−9) 2 · 0 2 · 82(−7) 2 · 3 2 · 5 2(−12)

2 · 1 2 · 0 2(−6) 2 · 2

=

8 −18 0 16

−14 6 10 −24

2 0 −12 4

�

Teorema 2.2 Sean A, B, C ∈Mm×n(R) y α , β ∈ Rcualesquiera. Entonces

1. A + B = B + A (conmutatividad de la suma).

2. (A + B) + C = A + (B + C) (asociatividad de la suma).

3. A + 0/m×n = A = 0/m×n +A (neutro aditivo).

4. Existe una matriz D ∈Mm×n(R) tal que A + D = 0

/m×n = D + A (opuesto aditivo).

5. α(A + B) = α A + αB (distributividad de la multiplicacion por escalar respecto ala suma

matricial).

6. (α + β )A = α A + βA (distributividad de la multiplicacion por escalar respectoa la suma

escalar).

7. α(βA) = (αβ)A = β (αA) (asociatividad de la multiplicacion por escalar).

8. 1 · A = A (neutro de la multiplicacion por escalar).

Demostracion. Sean A = (aij)m×n, B = (bij)m×n y C = (cij)m×n.

1. Hagamos A + B = E = (eij)m×n y B + A = F = (fij)m×n. Por definicion de suma de

matrices, tenemos que para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}

eij = aij + bij = bij + aij = fij

Luego A + B = E = F = B + A (definicion de igualdad de matrices).

25


2. Hagamos A + B = E = (eij)m×n, (A + B) + C = E + C = F = (fij)m×n, B + C = G =

(gij)m×n y A + (B + C) = A + G = H = (hij)m×n. Ası que por definicion de suma de

matrices

fij = eij + cij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = aij + gij = hij

De donde (A + B) + C = F = H = A + (B + C) (definicion de igualdad de matrices).

3. Recordemos que 0/m×n = (ξij)m×n donde ξij = 0 para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈{1, . . . , n}. Ası que si A + 0/m×n = E = (eij)m×n, entonces, por definicion de suma de

matrices, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}

eij = aij + ξij = aij + 0 = aij

Por lo tanto A + 0/m×n = E = A y por conmutatividad

A + 0/m×n = A = 0/m×n +A

4. Definamos D = (dij)m×n con dij = −aij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}.Hagamos A + D = E = (eij)m×n. Entonces, por definicion de suma de matrices, para cada

i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}

eij = aij + dij = aij + (−aij) = 0

Por lo tanto A + D = E = 0/m×n y por conmutatividad

A + D = 0/m×n = D + A

5. Hagamos A + B = E = (eij)m×n, α (A + B) = α E = F = (fij)m×n, α A =G = (gij)m×n,

αB = H = (hij)m×n y α A + α B = G + H =P = (pij)m×n. Entonces, para cada

i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n} tenemos que

fij = αeij (definicion de multiplicacion por escalar)

= α(aij + bij) (definicion de suma de matrices)

= gij + hij (definicion de multiplicacion por escalar)

= pij (definicion de suma de matrices)

Luego

α(A + B) = F = P = α A + αB

26


6. Hagamos (α + β )A = E = (eij)m×n, α A = F = (fij)m×n, β A = G = (gij)m×n

F + G = H = (hij)m×n. En consecuencia, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}se tiene que

eij = (α+ β )aij (definicion de multiplicacion por escalar)

= αaij + β aij

= fij + gij (definicion de multiplicacion por escalar)

= hij (definicion de suma de matrices)

De donde

E = H = α A + βA

7. Hagamos β A = E = (eij)m×n, E = F = (fij)m×n y (αβ)A = G =(gij)m×n.

Ası que, por definicion de multiplicacion de por escalar, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada

j ∈ {1, . . . , n} obtenemos

fij = α eij = (αβ)A= α (βaij) = (αβ)aij = gij

Luego α (βA) = F = G = (αβ)A y en consecuencia

β(αA) = (βα)A = (αβ)A

Por lo tanto

α(βA) = (αβ)A = β (αA)

8. Hagamos 1 · A = E = (eij)m×n. Ası que al usar la definicion de multiplicacion por escalar,

se tiene que para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}

eij = 1 · aij = aij

En consecuencia

1 · A = E = A

27


2. Para cada matriz A ∈ Mm×n(R), existe una unica matriz D ∈ Mm×n(R) tal que A + D =

0/m×n = D + A, tal matriz D es llamada matriz opuesta de A y se denota por −A.

Demostracion. La parte 3 del teorema 1.2 garantiza que la matriz nula 0/m×n satisface que para

cada A ∈ Mm×n(R) se cumple que A + 0/m×n = A = 0/m×n +A. Ademas, la existencia de la matriz

D es garantizada en la parte 4 del mismo teorema. Solo faltarıa probar la unicidad de ambas

matrices.

1. Supongamos que P ∈ Mm×n(R) es tal que A + P = A = P + A para cada A ∈ Mm×n(R),

luego

P = P + 0/m×n (por la parte 3 del teorema 1.2)

= 0/m×n (hipotesis)

2. Sea A ∈Mm×n(R) cualquiera. Supongamos que existen D, E ∈Mm×n(R) tales que

A + D = 0/m×n = D + A (2.1)

A + E = 0/m×n = E + A (2.2)

En consecuencia

D = D + 0/m×n (teorema 1.2 parte 3)

= D + (A + E) (por la ecuacion 1.2)

= (D + A) + E (teorema 1.2 parte 2)

= 0/m×n +E (por la ecuacion 1.1)

= E (teorema 1.2 parte 3)

Teorema 2.4. Sean A, B, C ∈Mm×n(R) tales que A + B = A + C. Entonces B =C.

Demostracion. Hacer como ejercicio.

28


2. α 0/m×n = 0/m×n.

3. (−1)A = −A.

4. Si αA = 0/m×n, entonces α = 0 o A = 0/m×n.

Demostracion.

1. Sabemos que

0 · A + 0/m×n = 0 · A (¿por que?)

ademas

0 · A = (0 + 0)A = 0 · A + 0 · A

ası que

0 · A + 0 · A = 0 · A + 0/m×n

y por el teorema 1.4, se tiene que 0 · A = 0/m×n

2. Por un lado

α · 0/m×n = α · 0/m×n + 0m×n

por otro lado

α · 0/m×n = α(0/m×n + 0/m×n) = α · 0/m×n +α · 0/m×n

luego

α · 0/m×n + 0/m×n = α · 0/m×n +α · 0/m×n

y nuevamente, usando el teorema 1.4, tenemos que α 0/m×n = 0/m×n

3. Basta probar que A + (−1)A = 0/m×n, y por unicidad, obtendrıamos el resultado. Veamos

A + (−1)A = 1 · A + (−1)A (teorema 2.2 parte 8)

= (1 + (−1))A (teorema 2.2 parte 6)

= 0 · A= 0/m×n (por la parte 1)

Luego, por unicidad de la matriz opuesta, (−1)A = −A

29


4. Supongamos que αA = 0/m×n. Si α = 0, no hay nada que probar, supongamos entonces que

α 6= 0, ası que

A = 1 · A (teorema 2.2 parte 8)

= (α−1α)A

A = α −1(α A) (teorema 2.2 parte 7) α −1 0

(por hipotesis)

= 0 (por la parte 2)

Con lo cual, se concluye la prueba.

Definicion 2.6. Sean A, B ∈Mm×n(R). Definiremos A−B = A + (−B).

Ejemplo 2.6. Si A =

4 −12 0

−6 5 −3

6 −1 2

7 0 1

y B =

5 −10 −6

6 −1 11

4 0 5

−2 −6 −1

, entonces

A− B = A + (−B) =

4 −12 0

−6 5 −3

6 −1 2

7 0 1

+

−

5 −10 −6

6 −1 11

4 0 5

−2 −6 −1

=

4 −12 0

−6 5 −3

6 −1 2

7 0 1

+

−5 10 6

−6 1 −11

−4 0 −5

2 6 1

=

−1 −2 6

−12 6 −14

2 −1 −3

9 6 2

�

Producto de Matrices

A diferencia de las dos operaciones definidas en la seccion anterior, la multiplicacion de matrices

no se define de manera “natural”, como veremos luego, no por ello deja de ser importante dicha

operacion.

30


Definición.2.7. Sean A = (aij)m×n ∈ Mm×n(R) y B = (bjk)n×p ∈ Mn×p(R). Definiremos el pro-

ducto de A por B como la matriz C = (cik)m×p ∈ Mm×p(R), denotada por AB ó A · B, tal que

para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada k ∈ {1, . . . , p} se tiene que

cik =n∑

j=1

aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + · · ·+ ainbnk

Observacion 2.9Notese que para poder definir el producto AB, la cantidad de columnas d

A debe coincidir con la cantidad de filas de B, ademas, la matriz resultante, es una matriz cuya

cantidad de filas coincide con la cantidad de filas de A y su cantidad de columnas es igual a la

cantidad de columnas de B.

Ejemplo 2.7. Sean A =

[2 −1 0

0 3 1

]y B =

3 1 0

2 −1 −2

−4 −2 3

. Entonces

AB = A · B

=

[2 · 3 + (−1)2 + 0(−4) 2 · 1 + (−1)(−1) + 0(−2) 2 · 0 + (−1)(−2) + 0 · 3

0 · 3 + 3 · 2 + 1(−4) 0 · 1 + 3(−1) + 1(−2) 0 · 0 + 3(−2) + 1 · 3

]

=

[6− 2 + 0 2 + 1 + 0 0 + 2 + 0

0 + 6− 4 0− 3− 2 0− 6 + 3

]=

[4 3 2

2 −5 −3

]

Observacion 2.10. Notese que en el ejemplo anterior, el producto BA no esta definido, esto

nos dice que el producto de matrices no es conmutativo, mas aun, a pesar de que ambosproductos

estan definidos, AB y BA, no necesariamente son ambos del mismo orden, ademas, siendo ambos

productos del mismo orden, en cuyo caso necesariamente A y B deben ser cuadradas y del mismo

orden, las matrices AB y BA no tienen por que ser iguales, cuando esto ocurre, es decir, cuando

AB = BA, se dice que A y B son matrices que conmutan.

A continuacion enunciaremos un teorema que expone las principales propiedades del producto

de matrices

Teorema 2.6. Sean A ∈Mm×n(R); B, C ∈Mn×p(R); C ∈Mp×q(R) y α ∈ R. Entonces

1. (AB)D = A(BD) (asociatividad del producto de matrices).

2. A(B + C) = AB + AC (distributividad a izquierda del producto de matrices).

31


3. (B + C)D = BD + CD (distributividad a derecha del producto de matrices).

4. α(AB) = (αA)B = A(αB) (asociatividad del producto de matrices y la multiplicacion por

escalar).

5. ImA = A = AIn (neutros del producto de matrices).

6. B 0/p×q = 0/n×q y 0/m×n B = 0/m×p.

Demostracion. Sean A = (aij)m×n; B = (bjk)n×p; C = (cjk)n×p y D = (dkl)p×q.

1. Hagamos AB = E = (eik)m×p; (AB)D = ED = F = (fil)m×q; BD = G = (gjl)n×q y

A(BD) = AG = H = (hil)m×q. Entonces, usando la definicion de producto matricial, para

cada i ∈ {1, . . . , m} y cada k ∈ {1, . . . , p}

eik =

n∑

j=1

aijbjk

para cada j ∈ {1, . . . , n} y cada l ∈ {1, . . . , q}

gjl =

p∑

k=1

bjkdkl

y para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada l ∈ {1, . . . , q}

fil =

p∑

k=1

eikdkl; hil =

n∑

j=1

aijgjl

Luego

fil =

p∑

k=1

eikdkl =

p∑

k=1

n∑

j=1

aijbjk

)dkl =

p∑

k=1

n∑

j=1

aijbjkdkl =n∑

j=1

p∑

k=1

aijbjkdkl

=

n∑

j=1

aij

p∑

k=1

bjkdkl

)=

n∑

j=1

aijgjl = hil

Por lo tanto, usando la definicion de igualdad de matrices

(AB)D = F = H = A(BD)

32


2. Hagamos B + C = E = (ejk)n×p; A(B + C) = AE = F = (fik)m×p; AB = G =(gik)m×p;

AC = H = (hik)m×p y AB + AC = G + H = R = (rik)m×p. Entonces, para cada i ∈{1, . . . , m} y cada k ∈ {1, . . . , p}

fik =

n∑

j=1

aijejk (definicion de producto de matrices)

=n∑

j=1

aij(bjk + cjk) (definicion de suma de matrices)

=

n∑

j=1

(aijbjk + aijcjk) =

n∑

j=1

aijbjk +

n∑

j=1

aijcjk

= gik + hik (definicion de producto de matrices)

= rik (definicion de suma de matrices)

En consecuencia

A(B + C) = F = R = AB + AC

3. Analogo a la demostracion de la parte 2.

4. Sean AB = E = (eik)m×p; α (AB) = α E = F = (fik)m×p; α A = G =(gij)m×n y (α A)B =

GB = H = (hik)m×p. Entonces, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada k ∈ {1, . . . , p}

fik = α eik

(definici on eee multiplicaci ooon por escalar)

= α

n∑

j=1

aijbjk (ddd finicion de pr ducto de matrices)

=

n∑

j=1

α(aijbjk) =

n∑

j=1

(αaij)bjk

=n∑

j=1

gijbjk (definicion de multiplicacion por escalar)

= hik (definicion de producto de matrices)

De donde α (AB) = F = H = (αA)B. De manera analoga se prueba que α (AB) = A(αB),

ası que

α(AB) = (αA)B = A(αB)

(2.3)

33


Hagamos AIn = E = (eik)m×n. Entonces, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada k ∈ {1, . . . , n}

eik =n∑

j=1

aijδjk (definicion de producto de matrices)

= ai1δ1k + · · ·+ ai(k−1)δ(k−1)k + aikδkk + ai(k+1)δ(k+1)k + · · ·+ ainδnk

= ai1 · 0 + · · ·+ ai(k−1) · 0 + aik · 1 + ai(k+1) · 0 + · · ·+ ain · 0 (por 1.3)

= aik

Por lo tanto AIn = E = A, analogamente puede probarse que ImA = A, en consecuencia

AIn = A = ImA

Ejercicio 2.1. Pruebe que si A ∈ Mm×n(R) y B ∈Mn×p(R), entonces

1. AB =[

AB(1) AB(2) · · · AB(p)]

(desarrollo por columnas del producto AB), es decir,

la k-esima columna de AB, que es (AB)(k), es igual a A por la k-esima columna de B,

AB(k), para cada k ∈ {1, . . . , p}.

2. AB =

A(1)B

A(2)B....

A(m)B

(desarrollo por filas del producto AB), es decir, la i-esima fila de AB,

que es (AB)(i), es igual a la i-esima fila de A por B, A(i)B, para cada i ∈ {1, . . . , m}.

Definicion 2.8. Una matriz N ∈ Mn×n(R) es llamada nilpotente si existe p ∈ N tal que

Np = 0/n, ademas, si p es tal que Np−1 6= 0/n, diremos que N es nilpotente de orden p.

34


Observacion 2.11. La matriz nula de orden n es nilpotente y conveninos en que es nilpotente

de orden 0.

Ejemplo 2.8. Las siguientes matrices son nilpotentes

N1 =

−1 1 0 0

−1 0 1 0

−1 0 1 0

−1 0 1 0

; N2 =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

N1 es de orden 3 y N2 es de orden 4 (Probarlo como ejercicio)

Transposicion de Matrices

Definicion 2.9. Sea A = (aij)m×n ∈Mm×n(R). Definiremos la transpuesta o traspuesta de

A como la matriz AT = (bji)n×m ∈Mn×m(R) tal que

bji = aij para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}

Ejemplo 2.9. Sea

A =

−2 5 0 7

3 0 1 −6

−5 12 −2 9

Entonces

AT =

−2 3 −5

5 0 12

0 1 −2

7 −6 9

�

Observacion 2.12. Notese que las filas de A “pasan” a ser las columnas de AT y las columnas

de A “pasan” a ser las filas de AT , mas propiamente

A(i)

)T= AT

)(i)para cada i ∈ {1, . . . , m}

A(j))T

= AT)(j)

para cada j ∈ {1, . . . , n}

Teorema 2.7. Sean A, B ∈Mm×n(R), C ∈Mn×p(R) y α ∈ R. Entonces

35


1. AT)T

= A (propiedad de involucion de la transposicion de matrices)

2. (A + B)T = AT + BT (transpuesta de la suma)

3. (αA)T = αAT (transpuesta de la multiplicacion por escalar)

4. (AC)T = CT AT (transpuesta del producto matricial)

5. (In)T = In y (0/m×n)T = 0/n×m

Demostracion. Sean A = (aij)m×n; B = (bij)m×n y C = (cjk)n×p.

1. Hagamos AT = D = (dji)n×m y AT)T

= DT = E = (eij)m×n. Entonces, para cada

i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}, por definicion de transpuesta

eij = dji = aij

Luego

AT)T

= E = A

2. Sean A + B = D = (dij)m×n; (A + B)T = DT = E = (eji)n×m; AT = F = (fji)n×m;

BT = G = (gji)n×m y AT +BT = F+G = H = (hji)n×m. Entonces, para cada i ∈ {1, . . . , m}y cada j ∈ {1, . . . , n}

eji = dij (definicion de transpuesta)

= aij + bij (definicion de suma de matrices)

= fji + gji (definicion de transpuesta)

= hji (definicion de suma de matrices)

Por lo tanto

(A + B)T = E = H = AT + BT

3. Hagamos α A = D = (dij)m×n; (αA)T = DT = E = (eji)n×m; AT = F = (fji)n×m;

y α AT = αF = G = (gji)n×m. Entonces, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n}

eji = dij (definicion de transpuesta)

= αaij (definicion de multiplicacion por escalar)

= αfji (definicion de transpuesta)

= gji (definicion de multiplicacion por escalar)

36


Ası que

(αA)T = E = G = αAT

4. Sean AC = D = (dik)m×p; (AC)T = DT = E = (eki)p×m; CT = F = (fkj)p×n; AT =

G = (gji)n×m y CT AT = FG = H = (hki)p×m. Entonces, para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada

k ∈ {1, . . . , p}

eki = dik (definicion de transpuesta)

=

n∑

j=1

aijcjk (definicion de producto)

=n∑

j=1

gjifkj (definicion de transpuesta)

=

n∑

j=1

fkjgji = hki (definicion de producto)

De donde

(AC)T = E = H = CT AT

Definicion 2.10. Sea A ∈Mn×n(R). Diremos que

1. A es simetrica si AT = A.

2. A es antisimetrica si AT = −A.

Ejemplo 2.10.

1. In es simetrica para todo n ∈ N.

2. 0/n es simetrica y antisimetrica para todo n ∈ N ¿existe alguna otra matriz que sea simetrica

y antisimetrica simultaneamente?

3. La matriz

A =

0 5 7 −6

−5 0 −4 8

−7 4 0 12

6 −8 −12 0

37


es antisimetrica pues

AT =

0 −5 −7 6

5 0 4 −8

7 −4 0 −12

−6 8 12 0

= −A

4. La matriz

A =

5 −9 3 0

−9 2 −1 13

3 −1 0 7

0 13 7 −3

es simetrica ya que

AT =

5 −9 3 0

−9 2 −1 13

3 −1 0 7

0 13 7 −3

= A

�

Teorema 2.8. Sea A ∈Mn×n(R). Entonces

1. A es simetrica si y solo si aij = aji para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}.

2. A es antisimetrica si y solo si aij = −aji para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . ,n}.

3. Si A es antisimetrica, entonces aii = 0 para cualquiera i ∈ {1, . . . , n}.

Demostracion. ¡Ejercicio!

2.4 Operaciones Elementales por Filas.Escalonamientode una matriz.

Las operaciones elementales por filas son herramientas usadas con mucha frecuencia en

la resolucion de los sistemas de ecuaciones lineales al igual que en calculo de la inversa

de una matriz cuadrada . Estas operaciones las usaremos a lo largo de todo el curso, por ello

deben ser manejadas con la mayor perfeccion posible por parte del estudiante que desee aprender

la materia. Comencemos por definir dichas operaciones.

Denotemos por Fm(R) el conjunto formado por todas las matrices reales con m filas.

38


Definicion 2.11. Una operacion elemental por filas (OEF) es una funcion f : Fm(R) →Fm(R) la cual es de uno de los siguientes tipos

OEF Tipo 1. Si f(A) = B, entonces existen s ∈ {1, . . . , m} y α 6= 0 tales que B(i) = A(i)

para cada i ∈ {1, . . . , m}, con i 6= s, y ademas B(s) = αA(s), esto es, una de lasfilas

de A es multiplicada por un escalar no nulo y el resto de las filas permanecen iguales.

f(A) = f

A(1)

...

A(s−1)

A(s)

A(s+1)

...

.

A(m)

=

A(1)

...

.

A(s−1)

αA(s)

A(s+1)

...

A(m)

= B

Por comodidad, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos AFs → αFs

→B.

OEF Tipo 2. Si f(A) = B, entonces existen s, t ∈ {1, . . . , m}, con s 6= t, y α ∈ R tales

que B(i) = A(i) para cada i ∈ {1, . . . , m}, con i 6= s, y ademas B(s) = A(s) + αA(t),

es decir, a una fila de A le sumamos un multiplo escalar de alguna otra fila de A,

distinta de la primera, dejando el resto de las filas intactas.

f(A) = f

A(1)

...

A(s−1)

A(s)

A(s+1)

...

.

A(m)

=

A(1)

...

A(s−1)

A(s) + αA(t)

A(s+1)

...

.

A(m)

= B

Al igual que antes, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos AFs → Fs + αFt

→B.

OEF Tipo 3. Si f(A) = B, entonces existen s, t ∈ {1, . . . , m} tales que B(i) = A(i) para

cada i ∈ {1, . . . , m}, con i 6= s e i 6= t y ademas B(s) = A(t) y B(t) = A(s), dicho de

otra manera, intercambiamos dos filas de A y dejamos el resto sin alterar.

39


f(A) = f

A(1)

...

.

A(s−1)

A(s)

A(s+1)

...

.

A(t−1)

A(t)

A(t+1)

...

.

A(m)

=

A(1)

...

A(s−1)

A(t)

A(s+1)

...

.

A(t−1)

A(s)

A(t+1)

...

A(m)

= B

Nuevamente, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos AFs ↔ Ft

→B.

Observacion 1.1.3. Notese que si A ∈ Mm×n(R) y f : Fm(R)→ Fm(R) es una OEF,entonces

f(A) ∈Mm×n(R).

Ejercicio 2.1.3. Pruebe que toda OEF f : Fm(R) → Fm(R) es una funcion invertible y quesu

inversa f−1 : Fm(R)→ Fm(R) es tambien una OEF del mismo tipo que f .

Ejemplo 2.1.1. Sea

A =

−2 4 −5

6 3 4

2 −1 8

−6 21 −15

Entonces

A =

−2 4 −5

6 3 4

2 −1 8

−6 21 −15

F1 ↔ F3→(OEF 3)

2 −1 8

6 3 4

−2 4 −5

−6 21 −15

F4 → 13F4→

(OEF 1)

2 −1 8

6 3 4

−2 4 −5

−2 7 −5

F3 → F3 + F1→(OEF 2)

2 −1 8

6 3 4

0 3 3

−2 7 −5

= B

40


�

Observación 2.14. Se pueden aplicar más de dos operaciones por filas en un solo paso, lo único

que debemos cuidar es no transformar, en el mismo paso, una fila más de una vez y no transform-

ar, en el mismo paso, una fila que va ser usada para transformar a otra(s).

Observación 2.15. De manera análoga a como se definieron las operaciones elementales por

filas, pueden definirse operaciones elementales por columnas (OEC), sin embargo, estas últimas

sólo se usarán para el cálculo de determinantes y no para la resolución de sistemas de ecuaciones

lineales ni para hallar la inversa de una matriz cuadrada, en estos últimos dos problemas sólo

usaremos las operaciones elementales por filas.

Definicion 2.12. Sea A = (aij)m×n ∈Mm×n(R). Diremos que A es una matriz

Escalonada

1. Si todas las filas nulas de A, si las hay, estan ubicadas en las útimas posiciones, esto es,

si A(i) es una fila no nula de A, entonces A(s) también es no nula para cada 1 ≤ s < i.

2. Si A(i) y A(i+1) son dos filas no nulas de A, entonces la primera componente no nula de

A(i) (contada de izquierda a derecha) está mas a la izquierda de la primera compon-

ente no nula de A(i+1), es decir, si j, k ∈ {1, . . . , n} son tales que aij 6 = 0; a(i+1)k 6 = 0 y

ais = 0 = a(i+1)t para cada 1 ≤ s < j y cada 1 ≤ t < k, entonces j < k.

Reducida por Filas (RF)

1. Si A(i) es una fila no nula de A, entonces la primera componente no nula de A(i) es

igual a 1 (uno), dicha componente es llamada pivote, es decir, si j ∈ {1, . . . , n} es

tal que aij 6= 0 y ais = 0 para cada 1 ≤ s < j, entonces aij = 1.

2. Si A(j) es una columna de A que tiene un pivote, entonces el resto de las componentes

de A(j) son iguales a 0 (cero), esto es, si i ∈ {1, . . . , m} es tal que aij = 1 y ais = 0

para cada 1 ≤ s < j, entonces akj = 0 para cada k ∈ {1, . . . , m} con k 6= i.

Escalonada Reducida por Filas (ERF) si es escalonada y reducida por filas simultanea

mente.

Ejemplo 2.12.

41


1. Para cualesquiera m, n ∈ Z+, In y 0/m×n son matrices escalonadas reducidas por filas.

2. E =

2 −1 3 8 3

0 5 1 6 −4

0 0 0 8 −7

0 0 0 0 0

es escalonada pero no es reducida por filas.

3. R =

1 0 0 7

0 0 0 0

0 0 1 −9

0 0 0 6

0 1 0 1

es reducida por filas pero no es escalonada.

4. F =

1 0 −5 0 8

0 1 3 0 −1

0 0 0 1 −2

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

es escalonada reducida por filas.

�

Ejercicio 2.4. Sea A ∈ Mm×n(R). Pruebe que:

1. Si A es una matriz escalonada, entonces la cantidad de filas no nulas de A es, a lo sumo,

el mınimo entre m y n.

2. Si A es una matriz RF, entonces la cantidad de pivotes de A es, a lo sumo, el mınimo entre

m y n.

Ejercicio 2.5. Pruebe que si A ∈Mn×n(R) es una matriz escalonada, entonces A es triangular

superior.

Definicion 2.13. Sean A, B ∈ Mm×n(R). Diremos que B es equivalente por filas a A si

existen OEF f1, f2, . . . , fr : Fm(R)→ Fm(R) tales que B = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A)

Ejemplo 2.13. Consideremos las matrices A y B del ejemplo 1.11. Entonces B es equivalente

por filas a A (¿por que?). �

Teorema 2.9. Sean A, B, C ∈Mm×n(R). Tenemos que

42


1. A es equivalente por filas a A.

2. Si B es equivalente por filas a A, entonces A es equivalente por filas a B.

3. Si C es equivalente por filas a B y B es equivalente por filas a A, entonces C es equivalente

por filas a A.


Observacion 2.16. La parte 2 del teorema 2.9, nos permite decir A y B son equivalentes por

filas en lugar de B es equivalente por filas a A o A es equivalente por filas a B.

Teorema 2.10. Toda matriz A ∈Mm×n(R) es equivalente por filas a

1. Una matriz escalonada.

2. Una matriz reducida por filas.

3. Una unica matriz escalonada reducida por filas, la cual llamaremos la forma escalonada

reducida por filas (FERF) de A.

Demostracion.

Observacion 2.17. A ∈Mn×n(R) es equivalente por filas a In si y solo si In es la FERF de A.

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento a seguir para hallar la FERF de una matriz.

Ejemplo 2.14. Hallar la FERF de

A =

6 −1 −15 2 13

−1 0 2 −1 −3

0 −3 −9 0 9

7 1 −11 3 10

Solucion.

A =

6 −1 −15 2 13

−1 0 2 −1 −3

0 −3 −9 0 9

7 1 −11 3 10

F1 ↔ F2→

−1 0 2 −1 −3

6 −1 −15 2 13

0 −3 −9 0 9

7 1 −11 3 10

43


F1 → −F1→

1 0 −2 1 3

6 −1 −15 2 13

0 −3 −9 0 9

7 1 −11 3 10

F2 → F2 − 6F1→F4 → F4 − 7F1

1 0 −2 1 3

0 −1 −3 −4 −5

0 −3 −9 0 9

0 1 3 −4 −11

F2 → −F2→

1 0 −2 1 3

0 1 3 4 5

0 −3 −9 0 9

0 1 3 −4 −11

F3 → F3 + 3F2→F4 → F4 − F2

1 0 −2 1 3

0 1 3 4 5

0 0 0 12 24

0 0 0 −8 −16

F3 → 112

F3→

1 0 −2 1 3

0 1 3 4 5

0 0 0 1 2

0 0 0 −8 −16

F1 → F1 − F3

F2 → F2 − 4F3→F4 → F4 + 8F3

1 0 −2 0 1

0 1 3 0 −3

0 0 0 1 2

0 0 0 0 0

Ası que la FERF de A es

C =

1 0 −2 0 1

0 1 3 0 −3

0 0 0 1 2

0 0 0 0 0

Definicion 2.14. Una matriz E ∈ Mn×n(R) es llamada matriz elemental si existe una OEF

f : Fn(R)→ Fn(R) tal que E = f(In), es decir, E se obtiene de In por medio de una unicaOEF.

Ejemplo 1.15.

1. E1 =

1 0 0 0

0 1 0 0

−5 0 1 0

0 0 0 1

es elemental, pues

I4 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

F3 → F3 − 5F1→

1 0 0 0

0 1 0 0

−5 0 1 0

0 0 0 1

= E1

44

.UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES

2. E2 =

1 0 0

0 4 0

0 0 1

es elemental, ya que

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

F2 → 4F2→

1 0 0

0 4 0

0 0 1

= E2

3. E3 =

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 0

es elemental, dado que

I5 =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

F2 ↔ F5→

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 0

= E3

�

Teorema 2.11. Sean A ∈Mm×n(R), B ∈Mn×p(R) y f : Fm(R)→ Fm(R) una OEF. Entonces

1. f(AB) = f(A)B.

2. (f(A))(j) = f A(j))

para cada j ∈ {1, . . . , n} de donde

f(A) =[f(A(1)

)f A(2)

)· · · f A(n)

)]

es decir, la fila j-esima de f(A) es igual a f aplicada a la j-esima fila de A.

Otra consecuencia del mismo teorema, en conjuncion con el corolario anterior,es la siguiente.

Corolario 2.13. Sean A, B ∈ Mm×n(R) dos matrices equivalentes por filas.Entonces existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈Mm×m(R) tales que B =E1E2 · · ·ErA

45

2.5. Inversa de una matriz

Ası que la unica solucion del sistema homogeneo Bx = 0/n×1 es la trivial, y en virtud del teorema

1.22, B es invertible. Ademas

A = AIn (teorema 1.6 parte 5)

= A(BB−1) (definicion de matriz inversa)

= (AB)B−1 (teorema 1.6 parte 1)

= InB−1 (por hipotesis)

= B−1 (teorema 1.6 parte 5)

Por lo tanto BA = In (definicion de inversa) y como consecuencia de la parte 1 del teorema 3.20

A−1 = (B−1)−1 = B.

Observacion 3.22. El teorema 1.23 nos permite garantizar que A−1 = B solo con probar que

AB = In o BA = In.

Ejercicio 3.7. Sean A, B ∈Mn×n(R). Pruebe que si AB es invertible, entonces A y B tambien

son invertibles

2.6. Definición de determinante de una matriz

En esta seccion trataremos los determinantes y algunas de sus propiedades, en primer lugar

definiremos los determinantes de orden 2, continuando luego con los determinantes de

orden 3, para finalmente definir los determinantes de orden n.

Definicion 2.17. Sea A =

[a11 a12

a21 a22

]∈M2×2(R). Definiremos el determinante de A, como

el numero real det(A) = |A|, dado por

det(A) = |A| =∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣= a11a22 − a12a21

este tipo de determinante se suele llamar determinante de orden 2.

Ejemplo 2.22. Hallar det(A) para A =

[−6 5

−7 6

]

46


Solucion. det(A) = ∣∣∣−6 5

−7 6 ∣∣∣= (−6)6− 5(−7) = −36 + 35 = −1

Ejercicio 2.8. Pruebe que A =

[a11 a12

a21 a22

]∈ M2×2(R) es invertible si y solo si det(A) 6= 0.

Ademas, si A es invertible, entonces A−1 =1

det(A)

[a22 −a12

−a21 a11

]

Definicion 2.18. Dada la matriz

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∈M3×3(R)

Definiremos el determinante de A, denotado por det(A) o |A|, como

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣

∣∣∣= a11

∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣− a12

∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣+ a13

∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣

este tipo de determinante es llamado determinante de orden 3.

Observacion 2.23. Notese que estamos definiendo el determinante de orden 3 en funcion de

determinantes de orden 2.


2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

Solucion.

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣

∣∣∣= 2

∣∣∣ 1 5

0 6

∣∣∣− (−3)∣∣∣ −6 5

−7 6

∣∣∣+ (−1)

∣∣∣ −6 1

−7 0

∣∣∣

= 2(6− 0) + 3(−36 + 35)− (0 + 7) = 2

47


Observacion 2.24. Una forma muy sencilla recordar la formula de determinantes de orden 3

es la siguiente

∣∣∣

a11 a12 a13

ց ւa21 a22 a23

ցւ ցւa31 a32 a33

∣∣∣

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21


ւ ցa21 a22 a23

←{

no es parte del determinante, es solo para

ayudar a recordar la formula

Los productos generados por las flechas rojas (ց) se colocan con signo positivo, los que son

generados por las flechas azules (ւ) se colocan con signo negativo.

Puede verificar que la igualdad anterior es cierta. Tambien se puede hacer el calculo si en lugar

de colocar las dos primeras filas al final, se colocan las dos ultimas filas en la parte superior, las

dos primeras columnas a la derecha o las dos ultimas columnas a la izquierda.

Este metodo se conoce como la metodo de Sarrus para el calculo de determinantes de orden

3 y solo es aplicable a determinantes de orden 3.

Ejemplo 2.24. Calculemos el determinante del ejemplo 2.23 usando este metodo.

Solucion.

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣ = 2 · 1 · 6 + (−6)0(−1) + (−7)(−3)5− (−1)1(−7)− 5 · 0 · 2− 6(−3)(−6)

2 −3 −1

−6 1 5

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣

∣∣∣= 12 + 0 + 105− 7− 0− 108 = 2

Compare este resultado con el obtenido en el ejemplo 2.23.

48


2.7. Propiedades de los determinantes.

Definicion 2.19. Sea A =∈ Mn×n(R). Para cada i, j ∈ {1, . . . , n} definamos la matriz MAij ∈

M(n−1)×(n−1)(R) que se obtiene de A al eliminar su i-esima fila y su j-esima columna, dicha

matriz es llamada ij-esimo menor de A.

Observacion 2.25. Si en lugar de eliminar una fila y una columna de A, eliminamos dos filas

y dos columnas de A, la matriz que se obtiene se denomina menor de segundo orden de A,

estas matrices se denotan por MAij,kl, lo que significa que se han eliminado las filas i e j

(con i 6= j) y las columnas k y l (con k 6= l) de A. De manera analoga se pueden definir

menores de

A ∈Mn×n(R) hasta de orden n− 1.

Observacion 2.26. Es claro que MAij,kl = MA

ji,lk = MAji,kl = MA

ij,lk para cada i, j, k, l ∈ {1, . . . ,n} con i 6= j y k 6= l.

Ejemplo 2.25. Consideremos la matriz

A =

−9 2 −1 4

0 8 −5 7

1 6 3 −6

−4 1 0 3

Hallar MA23; MA

42 y MA22.

Solucion.

MA23 =

−9 2 4

1 6 −6

−4 1 3

; MA

42 =

−9 −1 4

0 −5 7

1 3 −6

y MA

22 =

−9 −1 4

1 3 −6

−4 0 3

Definicion 2.20. Sea A ∈ Mn×n(R). Para cada i, j ∈ {1, . . . , n} definiremos el ij-esimo co-

factor de A como el numero real CAij dado por

CAij = (−1)i+j det MA

ij

Ejemplo 2.26. Para la matriz del ejemplo 2.25 se tiene que

49


CA23 = (−1)2+3 det MA

23 = −∣∣∣

−9 2 4

1 6 −6

−4 1 3∣∣∣= −(−162 + 4 + 48 + 96− 54− 6) = 74

CA42 = (−1)4+2 det MA

42 =

∣∣∣

∣∣∣

−9 −1 4

0 −5 7

1 3 −6

∣∣∣

∣∣∣= −270 + 0− 7 + 20 + 189− 0 = −68

CA22 = (−1)2+2 det MA

22 = ∣∣∣

−9 −1 4

1 3 −6

−4 0 3

∣∣∣ = −81 + 0− 24 + 48− 0 + 3 = −54

�

Pasemos ahora a definir los determinantes de orden n. En primer lugar notemos que la formula

dada en la definicion 2.18 puede ser escrita como

det(A) = |A| = a11CA11 + a12C

A12 + a13C

A13

La idea es generalizar esta formula para una matriz A de orden n.

Definicion 2.21. Sea A ∈ Mn×n(R). Definiremos el determinante de A, determinante de

orden n, como el numero real det(A) = |A| dado por

det(A) = |A| =∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...

.....

. . .....

an1 an2 · · · ann

∣∣∣=

n∑

j=1

a1jCA1j =

n∑

j=1

a1j(−1)1+j det MA1j

)

Ejemplo 2.27. Hallar el determinante de la matriz del ejemplo 2.25

Solucion.

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

∣

−9 2 −1 4

0 8 −5 7

1 6 3 −6

−4 1 0 3

∣∣∣

∣∣∣

∣

= (−9)(−1)1+1 det MA11

)+ 2(−1)1+2 det MA

12

)+ (−1)(−1)1+3 det MA

13

)

+4(−1)1+4 det MA14

)

50


det(A) = −9

∣∣∣

∣∣∣

8 −5 7

6 3 −6

1 0 3

∣∣∣

∣∣∣− 2

∣∣∣

∣∣∣

0 −5 7

1 3 −6

−4 0 3

∣∣∣

∣∣∣−

∣∣∣

∣∣∣

0 8 7

1 6 −6

−4 1 3

∣∣∣

∣∣∣− 4

∣∣∣

∣∣∣

0 8 −5

1 6 3

−4 1 0

∣∣∣

∣∣∣

= −9(72 + 0 + 30− 21− 0 + 90)− 2(0 + 0− 120 + 84− 0 + 15)

−(0 + 7 + 192 + 168− 0− 24)− 4(0− 5− 96− 120− 0− 0)

= −1539 + 42− 343 + 884 = −956

Ejemplo 2.28. Calcular el determinante de la matriz

A =

2 0 0 0 0

12 1 0 0 0

−3 0 −3 0 0

5 −8 7 −1 0

−9 6 −7 0 −6

Solucion. Notemos primero que A es triangular inferior.

det(A) = |A| =

∣∣∣

2 0 0 0 0

12 1 0 0 0

−3 0 −3 0 0

5 −8 7 −1 0

−9 6 −7 0 −6∣∣∣

= 2(−1)1+1 det MA11

)+ 0(−1)1+2 det MA

12

)+ 0(−1)1+3 det MA

13

)

+0(−1)1+4 det MA14

)+ 0(−1)1+5 det MA

15

)

= 2(−1)1+1 det MA11

)+ 0(−1)1+2 det MA

12

)+ 0(−1)1+3 det MA

13

)

+0(−1)1+4 det MA14

)+ 0(−1)1+5 det MA

15

)

= 2

∣∣∣

∣∣∣

1 0 0 0

0 −3 0 0

−8 7 −1 0

6 −7 0 −6

∣∣∣

∣∣∣

51


det(A) = 2

1(−1)1+1

∣∣∣

∣∣∣

−3 0 0

7 −1 0

−7 0 −6

∣∣∣

∣∣∣+ 0(−1)1+2

∣∣∣

∣∣∣

0 0 0

−8 −1 0

6 0 −6

∣∣∣

∣∣∣

+0(−1)1+3

∣∣∣

∣∣∣

0 −3 0

−8 7 0

6 −7 −6

∣∣∣

∣∣∣+ 0(−1)1+4

∣∣∣

0 −3 0

−8 7 −1

6 −7 0

∣∣∣

= 2 · 1

∣∣∣

∣∣∣

−3 0 0

7 −1 0

−7 0 −6

∣∣∣

= 2 · 1 (−3)(−1)1+1 ∣∣∣ −1 0

0 −6 ∣∣∣+ 0(−1)1+2 ∣∣∣ 7 0

−7 −6 ∣∣∣+ 0(−1)1+3 ∣∣∣ 7 −1

−7 0 ∣∣∣

)

= 2 · 1(−3)∣∣∣ −1 0

0 −6

∣∣∣= 2 · 1(−3)((−1)(−6)− 0 · 0)

= 2 · 1(−3)(−1)(−6) = −36

El determinante de A es el producto de las componentes de la diagonal principal. Este resultado

se cumple siempre que A es una matriz triangular, superior o inferior, como veremos luego.

La demostracion del teorema que enunciaremos a continuacion escapa del objetivo del curso,

sin embargo, de el se derivan el resto de las propiedades que seran enunciadas mas adelante, en

el apendice D se puede encontrar una demostracion de este.

Teorema 2.24. Si A = (aij)n×n ∈Mn×n(R), entonces

1. det(A) =

n∑

j=1

aijCAij =

n∑

j=1

aij(−1)i+j det MAij

)para cada i ∈ {1, . . . , n} (Desarrollo del

determinante de A mediante la fila i-esima).

2. det(A) =n∑

i=1

aijCAij =

n∑

i=1


)para cada j ∈ {1, . . . , n} (Desarrollo del

determinante de A mediante la columna j-esima).

52


Ejemplo 2.29. Calcular el determinante de la matriz A del ejemplo 1.23 al desarrollar el de

terminante mediante la tercera fila y mediante la segunda columna.

Solucion. En primer lugar hallemos el determinante de A desarrollandolo mediante la tercera

fila.

