Apuntes de Óptica. Luís Miguel Sánchez Brea

A P U N T E S D E P T I C A

luis miguel snchez brea

Grado en Ciencias Fsicas, curso 2, Grupo A

Universidad Complutense de MadridDepartamento de ptica

Facultad de Ciencias Fsicas

Enero 2014 version 1.0

[ 14 de febrero de 2014 at 12:24 classicthesis version 1.0 ]

Luis Miguel Snchez BreaApuntes de ptica ,Universidad Complutense de MadridGrado en Ciencias Fsicas, curso 2, Grupo AEnero 2014


R E S U M E N

Estos apuntes estn enfocado a la asignatura ptica de 2o de grado en Fsica.No pretende ser un libro ni un compendio pormenorizado, sino una gua de las ex-plicaciones realizadas en clase. La ptica es un rea de inters relevante en Fsicapor cuanto es la ciencia que estudia la generacin, propagacin y deteccin de laradiacin luminosa. Adems, de la ptica derivan un buen nmero de aplicacio-nes y tecnologas que la dan un sentido de utilidad. Por ejemplo, las interferenciasson la base de la metrologa de precisin; las fibras pticas son la base de las comu-nicaciones actuales, el lser ha permitido el desarrollo de numerosas aplicacionesdesde la salud, la industria, la electrnica de consumo. Aunque las aplicacionesde la ptica son de enorme relevancia y merecen un estudio pormenorizado, eneste curso trataremos los fundamentos, partiendo de las ecuaciones de Maxwell yse considera la luz como una ptica Electromagntica, es decir, su propagacin serealiza como ondas transversales que se propagan en el vaco a la velocidad de laluz. Se divide la asignatura en 4 bloques: 1. Ondas electromagnticas en el vaco.2. Propagacin de la luz en medios homogneos. 3. Interferencias. 4. Teora escalarde la difraccin.

III


N D I C E G E N E R A L

1 ondas electromagnticas en el vaco 11.1 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Ondas electromagnticas en el vaco . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Caractersticas de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Algunas soluciones sencillas a las ecuaciones de Maxwell . . 61.1.4 Ondas armnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Representacin compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Frentes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.7 Ecuacin de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.8 Ondas armnicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.9 Velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.10 Coherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Energa de las ondas electromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 La luz como fuente de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 Vector de Poynting para una onda armnica plana . . . . . . 181.2.4 Promedio temporal del vector de Poynting . . . . . . . . . . . 19

1.3 Polarizacin de las ondas armnicas planas . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Polarizacin en la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Polarizacin en ondas armnicas planas . . . . . . . . . . . . 251.3.3 Estados de polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.4 Caracterizacin de los estados de polarizacin: representa-

cin de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.5 Elementos modificadores de la polarizacin: polarizadores . 301.3.6 Ley de Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.7 Complemento: Otros tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.8 Complemento: Mtodos numricos . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.9 Complemento: Cronologa de la polarizacin . . . . . . . . . 371.3.10 Complemento: caracterizacin de la elipse de polarizacin . . 371.3.11 Complemento: lgebra de polarizacin . . . . . . . . . . . . . 38

2 interaccin luz materia : modelo microscpico clsico 392.1 Modelo de materia: tomo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Fuerzas sobre las cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2 Ecuacin de movimiento de las cargas . . . . . . . . . . . . . 422.1.3 Solucin para la carga ligada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.4 Solucin para la carga libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Absorcin de la luz por la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.1 Potencia extrada y esparcida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Generacin de luz por la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.1 Radiacin dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.2 Carga oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.3 Emisin de un oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . 492.3.4 Potencia reemitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 ondas electromagnticas en medios materiales 553.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Medios pticamente densos: el continuo ptico . . . . . . . . . . . . 553.3 Promedio espacial de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . 57

3.3.1 Polarizacin y magnetizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Vectores D y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

V


3.5 Relaciones de constitucin lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6 Ecuaciones de Maxwell macroscpicas para ondas armnicas . . . . 613.7 Clasificacin de los medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.8 Relaciones energticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

a breve historia de la ptica 65a.1 La ptica en la antigedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

a.1.1 Primeros componentes pticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65a.1.2 Modelos de visin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

a.2 La Edad Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66a.3 El renacimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67a.4 Teora ondulatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70a.5 Ondas electromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

a.5.1 La velocidad de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73a.5.2 Avances tecnolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

a.6 Siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75a.7 Hitos de la ptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

b haces de gauss 85b.1 Aproximacin de amplitud lentamente variable . . . . . . . . . . . . 85b.2 Propiedades de los haces gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

b.2.1 Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87b.2.2 Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88b.2.3 Anchura del haz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88b.2.4 Radio de curvatura y frente de ondas . . . . . . . . . . . . . . 89b.2.5 Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90b.2.6 Profundidad de foco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

b.3 Haces Hermite-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91b.4 Haces de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

VI


1O N D A S E L E C T R O M A G N T I C A S E N E L VA C OLa ptica Electromagntica estudia el comportamiento de la luz conside-

rando sta como un ente de carcter electromagntico. Se analizarn algunosconceptos asociados al electromagnetismo, en particular de cmo las ondas elec-tromagnticas se propagan en el vaco. Se realizar un breve repaso de las ecua-ciones de Maxwell, describiremos algunas soluciones simples como las ondasesfricas, planas y las ondas armnicas, as como su representacin compleja.Se analizar con mayor detalle las ondas armnicas planas, pues son la basepara el estudio de muchos fenmenos pticos que se estudiarn en captulos pos-teriores. Se revisarn conceptos tales como frente de ondas, vector y longitudde onda, velocidad de fase y de grupo, etc.

