Aritmética Financiera - 2013

Aritmtica Financiera

1

ARITMTICA FINANCIERA


2

N D I C E

Pg.

PRIMERA UNIDAD Razones y proporciones 3 Aplicaciones de la Propiedad Fundamental de las Proporciones 4 Proporcionalidad Directa e Inversa 6 Proporcionalidad Compuesta 7

SEGUNDA UNIDAD El Tanto Por Ciento 9 Porcentaje (Tanto por ciento de una cantidad) 9 Porcentaje sobre el 100% 10 Porcentaje bajo el 100% 11 Problemas sobre aumentos y disminuciones 11 Problemas sobre Comisiones 12 Problemas sobre Precio de Costo, Venta e IVA. 12

TERCERA UNIDAD Rgimen de Capitalizacin Simple 14 Clculo del Inters para Perodo Anual 14 Clculo del Inters para Perodo Mensual 15 Clculo del Inters para Perodo Diario 15 Clculo del Monto 16

CUARTA UNIDAD El Descuento Comercial y Racional 18 Descuento Comercial o Abusivo 18 Descuento Racional o Legal 20

QUINTA UNIDAD Rgimen de Capitalizacin Compuesta 23 Clculo del Monto Compuesto (Valor Futuro) 23 Clculo del Inters Compuesto 24 Clculo del Capital Invertido 24 Clculo de la Tasa de Inters 24 Clculo del Tiempo (En Aos) 25 Tasa Efectiva y Nominal 25 Equivalencia entre Tasas de Inters Simple y Compuesto 27

SEXTA UNIDAD Anualidades y Amortizaciones 30 Anualidades 30 Clculo del Monto de la Imposicin Vencida (Valor Futuro) 30 Clculo Valor Presente o Actual de una Imposicin Vencida 32 Clculo del Monto para una Imposicin Anticipada (Valor Futuro) 33 Clculo del Valor Presente o actual de una Imposicin Anticipada 35 Amortizaciones 36 Pagos Parciales Variables 36 Pagos Parciales Fijos 38

Bibliografa 40


3

PRIMERA UNIDAD

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZONES

Veamos en primer lugar la definicin de Razn ya que esta nos llevar al concepto de Proporcin.

Definicin: Una razn es una comparacin entre dos cantidades. Pero Qu es una cantidad? Una cantidad es lo que resulta de una medicin que se expresa en nmeros acompaados de unidades. Por ejemplo: 2 kilogramos, (2 es el nmero, kilogramo es la unidad y ambos son una cantidad). Lo mismo ocurre con: 53 metros o 40 alumnos.

Existen dos formas de comparar cantidades. Por diferencia (Cuando usamos la resta) Por cuocuiente o cociente (Cuando usamos la divisin)

Ejemplo: Tenemos 2 Lpices: Uno mide 9 cms. y el otro 12 cms. Cmo podemos comparar las longitudes de los dos lpices?

1) A travs de la diferencia. La diferencia entre las longitudes de los lpices muestra que el lpiz largo mide 3 cms. ms que el lpiz pequeo. (12cms. 9cms = 3cms.)

2) A travs del cuociente

Note que se simplific por 3

El resultado obtenido por esta comparacin se llama razn y se lee 3 es a 4.

Tambin la razn 3/4 puede escribirse como 3:4. Esta razn indica que la longitud del lpiz pequeo es 3/4 de la longitud del lpiz largo.

Resumiendo: El nmero que se obtiene de la comparacin por cuociente de las dos cantidades, expresadas en la misma unidad, se llama Razn.

En general, la razn de dos nmeros a y b puede ser representada en la forma a/b o en la forma a:b. En ambos casos se lee a es a b.

El primer trmino de la razn se llama ANTECEDENTE y el segundo CONSECUENTE.

Ejercicio 1: Escriba cada una de las siguientes razones en notacin fraccionaria:

a) 3:8 b) 5:11 c) 3:10 d) 7:4

Ejercicio 2: Exprese la razn entre los siguientes pares de nmeros como una razn entre nmeros enteros.

a) 1 y 6 b) 5 y 20 c) 3/4 y 20/4 d) 4/10 y 5/6

Antecedente

a a : b b Consecuente


4

Ejercicio 3: Miscelneos:

a) Una prueba de matemticas tiene 10 preguntas. Un alumno responde 6 correctamente y omite 1. Escriba la razn entre:

I. El nmero de correctas y el total de preguntas II. El nmero de incorrectas y el nmero de correctas III. El nmero de omitidas y el total de preguntas.

b) En una casa, el rea construida es de 120 m2 y el rea libre es de 80 m2. Cul es la razn entre el rea construida y el rea total del terreno?

c) La escala de un diseo es la razn entre la longitud representada en el dibujo y la correspondiente longitud real expresada ambas en la misma unidad. Cul fue la escala utilizada en el diseo de una casa si una longitud de 6 mts. fue representada por una longitud de 3 cms.?

d) En una residencia, la razn entre el rea construida y el rea libre es 2:3. Si el rea construida es de 140 m2 Cul es el rea libre?

PROPORCIONES

Veamos ahora que es una Proporcin:

Definicin: Una proporcin es una igualdad entre dos razones.

Consideremos los siguientes nmeros 6, 9, 12, 18

I. La razn entre el primero y el segundo es

II. La razn entre el tercero y el cuarto es

Es decir, las razones obtenidas en ambos casos son iguales; entonces podemos escribir:

En este caso se dice que los nmeros 6, 9, 12, y 18 en ese orden forman una proporcin. La proporcin 6:9 = 12:18 se lee 6 es a 9 como 12 es a 18.

En general, cuatro nmeros a, b, c y d distintos de cero, y en el orden dado, forman una proporcin cuando la razn entre el primero y el segundo es igual a la razn entre el tercero y el cuarto. Tenemos que:

a = c o a : b = c : d b d

En ambos casos se lee a es a b como c es d. Los nmeros a y d se denominan EXTREMOS y los nmeros b y c se llaman MEDIOS.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES : Definicin: Si los nmeros a, b, c y d forman una proporcin, entonces el producto de los extremos es igual al productos de los medios. En smbolos:

Ejercicio 3: Diga si los siguientes pares de razones forman o no una proporcin usando la propiedad fundamental:

a) 1/2 y 3/6 b) 3/4 y 9/10 c) 5/2 y 25/10 d) 3/2 y 6/4 e) 3/4 y 16/5

6 = 12 o 6:9 = 12:18 9 18

a = c entonces a x d = b x c b d

2 6 = 2 9 3 3

2 12 = 2 18 3 3


5

Ejercicio 4: Encuentre 4 proporciones diferentes que pueden obtenerse con cada una de las siguientes cuaternas de nmeros.

a) 2, 3, 6 y 9 b) 4, 8, 6 y 12 c) 1, 2, 9 y 18 d) 5, 7, 60 y 84

APLICACIONES DE LA PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES

1) Cuarta Proporcional Geomtrica entre tres nmeros

Considere la proporcin:

En esta proporcin se conocen 3 trminos y se desconoce el cuarto. El nmero representado por X y que completa la proporcin, se denomina cuarta proporcional geomtrica entre los nmeros 3, 4 y 15.

En general, dados 3 nmeros a, b y c, se denomina Cuarta Proporcional Geomtrica entre ellos a un nmero X tal que

Ejemplo: Encuentre la Cuarta Proporcional Geomtrica entre 3, 4 y 15

Procedimiento: Primero escribimos la proporcin: 3 = 15 4 X

Luego usamos la propiedad de las proporciones del producto de los medios y los extremos: 3 x X = 15 x 4

Ahora procedemos a despejar la X. Para ello, la cantidad que estaba multiplicando pasa a dividir: X = 15 x 4 3

Luego simplificamos, esta vez por 3 X = 5 x 4 X=20 1

Luego, 20 es la cuarta proporcional geomtrica entre 3, 4 y 15.

Ejercicio 5: Determine la cuarta proporcional entre los nmeros:

a) 6, 18 y 15 b) 8, 2 y 24 c) 1/3, 5/6 y 1/2 d) 0,4; 0,6 y 12 e) 0,5; 0,10 y 0,15

2). Tercera Proporcional Geomtrica entre dos nmeros

Observe que de los trminos conocidos en esta proporcin, hay dos que son iguales (MEDIOS). En este caso, el trmino x, que completa la proporcin, se denomina tercera proporcional geomtrica entre los nmeros 4 y 6.

En general, dados dos nmeros a y b, se denomina Tercera Proporcional Geomtrica entre ellos a un nmero X tal que

Ejemplo: Encuentre la tercera proporcional geomtrica entre los nmeros 4 y 6.

Luego, 9 es la tercera proporcional geomtrica entre 4 y 6.

Considere la proporcin: 4 = 6 (X 0) 6 X

a = b b X

4 = 6 4 x X = 6 x 6 X = 6 x 6 X = 36 X = 9 6 X 4 4

3 = 15 (X0) 4 X

a = c b X


6

Ejercicio 6: Determine la tercera proporcional geomtrica entre:

a) 4 y 2 b) 3 y 9 c) 1/5 y 5 d) 1/6 y 2/3

3) Media Proporcional Geomtrica entre dos nmeros

Observe que en esta proporcin hay dos trminos conocidos (extremos) y que el trmino desconocido se repite (medios). El nmero x, que completa la proporcin, se denomina media proporcional geomtrica entre 18 y 8.

En general, dados dos nmeros a y b, se denomina Media Proporcional Geomtrica entre ellos a un nmero X tal que

Ejemplo: Encuentre la media proporcional geomtrica ente 18 y 8.

Luego 12 es la Media proporcional Geomtrica entre 18 y 8.

Importante: Al multiplicar un nmero por s mismo, este pasa a ser un nmero al cuadrado: 32 = 3 x 3 = 9 X x X = X2

Para volver un nmero cuadrado a su forma original, se debe sacar la raz cuadrada, es decir, hay que buscar un nmero que multiplicado por s mismo nos d el nmero al que le estamos sacando la raz cuadrada:

Por ejemplo, para sacar la raz cuadrada de 25, tenemos que buscar el nmero que multiplicado por s mismo d como resultado 25. En este caso dicho nmero es 5. 25 = 5 x 5

Lo mismo ocurre si queremos sacar la raz cuadrada de 100: 100 = 10 x 10

Ejercicio 7: Determine la Media Proporcional Geomtrica entre:

a) 16 y 4 b) 25 y 4 c) 13 y 3 d) 7 y 63 e) 1/3 y 1/27

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

Definicin: Dos magnitudes son Directamente Proporcionales cuando al aumentar una magnitud la otra tambin aumenta y al disminuir una magnitud la otra tambin disminuye

Por ejemplo el nmero de artculos y el precio a pagar son magnitudes directamente proporcionales ya que a mayor nmero de artculos debemos pagar mayor cantidad de dinero

Ejemplo: Si 5 mts. de gnero cuestan $850 Cunto cuestan 8 mts.?