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣

∣∣∣

= −7(−1)3+1∣∣∣ −3 −1

1 5

∣∣∣+ 0(−1)3+2

∣∣∣2 −1

−6 5 ∣∣∣+ 6(−1)3+3

∣∣∣ 2 −3

−6 1

∣∣∣

= −7(−15 + 1) + 0 + 6(2− 18) = 2

Ahora desarrollemos el determinante de A mediante la segunda columna.

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣

∣∣∣

= −3(−1)1+2∣∣∣ −6 5

−7 6

∣∣∣+ 1(−1)2+2

∣∣∣ 2 −1

−7 6

∣∣∣+ 0(−1)3+2

∣∣∣ 2 −1

−6 5

∣∣∣

= 3(−36 + 35) + (12− 7) + 0 = 2

Teorema 2.25. Si A ∈Mn×n(R), entonces det AT)

= det(A).

Demostracion. (Ejercicio)

Sugerencia: proceder por induccion sobre n y usar el teorema 1.24

Teorema 2.26. Si A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R) una matriz triangular (superior o inferior), en-

tonces det(A) = a11a22 · · ·ann.

Demostracion. Procedamos por induccion sobre n. Supongamos, sin perder generalidad que

A es una matriz triangular superior.

Verifiquemos que la tesis se cumple para n = 2. Sea

A =

[a11 a12

0 a22

]

53


Entonces

det(A) = a11a22 − a12 · 0 = a11a22

Supongamos ahora que la tesis se cumple para n− 1, esto es, supongamos que para cualquier

matriz triangular superior A = (aij)(n−1)×(n−1) ∈ M(n−1)×(n−1)(R) se cumple que det(A) =

a11a22 · · ·a(n−1)(n−1) (Hipotesis Inductiva).

Probemos ahora que se cumple para n. Sea

A =

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

...

.. . .

. . .....

0 · · · 0 ann

Entonces, al desarrollar el determinante de A mediante la fila n, obtenemos

det(A) = 0 · CAn1 + · · ·+ 0 · CA

n(n−1) + annCAnn = ann(−1)n+n det(MA

nn) = ann det MAnn

)

Pero

MAnn =

a11 a12 · · · a1(n−1)

0 a22 · · · a2(n−1)

...

.. . .

. . . ...

0 · · · 0 a(n−1)(n−1)

es decir, MAnn es una matriz triangular superior de orden (n−1), por lo tanto, usando la Hipotesis

Inductiva, se tiene que det MAnn

)= a11a22 · · ·a(n−1)(n−1). Luego

det(A) = anna11a22 · · ·a(n−1)(n−1) = a11a22 · · ·a(n−1)(n−1)ann

Lo cual concluye la prueba.

Los teoremas que enunciaremos a continuacion, nos presentan las propiedades basicas del

determinante, estas propiedades nos permitiran hallar el determinante de una matriz sin hacer

demasiados calculos. Los enunciados de estas propiedades se daran solo para filas, sin embargo,

en virtud del teorema 1.25, se pueden enunciar propiedades analogas para columnas.

Teorema 2.27. Sea A ∈ Mn×n(R). Si existe s ∈ {1, . . . , n} tal que A(s) = 0/1×n, entonces

det(A) = 0, es decir, si A tiene una fila nula, su determinante es cero.

54


Demostracion. Sea A = (aij)n×n. Como A(s) = 0/1×n, entonces asj = 0 para cada j ∈ {1, . . . , n}.Ası que, al desarrollar el determinante de A por medio de la fila s, se tiene que

det(A) =n∑

j=1

asjCAsj =

n∑

j=1

0 · CAsj = 0

Teorema 2.28. Sean A, B ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existe s ∈ {1, . . . , n} tal que B(s) = αA(s) y

B(i) = A(i) para i 6 = s, entonces det(B) = α det(A), esto es, si multiplicamos una fila de A por un

escalar α, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A

multiplicado por α.

Demostracion. Sean A = (aij)n×n y B = (bij)n×n. Como B(s) = αA(s) y B(i) = A(i) para i 6= s,

entonces bsj = αasj para cada j ∈ {1, . . . , n} y ademas, la matriz que se obtiene al eliminar la

fila s de B coincide con la matriz que se obtiene al eliminar la fila s de A. Luego MAsj = MB

sj para

cada j ∈ {1, . . . , n} (¿por que?).

Por lo tanto

CBsj = (−1)s+j det(MB

sj) = (−1)s+j det(MAsj) = CA

sj

para cada j ∈ {1, . . . , n}.Ası, al desarrollar el determinante de B por medio de la fila s, obtenemos

det(B) =n∑

j=1

bsjCBsj =

n∑

j=1

αasjCAsj = α

n∑

j=1

asjCAsj = α det(A)

Ejemplo 2.30. Sea

A =

2 −1 2

12 −16 4

−2 0 3

Entonces

det(A) =∣∣∣

2 −1 2

12 −16 4

−2 0 3∣∣∣

=∣∣∣

2 −1 2

4 · 3 4(−4) 4 · 1−2 0 3

∣∣∣= 4

∣∣∣

2 −1 2

3 −4 1

−2 0 3∣∣∣

= 4[2(−4)3 + 3 · 0 · 2 + (−2)(−1)1− 2(−4)(−2)− 1 · 0 · 2− 3(−1)3]

= 4[−24 + 0 + 2− 16− 0 + 9] = 4(−29) = −116

�

55


Teorema 2.29. Sean A, B, C ∈Mn×n(R). Si existe s ∈ {1, . . . , n} tal que C(s) = A(s) + B(s) y C(i)

= B(i) = A(i) para i 6 = s, entonces det(C) = det(A) + det(B), dicho de otra manera, si tenemos

tres matrices A, B, C cuyas filas son idénticas excepto la fila s, y que la fila s de C es

igual a la suma de la fila s de A con la fila s de B, entonces el determinante de C es igual a la

suma del determinante de A con el determinante de B.

Demostracion. Sean A = (aij)n×n, B = (bij)n×n y C = (cij)n×n. Sean A, B, C ∈ Mn×n(R).

Como C(s) = A(s) + B(s) y C(i) = B(i) = A(i) para i 6= s, entonces csj = asj + bsj para cada

j ∈ {1, . . . , n} y ademas, las matrices que se obtienen al eliminar la fila s de A, B y C son

iguales, ası que MAsj = MB

sj = MCsj para cada j ∈ {1, . . . , n}.

Por lo tanto

CCsj = CB

sj = CAsj

para cada j ∈ {1, . . . , n} (¿por que?).

En consecuencia

det(C) =n∑

j=1

csjCCsj =

n∑

j=1

(asj + bsj)CCsj =

n∑

j=1

asjCCsj +

n∑

j=1

bsjCCsj

=

n∑

j=1

asjCAsj +

n∑

j=1

bsjCBsj = det(A) + det(B)

Ejemplo2.31. Sea A la matriz del ejemplo 1.30. Entonces

det(A) =

∣∣∣

∣∣∣

2 −1 2

12 −16 4

−2 0 3

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

4 + (−2) −1 2

6 + 6 −16 4

1 + (−3) 0 3

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

4 −1 2

6 −16 4

1 0 3

∣∣∣

∣∣∣+

∣∣∣

∣∣∣

−2 −1 2

6 −16 4

−3 0 3

∣∣∣

∣∣∣

= [4(−16)3 + 6 · 0 · 2 + 1(−1)4− 2(−16)1− 4 · 0 · 4− 3(−1)6] +

[−2(−16)3 + 6 · 0 · 2 + (−3)(−1)4− 2(−16)(−3)− 4 · 0(−2)− 3(−1)6]

= [−192 + 0− 4 + 32− 0 + 18] + [96 + 0 + 12− 96− 0 + 18]

= −146 + 30 = −116

�

Teorema 2.30. Sean A, B ∈Mn×n(R). Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6 = t, B(s) = A(t),

B(t) = A(s) y B(i) = A(i) para i 6 = s y i 6 = t, entonces det(B) = − det(A), en otras palabras, si

intercambiamos dos filas distintas de A, el determinante de la matriz resultante es igual al

determinante de A multiplicado por −1.

56


Demostracion. Ejercicio

Ejemplo 2.32. Sea A la matriz del ejemplo 2.30 y sea

B =

2 −1 2

4 −16 12

3 0 −2

Las columnas 1 y 3 de B son, respectivamente, las columnas 3 y 1 de A y las fila 2 de B es igual

a la fila 2 de A. Ademas

det(B) =

∣∣∣

∣∣∣

2 −1 2

4 −16 12

3 0 −2

∣∣∣

∣∣∣

= 2(−16)(−2) + 4 · 0 · 2 + 3(−1)12− 2(−16)3− 12 · 0 · 2− (−2)(−1)4

= 64 + 0− 36 + 96− 0− 8 = 116 = − det(A)

�

Teorema 2.31. Sea A ∈ Mn×n(R). Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t y A(s) = A(t),

entonces det(A) = 0, es decir, si A tiene dos filas iguales, su determinante es igual a cero.

Demostracion. Sea B ∈Mn×n(R) la matriz que se obtiene al intercambiar las filas s y t de A.

Como A(s) = A(t), entonces B = A y ası det(B) = det(A).

Por otro lado, dado que s 6= t y segun el teorema 1.30, det(B) = −det(A). Ası que det(A) = det(B) = − det(A) y en consecuencia det(A) =

0.

Ejemplo 2.33. Sea

A =

2 −1 −2

4 −16 12

2 −1 −2

Entonces

det(A) = ∣∣∣

2 −1 −2

4 −16 12

2 −1 −2

∣∣∣

= 2(−16)(−2) + 4(−1)(−2) + 2(−1)12− (−2)(−16)2− 12(−1)2− (−2)(−1)4

= 64 + 8− 24− 64 + 24− 8 = 0

57


�

Teorema 2.32. Sean A ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t y

A(s) = αA(t), entonces det(A) = 0, esto es, si una fila de A es un multiplo escalar de alguna otra

fila de A, su determinante es igual a cero.

Demostracion. Sea B ∈ Mn×n(R) tal que B(i) = A(i) para cada i ∈ {1, . . . , n} con i 6= s y

B(s) = A(t) = B(t). Por lo tanto, en virtud del teorema 2.31, se tiene que det(B) = 0.

Por otro lado, como A(s) = αA(t) = αB(t) = αB(s), entonces, usando el teorema 2.28, setiene

que det(A) = α det(B) = α0 = 0.

Ejemplo 2.34. Sea

A =

2 8 2

−4 −16 1

3 12 −2

Entonces la columna A(2) = 4A(1), ademas

det(A) =

∣∣∣

∣∣∣

2 8 2

−4 −16 1

3 12 −2

∣∣∣

∣∣∣

= 2(−16)(−2) + (−4)12 · 2 + 3 · 8 · 1− 2(−16)3− 1 · 12 · 2− (−2)8(−4)

= 64− 96 + 24 + 96− 24− 64 = 0

�

Teorema 2.33. Sean A, B ∈Mn×n(R) y α ∈ R. Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6 = t, B(s)

= A(s) + αA(t) y B(i) = A(i) para i 6 = s, entonces det(B) = det(A), dicho de otra forma, si a una

fila de A le sumamos un múltiplo escalar de alguna otra fila de A, el determinante de la

matriz resultante es igual al determinante de A.

Demostracion. Sea C ∈ Mn×n(R) tal que C(i) = B(i) = A(i) para i 6= s y C(s) = αA(t). Por lo

tanto, dado que s 6= t y en virtud del teorema 1.32, det(C) = 0.

Ademas, como B(s) = A(s) + αA(t) = A(s) + C(s) y en virtud del teorema 1.29

det(B) = det(A) + det(C) = det(A) + 0 = det(A)

58



B =

2 −1 2

−2 −9 −10

−2 0 3

Ası que B(2) = A(2) − 7A(1) (¡verifıquelo!). Ademas

det(B) =

∣∣∣

∣∣∣

2 −1 2

−2 −9 −10

−2 0 3

∣∣∣

∣∣∣

= 2(−9)3 + (−2)0 · 2 + (−2)(−1)(−10)− 2(−9)(−2)− (−10)0 · 2− 3(−1)(−2)

= −54 + 0− 20− 36− 0− 6 = −116 = det(A)

�

El siguiente ejemplo nos da un metodo para calcular el determinante de una matriz A haciendo

uso de las propiedades dadas en los siete teoremas precedentes, como veremos, el calculo resulta

mucho mas sencillo que al usar la definicion.

Como se dijo en la observacion 1.15, usaremos tanto OEF como operaciones elementales por

columnas (OEC) para el calculo de determinantes, estas operaciones las indicaremos de manera

analoga a las OEF, salvo que en lugar de usar F usaremos C.

Ejemplo 2.36. Hallar el determinante de la matriz

A =

6 −1 2 13 2

−1 0 −1 −3 −1

0 −3 0 9 0

7 1 3 12 3

0 −2 4 1 −3

Solucion.

det(A) =

∣∣∣

∣∣∣

6 −1 2 13 2

−1 0 −1 −3 −1

0 −3 0 9 0

7 1 3 12 3

0 −2 4 1 −3

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

6 −1 2 10 2

−1 0 −1 −3 −1

0 −3 0 0 0

7 1 3 15 3

0 −2 4 −5 −3

∣∣∣

∣∣∣

C4 → C4 + 3C2

por teorema 2.33

1.2.33

)

59


det(A) = −3(−1)3+2

∣∣∣

∣∣∣

∣

6 2 10 2

−1 −1 −3 −1

7 3 15 3

0 4 −5 −3

∣∣∣

∣∣∣

∣

desarrollando el determinante

mediante la tercera fila

)

= 3

∣∣∣

∣∣∣

0 −4 −8 −4

−1 −1 −3 −1

0 −4 −6 −4

0 4 −5 −3

∣∣∣

∣∣∣

∣

F1 → F1 + 6F2

F3 → F3 + 7F2

por teorema 1.33

= 3(−1)(−1)2+1

∣∣∣

∣∣∣

−4 −8 −4

−4 −6 −4

4 −5 −3

∣∣∣

∣∣∣desarrollando el determinante

mediante la primera columna

)

= 3∣∣∣

0 −13 −7

0 −11 −7

4 −5 −3∣∣∣

F1 → F1 + F3

F2 → F2 + F3

por teorema 1.33

= 3 · 4(−1)3+1

∣∣∣−13 −7

−11 −7 ∣∣∣desarrollando el determinante


)

= 12(−13(−7)− (−7)(−11)) = 12 · 14 = 168

Resuelva este ejercicio sin hacer uso de OEF ni OEC y compare ambos metodos ¿cual de los dos

le parece mas sencillo?

Teorema 2.34. Sea A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R). Entonces para cualesquiera s, t ∈ {1, . . . , n} con

s 6= t se tiene quen∑

k=1

askCAtk = 0 y

n∑

k=1

aksCAkt = 0

Demostracion. Sea s, t ∈ {1, . . . , n} con s 6= t. Definamos B = (bij)n×n tal que B(i) = A(i)

para cada i ∈ {1, . . . , n} con i 6= t y B(t) = A(s). Ası que, usando el teorema 1.31, det(B) = 0.

Por otro lado, las matrices que se obtienen al eliminar la fila t de B y la fila t de A, son iguales,

por lo tanto MBtk = MA

tk para cada k ∈ {1, . . . , n}, de donde CBtk = CA

tk. Luego, al desarrollar el

determinante de B mediante la fila t, se tiene que

det(B) =n∑

k=1

btkCBtk =

n∑

k=1

askCAtk

En consecuencia

n∑

k=1

askCAtk = 0, analogamente se prueba que

n∑

k=1

aksCAkt = 0.

60


Teorema 2.35. Si E ∈Mn×n(R) es una matriz elemental, entonces para cada A ∈Mn×n(R) se

tiene que det(EB) = det(E) det(B).

Demostracion. Como E ∈ Mn×n(R) es una matriz elemental, existe una OEF f : Fn(R) →Fn(R) tal que E = f(In). Luego, sando la parte 1 del corolario 1.12, se tiene que EA = f(In)A =

f(A).

Debemos proceder por casos sobre el tipo de OEF.

Caso 1. f es una OEF tipo 1. As que existen s ∈ {1, . . . , n} y α 6= 0 tales que E(s) = α (In)(s)

(donde (In)(s) es la fila s de In) y para i 6= s se tiene que E(i) = (In)(i). Luego

(f(A))(s) = αA(s) y para i 6= s tenemos (f(A))(i) = A(i).

Por lo tanto, segun el teorema 1.28,

det(E) = α det(In) = α · 1 = α

y

det(EA) = det(f(A)) = α det(A) = det(E) det(A).

Caso 2. f es una OEF tipo 2. Luego existen s, t ∈ {1, . . . , n}, con s 6= t, y α ∈ R tales que

E(s) = (In)(s) + α(In)(t) y E(i) = (In)(i) para i 6= s. As que (f(A))(s) = A(s) + αA(t) y

(f(A))(i) = A(i) para i 6= s.

Usando el teorema 1.33, tenemos que

det(E) = det(In) = 1

y

det(EA) = det(f(A)) = det(A) = 1 · det(A) = det(E) det(A)

Caso 3. f es una OEF tipo 3. Por lo tanto existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que E(s) = (In)(t),

E(t) = (In)(s) y E(i) = (In)(i) para i 6= s e i 6= t. De donde (f(A))(s) = A(s) + αA(t) y

(f(A))(i) = A(i) para i 6= s e i 6= t.

Si s = t, entonces E = In y f(A) = A, as que


61

UNIDAD II. MATRICES Y DETERMIN-ANTES

y


Si s 6= t, podemos usar el teorema 1.30 y obtenemos

det(E) = − det(In) = −1

y

det(EA) = det(f(A)) = − det(A) = (−1) det(A) = det(E) det(A)

Observacion 2.27. De la prueba del teorema 1.35, se tiene que si E ∈Mn×n(R) es una matriz

elemental, entonces det(E) 6= 0.

Corolario 2.36. Sean E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R) matrices elementales. Entonces, para cada

A ∈Mn×n(R), se tiene que det(E1E2 · · ·ErA) = det(E1) det(E2) · · ·det(Er) det(A).


Teorema 2.37. Si A ∈Mn×n(R) es una matriz ERF, entonces det(A) 6= 0 si y solo si A = In.

Demostracion. Sea A = (aij)n×n. Como A es ERF, entonces A es triangular superior (ver

ejercicio 1.5), ası que aij = 0 para i > j y det(A) = a11a22 · · ·ann.

Supongamos que det(A) 6 = 0. Luego aii 6 = 0 para cada i ∈ {1, . . . , n}. Como aij = 0 para i > j,

entonces para cada i ∈ {1, . . . , n}, la primera componente no nula en la i-ésima fila es aii, y por

ser A una matriz ERF, se tiene que aii = 1 para cada i ∈ {1, . . . , n}, es decir, aii es un pivote y

por lo tanto aij = 0 para i 6 = j (¿por qué?). En resumen

aij =

{1 si i = j

0 si i 6= j

Es decir, A = In.

Recıprocamente, si A = In, entonces det(A) = 1 6= 0.

En el siguiente teorema se da una nueva equivalencia que involucra la inversa de una matriz

cuadrada.

62


Teorema 2.38. Sea A ∈Mn×n(R). Entonces A es invertible si y solo si det(A) 6= 0.

Demostracion. Sea B ∈Mn×n(R) la FERF A. Entonces existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈Mn×n(R) tales que B = E1E2 · · ·ErA. Como det(Ei) 6= 0 para cada i ∈ {1, . . . , r}, entonces

det(A) 6= 0 si y solo si det(B) 6= 0; y usando el teorema 1.37 se tiene que B = In. Por lo tanto

det(A) 6= 0 si y solo si la FERF de A es In, lo cual concluye la prueba.

Teorema 2.39. Sean A, B ∈Mn×n(R). Entonces det(AB) = det(A) det(B).

Demostracion.

Caso 1. det(A) = 0. Ası que, en virtud del teorema 1.38, A no es invertible. Luego, usando

el ejercicio 1.7, se tiene que AB no es invertible, y nuevamente por el teorema 1.38 se

tiene que det(AB) = 0. Por lo tanto

det(AB) = 0 = 0 det(B) = det(A) det(B)

Caso 2. det(A) 6= 0. Luego A es invertible, en virtud del teorema 1.38. Ası que, al usar

el teorema 1.22, tenemos que existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R)

tales que A = E1E2 · · ·Er. Luego, por el corolario 1.36

det(A) = det(E1E2 · · ·Er) = det(E1) det(E2) · · ·det(Er) y

det(AB) = det(E1E2 · · ·ErB) = det(E1) det(E2) · · ·det(Er) det(B) = det(A) det(B)

2.8. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

En esta seccion definiremos la adjunta de una matriz y enunciaremos la regla de Cramer ,

que a pesar de no ser una herramienta muy usada en la actualidad, es una interesante aplicacion

de los determinantes.

Definicion 2.22. Sea A ∈Mn×n(R). Se define la matriz adjunta de A como la matriz adj(A) ∈Mn×n(R) cuya ij-esima componente es el ji-esimo cofactor de A para cada i, j ∈ {1, . . . , n}, es

decir, si adj(A) = (bij)n×n, entonces bij = CAji para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}.

63


Observacion 2.28. Si C = (CAij )n×n, es decir, si C es la matriz real cuadrada cuya ij-

esima componente es el ij-esimo cofactor de A para cada i, j ∈ {1, . . . , n}, entonces adj(A) =

CT .

Ejemplo 2.37. Hallar la adjunta de2 −1 3

1 0 2

4 −1 7

Solucion. Necesitamos hallar cada uno de los cofactores de A. Veamos

CA11 = (−1)1+1

∣∣∣ 0 2

−1 7

∣∣∣= 2; CA

12 = (−1)1+2∣∣∣ 1 2

4 7

∣∣∣= 1; CA

13 = (−1)1+3∣∣∣ 1 0

4 −1

∣∣∣= −1;

CA21 = (−1)2+1

∣∣∣ −1 3

−1 7

∣∣∣= 4; CA

22 = (−1)2+2∣∣∣ 2 3

4 7

∣∣∣= 2; CA

23 = (−1)2+3∣∣∣ 2 −1

4 −1

∣∣∣= −2;

CA31 = (−1)3+1

∣∣∣ −1 3

0 2

∣∣∣= −2; CA

32 = (−1)3+2∣∣∣ 2 3

1 2

∣∣∣= −1; CA

33 = (−1)3+3∣∣∣ 2 −1

1 0

∣∣∣= 1;

As que

adj(A) =

CA11 CA

21 CA31

CA12 CA

22 CA32

CA13 CA

23 CA33

=

2 4 −2

1 2 −1

−1 −2 1

Teorema 2.40. Sea A ∈Mn×n(R). Entonces A adj(A) = det(A)In = adj(A)A.

Demostracion. Hagamos adj(A) = (bjk)n×n. Ası que para cada j, k ∈ {1, . . . , n}, se tiene que

bjk = CAkj.

Si hacemos A adj(A) = D = (dik)n×n, entonces, para cada i, k ∈ {1, . . . , n}, tenemos que

dik =

n∑

j=1

aijbjk =

n∑

j=1

aijCAkj.

Peron∑

j=1

aijCAij = det(A)

64


y segun el teorema 2.34, si i 6= k,entonces

n∑

j=1

aijCAkj = 0

Por lo tanto

dik =

{det(A) si i = k

0 si i 6= k

= det(A)

{1 si i = k

0 si i 6= k

= det(A)δik

donde In = (δik)n×n. En consecuencia A adj(A) = det(A)In. De manera analoga se prueba que

adj(A)A = det(A)In, lo cual concluye la prueba.

Teorema 2.41. Si A ∈Mn×n(R) es invertible, entonces det(A−1) =1

det(A)y A−1 =

1

det(A)adj(A).

Demostracion. Como A es invertible, entonces existe A−1 ∈ Mn×n(R) tal que AA−1 = In =

A−1A, y por el teorema 1.39

det(A) det(A−1) = det(AA−1) = det(In) = 1.

Luego

det(A−1) =1

det(A).

Por otro lado, usando el teorema 1.40, se tiene que

A

(1

det(A)adj(A)

)=

1

det(A)A adj(A) =

1

det(A)det(A)In = In.

De donde

A−1 =1

det(A)adj(A).

Ejercicio 2.9. Sea A ∈ Mn×n(R) una matriz invertible. Pruebe que adj(A) tambien es invertible

y ademas (adj(A))−1 = adj(A−1).

65

222...999... AAAPPPLLLIIICCCAAACCCIIIOOONNNEEESSS

Si A es invertible, entonces la unica solucion de dicha ecuacion esta dada por x = A−1b,

ası que, una forma de hallar la

solucion de la ecuacion en cuestion, es calcular la inversa de A y multiplicarla por b, pero quizas

esto es mucho mas complicado y costoso (en terminos de calculos) que hallar la FERF de la

matriz [A|b].En el siguiente teorema presentaremos una herramienta que permite resolver la ecuacion an

terior usando determinantes, sin necesidad de hallar la inversa de A ni la FERF de [A|b], dicha

herramienta se conoce con el nombre de la regla de Cramer .

Teorema 2.42 (Regla de Cramer). Sea A ∈ Mn×n(R) una matriz invertible y b ∈ Mn×1(R). Si

x =

x1

x2

...

.

xn

es la solucion de la ecuacion Ax = b, entonces, para cada j ∈ {1, . . . , n}, xj =

det(Abj)

det(A),

donde Abj es la matriz que se obtiene de A al reemplazar A(j) (la columna j) por b, esto es,

Abj =

[A(1) · · · A(j−1) b A(j+1) · · · A(n)

]

Demostracion. Como A = (aij)n×n es invertible, entonces la unica solucion del sistema Ax = b

es x = A−1b, pero A−1 =1

det(A)adj(A), ası que x =

1

det(A)adj(A)b, por lo tanto, si b =

b1

b2

...

bn

,

entonces xj =1

det(A)

n∑

i=1

CAijbi para cada j ∈ {1, . . . , n}.

Por otro lado, para cada j ∈ {1, . . . , n}, se tiene que

Abj =

a11 · · · a1(j−1) b1 a1(j+1) · · · a1n

...

.....

...

..... ...

a(i−1)1 · · · a(i−1)(j−1) bi−1 a(i−1)(j+1) · · · a(i−1)n

ai1 · · · ai(j−1) bi ai(j+1) · · · ain

a(i+1)1 · · · a(i+1)(j−1) bi+1 a(i+1)(j+1) · · · a(i+1)n

...

.....

...

.....

...

.

an1 · · · an(j−1) bn an(j+1) · · · ann

Por lo tanto, para cada i ∈ {1, . . . , n}, tenemos que MAb

j

ij = MAij y ası

CAb

j

ij = (−1)i+j det(M

Abj

ij

)= (−1)i+j det MA

ij

)= CA

ij

66


Luego, al desarrollar el determinante de Abj por medio de la j-esima columna, obtenemos

det(Abj) =

n∑

i=1

CAb

j

ij bi =

n∑

i=1

CAijbi

En consecuencia, para cada j ∈ {1, . . . , n} tenemos que

xj =det(Ab

j)

det(A)

Ejemplo 2.38. Verificar que la matriz del sistema

x +2z −w = 3

x +y +2z +w = 2

4x +2y +2z −3w = 1

2y +z +4w = 1

es invertible y usar la regla de Cramer para hallar la solucion del sistema.

Solucion. La matriz del sistema es

A =

1 0 2 −1

1 1 2 1

4 2 2 −3

0 2 1 4

hallemos su determinante

det(A) =

∣∣∣

1 0 2 −1

1 1 2 1

4 2 2 −3

0 2 1 4

∣∣∣=

∣∣∣

1 0 2 −1

0 1 0 2

0 2 −6 1

0 2 1 4

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

1 0 2

2 −6 1

2 1 4

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

1 0 0

2 −6 −3

2 1 0

∣∣∣

∣∣∣

=∣∣∣ −6 −3

1 0

∣∣∣= 3 6= 0.

Por lo tanto la matriz del sistema es invertible, ası que podemos aplicar la regla de Cramer para

resolverlo. En este caso la matriz de terminos independientes es

b =

3

2

1

1

67


Luego

det Ab1 =

∣∣∣

∣∣∣

∣

3 0 2 −1

2 1 2 1

1 2 2 −3

1 2 1 4

∣∣∣

∣∣∣

∣

=

∣∣∣

∣∣∣

∣

0 −6 −1 −13

0 −3 0 −7

0 0 1 −7

1 2 1 4

∣∣∣

∣∣∣

∣

= −∣∣∣

−6 −1 −13

−3 0 −7

0 1 −7∣∣∣

= −

∣∣∣

∣∣∣

−6 0 −20

−3 0 −7

0 1 −7

∣∣∣

∣∣∣= ∣∣∣

−6 −20

−3 −7 ∣∣∣= 42− 60 = −18.

det Ab2 =

∣∣∣

1 3 2 −1

1 2 2 1

4 1 2 −3

0 1 1 4

∣∣∣=

∣∣∣

1 3 2 −1

0 −1 0 2

0 −11 −6 1

0 1 1 4

∣∣∣= ∣∣∣

−1 0 2

−11 −6 1

1 1 4

∣∣∣

=

∣∣∣

∣∣∣

−1 0 0

−11 −6 −21

1 1 6

∣∣∣

∣∣∣= −

∣∣∣ −6 −21

1 6

∣∣∣= −(−36 + 21) = 15.

det Ab3 =

1 0 3 −1

1 1 2 1

4 2 1 −3

0 2 1 4 ∣∣∣

=

∣∣∣

1 0 2 −1

0 1 −1 2

0 2 −11 1

0 2 1 4 ∣∣∣

= ∣∣∣

1 −1 2

2 −11 1

2 1 4

∣∣∣ = ∣∣∣

1 −1 2

0 −9 −3

0 3 0

∣∣∣

∣∣∣

=∣∣∣ −9 −3

3 0

∣∣∣= 9.

det Ab4 =

∣∣∣

1 0 2 3

1 1 2 2

4 2 2 1

0 2 1 1

∣∣∣=

∣∣∣

1 0 2 3

0 1 0 −1

0 2 −6 −11

0 2 1 1

∣∣∣=

∣∣∣

1 0 −1

2 −6 −11

2 1 1∣∣∣

=∣∣∣

1 0 0

2 −6 −9

2 1 3∣∣∣

=∣∣∣ −6 −9

1 3

∣∣∣= −18 + 9 = −9.

68


En consecuencia x =det Ab

1

)

det(A)=−18

3= −6; y =

det Ab2

)

det(A)=

15

3= 5; z =

det Ab3

)

det(A)=

9

3= 3;

w =det Ab

4

)

det(A)=−9

3= −3, es decir, la solucion del sistema dado es:

x

y

z

w

=

−6

5

3

−3

Ejemplo 2.39. Una fábrica produce tres tipos de productos, mezclando para ello tres materias primas.

Se sabe que para fabricar una unidad del producto 1, se necesitan, una unidad de la materia prima

1, tres unidades de la materia prima 2 y dos unidades de la materia prima 3; para fabricar una

unidad del producto 2, se necesitan, una unidad de la materia prima 1 y tres de la materia prima

2; finalmente, para fabricar una unidad del producto 3, se necesitan, tres unidades de la materia

prima 1, tres de la materia prima 2 y dos de la materia prima 3: Si este mes la fábrica cuenta con

seis millones de unidades de la materia prima 1, 12 millones de unidades de la materia prima 2 y

seis millones de la materia prima 3 cuántas unidades de cada producto puede producir la fábrica

usando el total de las materias primas?

Solucion. Para cada i ∈ {1, 2, 3}, sea xi las unidades (en millones) del producto i que puede

producir la fabrica.

Por lo tanto, la cantidad de unidades (en millones) que se usaran es:

x1 + x2 + 3x3 de la materia 1

3x1 + 3x2 + 3x3 de la materia 2

2x1 + 2x3 de la materia 3

Como se quiere usar el total de las materias primas, entonces

x1 +x2 +3x3 = 6

3x1 +3x2 +3x3 = 12

2x1 +2x3 = 6

69


En este caso, la matriz del sistema, la matriz de incognitas y la matriz de terminos

independientes son, respectivamente:

A =

1 1 3

3 3 3

2 0 2

; x =

x1

x2

x3

y b =

6

12

6

Veamos si podemos aplicar la regla de Cramer, para ello calculemos el determinante de la

matriz del sistema.

det(A) =

∣∣∣

∣∣∣

1 1 3

3 3 3

2 0 2

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

1 1 3

0 0 −6

2 0 2

∣∣∣

∣∣∣= − ∣∣∣ 0 −6

2 2

∣∣∣= −12 6= 0.

Como la matriz del sistema es invertible, podemos usar la regla de Cramer.

det Ab1

)=

∣∣∣

∣∣∣

6 1 3

12 3 3

6 0 2

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

6 1 3

−6 0 −6

6 0 2

∣∣∣

∣∣∣= − ∣∣∣ −6 −6

6 2

∣∣∣= −(−12 + 36) = −24.

det Ab2

)= ∣∣∣

1 6 3

3 12 3

2 6 2

∣∣∣ = ∣∣∣

1 6 3

0 −6 −6

0 −6 −4

∣∣∣ =∣∣∣ −6 −6

−6 −4

∣∣∣= 24− 36 = −12.

det Ab3

)=∣∣∣

1 1 6

3 3 12

2 0 6∣∣∣=∣∣∣

1 1 6

0 0 −6

2 0 6∣∣∣= −

∣∣∣ 0 −6

2 6

∣∣∣= −12.

Por lo tanto x1 =−24

−12= 2; x2 =

−12

−12= 1 y x3 =

−12

−12= 1, es decir, usando el total de

la materia prima, se pueden fabricar dos millones de unidades del producto 1 y un millon de

unidades de cada uno de los productos 2 y 3.

70

Unidad III.Sistemas de Ecuaciones Lineales

Concepto.Clasificación de los sistemas lineales.Tipos de solución.Método de Gauss-Jordan.

La presente seccion esta muy relacionada con las OEF y las matrices, y es quizas, junto con la

seccion anterior, la mas importante del presente obra por su relación con otras materias.

3.1.Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definicion 3.1. Un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incognitas es

un conjunto de ecuaciones de la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

...

. ... .... ... ...

.

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(3.1)

donde x1, x2, . . . , xn son las incógnitas del sistema 3.4 y toman valores en R; aij ∈ R son n

úmeros fijos para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n} y los llamaremos coeficientes del

sistema 3.4 y b1, b2, . . . , bm∈ R son fijos y son los términos independientes del sistema 3.4.

Si b1 = b2 = · · · = bm = 0, diremos que el sistema 3.4 es homogeneo, en caso contrario

diremos que es no homogeneo.

Cuando m = n, se dice que el sistema 3.1 es un sistema cuadrado.

de

71

III. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Si hacemos

A = (aij)m×n =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

... ... ...


; b =

b1

b2

...

bm

y x =

x1

x2

...

xn

,

el sistema 3.1 puede escribirse como la ecuacion matricial Ax = b (comprobarlo), que llamare

mos representacion matricial del sistema 3.1. La matriz A es llamada matriz de coefi-

cientes o matriz del sistema 3.1, la matriz

[A|b] =

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2

...

.....

...

. ...

am1 am2 · · · amn bm

es llamada matriz ampliada del sistema 1.4, x se conoce con el nombre de matriz incognita

o matriz de incognitas y b es conocida como matriz de terminos independientes.

El sistemaa11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0....

...

.....

...

.....

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

(3.2)

es llamado sistema homogeneo asociado al sistema 3.1.

3.2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones

Diremos que c1, c2, . . . , cn es una solucion del sistema 2.4 si al sustituir x1 = c1, x2 =

c2, . . . , xn = cn en 3.4, las igualdades son satisfechas.

Se dice que el sistema 3.4 es

Inconsistente si no tiene solucion alguna.

Consistente si tiene al menos una solucion, cuando tiene una unica solucion, se dice que

es consistente determinado, si tiene mas de una solucion, se dice que es consistente

indeterminado.

Observacion 3.18. En general, no haremos diferencia al referirnos al sistema y a su repre

sentacion matricial.

72


Observacion 3.1. Todo sistema homogeneo Ax = 0 /m×1 es consistente, x = 0/n×1 es solucion

de este, la cual es llamada solucion trivial.

Observacion 3.2. Es claro si A ∈Mm×n(R) y x =

x1

x2

...

.

xn

∈ Mn×1(R), entonces

Ax = x1A(1) + x2A

(2) + · · ·+ xnA(n)

Ejemplo 3.1.

1.

{3x1 +2x2 −6x3 = 0

−x1 +5x2 −7x3 = 4

es un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y tres incognitas, es no homogeneo,

su representacion matricial es

[3 2 −6

−1 5 −7

]

x1

x2

x3

=

[0

4

]

La matriz es y la matriz ampliada del sistema son, respectivamente

[3 2 −6

−1 5 −7

]y

[3 2 −6 0

−1 5 −7 4

]

las matrices incognitas y de terminos independientes son, respectivamente

x1

x2

x3

y

[0

4

]

2.

6x −2y +9z = 1

−5x +12y −3z = −2

x 6z = 6

es un sistema de ecuaciones lineales cuadrado con tres ecuaciones y tres incognitas, es no

homogeneo y su representacion matricial es

73

UNIDAD III. SISTEMAS DE ECUCIONES LINEALES

6 −2 9

−5 12 −3

1 0 6

x

y

z

=

1

−2

6

El sistema homogeneo asociado a este sistema es

6x −2y +9z = 0

−5x +12y −3z = 0

x 6z = 0

�

Una pregunta que surge de manera inmediata es ¿como garantizar que un sistema de ecuaciones

lineales es consistente o inconsistente? y en caso de que sea consistente ¿como resolver dicho

sistema? Haremos uso de las matrices y las OEF para responder ambas preguntas, pero antes

daremos las bases teoricas que nos permitan usar dichas herramientas.

Teorema 3.1. Sean Ax = b y Cx = d las representaciones matriciales de dos sistemas de

ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incognitas. Supongamos que las matrices [A|b] y [C|d]

son equivalentes por filas. Entonces ambos sistemas tienen exactamente las mismas soluciones o

ninguno tiene solucion.

Demostracion. Dado que las matrices [A|b] y [C|d] son equivalentes por filas, entonces existen

OEF f1, f2, . . . , fr : Fm(R)→ Fm(R) tales que

(f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)([A|b]) = [C|d]

por la parte 3 del corolario 3.1

(f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A) = C y (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(b) = d

y por la parte 2 del mismo corolario, tenemos que

(f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(Ax) = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A)x

Ası que, si Ax = b, entonces

Cx = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A)x = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(Ax) = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(b) = d

74

UNIDAD III. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ademas, en virtud del ejercicio 1.3, f1, f2, . . . , fr son invertibles y f−11 , f−1

2 , . . . , f−1r

son tambien OEF sobre Fm(R), luego, si Cx = d, entonces

Ax = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)−1(C)x = (f−1

r ◦ · · · ◦ f−12 ◦ f−1

1 )(C)x

= (f−1r ◦ · · · ◦ f−1

2 ◦ f−11 )(Cx) = (f−1

r ◦ · · · ◦ f−12 ◦ f−1

1 )(d) = (f1 ◦ f2

◦ · · · ◦ fr)−1(d) = b

Por lo tanto Ax = b si y solo si Cx = d, en consecuencia, o ambos sistemas son inconsistentes o

ambos tienen la(s) misma(s) solucion(es).

Observación 3.2. Cuando la matriz del sistema es una matriz ERF, es fácil decidir si el sistema

es o no consistente, y en caso de serlo, es sencillo hallar la(s) solución(es) de este. La idea es hal-

lar la FERF de la matriz ampliada del sistema, y en virtud del teorema 3.14, resolver, de manera

sencilla, el sistema dado.

Corolario 3.1. Sean A, C ∈ Mm×n(R) y b, d ∈ Mm×1(R) tales que [C|d] es la FERF de [A|b].El sistema Ax = b tiene solucion si y solo si el numero de filas no nulas de [C|d] es igual alnumero de filas no nulas de C.

Demostracion. Reralizarlo como ejercicio.

Ejemplo 3.2. Decidir cual de los siguientes sistemas son consistentes y cuales no, en caso de

serlo, mostrar su(s) solucion(es).

1.

2x +y −z = 1

2x −y +5z = 5

−y +3z = 2

2.

2x +y −z = 2

x −2y +4z = −3

5x −4y +8z = −9

−y +3z = 2

3.

x +y −2z +w = 1

4x +2y +2z = −2

2y −10z +3w = 3

75


4.

x +y −2z +w = 1

4x +2y +2z = −2

2y −10z +4w = 3

Solucion.