Asimismo, se repasarn las propiedades fundamentales de las ondas electro-magnticas. Una de las principales caractersticas es que transportan energa.Estudiaremos que el vector de Poynting, magnitud derivada de las ecuacionesde Maxwell, permite determinar la cantidad de energa que transportan las on-das. Debido a que es fuertemente fluctuante en el tiempo, analizaremos tambinsu promedio temporal.

Otra de las propiedades fundamentales de la luz es su estado de polarizacin,que se define como la trayectoria del vector campo elctrico en un plano nor-mal al de propagacin. Si la trayectoria est bien definida, se dice que el estadode polarizacin es puro. Para caracterizar la polarizacin, se definen diversosparmetros tales como su excentricidad o elipticidad. El formalismo de Jonespermite la representacin de estados puros mediante un vector complejo 2 1.Los elementos o sistemas que modifican el estado de polarizacin se denominanpolarizadores, y pueden ser polarizadores lineales, circulares, elpticos y retar-dadores. Dichos elementos polarizadores se pueden caracterizar a travs de unamatriz de polarizacin 2 2.

Objetivos

Describir la luz a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Saber representar y describir soluciones de las ecuaciones de Maxwell.

Representacin compleja de las ondas.

Conocer las ondas armnicas y planas, pues son sencillas y forman una base.

Describir las propiedades del campo elctrico.

Determinar la energa que transportan las ondas electromagnticas.

Conocer el fenmeno de la polarizacin.

Caracterizar los estados de polarizacin.

Conocer los polarizadores, o elementos que modifican el estado de polariza-cin.

1


2 ondas electromagnticas en el vaco

1.1 ecuaciones de maxwell

La ptica Electromagntica parte de identificar la luz como un fenmeno electro-magntico. En consecuencia la luz est gobernada por las ecuaciones de Maxwell1,que son

E = 0

, (1.1)

B = 0, (1.2) E = B

t, (1.3)

B = 00 Et

+ 0j, (1.4)

donde E(r, t) = (Ex, Ey, Ez)t y B(r, t) = (Bx, By, Bz)t son los campos elctricos y lainduccin magntica respectivamente, y (r, t) j(r, t) son las densidades de cargay la corriente2.

Asimismo es la divergencia y es el rotacional. Repasemos brevementeestos dos operadores. La divergencia se define como el flujo del campo vectorialpor unidad de volumen conforme dicho volumen tiende a cero 3,

E = limV0

1V

S

E dS, (1.5)

siendo S una superficie cerrada alrededor del punto y dS el elemento de superficieinfinitesimal con direccin normal a dicho elemento de superficie (hacia afuera). Surepresentacin diferencial para el caso de coordenadas cartesianas la divergenciase escribe como

E = Exx

+Eyy

+Ezz

, (1.6)

siendo E = (Ex, Ey, Ez).En cuanto al rotacional, se define como el lmite de la circulacin del campo

vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto4,

E = limS0

1S

S

E dr, (1.7)

donde aqu S es el rea de la superficie que rodea la trayectoria. En coordenadascartesianas su representacin diferencial resulta

E =

x y zx

y

z

Ex Ey Ez

(1.8)Estas ecuaciones (1.1-1.4) diferenciales parciales vectoriales son el fundamento

que nos permiten estudiar la propagacin de los campos elctricos y magnticos. Elcmo llegar a estas ecuaciones se estudia en Electromagnetismo. Las ecuaciones deMaxwell consideran la interaccin de las ondas con la materia a travs de las cargas

1 info sobre Maxwell: http://es.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwellinfo sobre las ecs. de Maxwell: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell

2 Utilizaremos el sistema internacional de unidades: http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades. Tngase en cuenta que algunos libros sobre ptica todava utilizan elsistema CGS.

3 informacin sobre la divergencia: http://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matemtica)4 informacin sobre el rotacional: http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional


1.1 ecuaciones de maxwell 3

Figura 1.1: Direccin de los distintos vectores involucrados en la fuerza.

y las corrientes. Los valores de las constantes 0 y 0 se denominan permitividadelctrica y permeabilidad magntica del vaco respectivamente y su valores son

0 = 4pi107 = 1, 2566 106m kg s2 A2, (1.9)

0 =1

0c2= 8, 8542 1012m3 kg1 s4 A2, (1.10)

donde 0 y c = 299,792,458 m s1 son constantes en el Sistema internacional deunidades (por ello tambin lo es 0). Como puede suponerse, estas 8 ecuacionesdiferenciales acopladas no se resuelven de forma sencilla excepto para casos ex-cepcionales. Casi todos los fenmenos pticas (excepto los efectos cunticos) estn como la onda

armnica plana queveremos acontinuacin

representados en estas ecuaciones de Maxwell, por lo que a lo largo de la asigna-tura vamos a analizarlas en profundidad.

Otra ecuacin de inters es la fuerza que ejerce el campo electromagntico sobrela materia, es decir, sobre las cargas. Esta relacin viene dada por la fuerza deLorentz5

F = q(

E +drdt B

), (1.11)

Las cargas y corrientes son en realidad, consecuencia el mismo fenmeno. Laconservacin de la carga relaciona ambos conceptos a travs de la ecuacin decontinuidad

j+t

= 0, (1.12)

es decir, las corrientes se producen cuando hay cargas en movimiento.