METROS $ 5.................................. 850 8.................................. X

170 5 = 850 X = 850 x 8 X = 1.360 8 X 5 1 Luego, por los 8 mts. Se debe pagar $1.360.

Considere la proporcin: 18 = X (X 0) X 8

a = X X b

18 = X X x X = 18 x 8 X2 = 144 X = 144 X=12 X 8


7

Ejercicio 8: Resuelva cada uno de los siguientes problemas.

a) 20 alumnos hicieron una excursin y consumieron 15 botellas de jugo. Cuntas botellas de jugo se habran consumido si hubieran ido los 50 alumnos del curso.?

b) Siete obreros cavan, en dos horas una zanja de 10 mts. Cuntos metros cavaron en el mismo tiempo, 42 obreros trabajando en las mismas condiciones?.

c) El agua de mar contiene 2,5 grs. de sal por cada 1.000 grs. de agua Cuntos gramos de sal hay en 5 Kgs. de agua de mar?

d) Un comerciante invierte en un negocio un capital de $1.800 y obtiene despus de cierto tiempo una utilidad de $5.000. Qu capital debera haber invertido en ese negocio para obtener, durante el mismo tiempo, una utilidad de $12.000?

Definicin: Dos magnitudes son Inversamente Proporcionales cuando al aumentar una magnitud, la otra disminuye y al disminuir una magnitud, la otra aumenta

Por ejemplo: El nmero de trabajadores y el tiempo empleado en realizar una obra son magnitudes inversamente proporcionales, ya que si aumentamos el nmero de trabajadores al doble demoraremos slo la mitad del tiempo en terminar la obra.

Ejemplo: Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 60 horas Cuntas horas emplearn 30 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?.

TELARES HORAS 25 60 30 X

2 25 = X X = 25 x 60 X = 50 30 60 30 1 Luego 30 telares demoran 50 hrs. en producir la misma cantidad de tela.


a) Con el dinero que tengo puedo comprar 20 calculadoras a $2.000 cada una. Si las calculadoras suben a $2.500 Cuntas podr comprar?.

b) Un grifo de 3 cm2 de seccin tarda 18 hrs. en llenar un estanque. Cuntas horas emplear en llenar el mismo estanque un grifo de 9 cm2 de seccin?.

c) 20 hombres hacen un determinado servicio en 10 das Cuntos hombres, de igual capacidad que los primeros, seran necesarios para realizar el mismo servicio en 8 das?.

d) Una mesa tiene 6 mts. de largo y 1.5 mts. de ancho En cunto debe disminuir el largo para que, sin variar el rea el ancho sea de 2 mts.?

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Definicin: Una proporcin es compuesta cuando relaciona ms de dos magnitudes.

Ejemplo 1: Cuatro operarios producen en 10 das, 320 piezas de un cierto producto. Cuntas piezas de ese mismo producto sern producidas por 10 operarios en 16 das?

OPERARIOS DAS PIEZAS 4 10 320 10 16 X

Consideremos separadamente la magnitud que contiene a la incgnita con cada una de las otras dos magnitudes. As tenemos que el nmero de operarios y el nmero de piezas son directamente proporcionales, es decir, a mayor nmero de operarios se obtiene mayor nmero de piezas, y el nmero de das y el nmero de piezas tambin son directamente proporcionales ya que a mayor nmero de das se obtiene un mayor nmero de piezas.

Entonces las razones consideradas separadamente son:

La proporcin buscada resulta de igualar la razn que contiene la incgnita con el producto de las otras dos razones; o sea:

X = 1.280 Por lo tanto sern producidas 1.280 piezas.

4 ; 10 y 320 10 16 X

320 = 4 x 10 320 = 1 X 10 16 X 4


8

Ejemplo 2: Diez mquinas preparan un terreno de 30 hectreas en 9 das. En cuntos das 12 mquinas idnticas a las anteriores prepararn un terreno de 48 hectreas?.

MAQUINAS HECTREAS DAS 10 30 9 12 48 X

En este ejemplo tenemos que el nmero de das y el nmero de mquinas son inversamente proporcionales. El nmero de das y el nmero de hectreas son magnitudes directamente proporcionales. Luego las razones son:

y la proporcin buscada

X = 12 Por lo tanto, preparan el terreno en 12 das.


a) 18 obreros trabajando 7 hrs. por da, realizan un determinado servicio en 12 das; En cuntos das 12 trabajadores que laboren 9 hrs. por da harn el mismo servicio?.

b) Un depsito de 500 litros de capacidad es llenado por un grifo de 5 cm2 de seccin en 12 hrs. Cunto tiempo tardar en llenarse un depsito de 750 litros por un grifo de 3 cm2 de seccin?.

c) En una residencia con 30 estudiantes se gastan $72.000 en 25 das. Cunto gastarn 42 estudiantes en 34 das viviendo en idnticas condiciones?.

d) 16 operarios trabajando 8 hrs. por da producen 120 pares de zapatos por da. Si se desea ampliar el mercado de ventas, Cuntos operarios trabajando 10 horas por da pueden asegurar una produccin diaria de 300 zapatos?.

Ejercicio 15: Miscelneas.

a) A partir de cada una de las siguientes proporciones encuentre otras 4 proporciones:

I) 5 = 10 II) 3 = 6 III) 0,2 = 5 1 2 4 8 0,4 10

b) Encuentre lo que en cada caso se indica:

I) 4a PG. entre 12 Y 9 II) 3a PG. entre 5 y 20 III) 1/2 PG. entre 20 y 45 IV) 1/2 PG. entre 20 y 5 V) 1/2 PG. entre 5/9 y 20/9 VI) 3a PG entre 1/2 y 4/9 VII) 4a PG. entre 1/2; 6/7 y 2/9

c) Dos individuos deben repartirse la suma de $12.000 en la razn 1:5 Cunto recibe cada uno?

d) La diferencia entre dos nmeros es 48 y estn en la razn 9 es a 5. Cules son los nmeros?.

e) Dos individuos arriendan una parcela. El primero ocupa los 5/11 de la parcela y paga $300.000 de alquiler al ao. Cunto paga de alquiler anual el segundo?

f) Un ganadero compra 1.140 reses con la condicin de recibir 13 por cada 12 que compre. Cuntas reses debe recibir?

g) A la velocidad de 30 km/h un automvil emplea 8 hrs. y cuarto en ir de una ciudad a otra. Cunto tiempo menos hubiera tardado si su velocidad hubiera sido triple?.

h) 9 hombres pueden hacer una obra en 5 das. Cuntos hombres ms haran falta para hacer la obra en un da? Cuntos hombres menos para hacerla en 15 das?.

12 , 30 y 9 10 48 X

9 = 12 x 30 9 = 3 X 10 48 X 4


9

SEGUNDA UNIDAD

EL TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es una razn de consecuente igual a 100.

Ejemplo: 25% = 25 3% = 3 100 100

Todo tanto por ciento puede ser expresado en notacin decimal mediante el desarrollo del cuociente representado por la razn respectiva.

Ejemplos: 25% = 25 = 0,25 3% = 3 = 0,03 100 100

Cualquier nmero puede ser expresado como tanto por ciento.

Ejemplos: 0,31 = 31 = 31% 2 = 200 = 200% 100 100

Y finalmente toda razn puede expresarse como tanto por ciento

Ejemplos: 1 = 0,50 = 50 = 50% 5 = 1,25 = 125 = 125% 2 100 4 100

Ejercicio 1: Complete el siguiente cuadro.

TANTO POR CIENTO RAZN NUMERO DECIMAL a) 32% b) 1/2 c) 0,45 d) 93% e) 0,37 f) 3/5 g) 1%

PORCENTAJE (Tanto por ciento de una cantidad)

Bajo esta definicin, podemos afirmar, por ejemplo, que el 5% de 1.000 significa que despus de haber dividido el nmero 1.000 en 100 partes iguales, nosotros tomaremos 5 de ellas. Al dividir 1.000 en 100 partes iguales obtenemos que el valor de cada parte es igual a 10 y al tomar slo 5 de estas partes resulta 50.

Por lo tanto el 5% de 1.000 es 50.

Resulta evidente, por otra parte, que el 100% de un nmero es el mismo nmero. (El 100% de 37 es 37).

En general, los problemas de porcentaje son un caso particular de proporcionalidad directa en la que siempre interviene el nmero 100 y se pueden clasificar en tres tipos:

I) Calcular el tanto por ciento de un nmero II) Calcular un nmero conociendo un porcentaje de l

III) Calcular qu tanto por ciento es un nmero de otro.

I) Calcular el tanto por ciento de un nmero

Ejemplo: De 1.800 alumnas del colegio el 15% practica bsquetbol Cuntas alumnas practican el mencionado deporte?

% alumnas 100 1.800 15 X

100 = 1.800 X = 1.800 x 15 X = 270 15 X 100

Por lo tanto las alumnas que practican bsquetbol son 270.

II) Calcular un nmero conociendo un porcentaje de l.

Ejemplo: En un colegio el 5% del alumnado repiti de curso. Si el nmero de alumnas que repiti fue 40. Cuntas alumnas tiene el colegio?.


10

% alumnas 5 40 100 X

5 = 40 X = 40 x 100 X = 8 x 100 X = 800 100 X 5

Por lo tanto el nmero total de alumnas del colegio es 800.

III) Calcular qu tanto por ciento es un nmero de otro.

En una plantacin de 1.900 rboles se secaron 380. Qu % se sec?.

% ARBOLES 100 1.900 X 380

100 = 1.900 X = 100 x 380 X = 20 X 380 1.900 Por lo tanto el % de rboles que se sec corresponde al 20%

Ejercicio 2: Encuentre el:

a) 40% de 80 b) 80% de 40. Compare el resultado de letra a) c) 25% de $1.044 d) 5% de $1.080 e) 40% de $10 f) 12 % de $10.574 g) 12 % de 24/5

Ejercicio 3: De qu nmero es:

a) 5 el 1% b) 10 el 40% c) 1,7 el 1% d) 9 el 12 % e) 850 el 72% f) 60 el 25% g) 120 el 18%

Ejercicio 4: Qu porcentaje es:

a) 156 de 1950 b) 550 de 40.000 c) 0,007 de 5,6 d) 945 de 315 e) 172 de 86 f) 60 de 6 g) 0,63 de 36

Ejercicio 5: Miscelnea

a) Ivn tiene que pagar $900. Si le rebajan el 5% de su deuda cunto debe pagar todava?. b) Un hombre al morir dispone que de su fortuna que asciende a $2.000.000 se entregue el 35% a su

hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a un asilo. Qu cantidad corresponde al asilo?

c) En una incubadora se pusieron 500 huevos y salieron 480 pollitos. Qu % de huevos se perdi?. d) Una persona coloc una cierta cantidad de dinero en un negocio, gan $7.500 y dijo que haba ganado el

15% de lo invertido. Cunto dinero coloc? e) Una persona obtuvo una ganancia lquida del 120% en un negocio de exportacin. Si el capital invertido

era de $850.000. Cunto dinero gan? f) Por vender un automvil se pagan $18.000 por concepto de comisin. Si el % de comisin es un 2.5% de

la venta. En cunto se vendi el auto? g) La diferencia entre el 60% y el 45% de un nmero es 126. Hallar el nmero. h) Si el 45% de un nmero es 540. Cul es el 60% del mismo nmero?