1. La matriz ampliada del sistema es

2 1 −1 1

2 −1 5 5

0 −1 3 2

Hallemos su FERF

2 1 −1 1

2 −1 5 5

0 −1 3 2

F1 → 1

2F1→

1 12−1

212

2 −1 5 5

0 −1 3 2

F2 → F2 − 2F1→

1 12−1

212

0 −2 6 4

0 −1 3 2

F1 → −12F1→

1 12−1

212

0 1 −3 −2

0 −1 3 2

F1 → F1 − 12F2→

F3 → F3 + F2

1 0 1 32

0 1 −3 −2

0 0 0 0

La ultima fila de esta ultima matriz equivale a la ecuacion 0 · x + 0 · y + 0 · z = 0, que no

aporta nada a la solucion. Ası que el sistema dado es equivalente al sistema

{x +z = 3

2

y −3z = −2

que a su vez equivale a {x = −z + 3

2

y = 3z − 2

Luego el sistema dado es consistente indeterminado. Haciendo z = α, con α ∈ R, obtenemos

x = −α +3

2; y = 3α− 2

En consecuencia la solucion del sistema dado viene dada por

x = −α +3

2; y = 3α− 2; z = α; con α ∈ R

76


o bien

x

y

z

=

−α +32

3α −2

α

= α

−1

3

1

+

32

−2

0

; con α ∈ R

2. En este caso la matriz del sistema es

2 1 −1 2

1 −2 4 −3

5 −4 8 −9

0 −1 3 2

Vamos a hallar su FERF

2 1 −1 2

1 −2 4 −3

5 −4 8 −9

0 −1 3 2

F1 ↔ F2→

1 −2 4 −3

2 1 −1 2

5 −4 8 −9

0 −1 3 2

F2 → F2 − 2F1→F3 → F3 − 5F1

1 −2 4 −3

0 5 −9 8

0 6 −12 6

0 −1 3 2

F2 ↔ F4→

1 −2 4 −3

0 −1 3 2

0 6 −12 6

0 5 −9 8

F2 → −F2→

1 −2 4 −3

0 1 −3 −2

0 6 −12 6

0 5 −9 8

F1 → F1 + 2F2→F3 → F3 − 6F2

F4 → F4 − 5F2

1 0 −2 −7

0 1 −3 −2

0 0 6 18

0 0 6 18

F3 → 16F3→

1 0 −2 −7

0 1 −3 −2

0 0 1 3

0 0 6 18

F1 → F1 + 2F3→F2 → F2 + 3F3

F4 → F4 − 6F3

1 0 0 −1

0 1 0 7

0 0 1 3

0 0 0 0

Luego, el sistema dado es equivalente al sistema

x = −1

y = 7

z = 3

77


Por lo tanto el sistema es consistente determinado y su solucion es

x = −1; y = 7; z = 3

o bien

x

y

z

=

−1

7

3

3. Hallemos la FERF de la matriz ampliada del sistema que es

1 1 −2 1 1

4 2 2 0 −2

0 2 −10 3 3

1 1 −2 1 1

4 2 2 0 −2

0 2 −10 3 3

F2 → F2 − 4F1→

1 1 −2 1 1

0 −2 10 −4 −6

0 2 −10 3 3

F2 → −12F2→

1 1 −2 1 1

0 1 −5 2 3

0 2 −10 3 3

F1 → F1 − F2→F3 → F3 − 2F2

1 0 3 −1 −2

0 1 −5 2 3

0 0 0 −1 −3

F3 → −F3→

1 0 3 −1 −2

0 1 −5 2 3

0 0 0 1 3

F1 → F1 + F3→F2 → F2 − 2F3

1 0 3 0 1

0 1 −5 0 −3

0 0 0 1 3

En consecuencia el sistema dado es equivalente al sistema

x +3z = 1

y −5z = −3

w = 3

o equivalentemente

x = −3z + 1

y = 5z − 3

w = 3

78


Por lo tanto el sistema original es consistente indeterminado. Haciendo z = α , con α ∈R,

tenemos que la solucion del sistema es

x

y

z

w

=

−3α +1

5α −3

α

3

= α

−3

5

1

0

+

1

−3

0

3

; con α ∈ R

4. Hallemos la FERF de la matriz

1 1 −2 1 1

4 2 2 0 −2

0 2 −10 4 3

que es la matriz ampliada del sistema

1 1 −2 1 1

4 2 2 0 −2

0 2 −10 4 3

F2 → F2 − 4F1→

1 1 −2 1 1

0 −2 10 −4 −6

0 2 −10 4 3

F3 → F3 + F2→

1 1 −2 1 1

0 −2 10 −4 −6

0 0 0 0 −3

Sin necesidad de llegar a la FERF de la matriz, vemos que la ultima fila de esta ultima

matriz equivale a la ecuacion

0 · x + 0 · y + 0 · z + 0 · w = −3

la cual es contradictoria, en consecuencia, el sistema original es inconsistente.

Teorema 3.4. El sistema homogeneo Ax = 0 /m×1, con A ∈Mm×n(R), tiene infinitas soluciones

si m < n, esto es, si el sistema homogeneo Ax = 0/m×1 tiene mas incognitas que ecuaciones,

entonces es consistente indeterminado.


79


Teorema 3.2. Sea A ∈ Mm×n(R). Supongamos que x1, x2 ∈ Mn×1(R) son soluciones del

sistema homogeneo Ax = 0/m×1. Entonces, para cada α ∈ R, se tiene que x1 + x2 y α x1 son

tambien soluciones del sistema.


Teorema 3.3. Sean A ∈ Mm×n(R) y b ∈ Mm×1(R). Supongamos que xp es una solucion del

sistema Ax = b. Entonces, para cada solucion xg del sistema Ax = b, existe una solucion xh de

Ax = 0/m×1 tal que xg = xh + xp.

Demostracion. Dado que xp es solucion del sistema Ax = b, tenemos que Axp = b.

Sea xg una solucion cualquiera de Ax = b. Entonces Axg = b. Sea xh = xg − xp. Asıque

Axh = A(xg − xp) = Axg − Axp = b− b = 0

es decir, xp es solucion del sistema homogeneo Ax = 0/m×1 y ademas xg = xh + xp.

Ejemplo 3.3. Para el sistema de la parte 1 del ejemplo 1.17 tenemos que

xp =

32

−2

0

; xh = α

−1

3

1

; con α ∈ R

Para el sistema de la parte 2 del mismo ejemplo, se tiene que

xp =

−1

7

3

; xh =

0

0

0

Notese que en este caso xg = xp.

Finalmente, para el sistema de la parte 3 del ejemplo en cuestion

xp =

1

−3

0

3

; xh = α

−3

5

1

0

; con α ∈ R

�

Ejercicio 3.1. Sea A ∈ Mm×n(R). Pruebe que si el sistema Ax = b tiene solucion para cada

b ∈Mm×1(R), entonces m ≤ n.

80

3.3. Interpretacion geometrica de las soluciones.

Se denomina ecuacion lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado.Es decir, que las incognitas no esten elevadas a alguna potencia.Por ejemplo, 3x+ 2y + 6z = 6 es una ecuacion lineal con tres incognitas.Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incognitas representan una recta en el pla-no. Si la ecuacion lineal tiene 3 incognitas, su representacion grafica es un plano en el espacio.Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Figura 3.1: Representacion grafica de la recta −x+ 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1en el espacio.

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto devarias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,o geométricamente representan la misma recta o plano.

81


En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los numeros reales R. Dependiendodel posible numero de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos de pueden clasificar en:

* INCOMPATIBLES (No tienen solucion)→ S.I.

* COMPATIBLES (Tienen solucion){

* DETERMINADOS (Solucion unica)→ S.C.D.* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.

La geometría de los sistemas con dos incognitas

Los sistemas mas sencillos son aquellos en los que solo hay dos incognitas y 2 ecuaciones, y que yason conocidos de cursos pasados.

Hay varios sistemas para resolverlos, los mas habituales:* Reduccion* Igualacion* Sustitucionen los que ya no nos entretendremos.

Como cada ecuacion lineal con 2 incognitas se interpreta geometricamente como una recta, el estudiode la solucion del sistema se limita a estudiar la posicion de 2 rectas en el plano.

Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el

sistema:x+ 2y = −3−2x+ y = 1

}.

Por reduccion:

2x+4y=-6-2x+ y=1

5y=-5

de donde y = -1 y sustituyendo x + 2·(-1) = -3, x = -1.Es decir, la solucion del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible

y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1):

Figura 3.2: Solucion del sistema, punto (-1,-1)

82


Resolver e interpretar el sistema:x+ 2y = −3−2x− 4y = 5

}.

Por igualacion:x = −3− 2y

x =5+ 4y−2

de donde:

−3− 2y =5+ 4y−2 =⇒ 4y + 6 = 5 + 4y =⇒ 0y = −1 =⇒ 0 = −1

lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solucion, es un sistema incompatible y portanto las rectas son paralelas. Geometricamente:

Figura 3.3: Sistema sin solucion. Rectas paralelas

Resolver e interpretar el sistema:x+ 2y = −33x+ 6y = −9

}.

Por sustitucion, como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, portanto 0y = 0, 0 = 0.

Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones,es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.

Figura 3.4: Infinitas soluciones. Las rectas coinciden

Lo expresaremos ası. Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x.Ası si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la solucion como:

x = −2λ − 3y = λ

}siendo λ ∈ R

y como λ puede ser cualquier numero real, hay infinitas soluciones.Estos son los unicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incognitas, y su interpretacion

geometrica.

83


Ejercicio 3.2 Estudiar la solucion de los siguientes sistemas e interpretarla geometricamente:

a){ x+ y = 52x − y = 7

b){2x+ y = 13x+ 2y = 4

c){

x+ 2y = 3x − y = 4

Discucion de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incognitas

Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo,{

ax+ 3y = 52x − y = 6

, no estamos

ante un solo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor de a, y cada sistema sera distinto enfuncion del valor que tome dicha letra (llamada parametro).

Para estudiarlo, se resuelve el sistema como habitualmente y se estudian los distintos casos que sepueden dar. Por ejemplo , por reduccion:

ax+3y=56x-3y=18

ax+6x =23

por tanto, x(6+a) = 23. Entonces, si 6+a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = −6, obtenemosuna ecuacion del tipo 0 = 23, es decir, imposible.

Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible.

En cualquier otro caso, podemos despejar x,x =23

6 + a, y se puede sacar y sustituyendo, por tanto,

si a �= −6, el sistema es compatible determinado.

Ejercicio 3.3 Discutir los sistemas en funcion del parametrodesconocido:

a){

x+ y = 5ax+ 2y = 10

b)

{ky + x =3x+y=1

2

3.4.Metodo de Gauss-Jordanecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan,inversa de una matriz y regla de Cramer.

Podemos anadir a los clasicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incognitas cuantas ecuaciones queramospara obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o mas ecuaciones.

En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos resenados anteriormente.Al aumentar el numero de ecuaciones, la resolucion del sistema por alguno de los tres metodos

clasicos se vuelve mas farragoso, por lo que conviene aplicar ya el conocido metodo de Gauss paradeterminar el tipo de sistema.

Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada,que tendra 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos.

Analizaremos tan solo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incognitas.La matriz ampliada generica es:

(A|B) =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

∣∣∣

∣

b1

b2

b3

Aplicar el metodo de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de lamatriz para obtener la matriz escalonada siguiente:

(A|B) =

a11 a12

0 a∗22

0 0∣∣∣b1

b∗2b∗3

Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema)eran:

84


T1) Multiplicar o dividir una fila por un numero real distinto de cero.T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un numero real no nulo.T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sı.Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son equivalentes al pri-

mero, es decir, tienen las mismas soluciones.Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento a31, utilizando

tambien la fila 1, y por ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de modo analogo al metodo deGauss-Jordan para la inversa.

Ademas, es conveniente en cada paso indicar la operacion realizada con las filas, poniendo enprimer lugar aquella que se va a sustituir por otra.

Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los casos siguientes:

1. a∗22 �= 0. Entonces hay dos posibilidades:

a) b∗3 �= 0. Sistema incompatible (hay una ecuacion del tipo 0=k), sin solucion.Geometricamente, puede ocurrir que:a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte.b) Las rectas se corten dos a dos (formen un triangulo).

b) b∗3 = 0. Aparece una ecuacion 0=0 que no influye en la resolucion del sistema, que reducido a las dos ecuaciones iniciales tiene solucion unica, es decir, el Sistema esCompatibleDeterminado.Geometricamente:a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta.b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto.

2. a∗22 = 0. Entonces hay tres posibilidades:

a) Si b∗2 = b∗3 = 0, aparecen dos ecuaciones 0=0, que no influyen en la resolucion del siste-ma, que ahora tiene infinitas soluciones (1 ecuacion y dos incognitas). Sistema compatibleindeterminado.

85

Geometricamente, las tres rectas coinciden (son la misma):

b) Si b∗2 � = 0, b∗3 = 0 o b ien b∗2 = 0, b∗3 � = 0, aparece una ecuacion 0=0 (que no influye) yotra0=k (que es imposible). El sistema es incompat-ible. Geometricamente:a) Dos rectas son paralelas y la otra las corta.b) Dos rectas coinciden y la otra es paralela.

c) Si b∗2 �= 0, b∗3 �= 0, hay dos ecuaciones 0=k que son imposibles, el sistema es incompatible.Geometricamente, las tres rectas son paralelas o dos son coincidentes y una paralela.

En cada uno de los casos, para determinar la posicion concreta de las rectas, basta representarlas.

Ejemplo 3.4 Estudiar el sistema siguiente, dando la interpretacion geometrica:

−x+ 2y = 53x+ y = 72x+ 3y = 12


86


A partir de la matriz ampliada y aplicando el metodo de Gauss, obtenemos:

(A|B) =

−1 23 12 3

∣∣∣5712

F2+3F1

F−−−−−−→3+2F1

−1 20 70 7

∣∣∣52222

F3−F2−−−−→

−1 20 70 0

∣∣∣5220

En este caso aparece una ecuacion 0=0 que no influye y el elemento a∗22 es no nulo. El sistema escompatible determinado, tiene solucion unica.

Geometricamente, puede ocurrir que:a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta.b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto.Resolviendo y dibujando, obtenemos:

−x+ 2y = 57y = 22

}

De donde y =227

y sustituyendo es x =97(compruebalo).

Dibujando las rectas:

Figura 3.5: SS olucion geométrica del sistema.

Se observa que las rectas se cortan en un punto, precisamente el punto solucion del sistema: P =(97,227

).

Ejercicios 3.4a) Resuelve e interpreta geometricamente los sistemas:

a)

x+ y = 0−x + y = 2x+ 3y = −2

b)

x − y = −2x+ 2y = 1

4x − 10y = −14c)

2x+ y = 2−x+ y = −3

y = −2xb) Discute y resuelve en funcion del parametro:

a)

x − y = 1x+ 2y = −12x+ my = 0

b)

2x+ y = 3−x+ 3y = 0mx+ 4y = 3

87


Cuando los sistemas tienen mas de dos ecuaciones y tres o mas incognitas se utilizara el ya conocidometodo de Gauss.

Ahora partiremos de la matriz ampliada:

(A|B) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣b1

b2

b3

para dejar dicha matriz escalonada, es decir, del tipo:

a11 a12 a13

0 a∗22 a∗23

0 0 a∗33

∣∣∣b1

b∗2b∗3

utilizando las transformaciones conocidas, y de la forma indicada en ocasiones anteriores.Los tipos de sistema que pueden obtenerse dependiendo del numero de soluciones son los resenados

en apartados anteriores.Al aplicar el metodo de Gauss podemos encontrarnos con distintos casos:* Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos, el sistema es compatible determi-

nado, tiene solucion unica.* Si se obtiene una o mas filas en las que todos los elementos sean cero, el sistema tiene infinitas

soluciones, y hay que despejar una o varias incognitas en funcion de otras, es un sistema compatibleindeterminado.

* Si se obtiene una o mas filas de ceros, salvo el elemento correspondiente al termino independiente,que es distinto de cero, digamos k, entonces como la fila en cuestion corresponderıa a una ecuaciondel tipo 0 = k , lo que es imposible, el sistema no tiene solucion y por tanto es incompatible.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3.5. Resolver por Gauss:

2x+ y − z = 11x − 3y = −20

4x+ 2y + 5z = 8.

La matriz ampliada es (A|B) =

2 1 −11 −3 04 2 5

∣∣∣

∣

11−208

. Aplicando el metodo de Gauss:

2 1 −11 −3 04 2 5

∣∣∣

∣

11−208

2F2−F1−−−−−−→

F3−2F1

2 1 −10 −7 10 0 7

∣∣∣

∣

11−51−14

=⇒

2x+ y − z = 11−7y + z = −51

7z = −14

obtenemos un sistema escalonado, que es compatible y determinado, pues podemos despejar z,obteniendo z = −2, y luego −7y − 2 = −51, de donde −7y = −49 es decir y = 7 y sustituyendo en laprimera ecuacion es 2x+ 7 + 2 = 11, luego 2x = 2 , es decir x = 1.

La solucion es (1, 7,−2).Este proceso de resolucion, que comienza calculando z y permite calcular las demas incognitas

sustituyendo en las ecuaciones anteriores se denomina sustitucion regresiva.

Interpretacion geometrica de los sistemas con 3 ecuaciones y 3 incognitas

Como cada ecuacion lineal con 3 incognitas corresponde a un plano en el espacio, la solucion delsistema correspodera a la posicion en que dichos planos esten en el espacio.

Lo mas sencillo es saber que ocurre con los planos 2 a 2, pues en el espacio dos planos solo puedenestar en 3 posiciones:

88


* Son coincidentes: Lo cual es facil de saber porque sus correspondientes ecuaciones tienen coefi-cientes de las incognitas y los terminos independientes proporcionales, es decir, si los planos son:

{α ≡ Ax+ By +Cz = D

β ≡ A′x+ B′y + C′z = D′

entonces se verifica:A

A′ =B

B′ =C

C′ =D

D′

(siempre que se puedan realizar las divisiones).Por ejemplo, los planos 2x+ 3y − z = 5, y −10x − 15y + 5z = −15 son coincidentes.* Son paralelos: Tambien es sencillo de saber porque los coeficientes de las incognitas son propor-

cionales, pero los terminos independientes NO. Es decir, en este caso:{

α ≡ Ax+ By +Cz = D

β ≡ A′x+ B′y + C′z = D′


A′ =B

B′ =C

C′ �=D

D′

(siempre que se puedan realizar las divisiones).Por ejemplo, los planos 2x+ 3y − z = 5 y −10x − 15y + 5z = 7 son paralelos.* Son secantes: Simplemente los coeficientes no son proporcionales, es decir:

{α ≡ Ax+ By +Cz = D

β ≡ A′x+ B′y + C′z = D′


A′ �=B

B′ �=C

C′ �=D

D′

(siempre que se puedan realizar las divisiones, y basta con que un par de ellas correspondientes a lasincognitas sean diferentes).

Por ejemplo, los planos 7x+ 3y − z = 5 y −10x − 15y + 5z = 7 son secantes.

Puesto que podemos determinar la posicion de los planos 2 a 2, podemos determinar en que posicionse encuentran los 3 a la vez, fijandonos en los casos:

1. Si el sistema es S.C.D. (Solucion unica), es que los tres planos se cortan en un punto, que es lasolucion del sistema.

2. Si el sistema es S.C.I. (Infinitas soluciones), puede ocurrir que:

a) Los tres planos se corten en una recta.

b) Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta.

c) Los tres planos son coincidentes.

89

Y determinaremos la opcion correspondiente estudiandolos de dos en dos.

3. Si el sistema es S.I. (Sin solucion), puede ocurrir que:

a) Los planos se cortan dos a dos.

b) Dos planos son paralelos y el otro los corta.

c) Los tres planos son paralelos.

d) Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos.

Y determinaremos la opcion correspondiente estudiandolos de dos en dos.

Ejemplo 3.6 .Estudiar el sistema e interpretarlo geometricamente:

2x+ y − z = −63x − y + z = −54x+ 2y − 2z = −1

Aplicando Gauss a (A|B) =

2 1 −13 −1 14 2 −2

∣∣∣−6−5−1

, se obtiene:

2 1 −13 −1 14 2 −2

∣∣∣−6−5−1

2F2−3F1−−−−−→

F3−2F1

2 1 −10 −5 50 0 0

∣∣∣−6811

=⇒

2x+ y − z = −6−5y + 5z = 8

0 = 11

Lo que indica que el sistema es incompatible y por tanto no tiene solucion, los planos no tienen puntoscomunes.


90


Si estudiamos la posicion de los planos 2 a 2, se obtiene que el primero y el segundo tienencoeficientes que no son proporcionales, luego se cortan.

El primero y el tercero tienen coeficientes proporcionales pero no los terminos independientes,luego son paralelos.

Y el segundo y el tercero no tienen coeficientes proporcionales, por lo que se cortan.Concluimos por tanto que los planos primero y tercero son paralelos y son cortados por el segundo

plano, esta es la interpretacion geometrica:

Ejercicios 3.7 Estudiar e interpretar geometricamente lossistemas:

a)

2x − y + 3z = −14x − 2y + 6z = −5−2x+ y − 3z = −7

b)

x+ y + z = 22x+ y + 3z = 1x+ 2y + z = 4

c) x+ y − z = −22x − y + 3z = −53x+ 2z = −7

d)

x+ y + z = 87x+ y + 6z = 7x + 7y + z = 1

Si aparece algun coeficiente desconocido,aplicaremos el metodo de Gauss e investigaremos segunlos valores del parametro la posibilidad de que aparezca o no una fila de ceros.

Ejemplo 3.7. Discutir segun los valores de mx+ y + z = m+1

x+ y + (m − 1)z = m

x + 7y + z = 1Aplicando Gauss a la matriz ampliada:

1 1 1m 1 m − 11 m 1

∣∣∣

∣

m+ 1m

1

F2−mF1−−−−−→

(m�=0)

1 1 10 1− m −11 7 1

∣∣∣

∣

m+ 1−m2

1

F3−F1−−−−→

F3−F1−−−−→

1 1 10 1− m −10 m − 1 0

∣∣∣m+ 1−m2

−m

F3+F2−−−−→

1 1 10 1− m −10 0 −1

∣∣∣m+ 1−m2

−m − m2

Debemos, llegados a este punto, fijarnos en dos aspectos:a) El desarrollo anterior solo es posible si m �= 0, luego el caso m = 0 debe estudiarse por separado.b) En el sistema escalonado final, hay problemas cuando el valor 1 − m = 0, es decir, cuando

m = 1. En cualquier otro caso, no hay problemas.De modo que, resumiendo, si m �= 0 y m �= 1, el sistema es S.C.D.Estudiemos ahora cada caso por separado:Si m = 0, al aplicar Gauss, queda:

1 1 10 1 −11 0 1

∣∣∣101

F3−F1−−−−→

1 1 10 1 −10 −1 0

∣∣∣100

F3+F2−−−−→

1 1 10 1 −10 0 −1

∣∣∣100

91


3.4.1. Inversa de una Matriz Cuadrada

En la presente seccion, presentaremos un breve estudio sobre las matrices invertibles y

sus aplicaciones en la resolucion de los sistemas de ecuaciones, cabe destacar que se pueden

definir inversas laterales de matrices no cuadradas, sin embargo, solo estudiaremos el caso de

matrices cuadradas.

Definicion 3.1 sea A ∈ Mn×n(R). diremos que A es invertible si existe una matriz B ∈Mn×n(R) tal que

AB = In = BA

Cualquier matriz B que satisfaga las igualdades anteriores es llamada inversa de A.

Ejemplo 3.8. Si A =

[2 −2

−3 4

], entonces B =

[2 1

32

1

]es una inversa de A ya que

AB =

[2 −2

−3 4

][2 1

32

1

]=

[4− 3 2− 2

3− 3 −3 + 4

]=

[1 0

0 1

]= I2

AB =

[2 1

32

1

][2 −2

−3 4

]=

[4− 3 −4 + 4

3− 3 −3 + 4

]=

[1 0

0 1

]= I2

�

Teorema 3.5. Si A ∈ Mn×n(R) es invertible, entonces A tiene solo una inversa, es decir,

existe una unica matriz B ∈Mn×n(R) tal que AB = In = BA, tal matriz es denotada por A−1.

Demostracion. Supongamos que A ∈Mn×n(R) es invertible y que B, C ∈ Mn×n(R) son

inversas de A. Entonces

AB = In = BA (3.6)

AC = In = CA (3.7)

Luego

C = CIn

= C(AB)

= (CA)B

= InB

= B

92


Teorema 3.6. Sean A, B ∈Mn×n(R) dos matrices invertibles y α ∈ R con α 6= 0. Entonces

1. A−1 es invertible y (A−1)−1

= A (propiedad involutiva de la inversa)

2. AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1 (inversa del producto matricial)

3. αA es invertible y (αA)−1 = α−1A−1 (inversa del multiplo escalar)

4. AT es invertible y (AT)−1

= (A−1)T

(inversa de la transpuesta)

Demostracion.

1. Se deduce directamente de la definicion de matriz invertible.

2. En primer lugar

(AB)(B−1A−1) = ABB−1A−1

= A(BB−1)A−1

= AInA−1

= (AIn)A−1 =

AA−1

= In (definicion de matriz inversa)

Ademas

(B−1A−1)(AB) = B−1A−1AB

= B−1(A−1A)B

= B−1InB=

(B−1In)B =

B−1B

= In (definicion de matriz inversa)Luego, por el teorema 2.19, tenemos que AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1

.

93


3. Veamos

−1(α A))A−1 (αA)(α−1A−1)=(α

= ((α −1α )A)A−1

= (1 ·A)A−1

= AA−1

= In

Analogamente, se prueba que (α−1A−1)(αA) = In. Nuevamente, usando el teorema2.19,se tiene que α A es invertible y (αA)−1 = α−1A−1.

4. Por un lado

AT (A−1)T = (A−1A)T

= (In)T

= In

Por otro lado

(A−1)T AT = (AA−1)T

= (In)T

= In

Teorema 3.6. Toda matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemen

tal.

Demostracion. Sea E ∈Mn×n(R) una matriz elemental. Entonces existe una OEF f : Fn(R)→Fn(R) tal que E = f(In). El ejercicio 2.3 garantiza que f es invertible y su inversa f−1 es tambien

una OEF sobre Fn(R), ası que F = f−1(In) es una matriz elemental, ademas

EF = f(In)f−1(In)

= f(f−1(In)) = In

94


y

FE = f−1(In)f(In)

= f−1(f(In)) =

In

Luego, E es invertible y E−1 = F , es decir, (f(In))−1 = f−1(In).

Ahora bien ¿como saber si una matriz cuadrada A es o no invertible? y en caso de que lo

sea ¿como hallar A−1? Estas dos preguntas pueden ser respondidas mediante un procedimiento

unico. Daremos un ejemplo sencillo que ilustrara tal procedimiento.

Ejemplo 3.9. En cada uno de los siguientes casos decidir si A es o no invertible, en caso

afirmativo, hallar A−1.

1. A =

[2 −2

−3 4

]

2. A =

[2 −8

−3 12

]

Solucion.

1. Supongamos que A es invertible y sea

B =

[x y

z w

]

tal que AB = I2, ası que

A

[x

z

]=

[1

0

]y A

[y

w

]=

[0

1

]

como la matriz de ambos sistemas es la misma, a saber A, podemos resolverlos de manera

simultanea considerando la siguiente matriz 2 veces ampliada

[A|I2] =

[2 −2 1 0

−3 4 0 1

]

95

III Sistemas de Ecuaciones Lineales

Al hallar la FERF de esta matriz, las tercera y cuarta columnas nos daran, respectivamente,

las soluciones del primer y segundo sistema, si existen, que a su vez nos daran, respecti-

vamente, las primera y segunda columnas de B, si existe. Hallemos entonces la FERF de

esta matriz.

[A|I2] =

[2 −2 1 0

−3 4 0 1

]F1 → 1

2F1→

[1 −1 1

20

−3 4 0 1

]

F2 → F2 + 3F1→

[1 −1 1

20

0 1 32

1

]F1 → F1 + F2→

[1 0 2 1

0 1 32

1

]

Por lo tanto

B =

[2 1

32

1

]

El lector puede verificar que BA = I2, por lo tanto, A es invertible y

A−1 = B =

[2 1

32

1

]

2. Como en el caso anterior, supongamos que existe

B =

[x y

z w

]

tal que AB = I2, al igual que antes, hallemos la FERF de la matriz [A|I2]

[A|I2] =

[2 −8 1 0

−3 12 0 1

]F1 → 1

2F1→

[1 −4 1

20

−3 12 0 1

]

F2 → F2 + 3F1→

[1 −1 1

20

0 0 32

1

]

La ultima fila de esta ultima matriz equivale a las ecuaciones

0 · x + 0 · z =3

20 · y + 0 · w = 1

Por lo tanto, no existe matriz B tal que AB = I2, en consecuencia, A no es invertible.

96


Estos dos ejemplos, como dijimos antes, ilustran el procedimiento general para decidir si una

matriz cuadrada A es o no invertible, ademas, en caso afirmativo, nos permite hallar A−1.

Algoritmo para decidir si una matriz A ∈ Mn×n(R) es o no invertible, y en caso

afirmativo mostrar la matriz A−1.

Paso 1. Formar la matriz ampliada [A|In].

Paso 2. Hallar la FERF de la matriz en el paso previo.

Paso 3. Si la matriz en el paso previo es [In|B], entonces A es invertible y A−1 = B, sino

A no es invertible.

Ejemplo 3.10. Decidir si la matriz

A =

2 0 3 1

−1 1 1 3

1 −1 2 −2

0 1 −1 2

es invertible o no, en caso afirmativo, hallar A−1.

Solucion.

2 0 3 1 1 0 0 0

−1 1 1 3 0 1 0 0

1 −1 2 −2 0 0 1 0

0 1 −1 2 0 0 0 1

F1 ↔ F3→

1 −1 2 −2 0 0 1 0

−1 1 1 3 0 1 0 0

2 0 3 1 1 0 0 0

0 1 −1 2 0 0 0 1

F2 → F2 + F1→F3 → F3 − 2F1

1 −1 2 −2 0 0 1 0

0 0 3 1 0 1 1 0

0 2 −1 5 1 0 −2 0

0 1 −1 2 0 0 0 1

F2 ↔ F4→

1 −1 2 −2 0 0 1 0

0 1 −1 2 0 0 0 1

0 2 −1 5 1 0 −2 0

0 0 3 1 0 1 1 0

97

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales

F1 → F1 + F2→F3 → F3 + 2F2

1 0 1 0 0 0 1 1

0 1 −1 2 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0 −2 −2

0 0 3 1 0 1 1 0

F1 → F1 − F3→F2 → F2 + F3

F4 → F4 − 3F3

1 0 0 −1 −1 0 3 3

0 1 0 3 1 0 −2 −1

0 0 1 1 1 0 −2 −2

0 0 0 −2 −3 1 7 6

F4 → −12F4→

1 0 0 −1 −1 0 3 3

0 1 0 3 1 0 −2 −1

0 0 1 1 1 0 −2 −2

0 0 0 1 32−1

2−7

2−3

F1 → F1 + F4→F2 → F2 − 3F4

F3 → F3 − F4

1 0 0 0 12−1

2−1

20

0 1 0 0 −72

32

172

8

0 0 1 0 −12

12

32

1

0 0 0 1 32−1

2−7

2−3

Luego A es invertible y

A−1 =

12−1

2−1

20

−72

32

172

8

−12

12

32

1

32−1

2−7

2−3

=

1

2

1 −1 −1 0

−7 3 17 16

−1 1 3 2

3 −1 −7 −6

El siguiente teorema nos sera muy util a la hora de saber si una matriz es o noinvertible.

Teorema 3.7. Sea A ∈Mn×n(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.

1. A es invertible.

2. El sistema Ax = b tiene una unica solucion para cada b ∈Mn×1(R).

3. El sistema homogeneo Ax = 0/n×1 tiene como unica solucion la trivial.

4. A es equivalente por filas a In.

98


5. Existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈Mn×n(R) tales que A = E1E2 · · ·Er.

Demostracion.

(1.⇒ 2.) Supongamos que A es invertible. Entonces, por definicion de matriz inversa, existe

A−1 ∈Mn×n(R) tal que AA−1 = In = A−1A

Sean b ∈Mn×1(R) cualquiera y x0 ∈Mn×1(R) una solucion del sistema Ax = b. Entonces

x0 = Inx0

= (A−1A)x0

= A−1(Ax0)

= A−1b (pues x0 es solucion del sistema Ax = b)

Ası que el sistema Ax = b tiene como unica solucion x0 = A−1b.

(2.⇒ 3.) Supongamos que el sistema Ax = b tiene una unica solucion para cada b ∈Mn×1(R). Entonces el sistema Ax = 0tiene una unica solucion, pero sabemos que

x = 0/n×1 es solucion de este sistema (observacion 2.19), ası que la unica solucion de

dicho sistema es la solucion trivial.

(3.⇒ 4.) Supongamos que el sistema homogoneo Ax = 0/n×1 tiene como unica solucion la trivial.

Procederemos por reduccion al absurdo. Supongamos que A no es equivalente por filas a

In. Por lo tanto, usando la observacion 2.17, si CA es la FERF de A, entonces CA debe

tener alguna fila nula, la cual debe estar ubicada en la ultima posicion pues CA es escal-

onada reducida por filas, esta fila equivale a la ecuacion

0 · x1 + 0 · x2 + · · ·+ 0 · xn = 0

donde

x =

x1

x2

...

.

xn

y en consecuencia no aporta ninguna informacion a la solucion del sistema Ax = 0/n×1.

Definamos DA ∈ M(n−1)×n(R) la matriz que se obtiene al eliminar la ultima fila de CA.

Luego el sistema homogeneo Ax = 0/n×1 es equivalente al sistema homogeneo DAx = 0/(n−1)×1

99


el cual, en virtud del teorema 2.16, tiene infinitas soluciones, de donde, el sistema Ax = 0/n×1

tiene infinitas soluciones, lo cual contradice la hipotesis, por lo tanto A es equivalente por

filas a In.

(4.⇒ 5.) Supongamos que A es equivalente por filas a In. Entonces existen OEF f1, f2, . . . , fr :

Fn(R)→ Fn(R) tales que

A = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(In)

Luego, usando recursivamente el corolario 2.12 partes 1 y 2, tenemos que

A = f1(In)f2(In) · · ·fr(In)

Ası que la matriz Ei = fi(In) es elemental para cada i ∈ {1, . . . , r} y ademas

A = E1E2 · · ·Er

(5.⇒ 1.) Supongamos que A = E1E2 · · ·Er donde E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R) son matrices ele-

mentales. Dado que toda matriz elemental es invertible (teorema 2.21) y usando recur-

sivamente la parte 2 del teorema 2.20, se tiene que A es invertible.


Teorema 3.8.Sean A, B ∈ Mn×n(R). Si AB = In, entonces BA = In; y en consecuencia

A−1 = B.

Demostracion. Supongamos que AB = In. Sea xh una solucion del sistema homogeneo Bx =

0/n×1. Entonces

Bxh = 0/n×1 (3.8)

Luego

xh = Inxh

= (AB)xh

= A(Bxh) =

A 0/n×1

100


Ası que la unica solucion del sistema homogeneo Bx = 0/n×1 es la trivial, y en virtud del teorema

2.22, B es invertible. Ademas

A = AIn

= A(BB−1) =

(AB)B−1

= InB−1

= B−1

Por lo tanto BA = In (definicion de inversa) y como consecuencia A−1 = (B−1)−1 = B.

Observacion 3.1. El teorema 2.23 nos permite garantizar que A−1 = B solo con probar que

AB = In o BA = In.

Ejercicio 3.5. Sean A, B ∈Mn×n(R). Pruebe que si AB es invertible, entonces A y B tambien

son invertibles.

3.4. Metodos de solucion de un sistema. de ecuaciones lineales.

En esta seccion trataremos los determinantes y algunas de sus propiedades, en primer lugar

definiremos los determinantes de orden 2, continuando luego con los determinantes de

orden 3, para finalmente definir los determinantes de orden n.

Definicion 3.2. Sea A =

[a11 a12

a21 a22

]∈M2×2(R). Definiremos el determinante de A, como

el numero real det(A) = |A|, dado por

det(A) = |A| =∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣= a11a22 − a12a21

este tipo de determinante se suele llamar determinante de orden 2.


[−6 5

−7 6

]

101


Solucion. det(A) = ∣∣∣−6 5

−7 6 ∣∣∣= (−6)6− 5(−7) = −36 + 35 = −1

Ejercicio 3.6. Pruebe que A =

[a11 a12

a21 a22

]∈ M2×2(R) es invertible si y solo si det(A) 6= 0.

Ademas, si A es invertible, entonces A−1 =1

det(A)

[a22 −a12

−a21 a11

]

Definicion 3.2. Dada la matriz

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∈M3×3(R)

Definiremos el determinante de A, denotado por det(A) o |A|, como

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣

∣∣∣= a11

∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣− a12

∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣+ a13

∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣

este tipo de determinante es llamado determinante de orden 3.

Observacion 3.1Notese que estamos definiendo el determinante de orden 3 en funcion de

determinantes de orden 2.


2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

Solucion.

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣

∣∣∣= 2

∣∣∣ 1 5

0 6

∣∣∣− (−3)∣∣∣ −6 5

−7 6

∣∣∣+ (−1)

∣∣∣ −6 1

−7 0

∣∣∣

= 2(6− 0) + 3(−36 + 35)− (0 + 7) = 2

102


Observacion 3.2. Una forma muy sencilla recordar la formula de determinantes de orden 3

es la siguiente

∣∣∣

a11 a12 a13

ց ւa21 a22 a23


∣∣∣

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21

ւց

ցւa11 a12 a13

ւ ցa21 a22 a23

←{

no es parte del determinante, es solo para

ayudar a recordar la formula

Los productos generados por las flechas rojas (ց) se colocan con signo positivo, los que son

generados por las flechas azules (ւ) se colocan con signo negativo.

Puede verificar que la igualdad anterior es cierta. Tambien se puede hacer el calculo si en lugar

de colocar las dos primeras filas al final, se colocan las dos ultimas filas en la parte superior, las

dos primeras columnas a la derecha o las dos ultimas columnas a la izquierda.

Este metodo se conoce como la metodo de Sarrus para el calculo de determinantes de orden

3 y solo es aplicable a determinantes de orden 3.

Ejemplo 3.12. Calculemos el determinante del ejemplo 1.23 usando este metodo.

Solucion.

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣ = 2 · 1 · 6 + (−6)0(−1) + (−7)(−3)5− (−1)1(−7)− 5 · 0 · 2− 6(−3)(−6)

2 −3 −1

−6 1 5

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣

∣∣∣= 12 + 0 + 105− 7− 0− 108 = 2

Que es lo mismo que el resultado obtenido antes.

103


Antes de definir determinantes de orden n, daremos dos definiciones previas.

Definicion 3.3. Sea A =∈ Mn×n(R). Para cada i, j ∈ {1, . . . , n} definamos la matriz MAij ∈

M(n−1)×(n−1)(R) que se obtiene de A al eliminar su i-esima fila y su j-esima columna, dicha

matriz es llamada ij-esimo menor de A.

Observacion 3.4. Si en lugar de eliminar una fila y una columna de A, eliminamos dos filas

y dos columnas de A, la matriz que se obtiene se denomina menor de segundo orden de A,

estas matrices se denotan por MAij,kl, lo que significa que se han eliminado las filas i e j

(con i 6= j) y las columnas k y l (con k 6= l) de A. De manera analoga se pueden definir

menores de

A ∈Mn×n(R) hasta de orden n− 1.

Observacion 3.5. Es claro que MAij,kl = MA

ji,lk = MAji,kl = MA

ij,lk para cada i, j, k, l ∈ {1, . . . ,n} con i 6= j y k 6= l.

Ejemplo 3.14. Consideremos la matriz

A =

−9 2 −1 4

0 8 −5 7

1 6 3 −6

−4 1 0 3

Hallar MA23; MA

42 y MA22.

Solucion.

MA23 =

−9 2 4

1 6 −6

−4 1 3

; MA

42 =

−9 −1 4

0 −5 7

1 3 −6

y MA

22 =

−9 −1 4

1 3 −6

−4 0 3

Definicion 3.4. Sea A ∈ Mn×n(R). Para cada i, j ∈ {1, . . . , n} definiremos el ij-esimo co-

factor de A como el numero real CAij dado por

CAij = (−1)i+j det MA

ij

)

Ejemplo 3.13 Para la matriz del ejemplo 2.25 se tiene que

104


CA23 = (−1)2+3 det MA

23

)= −

∣∣∣

−9 2 4

1 6 −6

−4 1 3∣∣∣= −(−162 + 4 + 48 + 96− 54− 6) = 74

CA42 = (−1)4+2 det MA

42

)=

∣∣∣

∣∣∣

−9 −1 4

0 −5 7

1 3 −6

∣∣∣

∣∣∣= −270 + 0− 7 + 20 + 189− 0 = −68

CA22 = (−1)2+2 det MA

22

)= ∣∣∣

−9 −1 4

1 3 −6

−4 0 3

∣∣∣ = −81 + 0− 24 + 48− 0 + 3 = −54

�

Pasemos ahora a definir los determinantes de orden n. En primer lugar notemos que la formula

dada en la definicion 2.18 puede ser escrita como

det(A) = |A| = a11CA11 + a12C

A12 + a13C

A13

La idea es generalizar esta formula para una matriz A de orden n.

Definicion 3.5. Sea A ∈ Mn×n(R). Definiremos el determinante de A, determinante de

orden n, como el numero real det(A) = |A| dado por

det(A) = |A| =∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...

.....

. . .....

an1 an2 · · · ann

∣∣∣=

n∑

j=1

a1jCA1j =

n∑

j=1

a1j(−1)1+j det MA1j

)

Ejemplo 3.14. Hallar el determinante de la matriz del ejemplo2.25

Solucion.

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

∣

−9 2 −1 4

0 8 −5 7

1 6 3 −6

−4 1 0 3

∣∣∣

∣∣∣

∣

= (−9)(−1)1+1 det MA11

)+ 2(−1)1+2 det MA

12

)+ (−1)(−1)1+3 det MA

13

)

+4(−1)1+4 det MA14

)

105


det(A) = −9

∣∣∣

∣∣∣

8 −5 7

6 3 −6

1 0 3

∣∣∣

∣∣∣− 2

∣∣∣

∣∣∣

0 −5 7

1 3 −6

−4 0 3

∣∣∣

∣∣∣−

∣∣∣

∣∣∣

0 8 7

1 6 −6

−4 1 3

∣∣∣

∣∣∣− 4

∣∣∣

∣∣∣

0 8 −5

1 6 3

−4 1 0

∣∣∣

∣∣∣

= −9(72 + 0 + 30− 21− 0 + 90)− 2(0 + 0− 120 + 84− 0 + 15)

−(0 + 7 + 192 + 168− 0− 24)− 4(0− 5− 96− 120− 0− 0)

= −1539 + 42− 343 + 884 = −956

Ejemplo 3.15. Calcular el determinante de la matriz

A =

2 0 0 0 0

12 1 0 0 0

−3 0 −3 0 0

5 −8 7 −1 0

−9 6 −7 0 −6

Solucion. Notemos primero que A es triangular inferior.

det(A) = |A| =

∣∣∣

2 0 0 0 0

12 1 0 0 0

−3 0 −3 0 0

5 −8 7 −1 0

−9 6 −7 0 −6∣∣∣

= 2(−1)1+1 det MA11

)+ 0(−1)1+2 det MA

12

)+ 0(−1)1+3 det MA

13

)

+0(−1)1+4 det MA14

)+ 0(−1)1+5 det MA

15

)

= 2(−1)1+1 det MA11

)+ 0(−1)1+2 det MA

12

)+ 0(−1)1+3 det MA

13

)

+0(−1)1+4 det MA14

)+ 0(−1)1+5 det MA

15

)

= 2

∣∣∣

∣∣∣

1 0 0 0

0 −3 0 0

−8 7 −1 0

6 −7 0 −6

∣∣∣

∣∣∣

106


det(A) = 2

1(−1)1+1

∣∣∣

∣∣∣

−3 0 0

7 −1 0

−7 0 −6

∣∣∣

∣∣∣+ 0(−1)1+2

∣∣∣

∣∣∣

0 0 0

−8 −1 0

6 0 −6

∣∣∣

∣∣∣

+0(−1)1+3

∣∣∣

∣∣∣

0 −3 0

−8 7 0

6 −7 −6

∣∣∣

∣∣∣+ 0(−1)1+4

∣∣∣

0 −3 0

−8 7 −1

6 −7 0

∣∣∣

= 2 · 1

∣∣∣

∣∣∣

−3 0 0

7 −1 0

−7 0 −6

∣∣∣

= 2 · 1 (−3)(−1)1+1 ∣∣∣ −1 0

0 −6 ∣∣∣+ 0(−1)1+2 ∣∣∣ 7 0

−7 −6 ∣∣∣+ 0(−1)1+3 ∣∣∣ 7 −1

−7 0 ∣∣∣

)

= 2 · 1(−3)∣∣∣ −1 0

0 −6

∣∣∣= 2 · 1(−3)((−1)(−6)− 0 · 0)

= 2 · 1(−3)(−1)(−6) = −36

El determinante de A es el producto de las componentes de la diagonal principal. Este resultado

se cumple siempre que A es una matriz triangular, superior o inferior, como veremos luego.