El modelo electromagntico de la luz, a partir de las ecuaciones de Maxwell,es la teora ms general que estudiaremos para explicar la propagacin de la luz.No obstante, en el caso de la interaccin con la materia (generacin y absorcin)el mbito ms adecuado (y que tambin incluye las ecuaciones de Maxwell) es laptica cuntica. En este curso utilizaremos un modelo ms sencillo de materia,basado en cargas y corrientes. Este modelo simplificado no se debe considerarcomo invlido en absoluto, sino que es capaz de resolver una gran cantidad deproblemas en el campo de la ptica. ya que las

predicciones tericasse ajustan muy biena los resultadosexperimentales paratodos los casosestudiados.

5 info sobre Lorentz: http://es.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Antoon_LorentzLorentz obtuvo el Premio Nobel de Fsica en 1902, junto con su pupilo Zeeman, por sus investigacionessobre la influencia del magnetismo en la radiacin electromagntica.



cargas

condiciones de contorno

sin cargas ni fuentes

E, B E, B

proceso de generacin

Figura 1.2: Separacin del proceso de generacin del proceso de propagacin el en el vaco.Para ello se utilizan condiciones de contorno sobre una frontera.

1.1.1 Ondas electromagnticas en el vaco

Las ecuaciones de Maxwell, (1.1-1.4) nos dicen que para poder generar un campoelectromagntico, E(r, t) y B(r, t), es necesario la presencia de cargas y corrientes(r, t) y j(r, t). Este proceso de generacin lo estudiaremos en el Captulo 2. Enmuchas situaciones, no obstante, las fuentes de luz estn lejos de la zona de estudio.Por ello, suele ser interesante separar el problema en dos partes: 1. Generacin dela luz en la materia (cargas y corrientes) y 2. Propagacin de la luz en el vaco (sincargas ni corrientes).

Para tratar el problema de la propagacin de la luz en el vaco, por tanto, va-mos a asumir que se ha generado una onda electromagntica de alguna forma yconocemos el campo electromagntico en una cierta frontera. Esto se incluir enlas ecuaciones de Maxwell, no como cargas y corrientes, sino como las condicionesiniciales (condiciones de contorno).

Cuando en nuestro volumen de estudio no tenemos cargas ni corrientes, lasecuaciones de Maxwell resultan

E = 0, (1.13) B = 0, (1.14) E = B

t, (1.15)

B = 00 Et

. (1.16)

Las cargas y las corrientes, no obstante, han tenido que existir para generar lasondas electromagnticas, que entran en estas ecuaciones como el campo inicial, esdecir, son las condiciones de contorno del problema diferencial (1.13-1.16).



ecuacin de ondas Las ondas electromagnticas obtenidas sern una solu-cin particular de las ecuaciones de Maxwell. Si combinamos la tercera ecuacincon la cuarta obtenemos

E = Bt

, (1.17)

B = 00 Et

, (1.18)

y teniendo en cuenta que a b c = (a c)b (a b)c se llegan a las siguientesexpresiones

2E = 1c22E2t

, (1.19)

2B = 1c22B2t

, (1.20)

donde c = 1/00 es la velocidad de propagacin de la onda (velocidad de la luz).

Las ecuaciones (1.19) y (1.20) son seis ecuaciones de ondas vectoriales desacopladasentre s

2U = 1c22U2t

, (1.21)

donde U = Ex, Ey, Bz, Ex, By, Bz. No obstante los campos E y B no son indepen-dientes, sino que tambin se deben cumplir las ecuaciones (1.13) y (1.14). Por ello,no todas las soluciones de la ecuacin de ondas (1.21) pueden ser una onda elec-tromagntica.

1.1.2 Caractersticas de la luz

A partir de las ecuaciones de Maxwell se pueden deducir las siguientes caracte-rsticas

La luz es un campo electromagntico, E (r, t) y B (r, t), con forma de ondasvectoriales y cuyas soluciones deben cumplir las ecuaciones de Maxwell. Porello estn acoplados entre s E (r, t) y B (r, t). Para conocer el comportamientode la luz es necesario conocer E (r, t) y B (r, t).

La luz es generada por cargas y corrientes aceleradas: las cargas (r, t) y lasdensidades de corriente j (r, t) no estacionarias generan campos electromag-nticos variables en el tiempo (ondas que se propagarn en el vaco) .6

La luz se puede propagar por el vaco. No hace falta soporte material. Lavelocidad de la luz en el vaco es una constante. con el conocimiento

actual es unaconstante universal,teora de larelatividad especialde Einstein

Las ondas electromagnticas transportan energa que acta sobre las cargasmediante la fuerza de Lorentz.

Las ecuaciones de Maxwell son lineales en los campos: Si E1 y E2 ( o tambinB1 y B2 ) son soluciones de las ecuaciones de Maxwell, entonces E1 + E2 (oB1 + B2) tambin es solucin de las ecuaciones de Maxwell.

La luz se propaga en la materia alterando la dinmica de sus cargas que, asu vez, genera ms luz. La luz se detecta por cambios en la dinmica de lascargas del detector. La aceleracin inducida en las cargas dar lugar a nuevas

6 si las cargas no varan en el tiempo generan campos estticos (no es luz).



Figura 1.3: Onda esfrica como solucin de la ecuacin de ondas.

ondas que se superpondrn con las incidentes, etc. Todo el proceso (genera-cin, propagacin, deteccin) estar sujeto a las ecuaciones de Maxwell.

