Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.doc

reas y volmenes de cuerpos geomtricos

Cuerpos geomtricos son porciones de espacio limitadas por superficies planas o curvas.

CUERPOS

ESFERAS

CONOS

CILINDROS

PIRMIDES

PRISMAS

POLIEDROS REGULARES

CUERPOS REDONDOS

(cuerpos con caras curvas)

OLIEDROS

s con caras planas)

P

(cuerpo

CUERPOS GEOMTRICOS

Un poliedro es un cuerpo geomtrico que est limitado por cuatro o ms polgonos.

1


Poliedro cncavo

Poliedro convexo

Dentro de ellos, haremos la siguiente distincin: diremos que un poliedro es convexo si todas sus caras se pueden

apoyar en un plano; cuando no ocurre as, se dice que el poliedro es cncavo.

Los principales elementos de un poliedro son:

Caras o polgonos que lo limitan.

Aristas o lados de las caras.

Vrtices o puntos de corte de las aristas.

Diagonales o segmentos que unen dos vrtices de distintas caras.

2. POLIEDROS

ESFRICOS

Clasificamos, en el siguiente esquema, los cuerpos geomtricos:

En nuestro entorno observamos continuamente objetos de diversas formas: pelotas, botes, cajas, pirmides, etc. To-

dos estos objetos son cuerpos geomtricos. A lo largo de todos los tiempos se han utilizado estos cuerpos en el arte y en la arquitectura.

1. CUERPOS GEOMTRICOS

REAS Y VOLMENES DE CUERPOS GEOMTRICOS

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polgonos regulares iguales y en cada vrtice concu- rren el mismo nmero de caras.

Los primas son poliedros cuyas bases, paralelas entre s, son dos polgonos iguales y sus caras laterales son paralelogramos.

Un elemento caracterstico de los primas es la altura o segmento perpendicular a sus bases.

2


Prisma cuadrangular oblicuo (irregular)

Base: cuadrado

Prisma pentagonal recto (regular)

Base: pentgono regular

Paraleleppedos son prismas cuyas bases son paralelogramos, luego sus seis caras son paralelogramos. Los

paraleleppedos rectos se denominan ortoedros, y son el ortoedro (o paraleleppedo rectngulo) y el cubo (o

hexaedro).

Regulares o irregulares. Son regulares aquellos prismas rectos cuyas bases son polgonos regulares; y son

irregulares cuando falta alguna condicin de regularidad.

Rectos y oblicuos, segn que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a las bases.

Por los polgonos de sus bases pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

Podemos clasificar los prismas de la siguiente manera:

2.2. Prismas y pirmides

Icosaedro

20 caras tringulos equilteros

Dodecaedro

12 caras pentgonos

Octaedro


Hexaedro o cubo

6 caras cuadrados

Tetraedro


Slo existen cinco poliedros regulares. A continuacin te mostramos cada uno de ellos con su definicin:

2.1. Poliedros regulares

Las pirmides son poliedros que tienen por base un polgono y sus caras laterales son tringulos que con- curren en un vrtice.

3


El tronco de pirmide es la parte de pi-

rmide comprendida entre la base y la seccin producida por un plano paralelo a la base. La altura del tronco es la distancia entre las bases y la apotema es la altura de una cara lateral (trapecio).

Pirmide pentagonal oblicua (irregular)

Regulares o irregulares. Son regulares aquellas pirmides rectas

que tienen por base un polgono regular; y son irregulares cuando falta alguna condicin de regularidad.

Rectas y oblicuas. Las pirmides rectas son aquellas que tienen por

caras laterales tringulos issceles. Si alguna cara lateral es un tringulo escaleno, la pirmide es oblicua.

Por los polgonos de sus bases pueden ser triangulares, cuadrangu-

lares, pentagonales, etc.

Podemos clasificar las pirmides de la siguiente manera:

Pirmide pentagonal recta (regular)

Estos tres elementos forman un tringulo rectngulo que nos resul-

tar muy til en los clculos de reas y volmenes.

Apotema de la base, ab, es la apotema de la base.

Apotema lateral, al, es la altura de sus caras laterales.

Altura, h, o distancia del vrtice al plano que contiene la base.

Los elementos ms caractersticos de la pirmide, adems de los

generales de los poliedros, son:

Cubo o hexaedro

Todas sus caras son cuadrados

Ortoedro o paraleleppedo rectngulo

Todas sus caras son rectngulos

Paraleleppedos:

2

20

11

11

Diamante

2

9

6

5

Pirmide triangular truncada

2

8

5

5

Pirmide cuadrangular

C + V - A

A (aristas)

V (vrtices)

C (caras)

Poliedro

Teorema de Euler

En cualquier poliedro convexo se verifica que el nmero de caras (C ) ms el nmero de vrtices (V ) es igual al nmero de aristas (A) ms dos.

