AU Zadaci v0

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVAZavod za automatiku i računalno inženjerstvo

Mr.sc. Jadranko MatuškoMario Vašak, dipl. ing.Marija Seder, dipl. ing.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJEZadaci za vježbu

Zagreb, 2006.

Sadržaj

1 Modeliranje dinamičkih procesa 2

2 Prikaz sustava u frekvencijskom području 112.1 Laplaceova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Frekvencijske karakteristike sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Karakteristike linearnih kontinuiranih sustava 20

4 Stabilnost linearnih kontinuiranih sustava 28

5 Krivulja mjesta korijena 40

6 Sinteza sustava u frekvencijskom području 526.1 Korekcijski član s faznim prethođenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Korekcijski član s faznim kašnjenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Sinteza pomoću krivulje mjesta korijena 65

8 Analitički postupci sinteze regulatora 748.1 Postupak prema Truxal-Guilleminu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9 Sinteza regulatora s obzirom na vodeće i poremećajno vladanje 82

10 Poboljšanje regulacijskog vladanja pomoću složenijih struktura upravljanja 90

11 Sinteza linearnih kontinuiranih sustava u prostoru stanja 101

A Rješenja zadataka 114

1

Poglavlje 1

Modeliranje dinamičkih procesa

Ponašanje dinamičkih sustava opisano je skupom diferencijalnih jednadžbi koje su općenitonelinearne. U ovim diferencijalnim jednadžbama sadržane su zakonitosti koje vrijede za datisustav. Osnovni je problem koji se pojavljuje kod analize ovakvih sustava nepostojanje općemetodologije za rješavanje nelinearnih diferencijalnih jednadžbi. S druge strane, ako je di-namički sustav opisan skupom linearnih diferencijalnih jednadžbi, tada je njegova analizaznatno jednostavnija.

Općenito, kao rezultat modeliranja dolazi se do sljedećeg zapisa dinamičkog sustava:

x1 = f1(x1, x2, ..., xn, u1, ..., um);x2 = f2(x1, x2, ..., xn, u1, ..., um);...xn = fn(x1, x2, ..., xn, u1, ..., um);

(1.1)

odnosno skraćeno zapisano:x = f(x,u); (1.2)

gdje je x = [x1, ..., xn]T - vektor stanja sustava, a u = [u1, ..., um]T - vektor ulaznih varijablisustava.

U prvom se koraku analize određuju ravnotežne točke (engl. equilibrium points) za kojevrijedi:

x = 0 =⇒ f(x0,u0) = 0.

U ovim točkama je postignuta ravnoteža između energije koja ulazi u sustav i energije kojaizlazi iz sustava.

Često se zbog nemogućnosti analize sustava u izvornom nelinearnom obliku pribjegavatzv. linearizaciji sustava tj. opisu sustava linearnim modelom u okolini ravnotežne točke.Naravno u tom slučaju dobiveni (linearni) model je valjan u uskom području oko ravnotežnetočke. Temelj postupka linearizacije je razvoj funkcije u Taylorov red koji za statičku funkciju(sustav) glasi:

f(x + ∆x) = f(x0) +n∑

i=1

∂f(x)∂xi

∣∣∣∣x0

·∆xi + o(∆x1, ...,∆xn), (1.3)

2

1. MODELIRANJE DINAMIČKIH PROCESA

gdje je ∆x = [∆x1, ...,∆xn]T , a o(∆x1, ...,∆xn) -ostatak reda, polinom koji sadrži samočlanove s potencijama ≥ 2.

Zanemarivanjem ostatka o(·) reda dobije se:

f(x + ∆x) ≈ f(x0) +n∑

i=1

∂f(x)∂xi

∣∣∣∣x0

·∆xi. (1.4)

U slučaju dinamičkog sustava (1.2) razvojem u Taylorov red dobivamo:

(x0 + ∆x)′ ≈ f(x0,u0) +∂f(x,u)

∂x

∣∣∣∣x0,u0

·∆x +∂f(x,u)

∂u

∣∣∣∣x0,u0

·∆u (1.5)

Uzevši u obzir da vrijedi: (x0 + ∆x)′ = (∆x)′ te da je (x0,u0) ravnotežna točka sustava zakoju stoga vrijedi f(x0,u0) = 0 dobije se:

(∆x)′ ≈ ∂f(x,u)∂x

∣∣∣∣x0,u0

·∆x +∂f(x,u)

∂u

∣∣∣∣x0,u0

·∆u (1.6)

Ovdje je bitno uočiti da je postupkom linearizacije dobiven model koji više nije funkcijapočetnih varijabli x već promjena tih varijabli ∆x oko ravnotežne točke x0.

Primjer 1.1

Na slici 1 prikazan je je pojednostavljeni model automobilskog amortizera. Pritom masa mA

predstavlja 1/4 mase automobila, mK masu kotača, dok konstante cA, cK , dA predstavljajukonstante krutosti opruge amortizera i gume automobilskog kotača, te konstantu prigušenjaamortizera. Potrebno je odrediti skup diferencijalnih jednadžbi koje opisuju ovaj sustav, teprikazati blokovsku shemu sustava. Karakteristika opruge opisana je sljedećim izrazom:

Fs = cA · x,

dok je karakteristika prigušenja amortizera dana linearnom relacijom:

Fp = dA · x.

Potrebno je navesti skup diferencijalnih jednadžbi kojima je opisan ovaj proces i nacrtatiblokovsku shemu procesa.

Rješenje:

Kod postavljanja diferencijalnih jednadžbi za ovaj slučaj koristi se drugi Newtonov zakon.Za masu mK vrijedi:

mK · v1 = cK · (∆x(t)− x1(t))− cA(x1 − x2)− dA(v1 − v2) (1.7)

Za masu mA vrijedi:mA · v2 = c1(x1 − x2)− dA(v1 − v2) (1.8)

3


Am

Km

Ac Ad

Kc

2x

1x

x∆

Slika 1.1: Sustav amortizacije automobila

Kako pritom vrijedi da je v1 = x1 odnosno v2 = x2 slijedi konačni skup diferencijalnihjednadžbi:

x1 + dAmk

· x1 − dAmk

· x2 + cK+cAmk

· x1 − cAmK

· x2 − cKmK

∆x(t) = 0x2 + dA

mA· x1 − dA

mA· x2 + cA

mA· x1 − cA

mA· x2 = 0

. (1.9)

Blokovska shema procesa prikazana je na slici 1.2.Ovdje je bitno primijetiti da se u jednadžbama gibanja masa mA i mK pomaci x1 i x2 ne

računaju odnosu na prirodne duljine opruga, već u odnosu na inicijalno istezanje opruga pri∆x = 0. Upravo ova inicijalna istezanja opruga kompenziraju djelovanje sile zemljine težena mase mA i mK koje su zbog toga izostavljene iz jednadžbi gibanja pojedinih masa. Ovajpomak koordinatnog sustava je bilo moguće napraviti zbog linearnih karakteristika opruga.

Primjer 1.2

U zatvoreni spremnik površine A i visine hs dovodi se kapljevina (vidi sliku 1.3). U zatvorenomspremniku odvija se izotermna kompresija plina (zraka) u prostoru iznad kapljevine, za kojuvrijedi:

ppVp = const, (1.10)

gdje je pp tlak plina, a Vp volumen plina. Zatvoreni spremnik spojen je s otvorenim sprem-nikom površine A i visine hs iz kojeg istječe kapljevina protoka qi(t).Korištenjem Bernoullieve jednadžbe za fluid:

p + ρgh(t) + ρv2(t)

2= const, (1.11)

gdje je p tlak plina, h(t) visina kapljevine i v(t) brzina kapljevine, potrebno je:

4


∫ ∫

∫∫

A

K

d

m

A K

K

c c

m

+

A

A

c

mA

A

d

m

A

K

d

mA

K

c

m

A

A

c

m

A

A

d

m

K

K

c

m1x1x

1x

2x2x2x

x∆

Slika 1.2: Blokovska shema sustava amortizacije automobila

qu

h1 h2

qi

q12

hS

pp, Vp, Tp

Slika 1.3: Protok kapljevine kroz zatvoreni spremnik.

a) odrediti diferencijalne jednadžbe za visinu kapljevine u zatvorenom spremniku h1(t) teotvorenom spremniku h2(t),

b) odrediti linearizirani model u okolini radne točke h10, pp0 te h20,

c) nacrtati blokovsku shemu nelinearnog i lineariziranog modela.

5


Zadano je: atmosferski tlak pa, početni tlak plina u zatvorenom spremniku pp0, gustoća kapljevineρ, visina spremnika hs, površina poprečnog presjeka otvorenog te zatvorenog spremnika A,površina poprečnog presjeka cijevi Ai.

NAPOMENA: Brzina kapljevine unutar spremnika moľe se zanemariti.

Rješenje:

a) Iz Bernoulijeve jednadžbe za prvi spremnik slijedi:

pp + ρgh1 = pa + ρgh2 + ρv212

2(1.12)

Iz uvjeta izotermne reakcije u zatvorenom spremniku slijedi:

pp = pp0hs − h10

hs − h1(1.13)

Iz ovih jednadžbi slijedi:

pp0hs − h10

hs − h1+ ρgh1 = pa + ρgh2 + ρ

v212

2(1.14)

Analogno se dobije jednadžba za drugi spremnik koja glasi:

ρgh2 = ρv2i

2(1.15)

Prema tome diferencijalne jednadžbe nelinearnog modela glase:

q12 = v12Ai (1.16)

qi = viAi (1.17)

qu − q12 = Adh1

dt(1.18)

q12 − qi = Adh2

dt(1.19)

b) Izrazi za brzine protoka v12 te vi su nelinearni i njih treba linearizirati u okolini dane radnetočke. Dobiju se sljedeći izrazi:

v12 =√

2ρ

(K

hs−h1+ ρg (h1 − h2)− pa

)gdje je K = pp0 (hs − h10) (1.20)

6


∂

∂h1v12 =

12

1√2ρ

(K

hs−h1+ ρg (h1 − h2)− pa

) ·2ρ

(K

(hs − h1)2 + ρg

) ∣∣∣∣h1 = h10

h2 = h20= C1

(1.21)

∂

∂h2v12 =

12

1√2ρ

(K

hs−h1+ ρg (h1 − h2)− pa

) ·2ρ

(−ρg)∣∣∣∣

h1 = h10

h2 = h20= C2 (1.22)

vi =√

2gh2 (1.23)

∂

∂h2vi =

12

1√2gh2

· 2g |h2 = h20 = C (1.24)

Prema tome linearizirani model glasi:

v12(s) = C1H1(s) + C2H2(s) (1.25)

vi(s) = C ·H2(s) (1.26)

c) Blokovska shema lineariziranog modela prikazana je na slici 1.4

1

s

1

A

1dh

dt 1h

1

s

1

A

2dh

dt2h

1C

C

2C

iA

iA

+

−

+

−

+

+

iq

uq12q

Slika 1.4: Shema lineariziranog modela

7


ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 1.1

Kretanje umjetnog satelita oko zemlje može se opisati pojednostavljenim 2D modelom (slika1.5) danim sljedećim izrazima:

r = rφ2 − k

r2+ u1

φ = −2φr

r+

u2

r

(1.27)

gdje su u1 i u2 radijalna i tangencijalna komponenta sile na satelit usljed djelovanja potisnika.

Zemlja

1u

2uω

r

Slika 1.5: Pojednostavljeni model kretanja satelita oko zemlje

Potrebno je:

a) prikazati sustav u (nelinearnom) prostoru stanja pri čemu su varijable stanja (r, r, φ = ω),

b) linearizirati sustav oko ravnotežnog stanja kojem odgovara isključeni pogonski motori satelita,tj. u1 = 0 i u2 = 0.