PORCENTAJE SOBRE EL 100%

Por este mtodo se resuelven todos aquellos problemas que se refieren a cantidades que estn recargadas en un tanto por ciento.

Ejemplo: Si un nmero lo aumentamos en un 6% da como resultado 265. Cul es el nmero? (De qu nmero es 265 un 6% ms?).

% nmero 106 265 100 X

106 = 265 X = 100 x 265 X = 250 100 X 106

Luego 265 es un 6% mayor que 250.

Ejercicio 6: De qu nmero es

a) 416 un 4% ms? b) 258 un 20% ms? c) 312, 5 un 25% ms? d) 9,81 un 9% ms?


a) Una mercanca se recarg en un 5% y el nuevo precio es $1.302. Cul era el precio sin recargo. b) Una persona aument su peso en un 15%. Si ahora pesa 69 kg. Cunto pesaba antes?. c) En un colegio la matrcula total aument en un 20% respecto del ao anterior. Si este ao se matricularon

432 alumnos Cul fue la matrcula total del ao pasado?. d) El cupo total de una tarjeta de crdito se ampli en un 12% quedando en $50.400. Cul era el cupo

anterior?.


11

PORCENTAJE BAJO EL 100%

Por este mtodo se resuelven aquellos problemas que se refieren a cantidades que estn rebajadas en un tanto por ciento.

Ejemplo: Pagu por un producto $168. Si ese producto no hubiese estado rebajado en un 4% Cunto debera haber pagado? (De qu nmero es 168 un 4% menos?).

% $ 96 168 100 X

96 = 168 X = 100 x 168 X = 175 100 X 96

Por lo tanto el precio sin rebaja era de $175.

Ejercicio 8: De qu nmero es

a) 175 un 30% menos? b) 810 un 10% menos? c) 5.460 un 2, 5% menos? d) 14.471 un 1/5% menos?.


a) El peso de una persona disminuy en un 15%. Si ahora pesa 59.5 Kg. Cunto pesaba antes de la disminucin?

b) El nmero de alumnos de un curso baj en un 10% de Marzo a Diciembre y quedaron 36 alumnos. Cuntos alumnos tena el curso en marzo?.

c) Qu nmero disminuido en 35% equivale a 6.227?. d) Un corredor de propiedades vendi 2 casas en $4.200.000 cada una. Si en una perdi el 8% y en la otra

gan un 8%. Gan o perdi en total? Cunto?

PROBLEMAS SOBRE AUMENTOS Y DISMINUCIONES

Ejemplo: Una persona pesaba 60 kgs. y tres meses ms tarde pesa 66 kgs. Cul es el porcentaje de aumento?.

En cunto kg. aument? Pesa 66 Kg. Pesaba - 60 Kg. Aument en 6 Kg.

Qu % es 6 de 60? 60 Kg. 100 6 Kg. X

60 = 100 X = 6 x 100 X = 10 6 X 60

Por lo tanto aument su peso en un 10%.

Ejemplo: Las ventas del mes pasado alcanzaron $216.300. Sin embargo, las de este mes fueron slo de $190.344 cul fue el % de disminucin?.

En cunto disminuy la venta? Mes pasado $216.300 Este mes $190.344 Disminuyeron en $ 25.956

Qu % es $25.956 de $216.300?

$216.300 100% $ 25.956 X

216.300 = 100 X = 25.956 x 100 X = 12 25.956 X 216.300

Por lo tanto las ventas disminuyeron en un 12%.


a) En qu % aument el precio de un automvil si en marzo costaba $2.500.000 y en abril $2.650.000?. b) El precio del dlar subi de $600 a 613, Cul fue el porcentaje de aumento? c) Un coleccionista de sellos postales tena hasta ayer 1.200 estampillas. Si hoy posee 1.350 sellos. En

qu % aument su coleccin?.


a) Una mina de oro disminuy su produccin anual de 350 Kg. a 280 Kg. En qu % disminuy su produccin?.

b) El sueldo de un vendedor comisionista baj a $224.150. Si el mes pasado gan $350.000. En qu % disminuy?.

c) Si la temperatura mxima baj de 32 a 30. En qu % disminuy?. d) En la maratn de Boston del ao pasado llegaron 5.535 personas a la meta y este ao slo 4.500. En

qu % disminuy?


12

PROBLEMAS SOBRE COMISIONES

Ejemplo: Un vendedor realiz una venta por $50.600. Si su comisin es del 27% Cunto dinero le corresponde por concepto de comisin?.

NOTA: Recordemos que comisin es un porcentaje del precio de un artculo que se otorga al vendedor.

$50.600 100% X 27%

50.600 = 100 X = 50.600 x 27 X = 13.662 X 27 100

Por lo tanto el vendedor gan una comisin de $13.662.

Ejercicio 12:

a) Un vendedor vendi durante un mes la suma de $50.000 y gan una comisin del 5%. Cunto gan? b) Un vendedor recibi $2.760. Si su comisin es del 2,3% Cunto vendi? c) Un vendedor recibe por concepto de comisin la suma de $10.500, cantidad que corresponde al 35% de

comisin. Cul es el total vendido por el comisionista? d) Un comisionista vendi $160.000 en productos electrodomsticos, $80.000 en vestuario y $250.000 en

mueblera. Qu % de comisin recibe en los artculos electrodomsticos si en total recibe $50.800 sabiendo que gana el 10% en vestuario y el 12% en mueblera?.

PROBLEMAS SOBRE PRECIO DE COSTO, VENTA E IVA

Antes de resolver problemas de este tipo es necesario definir algunos conceptos.

Entenderemos por:

1 Precio de Costo al valor cancelado por el comerciante al adquirir el producto. Ser representado por PC.

2 Precio de Venta Neto al precio de costo ms las ganancias (o menos las prdidas). Ser representado por PN.

3 Precio al Consumidor al precio de venta neto ms el IVA (recordemos que el IVA corresponde al 19% del Precio de Venta Neto). Ser representado por PV.

Ejemplos:

1. El costo de una mercadera es $15.000 y el comerciante la vende ganando un 40%. Encontrar la ganancia, el precio de venta neto, el IVA y el precio al consumidor.

GANANCIA $15.000 100% X 40%

15.000 = 100 X = 15.000 x 40 X = 6.000 X 40 100

Por lo tanto la ganancia es de $6.000.

PRECIO DE VENTA NETO: PN = C + GANANCIA PN = 15.000 + 6.000 PN = 21.000 Por lo tanto el precio de venta neto es $21.000.

IVA: $21.000 100% X 19%

21.000 = 100 X = 21.000 x 18 X = 3.990 X 18 100

Por lo tanto el IVA corresponde a $3.990

PRECIO AL CONSUMIDOR: PV = PN + IVA PV = 21.000 + 3.990 PV = 24.990 Por lo tanto el Precio al Consumidor es de $24.990.

2. El precio de venta al consumidor de un producto es $20.160 valor que incluye un 40% de utilidad. Encuentre el IVA., el precio de venta neto, la utilidad y el precio de costo.

IVA: $20.160 119% X 19%

20.160 = 119 X = 20.160 x 19 X = 3.219 aprox. X 19 119

Por lo tanto el IVA asciende a $3.219.


13

PRECIO DE VENTA NETO: PV = PN + IVA PN = PV - IVA PN = 20.160 - 3.219 PN = 16.941 Por lo tanto el precio de venta neto es $16.941.

LA UTILIDAD: 16.941 140% X 40%

2 16.941 = 140 X = 16.941 x 40 X = 4.840 X 40 140 7 Por lo tanto la utilidad es de $4.840.

PRECIO DE COSTO: PN = PC + UTILIDAD Se deduce que PC = PN - UTILIDAD PC = 16.941 - 4.840 PC = 12.101 Por lo tanto el precio de costo del producto es $12.101.

3. Si el precio de venta neto de un producto es $45.000. Precio que incluye un 25% de utilidad. Determine el precio de costo, la utilidad, el IVA y el precio a al consumidor.

PRECIO DE COSTO $45.000 125% X 100%

45.000 = 125 X = 45.000 x 100 X = 36.000 X 100 125 Por lo tanto el precio de costo es $36.000.

UTILIDAD: UTILIDAD = PN - PC = 45.000 - 36.000 = 9.000 Por lo tanto la ganancia equivale a $9.000.

IVA: $45.000 100% X 19%

45.000 = 100 X = 45.000 x 19 X = 450 x 19 X = 8.550 X 19 100 Por lo tanto el IVA corresponde a $8.550.

PRECIO AL CONSUMIDOR: PV = PN + IVA = 45.000 + 8.550 = 53.550 Por lo tanto el precio al consumidor es de $53.550.

Ejercicio 13: Resuelva c/u de los siguientes problemas.

a) El precio de costo de una mercadera es $36.480. Si se considera una utilidad del 14%. Calcule el precio neto y el precio al consumidor.

b) Cul es el precio de costo de un artculo que incluye un 13,5% de utilidad y se vende al pblico en $12.939?.

c) El precio de venta sin IVA de un producto es $1.368, si se considera una utilidad del 14%. Cul es el precio de costo? A cunto asciende la ganancia? Cunto es el IVA? Cul es el precio al consumidor?.

d) El precio de costo de un artculo es $780 y se desea vender a $975. Calcule el % de utilidad, el IVA y el precio al consumidor.


14

TERCERA UNIDAD

RGIMEN DE CAPITALIZACIN SIMPLE

El dinero nunca est inactivo, ya que toda cantidad de dinero que se presta debe producir una ganancia. Esta ganancia es un tanto por ciento, pactado entre las partes, de la cantidad que se presta.

Definiremos Inters o Crdito a la ganancia que produce un cierto capital prestado a un tanto por ciento durante un tiempo determinado.

El inters puede ser simple o compuesto. Es simple si los intereses que produce dicho capital no se incorporan a este; es decir, las utilidades no pasan a formar parte del capital prestado. Es compuesto cuando los crditos de cada perodo pasan a formar parte del capital, creando uno nuevo, para el perodo siguiente.

CLCULO DEL INTERS PARA PERIODO ANUAL

Consideremos el siguiente problema: Se presta un cierto capital C a una tasa de inters anual r%. Se desea conocer el inters I que produce dicho capital al cabo del primer ao.

