Apuntes Lógica - Enrique Alvarez.pdf

7/18/2019 Apuntes Lógica - Enrique Alvarez.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-logica-enrique-alvarezpdf 1/118

Logica

Enrique Alvarez Fontecilla

[email protected]



Indice general

1. Breve introduccion a la logica 1

1.1. Que es y en que consiste la logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Las proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Argumentos correctos e incorrectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Lenguaje natural y paradojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Las proposiciones 18

2.1. Propiedades de las proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Inferencias inmediatas 30

3.1. Sobre la inferencia y sus tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Proposiciones canonicas y notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. Axiomas de correccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1. Axioma de la cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2. Axioma de la particularidad I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.3. Axioma del vınculo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.4. Subalternacion y el axioma del vınculo laxo . . . . . . . . . . . . . 36

ii



INDICE GENERAL iii

3.4. Relaciones de oposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5. Transformaciones proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4. Inferencias mediatas 51

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2. Reglas de formacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3. Silogismos de terminos definidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.1. Axiomas de correccion para silogismos de terminos definidos . . . . 54

4.3.2. Lista de los silogismos de terminos definidos . . . . . . . . . . . . . 55

4.4. Importe existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5. Axiomas de correccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5.1. Axioma de la particularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5.2. Axioma del vınculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6. Silogismos de terminos indefinidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.6.1. Derivacion estricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6.2. Derivacion laxa o no estricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.7. Arboles de Gentzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.7.1. Reglas del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7.2. Ejemplos y observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A. Diagrama de las transformaciones proposicionales 88

B. Listado de todos los silogismos validos 90

B.1. Listado de silogismos validos en sentido estricto . . . . . . . . . . . . . . . 90

B.1.1. Primera figura directa, sub -prae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

c2014 Enrique Alvarez



iv INDICE GENERAL

B.1.2. Segunda figura directa, prae -prae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

B.1.3. Tercera figura directa, sub-sub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

B.1.4. Cuarta figura directa, prae -sub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

B.1.5. Primera figura indirecta, sub -prae . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B.1.6. Segunda figura indirecta, prae -prae . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B.1.7. Tercera figura indirecta, sub-sub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

B.1.8. Cuarta figura indirecta, prae -sub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B.2. Listado de silogismos validos en sentido laxo . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

B.2.1. Primera figura directa, sub -prae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

B.2.2. Segunda figura directa, prae -prae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

B.2.3. Tercera figura directa, sub-sub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

B.2.4. Cuarta figura directa, prae -sub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B.2.5. Primera figura indirecta, sub -prae . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

B.2.6. Segunda figura indirecta, prae -prae . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

B.2.7. Tercera figura indirecta, sub-sub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B.2.8. Cuarta figura indirecta, prae -sub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111



Prefacio

Si bien una parte de los contenidos de este apunte puede ser encontrada f acilmente enotros textos de logica aristotelica, una parte importante no, motivo por el cual se llamaal alumno a contar con una copia impresa de este documento para que tome apuntessobre ella.

Los contenidos de este apunte estan basados principalmente en la publicacion Syllogis-tic with Indefinite Terms 1, en el trabajo todavıa no publicado Conversion and Opposition of Categorical Propositions, Traditional and Theoretical Formulations 2, y en el libro La l´ ogica de Arist´ oteles. Lecciones sobre el origen del pensamiento l´ ogico en la antig¨ uedad 3.

Cualquier observacion sobre este documento, pro mejora de su contenido y calidad,sera absolutamente bienvenida.

Enrique AlvarezFebrero 2014

1

Alvarez, E. y Correia, M., “Syllogistic with Indefinite Terms”, History and Philosophy of Logic, vol.33, no. 4, pp. 297-306, 2012 (http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01445340.2012.680704).2En revision, Logica Universalis.3Correia, M., La logica de Aristoteles. Lecciones sobre el origen del pensamiento logico en la an-

tiguedad. Ediciones Universidad Catolica de Chile, Santiago de Chile 2003.

v



vi INDICE GENERAL



Capıtulo 1

Breve introduccion a la logica

1.1. Que es y en que consiste la logica

La palabra “logica” viene del griego “logos”(λoγ oς ), que significa razon, argumento,palabra, pensamiento y discurso, entre otras cosas. La logica es la ciencia del argumento,la ciencia de la consistencia y de las suposiciones, ciencia de la verdad formal, instru-mento de la verdad, teorıa de la demostracion, ciencia de la prueba que acompana a todoacto intelectual, arte de sacar conclusiones. En palabras de la Real Academia Espanola,

es la ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento cientıfico. En termi-nos menos formales, la logica es la ciencia que trata de distinguir los argumentos malosde los buenos (o incorrectos de los correctos), y su estudio considera la consistencia delos argumentos, que es la compatibilidad que hay entre las oraciones y expresiones quelo conforman. Es de fundamental importancia notar que en ninguna de las definicionesanteriores se habla de la verdad o falsedad de las expresiones que componen un argu-mento, mientras que sı se habla de su consistencia y de la nocion correcto/incorrecto.Esta distincion es muy importante para entender bien cual es el campo de accion de lalogica. La logica se refiere a la estructura de los argumentos y no a su materia y forma, demanera que no es relevante el tema que se trate ni la retorica, y lo unico que interesa esla estructura de los argumentos. Tomemos como ejemplo la expresion “El petroleo flota

en el agua”. A la logica le interesa la compatibilidad de esta oracion con otras oracionesy no la verdad o falsedad de la expresion (i.e., si es que el petroleo efectivamente flotaen el agua o no). Esto ultimo es tema de interes de la rama de la ciencia que estudia elfenomeno en cuestion.

1



2 CAPITULO 1. BREVE INTRODUCCION A LA LOGICA

En el presente texto se aborda principalmente la logica aristotelica, que corresponde ala logica de Aristoteles desarrollada en sus escritos logicos Categorıas , de Interpretatione ,Primeros Analıticos , Analıticos Posteriores , T´ opicos y Refutaciones Sofısticas mas eltrabajo y los avances que se han hecho sobre ella a lo largo de la historia. Cabe mencionarque logicas hay muchas, algunas de las cuales introducen el uso de modos (“Es necesarioque ...”, “Es posible que ...”), otras tri-valentes que admiten un tercer valor de verdaddistinto de verdadero y falso, otras multi-valentes que admiten mas valores de verdadtodavıa, otras paraconsistentes que permiten la existencia de contradicciones, y ası ellistado sigue. En este texto no estudiaremos logicas avanzadas ni complejas, solamentenos remitiremos al estudio de los argumentos simples y recurriremos a herramientas masavanzadas en la medida que esto sea necesario.

1.2. Las proposiciones

La logica trata sobre el estudio de los argumentos, y un argumento corresponde aun conjunto de una o mas expresiones susceptibles de ser verdaderas o falsas. Estasexpresiones se denominan proposiciones, y es importante tener claras dos cosas respectoa ellas1. La primera es que deben ser capaces de adoptar algun valor de verdad, porlo tanto la pregunta “¿Es verdad que - expresion a evaluar -? ” debe tener sentido2.La segunda es que es lo que realmente expresa una proposicion, que corresponde a unarelacion entre el sujeto y el predicado que la componen, independientemente de c omo

esta se encuentra expresada.

Para ilustrar el primer punto tomemos la expresion “La silla de mimbre”. Para deter-minar si es que esta expresion es o no una proposicion debemos evaluar si la pregunta¿Es verdad que la silla de mimbre? ” tiene sentido, cosa que no tiene, ya que simplementese trata de una frase. Ademas, cabe notar que la frase “La silla de mimbre” no cuentacon un verbo que relacione al sujeto con el predicado (que por lo demas, tampoco tiene).Si bien este simple metodo de prueba pareciera funcionar bien para determinar si unaexpresion dada es o no una proposicion, en realidad no funciona bien con expresiones quecontienen verbos tales como saber, entender, pensar, conocer, creer, entre otros, ya quesi bien la pregunta “¿Es vedad que Juan cree que su senora le es infiel con el jardinero desu mejor amiga?” tiene sentido, no podemos elaborar argumentos con dichas expresiones.

1En esta seccion este tema es tratado de manera apenas tangencial. En el Capıtulo 2 se retomara estetema y sera estudiado con mayor profundidad.

2Esto no constituye un metodo de prueba formal, sino mas bien un metodo intuitivo lo suficientementeutil para los propositos de este apunte.



1.3. ARGUMENTOS CORRECTOS E INCORRECTOS 3

Consideremos el siguiente ejemplo: “Juan cree que su senora le es infiel con el jardinerode su mejor amiga”, “El jardinero de la mejor amiga de la senora de Juan es SebastianRomero”, entonces “Juan cree que su senora le es infiel con Sebastian Romero”. Es claroque la conclusion recien presentada no se sigue de las expresiones que la anteceden, yaque no se puede dar por hecho que Juan conoce la identidad del jardinero de la mejoramiga de su senora.

El segundo punto enunciado se refiere a que si bien una misma relacion entre definicio-nes puede ser escrita o expresada de maneras distintas, lo relevante es la relacion entredefiniciones que estas distintas expresiones representan. Por ejemplo, sin importar comoescribamos la proposicion “Algun humano es alto”, que puede ser re-expresada como

“Existe algun objeto, animal o cosa que tiene la propiedad de ser humano y de ser alto”,“Some human are tall”, “Algun alto no es no-humano”, “Algun alto es humano”, etcete-ra, lo relevante es aquello que todas estas expresiones representan, y no sus respectivasformas a traves de las cuales la esencia de la proposicion es transmitida.

1.3. Argumentos correctos e incorrectos

Un argumento corresponde a un conjunto de una o mas expresiones susceptibles deser verdaderas o falsas. La ultima de este conjunto se denomina conclusion, mientras queel resto de las expresiones antecedentes se denominan premisas. La extension mınima deun argumento es de una sola expresion (solo una conclusion), mientras que la extensionmaxima no tiene lımite. Comunmente los argumentos son representados haciendo unlistado de las premisas y poniendo al final, separada por una lınea, la conclusion, talcomo se muestra a continuacion

Premisa1...

Premisan

n premisas

Conclusion

Un argumento es considerado un mal argumento cuando, suponiendo como verdaderas

las premisas, la conclusion no es necesariamente verdadera, mientras que un buen argu-mento es aquel en que, considerando como verdaderas las premisas, es imposible que laconclusion no lo sea. Dicho de otra forma, un argumento es correcto si es que para todoslos casos donde sus premisas son verdaderas, la conclusion no puede ser falsa.





A modo de ejemplo, consideremos los siguientes argumentos:

1. Si llueve, entonces me mojoLlueveMe mojo

2. Todo dinosaurio es contemporaneoTodo contemporaneo es herbıvoroTodo dinosaurio es herbıvoro

3. Todo canino es cuadrupedo

Algun canino es un animal domesticoAlgun animal domestico es cuadrupedo

4. Todo s es pJohn es sJohn es p

5. Si estudio, sere mas inteligenteNo puede ser que estudie y no me haga mas inteligente

6. Algun no-pajaro no es voladorAlgun no-volador no es pajaro

7. Lucas dormira o saldra a la calleLucas dormiraLucas no saldra a la calle

8. Marıa pagara si y solo si recibe el productoMarıa recibe el productoMarıa no pagara

9. Algun musico es alemanAlgun nazi es musicoAlgun nazi es aleman

10. La barracuda es castorLa barracuda no es castorGerman gusta de la buena mesa




11.Dios existe o no existe

De los argumentos recien expuestos el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 y 11 son correctos, mientrasque los argumentos 7, 8 y 9 no lo son. En el argumento 1, suponiendo verdaderas laspremisas, es claro que si llueve entonces tengo que mojarme (debido a la relaci on deconsecuencia que hemos aceptado al tomar como verdadera la primera premisa), por lotanto es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusi on falsa. En el argumento2, asumiendo como verdaderas las premisas, se declara que todos los dinosaurios soncontemporaneos, en otras palabras, que el conjunto de los dinosaurios es un subconjuntodel conjunto de lo que es contemporaneo (lo que no quiere decir necesariamente que todo

lo que es contemporaneo es dinosaurio), y luego se afirma que el conjunto de lo que escontemporaneo es subconjunto del conjunto de los herbıvoros, lo que quiere decir, dadala primera premisa, que el conjunto de los dinosaurios es un subconjunto del conjuntode los herbıvoros, que corresponde justamente a la conclusion. Una manera intuitivade corroborar la validez de este argumento es utilizando diagramas de Venn, que sonilustraciones usadas para mostrar graficamente la relacion entre conjuntos. Los conjuntosde un diagrama de Venn son representados mediante cırculos, y generalmente con unrectangulo se delimita el universo (U ) al cual estos conjuntos pertenecen. En la figura 1.1se ilustra el argumento 2 para cuatro interpretaciones distintas, donde el conjunto de losdinosaurios se representa con la letra d, el de las cosas contemporaneas con la letra c, elde los herbıvoros con la letra h y el universo con la letra U . Queda a la vista que en las

cuatro interpretaciones ilustradas todos los elementos que pertenecen al conjunto de losdinosaurios tambien pertenecen al conjunto de los herbıvoros.

Una observacion importante que debe hacerse con respecto al ultimo ejemplo es quesi bien se trata de un argumento correcto, es evidente que la conclusion es falsa, lo quequiere decir que la falsedad de la conclusion y la validez del argumento no son excluyen-tes. Siguiendo la misma lınea del segundo ejemplo, se puede mostrar facilmente que losargumentos 3 y 4 tambien son correctos, pero en este caso son dos puntos distintos losque se intenta ilustrar: el primero es que en el argumento 3, a diferencia del argumento2, la conclusion es verdadera, y el segundo es que en el argumento 4, a diferencia delos argumentos 2 y 3, se utiliza una mezcla de sımbolos y palabras en vez de palabrasunicamente, enfatizando que lo importante para determinar la validez o invalidez de un

argumento no es el significado de los terminos, sino la estructura sintactica de las expre-siones que componen el argumento. En las figuras 1.2 y 1.3 se ilustran, mediante el uso dediagramas de Venn, distintas interpretaciones de los argumentos 3 y 4, respectivamente.Con un punto se indica el individuo que muestra la validez del argumento.





U

d

c

h

d

c,h d,c

h

d,c,h

U U U

Figura 1.1: Diagramas de Venn de cuatro posibles interpretaciones de las relaciones entreconjuntos establecidas en el argumento 2. El conjunto de los dinosaurios se representacon la letra d, el de las cosas contemporaneas con la letra c y el de los herbıvoros conla letra h. Se puede ver que d se encuentra siempre contenido en h debido a que se

encuentra contenido en c, que corresponde a un subconjunto de h.

U

a

c p

ac,p

a

c

pc

p,a

U U U

Figura 1.2: Cuatro posibles ilustraciones del argumento 3. El conjunto de los caninos se

representa con la letra p, el de los cuadrupedos con la letra c y el de los animales domesti-cos con la letra a. Se destaca en todos los casos un individuo que cumple con pertenecera los conjuntos a y c, que corresponde justamente a aquel que ademas pertenece a p.

U

s

p

U

s,p

John John

Figura 1.3: Dos posibles ilustraciones del argumento 4. En los diagramas John se en-cuentra representado por un punto, el cual pertenece a p debido a que pertenece a s, quecorresponde a un subconjunto de p.




U

v p v

p

v p

p,v

U U U

Figura 1.4: Cuatro posibles ilustraciones del argumento 6. El conjunto de los pajaros serepresenta con la letra p y el de los voladores con la letra v . Con un punto se representael individuo que muestra la validez del argumento.

El argumento 5 es muy similar al argumento 1, ya que en las premisas se estableceuna relacion de consecuencia entre “estudiar” y “ser mas inteligente”. Habiendo aceptadocomo verdadera la premisa, lo que no puede ocurrir es que uno estudie y uno no se hagamas inteligente, por lo tanto la conclusion es verdadera y el argumento es correcto. Sibien este ejemplo parece poco importante, en realidad sı es relevante lo que quiere decir,y es que si la proposicion “Si p entonces q ” es verdadera, entonces “Es falso que p y no-q ”tambien lo es. Por ultimo, dentro del grupo de argumentos correctos mas normales3, seencuentra el argumento 6, que a diferencia de todos ejemplos examinados hasta ahoracuenta con terminos indefinidos (“no-pajaro” y “no-volador”). Es relativamente facil verque si algun no-pajaro no es volador, es decir, alguna cosa que no es p ajaro no vuela,entonces alguna cosa no voladora es un no-pajaro, o dicho de otra forma, alguna cosa novoladora no es un pajaro. En la figura 1.4 se ilustra este argumento.

Para demostrar que un argumento no es correcto basta con encontrar un caso en elque las premisas sean verdaderas y la conclusion falsa4. Bajo este punto de vista, elargumento 7 claramente no es correcto, ya que puede darse el caso en que Lucas salga adormir a la calle, luego ambas premisas serıan verdaderas y la conclusion falsa. Distintoserıa el caso en que la disyuncion utilizada en la primera premisa fuese exclusiva, esdecir, que solo admitiese como verdadera una de las dos proposiciones y no las dos ala vez. En el argumento 8, al aceptar como verdadera la primera premisa, lo que seesta haciendo es admitir que si Marıa paga entonces recibira su producto, y que si Marıa

3Esta distincion no es por ningun motivo formal, solo busca distinguir los primeros siete argumentosde los ultimos dos.

4Notar que esto es equivalente a encontrar un caso donde las premisas y la negacion de la conclusionson verdaderas.





U

a

m n

Figura 1.5: Argumento 9. El conjunto de los musicos se representa con la letra m, el delos alemanes con la letra a y el de los nazis con la letra n. Se puede ver que dadas laspremisas no es necesario que haya un nazi aleman.

recibe su producto entonces Marıa pagara, es decir, las proposiciones “Marıa pagara”y “Marıa recibira su producto” son equivalentes en valor de verdad (o pasan las dos ono pasa ninguna). Luego, segun la segunda premisa Marıa recibe su producto, entonceses imposible que no pague dado que la primera premisa fue aceptada como verdadera.El argumento 9, cuya conclusion es verdadera, puede mostrarse incorrecto al considerarel caso en que no hayan alemanes nazis, situaci on que no contradice en absoluto conninguna de las dos premisas. En la figura 1.5 se ilustra la situacion recien descrita.

Los ultimos dos argumentos corresponden a casos excepcionales de argumentos correc-tos, ya que el primero de ellos simplemente es correcto porque el grupo de las premisas no

es consistente5

, y por ende no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusi onfalsa. El argumento 11, en vez, simplemente es correcto porque su conclusion es siempreverdadera.

Un concepto recurrente con el que nos toparemos en el estudio de la logica es el deconsistencia l´ ogica , debido a la estrecha relacion que tiene con la validez de los argu-mentos. Un conjunto de proposiciones se dice consistente o satisfactible si es que todaslas proposiciones que lo componen pueden ser verdaderas. Por ejemplo, si tomamos elconjunto de proposiciones compuesto por todos los pensamientos de Mahatma Ghandi yAdolf Hitler, probablemente estemos en presencia de un conjunto inconsistente de propo-siciones. Por lo tanto, podemos definir un argumento correcto como aquel cuyo conjuntocontraejemplo, que consiste en el conjunto de proposiciones compuesto por las premisas

del argumento y la negacion de la conclusion, es inconsistente, es decir, como aquel ar-5Por consistencia se entiende que todas las premisas del conjunto puedan ser verdaderas a la vez. Es

evidente en el ejemplo bajo analisis, donde las premisas son contradictorias, que esta condicion no secumple.



1.4. LENGUAJE NATURAL Y PARADOJAS 9

gumento que no permite una conclusion falsa a partir de premisas verdaderas. Tomemoslos argumentos 1 y 8 y veamos que ocurre con sus respectivos conjuntos contraejemplo.El conjunto contraejemplo del argumento 1 esta dado por las proposiciones (i) “Si llueve,entonces me mojo”, (ii) “Llueve” y (iii) “No me mojo”, el que claramente es inconsis-tente, debido a que si (i) y (ii) son verdaderas, (iii) es necesariamente falsa (luego, elargumento es correcto). El conjunto contraejemplo del argumento 8 esta compuesto por(i) “Marıa pagara si y solo si recibe el producto”, (ii) “Marıa recibe el producto” y (iii)“Marıa pagara”. Claramente este conjunto es consistente, debido a que si (i) y (ii) sonverdaderas, (iii) es necesariamente verdadera, por lo tanto el argumento es incorrecto.

Mas adelante desarrollaremos herramientas para determinar de manera mas precisa

cuando un argumento es correcto/incorrecto o cuando un conjunto de proposiciones esconsistente/inconsistente. Por ahora es conveniente entender estos conceptos en el planointuitivo y ayudarse con diagramas de Venn de ser necesario.

1.4. Lenguaje natural y paradojas

Como fue mencionado previamente, al tratarse con argumentos validos o invalidos lounico importante es la relacion que se establece entre los terminos que lo componen, esdecir, la estructura sintactica de las expresiones que componen el argumento. Por estemotivo el uso de letras o sımbolos en vez de nombres suele ser muy conveniente, y, comoveremos mas adelante, la formalizacion simbolica del lenguaje es fundamental para evitarparadojas, que corresponden a ambiguedades en los valores de verdad de las premisas.Para ilustrar los problemas que puede traer el uso de un lenguaje no formal consideremoslas siguientes frases, definiciones y oraciones paradojicas expresadas en lenguaje natural:

1. “Esta oracion es falsa”.

2. A: “El enunciado B es falso” y B: “El enunciado A es verdadero”.

3. “Un dıa de la proxima semana les voy a hacer una interrogacion, y les aseguro queel dıa que se las haga van a estar sorprendidos”.

4. “El primer numero natural que no se puede definir”

5. “El menor entero positivo que no se puede definir con menos de 15 palabras.”

6. “Esta oracion tiene seis palabras”.“Esta oracion no tiene seis palabras”.





En los primeros dos casos la paradoja es evidente, ya que asumir como verdaderasdichas premisas implica asumirlas, a la vez, como falsas. Para entender lo parad ojicodel tercer caso, supongamos que la prueba sorpresa sera el viernes, de ser ası, nadiese sorprenderıa con la fecha de la prueba ya que luego del jueves todos sabrıan que laprueba solo puede ser el dıa restante de la semana, es decir, el viernes. Por lo tanto laprueba no puede ser el viernes, ya que no serıa sorpresa y la premisa no serıa verdadera.Supongamos entonces que la prueba es el jueves (ya que no puede ser el viernes por elmotivo recien expuesto), de ser ası, nuevamente nadie se sorprenderıa con la fecha dela prueba ya que luego del miercoles todos sabrıan que la prueba es el jueves. De estamanera se pueden descartar todos los dıas de la semana, llegando a la conclusion de quela premisa no puede ser verdadera, ya que independientemente del dıa de la semana que

se haga la interrogacion, no sera sorprendente. Sin embargo, si es que la evaluacion fuesehecha sin previo aviso el martes, probablemente todos se sorprenderıan.

La paradoja en el cuarto ejemplo tambien es evidente, ya que lo que se hace es definiralgo que por definicion no es definible. El quinto ejemplo es similar, en cuanto se esta de-finiendo con 14 palabras un numero que por definicion no es definible con menos de 15palabras. Tomando en cuenta que el numero de frases que se pueden formar con menosde quince palabras es finito, y considerando particularmente solo aquellas que describennumeros enteros positivos6, conjunto que tambien es finito (y por ende no contiene atodos los numeros enteros positivos), es logico pensar que dentro de todos los numerosenteros positivos que quedan fuera de este conjunto haya uno menor a todos, pero sudefinicion es paradojica en cuanto a que dicho numero pertenece tanto al conjunto de

numeros que sı se pueden definir con menos de 15 palabras (ya que esta definido con 14palabras) y al conjunto de aquellos numeros que no se pueden describir con menos de 15palabras.

Por ultimo, lo paradojico del sexto ejemplo esta en que cuando una oracion es falsa,entonces su negacion deberıa ser verdadera y viceversa, pero en el ejemplo se presentael caso en que tanto la premisa original como su negaci on son falsas. La razon por laque ocurre esto, en este caso, es porque el sujeto de ambas oraciones no es el mismo(ambas premisas se refieren a distintas oraciones), luego las premisas no son opuestas ysus valores de verdad no se encuentran relacionados.

6Por ejemplo “mil trescientos veintisiete” corresponde a una frase de menos de 15 palabras que describeun numero entero positivo, mientras que “Diplodocus y su pandilla” no describe a un n umero enteropositivo.



1.5. EJERCICIOS 11

1.5. Ejercicios

1. Explique por que la frase “El siniestro computador HAL9000 que boicotea a latripulacion que se dirige Jupiter” no es una proposicion.

Respuesta:

Porque la expresion no es capaz de adoptar ningun valor de verdad. Esto es facil decorroborar si es que se plantea la pregunta “¿Es verdad que el siniestro computadorHAL9000 que boicotea a la tripulacion que se dirige Jupiter?”, la que no tienesentido alguno.

2. ¿Puede un argumento correcto tener una conclusion falsa? De ser afirmativa larespuesta, de un ejemplo.

Respuesta:

Por supuesto que un argumento correcto puede tener su conclusion falsa, ya que noes la materia sobre la que se esta tratando sino la estructura la que importa paradeterminar si un argumento es correcto o no. Consideremos el siguiente ejemplo deargumento correcto con conclusion falsa:

Si los monos vuelan, entonces los chanchos hablanLos monos vuelanLos chanchos hablan

Que un argumento sea correcto no implica que la conclusi on de este sea verda-dera, solo quiere decir que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusionlo sera tambien, o dicho de otra manera, que si las premisas son verdaderas, esimposible que la conclusion sea falsa.

3. De un ejemplo de argumento incorrecto con conclusion verdadera.

Respuesta:

Ejemplos hay millones. Consideremos el siguiente:

Si el ser humano es mortal, entonces el cielo es celesteEl cielo es celesteEl ser humano es mortal

4. ¿Es consistente el conjunto de premisas formado por los pensamientos de un rabinoy un sacerdote catolico con respecto a Jesus? Explique.

