Ensino Superior9. Integrais DuplasVolumesAmintas Paiva AfonsoClculo 3

Integrais Duplas - VolumeNa tentativa de resolver o problema de determinar reas, chegamos definio de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um slido e, no processo, chegar definio de integral dupla.

f : IR2 IR contnua no retngulo R = [a,b] x [c,d]Consideremos uma funo f de duas variveis definida em um retngulo fechado R = [a,b] x [c,d]= { (x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }

f 0 em IR Q = {(x,y,z) | (x,y) IR e 0 z f(x,y)}QRVolume de Q = V = ?e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O grfico de f a superfcie de equao z = f(x,y). Seja Q o slido que est contido na regio acima de R e abaixo do grfico de Q, ou seja,Q = {(x,y,z) IR3| (x,y) R, 0 z f(x,y)}

O primeiro passo consiste em dividir o retngulo R em sub-retngulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , yj], de mesmo comprimento y = (b a) / n. traando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retngulos. Rij = [xi-1,xi] x [yj-1,yj ] = {(x,y) | xi-1 < x < xi , yj-1 < y < yj }cada um dos quais com rea A = xy.Partio de R

Partio de RxixbaxdcRyx1x2xi-1y1y2yj-1yjyRij(xij , yij)

Integrais Duplas - VolumeSe escolhermos um ponto arbitrrio (xij,yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de Q que est acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij,yij). O volume desta caixa dado pela sua altura vezes a rea do retngulo da base:. Vij = f(xij,yij)A.

Integrais Duplas - VolumeSe seguirmos com esse procedimento para todos os retngulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximao do volume total de Q:Essa dupla soma significa que, para cada sub-retngulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela rea do sub-retngulo e, ento, adicionamos os resultados.

V = xyzQRf (xij , yij) (xij , yij)VijIntegrais Duplas - Volume

Integrais Duplas - Volume

DefinioConsidere uma funo z = f (x, y) contnua e definida numa regio fechada e limitada D do plano xy.Traando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a regio D por pequenos retngulos.

Considere somente os retngulos Rk que esto totalmente contidos em D, numerando-os de 1 a n.Em cada retngulo Rk, tome o ponto Pk = (xk , yk) e forme a somaSOMA DE RIEMANN:onde Ak = xk . yk a rea do retngulo Rk.Traando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retngulos ficam cada vez menores.Toma-se mais retas tal que a diagonal mxima dos retngulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito.Definio

Ento, seexiste, ele chamado INTEGRAL DUPLA de f (xk ,yk)Ak sobre a regio D.Denota-se por:Definio

Interpretao GeomtricaSe f (x, y) 0, f (xk , yk)Ak representa o volume de um prisma reto, cuja base o retngulo Rk e cuja altura f (xk , yk).A soma de Riemann a aproximao do volume limitado abaixo da regio z e acima de D.

Interpretao GeomtricaAssim, se z = f (x, y) 0, ento o VOLUME DO SLIDO delimitado superiormente pelo grfico de z = f (x, y) e inferiormente pela regio D.

Interpretao GeomtricaSe f(x, y) = 1 P(x, y) D, ento, V = 1.reaD.

Logo:rea da Regio D

Clculo de Volumes - AplicaesA Integral dupla d o volume sob a superfcie f(x,y)

Clculo de Volumes - AplicaesPara f (x, y) 0, a integralnos d o volume do slido delimitado superiormente pelo grfico de z = f (x, y), inferiormente pela regio D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base o contorno de D.

ExemplosRepresentamos na Figura a regio R (base deste slido):

Teorema de Fubini

Teorema de Fubini

Exerccios1) Determinar o volume do slido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1 octante.

Exerccios2) Determinar o volume do slido limitado por z = 4 x2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0.Resposta: 32 u.v

Exerccios3) Determinar o volume do slido limitado no 1 octante pelos cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2. Resposta: 2a3/3 u.v.

Exerccios4) Determinar o volume do slido limitado superiormente por z = 2x + y + 4 e inferiormente por z = x y + 2 e lateralmente pela superfcie definida pelo contorno da regio D limitada pelas curvas y = x2 4 e

ExercciosResposta: -22/15 u.v.

Exerccios5) Determine o volume do slido S que delimitado pelo parabolide elptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os trs planos coordenados. Resposta: 48 Primeiro,observamosqueSoslidoquese encontrasob asuperfcie e acima de

Exerccios6)Determine o volume do slido que est abaixo do parabolide z = x2 + y2 e acima da regio do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parbola y = x2. Resposta: 216/35

Exerccios8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

Exerccios8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Resposta: 1/3

Exerccios