N de caras N de vrtices N de aristas 2 C + V = A + 2

Base: n lados

Base: 15 lados

Heptagonal

Hexagonal

Pentagonal

Cuadrangular

Triangular

A

V

C

A

V

C

Pirmides

Prismas

Base

Icosaedro

Dodecaedro

Octaedro

Hexaedro

Tetraedro

A

V

C

Poliedros regulares

4


Completa las siguientes tablas.

2.

Indica a qu poliedro regular corresponde cada desarrollo.

1.

EJERCICIOS

2. Este resultado fue descubierto por

Observa el resultado curioso que obtenemos en la ltima columna: C V A

Leonhard Euler (1707 1783) y se conoce con el nombre de teorema de Euler.

Diamante

Pirmide triangular

truncada

Pirmide cuadrangular

A partir de los siguientes poliedros convexos construimos la tabla que figura ms abajo.

2.3. Teorema de Euler

La esfera es el cuerpo geomtrico que se obtiene al girar un semicrculo alrededor de su dimetro.

El cono es el cuerpo geomtrico que se obtiene al girar un tringulo rectngulo alrededor de uno de sus catetos.

El cilindro es el cuerpo geomtrico que se obtiene al girar un rectngulo alrededor de uno de sus lados.

Esfera

Radio (r) es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la superficie que limita la esfera.

Dimetro (d) es el segmento que une dos puntos de la superficie es-

Cono

Altura (h) es el segmento que une el vrtice y el centro de la base. Es perpendicular a la base.

Radio (r) es el radio del crculo que forma su base.

Generatriz (g) es el segmento que genera el cono.

Cilindro

Altura (h) es el segmento que une el centro de las dos bases. Es perpendicular a ambas bases.

Radio (r) es el radio de cada uno de los crculos que forman sus bases.

Generatriz (g) es el segmento que genera el cilindro. Su medida coin- cide con la de la altura.

5


Matemticas 3o ESO

Crculo menor

Crculo mximo

Al cortar una esfera por un plano se obtiene siempre

un crculo. Si el plano pasa por el centro de la esfera se obtiene un crculo mximo (cuyo radio es el radio de la esfera). Si el plano no pasa por el centro se obtiene un

crculo menor.

Tronco de cono

Secciones circulares

Cuando se corta un cilindro o un cono por un plano

paralelo a la base, la seccin que se obtiene en cada caso es un crculo. En el caso del cilindro, el crculo que se obtiene es igual que el de la base. Al cortar un cono por un plano paralelo a la base se obtiene un cono menor y un tronco de cono que es la parte de cono comprendida entre la base y la seccin producida por el plano.

3.1. Secciones de los cuerpos redondos

frica pasando por el centro.

Detallamos a continuacin los elementos ms importantes de estos cuerpos.

Los cuerpos redondos de revolucin se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje. Los tres cuerpos de

revolucin ms sencillos son el cilindro, el cono y la esfera.

3. CUERPOS REDONDOS: CILINDRO, CONO Y ESFERA

Jos A. Jimnez Nieto

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D = a 2 + b2 + c 2

D = 3a 2 = a 3

Clculo de r

R 2 d 2 r 2

r R 2 d 2

r 25 16 3

Clculo de g

g 2 (R r ) 2 h 2

g ( R r ) 2 h 2

g 36 64 10

Clculo de g

g 2 r 2 h 2

g r 2 h 2

g 25 144 13

Clculo de h

a 2 h 2 a 2

h a 2 a 2

h 100 36 8

6


Matemticas 3o ESO

b

l

b

l

En las siguientes figuras se calcula un lado de un tringulo rectngulo en pirmides, conos, troncos de cono y en es-

feras, cuando se conocen los otros dos lados del tringulo (unidades en centmetros).

El teorema de Pitgoras permite relacionar la altura (h) de la pirmide con la apotema lateral (al) y con la apotema de la base (ab). Tambin relacionamos por este teorema los elementos de los conos: altura (h), radio (r) y generatriz (g).

4.2. Relaciones mtricas en pirmides, conos y esferas

D

a 2 a 2 a 2

En el caso particular del cubo, las tres dimensiones son iguales,

por ello:

D2 a2 b2 c2

Sustituyendo [1] en [2] obtenemos:

[2]

D2 d2 c2

Por otro lado, en el tringulo rectngulo sombreado tenemos:

[1]

d2 a2 b2

Si notamos por d a la diagonal de la base, se tiene:

Llamando a, b y c a las tres dimensiones del ortoedro (ancho, lar-

go, alto) y D a la diagonal resulta:

La diagonal de un ortoedro se puede calcular generalizando el teorema de Pitgoras a tringulos rectngulos situados

en el espacio.

4.1. Diagonal del ortoedro y del cubo

4. TEOREMA DE PITGORAS EN EL ESPACIO

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El rea de un poliedro se obtiene sumando las reas de todas las caras que lo forman. Para las pirmides y prismas se pueden obtener frmulas sencillas que permitan calcular el rea.