1.1.3 Algunas soluciones sencillas a las ecuaciones de Maxwell

ondas escalares vs . ondas vectoriales Las ecuaciones de Maxwell tie-nen un carcter vectorial y sus soluciones, E(r, t) y B(r, t) son vectores. Es porello que una solucin completa existe indicar todas las componentes. Por ejem-plo, en coordenadas cartesianas, esto significa conocer 6 componentes E =[Ex(r, t),Ey(r, t), Ez(r, t)] y B = [Bx(r, t), By(r, t), Bz(r, t)]. Esta soluciones resuelven el pro-blema completo. Sin embargo, a veces es ms sencillo y conveniente resolver lasecuaciones de cada componente de forma individual. Las ecuaciones (1.19) y (1.20)implican que cada componente est desacoplada del resto. Entonces, cada una delas componentes se puede describir segn

2V = 1c22V2t

, (1.22)

donde V representar cada una de las componentes. Esto supone la resolucinescalar de cada una de las componentes. Sin embargo, no todas las soluciones a lasecuaciones escalares son vlidas, sino que la solucin vectorial general tiene quecumplir las restricciones dadas por las ecuaciones (1.13) y (1.14).

De las infinitas soluciones posibles, hay algunos casos especialmente sencillosque con mucha frecuencia se presentan en la prctica de forma al menos aproxi-mada. Estudiaremos algunos de los casos de mayor inters.

ondas esfricas escalares Supongamos una fuente que emite por igualen todas las direcciones. Cada una de las componentes del campo que se propagatiene, pues, simetra radial. Esto significa que

V (r, t) = V (r, t) , (1.23)

donde r = |r| =(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2, donde (x0, y0, z0) es la posi-

cin de la fuente. Esto significa que el valor de V es el mismo sobre los puntos deuna superficie esfrica de radio r en un tiempo dado t.



Figura 1.4: Frente de ondas plano y propagacin en el tiempo.

Utilizando el operador 2 = en coordenadas esfricas7 y eliminando las deri-vadas angulares y , que por simetra son nulas se obtiene la siguiente forma dela ecuacin de ondas

1r2

r2[rV (r, t)] =

1c2

2

t2V (r, t) , (1.24)

que se puede simplificar como

2

r2[rV (r, t)] =

1c2

2

t2[rV (r, t)] . (1.25)

La solucin de esta ecuacin tiene una forma del tipo

V (r, t) =V1 (r ct)

r+

V2 (r + ct)r

, (1.26)

que representa dos ondas, una que se acerca hacia el origen, mientras que otra sealeja de ste. Una onda tpica que emite en todas las direcciones es

u (r, t) = A0cos(k rt)

r, (1.27)

que se muestra en la Figura 1.3.

ondas esfricas vectoriales Las ondas esfricas escalares son una solu-cin de la ecuacin de ondas escalar. Sin embargo no es posible obtener una ondavectorial completa, E y B, que cumpla simultneamente las 6 ecuaciones de onda.Esto es debido a que, adems de las ecuaciones de onda, proporcionadas por lasecuaciones (1.15) y (1.16), tambin deben cumplir (1.13) y (1.14), que no han sidoconsideradas. Esto impone restricciones adicionales. Una solucin que se aproxi-ma a una onda esfrica vectorial y que s cumple todas las ecuaciones de Maxwellse ver en el caso de emisin de radiacin electromagntica por un dipolo (sec-cin 2.3.1).

ondas planas vectoriales Para un instante dado, las ondas planas son aque-llas para las cuales el campo elctrico toma el mismo valor sobre superficies queson planos. Es decir, para t = t0 se cumple que

E = E (k r, t) . (1.28)

El campo elctrico es constante en los planos definidos por

k r = kxx + kyy + kzz = , (1.29)7 info sobre coordenadas esfricas: http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esfricas



donde al vector constante k se le llama vector de ondas. Al variar , se obtiene unafamilia de planos, perpendiculares a k, en los cuales el campo E ser constante.Haciendo el cambio de variables en la ecuacin E (k r, t) = E (, t) se obtiene quela ecuacin de ondas resulta

2E (, t)2

=1c22E (, t)

t2. (1.30)

Haciendo el siguiente cambio de variables, ct = p y + ct = q entonces (1.30)tiene la forma

2Epq

= 0, (1.31)

cuya solucin general resulta

E (, t) = E1 ( ct) + E2 (+ ct) , (1.32)

siendo E1 y E2 dos funciones arbitrarias cualesquiera, con la nica condicin quedeben depender de y t a travs de los argumentos ( ct) y (+ ct) . Esta solu-cin representa dos ondas, una viajando en una cierta direccin dada por k y otraonda en la misma direccin pero en sentido contrario.

Las ondas planas, estrictamente hablando, no son fsicamente realizables puesdeben tener un tamao espacial infinito y por ello, como veremos, energa infinita.No obstante, en muchos casos se pueden obtener de forma aproximada, para unaregin de inters. Por ejemplo, se pueden obtener a partir de ondas esfricas, siem-pre que el radio de curvatura de la onda sea muy grande, Figura 1.5a. Tambinhay otros medios para obtener ondas planas, como es mediante la colimacin deun haz divergente utilizando una lente convergente (o de un haz convergente conuna lente divergente), Figura 1.5b.

La importancia de las ondas planas radica en que cualquier onda real no planase puede expresar como superposicin de ondas planas de diferentes direccionesy amplitudes mediante el correspondiente anlisis de Fourier. Profundizaremosen esta idea al final de este tema y tambin en el tema relativo a la difraccin,Captulo ??.