Zadatak 1.2

Pretvarač sile u frekvenciju pomoću električnog polja, koji se koristi kao mikrofon ili zvučnik(slika 1.6), može se opisati sljedećim jednadžbama:

• jednadžba ravnoteže sila:

md2 x(t)

dt2+ D

dx(t)dt

+ c(x(t)− l) +ε0 A

2

(u(t)x(t)

)2

= F (t), (1.28)

• jednadžba električke ravnoteže:

d

dt

(ε0 Au(t)

x(t)

)= Us−u(t)

R, (1.29)

8


SU

R

x

c

D

u

Ru y=

F

Slika 1.6: Principna shema rada mikrofona

• izlazna jednadžba:

y(t) = Rd

dt

(ε0 Au(t)

x(t)

), (1.30)

gdje je:m - masa pomične ploče, D - koeficijent prigušenja, c - konstanta opruge, x - razmak pomičnihploča, l - prirodna duljina opruge, A - površina pomične ploče, u - napon između pomičnihploča, F - sila na pomičnu ploču (ulazna veličina), US - napon posmaka, R - otpor, ε0 -dielektrična konstanta.

Za promatrani pretvarač potrebno je:

a) linearizirati jednadžbe u radnoj točki određenoj s X0 i U0;

b) odrediti diferencijalnu matričnu jednadžbu stanja iz lineariziranih jednadžbi ako su varijablestanja: x1 = x, x2 = x i x3 = u/x;

c) nacrtati nelinearnu i lineariziranu blokovsku shemu.

Zadatak 1.3

Položaj magnetski vodljive kuglice regulira se pomoću elektromagnetskog polja (slika 1.7).Induktivitet zavojnice ovisan je o udaljenosti kuglice, i ta se ovisnost može opisati sljedećim

izrazom:L(x) = 2λ/x. (1.31)

Elektromagnetska sila koja djeluje na kuglicu opisana je sljedećom relacijom:

F = −λi2

x2. (1.32)

9


m( )x t

( )i t

( )u t

mg ( )emF t

Slika 1.7: Sustav regulacije položaja magnetske kuglice

Newton-ov zakon:

mx = mg + F = mg − λi2

x2. (1.33)

Faraday-ov zakon:

u = Ri +d(L(x)i)

dt= Ri + L′(x)i

dx

dt+ L(x)

di

dt= Ri− 2λi

x2

dx

dt+

2λ

x

di

dt. (1.34)

Potrebno je:

a) prikazati sustav u prostoru stanja tj. u obliku:

x = f (x, u) (1.35)

pretpostavljajući pritom sljedeće varijable stanja: x1 = x, x2 = x i x3 = i.

b) nacrtati nelinearnu blokovsku shemu,

c) linearizirati sustav oko radne točke x0 = 700 [µm] te nacrtati lineariziranu blokovsku shemu.

Zadano je: λ = 5 · 10−6[Nm2A−2

],R = 1 [Ω],m = 0.2 [kg],g = 9.81

[ms−2

].

10

Poglavlje 2

Prikaz sustava u frekvencijskompodručju

2.1 Laplaceova transformacija

Premda su poznati različiti načini rješavanja linearnih diferencijalnih jednadžbi, u analizisustava automatskog upravljanja posebno mjesto zauzimaju metode rješavanja temeljene naintegralnim transformacijama. Najznačajnija među njima je Laplaceova transformacija.Neka je zadana funkcija f(t) : R+ → R koja zadovoljava Dirichletove uvjete:

1. funkcija f(t) je po odsječcima kontinuirana,

2. postoji konačni c > 0 takav da vrijedi limt→∞ f(t)e−ct = 0.

Za funkciju f(t) definirana je Laplaceova transformacija kao:

F (s) = Lf(t) =∫ ∞

0f(t)e−stdt. (2.1)

pri čemu je područje konvergencije integrala određeno uvjetom <(s) > c.Najvažnija svojstva Laplaceove transformacije:

• Linearnost - Lαf(t) + βg(t) = αLf(t)+ βLg(t);

• Derivacija - L

f(t)

= s · L f(t) − f(0+);

• Integracija - L∫ t

0 f(t)dt

= 1s · L f(t);

• Konvolucija - L∫∞0 g(t− τ)u(τ)dτ

= Lg(t) · L u(t);

• Vremenski pomak - Lf(t− a) = e−asLf(t);• Teorem o konačnoj vrijednosti - limt→∞ f(t) = lims→0 s · F (s);

11

2. PRIKAZ SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU

• Teorem o početnoj vrijednosti - limt→0 f(t) = lims→∞ s · F (s).

Zbog ovih navedenih svojstava Laplaceova je transformacija prikladna za rješavanje diferenci-jalnih jednadžbi budući da se njom diferencijalna jednadžba pretvara u algebarsku po varijablis. Kod analize sustava upravljanja vrlo često se sustav, umjesto u obliku diferencijalne jed-nadžbe, prikazuje u obliku pripadne prijenosne funkcije koja predstavlja omjer Laplaceovihtransformacija izlaza i ulaza sustava, uz pretpostavku da su početna stanja jednaka nuli.

G(s) =Ly(t)L u(t) =

Y (s)U(s)

(2.2)

U specijalnom slučaju kada je ulazni signal tipa Diracove δ-funkcije slijedi:

Y (s) = G(s) · U(s) = G(s) · 1 = G(s), (2.3)

te se može zaključiti da je prijenosna funkcija Laplaceova transformacija impulsnog odzivasustava g(t).

2.2 Frekvencijske karakteristike sustava

Opis sustava pomoću frekvencijske karakteristike temelji se na odzivu sustava na sinusnupobudu u stacionarnom stanju, odnosno nakon što završi prijelazna pojava. Pretpostavivšisinusni pobudni signal

u(t) = A · sin(ωt) = A · =eωt, (2.4)

prisilni odziv sustava općenito je dan konvolucijskim integralom:

y(t) =∫ ∞

0u(t− τ)g(τ)dτ = A · =

∫ ∞

0eω(t−τ)g(τ)dτ = A · =eωt

∫ ∞

0e−ωτg(τ)dτ (2.5)

U izrazu (2.5) može se uočiti da član ispred integrala predstavlja ulazni signal u(t), dok samintegral ima isti oblik kao i Laplaceova transformacija težinske funkcije, s tim da umjesto kom-pleksne frekvencije s stoji ω. Kako je s druge strane poznato da Laplaceova transformacijatežinske funkcije predstavlja prijenosnu funkciju G(s), slijedi da se izraz (2.5) može zapisatiu sljedećem obliku:

y(t) = A · =eωt ·G(ω) = A · =eωt |G(ω)| · e∠G(ω). (2.6)

Iz posljednjeg izraza je očito da je odziv sustava na sinusnu pobudu također sinusnog oblikaiste frekvencije, općenito različite amplitude, i s određenim faznim pomakom. Informacijeo omjeru izlazne i ulazne amplitude, te faznom pomaku sadržane su u funkciji G(ω) koja,prema tome, predstavlja frekvencijsku karakteristiku sustava. Na temelju izraza (2.5) i (2.6)slijedi da se frekvencijska karakteristika dobiva iz prijenosne funkcije formalnom zamjenoms → ω. U analizi linearnih sustava se njegovo djelovanje često opisuje grafičkim prikazomnjegove frekvencijske karakteristike i to kao:

12


• Nyquistov dijagram koji predstavlja grafički prikaz funkcije G(ω) u kompleksnoj ravnini,

• Bodeov dijagram koji zasebno prikazuje amplitudnu karakteristiku kao 20log|G(ω)| ifaznu karakteristiku sustava kao ∠G(ω) na logaritamskoj frekvencijskoj skali.

U analizi i sintezi sustava upravljanja posebno je prikladan Bodeov prikaz frekvencijskekarakteristike zbog činjenice da se serijska veza više dinamičkih članova (matematički opisanas operacijom konvolucije) svodi kod crtanja Bodeovog dijagrama na zbrajanje odgovarajućihfrekvencijskih karakteristika pojedinih članova.

Primjer 2.1

Za sustav opisan sljedećom diferencijalnom jednadžbom:

y(t) + 5y(t) + 6 = 2u(t) (2.7)

potrebno je:

a) odrediti odziv na skokovitu pobudu oblika:

u(t) = S(t) =

0 t < 01 t ≥ 0

(2.8)

korištenjem Laplaceove transformacije, uz početne vrijednosti y(0) = 3 i y(0) = −7 ,

b) odrediti prijenosnu funkciju sustava.

Rješenje:

a) Izravnom primjenom Laplaceove transformacije na polaznu diferencijalnu jednadžbu, ko-risteći teorem o deriviranju, slijedi:

y(t) + 5y(t) + 6 = 2u(t) /Ls2 · Y (s)− s · y(0)− y(0) + 5 (s · Y (s)− y(0)) + 6Y (s) = 2U(s)

(2.9)

Nakon sređivanja, prethodni se izraz može zapisati u sljedećem obliku:

Y (s) =2

s2 + 5s + 6U(s) +

s + 5s2 + 5s + 6

y(0) +1

s2 + 5s + 6y(0). (2.10)

Uzevši u obzir da je ulazni signal u(t) tipa odskočne funkcije čija je Laplaceova transfor-macija U(s) = 1/s, te rastavljanjem izraza (2.10) na parcijalne razlomke, dobivamo:

Y (s) =13s− 1

s + 2+

23(s + 3)

+(

3s + 2

− 2s + 3

)· y(0) +

(1

s + 2− 1

s + 3

)· y(0). (2.11)

13


Primjenom inverzne Laplaceove transformacije na (2.11), koristeći pravilo

L−1

1

s + a

= e−at, (2.12)

slijedi:

y(t) =13− e−2t +

23e−3t +

(3e−2t − 2e−3t

) · y(0) +(e−2t − e−3t

) · y(0). (2.13)

Uvrštenjem početnih uvjeta y(0) = 13 i y(0) = −1, konačno se dobije:

y(t) =13

+ e−3t − e−2t. (2.14)

b) Kod proračuna prijenosne funkcije ponovno se primjenjuje Laplaceova transformacija napolaznu diferencijalnu jednadžbu, ali ovaj put uz nulte početne uvjete. U tom se slučajudobije:

s2 · Y (s) + 5s · Y (s) + 6Y (s) = 2U(s), (2.15)

odakle slijedi:

G(s) =Y (s)U(s)

=2

s2 + 5s + 6. (2.16)

Primjer 2.2

Na slici 2.1 prikazan je regulacijski krug koji se sastoji od procesa (PT1 član) i regulatora(I-regulator). Vremenska konstanta regulatora je TI .

1

1 sT s+1

IT s

Rx u

'z

y

Slika 2.1: Shema sustava upravljanja

a) Prikazati izlaznu veličinu Y (s) kao funkciju vodeće veličine XR(s) i poremećajne veličineZ ′(s).

b) Odrediti prirodnu frekvenciju neprigušenih oscilacija ωn i relativni koeficijent prigušenja ζzatvorenog regulacijskog kruga.

c) Odrediti TI uz uvjet da je ζ =√

2/2 i TS = 1s. Koliko je odstupanje u stacionarnom stanjuukoliko djeluje poremećaj z′(t) = S(t).

14


d) Uz regulacijski krug i regulator određen prema c) nacrtati Bodeov dijagram Go(jω) (aproksi-macije pravcima).

Rješenje:

a) Na temelju blokovske sheme prikazane na slici 2.1 može se napisati sljedeći izraz:

Y (s) =[

1sTI

(XR(s)− Y (s)) + Z ′(s)]

11 + sTS

, (2.17)

iz kojeg dalje slijedi:

1 + sTI + s2TITS

sTI(1 + sTs)Y (s) =

1sTI(1 + sTs)

XR(s) +1

1 + sTsZ ′(s), (2.18)

te se konačno dobije:

Y (s) =1

1 + sTI + s2TITSXR(s) +

sTI

1 + sTI + s2TITSZ ′(s) = Gzx(s)XR(s) + Gzz(s)Z ′(s).

(2.19)

b) Prijenosna funkcija drugog reda obično se zapisuje u standardnom obliku:

Gm(s) =1

1 + 2ζs/ωn + s2/ω2n

. (2.20)

gdje je ζ-koeficijent prigušenja a ωn -prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija.