Como r, es el porcentaje de ganancia anual, indica que por cada $100 prestados recibiremos $ r de ganancia. Luego $ C producirn $ I de inters. En otras palabras: $100 producen $ r al ao $ C producen $ I

Como el capital y el inters son directamente proporcionales ya que por, el doble del capital obtendremos doble inters, tenemos la proporcin:

Despejando I se obtiene:

Pero r/100 corresponde a la tasa de inters escrito en forma decimal. Si designamos este valor por i tenemos que:

Ejemplo: Qu inters producen $15.000 al 6% anual durante un ao?

C = 15.000 r = 6% i = 0,06 I = 15.000 x 0,06 I = ? I = 900

Luego los $15.000 al 6% producen $900 de ganancia en un ao.

Consideremos ahora el problema que consiste en calcular el inters que producen $ C depositado al r % anual durante n aos.

Aqu resulta evidente que el inters que produce un capital C durante n aos es igual al que produce un capital n veces mayor durante un ao, o sea el inters que produce un capital C x n.

Por lo tanto $100 producen $ r 100 = r I = C x n x r $ C x n producen $ I C x n I 100

Reemplazando r por i tenemos que I = C x n x i 100

Ejemplo: Si se depositan $1.500 durante 2 aos al 6% anual Cul es el inters?

C = $1.500 n = 2 r = 6% i = 0,06

Reemplazando es: I = Cx n x i I = 1.500 x 2 x 0,06 I = 180 Por lo tanto se obtiene una ganancia de $180 al depositar $1.500 durante 2 aos al 6% anual.

Ejercicio 1: Qu inters producen: a) $20.000 al 3% anual durante 1 ao? b) $1.200 al 12% anual durante 4 aos? c) $75.000 al 15% anual durante 7 aos? d) $20.500 al 9% anual durante 4 aos?

I = C x r 100

100 = r C I

I = C x i


15

Ejercicio 2: Con que tasa anual se depositaron: a) $1.200 para que en 2 aos produjeran $120 de inters? b) $25.000 para que en 5 aos produjeran $11.250 inters? c) $75.000 para que en 7 aos produjeran $19.425 inters? d) $205.500 para que en 2 aos produjeran $82.000 inters?

Ejercicio 3: Cuntos aos estuvo invertido un capital de: a) $1.750 para que al 9% anual produjera una ganancia de $158? b) $175.000 para que al 19% anual produjera una ganancia de $299.250? c) $15.000 para que al 10% anual produjera una ganancia de $3.000? d) $17.500 para que al 12,34% anual produjera una ganancia de $15.117?

CLCULO DEL INTERS PARA PERIODO MENSUAL

Consideremos ahora el problema que consiste en hallar el inters que produce un capital de $ C invertido al r% anual durante m meses:

Aqu tenemos que expresar m meses en aos; para ello planteamos la siguiente proporcin:

1 ao 12 meses n aos m meses

Como se trata de una proporcin directa tenemos:

1 = 12 n m

Y despejando n n = m 12

Ahora, reemplazando en I = C x n x i tenemos:

I = C x m x i 12

Ejemplos: Hallar el inters que producen $4.500 depositados durante 8 meses al 5,5% anual.

C = 4.500 m = 8 r = 5,5% i = 0,055

1.500 2 I = 4.500 x 8 x 0,055 I = 1.500 x 2 x 0,055 I = 165 12 3

El inters producido en esas condiciones es $165.

Ejercicio 4: Hallar el inters que producen: a) $1.200 invertidos al 7,6% anual durante 3 meses? b) $23.000 invertidos al 12% anual durante 9 meses? c) $150.200 invertidos al 15% anual durante 1 ao y 7 meses? d) $100.000 invertidos al 21,3% anual durante 7 meses?

Ejercicio 5: Hallar la tasa de inters anual a que se invirti s: a) $1.050 de int. fueron producidos por $20.000 durante 7 meses? b) $1.872 de int. fueron producidos por $19.700 durante 10 meses? c) $32.879 de int. fueron producidos por $121.400 durante 2 aos y 1 mes? d) $513.294 de int. fueron producidos por $725.291 durante 3 aos y 7 meses?

Ejercicio 6: Hallar el tiempo transcurrido para que un capital de: a) $11.000 produzca $37 de inters al 2% anual? b) $97.000 produzca $22.593 de inters al 10, 75% anual? c) $257.020 produzca $30.328 de inters al 17,7% anual? d) $500.500 produzca $133.467 de inters al 20% anual?

CLCULO DEL INTERS PARA PERIODO DIARIO

Si ahora el capital C se invierte al r% anual durante d das debemos expresar los d das en aos. Para esto consideraremos que el ao comercial tiene 360 das.

Luego: 1 ao 360 das n aos d das

1 = 360 n = d Y reemplazando en I = C x n x i n d 360

Se obtiene I = C x d x i 360


16

Ejemplo: Hallar el inters que producen $27.500 invertidos al 12% anual durante 36 das.

C = $27.500 d = 36 r = 12% i = 0,12

Luego reemplazando en:

I = C x d x i I = 27.500 x 36 x 0,12 I = 2.750 x 0,12 I = 330 360 360 10

Por lo tanto el crdito asciende a $330.

Ejercicio 7: Hallar el inters que producen a) $20.000 al 12,5% anual durante 21 das? b) $15.000 al 17% anual durante 1 mes y 2 das? c) $150.000 al 20,5% anual durante 7 meses y 7 das? d) $502.500 al 13% anual durante 3 aos, 3 meses y 20 das?

Ejercicio 8: Cul fue la tasa anual de inversin si: a) $19.500 produjeron $54 en 20 das? b) $12.050 produjeron $97 en 29 das? c) $121.400 produjeron $4.674 en 3 meses y 9 das? d) $570.000 produjeron $352.824 en 3 aos, 2 meses y 20 das?.

Ejercicio 9: Durante cunto tiempo estuvieron invertidos a) $19.700 para que al 17,2% anual produjeran $28? b) $75.000 para que al 15, 7% anual produjeran $1.014? c) $121.400 para que al 17,75% anual produjeran $22.925? d) $525.000 para que al 21% anual produjeran $396.594?

NOTA: Nuestras frmulas slo son vlidas cuando la tasa de inters es anual, si la tasa fuese mensual o diaria, hay que convertirla en anual multiplicando por 12 y 360 respectivamente.

Ejercicio 10: Miscelnea a) Hallar la renta diaria de $36.000 al 1/90% diaria b) Juan tom un prstamo de $40.000 al 15% anual al comienzo de abril y devuelve el dinero a comienzo de

agosto. Cunto pagar de inters? c) Hallar la renta anual de $60.000 al 1/6% diario d) Juan invirti la suma de $450.000 al 10% anual. Si los Intereses ascienden a $56.250 Cunto tiempo

estuvo invertido el dinero? e) Qu capital produce $2.950 al 4,8% anual en 1 ao 7 meses 20 das? f) Hallar el inters de $90.000 al 5 % mensual durante 20 das? g) A qu tasa anual se invierten $3.200 para que en 80 das produzcan $410 de inters? h) Durante cunto tiempo estuvo invertido un capital de $102.500 para que al 3% mensual produjera un

inters de $89.380?

CLCULO DEL MONTO

Otro de los problemas relativos a inters simple se refiere al monto acumulado despus de invertir un capital a cierto inters durante un tiempo determinado.

Definiremos monto que ser representado por M como la suma del capital y los intereses:

Ejemplo: En cunto se convierten $50.000 invertidos durante 7 aos a una tasa anual de 17.2%?

Como M = C + I y el tiempo est dado en aos, Tenemos que M = C + C x n x i

C = 50.000 n = 7 r = 17.2% i = 0,172

Reemplazando M = 50.000 + 50.000 x 7 x 0,172 M = 50.000 + 60.200 M = 110.200 Por lo tanto se convirtieron en $110.200.

Ejemplo: Cul fue el capital invertido que al 13% anual durante 3 meses se convirti en $10.325?

M = 10.325 m = 3 r = 13% i = 0,13

Como M = C + C x m x i 12

10.325 = C + C x 3 x 0,13 12

10.325 = C + C x 0,39 12

10.325 = C x 12 + C x 0,39 12

10.325 = C x 12,39 12

10.325 x 12 = C x 12,39 123.900 = C x 12,39

123.900 = C C = 10.000 12,39

Por lo tanto el capital fue $10.000.

Luego M = C + I


17

Ejercicios 11: En cunto se convertirn: a) $2.500 invertidos al 6% anual durante 4 aos? b) $50.000 invertidos al 12% anual durante 4 aos y 2 meses? c) $127.000 invertidos al 17% anual durante 1 mes y 7 das? d) $192.700 invertidos al 2% mensual durante 1 ao y 3 meses?

Ejercicios 12: A qu tasa anual se invirtieron: a) $9.000 para convertirse en $10.890 luego de 3 aos? b) $25.000 para convertirse en $29.375 luego de 1 ao y 2 meses? c) $90.500 para convertirse en $95.211 luego de 1 mes y 7 das? d) $150.500 para convertirse en $252.655 luego de 3 aos 2 meses y 4 das?

Ejercicios 13: Qu tiempo han estado invertidos: a) $500 para convertirse en $1.570 al 7% anual? b) $10.000 para convertirse en $13.800 al 12% anual ? c) $95.700 para convertirse en $98.937 al 12,3% anual? d) $250.000 para convertirse en $363.000 al 0,1% diario?

Ejercicio 14: Cul fue el capital impuesto para que al: a) 30% anual se convirtiera en $1.900 despus de 3 aos? b) 19,1% anual se convirtiera en $35.699 despus de 2 aos 3 meses? c) 15% anual se convirtiera en $177.188 despus de 3 aos 20 das? d) 20% anual se convirtiera en $341.252 despus de 1 ao 20 das?

Ejercicio 15: Complete la siguiente tabla.

MONTO CAPITAL INTERS TASA TIEMPO a) $ 10.000 10% anual 1 ao b) $ 50.000 $ 1.875 15% anual c) $179.750 $ 150.000 1 ao y 2 meses d) $ 175.000 $ 1.342 12% anual e) $ 225.500 $ 65.821 2 aos y 20 das f) $346.062 2% mensual 3 meses y 5 das g) $160.828 0,06% mensual 1 ao 3 meses y 20 das

Ejercicios 16: Miscelnea

a) Determine el capital que en 120 das produce $1.224 de inters al 18% anual. b) Un capital de $32.560 permaneci invertido durante 8 meses y medio ganando $4.151 de inters A qu

tasa anual se invirti?. c) Cunto tiempo debe permanecer invertido un capital de $30.000 al 24% anual para ganar $8.400?. d) Determine el capital que en 5 meses y 20 das produce $1.020 de inters al 18% anual?. e) Una persona posee $270.000. Los dos tercios de ese capital son invertidos al 24% anual durante 6 meses,

mientras que el resto es invertido al 20% anual durante un perodo de tiempo tal que finalizado el mismo se obtiene una ganancia total de $3.510 Cul es el tiempo que permaneci invertido el tercio del capital?.

f) En cunto se convierten $60.000 al 9% anual depositados durante un ao y medio?. g) Determine el tiempo que estuvo invertido un capital de $25.000 para que al 18% anual se convirtiera en

$25.375. h) En cunto se convierten $14.500 depositados al 12% anual durante 4 meses?