1.1.4 Ondas armnicas

Entre las soluciones particulares que se pueden encontrar a la ecuacin de ondasvectorial estn las ondas armnicas, tambin llamadas monocromticas. Cada unade las componentes del campo elctrico E (r, t) de las ondas armnicas se puededescribir como E(r, t) = E0(r)cos(t), es decir, componente a componente

Ex (r, t) = Ax (r) cos [gx (r)t] , (1.33)Ey (r, t) = Ay (r) cos

[gy (r)t

], (1.34)

Ez (r, t) = Az (r) cos [gz (r)t] . (1.35)

Por consiguiente, una onda armnica es una solucin particular que tiene todala dependencia temporal en una nica frecuencia, cos (t). Las otras funciones(Ai, gi) son funciones de la posicin, pero no del tiempo. La frecuencia angular serelaciona con la frecuencia y con el perodo de la onda segn

= 2pi =2piT(rad/s). (1.36)



Figura 1.5: (a) Generacin de ondas planas a partir de ondas esfricas cuando la distanciade observacin es muy grande. (b) Generacin de ondas planas a partir de ondasesfricas utilizando una lente. El punto generador de las ondas esfricas se tieneque localizar en el foco objeto.

Las componentes Ax (r) , Ay (r) , Az (r) son las amplitudes de cada una de las com-ponentes de la onda y que se diferencian de gx (r) , gy (r) y gz (r) por tener unavariabilidad en r mucho ms lenta. El argumento del coseno es lo que se llama fasede la onda. Frecuentemente se cumple que gx (r) = gy (r) = gz (r) = g (r). A estosmedios se les denomina istropos y son los que consideraremos en el curso.

Por la naturaleza de su dependencia temporal, esta onda se extiende en el tiempodesde a ; si restringimos su duracin, ya no se puede considerar armnicani tiene la expresin expuesta. Las ondas no armnicas las desarrollaremos en elCapitulo ??.

1.1.5 Representacin compleja

Los campos electromagnticos son campos reales, en el sentido de que se uti-lizan funciones reales para su descripcin. Como vemos frecuentemente vamos autilizar las ondas armnicas planas que utilizan funciones coseno (y seno). A la ho-ra de realizar clculos es bastante ms sencillo (aunque no imprescindible) utilizaruna representacin compleja8 de los campos electromagnticos. De modo que, parasimplificar los clculos, se escribe el coseno como la parte real de una exponencialcompleja

eia = cos a + i sin a. (1.37)

Esta expresin es til para no arrastrar cosenos y senos por los clculos. Comohemos visto, frecuentemente se utilizan derivadas, y la derivada del coseno es elseno. Entonces en las ecuaciones se suelen tener sumas de senos y cosenos que sonun engorro. La representacin con exponenciales complejas tiene la ventaja de que

8 info sobre nmeros complejos: http://es.wikipedia.org/wiki/Nmero_complejo



Figura 1.6: Frentes de onda para dos tiempos distintos.

su derivada es ella misma y son ms sencillos los clculos. Escribamos de nuevo ladefinicin del campo elctrico como

Ej = , (3.37) H = 0, (3.38) E = H

t, (3.39)

H = E + Et

. (3.40)

donde hemos considerado que la constante dielctrica , y permeabilidad magn-tica , no dependen ni del tiempo ni del espacio, de forma que salen fuera de lasderivadas.

3.6 ecuaciones de maxwell macroscpicas para ondas armnicas

Supongamos que el campo en la materia tiene forma de onda armnica

E (r, t) = E0 (r) eit, (3.41)

B (r, t) = B0 (r) eit.

Seguimos teniendo la densidad de carga libre < lib >, que podemos relacionarcon el campo elctrico a partir de la ecuacin de continuidad que relaciona lasdensidades de carga y las corrientes libres

jlib+libt = 0. (3.42)

Tomando promedios y considerando una relacin lineal entre el campo y las co-rrientes, ley de Ohm,

jlib = E, (3.43)

obtenemos < lib >

t=

[E0 (r) eit

]. (3.44)

Debido a que las ondas son armnicas, podemos realizar la integracin de unaforma sencilla

< lib >= (

iE)

. (3.45)

1 En principio podramos pensar que se tendra que escribir H en funcin del campo externo que logenera B, pero por razones histricas se suele utilizar el campo H.


62 ondas electromagnticas en medios materiales

Asimismo, las derivadas temporales tambin se pueden resolver de forma sencilla

Et

= iE, (3.46)Ht

= iH, (3.47)

de forma que las ecuaciones de Maxwell en la materia quedan

E0 = i E0, (3.48)

H0 = 0, (3.49) E0 = iH0, (3.50)H0 = E0 iE0. (3.51)

Finalmente, definiendo un nuevo parmetro, la constante dielctrica generalizada, gen, que contiene el efecto de las cargas ligadas y tambin el de las cargas libres,

gen = +i, (3.52)

obtenemos las siguientes que las ecuaciones de Maxwell son

gen E0 (r) = 0, (3.53) H0 (r) = 0, (3.54)

E0 (r) iH0 (r) = 0, (3.55)H0 (r) + igenE0 (r) = 0. (3.56)

donde hemos considerado que no existe dependencia espacial en los parmetros.Veamos algunas consideraciones importantes de este conjunto de ecuaciones.

Hemos reducido el problema de describir la materia al de especificar dos pa-rmetros: gen y . Nuestro trabajo es ahora el de, conocidos estos parmetros,resolver las ecuaciones para diversos medios, pues sus soluciones caracteri-zan completamente la propagacin de la radiacin en los medios pticamentedensos.

Estas ecuaciones son formalmente similares a las ecuaciones de Maxwell enel vaco para ondas armnicas, donde se sustituye o por gen, o por , y B0por H0.

