A Closed-Form Solution for Options with stochastic volatility with applications to Bond and Currency OptionsAbstract

Autorul folosete o nou tehnic pentru a obine o soluie pentru preul unei opiuni call de tip European pe un activ cu volatilitate stocastic. Modelul permite o corelare arbitrar ntre volatilitate i randamntele activului suport. Autorul Steven L.Heston introduce rata dobnzii stocastic i arat cum se aplic modelul pentru opiunile pe obligaiuni i opiunile pe valut.

Simulrile arat c, corelaia dintre volatilitate i preul activului suport este important pentru explicarea asimetriei randamentului i deplasrile preului de exerciiu n modelul Black-Scholes (1973). Multe laude au fost folosite pentru a descrie contribuia lui Black i Schlos (1973) la teoria preului opiunii. n ciuda dezvoltrii care a urmat a teoriei opiunii, formula original Black i Scholes pentru o opiune de tip call european rmne cea mai de succes i mai folosit aplicaie. Aceast formul este n mod particular folositoare pentru c leag distribuia randamentelor de tip spot de proprietile preurilor opiunii.Dei formula Black-Scholes are succes deseori n explicarea preurilor aciunilor, totui sunt cunoscute anumite probleme (deyavantaje).Performana lui este nrutit pe opiunile de valut.Acest lucru nu este surprinztor de vreme ce modelul Black-Scholes face o presupunere puternic: randamentele aciunilor au o distribuie normal cu o medie i varian cunoscut. De vreme ce formula Black-Scholes nu depinde de media randamnetului de tip spot, nu poate fi generalizat prin a permite ca media s varieze.Motivai de consideraia teoretic, Scott, Hull, White i Wiggins au generalizat modelul pentru a permite volatilitatea stocastic. Melino i Turnbull (1990,1991) spun c aceast abordare are succes n explicarea preurilor opiunilor pe valut. Jarrow i Eisenberg, Stein i Stein presupun c volatilitatea nu este corelat cu activul spot i folosesc o medie a valorilor formulei B-S asupra diferitelor feluri de volatilitate. Aceast abordare spune c volatilitatea nu este legat cu randamentul spot i nu poate captura efectele importante ale asimetriei care apar din aceast corelaie. Se ofer un model de volatilitate stocastic care nu este bazat pe formula B-S. El furnizeaz o soluie nchis pentru preul opiunii de tip call european atunci cnd activul spot este corelat cu volatilitatea i adapteaz modelul pentru a-i ncorpora ratele stocastice ale dobnzii. Astfel, modelul poate fi aplicat obligaiunilor i valutei. 1. Modelul cu volatilitate stocastic

ncepem prin a presupune c activul de tip spot la timpul t urmeay difuzia

Unde, z1(t) este un proces Wiener. Dac volatilitatea urmeaz un proces Ornstein- Uhlenbeck utilizat n 1991 de Stein i Stein,

Atunci lema lui Ito arat c variana v(t) urmeaz procesul

Aceasta poate fi scris ca fiind procesul rdcinii ptrate utilizat de Cox, Ingersoll i Ross (1985), unde z2(t) are corelaia rho cu z1(t).

Presupunem rata dobnzii constant. Prin urmare, preul la timpul t al unei obligaiuni cu discount care ajunge la scaden la timpul t+ este:

Aceste presupuneri sunt totui insuficiente; nu am fcut o presupunere care d riscul volatilitii preului.Argumente de arbitraj standard (Black i Scholes, Merton) demonstreaz c valoarea oricrui activ trebuie s satisfac ecuaia diferenial parial (PDE):

Termenul nespecificat (S,v,t) reprezint preul riscului volatilitii i trebuie s fie independent de activul activul particular. Lamoreux i Lastrapes (1993) evideniaz c acest termen nu este zero pentru opiunile de capital social. Pentru a motiva alegerea (S,v,t) observm c n modelul Breeden(1979) bazat pe consum,

Unde C(t) este rata de consum i este aversiunea relativ la risc a unui investitor. Lum n considerare procesul de consum care reriese din modelul de echilibru general Cox, Ingersoll, Ross,