Respuesta:





Por supuesto que no, ya que ambos personajes no pueden estar en lo cierto sincontradecirse, lo que hace al conjunto de proposiciones inconsistente. Dentro delas proposiciones que aporta el rabino al conjunto habr a una del tipo “Jesus noes el hijo de Dios”, mientras que dentro de las que aporta el sacerdote cat olicohabra una del tipo “Jesus es el hijo de Dios”, luego es claro que los dos no puedenestar en lo cierto, ya que las premisas “Jesus no es el hijo de Dios” y “Jesus es elhijo de Dios” son contradictorias y no pueden ser ambas verdaderas a la vez.

5. Muestre que el argumento formado por las premisas (i) “Trinidad sabe que el conejode pascua le escondera huevos de chocolate”, (ii) “La mama de Trinidad es el conejode pascua” y la conclusion (iii) “Trinidad sabe que su mama le escondera huevos

de chocolate”, es incorrecto utilizando el conjunto contraejemplo.Respuesta:

Para mostrar lo pedido basta con mostrar que el conjunto contraejemplo del ar-gumento, compuesto por (i), (ii) y la negacion de (iii), dada por (iv) “Trinidad nosabe que su mama le escondera huevos de chocolate”, es consistente, es decir, quetodas sus premisas pueden ser verdaderas sin generar una contradiccion. Basta conremitirse a la vida cotidiana para constatar que (i), (ii) y (iv) pueden ser todasverdaderas, ya que si bien Trinidad puede saber que al dıa siguiente por la mananaalgo o alguien les escondera huevos de chocolate, por mas que este algo o alguientenga una identidad determinada (como en este caso la de la mama de Trinidad),Trinidad no tiene por que saberlo. Otra acotacion que debemos hacer con respec-

to a la primera premisa de este argumento es que, al tener el verbo “saber”, esesperable que genere problemas al tratar de armar un silogismo con ella.

6. ¿Por que un argumento es correcto cuando su conjunto contraejemplo es inconsis-tente?



1.5. EJERCICIOS 13

Respuesta:

Que el argumento contraejemplo de un argumento sea consistente implica que elconjunto de proposiciones compuesto por las premisas del argumento y la contra-dictoria de la conclusion puede tener todas sus proposiciones verdaderas, lo que esequivalente a decir que hay al menos un caso en que las premisas del argumentoson verdaderas y la conclusion falsa (ya que la contradictoria de la conclusion esverdadera). Esto se contradice con la definicion de argumento correcto, que esta-blece que un argumento correcto es aquel que no permite una conclusi on falsa apartir de premisas verdaderas. Por lo tanto, un argumento correcto es aquel cuyoconjunto contraejemplo es inconsistente.

7. Con el uso de diagramas de Venn, indique dos interpretaciones posibles de la pro-posicion “Todo s es p”.

Respuesta:

A continuacion se presentan dos posibles interpretaciones de la expresion propuesta.

U

ps

U

s,p

8. Con el uso de diagramas de Venn, indique la unica interpretacion posible del conjunto de proposiciones dado por (i)“Algun s es p”, (ii) “Algun s no es p”, (iii)“Algun p no es s” y (iv) “Algun no-s es no-p”.

Respuesta:

A continuacion se presenta el diagrama pedido.

U

ps





9. Con el uso de diagramas de Venn, indique la unica interpretacion posible del conjunto de proposiciones (i)“Todo a es no-b” y (ii)“Todo no-a es b”.

Respuesta:

A continuacion se presenta el diagrama pedido.

U

ba

Segun la proposicion planteada, a corresponde a todo lo que no es b, luego b co-rresponde a todo lo que no es a.

10. Determine si los siguientes conjuntos de proposiciones son consistentes o no.

(a) D = “El norte es un lugar muy caluroso”,“El norte sufre de sequıa”,“Todolugar caluroso sufre de sequıa”,“El sur tiene agua de sobra”

(b) D = “Si Robert Plant canta, todos bailaremos y no sufriremos”, “Todosbailaremos y no sufriremos”, “Bono cantara”,“Si Bono canta, lamentablementesufriremos y no bailaremos”

(c) D = “El pasto es verde y el techo es gris”, “Si todos aplauden, el techosera gris”, “Nadie aplaude”

Respuesta:

Los conjuntos de proposiciones (a) y (c) son consistente, mientras que el conjunto(b) es inconsistente. El conjunto (b) es inconsistente porque no es posible bailary no sufrir si es que Bono canta, mientras que el conjunto (c) es inconsistente. Elconjunto (c) puede parecer confuso debido a la segunda y tercera premisa, pero enrealidad que nadie aplauda no quiere decir que el techo no sea gris.

11. Determine, para cada uno de los siguientes argumentos, si se trata de un argumentocorrecto o no:

(a) Si llueve, entonces me mojoNo me mojoNo llueve



1.5. EJERCICIOS 15

(b) Todo amigo es bien recibidoTodo atleta es poderosoAlgun atleta es amigo

(c) Algun europeo no es blancoAlgun blanco no es europeo

(d) Si me llaman, entonces sere felizNo tocaran el timbreLlamaran o tocaran el timbreSere feliz

(e) Ningun m es T

Algun no-t no es no-m Algun no-t es no-T

Respuesta:

De los argumentos expuestos, el (a), (d) y (e) son correctos, mientras que los ar-gumentos (b) y (c) no lo son. En el argumento (a), suponiendo verdaderas laspremisas, es claro que si llueve entonces tengo que mojarme, por lo tanto es im-posible que haya llovido si es que estoy seco, luego el argumento es correcto. Enel argumento (b) tiene dos premisas que no comparten terminos en comun, por loque no hay vınculo alguno entre los terminos “amigo”, “bien recibido”, “atleta” y“poderoso”, motivo por el cual no es posible extraer una conclusion valida. La in-

validez del argumento (b) se ilustra a continuacion, donde se puede ver que ningunatleta (t) es amigo (a), a pesar de ser todos los amigos bien recibidos (b) y todoslos atletas poderosos ( p):

U

b

p

t a

En el argumento (c), al aceptar como verdadera la premisa “Algun europeo no esblanco”, lo que estamos aceptando es que hay individuos que tienen la propiedadde ser europeos (e) y no blancos (b), pero no estamos diciendo nada acerca del





conjunto de los blancos, luego podrıa ocurrir que de hecho todos los blancos seaneuropeos, tal como se ilustra a continuacion:

U

e

b

En el argumento (d), como la premisa “No tocaran el timbre” es verdadera, necesa-riamente, para que la premisa “Llamaran o tocaran el timbre” sea verdadera tieneque ocurrir que llamen (ya que para que esa premisa sea verdadera debe ocurrir almenos una de las dos cosas, que llamen o que toquen el timbre), y como justamenteel llamado es el responsable de la felicidad (debido a la relaci on de consecuenciaque establece la primera premisa), es imposible no ser felices si es que han llamado.

El argumento (e) es un poco mas difıcil de ver debido al uso intensivo de terminosindefinidos (del tipo no-a ). Segun las premisas, como ningun m es T , y hay al menosun individuo de m que no es t (esto sale de la premisa “Algun no-t no es no-m ”),

tambien hay al menos un individuo de no-t que pertenece a no-T , que corresponde justamente a aquel individuo que pertenece a m y no a t. A continuacion se ilustrandoce de las distintas interpretaciones graficas de este argumento (con un punto seindica el individuo que muestra la validez la conclusi on):



1.5. EJERCICIOS 17

U

t

T

m

t

T

m

t

T

m

t T

m

t T

m t

T

m

t

T m

T,t

m T

t

m

t

T m

t

T m

t

T m

U U

U U U

U U U

U U U




Capıtulo 2

Las proposiciones

2.1. Propiedades de las proposiciones

Una proposicion categorica (o simple) puede ser clasificada segun varias propiedadeso categorıas, algunas de las cuales son intrınsecas a la proposicion misma y otras que no.Con propiedades intrınsecas nos referimos a aquellas cualidades que estan relacionadascon lo que la proposicion quiere decir, mientras que con propiedades no intrınsecas nosreferimos a aquellas que no son propias de la proposicion y que tampoco la definen ni

caracterizan en sentido estricto, ya que corresponden a caracterısticas mas bien relacio-nadas con la forma en que la proposicion se encuentra expresada. Si bien esto ultimose puede prestar para pensar que dichas propiedades son irrelevantes, como veremos encapıtulos posteriores, esto no es ası.

Son nueve las propiedades de las proposiciones, a saber: numero de terminos, modali-dad, si el sujeto es definido o indefinido, si el sujeto es singular o universal, si el predicadoes definido o indefinido, calidad, materia, tiempo y cantidad. A continuacion se describedetalladamente cada una de estas propiedades.

1. Numero de terminos: las proposiciones categoricas o simples pueden ser de dosterminos (2T ) o tres terminos (3T ). Una proposicion de dos terminos es aquella

que consta de un sujeto y un verbo (la accion), mientras que una proposicion detres terminos siempre lleva el verbo ser1.

1Recordar que “ser” no es lo mismo que “estar”.

18



2.1. PROPIEDADES DE LAS PROPOSICIONES 19

U

p

s

U U

ps

ps

Figura 2.1: Ilustracion de las distintas modalidades de una proposicion.

Ejemplos

− Proposiciones de dos terminos:

El milodon duerme.

Todo hombre canta.

− Proposiciones de tres terminos:

El actual rey de Francia es calvo.

Perseo fue un semidios.

2. Modalidad: las proposiciones pueden ser modales o no modales (en los sucesivo,asertoricas), siendo la modalidad las distintas “maneras” en que un sujeto deter-minado puede relacionarse con un mismo predicado. Por ejemplo, no es lo mismo

“El individuo a corre” que “Necesariamente el individuo a corre”, o “Arturo esrey” que “Arturo es rey, posiblemente”. De la misma manera, en vez de los mo-dos utilizados en los ejemplos anteriores (“necesariamente” y“ posiblemente”) sepodrıa utilizar “usualmente”, “imposiblemente”, “comunmente”, entre otros. Inde-pendientemente de la palabra utilizada, todos las variantes distintas de modalidadson representables por tres casos, que corresponden a necesidad, posibilidad e im-posibilidad. Estos casos se derivan de que el predicado puede ser relacionado con elsujeto solo de tres maneras, a saber: el sujeto se encuentra completamente incluidoen el predicado, el sujeto se encuentra en parte incluido en el predicado, y el sujetose encuentra completamente fuera del predicado. En la figura 2.1 se ilustran lastres situaciones recien descritas para los conjuntos s y p.

Ejemplos

− Proposiciones modales:

Euclides camina, rapidamente.




20 CAPITULO 2. LAS PROPOSICIONES

Es imposible que el lagarto no repte.

− Proposiciones asertorica:

Enrique es astronauta.

El Hammond es el primer instrumento electromecanico.

3. Sujeto definido o indefinido: el sujeto de una proposicion puede ser definido(no lo antecede una partıcula negativa) o indefinido (sı lo antecede una partıculanegativa, como serıa en el caso de no-Pedro). Cuando hablamos de un sujeto in-definido, en general no-s , nos estamos refiriendo a todo lo que no es s, es decir, laproposicion “Todo no-Pedro respira” quiere decir que todo lo que no es Pedro (ya

sean pajaros, paıses, abarrotes, alimentos, etcetera) tiene la propiedad de respirar.Se podrıa pensar que los sujetos indefinidos hacen una referencia vaga a aquello so-bre lo que se predica algo, pero en determinados contextos la indefinicion del sujetopuede ayudar a esclarecer mejor lo que quiere decir una oracion. Tomemos comoejemplo la oracion “Todos los oriundos de Asia, Oceanıa, Europa y Africa nacieronen el viejo mundo”. Es claro en el ejemplo que cambiando el sujeto “oriundos deAsia, Oceanıa, Europa y Africa” por “no-americanos” la referencia de la oracionno se hace vaga e incluso es mas facil y sencillo entender lo que esta quiere decir.

Ejemplos

− Proposiciones con sujeto definido:

Un perro es animal.Ningun alimento es incomible.

− Proposiciones con sujeto indefinido:

no-Lorena es artista.

Todo no-mono no es macaco.

4. Predicado definido o indefinido: el predicado de una proposicion, ası como elsujeto, puede ser definido (no lo antecede una partıcula negativa) o indefinido (sı loantecede una partıcula negativa). En proposiciones asertoricas de dos terminos (i.e.no modales y que no tienen el verbo ser), como veremos m as adelante, en realidadno tiene mucho sentido hablar de predicado indefinido, ya que la indefinicion del

predicado hace la negacion de la proposicion.Ejemplos

− Proposiciones con predicado definido:




Socrates fue filosofo.

Esparta era una polis de la antigua Grecia.

− Proposiciones con predicado indefinido:

Jaime, el tiranosaurio, es no-mamıfero.

El contrabajo no es no-instrumento.

5. Singularidad o universalidad del sujeto: el sujeto de una proposicion puedeser singular o universal. Cuando hablamos de un sujeto singular nos referimos aun nombre propio, o de manera mas general, a una palabra que hace referenciaa un individuo o cosa determinada, mientras que cuando hablamos de un sujeto

universal nos referimos a los sujetos que son susceptibles de ser cuantificados, esdecir, aquellos que pueden ser antecedidos por cuantificadores tales como “todo”,“ningun”, “algunos”, “un”, entre otros.

Ejemplos

− Proposiciones con sujeto singular:

Ese hombre era veloz.

Marıa sera obstetra.

− Proposiciones con sujeto universal:

El hombre es sabio.

Todo ciempies adolece de sano criterio.

6. Cantidad: una proposicion tambien puede ser clasificada segun su cantidad, quehace referencia al tipo de cuantificador presente en ella. Cuando el sujeto de unaproposicion es singular no viene al caso el uso de un cuantificador, motivo por elcual clasificar una proposicion segun su cantidad solo tiene sentido en proposicionescon sujetos universales susceptibles de cuantificacion. Dentro de todos los posiblescuantificadores distinguimos tres tipos: universales, particulares e indeterminados.Los primeros hacen referencia a todos o ninguno de los elementos de un conjunto,los segundos hacen referencia solo a una parte de un conjunto, y los ultimos noqueda claro si es que se refieren a todo el conjunto o a un elemento en particular.

Ejemplos

− Proposiciones universales:

Todo perro es canino.

Ningun humanoide es mutante.





− Proposiciones particulares:

Algun gato es desconfiable.

Algun gato no es confiable.

− Proposiciones con cuantificador indeterminado:

Un hombre es racional.

El hombre no es justo.

7. Calidad: la calidad de una proposicion puede ser afirmativa o negativa. Una pro-posicion afirmativa se define como aquella cuyo sujeto se encuentra contenido enla extension del predicado2, mientras que una proposicion negativa se define como

aquella cuyo sujeto no se encuentra contenido en la extension del predicado. Paraque una proposicion sea negativa, la parte mas importante de esta debe estar ne-gada, que corresponde al modo en el caso de las proposiciones modales (ya sean dedos o tres terminos), al verbo “ser” en las proposiciones de tres terminos asertoricasy al verbo en las proposiciones de dos terminos asertoricas.

Ejemplos

− Proposiciones afirmativas:

Gloria corrige pruebas.

Ningun mago es alquimista, posiblemente3.

− Proposiciones negativas:Gloria no corrige pruebas.

Ningun mago es alquimista, no posiblemente.

8. Tiempo: el tiempo de una proposicion puede ser pasado, presente o futuro.

Ejemplos

− Proposiciones en pasado:

Jimmy Smith tocaba el Hammond.

Rafael fue pintor.

2

Para entender esta definicion graficamente, mire el primer diagrama de Venn de la figura 2.1 (quesirve para ilustrar la proposicion afirmativa “Todo s es p”), donde se puede ver que toda la extensiondel conjunto s se encuentra contenida en la extension del conjunto p.

3Si bien la parte modalizada “Ningun mago es alquimista” es negativa, la proposicion completa(considerando el modo), es afirmativa.




− Proposiciones en presente:

Es imposible que Felipe sea alfarero.

Tal vez el hombre no es tan racional.

− Proposiciones en futuro:

Jacinta volara.

La tortuga sera independiente de su caparazon, posiblemente.

9. Materia: la materia corresponde a la relacion que guarda la definicion del sujetocon la definicion del predicado. Encontramos tres tipos de materia: contingente (oaccidental), necesaria e imposible. La figura 2.1 ilustra los tres tipos de relacion

que se pueden dar entre la definicion de un sujeto y la definicion de un predicado.Es importante recalcar que la materia tiene que ver con la relaci on que tiene laparte definida del predicado con la parte definida del sujeto. En la proposicion“Todo no-viviente es no-respirador”, tenemos que el predicado (respirador) se re-laciona necesariamente con el sujeto (viviente), independientemente de lo que seeste predicando sobre el sujeto.

Ejemplos

− Proposiciones con materia contingente:

Todo hombre corre, imposiblemente.

Ningun no-hombre es alto.

− Proposiciones con materia necesaria:El no-hombre es no bıpedo.

Todo no-ave voladora es no-volador.

− Proposiciones con materia imposible:

Ningun no-hombre es planta.

Un no-jaguar no es bıpedo.





2.2. Ejercicios

1. Explique la siguiente afirmacion: “El hombre que no es bueno no es necesariamentemalo”.

Respuesta:

Ser bueno se relaciona accidentalmente (o contingentemente) con el sujeto que esel hombre, luego el hombre que no es bueno puede ser mas o menos bueno y unpoco malo, mas malo que bueno, mitad malo mitad bueno, etcetera. Serıa distintopara el caso de ser no mortal, ya que el hombre que no es mortal es evidentementeinmortal (ya que entre mortal e inmortal no hay termino medio ni ningun tipo de

graduacion, tal como en el caso de par e impar).

2. Explique la siguiente afirmacion: “El numero que no es par es necesariamenteimpar”.

Respuesta:

Tal como fue mencionado en la repuesta anterior, no hay matices entre par e impar,motivo por el cual lo que no es par es impar y viceversa (i.e., par es lo mismo queno-impar, e impar es lo mismo que no-par).

3. Considerando las dos respuestas entregadas anteriormente, y la proposicion afir-

mativa “2 es par”, ¿Que puede decir de la calidad de la proposicion “2 es impar”,tomando en cuenta que esta es exactamente equivalente a “2 no es par”?

Respuesta:

La proposicion “2 es impar” es afirmativa, a pesar de ser la negaci on de “2 es par”.La calidad de una proposicion es una caracterıstica no intrınseca, ya que depen-de de la forma y no del fondo. Por esto mismo, pueden haber dos proposicionescontradictorias de igual calidad, tal como en este caso.

4. La negacion de “Donatelo es injusto” es:

(a) “Donatelo es justo”.

(b) “Donatelo no es justo”.

(c) “Donatelo es no-justo”.

(d) Ninguna de las anteriores.



2.2. EJERCICIOS 25

Respuesta:

(d) “Donatelo no es injusto”.

5. La negacion de “Es necesario que el cobre sea conductor electrico” es:

(a) “Es necesario que el cobre no sea conductor electrico”.

(b) “Es necesario que el no-cobre sea conductor electrico”.

(c) “No es necesario que el cobre sea conductor electrico”.

(d) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

(c) “No es necesario que el cobre sea conductor electrico”.

6. Comente sobre la proposicion “Todo Socrates es iracundo”, poniendo especial enfa-sis en el uso del cuantificador universal “todo”.

Respuesta:

Se podrıa decir que es una proposicion mal formulada ya que Socrates correspon-de a un sujeto singular, y como bien sabemos es inapropiado cuantificar objetossingulares. De todas maneras cabe mencionar que el uso de sujetos singulares cuan-tificados puede tener sentido en algunos contextos, por ejemplo, podrıamos decir“Todo Socrates estaba infectado” para referirnos al cuerpo completo del individuo

Socrates, quien padece de una infeccion que se ha esparcido en todos los rinconesde su cuerpo.

7. Explique por que en la proposicion “El cocodrilo es grande” se considera que elcuantificador es indeterminado.

Respuesta:

Porque cuando se habla de “el cocodrilo” no es claro si es que se esta hablandode toda la especie o simplemente de un solo ejemplar. Lo mismo ocurre con otroscuantificadores tales como “un”, cuya cantidad es ambigua.

8. ¿Es la calidad de una proposicion una propiedad intrınseca?

Respuesta:Como ya fue mencionado, no lo es. Esto es muy facil de mostrar considerandolas proposiciones “Algun a es b” y “Algun a no es no-b”, que claramente quierendecir lo mismo (que al menos un individuo que tiene las propiedades propias de a






2.2. EJERCICIOS 27

por celulas”, respectivamente) y luego determinar como es que sus definiciones serelacionan. En este caso, la materia de la proposicion es necesaria, ya que todoslos animales tienen como estructura basica la celula. No hay que confundirse conel hecho de que tanto “animal” como “compuesto por celulas” se encuentren inde-finidos en la proposicion, ya que cuando se nos pregunta por la materia es la partedefinida del sujeto y la parte definida del predicado la que importa.

12. ¿Es posible expresar una proposicion de dos terminos como una de tres terminos?.Segun la respuesta de la pregunta anterior y considerando la distincion entre pro-piedades intrınsecas y no intrınsecas de una proposicion, ¿Que se puede afirmarsobre el numero de terminos de una proposicion?

Respuesta:

Sı es posible. Tomemos como ejemplo la proposicion de dos terminos “Franciscoegreso de la Pontificia Universidad Catolica”, la que podemos escribir, sin agregarni quitar informacion, como “Francisco es ex-alumno de la Pontificia UniversidadCatolica”, que corresponde a una proposicion de tres terminos. Para ilustrar estaidea en un caso mas difıcil y menos evidente tomemos la proposicion de dos termi-nos “Francisco corre”, la cual podemos escribir como “Francisco es alguien que seencuentra corriendo en este momento”, o mas simple, “Francisco esta corriendo”.Si bien este ultimo ejemplo podrıa considerase rebuscado y extrano, cumple conla funcion de mostrar que el numero de terminos de una proposicion no es unacaracterıstica o propiedad intrınseca de la proposicion, ya que depende de como

esta se encuentra expresada.

13. Escriba la negacion de las siguientes premisas:

(a) “Es posible que ningun no-hombre sea no-corredor”.

(b) “No-Pedro no es no-evangelico”.

(c) “Usualmente Juan corre”.

(d) “El cangrejo es no-ballena, posiblemente”.

(e) “El eter corresponde a todo lo falto de materia”

Respuesta:

Las negaciones correspondientes estan dadas por (a) “No es posible que ningunno-hombre sea no-corredor”, (b) “No-Pedro es no-evangelico”, (c) “InusualmenteJuan corre”, (d) “El cangrejo es no-ballena, no posiblemente” y (e) “El eter nocorresponde a todo lo falto de materia”.





14. Encuentre la proposicion descrita para cada caso:

(a) Dos terminos, modal de posibilidad y afirmativa, negativa (respecto de la partemodalizada), sujeto universal e indefinido, materia necesaria, tiempo presentey cantidad universal.

(b) Tres terminos, modal de necesidad y negativa, afirmativa, materia imposible,tiempo pasado, sujeto universal e indefinido, predicado definido y cuantificadoruniversal.

(c) Dos terminos, modal de necesidad y afirmativa, materia imposible, negativa,tiempo pasado, sujeto indefinido y universal y cuantificador particular.

(d) Tres terminos, sujeto universal, definido y tomado indeterminadamente, tiem-po futuro, materia contingente, negativa con respecto a la parte modalizada,modal de posibilidad, afirmativa y predicado definido.

(e) Tres terminos, sujeto universal y definido, predicado indefinido, negativa (res-pecto a lo modalizado), modal de necesidad y negativa, tiempo futuro, materiaimposible y particularmente tomada.

(f) Tres terminos, sujeto universal e indefinido, presente, indeterminadamente to-mada, predicado indefinido, materia imposible, modal de posibilidad y negati-va.

Respuesta:Las premisas buscadas pueden ser (a) “Es posible que todo no-hombre no respire”,(b) “No es necesario que todo no-animal haya sido mueble de cocina”, (c) “Algunno-marciano no nacio en la Luna, necesariamente”, (d) “El hombre no sera inte-ligente, posiblemente”, (e) “Algun perro no sera no-piedra, no necesariamente” y(f) “No es posible que el no-ornitorrinco sea no-reptil”.

15. Clasifique las siguientes proposiciones segun las nueve propiedades estudiadas eneste capıtulo: (a) “Pitagoras es una parrilla electrica”, (b) “Es posible que algun an-ciano sea no-viejo”, (c) “No es imposible que ningun extraterrestre no piense”, (d)“El hombre es inutil”, (e) “No-Socrates es no-veloz, posiblemente”, (f) “Javier co-

rrio”, (g) “Don Gato vuela, imposiblemente”, (h) “Un monstruo no fue no-bonito”,(i) “Todo no-hombre sera no-volador”, (j) “El cielo disfruta el atardecer” y (k) “Detodas maneras Gaia juzga mal a quienes atentan contra la naturaleza”. Para estopuedo llenar la tabla que se presenta a continuacion.



2.2. EJERCICIOS 29

2T /3T Modo S.

Sing./Univ.S.

Def./Indef.P.

Def./Indef. Tiempo Cal. Mat. Cant.

(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)

(j)(k)

Respuesta:

A continuacion se presenta la tabla completa con la clasificacion de cada una delas premisas propuestas.

2T /3T Modo S.

Sing./Univ.S.

Def./Indef.P.

Def./Indef. Tiempo Cal. Mat. Cant.

(a) 3T No S. Sing. S. Def. P. Def. Pres. A. I. —(b) 3T Sı S. Univ. S. Def. P. Indef. Pres. A. N. Part.(c) 2T Sı S. Univ. S. Def. P. Def. Pres. N. C. Univ.(d) 3T No S. Univ. S. Def. P. Def. Pres. A. C. Indet.(e) 3T Sı S. Sing. S. Indef. P. Indef. Pres. A. C. —(f) 2T No S. Sing. S. Def. P. Def. Pas. A. C. —(g) 2T Sı S. Sing. S. Def. P. Def. Pres. A. I. —(h) 3T No S. Univ. S. Def. P. Indef. Pas. N. C. Indet.(i) 3T No S. Univ. S. Indef. P. Indef. Fut. A. I. Univ.