Izjednačavanjem nazivnika prijenosnih funkcija Gx(s) i Gz(s) s nazivnikom prijenosnefunkcije drugog reda u standardnom obliku slijedi:

2ζ/ωn = TI , 1/ω2n = TITS , (2.21)

te se dobije:ωn =

√1

TITS, ζ = 1

2

√TITS

. (2.22)

c) Uvjet da bi koeficijent prigušenja ζ iznosio√

22 je da vrijedi:

TI = 2TS = 2[s]. (2.23)

Odstupanje izlaznog signala od referentnog definirano je kao:

E(s) = Y (s)−XR(s). (2.24)

Uz pretpostavku da djeluje samo signal poremećaja z′(t) (xR(t) = 0), slijedi:

E(s) = Gz(s) · Z ′(s)︸︷︷︸=1/s

−XR(s)︸︷︷︸=0

=TI

1 + sTI + s2TITs(2.25)

Stacionarna vrijednost signala odstupanja e(t) se određuje iz teorema o konačnoj vrijed-nosti:

limt→∞ e(t) = lim

s→0s · E(s) = 0. (2.26)

15


10−2

10−1

100

101

102

−80

−40

0

40

Frekvencija [rad/s]

Am

plitu

da [d

B]

Bodeov dijagram

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

Frekvencija [rad/s]

Faz

a [°

]

Slika 2.2: Bodeov dijagram.

d) Bodeov dijagram otvorenog kruga prikazan je na slici 2.2.

ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 2.1

Na slici 2.2 prikazan je sklop koji se sastoji od dvaju idealnih operacijskih pojačala i pridruženeim pasivne mreže.

a) Odredite prijenosnu funkciju G(s) = U4(s)U1(s) uz otvorenu sklopku S.

b) Zatvaranjem sklopke S izlazni napon se vraća na ulazno pojačalo. O kakvoj se povratnojvezi u tom slučaju radi? Odrediti prijenosnu funkciju Gz(s) = U4(s)

U1(s) uz zatvorenu sklopkuS.

c) Kako odabrati otpornike da bi prigušenje sklopa, uz zatvorenu sklopku, iznosilo ζ =√

22 ?

16


Slika 2.3: Sklop s operacijskim pojačalima.

Zadatak 2.2

Odrediti prijenosnu funkciju sustava čija je amplitudna karakteristika uz aproksimaciju pravcimaprikazana na slici 2.4. Pritom je poznato da pri frekvenciji ω = 8[rad/s] faza iznosi ϕ(ω) =−171.32. Pretpostaviti da se radi o minimalno-faznom sustavu.

[ ]20 db/dek

20

16−

10

40

[ ]rad/sω

[ ]dBA

Slika 2.4: Bodeov dijagram

Zadatak 2.3

Neka je zadan sustav za koji je poznato da vrijedi:

1. sustav je relativnog stupnja 3;

17


2. sustav ima 3 pola od kojih su dva s1 = −2 i s2 = −10;

3. impulsni odziv sustava izgleda kao prijelazna funkcija stabilnog linearnog sustava saustaljenom vrijednosti 0.25.

Potrebno je:

1. odrediti prijenosnu funkciju sustava;

2. nacrtati Bodeov dijagram sustava.

Zadatak 2.4

Kako bi se odredili parametri PT1 procesa s transportnim kašnjenjem, proveden je sljedećieksperiment. Na ulaz u proces doveden je signal u(t) prikazan na slici 2.5, te je snimljenodziv izlaznog signala, koji je prikazan na istoj slici, uz naznačene karakteristične vrijednosti.Potrebno je odrediti prijenosnu funkciju procesa Gp(s)

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40-1

0

1

2

3

4

5

6

7

[ ]6.2824T s= [ ]0.69T s∆ =

0.5884

( )y t( )u t

[ ]t s

[][]

,u

ty

t

Slika 2.5: Grafovi ulaznog i izlaznog signala

Zadatak 2.5

Pomoću Laplaceove transformacije riješiti sljedeće diferencijalne jednadžbe uz dane početneuvjete:

a.) y′(t) + 8y(t) = 0, y(0) = −2;b.) y′′(t) + 4y′(t) + 3y(t) = t, y(0) = 0, y′(0) = −2;c.) y′′′(t) + 4y′′(t) + 9y′(t) + 10y(t) = t, y(0) = −4, y′(0) = 4, y′′(0) = 0;

18


Zadatak 2.6

Neka je dan sustav opisan sljedećom prijenosnom funkcijom:

G(s) =s + 2

s2 + 4s + 3(2.27)

Odziv sustava na pobudni signal oblika u(t) = e−t dan je sljedećim izrazom:

y(t) =12t · e−t + e−3t (2.28)

Potrebno je odrediti početne uvjete u trenutku t = 0+.

Zadatak 2.7

Neka je dan sustav opisan sljedećom prijenosnom funkcijom:

G(s) =1

(s + 1)(s + 4)(2.29)

Potrebno je odrediti odziv sustava na pobudni signal prikazan na slici 2.6. Pritom su poznatipočetni uvjeti u trenutku t = 0+ koji iznose y(0+) = 2 i y′(0+) = −1.

[ ]t s5

10

2t 510 te −

( )x t

Slika 2.6: Graf pobudnog signala

19

Poglavlje 3

Karakteristike linearnih kontinuiranihsustava

Razmatra se sustav upravljanja sveden na jediničnu povratnu vezu (slika 3.1). Svi signali i

( )RG s ( )sG s

( )szG s

+

−

+

+

+

+

( )'Z s

( )Z s( )Y s( )RX s

( )mY s

( )N s

( )E s ( )U s

Slika 3.1: Blokovska shema sustava upravljanja.

blokovi navedeni su u Laplace-ovoj domeni. S N(s) označena je Laplace-ova transformacijašuma mjernog člana kojim se mjeri izlaz procesa (prijenosna funkcija mjernog člana uključenaje u prijenosnu funkciju procesa Gs(s)). Ostali signali isti su kao u skripti [1]. Izrazimo izlazY (s) preko prijenosnih funkcija elemenata i ulaza XR(s), Z ′(s) i N(s):

Y (s) = Gsz(s)Z ′(s) + GR(s)Gs(s)E(s) == Gsz(s)Z ′(s) + GR(s)Gs(s)(XR(s)− Y (s)−N(s))

. (3.1)

20

3. KARAKTERISTIKE LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

Prebacivanjem svih pribrojnika s Y (s) s lijeve strane jednadžbe i potom njegovim eksplicit-nimm izražavanjem slijedi:

Y (s) =GR(s)Gs(s)

1 + GR(s)Gs(s)XR(s) +

Gsz(s)1 + GR(s)Gs(s)

Z ′(s)− GR(s)Gs(s)1 + GR(s)Gs(s)

N(s). (3.2)

Uvedimo sljedeće oznake:

Go(s) = GR(s)Gs(s) − prijenosna funkcija otvorenog kruga; (3.3)

R(s) =1

1 + Go(s)− dinamički regulacijski faktor; (3.4)

T (s) = R(s)Go(s) − komplement od R(s). (3.5)

Sada se (3.2) sažetije zapisuje:

Y (s) = T (s)XR(s) + R(s)Z(s)− T (s)N(s). (3.6)

Ključno je uočiti sljedeću relaciju:

R(s) + T (s) = 1. (3.7)

Posebice je za s = jω (vidi diskusiju u poglavlju ??):

R(jω) + T (jω) = 1. (3.8)

Također se i relacija (3.6) može napisati za frekvencijsko područje:

Y (jω) = T (jω)XR(jω) + R(jω)Z(jω)− T (jω)N(jω). (3.9)

Sada, raspravimo što želimo od sustava upravljanja sa slike 3.1. Naravno, želimo da Y štotočnije slijedi XR, a pritom da, po mogućnosti, sasvim anuliramo utjecaj poremećaja Z imjernog šuma N . No, je li to sve moguće ostvariti odjednom?

Ako nema šuma, tj. N(jω) ≡ 0, tada je pogodno imati T (jω) = 1 jer odmah sasvimpotiskujemo poremećaj budući da je prema (3.8) R(jω) = 0. U praksi, XR i Z sadržepretežno niskofrekvencijske komponente, dok N često sadrži one visokofrekvencijske. Zato jepravilan izbor:

T (jω) = 1, (R(jω) = 0) za ω ¿T (jω) = 0, (R(jω) = 1) za ω À (3.10)

Iz zahtjeva T (jω) = 1 proizlazi prema (3.5) Go(jω) = ∞, a iz T (jω) = 0 slijedi Go(jω) = 0.Vidimo da je idealno ponašanje ostvarivo samo u nulama i polovima od Go. Potrebe realnihsustava upravljanja zadovoljavat će i sljedeći izbor:

T (jω) ≈ 1, (R(jω) ≈ 0) Go(jω) À za ω ¿T (jω) ≈ 0, (R(jω) ≈ 1) Go(jω) ¿ za ω À (3.11)

Budući da je |Go(jω)| neprekinuta za sve ω, prijelaz iz niskofrekvencijskog u visokofrekvenci-jsko područje uvijek je postepen po |Go(jω)|. Kvalitativan izgled frekvencijske karakteristike

21


w w

( )20log oG jw

w

w

( )( )arg oG jw

?

?? ?

oG

0oG ª

Slika 3.2: Frekvencijske karakteristike Go - kvalitativno.

od Go koja udovoljava zahtjev (3.11) dan je na slici 3.2. U srednjefrekvencijskom području,zbog oprečnih zahtjeva (3.11) na |Go| u nisko- i visokofrekvencijskom dijelu i neprekinutosti od|Go|, niti jedan od spomenutih nije ispunjen. Taj se dio karakteristike oblikuje obvezujućim za-htjevom da projektirani sustav upravljanja bude stabilan (vidi poglavlje ??), kao i zahtjevimana kvalitetu odziva sustava upravljanja na XR i Z u uvjetima kada nije zadovoljeno (3.11)(vidi poglavlja ??). Potonjim zahtjevima oblikuje se i fazno-frekvencijska karakteristika. Go

se, prema (3.3), oblikuje (korigira) prijenosnom funkcijom regulatora GR(s), pri čemu su Gs

i Gsz najčešće fiksni. GR se zbog toga često naziva i korekcijskim članom.Općenito se prijenosna karakteristika Go za slučaj kauzalnog linearnog sustava može zapisati

u obliku:Go(s) =

Ko

sk

1 + β1s + . . . + βmsm

1 + α1s + . . . + αn−ksn−ke−Tts, (3.12)

pri čemu Ko predstavlja pojačanje otvorenog regulacijskog kruga, k ≥ 0 je red astatizmaprijenosne funkcije, 0 ≤ m ≤ n su redovi redom brojnika i nazivnika prijenosne funkcije, aTt ≥ 0 predstavlja mrtvo vrijeme. Uvedimo radi kratkoće zapisa i sljedeće oznake:

A(s) = 1 + α1s + . . . + αn−ksn−k, (3.13)

B(s) = 1 + β1s + . . . + βmsm. (3.14)

22


Često se na sustav upravljanja postavlja zahtjev da za zadani signal xR(t) ili z(t) greškaslijeđenja e(t) u stacionarnom stanju (t → ∞) ne prelazi zadani iznos. Na temelju togzahtjeva može se odrediti potreban red astatizma od Go, te često i pojačanje otvorenog krugaKo. Naime, teorem o graničnoj vrijednosti tvrdi:

e∞ = limt→∞ e(t) = lim

s→0sE(s) (3.15)

Sa sheme 3.1, te iz (3.6) proizlazi:

E(s) = XR(s)− Ym(s) = XR(s)− Y (s)−N(s) == XR(s)− (T (s)XR(s) + R(s)Z(s)− T (s)N(s))−N(s) == R(s)(XR(s)− Z(s)−N(s))

(3.16)

Budući da N(jω) uglavnom posjeduje visokofrekvencijske komponente, pri čemu je R(jω) ≈ 1,mjerni šum direktno se preslikava u spektar E(jω). Ulazi referentne veličine i smetnji imajuidentične učinke na E, pa za XR i Z koristimo zamjensku oznaku Xu:

E(s) = R(s)Xu(s) =1

1 + Go(s)Xu(s) (3.17)

Najinteresantniji su iznosi e∞ na pobude oblika Xu(s) = Xu0sr , r ≥ 1:

• r = 1 → xu(t) = Xu0S(t);

• r = 2 → xu(t) = Xu0tS(t);

• r = 3 → xu(t) = Xu0t2

2 S(t);

• . . .;

• r = r0 → xu(t) = Xu0tr0−1

(r0−1)!S(t).