3.7 clasificacin de los medios

Los parmetros gen y describen, desde el punto de vista macroscpico, la ma-teria bajo la aproximacin de linealidad. Consideraremos que los medios son nomagnticos por lo que la permeabilidad magntica resulta 0. En funcin delo que valgan la conductividad y la constante dielctrica generalizada tendremosdiversos tipos de materiales, que etiquetamos con los siguientes nombres conven-cionales :

conductores 6= 0, dielctricos = 0 (no tienen cargas libres).istropo gen escalar, anistropo gen es un tensor.

inhomogneo gen es funcin de la posicin gen (r). Si no, el medio es homo-gneo.


3.8 relaciones energticas 63

dispersivo gen es funcin de la frecuencia gen (). Si no es as, el medio esno dispersivo.

Transparente gen R. Absorbente si gen C.

3.8 relaciones energticas

De igual forma como hicimos para el caso del vaco, ahora derivaremos las rela-ciones energticas que suceden en el caso de la propagacin de las ondas electro-magnticas para el caso en que ests sucedan en medios materiales. Segn la teoraelectromagntica, la energa transportada por un campo elctrico, E, al propagarsepor un medio caracterizado por su constante dielctrica y en un instante dadoque se localiza en un elemento de volumen dV es

dWE =12

E D dV. (3.57)

De igual forma, en este mismo volumen, caracterizado magnticamente por su per-meabilidad magntica , la induccin magntica B tambin transporta una energaque resulta ser

dWB =12

H B dV. (3.58)Como consecuencia, la energa total dW, localizada en dicho elemento de volumenresulta

dW =12

(E2 + H2

)dV, (3.59)

siendo la energa total en un volumen finito V, cerrado por una superficie S

W =12

V

(E2 + H2

)dV. (3.60)

Para ver cmo vara la energa dentro del volumen V con el tiempo, bastar estu-diar la derivada temporal.

dWdt

=12

V

t

(E2 + H2

)dV =

V

(EE + HH

)dV =

V

(ED + HB

)dV

(3.61)donde el punto sobre los vectores indica su derivada respecto al tiempo. Estasderivadas temporales se pueden eliminar mediante las ecuaciones de Maxwell,resultando entonces

E D = E (H jlib) , (3.62)H B = H ( E) . (3.63)

Sustituyendo en dW/dt y teniendo en cuenta que E (H)H ( E) = (E H)se obtiene

dWdt

=

jlib EdV (E H) dV, (3.64)

y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss al segundo sumando obtenemos

dWdt

=

Vjlib EdV

S

(E H) dS. (3.65)


64 ondas electromagnticas en medios materiales

donde dS es un vector normal al elemento de superficie dS y dirigido hacia elexterior. Esta ecuacin es la generalizacin del denomina teorema de Poynting paramedios materiales. Como en el caso del vaco, el primer trmino es la cantidad deenerga almacenada en el volumen V. El segundo trmino indica que parte de estaenerga se transforma en calor debido al efecto Joule. El ltimo trmino indica queparte de la energa electromagntica almacenada se escapa a travs de las paredesque rodean volumen. Esto nos da idea que una onda transporta energa en supropagacin. Es necesario cuantificar la energa que una onda transporta. Para ellose define el vector de Poynting para medios materiales como

S E H, (3.66)

donde [S] = W/m2. El vector de Poynting describe un flujo de energa (energapor unidad de tiempo y superficie), y coincide con la magnitud irradiancia de laptica geomtrica.

Para el caso del promedio temporal para ondas armnicas resulta que el vectorde Poynting es

S (r, t) = 12< {E (r, t) H (r, t)} . (3.67)

Recordamos que para ondas no armnicas, no es posible obtener una expresinexplcita. Al particularizar la expresin hallada para la onda armnica plana

S = 12> z0 la anchura crece de forma lineal

(z) 0 zz0 . (B.24)

b.2.4 Radio de curvatura y frente de ondas

Segn (B.12) tambin hemos definido el radio de curvatura

R(z) = z

[1+

(zz0

)2], (B.25)

y el trmino complejo del resulta exp(

ikz + ik 2

2R(z) i(z))

. Est claro que R(z)acta como un radio de curvatura ya que la versin cuadrtica de un frente de

ondas esfricos exp (ikr) tiene la forma exp(

ik 2

2z

).

El radio de curvatura mnimo sucede para z = z0, resultando ser Rmn = 2z0.Dada la amplitud de la onda Gaussiana vista en (B.14), tenemos que la fase tienela forma

(, z) = kz + k2

2R(z) (z), (B.26)

la cual se visualiza en Fig. B.7

En la posicin de la cintura el haz tiene un frente de ondas plano aumentandosu curvatura a medida que aumenta z. La mxima curvatura ha sido calculada enresulta como hemos visto en z = z0 y a partir de este momento vuelve a decre-cer hasta convertirse en una onda cuasiplana para distancias mucho mayores alrango de Rayleigh.


90 haces de gauss

Figura B.7: Frentes de fase constante.