Unde creterea consumului are o corelaie constant cu randamentul activului spot. Acest lucru genereaz o prim de risc proporional cu v, (S,v,t)=tv. Dei vom folosi formula primei de risc, rezultatele evalurii sunt obinute prin arbitraj i nu depind de alte presupuneri ale modelelor Breeden, Cox, Ingersoll. Totui notm c modelul este consistent cu heteroskedasticitatea condiional n creterea consumului ca i n randamentele activului.n teorie, parametrul ara putea fi determinat de un activ dependent de volatilitate i apoi folosit pentru a evalua toate celelalte active dependente de volatilitate.O opiune de tip call european cu preul de exerciiu K i scadena la timpul T satisface PDE care se supune urmtoarelor condiii:

Prin analogie cu formula B-S, observm o soluie a formulei

Unde primul termen este valoarea prezent a activelor spot asupra exerciiului optimal i al doilea termen este valoarea prezent a plii preului de exerciiu. Amndoi aceti termeni trebuie s satisfac PDE original. Este convenabil s-i scriem n ceea ce privete logaritmul preului spot.

Substituind soluia propus (10) n PDE original (6) arat c P1 i P2 trebuie s satisfac PDE.

Pentru j=1,2, unde

Pentru ca opiunea de pre s satisfac condiia terminal n ecuaia (9) aceste PDE se supun condiiei terminale

Astfel, ele pot fi interpretate ca ajustate sau probabiliti neutre la risc (1976). Anexa evideniaz c atunci cnd x urmeaz procesul stocastic

Unde parametrii uj, aj i bj sunt definii ca mai nainte, atunci Pj este probabilitatea condiional c opiunea expir n bani:

Probabilitile nu sunt imediat la ndemn n forma nchis. Totui, anexa arat c funciile caracteristice f1 i f2 satisfac aceleai PDE (12) supuse condiiei terminale.

Soluia funciei caracteristice este

Unde, Se pot inversa funiile caracteristice pentru a obine probabilitile dorite:

Integrala n ecuaia (18) este o funcie care descrete rapid i nu prezint dificulti. Ecuaiile (10), (17),(18) dau soluia pentru opiunlie europene de tip call. n general nu putem elimina integralele n ecuaia (18) nici chiar n cazul B-S. Totui ele pot fi evaluate ntr-o fraciune de secund la un microcomputer prin folosirea de aproximri similare cu cele standard, folosite pentru a evalua probabilitile normale cumulative.

2. Opiuni de obligaiuni, de valut i alte extensiiPutem ncorpora ratele stocastice ale dobnzii n opiunea modelului de evaluare urmnd Merton i Ingersoll. n acest mod putem aplica modelul pe opiunile de obligaiuni sau valut. Aceste generalizri sunt echivalente cu modelul din seciunea anterioar cu excepia faptului c anumii parametri devin dependeni de timp pentru a reflecta caracteristicile schimbtoare ale obligaiunilor atunci cnd se apropie de scaden. Pentru a ncorpora ratele stocastice ale dobnzii, modificm ecuaia (1) pentru a permite dependena de timp n volatilitatea activului de tip spot.

Aceast ecuaie este satisfcut de preurile obligaiunilor cu discount n modelul Cox, Ross i n modelele cu factori multipli ai lui Heston. Dei rezultatele acestei seciuni nu depind de forma specific a lui s, dac activul de tip apot este obligaiune cu discount, atunci s trebuie s dispar la scaden pentru ca preul obligaiunii s ajung la paritate cu probabilitatea 1. Specificarea termenului drift nu este important pentru c nu va afecta preurile opiunilor. Se specific dinamica analog pentru preul obligaiunii:

Presupunem c varianele activului spot i obligaiunii sunt determinate de aceeai variabil v(t). n acest model ecuaia este:

Unde Rhoxy denot corelaia dintre procesele stocastice x i y.Probabilitile P1 i P2 trebuie s satisfac PDE:

Pentru j=1,2, unde

Notm c ecuaia (22) este echivalent cu ecuaia (12) cu coeficieni dependeni de timp. Valabilitatea soluiilor de tip nchis ale ecuaiei (22) va depinde de structura termenului particular din model. Metoda folosit n anex arat c funcia caracteristic ia forma ecuaiei (17), unde funciile C() i D() satisfac anumite ecuaii difereniale ordinare. Preul opiunii este apoi determinat de ecuaia (18). Putem aplica modelul cnd activul de tip spot S(t) reprezint preul dolarului pentru valut. Presupunem c preul unei obligaiuni cu discount strine F(t;T) urmeaz dinamica obligaiunii interne din ecuaia (20):