Proračunajmo e∞ za općenite k, r ≥ 0:

e∞ = lims→0 sE(s) = lims→0 sXu0sr

skA(s)skA(s)+KoB(s)e−sTt

=

= Xu0 lims→0sk+1−r

Ko+sk

(3.18)

Tri su slučaja:

• k + 1 > r → e∞ = 0;

• k + 1 = r → e∞ = Xu0Ko

za k 6= 0, e∞ = Xu01+Ko

za k = 0;

• k + 1 < r → e∞ = ∞.

23


Primjer 3.1

Dan je proces prijenosne funkcije Gs kojim treba upravljati prema shemi 3.1 koristeći korek-cijski element GR(s):

Gs(s) =1

(s + 1)(s + 5). (3.19)

GR(s) =K

sp(3.20)

Odredite minimalni iznos p, a zatim minimalni K tako da stacionarna vrijednost regulacijskogodstupanja e∞ na pobudu oblika xR(t) = 3tS(t) bude manja od a) 2 i b) 1

4 . Signali poremećaja išuma, Z i N , neka su oba 0. Za oba slučaja prikažite sustav upravljanja uz odabrane minimalnep i K diferencijalnom jednadžbom uz xR kao ulaz sustava, a y kao izlaz. Diskutirajte uz kojepočetne uvjete y(0), y′(0), ... y(p+1)(0) je zahtijevano slijeđenje uz zadovoljenje uvjeta nastacionarno odstupanje moguće. Uz dobivene regulatore diskutirajte ispunjenje uvjeta (3.11)na Go sustava.

Rješenje:

Zapišimo najprije kako izgleda prijenosna funkcija otvorenog kruga Go(s):

Go(s) =K

sp(s + 1)(s + 5)=

K5

sp

115s2 + 6

5s + 1(3.21)

Iz potonjeg oblika Go vidi se da je, prema (3.12), k=p. S druge strane, Laplace-ova transfor-macija od xR je XR(s) = 3

s2 , pa time proizlazi da je r = 2. Budući da se za konačan iznose∞ zahtijeva k + 1 = p + 1 ≥ r, minimalni mogući iznos od p je:

p = r − 1 = 1. (3.22)

Uz k = 1, r = 2 slijedi za e∞:

e∞ =3K5

=15K

(3.23)

. Time za slučajeve a) i b) slijede minimalni iznosi K:

• a) K = Ka = 152 ;

• b) K = Kb = 60.

Prijenosna funkcija zatvorenog kruga s obzirom na XR glasi:

Gx(s) =Y (s)XR(s)

= T (s) =Go(s)

1 + Go(s)=

11K s3 + 6

K s2 + 5K s + 1

(3.24)

Diferencijalna jednadžba koja opisuje ovisnost y o xR za dani sustav upravljanja jednostavnose nalazi iz prijenosne funkcije Gx:

1K

d3y

dt3+

6K

d2y

dt2+

5K

dy

dt+ y = xR (3.25)

24


Odziv y(t) sustava upravljanja na pobudu xR(t) može se naći kao suma homogenog i partiku-larnog rješenja, yh i yp (str. 123. u [2], prirodni i forsirani odziv, tim redom):

y = yh + yp. (3.26)

Budući da Gx nema konačnih nula, jasno je da je (3.24) minimalna realizacija od Gx, te sesvi prirodni modovi sustava mogu pobuditi na ulazu i očitovati na izlazu sustava upravljanja.Neka su polovi sustava λ1, λ2 i λ3, i pretpostavimo da su svi međusobno različiti. Tada jehomogeno rješenje oblika:

yh(t) = C1eλ1t + C2e

λ2t + C3eλ3t (3.27)

Partikularno rješenje ili forsirani odziv za pobudu danu s xR(t) traži se u obliku:

yp(t) = a + bt, (3.28)

pri čemu se koeficijente a i b računa direktnim uvrštavanjem yp umjesto y u (3.25) (jer yp

mora zadovoljavati diferencijalnu jednadžbu):

5K

b + a + bt = 3t, (3.29)

te nakon izjednačavanja odgovarajućih potencija od t slijedi:

b = 35K b + a = 0 → a = −15

K

(3.30)

. Zanimljivo je da se iz koeficijenta a direktno može očitati i e∞, s invertiranim predznakom.Koeficijente C1, C2 i C3 nalazi se iz početnih uvjeta (y′′(0), y′(0), y(0)). Naime, kako pri-jenosna funkcija nema konačnih nula, početni uvjeti u 0− i 0+ sigurno su isti. Zasad, yglasi:

y(t) = C1eλ1t + C2e

λ2t + C3eλ3t + 3t− 15

K. (3.31)

Zapisom jednadžbi za početne uvjete, dolazi se do sljedećeg matrično zapisanog linearnogsustava jednadžbi [3] po C1, C2 i C3:

1 1 1λ1 λ2 λ3

λ21 λ2

2 λ23

C1

C2

C3

=

y(0) + 15K

y′(0)− 3y′′(0)

. (3.32)

Determinanta ovog sustava (kraće u matričnom zapisu AC = Y0) je oblika van der Mondeovedeterminante: ∣∣∣∣∣∣

1 1 1λ1 λ2 λ3

λ21 λ2

2 λ23

∣∣∣∣∣∣= (λ2 − λ1)(λ3 − λ1)(λ3 − λ2), (3.33)

koja je uz pretpostavku da su polovi različiti uvijek različita od nule. Stoga matrica A−1

postoji, te su njeni reci linearno nezavisni.

25


Slijeđenje je ostvareno samo kada su konstante Ci uz one modove λi za koje vrijedi Re(λi) ≥0 jednake 0. Neka odgovarajući Ci tvore vektor C+, dimenzije n+, a odgovarajući retci odA−1 neka tvore matricu A+. Svi mogući početni uvjeti Y0 uz koje će biti ostvareno slijeđenjerješenje su sljedeće matrične jednadžbe:

A+Y0 = 0. (3.34)

Primijetite da je Y0 ∈ Cn jer su elementi od A+ općenito kompleksni. Naravno, nama ćeod interesa biti samo oni Y0 sa čisto realnim komponentama. Ako je n dimenzija matrice A,onda je dimenzija prostora rješenja po Y0 (nul-potprostor matrice A+) dana točno s n− n+,jer su svi reci od A+ linearno nezavisni.

Za slučaj a) korijeni karakteristične jednadžbe su (naredba ’roots’ u Matlabu):

λ1a = −5.3256;λ2a = −0.3372 + 1.1378j;λ3a = −0.3372− 1.1378j.

(3.35)

Očito za sve λia vrijedi Re(λia) < 0, pa je dimenzija n+ = 0, a dimenzija početnih uvjeta uzkoje je slijeđenje moguće je n − n+ = 3 − 0 = 3, pa se za početni uvjet može uzeti bilo kojivektor [y(0)y′(0)y′′(0)] ∈ R3. Dakle, slijeđenje će biti ostvareno bez obzira na početne uvjete.Općenito, svi matematički su svi mogući početni uvjeti iz prostora C3, no kako je R3 ⊂ C3

naša je konstatacija ispravna.Za slučaj b) korijeni karakteristične jednadžbe su:

λ1b = −6.6152;λ2b = 0.3076 + 2.9959j;λ3b = 0.3076− 2.9959j.

(3.36)

U ovom slučaju n+ = 2, pa je dimenzija kompleksnih početnih uvjeta uz koje će slijeđenjebiti moguće jednaka 1. Nul-potprostor operatora A+ svi su početni uvjeti koji leže na pravcu

y(0) + 15K

y′(0)− 3y′′(0)

= c

0.0226− 0.0002j−0.1494 + 0.0012j0.9885− 0.0078j

, c ∈ C.

Nas zanima samo slučaj s realnim početnim uvjetima, a taj se događa za c = 0. Dakle jejedino za

y(0) + 15

Ky′(0)− 3y′′(0)

=

000

→

y(0)y′(0)y′′(0)

=

−1

430

slijeđenje moguće. Svaki infinitezimalno mali pomak početnih uvjeta iz te točke uzrokovao bida se izlaz sustava po svojim prirodnim modovima raspiri. Sustav s pojačanjem Kb je daklenestabilan i tehnički neupotrebljiv.

Za oba slučaja, a) i b), uvjet (3.11) na Go(jω) zadovoljen je na niskim i visokim frekvenci-jama, no iz primjera se vidi da to svakako nije jedini uvjet kojeg tehnički upotrebljivi sustavupravljanja treba zadovoljiti.

26


ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 3.1

Za svaki od sljedeća tri signala xR sa slike 3.1 dana u Laplaceovom području;

1. XR(s) = 5s ,

2. XR(s) = 5s2 i

3. XR(s) = 5s3

odredite korekcijski član GR(s) minimalnog reda u brojniku i nazivniku te mu pridijelite para-metre, tako da stacionarno regulacijsko odstupanje bude manje od 0.1. Proces je dan s:

Gs(s) =s + 1s + 4

.

Za sva tri slučaja nađite odzive sustava upravljanja na jediničnu skokovitu pobudu, uz nultepočetne uvjete u procesu. Pojedinačno za sva tri slučaja raspravite je li slijeđenje neovisno opočetnim uvjetima u sustavu upravljanja?

27

Poglavlje 4

Stabilnost linearnih kontinuiranihsustava

Linearni vremenski nepromjenjivi sustav upravljanja prijenosne funkcije

Gcl(s) =Bcl(s)Acl(s)

(4.1)

je stabilan ako su realni dijelovi svih nul-točaka od Acl(s) (polovi od Gcl(s)) strogo negativni.Kriteriji kojima se određuje stabilnost ovih sustava dijele se na algebarske i frekvencijske.

Prikladni algebarski kriterij stabilnosti za upotrebu pri "ručnim" proračunima za sustavedo otprilike reda 4 je Hurwitzov kriterij [2], [1]. Da bi ga se primijenilo, svakako prvo trebanaći polinom Acl(s):

Acl(s) = ansn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0. (4.2)

Sve su nul-točke polinoma Acl(s) u lijevoj poluravnini s-ravnine, odnosno sustav Gcl(s) jestabilan prema Hurwitzovom kriteriju ako:

• ai > 0, ∀ i;

28

4. STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA

• sljedećih n− 1 determinanti su pozitivne:

D1 = a1 > 0,

D2 =∣∣∣∣

a1 a0

a3 a2

∣∣∣∣ > 0,

D3 =

∣∣∣∣∣∣

a1 a0 0a3 a2 a1

a5 a4 a3

∣∣∣∣∣∣> 0,

...

Dn−1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 a0 . . . 0

a3 a2 . . ....

......

. . ....

0 0 . . . an−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

> 0.

(4.3)

Determinanta Di stvara se na način da se u prvi stupac upiše prvih i koeficijenata polinomaAcl s neparnim indeksima počevši od a1. Potom se svaki redak dopuni redom po padajućimindeksima do a0, a elementi desno od a0 u dotičnom se retku pune s nulama. Prirodno seumjesto ak za k > n upisuju nule.

Najčešće korišteni frekvencijski kriterij stabilnosti je Nyquistov kriterij. Kod Nyquistovogkriterija upotrebljava se prijenosna funkcija otvorenog kruga Go(s) (poglavlje 3) za provjerustabilnosti zatvorenog sustava upravljanja prijenosne funkcije Gcl(s). Go(s) je dano s

Go(s) =B(s)A(s)

, (4.4)

pri čemu je B(s) polinom brojnika, a A(s) polinom nazivnika od Go. Polovima zatvorenogkruga odgovaraju nultočke funkcije 1 + Go(s):

1 + Go(s) = 1 +B(s)A(s)

=A(s) + B(s)

A(s). (4.5)

Vrijedi sljedeći teorem o argumentu [4].