18

CUARTA UNIDAD

EL DESCUENTO COMERCIAL Y RACIONAL

El pago de una letra o pagar no puede exigirse al deudor hasta el da de su vencimiento. Pero si una persona posee uno de estos documentos y necesita hacerlo efectivo antes de su vencimiento, se dirige a otra persona o entidad financiera para que ste le pague el documento.

Si la entidad financiera se lo paga le hace un anticipo, es decir, no le paga la cantidad escrita en l sino que algo menos; le rebaja un %, generalmente sobre el valor escrito en l , por el tiempo que media entre el da que el banco lo paga y el da de su vencimiento. Esta rebaja es lo que se llama descuento.

Definiremos a continuacin:

VALOR NOMINAL (Vn): como la cantidad escrita en el documento.

TIPO DE DESCUENTO (r): como la tasa de inters que cobra el banco por pagarlo antes de tiempo.

PERIODO (n): como el tiempo comprendido entre el da que el documento es negociado y el da de su vencimiento.

VALOR ACTUAL O EFECTIVO (Va): como el valor del documento el da que se negocia.

DESCUENTO COMERCIAL O ABUSIVO

Definiremos Descuento Comercial, que representaremos por Dc, como el inters simple del valor nominal durante el tiempo que falta para su vencimiento.

Como el descuento comercial es un inters simple tenemos que:

Ejemplo: Cunto se rebajar de una letra de $8.500 descontada comercialmente al 6,5% anual, 2 aos antes de su vencimiento?

Vn = 8.500 r = 6,5% i = 0,065 n = 2

Luego reemplazando en Dc = Vn x i x n Tenemos: Dc = 8.500 x 0,065 x 2 Dc = 1.105

Por lo tanto el valor nominal ser rebajado en $1.105.

Ejercicio 1: Hallar el Descuento Comercial de los siguientes documentos negociados al: a) 7% anual, 3 aos antes con un valor nominal de $960 b) 4,8% anual, 7 aos antes con un valor nominal de $21.000 c) 2,79% anual, 3 aos antes con un valor nominal de $210.300 d) 21,21% anual, 2 aos antes con un valor nominal de $950.321

Ejercicio 2: Encuentre el valor nominal de un documento negociado: a) 2 aos antes al 3,7% anual obtenindose un descuento de $155 b) 3 aos antes al 13,7% anual obtenindose un descuento de $8.734 c) 5 aos antes al 17,4% anual obtenindose un descuento de $78.300 d) 3 aos antes al 21,49% anual, obtenindose un descuento de $290.889

Ejercicio 3: Encuentre el nmero de aos antes del vencimiento en que se negoci un documento de: a) $50.000 al 3% anual para obtener un descuento de $1.500 b) $75.000 al 5% anual para obtener un descuento de $9.030 c) $150.000 al 13,2% anual para obtener un descuento de $39.600 d) $200.000 al 19,76% anual para obtener un descuento de $197.600

Dems est decir que, al igual que en el caso de inters simple, tenemos las siguientes expresiones:

Si el tiempo est dado en meses

Dc = Vn x i x m 12

y Si el tiempo est dado en das

Dc = Vn x i x d 360

Dc = Vn x i x n


19

Ejemplo: Hallar el descuento comercial hecho sobre un documento de $152.000 negociado al 7% anual 40 das antes de su vencimiento.

Vn = 152.000 r = 7% i = 0,07 d = 40

Reemplazando en Dc = Vn x i x d 360

Tenemos 1 Dc = 152.000 x 0,07 x 40 Dc = 1.182 360 9 Por lo tanto el descuento aplicado es de $1.182.

Ejercicio 4: Hallar el descuento comercial para los siguientes documentos: a) $1.270 negociado al 7% anual 8 meses antes b) $36.500 negociado al 9,3% anual 4 meses y 3 das antes c) $150.720 negociado al 10,32% anual 5 aos y 10 das antes d) $230.210 negociado al 12,55% anual 1 ao, 9 meses y 20 das antes

Habamos dicho que el valor actual es el valor del documento el da que se negocia; es decir, es igual al valor nominal menos el descuento. En smbolos:

Ejemplo: Encuentre el descuento comercial y el valor actual de un documento por $132.500 negociado al 3,5% anual 3 meses y 2 das antes de su vencimiento.

Vn = 132.500 r = 3,5% i = 0,035 d = 92

Reemplazando en

Dc = Vn x i x d 360

Tenemos: Dc = 132.500 x 0,035 x 92 Dc = 426.650 Dc = 1.185 360 360

reemplazando en Va = Vn - Dc Obtenemos: Va = 132.500 - 1.185 Va = 131.315

Ejercicio 5: Encuentre el descuento comercial y el valor actual para los siguientes documentos: a) $12.570 negociado al 3% anual 1 ao antes b) $25.700 negociado al 5,5% anual 22 das antes c) $127.500 negociado al 7,32% anual 1 ao y 3 meses antes d) $157.000 negociado al 10,3% anual 2 aos, 3 meses y 20 das antes

Ejercicio 6: Complete la siguiente tabla:

VALOR NOMINAL PERIODO % DESCUENTO DESCUENTO VALOR ACTUAL a) $1.250 2 aos 23% anual b) $1.790 5 aos y 2 meses $403 c) 2 aos, 3 meses y 2 das 2% mensual $8.236 d) $27.000 10% anual $1.125 e) 17% anual $37.471 $307.529 f) $1.250.000 27 das $19.688 g) 3,1% mensual $212.421 $5.058.578

Ejemplo: Por un documento negociado 3 aos antes de su vencimiento al 10% anual se reciben $8.400. Cul es el valor nominal?

Va = 8.400 r = 10% i = 0,10 n = 3

Sabemos que Va = Vn - Dc Pero como Dc = Vn x i x n

Tenemos Va = Vn - Vn x i x n

Reemplazando: 8.400 = Vn - Vn x 0,10 x 3 8.400 = Vn - V n x 0,3 8.400 = Vn x (1 - 0,3)

8.400 = Vn x 0,7

8.400 = Vn Vn = 12.000 0,7 Por lo tanto el valor nominal del documento es de $12.000.

Ejercicio 7: Complete la siguiente tabla

VALOR NOMINAL PERIODO % DESCUENTO DESCUENTO VALOR ACTUAL a) 2 aos 11% anual $ 15.600 b) 4 meses 7% anual $ 48.833 c) 2 aos 5 meses 12% anual $ 44.375 d) 32 das 1,5% mensual $ 70.848 e) 3 meses 10 das 15% anual $ 91.061 f) 4 aos 2 das 9% anual $ 79.938 g) 2 aos, 3 meses y 2 das. 12% anual $182.333

Va = Vn - Dc


20

Ejercicio 8: Miscelneas

a) Cunto se rebajar de una letra por $1.350 descontada comercialmente al 6,5% anual, 2 aos antes de su vencimiento?.

b) Hallar el valor nominal de una letra por la cual se reciben $29.850 descontada comercialmente al 6% anual, 30 das antes del vencimiento.

c) Una letra de $60.000 a 3 meses fecha, se descuenta comercialmente faltando mes y medio para su vencimiento y se reciben por ella $59.550 Cul fue el % anual en que se negoci?.

d) Se negocia un documento de $40.000 a 2 aos y se reciben por l $36.000 A qu % se negoci?. e) Por un documento negociado comercialmente al 9% anual, 5 meses antes de su vencimiento se recibieron

$12.705, Cul es el valor nominal? f) Un documento girado el 10 de noviembre a 90 das es descontado comercialmente el 10 de diciembre del

mismo ao al 7% anual y se reduce a $74.125. Cul es su valor nominal?. g) Hallar el valor nominal y el descuento comercial de un documento al 9,48% anual en: 1 ao, 3 meses y 20

das antes de su vencimiento por el que se reciben $72.289.

DESCUENTO RACIONAL O LEGAL

Definiremos descuento racional, que representaremos por Dr, como el inters simple del valor actual durante el tiempo que falta para su vencimiento.

Como el descuento racional es un inters simple tenemos que: Dr = Va x i x n Pero Va = Vn - Dr Por lo tanto Dr = (Vn - Dr) x i x n Dr = (Vn x i x n) - (Dr x i x n) Dr + (Dr x i x n) = Vn x i x n Dr x (1 + i x n) = Vn x i x n Dr = Vn x i x n 1 + i x n

Ejemplo: Cunto se rebajar de una letra por $8.500 descontada racionalmente al 6,5% anual, 2 aos antes de su vencimiento?

Vn = 8.500 r = 65% i = 0,065 n = 2

Reemplazando en Dr = Vn x i x n 1 + i x n

Tenemos Dr = 8.500 x 0,065 x 2 1 + 0,065 x 2

Dr = 1.105 Dr = 978 1,13

Por lo tanto el valor nominal ser rebajado en $978, descontado racionalmente.

Ejercicio 9: Hallar el descuento racional de los siguientes documentos negociados al: a) 3% anual, 1 ao antes con un valor nominal de $1.500 b) 7% anual, 3 aos antes con un valor nominal de $12.750 c) 9,78% anual, 2 aos antes con un valor nominal de $25.000 d) 10,32% anual, 4 aos antes con un valor nominal de $120.000

Ejercicio 10: Encuentre el valor nominal si al descontar racionalmente un documento obtenemos una rebaja de: a) $981, negocindolo 1 ao antes al 7% anual b) $5.199, negocindolo 3 aos antes al 9,47% anual c) $21.837, negocindolo 3 aos antes al 10,57% anual d) $33.980, negocindolo 1 ao antes al 15,73% anual

Ejercicio 11: Encuentre cuanto tiempo antes fue descontado racionalmente un documento de: a) $17.500 al 3% anual para obtener un descuento de $510 b) $25.000 al 5% anual para obtener un descuento de $3.261 c) $42.200 al 15,21% anual para obtener un descuento de $18.230 d) $125.300 al 15,99% anual par obtener un descuento de $30.361

Ejercicio 12: Hallar el % de descuento con que fue rebajado racionalmente un documento de: a) $19.000, 1 ao antes para obtener un descuento de $905 b) $37.100, 3 aos antes para obtener un descuento de $7.866 c) $125.000, 2 aos antes para obtener un descuento de $29.273 d) $190.200, 3 aos antes para obtener un descuento de $64.763


21

Encontraremos a continuacin una expresin para el descuento racional cuando el tiempo est dado en meses.