A = 6a 2

A = a 2 3

A = 2a 2 3

A = 5a 2 3

A = 3a 2 25 + 10 5

7


Matemticas 3o ESO

25 10

3

10 5

25

5 516'14 cm 2

52

3 5

2

3

3 216'51cm2

52

A 2a 2

A 3a 2

(2)

(4)

3

52

3

A

(1)

(3)

(5)

52

6 150 cm2

A 6a 2

A 5a 2

43'30 cm2

3 86'60 cm2

a 2 52

Calculemos las reas de los poliedros regulares de arista 5 cm.

Ejemplo.

La frmula que nos permite obtener el rea de este poliedro es la siguiente:

Dodecaedro (5)

4

4

4

cara

cara

cara

cara

A 20 A 20

A 8 A 8

A 6 A 6

A 4 A 4

a 2

a 3

a 3

a 3

2

2

2

Icosaedro (4)

Octaedro (3)

Hexaedro o cubo (2)

Tetraedro (1)

4

lteros (tetraedro, octaedro e icosaedro) recordemos que el rea de un tringulo equiltero de lado a es A

(vase la unidad didctica Relaciones mtricas y reas en el plano).

a 3

2

Hallemos las reas de los poliedros regulares en funcin de la arista a. Para aquellos cuyas caras son tringulos equi-

5.1. reas de poliedros regulares

5. REAS DE POLIEDROS

3. Calcula el valor de la diagonal de un ortoedro de dimensiones 8 6 4 cm. Halla tambin el valor de la diagonal de un

cubo de arista 4 cm.

4. En los cuerpos siguientes, calcula la altura de la pirmide, el radio de la esfera y la generatriz del tronco de cono.

EJERCICIOS

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AL = PB h

AT = AL + 2 AB

AL = suma de las reas de las caras laterales

AT = AL + AB

8


Matemticas 3o ESO

El rea total se obtiene sumando al rea lateral el

rea de la base:

El rea lateral se obtiene sumando el rea de todas

las caras laterales:

Pirmide recta y su desarrollo

El desarrollo de una pirmide recta lo forman varios tringulos issceles (caras laterales) y el polgono de la base.

320 800 cm2

Por tanto, el cartn empleado en la construccin de la caja es:

AT AL 2 AB 480 2 160 480

h 6x

x 2x2

AL PB

AB 2x

Con este valor obtenemos las reas:

6 80 = 480 cm2

160 cm2

x 6x2

2 80

80 8'94 cm

x

80

400

x 2

202 5x 2

x 2

(2 x) 2

Aplicamos el teorema de Pitgoras para hallar el valor de x:

Llamamos x al largo o alto de la caja, su ancho es entonces 2x.

Una caja de galletas con forma de paraleleppedo mide lo mismo de largo que de alto y su ancho es doble

que el largo. Si la diagonal de una de sus caras ms grandes mide 20 cm, encuentra la cantidad de cartn necesaria para su construccin.

Ejemplo.

El rea total es igual al rea lateral ms el rea de las

dos bases:

El rea lateral es igual al permetro de la base por la al-

tura:

Prisma recto y su desarrollo

El desarrollo de un prisma recto es un rectngulo (formado por las caras laterales) y los dos polgonos de las bases.

Uno de los lados del rectngulo es el permetro del polgono de la base (PB) y el otro lado es la altura del prisma.

5.2. reas de prismas y pirmides rectas

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AL = suma de las reas de las caras laterales

AT = AL + AB + Ab

9


Matemticas 3o ESO

8.

esta frmula con los datos del ejercicio anterior y compara los resultados obtenidos.

Calcula el rea lateral y el rea total de un tronco de pirmide cuyas bases son cuadrados de lados 12 y 6 m, respectivamente, y tiene una altura de 10 m.

2

P a

Calcula el rea total de un prisma hexagonal regular cuya arista bsica y altura miden ambas 8 cm.

Calcula el rea lateral y el rea total de una pirmide hexagonal regular de arista bsica 6 cm y 4 cm de altura.

Demuestra que el rea lateral de una pirmide regular se puede obtener mediante la expresin AL B l . Aplica

5.

6.

7.

EJERCICIOS

El rea total es igual al rea lateral ms la suma de

las reas de la base mayor y de la base menor:

El rea lateral se obtiene sumando el rea de todas

las caras laterales:

Tronco de pirmide y su desarrollo

El desarrollo de un tronco de pirmide son varios trapecios y los dos polgonos que forman las bases. El rea de una

cara lateral es el rea de un trapecio y el rea lateral la suma de las reas de todas las caras laterales.