Teorem 4.1. Neka je G(s) : S → C∞ = C ∪ ∞ analitička funkcija na nekom S ⊂ C∞.Neka je Γ ⊂ S kontura koja ne prolazi niti jednom nultočkom niti polom od G osim eventualnou ∞. Neka Γ ne obuhvaća bitno singularne točke1 od G, a sp1, sp2, . . . , spq neka su svi onikonačni polovi od G reda p1, p2, . . . pq, tim redom, te neka su sn1, sn2, . . . snr sve one konačnenultočke od G kratnosti n1, n2, . . . nr, tim redom, koji su obuhvaćeni konturom Γ. Za promjenuargumenta od G(s) pri punom obilasku sa s po konturi Γ u smjeru kazaljke na satu (površinaobuhvaćena konturom ostaje s desne strane), ∆Γ arg G(s), vrijedi sljedeće:

12π

∆Γ arg G(s) =q∑

k=1

pk −r∑

j=1

nj = P −N, (4.6)

1Kod razlomljeno racionalnih funkcija kompleksne varijable, eventualno s transcendentnom funkcijom kojuunosi element kašnjenja takav se tip singularne točke ne pojavljuje.

29


pri čemu P označava ukupan broj polova unutar konture Γ uzetih s pripadnim redovima, a Nukupan broj nultočaka unutar konture Γ uzetih s pripadnim kratnostima.

Dodatno, ako se na željenoj konturi Γ baš nalazi neka konačna nultočka ili pol od G,potrebno ju je zaobići u infinitezimalno malom luku, ili sa strane da ta točka uđe u unutrašnjostkonture Γ, ili sa strane da ona ne uđe. Mi ćemo to uvijek raditi na način da kontura zaobiđete točke na način da one ne uđu u unutrašnjost konture. Za takve je točke nužno promatratišto se događa kad se u limesu približuju konturi Γ.

Neka su polovi i nule prijenosne funkcije G općenito raspoređeni kako je dano na slici 4.1.Za konturu Γ odabire se baš imaginarna os u smjeru rastućih frekvencija, te zatvaranje preko

σ

jωravninas −

pol

nula

Γ

→ ∞

→ ∞

→ ∞

+Γ

−Γ

∞Γ

Slika 4.1: Prikaz polova i nula od G i odabir konture Γ.

∞ kako bi se konturom obuhvatila cijela desna poluravnina s-ravnine. Neka se preslikavanjemG po konturi Γ dobije krivulja G(Γ) prikazana na slici 4.2. Promjena argumenta ∆Γ arg G jed-naka je promjeni argumenta radij-vektora između ishodišta i točaka na G(Γ) pri obilasku cijelekrivulje u smjeru određenom smjerom na konturi Γ. Krivulju Γ treba pratiti u 3 segmenta:na pozitivnoj i negativnoj poluosi, Γ+ i Γ−, te na zakretu s faze π

2 u −π2 u beskonačnosti,

Γ∞:∆Γ arg G = ∆Γ+ arg G + ∆Γ∞ arg G + ∆Γ− arg G. (4.7)

Promjena argumenta u beskonačnosti bitna je uvijek ako G završava u beskonačnosti, a bitnaje i za slučaj ako G završava za s = ∞ u nuli samo za slučaj kada se početak radij-vektora nakojem promatramo argument definira u nuli (vidjet ćemo da za slučaj promatranja argumenta

30


( )G Γ( )Im G s

( )Re G s

( )arg 2G P NπΓ∆ = −

( ) 1G Γ +

1−

radij-vektor

promjena argumenta

radij-vektora:

( )

( )

za arg 1

promatra se promjena

argumenta radij-vektora

između (-1,0 ) i

G

j G

Γ∆ +

Γ

0ω = ω = ±∞0

Slika 4.2: Prikaz G(Γ) i G(Γ) + 1.

od G(Γ) + 1 pomoću G(Γ) početak radij-vektora nije u nuli). Naime, upravo točka s = ∞često bude višestruka nula, odnosno pol prijenosne funkcije, pa se na njoj može dogoditi skoku argumentu, kojeg se ne vidi na Nyquistovom dijagramu, ali matematički u izračunu onzaista opstoji.

Uvjerimo se da teorem 4.1 vrijedi za G(Γ) s naznačenim polovima i nulama sa slike 4.1.Naime, krenuvši od početka G(Γ+) (odgovara slici ishodišta s-ravnine) i krečući se po Γ usmjeru slika rastućih frekvencija ω, argument radij-vektora pada od −π do −3π

2 . Dakle je:∆Γ+ = −π

2 . Koliki je ∆Γ∞ za ovaj slučaj? Za odgovor na ovo pitanje, moramo pogledatikoliko konačnih nula i polova G ima, što je vidljivo na slici 4.1: ukupni red svih konačnihpolova je 7, a ukupna kratnost svih konačnih nula 4. Dakle, prijenosna je funkcija oblika:

G(s) =s4 + . . .

s7 + . . ., (4.8)

te uvrštavanjem s = Rejϕ kada R →∞ dobivamo:

limR→∞

G(R, ϕ) = limR→∞

1R3

e−j3ϕ, (4.9)

pa se dakle pri promjeni argumenta ϕ od početnih π2 , gdje je arg G(∞, π

2 ) = −3π2 , do krajnjih

−π2 , gdje je arg G(∞,−π

2 ) = 3π2 , argument od G mijenja ovako:

∆Γ∞ arg G = G(∞,−π

2)−G(∞,

π

2) =

6π

2= 3π. (4.10)

31


Doprinos promjene argumenta od Γ− uvijek je jednak kao i onaj kod Γ+, jer su krivuljeG(Γ+) i G(Γ−) međusobno simetrične s obzirom na os Re[G(s)]. Dakle je ukupna promjenaargumenta prema 4.7:

∆Γ arg G = 2(−π

2) + 3π = 2π. (4.11)

Vidimo da isti rezultat slijedi i iz teorema 4.1, jer je razlika broja polova i nula od G u desnojpoluravnini, P −N , upravo jednaka 1.

Izloženi se teorem u provjeravanju stabilnosti zatvorenog kruga upravljanjaGcl(s) na temeljuotvorenog kruga Go(s) koristi na sljedeći način. Prema 4.5, sve nule od 1 + Go(s), odnosnood A(s) + B(s), jedini su polovi prijenosne funkcije Gcl(s). Nađe li se promjena argumentaod 1 + Go(s), pri kretanju s po Γ, uz poznati broj polova od 1 + Go(s), tj. nultočki od A(s),lako se prema toeremu o argumentu (teorem 4.1) primijenjenom nad 1 + Go(s) nalazi i brojnula od 1 + Go(s) u desnoj poluravnini, tj. broj nultočki od A(s) + B(s). Naravno, kakoje već navedeno, za stabilnost zatvorenog sustava upravljanja taj broj mora biti 0 jer su toupravo polovi zatvorenog kruga u desnoj poluravnini s-ravnine. Promotrimo opet sliku 4.2. Unjoj je uz G(Γ) ucrtana i krivulja G(Γ) + 1 čija se promjena argumenta promatra na jednakinačin kao i promjena argumenta G(Γ), pripadnim radij-vektorom. No, umjesto da se crtaG(Γ) + 1 i promatra kruženje radij-vektora oko ishodišta, kruženje tog radij vektora može setočno reproducirati radij-vektorom čiji je početak u točki (-1,j0), a kraj na G(Γ) (slika 4.2).Točka (−1, j0) često se naziva i kritična točka, jer broj okruženja spomenutog radij-vektoraoko nje pri promjeni s duž Γ bit će direktno povezan sa stabilnošću zatvorenog kruga. Vrijedisljedeći Nyquistov kriterij stabilnosti:Promatramo okruženja kritične točke (-1,j0) u smjeru obrnutom od kazaljke na satu (smjer

rastućeg argumenta) radij-vektorom čiji je početak u toj točki, a kraj se pomiče po krivulji Go(Γ)pri promjeni frekvencije duž cijele krivulje Γ. Ako je njihov broj jednak broju polova prijenosnefunkcije otvorenog kruga u desnoj poluravnini, sustav je stabilan. Inače je nestabilan.

Za razmatrani slučaj sa slika 4.1 i 4.2, broj okruženja kritične točke (-1,j0) pri promjenifrekvencije od −∞ do∞ je jednom u smjeru kazaljke na satu, dakle -1 put u smjeru obrnutomod kazaljke na satu. Broj polova od G, pa i od 1 + G u desnoj poluravnini je 2, dakle ćebroj nula u desnoj poluravnini od 1+G odnosno polova zatvorenog sustava prema teoremu oargumentu biti N = 3, pa će sustav dobiven zatvaranjem G u zatvorenu petlju biti nestabilan.

Primijetimo dodatno da prolaz krivulje Go(Γ) točno kroz kritičnu točku upućuje da za nekufrekvenciju ω vrijedi Go(jω) + 1 = 0, tj. da je jω upravo pol zatvorenog kruga. Sustav jetada, dakle, u najmanju ruku, na rubu stabilnosti.

Specijalan slučaj Nyquistovog kriterija stabilnosti je onaj kod kojeg Go ne posjeduje poloveu desnoj poluravnini. Pritom je onda nužno da pripadni radij-vektor oko točke (−1, j0) nenapravi niti jedno okruženje krečući se po Go(Γ), a to drugim riječima znači da točka (−1, j0)ne smije biti obuhvaćena krivuljom Go(Γ).

Primjer 4.1

Na slici 4.3 prikazan je regulacijski krug. Hurwitzovim i Nyquistovim kriterijem odrediteinterval vrijednosti pojačanja K za koje je prikazani regulacijski krug stabilan.

32


( )1

1

s

s s

−+

3

K

s +

+

-

( )RX s ( )Y s

Slika 4.3: Regulacijski krug.

Rješenje:

Primjena Hurwitzovog kriterija. Kod utvrđivanja stabilnosti Hurwitzovim kriterijem, prvotreba izračunati karakteristični polinom (nazivnik prijenosne funkcije zatvorenog kruga). Karak-teristični polinom Acl(s) glasi:

Acl(s) = s3 + 4s2 + (3−K)s + K = a3s3 + a2s

2 + a1s + a0 .

Nužan uvjet Hurwitzovog kriterija je da svi koeficijenti uz potencije varijable s moraju bitistrogo pozitivni: K > 0 i K < 3. Dovoljan uvjet dobije se rješavanjem Hurwitzovih determi-nanti koje moraju biti također strogo pozitivne:

H1 = a2 = 4 > 0

H2 =∣∣∣∣

a2 a0

a3 a1

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

4 K1 3−K

∣∣∣∣ = 12− 5K > 0 ⇒ K <125

H3 =

∣∣∣∣∣∣

a2 a0 0a3 a1 00 a2 a0

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

4 K 01 3−K 00 4 K

∣∣∣∣∣∣= (12− 5K)K > 0 ⇒ K ∈ (0,

125

)

Slijedi, dakle, da je raspon pojačanja uz koje je razmatrani regulacijski krug stabilan: K ∈(0, 12

5 ).Primjena Nyquistovog kriterija. Kod Nyquistovog kriterija stabilnost zatvorenog sustava

upravljanja određujemo pomoću Nyquistovog dijagrama prijenosne funkcije otvorenog krugaGo(s). Ona glasi:

Go(s) =K(1− s)

s(s + 1)(s + 3)=

K

31− s

s(1 + s)(1 + s3)

.