(j) 2T No S. Univ. S. Def. P. Def. Pres. A. I. Indet.(k) 2T Sı S. Sing. S. Def. P. Def. Pres. A. N. —




Capıtulo 3

Inferencias inmediatas

3.1. Sobre la inferencia y sus tipos

El estudio de la logica aristotelica consta basicamente del estudio de las inferencias.Como se muestra en el cuadro 3.1, las inferencias, o consecuencias logicas, pueden ser devarios tipos, partiendo por las mas simples que corresponden a las puramente inmedia-tas, y terminando con las mas complejas que corresponden a las mediatas (o silogismos).Las inferencias inmediatas se pueden dividir en dos grupos: las puramente inmediatas,

que corresponden a aquellas inferencias evidentes1

, a las consecuencias entre cuantifi-cadas y relaciones de oposicion; y las equivalencias o inmediatas por transformacion,que corresponden a aquellas que se obtienen a traves de una transformacion mecanicade la proposicion original, ya sea manipulando separadamente o a la vez, el sujeto, elpredicado o la calidad de la proposicion. Las inferencias mediatas constan de varias pro-posiciones a partir de las cuales se extrae una conclusion, y tıpicamente se trabaja consolo dos proposiciones y una conclusion, aunque tambien se pueden traba jar silogismosde mayor extension. Tanto las inferencias mediatas como inmediatas pueden ser modaleso asertoricas, pero todavıa queda trabajo por hacer en el estudio de inferencias modales(i.e., no existe una teorıa solida y robusta que permita trabajarlas desde el punto devista de la logica aristotelica), por lo que en este texto solo trabajaremos con inferencias

asertoricas.1Por evidentes se entienden aquellas inferencias que no necesitan de informacion adicional a la conte-

nida en la proposicion a partir de la cual se inferira algo. Por ejemplo, “Es posible que s sea p” se puedededucir inmediatamente de “No es necesario que s sea p”.

30



3.1. SOBRE LA INFERENCIA Y SUS TIPOS 31

Cuadro 3.1: La logica aristotelica y sus distintas partes.Relaciones de oposicion

Inferencias (Inferencias puramente inmediatas)Logica inmediatas Equivalencias

aristotelica (Inferencias inmediatas por transformacion)Inferencias

mediatas: Silogismos

Inferencias inmediatas: inferencias evidentes y consecuencias entre cuantificadas. Tam-

bien incluyen las inferencias por transformacion.

Relaciones de oposicion (inferencias puramente inmediatas): no necesitaninformacion adicional a la contenida en la proposicion original ni procesamien-to alguno.

Ejemplos

Si es falso que “Ningun s es p”, por supuesto “Algun s es p” es verdadero. Deigual manera, que “Todo s no es p” sea verdadero es suficiente para determinarque “Algun s no es p o ningun s es p” es verdadero.

Equivalencias (inferencias por transformacion): se obtienen a traves de unatransformacion mecanica de la proposicion original.

EjemplosSi es verdadero que “Jose es humano”, entonces tambien es verdadero que“Jose no es no-humano”, proposicion obtenida luego de cambiar la calidadde la proposicion original y de pasar el predicado de definido a indefinido.Igualmente, si “Algun perro es canino” es verdadera, entonces “Algun caninoes perro” tambien lo es, proposicion obtenida luego de intercambiar el sujetocon el predicado en la proposicion original.

Inferencias mediatas: tambien llamadas silogismos, corresponden a inferencias deri-vadas a partir de un conjunto de proposiciones (en vez de una sola, como en el casode las inferencias inmediatas).

EjemplosSi las premisas “Toda tortuga es reptil” y “Alguna mascota es tortuga” son ver-daderas, entonces se puede concluir que “Alguna mascota es reptil” es verdaderatambien.




32 CAPITULO 3. INFERENCIAS INMEDIATAS

En este capıtulo estudiaremos las inferencias inmediatas. Este tipo de inferencias re-sulta ser el mas importante en cuanto la teorıa silogıstica, que estudiaremos en detalle enel Capıtulo 4, puede ser estudiada como una mera extension de este tipo de inferencias,ya que son los mismos principios los que rigen tanto las unas como las otras.

Este capıtulo se estructura como sigue: primero, las proposiciones y la notacion autilizar en el transcurso del texto son presentadas. Luego, los axiomas de correcci on de lasinferencias son formulados en el contexto de las inferencias inmediatas, para luego pasaral estudio de las relaciones de oposicion e inferencias puramente inmediatas. Finalmente,las inferencias inmediatas por transformacion son presentadas.

3.2. Proposiciones canonicas y notacion

Para estudiar tanto las inferencias inmediatas como mediatas, nos remitiremos, ge-neralmente, a un conjunto limitado de proposiciones, a saber, aquellas de tres terminoscuantificadas asertoricas, las cuales llamaremos proposiciones categoricas2. Las cuatroproposiciones con las que trabajaremos, conocidas como proposiciones canonicas, son:A: “Todos s es p”, E : “Ningun s es p”, I : “Algun s es p” y O: “Algun s no es p”.Estas cuatro proposiciones pueden ser clasificadas segun su cantidad, siendo la A y la E universales, mientras que la I y la O particulares, y por su calidad, siendo la A y la I afirmativas, mientras que la E y la O negativas.

Para economizar palabras y hacer mas clara la exposicion de los distintos temas quese veran de aquı en adelante, utilizaremos recurrentemente la siguiente notacion parareferirnos a las cuatro proposiciones recien descritas:

“Todo s es p” = A(s, p)“Ningun s es p” = E (s, p)“Algun s es p” = I (s, p)

“Algun s no es p” = O(s, p)

Ademas, para referirnos a un termino indefinido como no-t utilizaremos indistinta-

mente alguna de las siguientes notaciones: no-t = t = ¬t = −

t. Para aclarar el uso deesta notacion, consideremos los siguientes ejemplos:

2El estudio detallado de proposiciones distintas a estas, ya sean no cuantificadas (con sujetos singu-lares) o modales, no esta cubierto por este texto.



3.3. AXIOMAS DE CORRECCION 33

“Ningun mamıfero es ovıparo” = E (mamıfero, ovıparo)“Todo no-computador es grande” = A(computador, grande)

“Algun C no es no-B ” = O(C, B)

3.3. Axiomas de correccion

Para estudiar tanto las inferencias inmediatas como las mediatas, son necesarios tresaxiomas (o reglas), a saber: el axioma de la cantidad , el axioma de la particularidad y elaxioma del vınculo. El axioma de la cantidad describe todo lo relativo a las cantidadesde los terminos (sujeto y predicado) en una proposicion, ası como tambien describe

de forma general la relacion que hay entre la cuantificacion de un termino y la de surespectivo conjugado3. El axioma de la particularidad describe todo lo relativo al uso deproposiciones particulares en una inferencia. El axioma del vınculo, por ultimo, es el quedefine aspectos basicos de como un termino debe ser tratado en una inferencia, tanto enel argumento como en la conclusion, de manera que pueda haber consecuencia logica.Estos tres axiomas se describen a continuacion. En el Capıtulo 4 redefiniremos algunosde estos axiomas de manera de que su planteamiento sea mas general y su alcance masextenso.

Axioma de la cantidad El predicado de una proposicion de calidad negativa se en-cuentra tomado universalmente, mientras que el predicado de una proposicion de

calidad positiva se encuentra tomado particularmente. Ademas, tomar universal-mente un termino t es equivalente a tomar particularmente su conjugado, t, ası co-mo tomar particularmente un termino t es equivalente a tomar universalmentet.

Axioma de la particularidad I 4 La conclusion en una inferencia es particular si ysolo si esta caracterıstica se encuentra presente en la premisa del argumento.

Axioma del vınculo I 5 Para que una proposicion sea equivalente a otra proposicion,al menos debe cumplirse que las cantidades de los terminos involucrados (ası comola de sus conjugados) sea la misma tanto en la proposicion del argumento como enla proposicion consecuente.

3

Por conjugado se entiende la version indefinida del termino en cuestion. Por ejemplo, t es el conjugadode t.4Esta no corresponde a la definicion completa y acabada del axioma, motivo por el cual lleva una I

acompanando su nombre, dando a entender que es una definici on preliminar.5Ver nota al pie de pagina anterior.





Como se puede ver en la definicion de los tres axiomas, en realidad el axioma de laparticularidad y el del vınculo son aplicables directamente en una inferencia, mientrasque el axioma de la cantidad corresponde a la guıa que permite aplicar el axioma delvınculo. A continuacion se detallan cada uno de estos tres axiomas desde el punto devista intuitivo que justifica el hecho de que estos sean axiomas6 y no teoremas de unateorıa axiomatica mas compacta y general.

3.3.1. Axioma de la cantidad

El axioma de la cantidad puede ser entendido intuitivamente con la ayuda del diagrama

de la figura 3.1, donde se ilustra una posible interpretacion de A(a, b).

U

b b

a

Figura 3.1: Ilustracion de A(a, b).

Se pueden extraer dos cosas importantes en la figura 3.1: la primera es que al tratarsede una proposicion afirmativa, la extension del predicado b se ve limitada por el sujeto a7,luego el predicado se encuentra tomado particularmente, ya que la proposicion se refieresolo a los elementos pertenecientes a b que pertenecen a a (zona gris del diagrama), yno a todos los elementos de b. La segunda es que al tomar particularmente b, podemosseparar el universo en dos grupos, el primero que contiene a los elementos que pertenecensimultaneamente a a y a b y el segundo que contiene a todo el resto del universo (indicadocon flechas en el diagrama), es decir, el resto de b y todo b, por lo tanto al tomar bparticularmente indirectamente se esta tomando b universalmente. Si bien el ejerciciorecien realizado no corresponde a una prueba formal del axioma de la cantidad, buscar

dicha prueba carece de sentido, ya que se trata de un axioma y no un teorema, corolario6Un axioma corresponde a una proposicion tan clara y evidente que se admite sin necesidad de

demostracion, a partir de la cual se construye una teorıa.7Vease la definicion de calidad entregada en el Capıtulo 2.




o lema demostrable.

3.3.2. Axioma de la particularidad I

Este axioma establece que no se puede cambiar la cantidad de la proposicion. Laconclusion puede ser tipo I u O solo si la premisa del argumento es I u O, y puede sertipo A o E solo si la premisa del argumento es A o E , por lo que no permite concluircon una I o una O a partir de una A o una E , y no permite concluir con una A o unaE a partir de una I o una O. Por ejemplo, si la premisa del argumento esta dada porI (humano, africano), la que dice que un grupo (no todos) de humanos naci o en Africa, es

claro que la conclusion no puede decir nada acerca de todos los humanos, sino que solode un grupo de ellos. En pocas palabras, este axioma impide pasar de lo particular a louniversal, idea que se condice con la intuicion. Por el otro lado, este axioma implica unaidea un poco menos intuitiva, ya que dice que no se puede pasar de algo universal a algoparticular, es decir, subalternar. Tomando en cuenta que lo que interesa determinar essi una premisa es equivalente a otra, que no sea valido subalternar tiene sentido, ya queclaramente las premisas A(s, p) e I (s, p) no son iguales. Por el otro lado, si lo que interesaes poder determinar si es que una premisa se puede deducir a partir de otra, entoncessubalternar sı tiene sentido. Por ahora, y en orden de velar por la exposicion comprensibley clara de los contenidos, consideraremos que la subalternacion no es valida, ya que nocumple con este axioma.

3.3.3. Axioma del vınculo I

Este axioma establece que si la premisa a partir de la que se quiere concluir algo serefiere a un individuo, animal o cosa determinada, entonces la conclusion debe referirse almismo individuo, animal o cosa, o en el caso contrario esta sera invalida. Consideremosel ejemplo evidente dado por la premisa (i) “Jesus monta dinosaurios” y la conclusion(ii) “Marıa monta dinosaurios”. Aquı es claro que como la conclusion y la premisa nocomparten el mismo sujeto ambas proposiciones pueden adoptar cualquier valor de ver-dad, y por lo mismo (ii) no es consecuencia de (i) ni equivalente a (i). De igual manera,si la premisa original es O(perro, amable ), donde perro se encuentra tomado particular-

mente (no-perro universalmente) y amable universalmente (no-amable particularmente),cualquier posible conclusion valida debe mantener las cantidades establecidas inicial-mente. Por ejemplo, O(no-amable , no-perro), I (perro, no-amable ) e I (no-amable , perro)son conclusiones validas. Consideremos ahora la premisa A(humano, animal ), donde hu-





mano se encuentra tomado universalmente (no-humano particularmente) y animal par-ticularmente (no-animal universalmente). Segun el axioma del vınculo, la conclusionI (no-humano, animal ), donde no-humano se encuentra tomado particularmente (humanouniversalmente) y animal particularmente (no-animal universalmente), serıa valida, pe-ro en realidad no lo es, ya que basta con que los conjuntos animal y humano tengan lamisma extension para que no exista ningun no-humano que sea animal . Lo que aquı fallano es el axioma del vınculo, sino que la falta del axioma de la particularidad, segun elcual no se puede cambiar la cantidad de la proposicion. Es importante, entonces, tener enconsideracion que todos los axiomas, como un conjunto, permiten saber si una conclusi onse sigue o no de una premisa dada.

3.3.4. Subalternacion y el axioma del vınculo laxo

Como se dejo ver en la descripcion del axioma de la particularidad, la subalternacion juega un papel complicado en las inferencias, por lo que se deben tomar consideracionesespeciales para trabajar con ella.

Para contar con un conjunto de axiomas que nos permita determinar la validez deun argumento considerando como valida la subalternacion (i.e., pasar de lo universal alo particular), se debe desechar el axioma de la particularidad y considerar la siguienteregla practica: una premisa particular se sigue de una universal (ambas con los mismos terminos, por supuesto) s´ olo si la cantidad de uno de los terminos se encuentra alterada .

Sea A(s, p) la premisa del argumento, considerando la subalternacion se siguen, porejemplo, I (s, p) (donde se cambio la cantidad de p) e I ( p, s) (donde se cambio la cantidadde s). Considerando esta regla practica, se puede reformular el axioma del vınculo en suversion laxa de la siguiente manera:

Axioma del vınculo laxo Para que una proposicion sea consecuencia de otra propo-sicion, al menos debe cumplirse que las cantidades de los terminos involucrados(ası como la de sus conjugados) sea la misma tanto en la proposicion del argu-mento como en la proposicion consecuente. En caso de que haya un cambio en lacantidad de la proposicion (de universal a particular), la cantidad de uno y s olouno de los terminos debe cambiar.

Como veremos en el Capıtulo 4, la subalternacion presenta problemas de importeexistencial, motivo por el cual su incorporacion en el sistema de inferencias siemprerequerira de medidas especiales. El problema del importe existencial se traduce en la



3.4. RELACIONES DE OPOSICION 37

A(s,p)

I(s,p)

E(s,p)

O(s,p) P a r t i c u l a r e s

U n i v e r s a l e s

Afirmativas Negativas

Contrariedad

Subcontrariedad

S u b a l t e r n a c i o n

S u b a l t e r n a c i o n

ContradiccionA l t er n a c i o n

A l t er n a c i o n

Figura 3.2: Cuadrado de las Oposiciones.

idea poco intuitiva de que no es correcto pasar de lo universal a lo particular (i.e., no escorrecto deducir que I (s, p) es verdadero si es que A(s, p) es verdadero). Por ahora no esnecesario saber sobre que se trata este concepto exactamente, y solo nos remitiremos amencionarlo.

3.4. Relaciones de oposicion

En la figura 3.2 se presenta el Cuadrado de las Oposiciones, el que ilustra las distintasrelaciones de oposicion que hay entre las cuatro proposiciones canonicas.

Como se puede apreciar en la figura, hay tres tipos de relaciones de oposici on, quecorresponden a contradicci´ on , contrariedad y subcontrariedad (nombradas desde la mas“fuerte” a las mas “debil”), ademas de dos relaciones mas que no son de oposicion,alternaci´ on y subalternaci´ on . Estas relaciones se definen de la siguiente manera:

Contradiccion: dos proposiciones son contradictorias cuando afirman y niegan lo mis-mo sobre la misma cosa. Dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambasfalsas o verdaderas a la vez. En terminos de los axiomas, dos proposiciones soncontradictorias cuando ambos terminos se encuentran tomados de distinta manera





y las cantidades de las proposiciones son distintas.

(Sub)Contrariedad: dos proposiciones (particulares)universales son (sub)contrarias sies que no pueden ser ambas (falsas)verdaderas a la vez, pudiendo ser ambas (ver-daderas)falsas. Desde el punto de vista axiomatico, dos proposiciones (particula-res)universales son (sub)contrarias si solo un termino se encuentra tomado distinto.

(Sub)Alternacion: esta relacion se da entre una proposicion particular (subalterna) yuna proposicion universal (alterna). Si la subalterna es falsa, la alterna es falsa,mientras que si la alterna es verdadera, las subalterna tambien lo es8. Considerandolos axiomas, para que una proposicion sea la (sub)alterna de otra, un termino tieneque estar tomado distinto, y las cantidades de las proposiciones deben ser diferentes.

Cabe decir que toda proposicion tiene una y solo una proposicion contradictoria. Con-sideremos por ejemplo la proposicion (i)“Ningun conocimiento es adquirido”, cuya con-tradictoria es (ii)“Algun conocimiento es adquirido”. Se podrıa contraargumentar queası como (ii) es la contradictoria de (i), tambien la proposicion (iii) “Alguna cosa adquiri-da es conocimiento” es la contradictoria de (i), luego la contradiccion de una proposicionno es unica. La verdad es que (ii) y (iii) corresponden a la misma proposicion que se en-cuentra expresada de distintas maneras9, luego la contradictoria de (i) sigue siendo solouna, y es aquella que dice que una parte del conjunto de los conocimientos se intersecacon una parte del conjunto de las cosas adquiridas. Si seguimos el razonamiento que sehace al decir que (iii) y (ii) son proposiciones distintas, tambien podrıamos decir que laproposicion (iv) “Some knowledge is acquired” es otra contradictoria mas (distinta a lasanteriores) de (i), lo que no tiene sentido.

El cuadro 3.2 resume como dos proposiciones con los mismos terminos pueden rela-cionarse de acuerdo a sus cantidades y las cantidades de los terminos. Se puede mostrarfacilmente que las dos relaciones “faltantes” no implican nada sobre los valores de verdadde las proposiciones relacionadas a traves de ellas, por lo que no proveen informacionutil.

Como fue mencionado anteriormente, las inferencias puramente inmediatas correspon-den a aquellas inferencias que son evidentes, es decir, aquellas que no necesitan infor-macion adicional ademas de la entregada por la proposicion original. Considerando las

8Como fue mencionado anteriormente, la subalternacion tiene problemas de importe existencial, quese traducen en que esta definicion de subalternacion no sea del todo correcta. Por ahora no es necesarioconsiderar esto, pero es bueno tenerlo en mente.

9Ver Capıtulo 1.



3.4. RELACIONES DE OPOSICION 39

Cuadro 3.2: Posible relacion entre dos proposiciones con los mismos terminos.Igual cantidad Cantidad distinta

Dos terminos tomados igual Equivalencia —

Un termino tomado igual (Sub)Contrariedad (Sub)Alternaci´ on

Dos terminos tomados distinto — Contradicci´ on

Cuadro 3.3: Inferencias puramente inmediatas en el Cuadrado de las Oposiciones. Como

todas las proposiciones tienen el mismo sujeto y predicado, por simpleza se ha omitidoel argumento de cada una de ellas (i.e. A(S, P ) → A, E (S, P ) → E , I (S, P ) → I yO(S, P ) → O).

A:V A:F E :V E :F I :V I :F O:V O:FA V F F V o F V o F F F VE F V o F V F F V V o F FI V V o F F V V F V o F VO F V V V o F V o F V V F

relaciones de oposicion conocidas, contradiccion, contrariedad y subcontrariedad, y to-mando en cuenta la relacion de alternacion y subalternacion, las cuales nos permitenestablecer las llamadas relaciones entre cuantificadas, podemos resumir todas las infe-rencias puramente inmediatas, tal como se muestra en el cuadro 3.3, donde se indica conuna V el valor de verdad “Verdadero” y con una F el valor de verdad “Falso”.

Se puede ver que el cuadro 3.3 presenta cierta simetrıa, la que se ve reflejada en queen total hay cuatro columnas distintas, cada una de las cuales se repite una vez. Estose debe a que como hay una relacion de contradiccion entre la A y la O, y entre la E y la I , que la A sea falsa es equivalente a que la O sea verdadera y viceversa, ası como

tambien que la E sea verdadera es equivalente a que la I sea falsa y viceversa.Surge ahora la interrogante sobre que se puede decir de proposiciones como A( p, s)

cuando, por ejemplo, A(s, p) es verdadera. Para contestar esta pregunta, las axiomas decorreccion introducidos en la seccion anterior deben ser utilizados de forma exhaustiva.





3.5. Transformaciones proposicionales

Una transformacion proposicional consiste en un grupo de modificaciones que se lepuede hacer a una proposicion de manera de obtener otra expresion de la proposicion10

(distinta de la primera en cuanto a como esta expresada) cuyo valor de verdad es, obvia-mente, el mismo. A continuacion se definen las tres transformaciones logicas conocidas:conversi´ on , contraposici´ on y obversi´ on . Ademas, junto con cada definicion, se presenta elanalisis correspondiente para determinar en que casos cada una de ellas es valida. Comoveremos, la validez de una transformacion proposicional radica en que esta genere unaproposicion equivalente a la primera (ver cuadro 3.2), es decir, cualquier transformacionproposicional valida11 debe cumplir con mantener la cantidad de la proposicion y la desus terminos.

Conversion - Ω· Se intercambian de posicion el sujeto y el predicado (en los sucesivo,s y p, respectivamente).

Al intercambiar de posicion s y p las cantidades tambien se intercambian, ya que spasa a estar cuantificado como lo estaba p y viceversa. Para que la conversion seavalida, s y p deben estar tomados de igual manera en la convertida que en la premisaoriginal (axioma del vınculo). Para que esto ocurra, s y p deben estar tomadoslos dos universalmente o los dos particularmente, de manera que su extension semantenga una vez aplicada la transformacion. Las unicas premisas canonicas quecumplen con esta propiedad son la E y la I , ya que en ambas s y p se encuentrantomados de igual manera (universalmente en el caso de la E y particularmente enel caso de la I ). En resumen, las conversiones validas que producen una premisacompletamente equivalente a la premisa original, son

Ω E (s, p) = E ( p, s)Ω I (s, p) = I ( p, s)

Ejemplos

ΩNingun humano es ave = Ningun ave es humana.

ΩAlgun pez es escamoso = Algun escamoso es pez.

10

Es muy importante notar que aquı se usa la palabra “expresion”, haciendo enfasis en que la proposi-cion resultante es identica a la primera en cuanto a sentido, y que solo se encuentra expresada de maneradistinta.

11Esto incluye a las transformaciones proposicionales incluidas en este texto, ası como tambien cual-quier transformacion proposicional que se le pueda ocurrir.



3.5. TRANSFORMACIONES PROPOSICIONALES 41

Contraposicion - Σ· Se conjugan s y p y luego se intercambian de posicion.

Al aplicar esta transformacion, la unica manera de mantener las extensiones delos terminos en la contrapuesta es asegurando que inicialmente s y p hayan estadotomados de manera distinta. Las unicas premisas canonicas que cumplen con estapropiedad son la A y la O, ya que en ambas s y p se encuentran tomados dediferente manera. En resumen, las contraposiciones validas son

Σ A(s, p) = A( p, s)Σ O(s, p) = O( p, s)

EjemplosΣTodo perro es mascota = Todo no-mascota es no-perro.

ΣAlgun celular no es un objeto del siglo XXI = Algun no-objeto del siglo XXIno es un no-celular.

Obversion - Θ· Se cambia la calidad de la proposicion y se conjuga p.

La obversion podrıa ser considerada la transformacion del axioma de la cantidadpor excelencia, ya que justamente se conjuga p y luego, para mantener la cantidadoriginal de p y no trasgredir el axioma del vınculo, se cambia la calidad de laproposicion. En resumen

Θ A(s, p) = E (s, p)ΘE (s, p) = A(s, p)Θ I (s, p) = O(s, p)Θ O(s, p) = I (s, p)

Ejemplos

ΘTodo computador es electronico = Ningun computador es no-electronico.

ΘNinguna isla es grande = Toda isla es no-grande.

ΘAlgun filosofo es griego = Algun filosofo no es no-griego.

ΘAlgun arma no es danina = Algun arma es no-danina.

El axioma de la cantidad deja espacio para pensar en una variante de la obversi on,que consiste en conjugar s y cambiar la cantidad de la proposicion. El problemaque tiene esta transformacion, que a la luz del axioma de la cantidad es correcta,





es que trasgrede el axioma de la particularidad, y por lo mismo no es v alida. Esimportante, entonces, destacar que la cantidad de una proposicion y la cantidad delos terminos que en ella se encuentran son dos cosas relacionadas, pero no iguales.

Sea U (s, p) una premisa cualquiera convertible (E o I ), e Y (s, p) su respectiva contrariao subcontraria, y por lo tanto una premisa cualquiera cuya contraposicion es valida (Au O). La siguiente relacion puede ser establecida

ΘU (s, p) = Y (s, p)Σ Θ U (s, p) = Y ( p, s)

Ω U (s, p) = Θ Σ Θ U (s, p) = U ( p, s)Ω · = Θ Σ Θ ·

De igual manera, la siguiente relacion puede ser establecida

ΘY (s, p) = U (s, p)Ω Θ Y (s, p) = U ( p, s)

Σ Y (s, p) = Θ Ω Θ Y (s, p) = Y ( p, s)Σ · = Θ Ω Θ ·

En el Apendice A se resumen todas las relaciones que se pueden hacer entre una

proposicion y sus respectivas transformaciones. Ademas se expone con claridad la relacionrecien descrita que tiene la conversion y la contraposicion a traves de la obversion.