Dr = Va x i x m 12 Pero Va = Vn - Dr Por lo tanto:

Dr = (Vn - Dr) x i x m 12 Dr = (Vn x i x m ) - (Dr x i x m ) 12 12

Dr + (Dr x i x m ) = Vn x i x m 12 12

Dr x (1 + i x m ) = Vn x i x m 12 12

Dr x (12 + i x m) = Vn x i x m 12 12

Vn x i x n Dr = 12 . Dr = Vn x i x m 12 + i x m 12 + i x m 12

De manera anloga es posible obtener una expresin para el descuento racional cuando el tiempo est dado en das:

Ejemplo: Hallar el descuento racional hecho sobre un documento de $152.000 negociado al 7% anual 40 das antes de su vencimiento.

Vn = 152.000 r = 7% i = 0,07 d = 40

Reemplazando en Tenemos

Dr = Vn x i x d Dr = 152.000 x 0,07 x 40 Dr = 425.600 Dr = 1.173 360 + i x d 360 + 0,07 x 40 362,8

Por lo tanto el descuento aplicado es de $1.173

Ejercicio 13: Hallar el descuento racional para los siguientes documentos: a) $1.570 al 7% anual 8 meses antes. b) $25.000 al 7,55% anual 4 meses y 20 das antes. c) $50.000 al 9,99% anual 5 aos y 10 das antes. d) $150.500 al 12,66% anual 2 aos, 5 meses y 10 das.

Ejemplo: Hallar el valor actual de un documento por $7.200 negociado racionalmente al 7,5% anual, 2 meses y 3 das antes de su vencimiento.

Vn = 7.200 r = 7,5% i = 0,075 d = 63

Reemplazando en:

Dr = Vn x i x d 360 + i x d

Tenemos:

Dr = 7.200 x 0,075 x 63 Dr = 34.020 Dr = 93 360 + 0,075 x 63 364,725

y ahora reemplazando en Va = Vn - Dr Se tiene Va = 7.200 - 93 Va = 7.107 Por lo tanto el valor actual es de $7.107

Ejercicio 14: Encuentre el descuento racional y el valor actual de los siguientes documentos: a) $13.200 negociado al 3% anual 1 ao antes. b) $27.500 negociado al 7% anual 10 das antes. c) $61.300 negociado al 7,7% anual 13 meses y 9 das antes. d) $123.200 negociado al 9,37% anual 1 ao, 2 meses y 10 das antes.

Ejemplo: Por un documento negociado 35 das antes de su vencimiento al 7,5% anual se reciben $5.162 Cul es el valor nominal del documento.

Va = 5.162 r = 7,5% i = 0,075 d = 35 Sabemos que Va = Vn - Dr

Pero Dr = Vn x i x d 360 + i x d Luego:

Va = Vn - Vn x i x d 360 + i x d

Reemplazando: 5.162 = Vn - Vn x 0,075 x 35 5.162 = Vn - Vn x 2.625 360 + 0,075 x 35 362,625

5.162 = Vn x 362,625 -Vn x 2,625 5.162 = Vn x 360 5.162 x 362,625 = Vn x 360 362,625 362,625

1.871.870,3 = Vn x 360 1.871.870,3 = Vn Vn = 5.200 360 Por lo tanto el valor nominal del documento es $5.200

Dr = Vn x i x d 360 + i x d


22

Ejercicio 15: Complete la siguiente tabla

VALOR NOMINAL PERIODO % DESCUENTO DESCUENTO RACIONAL

VALOR ACTUAL

a) 2 aos 5% anual $ 10.909 b) $15.000 5 meses $ 14.575 c) $17.500 8% anual $ 47 d) 5 aos 2 das 9% anual $ 17.235 e) 3,5% anual $ 2.150 $ 27.300 f) 2 meses 5 das 7,55% anual $ 34.529 g) $70.000 1 ao 3 meses y 5 das $ 62.292

Ejercicio 16: Miscelnea a) Hallar el descuento racional y el valor actual de una letra de $4.480, descontada al 7% anual, 4 aos antes

de su vencimiento. b) A qu % anual se ha negociado una letra de $5.000, que faltando 3 meses y 10 das para el vencimiento,

ha disminuido racionalmente en $135? c) Hallar el valor nominal de una letra que descontada racionalmente al 8% anual 5 aos antes de su

vencimiento se ha reducido a $71.429. d) A una letra de $19.500 se le rebajan $4.500 descontndola racionalmente 5 aos antes de su vencimiento

Cul fue el % de descuento? e) Hallar el descuento racional y el valor efectivo de un documento de $18.090 con fecha de vencimiento el 24

de junio que fue negociado el 25 de abril del mismo ao al 1% mensual.- f) Por una letra descontada racionalmente se reciben $19.353 si venca en 20 das ms y fue negociado al

9% anual. Cul es su valor nominal? g) Si por una letra de $50.000 recibimos al descontarla racionalmente, la suma de $39.557 negocindola 2

aos antes de su vencimiento. Cul fue el % de descuento? h) Por un documento negociado 1 ao, 3 meses y 15 das antes de su vencimiento se recibe la suma de

$65.628. Si fue descontado racionalmente al 12% anual. Cul era su valor nominal?


23

QUINTA UNIDAD

RGIMEN DE CAPITALIZACIN COMPUESTA

En este rgimen de capitalizacin el inters obtenido en cada perodo pasa a incrementar el capital para el clculo del inters del perodo siguiente. Es obvio que de esta manera, a medida que transcurre el tiempo, el inters obtenido por perodo es mayor que el obtenido mediante la capitalizacin simple. Mostraremos esta diferencia por medio del siguiente ejemplo:

Invertiremos $100.000 a una tasa del 10% anual durante 4 aos.

I INTERS SIMPLE M = C + C x i x n con C = 100.000 r = 10% i = 0,10 n = 4

Luego M = 100.000 + 100.000 x 0,10 x 4 M = 100.000 +40.000 M = 140.000 Por lo tanto retiraremos $140.000 y los intereses ascendern a $40.000.

II INTERS COMPUESTO A) Primer Ao C = 100.000 r = 10% i = 0,10 n = 1

M = 100.000 + 100.000 x 0,10 x 1 M = 100.000 + 10.000 M = 110.000

B) Segundo Ao C = 110.000 v = 10% i = 0,10 n = 1

M = 110.000 + 110.000 x 0,10 x 1 M = 110.000 + 11.000 M = 121.000

C) Tercer Ao C = 121.000 v = 10% i = 0,10 n = 1

M = 121.000 + 121.000 x 0,10 x 1 M = 121.000 + 12.100 M = 133.100

D) Cuarto Ao C = 133.100 v = 10% i = 0,10 n = 1

M = 133.100 + 133.100 x 0,10 x 1 M = 133.100 + 13.310 M = 146.410 Por lo tanto retiraremos $146.410 y los intereses ascendern a $46.410.

CLCULO DEL MONTO COMPUESTO (VALOR FUTURO)

Encontraremos una frmula para solucionar el siguiente problema: Hallar el monto acumulado si depositamos un capital C al i% por perodo durante n perodos.

CAPITAL INTERS MONTO N PERIODO

C

C x i

C + C x i = C (1 + i) = C (1 + i)

1

C (1 + i)

C (1 + i) x i 2 C (1 + i) + C (1 + i) xi = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)

2 2 C (1 + i)

2 C (1 + i) x i

2 2 2 3 C (1 + i) + C (1 + i) xi = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)

3 n

= C (1 + i)

n

Luego el monto acumulado despus de n perodos ser:

Ejemplo: Encontrar la cantidad de dinero en que se convertirn $10.000 invertidos a una tasa de inters compuesto del 9% anual durante 7 aos.

M = ? C = 10.000 r = 9% i = 0,09 n = 7

n 7 M = C (1 + i) M = 10.000 (1 + 0,09) M = 10.000 x 1,8280391 M = 18.280,39 Luego al cabo de 7 aos retiraremos la suma de $18.280.

Ejercicio 1: Determine el monto acumulado si invertimos a) $1.200 al 2% mensual durante 9 meses. b) $25.000 a 4,5% semestral durante 4 aos y medio. c) $125.000 al 9% anual durante 10 aos. d) $157.270 al 8% anual durante 4 aos.

n M = C (1 + i)


24

CLCULO DEL INTERS COMPUESTO

El inters compuesto (ganancia) que representaremos por Ic se obtiene de la diferencia entre el monto acumulado y el capital invertido. En smbolos: Ic = M - C

Ejemplo: Se invierten $100.000 al 6% anual de inters compuesto durante 5 aos. A cunto alcanzan las ganancias?

C = 100.000 r = 6% i = 0,06 n = 5 M = ?

n M = C (1 + i) 5 M = 100.000 ( 1 + 0,06) M = 100.000 x 1,3382256 M =133.823

Por lo tanto Ic = M - C Ic = 133.823 - 100.000 Ic = 33.823

Por lo tanto las ganancias alcanzaron a $33.823

Ejercicio 2: Encuentre, en cada caso, el monto y las ganancias si se invierten: a) $1.500 al 6% anual de inters compuesto durante 2 aos? b) $70.000 al 7,5% anual de inters compuesto durante 3 aos? c) $397.274 al 11% anual de inters compuesto durante 9 aos? d) $1.279.271 al 6,5% anual de inters compuesto durante 2 aos?

CLCULO DEL CAPITAL INVERTIDO

A partir de la expresin C (1 + i)n = M encontraremos una para expresar C en funcin de M.

Ejemplo: Se invierte una cantidad de dinero al 7% anual de inters compuesto durante 3 aos convirtindose en $125.000 Qu cantidad de dinero se invirti?.

M = 125.000 r = 7% i = 0,07 n = 3 C = ?

C = M C = 125.000 C = 125.000 C = 102.037 n 3 1,2250430 (1 + i) (1 + 0,07)

Por lo tanto se invirti la suma de $102.037

Ejercicio 3: Encuentre el capital invertido si al: a) 3% anual de inters compuesto durante 7 aos se convirti en $1.200. b) 3,5% anual de inters compuesto durante 2 aos se convirti en $21.321. c) 7% anual de inters compuesto durante 9 aos se convirti en $211.005. d) 5% anual de inters compuesto durante 8 aos se convirti en $1.921.000.

CLCULO DE LA TASA DE INTERS

Encontraremos ahora una expresin para r. n Sabemos que C (1 + i) = M n (1 + i) = M C n 1 + i = M C

n i = M - 1 C

NOTA: Si n = 1 entonces i = M - 1 C

Ejemplo: Se invierten $100.000 durante 2 aos transformndose en $125.440 A qu tasa de inters compuesto se invirti?

M = 123.440 C = 100.000 n = 2 i = ? n i = M - 1 C

i = 123.440 - 1 i = 1.2344 - 1 100. 000

i = 1.11 - 1 i = 0.11 Por lo tanto la tasa de inversin fue del 11% anual.

n

C ( 1 + i) = M C = M . n

(1 + i)


25

Ejercicio 4: A qu tasa anual de inters compuesto se realiz una inversin si:

a) $15.000 se convirti despus de 2 aos en $16.068? b) $19.271 se convirti despus de 5 aos en $20.029? c) $254.371 se convirti despus de 2 aos en $291.229? d) $1.250.071 se convirti despus de 9 aos en $2.023.983?