Da bismo skicirali pripadni Nyquistov dijagram, najbolje je krenuti od pripadnog Bodeovogdijagrama, gdje se zasebno jednostavnim pravilima iscrtavaju posebno amplitudna, posebnofazna karakteristika, pa ih se potom "spoji" zajedno u kompleksnoj ravnini u Nyquistovdijagram. Najčešće je dovoljno naći kako se krivulja ponaša u okolini točaka ω = 0−, ω = 0+i ω = ±∞. Karakteristične točke krivulje, poput mjesta presjecišta s imaginarnom osi ipripadne frekvencije, koje su važne za utvrđivanje broja zaokruženja kritične točke, ionako setijekom proračuna analitički nalaze. No, svakako je važno skicirati smjer krivulje i zatvoritiju na valjani način. Za K > 0 slijedi:

33


• ω = 0+ → |Go(jω)| = ∞, arg(Go(jω)) = −π2 , dodatno se može proračunati nalaženjem

realnih i imaginarnih dijelova od Go da je limω→0 Re[Go(jω)] = −7K9 ;

• ω = ±∞→ |Go(jω)| = 0, arg(Go(jω)) = −2π, primijetite da nam sada nije interesantnookruženje točke 0 u slici Go(±j∞), jer u 0 nije početak radij-vektora kojim promatramozaokruženja;

• iz pripadnog se Bodeovog dijagrama može uočiti da faza i amplituda u raspona frekven-cija ω ∈ (0,∞) neprestano padaju;

• promjena iz ω = 0− u ω = 0+ → uz s = jω = jRejϕ za Go u okolici nule glasi:

limR→0

Go(R,ϕ) =K

3Re−jϕ,

stoga se pri prijelazu kroz 0 u smjeru zadanom krivuljom obilaska (0− → ϕ = −π2 →

arg(Go) = π2 prema 0+ → ϕ = π

2 → arg(Go) = −π2 ) arg(Go) mijenja za −π (kruženje u

smjeru padajućeg argumenta (smjer kazaljke na satu));

Iz upravo navedenih razmatranja, može se zaključiti da Nyquistov dijagram za K > 0 izgledakako je dano na slici 4.4. Za ovakav Nyquistov dijagram sustav će biti stabilan, po Nyquistovu

[ ]Re ( )oG jw

[ ]Im ( )oG jw

0w Æ +

pw w= ±

7

9

K-

0w Æ -

w Æ ±•

R Æ•

Slika 4.4: Nyquistov dijagram.

kriteriju, ako i samo ako je broj zaokruženja oko kritične točke radij-vektora s početkomu kritičnoj točki, a vrhom na Nyquistovoj krivulji, kad se frekvencija mijenja od −∞ do∞, jednak broju nestabilnih polova otvorenog kruga. No, broj nestabilnih polova prijenosnefunkcije otvorenog kruga je 0, pa toliki mora biti i broj zaokruženja ako želimo da sustav budestabilan. Iz prikazanog Nyquistovog dijagrama proizlazi da će broj spomenutih zaokruženjabiti potrebnih 0 kada kritična točka ostane lijevo od presjecišta Nyquistove karakteristike inegativne realne osi. U protivnom, broj zaokruženja radij vektora oko kritične točke bit će−2 te ćemo imati za 1 + Go da je P − N = −2, tj. uz P = 0 da je N = 2. PresijecanjeNyquistove krivulje i negativne realne osi zbiva se pri frekvenciji ωπ, koja se nalazi na način:

arg Go(jωπ) = −π

2− arctanωπ − arctan

ωπ

3− arctanωπ = −π.

34


Dvama uzastopnim primjenama relacije za zbroj funkcija arctan

arctanx + arctan y = arctanx + y

1− xy, (4.12)

dolazi se do sljedeće relacije:

arctan−ω3

π + 7ωπ

3− 5ω2π

=π

2→

→ 3− 5ω2π = 0 → ωπ =

√35.

Prema gore izloženom, zahtijevamo za K > 0:

|Go(jωπ)| = K

3

√1 + ω2

π√ωπ(1 + ω2

π)(1 + ω2π9 )

< 1 →

→ K < 3ωπ

√1 +

ω2π

9= 3

√35

√4845

=3√

3√

16 · 3√5√

5 · 9 =125

.

Što se događa za K < 0? Nyquistov dijagram je samo dodatno zarotiran za−π zbog doprinosapredznaka od K fazi. No, primijetite da u tom slučaju za bilo koju vrijednost |K| uvijekpostoji zaokruženje Nyquistove krivulje oko kritične točke, pa je sustav nužno nestabilan.Ostaje dakle jedino:

K ∈ (0,125

),

baš kao što je dao i Hurwitzov kriterij. Ovi kriteriji uvijek daju isti rezultat, jer odgovarajuna dva načina na isto pitanje: "Je li zatvoreni sustav upravljanja stabilan?".

Primjer 4.2

Za sustav prikazan na slici 4.5 potrebno je koristeći Nyquistov kriterij stabilnosti, odreditipodručje parametra K pri kojem svi polovi zatvorenog regulacijskog kruga imaju realni diomanji od −1 (šrafirano područje na slici 4.6).

)3)(2)(1(1

+++ sssK+ −

)(sX )(sY

Slika 4.5: Zatvoreni regulacijski krug

Rješenje:

Budući da se desno od pravca s = −1 u kompleksnoj s-ravnini ne smije nalaziti niti jedan polprijenosne funkcije, iskoristit ćemo teorem o argumentu i izloženi Nyquistov kriterij stabilnosti

35


σ

jω

1−

Slika 4.6: Dozvoljeno područje polova zatvorenog kruga

da nađemo u kojem se području koeficijent pojačanja K mora nalaziti. Naime, zaokruženjepo sljedećoj konturi Γ od Go ne smije sadržavati niti jednu nulu od 1 + Go (pol od Gcl):

Γ+ =s = −1 + jω ∈ C∞ : ω ∈ R+ ∪ 0 ,

Γ∞ =∞ : arg ∈ [

π

2,−π

2]

,

Γ− =s = −1 + jω ∈ C∞ : ω ∈ R−

,

Γ = Γ+ ∪ Γ∞ ∪ Γ−.

Kontura Γ za ovaj je primjer ilustrirana slikom 4.7. Budući da se niti jedan pol od Go ne nalazi

s

jw

0

1-

područje u kojem se

smiju nalaziti polovi

+

G •

G

-

G

Slika 4.7: Prikaz konture Γ.

unutar konture Γ, po teoremu o argumentu točka (−1, j0) niti jednom se ne smije okružitis Go(Γ), pa se niti jedna nula od 1 + Go(s), tj. pol zatvorenog sustava, neće naći desno odΓ+ ∪ Γ−, tj. u nedozvoljenom području. Označimo:

Go(Γ)|ω = Go(−1 + jω) = G′(s)|s=jω =K2

jω(1 + jω)(2 + jω)

36


Dakle, praktički crtamo Nyquistov dijagram za G′(jω) koji sasvim odgovara funkciji Go(Γ) =Go(−1 + jω).2 Za slučaj K > 0 on izgleda kako je dano na slici 4.8. U duhu rasprave o

R Æ•

0w Æ +

0w Æ -

w Æ ±•[ ]Re '( )G jw

[ ]Im '( )G jw

3

4

K-

( )G +

G

( )G -

G

pw w= ±

Slika 4.8: Nyquistov dijagram za G′(jω) uz K > 0.

argumentu, treba vidjeti kako na oblik Go(Γ) bitno utječe pol koji se nalazi tik do Γ (pol u−1), ali izvan konture. Kada ω → 0, G′(jω) postaje, uz jω = Rejϕ:

limR→0

G′(jω) =K

2Re−jϕ,

pa je za R → 0 uz ϕ = −π2 faza veća nego uz ϕ = π

2 . Dakle, prolaskom kroz 0 u smjeru kontureΓ i promjenom faze iz negativne u pozitivnu argument od G(Γ) mijenja se za −π (kretanjeargumenta u smjeru kazaljke na satu, vidi sliku!), te uz odgovarajući raspon pojačanja K neobuhvaća točku (−1, j0) zdesna.3

2Alternativno, možemo reći da tražimo interval pojačanja K, uz koje je zatvoreni krug s prijenosnomfunkcijom otvorenog kruga G′(s) stabilan. Dakle, ostatak zadatka bi se u tom slučaju sveo baš na analizustabilnosti, ne nužno po Nyquistovu kriteriju.

3Preptostavka na iznose ϕ u okolici nule navedena je za slučaj kada pol u −1 slijeva teži konturi Γ naslici 4.7. Kad pol u −1 teži zdesna konturi Γ, tj. kad se nalazi unutar konture, kut ϕ u Rejϕ mijenja seod −π

2do −3π

2, pa je promjena argumenta od G′(Γ) prolaskom Γ tik uz pol u −1 u smjeru konture s π

2

37


Dakle, uz K > 0, sve su vrijednosti od K prihvatljive dok god Nyquistov dijagram neobuhvati kritičnu točku. To će se dogoditi za |G′(jωπ)| ≥ 1, pri čemu frekvencija ωπ odgovarafrekvenciji na kojoj je arg G′ = −π. Iz potonje jednakosti nađimo frekvenciju ωπ:

arg G′(jωπ) = −π

2− arctanωπ − arctan

ωπ

2= −π →

→ arctanωπ + arctanωπ

2=

π

2.

Iz formule za zbroj dviju funkcija arctan, relacija (4.12), slijedi:

arctan32ωπ

1− ω2π2

=π

2→

→32ωπ

1− ω2π2

= ∞→

→ ωπ =√

2.

Za K > 0 prihvatljivi su K za koje vrijedi:

∣∣G′(jωπ)∣∣ =

K2

ωπ

√(1 + ω2

π)(1 + ω2π4 )

≤ 1 →

→ K ≤ 6.

Što će biti kad su pojačanja negativna (K < 0)? Negativni predznak pojačanja promijenit ćeNyquistov dijagram sa slike 4.8 utoliko što će sve biti zarotirano za kut −π. U tom slučajuće pripadni Nyquistov dijagram uvijek obuhvaćati kritičnu točku, pa su dakle polovi uvijek unedozvoljenom području. Dakle, rješenje je:

K ∈ (0, 6).

ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 4.1

Za regulacijski sustav prikazan na slici 4.9 potrebno je primjenom Hurwitzovog kriterija sta-bilnosti odrediti interval vrijednosti pojačanja KR za koje je prikazani sustav stabilan.

Zadatak 4.2

Za sustav upravljanja s mrtvim vremenom (vidi sliku 4.10) potrebno je primjenom Nyquistovogkriterija stabilnosti odrediti interval vrijednosti mrtvog vremena Tt za koji je sustav stabilan.Zadano je: K = 5, T1 = 10[s]

na 3π2. Nyquistov dijagram sa slike 4.8 promijenio bi se samo utoliko što bi krivulja G′(jω) u ∞ prolazila

drugim pa trećim kvadrantom, u smjeru porasta argumenta. Sad bismo za ispunjenje uvjeta zadatka, prematoeremu o argumentu, tražili jedno okruženje točke (−1, j0) s G′(Γ) u smjeru kazaljke na satu, jer kontura Γsada obuhvaća točno jedan pol od G′. Tako bi opet broj nula od 1 + G′ obuhvaćenih konturom Γ bio 0 zaodgovarajući raspon od K.

38


-±°²¯

- KR- −1 · 7s2 − 3s

(s + 0.5)2(2s + 3)-

6

yR y+

-

Slika 4.9: Regulacijski sustav.

-±°²¯

- K - 1 + T1ss2

-

kašnjenje Tt

6

yR y+

-

Slika 4.10: Regulacijski sustav s mrtvim vremenom.

Zadatak 4.3

Zadan je proces

G(s) =s− 1

(s + 3)(s + 4)

kojeg želimo upravljati PI regulatorom prema shemi na slici 4.11. Nađite koje sve uvjete trebaju

1 IR

I

sTK

sT

+ ( )G sRy +

−

y

Slika 4.11: Blokovska shema upravljanja.

zadovoljiti parametri PI regulatora da bi zatvoreni sustav upravljanja bio stabilan. Predložiteizbor parametra KR da sustav bude stabilan kada je TI = 0.5 s.