Generalmente en los textos se habla de la conversion de la A por limitacion (o conver-sion por accidente) y de la contraposicion de la E por limitacion (o contraposicion poraccidente). La conversion por accidente (Ω∗·) consiste en intercambiar de posicion s y p y luego cambiar la cantidad de la proposicion (Ω∗A(s, p) = I ( p, s)), mientras que lacontraposicion por accidente(Σ∗·) consiste en conjugar s y p, intercambiarlos y luegocambiar la cantidad de la proposicion (Σ∗E (s, p) = O( p, s)). La definicion de estas dosoperaciones12 no es necesaria debido a que se pueden definir con las transformacionesantes definidas mas la subalternacion, es decir, la conversion por accidente puede serdefinida como subalternar y convertir, mientras que la contraposicion por accidente pue-

de ser definida como subalternar y contraponer. Por supuesto, ambas operaciones sonvalidas a la luz del axioma del vınculo laxo.

12Importante es notar que se trata de operaciones y no transformaciones, ya que no generan proposi-ciones equivalentes.



3.5. TRANSFORMACIONES PROPOSICIONALES 43

Como veremos mas adelante, toda operacion que implique subalternar tiene problemasde presuposicion existencial (o importe existencial), ya que las proposiciones universalesno tienen importe existencial, mientras que las particulares sı lo tienen, motivo porel cual no serıa valido deducir “Algun extraterrestre es inteligente” a partir de “Todoextraterrestre es inteligente”, ya que la segunda premisa no implica la existencia deextraterrestres, mientras que la primera sı lo hace. Para efectos de este capıtulo y de losejercicios del mismo aceptaremos como valida la subalternacion como operacion logica,siempre y cuando no se trasgreda el axioma del vınculo laxo.





3.6. Ejercicios

1. Considerando que en (i) “La osa mayor es una animal” se habla sobre una osapolar, y que en (ii) “La osa mayor no es un animal” se habla sobre la constelacionde estrellas, ¿Son contradictorias (i) y (ii)?

Respuesta:

Por supuesto que (i) y (ii) no son contradictorias, ya que para que dos proposicionessean contradictorias estas deben afirmar y negar lo mismo sobre la misma cosa. Eneste caso las proposiciones (i) y (ii) aparentemente corresponden a una afirmaciony su respectiva negacion, pero como los sujetos a los que se refiere cada una de

ellas es distinto, no hay relacion de contradiccion.

2. Suponga que la proposicion “Algunos mortales no son de este planeta” es falsa.Comente las siguientes afirmaciones (i) “Algunos mortales son de este planeta” esverdadero, (ii) “Todo mortal es de este planeta” es falso y (iii) “Ningun mortal esde este planeta” es falso.

Respuesta:

Si “Algunos mortales no son de este planeta” es falso, entonces es verdadero “Todomortal es de este planeta”, luego la afirmacion (i) es correcta (por subalternacion) y(ii) incorrecta. Ademas, que ‘Todo mortal es de este planeta” sea verdadero implicaque “Ningun mortal es de este planeta” sea falso (ya que son contrarias), luego la

afirmacion (iii) es correcta.

3. Suponga que las proposiciones “Toda barracuda es mamıfero” y “Algun cientıficono es catolico” son verdaderas. Indique el valor de verdad de las siguientes proposi-ciones (i) “Alguna barracuda no es un no-mamıfero”, (ii) “Ninguna barracuda es unmamıfero”, (iii) “Ningun cientıfico es catolico”, (iv) “Algun mamıfero es catolico”,(v) “Algun cientıfico es catolico”, (vi) “Todo cientıfico es catolico” y (vii) “Ningunmamıfero es barracuda”.

Respuesta:

Como (i) corresponde a la obversa de la subalterna de “Toda barracuda es mamıfe-ro”, (i) es verdadera, mientras que (ii) es la contraria y (vii) la conversa de (ii),

luego ambas son falsas. El valor de verdad de la proposici on (iv) no es determina-ble, ya que mezcla los terminos de las dos proposiciones dadas como verdaderas.El valor de verdad de (iii) y de (v) tampoco es determinable, ya que la primeracorresponde a la alterna de “Algun cientıfico no es catolico” y la segunda a la



3.6. EJERCICIOS 45

subcontraria de la misma proposicion, mientras que (vi) es claramente falsa (porcontradiccion).

4. Complete el siguiente cuadro con lo solicitado, indicando el valor de verdad de cadauna de las proposicion formadas.

Proposicion (Sub)Contraria Contradictoria Obversa Conversa (Sub)Alterna ContrapuestaE (¬s, p): FI (n, h): V

E (¬d, t): VA(¬v, h): V

O(a, ¬b): VO(g, k): ¿?

Respuesta:

A continuacion se presenta el cuadro completo con lo pedido.

(Sub)Contraria Contradictoria Obversa Conversa (Sub)Alterna ContrapuestaA(¬s, p):¿? I (¬s, p):V A(¬s,¬ p):F E ( p,¬s):F O(¬s, p):¿? —O(n, p):¿? E (n, h):F O(n,¬h):V I (h, n):V A(n, h):¿? —

A(¬d, t):F I (¬d, t):F A(¬d,¬t):V E (t, ¬d):V O(¬d, t):V —E (¬v, h):F O(¬v, h):F E (¬v, ¬h):V — I (¬v, h):V A(¬h, v):V I (a,¬b):¿? A(a,¬b):F I (a, b):V — E (a,¬b):¿? O(b,¬a):V I (g, k):¿? A(g, k):¿? I (g, ¬k):¿? — E (g, k):¿? O(¬k, ¬g):¿?

5. ¿Cual es la diferencia entre los pares de premisas (i) A(s, p) - Ω∗A(s, p) y (ii)A(s, p) - ΣA(s, p)?

Respuesta:

La gran diferencia es que las premisas de (i) no son equivalentes, mientras que las de

(ii) sı lo son. Las operaciones por accidente incluyen la subalternacion, motivo porel cual al aplicar estas operaciones sobre una premisa el resultado es una premisaque se sigue de la original, pero que no es equivalente, como ocurre en el caso delas transformaciones logicas.





6. Considerando la regla practica que contiene el axioma del vınculo laxo para incluirla subalternacion como una operacion logica valida, determine la regla practica quedebiese incorporarse para incluir la alternacion como una operacion logica valida.

Respuesta:

Para contestar esta pregunta y tener claro de donde sale la regla practica del axiomadel vınculo laxo, es de mucha utilidad considerar el diagrama del anexo A para teneruna vision general de los posibles movimientos entre los tipos de proposiciones. Esclaro entonces que la regla practica pedida es la siguiente: una premisa universalse sigue de una particular (ambas con el mismo sujeto y predicado, por supuesto)solo si la cantidad de uno de los terminos se encuentra alterada.

7. A la luz del axioma del vınculo, explique por que la paradoja “Esta oracion tiene seispalabras”, “Esta oracion no tiene seis palabras”, no es en realidad una paradoja.

Respuesta:

En esencia, el axioma del vınculo postula que para que haya consecuencia logica laconclusion y la premisa del argumento deben hablar de lo mismo. En ese sentido,la paradoja no es en realidad paradojica porque los sujetos de las dos oraciones nocoinciden, ya que el sujeto de la primera es una oracion de 5 palabras, mientras queel de la segunda es una oracion de 6 palabras, distinta a la otra oracion. Por estomismo, no hay ningun vınculo entre ambas oraciones, y por lo tanto sus valores deverdad no estan relacionados.

8. Suponga que la premisa I (insecto,¬vertebrado) es verdadera. Establezca tres pro-posiciones que no se sigan.

Respuesta:

Partiendo por el caso trivial, cualquier proposicion que no tenga los mismos termi-nos no se sigue, luego A(perro, gato) no se sigue. Tambien se puede considerarcualquier proposicion que, teniendo los mismos terminos, tenga alguna relacion deoposicion con I (insecto, ¬vertebrado), como E (insecto, ¬vertebrado) (contradicto-ria) y O(insecto,¬vertebrado) (subcontraria). Por ultimo se pueden considerar lastransformaciones logicas de las proposiciones opuestas a I (insecto,¬vertebrado).

9. Utilizando transformaciones proposicionales y considerando la subalternacion co-

mo una operacion valida, muestre, en caso de que sea posible, que a partir de laproposicion original se puede llegar a la conclusion. En caso de que no se pue-da, indique que axioma se quebranta y la relacion de oposicion que hay entre laspremisas.



3.6. EJERCICIOS 47

(a) E ( p, m), entonces O(m, p).

(b) E (r, f ), entonces I (r, f ).

(c) A(s, p), entonces I ( p, s).

(d) I (b, c), entonces A( j, c).

(e) A(t, q ), entonces O(t, q ).

Respuesta:

Primero veamos, segun los axiomas, cuales de los 5 ejercicios corresponden a ar-gumentos correctos y cuales no. Se puede ver que los unicos argumentos correctosson el (b) y el (e). En (a), como la cantidad de la conclusion es distinta a la de la

premisa, uno de los terminos debiese tener la cantidad alterada, pero tanto p comom tiene las cantidades alteradas, luego se quebranta el axioma del vınculo laxo, en(c), en cambio, el problema esta en que no se cumple que haya un termino con sucantidad alterada, luego tambien se quebranta el axioma del vınculo laxo. Final-mente, en (d) la conclusion ni siquiera tiene los mismos terminos de la premisa,y ademas se pasa de particular a universal, luego quebranta tanto el axioma delvınculo como el de la particularidad.

Desarrollaremos cada uno de los ejercicios hasta llegar a la conclusi on (cosa quesolo podremos hacer con el (b) y el (e)) o hasta llegar a una premisa que deje verclaramente la relacion de oposicion buscada.

(a) E ( p, m) (dada )E (m, p) (1 = Ωdada)A(m, p) (2 = Θ1)

2 es la contradictoria de O(m, p).

(b) E (r, f ) (dada )A(r, f ) (1 = Ωdada)I (r, f ) (2 = Sub1)

2 corresponde exactamente a la conclusion.

(c) A(s, p) (dada )

I ( p, s) (1 = Ω∗

dada)O( p, s) (2 = Θ1)

2 es la subcontraria de I ( p, s).





(d) I (b, c) (dada )

Aquı no hay relacion de oposicion alguna, ya que se trata de dos premisas queno tienen los mismo terminos.

(e) A(t, q ) (dada )A(q, t) (1 = Σdada)I (t, q ) (2 = Ω∗1)O(t, q ) (3 = Θ2)

3 corresponde exactamente a la conclusion.

10. Apoyandose en la proposicion E (a, b), explique por que tomar universalmente untermino es equivalente a tomar su conjugado particularmente.

Respuesta:

Como se puede ver en la figura, como b es el predicado de una proposicion negativa,se puede separar el universo en dos: los no-b que pertenecen a a (marcado en gris)y el resto (indicado con las flechas), compuesto por el resto de no-b y por todo b.Por lo tanto b se encuentra tomado universalmente, mientras que solo se esta to-mando un subgrupo de no-b, lo que es equivalente a decir que no-b esta tomadoparticularmente.

U

b

b

a

11. Suponga que la proposicion “Algunos abogados no son penalistas” es falsa. De estose sigue con necesidad logica que:

(a) “Algunos abogados son penalistas” es verdadera.

(b) “Todo abogado es penalista” es falsa.

(c) “Ningun abogado es penalista” es falsa.



3.6. EJERCICIOS 49

Respuesta:

(a) “Algunos abogados son penalistas” es verdadera.(c) “Ningun abogado es penalista” es falsa.

12. Si es posible, distinga relaciones de oposicion en el siguiente conjunto de proposi-ciones T = E (s, no-p), I (s, no-p), I (s, p), E (s, p).

Respuesta:

De izquierda a derecha:1- La primera y la segunda son contradictorias.

2- La primera y la ultima son contrarias, ya que E (s, no-p) es igual a A(s, p) (porobversion).3- La segunda y la tercera son subcontrarias, ya que I (s, no-p) es igual a O(s, p)(por obversion).4- La tercera y la cuarta son contradictorias.

13. Habıa dos individuos (individuo1 e individuo2) que discutıan sobre quien sabıa massobre marcianos (i.e., los habitantes del planeta Marte). Individuo1 se jactaba desaber los siguientes hechos: (i)“Algunos marcianos son azules”, (ii)“Algunos mar-cianos no tienen cola”, (iii)“Algun azul no es no-marciano” y (iv)“El marciano sabeingles”. Individuo2 se jactaba de saber: (i)“Todo marciano es azul”, (ii)“Algunosmarcianos saben ingles” y (iii)“Algunos marcianos tienen cola”. Determine quien

sabe mas sobre la poblacion marciana.

Respuesta:

Basicamente debemos determinar quien sabe mas cosas distintas y acerca de masmarcianos. Por ejemplo, si un individuo afirma una propiedad sobre algunos mar-cianos, mientras que el otro individuo afirma la misma propiedad sobre todos losmarcianos, entonces se considera que el segundo individuo sabe mas. En este caso,individuo1 cuenta con dos hechos iguales (el (i) y el (iii)), ya que de (i) se puedellegar a (iii) convirtiendo y luego obvirtiendo. Ademas, individuo1 cuenta con unaproposicion de cantidad indeterminada, por lo que no se puede determinar, a partirde lo que sabe individuo1, si todos o solo algunos marcianos saben ingles. Por este

motivo, el hecho (iv) debe ser reducido a “Algunos marcianos saben ingles”, yaque es lo unico que individuo1 puede afirmar con certeza. Resumiendo, lo que sabeindividuo1 se reduce a tres hechos: (i)“Algunos marcianos son azules”, (ii)“Algunosmarcianos no tienen cola”, y (iii) “Algunos marcianos saben ingles”.





Los hechos que individuo2 sabe son practicamente iguales a los de individuo1, peroa diferencia de este ultimo, individuo2 puede afirmar con certeza que todos losmarcianos son azules, a diferencia de individuo1 que solo lo puede aseverar dealgunos. Por este motivo, individuo2 sabe mas que individuo1.

14. Sea U (s, p) una premisa cualquiera convertible, explique por que su respectiva(sub)contraria no es convertible.

Respuesta:

Para que una premisa sea convertible, esta debe ser E o I , luego sus respectiva(sub)contraria puede ser A u O, premisas que no se pueden convertir (pero sı sepueden contraponer).

15. Determine la validez o invalidez de las transformaciones proposicionales aplicadasa las proposiciones indeterminadas “Un s es p” y su respectiva negacion “Un s noes p”. ¿Por que no tiene sentido tratar la subalternacion en este tipo de premisas?

Respuesta:

Como vimos en ejercicios anteriores, las proposiciones indeterminadas no son clarasen cuanto a su universalidad o particularidad, luego lo unico que se puede inferirde ellas con total seguridad es que son aplicables en el caso particular. Esto quieredecir que para cualquier efecto practico, las proposiciones indeterminadas debenser tratadas como proposiciones particulares cuando se trata con inferencias, porlo que las transformaciones validas de “Un s es p” son las mismas de la particularpositiva, mientras que las de “Un s no es p” son las mismas de la particular negativa.Por este motivo, no tiene sentido tratar la subalternacion en este tipo de premisas,ya que para efectos formales estas deben ser consideradas particulares.



Capıtulo 4

Inferencias mediatas

4.1. Introduccion

Luego de haber estudiado las inferencias inmediatas, sus axiomas de correccion, lastransformaciones proposicionales y su correcta aplicacion en las proposiciones canonicas,y practicamente todo lo relativo a argumentos compuestos por una sola premisa y una

conclusion, queda todavıa una pegunta obvia que no ha sido contestada, y es que ocurrecon argumentos de mas de una premisa. En este capıtulo estudiaremos las inferenciasmediatas, estudio que enfocaremos en el nucleo de los argumentos complejos: los silogis-mos. Un silogismo es un argumento donde, asentadas dos proposiciones diferentes entresi, se sigue una tercera por el solo hecho de haber asentado estas dos anteriores. Porejemplo, si es verdad que A(perro, canino) y A(canino, animal ), se sigue, por el solo he-cho de haber asentado las dos premisas anteriores, que A(perro, animal ). Como veremosmas adelante, ası como las inferencias inmediatas cuentan con un conjunto de axiomas decorreccion, los silogismos tambien, y su base axiomatica corresponde a la generalizacionde los axiomas ya estudiados.

Este capıtulo se estructura como sigue: primero las reglas de formacion del silogismo

son presentadas, y luego el estudio clasico de silogıstica con terminos definidos es llevado acabo. Luego, los axiomas de correccion son reformulados en el contexto de la silogıstica, demanera de poder aplicarlos en silogıstica de terminos indefinidos. Finalmente, el metodode los arboles de Gentzen es expuesto.

51



52 CAPITULO 4. INFERENCIAS MEDIATAS

4.2. Reglas de formacion

Antes de trabajar directamente con silogismos, es importante definirlos adecuadamen-te y restringir su estructura. Particularmente trabajaremos con silogismos compuestospor tres proposiciones canonicas: dos proposiciones en el argumento, las cuales debencompartir un termino en comun, y una proposicion en el consecuente, la cual debe con-tener los terminos no repetidos en el argumento. Segun esto, un silogismo validamenteformado debe tener, por ejemplo, una estructura como la siguiente:

W 1(T, m)W 2(m,¬t)W 3(t, ¬T )

donde W 1, W 2 y W 3 indican proposiciones canonicas cualquiera (ya sea A, E , I u O),W 1(T, m) corresponde a la premisa mayor, W 2(m, ¬t) a la premisa menor, W 3(t, ¬T ) ala conclusion, T al termino mayor, t al termino menor y m al termino medio. Ası comoel ejemplo recien expuesto, hay muchas estructuras validas, llamadas figuras silogısticas,que las reglas de formacion establecidas admiten como correctas, y estas se clasifican ydistinguen unas de otras segun la posicion que tiene el termino medio en cada premisa ysegun la posicion relativa de los terminos mayor y menor en la conclusion. En silogısticade terminos definidos1, principalmente se distinguen cuatro figuras directas:

m T T m m T T mt m t m m t m tt T t T t T t T

sub − prae prae − prae sub − sub prae − sub

Las figuras indirectas son iguales a las recien expuestas, con la unica diferencia de queen la conclusion el termino mayor con el termino menor se encuentran intercambiados.Por ejemplo, la primera figura indirecta es de la forma m T , t m/T t, mientras que latercera figura indirecta es de la forma m T , m t /T t. Como se puede apreciar, la cuartafigura indirecta corresponde a la primera figura directa con las premisas intercambiadasy viceversa, ası como la segunda figura indirecta corresponde a la segunda figura directa

1En este capıtulo se trata tanto la silogıstica de terminos definidos como la de terminos indefinidos. Larazon por la cual las estudiaremos por separado es simplemente pedagogico, ya que podrıamos estudiardirectamente la silogıstica de terminos indefinidos, que es mucho mas amplia y abarca a la silogıstica determinos definidos.



4.3. SILOGISMOS DE TERMINOS DEFINIDOS 53

con las premisas intercambiadas y la tercera figura indirecta corresponde a la tercerafigura directa con las premisas intercambiadas.

A estas ocho figuras (cuatro directas mas cuatro indirectas) se les pueden sumartodas las variaciones que incluyen terminos indefinidos, ya sea en el termino mayor,menor o medio, dando ası un total de 512 figuras silogısticas. Por ejemplo, la figuram ¬T, t ¬m/t T corresponde a una variacion de la primera figura directa2.

Queda todavıa la pregunta mas importante, y es como determinar que modos de cadafigura silogıstica son conclusivos (i.e., argumentos correctos) y como determinarlos. Pormodo se entiende una configuracion particular de proposiciones canonicas en una figura,por ejemplo, E (m, T ), I (m, t)/O(t, T ) corresponde al modo EI/O de la tercera figura

directa, ası como E (T, m), A(m, t)/O(t, T ) corresponde al modo EA/I de la cuarta figuradirecta. Para determinar la validez o invalidez de cada uno de estos modos estudiaremoslos axiomas de correccion de la silogıstica, los cuales nos permitiran determinar si undeterminado modo es valido, ademas de generar todos los modos validos de cada una delas figuras silogısticas.

4.3. Silogismos de terminos definidos

El estudio clasico de la logica aristotelica (i.e. el estudio de la logica de Arist´ oteles )no contempla la inclusion de terminos indefinidos en la silogıstica, debido a que dichateorıa no cuenta con las herramientas necesarias para trabajar con silogismos de terminosindefinidos. A continuacion, y por motivos principalmente pedagogicos, estudiaremos lasilogıstica de terminos definidos como tal y segun la tradicion, para mas adelante in-cluir terminos indefinidos. Para determinar la validez o invalidez de los distintos modossilogısticos de solo terminos definidos se utilizan axiomas de correccion distintos a losya estudiados, pero de todas maneras ampliamente relacionados. En una primera ins-tancia estudiaremos estos axiomas y como se aplican, y mas adelante, en la Seccion 4.6,estudiaremos su similitud con los tres axiomas ya estudiados y sus falencias.

2Esta podrıa ser referida como primera figura directa con termino mayor conjugado en la premisamayor y termino medio conjugado en la premisa menor.





4.3.1. Axiomas de correccion para silogismos de terminos definidos

En la literatura se reconocen entre cinco y seis axiomas de correccion para la silogısticade terminos definidos, y algunas veces incluso se mezclan con las reglas de formacion.Los axiomas que nos permiten verificar si un modo silogıstico de terminos definidos esvalido o no se detallan a continuacion.

Axioma 1 La conclusion de un silogismo sigue la parte mas debil de las premisas, asaber: la negatividad y la particularidad.

Axioma 2 El predicado de una premisa de calidad negativa se encuentra tomado univer-

salmente, mientras que el predicado de una premisa de calidad positiva se encuentratomado particularmente.

Axioma 3 Los terminos mayor y menor de un argumento no pueden tener una extensionmayor en la conclusion que en las premisas.

Axioma 4 De dos premisas de calidad negativa no es posible extraer conclusion alguna.

Axioma 5 El termino medio de un argumento debe ser tomado al menos una vez uni-versalmente en las premisas.

Axioma 6 De dos premisas particulares no es posible extraer conclusion alguna.

Estos axiomas son ciegos con respecto al problema del importe existencial, es decir,no pueden distinguir que modos tienen este problema3. Con la ayuda de estos axiomases posible determinar 48 modos validos de terminos definidos, 24 correspondientes alas cuatro figuras directas y 24 correspondientes a las cuatro figuras indirectas. Estos48 modos validos estan compuestos por 30 modos estrictamente validos (i.e. que notienen problemas de importe existencial) y 18 modos que sı tienen problemas de importeexistencial.

Con el fin de ilustrar la utilidad y efectividad de estos axiomas en la silogıstica determinos definidos, derivaremos las prescripciones4 de la segunda figura directa (prae-prae ) de manera de determinar cuales son los modos validos de esta figura. La disposicionde los terminos en la segunda figura directa esta dada por:

3El problema del importe existencial sera estudiado en profundidad en la Seccion 4.5. Por el momentobasta saber que la teorıa clasica de silogıstica de terminos definidos no contempla este problema.

4Por prescripciones se entienden las caracterısticas que debe tener un modo de una determinada figurapara que este sea conclusivo.




T m ( p1)t m ( p2)t T (c)

Donde T corresponde al termino mayor, m al termino medio, t al termino menor, p1 ala premisa mayor, p2 a la premisa menor y c a la conclusion. Como el termino medio debeestar tomado al menos una vez universalmente (axioma 5) es claro que p1 o p2 debe sernegativa (axioma 2), y por lo tanto c tambien sera negativa (axioma 1). Si la conclusiones negativa, T se encontrara tomado universalmente ahı (axioma 2), y por lo tanto p1tendra que ser universal (axioma 3). En consecuencia, las prescripciones de la figura bajoanalisis quedan ası: (i) la premisa mayor debe ser universal y (ii) una de las premisas del

argumento debe ser negativa . Por lo tanto, los modos validos de esta figura son EA/E ,AE /E , EI /O, AO/O, EA/O y AE /O, donde los dos ultimos corresponden a EA/E yAE /E con la conclusion subalternada, respectivamente. Todas las otras combinacionessilogısticas que no sigan alguna de las prescripciones senaladas quebrantaran alguno oalgunos de los axiomas mencionados.

4.3.2. Lista de los silogismos de terminos definidos

Ası como en la seccion anterior fueron determinados todos los modos validos de lasegunda figura directa, el ejercicio se puede repetir para las tres figuras restantes yası se pueden determinar las prescripciones (y por ende los modos validos) de las cuatrofiguras directas e indirectas. A continuacion se listan las prescripciones de las cuatrofiguras directas.

Primera figura La premisa mayor debe ser siempre universal, mientras que la premisamenor debe ser afirmativa.

Segunda figura La premisa mayor debe ser siempre universal. Alguna de las premisasdebe ser negativa.

Tercera figura La premisa menor debe ser siempre afirmativa, mientras que la conclu-sion debe ser siempre particular.

Cuarta figura Ninguna de las premisas puede ser particular negativa. Si la premisamayor es afirmativa, entonces la menor debe ser universal, mientras que si la menores negativa, la mayor debe ser universal.





Para mostrar el procedimiento que se debe utilizar para determinar las prescripcionesde cada figura, demostraremos las prescripciones de la primera figura directa, ası como fueexpuesto el procedimiento para obtener las prescripciones de la segunda figura directa.Supongamos que la premisa menor no es afirmativa (o sea, negativa), si es ası, por elaxioma 1, la conclusion debera ser negativa, lo que implica que el termino mayor estarıatomado universalmente (por el axioma 2), lo que implica que este mismo termino deberıaser tomado universalmente en la premisa mayor (axioma 3), pero la unica manera de queesto se cumpla es suponiendo que la premisa mayor es negativa (axioma 2), cosa que nosimpide suponer el axioma 4, ya que de dos premisas negativas no sale nada. En sıntesis,la premisa menor debe ser afirmativa, o sino se llega a una contradiccion.