La demostracion del teorema que enunciaremos a continuacion escapa del objetivo del curso,

sin embargo, de el se derivan el resto de las propiedades que seran enunciadas mas adelante.el

Teorema 3.9. Si A = (aij)n×n ∈Mn×n(R), entonces

1. det(A) =n∑

j=1

aijCAij =

n∑

j=1


)para cada i ∈ {1, . . . , n} (Desarrollo del

determinante de A mediante la fila i-esima).

2. det(A) =n∑

i=1

aijCAij =

n∑

i=1


)para cada j ∈ {1, . . . , n} (Desarrollo del

determinante de A mediante la columna j-esima).

Demostracion. Investigarlo .

107


Ejemplo 3.16. Calcular el determinante de la matriz A del ejemplo 2.23 al desarrollar el de

terminante mediante la tercera fila y mediante la segunda columna.

Solucion. En primer lugar hallemos el determinante de A desarrollandolo mediante la tercera

fila.

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣

∣∣∣

= −7(−1)3+1∣∣∣ −3 −1

1 5

∣∣∣+ 0(−1)3+2

∣∣∣2 −1

−6 5 ∣∣∣+ 6(−1)3+3

∣∣∣ 2 −3

−6 1

∣∣∣

= −7(−15 + 1) + 0 + 6(2− 18) = 2

Ahora desarrollemos el determinante de A mediante la segunda columna.

det(A) = |A| =

∣∣∣

∣∣∣

2 −3 −1

−6 1 5

−7 0 6

∣∣∣

∣∣∣

= −3(−1)1+2∣∣∣ −6 5

−7 6

∣∣∣+ 1(−1)2+2

∣∣∣ 2 −1

−7 6

∣∣∣+ 0(−1)3+2

∣∣∣ 2 −1

−6 5

∣∣∣

= 3(−36 + 35) + (12− 7) + 0 = 2

Teorema 3.10. Si A ∈M×n(R), entonces det= det(A).

Demostracion. Se deja como ejercicio.

Sugerencia: proceder por induccion sobre n y usar el teorema 2.24

Teorema 3.11. Si A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R) una matriz triangular (superior o inferior), en-

tonces det(A) = a11a22 · · ·ann.

Demostracion. Procedamos por induccion sobre n. Supongamos, sin perder generalidad que

A es una matriz triangular superior.

Verifiquemos que la tesis se cumple para n = 2. Sea

A =

[a11 a12

0 a22

]

108


Entonces

det(A) = a11a22 − a12 · 0 = a11a22

Supongamos ahora que la tesis se cumple para n− 1, esto es, supongamos que para cualquier

matriz triangular superior A = (aij)(n−1)×(n−1) ∈ M(n−1)×(n−1)(R) se cumple que det(A) =

a11a22 · · ·a(n−1)(n−1) (Hipotesis Inductiva).

Probemos ahora que se cumple para n. Sea

A =

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

...

.. . .

. . .....

0 · · · 0 ann

Entonces, al desarrollar el determinante de A mediante la fila n, obtenemos

det(A) = 0 · CAn1 + · · ·+ 0 · CA

n(n−1) + annCAnn = ann(−1)n+n det(MA

nn) = ann det MAnn

)

Pero

MAnn =

a11 a12 · · · a1(n−1)

0 a22 · · · a2(n−1)

...

.. . .

. . . ...

0 · · · 0 a(n−1)(n−1)

es decir, MAnn es una matriz triangular superior de orden (n−1), por lo tanto, usando la Hipotesis

Inductiva, se tiene que det MAnn

)= a11a22 · · ·a(n−1)(n−1). Luego

det(A) = anna11a22 · · ·a(n−1)(n−1) = a11a22 · · ·a(n−1)(n−1)ann


Los teoremas que enunciaremos a continuacion, nos presentan las propiedades basicas del

determinante, estas propiedades nos permitiran hallar el determinante de una matriz sin hacer

demasiados calculos. Los enunciados de estas propiedades se daran solo para filas, sin embargo,

en virtud del teorema 2.25, se pueden enunciar propiedades analogas para columnas.

Teorema 3.12. Sea A ∈ Mn×n(R). Si existe s ∈ {1, . . . , n} tal que A(s) = 0/1×n, entonces

det(A) = 0, es decir, si A tiene una fila nula, su determinante es cero.

109


Demostracion. Sea A = (aij)n×n. Como A(s) = 0/1×n, entonces asj = 0 para cada j ∈ {1, . . . , n}.Ası que, al desarrollar el determinante de A por medio de la fila s, se tiene que

det(A) =n∑

j=1

asjCAsj =

n∑

j=1

0 · CAsj = 0

Teorema 3.14. Sean A, B ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existe s ∈ {1, . . . , n} tal que B(s) = αA(s)

y B(i) = A(i) para i 6= s, entonces det(B) = α det(A), esto es, si multiplicamos una fila de A

por un escalar α, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A

multiplicado por α .

Demostracion. Sean A = (aij)n×n y B = (bij)n×n. Como B(s) = αA(s) y B(i) = A(i) para i 6=s, entonces bsj = αasj para cada j ∈ {1, . . . , n} y ademas, la matriz que se obtiene al eliminar

la fila s de B coincide con la matriz que se obtiene al eliminar la fila s de A. Luego MAsj = MB

sj

para

cada j ∈ {1, . . . , n}Por lo tanto

CBsj = (−1)s+j det(MB

sj) = (−1)s+j det(MAsj) =

CAsj para cada j ∈ {1, . . . , n}.

Ejemplo 3.17. Sea

A =

2 −1 2

12 −16 4

−2 0 3

Entonces

det(A) =∣∣∣

2 −1 2

12 −16 4

−2 0 3

∣∣∣ = ∣∣∣

2 −1 2

4 · 3 4(−4) 4 · 1−2 0 3

∣∣∣= 4

∣∣∣

2 −1 2

3 −4 1

−2 0 3

∣∣∣

= 4[2(−4)3 + 3 · 0 · 2 + (−2)(−1)1− 2(−4)(−2)− 1 · 0 · 2− 3(−1)3]

= 4[−24 + 0 + 2− 16− 0 + 9] = 4(−29) = −116

�

110


Teorema 3.15. Sean A, B, C ∈ Mn×n(R). Si existe s ∈ {1, . . . , n} tal que C(s) = A(s) + B(s)

y C(i) = B(i) = A(i) para i 6= s, entonces det(C) = det(A) + det(B), dicho de otra manera, si

tenemos tres matrices A, B, C cuyas filas son identicas excepto la fila s, y que la fila s de C es

igual a la suma de la fila s de A con la fila s de B, entonces el determinante de C es igual a la

suma del determinante de A con el determinante de B.

Demostracion. Sean A = (aij)n×n, B = (bij)n×n y C = (cij)n×n. Sean A, B, C ∈ Mn×n(R).

Como C(s) = A(s) + B(s) y C(i) = B(i) = A(i) para i 6= s, entonces csj = asj + bsj para cada

j ∈ {1, . . . , n} y ademas, las matrices que se obtienen al eliminar la fila s de A, B y C son

iguales, ası que MAsj = MB

sj = MCsj para cada j ∈ {1, . . . , n}.

Por lo tanto

CCsj = CB

sj = CAsj

para cada j ∈ {1, . . . , n}En consecuencia

det(C) =n∑

j=1

csjCCsj =

n∑

j=1

(asj + bsj)CCsj =

n∑

j=1

asjCCsj +

n∑

j=1

bsjCCsj

=

n∑

j=1

asjCAsj +

n∑

j=1

bsjCBsj = det(A) + det(B)

Ejemplo 3.18 Sea A la matriz del ejemplo 2.30. Entonces

det(A) =

∣∣∣

∣∣∣

2 −1 2

12 −16 4

−2 0 3

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

4 + (−2) −1 2

6 + 6 −16 4

1 + (−3) 0 3

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

4 −1 2

6 −16 4

1 0 3

∣∣∣

∣∣∣+

∣∣∣

∣∣∣

−2 −1 2

6 −16 4

−3 0 3

∣∣∣

∣∣∣

= [4(−16)3 + 6 · 0 · 2 + 1(−1)4− 2(−16)1− 4 · 0 · 4− 3(−1)6] +

[−2(−16)3 + 6 · 0 · 2 + (−3)(−1)4− 2(−16)(−3)− 4 · 0(−2)− 3(−1)6]

= [−192 + 0− 4 + 32− 0 + 18] + [96 + 0 + 12− 96− 0 + 18]

= −146 + 30 = −116

�

Teorema 3.16. Sean A, B ∈ Mn×n(R). Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t, B(s) = A(t),

B(t) = A(s) y B(i) = A(i) para i 6= s y i 6= t, entonces det(B) = − det(A), en otras palabras,

si intercambiamos dos filas distintas de A, el determinante de la matriz resultante es igual al

determinante de A multiplicado por −1.

111


Ejemplo 3.19. Sea A la matriz del ejemplo 2.30 sea

B =

2 −1 2

4 −16 12

3 −2 -2

Las columnas 1 y 3 de B son, respectivamente, las columnas 3 y 1 de A y las fila 2 de B es igual

a la fila 2 de A. Ademas

det(B) =

∣∣∣

∣∣∣

2 −1 2

4 −16 12

3 0 −2

∣∣∣

∣∣∣

= 2(−16)(−2) + 4 · 0 · 2 + 3(−1)12− 2(−16)3− 12 · 0 · 2− (−2)(−1)4

= 64 + 0− 36 + 96− 0− 8 = 116 = − det(A)

�

Teorema 3.17. Sea A ∈ Mn×n(R). Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t y A(s) = A(t),

entonces det(A) = 0, es decir, si A tiene dos filas iguales, su determinante es igual a cero.

Demostracion. Sea B ∈Mn×n(R) la matriz que se obtiene al intercambiar las filas s y t de A.

Como A(s) = A(t), entonces B = A y ası det(B) = det(A).

Por otro lado, dado que s 6= t y segun el teorema 1.30, det(B) = −det(A).

Ası que det(A) = det(B) = − det(A) y en consecuencia det(A) = 0.

Ejemplo 3.20. Sea

A =

2 −1 −2

4 −16 12

2 −1 −2

Entonces

det(A) =

∣∣∣

∣∣∣

2 −1 −2

4 −16 12

2 −1 −2

∣∣∣

∣∣∣

= 2(−16)(−2) + 4(−1)(−2) + 2(−1)12− (−2)(−16)2− 12(−1)2− (−2)(−1)4

= 64 + 8− 24− 64 + 24− 8 = 0

112


�

Teorema 3.18. Sean A ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t y

A(s) = αA(t), entonces det(A) = 0, esto es, si una fila de A es un multiplo escalar de alguna otra

fila de A, su determinante es igual a cero.

Demostracion. Sea B ∈ Mn×n(R) tal que B(i) = A(i) para cada i ∈ {1, . . . , n} con i 6= s y

B(s) = A(t) = B(t). Por lo tanto, en virtud del teorema 1.31, se tiene que det(B) = 0.

Por otro lado, como A(s) = αA(t) = αB(t) = αB(s), entonces, usando el teorema 2.28, setiene

que det(A) = α det(B) = α0 = 0.

Ejemplo 3.21. Sea

A =

2 8 2

−4 −16 1

3 12 −2

Entonces la columna A(2) = 4A(1), ademas

det(A) =

∣∣∣

∣∣∣

2 8 2

−4 −16 1

3 12 −2

∣∣∣

∣∣∣

= 2(−16)(−2) + (−4)12 · 2 + 3 · 8 · 1− 2(−16)3− 1 · 12 · 2− (−2)8(−4)

= 64− 96 + 24 + 96− 24− 64 = 0

�

Teorema 3.19.Sean A, B ∈ Mn×n(R) y α ∈ R. Si existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que s 6= t,

B(s) = A(s) + αA(t) y B(i) = A(i) para i 6= s, entonces det(B) = det(A), dicho de otra forma, si

a una fila de A le sumamos un multiplo escalar de alguna otra fila de A, el determinante de la

matriz resultante es igual al determinante de A.

Demostracion. Sea C ∈ Mn×n(R) tal que C(i) = B(i) = A(i) para i 6= s y C(s) = αA(t). Por

lo tanto, dado que s 6= t y en virtud del teorema 1.32, det(C) = 0.

Ademas, como B(s) = A(s) + αA(t) = A(s) + C(s) y en virtud del teorema 1.29

det(B) = det(A) + det(C) = det(A) + 0 = det(A)

113



B =

2 −1 2

−2 −9 −10

−2 0 3

.AdemasAsı que B(2) = A(2) − 7A(1)

det(B) =

∣∣∣

∣∣∣

2 −1 2

−2 −9 −10

−2 0 3

∣∣∣

∣∣∣

= 2(−9)3 + (−2)0 · 2 + (−2)(−1)(−10)− 2(−9)(−2)− (−10)0 · 2− 3(−1)(−2)

= −54 + 0− 20− 36− 0− 6 = −116 = det(A)

�

El siguiente ejemplo nos da un metodo para calcular el determinante de una matriz A haciendo

uso de las propiedades dadas en los siete teoremas precedentes, como veremos, el calculo resulta

mucho mas sencillo que al usar la definicion.

Como se dijo en la observacion 2.15, usaremos tanto OEF como operaciones elementales por

columnas (OEC) para el calculo de determinantes, estas operaciones las indicaremos de manera

analoga a las OEF, salvo que en lugar de usar F usaremos C.

Ejemplo 3.23. Hallar el determinante de la matriz

A =

6 −1 2 13 2

−1 0 −1 −3 −1

0 −3 0 9 0

7 1 3 12 3

0 −2 4 1 −3

Solucion.

det(A) =

∣∣∣

∣∣∣

∣∣∣

6 −1 2 13 2

−1 0 −1 −3 −1

0 −3 0 9 0

7 1 3 12 3

0 −2 4 1 −3

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

∣∣∣

6 −1 2 10 2

−1 0 −1 −3 −1

0 −3 0 0 0

7 1 3 15 3

0 −2 4 −5 −3

∣∣∣

∣∣∣

C4 → C4 + 3C2

por teorema 2.33

)

114


det(A) = −3(−1)3+2

∣∣∣

∣∣∣

∣

6 2 10 2

−1 −1 −3 −1

7 3 15 3

0 4 −5 −3

∣∣∣

∣∣∣

∣

desarrollando el determinante

mediante la tercera fila

)

= 3∣∣∣

∣∣∣

0 −4 −8 −4

−1 −1 −3 −1

0 −4 −6 −4

0 4 −5 −3

∣∣∣

∣∣∣

∣

F1 → F1 + 6F2

F3 → F3 + 7F2

por teorema 1.33

= 3(−1)(−1)2+1∣∣∣

−4 −8 −4

−4 −6 −4

4 −5 −3

∣∣∣desarrollando el determinante


)

= 3∣∣∣

0 −13 −7

0 −11 −7

4 −5 −3∣∣∣

F1 → F1 + F3

F2 → F2 + F3

por teorema 1.33

= 3 · 4(−1)3+1∣∣∣ −13 −7

−11 −7

∣∣∣( desarrollando el determinante


)

= 12(−13(−7)− (−7)(−11)) = 12 · 14 = 168

Resuelva este ejercicio sin hacer uso de OEF ni OEC y compare ambos metodos ¿cual de los dos

le parece mas sencillo?

Teorema 3.19. Sea A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R). Entonces para cualesquiera s, t ∈ {1, . . . , n} con

s 6= t se tiene quen∑

k=1

askCAtk = 0 y

n∑

k=1

aksCAkt = 0

Demostracion. Sea s, t ∈ {1, . . . , n} con s 6= t. Definamos B = (bij)n×n tal que B(i) = A(i)

para cada i ∈ {1, . . . , n} con i 6= t y B(t) = A(s). Ası que, usando el teorema 1.31, det(B) = 0.

Por otro lado, las matrices que se obtienen al eliminar la fila t de B y la fila t de A, son iguales,

por lo tanto MBtk = MA

tk para cada k ∈ {1, . . . , n}, de donde CBtk = CA

tk. Luego, al desarrollar el

determinante de B mediante la fila t, se tiene que

det(B) =n∑

k=1

btkCBtk =

n∑

k=1

askCAtk

En consecuencia

n∑

k=1

askCAtk = 0, analogamente se prueba que

n∑

k=1

aksCAkt = 0.

115


Teorema 3.20. Si E ∈Mn×n(R) es una matriz elemental, entonces para cada A ∈Mn×n(R) se

tiene que det(EB) = det(E) det(B).

Demostracion. Como E ∈ Mn×n(R) es una matriz elemental, existe una OEF f : Fn(R) →Fn(R) tal que E = f(In). Luego, sando la parte 1 del corolario 1.12, se tiene que EA = f(In)A =

f(A).

Debemos proceder por casos sobre el tipo de OEF.

Caso 1. f es una OEF tipo 1. As que existen s ∈ {1, . . . , n} y α 6= 0 tales que E(s) = α (In)(s)

(donde (In)(s) es la fila s de In) y para i 6= s se tiene que E(i) = (In)(i). Luego

(f(A))(s) = αA(s) y para i 6= s tenemos (f(A))(i) = A(i).

Por lo tanto, segun el teorema 2.28,

det(E) = α det(In) = α · 1 = α

y

det(EA) = det(f(A)) = α det(A) = det(E) det(A).

Caso 2. f es una OEF tipo 2. Luego existen s, t ∈ {1, . . . , n}, con s 6= t, y α ∈ R tales que

E(s) = (In)(s) + α(In)(t) y E(i) = (In)(i) para i 6= s. As que (f(A))(s) = A(s) + αA(t) y

(f(A))(i) = A(i) para i 6= s.

Usando el teorema 2.33, tenemos que


y


Caso 3. f es una OEF tipo 3. Por lo tanto existen s, t ∈ {1, . . . , n} tales que E(s) = (In)(t),

E(t) = (In)(s) y E(i) = (In)(i) para i 6= s e i 6= t. De donde (f(A))(s) = A(s) + αA(t) y

(f(A))(i) = A(i) para i 6= s e i 6= t.

Si s = t, entonces E = In y f(A) = A, as que


116


y


Si s 6= t, podemos usar el teorema 1.30 y obtenemos

det(E) = − det(In) = −1

y

det(EA) = det(f(A)) = − det(A) = (−1) det(A) = det(E) det(A)

Observacion De la prueba del teorema 1.35, se tiene que si E ∈Mn×n(R) es una matriz

elemental, entonces det(E) 6= 0.

Corolario Sean E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R) matrices elementales. Entonces, para cada A ∈Mn×n(R), se tiene que det(E1E2 · · ·ErA) = det(E1) det(E2) · · ·det(Er) det(A).


orema 3.21. Si A ∈Mn×n(R) es una matriz ERF, entonces det(A) 6= 0 si y solo si A = In.

Demostracion. Sea A = (aij)n×n. Como A es ERF, entonces A es triangular superior (ver

ejercicio 1.5), ası que aij = 0 para i > j y det(A) = a11a22 · · ·ann.

Supongamos que det(A) 6= 0. Luego aii 6= 0 para cada i ∈ {1, . . . , n}. Como aij = 0 para i > j,

entonces para cada i ∈ {1, . . . , n}, la primera componente no nula en la i-esima fila es aii, y por

ser A una matriz ERF, se tiene que aii = 1 para cada i ∈ {1, . . . , n}, es decir, aii es un pivote y

por lo tanto aij = 0 para i 6= j (¿por que?). En resumen

aij =

{1 si i = j

0 si i 6= j

Es decir, A = In.

Recıprocamente, si A = In, entonces det(A) = 1 6= 0.

En el siguiente teorema se da una nueva equivalencia que involucra la inversa de una matriz

cuadrada.

117


Teorema 3.22. Sea A ∈Mn×n(R). Entonces A es invertible si y solo si det(A) 6= 0.

Demostracion. Sea B ∈Mn×n(R) la FERF A. Entonces existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈Mn×n(R) tales que B = E1E2 · · ·ErA. Como det(Ei) 6= 0 para cada i ∈ {1, . . . , r}, entonces

det(A) 6= 0 si y solo si det(B) 6= 0; y usando el teorema 1.37 se tiene que B = In. Por lo tanto

det(A) 6= 0 si y solo si la FERF de A es In, lo cual concluye la prueba.

Teorema 3.23 Sean A, B ∈Mn×n(R). Entonces det(AB) = det(A) det(B).

Demostracion.

Caso 1. det(A) = 0. Ası que, en virtud del teorema 1.38, A no es invertible. Luego, usando

el ejercicio 1.7, se tiene que AB no es invertible, y nuevamente por el teorema 1.38 se

tiene que det(AB) = 0. Por lo tanto

det(AB) = 0 = 0 det(B) = det(A) det(B)

Caso 2. det(A) 6= 0. Luego A es invertible, en virtud del teorema 1.38. Ası que, al usar

el teorema 1.22, tenemos que existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er ∈ Mn×n(R)

tales que A = E1E2 · · ·Er. Luego, por el corolario 1.36

det(A) = det(E1E2 · · ·Er) = det(E1) det(E2) · · ·det(Er) y

det(AB) = det(E1E2 · · ·ErB) = det(E1) det(E2) · · ·det(Er) det(B) = det(A) det(B)

Regla de Cramer

En esta seccion definiremos la adjunta de una matriz y enunciaremos la regla de Cramer ,

que a pesar de no ser una herramienta muy usada en la actualidad, es una interesante aplicacion

de los determinantes.

Definicion 3.22. Sea A ∈Mn×n(R). Se define la matriz adjunta de A como la matriz adj(A) ∈Mn×n(R) cuya ij-esima componente es el ji-esimo cofactor de A para cada i, j ∈ {1, . . . , n}, es

decir, si adj(A) = (bij)n×n, entonces bij = CAji para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}.

118

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Observacion Si C = (CAij )n×n, es decir, si C es la matriz real cuadrada cuya ij-esima

componente es el ij-esimo cofactor de A para cada i, j ∈ {1, . . . , n}, entonces adj(A) = CT .

Ejemplo 3.24 Hallar la adjunta de

A =

2 −1 3

1 0 2

4 −1 7

Solucion. Necesitamos hallar cada uno de los cofactores de A. Veamos

CA11 = (−1)1+1

∣∣∣ 0 2

−1 7

∣∣∣= 2; CA

12 = (−1)1+2∣∣∣ 1 2

4 7

∣∣∣= 1; CA

13 = (−1)1+3∣∣∣ 1 0

4 −1

∣∣∣= −1;

CA21 = (−1)2+1

∣∣∣ −1 3

−1 7

∣∣∣= 4; CA

22 = (−1)2+2∣∣∣ 2 3

4 7

∣∣∣= 2; CA

23 = (−1)2+3∣∣∣ 2 −1

4 −1

∣∣∣= −2;

CA31 = (−1)3+1

∣∣∣−1 3

0 2

∣∣∣= −2; CA

32 = (−1)3+2∣∣∣ 2 3

1 2 ∣∣∣= −1; CA

33 = (−1)3+3

∣∣∣2 −1

1 0

∣∣∣= 1;

As que

adj(A) =

CA11 CA

21 CA31

CA12 CA

22 CA32

CA13 CA

23 CA33

=

2 4 −2

1 2 −1

−1 −2 1

Teorema 3.24 Sea A ∈Mn×n(R). Entonces A adj(A) = det(A)In = adj(A)A.

Demostracion. Hagamos adj(A) = (bjk)n×n. Ası que para cada j, k ∈ {1, . . . , n}, se tiene que

bjk = CAkj.

Si hacemos A adj(A) = D = (dik)n×n, entonces, para cada i, k ∈ {1, . . . , n}, tenemos que

dik =

n∑

j=1

aijbjk =

n∑

j=1

aijCAkj.

Peron∑

j=1

aijCAij = det(A)

119


, si i 6= k, entonces

n∑

j=1

aijCAkj = 0

Por lo tanto

dik =

{det(A) si i = k

0 si i 6= k

= det(A)

{1 si i = k

0 si i 6= k

= det(A)δik

donde In = (δik)n×n. En consecuencia A adj(A) = det(A)In. De manera analoga se prueba que

adj(A)A = det(A)In, lo cual concluye la prueba.

Teorema 3.25. Si A ∈Mn×n(R) es invertible, entonces det(A−1) =1

det(A)y A−1 =

1

det(A)adj(A).

Demostracion. Como A es invertible, entonces existe A−1 ∈ Mn×n(R) tal que AA−1 = In =

A−1A, y por el teorema 1.39

det(A) det(A−1) = det(AA−1) = det(In) = 1.

Luego

det(A−1) =1

det(A).

Por otro lado, usando el teorema 1.40, se tiene que

A

(1

det(A)adj(A)

)=

1

det(A)A adj(A) =

1

det(A)det(A)In = In.

De donde

A−1 =1

det(A)adj(A).

Ejercicio Sea A ∈ Mn×n(R) una matriz invertible. Pruebe que adj(A) tambien es invertible y

ademas (adj(A))−1 = adj(A−1).

120


Consideremos la ecuacion matricial Ax = b, donde A ∈ Mn×n(R). Si A es invertible, entonces

la unica solucion de dicha ecuacion esta dada por x = A−1b, ası que, una forma de hallar la

solucion de la ecuacion en cuestion, es calcular la inversa de A y multiplicarla por b, pero quizas

esto es mucho mas complicado y costoso (en terminos de calculos) que hallar la FERF de la

matriz [A|b].En el siguiente teorema presentaremos una herramienta que permite resolver la ecuacion an-

terior usando determinantes, sin necesidad de hallar la inversa de A ni la FERF de [A|b], dicha

herramienta se conoce con el nombre de la regla de Cramer .

Teorema 3.25(Regla de Cramer). Sea A ∈ Mn×n(R) una matriz invertible y b ∈ Mn×1(R). Si

x =

x1

x2

...

xn

es la solucion de la ecuacion Ax = b, entonces, para cada j ∈ {1, . . . , n}, xj =

det(Abj)

det(A),

donde Abj es la matriz que se obtiene de A al reemplazar A(j) (la columna j) por b, esto es,

Abj =

[A(1) · · · A(j−1) b A(j+1) · · · A(n)

]

Demostracion. Como A = (aij)n×n es invertible, entonces la unica solucion del sistema Ax = b

es x = A−1b, pero A−1 =1

det(A)adj(A), ası que x =

1

det(A)adj(A)b, por lo tanto, si b =

b1

b2

...

.

bn

,

entonces xj =1

det(A)

n∑

i=1

CAijbi para cada j ∈ {1, . . . , n}.

Por otro lado, para cada j ∈ {1, . . . , n}, se tiene que

Abj =

a11 · · · a1(j−1) b1 a1(j+1) · · · a1n

...

.....

...

.....

...

.

a(i−1)1 · · · a(i−1)(j−1) bi−1 a(i−1)(j+1) · · · a(i−1)n

ai1 · · · ai(j−1) bi ai(j+1) · · · ain

a(i+1)1 · · · a(i+1)(j−1) bi+1 a(i+1)(j+1) · · · a(i+1)n

...

. ... ... ... ...

an1 · · · an(j−1) bn an(j+1) · · · ann

Por lo tanto, para cada i ∈ {1, . . . , n}, tenemos que MAb

j

ij = MAij y ası

CAb

j

ij = (−1)i+j det(M

Abj

ij

)= (−1)i+j det MA

ij

)= CA

ij

121


Luego, al desarrollar el determinante de Abj por medio de la j-esima columna, obtenemos

det(Abj) =

n∑

i=1

CAb

j

ij bi =

n∑

i=1

CAijbi

En consecuencia, para cada j ∈ {1, . . . , n} tenemos que

xj =det(Ab

j)

det(A)

Ejemplo 3.25. Verificar que la matriz del sis-tema

x +2z −w = 3

x +y +2z +w = 2

4x +2y +2z −3w = 1

2y +z +4w = 1

es invertible y usar la regla de Cramer para hallar la solucion del sistema.

Solucion. La matriz del sistema es

A =

1 0 2 −1

1 1 2 1

4 2 2 −3

0 2 1 4

hallemos su determinante

det(A) =

∣∣∣

1 0 2 −1

1 1 2 1

4 2 2 −3

0 2 1 4

∣∣∣=

∣∣∣

1 0 2 −1

0 1 0 2

0 2 −6 1

0 2 1 4

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

1 0 2

2 −6 1

2 1 4

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

1 0 0

2 −6 −3

2 1 0

∣∣∣

∣∣∣

=∣∣∣ −6 −3

1 0

∣∣∣= 3 6= 0.

Por lo tanto la matriz del sistema es invertible, ası que podemos aplicar la regla de Cramer para

resolverlo. En este caso la matriz de terminos independientes es

b =

3

2

1

1

122


Luego

det Ab1

)=

∣∣∣

∣∣∣

3 0 2 −1

2 1 2 1

1 2 2 −3

1 2 1 4

∣∣∣

∣∣∣

∣

=∣∣∣

∣∣∣

0 −6 −1 −13

0 −3 0 −7

0 0 1 −7

1 2 1 4

∣∣∣

∣∣∣

∣

= −

∣∣∣

∣∣∣

−6 −1 −13

−3 0 −7

0 1 −7

∣∣∣

∣∣∣

= − ∣∣∣−6 0 −20

−3 0 −7

0 1 −7

∣∣∣ = ∣∣∣−6 −20

−3 −7 ∣∣∣= 42− 60 = −18.

det Ab2

)=

∣∣∣

∣∣∣

1 3 2 −1

1 2 2 1

4 1 2 −3

0 1 1 4

∣∣∣

∣∣∣

=

∣∣∣

∣∣∣

∣

1 3 2 −1

0 −1 0 2

0 −11 −6 1

0 1 1 4

∣∣∣

∣∣∣

= ∣∣∣

−1 0 2

−11 −6 1

1 1 4

∣∣∣

=∣∣∣

−1 0 0

−11 −6 −21

1 1 6

∣∣∣

∣∣∣= −

∣∣∣ −6 −21

1 6

∣∣∣= −(−36 + 21) = 15.

det Ab3

)=

∣∣∣

1 0 3 −1

1 1 2 1

4 2 1 −3

0 2 1 4

∣∣∣=

∣∣∣

1 0 2 −1

0 1 −1 2

0 2 −11 1

0 2 1 4

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

1 −1 2

2 −11 1

2 1 4

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

1 −1 2

0 −9 −3

0 3 0

∣∣∣

∣∣∣

=∣∣∣ −9 −3

3 0

∣∣∣= 9.

det Ab4

)=

∣∣∣

1 0 2 3

1 1 2 2

4 2 2 1

0 2 1 1

∣∣∣=

∣∣∣

1 0 2 3

0 1 0 −1

0 2 −6 −11

0 2 1 1

∣∣∣=

∣∣∣

1 0 −1

2 −6 −11

2 1 1∣∣∣

=∣∣∣

1 0 0

2 −6 −9

2 1 3∣∣∣

=∣∣∣ −6 −9

1 3 ∣∣∣= −18 + 9 = −9.

123

Sistemas de Ecuaciones Lineales

En consecuencia x =det Ab

1

)

det(A)=−18

3= −6; y =

det Ab2

)

det(A)=

15

3= 5; z =

det Ab3

)

det(A)=

9

3= 3;

w =det Ab

4

)

det(A)=−9

3= −3, es decir, la solucion del sistema dado es:

x

y

z

w

=

−6

5

3

−3

Ejemplo 3.26 Una fabrica produce tres tipos de productos, mezclando para ello tres materias

primas. Se sabe que para fabricar una unidad del producto 1, se necesitan, una unidad de la

materia prima 1, tres unidades de la materia prima 2 y dos unidades de la materia prima 3; para

fabricar una unidad del producto 2, se necesitan, una unidad de la materia prima 1 y tres de la

materia prima 2; finalmente, para fabricar una unidad del producto 3, se necesitan, tres unidades

de la materia prima 1, tres de la materia prima 2 y dos de la materia prima 3: Si este mes la

fabrica cuenta con seis millones de unidades de la materia prima 1, 12 millones de unidades de

la materia prima 2 y seis millones de la materia prima 3 cuantas unidades de cada producto

puede producir la fabrica usando el total de las materias primas?

Solucion. Para cada i ∈ {1, 2, 3}, sea xi las unidades (en millones) del producto i que puede

producir la fabrica.

Por lo tanto, la cantidad de unidades (en millones) que se usaran es:

x1 + x2 + 3x3 de la materia 1

3x1 + 3x2 + 3x3 de la materia 2

2x1 + 2x3 de la materia 3

Como se quiere usar el total de las materias primas, entonces

x1 +x2 +3x3 = 6

3x1 +3x2 +3x3 = 12

2x1 +2x3 = 6

3.5. Aplicaciones

124


En este caso, la matriz del sistema, la matriz de incognitas y la matriz de terminos indepen-

dientes son, respectivamente:

A =

1 1 3

3 3 3

2 0 2

; x =

x1

x2

x3

y b =

6

12

6

Veamos si podemos aplicar la regla de Cramer, para ello calculemos el determinante de la

matriz del sistema.

det(A) =

∣∣∣

∣∣∣

1 1 3

3 3 3

2 0 2

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

1 1 3

0 0 −6

2 0 2

∣∣∣

∣∣∣= − ∣∣∣

0 −6

2 2 ∣∣∣= −12 6= 0.

Como la matriz del sistema es invertible, podemos usar la regla de Cramer.

det Ab1

)=

∣∣∣

∣∣∣

6 1 3

12 3 3

6 0 2

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

6 1 3

−6 0 −6

6 0 2

∣∣∣

∣∣∣= − ∣∣∣ −6 −6

6 2

∣∣∣= −(−12 + 36) = −24.

det Ab2

)=

∣∣∣

∣∣∣

1 6 3

3 12 3

2 6 2

∣∣∣

∣∣∣=

∣∣∣

∣∣∣

1 6 3

0 −6 −6

0 −6 −4

∣∣∣

∣∣∣=∣∣∣ −6 −6

−6 −4

∣∣∣= 24− 36 = −12.

det Ab3

)=∣∣∣

1 1 6

3 3 12

2 0 6∣∣∣=∣∣∣

1 1 6

0 0 −6

2 0 6∣∣∣= −

∣∣∣ 0 −6

2 6

∣∣∣= −12.

Por lo tanto x1 =−24

−12= 2; x2 =

−12

−12= 1 y x3 =

−12

−12= 1, es decir, usando el total de

la materia prima, se pueden fabricar dos millones de unidades del producto 1 y un millon de

unidades de cada uno de los productos 2 y 3.

Los sistemas de ecuaciones, en conjunción con las matrices son ampliamente usados en el planteami-ento y resolución de problemas que aparecen en la tecnología; por ejemplo en el análisis de circuitoseléctricos, problemas de química como dce mezclado y de determinación de los coeficientes en lasecuaciones químicas.

Aparte de los problemas mencionados, el uso de sistemas de ecuaciones es común en la ingenieríacivil en el análisis de fuerzas que intervienen en estructuras. También encontramos aplicaciones en elanálisis de sistemas económicos.

125

2 unid. 5 unid. 10 unid.Color N 0’0

40’08 0’12

Color F 0’03 0’05 0’08

Sabiendo que en un ano se venden el siguiente numero de paquetes:

Color N Color F2 unid. 700000 500005 unid. 600000 4000010 unid. 500000 500000

Resumir la informacion anterior en 2 matrices A y B, de tamano respectivo 2x3 y 3x2 que recojan lasventas en un ano (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la informacion anterior en dos matrices de tamano concreto. Si nos fijamosen las tablas, es sencillo obtener las matrices:

A =

2 ud 5 ud 10 ud(700000 600000 50000050000 40000 500000

)NF

B =

N F0′04 0′030′08 0′050′12 0′08

2 ud5 ud10 ud

Estas matrices se denominan matrices de informacion, y simplemente recogen los datos numericos delproblema en cuestion.

Otras matrices son las llamadas matrices de relacion, que indican si ciertos elementos estan o norelacionados entre sı. En general, la existencia de relacion se expresa con un 1 en la matriz y la ausenciade dicha relacion de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la informacion dada por un grafo y expresarlanumericamente.

En un curso de Algebra Lineal elemental, no es posible dar una visión amplia acerca de las extensas aplicaciones que tendrían los sistemas lineales y las matrices o sus derivados que son los determin-antes; más bien, en un cursos de este estilo, es convenienete adaptarse a la enseñanza y manejo de los principios básicos. Desde luego, lo anterior no significa que los ejemplos simples que se den en este curso no tengan pos-teriormente que ver con la formulación de sistemas en problemas de Investigación de Operaciones, o en la teoría de la Regresión Lineal y Multilineal, materias fundamentales de los ingenieros industriales o en sistemas computacionales.

A

UNIDAD III.. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificarvalores numericos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todosellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por latabla siguiente:

2 unid. 5 unid. 10 unid.Color N 0’04 0’08 0’12Color F 0’03 0’05 0’08

Sabiendo que en un ano se venden el siguiente numero de paquetes:

Color N Color F2 unid. 700000 500005 unid. 600000 4000010 unid. 500000 500000

Resumir la informacion anterior en 2 matrices A y B, de tamano respectivo 2x3 y 3x2 que recojan lasventas en un ano (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la informacion anterior en dos matrices de tamano concreto. Si nos fijamosen las tablas, es sencillo obtener las matrices:

A =

2 ud 5 ud 10 ud(700000 600000 50000050000 40000 500000

)NF

B =

N F0′04 0′030′08 0′050′12 0′08

2 ud5 ud10 ud

Estas matrices se denominan matrices de informacion, y simplemente recogen los datos numericos delproblema en cuestion.

Otras matrices son las llamadas matrices de relacion, que indican si ciertos elementos estan o norelacionados entre sı. En general, la existencia de relacion se expresa con un 1 en la matriz y la ausenciade dicha relacion de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la informacion dada por un grafo y expresarlanumericamente.

126

UNIDAD III.. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En Matematicas, un grafo es una coleccion cualquiera de puntos conectados por lineas.Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lineas que unan un punto consigo

mismo, ni lineas paralelas, es decir, lineas que conectan el mismo par de puntos.* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una flecha.Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:

Fig. Grafo, Grafo simple y Grafo dirigido.

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nosfijaremos en la llamadamatriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente,de tal forma que:

* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de lacolumna j mediante una linea que los una directamente.

* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante unalinea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior sera:

ABC

D

A B C D

0 1 0 10 0 1 01 0 0 00 0 0 0

Ejercicio1) Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:

2) Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:

ABC

A B C0 1 01 0 10 0 0

A

BC

D

A B C D

0 1 1 10 0 0 11 0 0 00 1 1 0

127

UNIDAD IV

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales, subespacios, combinaciones lineales ybases.

4.1.Definicion de espacio vectorial

DdenEspacios VectorialesDefinicion 4.1. Un espacio vectorial real es una terna (V, +, · ) formada por un

conjunto no vacıo V, cuyos elementos llamaremos vectores, y dos operaciones binarias + :

V × V −→V, llamada adicion vectorial, y · : R × V −→ V, llamada multiplicacion por escalar,

satisfaciendo las siguientes condiciones

A0. u + v ∈ V para cualesquiera u, v ∈ V (cerradura de la adicion vectorial)

A1. u+v = v+u para cualesquiera u, v ∈ V (conmutatividad de la adicion vectorial)

A2. (u+v)+w = u+(v+w) para cualesquiera u, v, w ∈ V (asociatividad de la adicion

vectorial)

A3. Existe 0

/V ∈ V tal que v + 0/V = v para cada v ∈ V (existencia de un elemento

neutro para la adicion vectorial)

A4. Para cada v ∈ V existe v′ ∈ V tal que v + v′ = 0/V (existencia de un elemento

opuesto para la adicion vectorial)

M0. α · v ∈ V para cualesquiera α ∈ R y v ∈ V (cerradura de la multiplicacion por

escalar)

M1. (α + β ) · v = α · v + β · v para cualesquiera α , β ∈ R y v ∈ V (distributividad

de la multiplicacion por escalar respecto a la adicion escalar)

M2. α · (u + v) = α · u + α · v para cualesquiera α ∈ R y u, v ∈ V (distributividad de la

multiplicacion por escalar respecto a la adicion vectorial)

128

IV.Espacios Vectoriales

M3. (αβ) · v = α · (β · v) = β · (α · v) para cualesquiera α , β ∈ R y v ∈ V(asociatividad de la multiplicacion escalar y la multiplicacion por escalar)

M4. 1 · v = v para cada v ∈ V (existencia de un elemento neutro para la multi-

plicacion por escalar)

Observacion 4.1. Es de hacer notar que las expresiones a la derecha de las igualdades enM1.

y M2. no son ambiguas pues, a pesar de no haberlo dicho, la operacion + tiene mayor jerarquıa

que la operacion · , esto es, (α · u) + v puede ser escrito como α · u + v pero en la expresi

on α · (u + v) no pueden suprimirse los parentesis.

Observacion 4.2. La definicion 2.1 se puede extender considerando un campo cualquiera K

(ver apendices A y B) en lugar de R, en cuyo caso diremos que V es un K-espacio vectorial

y los elementos de K son llamados escalares. Por ejemplo, podemos escoger K = C y en este

caso V es llamado espacio vectorial complejo.

En lo que resta del curso, solo consideraremos espacios vectoriales reales, salvo que se diga

lo contrario, y nos referiremos a estos como espacios vectoriales (e.v.) en lugar de espacios

vectoriales reales, a menos que haya error a confusion.