39

Poglavlje 5

Krivulja mjesta korijena

Mijenjanjem jednog parametra regulacijskog kruga mijenjaju se položaji korijena karakteris-tične jednadžbe zatvorenog regulacijskog kruga u s - ravnini. Na taj način korijeni opisujuputanju u s - ravnini koja se naziva krivuljom mjesta korijena zatvorenog regulacijskogkruga. Na temelju izgleda krivulje mjesta korijena zaključuje se o stabilnosti zatvorenog reg-ulacijskog kruga te o “relativnoj" stabilnosti na temelju udaljenosti polova od imaginarneosi s - ravnine. Najčešće se kao promjenjiv parametar regulacijskog kruga uzima pojačanjeko otvorenog regulacijskog kruga. Pretpostavimo da je prijenosna funkcija otvorenog regu-lacijskog kruga Go(s) razlomljena racionalna funkcija oblika:

Go(s) = ko(s− sN1)(s− sN2)...(s− sNm)(s− sP1)(s− sP2)...(s− sPn)

= koB(s)N(s)

= ko ·G(s), (5.1)

gdje su sNµ za µ = 1, ...,m nule prijenosne funkcije, a sPν za ν = 1, ..., n polovi prijenosnefunkcije. Pojačanje ko uvijek se uzima kao pozitivan broj, a brojnik prijenosne funkcije raz-matra se u dva slučaja: moničan

polinom jestpolinomkoji imakoeficijent 1uz član snajvećompotencijom

i) B(s) je moničan polinom;

ii) −B(s) je moničan polinom.

Iz karakteristične jednadžbe zatvorenog regulacijskog kruga (5.2), odnosno (5.3), određuju seamplitudni (5.4) i fazni uvjet (5.5) za određivanje krivulje mjesta korijena.

1 + k0G(s) = 0 (5.2)G(s) = − 1

k0(5.3)

|G(s)| = 1k0

(5.4)arg[G(s)] = 180(2k − 1), za k = 1, 2, 3, ... (5.5)

Sve točke kompleksne ravnine koje zadovoljavaju fazni uvjet predstavljaju geometrijsko mjestosvih mogućih polova zatvorenog regulacijskog kruga (KMK), dok amplitudni uvjet daje infor-maciju o pojačanju ko u pojedinim točkama KMK. Iz amplitudnog i faznog uvjeta izvedena

40

5. KRIVULJA MJESTA KORIJENA

su opća pravila za približno crtanje krivulje mjesta korijena koja su navedena u primjerimagdje su i primijenjena.

Primjer 5.1

Za sustav zadan slikom 5.1 skicirati krivulju mjesta korijena kada se K mijenja od nule doneizmjerno.

-±°²¯

- 10s + 110s

- Ks

(10s + 1)(s + 1)2-

6

yR y+

-

u

GR(s) G(s)

Slika 5.1: Regulacijski sustav s PI-regulatorom.

Rješenje:

Polazište za određivanje KMK jest prijenosna funkcija otvorenog kruga:

Go(s) = Ks10s + 1

10s(10s + 1)(s + 1)2. (5.6)

Prijenosnu funkciju svodimo na oblik prema 5.1:

Go(s) = kos + 1

10

s(s + 110)(s + 1)2

, (5.7)

pri čemu je ko = Ks10 > 0. Iz oblika prijenosne funkcije (5.7) vidimo da je brojnik B(s) moničan

polinom. Primjenom sljedećih pravila moguće je približno skicirati KMK:

• izračunati nule prijenosne funkcije Go(s) i označiti ih s ”o“ u s - ravnini:m je brojnula Go(s)

m = 1,

sN1 = − 110

;

• izračunati polove prijenosne funkcije Go(s) i označiti ih s ”x“ u s - ravnini:n je brojpolovaGo(s)

41


n = 4,

sP1 = 0,

sP2 = − 110

,

sP3 = −1,

sP4 = −1;

• točka na realnoj osi s = σ + j0 pripada KMK ako je ukupan broj nula i polova desnood nje neparan:

σ ∈ 〈−∞, 0] ;

• m grana KMK koje počinju u polovima otvorenog regulacijskog kruga završavaju unulama regulacijskog kruga, a n−m grana KMK preostalih polova teže u ∞:

n−m = 3;

• izračunati točku težista korijena, koja je sjecište n−m grana, prema:

σa =1

n−m

n∑

ν=1

Re(sPν)−m∑

µ=1

Re(sNµ)

, (5.8)

σa =13

(0− 1

10− 1− 1)− (− 1

10)

= −23;

• odrediti i ucrtati u s - ravninu asimptote n − m grana kao polupravce s početkom utočki težista korijena i pod kutem računanog prema:

αk =180(2k − 1)

n−m, k = 1, 2, ..., n−m , (5.9)

α1 =1803

= 60,

α2 =3 · 180

3= 180,

α3 =5 · 180

3= 300 = −60;

42


• između dva pola/nule na dijelu realne osi koji pripada KMK nalazi se barem jedna točkagrananja/sjedinjenja s = σv određena prema:

n∑

ν=1

1s− sPν

=m∑

µ=1

1s− sNµ

(5.10)

1s

+1

s + 110

+1

s + 1+

1s + 1

=1

s + 110

σv = −13, σv ∈ KMK −→ točka grananja

• odrediti i označiti u s - ravnini izlazne kutove φI iz polova te ulazne kutove φU u nuleotvorenog regulacijskog kruga prema:

rPi i rNi sukratnostipola Pi tenule Ni

φI,k(sPi) =1

rPi

m∑

µ=1

](sPi − sNµ)−n∑

ν = 1ν 6= i

](sPi − sPν) + 180(2k − 1)

, k = 1, ..., rPi ,(5.11)

φU,k(sNi) =1

rNi

n∑

ν=1

](sNi − sPν)−m∑

µ = 1µ 6= i

](sNi − sNν) + 180(2k − 1)

, k = 1, ..., rNi ,(5.12)

φI(sP1) = 0− (0 + 0 + 0) + 180 = 180,φI(sP2) = 0− (180 + 0 + 0) + 180 = 0,

φI,1(sP3) =12(180− (180 + 180 + 0) + 180) = 0,

φI,2(sP4) =12(180− (180 + 180 + 0) + 3 · 180) = 180 = 0,

φU (sN1) = 180 + 0 + 0 + 0 + 180 = 360 = 0.

Egzaktan prikaz KMK dan je na slici 5.2.

Primjer 5.2

Za regulacijski sustav prikazan slikom 5.3 skicirati krivulju mjesta korijena kada se |KR|mijenja od nule do neizmjerno.

Rješenje:

Skiciranje KMK podijelit ćemo na dva slučaja:

43


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

sP3

s

P4

sP2

sP1

σa

sN1

σv

k0=1.98

k0=1.98

k0=0.148

Slika 5.2: Rješenje primjera 1.

-±°²¯

- KR-−1 · s2 − s

(s + 1)2(s + 2)-

6

yR y+

-

Slika 5.3: Regulacijski sustav.

44


i) KR ≥ 0

ii) KR ≤ 0

Prijenosna funkcija otvorenog kruga za slučaj i) je oblika:

Go(s) = KR−s(s− 1)

(s + 1)2(s + 2)= KR

B(s)N(s)

. (5.13)

Iz oblika prijenosne funkcije (5.13) vidimo da je polinom −B(s) moničan pa vrijede neštodrugačija pravila za skiciranje KMK:

• izračunati nule prijenosne funkcije Go(s) i označiti ih s ”o“ u s - ravnini:

m = 2,

sN1 = 0,

sN2 = 1;

• izračunati polove prijenosne funkcije Go(s) i označiti ih s ”x“ u s - ravnini:

n = 3,

sP1 = −1,

sP2 = −1,

sP3 = −2;

• točka na realnoj osi s = σ + j0 je KMK ako je ukupan broj nula i polova desno od njeparan:

σ ∈ [−2, 0] ∪ [1,∞〉 ;

• m grana KMK koje počinju u polovima otvorenog regulacijskog kruga završavaju unulama regulacijskog kruga, a n−m grana KMK preostalih polova teže u ∞:

n−m = 1;

45


• izračunati točku težista korijena, koja je sjecište n−m grana, prema izrazu (5.14):

σa =1

n−m

n∑

ν=1

Re(sPν) +m∑

µ=1

Re(sNµ)

, (5.14)

σa = (−1− 1− 2) + (0 + 1) = −3;

• odrediti i ucrtati u s - ravninu asimptote n − m grana kao polupravce s početkom utočki težista korijena i kutom računanog prema:

αk =180 · 2k

n−m, k = 1, 2, ..., n−m , (5.15)

α1 = 0;

• između dva pola/nule na dijelu realne osi koji pripada KMK nalazi se barem jedna točkagrananja/sjedinjenja s = σv određena prema:

1s + 1

+1

s + 1+

1s + 2

=1s

+1

s− 1,

σv1 = 4.2899, σv1 ∈ KMK −→ točka sjedinjenja,

σv2 = −1.5842, σv2 ∈ KMK −→ točka grananja,

σv3 = 0.2943, σv2 ∈/ KMK;

• odrediti i označiti u s - ravnini izlazne kutove φI iz polova te ulazne kutove φU u nuleotvorenog regulacijskog kruga prema:

46


φI,k(sPi) =1

rPi

m∑

µ=1

](sPi − sNµ)−n∑

ν = 1ν 6= i

](sPi − sPν) + 180 · 2k

, k = 1, ..., rPi ,(5.16)

φU,k(sNi) =1

rNi

n∑

ν=1

](sNi − sPν)−m∑

µ = 1µ 6= i

](sNi − sNν) + 180 · 2k

, k = 1, ..., rNi ,(5.17)

φI,1(sP1) =12(180 + 180− (0 + 0) + 360) = 0,

φI,2(sP2) =12(180 + 180− (0 + 0) + 2 · 360) = 180,

φI(sP3) = 180 + 180− (180 + 180) + 360 = 0,φU (sN1) = 0 + 0 + 0− 180 + 360 = 180,φU (sN2) = 0 + 0 + 0− 0 + 360 = 0.

Egzaktan prikaz KMK za slučaj i) dan je na slici 5.4.Prijenosna funkcija otvorenog kruga za slučaj ii):

Go(s) = Ks(s− 1)

(s + 1)2(s + 2)= K

B(s)N(s)

, (5.18)

gdje je K = −KR ≥ 0. Prema izrazu (5.18) polinom B(s) je moničan pa vrijede pravilaizložena u prvom primjeru za skiciranje KMK. Navedena su samo ona pravila koja se razlikujuod onih primijenjenih u slučaju i):

• točka na realnoj osi s = σ + j0 je KMK ako je ukupan broj nula i polova desno od njeneparan:

σ ∈ 〈∞,−2] ∪ −1 ∪ [0, 1] ;

• izračunati točku težista korijena prema:

σa = (−1− 1− 2)− (0 + 1) = −5;

• odrediti i ucrtati u s - ravninu asimptote n − m grana kao polupravce s početkom utočki težista korijena i kutem računanog prema (5.9):

47


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

sP3

sP1

s

P2

sN1

sN2

σv1

σv2

k0=3.77

k0=3.77

k0=0.0347 k

0=12.5

Slika 5.4: Rješenje primjera 2 za slučaj i).

48


α1 = 180;

• između dva pola/nule na dijelu realne osi koji pripada KMK nalazi se barem jedna točkagrananja/sjedinjenja s = σv određena prema (5.10):

σv1 = 4.2899, σv1 ∈/ KMK,

σv2 = −1.5842, σv2 ∈/ KMK,

σv3 = 0.2943, σv2 ∈ KMK −→ točka sjedinjenja;

• odrediti i označiti u s - ravnini izlazne kutove φI iz polova te ulazne kutove φU u nuleotvorenog regulacijskog kruga prema izrazima (5.11) te (5.12):

φI,1(sP1) =12(180 + 180− (0 + 0) + 180) = −90,

φI,2(sP2) =12(180 + 180− (0 + 0) + 3 · 180) = 90,

φI(sP3) = 180 + 180− (180 + 180) + 180 = 180,φU (sN1) = 0 + 0 + 0− 180 + 180 = 0,φU (sN2) = 0 + 0 + 0− 0 + 180 = 180.