Si la premisa menor es afirmativa, entonces el termino medio esta tomado particu-larmente (axioma 2), lo que obliga a que este sea tomado universalmente en la premisamayor para no transgredir el axioma 5, luego la premisa mayor debe ser universal (finde la demostracion). Tomando en cuenta lo anterior, los modos silogısticos validos de laprimera figura son: AA/A (llamado Barbara ), EA/E (llamado Celarent ), AI /I (llamadoDarii ) y EI /O (llamado Ferio). Ademas se encuentran los modos subordinados AA/I (llamado Barbari ) y EA/O (llamado Celaront ).

Como se puede apreciar, el metodo que se debe utilizar para determinar las prescrip-ciones de una figura cualquiera se basa en hacer supuestos y llegar a contradicciones. Porejemplo, para determinar las prescripciones de la primera figura directa, lo que hicimosfue suponer que la premisa mayor era negativa, llegando (con el uso de los axiomas), a

que eso forzaba un imposible. De esta manera, se pudo establecer de inmediato que lapremisa mayor no podıa ser negativa. Puede ocurrir que el supuesto inicial no lleve aninguna contradiccion. En dicho caso, el proceso igualmente puede proveer informaci onutil. Por ejemplo, puede ser que al suponer que la premisa menor de una figura cualquieraes universal, la conclusion debe ser negativa. De esta manera, se puede establecer quetodos los modos conclusivos de dicha figura, cuya premisa menor sea universal, debentener conclusion negativa.

Por supuesto las prescripciones expuestas tambien son validas para las cuatro figurasindirectas (las prescripciones de la primera figura directa son validas para la cuartafigura indirecta al intercambiar las premisas, las de la segunda figura directa son validaspara la segunda figura indirecta al intercambiar las premisas, etcetera). Segun estas

prescripciones, se pueden determinar los 48 modos validos de terminos definidos. Acontinuacion se presenta la lista de todos los modos validos de las cuatro figuras directas




mas los modos validos de la primera figura indirecta5

Primera figura Barbara , Celarent , Darii y Ferio. Ademas se encuentran los modossubordinados Barbari y Celaront .

Segunda figura Cesare , Camestres , Festino y Baroco. Ademas se encuentran los modossubordinados Cesaro y Camestros .

Tercera figura Darapti , Felapton , Disamis , Datisi , Bocardo y Ferison .

Cuarta figura Bamalip, Calemes , Dimatis , Fesapo y Fresison . Ademas se encuentra elmodo subordinado Calemos .

Primera figura indirecta Baralipton , Celantes , Dabitis , Fapesmo y Frisesomorum .Ademas se encuentra el modo subordinado Celantos .

Dado que Aristoteles consideraba la primera figura silogıstica como la figura perfecta6,para demostrar la validez de los silogismos (sin considerar el uso directo de los axiomas)nos encontramos con dos metodos: (i) demostracion por reduccion a la primera figurautilizando las transformaciones logicas ya estudiadas, y (ii) demostracion por absurdo.Estos dos metodos no son aplicables a los modos de la primera figura, ya que estos sonconsiderados como perfectos, y de hecho, para demostrar la validez de un modo de otrafigura, basta mostrar que el silogismo en cuestion se puede llevar a uno de la primera

figura. En los nombres de los modos validos recien listados podemos encontrar las “pistas”para demostrar su validez, ya que la mayorıa de las consonantes tienen algun significado.Fueron los logicos medievales los responsables de utilizar la mnemotecnia verbal paraindicar como se deben reducir los modos de la segunda y tercera figura directa a unmodo de la primera figura directa. Posteriormente, continuando con la labor de los l ogicosmedievales, la mnemotecnia verbal fue aplicada a los modos de la cuarta figura directa yprimera figura indirecta. Solo algunas consonantes tienen significado, el cual se entregaa continuacion:

− S : indica que la proposicion que le antecede debe ser convertida simplemente.

5La informacion acerca de como son las premisas se encuentra contenida en las vocales de cada nombre,

por ejemplo, un Camestres implica que la premisa mayor es A, la premisa menor es E y la conclusion esE .

6Esto puede sonar ridıculo, porque de hecho lo es. Desde un punto de vista logico todos los modos soniguales en cuanto a validez y no hay motivos para pensar que la primera figura contiene modos “mas”validos que el resto de las figuras.





− P : indica que la proposicion que le antecede debe ser convertida por accidente7.

− M : indica que se debe trasponer las premisas.

− C : indica que el silogismo no se puede reducir, y que debe ser demostrado porabsurdo.

− Primera consonante : indica el modo perfecto al que lleva la reduccion.

Por ejemplo, el modo Disamis puede ser llevado a un Darii de la primera figuraconvirtiendo la premisa mayor, convirtiendo la conclusion e intercambiando las premisas,ası como el modo Fesapo puede ser llevado a un Ferio de la primera figura convirtiendola premisa mayor y convirtiendo por accidente la premisa menor.

La demostracion por absurdo, aplicable a todos los modos (inclusive aquellos quepermiten ser reducidos a un modo de la primera figura), consiste en lo siguiente: dadoun silogismo, se supone que las premisas son verdaderas pero no la conclusion (i.e., sesupone que las premisas pertenecientes al conjunto contraejemplo son verdaderas), luegose toma la contradictoria de la conclusion dada y con ella mas alguna de las dos premisastomadas como verdaderas se arma un silogismo de la primera figura, si la conclusi on deeste nuevo silogismo es contradictoria o tiene algun nivel de contrariedad con la otrapremisa (que tambien se supuso que era verdadera), el silogismo original es correcto. Porejemplo, para demostrar la validez de un Borcardo (O(m, T ), A(m, t)/O(t, T )), tomamos

las premisas como verdaderas mas la contradictoria de la conclusion que corresponde aA(t, T ), luego armamos un Barbara con la contradictoria de la conclusion y la premisamenor y vemos que conclusion se deriva: A(t, T ), A(m, t)/A(m, T ). Como podemos ver,la nueva conclusion (A(m, T )) contradice a la premisa mayor (tomada como verdaderaanteriormente), luego no puede ser que la contradictoria de la conclusion original seaverdadera, lo que implica que el silogismo original es valido (ya que si las premisas sontomadas como verdaderas, la contradictoria de la conclusion es necesariamente falsa ypor ende la conclusion es necesariamente verdadera).

Si bien los dos metodos de demostracion recien presentados son los dos metodos porexcelencia de la literatura, es claro que su aplicacion es bastante cuestionable8, en cuantonecesitan que la validez de los modos de la primera figura sea considerada axiomatica.

Por este motivo, una demostracion llevada a cabo con el uso de axiomas es desde unprincipio mas correcta y aplicable a todos los modos silogısticos por igual. A pesar de

7En este caso, la conversion por accidente implica que de A se pasa I y viceversa8Sin ir mas lejos, el metodo de reduccion a la primera figura directa es ridıculo.



4.4. IMPORTE EXISTENCIAL 59

esto, el concepto que hay detras de la demostracion por absurdo, que implica evaluarla validez de un argumento a traves de la invalidez del conjunto contraejemplo, es desuma importancia y ampliamente utilizado, por ejemplo, en la determinacion de lasprescripciones de cada una de las figuras silogısticas.

4.4. Importe existencial

Hasta ahora solo hemos mencionado el problema del importe existencial, pero todavıano nos hemos topado con que sea realmente un problema, ya que en general hemosutilizado herramientas que no son lo suficientemente formales. Al formalizar el tratadode la logica aristotelica, de manera de unificarla baja un mismo conjunto de axiomas,el problema del importe existencial comienza a afectar, motivo por el cual debe serestudiado y comprendido para ası poder lidiar con el.

A muy grandes rasgos, el problema del importe existencial establece que al tomaruniversalmente un termino no se esta garantizando su existencia, mientras que al tomarparticularmente un termino sı se garantiza su existencia. Por este motivo, serıa invalidopasar de lo universal a lo particular, ya que serıa equivalente a concluir que algo existea partir de una proposicion que no garantiza la existencia de la referencia. En la logicacategorica la existencia o inexistencia de la referencia de los terminos tomados univer-salmente ha sido ampliamente debatida, especialmente en el siglo veinte. Aquı yace ladiscusion sobre si son o no conclusivos los silogismos que de solas premisas universalesextraen una conclusion particular. La dificultad planteada por este problema alcanza a laconversion por accidente de la universal afirmativa, la contraposicion por accidente de launiversal negativa y, de forma mas general, la subalternacion. Si este es un problema quedebiese ser considerado o no es algo que, como ya se dijo, sigue siendo tema de debate,pero sea cual sea la postura al respecto, cualquier abstraccion de la logica aristotelicaque apunte a su formalizacion debe saber tratarlo 9.

El problema del importe existencial puede sonar ridıculo a primera vista, ya que pensarque no se puede afirmar que “Algun perro es blanco” a partir de “Todo perro es blanco”no se condice con la intuicion, pero en realidad sı tiene su fundamento intuitivo. Tomemoscomo ejemplo la proposicion (i) “Todo perro es cuadrupedo”. Ahora la pregunta que

debemos hacernos es, ¿Como podemos probar que (i) es verdadera? o de forma m asgeneral ¿Como se puede probar que una proposicion universal cualquiera es verdadera?

9Como quedara en evidencia mas adelante, son justamente los tratos formales de la l ogica aristotelica,y particularmente la logica matematica, los que hacen visible este problema.





Para hacer esto hay dos caminos posibles, uno que no tiene sentido y otro que sı. Elprimero consiste en mostrar que la premisa se cumple para todos los individuos deluniverso uno por uno, pero de esa manera nunca podrıamos saber si es que terminamosy ya mostramos que se cumple para absolutamente todos los individuos del universo. Elsegundo metodo consiste simplemente en constatar que no pasa lo contrario, es decir,que no hay un caso que pruebe la falsedad de la proposicion10. Por el otro lado, paraprobar la verdad de la proposicion (ii) “Algun perro es cuadrupedo” hay que mostrarque esta premisa se cumple para un individuo, es decir, tiene que existir al menos unindividuo en nuestro universo que haga verdadera la premisa. Como podemos ver, parademostrar la verdad de una proposicion particular es necesario que exista un individuoque la haga verdadera, mientras que para probar la verdad de una premisa universal,

se debe mostrar que no existe un individuo que no cumpla con ella. Por este motivo, sies que en nuestro universo no hubiesen perros, (i) serıa verdadera porque no podrıamosmostrar sus falsedad (porque efectivamente no existe algun perro que no sea cuadrupedo),mientras que (ii) no serıa verdadera, ya que no podrıamos encontrar un individuo que lahaga verdadera.

Todo esto se debe a que las proposiciones universales son de caracter condicional mien-tras que la proposiciones particulares son de caracter existencial, es decir, la proposicionA(s, p) quiere decir que para todos los individuos del universo, si cierto individuo tienela propiedad s, entonces tambien tiene la propiedad p, mientras que I (s, p) quiere decirque existe al menos un individuo en el universo que tiene las propiedades s y p. Paraentender esto consideremos la proposicion “Todo elefante nacido en la moneda es chi-

leno”. Claramente la proposicion es verdadera, ya que si un elefante nace en la monedatiene que ser chileno, o visto de otra manera, no tenemos c omo encontrar un elefantenacido en la moneda que no sea chileno. A pesar de esto, la proposici on “Algun elefantenacido en la moneda es chileno” es falsa11, porque para mostrar que es verdad tiene queexistir un individuo en nuestro universo que sea un elefante nacido en la moneda y quesea chileno.

10En el fondo, para probar la verdad o falsedad de una proposicion universal es necesario recurrir a surespectiva contradictora particular.

11Si esta proposicion es falsa o tiene un valor de verdad no definido puede ser materia de debate. Loimportante es que no es verdadera.




4.5. Axiomas de correccion

Los seis axiomas clasicos recien estudiados solo sirven para la silogıstica de terminosdefinidos, y no permiten extender la teorıa silogıstica incluyendo terminos indefinidos. Acontinuacion estudiaremos los axiomas de correccion generales que permiten cubrir todala silogıstica (con terminos definidos e indefinidos). Es muy importante tener claro quelos axiomas que veremos ahora son los realmente importantes, y que los seis axiomasclasicos de la silogıstica de terminos definidos corresponden a reglas que funcionan enciertos casos particulares (i.e., en presencia de terminos definidos nada mas).

Los axiomas de correccion de las inferencias mediatas corresponden, practicamente, a

los ya estudiados para las inferencias inmediatas, salvo por algunos detalles. A continua-cion se presentan y describen brevemente estos axiomas.

Axioma de la cantidad El predicado de una proposicion de calidad negativa se en-cuentra tomado universalmente, mientras que el predicado de una proposicion decalidad positiva se encuentra tomado particularmente. Ademas, tomar universal-mente un termino t es equivalente a tomar particularmente su conjugado, t, ası co-mo tomar particularmente un termino t es equivalente a tomar universalmentet.

Axioma de la particularidad De dos premisas particulares es imposible concluir. Laconclusion en una inferencia es particular si y solo si esta caracterıstica se encuentrapresente en alguna premisa.

Axioma del vınculo La conclusion de un silogismo no puede tener terminos que po-sean mas extension que la que ofrecen en las premisas y, para evitar problemas deimporte existencial, la misma cantidad de los terminos de la conclusion debe ser laque ellos ofrecen en las premisas. Se subentiende que dos premisas tienen que tenerun termino comun para formar un silogismo conclusivo, el cual debe ser tomadouniversalmente en una de ellas y particularmente en la otra.

Como se puede apreciar, el axioma de la cantidad es exactamente el mismo estudiadopara las inferencias inmediatas, mientras que los otros dos axiomas ahora contienen ideas

nuevas. El axioma de la particularidad ahora establece que de dos proposiciones particu-lares es imposible concluir (independientemente de la figura con la que se este tratando),mientras que el axioma del vınculo introduce el problema del importe existencial y tratasobre el termino medio de un silogismo.





Con la ayuda de estos tres axiomas es posible determinar 3072 modos conclusivos determinos definidos e indefinidos. Estos 3072 modos conclusivos estan compuestos por1536 modos estrictamente validos (sin problemas de importe existencial) y 1536 modosque tienen problemas de importe existencial. En el Anexo B se muestran todos los modosvalidos, en sentido estricto y en sentido laxo.

4.5.1. Axioma de la particularidad

Es claro a estas alturas por que al introducir este axioma en el tratado de las inferenciasinmediatas se presento una version incompleta de este, y es que, al tratarse ahı con argu-

mentos de una sola premisa, no tenıa sentido hablar de lo que ocurrıa con dos premisas.Para entender por que podemos considerar la proposicion “De dos premisas particulareses imposible concluir” como una proposicion axiomatica consideremos el siguiente ejem-plo: I (hombre , humano), I (humano, americano)/I (hombre , americano)12. Para que el ar-gumento sea considerado valido, este debe ser valido para todos los elementos del universo(que en este caso corresponde a todos los humanos de la tierra) que hacen verdaderas laspremisas y ademas debe ser valido en los casos mas generales. Para simplificar el analisis,supongamos que el universo se compone de Juan (chileno), Josefina (argentina), Moises(aleman) y Pedro (ingles). Es claro que Juan, Moises y Pedro hacen verdadera la premisamayor, mientras que solo Juan y Josefina hacen verdadera la premisa menor. Teniendoesto en cuenta, podrıamos reemplazar la premisa mayor por “Moises es humano” y la

premisa menor por “Josefina es americana”, premisas a partir de las cuales no es posibleconcluir algo ya que no tienen relacion alguna13.

Como la validez de un argumento depende de que este sea valido en los casos masgenerales, siempre que estemos en presencia de argumentos con ambas premisas parti-culares el caso mas general implica considerar que ambas premisas se refieren a sujetosdistintos del universo, cosa que basta para darse cuenta de que las premisas en realidadno estan conectadas en absoluto, y por lo mismo no se puede concluir nada de formavalida. Esta situacion no ocurre en el caso de que haya una premisa universal, ya que

12Para efectos del ejemplo la conclusion puede ser cualquier cosa, ya que como veremos, de dos parti-culares es imposible concluir algo de manera valida.

13Alguien podrıa contraargumentar incorrectamente que Pedro hace que la proposicion

I (hombre , americano) sea verdadera, por lo que el argumento “Moises es humano” y “Josefina es ameri-cana”, entonces “Pedro es americano” es correcto. Hay que recordar que la validez de un argumento notiene relacion con los valores de verdad “cientıficos” de las proposiciones que lo componen, sino que conla estructura, y el problema de este argumento radica en que sus premisas se refieren a dos individuosdiferentes, por lo que no estan conectadas en absoluto y por lo mismo es imposible extraer una conclusion.




esta asegura la relacion entre ambas premisas14 porque permite que ambas premisas serefieran al mismo individuo. De forma informal, podrıamos decir que la premisa universaltiene la facultad de referirse a cualquier individuo al que la premisa particular se refiera,ya que al ser universal, debe cumplirse para todos los individuos del universo, incluyendoa aquellos a los cuales las premisas particulares se refieren.

4.5.2. Axioma del vınculo

Con respecto a la definicion preliminar entregada en el Capıtulo 3 este axioma presentados modificaciones: la primera que se refiere al problema del importe existencial, y la

segunda que se refiere a la presencia de un termino comun en las premisas.El problema del importe existencial en un argumento de una o mas premisas se genera

cuando ocurre alguna de las siguientes situaciones:

− Algun termino aparece tomado universalmente en las premisas y particularmenteen la conclusion.

− En el caso de silogismos15, el termino medio, que puede ser m o m, aparece tomadosiempre universalmente.

Para que no haya problemas de importe existencial se debe asumir que existe el termino

cuya existencia no es explıcita, es decir, si el problema surge con el termino x, se debeasumir como verdadera la premisa Existe un x , la que llamaremos precaucion aristotelica.Por axioma de la particularidad, al considerar como parte de las premisas la precauci onaristotelica, la conclusion de la inferencia sera necesariamente particular (ya que here-dara la particularidad de la precaucion aristotelica) y no habra problemas de importeexistencial.

Con respecto al segundo agregado del axioma del vınculo, el que establece que ambaspremisas deben tener un termino comun para que el silogismo sea conclusivo, cabe aclararun aspecto importante. Esta regla, a primera vista muy similar a una de las reglas deformacion estudiadas, apunta a lo mismo pero haciendo hincapie en algo muy distinto,y es en como se debe tomar el termino medio de un silogismo. Si en un silogismo el

termino medio es tomado particularmente en ambas premisas, esto no garantiza quehaya un termino comun entre ambas premisas, ya que las premisas se pueden referir

14Solo asegura la relacion entre ambas premisas, no la validez del argumento.15Notar que esta descripcion es facilmente extrapolable a argumentos de mas de dos premisas.





a conjuntos no traslapados dentro de los elementos que pertenecen al termino medio.Consideremos el ejemplo ilustrado en la figura 4.1. Si bien hay un termino comun enambas premisas (y por lo tanto no hay problemas con las reglas de formacion), comoeste se encuentra tomado ambas veces particularmente, es como si no hubiese un terminomedio. Por este motivo, el termino medio debe ser tomado universalmente en una premisay particularmente en la otra.

U

T

mt

Figura 4.1: Ilustracion de las premisas A(T, m) y I (m, t).

Como fue mencionado anteriormente, el termino medio no puede ser tomado ambasveces universalmente por problemas de importe existencial. La explicacion de esto essimilar a la recien entregada para el caso en que es tomado particularmente ambas veces,y es que al ser tomado universalmente ambas veces nada garantiza su existencia, y porlo tanto nada garantiza la existencia de un termino comun.

4.6. Silogismos de terminos indefinidos

Los seis axiomas expuestos en la Seccion 4.3.1 rigen satisfactoriamente la silogısticade terminos definidos, permitiendo la determinacion de las prescripciones particulares decada figura y los modos conclusivos en cada una de ellas. No obstante, cuando se trata deabarcar la silogıstica de terminos indefinidos estos seis axiomas se muestran limitados,ya que no pueden determinar si un modo indefinido cualquiera (i.e. un modo silogısticocompuesto por proposiciones con terminos indefinidos) es conclusivo y descartan modos

silogısticos que en realidad son validos.A primera vista llama la atencion la diferencia que el axioma 2 tiene con los dem as

axiomas, ya que por sı mismo no permite discriminar si un silogismo es conclusivo o no,ni revela alguna falta o vicio en la conclusion, sino que establece las bases para entender y



4.6. SILOGISMOS DE TERMINOS INDEFINIDOS 65

aplicar los axiomas 3 y 5, los cuales necesitan conocer la cantidad de los terminos usadoscomo predicados. Llaman tambien la atencion los axiomas 1 y 4, ya que ambos tratansobre la negatividad de las premisas, cualidad que no es intrınseca a una proposicion,pues esta depende de como se expresen sus terminos, si definida o indefinidamente. Porestos motivos, entre otros16, estos axiomas no son capaces de gobernar la silogıstica determinos indefinidos, mientras que el axioma de la cantidad, el de la particularidad y eldel vınculo, sı pueden hacerlo.

Para encontrar todos los modos validos en sentido estricto de una figura, el axioma dela cantidad, el axioma de la particularidad y el axioma del vınculo deben ser aplicados.A modo de ejemplo desarrollaremos detalladamente las prescripciones de dos figuras

silogısticas, a saber, la segunda figura directa y la tercera figura indirecta con el terminomayor conjugado en la premisa mayor, el termino medio conjugado en la premisa menor,y el termino menor conjugado en la conclusion. Primero revisaremos la derivacion delos silogismos estrictamente validos de cada figura, y posteriormente veremos como sedetermina el resto de los modos conclusivos (aquellos que presentan problemas de importeexistencial).

4.6.1. Derivacion estricta

En la segunda figura directa, supongamos que p1 es particular. Por el axioma delvınculo, y considerando el axioma de la cantidad, c debe ser afirmativa, de manera que

T se encuentre tomado particularmente tanto en las premisas como en la conclusion.Ademas, por el axioma de la particularidad, c debe seguir la particularidad de p1. Sic es particular, entonces t se encuentra tomado particularmente ahı, y por ende debeser tomado particularmente en p2, cosa que no es posible ya que p1 ya es particular(axioma de la particularidad). Por lo tanto, la premisa mayor debe ser universal, y porende, la conclusion negativa. Ahora supongamos que p2 es negativa. Si fuese ası, mestarıa tomado universalmente, y por lo tanto debiese estar tomado particularmente en p1 (axioma del vınculo), lo que implica que p1 sea afirmativa (axioma de la cantidad).Por lo tanto las calidades de p1 y p2 deben ser opuestas. En resumen, las prescripcionesde la segunda figura directa son: (i) la premisa mayor debe ser siempre universal (ypor ende la conclusion negativa) y (ii) las calidades de las premisas mayor y menor

deben ser opuestas entre sı. De esta manera, los modos validos de esta figura son AE /E (Camestres ), AO/O (Baroco), EA/E (Cesare ) y EI /O (Festino).

16No esta de mas decir que los seis axiomas aludidos ni siquiera se refieren a la posible indefinici on delos terminos de un silogismo.





La disposicion de los terminos en la tercera figura indirecta con el termino mayorconjugado en la premisa mayor, el termino medio conjugado en la premisa menor, y eltermino menor conjugado en la conclusion, esta dada por:

m T ( p1)m t ( p2)T t (c)

Supongamos que p1 es particular. Como m se encuentra tomado particularmente ahı, p2 tambien debiese ser particular de manera de tomar m particularmente (axioma delvınculo), lo que por el axioma de la cantidad es equivalente a tomar m universalmente,

pero es claro que esto no es posible ya que la conclusion no se seguirıa de las premisas(axioma de la particularidad). Por lo tanto la premisa mayor debe ser siempre universal.Supongamos ahora que p1 es negativa. Si fuese ası, como T se encuentra tomado parti-cularmente en p1 (axioma de la cantidad), entonces c debiese ser particular (axioma delvınculo), lo que implica que algunas de las dos premisas del argumento sea particular(axioma de la particularidad). Vimos recien que en el caso de p1 esto era imposible,luego p2 debe ser particular, lo que implica que m se encuentra tomado universalmenteahı (axioma de la cantidad), y para cumplir con el axioma del vınculo, m debiese sertomado particularmente en p1, lo que no es posible por el axioma de la particularidad.Sintetizando, la premisa mayor debe ser universal y afirmativa, ası como la premisa me-nor debe ser siempre universal. Por ultimo queda analizar como es la conclusion paralas distintas configuraciones de las premisas. Para esto supongamos que p2 es negativa,de esta manera t se encuentra tomado universalmente ahı, y para no trasgredir el axio-ma del vınculo, tambien debiese ser tomado universalmente en c, luego c debe ser de lacalidad opuesta a la de p2. En resumen, las prescripciones de la tercera figura indirectacon el termino mayor conjugado en la premisa mayor, el termino medio conjugado en lapremisa menor, y el termino menor conjugado en la conclusion, son: (i) la premisa mayordebe ser siempre universal y afirmativa, (ii) la premisa menor debe ser siempre universaly (iii) la calidad de la conclusion es siempre opuesta a la calidad de la premisa menor.De esta manera, los modos validos de esta figura son AA/E y AE /A.

4.6.2. Derivacion laxa o no estricta

Para determinar los modos validos en sentido no estricto de cualquier figura, debemostomar todos los modos con conclusion particular17 y ver, segun los axiomas, como de-

17Recordar que todos los silogismos con problemas de importe existencial tienen conclusion particular.



4.6. SILOGISMOS DE TERMINOS INDEFINIDOS 67

biesen ser las premisas, induciendo el problema del importe existencial en alguno de losterminos del silogismo, ya sea t, t, T , T , m o m. Los modos resultantes que tengan proble-mas de importe existencial con un solo termino y que tengan ambas premisas universales corresponden a los modos buscados .

Volviendo al ejercicio de la segunda figura directa, consideremos primero los modoscuya conclusion es I (t, T ) - t se encuentra tomado particularmente (t: Part.) y T seencuentra tomado particularmente (T : Part.) -. Los problemas de importe existencial sepueden deber a cualquiera de los tres terminos involucrados en el silogismo, por lo quelos revisaremos uno por uno (no hay necesidad de revisar que ocurre con los terminosconjugados de t, T y m, ya que no aparecen en la figura.).

− Termino medio: para que haya problemas con este termino, ambas premisas de-ben ser negativas, pero como el silogismo concluye con I (t, T ), para que no hayaproblemas con los demas terminos ambas premisas deben ser particulares, lo quetransgrede el axioma de la particularidad.