Observacion 4.3. En adelante, siempre que no haya error a confusion, en lugar deescribir

α · v escribiremos α v.

Observacion 4.4. Nos referiremos al conjunto V como espacio vectorial, siempre que nose

), sobrentendiendo las operaciones + y · tienda a confusion, en lugar de la terna (V, +, ·

Ejemplo 4.1.

1. El conjunto Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R para cada i ∈ {1, . . . , n}} junto con las opera-

ciones + y · dadas como sigue

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) α ·

(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, α x 2, . . . , α x n)

donde α ∈ R y (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn, es un espacio vectorial (¡verifıquelo!)

�

129


2. El conjunto Mm×n(R) junto con las operaciones + y · , dadas en las definiciones 1.4 y

1.5 respectivamente, del capıtulo 1, es un espacio vectorial

�

3. Consideremos una matriz A ∈Mm×n(R). Los conjuntos

S = {x ∈Mn×1(R) : Ax = 0/m×1}

R = {y ∈ Mm×1(R) : Ax = y para algun x ∈ Mn×1(R)}junto con las operaciones + y · definidas en el capıtulo 1, son espacios vectoriales (¡pruebe-

lo!)

S es llamado espacio solucion del sistema homogeneo Ax = 0/m×1 o espacio nulo de

A, y R es llamado el espacio imagen de A. Estos espacios seran tratados formalmente

y en detalle en la seccion 2.6 del presente capıtulo. �

4. Sea n ∈ N. Definamos

Pn[x] = {a0 + a1x + · · ·+ anxn : a0, a1, . . . , an ∈ R}

Es decir, Pn[x] esta formado por todos los polinomios con coeficientes reales en la variable

x de grado menor o igual a n incluyendo el polinomio nulo. Sobre Pn[x] consideremos las

operaciones usuales de adicion de polinomios y multiplicacion de un numero real por un

polinomio. Entonces Pn[x] es un espacio vectorial (¡pruebelo!)

En general, si definimos el conjunto

P[x] = {p(x) : p(x) es un polinomio en la variable x}

entonces P[x] es un espacio vectorial junto con las operaciones usuales antes mencionadas

(¡pruebelo!)

Es de hacer notar que el polinomio nulo O(x) = 0 ¡no tiene grado! (¿por que?), ademas,

para cada n ∈ N se tiene que Pn[x] 6= ∅ (¿por que?) y Pn[x] ⊂ Pn+1[x] ⊂ P[x] (¿por que?)�

5. Sean a, b ∈ R con a < b. Definamos el conjunto F [ a , b ] de todas las funciones reales

definidas sobre el intervalo [ a , b ] y consideremos las operaciones usuales de adicion de

funciones y multiplicacion de una funcion por un numero real, entonces F [ a , b ]

es un espacio vectorial (¿pruebelo!) �

130


6. El conjunto

V = {(x, y) ∈ R2 : y = x + 1}

junto con las operaciones definidas en la parte 1 de este ejemplo, no es un espacio vectorial

ya que (2, 3), (0, 1) ∈ V (¿por que?) pero

(2, 3) + (0, 1) = (2 + 0, 3 + 1) = (2, 4) /∈ V

pues 4 6= 3 = 2 + 1, es decir, la adicion no es cerrada en V o V no es cerrado bajo la

adicion.

Sin embargo, si definimos sobre V las operaciones

(x, y) + (z, w) = (x + z, y + w − 1)

α · (x, y) = (αx, α(y − 1) + 1)

entonces V es un espacio vectorial, en efecto, sean (x, y), (z, w), (a, b) ∈ V y α, β ∈ Rcualesquiera. Entonces y = x + 1, w = z + 1 y b = a + 1.

De donde

y + w − 1 = x + 1 + z + 1− 1 = (x + z) + 1

y por lo tanto

(x, y) + (z, w) = (x + z, y + w − 1) ∈ V

cumpliendose A0.

(x, y) + (z, w) = (x + z, y + w − 1) = (z + x, w + y − 1) = (z, w) + (x, y)

por lo que A1. es satisfecha.

((x, y) + (z, w)) + (a, b) = (x + z, y + w − 1) + (a, b)

= ((x + z) + a, (y + w − 1) + b− 1)

= (x + (z + a), y + (w + b− 1)− 1)

= (x, y) + (z + a, w + b− 1)

= (x, y) + ((z, w) + (a, b))

ası que A2. se cumple.

131

IV. Espacios Vectoriales

Definamos 0/V = (0, 1). Entonces 0/V ∈ V (¿por que?) y ademas

(x, y) + (0, 1) = (x + 0, y + 1− 1) = (x, y)

luego se satisface A3.

Si (x, y) ∈ V, entonces (−x,−y + 2) ∈ V ya que

−y + 2 = −(x + 1) + 2 (¿por que?)

= −x − 1 + 2 = −x + 1

Ademas

(x, y) + (−x,−y + 2) = (x + (−x), y + (−y + 2)− 1) = (0, 1) = 0/V

en consecuencia se cumple A4.

Verifique que se cumple el resto de la propiedades en la definicion 2.1. ¿Que podrıa concluir

a partir de este ejemplo? �

7. Dado un espacio vectorial V. Es facil probar que el conjunto {0/V}, junto con las operaciones

+ y · definidas sobre V, es un espacio vectorial. �

Teorema 4.1. Los elementos 0/V y v′ dados en A3. y A4. respectivamente, sonunicoselementos de V que satisfacen dichas propiedades.

Demostracion. Supongamos que existe x ∈ V tal que v + x = v para cada v ∈ V. Luego, para

v = 0/V ∈ V, se tiene que

0/V +x = 0/V (4.1)

Por lo tanto

x = x + 0/V (por A3.)

= 0/V +x (por A1.)

= 0/V (por (2.1))

Lo que prueba la unicidad de 0/V .

Supongamos ahora que para v ∈ V existen v′, v ∈ V tales que

v + v′ = 0/V (4.2)

v + v = 0/V (4.3)

132


Luego

v = v + 0/V (por A3.)

= v + (v + v′) (por 4.2)

= (v + v) + v′ (por A2.)

= (v + v) + v′ (por A1.)

= 0/V +v′ (por 4.3)

= v′ + 0/V (por A1.)

= v′ (por A3.)

con lo cual se obtiene la unicidad del opuesto aditivo.

Observacion 4.5. Al vector 0/V se le denomina vector nulo y el vector v′ es llamado opuesto

(aditivo) de v y es denotado por −v.

Debido al teorema 2.1, las propiedades A3. y A4. pueden reescribirse, respectivamente, como

sigue.

A’3. Existe un unico 0/V ∈ V tal que v + 0/V = v para cada v ∈ V (existencia y unicidad

del elemento neutro para la adicion vectorial)

A’4. Para cada v ∈ V existe un unico −v ∈ V tal que v + (−v) = v − v = 0/V (existencia

y unicidad del elemento opuesto para la adicion vectorial)

Definicion 4.2. Sean V un espacio vectorial y u, v ∈ V cualesquiera. Definiremos el

vector u− v, vector diferencia de u con v, como u− v = u + (−v)

Ejercicio 4.1. Sean V un espacio vectorial, v1, v2, . . . , vn, v ∈ V y α 1, α2, . . . , αn, α ∈ Rcualesquiera. Pruebe que

1. (α 1 + α2 + · · ·+ αn)v = α1v + α2v + · · ·+ αnv.

2. α (v1 + v2 + · · ·+ vn) = αv1 + αv2 + · · ·+ αvn.

Ejercicio 4.2 (Ley de Cancelacion). Sea V un espacio vectorial y u, v, w ∈ V. Si u+v = u+

w, entonces v = w.

133


Teorema 4.2. Sea V un espacio vectorial.Entonces

1. α 0/V = 0/V para cada α ∈ R.

2. 0v = 0/V para cada v ∈ V.

3. Si αv = 0/V, entonces α = 0 o v = 0/V.4. (−α)v = α(−v) = −(αv) para cualesquiera α ∈ R y v ∈ V. En consecuencia (−1)v = −v.

Demostracion.

1. Sea α ∈ R cualquiera. Entonces

α 0/V +α 0/V = α(0/V + 0/V) (por M2.)

= α 0/V (por A3.)

= α 0/V + 0/V (por A3.)

Y por la ley de cancelacion (ejercicio 2.2) se tiene que α 0/V = 0/V.

2. ¡Ejercicio!

3. Supongamos que αv = 0/V.

Si α = 0, no hay nada que probar, supongamos entonces que α 6= 0 y probemos que v = 0/V.

Por ser α 6= 0, existe α −1 ∈ R tal que α−1α = 1 = α α−1. Por lotanto

v = 1v (por M4.)

= (α−1α)v

= α−1(αv) (por M3.)

= α−1 0/V (por hipotesis)

= 0

/V (por la parte 1)

Con lo que culmina la prueba de la parte 3.

4. Sean α ∈ R y v ∈ V cualesquiera. Entonces

αv + (−α)v = (α + (−α))v (por M1.)

= 0v

= 0/V (por la parte 2)

134


Luego, por A’4. (unicidad del opuesto aditivo), se tiene que (−α)v = −(αv). De manera

analoga se prueba que α(−v) = −(αv). Finalmente, haciendo α = 1 y por M4., obtenemos

(−1)v = −(1v) = −v.

Observacion 4.6. En virtud de las igualdades en la parte 4 del teorema 2.2, podemosescribir

−αv en lugar de −(αv) sin error a confusion.

4.2. Definicion de subespaciovectorial y sus propiedades.

Algunos subconjuntos de un espacio vectorial V son, a su vez, espacios vectoriales, consideran-

do sobre ellos las operaciones + y · de V. En esta seccion nos ocuparemos de dichos espacios

vectoriales los cuales son llamados subespacios vectoriales de V.

Definicion 4.3. Sea W un subconjunto no vacıo de un espacio vectorial V. Diremos que Wes

un subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si W junto con las operaciones + y

· de V es un espacio vectorial.

Ejemplo 4.2.1. Dado un espacio vectorial V, entonces W = {0/V} es un subespacio de V, el cual es llamado

espacio vectorial nulo, ası como tambien V (ver ejemplo 4.1 parte 7). Estos subespacios

son llamados subespacios triviales de V. Cualquier otro subespacio de V, distinto de

estos dos, es llamado subespacio no trivial. Un subespacio de V distinto de V es llamado

subespacio propio. �

2. Dada una matriz real A ∈ Mm×n(R). Los espacios S y R, dados en la parte 3 del ejemplo

4.1, son subespacios de Mn×1(R) y Mm×1(R) respectivamente. �

3. De la parte 4 del ejemplo 4.1 podemos garantizar que para cada n ∈ N se tiene que Pn[x]

es un subespacio de Pn+1[x] y de P[x]. �

4. El conjunto C [ a , b ] formado por todas las funciones reales continuas sobre el intervalo

cerrado [ a , b ], es un subespacio de F [ a , b ].

En efecto, es claro que C [ a , b ] ⊂ F [ a , b ] (¿por que?) y ademas, la funcion nula esta en

C [ a , b ] (¿por que?), por lo tanto C [ a , b ] es un subconjunto no vacıo de F [ a , b ].

135


Si f, g ∈ C [ a , b ] y α ∈ R, entonces, por un resultado de Calculo, f + g, αf ∈ C [ a , b ],

cumpliendose A0. y M0.

Finalmente, no es difıcil probar que el resto de las propiedades en la definicion 2.1 son

satisfechas, con lo cual se obtiene que C [ a , b ] es un subespacio de F [ a , b ]. �

Antes de dar algun otro ejemplo de subespacio vectorial, debemos hacer notar que enrealidad,

para probar que un subconjunto no vacıo de un espacio vectorial es un subespacio de este ultimo,

solo es necesario probar que satisface las propiedades A0. y M0. como veremos en el siguiente

teorema.

Teorema 4.3. Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto W de V es un subespacio vectorial

de V si y solo si

1. W 6= ∅.

2. u + v ∈ W para cualesquiera u, v ∈ W, es decir, W es cerrado bajo la adicion vectorial

(definida sobre V).

3. α v ∈W para cualesquiera α ∈ R y v ∈ V, es decir, W es cerrado bajo la multiplicacion

por escalar (definida sobre V).

Demostracion. Sean V un espacio vectorial y W ⊂ V.

Supongamos que W es un subespacio de V. Entonces por definicion 4.3 tenemos que W 6 = ∅ y

ademásW es un espacio vectorial con las operaciones + y · definidas sobre V, por lo tanto u + v, α

v ∈W para cualesquiera α ∈ R y u, v ∈W.

Supongamos ahora que se cumplen las condiciones 1, 2 y 3 en el enunciado del teorema.

Debemos probar que W junto con las operaciones + y · definidas sobre V es un espacio vectorial.

Según las hipótesis las condiciones A0. y M0. se satisfacen. Por otro lado, debido a queW ⊂ Vy las condiciones A1., A2., M1., M2., M3. y M4. se satisfacen para cualesquiera u, v, w ∈ V,

entonces dichas condiciones s cumplen cccuaaalesquiera u, v, w ∈ W y α , β

∈ R. As ´ı que s ólo resta probar que 0

/W ∈W y queee −v ∈W pppaaarrr ad v ∈W.

Como W 6= ∅, existe v0 ∈W. Entonces, en virtud de la condicion 3, 0v0 ∈W, pero por la parte

2 del teorema 4.2 se tiene que 0v0 = 0/V, ası que 0/V ∈W y en consecuencia existe 0/V ∈W tal que

para cada v ∈W se tiene que v + 0/V = v, es decir, la condicion A3. se satisface si sustituimos V

por W. Esto ultimo significa que 0/W = 0/V, es decir, el vector nulo en todos los subespacios de V

es el mismo.

136


Finalmente, sea v ∈W cualquiera. Entonces, por la condicion 3, tenemos que (−1)v ∈W y dado

que (−1)v = −v (por la parte 4 del teorema 4.2), entonces −v ∈W, en consecuencia para cada v

∈W existe −v ∈W tal que v + (−v) = 0 /V, es decir, la condicion A4. se satisface si

sustituimos V por W. Otra lectura que le podemos dar a este resultado es que el vector opuesto

aditivo de cualquier vector en un subespacio, es tambien un vector del subespacio.

Observacion 4.7. Segun la demostracion del teorema 4.3, si W es un subespacio vectorialde

un espacio vectorial V, entonces 0

/V ∈W.

Ası que para probar que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio de este

ultimo, lo primero que debemos probar es que 0/V ∈ W, esto a su vez garantiza que W 6= ∅. Si

0/V /∈W, entonces W no es un subespacio de V.

El teorema 4.3 permite probar que un subconjunto de un espacio vectorial V es un subespacio

de este solo con probar tres condiciones, sin embargo, el corolario siguiente nos permite hacer la

misma pruebo con solo verificar dos condiciones.

Corolario 4.4. Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto W de V es un subespacio de V si y

solo si

1. W 6= ∅.

2. u + αv ∈W para cualesquiera α ∈ R y u, v ∈W.

Demostracion. Supongamos primero que W es un subespacio vectorial de V y probemos que

las condiciones 1 y 2 se cumplen. En primer lugarW 6 = ∅ por definición 2.3. Sean α ∈ R y u, v ∈W cualesquiera. Entonces, por la parte 3 del teorema 2.3, tenemos que αv ∈W, luego, por la parte

2 del mismo teorema, se tiene que u + αv ∈W.

Supongamos ahora que las condiciones 1 y 2 se cumplen y probemos que W es un subespacio

vectorial de V. Como W 6 = ∅, solo debemos probar que se satisfacen las condiciones 2 y 3

del teorema 2.3.

Sean u, v ∈W cualesquiera. Entonces u + v = u + 1v ∈W (tomando α = 1 en la condicion 2

de la hipotesis).

Por otro lado, sean α ∈ R y v ∈ W cualesquiera. Entonces 0/V = v + (−v) = v + (−1)v ∈ W(tomando α = −1 y u = v en la condicion 2 de la hipotesis) ası que α v = 0/

V +α v ∈W(tomandou = 0/V en la condicion 2 de la hipotesis). Lo cual concluye la prueba.

137


Observacion 4.8. Segun la observacion 2.7, la condicion 1 en el teorema 2.3 y la condicion1

en el corolario 2.4, pueden ser sustituidas por la siguiente condicion.

1. 0

/V ∈W.

Observacion 4.9. Recordemos que para probar que los conjuntos S y R, definidos en la parte 3

del ejemplo 4.1, son subespacios deMn×1(R) yMm×1(R), respectivamente (ver parte 2 del ejemplo

4.2), fue necesario probar que eran espacios vectoriales (se dejo como ejercicio), sin embargo, al

usar el teorema 4.3 o el corolario 4.4, vemos que no es necesario.

Ejercicio 4.3. Sean U, V y W espacios vectoriales. Pruebe que si W es un subespacio de V y

V es un subespacio de U, entonces W es un subespacio de U.

Ejemplo 4.3. Pruebe que W = {a+bx+cx2+dx3 ∈ P3[x] : 2a−b+3c−d = 0; a+b−4c−2d = 0}es un subespacio de P3[x].

Solucion. Es claro que W ⊂ P3[x].

Por otro lado, el polinomio nulo O(x) = 0 = 0+0x+0x2 +0x3 (vector nulo de P3[x]) pertenece

a W ya que {

2 · 0 −0 +3 · 0 −0 = 0

0 +0 −4 · 0 −2 · 0 = 0

Sean p(x) = a1 + b1x + c1x2 + d1x

3 y q(x) = a2 + b2x + c2x2 + d2x

3 polinomios cualesquiera en

W y α ∈ R cualquiera. Entonces

{2a1 −b1 +3c1 −d1 = 0

a1 +b1 −4c1 −2d1 = 0y

{2a2 −b2 +3c2 −d2 = 0

a2 +b2 −4c2 −2d2 = 0

Segun el corolario 2.4 y la observacion 2.8, solo falta probar que p(x) + αq(x) ∈W. Pero

p(x) + αq(x) = (a1 + b1x + c1x2 + d1x

3) + α(a2 + b2x + c2x2 + d2x

3)

= (a1 + αa2) + (b1 + αb2)x + (c1 + αc2)x2 + (d1 + αd2)x

3

Ademas

2(a1 + αa2)− (b1 + αb2) + 3(c1 + αc2)− (d1 + αd2)

= 2a1 + 2αa2 − b1 − αb2 + 3c1 + 3αc2 − d1 − αd2

= (2a1 − b1 + 3c1 − d1) + α(2a2 − b2 + 3c2 − d2) = 0 (¿por que?)

138


y

(a1 + αa2) + (b1 + αb2)− 4(c1 + αc2)− 2(d1 + αd2)

= a1 + αa2 + b1 + αb2 − 4c1 − 4αc2 − 2d1 − 2αd2

= (a1 + b1 − 4c1 − 2d1) + α(a2 + b2 − 4c2 − 2d2) = 0 (¿por que?)

Por lo tanto p(x) + αq(x) ∈W y en consecuencia, W es un subespacio de P3[x].

Teorema 4.5. Sean W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V. Entonces W1 ∩W2 es un

subespacio de V.

Demostracion. Dado que W1,W2 ⊂ V (ya que W1 y W2 son subespacios de V), entonces

W1 ∩W2 ⊂ V, ademas, debido a la observacion 4.7, se tiene que 0/V ∈ W1 y 0/V ∈ W2 y por lo

tanto 0/V ∈W1 ∩W2.

Sean α ∈ R, u, v ∈W1∩W2 cualesquiera. Entonces u, v ∈W1 y u, v ∈W2 y dado queW1 yW2

son subespacios de V, tenemos que u+αv ∈W1 y u+αv ∈W2 y por lo tanto u+αv ∈W1∩W2.

Luego, en virtud del corolario 4.4 y la observacion 4.8, tenemos que W1∩W2 es un subespacio

de V.

Ejercicio 4.4. Dados dos subconjuntos A y B de un espacio vectorial V, definamos el conjunto

A + B = {a + b : a ∈ A y b ∈ B}

Pruebe que si W1 y W2 son subespacios de V, entonces W1 +W2 es un subespacio de V.

Ejercicio 4.5. SeanW1 yW2 dos subespacios de un espacio vectorial V tales queW1∩W2 = {0/V}y V = W1 +W2. Pruebe que para cada v ∈ V existen unicos vectores w1 ∈W1 y w2 ∈W2 tales

que v = w1 + w2.

Ejercicio 4.6. Sean W1,W2, . . . ,Wn subespacios de un espacio vectorial V. Demuestre que

W1 ∩W2 ∩ · · ·Wn es un subespacio de V.

Sugerencia: Proceda por induccion matematica sobre n y use el teorema 4.5.

139


4.3. Combinacion Lineal.Indepencia Lineal.

Consideremos una matriz real cuadrada de orden 2

[a b

c d

]

Entonces [a b

c d

]= a

[1 0

0 0

]+ b

[0 1

0 0

]+ c

[0 0

1 0

]+ d

[0 0

0 1

]

Esta expresion es llamada combinacion lineal , definamos formalmente este concepto.

Definicion 4.4. Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn, v ∈ V. Diremos que v es

combinacion lineal de v1, v2, . . . , vn si existen escalares α 1, α2, . . . , αn ∈ R tales que

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.

Observacion 4.10. En la definicion 2.4, podemos escoger una cantidad infinita de vectores en

V, en lugar de v1, v2, . . . , vn ∈ V, para definir combinacion lineal (ver apendice B).

Ejemplo 4.4.

1. El ejemplo hecho al comienzo de la seccion nos dice que cualquier matriz real cuadrada de

orden 2 es combinacion lineal de las matrices

[1 0

0 0

],

[0 1

0 0

],

[0 0

1 0

],

[0 0

0 1

].

En general, si para cada i ∈ {1, . . . , m} y cada j ∈ {1, . . . , n} definimos la matriz Eij ∈Mm×n(R) como aquella matriz cuya ij-esima componente es igual a 1 y el resto es 0,

entonces toda matriz A ∈Mm×n(R) es combinacion lineal de las matrices

E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn

�

2. Cualquier vector p(x) ∈ Pn[x] es combinacion lineal de los polinomios 1, x, . . . , xn (¿por

que?) �

140


3. Cualquier vector (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn es combinacion lineal de los vectores de Rn

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)

�

Ejemplo 4.5. Determine si el vector v = (9, 5, 6) es combinacion lineal o no de los vectores

v1 = (3,−2, 6) y v2 = (−1,−3, 2)

Solucion. Supongamos que el vector v es combinacion lineal de los vectores v1 y v2. Entonces

existen α 1, α2 ∈ R tales que v = α1v1 + α2v2, es decir,

(9, 5, 6) = α1(3,−2, 6) + α2(−1,−3, 2) = (3α1 − α2,−2α1 − 3α2, 6α1 + 2α2)

de donde

3α1 −α2 = 9

−2α1 −3α2 = 5

6α1 +2α2 = 6

Resolvamos este sistema de ecuaciones. La matriz ampliada del sistema es

3 −1 9

−2 −3 5

6 2 6

Hallemos la FERF de esta matriz

3 −1 9

−2 −3 5

6 2 6

F1 → F1 + F2→

1 −4 14

−2 −3 5

6 2 6

F2 → F2 + 2F1→F3 → F3 − 6F1

1 −4 14

0 −11 33

0 26 −78

F2 → − 111

F2→

1 −4 14

0 1 −3

0 26 −78

F1 → F1 + 4F2→F3 → F3 − 26F2

1 0 2

0 1 −3

0 0 0

Obteniedo α1 = 2 y α2 = −3, por lo tanto v = 2v1 − 3v2, es decir, v es combinacion lineal de

v1 y v2.

Ejemplo 4.6. Consideremos los polinomios p(x) = −5− 4x + 9x2, p1(x) = 2−x + 2x2, p2(x) =

2− 2x + 6x2 y p3(x) = x− 4x2 ¿Es p combinacion lineal de p1, p2 y p3?

141


Solucion. Al igual que en ejemplo precedente, vamos a suponer que la respuesta a la pregunta

es sı, entonces existen α1, α2, α3 ∈ R tales que p(x) = α1p1(x) + α2p2(x) + α3p3(x), para cada

x ∈ R, esto es,

−5− 4x + 9x2 = α1(2− x + 2x2) + α2(2− 2x + 6x2) + α3(x− 4x2) (para cada x ∈ R)

obteniendo el sistema de ecuaciones

2α1 +2α2 = −5

−α1 −2α2 +α3 = −4

2α1 +6α2 −4α3 = 9

La matriz ampliada de este sistema es equivalente por filas a la matriz

1 0 1 −9

0 1 −1 12

0 0 0 −12

(¡verifıquelo!)

por lo tanto, el sistema original no tiene solucion (¿por que?), en consecuencia, p no es combi

nacion lineal de p1, p2 y p3.

Si consideramos el polinomio p4(x) = 1− 2x + 3x2 ¿Es p combinacion lineal de p1, p2, p3 yp4?

Observacion 4.11. En terminos generales, el problema de decidir si un vector v en un espacio

vectorial V es combinacion lineal de algunos vectores v1, v2, . . . , vn ∈ V, esta relacionado con la

resolucion de un sistema de ecuaciones adecuado, como vimos en los dos ejemplos 4.5 y 4.6.

Ejercicio 4.7. Pruebe que si A, B ∈ Mm×n(R) son equivalentes por filas, entonces cada fila de

B es combinacion lineal de las filas de A y viceversa.

Definicion 4.5. Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V. El conjunto

gen({v1, v2, . . . , vn}) =

{w ∈ V : w = α 1v1 + α 2v2 + · · ·+ α nvn

para algunos escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R}

es llamado el espacio generado por los vectores v1, v2, . . . , vn. Es decir, gen({v1, v2, . . . , vn}) es

el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de v1, v2, . . . , vn.

142


1. Segun la parte 1 del ejemplo 4.4 se tiene que

Mm×n(R) = gen({E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn})

y segun las partes 2 y 3 del mismo ejemplo, tenemos que

Pn[x] = gen({1, x, . . . , xn}) y Rn = gen({e1, e2, . . . , en})

�

2. El vector v = (9, 5, 6) pertenece al conjunto gen({(3,−2, 6), (−1,−3, 2)}) (ver ejemplo 4.5)

�

3. Del ejemplo 4.6 podemos garantizar que

−5− 4x + 9x2 /∈ gen({2− x + 2x2, 2− 2x + 6x2, x− 4x2})

�

Ejemplo 4.8. Hallar gen({2− x + 2x2, 2− 2x + 6x2, x− 4x2})

Solucion. Notese primero que a + bx + cx2 ∈ gen({2− x + 2x2, 2− 2x + 6x2, x− 4x2}) si y solo

si existen escalares α1, α2, α3 ∈ R tales que, para cada x ∈ R,

a + bx + cx2 = α 1(2− x + 2x2) + α2(2− 2x + 6x2) + α3(x− 4x2)

= (2α 1 + 2α2) + (−α1 − 2α2 + α3)x + (2α1 + 6α2 − 4α3)x2

Lo que equivale a decir que el sistema de ecuaciones

2α1 +2α2 = a

−α1 −2α2 +α3 = b

2α1 +6α2 −4α3 = c

tiene al menos una solucion.

Resolvamos este sistema. La matriz ampliada del sistema es

2 2 0 a

−1 −2 1 b

2 6 −4 c

143


Hallemos la FERF de esta matriz

2 2 0 a

−1 −2 1 b

2 6 −4 c

F1 → F1 + F2→

1 0 1 a + b

−1 −2 1 b

2 6 −4 c

F2 → F2 + F1→F3 → F3 − 2F1

1 0 1 a + b

0 −2 2 a + 2b

0 6 −6 −2a− 2b + c

F2 → −1

2F2→

1 0 1 a + b

0 1 −1 −12a− b

0 6 −6 −2a− 2b + c

F3 → F3 − 6F2→

1 0 1 a + b

0 1 −1 −12a− b

0 0 0 a + 4b + c

Sin necesidad de hallar la FERF de la matriz, obtenemos que el sistema original tiene solucion

si y solo si a + 4b + c = 0.

En consecuencia

gen({2− x + 2x2, 2− 2x + 6x2, x− 4x2}) = {a + bx + cx2 ∈ P3[x] : a + 4b + c = 0}

Es de hacer notar que el conjunto W, hallado en el ejemplo 4.8, es un subespacio de P3[x]

. Este resultado no es casual, como veremos en el siguiente teorema.

Teorema 4.6. Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V. Entonces gen({v1, v2, . . . , vn})es un subespacio de V.

Demostracion. Definamos S = {v1, v2, . . . , vn}. Por definicion, gen(S) = gen({v1, v2, . . . , vn})es un subconjunto de V. Ademas, por la parte 2 del teorema 4.2 y la parte 2 del ejercicio 4.1

0/V = 0(v1 + v2 + · · ·+ vn) = 0 · v1 + 0 · v2 + · · ·+ 0 · vn ∈ gen(S).

Finalmente, sean α ∈ R y u, v ∈ gen(S) cualesquiera. Entonces, por definicion de gen(S),

existen β 1, β2, . . . , βn, α1, α2, . . . , αn ∈ R tales que

u = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn y v = β1v1 + β2v2 + · · ·+ βnvn

Por lo tanto

u + αv = (α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn) + α(β1v1 + β2v2 + · · ·+ βnvn)

= (α1 + αβ1)v1 + (α2 + αβ2)v2 + · · ·+ (αn + αβn)vn

144


Ası que u + αv ∈ gen(S) y en consecuencia gen(S) es un subespacio de V.

Definicion 2.6. Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V. Diremos que v1, v2, . . . , vn

generan a V o que el conjunto S = {v1, v2, . . . , vn} genera a V o que S es un conjunto gen-

erador de V si V = gen(S) = gen({v1, v2, . . . , vn}).

Ejemplo 4.9. Por la parte 1 del ejemplo 4.7 podemos decir que:

1. Los vectores (matrices) E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn generan

a Mm×n(R). �

2. El conjunto {1, x, . . . , xn} genera a Pn[x]. �

3. {e1, e2, . . . , en} es un conjunto generador de Rn. �

Ejemplo 4.10. Hallar un conjunto generador del subespacio W de P3[x] dado en el ejemplo 2.3

Solucion. Sabemos que

W = {a + bx + cx2 + dx3 ∈ P3[x] : 2a− b + 3c− d = 0; a + b− 4c− 2d = 0}

Ası que a + bx + cx2 + dx3 ∈W si y solo si

{2a −b +3c −d = 0

a +b −4c −2d = 0

resolvamos este sistema homogeneo. La matriz del sistema es

[2 −1 3 −1

1 1 −4 −2

]

La FERF de esta matriz es

[1 0 −1

3−1

0 1 −113−1

](¡verifıquelo!)

Por lo tanto, a + bx + cx2 + dx3 ∈W si y solo si

{a −1

3c −d = 0

b −113c −d = 0

145

IVEspacios Vectoriales

o equivalentemente {a = 1

3c + d

b = 113c + d

Haciendo c = 3α y d = β, con α, β ∈ R, obtenemos

a + bx + cx2 + dx3 = (α + β) + (11α + β)x + 3αx2 + βx3 = α(1 + 11x + 3x2) + β(1 + x + x3)

para cada x ∈ R. Luego

W = gen({1 + 11x + 3x2, 1 + x + x3})

En consecuencia {1 + 11x + 3x2, 1 + x + x3} es un conjunto generador de W.

Teorema 4.7. Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn, u ∈ V. Si u ∈ gen({v1, v2, . . . , vn}),entonces

gen({v1, v2, . . . , vn, u}) = gen({v1, v2, . . . , vn})

Demostracion. Escojamos un vector v ∈ gen({v1, v2, . . . , vn, u}) cualquiera. Entonces existen

α1, α2, . . . , αn, α ∈ R tales que v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn + αu.

Pero por hipotesis u ∈ gen({v1, v2, . . . , vn}), entonces existen β1, β2, . . . , βn ∈ R tales que

u = β1v1 + β2v2 + · · ·+ βnvn.

Luego

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn + α(β1v1 + β2v2 + · · ·+ βnvn) = (α1 + αβ1)v1 + · · ·+ (αn + αβn)vn

en consecuencia

v ∈ gen({v1, v2, . . . , vn})

por lo tanto

gen({v1, v2, . . . , vn, u}) ⊂ gen({v1, v2, . . . , vn}) (4.4)

Por otro lado, sea v ∈ gen({v1, v2, . . . , vn}) cualquiera. Entonces existen α1, α2, . . . , αn ∈ Rtales que v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn ası que

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn + 0/V = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn + 0u

es decir, v ∈ gen({v1, v2, . . . , vn, u}) de donde

gen({v1, v2, . . . , vn}) ⊂ gen({v1, v2, . . . , vn, u}) (4.5)

De (4.4) y (4.5) obtenemos que

gen({v1, v2, . . . , vn, u}) = gen({v1, v2, . . . , vn})

146


Independencia y Dependencia Lineal

Uno de los conceptos mas importantes en espacios vectoriales, y en el algebra lineal en general,

es el de independencia lineal , por lo que pedimos se estudie con mucha detenimiento y cuidado

la presente seccion del capıtulo. Daremos una variedad de ejemplos para tratar de explicar lo

mejor posible dicho concepto.

Dados un espacio vectorial V y vectores v1, v2, . . . , vn ∈ V, entonces 0/V = 0v1+0v2+· · ·+0vn, es

decir, siempre podemos escribir el vector nulo 0/V como combinacion lineal de cualquier cantidad

finita de vectores en V.

Ahora bien, en M2×3(R) escojamos los vectores

A1 =

[1 0 −2

−2 5 −3

], A2 =

[2 −3 −4

−1 1 0

]y A3 =

[−4 9 8

−1 7 −6

]

entonces

[0 0 0

0 0 0

]= 2 ·A1− 3 ·A2−A3 = 2 ·

[1 0 −2

−2 5 −3

]− 3 ·

[2 −3 −4

−1 1 0

]−[−4 9 8

−1 7 −6

]

En conclusion, la unica manera de escribir al vector nulo, como combinacion lineal de

una cantidad finita de vectores, no necesariamente es unica.

Estos dos ejemplos dan pie a la siguiente definicion.

Definicion 4.7. Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V. Diremos v1, v2, . . . , vnson

linealmente independientes o que {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto linealmente indepen

diente si la unica manera de escribir el vector nulo 0/V, como combinación lineal de los vec-

tores v1, v2, . . . , vn, es aquella en la cual todos los escalares son iguales a cero (0), esto es, si α 1v1

+ α2v2 + · · · + αnvn = 0 n = 0. /V, entonces α 1 = α 2 = · · · = α

Diremos que v1, v2, . . . , vn son linealmente dependientes o que {v1, v2, . . . , vn} es un con-

junto linealmente dependiente si v1, v2, . . . , vn no son linealmente independientes, es de-

cir, existen escalares α 1, α 2, . . . , α n∈ R, no todos nulos, tales que α 1v1 + α 2v2 + · · ·+ α nvn

= 0

/V.

Ejemplo 4.11.

1. Segun el ejemplo dado previamente a la definicion 4.7, se tiene que A1, A2, A3 son lineal

mente dependientes. �

147


2. No es difıcil probar que los conjuntos

{1, x, . . . , xn}, {e1, e2, . . . , en} y

{E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n, . . . , Em1, Em2, . . . , Emn}

son linealmente independientes (en sus correspondientes espacios). �

3. Dados un espacio vectorial V y v1, v2, . . . , vn ∈ V, entonces {v1, v2, . . . , vn, 0/V} es linealmen-

te dependiente pues

0/V = 0v1 + 0v2 + · · ·+ 0vn + 1 0/V

es decir, en un espacio vectorial, cualquier conjunto finito de vectores que contenga al vector

nulo, es linealmente dependiente. �

4. Sea v un vector no nulo en un espacio vectorial V, entonces el conjunto {v} es linealmente

independiente ya que si αv = 0/V y dado que v 6= 0/V, entonces α = 0 (en virtud de la parte

3 del teorema 4.2). �

Antes de dar algun otro ejemplo, debemos hacer notar que para determinar si un conjunto de

vectores {v1, v2, . . . , vn}, en un espacio vectorial V, es linealmente independiente o dependiente,

debemos plantearnos la ecuacion α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0/V, la cual conduce, en general, a

n. Si la solucion de 2, . . . , α un sistema de ecuaciones homogeneo con n incognitas, a saber, α 1, α

este sistema es unica, y en consecuencia α 1 = α 2 = · · ·= α n = 0, entonces {v1, v2, . . . , vn} es un

conjunto linealmente independiente, en caso contrario, {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto linealmente

dependiente.

Ejemplo 4.12. Consideremos los vectores p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) ∈ P2[x] dados en elejemplo

4.6. Decidir si estos vectores son o no linealmente independientes.

Solucion. Como se comento antes del ejemplo, debemos estudiar la ecuacion

α1p1(x) + α 2p2(x) + α 3p3(x) + α 4p4(x) = 0(para todo x ∈ R)

Pero

α1p1(x) + α 2p2(x) + α 3p3(x) + α 4p4(x) = α 1(2− x + 2x2) + α 2(2− 2x + 6x2) + α 3(x−4x2)

+α4(1− 2x + 3x2)

= (2α1 + 2α 2 + α 4) + (−α1 − 2α 2 + α 3− 2α

4)x

+(2α1 + 6α 2− 4α 3 + 3α 4)x2

148


Obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones homogeneo

2α1 +2α2 +α4 = 0

−α1 −2α2 +α3 −2α4 = 0

2α1 +6α2 −4α3 +3α4 = 0

El cual sabemos tiene infinitas soluciones (¿por que?) y en consecuencia los polinomios p1(x),

p2(x), p3(x) y p4(x) son linealmente dependientes.

Ejemplo 4.13. Consideremos los polinomios p1(x), p2(x) y p4(x) del ejemplo anterior ¿son

linealmente independientes?

Solucion. Como en el ejemplo anterior, debemos plantearnos la ecuacion

α1p1(x) + α2p2(x) + α4p4(x) = 0 (para todo x ∈ R) (4.6)

Obteniendo el sistema

2α1 +2α2 +α4 = 0

−α1 −2α2 −2α4 = 0

2α1 +6α2 +3α4 = 0

La matriz de este sistema es

2 2 1

−1 −2 −2

2 6 3

Hallemos su FERF.

2 2 1

−1 −2 −2

2 6 3

F1 → F1 + F2→

1 0 −1

−1 −2 −2

2 6 3

F2 → F2 + F1→F3 → F3 − 2F1

1 0 −1

0 −2 −3

0 6 5

F2 → −12F2→

1 0 −1

0 1 32

0 6 5

F3 → F3 − 6F2→

1 0 −1

0 1 32

0 0 −4

F3 → −14F3→

1 0 −1

0 1 32

0 0 1

F1 → F1 + F3→F2 → F2 − 3

2F3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

149


De donde

α1 = α2 = α4 = 0

En consecuencia la ecuacion 4.6 tiene como unica solucion la trivial y por lo tanto p1(x), p2(x)y

p4(x) son linealmente independientes.

Ejemplo 4.14. Sean A1 =

[

5 4

2 −1

], A2 =

[3 −1

1 3

]y A3 =

[1 −1

−4 5

]. ¿Es

{A1, A2, A3} un conjunto linealmente independiente?

Solucion. Sean α1, α2, α3 ∈ R tales que α1A1 + α2A2 + α3A3 = 0/2. Entonces

[5α1 + 3α2 + α3 4α1 − α2 − α3

2α1 + α2 − 4α3 −α1 + 3α2 + 5α3

]=

[0 0

0 0

]

De donde

5α1 +3α2 +α3 = 0

4α1 −α2 −α3 = 0

2α1 +α2 −4α3 = 0

−α1 +3α2 +5α3 = 0

Resolvamos este sistema. La matriz del sistema es

5 3 1

4 −1 −1

2 1 −4

−1 3 5

Hallemos su FERF.

5 3 1

4 −1 −1

2 1 −4

−1 3 5

F1 → F1 − F2→

1 4 2

4 −1 −1

2 1 −4

−1 3 5

F2 → F2 − 4F1→F3 → F3 − 2F1

F4 → F4 + F1

1 4 2

0 −17 −9

0 −7 −8

0 7 7

F2 ↔ F4→

1 4 2

0 7 7

0 −7 −8

0 −17 −9

F2 → 1

7F2→

1 4 2

0 1 1

0 −7 −8

0 −17 −9

F1 → F1 − 4F2→F3 → F3 + 7F2

F4 → F4 + 17F2

1 0 −2

0 1 1

0 0 −1

0 0 8

150

IV. Espacios

Vectoriales

F3 → −F3→

1 0 −2

0 1 1

0 0 1

0 0 8

F1 → F1 + 2F3→F2 → F2 − F3

F4 → F4 − 8F3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

Por lo tanto α1 = α2 = α3 = 0 y en consecuencia {A1, A2, A3} es linealmente independiente.

Teorema 4.8. Sean V un espacio vectorial y u, v ∈ V. Los vectores u, v son linealmente depen

dientes si y solo si existe α ∈ R tal que u = αv o v = αu.

Demostracion. Supongamos que u, v son linealmente dependientes. Entonces existen λ, β ∈R,

no ambos nulos, tales que λu + βv = 0/V.Si λ 6= 0, entonces u = −β

λv. Haciendo α = −β

λ, obtenemos que u = αv.

Si λ = 0, entonces βv = 0/V y ademas, por hipotesis, β 6= 0 y en consecuencia v = 0/V = 0u.

Haciendo α = 0, obtenemos v = αu.

Supongamos ahora que existe α ∈ R tal que u = αv o v = αu. En consecuencia 1u+(−α)v = 0/V

o αu + (−1)v = 0/V, en cualquier caso, concluimos que u, v son linealmente dependientes.

Teorema 4.9. Sea A ∈ Mm×n(R). Las columnas de A, A(1), A(2), . . . , A(n), son linealmente

dependientes en Mm×1(R) si y solo si el sistema Ax = 0/m×1 tiene soluciones no triviales.

Demostracion. Sea A ∈ Mm×n(R). Entonces A(1), A(2), . . . , A(n) son linealmente dependientes

si y solo si existen escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R, no todos nulos, tales que

α1A(1) + α2A

(2) + · · ·+ αnA(n) = 0/m×1

Por la observacion 4.20

α1A(1) + α2A

(2) + · · ·+ αnA(n) = A

α1

α2

...

.