Pentru a fi clar notm rata dobnzii interne rD i rata dobnzii externe rF. Urmnd argumentele lui Ingersoll, ecuaia este:

Rezolvnd aceast ecuaie diferenial parial cu 5 variabile numeric ar fi complet nefezabil. Dar putem folosi substituirea analog a lui Garmen i Kohlhagen la ecuaia (10):

Probabilitile P1 i P2 trebuie s satisfac PDE:

Pentru j=1,2, unde

Funcia caracteristic are forma ecuaiei (17), unde C() i D() depind de specificarea x(t); Rhoxv(t).Pentru opiunile cu scaden scurt pe aciuni orice cretere va fi depit de eroarea estimat introdus prin implementarea unui model mai complicat. De vreme ce scadenele se extind mai mult de 1 an, efectele ratei dobnzii pot deveni mai importante Koch(1992).

Modelele mai complicate ilustreaz cum volatilitatea modelului stocastic poate fi adaptat la o varietate de aplicaii. De exemplu, putem s evalum opiunile US prin adugarea aproximrii lui Barone-Adesi i Whalley (1987).

3. Efectele modelului de evaluare a opiunilor cu volatilitate stocastic

n aceast seciune, am examinat efectele volatilitii stocastice asupra opiunilor de pre i am comparat rezultatele cu modelul B-S. Multe efecte sunt legate de dinamica volatilitii seriilor de timp. De exemplu, o varian v(t) crete preul opiunilor aa cum face n modelul B-S. n evaluarea probabilitilor neutre la risc, variana urmeaz un proces al rdcinii ptrate:

Analizm modelul n ceea ce privete procesul volatilitii neutre la risc n locul procesului adevrat al ecuaiei (4) pentru c procesul neutru la risc determin exclusiv preurile. Variana se ndreapt ctre o medie pe termen lung * cu o vitez de revenire la medie, determinat de k*. De aici, o cretere n variana medie * crete preul opiunilor. Revenirea la medie determin apoi ponderile relative ale varianei curente i variana pe termen lung asupra preurilor opiunii.Cnd revenirea la medie este pozitiv, variana are o distribuie constant cu media *. Prin urmare, randamentele spot pe perioade lungi de timp vor avea distribuii normale cu variana pe unitatea de timp dat de *. n consecin, modelul B-S ar trebui s funcioneze bine pentru opiunile pe termen lung. Totui, este important de realizat c variana implicat * pentru opiunile de pre poate s nu fie egal cu variana randamentelor spot date de procesul adevrat (4). Acesrat diferen este cauzat de prima de risc asociat cu expunerea la schimbrile volatilitii. Aa cum reiese din ecuaia (27), dac * este mai mare sau mai mic dect variana medie adevrat, depinde de semnul parametrului primei de risc .Am putea estima * i ali parametrii prin folosirea valorilor implicate n preurile opiunii. Alternativ, am putea estima i k din procesul preului spot. Am putea atunci estima parametrul primei de risc folosind randamente medii asupra poziiilor opiunii care sunt acoperite mpotriva riscului schimbrii n activul spot.Modelul volatilitii stocastice poate explica proprietile preurilor opiunii n ceea ce privete distribuia randamanetului spot. ntr-adevr, aceasta este o interpretare intuitiv a soluiei (10) de vreme ce P2 corespunde probabilitii neutre la risc pentru care opiunea expir n bani. Pentru a ilustra efectele preului opiunilor, trebuie s folosim parametrii de default din tabelul 1. Pentru comparaie, vom folosi modelul B-S cu un parametru de volatilitate care se potrivete cu (rdcina ptrat) variana randamentului spot de-alungul vieii opiunii.

Parametru de corelaie afecteaz n mod pozitiv asimetria randamentului spot. n mod intuitiv, o corelaie pozitiv rezult ntr-o varian mare cnd activul spot crete i acest lucru ntinde coada din dreapta a densitii probabilitii.Coada din stnga este asociat cu o varian sczut i nu este ntins. Figura 1 arat cum o corelare pozitiv a volatilitii cu ranadamentul spot creeaz o coad dreapt mare i o coad stng mic (subire) n distribuia randamentelor spot compuse n timp continuu.