− Termino menor y mayor: como ambos terminos se encuentran tomados particu-larmente en la conclusion y ademas ambos se encuentran en los sujetos de laspremisas, es imposible que haya problemas de importe existencial con solo uno deellos si es que se busca que ambas premisas sean universales.

Ahora consideremos los modos cuya conclusion es O(t, T ) (t: Part. y T : Univ.) y

analicemos caso por caso

− Termino medio: es imposible que haya problemas con este termino, debido a que tse encuentra tomado particularmente en la conclusion y necesariamente la premisamenor debiese ser particular para evitar los problemas con ese termino.

− Termino menor: podemos armar dos silogismos con problemas de importe existen-cial en solo uno de sus terminos (t), de premisas universales y conclusion particular,a saber, AE /O (Camestros ) y EA/O (Cesaro).

− Termino mayor: como T se encuentra tomado universalmente en la conclusion, noes posible generar un silogismo cuyo problema de importe existencial se encuentre

en este termino.

En resumen, los modos validos en sentido no estricto de la segunda figura directa estandados por AE /O (Camestros ) y E A/O (Cesaro).





Repetimos el proceso anterior para la tercera figura indirecta con el termino mayorconjugado en la premisa mayor, el termino medio conjugado en la premisa menor, yel termino menor conjugado en la conclusion. Consideremos primero los modos cuyaconclusion es I (T, t) (t: Univ., t: Part. T : Part. y T : Univ.).

− Termino medio: para que haya problemas con este termino, la premisa menordebe ser particular, luego no es posible generar un silogismo con las caracterısticasbuscadas.

− Termino medio conjugado: para que haya problemas con este termino, la premisamayor debe ser particular, luego no es posible generar un silogismo con las carac-

terısticas buscadas.

− Termino menor: como t se encuentra tomado universalmente en la conclusion (axio-ma de la cantidad), no es posible generar un silogismo con las caracterısticas bus-cadas cuyo problema de importe existencial se encuentre en este termino.

− Termino menor conjugado: podemos armar el silogismo EA/I .

− Termino mayor: podemos armar el silogismo AE /I .

− Termino mayor conjugado: como T se encuentra tomado universalmente en laconclusion, no es posible generar un silogismo cuyo problema de importe existencialse encuentre en este termino.

Ahora consideremos los modos cuya conclusion es O(T, t) (t: Part., t: Univ. T : Part.y T : Univ.) y analicemos caso por caso.

− Termino medio: por la misma razon anterior, no es posible generar un silogismo conlas caracterısticas buscadas y problemas de importe existencial con este termino.

− Termino medio conjugado: por la misma razon anterior, no es posible generar unsilogismo con las caracterısticas buscadas y problemas de importe existencial coneste termino.

− Termino menor: podemos armar el silogismo EE /O.

− Termino menor conjugado: como t se encuentra tomado universalmente en la con-clusion, no es posible generar un silogismo cuyo problema de importe existencialse encuentre en este termino.



4.7. ARBOLES DE GENTZEN 69

− Termino mayor: podemos armar el silogismo AA/O.

− Termino mayor conjugado: como T se encuentra tomado universalmente en laconclusion, no es posible generar un silogismo cuyo problema de importe existencialse encuentre en este termino.

En resumen, los modos validos en sentido no estricto de la tercera figura indirectacon el termino mayor conjugado en la premisa mayor, el termino medio conjugado en lapremisa menor, y el termino menor conjugado en la conclusion estan dados por AE /I ,EA/I , E E /O y AA/O.

Como ya fue mencionado, el metodo recien expuesto es valido para todas las figurassilogısticas, y la manera de proceder es exactamente la misma, es decir, a partir deuna conclusion particular se debe forzar el problema de importe existencial en un solotermino. Finalmente, los modos validos en sentido laxo corresponden a todos aquellosque cuentan con las siguientes tres caracterısticas: (i) conclusion particular, (ii) ambaspremisas universales, y (iii) problemas de importe existencial en un solo termino.

4.7. Arboles de Gentzen

Como vimos en las secciones anteriores, hay al menos tres metodos o alternativaspara demostrar la validez o invalidez de un silogismo18: reduccion a la primera figuradirecta (solo “valida” para silogismos de terminos definidos), prueba por absurdo y de-mostracion mediante el uso de axiomas. Adicionalmente a estos tres metodos existenotros metodos de prueba basados en logica matematica (particularmente en la logica deprimer orden), los cuales son absolutamente mecanicos, faciles de entender y facilmenteaplicables en polisilogismos (i.e., silogismos con mas de dos premisas en el argumento)19.En este contexto, los arboles de Gentzen presentan una alternativa muy atractiva parala demostracion y el estudio de silogismos.

En esta seccion se explicara de forma mecanica el metodo de demostracion por arboles.No profundizaremos en los fundamentos, ya que para entenderlos a cabalidad es necesario

haber estudiado primero logica proposicional y logica de primer orden.18Si bien no todas ellas son iguales en cuanto a calidad, por respeto a la tradici on las mencionamos.19Cabe mencionar, con respecto a esta cualidad, que la demostracion por axiomas y la prueba por

absurdo en principio tambien son aplicables en polisilogismos.





4.7.1. Reglas del metodo

La demostracion por arboles se basa en el mismo principio de la prueba por absurdo,a saber, en mostrar que el conjunto contraejemplo de un silogismo dado es satisfactibleo no20.

Para entender a grandes rasgos de donde provienen las reglas de este metodo, analiza-remos brevemente como es la lectura que da la logica de primer orden de las proposicionescanonicas. En logica de primer orden, “Todo s es p” se lee como “Para todo individuo per-teneciente al universo del discurso, si el individuo es s (o cumple con tener la propiedads), entonces el individuo es p” (lo que se escribe, utilizando los sımbolos correspondien-tes, como ∀x (s(x) → p(x))21). De igual manera, “Ningun s es p” se lee como “Para todoindividuo perteneciente al universo del discurso, si el individuo es s, entonces el individuono es p” (∀x (s(x) → ¬ p(x))), “Algun s es p” se lee como “Existe al menos un individuoperteneciente al universo del discurso que es s y es p” (∃x (s(x) ∧ p(x))) y “Algun s noes p” se lee como “Existe al menos un individuo perteneciente al universo del discursoque es s y no es p” (∃x (s(x) ∧ ¬ p(x))). Como se puede ver, la interpretacion matematicade las proposiciones canonicas plantea las proposiciones universales como condicionales(“si.. entonces...”), mientras que plantea las proposiciones particulares directamente co-mo existenciales (“existe alguien que...”), lo que se traduce en que el metodo de arboleses sensible al problema del importe existencial.

Considerando las interpretaciones recien entregadas, veamos que es lo que tiene que

ocurrir para que cada una de estas premisas sea verdadera:

− Universales (A y E ): para entender el uso de la relacion condicional en la inter-pretacion de las proposiciones universales, consideremos la proposicion “si llueve,entonces me mojo”. Para que esta proposicion sea falsa, debe ocurrir que llueva yque no me moje, luego, cualquier otro caso posible (que llueva y me moje, que nollueva y me moje, o que no llueva y no me moje) hace verdadera a la proposici onen cuestion. Si analizamos detencion que casos hacen verdadera a la proposicion“si llueve, entonces me mojo”, se puede extraer que hay dos opciones o caminosposibles: que no llueva o que me moje, ya que si no llueve, independientemente de sime mojo o no, la expresion es verdadera, ası como si me mojo, independientemente

de si llueve o no, la expresion tambien es verdadera. Siguiendo este esquema, sepueden distinguir dos caminos posibles para que A(s, p), que se lee como “Si s,

20Remitirse al Capıtulo 1 para recordar estas definiciones.21Esto no es mas que un dato, no es necesario entenderlo.




entonces p” sea verdadera: que no ocurra s, o que ocurra p, mientras que para queE (s, p) sea verdadera tambien hay dos caminos posibles: que no ocurra s o que noocurra p22.

− Particulares (I y O): ambas proposiciones pueden ser verdaderas por un solo ca-mino. Para que I (s, p) sea verdadera debe ocurrir s y p, mientras que para queO(s, p) sea verdadera debe ocurrir s y no ocurrir p.

Tomando en cuenta lo anterior, podemos proceder a explicar en que consiste el metodode los arboles de Gentzen como sigue: la demostracion por arboles consiste en ir descar-gando las opciones (o caminos) que hacen verdaderas a cada una de las premisas que

conforman el conjunto contraejemplo del argumento bajo prueba. Si en una misma ramase encuentra un termino y su conjugado, la rama del arbol se cierra y no sigue creciendo.Si el arbol completo se cierra significa que el argumento bajo prueba es v alido, ya que noexiste ningun camino posible que haga verdaderas a todas las proposiciones del conjuntocontraejemplo (i.e., el conjunto contraejemplo no es satisfactible). Si es que al menos unarama del arbol queda abierta, significa que el argumento bajo prueba es invalido, ya queel conjunto contraejemplo es satisfactible. Las proposiciones canonicas se descargan dela siguiente manera:

A(s, p)

¬s p

E (s, p)

¬s ¬ p

I (s, p)

s, p

O(s, p)

s,¬ p

Cada premisa debe ser descargada en todas las ramas que se encuentren abiertas bajoella. El orden en el cual se descargan las premisas es arbitrario, pero por supuesto hayformas mas convenientes que otras. Al descargar una proposicion particular, los terminosde esta deben ir acompanados de una letra minuscula que no este presente en la ramadel arbol, mientras que las proposiciones universales deben ser descargadas con todas lasletras minusculas que se encuentren en la rama, sin introducir una nueva letra minuscula.Una letra minuscula representa a un individuo especıfico del universo del discurso, y espor este motivo que las particulares siempre introducen un nuevo individuo en el arbol,ya que en el caso mas general se debe asumir que todas las proposiciones particularesse sustentan cada una de un individuo distinto que la hace verdadera, mientras que lasproposiciones universales se deben cumplir para todos los individuos ya introducidos, y

por este motivo deben descargarse tantas veces como letras minusculas distintas hayaen la rama del arbol. En el caso que primero se descargue una proposicion particular,

22Si bien es extrano hablar de que “ocurra” un termino, en este contexto dicha expresion debe serentendida como “ocurre que hay un individuo que es - o tiene la propiedad -”





luego una universal y despues nuevamente una particular, la universal ya descargadadebe ser descargada de nuevo con la letra minuscula introducida por la ultima particulardescargada, luego siempre es conveniente descargar primero las premisas particulares ydespues las universales.

4.7.2. Ejemplos y observaciones

La forma mas efectiva que hay para aprender a hacer correctamente un arbol consiste

en hacer ejercicios. En esta seccion veremos varios ejemplos detalladamente resueltos, yadicionalmente complementaremos la informacion entregada en la seccion anterior, mo-tivo por el cual los siguientes ejemplos no deben ser considerados como meros ejercicios,sino que como parte del contenido de este capıtulo.

Ejemplo 1

Primero demostraremos la validez del polisilogismo O(f, q ), A(f, r), I (q, r)/O(r, q ). To-

mando la contradictoria de la conclusion (dada por A(r, q )), el conjunto contraejemploqueda compuesto por las premisas (i) O(f, q ), (ii) A(f, r), (iii) I (q, r) y (iv) A(r, q ).Primero desarrollaremos el arbol de la manera recomendada, a saber, descargando pri-mero las proposiciones particulares (especıficamente en el orden (i)-(iii)-(ii)-(iv)), y luegorepetiremos el ejercicios de manera desordenada (especıficamente en el orden (i)-(ii)-(iii)-(iv)), esto con el fin de ilustrar que ambos caminos llevan al mismo resultado, pero queclaramente el primero es mucho mas ordenado y conveniente.

Desarrollo recomendado: partimos descargando (i) e introduciendo la letra minusculaa, y luego descargando (iii), la cual introduce una nueva letra minuscula, la b:

(i), (ii), (iii), (iv)

f a,¬q a

q b, rb

Ahora descargamos (ii) dos veces, primero con la letra a (el orden es irrelevante):




(i), (ii), (iii), (iv)

f a,¬q a

q b, rb

¬f a ra

Como en una misma rama aparece un termino y su conjugado (f a y ¬f a), esta secierra y no sigue creciendo. Descargamos (ii) con la letra b:

(i), (ii), (iii), (iv)

f a,¬q a

q b, rb

¬f a ra

¬f b rb

Finalmente, descargamos (iv), primero con la letra b y luego con la letra a:

(i), (ii), (iii), (iv)

f a,¬q a

q b, rb

¬f a ra

¬f b

¬rb q b

¬ra q a

rb

¬rb q b

¬ra q a

Al descargar (iv) con la letra (b) aparece el termino ¬rb, y como rb se encuentra al

principio del arbol, hay dos ramas que se cierra. Al descargar (iv) con la letra a, los dosterminos que aparecen se encuentran conjugados mas arriba, por lo que todas las ramasse cierran, lo que implica que el argumento bajo prueba es valido.





A continuacion se presenta el arbol que queda al descargar las premisas en el orden(i)-(ii)-(iii)-(iv):

(i), (ii), (iii), (iv)

f a, ¬q a

¬f a ra

q b, rb

¬f b

¬ra q a

rb

¬ra q a

Como (ii) fue descargada antes de (iii), (ii) debe ser nuevamente descargada con laletra introducida por (iii) (lo que se muestra en negrita). Como se puede ver, el arboltambien se cierra por completo.

Observaciones:

− Independientemente del orden escogido para descargar las proposiciones, si es queun arbol se cierra, todos los hacen.

− Por motivos de orden y de claridad, siempre deben descargarse las proposiciones

particulares y luego las universales.

− Al descargar primero una proposicion universal, no es necesario introducir unaletra minuscula, ya que al descargar una particular despues la universal debe serdescargada nuevamente con la letra correspondiente, por lo que cualquier letrautilizada para descargar la universal en un principio no servirıa de nada. En elcaso de que no haya proposiciones particulares para descargar, no es necesariointroducir letras minusculas en ninguna descarga.

Ejemplo 2

En este ejemplo veremos como se debe trabajar el problema del importe existencialal trata de demostrar la validez de un silogismo con el metodo de los arboles. Para estoharemos el arbol de un Barbari (A(m, T ), A(t, m)/I (t, T )), silogismo que tiene problemasde importe existencial con el termino t (ver Seccion 4.5.2). Tomando la contradictoria




de la conclusion (E (t, T )), el conjunto contraejemplo queda compuesto por las premisas(i) A(m, T ), (ii) A(t, m) y (iii) E (t, T ). Descargamos en el orden (i)-(ii)-(iii):

(i), (ii), (iii)

¬m

¬t

¬t ¬T

m

T

¬t

¬t ¬T

m

¬t ¬T

Al tratarse de proposiciones universales unicamente, no es necesario hacer uso de letras

minusculas como subındices. Con respecto a la validez del silogismo, el metodo arrojael resultado de que este es invalido, ya que queda al menos una rama abierta (da lomismo cuantas, basta que quede una sola). Considerando la lectura que da la l ogica deprimer orden de las proposiciones canonicas, este resultado es valido, pero como ademasnos interesa determinar la validez del argumento ignorando el problema del importeexistencial, debemos considerar la llamada precaucion de Aristoteles, que como ya seadelanto, consiste en incluir la premisa “Existe un x”, siendo x el termino que tieneproblemas de importe existencial. Dado que la precauci on aristotelica corresponde auna premisa particular, esta introduce una letra minuscula en el arbol. En este casoel problema de importe existencial se encuentra en t, por lo que debemos agregar alconjunto de premisas (i),(ii) y (iii) la premisa ta, luego:

(i), (ii), (iii)ta

¬ma

¬ta ma

T a

¬ta ma

¬ta ¬T a

De esta manera, el metodo arroja que el silogismo es valido cuando el problema delimporte existencial es ignorado.





Ejemplo 3

En este ejemplo veremos como deben ser interpretadas las ramas de un arbol medianteel arbol del silogismo invalido E (T, m), O(t,¬m)/I (t, T ). Tomando la contradictoria dela conclusion (E (t, T )), el conjunto contraejemplo queda compuesto por las premisas (i)E (T, m), (ii) O(t,¬m) y (iii) E (t, T ). Descargamos en el orden (ii)-(i)-(iii):

(i) − (ii) − (iii)

ta, ma

¬T a

¬ta ¬T a

¬ma

Como queda una rama abierta, el argumento bajo prueba es invalido. Una rama abiertano solo indica la invalidez del argumento bajo prueba, sino que tambien entrega unaposible situacion para la cual el argumento es invalido. En este caso, las dos ramasabiertas indican que basta que haya un individuo - designado por la letra a - que tengalas propiedades t y m y que no tenga la propiedad T para que el argumento sea invalido,lo que se puede corroborar facilmente con diagramas de Venn.

Es evidente entonces por que se debe cerrar una rama cuando aparece un termino ysu conjugado en ella, y es debido a que la rama presenta una contradicci on y se haceinconsistente.



4.8. EJERCICIOS 77

4.8. Ejercicios

1. Determine si los siguientes silogismos de terminos definidos son validos o no. Si nolo son, establezca segun los axiomas vistos (tanto los axiomas generales como losaxiomas para silogismos de terminos definidos) la razon de su invalidez:

(a) O(s, p), A( p, h)/O(h, s)

(b) O(c, t), A( p, c)/O( p, t)

(c) I (g, m), E (m, y)/O(g, y)

(d) I (n, b), E (c, n)/O(c, b)

(e) A(c, m), I (n, m)/I (n, c)

Respuesta:

Solo el ejercicio (c) es valido, ya que cumple con todos los axiomas. La razon dela invalidez de los demas es la siguiente: (a) falla el axioma 3/axioma del vınculo- termino s -, (b) falla el axioma 5/axioma del vınculo - termino c -, (d) fallael axioma 3/axioma del vınculo - termino b - y (e) falla el axioma 5/axioma delvınculo - termino m -.

2. Segun los axiomas para silogismos de terminos definidos, ¿Por que en la tercerafigura directa la conclusion de los silogismos validos tiene que ser siempre particu-

lar?Respuesta:

Supongamos que es universal y no particular, esto implica que el termino menorestan tomado universalmente en la conclusion, luego, por el axioma 3, la premisamenor debe ser negativa, luego la conclusion tambien debe serlo (axioma 1) y eltermino mayor esta tomado universalmente en la conclusion, entonces la premisamayor tiene que ser negativa tambien (axioma 5), lo que es imposible ya que dedos premisas negativas no sale nada (axioma 4).

3. Segun los axiomas para silogismos de terminos definidos, ¿Por que en la segundafigura directa la premisa mayor de los silogismos validos tiene que ser siempre

universal?





Respuesta:

Supongamos que la mayor es particular, luego la conclusi on debe ser positiva yparticular (axioma 3 y 1), por lo que ninguna de las dos premisas puede ser negativa,luego falla el axioma 5 ya que el termino medio nunca es tomado universalmente.

4. Segun los axiomas para silogismos de terminos definidos, explique por que en laprimera figura indirecta la conclusion debe ser particular cuando la primera premisaes universal positiva y la segunda premisa universal.

Respuesta:

Al ser la primera premisa universal positiva, el termino mayor esta tomado parti-

cularmente, y como en la conclusion el termino mayor corresponde al sujeto, estadebe ser particular para no violar el axioma 3.

5. Reduzca o transforme los siguientes silogismos de terminos definidos a uno de laprimera figura directa (especifique claramente los pasos):

(a) I ( p, h), A( p, f )/I (f, h)

(b) I (s, q ), E (d, q )/O(s, d)

(c) A(c, r), E (h, c)/O(r, h)

(d) E (t, m), A( j, m)/E ( j, t)

(e) A(s, m), E ( p, m)/E (s, p)

Respuesta:

(a) se trata de un Di sa m i s de la tercera figura directa, por lo que la premisa mayory la conclusion deben ser convertidas, y luego las premisas deben ser intercambia-das, quedando un Darii : A( p, f ), I (h, p)/I (h, f ). (b) Este modo no corresponde aninguno conocido de la lista, ya que es de la segunda figura indirecta y no ha sidonombrado. De todas maneras, es facil ver que al intercambiar las premisas quedaun Fe stino, por lo que debemos convertir la premisa menor y luego intercambiarlas premisas, llegando a un Ferio: E (q, d), I (s, q )/O(s, d) (si hubiese que nombrara este silogismo, lo podrıamos llamar Fi m e so). (c) se trata de un Fa p e sm o, porlo que la premisa mayor debe ser convertida por accidente (A(c, r) → I (r, c)), la

menor convertida y luego ambas deben ser intercambiadas, quedando un Ferio:E (c, h), I (r, c)/O(r, h). (d) se trata de un Ce sare , por lo que la premisa mayordebe ser convertida, quedando un Celarent : E (m, t), A( j, m)/E ( j, t). (e) al igualque en el ejercicio (b) este silogismo corresponde a un modo valido de la segunda



4.8. EJERCICIOS 79

figura indirecta. Un nombre apropiado serıa Ca m e se , ya que luego de aplicar unaconversion simple en la menor e intercambiar las premisas obtenemos un Celarent :E (m, p), A(s, m)/E (s, p).

6. Demuestre por absurdo los siguientes silogismos:

(a) O(r, v), A(n, v)/O(r, n)

(b) I (m, r), O(m, t)/I (r, t)

(c) O(b, c), A(b, m)/O(m, c)

(d) A(l, s), O(m, s)/O(m, l)

Respuesta:(a) Tomamos la contradictoria de la conclusion (A(r, n)) y armamos un Barbara con la contradictoria de la conclusion y la premisa menor, A(n, v), A(r, n)/A(r, v).Como la nueva conclusion corresponde a la contradictoria de la premisa mayordel argumento bajo prueba, el conjunto contraejemplo es inconsistente y por en-de el silogismo es valido. (b) Tomamos la contradictoria de la conclusion (E (r, t))y armamos un Ferio con la contradictoria de la conclusion y la premisa mayor,E (r, t), I (m, r)/O(m, t). Como la nueva conclusion no se contradice con la premisamenor del argumento bajo prueba, el silogismo bajo prueba es invalido. (c) To-mamos la contradictoria de la conclusion (A(m, c)) y armamos un Barbara con lacontradictoria de la conclusion y la premisa menor, A(m, c), A(b, m)/A(b, c). Co-

mo la nueva conclusion corresponde a la contradictoria de la premisa mayor delargumento bajo prueba, el conjunto contraejemplo es inconsistente y por ende elsilogismo es valido. (d) Tomamos la contradictoria de la conclusion (A(m, l)) yarmamos un Barbara con la contradictoria de la conclusion y la premisa mayor,A(l, s), A(m, l)/A(m, s). Como la nueva conclusion corresponde a la contradicto-ria de la premisa menor del argumento bajo prueba, el conjunto contraejemplo esinconsistente y por ende el silogismo es valido.

7. A partir de los siguientes principios deduzca tres teoremas o consecuencias uni-versales: (i) “Todo acto de libertad es una acto racional”, (ii) “Todo acto racionaltiene un fin abstracto” y (iii) “Ningun acto racional tiene una causa fısica”.

Respuesta:Simplemente debemos armar silogismos que concluyan universalmente cuyas pre-misas correspondan a combinaciones de los principios entregados, luego:Celarent(iii,i) = Ningun acto de libertad es causado fısicamente.






4.8. EJERCICIOS 81

p2 tambien debe serlo (axioma del vınculo), y por ende la conclusion (c) tambiendebe ser universal. Por lo tanto, todas las premisas deben ser universales. Que csea universal, implica que t se encuentra tomado particularmente, luego, para notrasgredir el axioma del vınculo, p2 debe ser afirmativa. Es claro entonces que losunicos modos validos en sentido estricto son AA/A y EA/E (es facil determinarpor que p1 y c deben ser de calidad iguales).

Derivacion laxa:

Debemos inducir el problema de importe existencial en cada uno de los terminos(t, ¬t, T , ¬T , m y ¬m) y buscar aquellos silogismos que cumplan con tener ambaspremisas universales, conclusion particular y problemas de importe existencial en

solo un termino. Dada la disposicion del termino medio, es claro que es imposibletomarlo universalmente dos veces (tanto m como ¬m), ya que esto implica hacerparticular alguna de las dos premisas. Partimos por la conclusion I (¬t, ¬T ) (t:Univ.,¬t: Part., T : Univ. y ¬T : Part.):

− t: Como se encuentra tomado universalmente en I (¬t ¬T ), no es posible in-ducir el problema de importe existencial en este termino.

− ¬t: Se puede formar el silogismo AA/I (que corresponde al subordinado deAA/A).

− T : Como se encuentra tomado universalmente en I (¬t ¬T ), no es posible in-ducir el problema de importe existencial en este termino.

− ¬T : Se puede formar el silogismo EE /I .

Seguimos con la conclusion O(¬t,¬T ) (t: Univ.,¬t: Part., T : Part. y ¬T : Univ.):

− t: Como se encuentra tomado universalmente en O(¬t ¬T ), no es posible in-ducir el problema de importe existencial en este termino.

− ¬t: Se puede formar el silogismo EA/O (que corresponde al subordinado deEA/E ).

− T : Se puede formar el silogismo AE /O.

− ¬T : Como se encuentra tomado universalmente en O(¬t ¬T ), no es posible

inducir el problema de importe existencial en este termino.

Por lo tanto, los modos validos de la figura en cuestion estan dados por: AA/A yEA/E en sentido estricto, y AA/I , E E /I , AE /O y E A/O en sentido laxo.





10. Con el uso de los axiomas de la cantidad, el vınculo y la particularidad, determinetodos los modos validos (tanto en sentido estricto como laxo) de la figura silogısticaT m, t m/T t.

Respuesta:

Derivacion estricta:

Supongamos la premisa mayor ( p1) particular. De ser ası, para no trasgredir elaxioma del vınculo con el termino T , la conclusion (c) debe ser universal, paraası tomar ¬T universalmente, lo que es equivalente a tomar T particularmente(axioma de la cantidad). Esta situacion no es posible ya que trasgrede el axiomade la particularidad (c no heredarıa la particularidad de p1), por lo que p1 debe ser

universal. Si p1 es universal, c es particular, y para no trasgredir el axioma de laparticularidad, la premisa menor ( p2) debe ser particular. Finalmente, para que mse encuentre tomado una vez universalmente y otra particularmente, p1 y p2 debenser de calidad iguales. Es claro entonces que los unicos modos validos en sentidoestricto son AI /O y EO/O.