CLCULO DEL TIEMPO (EN AOS)

Finalmente encontraremos una expresin para n.

Sabemos que:

n n C (1 + i) = M (1 + i) = M C

Aplicando logaritmo tenemos: n Log ( M ) Log (1 + i) = Log ( M ) n x Log (1 + i) = Log ( M ) n = C . C C Log (1 +i )

n = Log (M) - Log (C ) Log ( 1 + i )

Ejemplo: Se invierten $125.000 al 12% anual de inters compuesto, convirtindose en $175.616. Cunto tiempo permaneci invertido el dinero?

M = 175.616 C = 125.000 r = 12% i = 0,12 n = ? Sabemos que: n = Log (M) - Log (C ) Log (1 + i )

n = Log (175.616) - Log (125.000) n = 5,244564081 - 5,096910013 Log (1 + 0,12) 0,049218023 n = 0,147654068 n = 2,99999998 0,049218023 Los decimales son producto de la aproximacin. Por lo tanto el capital estuvo invertido durante 3 aos.

Ejercicio 5: Cunto tiempo estuvo invertido un capital de:

a) $1.750 para que al 3% anual de inters compuesto se convirtiera en $2.029? b) $12.500 para que al 7,5% anual de inters compuesto se convirtiera en $14.445? c) $129.370 para que al 5,5% anual de inters compuesto se convirtiera en $209.462? d) $571.000 para que al 3% anual de inters compuesto se convirtiera en $642.666?


a) Se invierte la cantidad de $7.600 al 4% anual de inters compuesto durante 3 aos. A cunto ascienden las ganancias?

b) Qu capital se necesita depositar al 3% anual de inters compuesto para que despus de 7 aos se conviertan en $147.005?

c) Con qu tasa anual de inters compuesto se invirtieron $175.000 de modo que despus de 2 aos se convirtieran en $194.779?

d) En cunto se convierten $21.570 depositados durante 7 aos al 4,5% anual de inters compuesto? e) Hallar los intereses compuestos de $8.000 invertidos al 6% anual durante 3 aos. f) Cunto tiempo permaneci invertido un capital de $40.000 para que al 3% anual de inters compuesto se

convirtiera en $83.751? g) Cul debe ser la tasa anual de inters compuesto para que $150.000 se quintupliquen en 5 aos? h) Ana invierte la suma de $100.000 al 7% anual de inters simple durante 2 meses. Luego invierte el monto

obtenido al 3,5% anual de inters compuesto durante 4 aos. En total, A cunto ascienden las ganancias?

TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL

Generalmente, en las operaciones de inters compuesto, la unidad de tiempo que se adopta es el ao, pudindose encontrar las siguientes situaciones: Una capitalizacin al ao o ms de una capitalizacin al ao. En el primer caso, como la tasa, la capitalizacin y el tiempo son sincrnicos, la tasa recibe el nombre de efectiva ya que se aplica directamente sobre el capital para obtener el monto acumulado. En el segundo caso, la tasa recibe el nombre de nominal ya que es una tasa de referencia porque no es la que se aplica directamente sobre el capital para obtener el monto acumulado.

Ilustraremos lo anterior con un ejemplo: Invertiremos la suma de $10.000 al 12% anual de inters compuesto con capitalizaciones semestrales.


26

A) Determinaremos el monto acumulado al cabo de 1 ao. Antes de resolver el problema convendremos la siguiente simbologa:

rn = tasa nominal re = tasa efectiva J = nmero de capitalizaciones en un ao n = nmero de aos.

Luego C = 10.000 rn = 12% J = 2

Encontraremos ahora la tasa efectiva para el semestre dividiendo la tasa nominal por el nmero de semestres que hay en 1 ao. En smbolos tenemos:

re = rn Por lo tanto re = 12 = 6 Esto indica que la tasa efectiva es del 6% semestral. J 2

Ahora s, podemos aplicar la frmula de inters compuesto ya que la tasa y el tiempo son sincrnicos (ambos semestrales).

C = 10.000 re = 6% ie = 0,06 J = 2

J M = C (1 + ie) 2 M = 10.000 (1 + 0,06) M = 10.000 x 1,133600 M = 11.236 Por lo tanto el monto acumulado despus de 2 semestres es $11.236.

B) Encontrar la tasa efectiva anual.

Sabemos que el capital invertido es $10.000 y el monto acumulado alcanza a $11.236. Con estos datos encontraremos la tasa efectiva anual, es decir, la tasa anual de inters compuesto a la que hay que invertir la suma de $10.000 de modo que al cabo de un ao obtengamos un monto igual a $11.236.

Luego C = 10.000 M = 11.236 y como n = 1, entonces i = M - 1 C

i = 11.236 - 1 i = 1,1236 - 1 i = 0,1236 10.000

Por lo tanto la tasa efectiva anual es del 12,36%

Como se observa, la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal anual.

Ahora bien, si poseemos la suma de $175.200 y nos ofrecen invertir durante 1 ao al 12% anual con capitalizaciones semestrales o al 12,36% anual con capitalizacin anual Cul eligira Ud.?

Tambin es posible obtener el monto acumulado en funcin de la tasa nominal anual por medio de la siguiente frmula:

Donde: in = tasa nominal anual escrita en forma centesimal. J = nmero de capitalizaciones en un ao. n = nmero de aos.

Ejemplo: Hallar el monto acumulado si invertimos la suma de $300.000 durante 2 aos al 12% anual con capitalizaciones trimestrales.

C = 300.000 rn = 12% in = 0,12 n = 2 J = 4 (hay 4 trimestres en un ao) Reemplazando estos valores en: nxj M = C (1 + in) J

2 x 4 Tenemos que: M = 300.000 (1 + 0,12) 4 8 M = 300 (1 + 0,03) M = 300.000 x 1,2667701 M = 380.031

Por lo tanto el monto acumulado alcanza a $380.031.

nxj M = C (1 + in) J


27

Ejercicio 7: Encuentre el monto acumulado al invertir la suma de:

a) $27.500 al 12% anual con capitalizacin semestrales durante 2 aos. b) $5.000 al 12% anual con capitalizacin mensuales durante 2 aos. c) $29.371 al 6% anual con capitalizacin semestrales durante 3 aos. d) $1.237.000 al 10% anual con capitalizacin trimestrales durante 3 aos.

Observacin: Si deseamos obtener una tasa efectiva anual, conociendo la tasa nominal anual, podemos usar la siguiente frmula:

Ejercicio 8: En cada caso encuentre la tasa efectiva anual:

a) 12% anual con capitalizacin semestral. b) 7% anual con capitalizacin semestral. c) 9% anual con capitalizacin cada 4 meses. d) 24% anual con capitalizacin semestral.

Ejercicio 9: Encuentre la tasa efectiva

a) Semestral si la tasa nominal anual es del 12%. b) Cada 4 meses si la tasa nominal anual es del 3%. c) Cada 4 meses si la tasa nominal es del 9%. d) Mensual si la tasa nominal anual es del 24%.

Ejercicio 10: Determine la alternativa ms conveniente de inversin:

BANCO AAA LTDA. FINANCIERA BBB LTDA. TASA NOMINAL CAPITALIZACION TASA EFECTIVA TIEMPO

a) b) c) d)

12% anual 7,2% anual 8% anual 24% anual

Semestral Bimestral Semestral Semestral

12,38% anual 3,57% semestral 5% semestral 6% trimestral

2 aos 1 aos 3 aos 1 ao

Ejercicio 11: Miscelnea.

a) Encuentre el monto acumulado si invertimos $120.000 al 1% efectivo mensual durante 1 ao. b) En qu banco es preferible invertir un cierto capital: en el que paga el 9% anual con capitalizacin

trimestral o en el que paga el 9,1% anual con capitalizacin semestral? c) Determine el monto en que se convierten $80.000 invertidos durante 3 aos y 2 meses al 7% anual con

capitalizacin semestral? d) Cul es la tasa efectiva anual si la entidad financiera ofrece el 6% semestral con capitalizacin semestral? e) Cul es la tasa efectiva anual si la nominal anual es de 16% con capitalizacin semestral? f) Halle el inters acumulado por $20.000 depositados al 12% anual con capitalizacin mensual despus de

12 aos. g) Cul es la tasa efectiva anual si la tasa nominal anual es cada 15% con capitalizacin cada 4 meses? h) Hallar los intereses que han producido $9.000 invertidos al 10% anual durante 2 aos y 6 meses, sabiendo

que los intereses se han capitalizado en forma semestral.

EQUIVALENCIA ENTRE TASAS DE INTERS SIMPLE Y COMPUESTO

Presentaremos este tema por medio del siguiente problema: Cul debe ser la tasa de inters simple a la que se debe invertir la suma de $20.000 durante 4 aos para obtener igual monto que al 10% de inters compuesto durante el mismo tiempo?

Resolveremos el problema en dos partes:

I) Cul es el monto acumulado al invertir durante 4 aos 10% anual de inters compuesto la suma de $20.000?

C = 20.000 n = 4 r = 10% i = 0,10 n Reemplazando en M = C (1 + i)

4 Tenemos que M = 20.000 (1 + 0,10) M = 20.000 x 1,4641 M = 29.282 Por lo tanto el monto acumulado en la inversin es $29.282

j ie = (1 + in) - 1 J


28

II) Cul debe ser la tasa anual de inters simple a la que debe invertir la suma de $20.000 para obtener despus de 4 aos un monto igual a $29.292?

C = 20.000 n = 4 M = 29.282

Reemplazando en M = C + c x n x i

Tenemos que 29.282 = 20.000 + 20.000 x 4 x y 29.282 - 20.000 = 80.000 x i 9.282 = 80.000 x i 9.282 = i i = 0,116025 80.000 Por lo tanto la tasa anual de inters simple a la que hay que invertir es 11,6025%

Encontraremos a continuacin una expresin que relacione ambas tasas de inters.

Denotaremos por is a la tasa anual de inters simple expresada en forma decimal y por ic a la tasa anual de inters compuesto tambin expresada en forma decimal.

Ahora bien, si depositamos un capital C durante n aos a inters simple obtendremos:

M = C + C x n x is Factorizando M = C (1 + n x is) Ahora, si la inversin se hace a inters compuesto obtendremos: n M = C (1 + ic)

Igualando ambas expresiones del monto: n C (1 + n x is) = C (1 + ic)

Dividiendo ambos miembros por C se tiene: n 1 + n x is = (1 + ic) n n x is = (1 + ic) - 1 n is = (1 + ic) - 1 n Esta es la tasa de inters simple que produce un efecto similar que una tasa de inters compuesto en un plazo de n perodos.