αn

Ası que A(1), A(2), . . . , A(n) son linealmente dependientes si y solo si el sistema Ax = 0/m×1 tiene

soluciones no triviales.

151


Como consecuencia del teorema 4.9 obtenemos los siguientes corolarios.

Corolario 4.10. Sea A ∈Mn×n(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.

1. det(A) 6= 0.

2. Las columnas de A, A(1), A(2), . . . , A(n), son linealmente independientes.

3. Las filas de A, A(1), A(2), . . . , A(n), son linealmente independientes.


Corolario 4.11. Sea A ∈ Mm×n(R). Si F es la FERF de A, entonces las columnas de F

con los pivotes, representan las columnas de A que son linealmente independientes, es decir, si

F (j1), F (j2), . . . , F (jr) son las columnas de F con los pivotes, entonces A(j1), A(j2), . . . , A(jr) son las

columnas de A que son linealmente independientes.


Teorema 4.12. Sean {v1, v2, . . . , vn} un subconjunto linealmente independiente de un espacio

vectorial V y u ∈ V tal que u /∈ gen({v1, v2, . . . , vn}). Entonces {v1, v2, . . . , vn, u} es linealmente

independiente.

Demostracion. Sean α1, α2, . . . , αn, α ∈ R tales que

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn + αu = 0/V

Si α 6= 0, entonces

u =(−α1

α

)v1 +

(−α2

α

)v2 + · · ·+

(−αn

α

)vn

lo que contradice la hipotesis de que u /∈ gen({v1, v2, . . . , vn}). Por lo tanto α = 0, de donde

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0/V

y dado que {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente, se tiene que α1 = α2 = · · · = αn = 0.

En consecuencia {v1, v2, . . . , vn, u} es linealmente independiente.

152


4.4.Base y dimension un espaciovectorial,cambio de base.

Segun el ejemplo 4.9 y la parte 2 del ejemplo 4.11 tenemos que:

1. {1, x, . . . , xn} es un conjunto generador de Pn[x] y ademas es linealmente independiente.

2. {e1, e2, . . . , en} es un conjunto linealmente independiente y genera a Rn.

3. {E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn} es un conjunto generador de

Mm×n(R) y es linealmente independiente.

Conjuntos con estas caracterısticas nos son de mucha utilidad en el estudio de los espacios

vectoriales y dan pie a la siguiente definicion.

Definicion 4.8. Sea V un espacio vectorial. Un conjunto {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V es una base de

V si gen({v1, v2, . . . , vn}) = V, es decir, {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto generador de V.2. {v1,v2, . . . , vn} es linealmente independiente.

Ejemplo 4.15.

1. {1, x, . . . , xn} es una base de Pn[x].

2. {e1, e2, . . . , en} es una base deRn.

3. {E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn} es una base de Mm×n(R).

Cada una de estas bases es llamada base canonica o estandar del correspondiente espacio.

Ejemplo 4.16. Ningun conjunto finito de polinomios en x es una base de P[x], en efecto, consi

deremos un conjunto finito cualquiera de polinomios, digamos {p1(x), p2(x), . . . , pn(x)}, entonces

para cualesquiera α1, α2, . . . , αn ∈ R tenemos que α1p1(x)+α2p2(x)+· · ·+αnpn(x) es un polinomio

a lo sumo de grado k, donde k es el maximo entre los grados de los polinomios p1, p2, . . . , pn,

es decir, cualquier combinacion lineal de los polinomios p1, p2, . . . , pn es un polinomio a lo sumo

153


de grado k, en consecuencia p(x) = xk+1 ∈ P[x] pero p(x) /∈ gen({p1(x), p2(x), . . . , pn(x)}), de

donde gen({p1(x), p2(x), . . . , pn(x)}) 6= P[x]. Lo cual prueba lo afirmado al principio.

Lo anterior nos dice que P[x] no tiene una base finita. Aunque en este capıtulo no trataremos

las bases infinitas (ver apendice B), afirmamos que una base para P[x] es

{1, x, x2, . . . , xn, . . .}

�

Ejemplo 4.17. Hallar una base del subespacio

W =

{[a b

c d

]: −5a + 6b + 4c− 2d = 0

}

Solucion.

[a b

c d

]∈W si y solo si −5a+6b+4c−2d = 0 o bien, si y solo si d = −5

2a+3b+2c.

Ası que[a b

c d

]∈W si y solo si

[a b

c d

]=

[a b

c −52a + 3b + 2c

]= a

[1 0

0 −52

]+ b

[0 1

0 3

]+ c

[0 0

1 2

]

Por lo tanto

W = gen

({[1 0

0 −52

],

[0 1

0 3

],

[0 0

1 2

]})

No es difıcil probar que {[1 0

0 −52

],

[0 1

0 3

],

[0 0

1 2

]}

es linealmente independiente, y en consecuencia es una base de W.

Ejemplo 4.18. Considere los polinomios p1(x), p2(2), p4(x) ∈ P2[x] del ejemplo 4.13. Pruebe que

β = {p1(x), p2(x), p4(x)} es una base de P2[x].

Solucion. Sabemos que el conjunto β = {p1(x), p2(x), p4(x)} es linealmente independiente, en

virtud del ejemplo 4.13, ası que solo falta probar que dicho conjunto genera a P2[x]. Sea p(x) = a+

bx+cx2 ∈ P2[x] cualquiera, queremos probar que la ecuacion α1p1(x)+α2p2(x)+α4p4(x) =

p(x),

154


para todo x ∈ R, tiene solucion para α1, α2, α4 ∈ R. Pero dicha ecuacion es equivalente al sistema

de ecuaciones

2α1 +2α2 +α4 = a

−α1 −2α2 −2α4 = b

2α1 +6α2 +3α4 = c


2 2 1

−1 −2 −2

2 6 3

y por el ejemplo 4.13, sabemos que es equivalente por filas a I3, en consecuencia, el sistema en

cuestion, tiene solucion (unica), lo cual concluye la prueba.

Ejemplo 4.19. Considere los polinomios p1(x), p2(x), p3(x) y p4(x) del ejemplo 2.12. Entonces

{p1(x), p2(x), p3(x), p4(x)} no es una base de P2[x], por ser linealmente dependiente, sin embargo

es un conjunto generador de P2[x]. El conjunto {p1(x), p2(x)} tampoco es una base de P2[x], por

no ser un conjunto generador de P2[x], pero es linealmente independiente. �

La unicidad de los escalares en el ejemplo 4.18 es una regla la cual enunciaremos en el siguiente

teorema.

Teorema 4.13. Sea β = {v1, v2, . . . , vn} una base de un espacio vectorial V. Entonces para cada

v ∈ V existen unicos escalares α 1, α2, . . . , αn ∈ R tales que v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.

Demostracion. Sea v ∈ V un vector cualquiera. Dado que β = {v1, v2, . . . , vn} es una base

de V, entonces β genera a V, ası que la existencia de los escalares en el enunciado del teorema

esta garantizada. Supongamos que existen escalares α 1, α2, . . . , αn, λ1, λ2, . . . , λn ∈ R tales que

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn y v = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn

Luego

0/V = v − v

= (α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn)− (λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn)

= (α1 − λ1)v1 + (α2 − λ2)v2 + · · ·+ (αn − λn)vn

Como β = {v1, v2, . . . , vn} es una base, entonces β es linealmente independiente, por lo tanto

α1 − λ1 = α2 − λ2 = · · · = αn − λn = 0

155


es decir,

α1 = λ1, α2 = λ2, . . . , αn = λn

con lo cual obtenemos la unicidad de los escalares.

Nótese que hemos hallado dos bases de P2[x], a saber la base canónica βc = {1, x, x2} y la

base β = {p1(x), p2(x), p4(x)} del ejemplo 4.18, y ambas tienen la misma cantidad de vectores, en

este caso tres (3), esta situación no es para nada casual, como veremos en el siguiente teorema.

Teorema 4.14.Sean β 1 = {u1, u2, . . . , un} y β 2 = {v1, v2, . . . , vm} dos bases de un

espacio vectorial V. Entonces m = n, esto es, si un espacio vectorial V tiene una base

finita,entonces todas sus bases tienen la misma cantidad de elementos.

Demostracion. Supongamos que m < n. Dado que β 2 es una base de V, entonces, paracada

1j, α2j , . . . , αmj ∈ R tales que j ∈ {1, . . . , n}, existen escalares α

uj = α1jv1 + α2jv2 + · · ·+ αmjvm

Sean λ 1, λ2, . . . , λn ∈ R tales que

λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λnun = 0/V

Luego

0/V = λ1(α11v1 + α21v2 + · · ·+ αm1vm) + λ2(α12v1 + α22v2 + · · ·+ αm2vm) + · · ·++λn(α1nv1 + α2nv2 + · · ·+ αmnvm)

= (α11λ1 + α12λ2 + · · ·+ α1nλn)v1 + (α21λ1 + α22λ2 + · · ·+ α2nλn)v2 + · · ·++(αm1λ1 + αm2λ2 + · · ·+ αmnλn)vm

Pero β 2 = {v1, v2, . . . , vm} es linealmente independiente, por ser una base de V, ası que

α11λ1 + α12λ2 + · · ·+ α1nλn = 0

α21λ1 + α22λ2 + · · ·+ α2nλn = 0

... .... ... ...

. ...

αm1λ1 + αm2λ2 + · · ·+ αmnλn = 0

Este es un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incognitas que son λ1, λ2, . . . , λn.

Como m < n, al usar el teorema 4.16, concluimos que el sistema anterior tiene soluciones no

triviales, es decir, existen λ1, λ2, . . . , λn ∈ R, no todos nulos, tales que

λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λnun = 0/V

156


es decir, β1 = {u1, u2, . . . , un} es linealmente dependiente, lo que contradice el hecho de que β1

es una base de V, por lo tanto m ≥ n. Analogamente se prueba que m ≤ n y por lo tanto m = n.

El teorema 2.14 da pie a la siguiente definicion.

Definicion 4.9. Sea V un espacio vectorial. Diremos que V tiene dimension cero o dimen

sion nula si V = {0/V}, diremos que la dimension de V es n si V tiene una base con n elementos,

en ambos casos diremos que V tiene dimension finita. Si V no posee una base finita, diremos

que V tiene dimension infinita. En todos los casos la dimension de V se denota por dim(V).

Ejemplo 4.20.

1. Del ejemplo 4.15 podemos garantizar que dim(Pn[x]) = n + 1, dim(Mm×n(R)) = mn y

dim(Rn) = n.

2. Si W es el subespacio del ejemplo 4.17, entonces dim(W) = 3.

3. El espacio vectorial P[x] es un espacio de dimension infinita (ver ejemplo 4.16).

Observacion 4.13. El problema de encontrar la dimension de un espacio vectorial esta rela

cionado con la busqueda de una base de dicho espacio, como vimos en el ejemplo 4.20.

Teorema 4.15. Sean V un espacio vectorial de dimension n y v1, v2, . . . , vm ∈ V.

1. Si {v1, v2, . . . , vm} es linealmente independiente, entonces m ≤ n.

2. Si {v1, v2, . . . , vm} genera a V, entonces m ≥ n.

Demostracion. Sea β = {u1, u2, . . . , un} una base de V.

1. Suponga que m > n y haga una prueba analoga a la del teorema 4.14.

2. ¡Ejercicio!

Como consecuencia del teorema 4.15 se tiene el siguiente teorema.

157


Teorema 4.16. Sean V un espacio vectorial de dimension n y S = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V.

1. Si S es linealmente independiente, entonces S es una base de V.

2. Si S genera a V, entonces S es una base de V.


Sugerencia: En ambos casos suponga que S no es una base, luego para la parte 1 use el

teorema 4.12 y para la parte 2 use el teorema 4.7.

Teorema 4.17. Sea W un subespacio de un espacio vectorial de dimension finita V. Entonces

dim(W) ≤ dim(V). Ademas, si dim(W) = dim(V), entonces W = V.

Demostracion. Sean dim(V) = n y β W una base de W. Entonces β W es linealmenteindepen

diente en W, luego β W es linealmente independiente en V (¿por que?). Por lo tanto, por laparte

1 el teorema 2.15, β W tiene a lo sumo n elementos, esto es, dim(W) ≤ n = dim(V).

Ademas, si dim(W) = dim(V), entonces β W es un conjunto linealmente independiente conn

elementos. Por lo tanto β W es una base de V (¿por que?). En consecuencia W = gen(β W) = V.

Observacion 4.14. Todo espacio vectorial que contenga un subespacio de dimensien infinita,

es tambien de dimension infinita.

Ejemplo 4.21. Sean a, b ∈ R cualesquiera. Entonces P[x] puede verse como un subespacio de

C [ a , b ] (¿por que?) y como P[x] tiene dimension finita (ver parte 3 de ejemplo 4.20), entonces,

por la observacion 4.14, C [ a , b ] de dimension infinita.

Teorema 4.18. Sea V un espacio vectorial de dimension n y S = {v1, v2, . . . , vm} ⊂ V.

1. Si S es linealmente independiente, entonces existe una base β de V tal que S ⊂ β .

2. Si S genera a V, entonces existe una base β de V tal que β ⊂ S.

Demostracion.

1. Dado que S es linealmente independiente, entonces m ≤ n, segun la parte 1 delteorema

2.15. 158


Si S genera a V, entonces S es una base de V, ası que β = S es una base de V que contiene

a S. De lo contrario, existe un vector vm+1 ∈ V tal que vm+1 /∈ gen({v1, v2, . . . , vm}). Luego

{v1, v2, . . . , vm, vm+1} es linealmente independiente, en virtud del teorema 4.12.

Si {v1, v2, . . . , vm, vm+1} genera a V, entonces β = {v1, v2, . . . , vm, vm+1} es una base de V

tal que S ⊂ β . Sino, podemos escoger vm+2 ∈ V tal que vm+2 /∈ gen({v1, v2, . . . , vm, vm+1})y al igual que antes {v1, v2, . . . , vm, vm+1, vm+2} es linealmente independiente.

Continuamos con este proceso hasta completar un conjunto linealmente independiente β =

{v1, v2, . . . , vm, vm+1, . . . , vn}, el cual es, por lo tanto, una base de V y ademas S ⊂ β .

2. ¡Ejercicio!

Sugerencia: Si S es linealmente independiente, entonces β = S es la base buscada, de lo

contrario existe k ∈ {1, . . . , m} tal que vk ∈ gen({v1, v2, . . . , vk−1, vk+1, . . . , vm}). Continuar

este proceso hasta obtener la base β buscada.

4.4.2 Rango, Nulidad, Espacio Fila y Espacio Columna de una Matriz

En la observacion 4.9 se afirmo que en la presente seccion se probarıa formalmente, usando el

corolario 2.4, que los conjuntos S y R, definidos en la parte 3 del ejemplo 2.1, son subespacios

de Mn×1(R) y Mm×1(R), respectivamente. Antes que nada definiremos mas formalmente dichos

conjuntos.

Definicion 4.10. Consideremos una matriz A ∈Mm×n(R). El conjunto

N(A) = Ker(A) = {x ∈Mn×1(R) : Ax = 0/m×1}

es llamado espacio nulo, nucleo o kernel de A; y el conjunto

Im(A) = {y ∈Mm×1(R) : Ax = y para algun x ∈Mn×1(R)}

se conoce como imagen o recorrido de A.

Observacion 4.15. Notemos que por definicion y ∈ Im(A) si y solo si existe x ∈ Mn×1(R) tal

que Ax = y.

159


F1 ↔ F2→

1 0 2 −3

0 1 −1 4

0 0 0 0

Ası que

x1

x2

x3

x4

∈ N(A) si y solo si

{x1 +2x3 −3x4 = 0

x2 −x3 +4x4 = 0

o bien {x1 = −2x3 + 3x4

x2 = x3 − 4x4

De donde

x1

x2

x3

x4

=

−2x3 + 3x4

x3 − 4x4

x3

x4

= x3

−2

1

1

0

+ x4

3

−4

0

1

Por lo tanto

N(A) = gen

−2

1

1

0

,

3

−4

0

1

No es difıcil probar que el conjunto

−2

1

1

0

,

3

−4

0

1

es linealmente independiente (¡pruebelo!) y por lo tanto es una base de N(A). Ası que n(A) = 2.

Por otro lado, sea y =

y1

y2

y3

∈M3×1(R). Entonces y ∈ Im(A) si y solo si existe x =

x1

x2

x3

x4

∈

M4×1(R) tal que Ax = y, es decir, y ∈ Im(A) si y solo si el sistema Ax = y tiene solucion.

160


Resolvamos entonces este sistema, la matriz ampliada de este sistema es

[A|y] =

2 −3 7 −18 y1

−2 0 −4 6 y2

2 −9 13 −42 y3

La cual es equivalente por filas a la matriz (¡verifıquelo!)

1 0 2 −3 −12y2

0 1 −1 4 −13y1 − 1

3y2

0 0 0 0 −3y1 − 2y2 + y3

Por lo tanto y ∈ Im(A) si y solo si

−3y1 − 2y2 + y3 = 0 (¿por que?)

o equivalentemente

y3 = 3y1 + 2y2

En consecuencia

y =

y1

y2

y3

=

y1

y2

3y1 + 2y2

= y1

1

0

3

+ y1

0

1

2

y por lo tanto

Im(A) = gen

1

0

3

,

0

1

2

Al igual que antes, no es difıcil probar que

1

0

3

,

0

1

2

es linealmente independiente y en consecuencia una base de Im(A). Luego r(A) = 2.

Con respecto al ejercicio anterior, notemos que los pivotes en la FERF de A estan en las

columnas 1 y 2, por lo tanto las columnas 1 y 2 de A,

2

−2

2

,

−3

0

−9

161


son linealmente independientes (use el corolario 2.11) y ademas

A

1

0

0

0

=

2 −3 7 −18

−2 0 −4 6

2 −9 13 −42

1

0

0

0

=

2

−2

2

y

A

0

1

0

0

=

2 −3 7 −18

−2 0 −4 6

2 −9 13 −42

0

1

0

0

=

−3

0

−9

es decir

2

−2

2

,

−3

0

−9

∈ Im(A)

y por lo tanto

2

−2

2

,

−3

0

−9

es un subconjunto linealmente independiente de Im(A). Al usar la parte 1 del teorema 4.16

tenemos que

2

−2

2

,

−3

0

−9

es una base para Im(A).

Este procedimiento es valido al momento de hallar una base para Im(A) y es una manera mas

sencilla que la usada en el ejemplo previo, es decir, si se quiere hallar una base para Im(A), no

es necesario saber para que valores de y el sistema Ax = y tiene solucion.

Vamos a dar el algoritmo que nos permite hallar una base para N(A) y una base para Im(A).

Algoritmo para hallar bases para N(A) e Im(A), donde A ∈ Mm×n(R).

Paso 1. Hallar la FERF de la matriz A.

162


Paso 2. La matriz hallada en el paso previo, nos permite escribir la solucion del sistema

Ax = 0/m×1 como combinacion lineal de ciertos vectores linealmente independientes,

dichos vectores forman un base para N(A).

Paso 3. Las columnas con los pivotes, de la matriz hallada en el primer paso, representan

las columnas de A que forman una base para Im(A).

Antes de dar un ejemplo de como aplicar este algoritmo, daremos algunos resultados. Con-

sideremos una matriz A ∈ Mm×n(R). Denotaremos por C(A) al espacio generado por las

columnas de A, el cual llamaremos espacio columna de A, y denotaremos por R(A) al espacio

generado por las filas de A, el cual es llamado espacio fila de A, esto es

C(A) = gen({A(1), A(2), . . . , A(n)})

y

R(A) = gen({A(1), A(2), . . . , A(m)})

Teorema 4.20. Si A, B ∈Mm×n(R) son tales que A y B son equivalentes por filas, entonces

1. C(A) = Im(A).

2. R(A) = R(B).

3. dim(R(A)) = dim(C(A)) = dim(Im(A)) = r(A).

4. r(A) = r(B) y n(A) = n(B).

5. r(A) + n(A) = n.

Demostracion.

1. Por definicion de Im(A) sabemos que y ∈ Im(A) si y solo si existe x ∈ Mn×1(R) tal que

Ax = y.

Si hacemos x =

x1

x2

...

.

xn

, entonces

y = Ax = x1A(1) + x2A

(2) + · · ·+ xnA(n) (ver observacion 1.20)

es decir, y ∈ Im(A) si y solo si y ∈ gen({A(1), A(2), . . . , A(n)}) = C(A).

En consecuencia C(A) = Im(A).

163


2. Como A y B son equivalentes por filas, entonces cada fila de B es combinacion lineal de

las filas de A y viceversa (ver ejercicio 4.7), es decir, para cada i ∈ {1, . . . , m} se tiene que

B(i) ∈ gen({A(1), A(2), . . . , A(m)}) y A(i) ∈ gen({B(1), B(2), . . . , B(m)}). En consecuencia

R(A) = R(B)

3. Sea F ∈Mm×n(R) la FERF de A. Entonces las filas no nulas de F son linealmente indepen

dientes (¿por que?) y en consecuencia forman una base para R(F ), por lo tanto, si k es el

numero de filas no nulas de F , entonces dim(R(F )) = k, pero por la parte 2 R(A) = R(F

), ası que dim(R(A)) = dim(R(F )) = k.

Por otro lado, las columnas de F con los pivotes, representan las columnas de A que son

linealmente independientes (en virtud del corolario 4.11) y que en consecuencia forman una

base para C(A), pero la cantidad de pivotes que tiene F es k, por lo tanto dim(C(A)) = k =

dim(R(A)) y por la parte 1 tenemos que

dim(R(A)) = dim(C(A)) = dim(Im(A)) = r(A)

4.Queda como ejercicio.

5.Queda como ejercicio.

Corolario 4.21. A ∈Mn×n(R) es invertible si y solo si r(A) = n.


Corolario 4.22. Sean A ∈ Mm×n(R) y b ∈ Mm×1(R). Entonces el sistema Ax = b tiene al

menos una solucion si y solo si r([A|b]) = r(A).


Ejemplo 4.23. Hallar el espacio fila, el espacio columna, el espacio nulo, la imagen, y una base

para cada uno de estos espacios; y la nulidad y el rango de la matriz

A =

2 2 −6 1 8

−4 −1 −3 −2 −19

1 1 −3 1 6

2 4 −16 3 14

164


Solucion. Solo hace falta hallar la FERF de A.

A =

2 2 −6 1 8

−4 −1 −3 −2 −19

1 1 −3 1 6

2 4 −16 3 14

F1 ↔ F3→

1 1 −3 1 6

−4 −1 −3 −2 −19

2 2 −6 1 8

2 4 −16 3 14

F2 → F2 + 4F1→F3 → F3 − 2F1

F4 → F4 − 2F1

1 1 −3 1 6

0 3 −15 2 5

0 0 0 −1 −4

0 2 −10 1 2

F2 ↔ F2 − F4→

1 1 −3 1 6

0 1 −5 1 3

0 0 0 −1 −4

0 2 −10 1 2

F1 → F1 − F2→F4 → F4 − 2F2

1 0 2 0 3

0 1 −5 1 3

0 0 0 −1 −4

0 0 0 −1 −4

F2 → F2 + F3→F4 → F4 − F3

1 0 2 0 3

0 1 −5 0 −1

0 0 0 −1 −4

0 0 0 0 0

F3 → −F3→

1 0 2 0 3

0 1 −5 0 −1

0 0 0 1 4

0 0 0 0 0

Ası que

x1

x2

x3

x4

x5

∈ N(A) si y solo si

x1 +2x3 +3x5 = 0

x2 −5x3 −x5 = 0

x4 +4x5 = 0

o equivalentemente

x1 = −2x3 − 3x5

x2 = 5x3 + x5

x4 = −4x5

165


Luego

x1

x2

x3

x4

x5

=

−2x3 − 3x5

5x3 + x5

x3

−4x5

x5

= x3

−2

5

1

0

0

+ x5

−3

1

0

−4

1

Por lo tanto, una base para el espacio nulo de A es:

−2

5

1

0

0

,

−3

1

0

−4

1

y ası

N(A) = gen

−2

5

1

0

0

,

−3

1

0

−4

1

Ademas, una base para el espacio fila de A es:

{[1 0 2 0 3

],[

0 1 −5 0 −1],[

0 0 0 1 4]}

luego

R(A) = gen({[

1 0 2 0 3],[

0 1 −5 0 −1],[

0 0 0 1 4]})

Como los pivotes de la FERF de A estan en las columnas 1,2 y 4, entonces las columnas 1,2 y

4 de A forman una base para el espacio imagen o espacio columna de A, es decir,

2

−4

1

2

,

2

−1

1

4

,

1

−2

1

3

es una base para C(A) = Im(A) y en consecuencia

166


C(A) = Im(A) = gen

2

−4

1

2

,

2

−1

1

4

,

1

−2

1

3

Finalmente la nulidad y el rango de A son, respectivamente, n(A) = dim(N(A)) = 2 y r(A) =

dim(Im(A)) = dim(R(A)) = dim(C(A)) = 3.

Ejercicio 4.8. Pruebe que si A ∈ Mn×n(R), entonces existe k ≤ n tal que para cada r ≥ kse

cumple

1. N (Ar) = N Ak) y {0/n×1} ⊂ N(A) ⊂ N(A2) ⊂ · · · ⊂ N Ak

).

2. Im (Ar) = Im Ak)

e Im Ak)⊂ · · · ⊂ Im(A2) ⊂ Im(A) ⊂Mn×1(R).

Ademas, si A no es invertible, entonces todas las contenciones en 1 y 2 son propias.

167

Matriz de Cambio de Base.

En este capıtulo y en el siguiente, los espacios vectoriales considerados, son espacios vectoriales

reales, salvo que se indique lo contrario, sin embargo, muchas de las definiciones y teoremas

expuestos en ellos, pueden generalizarse para el caso en que no se consideren espacios vectoriales

reales.

Sea V un espacio vectorial de dimension n. Dada una base β = {v1, v2, . . . , vn} de V, existen

muchas formas de ordenar los vectores en β , a saber n! formas distintas, haremos una diferen-

cia

entre unas y otras definiendo lo que llamaremos base ordenada .

Definicion 4.3.1. Sea V un espacio vectorial de dimension n. Una base ordenada de V esuna

n-upla ordenada (v1, v2, . . . , vn) tal que {v1, v2, . . . , vn} es una base de V.

Observacion 4.3.1. Para no recargar mucho la notacion escribiremos {v1, v2, . . . , vn} en

lugar de (v1, v2, . . . , vn) y para no caer en confusion diremos {v1, v2, . . . , vn} es una base

ordenada de

V.

Ejemplo 4.3.1.

1. En R2 dos bases ordenadas distintas son: βc = {(1, 0), (0, 1)} y β = {(0, 1), (1, 0)} la primera

se denomina la base canonica ordenada o simplemente base canonica de R2. Notese

que β c y β son iguales como bases de R2, pero distintas como bases ordenadas.

�

2. En Rn las bases ordenadas βc = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)} y β =

{(0, . . . , 0, 1), (0, . . . , 0, 1, 0), . . . , (1, 0, . . . , 0)} son distintas, pero como bases son iguales. βc

es llamada base canonica ordenada o simplemente base canonica de Rn. �

3. En Pn[x] las siguientes bases β c = {1, x, . . . , xn} y β = {xn, . . . , x, 1} son bases orde-

nadas distintas, pero como bases iguales. β c es llamada base canonica ordenada o

simplemente

base canonica de Pn[x].

�

168


4. En el espacio de las matrices Mm×n(R), para cada i ∈ {1, . . . , n} y j ∈ {1, . . . , m}, con-

sideremos la matriz Eij, cuya componente ij es igual a 1 y las restantes son iguales a 0

(cero).

La base β c = {E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n, . . . , Em1, Em2, . . . , Emn} es llamada

la base canonica ordenada o simplemente base canonica de Mm×n(R). Las

siguientes

son bases ordenadas de Mm×n(R), distintas entre si y distintas de β c:

a) β1 = {E11, E21, . . . , Em1, E12, E22, . . . , Em2, . . . , E1n, E2n, . . . , Emn}

b) β2 = {Emn, . . . , Em2, Em1, . . . , E2n, . . . , E22, E21, E1n, . . . , E12, E11}

c) β3 = {Emn, . . . , E2n, E1n, . . . , Em2, . . . , E22, E12, Em1, . . . , E21, E11}

d) β4 = {E1n, . . . , E12, E11, E2n, . . . , E22, E21, . . . , Emn, . . . , Em2, Em1}

Todas estas bases son iguales como bases (no ordenadas).

�

Dada una base {v1, v2, . . . , vn} de V, sabemos que para cada v ∈ V existen unicos escalares

α1, α2, . . . , αnR tales que

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.

Si {v1, v2, . . . , vn} es una base ordenada, entonces los escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R son unicos y

estan ordenados de forma unica, lo que da pie a la siguiente definicion.

Definicion 4.3.2. Sea β = {v1, v2, . . . , vn} una base ordenada de V y sea v ∈ V. Definiremos

la matriz de coordenadas de v en la base β como la unica matriz

[v]β =

α1

α2

...

.

αn

tal que v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.

Ejemplo 4.3.2. El conjunto β = {1 + x, x + x2, 1 + x2} es una base de P2[x] (¡pruebelo!).

Para cualquier p(x) ∈ P2[x], encuentre [p(x)]β .

Solucion. Sea p(x) = a0 + a1x + a2x2 con a0, a1, a2 ∈ R y sea

[p(x)]β =

α1

α2

α3

169


Entonces, para cada x ∈ R, tenemos

p(x) = α1(1 + x) + α2(x + x2) + α3(1 + x2)

= (α1 + α3) + (α1 + α2)x + (α2 + α3)x2

De donde se obtiene el sistema

α1 +α3 = a0

α1 +α2 = a1

α2 +α3 = a2

Resolvemos el sistema

1 0 1 a0

1 1 0 a1

0 1 1 a3

F2 → F2 − F1→

1 0 1 a0

0 1 −1 −a0 + a1

0 1 1 a2

F3 → F3 − F2→

1 0 1 a0

0 1 −1 −a0 + a1

0 0 2 a0 − a1 + a2

F3 → 1

2F3→

1 0 1 a0

0 1 −1 −a0 + a1

0 0 1 12a0 − 1

2a1 + 1

2a2

F1 → F1 − F3→F2 → F2 + F3

1 0 0 12a0 + 1

2a1 − 1

2a2

0 1 0 −12a0 + 1

2a1 + 1

2a2

0 0 1 12a0 − 1

2a1 + 1

2a2

Luego

[p(x)]β = [a0 + a1x + a2x2]β =

12a0 + 1

2a1 − 1

2a2

−12a0 + 1

2a1 + 1

2a2

12a0 − 1

2a1 + 1

2a2

=

1

2

a0 + a1 − a2

−a0 + a1 + a2

a0 − a1 + a2

=1

2

1 1 −1

−1 1 1

1 −1 1

a0

a1

a2

=

1

2

1 1 −1

−1 1 1

1 −1 1

[p(x)]βc

Teorema 4.3.1. Sea β una base ordenada de un espacio vectorial V de dimension n. Para

cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R se cumple que

1. [u + v]β = [u]β + [v]β

170


2. [αu]β = α[u]β


Teorema 4.3.2. Sean β 1 = {v1, v2, . . . , vn} y β 2 = {u1, u2, . . . , un} bases ordenadas de un

espacio vectorial V. Entonces existe una unica matriz A ∈Mn×n(R) tal que

[v]β2 = A[v]β1 para cada v ∈ V (4.1)

Demostracion. Para cada j ∈ {1, . . . , n} hagamos

[vj ]β2 =

α1j

α2j

...

.

αnj

Entonces

vj = α1ju1 + α2ju2 + · · ·+ αnjun

Sea v ∈ V cualquiera. Hagamos

[v]β1 =

λ1

λ2

...

.

λn

y [v]β2 =

α1

α2

...

.

αn

Entonces

α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun = v

= λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn

= λ1(α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1un) + λ2(α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un) + · · ·++λn(α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun)

= (α11λ1 + α12λ2 + · · ·+ α1nλn)u1 + (α21λ1 + α22λ2 + · · ·+ α2nλn)u2 + · · ·++(αn1λ1 + αn2λ2 + · · ·+ αnnλn)un

171


Por lo tanto

α1

α2

...

αn

=

α11λ1 + α12λ2 + · · ·+ α1nλn

α21λ1 + α22λ2 + · · ·+ α2nλn

... ...

αn1λ1 + αn2λ2 + · · ·+ αnnλn

=

α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n

... ... ...

αn1 αn2 · · · αnn

λ1

λ2

...

λn

De donde

[v]β2 =

α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n

... ... ...


[v]β1

Haciendo

A = [αij]n×n =

α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n

...

.....

...

.


=[

[v1]β2 [v2]β2 · · · [vn]β2

]

obtenemos la existencia de la matriz A que satisface (3.1)

Para probar la unicidad de A, notemos primero que la j-esima columna de A esta dada por

A(j) =

α1j

α2j

...

.

αnj

= [vj ]β2

Supongamos que B ∈Mn×n(R) es tal que

[v]β2 = B[v]β1 para cada v ∈ V

Ası que, para cada j ∈ {1, . . . , n}, tenemos que

[vj]β2 = B[vj ]β1

172


Pero

[vj ]β1 =

0....

0

1

0

...

0

−→ j-esima fila

Luego

A(j) = [vj ]β2 = B[vj ]β1 = B

0....

0

1

0....

0

= B(j)

Por lo tanto B = A.

Definicion 4.4.3. La matriz A en el teorema anterior es llamada matriz de transicion

o matriz de cambio de base de β 1 a β 2 y se denota por Mβ1,β2.

Como su nombre lo indica, la matriz Mβ1,β2 permite hallar la matriz de coordenadas de un

vector v ∈ V en la base β2 conociendo la matriz de coordenadas de v en la base β1. Notese

ademas que por su definicion, la columna j-esima de Mβ1,β2, representa la matriz de coordenadas

del j-esimo vector de β1 respecto a la base β2, esto es, si β1 = {v1, v2, . . . , vn}, entonces

Mβ1,β2 =[

[v1]β2 [v2]β2 · · · [vn]β2

]

.

Ejemplo 4.3.3. Sea β la base ordenada de P2[x] dada en el ejemplo 3.2. Entonces, segun el

ejemplo en cuestion, tenemos que

Mβc,β =1

2

1 1 −1

−1 1 1

1 −1 1

(¿por que?)

173


donde βc es la base canonica ordenada de P2[x]. �

Antes de dar algun otro ejemplo, enunciaremos un primer resultado que involucra matricesde

transicion.

Teorema 4.3.3. Si V es un espacio vectorial de dimension n y β 1 y β 2 son dos basesordenadas

de V, entonces la matriz Mβ 1,β 2 es invertible y su inversa es Mβ 2,β 1.

Demostracion. Sea v ∈ V cualquiera. Entonces

[v]β2 = Mβ 1,β 2[v]β1

y [v]β1 = Mβ2,β1[v]β2

Por lo tanto, si β2 = {v1, v2, . . . , vn}, entonces para cada j ∈ {1, . . . , n} se tiene que

j-esima fila←−

0

...

0

1

0....

0

= [vj ]β2 = Mβ1,β2[vj ]β1 = Mβ1,β2Mβ2,β1[vj]β2 = C(j)

donde C(j) es la j-esima columna de Mβ1,β2Mβ2,β1.

En consecuencia Mβ1,β2Mβ2,β1 = In y por lo tanto (Mβ1,β2)−1 = Mβ2,β1.

Ejemplo 4.3.4. Consideremos las siguientes bases ordenadas deR3

β1 = {(1,−2, 0), (3,−1, 1), (0, 1, 3)}

β2 = {(0, 2, 1), (−1, 0, 1), (3,−1, 2)}y

βc la base canonica.

Hallar Mβ1,β2, Mβc,β2 y Mβ2,β1.

Solucion. Para hallar Mβ1,β2 debemos hallar las matrices de coordenadas de cada uno de los

vectores de β1 respecto a la base β2. Sean

[(1,−2, 0)]β2 =

α11

α21

α31

, [(3,−1, 1)]β2 =

α12

α22

α32

y [(0, 1, 3)]β2 =

α13

α23

α33

174


Entonces

(1,−2, 0) = α 11(0, 2, 1) + α

21(−1, 0, 1) + α 31(3,−1, 2)

= (−α21 + 3α31 , 2α 11− α31 , α 11 + α21 + 2α 31)

(3,−1, 1) = α 12(0, 2, 1) + α22(−1, 0, 1) + α32(3,−1, 2)

= (−α22 + 3α32 , 2α 12− α32 , α 12 + α22 + 2α

32)

(0, 1, 3) = α 13(0, 2, 1) + α23(−1, 0, 1) + α33(3,−1, 2)

= (−α23 + 3α33 , 2α 13− α33 , α 13 + α23 + 2α

33)

De donde

−α21 +3α31 = 1

2α11 −α31 = −2

α11 +α21 +2α31 = 0

,

−α22 +3α32 = 3

2α12 −α32 = −1

α12 +α22 +2α32 = 1

y

−α23 +3α33 = 0

2α13 −α33 = 1

α13 +α23 +2α33 = 3

Debido a que la matriz de cada uno de estos sistemas es la misma, podemos resolverlos de

manera simultanea considerando la siguiente matriz tres veces ampliada

0 −1 3 1 3 0

2 0 −1 −2 −1 1

1 1 2 0 1 3

Notese que las tres primeras columnas de esta matriz, son las matrices de coordenadas de

cada uno de los vectores de la base β 2 respecto a la base canonica, y las tres ultimas colum

nas, son las matrices de coordenadas de cada uno de los vectores de la base β 1 respecto a labase

canonica. Este procedimiento es estandar cada vez que busquemos una matriz de cambio de base.

0 −1 3 1 3 0

2 0 −1 −2 −1 1

1 1 2 0 1 3

F1 ↔ F3→

1 1 2 0 1 3

2 0 −1 −2 −1 1

0 −1 3 1 3 0

175


F2 → F2 − 2F1→

1 1 2 0 1 3

0 −2 −5 −2 −3 −5

0 −1 3 1 3 0

F2 ↔ F3→

1 1 2 0 1 3

0 −1 3 1 3 0

0 −2 −5 −2 −3 −5

F2 → −F2→

1 1 2 0 1 3

0 1 −3 −1 −3 0

0 −2 −5 −2 −3 −5

F1 → F1 − F2→F3 → F3 + 2F2

1 0 5 1 4 3

0 1 −3 −1 −3 0

0 0 −11 −4 −9 −5

F3 → − 111

F3→

1 0 5 1 4 3

0 1 −3 −1 −3 0

0 0 1 411

911

511

F1 → F1 − 5F3→F2 → F2 + 3F3

1 0 0 − 911− 1

11811

0 1 0 111− 6

111511

0 0 1 411

911

511

Ası que

Mβ1,β2 =

− 911− 1

11811

111− 6

111511

411

911

511

=

1

11

−9 −1 8

1 −6 15

4 9 5

Hallemos ahora Mβc,β2. En este caso la matriz aumentada que obtenemos es

0 −1 3 1 0 0

2 0 −1 0 1 0

1 1 2 0 0 1

Vemos que para obtener Mβc,β2 necesitamos aplicar, en el mismo orden, las mismas OEF que

aplicamos anteriormente (¿por que?), y obtenemos

1 0 0 111

511

111

0 1 0 − 511− 3

11611

0 0 1 211− 1

11211

Por lo tanto

Mβc,β2 =

111

511

111

− 511− 3

11611

211− 1

11211

=1

11

1 5 1

−5 −3 6

2 −1 2

Notese que la matriz obtenida no es mas que la inversa de

Mβ2,βc=

0 −1 3

2 0 −1

1 1 2

176


Finalmente (¡verifıquelo!)

Mβ2,β1 = (Mβ1,β2)−1 =

−1514

12

314

514−1

21314

314

12

514

=

1

14

−15 7 3

5 −7 13

3 7 5

Algoritmo para hallar la matriz de transicion Mβ1,β2, donde β1 y β2 son bases ordenadas

de un espacio vectorial V de dimension n y βc es la base canonica ordenada de V. En general

V = Rn, V = Pn−1[x] o V =Mp×q(R) con pq = n.

Paso 1. Hallar las matrices Mβ2,βcy Mβ1,βc

.

Paso 2. Formar la la matriz ampliada [Mβ2,βc|Mβ1,βc

].


Paso 4. La matriz hallada en el paso previo tiene la forma [In|B]. Entonces Mβ1,β2 = B.

Ejemplo 3.5. Sean β1, β2 y βc como en el ejemplo anterior. Dado (x, y, z) ∈ R3, hallar

[(x, y, z)]β2 y [(x, y, z)]β1.

Solucion. Sabemos que [(x, y, z)]βc=

x

y

z

por lo tanto

[(x, y, z)]β2 = Mβc,β2[(x, y, z)]βc=

1

11

1 5 1

−5 −3 6

2 −1 2

x

y

z

=

1

11

x + 5y + z

−5x− 3y + 6z

2x− y + 2z

[(x, y, z)]β1 = Mβ2,β1[(x, y, z)]β2 =1

14

−15 7 3

5 −7 13

3 7 5

1

11

x + 5y + z

−5x− 3y + 6z

2x− y + 2z

[(x, y, z)]β1 =1

14

−4x− 9y + 3z

6x + 3y − z

−2x− y + 5z

177


En este ultimo ejemplo se verifica que

Mβc,β1 = Mβ2,β1Mβc,β2 =1

14

−15 7 3

5 −7 13

3 7 5

1

11

1 5 1

−5 −3 6

2 −1 2

Mβc,β1 =1

14

−4 −9 3

6 3 −1

−2 −1 5

Este resultado no es casual, como se puede ver en el siguiente teorema

Teorema 4.4.4. Sean β 1, β 2 y β 3 bases ordenadas de un espacio vectorial V de dimensi

on n. Entonces

Mβ1,β3 = Mβ2,β3Mβ1,β2


[v]β3 = Mβ2,β3[v]β2 y [v]β2 = Mβ1,β2[v]β1

Luego

[v]β3 = Mβ2,β3[v]β2 = Mβ2,β3Mβ1,β2[v]β1

Por unicidad de la matriz Mβ1,β3 concluimos que

Mβ1,β3 = Mβ2,β3Mβ1,β2

Teorema 4.4.5. Sea β una base ordenada de un espacio vectorial V de dimension n.Entonces

{v1, v2, . . . , vn} es una base de V si y solo si la matriz cuadrada de orden n, cuya j-esima columna

es [vj ]β , tiene determinante distinto de cero.