Derivacion laxa:

Debemos inducir el problema de importe existencial en cada uno de los terminos(t, ¬t, T , ¬T , m y ¬m) y buscar aquellos silogismos que cumplan con tener ambaspremisas universales, conclusion particular y problemas de importe existencial ensolo un termino. Partimos por la conclusion I (¬T, ¬t) (t: Univ.,¬t: Part., T : Univ.

y ¬T : Part.):

− t: Como se encuentra tomado universalmente en I (¬T, ¬t), no es posible in-ducir el problema de importe existencial en este termino.

− ¬t: Inducir el problema en este termino implica hacer particular p2, por loque no se puede generar un silogismo con las caracterısticas buscadas.

− T : Como se encuentra tomado universalmente en I (¬T, ¬t), no es posibleinducir el problema de importe existencial en este termino.

− ¬T : Inducir el problema en este termino implica hacer particular p1, por loque no se puede generar un silogismo con las caracterısticas buscadas.

− m: Se puede formar el silogismo AE /I .

− ¬m: Se puede formar el silogismo E A/I .

Seguimos con la conclusion O(¬T, ¬t) (t: Part., ¬t: Univ., T : Univ. y ¬T : Part.):



4.8. EJERCICIOS 83

− t: Se pueden formar los silogismos AA/O y EE /O.

− ¬t: Como se encuentra tomado universalmente en O(¬T, ¬t), no es posibleinducir el problema de importe existencial en este termino.

− T : Como se encuentra tomado universalmente en O(¬T, ¬t), no es posibleinducir el problema de importe existencial en este termino.

− ¬T : Para evitar problemas de importe existencial en t, p2 debe ser particular,por lo que no se puede generar un silogismo con las caracterısticas buscadas.

− m: Misma razon anterior.

− ¬m: Misma razon anterior.

Por lo tanto, los modos validos de la figura en cuestion estan dados por: AI /O yEO/O en sentido estricto, y AE /I , EA/I , AA/O y E E /O en sentido laxo.

11. Demuestre la validez o invalidez de los siguientes argumentos utilizando arboles deGentzen. En caso de que el argumento sea invalido, indique un contraejemplo quedeje en evidencia la invalidez del argumento.

(a) A(c, x), I (x, m), E (m, b)/O(c, b)

(b) O(¬g, ¬y), O(g, y), I (y, g), E (y, ¬t)/O(t, g)

(c) E (t, h), I (h, g)/O(g, t)

(d) I (f, ¬c), I (c, f ), E (c, ¬z)/O(z, f )

Respuesta:

(a) El conjunto contraejemplo esta compuesto por las premisas (i) A(c, x), (ii)I (x, m), (iii) E (m, b) y (iv) A(c, b). Descargamos las premisas en el orden (ii)-(iii)-(iv)-(i):

(i) − (ii) − (iii) − (iv)

xa, ma

¬ma ¬ba

¬ca

¬ca xa

ba





Como queda al menos una rama abierta, el argumento bajo prueba es invalido.Como contraejemplo se puede considerar el caso en que hay un individuo quetiene las propiedades x y m, y que no tiene las propiedades b y c.

(b) El conjunto contraejemplo esta compuesto por las premisas (i) O(¬g, ¬y), (ii)O(g, y), (iii) I (y, g), (iv) E (y, ¬t) y (v) A(t, g). Descargamos las premisas enel orden (i)-(ii)-(iii)-(iv)-(v):

(i) − (ii) − (iii) − (iv) − (v)

¬ga, ya

gb, ¬yb

yc, gc

¬ya ta

¬yc tc

¬yb

¬ta ga

tb

¬ta ga

Como todas las ramas se cierran, el argumento bajo prueba es valido. Se puedever que las premisas (i) y (ii) son innecesarias para hacer v alido el argumento.

(c) El conjunto contraejemplo esta compuesto por las premisas (i) E (t, h), (ii)I (h, g) y (iii) A(g, t). Descargamos las premisas en el orden (ii)-(i)-(iii):

(i) − (ii) − (iii)

ha, ga

¬ta

¬ga ta

¬ha

Como todas las ramas se cierran, el argumento bajo prueba es valido.

(d) El conjunto contraejemplo esta compuesto por las premisas (i) I (f, ¬c), (ii)I (c, f ), (iii) E (c, ¬z) y (iv) A(z, f ). Descargamos las premisas en el orden (i)-(ii)-(iii)-(iv):



4.8. EJERCICIOS 85

(i)-(ii)-(iii)-(iv)

f a, ¬ca

cb, f b

¬cb zb

¬ca

¬zb f b

¬za f a

za

¬za f a

¬zb f b

Como queda al menos una rama abierta, el argumento bajo prueba es invalido.Como contraejemplo se puede considerar el caso en que hay un individuo (a)que tiene la propiedad f y no la c, y otro (b) individuo que tiene las propiedadesf , c y z. Como se puede ver en la descarga de la premisa (iv), en una ramafue primero descargada con la letra a, mientras que en otra rama fue primerodescargada con la letra b. Esto conviene hacerlo cuando una de las letras cierramas ramas que la otra (de manera de ahorrar trabajo para m as adelante yachicar el arbol), pero se debe tener cuidado para no caer en una confusion.

12. Utilizando arboles y considerando la precaucion aristotelica, demuestre la validezdel silogismo A(n, m), A(n, f )/I (f, m).

Respuesta:

Lo primero que se debe hacer es identificar que termino tiene el problema de impor-te existencial para ası utilizar la precaucion aristotelica correctamente. Como n es

el termino medio, y se encuentra tomado ambas veces de forma universal, debemosincluir en el grupo de premisas del arbol la premisa “Existe un n”, o equivalente-mente, na. El conjunto contraejemplo esta compuesto por las premisas (i) A(n, m),(ii) A(n, f ) y (iii) E (f, m). Descargamos las premisas en el orden (i)-(ii)-(iii):





(i) − (ii) − (iii)na

¬na ma

¬na f a

¬f a ¬ma

Como todas las ramas se cierran, el argumento bajo prueba es v alido en la medidaque se ignore el problema de importe existencial.

13. Utilizando arboles de Gentzen, demuestre que el argumentoA(z, b),O(f, ¬c),A(f, z),A(¬z, ¬c),E (c, b)/E (c,¬b) es valido. Indique cual o cualespremisas son irrelevantes para llegar a la conclusion dada.

Respuesta:

El conjunto contraejemplo esta compuesto por las premisas (i) A(z, b), (ii) O(f, ¬c),(iii) A(f, z), (iv) A(¬z, ¬c), (v) E (c, b) y (vi) I (c,¬b). Descargamos las premisasen el orden (ii)-(vi)-(i)-(iv)-(iii)-(v):

(i)-(ii)-(iii)-(iv)-(v)-(vi)

f a, ca

cb, ¬bb

¬zb

¬za

zb ¬cb

ba

zb ¬cb

bb

Es claro que las premisas (v) y (vi) no son necesarias, ya que ni siquiera fuerondescargadas y el arbol ya estaba cerrado. Tambien la premisa (i) es innecesaria, yaque no es fundamental para poder cerrar el arbol.

14. Basandose en los arboles de Gentzen, esboce una explicacion de por que de dospremisas particulares no se puede extraer conclusion alguna. Una vez hecho esto,extrapole su resultado para explicar por que la conclusion de un silogismo debeseguir la particularidad de las premisas.



4.8. EJERCICIOS 87

Respuesta:

Cuando hay dos premisas particulares en el argumento, el conjunto contraejemplotambien queda con dos premisas particulares como mınimo, pudiendo ser tres en elcaso de que la conclusion sea universal. Al hacer el arbol, cada una de las premisasparticulares introduce un nuevo individuo distinto a los que ya se encontraban enla rama. Teniendo esto en cuenta, la primera premisa se refiere al individuo a,mientras que la segunda se refiere al individuo b, por lo que es natural pensar queno es posible extraer conclusion alguna, dado que ambas premisas no tienen nadaen comun. Por lo tanto, sin la necesidad de probar todas las combinaciones posiblesde arboles con dos premisas particulares, podemos decir que dichos arboles quedanabiertos.

Considerando que los arboles de tres premisas con al menos dos premisas particu-lares no se cierran, es claro que la particularidad de las premisas debe ser heredadapor la conclusion, ya que de lo contrario el conjunto contraejemplo tendrıa dospremisas particulares y su arbol quedarıa abierto.




Apendice A

Diagrama de las transformaciones

proposicionales

Con el fin de mostrar una vista general de las proposiciones categ oricas y de lastransformaciones proposicionales, en el presente apendice se resumen todos los vınculos(ya sean unidireccionales o bidireccionales) que hay entre todas las posibles proposicionessimples que se pueden armar.

Dados dos terminos s y p y sus respectivos conjugados s y p, y considerando las cuatro

proposiciones categoricas A, E , I y O, podemos elaborar 32 diferentes proposicionescategoricas. En la figura A.1 se resumen todas las relaciones que se pueden hacer con eluso de transformaciones logicas entre 16 de estas diferentes proposiciones.

En la figura A.2 se muestran las relaciones que se pueden hacer entre las 16 proposicio-nes restantes, las cuales no son vinculables mediante alguna transformacion proposicionalcon las anteriormente presentadas.

Se pueden observar en los diagramas de las figuras A.1 y A.2 las relaciones establecidasen el capıtulo 3, donde se relaciona la conversion y la contraposicion a traves de laobversion.

88



89

I(s,p)

A(s,p) E(s,p)

O(s,p) O(p,s) I(p,s)

E(p,s) A(p,s)

I(s,p) O(s,p) O(p,s) I(p,s)

A(s,p) E(s,p) E(p,s) A(p,s)

Conversion

Contraposicion

Conversion

Conversion

Conversion

Contraposicion

Contraposicion

Contraposicion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Figura A.1: Diagrama de las distintas relaciones que se pueden hacer entre 16 de lasposibles proposiciones categoricas. Con lınea punteada se indica la (sub)alternacion.

I(s,p)

A(s,p) E(s,p)

O(s,p) O(p,s) I(p,s)

E(p,s) A(p,s)

I(s,p) O(s,p) O(p,s) I(p,s)

A(s,p) E(s,p) E(p,s) A(p,s)

Conversion

Contraposicion

Conversion

Conversion

Conversion

Contraposicion

Contraposicion

Contraposicion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Obversion

Figura A.2: Diagrama de las distintas relaciones que se pueden hacer entre las 16 posiblesproposiciones categoricas restantes. Con la lınea punteada se indica la (sub)alternacion.




Apendice B

Listado de todos los silogismos

validos

En el presente capıtulo muestra el listado de los 2304 modos validos (de un total de32768 modos posibles) ordenados por figura silogıstica. Del total de los silogismos validos,1536 corresponden a modos validos en sentido estricto (384 por figura silogıstica), esdecir, que no cuentan con problemas de presuposicion existencial, mientras que los 768restantes (192 por figura silogıstica) sı tienen dicho problema.

B.1. Listado de silogismos validos en sentido estricto

B.1.1. Primera figura directa, sub -prae

A(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

I (m,T ), E(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), E(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), A(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), A(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), E(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), E(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/I (t, T )E(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

I (m,T ), A(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), A(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

90



B.1. LISTADO DE SILOGISMOS VALIDOS EN SENTIDO ESTRICTO 91

A(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

I (m,T ), E(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), E(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), A(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), A(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), E(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), E(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

I (m,T ), A(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), A(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), A(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), A(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

I (m,T ), E(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), E(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), A(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), A(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), E(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), E(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), A(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), A(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

I (m,T ), E(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), E(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), A(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), A(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), O(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), O(t,m)/O(t, T )

I (m,T ), E(t,m)/O(t, T )

O(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

I (m,T ), E(t,m)/I (t, T )

O(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/A(t, T )

A(m,T ), I (t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/E(t, T )

E(m,T ), I (t,m)/O(t, T )




92 APENDICE B. LISTADO DE TODOS LOS SILOGISMOS VALIDOS

B.1.2. Segunda figura directa, prae-prae

A(T, m), E(t,m)/E(t, T )

A(T, m), O(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/E(t, T )

E(T, m), I (t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/A(t, T )

A(T, m), O(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/A(t, T )

E(T, m), I (t,m)/I (t, T )

I (T, m), E(t,m)/I (t, T )

O(T, m), A(t,m)/I (t, T )

I (T, m), E(t,m)/O(t, T )

O(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/E(t, T )

A(T, m), I (t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/E(t, T )

E(T, m), O(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/A(t, T )

A(T, m), I (t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/A(t, T )

E(T, m), O(t,m)/I (t, T )

I (T, m), A(t,m)/I (t, T )

O(T, m), E(t,m)/I (t, T )

I (T, m), A(t,m)/O(t, T )

O(T, m), E(t,m)/O(t, T )

I (T, m), E(t,m)/I (t, T )

O(T, m), A(t,m)/I (t, T )

I (T, m), E(t,m)/O(t, T )

O(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/E(t, T )

A(T, m), O(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/E(t, T )

E(T, m), I (t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/A(t, T )

A(T, m), O(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/A(t, T )

E(T, m), I (t,m)/I (t, T )

I (T, m), A(t,m)/I (t, T )

O(T, m), E(t,m)/I (t, T )

I (T, m), A(t,m)/O(t, T )

O(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/E(t, T )

A(T, m), I (t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/E(t, T )

E(T, m), O(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/A(t, T )

A(T, m), I (t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/A(t, T )

E(T, m), O(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/E(t, T )

A(T, m), I (t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/E(t, T )

E(T, m), O(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/A(t, T )

A(T, m), I (t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/A(t, T )

E(T, m), O(t,m)/I (t, T )

I (T, m), A(t,m)/I (t, T )

O(T, m), E(t,m)/I (t, T )

I (T, m), A(t,m)/O(t, T )

O(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/E(t, T )

A(T, m), O(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/E(t, T )

E(T, m), I (t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/A(t, T )

A(T, m), O(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/A(t, T )

E(T, m), I (t,m)/I (t, T )

I (T, m), E(t,m)/I (t, T )

O(T, m), A(t,m)/I (t, T )

I (T, m), E(t,m)/O(t, T )

O(T, m), A(t,m)/O(t, T )

I (T, m), A(t,m)/I (t, T )

O(T, m), E(t,m)/I (t, T )

I (T, m), A(t,m)/O(t, T )

O(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/E(t, T )

A(T, m), I (t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/E(t, T )

E(T, m), O(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/A(t, T )

A(T, m), I (t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/A(t, T )

E(T, m), O(t,m)/I (t, T )

I (T, m), E(t,m)/I (t, T )

O(T, m), A(t,m)/I (t, T )

I (T, m), E(t,m)/O(t, T )

O(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/E(t, T )

A(T, m), O(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/E(t, T )

E(T, m), I (t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/A(t, T )

A(T, m), O(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/A(t, T )

E(T, m), I (t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/A(t, T )

A(T,m), O(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/A(t, T )

E(T,m), I (t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/E(t, T )

A(T,m), O(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/E(t, T )

E(T,m), I (t,m)/O(t, T )

I (T,m), E(t,m)/O(t, T )

O(T,m), A(t,m)/O(t, T )

I (T,m), E(t,m)/I (t, T )

O(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/A(t, T )

A(T,m), I (t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/A(t, T )

E(T,m), O(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/E(t, T )

A(T,m), I (t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/E(t, T )

E(T,m), O(t,m)/O(t, T )

I (T,m), A(t,m)/O(t, T )

O(T,m), E(t,m)/O(t, T )

I (T,m), A(t,m)/I (t, T )

O(T,m), E(t,m)/I (t, T )

I (T,m), E(t,m)/O(t, T )

O(T,m), A(t,m)/O(t, T )

I (T,m), E(t,m)/I (t, T )

O(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/A(t, T )

A(T,m), O(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/A(t, T )

E(T,m), I (t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/E(t, T )

A(T,m), O(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/E(t, T )

E(T,m), I (t,m)/O(t, T )

I (T,m), A(t,m)/O(t, T )

O(T,m), E(t,m)/O(t, T )

I (T,m), A(t,m)/I (t, T )

O(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/A(t, T )

A(T,m), I (t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/A(t, T )

E(T,m), O(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/E(t, T )

A(T,m), I (t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/E(t, T )

E(T,m), O(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/A(t, T )




A(T,m), I (t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/A(t, T )

E(T,m), O(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/E(t, T )

A(T,m), I (t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/E(t, T )

E(T,m), O(t,m)/O(t, T )

I (T,m), A(t,m)/O(t, T )

O(T,m), E(t,m)/O(t, T )

I (T,m), A(t,m)/I (t, T )

O(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/A(t, T )

A(T,m), O(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/A(t, T )

E(T,m), I (t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/E(t, T )

A(T,m), O(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/E(t, T )

E(T,m), I (t,m)/O(t, T )

I (T,m), E(t,m)/O(t, T )

O(T,m), A(t,m)/O(t, T )

I (T,m), E(t,m)/I (t, T )

O(T,m), A(t,m)/I (t, T )

I (T,m), A(t,m)/O(t, T )

O(T,m), E(t,m)/O(t, T )

I (T,m), A(t,m)/I (t, T )

O(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/A(t, T )

A(T,m), I (t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/A(t, T )

E(T,m), O(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/E(t, T )

A(T,m), I (t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/E(t, T )

E(T,m), O(t,m)/O(t, T )

I (T,m), E(t,m)/O(t, T )

O(T,m), A(t,m)/O(t, T )

I (T,m), E(t,m)/I (t, T )

O(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/A(t, T )

A(T,m), O(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/A(t, T )

E(T,m), I (t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/E(t, T )

A(T,m), O(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/E(t, T )

E(T,m), I (t,m)/O(t, T )

B.1.3. Tercera figura directa, sub -sub

A(m,T ), I (m, t)/I (t, T )

E(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

I (m,T ), A(m, t)/I (t, T )

O(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), I (m, t)/O(t, T )

E(m,T ), I (m,t)/I (t, T )

I (m,T ), A(m, t)/O(t, T )

O(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), O(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

I (m,T ), E(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), O(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

I (m,T ), E(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), O(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

I (m,T ), E(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), O(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

I (m,T ), E(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), I (m,t)/I (t, T )

E(m,T ), I (m, t)/O(t, T )

I (m,T ), A(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

E(m,T ), I (m, t)/I (t, T )

I (m,T ), A(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/A(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/E(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/A(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/E(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), E(m, t)/E(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

E(m,T ), I (m,t)/I (t, T )

I (m,T ), A(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), I (m,t)/I (t, T )

E(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

I (m,T ), A(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

I (m,T ), E(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

I (m,T ), E(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

I (m,T ), E(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

I (m,T ), E(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), I (m, t)/O(t, T )

E(m,T ), I (m,t)/I (t, T )

I (m,T ), A(m, t)/O(t, T )

O(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), I (m, t)/I (t, T )

E(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

I (m,T ), A(m, t)/I (t, T )

O(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/A(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/E(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/A(t, T )





A(m,T ), A(m, t)/A(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/A(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/E(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/A(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/E(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), I (m, t)/I (t, T )

E(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

I (m,T ), A(m, t)/I (t, T )

O(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

E(m,T ), I (m, t)/I (t, T )

I (m,T ), A(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), O(m, t)/O(t, T )

I (m,T ), E(m, t)/I (t, T )

O(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), O(m, t)/I (t, T )

I (m,T ), E(m, t)/O(t, T )

O(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), O(m, t)/O(t, T )

I (m,T ), E(m, t)/I (t, T )

O(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), O(m, t)/I (t, T )

I (m,T ), E(m, t)/O(t, T )

O(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), I (m,t)/I (t, T )

E(m,T ), I (m, t)/O(t, T )

I (m,T ), A(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

E(m,T ), I (m, t)/I (t, T )

I (m,T ), A(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/A(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/E(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/E(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/E(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/A(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/A(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/E(t, T )

A(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

E(m,T ), I (m,t)/I (t, T )

I (m,T ), A(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), I (m,t)/I (t, T )

E(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

I (m,T ), A(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), O(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

I (m,T ), E(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), O(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

I (m,T ), E(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), O(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), O(m,t)/I (t, T )

I (m,T ), E(m,t)/O(t, T )

O(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), O(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), O(m,t)/O(t, T )

I (m,T ), E(m,t)/I (t, T )

O(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), I (m, t)/O(t, T )

E(m,T ), I (m,t)/I (t, T )

I (m,T ), A(m, t)/O(t, T )

O(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), I (m, t)/I (t, T )

E(m,T ), I (m,t)/O(t, T )

I (m,T ), A(m, t)/I (t, T )

O(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

B.1.4. Cuarta figura directa, prae-sub

A(T, m), E(m,t)/E(t, T )

E(T, m), I (m,t)/O(t, T )

I (T, m), A(m, t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/A(t, T )

E(T, m), I (m,t)/I (t, T )

I (T, m), A(m, t)/O(t, T )

A(T, m), A(m,t)/E(t, T )

E(T, m), O(m,t)/O(t, T )

I (T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), A(m, t)/A(t, T )

E(T, m), O(m, t)/I (t, T )

I (T, m), E(m, t)/O(t, T )

A(T, m), A(m, t)/E(t, T )

E(T, m), O(m, t)/O(t, T )

I (T, m), E(m, t)/I (t, T )

A(T, m), A(m, t)/A(t, T )

E(T, m), O(m, t)/I (t, T )

I (T, m), E(m, t)/O(t, T )

A(T, m), E(m, t)/E(t, T )

E(T, m), I (m,t)/O(t, T )

I (T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m, t)/A(t, T )

E(T, m), I (m,t)/I (t, T )

I (T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), I (m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m,t)/E(t, T )

O(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), I (m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m, t)/A(t, T )

O(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), O(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/E(t, T )

O(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), O(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/A(t, T )

O(T, m), E(m,t)/O(t, T )




A(T, m), O(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/E(t, T )

O(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), O(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/A(t, T )

O(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), I (m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m, t)/E(t, T )

O(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), I (m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m, t)/A(t, T )

O(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), I (m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m, t)/E(t, T )

O(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), I (m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m, t)/A(t, T )

O(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), O(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/E(t, T )

O(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), O(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/A(t, T )

O(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), O(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/E(t, T )

O(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), O(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/A(t, T )

O(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), I (m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m, t)/E(t, T )

O(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), I (m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m, t)/A(t, T )

O(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/E(t, T )

E(T, m), I (m,t)/O(t, T )

I (T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/A(t, T )

E(T, m), I (m, t)/I (t, T )

I (T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), A(m, t)/E(t, T )

E(T, m), O(m,t)/O(t, T )

I (T, m), E(m, t)/I (t, T )

A(T, m), A(m, t)/A(t, T )

E(T, m), O(m,t)/I (t, T )

I (T, m), E(m, t)/O(t, T )

A(T, m), A(m, t)/E(t, T )

E(T, m), O(m,t)/O(t, T )

I (T, m), E(m, t)/I (t, T )

A(T, m), A(m, t)/A(t, T )

E(T, m), O(m,t)/I (t, T )

I (T, m), E(m, t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/E(t, T )

E(T, m), I (m, t)/O(t, T )

I (T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/A(t, T )

E(T, m), I (m, t)/I (t, T )

I (T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/A(t, T )

E(T,m), I (m, t)/I (t, T )

I (T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/E(t, T )

E(T,m), I (m, t)/O(t, T )

I (T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), A(m, t)/A(t, T )

E(T,m), O(m, t)/I (t, T )

I (T,m), E(m, t)/O(t, T )

A(T,m), A(m, t)/E(t, T )

E(T,m), O(m, t)/O(t, T )

I (T,m), E(m, t)/I (t, T )

A(T,m), A(m, t)/A(t, T )

E(T,m), O(m, t)/I (t, T )

I (T,m), E(m, t)/O(t, T )

A(T,m), A(m,t)/E(t, T )

E(T,m), O(m,t)/O(t, T )

I (T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m, t)/A(t, T )

E(T,m), I (m,t)/I (t, T )

I (T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m, t)/E(t, T )

E(T,m), I (m,t)/O(t, T )

I (T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), I (m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/A(t, T )

O(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), I (m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/E(t, T )

O(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), O(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m, t)/A(t, T )

O(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), O(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m, t)/E(t, T )

O(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), O(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m, t)/A(t, T )

O(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), O(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m, t)/E(t, T )

O(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), I (m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/A(t, T )

O(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), I (m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/E(t, T )

O(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), I (m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/A(t, T )

O(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), I (m, t)/O(t, T )

E(T,m), E(m, t)/E(t, T )

O(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), O(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m,t)/A(t, T )

O(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), O(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/E(t, T )

O(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), O(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m,t)/A(t, T )

O(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), O(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/E(t, T )

O(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), I (m, t)/I (t, T )

E(T,m), E(m, t)/A(t, T )

O(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), I (m, t)/O(t, T )

E(T,m), E(m, t)/E(t, T )

O(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/A(t, T )

E(T,m), I (m,t)/I (t, T )

I (T,m), A(m, t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/E(t, T )

E(T,m), I (m,t)/O(t, T )

I (T,m), A(m, t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/A(t, T )

E(T,m), O(m,t)/I (t, T )

I (T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m,t)/E(t, T )

E(T,m), O(m,t)/O(t, T )

I (T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/A(t, T )

E(T,m), O(m,t)/I (t, T )

I (T,m), E(m,t)/O(t, T )





A(T,m), A(m, t)/E(t, T )

E(T,m), O(m,t)/O(t, T )

I (T,m), E(m, t)/I (t, T )

A(T,m), E(m, t)/A(t, T )

E(T,m), I (m, t)/I (t, T )

I (T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/E(t, T )

E(T,m), I (m,t)/O(t, T )

I (T,m), A(m, t)/I (t, T )