Atorre ALprisma ALpirmide

3492 2277 5769 m2

Con esto, el rea lateral de la pirmide es entonces AL 6 3795 2277 m2

Por tanto, el rea de la superficie externa de la torre es:

2

El rea de cada una de las caras laterales de la pirmide es

37'95 m 2

6 12'65

160 12'65 m

al

l

l

169 9 160

32

132

a 2

132

32 a 2

El rea lateral de la pirmide es la suma de las reas de sus caras laterales (tringulos

issceles), por lo que necesitamos conocer la apotema lateral, al. Para ello, utilizamos el tringulo rectngulo que se forma en cada una de las caras de la pirmide y por medio del teorema de Pitgoras obtenemos:

El rea lateral del prisma es:

AL PB h 6 6 97 3492 m2

La siguiente figura representa la torre de la iglesia de un pueblo. Sus dimensiones son las siguientes: la

longitud de la arista bsica del prisma hexagonal regular es de 6 m, la de su altura es de 97 m y la de la arista lateral de la pirmide hexagonal regular es de 13 m. Con estos datos, halla la superficie externa de la torre.

Ejemplo.

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AL = 2prh

AT = 2prh + 2pr 2

AL = prg

AT = prg + pr 2

AL = pg( R + r )

AT = pg( R + r ) + pR 2 + pr 2

10


Matemticas 3o ESO

Calcula el rea lateral y el rea total de un cilindro de 6 cm de dimetro y 8 cm de altura.

Calcula el rea lateral y el rea total de un cono de radio 7 cm y 24 cm de altura.

Calcula el rea lateral y el rea total de un tronco de cono cuyos radios miden 8 y 2 cm, respectivamente, y tiene una altura de 8 cm.

9.

10.

11.

EJERCICIOS

El rea total es igual al rea lateral ms el rea de los

dos crculos:

2

2

El rea lateral es:

g ( R r ) g

g

(2 R 2 r )

2

2 ( R r )

g

AL

(longitud arco mayor longitud arco menor)

Tronco de cono y su desarrollo

El desarrollo de un tronco de cono es un trapecio circular y dos crculos. El trapecio circular tiene por bases las lon-

gitudes de las circunferencias.

El rea total es igual al rea lateral ms el rea del crcu-

lo de la base:

El rea lateral es:

2

2

L

rg

A

Por consiguiente, el rea lateral es igual al rea del sector

circular:

longitud de arco radio 2 r g

Cono y su desarrollo

El desarrollo de un cono es un sector circular y un crculo. El arco del sector circular tiene de longitud 2 r, porque

es la longitud de la circunferencia de la base.

El rea total es igual al rea lateral ms la suma de las

reas de los dos crculos:

El rea lateral es, por tanto:

Cilindro y su desarrollo

El desarrollo de un cilindro es un rectngulo y dos crculos. El rectngulo tiene por base la longitud de la circunfe-

rencia y por altura la generatriz.

6. REAS DE CILINDROS Y CONOS

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Vortoedro = AB h

Vcubo = a 3

11


Matemticas 3o ESO

12. Calcula el rea total y el volumen de un cubo cuya diagonal mide 20 cm.

EJERCICIOS

El volumen de piedra es, por tanto, 37.000 dm3, es decir, 37 m3.

10 9.000 dm3

50 20.000 dm3

Volumen (2) 302

Volumen (3) 202

5 8.000 dm3

Volumen (1) 402

Hallemos el volumen de cada uno de ellos:

El monolito est formado por tres ortoedros. Su volumen ser la

suma de los volmenes de stos.

Calcula el volumen de piedra que encierra el monolito de la figura cuyas piezas tienen bases cuadradas de

40, 30 y 20 dm de lado, respectivamente, y sus alturas son 5, 10 y 50 dm.

Ejemplo.

Volumen del cubo a a a

a3

En el caso particular del cubo, sus tres dimensiones son iguales,

con lo que:

Volumen del ortoedro rea de la base altura AB h

Como el ancho por el largo es el rea de la base (AB), resulta:

V a b h

como a b AB

Volumen del ortoedro ancho largo alto

Ya conocemos, por cursos anteriores, que el volumen del ortoedro

se obtiene multiplicando sus tres dimensiones:

V 4 2

3 24 u3 (unidades cbicas)

El volumen de un cuerpo expresa el nmero de veces que contiene al cubo

unidad. As decimos que el volumen del ortoedro del margen es:

7.1. Volumen del ortoedro

7. PRINCIPIO DE CAVALIERI. VOLUMEN DE PRISMAS Y CILINDROS

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Principio de Cavalieri

Si dos o ms cuerpos de igual rea de la base y la misma altura se cortan por planos paralelos a la base, y las secciones producidas por cada plano en esos cuerpos tienen la misma rea, entonces esos cuerpos tienen el mismo volumen.

12


Matemticas 3o ESO

Como los prismas y el cilindro tienen las bases de igual rea y tienen la misma altura, las secciones producidas por

un plano paralelo a las bases a la misma altura tienen igual rea. Por el principio de Cavalieri resulta que los prismas y el cilindro tienen el mismo volumen que el ortoedro.

Supongamos ahora que los dos prismas de la figura y el cilindro tienen la misma rea de la base (AB) y la misma altura (h) que el ortoedro.