Figura B.8: Divergencia de haces con diferentes anchura de haz.

b.2.5 Divergencia

Para distancias muy grandes respecto del rango de Rayleigh z >> z0 podemosdefinir la divergencia del haz como la relacin entre la anchura de la cintura y ladistancia de Rayleigh, que viene dada por (B.24)

(z) 0z0

z = 0z. (B.27)

Considerando la definicin del rango de Rayleigh (B.15) obtenemos que

0 =1pi

0. (B.28)

Esto significa que la relacin

00 =

pi. (B.29)

es una constante. Es decir, cuanto ms estrecho es la cintura del haz, ms divergeen campo lejano.

b.2.6 Profundidad de foco

El haz tiene su mnimo en z = 0 y a medida que nos separamos de esta posicinel haz gradualmente aumenta su anchura. La distancia axial a la cual el radio delhaz aumenta un factor

2 respecto de su mnimo se denomina profundidad de


B.3 haces hermite-gauss 91

Figura B.9: Parmetro de Rayleigh.

foco. Considerando (B.12) se puede ver que dicha distancia es igual al doble de ladistancia de Rayleigh

2z0 =2pi20

. (B.30)

b.3 haces hermite-gauss

Los haces gaussianos no son la nica solucin en forma de haz de la ecuacinparaxial de Helmholtz. Existen otras muchas soluciones, de las cuales, los haces confrentes de onda parablicos son de particular importancia. puesto que se ajustana los espejos esfricos con gran radio y, por ello, pueden ser reflejados por los dosespejos esfricos que forman un resonador sin ser alterados. Dicha ondas que seauto-reproducen se denominan modos del resonador, y pueden ser los haces desalida de los lseres.

Supongamos un haz Gaussiano con envolvente compleja

A(x, y, z) = X(

2x

(z)

)Y(

2x

(z)

)exp[iZ(z)]AG(x, y, z). (B.31)

donde AG(x, y, z) =A1

q(z) exp[ik x

2+y2

2q(z)

]es un haz gaussiano. Al introducir esta so-

lucin en la ecuacin de Helmholtz paraxial

1X

(2Xu2 2uX

u

)+

1Y

(2Yv2 2vY

v

)+ k2(z)

Sz

= 0. (B.32)

que solamente puede cumplirse de forma general cuando todos los sumandos seanulan. Esto da lugar a resolver tres ecuaciones diferenciales

12 2Xu2 + u

Xu = 1X,

12 2Yv2 + v

Yv = 2X,

z0[1+ (z/z0)

2]Sz = 1 + 2.

(B.33)

Estas ecuaciones representan un problema de autovalores. La solucin de las dosprimeras son los autovalores 1 = l con l = 0, 1, 2... y 2 = m con m = 0, 1, 2... ycuyas autofunciones son los polinomios de Hermite X(u) = Hl(u) y Y(v) = Hm(v)que presentan la siguiente relacin de recurrencia

Hl+1(u) = 2uHl(u) 2lHl1(u). (B.34)


92 haces de gauss

Figura B.10: Funciones de Hermite-Gauss.

Figura B.11: Distribucin de intensidad de varios haces Hermite-Gauss de bajo orden en elplano transverso.

con H0(u) = 1 y H1(u) = 2u. De igual forma la tercera solucin resulta

S(z) = (l + m)(z). (B.35)

siendo (z) = arctan1(z/z0) la fase de Golay. Por consiguiente, una solucinvlida de la ecuacin de Helmoltz resulta ser

Ul,m(x, y, z) = Al,m0(z)

Gl

[2x

(z)

]Gm

[2y

(z)

]

exp[

ikz + ikx2 + y2

2R(z)+ i(l + m + 1)(z)

]. (B.36)

donde Gl(u) = Hl(u)exp(u2/2), con l = 0, 1, ... se denomina funcin de Hermit-Gauss. Algunas de ellas se representan en la Fig. B.10.

Finalmente, la intensidad de estos modos resulta ser

Il,m(x, y, z) =Al,m2 ( 0(z)

)2G2l

[2x

(z)

]G2m

[2y

(z)

]. (B.37)

y se representa en la Fig. B.11.

Los haces Hermite-Gauss forman un conjunto completo de soluciones de la ecua-cin de Helmholtz paraxial. Cualquier otra solucin se puede escribir como unasuperposicin de estos haces. Esta familia de soluciones no es la nica. Existenotros conjuntos completos de soluciones tal como los Haces Laguerre-Gauss quese obtiene escribiendo la ecuacin paraxial de Helmholtz en coordenadas cilndri-cas.


B.4 haces de bessel 93

Figura B.12: Distribucin de intensidad de un haz de Bessel en el plano transverso, que semuestra independiente de z.

b.4 haces de bessel

Otra posibilidad que se puede examinar es la de haces cuyo frente de ondases plano pero que no tienen una distribucin de intensidad uniforme en el planotransverso. Este tipo de haces tienen la siguiente distribucin de amplitud compleja

U(r) = A(x, y)eiz. (B.38)

Introduciendo esta solucin en la ecuacin de Helmholtz resulta que A(x, y) debecumplir la siguiente expresin

2T A + k2T A = 0. (B.39)

donde k2T = k2 2. Esta ecuacin se puede resolver mediante el mtodo de se-

paracin de variables. Utilizando coordenadas polares, x = cos , y = sin ,resulta

A(x, y) = Am Jm(kT)eim. (B.40)

donde Jm(x) es la funcin de Bessel de primera clase y orden m y Am es unaconstante. Para el orden m = 0 la solucin a esta onda resulta

U(r) = A0 J0(kT)eiz. (B.41)

Por consiguiente este haz tiene un frente de ondas plano y la intensidad es circu-larmente simtrica. Este haz se denomina haz de Bessel.

bibliografa del tema

Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich Fundamentals of Photonics 2 edicinISBN: 978-0-471-35832-9


94 haces de gauss

Figura B.13: Comparacin de la distribucin radial de intensidad de un haz de Gauss y unhaz de Bessel. Los parmetros elegidos son tales que la intensidad en el pico yla anchuras 1/e2 son iguales en ambos casos


