Universidade Anhanguera – UNIDERP

Centro de Educação a Distância

TÍTULO DO TRABALHO

Disciplina: Matemática Aplicada

Tecnologia em Logística

Tutora a distância: Prof. Davi Prado Palheta Arakaki

Tutor Presencial: Prof. Marcio Santana dos Santos

Fagner Alexandre Silva Gottzent - 7599617471

Gilmar Parra Padilha Junior – 7980707982

Heribaldo Galindo de Souza Junior – 9977021170

Maria Ludimira Soriano de Paula – 9978021172

Yago Rocha de Oliveira – 738958563

São Bernardo do Campo, São Paulo.

2013

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Índice

1 – Introdução 2

2 – Etapa 1 3

3 – Etapa 2 4

4 – Etapa 3 6

5 – Etapa 4 7

6 – Conclusão 10

7 - Bibliografia 12

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1 - INTRODUÇÃO

Um dos problemas encarados como um passatempo até poucos anos atrás, e que se tornou de

importância crucial atualmente, é o de transmitir mensagens codificadas ou, em termos

técnicos, criptografar mensagens. Quem já leu o livro “O Código Da Vinci” com certeza já se

deparou com códigos criptografados. Este problema, bem atual, surge e revela toda a sua

importância quando é necessário enviar por meio de uma rede de computadores dados

sigilosos: saldos e senhas bancárias, informações pessoais, número de cartão de crédito, etc. É

preciso criar, então, meios seguros de transmitir esses dados de modo que somente pessoas

autorizadas tenham acesso a eles. O primeiro passo para que seja criado um código seguro é

estabelecer, de alguma maneira pré-determinada, uma correspondência entre letras e números.

Vamos usar esse exemplo para que você tenha uma noção inicial sobre um importante

conceito matemático – as funções.

Em 1694 foi introduzido o termo “função” por Leibniz, designando qualquer das várias

variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um

ponto específico da dita curva.

A palavra função foi posteriormente usada por Leonhard Euler em meados do século XVIII

para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a

definição de funções, os matemáticos foram capazes de dizer que não são diferenciáveis em

qualquer de seus pontos.

Durante o Século XIX, iniciou-se a formalização todos os diferentes ramos da matemática.

Por exemplo, a Teoria dos conjuntos, Dirichlet criou a definição "formal" de função moderna,

sendo caso especial de uma relação, cuja é um conjunto de pares ordenados, onde cada

elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados., A noção intuitiva de funções é

bem ampla, não se limitando a computações usando apenas números e nem mesmo se limita a

computações. A noção matemática de funções é bem mais ampla. As funções são definidas

abstratamente por certas relações. Por causa de sua generalização as funções aparecem em

muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo de funções.

Além disso, funções podem ocasionalmente ser referidas como funções bem definidas ou

função total.

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2 - ETAPA 1

Passo 1 (Equipe)Ler os capítulos 1 e 2 do Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).Passo 2 (Equipe)Com base nos conteúdos revistos no Passo 1, em união com seus conhecimentos, resolver os exercícios a seguir, referentes ao conteúdo de funções de primeiro grau.

Uma empresa do ramo agrícola tem o custo para a produção de q unidades de um determinado

insumo descrito por C (q) = 3q + 60. Com base nisso:

a) Determinar o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15, e 20 unidades desse insumo.

C = 3.0 + 60 C = 3. 5 + 60 C = 3.10 + 60 C = 3.15 + 60 C = 3.20 + 60

C = 0 + 60 C = 15 + 60 C = 30 + 60 C = 45 + 60 C = 60 + 60

C = 60 C = 75 C = 90 C = 105 C = 120

a) Esboçar o gráfico da função.

b) Qual é o significado do valor encontrado para C, quando q = 0?

Mesmo a empresa não produzindo nada ela tem um custo fixo de 60.

c) A função é crescente ou decrescente? Justificar.

A função é crescente, pois o cociente de preço é positivo, sempre que a empresa aumenta sua

produção o seu custo também será aumentada.

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d) A função é limitada superiormente? Justificar.

Não, podemos concluir que através da função que aumentando o número de q, aumentará

também seu custo, ela pode aumentar ilimitadamente.