Vamos a calcular el volumen del prisma y el del cilindro a partir del volumen del ortoedro que ya conocemos. Para

ello, consideremos un ortoedro en el que el rea de la base es AB y la altura es h, luego su volumen es V = AB h.

7.3. Volumen de prismas y cilindros

Las tres condiciones que cumplen los dos montones de fichas y los dos prismas (tener la base de la misma rea, te-

ner la misma altura y tener la misma rea las secciones producidas por planos paralelos a la base) permiten afirmar que los dos montones de fichas y los dos prismas tienen el mismo volumen.

En los dos casos (fichas y prismas), las secciones que resultan al cortar por planos paralelos a la base son iguales y,

por tanto, tienen igual rea.

En la siguiente figura se observan dos montones de fichas que tienen la misma rea de la base (el rea de una ficha)

y la misma altura, pero tienen forma diferente. En la figura de la derecha hay dos prismas que tienen la misma rea de la base y la misma altura.

7.2. Principio de Cavalieri

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V prisma = AB h

Vcilindro = AB h = pr 2 h

1

3

13


Matemticas 3o ESO

= AB h

V pirmide triangular

Por tanto, el volumen de cada una de estas pirmides es el mismo y es la tercera parte del volumen del prisma. En

consecuencia, el volumen de una pirmide triangular es igual es igual a un tercio del volumen del prisma de la misma base y altura.

Las pirmides 1 y 3 tienen el mismo volumen pues sus respectivas bases ABC y ABC son iguales (bases

del prisma) y sus respectivas alturas coinciden con la altura del prisma.

Las pirmides 3 y 2 tambin tienen el mismo volumen ya que sus respectivas bases BCB y BCC son iguales y lo mismo sus alturas correspondientes al vrtice A.

Comprobemos que las pirmides 1, 2 y 3 que resultan de la descomposicin tienen el mismo volumen:

En la siguiente figura se observa la descomposicin de un prisma triangular en tres pirmides triangulares.

8.1 Volumen de pirmides

8. VOLUMEN DE PIRMIDES Y DE CONOS

15.

Calcula el volumen de un prisma triangular regular de 8 cm de altura y arista bsica 5 cm.

Inscribimos un cilindro en un cubo cuya diagonal mide 9 cm. Halla el volumen que queda entre el cubo y el cilindro inscrito en el mismo.

Dados dos cilindros de igual altura h, y radios r y 2r, comprueba que el volumen del segundo cilindro es cuatro veces mayor que el volumen del primero.

13.

14.

EJERCICIOS

El volumen de un prisma o de un cilindro es igual al rea de la base por la altura:

Vcilindro

Para el cilindro de radio r y altura h, se tiene en particular:

AB h r2h

rea de la base altura AB h

Vcilindro

rea de la base altura AB h

Vprisma

Como el volumen del ortoedro es igual al rea de la base (AB) por la altura (h) se tiene:

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1

3

14


Matemticas 3o ESO

17. Calcula el volumen de una pirmide de 15 m de altura y cuya base es un cuadrado inscrito en una circunferencia de

5 m de radio.

Vprisma

3

Comprueba la relacin siguiente: Vpirmide triangula r

1

16. Calcula el volumen del prisma y el de la pirmide obtenida de l.

EJERCICIOS

3

B

h

64 8 cm , con lo que V A

Luego h

122 8 384 cm3

1

3

1

l b

b

l

100 36 64

62

102

h2 a 2 a 2

a 2 h2 a 2

Claramente, la apotema de la base mide 6 cm.

Aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado obtenemos la altura de la pirmide:

Calcula el volumen de una pirmide cuadrangular de 12 cm de arista bsica y cuya apotema lateral mide

10 cm.

Ejemplo.

V pirmide

= AB h

Este resultado se puede generalizar a cualquier pirmide recta u oblicua. As, deducimos que el volumen de una pi-

rmide es igual a un tercio del rea de la base por la altura.

3

3

3

3

3

AB h AB h AB h ( AB AB AB ) h AB h

1 2 3 1 2 3

Vpirmide 1 Vpirmide 2 Vpirmide 3

V

1

1

1

1

1

Por tanto, el volumen de esta pirmide es:

No obstante, cualquier pirmide se puede descomponer en pirmides triangulares. En la siguiente figura puedes ob-

servar como se ha descompuesto una pirmide pentagonal en tres pirmides triangulares.

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Todas las pirmides y conos con la misma rea de la base e igual altura tienen el mismo volumen.

1 1

Vcono = AB h = pr 2 h

V = 1 h ( A + A + A A )

3 B b B b

V = 1 p h ( R 2 + r 2 + R r )

15


Matemticas 3o ESO

3

Para calcular el volumen de los troncos de pirmides y de conos podemos aplicar, directamente, las frmulas si-

guientes:

8.3. Volumen del tronco de pirmide y del tronco de cono

3

3

En particular, para el cono de radio r y altura h, se tiene:

En consecuencia, el volumen de un cono es igual a un tercio del rea de la base por la altura.