B I B L I O G R A F A

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95


N D I C E A L FA B T I C O

tomo de Lorentz, 39

Beam Propagation Method, 34

campo elctrico macroscpico, 57campo magntico, 59conductividad elctrica, 60constante dielctrica, 61constante dielctrica generalizada, 62

densidad de energa espectral, 51desplazamiento elctrico, 59

ecuacin de continuidad, 3efecto Joule, 18elipse de polarizacin, 26espectro de frecuencias para dipolo,

51

fase, 9Finite Difference Time Domain, 34frecuencia de resonancia, 41frente de ondas, 10fuerza de Lorentz, 3

irradiancia, 20, 64

Longitud de onda, 14luz linealmente polarizada, 27luz natural, 28

magnetizacin, 59medio pticamente denso, 55

Onda Esfrica, 6Ondas armnicas, 8ondas planas, 7

permeabilidad magntica, 3, 61permitividad elctrica, 3plano de polarizacin, 25polarizacin, 58polarizacin circular, 28polarizacin elptica, 28polarizacin lineal, 26potencia esparcida, 52potencia extrada, 45

representacin compleja, 9

seccin eficaz de extincin, 47

seccin eficaz de scattering, 52seccin eficaz de una carga libre, 52susceptibilidad elctrica, 60susceptibilidad magntica, 60

teorema de Poynting, 18

vector de ondas, 8vector de Poynting para medios materia-

les, 64

zona de ondas, 48

97


N O M E N C L AT U R A

e susceptibilidad elctrica

m susceptibilidad magntica

Longitud de ondas

Pe potencia extradaD desplazamiento elctrico

H campo magntico

M magnetizacin

P polarizacin

B Induccin magntica

E campo elctrico

Emac campo elctrico macroscpico

j Corriente de carga elctrica

permeabilidad magntica

0 permeabilidad magntica

0 frecuencia de resonancia

Densidad de carga elctrica

conductividad elctrica

e seccin eficaz de extincin

s() seccin eficaz de scattering

T() seccin eficaz una carga libre

constante dielctrica

0 permitividad elctrica

gen constante dielctrica generalizada

e carga del electrn

E espectro de frecuencias para emisin dipolar

J() densidad de energa espectral

me masa del electrn

99


PortadaResumen1 Ondas electromagnticas en el vaco1.1 Ecuaciones de Maxwell1.1.1 Ondas electromagnticas en el vaco1.1.2 Caractersticas de la luz 1.1.3 Algunas soluciones sencillas a las ecuaciones de Maxwell1.1.4 Ondas armnicas1.1.5 Representacin compleja1.1.6 Frentes de onda 1.1.7 Ecuacin de Helmholtz1.1.8 Ondas armnicas planas1.1.9 Velocidad de fase1.1.10 Coherencia

1.2 Energa de las ondas electromagnticas 1.2.1 La luz como fuente de energa1.2.2 Vector de Poynting1.2.3 Vector de Poynting para una onda armnica plana1.2.4 Promedio temporal del vector de Poynting

1.3 Polarizacin de las ondas armnicas planas1.3.1 Polarizacin en la vida cotidiana1.3.2 Polarizacin en ondas armnicas planas1.3.3 Estados de polarizacin1.3.4 Caracterizacin de los estados de polarizacin: representacin de Jones1.3.5 Elementos modificadores de la polarizacin: polarizadores1.3.6 Ley de Malus1.3.7 Complemento: Otros tipos de ondas1.3.8 Complemento: Mtodos numricos1.3.9 Complemento: Cronologa de la polarizacin1.3.10 Complemento: caracterizacin de la elipse de polarizacin1.3.11 Complemento: lgebra de polarizacin

2 Interaccin luz materia: modelo microscpico clsico2.1 Modelo de materia: tomo de Lorentz2.1.1 Fuerzas sobre las cargas2.1.2 Ecuacin de movimiento de las cargas2.1.3 Solucin para la carga ligada2.1.4 Solucin para la carga libre

2.2 Absorcin de la luz por la materia2.2.1 Potencia extrada y esparcida

2.3 Generacin de luz por la materia2.3.1 Radiacin dipolar2.3.2 Carga oscilante2.3.3 Emisin de un oscilador amortiguado2.3.4 Potencia reemitida

3 Ondas electromagnticas en medios materiales3.1 Introduccin3.2 Medios pticamente densos: el continuo ptico3.3 Promedio espacial de las ecuaciones de Maxwell3.3.1 Polarizacin y magnetizacin

3.4 Vectores D y H3.5 Relaciones de constitucin lineales3.6 Ecuaciones de Maxwell macroscpicas para ondas armnicas3.7 Clasificacin de los medios3.8 Relaciones energticas

A Breve historia de la pticaA.1 La ptica en la antigedadA.1.1 Primeros componentes pticosA.1.2 Modelos de visin

A.2 La Edad MediaA.3 El renacimientoA.4 Teora ondulatoriaA.5 Ondas electromagnticasA.5.1 La velocidad de la luzA.5.2 Avances tecnolgicos

A.6 Siglo XXA.7 Hitos de la ptica

B Haces de GaussB.1 Aproximacin de amplitud lentamente variableB.2 Propiedades de los haces gaussianosB.2.1 IntensidadB.2.2 PotenciaB.2.3 Anchura del hazB.2.4 Radio de curvatura y frente de ondasB.2.5 DivergenciaB.2.6 Profundidad de foco

B.3 Haces Hermite-GaussB.4 Haces de Bessel

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Apuntes de Óptica. Luís Miguel Sánchez Brea