3 - ETAPA 2

Passo 1 (Equipe)Ler o capítulo 3 do Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).Passo 2 (Equipe)Com base nos conteúdos revistos no Passo 1, em união com seus conhecimentos, resolver os exercícios a seguir, referentes ao conteúdo de funções de segundo grau:

O consumo de energia para uma residência no decorrer dos meses é dado por E= - t²- 8t +210,

onde o consumo E é dado em kWh, e ao tempo associa-se t = 0 para janeiro, t = 1 para

fevereiro, e assim sucessivamente.

t = 0 Janeiro t = 1 Fevereiro t = 2 Março t = 3 Abril

E = 0² - 8.0 + 210 E = 1² - 8.1 + 210 E = 2² - 8.2 + 210 E = 3² - 8.3 + 210

E = 0 - 0 + 210 E = 1 - 8 + 210 E = 4 - 16 + 210 E = 9 - 24 + 210

E = 210 kWh E = - 7 + 210 E = -12 + 210 E = - 15 + 210

E = 203 kWh E = 198 kWh E = 195 kWh

t = 4 Maio t = 5 Junho t = 6 Julho t = 7 Agosto

E = 4² - 8.4 + 210 E = 5² - 8.5 + 210 E = 6² - 8.6 + 210 E = 7² - 8.7 + 210

E = 16 - 32 + 210 E = 25 - 40 + 210 E = 36 - 48 + 210 E = 49 - 56 + 210

E = -16 + 210 E = - 15 + 210 E = -12 + 210 E = - 7 + 210

E = 194 kWh E = 195 kWh E = 198 kWh E = 203 kWh

t = 8 Setembro t = 9 Outubro t = 10 Novembro t = 11 Dezembro

E = 8² - 8.8 + 210 E = 9² - 8.9 + 210 E = 10² - 8.10 + 210 E = 11² - 8.11 + 210

E = 64 - 64 + 210 E = 81 - 72 + 210 E = 100 - 80 + 210 E = 121 - 88 + 210

E = 0 + 210 E = 9 + 210 E = 20 + 210 E = 33 + 210

E = 210 kWh E = 219 kWh E = 230 kWh E = 243 kWh4

a) Determinar os meses em que o consumo foi de 195 kWh.

Abril e Junho

b) Determinar o consumo médio para o primeiro ano.

E = 210+203+198+195+194+195+198+203+210+219+230+243 / 12

E = 2498 / 12

E = 208,2 kWh

c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboçar o gráfico de E.

d) Qual foi o mês de maior consumo? De quanto foi esse consumo?

O mês de maior consumo foi o mês de dezembro com um consumo de 243 kWh

e) Qual foi o mês de menor consumo? De quanto foi esse consumo?

O mês de menor consumo foi o mês de maio com um consumo de 194 kWh

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4 - ETAPA 3

Passo 1 (Equipe)Ler o capítulo 4 do Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).Passo 2 (Equipe)Com base nos conteúdos revistos no Passo 1, em união com seus conhecimentos, resolver os exercícios a seguir, referentes ao conteúdo de funções exponenciais:

Sabe-se que o comportamento da quantidade de um determinado insumo, quando ministrado a

uma muda, no instante t, é representado pela função Q(t) = 250. (0,6)², onde Q representa a

quantidade (em mg) e t o tempo (em dias). Então, encontrar:

a) A quantidade inicial administrada.

A quantidade inicial administrada é quando t = 0, sendo assim

Q(t) = 250. (0,6)º

Q(t) = 250. 1

Q(t) = 250mg

b) A taxa de decaimento diária.

A taxa de decaimento diária é de 0,6 do dia que corresponde a 60%.

c) A quantidade de insumo presente 3 dias após a aplicação.

Q(t) = 250. (0,6)³

Q(t) = 250. 0,216

Q(t) = 54mg

d) O tempo necessário para que seja completamente eliminado.

Como é uma função exponencial, ela nunca vai ser totalmente eliminada, pois como função

exponencial o X nunca vai ser 0 (no caso o Q(t) vai ser sempre Q. Qualquer coisa elevado a

zero diferente e zero é um.