Aplicando el principio de Cavalieri, resulta:

De las tres razones primeras resulta H1 H2 H3, es decir, las reas de las secciones producidas por el plano son todas iguales.

h

AB

AB

AB

x

H 2 H 3

H1

Llamemos H1, H2, H3 a las reas de las secciones producidas por un plano trazado a una altura x del vrtice. Como las secciones, en cada caso, son semejantes a la base, se tiene que la razn de las reas de cada seccin a la base corres-

pondiente es igual al cuadrado de la razn de semejanza.

2

La pirmide y los conos de la siguiente ilustracin tienen la misma altura (h) y sus bases tienen la misma rea (AB).

8.2. Volumen de conos

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16


Matemticas 3o ESO

3

3

3

3

V

520 cm3

8 195

8 135 15 135 15 8 (135 15 45)

h AB Ab AB Ab

Aplicando la frmula, obtendramos:

3

3

3

b

B

V

A H A x 135 12 15 4 540 20 520 cm3

1

1

1

1

3

El volumen del tronco de pirmide lo obtenemos por diferencia entre los volmenes:

x h 4 8 12 cm

H

Calculamos la altura H de la pirmide grande:

x h

135

x h

AB

x 4 cm

Por semejanza, tenemos:

x

15

x

Ab

2

2

El volumen del tronco de pirmide lo obtenemos por

diferencia entre el volumen de la pirmide grande y el de la pirmide pequea.

Calculamos la altura H de la pirmide grande.

Calculamos la altura x de la pirmide pequea.

Para calcular el volumen de un tronco de pirmide se-

guimos un procedimiento similar al utilizado con el cono:

Volumen del tronco de pirmide

3

3

3

V

1.264 3.970'97 m3

3.792

12 (14 6 14 6)

h ( R r R r )

2 2

2 2

Aplicando directamente la frmula, obtendramos:

108

9 1.372

V

1.264 3.970'97 m3

62

142 21

1

3

1

3

El volumen del tronco de cono es la diferencia entre el volumen del cono grande y el volumen del cono pequeo:

Calculamos la altura H del cono grande: H x h 9 12 21 m

x 12 14

R

x h

x 9 m

En nuestro caso, al ser los tringulos ABC y ADE semejantes, tenemos:

x 6

x r

El volumen del tronco de cono es la diferencia entre

el volumen del cono grande y el volumen del cono pequeo.

Calculamos la altura H del cono grande.

Calculamos la altura x del cono pequeo.

Para calcular el volumen de un tronco de cono, como

el de la figura, seguimos el siguiente procedimiento:

Volumen del tronco de cono

No obstante, podemos tambin hallarlos mediante criterios de semejanza.

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17


Matemticas 3o ESO

[2]

r2 x2

EN2 ON2 OE2

Aplicando el teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo OEN se tiene que:

(EM2 EN2) [1]

Acrculo seccin

Observando la figura de la izquierda tenemos:

Acorona seccin

x2

EF2 OE2

Observando la figura de la derecha, vemos que los tringulos rectngulos OEF y OHC son semejantes y como el

tringulo OHC es issceles, tambin los es el OEF; por tanto, OE EF. Si llamamos x OE a la distancia del vrtice O al plano que corta al cilindro, tenemos:

Mediante el principio de Cavalieri vamos a demostrar que el volumen del complemento es igual al volumen del

cono de vrtice O y base la del cilindro.

Vsemiesfera Vcilindro Vcomplemento

El volumen de la semiesfera lo obtenemos restando al volumen del cilin-

dro el volumen del complemento (espacio entre el cilindro y la semiesfera):

Vamos a obtener el volumen de la esfera usando el principio de Cavalieri. Para ello, consideremos una semiesfera

de radio r inscrita en un cilindro de altura y radio tambin r.

9. VOLUMEN DE LA ESFERA Y REA DE LA SUPERFICIE ESFRICA

21.

22.

Halla el volumen de un cono sabiendo que la longitud de la circunferencia de su base es 31416 cm y su generatriz

mide 10 cm.

Calcula el volumen de un tronco de cono de altura 6 cm, cuyas bases tienen 4 y 2 cm, respectivamente, de radio. Calcula el volumen de un tronco de pirmide cuyas bases son tringulos equilteros de lados 8 y 4 cm, respectiva-

mente, y tiene una altura de 10 cm.

20.

3

Solucin:

cm 3 @ 161'66 cm 3

V = 280 3

19.

Calcula el volumen de un tronco de cono de altura 6 cm, cuyas bases tienen 4 y 2 cm, respectivamente, de radio.

Solucin: V = 56p cm3 @ 17593 cm3

Calcula el volumen de un tronco de pirmide cuyas bases son tringulos equilteros de lados 8 y 4 cm, respectivamente, y tiene una altura de 10 cm.