Comprobemos nuestra frmula con el problema planteado al comienzo.

ic = 10% ic = 0,10 n = 4

Reemplazando tenemos 4 is = (1 + 0,10) - 1 4

is = 1,4641 - 1 is = 0,116025 4

Por lo tanto la tasa anual de inters simple que produce igual efecto que 10% anual de inters compuesto, durante 4 aos es 11,6025%.

Ejercicio 12: Encuentre la tasa de inters simple anual equivalente a una tasa anual de inters compuesto del:

a) 8%, durante 5 aos b) 10%, durante 3 aos c) 6%, durante 10 aos d) 3%, durante 20 aos

A partir de la expresin:

Es posible encontrar la tasa de inters compuesto que produce un efecto equivalente a una tasa de inters simple, en un plazo de n aos.

n Veamos is = (1 + ic) - 1 n n n x is = (1 + ic) n 1 + n x is = (1 + ic)

Extrayendo raz de orden n

n 1+ n x is = 1 + ic

n 1+ n x is - 1 = ic

Ejemplo: Hallar la tasa de inters compuesto equivalente a una tasa de inters simple anual del 8,32%, durante 2 aos.

is = 8,32% is = 0,0832 n = 2 Reemplazando: 2 ic = 1 + 2 x 0,0832 - 1

2 ic = 1.1664 -1

ic = 1,08 - 1 ic = 0,08

n is = (1 + ic) - 1 n


29

Luego la tasa de inters compuesto equivalente a una tasa de inters simple anual de 8,32%, durante 2 aos, es del 8%.

Ejercicio 13: Hallar la tasa de inters compuesto equivalente a una tasa anual de inters simple del:

a) 9,8543%, durante 3 aos. b) 5,5256313%, durante 5 aos. c) 15,0883077%, durante 9 aos. d) 15,7618403%, durante 4 aos.

TABLA 1: INTERS COMPUESTO

TASA DE INTERS

PERIODO 1

PERIODO 2

PERIODO 3

PERIODO 4

PERIODO 5

PERIODO 6

PERIODO 7

PERIODO 8

PERIODO 9

PERIODO 10

1% 1,0100000 1,0201000 1,0303010 1,0406040 1,0510101 1,0615202 1,0721354 1,0828567 1,0936853 1,1046221 1,50% 1,0150000 1,0302250 1,0456784 1,0613636 1,0772840 1,0934433 1,1098449 1,1264926 1,1433900 1,1605408 2,00% 1,0200000 1,0404000 1,0612080 1,0824322 1,1040808 1,1261624 1,1486857 1,1716594 1,1950926 1,2189944 2,50% 1,0250000 1,0506250 1,0768906 1,1038129 1,1314082 1,1596934 1,1886858 1,2184029 1,2488630 1,2800845 3,00% 1,0300000 1,0609000 1,0927270 1,1255088 1,1592741 1,1940523 1,2298739 1,2667701 1,3047732 1,3439164 3,50% 1,0350000 1,0712250 1,1087179 1,1475230 1,1876863 1,2292553 1,2722793 1,3168090 1,3628974 1,4105988 4,00% 1,0400000 1,0816000 1,1248640 1,1698586 1,2166529 1,2653190 1,3159318 1,3685691 1,4233118 1,4802443 4,50% 1,0450000 1,0920250 1,1411661 1,1925186 1,2461819 1,3022601 1,3608618 1,4221006 1,4860951 1,5529694 5,00% 1,0500000 1,1025000 1,1576250 1,2155063 1,2762816 1,3400956 1,4071004 1,4774554 1,5513282 1,6288946 5,50% 1,0550000 1,1130250 1,1742414 1,2388247 1,3069600 1,3788428 1,4546792 1,5346865 1,6190943 1,7081445 6,00% 1,0600000 1,1236000 1,1910160 1,2624770 1,3382256 1,4185191 1,5036303 1,5938481 1,6894790 1,7908477 6,50% 1,0650000 1,1342250 1,2079496 1,2864664 1,3700867 1,4591423 1,5539865 1,6549957 1,7625704 1,8771375 7,00% 1,0700000 1,1449000 1,2250430 1,3107960 1,4025517 1,5007304 1,6057815 1,7181862 1,8384592 1,9671514 7,50% 1,0750000 1,1556250 1,2422969 1,3354691 1,4356293 1,5433015 1,6590491 1,7834778 1,9172387 2,0610316 8,00% 1,0800000 1,1664000 1,2597120 1,3604890 1,4693281 1,5868743 1,7138243 1,8509302 1,9990046 2,1589250 8,50% 1,0850000 1,1772250 1,2772891 1,3858587 1,5036567 1,6314675 1,7701422 1,9206043 2,0838557 2,2609834 9,00% 1,0900000 1,1881000 1,2950290 1,4115816 1,5386240 1,6771001 1,8280391 1,9925626 2,1718933 2,3673637 9,50% 1,0950000 1,1990250 1,3129324 1,4376610 1,5742387 1,7237914 1,8875516 2,0668690 2,2632216 2,4782276

10,00% 1,1000000 1,2100000 1,3310000 1,4641000 1,6105100 1,7715610 1,9487171 2,1435888 2,3579477 2,5937425 10,50% 1,1050000 1,2210250 1,3492326 1,4909021 1,6474468 1,8204287 2,0115737 2,2227889 2,4561818 2,7140808 11,00% 1,1100000 1,2321000 1,3676310 1,5180704 1,6850582 1,8704146 2,0761602 2,3045378 2,5580369 2,8394210 11,50% 1,1150000 1,2432250 1,3861959 1,5456084 1,7233534 1,9215390 2,1425160 2,3889053 2,6636294 2,9699468 12,00% 1,1200000 1,2544000 1,4049280 1,5735194 1,7623417 1,9738227 2,2106814 2,4759632 2,7730788 3,1058482

TABLA 2: INTERS COMPUESTO

TASA DE INTERS

PERIODO 11

PERIODO 12

PERIODO 13

PERIODO 14

PERIODO 15

PERIODO 16

PERIODO 17

PERIODO 18

PERIODO 19

PERIODO 20

1% 1,1156683 1,1268250 1,1380932 1,1494742 1,1609689 1,1725786 1,1843044 1,1961474 1,2081089 1,2201900 1,50% 1,1779489 1,1956181 1,2135524 1,2317557 1,2502320 1,2689855 1,2880203 1,3073406 1,3269507 1,3468550 2,00% 1,2433743 1,2682418 1,2936066 1,3194788 1,3458683 1,3727857 1,4002414 1,4282462 1,4568112 1,4859474 2,50% 1,3120867 1,3448889 1,3785111 1,4129739 1,4482982 1,4845057 1,5216183 1,5596588 1,5986502 1,6386165 3,00% 1,3842339 1,4257609 1,4685337 1,5125898 1,5579674 1,6047065 1,6528477 1,7024331 1,7535061 1,8061113 3,50% 1,4599697 1,5110686 1,5639560 1,6186945 1,6753488 1,7339860 1,7946755 1,8574892 1,9225013 1,9897888 4,00% 1,5394541 1,6010323 1,6650736 1,7316765 1,8009436 1,8729813 1,9479006 2,0258166 2,1068492 2,1911232 4,50% 1,6228530 1,6958814 1,7721960 1,8519449 1,9352824 2,0223701 2,1133768 2,2084787 2,3078602 2,4117140 5,00% 1,7103394 1,7958564 1,8856492 1,9799316 2,0789282 2,1828746 2,2920184 2,4066193 2,5269503 2,6532978 5,50% 1,8020924 1,9012075 2,0057739 2,1160915 2,2324765 2,3552627 2,4848021 2,6214663 2,7656469 2,9177575 6,00% 1,8982986 2,0121965 2,1329283 2,2609040 2,3965582 2,5403517 2,6927728 2,8543392 3,0255996 3,2071355 6,50% 1,9991514 2,1290962 2,2674875 2,4148742 2,5718410 2,7390107 2,9170464 3,1066544 3,3085869 3,5236451 7,00% 2,1048520 2,2521916 2,4098451 2,5785342 2,7590316 2,9521638 3,1588153 3,3799324 3,6165276 3,8696846 7,50% 2,2156089 2,3817796 2,5604130 2,7524440 2,9588773 3,1807931 3,4193526 3,6758040 3,9514893 4,2478510 8,00% 2,3316390 2,5181701 2,7196237 2,9371936 3,1721691 3,4259426 3,7000181 3,9960195 4,3157011 4,6609571 8,50% 2,4531670 2,6616862 2,8879295 3,1334035 3,3997428 3,6887210 4,0022623 4,3424545 4,7115632 5,1120461 9,00% 2,5804264 2,8126648 3,0658046 3,3417270 3,6424825 3,9703059 4,3276334 4,7171204 5,1416612 5,6044108 9,50% 2,7136592 2,9714568 3,2537452 3,5628510 3,9013219 4,2719474 4,6777824 5,1221718 5,6087781 6,1416120

10,00% 2,8531167 3,1384284 3,4522712 3,7974983 4,1772482 4,5949730 5,0544703 5,5599173 6,1159090 6,7274999 10,50% 2,9990593 3,3139605 3,6619264 4,0464287 4,4713037 4,9407905 5,4595736 6,0328288 6,6662758 7,3662348 11,00% 3,1517573 3,4984506 3,8832802 4,3104410 4,7845895 5,3108943 5,8950927 6,5435529 7,2633437 8,0623116 11,50% 3,3114907 3,6923121 4,1169280 4,5903747 5,1182678 5,7068686 6,3631585 7,0949218 7,9108378 8,8205841 12,00% 3,4785500 3,8959760 4,3634931 4,8871123 5,4735658 6,1303937 6,8660409 7,6899658 8,6127617 9,6462931


30

SEXTA UNIDAD

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

ANUALIDADES

Definiremos anualidad o imposicin como una sucesin de depsitos constantes y, peridicos efectuados a intervalos iguales de tiempo en alguna institucin financiera. Cada uno de estos depsitos se denomina cuota.

Entenderemos por perodo de anualidad al tiempo que media entre dos depsitos consecutivos. El periodo de anualidad puede ser mensual, trimestral, anual, etc. En el ltimo caso hablamos de anualidades propiamente tal.

Finalmente, el plazo de la anualidad ser el tiempo transcurrido entre el primer y ltimo depsito.

Los depsitos pueden realizarse al comienzo o al final de cada perodo denominndose imposicin adelantada en el primer caso e imposicin vencida en el segundo.

CLCULO DEL MONTO DE LA IMPOSICIN, VENCIDA (VALOR FUTURO)

Ejemplo: Depositremos $2.000 al final de cada mes a una tasa de inters compuesto del 3% mensual. Cul ser el monto acumulado a los 5 meses?.

Esquemticamente tenemos:

mes

Documents

Aritmética Financiera - 2013