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5 - ETAPA 4

Passo 1 (Equipe)Ler o capítulo 6 do Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).Passo 2 (Equipe)Construir um resumo teórico que contenha os principais aspectos sobre o conceito deDerivadas, em no máximo três páginas.

DERIVADA

Taxa de Variação Média

A taxa de variação média ou taxa de variação da variável dependente, C, em relação à

variável independente, q, é dado pela razão;

Salientamos que a taxa de variação média representa o coeficiente angular da reta que

representa graficamente tal função.

A taxa de variação média pode ser calculada para qualquer função. Se y representa a variável

dependente e x a variável independente, a taxa de variação média de, y, em relação à, x, é

calculada pela razão:

Taxa de Variação Média de um Intervalo

A taxa de variação média é calculada para intervalos da variável independente. Se

escrevermos de maneira geral um intervalo de a até b, a taxa de variação média será dado por:

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Taxa de variação média de f( para intervalo de a até b

Podemos ainda considerar o tamanho do intervalo como sendo h, b – a = h, se isolar b,

obtemos b = a + h, aí podemos escrever a Taxa de Variação Média de um Intervalo como:

Taxa de Variação Média de um Intervalo

Taxa de Variação Instantânea

Para calcular a Taxa de Variação Instantânea, devemos calcular diversas taxas de variação

médias para intervalos de tempos (muitos pequenos), cada vez mais próximos ao instante

pedido, exemplificando temos:

Ou simplesmente:

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO

Derivada de uma Função como Taxa de Variação Instantânea

De um modo geral a Derivada de uma função em um ponto nada mais é que a taxa de

variação instantânea da função no ponto que é dada como:

Lembrando que a derivada só existe se os limites laterais resultarem em um mesmo número.

INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA DERIVADA

Taxa de Variação Média como Inclinação da Reta Secante

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Taxa de Variação Instantânea como Inclinação da Reta Tangente

Derivada como Inclinação da Reta Tangente

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Reta Tangente à Curva em um Ponto

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6 - Conclusão

Função e Função do 1º Grau

Neste capítulo vimos que muitas situações do nosso dia a dia (em casa, no trabalho, no laser,

etc.) podem ser representadas por funções matemáticas. Nessas análises vimos conceitos

como crescimento e decrescimento das funções, função limitada e função composta, sempre

associadas as aplicações do nosso dia a dia.

Função e Função do 2º Grau

Podemos dizer que as funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou

seja, o seu maior expoente é 2 e que o gráfico que corresponde a essas funções é uma curva

denominada parábola. Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é

expressa da seguinte forma:

f (x) = ax2 + bx + c, onde a 0

Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax2. É essencial que exista um termo de

segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo grau. Além

disso, esse termo deve ser o de maior grau da função.  

Assim como os polinômios podem ser completos ou incompletos, temos funções de segundo

grau incompletas, como: f (x) = x2 - f (x) = ax2 - f (x) = ax2+ bx - f (x) = ax2 + c.

Função Exponencial

Vimos que uma função exponencial é obtida a partir do fator multiplicativo, e que ela se

aplica a diversas situações como:

Como o montante de juros de uma dívida;

Aplicação de juros compostos;

Crescimento populacional de uma determinada região;

Entre outros.

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Concluímos então que podemos dizer que as funções são utilizadas no nosso dia a dia, em

cálculos rotineiros como em juros, produtividade de uma empresa. A função pode ser

expressa graficamente, o que facilita a visualização do cálculo.

Derivadas

Vimos que o cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada

ou simplesmeste deslocamento de um gráfico, o processo de encontrar a derivada é chamado

"diferenciação". Em uma linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma

uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o

deslocamento da função original.

O conceito de derivada é mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra,

aprendemos que as funções o número de entrada gera um número de saída, enquanto se a

função é quadrática, e é inserido 3, então a saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função

e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então

a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função

quadrática em qualquer ponto dado da função.

Bibliografia

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácono. Matemática Aplicada a Administração,

Economia e Contabilidade. 2º edição São Paulo: Cengage Learning, 2012. PLT 622.

http://www.anhanguera.com/bibliotecas/normas_bibliograficas/index.html. > Acesso em: 21

Agosto 2013.

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/index.html> Acesso em: 9

Setembro 2013.

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