Demostracion. Sea A ∈Mn×n(R) la matriz cuya j-esima columna es [vj ]β. Sean α1, α2, . . . , αn ∈R tales que

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0Ası que

178


0/n×1 = [0/V]β = [α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn]β = α1[v1]β + α2[v2]β + · · ·+ αn[vn]β

= [[v1]β [v2]β · · · [vn]β ]

α1

α2

...

αn

= A

α1

α2

...

αn

Pero det(A) 6= 0 si y solo si el sistema A

α1

α2

...

αn

= 0/n×1 tiene como unica solucion la trivial, es

decir, si y solo si {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente que a su vez, dado que dim(V) = n,

equivale a que {v1, v2, . . . , vn} es una base de V.

El Teorema anterior nos da una forma alternativa para saber si un conjunto {v1, v2, . . . , vn},en un espacio vectorial de dimension n, es una base para dicho espacio.

4.5. Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

Definicion 4.5.4. Sea V un espacio vectorial real. Un producto interno sobre V, es una funcion

que asocia, a cada par de vectores u, v ∈ V, un unico numero real denotado por 〈u , v〉, u · vouv satisfaciendo las siguientes propiedades. Para cualesquiera u, v, w ∈ V y cada α ∈ R

1. 〈u , v〉 = 〈v , u〉.

2. 〈u + v , w〉 = 〈u , w〉+ 〈v , w〉.

3. 〈α u , v〉 = α 〈u , v〉..〈v , v〉 ≥ 0 y ademas 〈v , v〉 = 0 si y solo si v = 0/V.

Un espacio vectorial real, en el cual se define un producto interno, es llamado espacio

(vectorial real) con producto interno (EPI). Otros nombres con los que se conoce a

los productos internos son producto interior, producto escalar y producto punto.

Ejemplo 4.5.6. Las siguientes funciones son productos internos sobre Rn

179


1. 〈u , v〉 =n∑

i=1

uivi donde u = (u1, u2, . . . , un) y v = (v1, v2, . . . , vn).

En efecto, sean u, v, w ∈ Rn y α ∈ R con u = (u1, u2, . . . , un); v = (v1, v2, . . . , vn) y

w = (w1, w2, . . . , wn). Entonces

〈u , v〉 =

n∑

i=1

uivi =

n∑

i=1

viui = 〈v , u〉

u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn) = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn), ası que

〈u + v , w〉 =

n∑

i=1

(ui + vi)wi =

n∑

i=1

(uiwi + viwi) =

n∑

i=1

uiwi +

n∑

i=1

viwi = 〈u , w〉+ 〈v , w〉

αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun), luego

〈αu , v〉 =

n∑

i=1

αuivi = α

n∑

i=1

uivi = α 〈u , v〉

Finalmente

〈u , u〉 =

n∑

i=1

uiui =

n∑

i=1

u2i ≥ 0

Ademas, 〈u , u〉 = 0 si y solo si u2i = 0 para cada i ∈ {1, . . . , n} (¿por que?), esto es, si y

solo si u = 0/Rn.

Este producto interno es llamado producto interno euclidiano, usual o estandar de

Rn, salvo que se indique lo contrario, este es el producto interno que consideraremos sobre

Rn.

2. 〈u , v〉 =n∑

i=1

piuivi donde p1, p2, . . . , pn son numeros reales positivos fijos, u = (u1, u2, . . . , un)

y v = (v1, v2, . . . , vn). Este producto interno es lo que se denomina producto interno

ponderado, si p1 = · · · = pn = 1, este producto interno coincide con el producto interno

euclidiano. Pruebe que esta funcion es un producto interno. �

Ejemplo 4.5.7. En Mm×n(R) la siguiente funcion define un producto interno (¡pruebelo!), elcual

se conoce como producto interno euclidiano, usual o estandar, al igual que en el caso de

Rn, salvo que se indique otra cosa, este es el producto interno que consideraremos sobreMm×n(R).

〈A , B〉 =

m∑

i=1

n∑

j=1

aijbij

donde A = (aij)m×n y B = (bij)m×n. �

180


Ejemplo 4.5.8. En el espacio de las funciones reales continuas en el intervalo [ a , b ], C [ a,b],

la funcion

〈f , g〉 =

∫ b

a

f(x)g(x)dx

es un producto interno, en efecto, sean f, g, h ∈ C [ a , b ] y α ∈ R. Entonces

〈f , g〉 =∫ b

a

f(x)g(x)dx =

∫ b

a

g(x)f(x)dx = 〈g , f〉

〈f + g , h〉 =

∫ b

a

(f(x) + g(x))h(x)dx =

∫ b

a

(f(x)h(x) + g(x)h(x))dx

=

∫ b

a

f(x)h(x)dx +

∫ b

a

g(x)h(x)dx = 〈f , h〉+ 〈g , h〉

〈αf , g〉 =

∫ b

a

αf(x)g(x)dx = α

∫ b

a

f(x)g(x)dx = α 〈f , g〉

〈f , f〉 =

∫ b

a

f(x)f(x)dx =

∫ b

a

[f(x)]2dx ≥ 0

Ademas 〈f , f〉 = 0 si y solo si f(x) = 0 para cada x ∈ [ a , b ] (¿por que?), es decir, si y solo

si f = O, donde O es la funcion nula sobre [ a , b ], esto es, O(x) = 0 para todo x ∈ [ a , b ].

Siempre que no se indique otra cosa, este es el producto interno que consideraremos sobre

C [ a , b ]. �

Ejemplo 4.5.9. En Pn[x] las siguientes funciones son productos internos.

1. Como Pn[x] es un subespacio de C [ a , b ], entonces el producto interno definido en el ejemplo

anterior, es un producto interno sobre Pn[x].

2. 〈p , q〉 =

n∑

i=0

p(i)q(i). En Efecto, sean p, q, r ∈ Pn[x] y α ∈ R. Entonces

〈p , q〉 =

n∑

i=0

p(i)q(i) =

n∑

i=0

q(i)p(i) = 〈q , p〉.

〈p + q , r〉 =

n∑

i=0

[p(i) + q(i)]r(i) =

n∑

i=0

[p(i)r(i) + q(i)r(i)]

=

n∑

i=0

p(i)r(i) +

n∑

i=0

q(i)r(i) = 〈p , r〉+ 〈q , r〉.

181


〈p , p〉 =n∑

i=0

p(i)p(i) =n∑

i=0

[p(i)]2 ≥ 0.

Ademas, 〈p , p〉 = 0 si y solo si p(i) = 0 para cada i ∈ {0, . . . , n}.

Pero el unico polinomio en Pn[x], que tiene mas de n raıces, es el polinomio nulo (¿por

que?), es decir, 〈p , p〉 = 0 si y solo si p es el polinomio nulo.

3. 〈p , q〉 =

n∑

i=0

aibi, con p(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn y q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bnxn. (¡pruebe-

lo!). �

Teorema 4.5.6. Sea V un espacio con producto interno 〈 , 〉.Entonces

1. 〈u , v + w〉 = 〈u , v〉+ 〈u , w〉 para cualesquiera u, v, w ∈ V.

2. 〈u , α v〉 = α 〈u , v〉 para cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R.

3. 〈u− v , w〉 = 〈u , w〉 − 〈v , w〉 para cualesquiera u, v, w ∈ V.

4. 〈u , v − w〉 = 〈u , v〉 − 〈u , w〉 para cualesquiera u, v, w ∈ V.

5. 〈v , 0

/V〉 = 0 = 〈0/V , v〉 para todo v ∈ V.

6. Si 〈u , v〉 = 0 para cada v ∈ V, entonces u = 0/V.

Demostracion.

1. Sean u, v, w ∈ V cualesquiera. Entonces

〈u , v + w〉 = 〈v + w , u〉 = 〈v , u〉+ 〈w , u〉 = 〈u , v〉+ 〈u , w〉 .

2. Sean u, v ∈ V y α ∈ R cualesquiera. Ası que

〈u , αv〉 = 〈αv , u〉 = α 〈v , u〉 = α 〈u , v〉 .

3. Sean u, v, w ∈ V cualesquiera. Luego

〈u− v , w〉 = 〈u + (−v) , w〉 = 〈u , w〉+ 〈−v , w〉 = 〈u , w〉+ 〈(−1)v , w〉= 〈u , w〉+ (−1) 〈v , w〉 = 〈u , w〉 − 〈v , w〉 .

ello debemos hallar la FERF de A.

A =

182


4. Sean u, v, w ∈ V cualesquiera. Ası que

〈u , v − w〉 = 〈v − w , u〉 = 〈v , u〉 − 〈w , u〉 = 〈u , v〉 − 〈u , w〉 .

5. Sea v ∈ V cualquiera. Entonces

〈v , 0/V〉 = 〈v , 0/V + 0/V〉 = 〈v , 0/V〉+ 〈v , 0/V〉 .

Ası que 〈v , 0/V〉 = 0 y ademas 〈0/V , v〉 = 〈v , 0/V〉 = 0.

6. Como 〈u , v〉 = 0 para cada v ∈ V, entonces 〈u , u〉 = 0 (tomando v = u), luego u = 0/V

(¿por que?).

4.6. Bases Ortonormales . Proceso de Ortonormalizacion

de Gram-Schmidt

Definicion 4.6.5. Sea 〈 , 〉 un producto interno sobre un espacio vectorial V y sean u, v ∈V. Diremos que u es ortogonal a v si 〈u , v〉 = 0, en cuyo caso escribiremos u ⊥ v.

Observacion 4.6.2. Si u es ortogonal a v, entonces v es ortogonal a u. En consecuencia,podemos

escribir u y v son ortogonales en lugar de u es ortogonal a v.

Ejemplo 4.6.10.

1. Sean x = (2,−1,−3) e y = (3, 3, 1). Entonces

〈x , y〉 = (2)(3) + (−1)(3) + (−3)(1) = 6− 3− 3 = 0

ası que x ⊥ y.

2. La parte 5 del teorema 3.6 nos dice que en cualquier espacio vectorial V con producto

interno, el vector nulo 0/V es ortogonal a cualquier vector v ∈ V, ademas, la parte 6 de este

mismo teorema, nos dice que el unico vector que es ortogonal a todo vector v ∈ V, es el

vector nulo.

3. Las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x), en C [−π , π ], son ortogonales.

183


4. En P2[x], los polinomios p(x) = 1+2x2 y q(x) = −2+x2 son ortogonales si consideramos el

producto interno definido en la parte 3 del ejemplo 3.9 (¡verifıquelo!), pero si consideramos

el producto interno definido en la parte 2 del mismo ejemplo, estos polinomios no son

ortogonales (¡verifıquelo!).

�

Definicion 4.6.6. Sea 〈 , 〉 un producto interno sobre el espacio vectorial V. Definiremos la

nor-ma, magnitud, modulo o longitud (inducida por el producto interno) de v ∈ V,

como el numero real ‖v‖ dado por

‖v‖ =√〈v , v〉

Diremos que v ∈ V es unitario si ‖v‖ = 1.

Observacion 4.6.3. La norma de un vector no siempre esta definida en terminos delproducto

interno (ver B), sin embargo, en este capıtulo nos ocuparemos de las normas inducidas por un

producto interno.

Dado que 〈v , v〉 ≥ 0 para cada v ∈ V, entonces la definicion anterior esta bien fundada.

Ejemplo 4.6.11. Consideremos sobre R4 el producto interno euclidiano. Entonces

‖(1, 0,−3, 2)‖ =√〈(1,

0,−3, 2) , (1, 0,−3, 2)〉 =√

12 + 02 + (−3)2 + 22 =√

14

�

Ejem. 4.6.12. En P2[x] consideremos el polinomio p(x) = 3− x2. Hallar ‖p‖ considerando:

1. El producto interno definido en la parte 1 del ejemplo 3.9 con a = −1 y b = 1.

2. El producto interno definido en la parte 2 del ejemplo 3.9.

3. El producto interno definido en la parte 3 del ejemplo 3.9.

Solucion.

1. ‖p‖ =

√∫ 1

−1

(3− x2)2dx =

√∫ 1

−1

(9− 6x2 + x4)dx =

√(9x− 2x3 +

x5

5

)∣∣∣1

−1

=

√

2

(9− 2 +

1

5

)=

√236

5= 6

√2

5

2. ‖p‖ =√

[p(0)]2 + [p(1)]2 + [p(2)]2 =√

32 + 22 + (−1)2 =√

14

184


3. ‖p‖ =√

32 + 02 + (−1)2 =√

10

A continuacion enunciaremos un teorema donde se dan a conocer algunas propiedades de la

norma, y que son consecuencia directa las propiedades del producto interno, su demostracion se

deja como ejercicio.

Teo.4.6.7. Sea V un EPI. Entonces para cada α ∈ R y cualesquiera u, v ∈ V se cumple que:

1. ‖u‖ ≥ 0 y ‖u‖ = 0 si y solo si u = 0/V.

2. ‖αu‖ = |α| · ‖u‖.

3. ‖u± v‖2 = ‖u‖2 ± 2 〈u , v〉+ ‖v‖2.

El siguiente lema nos permitira demostrar el teorema que le sigue.

Lema 4.6..1. Sean u y v dos vectores unitarios en un EPI. Entonces | 〈u , v〉 | ≤ 1.

Demostracion. Usando la parte 3 del teorema 3.7, tenemos que

0 ≤ ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u , v〉+ ‖v‖2 = 1 + 2 〈u , v〉+ 1 = 2[1 + 〈u , v〉]

Ası que

〈u , v〉 ≥ −1

Nuevamente, por la parte 3 del teorema 4.6.7, obtenemos

0 ≤ ‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2 〈u , v〉+ ‖v‖2 = 1− 2 〈u , v〉+ 1 = 2[1− 〈u , v〉]

luego

〈u , v〉 ≤ 1

En consecuencia

| 〈u , v〉 | ≤ 1

En el teorema que enunciaremos a continuacion, se dan dos propiedades muy importantes de

la norma.

185


Teo-4.6.8. Sean u y v dos vectores en un EPI. Entonces

1. | 〈u , v〉 | ≤ ‖u‖ · ‖v‖ (Desigualdad de Cauchy-Schwarz).

2. ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ (Desigualdad Triangular).

Las igualdades se cumplen si y solo si uno de los vectores es multiplo escalar del otro (¡pruebelo!)

Demostracion.

1. Si u = 0/V o v = 0/V, entonces | 〈u , v〉 | = 0 = ‖u‖ · ‖v‖.

En caso contrario, u 6= 0

/V 6= v y por lo tanto los vectores u =

u

‖u‖ y v =v

‖v‖ son unitarios,

y por el lema 4.1

| 〈u , v〉 | ≤ 1

Pero

〈u , v〉 =

⟨u

‖u‖ ,v

‖v‖

⟩=

1

‖u‖ · ‖v‖ 〈u , v〉

Por lo tanto1

‖u‖ · ‖v‖ 〈u , v〉 ≤ 1, es decir, 〈u , v〉 ≤ ‖u‖ · ‖v‖.

2. Por la parte 3 del teorema 4.7 tenemos que

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u , v〉+ ‖v‖2

y por la parte 1 (desigualdad de Cauchy-Schwarz)

〈u , v〉 ≤ | 〈u , v〉 | ≤ ‖u‖ · ‖v‖

Ası que

‖u + v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖ · ‖v‖+ ‖v‖2 = (‖u‖+ ‖v‖)2

Luego ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.

Def.4.6.7. Sea V un EPI y sean u, v ∈ V vectores no nulos. Definiremos el angulo entre u y

v como el numero real ∡(u, v) ∈ [ 0 , π ] tal que

cos(∡(u, v)) =

〈u , v〉‖u‖ · ‖v‖

es decir,

∡(u, v) = arc cos

( 〈u , v〉‖u‖ · ‖v‖

)

186


Ejem. 4.6.13. Hallar el angulo entre los vectores u = (0,−3, 3) y v = (2, 2,−1)

Solucion. 〈u , v〉 = 0 · 2 + (−3)2 + 3(−1) = −9

‖u‖ =√

02 + (−3)2 + 32 =√

18 = 3√

2

‖v‖√

22 + 22 + (−1)2 =√

9 = 3

Ası que

∡(u, v) = arc cos

( 〈u , v〉‖u‖ · ‖v‖

)= arc cos

( −9

3√

2 · 3

)= arc cos

−√

2

2

)=

3π

4

Def.4.6.8. Sea V un EPI y sea S = {v1, v2, . . . , vk} ⊂ V. Diremos que S es un conjunto orto-

gonal si vi ⊥ vj para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , k} con i 6 = j. Si adicionalmente vi es unitario

para cada i ∈ {1, . . . , k}, diremos que S es un conjunto ortonormal.

Ejem. 4.6.14. Consideremos las siguientes matrices en M2×2(R)

A1 =

[1 0

0 0

]; A2 =

[0 2

−2 0

]y A3 =

[0 1

1 3

]

¿Es S = {A1, A2, A3} un conjunto ortogonal? ¿Es S ortonormal?

Solucion.

〈A1 , A2〉 = 1 · 0 + 0 · 2 + 0(−2) + 0 · 0 = 0

〈A1 , A3〉 = 1 · 0 + 0 · 1 + 0 · 1 + 0 · 3 = 0

〈A2 , A3〉 = 0 · 0 + 2 · 1 + (−2)1 + 0 · 3 = 0

Ası que S es ortogonal. Pero

‖A2‖ =√

02 + 22 + (−2)2 + 02 = 2√

2 6= 1

Por lo tanto S no es ortonormal, sin embargo, S0 = {B1, B2, B3}, donde

B1 =1

‖A1‖A1 = A1, B2 =

1

‖A2‖A2 =

1

2√

2A2 y B3 =

1

‖A3‖A3 =

1√11

A3

sı es un conjunto ortonormal (¡verifıquelo!).

Teorema4.6.9. Todo conjunto ortogonal finito de vectores no nulos en un EPI es lineal-mente

independiente.

187


Demostracion. Sea V un EPI y sea S = {v1, v2, . . . , vk} ⊂ V un conjunto ortogonal de vectores

no nulos.

Sean α1, α2, . . . , αk ∈ R tales que

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk = 0/V

Entonces, para cada j ∈ {1, . . . , k}, se tiene que

0 = 〈vj , 0/V〉 = 〈vj , α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk〉 =

k∑

i=1

〈vj , αivi〉 =

k∑

i=1

αi 〈vj , vi〉 = αj 〈vj , vj〉

= αj‖vj‖2

y dado que vj es no nulo, entonces αj = 0.

Por lo tanto S es linealmente independiente.

Def.4.6.9. Sean V un .EPI y β = {v1, v2, . . . , vn} una base de V. Diremos que β es una

base ortogonal (respectivamente ortonormal) si β es un conjunto ortogonal (respectivamente

ortonormal).

Ejemplo 4.6.15.

1. Las bases canonicas de Rn y Mm×n(R) son bases ortonormales.

2. Una base ortogonal de M2×2(R) es

β =

{[1 0

0 0

];

[0 2

−2 0

];

[0 1

1 3

];

[0 3

3 −2

]}

pero no es ortonormal.

3. Una base ortonormal de P2[x], considerando el producto interno definido en la parte 1 del

ejemplo 4.6 .9 con a = 1 y b = −1, es

β =

{1√2

,

√3

2x ,

√5

2√

2−1 + 3x2

)}

.

En efecto,∥∥∥ 1√

2

∥∥∥2

=

(1√2

)2

‖1‖2 =1

2

∫ 1

−1

dx =1

22 = 1

∥∥∥√3

2x∥∥∥2

=

√3

2

)2

‖x‖2 =3

2

∫ 1

−1

x2dx =3

2

x3

3

∣∣∣1

−1

= 1

188


∥∥∥√

5

2√

2−1 + 3x2

)∥∥∥

2

=

√5

2√

2

)2 ∥∥∥−1 + 3x2

∥∥∥2=

5

8

∫ 1

−1

−1 + 3x2)2

dx

=5

8

∫ 1

−1

1− 6x2 + 9x4)dx =

5

8

(x− 2x3 +

9

5x5

)∣∣∣1

−1

dx = 1

Ademas ⟨1√2

,

√3

2x

⟩=

1√2

√3

2〈1 , x〉 =

√3

2

∫ 1

−1

xdx = 0

⟨1√2

,

√5

2√

2−1 + 3x2

)⟩

=1√2

√5

2√

2

⟨1 , −1 + 3x2

⟩=

√5

4

∫ 1

−1

−1 + 3x2)dx

=

√5

4−x + x3

)∣∣∣1−1

= 0

⟨√3

2x ,

√5

2√

2−1 + 3x2

)⟩

=

√3

2

√5

2√

2

⟨x , −1 + 3x2

⟩=

√15

4

∫ 1

−1

x −1 + 3x2)dx = 0

�

Para finalizar esta seccion, nos plantearemos y solucionaremos el problema de hallar una base

ortonormal para un EPI de dimension finita o para un subespacio de dimension finita de un EPI,

comenzaremos con un ejemplo el cual ilustrara un procedimiento, conocido como proceso de

ortonormalizacion de Gram-Schmidt , que nos permite encontrar tal base.

Ejem. 4.6.16. En P2[x] consideremos el producto interno dado en el ejemplo 3.15 y considere-

mos la base de P2[x] β = {1 , x , x2}. Hallar una base ortonormal de P2[x] partiendo de la base

β.

Solucion. Hagamos

v1 = 1 , v2 = x y v3 = x2

Entonces

‖v1‖ =

√∫ 1

−1

dx =√

2

Sea

u1 =1

‖v1‖v1 =

1√2

Ası que ‖u1‖ = 1.

Ahora hagamos

w2 = v2 − 〈v2 , u1〉u1

189


Pero

〈v2 , u1〉 =

⟨x ,

1√2

⟩=

1√2〈x , 1〉 =

1√2

∫ 1

−1

xdx = 0.

Luego w2 = v2 = x, ademas

‖w2‖ =

√∫ 1

−1

x2dx =

√x3

3

∣∣∣1

−1

=

√2

3

Si hacemos

u2 =1

‖w2‖w2 =

√3

2x

entonces ‖u2‖ = 1 y u1 ⊥ u2 (ver ejemplo 3.15).

Consideremos

w3 = v3 − 〈v3 , u1〉u1 − 〈v3 , u2〉 u2

Pero

〈v3 , u1〉 =

⟨x2 ,

1√2

⟩=

1√2

⟨x2 , 1

⟩=

1√2

∫ 1

−1

x2dx =1√2

x3

3∣∣∣1

−1

=2

3√

2

〈v3 , u2〉 =

⟨x2 ,

√3

2x

⟩=

√3

2

⟨x2 , x

⟩=

√3

2

∫ 1

−1

x3dx = 0

De donde

w3 = x2 − 2

3√

2

1√2

= −1

3+ x2

y

‖w3‖ =

√∫ 1

−1

(−1

3+ x2

)2

dx =

√∫ 1

−1

(1

9− 2

3x2 + x4

)dx =

√(1

9x− 2

9x3 +

x5

5

)∣∣∣1

−1

=

√8

45=

2√

2

3√

5

Finalmente, hagamos

u3 =1

‖w3‖w3 =

3√

5

2√

2

(−1

3+ x2

)=

√5

2√

2−1 + 3x2

)

Entonces ‖u3‖ = 1 , u3 ⊥ u1 y u3 ⊥ u2 (ver ejemplo 3.15).

Por lo tanto

{u1, u2, u3} =

{1√2

,

√3

2x ,

√5

2√

2−1 + 3x2

)}

es una base ortonormal de P2[x], la cual se obtuvo de β.

190


El teorema siguiente generaliza el procedimiento que se uso en ejemplo anterior.

Teo.4.6.10 (Proceso de Ortonormalizacion de Gram-Schmidt). Sea V un EPI. Si W es un

subespacio de dimension finita de V, entonces W posee una base ortonormal. En Particular, si

V tiene dimension finita, entonces V posee una base ortonormal.

Demostracion. Sea βW = {v1, v2, . . . , vm} una base de W. Procederemos a construir la base

ortonormal de W a partir de βW.

En primer lugar, notemos que ‖vi‖ 6= 0/V para cada i ∈ {1, . . . , m}.

Paso 1. Sea u1 =1

‖v1‖v1 =

v1

‖v1‖. Entonces gen({u1}) = gen({v1}) (¿por que?) y

‖u1‖ =∥∥∥ v1

‖v1‖∥∥∥

=1

‖v1‖‖v1‖ = 1

Paso 2. Sea w2 = v2 − 〈v2 , u1〉 u1. Entonces w2 6= 0/V, pues de lo contrario

v2 = 〈v2 , u1〉u1 =〈v2 , u1〉‖v1‖

v1

lo cual contradice el hecho de que {v1, v2} es linealmente independiente.

Ademas

〈w2 , u1〉 = 〈v2 − 〈v2 , u1〉u1 , u1〉 = 〈v2 , u1〉 − 〈〈v2 , u1〉u1 , u1〉= 〈v2 , u1〉 − 〈v2 , u1〉〈u1 , u1〉 = 〈v2 , u1〉 − 〈v2 , u1〉 = 0

Con lo que w2 ⊥ u1.

Paso 3. Sea u2 =1

‖w2‖w2 =

w2

‖w2‖. Entonces ‖u2‖ = 1 y u1 ⊥ u2. Ası que {u1, u2} es un

conjunto ortonormal.

Ademas gen({u1, u2}) = gen({v1, v2}). En efecto, sea v ∈ gen({u1, u2} cualquiera.

Entonces existen α1, α2 ∈ R tales que v = α1u1 + α2u2.

Luego

v = α1u1 + α2u2

= α11

‖v1‖v1 + α2

1

‖w2‖w2

=α1

‖v1‖v1 +

α2

‖w2‖(v2 − 〈v2 , u1〉u1)

=α1

‖v1‖v1 +

α2

‖w2‖

(v2 − 〈v2 , u1〉

1

‖v1‖v1

)

=

(α1

‖v1‖− α2 〈v2 , u1〉‖w2‖‖v1‖

)v1 +

α2

‖w2‖v2

191


De donde v ∈ gen({v1, v2}), por tanto gen({u1, u2}) ⊂ gen({v1, v2}) y ası gen({u1, u2})es un subespacio de gen({v1, v2}), como {u1, u2} es un conjunto ortonormal, y en

consecuencia linealmente independiente (¿por que?), entonces dim(gen({u1, u2})) =

2 = dim(gen({v1, v2})), ası que

gen({u1, u2}) = gen({v1, v2}) (¿por que?)

De manera recursiva, para k < m, obtenemos un conjunto ortonormal {u1, u2, . . . , uk} tal que

gen({u1, u2, . . . , uk}) = gen({v1, v2, . . . , vk})

Paso 4. Sea

wk+1 = vk+1 − 〈vk+1 , u1〉 u1 − 〈vk+1 , u2〉 u2 − · · · − 〈vk+1 , uk〉uk

= vk+1 −k∑

i=1

〈vk+1 , ui〉ui

Entonces wk+1 ∈W, wk+1 6= 0/V y para cada j ∈ {1, . . . , k} tenemos que

〈wk+1 , uj〉 =

⟨vk+1 −

k∑

i=1

〈vk+1 , ui〉ui , uj

⟩

= 〈vk+1 , uj〉 −⟨

k∑

i=1

〈vk+1 , ui〉 ui , uj

⟩

= 〈vk+1 , uj〉 −k∑

i=1

〈〈vk+1 , ui〉ui , uj〉

= 〈vk+1 , uj〉 −k∑

i=1

〈vk+1 , ui〉〈ui ,uj〉

= 〈vk+1 , uj〉 − 〈vk+1 , uj〉〈uj , uj〉(¿por que?)

= 〈vk+1 , uj〉 − 〈vk+1 , uj〉 (¿por que?)

= 0

es decir, wk+1 ⊥ uj para cada j ∈ {1, . . . , k}.

Paso 5. Hagamos uk+1 =1

‖wk+1‖wk+1 =

wk+1

‖wk+1‖. Entonces {u1, u2, . . . , uk, uk+1} es un

conjunto ortonormal y gen({u1, u2, . . . , uk, uk+1}) = gen({v1, v2, . . . , vk, vk+1}) (¿por

que?).

Procediendo de esta manera, obtenemos un conjunto ortonormal de vectores no nulos {u1, u2, . . . , um}en W, y por lo tanto, una base ortonormal de W.

192


Capıtulo V

Transformaciones Lineales. Autovalores y Autovectores de una

Matriz

5.1. Introduccion a lasTransformaciones Lineales

Definicion 5.1. Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V −→W una funcion. Diremos que

T es una transformacion lineal si para cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R se cumple que

1. T (u + v) = T (u) + T (v).

2. T (αu) = αT (u).

Ejemplo 5.11. Sean V y W dos espacios vectoriales. La transformacion O : V −→W, dada porO(v) = 0

/W

para cada v ∈ V, es una transformacion lineal (¡pruebelo!), llamada transformacion nula.

�

2. Sea V un espacio vectorial. Definamos IV : V −→ V como sigue, IV(v) = v para cada v ∈ V.

Entonces IV es una transformacion lineal (¡pruebelo!), la cual es llamada transformacion

identidad sobre V. �

3. Sean V un espacio vectorial de dimension n y β una base ordenada de V. Entonces T :

V −→ Mn×1(R) dada por T (v) = [v]β es una transformacion lineal (ver teorema 3.1 en el

capıtulo anterior). �

4. T : R3 −→ R2, dada por T (x, y, z) = (2x + y, x − z), es una transformacion lineal, en

efecto, dados (x, y, z), (a, b, c) ∈ R3 y α ∈ R, se tiene que

T ((x, y, z) + (a, b, c)) = T (x + a, y + b, z + c)

= (2(x + a) + (y + b), (x + a)− (z + c))

= (2x + 2a + y + b, x + a− z − c)

= (2x + y, x− z) + (2a + b, a− c)

= T (x, y, z) + T (a, b, c)

193

V.Transformaciones Lineales.

T (α(x, y, z)) = T (αx, αy, αz)

= (2(αx) + (αy), (αx)− (αz))

= (α(2x + y), α(x− z))

= α(2x + y, x− z)

= αT (x, y, z)

�

5. La funcion T : R2 −→ R3 dada por

T (x, y) = (x2, x + y, xy)

no es una transformacion lineal, en efecto,

T (1, 0) = (12, 1 + 0, 1 · 0) = (1, 1, 0)

T (2(1, 0)) = T (2, 0) = (22, 2 + 0, 2 · 0) = (4, 2, 0)

2T (1, 0) = 2(1, 1, 0) = (2, 2, 0) 6= (4, 2, 0) = T (2(1, 0))

6. T : P2[x] −→ R2 dada por T (a + bx + cx2) = (2a + c + 3, b− c) no es una transformacion

lineal, en efecto,

T (0) = (2 · 0 + 0 + 3, 0− 0) = (3, 0)

T (0) + T (0) = (3, 0) + (3, 0) = (6, 0)

T (0 + 0) = T (0) = (3, 0) 6= (6, 0) = T (0) + T (0)

7. Consideremos T : M2×2(R) −→ P3[x] dada por

T

([a b

c d

])= a + bx + cx2 + dx3

Entonces T es lineal (¡pruebelo!). �

8. T : R3 −→ P3[x] dada por

T (a, b, c) = b + (2a + c)x + (b− 3c)x3

194


es lineal. En efecto, sean u, v ∈ R3 y α ∈ R cualesquiera, con u = (a1, b1, c1) y v =

(a2, b2, c2). Entonces

T (u + v) = T ((a1, b1, c1) + (a2, b2, c2))

= T (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)

= (b1 + b2) + [2(a1 + a2) + (c1 + c2)]x + [(b1 + b2)− 3(c1 + c2)]x3

= (b1 + b2) + (2a1 + 2a2 + c1 + c2)x + (b1 + b2 − 3c1 − 3c2)x3

= [b1 + (2a1 + c1)x + (b1 − 3c1)x3] + [b2 + (2a2 + c2)x + (b2 − 3c2)x

3]

= T (a1, b1, c1) + T (a2, b2, c2)

= T (u) + T (v)

T (αu) = T (α(a1, b1, c1))

111, α c ) =T (αa1, α b

= αb1 + (2αa1 + αc1)x + (αb1 − 3αc1)x3

= αb1 + α(2a1 + c1)x + α(b1 − 3c1)x3

= α[b1 + (2a1 + c1)x + (b1 − 3c1)x3]

= αT (a1, b1, c1)

= αT (u)

�

9. Sea A ∈ Mm×n(R). Definamos T : Mn×1(R) −→ Mm×1(R) como T (x) = Ax. No es difıcil

probar que T es una transformacion lineal .

Este último ejemplo nos dice que toda matriz define una transformación lineal, más adelante

veremos que toda transformación lineal, entre espacios vectoriales de dimensión finita, está

asociada con una matriz.

El siguiente teorema nos sera de gran utilidad a la hora de decidir si una funcion T es una

transformacion lineal.

Teorema 5.1. Sean V y W dos espacios vectoriales. Una funcion T : V −→ W es una trans-

formacion lineal si y solo si para cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R se cumple que T (u + αv)=T (u) + αT (v)

T (u) + αT (v).

195


Demostracion. Supongamos que T : V −→ W es una transformacion lineal. Sean u, v ∈ V y

α ∈ R cualesquiera. Entonces

T (u + αv) = T (u) + T (αv) (por la condicin 1 de la definicion 4.1)

= T (u) + αT (v) (por la condicin 2 de la definicion 4.1)

Supongamos ahora que T : V −→W es tal que para cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R se cumple

que

T (u + αv) = T (u) + αT (v)

Sean u, v ∈ V y α ∈ R cualesquiera. Entonces

T (u + v) = T (u + 1 · v) = T (u) + 1 · T (v) = T (u) + T (v)

y ademas

T (0/V) = T (u + (−1)u) = T (u) + (−1)T (u) = 0/W

luego

T (αv) = T (0/V +αv) = T (0/V) + αT (v) = 0/W +αT (v) = αT (v)

Por lo tanto T es lineal.

De ahora en adelante, gracias a este ultimo teorema, cuando queramos probar que una fun-

cion T, entre espacios vectoriales, es una transformacion lineal, no sera necesario probar las dos

condiciones en la definicion 4.1, solo bastara probar la condicion en el teorema anterior.

Teorema 5.2. Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V −→ W una transformacion lineal.

Entonces, para cualesquiera u, v, v1, v2, . . . , vn ∈ V y α1, α2, . . . , αn ∈ R, se cumple que

1. T (0/V) = 0/W.

2. T (u− v) = T (u)− T (v).

3. T (α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn) = α1T (v1) + α2T (v2) + · · ·+ αnT (vn)

Demostracion.

1. Sea v0 ∈ V cualquiera pero fijo. Entonces

T (0/V) = T (0 · v0) = 0 · T (v0) = 0/W

196


2. En virtud del teorema 4.1

T (u− v) = T (u + (−1)v) = T (u) + (−1)T (v) = T (u)− T (v)

3. Procederemos por induccion.

a) Veamos que se cumple para n = 2.

T (α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T (α2v2) = α1T (v1) + α2T (v2)

b) (Hipotesis Inductiva) Supongamos que se cumple para n−1, esto es, supongamos que

T (α1v1 + α2v2 + · · ·+ αn−1vn−1) = α1T (v1) + α2T (v2) + · · ·+ αn−1T (vn−1)

c) Probemos que se cumple para n.

T (α1v1 + α2v2 + · · ·+ αn−1vn−1 + αnvn)

= T ((α1v1 + α2v2 + · · ·+ αn−1vn−1) + αnvn)

= T (α1v1 + α2v2 + · · ·+ αn−1vn−1) + T (αnvn)

(Hipotesis Inductiva) = α1T (v1) + α2T (v2) + · · ·+ αn−1T (vn−1) + αnT (vn)

Teorema 5.3. Sean U, V y W espacios vectoriales y L : U −→ V y T : V −→W dos trans-

formaciones lineales. Entonces T ◦ L : U −→W es tambien una transformacion lineal.

Demostracion. Sean u1, u2 ∈ U y α ∈ R cualesquiera. Entonces

(T ◦ L)(u1 + αu2) = T (L(u1 + αu2)) (definicion de composicion de funciones)

= T (L(u1) + αL(u2)) (ya que L es lineal)

= T (L(u1)) + αT (L(u2)) (ya que T es lineal)

= (T ◦ L)(u1) + α(T ◦ L)(u2) (definicion de composicion de funciones)

Por lo tanto T ◦ L es lineal.

Teorema 5.4. Sean V y W dos espacios vectoriales, T, L : V −→ W dos transformaciones

lineales y λ ∈ R. Entonces T + λL : V −→W es tambien una transformacion lineal.

197


Demostracion. Sean v1, v2 ∈ V y α ∈ R cualesquiera. Entonces

(T + λL)(v1 + αv2) = T (v1 + αv2) + (λL)(v1 + αv2) (definicion de suma de funciones)

= T (v1 + αv2) + λL(v1 + αv2)

(definicion de multiplo escalar de funciones)

= T (v1) + αT (v2) + λ(L(v1) + αL(v2)) (pues T y L son lineales)

= T (v1) + αT (v2) + λL(v1) + λαL(v2)

= T (v1) + λL(v1) + αT (v2) + λαL(v2)

= T (v1) + λL(v1) + α(T (v2) + λL(v2))

= T (v1) + (λL)(v1) + α(T (v2) + (λL)(v2))

(definicion de multiplo escalar de funciones)

= (T + λL)(v1) + α(T + λL)(v2) (definicion de suma de funciones)

En consecuencia T + λL es lineal.

Dado dos espacios vectoriales V y W, este ultimo teorema nos dice que el conjuntoformado

por todas las transformaciones lineales de V en W, junto con las operaciones usuales de suma de

funciones y multiplicacion por escalar, forman un espacio vectorial.

Teorema 5.5. Sean V y W dos espacios vectoriales y β = {v1, v2, . . . , vn} una base de V.

Supongamos que T y L son dos transformaciones lineales de V en W tales que T (vi) =

L(vi)

para cada i ∈ {1, . . . , n}. Entonces T = L, esto es, T (v) = L(v) para cada v ∈ V.

1, α 2, . . . , α n∈ R tales que Demostracion. Sea v ∈ V cualquiera. Existen (unicos) escalares α

nvn v = α 1v1 + α 2v2 + · · ·+ α

ası que

nvn) T (v) = T (α1v1 + α 2v2 + · · ·+ α

= α 1T (v1) + α 2T (v2) + · · ·+ α nT (vn)

(teorema 5.2 parte 3)

= α1L(v1) + α2L(v2) + · · ·+ αnL(vn) (hipotesis)

= L(α 1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn) (teorema 5.2 parte

3) = L(v)

198


Luego T = L.

El teorema anterior nos dice que si T : V −→ W es una transformacion lineal y V tiene

dimension finita, basta con conocer como actua T en una base cualquiera de V, para saber como

actua T en cualquier v ∈ V.

Ejemplo 5.2. Hallar la transformacion lineal T de P2[x] en R2 tal que

T (1) = (2,−1); T (x) = (3, 4); T (x2) = (−1, 5)

Solucion.

T (a0 + a1x + a2x2) = T (a0 · 1 + a1x + a2x

2)

= a0T (1) + a1T (x) + a2T (x2)

= a0(2,−1) + a1(3, 4) + a2(−1, 5)

= (2a0 + 3a1 − a2,−a0 + 4a1 + 5a2)

Teorema 5.6 (Existencia y Unicidad de una Transformacion Lineal). Sean V y W dos espacios

vectoriales, β = {v1, v2, . . . , vn} una base de V y w1, w2, . . . , wn ∈W. Entonces existe una

unica transformacion lineal T : V −→W tal que T (vi) = wi para cada i ∈ {1, . . . , n}.

Demostracion. Dado v ∈ V cualquiera, existen unicos escalares, α1, α2, . . . , αn ∈ R, tales que

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn =

n∑

i=1

αivi

Definamos

T (v) = α1w1 + α2w2 + · · ·+ αnwn =n∑

i=1

αiwi

La unicidad de los escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R, garantiza que T es una funcion, ademas, dado

que w1, w2, . . . , wn ∈ W y W es un espacio vectorial, se tiene que T (v) ∈ W, por lo tanto T es

una funcion de V en W.

Por otro lado, para cada j ∈ {1, . . . , n}, se tiene que vj =

n∑

i=1

λivi, donde λi = 0 si i 6= j y

λj = 1, ası que

T (vj) =

n∑

i=1

λiwi = λjwj = wj

199


Probemos ahora que T es lineal. Sean u, v ∈ V y λ ∈ R cualesquiera, entonces existen unicos

escalares α1, α2, . . . , αn, β1, β2, . . . , βn ∈ R tales que

u = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn =

n∑

i=1

αivi

v = β1v1 + β2v2 + · · ·+ βnvn =

n∑

i=1

βivi

Ası que

T (u) = α1w1 + α2w2 + · · ·+ αnwn =n∑

i=1

αiwi

T (v) = β1w1 + β2w2 + · · ·+ βnwn =

n∑

i=1

βiwi

Ademas

u + λv =n∑

i=1

αivi + λn∑

i=1

βivi =n∑

i=1

(αi + λβi)vi

Por lo tanto

T (u + λv) =

n∑

i=1

(αi + λβi)wi =

n∑

i=1

αiwi + λ

n∑

i=1

βiwi = T (u) + λT (v)

En consecuencia T es lineal.

Finalmente, probemos que T es unica. Supongamos que existe otra transformacion lineal L :

V −→W tal que L(vi) = wi para cada i ∈ {1, . . . , n}.Luego, por el teorema 5.5, se tiene que L = T .

Ejemplo 5.3. Hallar una transformacion lineal T : R3 −→M2×2(R) (si existe) tal que

T (−2, 2,−1) =

[2 0

1 −2

]; T (0, 1,−3) =

[0 −1

4 3

];

T (−2, 1, 2) =

[2 1

−3 −5

]; T (1,−1, 0) =

[4 −2

1 0

]

Solucion. Veamos cuales de los vectores (−2, 2,−1), (0, 1,−3), (−2, 1, 2), (1,−1, 0) son lineal-

mente independientes, para ello, consideremos la matriz

−2 0 −2 1

2 1 1 −1

−1 −3 2 0

200


y hallemos su FERF.