B.1.5. Primera figura indirecta, sub -prae

A(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

O(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

O(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

O(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

O(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

O(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

O(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

O(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

O(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

O(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

O(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

O(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

O(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

O(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

O(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

O(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

O(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), O(t,m)/O(T, t)E(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

O(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

O(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

O(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

O(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/O(T, t)




A(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

O(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

O(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

O(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

O(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

O(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

O(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

O(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

O(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

O(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

O(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), O(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), O(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

O(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

E(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

O(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), I (t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/A(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), I (t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/E(T, t)

I (m,T ), E(t,m)/O(T, t)

B.1.6. Segunda figura indirecta, prae-prae

A(T, m), E(t,m)/E(T, t)

E(T, m), A(t,m)/E(T, t)

I (T, m), E(t,m)/O(T, t)O(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/A(T, t)

E(T, m), A(t,m)/A(T, t)

I (T, m), E(t,m)/I (T, t)

O(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), O(t,m)/I (T, t)

E(T, m), I (t,m)/I (T, t)

A(T, m), O(t,m)/O(T, t)

E(T, m), I (t,m)/O(T, t)

A(T, m), A(t,m)/E(T, t)

E(T, m), E(t,m)/E(T, t)

I (T, m), A(t,m)/O(T, t)

O(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T, m), A(t,m)/A(T, t)

E(T, m), E(t,m)/A(T, t)

I (T, m), A(t,m)/I (T, t)

O(T, m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), I (t,m)/I (T, t)

E(T, m), O(t,m)/I (T, t)

A(T, m), I (t,m)/O(T, t)

E(T, m), O(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/A(T, t)

E(T, m), A(t,m)/A(T, t)

I (T, m), E(t,m)/I (T, t)

O(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/E(T, t)

E(T, m), A(t,m)/E(T, t)

I (T, m), E(t,m)/O(T, t)

O(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), O(t,m)/O(T, t)

E(T, m), I (t,m)/O(T, t)

A(T, m), O(t,m)/I (T, t)

E(T, m), I (t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/A(T, t)

E(T, m), E(t,m)/A(T, t)I (T, m), A(t,m)/I (T, t)

O(T, m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/E(T, t)

E(T, m), E(t,m)/E(T, t)

I (T, m), A(t,m)/O(T, t)

O(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T, m), I (t,m)/O(T, t)

E(T, m), O(t,m)/O(T, t)

A(T, m), I (t,m)/I (T, t)

E(T, m), O(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/E(T, t)

E(T, m), E(t,m)/E(T, t)

I (T, m), A(t,m)/O(T, t)

O(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T, m), A(t,m)/A(T, t)

E(T, m), E(t,m)/A(T, t)

I (T, m), A(t,m)/I (T, t)

O(T, m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), I (t,m)/I (T, t)

E(T, m), O(t,m)/I (T, t)

A(T, m), I (t,m)/O(T, t)

E(T, m), O(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/E(T, t)

E(T, m), A(t,m)/E(T, t)

I (T, m), E(t,m)/O(T, t)

O(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/A(T, t)

E(T, m), A(t,m)/A(T, t)

I (T, m), E(t,m)/I (T, t)

O(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), O(t,m)/I (T, t)

E(T, m), I (t,m)/I (T, t)

A(T, m), O(t,m)/O(T, t)





E(T, m), I (t,m)/O(T, t)

A(T, m), A(t,m)/A(T, t)

E(T, m), E(t,m)/A(T, t)

I (T, m), A(t,m)/I (T, t)

O(T, m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/E(T, t)

E(T, m), E(t,m)/E(T, t)

I (T, m), A(t,m)/O(T, t)

O(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T, m), I (t,m)/O(T, t)

E(T, m), O(t,m)/O(T, t)

A(T, m), I (t,m)/I (T, t)

E(T, m), O(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/A(T, t)

E(T, m), A(t,m)/A(T, t)

I (T, m), E(t,m)/I (T, t)

O(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/E(T, t)

E(T, m), A(t,m)/E(T, t)

I (T, m), E(t,m)/O(T, t)

O(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), O(t,m)/O(T, t)

E(T, m), I (t,m)/O(T, t)

A(T, m), O(t,m)/I (T, t)

E(T, m), I (t,m)/I (T, t)

A(T,m), O(t,m)/I (T, t)

E(T,m), I (t,m)/I (T, t)

A(T,m), O(t,m)/O(T, t)

E(T,m), I (t,m)/O(T, t)

A(T,m), E(t,m)/E(T, t)

E(T,m), A(t,m)/E(T, t)

I (T,m), E(t,m)/O(T, t)

O(T,m), A(t,m)/O(T, t)

A(T,m), E(t,m)/A(T, t)

E(T,m), A(t,m)/A(T, t)

I (T,m), E(t,m)/I (T, t)

O(T,m), A(t,m)/I (T, t)

A(T,m), I (t,m)/I (T, t)

E(T,m), O(t,m)/I (T, t)

A(T,m), I (t,m)/O(T, t)

E(T,m), O(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/E(T, t)

E(T,m), E(t,m)/E(T, t)

I (T,m), A(t,m)/O(T, t)

O(T,m), E(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/A(T, t)

E(T,m), E(t,m)/A(T, t)

I (T,m), A(t,m)/I (T, t)

O(T,m), E(t,m)/I (T, t)


E(T,m), I (t,m)/O(T, t)

A(T,m), O(t,m)/I (T, t)

E(T,m), I (t,m)/I (T, t)



I (T,m), E(t,m)/I (T, t)

O(T,m), A(t,m)/I (T, t)



I (T,m), E(t,m)/O(T, t)


A(T,m), I (t,m)/O(T, t)


A(T,m), I (t,m)/I (T, t)

E(T,m), O(t,m)/I (T, t)



I (T,m), A(t,m)/I (T, t)

O(T,m), E(t,m)/I (T, t)



I (T,m), A(t,m)/O(T, t)


A(T,m), I (t,m)/I (T, t)

E(T,m), O(t,m)/I (T, t)

A(T,m), I (t,m)/O(T, t)




I (T,m), A(t,m)/O(T, t)




I (T,m), A(t,m)/I (T, t)

O(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T,m), O(t,m)/I (T, t)

E(T,m), I (t,m)/I (T, t)


E(T,m), I (t,m)/O(T, t)



I (T,m), E(t,m)/O(T, t)




I (T,m), E(t,m)/I (T, t)

O(T,m), A(t,m)/I (T, t)

A(T,m), I (t,m)/O(T, t)


A(T,m), I (t,m)/I (T, t)

E(T,m), O(t,m)/I (T, t)



I (T,m), A(t,m)/I (T, t)

O(T,m), E(t,m)/I (T, t)



I (T,m), A(t,m)/O(T, t)



E(T,m), I (t,m)/O(T, t)

A(T,m), O(t,m)/I (T, t)

E(T,m), I (t,m)/I (T, t)



I (T,m), E(t,m)/I (T, t)

O(T,m), A(t,m)/I (T, t)



I (T,m), E(t,m)/O(T, t)


B.1.7. Tercera figura indirecta, sub -sub

A(m,T ), I (m, t)/I (T, t)

A(m,T ), O(m, t)/O(T, t)

I (m,T ), A(m, t)/I (T, t)

I (m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

A(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), A(m,t)/O(T, t)

I (m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

E(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

E(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

O(m,T ), E(m,t)/I (T, t)




A(m,T ), I (m, t)/O(T, t)

A(m,T ), O(m, t)/I (T, t)

I (m,T ), A(m, t)/O(T, t)

I (m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), I (m, t)/I (T, t)

A(m,T ), O(m, t)/O(T, t)

I (m,T ), A(m, t)/I (T, t)

I (m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

E(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

O(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

E(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

O(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

E(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

O(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

E(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

A(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

I (m,T ), A(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), E(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

A(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), A(m,t)/O(T, t)

I (m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), I (m, t)/O(T, t)

E(m,T ), O(m, t)/I (T, t)

O(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), I (m, t)/I (T, t)

E(m,T ), O(m, t)/O(T, t)

O(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

A(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), A(m,t)/O(T, t)

I (m,T ), E(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

A(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

I (m,T ), A(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), E(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/A(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/E(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/E(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/E(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/E(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/A(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/A(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/E(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/E(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/A(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/E(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/A(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/A(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/E(T, t)

A(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

A(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

I (m,T ), A(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

A(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), A(m,t)/O(T, t)

I (m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

E(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

E(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), I (m, t)/O(T, t)

A(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), A(m, t)/O(T, t)

I (m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), I (m, t)/I (T, t)

A(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

I (m,T ), A(m, t)/I (T, t)

I (m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

E(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

E(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/E(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/A(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/E(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/A(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/A(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/E(T, t)

E(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

E(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), I (m,t)/O(T, t)





E(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

O(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), I (m, t)/I (T, t)

A(m,T ), O(m, t)/O(T, t)

I (m,T ), A(m, t)/I (T, t)

I (m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

A(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), A(m,t)/O(T, t)

I (m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), I (m, t)/O(T, t)

E(m,T ), O(m, t)/I (T, t)

O(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), I (m,t)/I (T, t)

E(m,T ), O(m,t)/O(T, t)

O(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

O(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), I (m,t)/O(T, t)

A(m,T ), O(m,t)/I (T, t)

I (m,T ), A(m, t)/O(T, t)

I (m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), I (m, t)/I (T, t)

A(m,T ), O(m, t)/O(T, t)

I (m,T ), A(m, t)/I (T, t)

I (m,T ), E(m,t)/O(T, t)

B.1.8. Cuarta figura indirecta, prae-sub

A(T, m), A(m,t)/A(T, t)

A(T, m), E(m,t)/E(T, t)

I (T, m), A(m, t)/I (T, t)

I (T, m), E(m,t)/O(T, t)

A(T, m), A(m,t)/E(T, t)

A(T, m), E(m,t)/A(T, t)

I (T, m), A(m, t)/O(T, t)

I (T, m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), I (m,t)/I (T, t)

E(T, m), O(m,t)/O(T, t)

E(T, m), I (m,t)/O(T, t)

E(T, m), O(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/E(T, t)

A(T, m), E(m,t)/A(T, t)

I (T, m), A(m, t)/O(T, t)

I (T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/A(T, t)

A(T, m), E(m,t)/E(T, t)

I (T, m), A(m, t)/I (T, t)

I (T, m), E(m,t)/O(T, t)

E(T, m), I (m,t)/O(T, t)

E(T, m), O(m,t)/I (T, t)

E(T, m), I (m,t)/I (T, t)

E(T, m), O(m,t)/O(T, t)

E(T, m), A(m,t)/A(T, t)

E(T, m), E(m,t)/E(T, t)

O(T, m), A(m, t)/I (T, t)

O(T, m), E(m,t)/O(T, t)

E(T, m), A(m,t)/E(T, t)

E(T, m), E(m,t)/A(T, t)

O(T, m), A(m,t)/O(T, t)

O(T, m), E(m, t)/I (T, t)

A(T, m), I (m,t)/I (T, t)

A(T, m), O(m,t)/O(T, t)

A(T, m), I (m,t)/O(T, t)

A(T, m), O(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/E(T, t)

E(T, m), E(m,t)/A(T, t)

O(T, m), A(m,t)/O(T, t)

O(T, m), E(m, t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/A(T, t)

E(T, m), E(m,t)/E(T, t)

O(T, m), A(m,t)/I (T, t)

O(T, m), E(m, t)/O(T, t)

A(T, m), I (m,t)/O(T, t)

A(T, m), O(m,t)/I (T, t)

A(T, m), I (m,t)/I (T, t)

A(T, m), O(m,t)/O(T, t)

E(T, m), A(m,t)/A(T, t)

E(T, m), E(m,t)/E(T, t)

O(T, m), A(m,t)/I (T, t)

O(T, m), E(m, t)/O(T, t)

E(T, m), A(m,t)/E(T, t)

E(T, m), E(m,t)/A(T, t)

O(T, m), A(m,t)/O(T, t)

O(T, m), E(m, t)/I (T, t)

A(T, m), I (m,t)/I (T, t)

A(T, m), O(m,t)/O(T, t)

A(T, m), I (m,t)/O(T, t)

A(T, m), O(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m, t)/E(T, t)

E(T, m), E(m,t)/A(T, t)

O(T, m), A(m,t)/O(T, t)

O(T, m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m, t)/A(T, t)

E(T, m), E(m,t)/E(T, t)

O(T, m), A(m,t)/I (T, t)

O(T, m), E(m,t)/O(T, t)

A(T, m), I (m,t)/O(T, t)

A(T, m), O(m,t)/I (T, t)

A(T, m), I (m,t)/I (T, t)

A(T, m), O(m,t)/O(T, t)

A(T, m), A(m,t)/A(T, t)

A(T, m), E(m, t)/E(T, t)

I (T, m), A(m,t)/I (T, t)

I (T, m), E(m,t)/O(T, t)

A(T, m), A(m,t)/E(T, t)

A(T, m), E(m, t)/A(T, t)

I (T, m), A(m,t)/O(T, t)

I (T, m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), I (m,t)/I (T, t)

E(T, m), O(m,t)/O(T, t)

E(T, m), I (m,t)/O(T, t)

E(T, m), O(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/E(T, t)

A(T, m), E(m,t)/A(T, t)

I (T, m), A(m,t)/O(T, t)

I (T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/A(T, t)

A(T, m), E(m,t)/E(T, t)

I (T, m), A(m,t)/I (T, t)

I (T, m), E(m,t)/O(T, t)

E(T, m), I (m,t)/O(T, t)

E(T, m), O(m,t)/I (T, t)

E(T, m), I (m,t)/I (T, t)

E(T, m), O(m,t)/O(T, t)

E(T,m), I (m,t)/I (T, t)

E(T,m), O(m,t)/O(T, t)

E(T,m), I (m,t)/O(T, t)

E(T,m), O(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m,t)/A(T, t)

A(T,m), E(m,t)/E(T, t)

I (T,m), A(m, t)/I (T, t)

I (T,m), E(m,t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/E(T, t)

A(T,m), E(m,t)/A(T, t)

I (T,m), A(m, t)/O(T, t)

I (T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), I (m,t)/O(T, t)

E(T,m), O(m,t)/I (T, t)

E(T,m), I (m,t)/I (T, t)



B.2. LISTADO DE SILOGISMOS VALIDOS EN SENTIDO LAXO 101




I (T,m), A(m, t)/O(T, t)

I (T,m), E(m,t)/I (T, t)



I (T,m), A(m, t)/I (T, t)

I (T,m), E(m,t)/O(T, t)

A(T,m), I (m, t)/I (T, t)

A(T,m), O(m, t)/O(T, t)

A(T,m), I (m, t)/O(T, t)

A(T,m), O(m, t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/A(T, t)

E(T,m), E(m,t)/E(T, t)

O(T,m), A(m, t)/I (T, t)

O(T,m), E(m,t)/O(T, t)

E(T,m), A(m,t)/E(T, t)

E(T,m), E(m,t)/A(T, t)

O(T,m), A(m, t)/O(T, t)

O(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), I (m,t)/O(T, t)

A(T,m), O(m,t)/I (T, t)

A(T,m), I (m,t)/I (T, t)

A(T,m), O(m,t)/O(T, t)



O(T,m), A(m,t)/O(T, t)

O(T,m), E(m, t)/I (T, t)



O(T,m), A(m,t)/I (T, t)

O(T,m), E(m, t)/O(T, t)

A(T,m), I (m,t)/I (T, t)


A(T,m), I (m,t)/O(T, t)

A(T,m), O(m,t)/I (T, t)



O(T,m), A(m,t)/I (T, t)

O(T,m), E(m, t)/O(T, t)




O(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), I (m,t)/O(T, t)

A(T,m), O(m,t)/I (T, t)

A(T,m), I (m,t)/I (T, t)


E(T,m), A(m, t)/E(T, t)



O(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), A(m, t)/A(T, t)


O(T,m), A(m,t)/I (T, t)

O(T,m), E(m,t)/O(T, t)

E(T,m), I (m,t)/I (T, t)


E(T,m), I (m,t)/O(T, t)

E(T,m), O(m,t)/I (T, t)


A(T,m), E(m, t)/E(T, t)

I (T,m), A(m, t)/I (T, t)

I (T,m), E(m,t)/O(T, t)



I (T,m), A(m, t)/O(T, t)

I (T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), I (m,t)/O(T, t)

E(T,m), O(m,t)/I (T, t)

E(T,m), I (m,t)/I (T, t)




I (T,m), A(m, t)/O(T, t)

I (T,m), E(m,t)/I (T, t)



I (T,m), A(m, t)/I (T, t)

I (T,m), E(m,t)/O(T, t)

B.2. Listado de silogismos validos en sentido laxo

B.2.1. Primera figura directa, sub -prae

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )





A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), A(t,m)/O(t, T )

E(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

A(m,T ), E(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), E(t,m)/O(t, T )

A(m,T ), A(t,m)/I (t, T )

E(m,T ), A(t,m)/O(t, T )




B.2.2. Segunda figura directa, prae-prae

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )





A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/O(t, T )

A(T,m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/I (t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T, m), E(t,m)/O(t, T )

E(T, m), A(t,m)/O(t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

A(T,m), E(t,m)/I (t, T )

E(T,m), A(t,m)/I (t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), A(t,m)/I (t, T )

E(T, m), E(t,m)/I (t, T )

A(T,m), A(t,m)/O(t, T )

E(T,m), E(t,m)/O(t, T )

A(T, m), E(t,m)/I (t, T )

E(T, m), A(t,m)/I (t, T )

A(T,m), E(t,m)/O(t, T )

E(T,m), A(t,m)/O(t, T )

B.2.3. Tercera figura directa, sub -sub

A(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )




E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m, t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), E(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), E(m, t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

A(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

A(m,T ), E(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), E(m, t)/O(t, T )

A(m,T ), A(m,t)/I (t, T )

E(m,T ), A(m,t)/O(t, T )

B.2.4. Cuarta figura directa, prae-sub

A(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), A(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m, t)/O(t, T )

A(T,m), A(m, t)/I (t, T )

E(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), A(m, t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m, t)/I (t, T )

E(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m, t)/O(t, T )

E(T, m), A(m, t)/O(t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m, t)/I (t, T )

E(T,m), A(m, t)/I (t, T )

A(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), E(m, t)/I (t, T )

E(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m, t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m, t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m, t)/O(t, T )





A(T, m), E(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m, t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m, t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m, t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m, t)/I (t, T )

E(T,m), A(m, t)/I (t, T )

A(T, m), A(m, t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m, t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), A(m, t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m,t)/I (t, T )

E(T,m), A(m, t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), A(m, t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/O(t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m, t)/I (t, T )

E(T,m), A(m, t)/I (t, T )

A(T, m), A(m, t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m, t)/O(t, T )

E(T,m), A(m, t)/O(t, T )

A(T, m), A(m, t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m, t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), A(m, t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m, t)/O(t, T )

A(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), E(m, t)/I (t, T )

E(T, m), A(m, t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m, t)/O(t, T )

E(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m, t)/O(t, T )

A(T, m), E(m, t)/I (t, T )

E(T, m), A(m, t)/I (t, T )

E(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m, t)/I (t, T )

A(T, m), E(m, t)/I (t, T )

E(T, m), A(m, t)/I (t, T )

E(T, m), E(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m, t)/I (t, T )

A(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m, t)/O(t, T )

E(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m, t)/O(t, T )

A(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m, t)/O(t, T )

E(T, m), E(m,t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m, t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/I (t, T )

E(T, m), E(m, t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), E(m,t)/I (t, T )

A(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T, m), E(m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m, t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T,m), E(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/O(t, T )

A(T, m), A(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m, t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), A(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m,t)/O(t, T )

E(T, m), E(m, t)/I (t, T )




A(T,m), A(m,t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/I (t, T )

E(T,m), E(m,t)/O(t, T )

A(T, m), A(m, t)/O(t, T )

A(T, m), E(m,t)/I (t, T )

E(T, m), A(m, t)/I (t, T )

A(T,m), A(m,t)/I (t, T )

A(T,m), E(m, t)/O(t, T )

E(T,m), A(m,t)/O(t, T )

B.2.5. Primera figura indirecta, sub -prae

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)





A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), E(t,m)/I (T, t)

E(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

A(m,T ), A(t,m)/I (T, t)

A(m,T ), E(t,m)/O(T, t)

E(m,T ), A(t,m)/O(T, t)

B.2.6. Segunda figura indirecta, prae-prae

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/O(T, t)

A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)

E(T,m), E(t,m)/O(T, t)

A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)

A(T,m), E(t,m)/O(T, t)

E(T,m), A(t,m)/O(T, t)

E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)



E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)


A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)


A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)



E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)


A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)


A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)


A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)


A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)



E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)



A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)



A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)

A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)




E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)

E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)



A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)



A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)

E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)

A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)



E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)


A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)


A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)


A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)


A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)



E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)


A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)


A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)



E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)



E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)


A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)


A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)

A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)

E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)



A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)



A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)

A(T,m), A(t,m)/I (T, t)

E(T,m), E(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)

A(T,m), E(t,m)/I (T, t)

E(T,m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), A(t,m)/I (T, t)

A(T, m), E(t,m)/O(T, t)

E(T, m), A(t,m)/O(T, t)

E(T, m), E(t,m)/I (T, t)



A(T, m), A(t,m)/O(T, t)

A(T, m), E(t,m)/I (T, t)

E(T, m), A(t,m)/I (T, t)

E(T, m), E(t,m)/O(T, t)



B.2.7. Tercera figura indirecta, sub -sub





A(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)




E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

E(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

E(m,T ), E(m, t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/O(T, t)

A(m,T ), E(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

E(m,T ), E(m, t)/O(T, t)

A(m,T ), A(m,t)/I (T, t)

A(m,T ), E(m,t)/O(T, t)

B.2.8. Cuarta figura indirecta, prae-sub

A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m,t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/O(T, t)

A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/I (T, t)

E(T,m), E(m,t)/O(T, t)

E(T, m), A(m,t)/I (T, t)

E(T, m), E(m, t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/I (T, t)

A(T,m), E(m,t)/O(T, t)

E(T,m), A(m,t)/O(T, t)

E(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/I (T, t)

E(T, m), E(m, t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/I (T, t)



E(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m,t)/O(T, t)


A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/I (T, t)


A(T, m), A(m, t)/O(T, t)

A(T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m, t)/I (T, t)



E(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/O(T, t)

E(T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m, t)/O(T, t)

A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/I (T, t)


E(T, m), A(m,t)/O(T, t)

E(T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m, t)/O(T, t)

A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/I (T, t)


A(T, m), A(m, t)/O(T, t)

A(T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m, t)/I (T, t)


E(T,m), A(m, t)/O(T, t)

E(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m, t)/I (T, t)

E(T, m), A(m, t)/I (T, t)

E(T, m), E(m,t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/I (T, t)

A(T,m), E(m, t)/O(T, t)

A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m, t)/O(T, t)

E(T, m), A(m, t)/O(T, t)

E(T, m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), A(m, t)/I (T, t)


A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m, t)/O(T, t)

E(T, m), A(m, t)/O(T, t)

E(T, m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), A(m, t)/I (T, t)


A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m, t)/I (T, t)

E(T, m), A(m, t)/I (T, t)

E(T, m), E(m, t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/I (T, t)


A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m,t)/O(T, t)

E(T, m), A(m,t)/O(T, t)

E(T, m), E(m, t)/I (T, t)


A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/I (T, t)

E(T, m), E(m, t)/O(T, t)


E(T,m), E(m, t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/I (T, t)

E(T, m), E(m, t)/O(T, t)


E(T,m), E(m, t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m,t)/O(T, t)





E(T, m), A(m,t)/O(T, t)

E(T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m, t)/O(T, t)

A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m, t)/I (T, t)



E(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/O(T, t)

E(T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m, t)/O(T, t)

A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/I (T, t)


E(T, m), A(m,t)/O(T, t)

E(T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m, t)/O(T, t)

A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/I (T, t)


A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m,t)/I (T, t)

A(T,m), A(m, t)/I (T, t)

A(T,m), E(m, t)/O(T, t)

E(T,m), A(m, t)/O(T, t)

E(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m, t)/I (T, t)

A(T, m), E(m,t)/O(T, t)


A(T,m), E(m, t)/I (T, t)

E(T,m), A(m, t)/I (T, t)


E(T, m), A(m,t)/I (T, t)

E(T, m), E(m,t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/I (T, t)

A(T,m), E(m, t)/O(T, t)

E(T,m), A(m, t)/O(T, t)

E(T,m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/I (T, t)

E(T, m), E(m,t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/I (T, t)

A(T,m), E(m, t)/O(T, t)

E(T,m), A(m, t)/O(T, t)

E(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m, t)/I (T, t)

A(T, m), E(m,t)/O(T, t)


A(T,m), E(m, t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/I (T, t)

E(T,m), E(m, t)/O(T, t)

A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m, t)/O(T, t)

E(T, m), A(m, t)/O(T, t)

E(T, m), E(m,t)/I (T, t)


A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m, t)/I (T, t)

E(T, m), A(m, t)/I (T, t)

E(T, m), E(m,t)/O(T, t)


E(T,m), E(m, t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m, t)/I (T, t)

E(T, m), A(m, t)/I (T, t)

E(T, m), E(m,t)/O(T, t)


E(T,m), E(m, t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m, t)/O(T, t)

E(T, m), A(m, t)/O(T, t)

E(T, m), E(m,t)/I (T, t)


A(T,m), E(m,t)/I (T, t)

A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/I (T, t)

E(T, m), E(m, t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/I (T, t)


A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m,t)/O(T, t)

E(T, m), A(m,t)/O(T, t)

E(T, m), E(m, t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/I (T, t)


A(T, m), A(m,t)/I (T, t)

A(T, m), E(m,t)/O(T, t)

E(T, m), A(m,t)/O(T, t)

E(T, m), E(m, t)/I (T, t)

E(T,m), A(m,t)/I (T, t)


A(T, m), A(m,t)/O(T, t)

A(T, m), E(m,t)/I (T, t)

E(T, m), A(m,t)/I (T, t)

E(T, m), E(m, t)/O(T, t)

A(T,m), A(m,t)/I (T, t)


Documents

Apuntes Lógica - Enrique Alvarez.pdf