18.

EJERCICIOS

Jos A. Jimnez Nieto

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V = 4 pr 3

18


Matemticas 3o ESO

El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volmenes de muchas pirmides triangulares iguales,

cuyas bases (tringulos) estn inscritos o circunscritos en la superficie esfrica y cuyos vrtices estn en el centro de la esfera.

La superficie esfrica no se puede desarrollar sobre el plano como ocurre con la superficie de los poliedros o con el

cilindro y el cono. El proceso que se sigue para calcular el rea de la superficie esfrica es anlogo al que utilizamos para hallar el rea de un crculo, partiendo de la consideracin de las reas de los polgonos regulares inscritos o circunscritos en el crculo cuando crece el nmero de lados (vase la unidad didctica Relaciones mtricas y reas en el plano).

24.

Un teorema atribuido a Arqumedes afirma que el volumen de una esfera es los dos tercios del volumen del cilindro

circunscrito. Prubalo.

Circunscribimos un prisma hexagonal regular a una esfera de 2 m de radio. Halla el volumen que hay entre el prisma y la esfera.

23.

EJERCICIOS

Vsemiesfera

144

72

216

Vcono

Vcilindro

Se cumple entonces que:

144 cm

Vsemiesfera

288 cm

6

r

Vesfera

3

3

3

3

6 72 cm

6

r h

3

1

3

4

3

1

3

4

3

216 cm

6

2

6

r h

2

Vcilindro

Vcono

3

2

2

En efecto:

Vcono.

Vcilindro

prueba la relacin Vsemiesfera

Calcula el volumen de un cilindro de radio 6 cm y altura 6 cm, de un cono de radio 6 cm y altura 6 cm, y

el de una esfera de radio 6 cm, y exprsalos en funcin de . Una vez hallados estos volmenes, com-

Ejemplo.

3

esfera

El volumen de la esfera es, por tanto, el doble:

semiesfera cilindro cono

r

r

V

V

V

r 3

r 3

r 3

r 2

r 2

2

3

1

3

1

3

Hemos hallado as el volumen de la semiesfera:

Vcono Vcomplemento .

entonces que

Acorona seccin . Por el principio de Cavalieri resulta

Por tanto, ambas secciones tienen la misma rea, Acrculo seccin

x2

x2)

r2

(r2

x2))

(r2 (r2

(EM2 EN2)

Sustituyendo [2] en [1] resulta:

Acorona seccin

Jos A. Jimnez Nieto

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S = 4pr 2

19


Matemticas 3o ESO

26.

27.

Averigua el volumen y la superficie de las siguientes esferas:

a) Una esfera en la que un plano que la corta, pasando por su centro, produce una seccin de 1.256 cm2 de rea.

b) Una esfera en la que un plano que la corta, a una distancia de 9 cm de su centro, produce una seccin que tiene

314 cm2 de rea.

Determina los volmenes y las superficies de las esferas inscrita y circunscrita a un cubo de 1 m de lado. Halla el rea y el volumen del siguiente cuerpo, cuyas medidas estn dadas en centmetros.

25.

EJERCICIOS

S r

r 3

1

3

4

3

S r , resulta entonces:

Por tanto, teniendo en cuenta que el volumen de la esfera es V

1

3

A medida que el nmero de pirmides sobre la esfera aumenta, ocurre que:

1.- La suma de las reas de las bases de las pirmides B1 B2 + + Bn tiende a ser el rea S de la superficie esfrica.

2.- Las alturas (h) de las pirmides tienden a ser el radio (r) de la esfera.

B1h B2 h Bn h ( B1 B2 Bn )h

3 3 3 3

1

1

1

1

Si llamamos B1, B2, , Bn al rea de las bases de las pirmides y h es la altura de cada pirmide, resulta que el volumen de la esfera se aproxima a:

Jos A. Jimnez Nieto

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Base: n lados

Base: 15 lados

Heptagonal

Hexagonal

Pentagonal

Cuadrangular

Triangular

A

V

C

A

V

C

Pirmides

Prismas

Base

Icosaedro

Dodecaedro

Octaedro

Hexaedro

Tetraedro

A

V

C

Poliedros regulares

20


Matemticas 3o ESO

y AT = 180 + 36 109 @ 555'85 m 2 .

A L = 36 109 @ 375'85 m 2

8.

esta frmula con los datos del ejercicio anterior y compara los resultados obtenidos.

Se deja para el alumno.

Calcula el rea lateral y el rea total de un tronco de pirmide cuyas bases son cuadrados de lados 12 y 6 m, respectivamente, y tiene una altura de 10 m.

2

7.

Demuestra que el rea lateral de una pirmide regular se puede obtener mediante la expresin AL B l . Aplica

P a

Calcula el rea lateral y el rea total de una pirmide hexagonal regular de arista bsica 6 cm y 4 cm de altura.

A L = 18 43 @ 118'03 cm 2 y A T = 18 43 + 54 3 @ 211'56 cm 2 .