−2 0 −2 1

2 1 1 −1

−1 −3 2 0

F1 ↔ F3→

−1 −3 2 0

2 1 1 −1

−2 0 −2 1

F1 → −F1→

1 3 −2 0

2 1 1 −1

−2 0 −2 1

F2 → F2 − 2F1→F3 → F3 + 2F1

1 3 −2 0

0 −5 5 −1

0 6 −6 1

F2 → F2 + F3→

1 3 −2 0

0 1 −1 0

0 6 −6 1

F1 → F1 − 3F2→F3 → F3 − 6F2

1 0 1 0

0 1 −1 0

0 0 0 1

Dado que los pivotes se encuentran en las columnas 1, 2 y 4, los vectores

(−2, 2,−1), (0, 1,−3), (1,−1, 0)

son linealmente independientes, y en consecuencia, forman una base para R3 y por el teorema

4.6, concluimos que existe una unica transformacion lineal tal que

T (−2, 2,−1) =

[2 0

1 −2

]; T (0, 1,−3) =

[0 −1

4 3

];

T (1,−1, 0) =

[4 −2

1 0

]

Hallemos T . Sea (x, y, z) ∈ R3 cualquiera. Hagamos

β = {(−2, 2,−1), (0, 1,−3), (1,−1, 0)}

debemos hallar [(x, y, z)]β, para ello hallemos la matriz Mβc,β.

−2 0 1 1 0 0

2 1 −1 0 1 0

−1 −3 0 0 0 1

F1 ↔ F3→

−1 −3 0 0 0 1

2 1 −1 0 1 0

−2 0 1 1 0 0

F1 → −F1→

1 3 0 0 0 −1

2 1 −1 0 1 0

−2 0 1 1 0 0

F2 → F2 − 2F1→F3 → F3 + 2F1

1 3 0 0 0 −1

0 −5 −1 0 1 2

0 6 1 1 0 −2

201


F2 → F2 + F3→

1 3 0 0 0 −1

0 1 0 1 1 0

0 6 1 1 0 −2

F1 → F1 − 3F2→F3 → F3 − 6F2

1 0 0 −3 −3 −1

0 1 0 1 1 0

0 0 1 −5 −6 −2

Por lo tanto

Mβc,β =

−3 −3 −1

1 1 0

−5 −6 −2

En consecuencia

[(x, y, z)]β = Mβc,β[(x, y, z)]βc=

−3 −3 −1

1 1 0

−5 −6 −2

x

y

z

=

−3x− 3y − z

x + y

−5x− 6y − 2z

Es decir

(x, y, z) = (−3x− 3y − z)(−2, 2,−1) + (x + y)(0, 1, 3) + (−5x− 6y − 2z)(1,−1, 0)

De donde

T (x, y, z) = (−3x− 3y − z)T (−2, 2,−1) + (x + y)T (0, 1, 3)

+(−5x− 6y − 2z)T (1,−1, 0)

= (−3x− 3y − z)

[2 0

1 −2

]+ (x + y)

[0 −1

4 3

]

+(−5x− 6y − 2z)

[4 −2

1 0

]

=

[−26x− 30y − 10z 9x + 11y + 4z

−4x− 5y − 3z 9x + 9y + 2z

]

Por ultimo

T (−2, 1, 2) =

[−26(−2)− 30(1)− 10(2) 9(−2) + 11(1) + 4(2)

−4(−2)− 5(1)− 3(2) 9(−2) + 9(1) + 2(2)

]=

[2 1

−3 −5

]

Por lo tanto, T es la transformacion lineal requerida (ademas, es unica).

Ejemplo 5.4. Hallar una transformacion lineal (si existe) T : R4 −→M3×1(R) tal que

T (1,−2, 1, 1) =

1

2

−3

; T (2, 1, 3, 0) =

0

−1

2

202


T (0, 5, 1,−2) =

−2

−5

8

; T (1,−7, 0, 3) =

3

7

−11

Solucion. Veamos si el conjunto S = {(1,−2, 1, 1); (2, 1, 3, 0); (0, 5, 1,−2); (1,−7, 0, 3)} es li-

nealmente independiente, para ello consideremos la matriz

1 2 0 1

−2 1 5 −7

1 3 1 0

1 0 −2 3

y hallemos su FERF

1 2 0 1

−2 1 5 −7

1 3 1 0

1 0 −2 3

F2 → F2 + 2F1

F3 → F3 − F1→F4 → F4 − F1

1 2 0 1

0 5 5 −5

0 1 1 −1

0 −2 −2 2

F2 ↔ F3→

1 2 0 1

0 1 1 −1

0 5 5 −5

0 −2 −2 2

F1 → F1 − 2F2

F3 → F3 − 5F2→F4 → F4 + 2F2

1 0 −2 3

0 1 1 −1

0 0 0 0

0 0 0 0

Por lo tanto, los dos primeros vectores de S son linealmente independientes, no podemos

proceder como en el ejemplo anterior, sin embargo, podemos completar una base de R4 partiendo

de estos dos vectores (el teorema de completacion de bases nos lo permite) ¿como hacerlo?,

escojamos estos vectores entre los canonicos, para saber cual de ellos escoger, consideremos la

siguiente matriz

1 2 1 0 0 0

−2 1 0 1 0 0

1 3 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

hallemos su FERF.

203


1 2 1 0 0 0

−2 1 0 1 0 0

1 3 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

F2 → F2 + 2F1

F3 → F3 − F1→F4 → F4 − F1

1 2 1 0 0 0

0 5 2 1 0 0

0 1 −1 0 1 0

0 −2 −1 0 0 1

F2 ↔ F3→

1 2 1 0 0 0

0 1 −1 0 1 0

0 5 2 1 0 0

0 −2 −1 0 0 1

F1 → F1 − 2F2

F3 → F3 − 5F2→F4 → F4 + 2F2

1 0 3 0 −2 0

0 1 −1 0 1 0

0 0 7 1 −5 0

0 0 −3 0 2 1

F3 → 17F3→

1 0 3 0 −2 0

0 1 −1 0 1 0

0 0 1 17−5

70

0 0 −3 0 2 1

F1 → F1 − 3F3

F2 → F2 + F3→F4 → F4 + 3F3

1 0 0 −37

17

0

0 1 0 17

27

0

0 0 1 17−5

70

0 0 0 37−1

71

Sin necesidad de llegar a la FERF, nos damos cuenta que los vectores que completan una base

de R4 son (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0), es decir,

β = {(1,−2, 1, 1); (2, 1, 3, 0); (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0)}

es una base de R4, haciendo

T (1, 0, 0, 0) = T (0, 1, 0, 0) =

0

0

0

garantizamos, segun el teorema 4.6, que existe una unica transformacion lineal

T : R4 −→M1×3(R)

que satisface las dos primeras igualdades en el enunciado del ejercicio y

T (1, 0, 0, 0) = T (0, 1, 0, 0) =

0

0

0

Hallemos T . Al calcular la matriz de coordenadas de (x, y, z, w) ∈ R4 cualquiera, respecto a la

base β, obtenemos (¡verificarlo!)

[(x, y, z, w)

]

β=

w

13z − 1

3w

x− 23z − 1

3w

y − 13z + 7

3w

204


Por lo tanto

T (x, y, z, w) = T

(w(1,−2, 1, 1) +

(1

3z − 1

3w

)(2, 1, 3, 0)

+

(x− 2

3z − 1

3

)(1, 0, 0, 0) +

(y − 1

3z +

7

3w

)(0, 1, 0, 0)

)

= wT (1,−2, 1, 1) +

(1

3z − 1

3w

)T (2, 1, 3, 0)

+

(x− 2

3z − 1

3

)T (1, 0, 0, 0) +

(y − 1

3z +

7

3w

)T (0, 1, 0, 0)

= w

1

2

−3

+

(1

3z − 1

3w

)

0

−1

2

+

(1

3z − 1

3w

)

0

0

0

+

(y − 1

3z +

7

3w

)

0

0

0

T (x, y, z, w) =

w

−13z + 7

3w

23z − 11

3w

Se puede verificar que T satisface las ultimas dos igualdades en el enunciado del ejercicio,

ası que T es la transformacion buscada, pero a diferencia de la transformacion hallada en el

ejercicio anterior, esta no es unica, depende de la escogencia de los vectores que completan la

base del espacio de partida y la escogencia de las imagenes de estos.

5.2. Matriz de una Transformacion Lineal

En la seccion anterior, vimos que toda matriz A ∈Mm×n(R), define una transformacion lineal

de Mn×1(R) en Mm×1(R), ademas, se comento que toda transformacion lineal, entre espacios

vectoriales de dimension finita, esta asociada con una matriz, a continuacion enunciaremos y

demostraremos un teorema que garantiza esta ultima afirmacion.

205


Teorema 5.7. Sean V y W dos espacios vectoriales, β V = {v1, v2, . . . , vn} una base ordenada

de V, β W = {w1, w2, . . . , wm} una base ordenada de W y T : V −→ W una transformacion

lineal.

Entonces existe un unica matriz A ∈Mm×n(R) tal que para cada v ∈ V

[T (v)]βW= A[v]β V

1j , α 2j, . . . , α mj∈ R tales queDemostracion. Para cada j ∈ {1, . . . , n}, existen escalares α

mjwm

T (vj) = α 1jw1 + α 2jw2 + · · ·+ α

es decir

[T (vj)]βW=

α1j

α2j

...

.

αmj

Dado v ∈ V cualquiera, hagamos

[v]βV=

λ1

λ2

...

.

λn

es decir

v = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn

De dondenvn)

T (v) = T (λ1v1 + λ 2v2 + · · ·+ λ

nT (vn) =λ1T (v1) + λ 2T (v2) + · · ·+ λ

= λ1(α11w1 + α 21w2 + · · ·+ α m1wm) + λ 2(α12w1 + α 22w2 + · · ·+ α m2wm) + · · ·+

mnwm) +λn(α1nw1 + α 2nw2 + · · ·+ α

= (α11λ1 + α 12λ 2 + · · ·+ α 1nλ n)w1 + (α21λ1 + α 22λ 2 + · · ·+ α 2nλ n)w2 + · · ·+

mnλ n)wm +(αm1λ1 + αm2λ2 + · · ·+ α

Por lo tanto[T (v)]βW

=

α11λ1 + α12λ2 + · · ·+ α1nλn

α21λ1 + α22λ2 + · · ·+ α2nλn

...

αm1λ1 + αm2λ2 + · · ·+ αmnλn

=

α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n

... ... ...

αm1 αm2 · · · αmn

λ1

λ2

...

λn

= A[v]βV

206


donde

A =

α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n

...

.....

...

.

αm1 αm2 · · · αmn

=[

[T (v1)]βW· · · [T (vn)]βW

]

Lo cual demuestra la existencia de la matriz A satisfaciendo la tesis del teorema. Probemos

ahora su unicidad. Supongamos que B ∈Mm×n(R) es tal que para cada v ∈ V

[T (v)]βW= B[v]βV

Luego, para cada j ∈ {1, . . . , n}, tenemos que

[T (vj)]βW= B[vj ]βV

Pero

[vj]βV=

0....

0

1

0....

0

−→ j-esima fila

Luego

A(j) = [T (vj)]βW= B[vj ]βV

= B(j)

Por lo tanto B = A.

Definicion 5.2. La matriz A en el teorema anterior, se denomina representacion matricial

de T respecto a las bases β V y βW, y la denotaremos por [T ]βV,βW.

Observacion 5.1. Cuando W = V y βW = βV = β, escribiremos [T ]β en lugar de [T ]β,β.

Ejemplo 5.5.

1. Si Ves un espacio vectorial de dimension n, W es un espacio vectorial de dimension m, βV

V,β W= 0y βW son bases ordenadas de V y W respectivamente, entonces [O]β /

m×n, donde Oes la transformacion nula de V en W.

�

207


2. Si V es un espacio vectorial de dimension n y β es una base ordenada de V, entonces

[IV]β = In, donde IV es la transformacion identidad sobre V. �

Ejemplo 5.6. Definamos T : M2×2(R) −→ R3 como sigue

Tx y

z w

)= (2y − z, x− y + w, 3x− y − z + w)

no es difıcil probar que T es lineal (¡pruebelo!). Consideremos las bases canonicas ordenadas βV

de M2×2(R) y βW de R3. Hallar [T ]βV,βW.

Solucion. En primer lugar

T1 0

0 0

)= (0, 1, 3) ; T

0 1

0 0

)= (2,−1,−1)

T0 0

1 0

)= (−1, 0,−1) ; T

0 0

0 1

)= (0, 1, 1)

y as, por definicion de la matriz [T ]βV,βW

[T ]βV,βW=

[T

1 0

0 0

)]

βW

[T

0 1

0 0

)]

βW

[T

0 0

1 0

)]

βW

[T

0 0

0 1

)]

βW

=[[(0, 1, 3)]βW

[(2,−1,−1)]βW[(−1, 0,−1)]βW

[(0, 1, 1)]βW

]

=

0 2 −1 0

1 −1 0 1

3 −1 −1 1

Ejemplo 5.7. Consideremos la transformacion lineal T : M2×2(R) −→ P2[x] dada por

Ta b

c d

)= (a + b− c) + (a + 2b + c + d)x + (−a− 3b− 3c− 2d)x2

Sean βV la base canonica ordenada de M2×2(R), βW la base canonica ordenada de P2[x] y

βV =

{(1 2

−1 0

);−1 0

1 1

);

2 3

1 −1

);−2 1

3 2

)}

βW ={1 + x; x + x2; 1− 2x2

}

bases ordenadas de M2×2(R) y P2[x], respectivamente. Hallar [T ]βV,βWy [T ]bβV,bβW

.

208


Solucion. En primer lugar, hallaremos las imagenes, a traves de T , de cada uno de los vectores

de la base canonica βV.

T1 0

0 0

)= 1 + x− x2 ; T

(0 1

0 0

)= 1 + 2x− 3x2

T0 0

1 0

)= −1 + x− 3x2 ; T

(0 0

0 1

)= x− 2x2

Al igual que en ejemplo 4.6, por definicion de la matriz [T ]βV,βW

[T ]βV,βW=

[T

1 0

0 0

)]

βW

[T

0 1

0 0

)]

βW

[T

0 0

1 0

)]

βW

[T

0 0

0 1

)]

βW

=[[

1 + x− x2]βW

[1 + 2x− 3x2

]βW

[−1 + x− 3x2

]βW

[x− 2x2

]βW

]

=

1 1 −1 0

1 2 1 1

−1 −3 −3 −2

Analogamente, para hallar [T ]bβV,bβW, hallemos primero las imagenes, a traves de T , de cada uno

de los vectores de la base βV.

T1 2

−1 0

)= 4 + 4x− 4x2 ; T

(−1 0

1 1

)= −2 + x− 4x2

T2 3

1 −1

)= 4 + 8x− 12x2 ; T

(−2 1

3 2

)= −4 + 5x− 14x2

Ahora hallemos las matrices de coordenadas de cada uno de estos vectores respecto a la base

βW. Para ello consideremos la siguiente matriz cuatro veces ampliada (¿por que?).

1 0 1 4 −2 4 −4

1 1 0 4 1 8 5

0 1 −2 −4 −4 −12 −14

las tres primeras columnas de esta matriz, son las coordenadas de los vectores de la base βW,

respecto a la base canonica βW, el resto de las columnas, son las coordenadas de los vectores,

hallados previamente, respecto a la base canonica βW, esto es, las tres primeras columnas de esta

matriz representan la matriz MbβW,βWy las ultimas 4 columnas reperesentan la matriz [T ]bβV,βW

.

La FERF de esta matriz es

209


1 0 0 0 −9 −12 −27

0 1 0 4 10 20 32

0 0 1 4 7 16 23

Por lo tanto

[T ]bβV,bβW=

0 −9 −12 −27

4 10 20 32

4 7 16 23

El ejemplo 5.7 nos permite escribir el siguiente algoritmo.

Algoritmo para hallar la matriz [T ]βV,βW, donde T : V −→W es una transformacion lineal;

βV = {v1, v2, . . . , vn} es una base ordenada de V; βW es una base ordenada del espacio vectorial

W de dimension m; y βcW

es la base canonica ordenada de W. En general W = Rm, W = Pm−1[x]

o W = Mp×q(R) con pq = m.

Paso 1. Hallar T (v1), T (v2), . . . , T (vn).

Paso 2. Hallar las matrices MβW,βcW

y [T ]βV,βcW.

Paso 3. Formar la la matriz ampliada[MβW,βc

W|[T ]βV,βc

W

].


Paso 5. La matriz hallada en el paso previo tiene la forma [Im|B]. Entonces [T ]βV,βW= B.

Teorema 5.8. Sean U, V y W espacios vectoriales, L : U −→ V y T : V −→ W dos trans-

formaciones lineales y βU, βV y βW bases ordenadas de U, V y W respectivamente. Entonces

[T ◦ L]βU,βW= [T ]βV,βW

[L]βU,βV

Demostracion. Sea u ∈ U cualquiera. Entonces

([T ]βV,βW[L]βU,βV

)[u]βU= [T ]βV,βW

([L]βU,βV[u]βU

)

= [T ]βV,βW[L(u)]βV

([T ]βV,βW[L]βU,βV

)[u]βU= [T (L(u))]βW

= [(T ◦ L)(u)]βW.

210


Luego, por unicidad de la matriz [T ◦ L]βU,βW, se tiene que

[T ◦ L]βU,βW= [T ]βV,βW

[L]βU,βV

Teorema 5.9. Sean V yW dos espacios vectoriales de dimension finita; βV y βV bases ordenadas

de V; βW y βW bases ordenadas de W y T : V −→W una transformacion lineal. Entonces

[T ]bβV,bβW= MβW,bβW

[T ]βV,βWMbβV,βV


[T (v)]βW= [T ]βV,βW

[v]βV

[v]βV= MbβV,βV

[v]bβV

Luego

[T (v)]bβW= MβW,bβW

[T (v)]βW= MβW,bβW

[T ]βV,βW[v]βV

= MβW,bβW[T ]βV,βW

MbβV,βV[v]bβV

Por unicidad de la matriz [T ]bβV,bβW, se tiene que



Ejemplo 5.8. Consideremos T , βV, βW, βV y βW como en el ejemplo 5.7. Verificar el teorema

5.9.

Solucion. Sabemos que

[T ]bβV,bβW=

0 −9 −12 −27

4 10 20 32

4 7 16 23

[T ]βV,βW=

1 1 −1 0

1 2 1 1

−1 −3 −3 −2

Por otro lado, facilmente obtenemos que

MbβV,βV=

1 −1 2 −2

2 0 3 1

−1 1 1 3

0 1 −1 2

211


y haciendo algunos calculos (no muchos ni muy complicados) obtenemos

MβW,bβW, =

2 −1 1

−2 2 −1

−1 1 −1

Al sustituir, se obtiene que



Corolario 5.10. Sea V un espacio vectorial de dimension finita; β V y βV dos bases ordenadas

de V y T : V −→ V una transformacion lineal. Entonces

[T ]bβV= MβV,bβV

[T ]βVMbβV,βV


5.3. Nucleo e Imagen de una Transformacion Lineal

Definicion 5.3. Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V −→W una transformacion lineal.

Definiremos

1. El nucleo o kernel de T como el conjunto

N(T ) = Ker(T ) = {v ∈ V : T (v) = 0/W}

2. La imagen o recorrido de T como el conjunto

Im(T ) = {w ∈W : T (v) = w para algun v ∈ V}

Observacion 5.2. w ∈ Im(T ) si y solo si existe v ∈ V tal que T (v) = w.

Teorema 5.11. Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V −→W una transformacion lineal.

Entonces N(T ) es un subespacio vectorial de V e Im(T ) es un subespacio vectorial de W.

212


Demostracion. Es claro que N(T ) ⊂ V e Im(T ) ⊂W.

Por la parte 1 del teorema 4.2, se tiene que T (0/V) = 0/W, ası que 0/V ∈ N(T ) y 0/W ∈ Im(T ), de

donde, N(T ) 6= ∅ e Im(T ) 6= ∅.Por otro lado, sean v1, v2 ∈ N(T ) y α ∈ R cualesquiera. Entonces

T (v1) = 0/W = T (v2)

Ası que

T (v1 + αv2) = T (v1) + αT (v2) = 0/W +α 0/W = 0/W

Por lo tanto v1 + αv2 ∈ N(T ), en consecuencia, N(T ) es un subespacio de V.

Finalmente, sean w1, w2 ∈ Im(T ) y α ∈ R cualesquiera. Entonces, existen v1, v2 ∈ V tales que

T (v1) = w1 y T (v2) = w2.

Consideremos v = v1 + αv2. Ası que v ∈ V y

T (v) = T (v1 + αv2) = T (v1) + αT (v2) = w1 + αw2

De donde w1 + αw2 ∈ Im(T ), luego Im(T ) es un subespacio de W.

Definicion 5.4. Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V −→W una transformacion lineal.

Definiremos

1. La nulidad de T , denotada por n(T ), como n(T ) = dim(N(T )).

2. El rango de T , denotado por r(T ), como r(T ) = dim(Im(T )).

Ejemplo 5.9.

1. Consideremos la transformacion nula O : V −→W. Entonces N(O) = V e Im(O) = {0/W}(¡pruebelo!). �

2. Para la transformacion identidad sobre V, IV : V −→ V, se puede probar que Im(IV) = V

y N(IV) = {0/V} (¡pruebelo!). �

Ejemplo 5.10. Sea T la transformacion dada en el ejemplo 4.6. Hallar n(T ) y r(T ).

213


Solucion. Por definicion

N(T ) =

{(x y

z w

)∈M2×2(R) : T

x y

z w

)= (0, 0, 0)

}

Pero Tx y

z w

)= (0, 0, 0) si y solo si

2y −z = 0

x −y +w = 0

3x −y −z +w = 0

(5.1)

Es decirx y

z w

)∈ N(T ) si y solo si se satisface el sistema (4.1). Resolvamos este sistema.

0 2 −1 0

1 −1 0 1

3 −1 −1 1

F1 ↔ F2→

1 −1 0 1

0 2 −1 0

3 −1 −1 1

F3 → F3 − 3F1→

1 −1 0 1

0 2 −1 0

0 2 −1 −2

F2 → 12F2→

1 −1 0 1

0 1 −12

0

0 2 −1 −2

F1 → F1 + F2→F3 → F3 − 2F2

1 0 −12

1

0 1 −12

0

0 0 0 −2

F3 → −12F3→

1 0 −12

1

0 1 −12

0

0 0 0 1

F1 → F1 − F3→

1 0 −12

0

0 1 −12

0

0 0 0 1

De donde

x −12z = 0

y −12z = 0

w = 0

; o bien

x = 12z

y = 12z

w = 0

Haciendo z = 2α, con α ∈ R, obtenemos

x y

z w

)=

α α

2α 0

)= α

1 1

2 0

)

Por lo tanto

N(T ) = gen

({(1 1

2 0

)})

214


y la nulidad de T es

n(T ) = dim(N(T )) = 1

Por otro lado

Im(T ) =

{(a, b, c) ∈ R3 : T

(x y

z w

)= (a, b, c) para algun

x y

z w

)∈M2×2(R)

}

Pero Tx y

z w

)= (a, b, c) si y solo si

2y −z = a

x −y +w = b

3x −y −z +w = c

(5.2)

En consecuencia (a, b, c) ∈ Im(T ) si y solo si el sistema (4.2) tiene solucion. Al resolver este

sistema, obtenemos

x −12z = −1

2b + 1

2c

y −12z = 1

2a

w = 12a + 3

2b− 1

2c

; o bien

x = 12z − 1

2b + 1

2c

y = 12z + 1

2a

w = 12a + 3

2b− 1

2c

Por lo tanto, el sistema (4.2) tiene solucion para cada (a, b, c) ∈ R3, en consecuencia Im(T ) = R3

y r(T ) = 3.

Observaccciiióoonnn 5.3. Notese que la matriz de los sistemas (5.2) y (5.1) no es otra que la que la mat-riz [T ]βV,βW

, donde βV y βW son las bases canonicas de lo5 espaciosM2×2(R) y R3 respectivamente .

Al igual que en el caso matricial, no hace falta resolver el sistema (4.2), la FERF de la matriz

de este sistema nos da toda la informacion, pero a diferencia del caso matricial, los pivotes de esta

matriz nos dan las coordenadas, respecto a la base canonica de R3, de los vectores que forman una

base para Im(T ). Para entender bien este comentario, consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.11. Hallar el nucleo, la nulidad, la imagen y el rango de la transformacion lineal

T dada en el ejemplo 4.7.

Solucion.a b

c d

)∈ N(T ) si y solo si

215


a +b −c = 0

a +2b +c +d = 0

−a −3b −3c −2d = 0

(5.3)


[T ]βV,βW=

1 1 −1 0

1 2 1 1

−1 −3 −3 −2

donde βV y βW son las bases canonicas de M2×2(R) y P2[x] respectivamente. Su FERF es

1 0 −3 −1

0 1 2 1

0 0 0 0

Por lo tanto

{a −3c −d = 0

b +2c +d = 0; o bien

{a = 3c + d

b = −2c− d

Ası que

a b

c d

)=

3c + d −2c− d

c d

)= c

3 −2

1 0

)+ d

1 −1

0 1

)

En consecuencia

N(T ) = gen

({(3 −2

1 0

);

1 −1

0 1

)})

y una base para N(T ) es {(3 −2

1 0

);

1 −1

0 1

)}

luego n(T ) = dim(N(T )) = 2. Los pivotes de la FERF de la matriz del sistema, estan en las colum-

nas 1 y 2, ası que las columnas 1 y 2 de la matriz original, son las matrices de coordenadas, respecto

a βW, de dos vectores que forman una base para Im(T ), por lo tanto r(T ) = dim(Im(T )) = 2,

ademas

Im(T ) = gen({

1 + x− x2; 1 + 2x− 3x2})

216


y una base para Im(T ) es{1 + x− x2; 1 + 2x− 3x2

}

La observacion 5.3 puede ser generalizada de la siguiente manera.

Teorema 5.12. Sean V y W dos espacios vectoriales, β V = {v1, v2, . . . , vn} una base

ordenada de V, β W = {w1, w2, . . . , wm} una base ordenada de W y T : V −→W una

transformacion lineal.

Entonces

1. {u1, u2, . . . , uk} es una base para N(T ) si y solo si {[u1]β V , [u2]βV , . . . , [uk]βV} es una base

para N([T ]βV,β W )

2. {z1, z2, . . . , zr} es una base para Im(T ) si y solo si {[z1]β W , [z2]βW , . . . , [zr]βW} es una base

para Im([T ]βV,β W )

Demostracion. Ver Apendice D.

Corolario 5.13. Sean V, W, β V, β W y T como en el teorema 5.12.Entonces

1. n(T ) = n ([T ]βV,β W )

2. r(T ) = r ([T ]βV,β W )

3. n(T ) + r(T ) = n = dim(V)


El siguiente ejemplo ilustra estos resultados.

Ejemplo 4.12. Sean T ,

Sean βV y βW como en el ejemplo 5.7. Usar la matriz [T ]bβV,bβWpara hallar el

nucleo, la nulidad, la imagen y el rango de la transformacion lineal T .

Solucion. En primer lugar, recordemos que

βV =

{(1 2

−1 0

);−1 0

1 1

);

2 3

1 −1

);−2 1

3 2

)}

217


βW ={1 + x; x + x2; 1− 2x2

}

Sabemos que

[T ]bβV,bβW=

0 −9 −12 −27

4 10 20 32

4 7 16 23

Sin mucha dificultad, obtenemos que la FERF de esta matriz es

1 0 53

12

0 1 43

3

0 0 0 0

Luego una base para N([T ]bβV,bβW

)es

−5

−4

3

0

;

−1

−6

0

2

y usando el teorema 4.12, tenemos que estas dos matrices son las matrices de coordenadas resd-

pecto a la base βV de dos vectores que forman una base para N(T ), hallemos estos vectores.

(−5)1 2

−1 0

)+ (−4)

−1 0

1 1

)+ 3

2 3

1 −1

)+ 0

−2 1

3 2

)=

5 −1

4 −7

)

(−1)1 2

−1 0

)+ (−6)

−1 0

1 1

)+ 0

2 3

1 −1

)+ 2

−2 1

3 2

)=

1 0

1 −2

)

Luego, una base para N(T ) es

{(5 −1

4 −7

);

1 0

1 −2

)}

y ası

N(T ) = gen

({(5 −1

4 −7

);

1 0

1 −2

)})

y n(T ) = 2.

Calcular el conjunto imagen y su dimensise queda comoejercicio.

218

219

Dilatación o escalamiento 2D

El escalamiento 2D implica el cambio de tamaño de un polígono, donde cada punto

),( 21 xxp = es transformado por la multiplicación de dos factores de escalamiento: s1 y s2 a

lo largo de los ejes X1 y X2 respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto

)','(' 21 xx p = se obtienen como:

222

111

''

sxxsxx⋅=⋅=

Sea ),( 21 sss = el vector de factores de escalamiento, y S(s) la matriz de

escalamiento, en coordenadas homogéneas el escalamiento de un punto p en 2D se puede

expresar como el producto matricial )(' sSpp ⋅= , es decir:

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=

1000000

11'' 2

1

2121 ss

xxxx

Ecuación 5.1: Expresión matricial para el escalamiento 2D.

La Figura 5.1 muestra el efecto de escalamiento de una figura con s1 = 1.5 y s2 = 2.

Figura 5.1: Ejemplo de escalamiento 2D.

X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

5.4. Aplicaciones de las transformaciones: reflexión,dilatación,contracción y rotación.

220

Dilatación o escalamineto 3D

Extendiendo la idea anterior a 3D, el escalamiento implica el cambio de tamaño de un

poliedro, donde cada punto ),,( 321 xxxp = es transformado por la multiplicación de tres

factores de escalamiento: s1, s2 y s3 a lo largo de los ejes X1, X2 y X3 respectivamente, de

esta forma, las coordenadas del nuevo punto )',','(' 321 xxxp = se obtienen como:

333

222

111

'''

sxxsxxsxx

⋅=⋅=⋅=

Sea ) , , ( 321 ssss = el vector de factores de escalamiento, y S(s) la matriz de



[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

1000000000000

11'''3

2

1

321321 ss

s

xxxxxx


La Figura 5.2 muestra el efecto de escalamiento de una figura con s1 = 2, s2 = 2.5 y

s3 = 1.5.


221

Figura 5.2: Ejemplo de escalamiento 3D.

Escalamiento o dilatación 4D

Extendiendo nuevamente la idea anterior a 4D, el escalamiento implica el cambio de

tamaño de un politopo 4D, donde cada punto ),,,( 4321 xxxxp = es transformado por la

multiplicación de cuatro factores de escalamiento: s1, s2, s3 y s4 a lo largo de ejes que

forman el espacio 4D, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto

)',',','(' 4321 xxxxp = se obtienen como:

444

333

222

111

''''

sxxsxxsxxsxx

⋅=⋅=⋅=⋅=

Sea ),,, ( 4321 sssss = el vector de factores de escalamiento, y S(s) la matriz de



X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

X3

1 2

3 4

5

X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

X3

1 2

3 4

5


222

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

100000000000000000000

11''''

4

3

2

1

43214321

ss

ss

xxxxxxxx


Escalamiento o dilatación nD

De esta forma, el escalamiento nD implica el cambio de tamaño de un politopo nD en

todas sus dimensiones, como se observó anteriormente, se puede representar el

escalamiento nD en su forma matricial, donde los factores de escalamiento se localizan en

la diagonal principal, cada uno colocado en la columna que le corresponde a su respectivo

eje. Así, se obtiene la expresión matricial de escalamiento para cualquier dimensión:

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

100000000

000000000000

11'''' 3

2

1

321321

K

K

MMOMMM

K

K

K

KK

n

nn

s

ss

s

xxxxxxxx

Ecuación 5.4: Expresión matricial para el escalamiento nD.

En general, la matriz de escalamiento S(s) para nD en coordenadas homogéneas tendrá

un tamaño de (n+1) × (n+1), en la cual, si se sustituyen los valores para n=2 y n=3, se

obtienen las matrices de escalamiento 2D y 3D respectivamente.

Translación

La translación permite desplazar un objeto a lo largo de sus dimensiones, como

resultado se obtiene un cambio de posición.


223

Translación 2D

La translación 2D implica el desplazamiento de un polígono, donde cada punto

),( 21 xxp = es trasladado d1 unidades en el eje X1 y d2 unidades en el eje X2, de esta forma,

las coordenadas del nuevo punto )','(' 21 xx p = , se obtienen como:

222

111

''

dxxdxx+=+=

Sea ),( 21 ddd = el vector de distancias, y T(d) la matriz de translación, en

coordenadas homogéneas la translación de un punto p en 2D se puede expresar como el

producto matricial )(' dTpp ⋅= , es decir:

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=

1010001

11''

21

2121

ddxxxx

Ecuación 5.5: Expresión matricial para la translación 2D.

La Figura 3.3 muestra el efecto de translación de una figura con d1 = 1 y d2 = 2.

Figura 5.3: Ejemplo de translación 2D.

Translación 3D

Basándose en la idea anterior, se tiene que la translación 3D implica el

desplazamiento de un poliedro, donde cada punto ),,( 321 xxxp = es trasladado d1 unidades

X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

V.Transformaciones Lineales

Lineales.

224

en el eje X1 , d2 unidades en el eje X2 y d3 unidades en el eje X3, de esta forma, las

coordenadas del nuevo punto )',','(' 321 xxxp = se obtienen como:

333

222

111

'''

dxxdxxdxx

+=+=+=

Sea ),, ( 321 dddd = el vector de distancias, y T(d) la matriz de translación, en



[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

1010000100001

11'''

321

321321

ddd

xxxxxx


La Figura 5.4 muestra el efecto de translación de una figura con d1 = 2, d2 = 0 y d3 = 2.

Figura 5.4: Ejemplo de translación 3D.

X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

X3

1 2

3 4

5

X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

X3

12

34

5


225

Translación 4D

Nuevamente tomando como base esta idea, se tiene que la translación 4D implica el

desplazamiento de un politopo 4D, donde cada punto ),,,( 4321 xxxxp = es trasladado por

la suma de cuatro distancias: d1, d2, d3, d4 a cada uno de los ejes que forman el espacio 4D,

de esta forma, las coordenadas del nuevo punto )',',','(' 4321 xxxxp = se obtiene como:

444

333

222

111

''''

dxxdxxdxxdxx

+=+=+=+=

Sea ),,, ( 4321 ddddd = el vector de distancias, y T(d) la matriz de translación, en



[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

101000001000001000001

11''''

4321

43214321

dddd

xxxxxxxx


Translación nD

De esta forma, la translación nD implica el desplazamiento de un politopo nD

sumando parámetros de distancias a todas sus dimensiones, como se observó anteriormente,

se puede representar la translación nD en su forma matricial, donde los parámetros de

distancia se localizan en el último renglón de la matriz, cada uno colocado en la columna

que le corresponde a su respectivo eje, y colocando valores de 1 en la diagonal principal.

Así, se obtiene la expresión matricial de translación para cualquier dimensión:


226

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

101000

001000001000001

11''''

321

321321

n

nn

dddd

xxxxxxxx

K

K

MMOMMM

K

K

K

KK

Ecuación 5.8: Expresión matricial para la translación nD.

En general, la matriz de translación T(d) para nD en coordenadas homogéneas tendrá

un tamaño de (n+1) × (n+1), en la cual, si se substituyen los valores para n=2 y n=3, se

obtienen las matrices de translación 2D y 3D respectivamente.

Rotación

La rotación permite girar un objeto sobre un eje de rotación, dado un valor de ángulo

de rotación θ y su dirección.

Rotaciones 2D

La rotación de un objeto en 2D se lleva a cabo alrededor de un punto, que es el eje

puntual (cero-dimensional) de rotación. Las rotaciones principales 2D son aquellas que se

llevan a cabo alrededor del origen, las rotaciones sobre cualquier otro punto arbitrario se

llaman rotaciones generales 2D. En esta Sección 5.5 , se analizan sólo las rotaciones prin-

cipales para todas las dimensiones, en la Sección 5.6 se discuten las rotaciones generales.

Para generar una rotación, se especifica el ángulo de rotación θ, y el punto de rotación

(pivote) sobre el cuál el objeto será rotado. Los ángulos de rotación positivos definen una

rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj sobre el punto pivote (del eje X1 al

eje X2), entonces los ángulos de rotación negativos producen una rotación en el sentido de


227

las manecillas (del eje X2 al eje X1). [Hearn 95] describe la rotación 2D como el giro sobre

el eje de rotación que es perpendicular al plano X1X2 (mejor conocido como plano XY) y

que pasa a través del punto pivote.

Si el punto pivote se encuentra sobre el origen (Figura 5.5), se tiene que: r es la

distancia del punto ),( 21 xx p = al origen, φ define la posición angular del punto p desde la

horizontal, y θ el ángulo de rotación de p para producir el nuevo punto )','(' 21 xx p = .

Figura 5.5: Rotación de un punto en 2D alrededor del origen.

Utilizando coordenadas polares, el punto ),( 21 xxp = se puede escribir como

),( φrp = y el punto )','(' 21 xx p = como ),(' θφ += rp . Pasando después estos puntos de

coordenadas polares a rectangulares se tiene que:

)cos(1 φrx = )sin(2 φrx =

)cos('1 θφ += rx )sin('2 θφ += rx

Aplicando algunas propiedades trigonométricas:

θφθφφθ sinsincoscos)cos('1 rrrx −=+=

θφθφφθ cossinsincos)sin('2 rrrx +=+=

Substituyendo los valores de )cos(1 φrx = y )sin(2 φrx = se obtienen las ecuaciones para

rotar un punto ),( 21 xx p = alrededor del origen dado un ángulo θ:

θ

X1

X2

p=(x1,x2)

p’=(x1’,x2’)

φ

r

r


228

Ecuación 5.9: Fórmulas para la rotación 2D alrededor del origen.

Sea R(θ) la matriz de rotación sobre el origen, en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor del origen en 2D se puede expresar como el producto matricial

Rpp ⋅= , es decir:

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅=

1000cossin0sincos

11'' 2121 θθθθ

xxxx

Ecuación 5.10: Expresión matricial para la rotación 2D.

La Figura 5.6 muestra el efecto de rotación de una figura con θ = 45°.

Figura 5.6: Ejemplo de rotación 2D.

Rotaciones 3D

A diferencia de la rotación en el espacio 2D, donde para hacer rotar un objeto se

necesita un punto (cero-dimensional), en 3D para hacer rotar un objeto se necesitan dos

puntos no coincidentes que determinan un segmento de recta, cuya línea de soporte define

un eje lineal (uni-dimensional) de rotación.

X1 -1 -2 1 2

X2

-2

-1

1

2

X1 -1 -2 1 2

X2

-2

-1

1

2

θθ sincos' 211 xxx −=

θθ cossin' 212 xxx +=


229

Las rotaciones principales 3D, son aquellas cuando el eje de rotación se encuentra

sobre alguno de los tres ejes principales: X1, X2 o X3, las rotaciones sobre cualquier otro eje

arbitrario son llamadas rotaciones generales 3D. Se recuerda que inicialmente, se analizan

las rotaciones principales.

Por convención, los ángulos de rotación positivos producen rotaciones en contra de

las manecillas del reloj sobre el eje de rotación, esto es si se observa el giro desde la parte

positiva del eje hacia el origen. Otra forma de determinar la dirección de un giro positivo es

mediante la regla de la mano derecha (Figura 5.7), que dice que: “Si se coloca el dedo

pulgar de la mano derecha sobre el eje de rotación apuntando hacia la parte positiva de

dicho eje, el giro natural del resto de los dedos indica la dirección positiva del giro”.

Figura 5.7: Regla de la mano derecha para obtener la dirección de un giro positivo en 3D.

Para entender el concepto de rotación en 3D como una extensión de la rotación 2D,

hay que recordar que la rotación 2D es el giro sobre el eje de rotación, que es perpendicular

al plano X1X2, el cual en 3D corresponde al eje X3, entonces se tiene la primera de las rota-

ciones principales .

De esta forma, por cada punto ),,( 321 xxxp = dado un ángulo θ, puede ser rotado

sobre el eje X3 en sentido contrario a las manecillas del reloj, obteniendo las coordenadas

del nuevo punto )',','(' 321 xxxp = de la misma forma en como se analizó en el espacio 2D

X3

X1

X2

X3

X1

X2

X3

X1

X2


230

quedando la coordenada x3 sin cambio, entonces, se extienden las formulas para la

rotación 2D (Ecuación 3.9) a 3D como:

Ecuación 5.11: Fórmulas para la rotación 3D alrededor del eje X3.

Sea R3(θ) la matriz de rotación alrededor del eje X3, en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor de dicho eje, se puede expresar como el producto matricial

)(' 3 θRpp ⋅= , es decir:

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⋅=

1000010000cossin00sincos

11''' 321321

θθθθ

xxxxxx

Ecuación 5.12: Expresión matricial para la rotación 3D alrededor del eje X3.

La Figura 5.8 muestra el efecto de rotación sobre el eje X3 de una figura con θ = 20°.

Figura 5.8: Ejemplo de rotación 3D sobre el eje X3.

X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

X3

12

3 4

5

X1

X2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

X3

12

34

5



33 ' xx =


231

Las ecuaciones para las rotaciones sobre el eje X1, y eje X2, pueden ser obtenidas

mediante las permutaciones cíclicas de los parámetros x1, x2, x3:

x1 → x2 → x3 → x1

como se muestra en la Figura 3.9

Figura 5.9: Permutaciones cíclicas de los ejes coordenados

Entonces, aplicando estas substituciones cíclicas en la Ecuación 5.11, se obtienen las

ecuaciones para la rotación alrededor del eje X1 dado un ángulo θ.



1 θRpp ⋅= , es decir:

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅=

10000cossin00sincos00001

11''' 321321 θθθθ

xxxxxx


11 ' xx =




11 ' xx =


X1

X2

X3

X2

X3

X1

X3

X1

X2


232

Aplicando nuevamente las substituciones cíclicas en la Ecuación 3.13, se obtienen las

fórmulas para la rotación alrededor del eje X2 dado un ángulo θ.



2 θRpp ⋅= , es decir:

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⋅=

10000cos0sin00100sin0cos

11''' 321321 θθ

θθ

xxxxxx




22 ' xx =

θθ sincos' 311 xxx +=

22 ' xx =

θθ cossin' 313 xxx +−=


Documents

APUNTES DE MATEMATICAS IV - tesoem.edu.mxtesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/2010.004.pdf · transformaciones lineales y sus representaci on matricial, los espa-cios asociados a los