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Fines educativos
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AREAS DE
POLÍGONOS
REGULARES
Isalia María Medina Cardona
Agosto - 2009
EL CUADRADO
l
l
2lA
llA
• Es un cuadrilátero • Es un paralelogramo, es decir, tiene dos pares de lados
paralelos • Los cuatro lados son congruentes
• Dos pares de lados paralelos
• Cuatro ángulos rectos
• Dos diagonales
• Las diagonales se bisecan
llllP
EL RECTÁNGULO
b
b
c c
baP 22
hbA
b es la base
h=c es la altura
• Es un cuadrilátero
• Es un paralelogramo
• Dos pares de lados paralelos
• Lados opuestos congruentes
• Cuatro ángulos rectos
• Dos diagonales iguales
• Las diagonales se bisecan
mutuamente
EL PARALELOGRAMO • Es un cuadrilátero
• Es un paralelogramo
• Tiene dos pares de lados paralelos
• Tiene lados opuestos congruentes
• Los ángulos opuestos son congruentes
• Los ángulos consecutivos son
suplementarios es igual a 360°
• La suma de los ángulos interiores
• Tiene dos diagonales
• Las diagonales se bisecan
mutuamente
baP 22
hbA
b
b
a a h
La altura es el segmento que sele de un vértice y cae en forma
perpendicular sobre el lado opuesto al vértice.
b es la base
h es la altura
EL TRIÁNGULO Si a un cuadrilátero se le traza una diagonal, este queda dividido en dos
triángulos congruentes. Por lo tanto, el área de un triángulo es igual a la
mitad del área del cuadrilátero que lo originó.
b
b
b
b
b
b
h
b h h
d
d
d
c dbbP
dcbP
dhbP
2
2bA
2
hbA
2
hbA
EL TRAPECIO
El trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados
paralelos.
Trapecio
isósceles, los
lados no
paralelos son
congruentes
Trapecio
escaleno, todos
los lados tienen
diferente medida.
Trapecio
rectángulo, uno
de los lados es
perpendicular a
los lados
paralelos.
DEDUCCIÓN DE LA FORMULA
DEL ÁREA DEL TRAPECIO
A B
D C • La diagonal DB divide el trapecio
en dos triángulos DIFERENTES.
• Los dos triángulos tienen la misma
altura DE (h).
• El área del trapecio es igual a la
suma de las áreas de los dos
triángulos.
• AB es la base mayor (B)
• DC es la base menor (b)
E
2
)( hbB A
A DCBADB AA
22
DEDCDEAB
DEDUCCIÓN DE LA FORMULA
DEL TRAPECIO
2
)( DEDCAB
2
)( hbB AReemplazamos AB por B, DC
por b y DE por h y nos queda:
EL ROMBO
• Es un cuadrilátero
• Es un paralelogramo
• Los ángulos opuestos son
congruentes
• AC es la diagonal menor (d)
• BD es la diagonal mayor(D)
• Las diagonales son perpendiculares
• Las diagonales se bisecan
mutuamente, es decir, O es punto
medio de BD y de AC
A
D
C
B
O
A2
dD
DEDUCCIÓN DE LA FORMULA
DEL ÁREA DELROMBO
ACDAABC AA
A
D
C
B
O
•El área del rombo es igual al área del
triángulo ABC más el área del triángulo
ADC
•La altura del triángulo ABC es OB
•La altura del triángulo ADC es OD
•OB + OD = BD
22
DOACOBAC
2
)( DOOBAC
si reemplazo
OB + OD = BD
obtengo:
2
BDAC
A
UN POLÍGONO REGULAR •Se puede inscribir en una circunferencia
•Todos sus lados tienen la misma medida, es decir son congruentes
•Tiene todos los ángulos interiores congruentes
Para ejercitarse en la construcción de polígonos regulares se puede
ungresar a las siguientes páginas, basta con hacer clik en cualquiera
de los vínculos.
UN POLÍGONO REGULAR
En un polígono regular se pueden diferenciar los
siguientes elementos:
•L: Lado. Cada uno de los segmentos que forma el
polígono.
•V: Vértice. Punto de intersección de dos lados
consecutivos del polígono.
•d: Diagonal. Segmento que une dos vértices no
consecutivos del polígono.
•C: Centro. Punto equidistante de todos los vértices
del polígono.
•r: Radio. Segmento que une el centro del polígono
con uno de sus vértices.
•a: Apotema. Segmento que une el centro del
polígono con el punto medio de uno de sus lados.
Es perpendicular al lado.
LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO
: Ángulo exterior
: Ángulo central. Todos los ángulos
centrales de un polígono son
congruentes y su medida se halla al
dividir 360° entre el número de lados
del polígono
n
360
: Ángulo interior. Para hallar la
medida de un ángulo interior
uso la siguiente formula:
n
n 2180
En un polígono regular un ángulo exterior y un ángulo central
miden lo mismo
DEDUCCIÓN DEL ÁREA DE UN POLÍGONO
REGULAR •Todo polígono regular se puede dividir en
triángulos isósceles, al unir el centro del polígono
con cada uno de los vértices.
•La base de cada triángulo es un lado del polígono
•La altura de cada triángulo es l apotema del
polígono
•El área del polígono ABCDEF es igual a la suma
de las áreas de los 6 triángulos
A
B
E
O D
C
F
FAEFDECDBCABP
2
aPA
DEDUCCIÓN DEL ÁREA DE UN
POLÍGONO REGULAR A
B
E
O D
C
F
AAOBAOBAOBAOBAOBAOB AAAAAA
222222
aFAaEFaDEaCDaBCaAB
2
FAEFDECDBCABa
Reemplazo FAEFDECDBCAB por P y queda:
2
aPA
EL CÍRCULO
r
2rA El área de un circulo, es la medida
de la superficie limitada por la
circunferencia perimetral del círculo
dado.
r
rP 2
El perímetro de la
circunferencia es la longitud de
la circunferencia.
el número de veces que la circunferencia contiene su propio diámetro.
DEDUCCIÓN DEL ÁREA DEL
CIRCULO
A medida que se aumenta el número de
lados del polígono inscrito, aumenta su
perímetro, y se acerca cada vez más al de
la circunferencia donde esta inscrito.
El apotema del polígono también aumenta y
su medida se va pareciendo cada vez más a
la medida del radio de la circunferencia que
lo inscribe.
2
2
2
22r
rrrLaPA
http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Per%C3%ADmetros_y_%C3%A1reas
ACTIVIDADES INTERACTIVAS SOBRE ÁREAS
http://www.educacionplastica.net/poligonos.htm
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/poli3.htm
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/area7.htm
Si quieres profundizar sobre este tema ingresa visita las siguientes paginas