6.

Calcula el rea total de un prisma hexagonal regular cuya arista bsica y altura miden ambas 8 cm.

A T = 384 + 192 3 @ 716'55 cm 2 .

5.

g = 5cm

R = 25 cm

h = 12 cm

4.

La diagonal del ortoedro mide 116 @ 10'77 cm, y la del cubo 48 @ 6'93 cm.

En los cuerpos siguientes, calcula la altura de la pirmide, el radio de la esfera y la generatriz del tronco de cono.

6 4 cm. Halla tambin el valor de la diagonal de un

Calcula el valor de la diagonal de un ortoedro de dimensiones 8

cubo de arista 4 cm.

3.


2.


Completa las siguientes tablas.

Indica a qu poliedro regular corresponde cada desarrollo.

1.

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Jos A. Jimnez Nieto

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21


Matemticas 3o ESO

3

@ 161'66 cm 3 .

V = 280 3

22.


V = 56p @ 17593 cm3.


21.

3

@ 226'72 cm 3 .

V = 125p 3

Halla el volumen de un cono sabiendo que la longitud de la circunferencia de su base es 31416 cm y su generatriz

mide 10 cm.

20.

3

Solucin:

cm 3 @ 161'66 cm 3

V = 280 3

19.

18.

Calcula el volumen de una pirmide de 15 m de altura y cuya base es un cuadrado inscrito en una circunferencia de

5 m de radio.

V = 250 m3.


Solucin: V = 56p cm3 @ 17593 cm3


17.

3

prisma

pirmide

pirmide

prisma

.

= 96 cm 3 . Claramente se verifica que V

V = 288 cm 3 y V

= 1 V

Vprisma

3

Comprueba la relacin siguiente: Vpirmide triangula r

1

16.

Dados dos cilindros de igual altura h, y radios r y 2r, comprueba que el volumen del segundo cilindro es cuatro ve-

ces mayor que el volumen del primero.


Calcula el volumen del prisma y el de la pirmide obtenida de l.

15.

Inscribimos un cilindro en un cubo cuya diagonal mide 9 cm. Halla el volumen que queda entre el cubo y el cilindro

inscrito en el mismo.

V = 81 3 (1 - p ) @ 30'11 cm 3 .

4

14.

V = 50 3 @ 86'60 cm 3 .

Calcula el volumen de un prisma triangular regular de 8 cm de altura y arista bsica 5 cm.

13.

9

T

@ 1.539'60 cm 3 .

A = 800 cm 2 y

V = 8.000 3

12.

11.

10.

Calcula el rea lateral y el rea total de un cilindro de 6 cm de dimetro y 8 cm de altura.

A L = 48p @ 150'80 cm 2 y A T = 66p @ 207'35 cm 2 .

Calcula el rea lateral y el rea total de un cono de radio 7 cm y 24 cm de altura.

A L = 175p @ 549'78 cm 2 y A T = 224p @ 703'72 cm 2 .

Calcula el rea lateral y el rea total de un tronco de cono cuyos radios miden 8 y 2 cm, respectivamente, y tiene una altura de 8 cm.

A L = 100 @ 314'16 cm 2 y A T = 168p @ 527'79 cm 2 .

Calcula el rea total y el volumen de un cubo cuya diagonal mide 20 cm.

9.

Jos A. Jimnez Nieto

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22


Matemticas 3o ESO

A = 5625p @ 17671 cm2 y V @ 3958p @ 12434 cm3.

Halla el rea y el volumen del siguiente cuerpo, cuyas medidas estn dadas en centmetros.

27.

2

Esfera circunscrita: S = 3p @ 942 m2 y

@ 2'72 m 3 .

V = p 3

Esfera inscrita:

S = p @ 314 m2 y V = p @ 0'52 m 3 .

6

26.

3

Determina los volmenes y las superficies de las esferas inscrita y circunscrita a un cubo de 1 m de lado.

b) S = 724p @ 2.27451 cm2 y V = 4p( 181 ) @ 10.200'15 cm 3 .

3

3

Averigua el volumen y la superficie de las siguientes esferas:

a) Una esfera en la que un plano que la corta, pasando por su centro, produce una seccin de 1.256 cm2 de rea.

b) Una esfera en la que un plano que la corta, a una distancia de 9 cm de su centro, produce una seccin que tiene

314 cm2 de rea.

a) S = 5.024 cm2 y V = 32.000p @ 33.510'32 cm 3 .

25.

24.

Un teorema atribuido a Arqumedes afirma que el volumen de una esfera es los dos tercios del volumen del cilindro

circunscrito. Prubalo.


Circunscribimos un prisma hexagonal regular a una esfera de 2 m de radio. Halla el volumen que hay entre el prisma y la esfera.

V = 32 3 - 32p @ 21'92 m 3 .

3

23.

Jos A. Jimnez Nieto

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Documents

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.doc