Figura 2 arat c aceasta crete preurile opiunilor din afara banilor i descrete preurile opiunilor n bani relativ la modelul B-S cu volatilitate comparabil. n mod intuitiv, opiunile call n afara banilor beneficiaz de o coad dreapt mare.

O corelare negativ are efecte opuse complete. Descrete preurile opiunilor din afara banilor relativ la opiunile n bani.

Parametrul controleaz volatilitatea volatilitii. Cnd este zero, volatilitatea este determinist (constant) i randamentele spot compuse n mod continuu au o distribuie normal. De altfel, crete gradul de aplatizare al randamentelor spot.

Figura 3 arat cum acest lucru creeaz dou cozi mari n distribuia randamentelor de tip spot.

Dup cum arat figura 4, aceasta are efectul creterii preurilor opiunii far in the money i far out-of-the-money i scad preurile near-the-money. Totui, exist un efect mic al asimetriei sau al evalurii per ansamblu a opiunilor n bani relativ la opiunile n afara banilor.

Aceste simulri arat c modelul volatilitii stocastice poate produce o varietate mare a efectelor evalurii n comparaie cu modelul B-S. Efectele tocmai ilustrate presupun c variana tinde ctre media pe termen lung *. n practic, variana stocastic se va deplasa deasupra i sub nivel, dar concluziile de baz nu ar trebui s se schimbe.Un lucru important care reiese din analiz este distincia dintre efectele volatilitii stocastice n sine i efectele corelaiei volatilitii cu randamentul spot.Dac volatilitatea nu este corelat cu randamentul spot, atunci creterea volatilitii volatilitii () crete gradul de aplatizare al randamentului spot i nu asimetria. n acest caz, volatilitatea la ntmplare este asociat cu creterile n preurile opiunilor far-from-the-money relativ la opiunile near-the-money.

n comparaie, corelaia volatilitii cu randamentul spot produce asimetrie. Asimetria pozitiv este asociat cu creterile preurilor opiunilor n afara banilor relativ cu opiunile n bani. Prin urmare, este esenial s alegi corect corelaia volatilitii cu randamentele spot i de asemenea volatilitatea volatilitii.

4. ConcluziiAm prezentat o soluie de tip nchis pentru opiunile activelor cu volatilitate stocastic.Modelul este destul de versatil pentru a descrie opiunile pe aciuni, pe obligaiuni i cele pe moned. Aa cum reiese din figuri, modelul poate transmite ori ce tip de schimbare asupra preurilor opiunii.

n mod particular modelul leag aceste schimbri ale dinamicii preului spot cu distribuia randamentului spot. n mod conceptual, putem caracteriza modelele opiunii n ceea ce privete primele patru momente ale randamentului de tip spot.

Modelul B-S (1973) arat c media randamanetului de tip spot nu afecteaz deloc preurile opiunii, n timp ce variana are un efect substanial.

Formula B-S produce opiuni de pre identice cu modelele volatilitii pentru opiunile la bani.

n mod alternativ, toate modelele opiunii cu aceeai volatilitate sunt echivalente cu opiunile la bani. De vreme ce opiunile sunt comercializate de obicei near-the-money, acest lucru explic susinerea empiric a modelului B-S.

Corelaia dintre volatilitate i preul spot este necesar pentru a genera asimetria. Asimetria, n distribuia randamentelor spot afecteaz evaluarea opiunilor n bani relativ la opiunile n afara banilor.Fr aceast corelare, volatilitatea stocastic ar schimba doar gradul de aplatizare. Gradul de aplatizare afesteaz evaluarea opiunilor near-the-money versus far-from-the-money. Cu o alegere adecvat a parametrilor, modelul volatilitii stocastice pare s fie foarte flexibil i promite o descriere a preurilor opiunii. Prezint un numr de restricii, de vreme ce leag schimbrile de pre cu dinamica preurilor spot i distribuirea randamentelor de tip spot.Modelul poate explica i alte fenomene: de exemplu Rubinstein (1985) a descoperit c tendinele s-au schimbat de-alungul timpului.

n final, soluia poate fi aplicat i la alte probleme i nu este limitat la volatilitatea stocastic sau problemele de difuzie.1