Egzaktan prikaz KMK za slučaj ii) dan je na slici 5.5.ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 5.1

Za regulacijski krug prikazan na slici 5.6 nacrtajte krivulju mjesta korijena sustava kada seK mijenja od nule do neizmjerno.

Zadatak 5.2


Zadatak 5.3


49


−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

sP1

s

P2

sN1

sN2

sP3

σv3

K=4.78

K=4.78

K=18.5

Slika 5.5: Rješenje primjera 2 za slučaj ii).

-±°²¯

- K

s(s + 4)-

¾s + 1s + 2

6

yR y+

-


-±°²¯

- K - s + 2s2 + 3s + 4

-

¾1s + 1

6

yR y+

-


50


-±°²¯

- K - 1s− 1

-

¾s + 2(s + 1)2 + 1

6

yR y+

-


51

Poglavlje 6

Sinteza sustava u frekvencijskompodručju

Sinteza sustava upravljanja u frekvencijskom području dugo vremena je bila jedna od najz-načajnijih metoda projektiranja sustava upravljanja. Razlog tomu leži u činjenici da frekvenci-jska karakteristika serijski povezanih dinamičkih sustava1 (regulator i proces) odgovara zbra-janju njihovih frekvencijskih karakteristika u Bodeovom dijagramu. Kako bi se zadovoljilizahtjevi na sustav upravljanja koji se obično izražavaju pokazateljima kvalitete zatvorenogregulacijskog kruga u vremenskom (nadvišenje, vrijeme porasta, vrijeme smirivanja i sl.) i/ilifrekvencijskom području (širina pojasa propuštanja ωb, rezonantno izdizanje Mr), potrebno jete zahtjeve na neki način "transformirati" u zahtjeve na frekvencijsku karakteristiku otvorenogkruga. Okvirna povezanost frekvencijske karakteristike otvorenog kruga s pokazateljimavladanja zatvorenog regulacijskog kruga prikazana je na slici 6.1. Vidljivo je da frekvencijskakarakteristika otvorenog regulacijskog kruga u području niskih frekvencija određuje ponašanjezatvorenog sustava u stacionarnom stanju, odnosno kompenzaciju nisko-frekvencijskih smet-nji. Tako npr., ukoliko je nagib amplitudne karakteristike na niskim frekvencijama 0, tadaće sustav imati pogrešku stacionarnom stanju na skokovitu postavnu vrijednost. Ukoliko je,s druge strane, početni nagib amplitudno-frekvencijske karakteristike −1, tada je osiguranastacionarna točnost na skokovitu postavnu vrijednost, ali postoji konačna pogreška slijeđenjafunkcije linearnog porasta (kinetička pogreška).

S druge strane, prijelazna je pojava određena frekvencijskim karakteristikama na srednjimfrekvencijama (oko presječne frekvencije), dok frekvencijska karakteristika na visokim frekven-cijama određuje osjetljivost sustava na mjerni šum, odnosno visoko-frekvencijske poremećaje.

Egzaktna veza između pokazatelja kvalitete zatvorenog regulacijskog kruga (u vremenskomi frekvencijskom području) i odgovarajućih zahtjeva na frekvencijsku karakteristiku otvorenogkruga postoji za sustave I i II reda, ali se te relacije mogu uvjetno koristiti i za sustave višihredova, ograničavajući se samo na dominantne dinamike sustava. Naravno, ovim aproksi-macijama se unosi određena pogreška u proračun, pa je često nakon analitičkog postupkaodređivanja parametara regulatora potrebno dodatno napraviti "fino" ugađanje parametara,

1Serijska veza dinamički sustava je opisana u vremenskom području operacijom konvolucije između njih

52

6. SINTEZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU

Slijeđenje, kompenzacija NF poremećaja

[ ]/rad sωRobusnost, osjetljivost na

pogreške modeliranja

Osjetljivost na šum i VF poremećaje

[ ]A dB

Slika 6.1: Bodeov dijagram

kako bi se ispunili zahtjevi na sustav upravljanja.U tablici 6.1 dan je popis najbitnijih približnih relacija koje povezuju pokazatelje kvalitete

zatvorenog regulacijskog kruga i odgovarajuće parametre frekvencijske karakteristike otvorenogkruga. Premda su ove relacije približne one daju kvalitativan uvid u povezanost vremen-skog i frekvencijskog područja. Svakako najbitniji parametar u frekvencijskoj karakteristiciotvorenog kruga koji određuje ponašanje sustava je presječna frekvencija ωc. Očito je daveći iznos presječne frekvencije ωc, osigurava brži odziv u vremenskom području. No osimovog, kod određivanja (željene) presječne frekvencije potrebno je uzeti u obzir i ostale faktorekoji utječu na ovaj odabir, kao što su upravljački signal (ωc ⇒ dinamičniji upravljački sig-nal), spektar signala poremećaja i šuma koji djeluju na proces (ωc ⇒ sustav osjetljiviji našum i VF poremećaje), nesigurnost modeliranja (ωc treba biti u području u kojem je model"vjeran")

Samo oblikovanje frekvencijskih karakteristika se obično obavlja korištenjem korekcijskihdinamičkih članova, među kojima su najvažniji korekcijski član s faznim prethođenjem(engl. Phase Lead Compensator) i korekcijski član s faznim kašnjenjem (engl. PhaseLag Compensator).

6.1 Korekcijski član s faznim prethođenjem

Korekcijski član s faznim prethođenjem se obično koristi ako je potrebno korigirati frekvenci-jsku karakteristiku oko presječne frekvencije, te na taj način utjecati na prijelaznu pojavu uvremenskom području. Najčešće se to odnosi na povećanje faznog osiguranja, te se time direk-

53


Pokazatelj kvalitete zatv. reg. kruga RelacijaNadvišenje σ σm ≈ 70− γ, 0.3 < ζ < 0.8

Vrijeme prvog maksimuma tm tm ≈ 3ωc

, 0.3 < ζ < 0.8

Vrijeme porasta ta,50 ta,50 ≈ 1ωc

(1− σm[%]

250

), 0 < ζ < 1

Propusni opseg ωb ωb ≈ 1.2− 1.5ωc, ωb ≈ 2.3ta,50

Rezonantno izdizanje Mr Mr =1

2ζ√

1− ζ2

Rezonantna frekvencija ωr ωr = ωn

√1− ζ2

Vrijeme ustaljivanja t1% t1% ≈ 4.6ζωn

Tablica 6.1: Približne relacije koje povezuju pokazatelje kvalitete zatvorenog regulacijskogkruga s odgovarajućim parametrima frekvencijske karakteristike otvorenog kruga

tno utječe na iznos nadvišenja u vremenskom odzivu. Korekcijski član s faznim prethođenjemopisan je sljedećom prijenosnom funkcijom:

Gkp =1 + sT

1 + sαT, α < 1, (6.1)

dok je njegova frekvencijska karakteristika prikaza na slici 6.2. Okvirna procedura za projek-

1

Tα1

T

0.1

Tα10

T

mω

mω

120log

α

1arcsin

1

αα

−+

maxφ

Slika 6.2: Frekvencijska karakteristika korekcijskog člana s faznim prethođenjem

tiranje korekcijskog člana s faznim prethođenjem sastoji se od sljedećih koraka:

1. Dodavanjem pojačanja u otvoreni krug podesiti željnu presječnu frekvenciju (slika 6.3 a);

54


2. Proračunati maksimalno izdizanje fazne karakteristike korekcijskog člana φmax koje jepotrebno ostvariti da bi se postiglo željeno fazno osiguranje. Na temelju φmax računa sepotrebni odnos između lomnih frekvencija korekcijskog člana α. Vremenska konstantaT korekcijskog člana se odabire tako da frekvencija maksimalnog izdizanja faze budejednaka željenoj presječnoj frekvenciji:

T =1√αωc

(6.2)

Dodavanjem korekcijskog člana uz tako određene parametre fazna karakteristika na pres-ječnoj frekvenciji ωc je podignuta za ∆γ = φmax, ali je istovremeno došlo do korekcijeamplitudne karakteristike (slika 6.3 b);

3. Kako pojačanje korekcijskog člana na presječnoj frekvenciji (frekvenciji maksimalnogizdizanja faze φmax) iznosi 1√

α, potrebno je korigirati (spustiti) amplitudnu karakteris-

tiku upravo s faktorom√

α, da bi presječna frekvencija ωc ostala nepromijenjena (slika6.3 c).

A

φ

ω

ω

A

φ

ω

ω

Cω

γ∆

1

T

1

Tα

A

φ

ω

ω

Cω

γ∆

1

T

1

Tα

120log

α

π− π− π−

Slika 6.3: Projektiranje korekcijskog člana s faznim prethođenjem

6.2 Korekcijski član s faznim kašnjenjem

Korekcijski član s faznim kašnjenjem obično se koristi ukoliko je potrebno korigirati frekven-cijsku karakteristiku u nisko-frekvencijskom području, te na taj način utjecati na ponašanje

55


sustava u stacionarnom stanju. Prijenosna funkcija korekcijskog člana s faznim kašnjenjemglasi:

Gkk =1 + sT

1 + sαT, α > 1, (6.3)

dok je njegova frekvencijska karakteristika je prikazana na slici 6.4.

-10

-8

-6

-4

-2

0

Ampli

tuda [

dB]

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Faza

[°]

1

Tα1

Tmω

0.1

T

10

Tα

( )20log α

1sin

1arc

αα

−+

minφ

Slika 6.4: Frekvencijska karakteristika korekcijskog člana s faznim kašnjenjem

Okvirna procedura projektiranja korekcijskog člana s faznim kašnjenjem sastoji se od sljedećihkoraka:

1. Na temelju specificiranog ponašanja sustava u stacionarnom stanju (koeficijent statičkepogreške, koeficijent brzinske pogreške, i sl. ) potrebno je odrediti iznos potrebne ko-rekcije amplitudne karakteristike ∆K u području niskih frekvencije kako bi se osiguraloželjeno ponašanje (slika 6.5 a);

2. Budući da ukupna korekcija amplitudne karakteristike koju unosi korekcijski član sfaznim kašnjenjem iznosi α (slika 6.4), odabire se α = ∆K.

3. Vremenska konstanta T korekcijskog člana se određuje na način da korekcijski članne utječe značajno na iznos faznog osiguranja γ. To znači da je potrebno odabrati1/T ≤ ωc/10 (ili čak 1/T ≤ ωc/50). Dodavanjem korekcijskog uz ovako određeneparametre pojačanje na niskim frekvencijama ostaje nepromijenjeno, dok na srednjim (ivisokim) frekvencijama dolazi do pada amplitudne karakteristike za iznos 20 log α (slika6.5 b).

4. Kako želimo da korekcijski član ne utječe na amplitudnu karakteristiku na srednjimfrekvencijama potrebno dodatno korigirati amplitudnu karakteristiku s pojačanjem α =∆K, tj. podići je za 20 log α (slika 6.5 c).

56


20log K∆ 20log K∆ 20log K∆

1

Tα1

T

1

Tα1

T

ωω ω

A AA

Slika 6.5: Projektiranje korekcijskog člana s faznim kašnjenjem

Kod projektiranja regulatora bitno je imati na umu određena ograničenja. Tu je posebnovažno ograničenje na nagib frekvencijske karakteristike u području oko presječne frekven-cije koji bi uz aproksimaciju amplitudno-frekvencijske karakteristike pravcima trebao biti −1odnosno −20dB/dek. Ovo ograničenje je posljedica povezanosti nagiba karakteristike okopresječne frekvencije s iznosom faznog osiguranja, a približna relacija koja opisuje ovu ovis-nost je dana sljedećim izrazom:

γ = 180 +π

2· n (6.4)

gdje je n- nagib frekvencijske karakteristike u području oko presječne frekvencije. Iz prethodnepribližne relacije je očito da bi slučaju nagiba −2 amplitudno-frekvencijske karakteristike okopresječne frekvencije ωc, zatvoreni regulacijski krug bio na rubu stabilnosti.

Primjer 6.1

Za proces:

G(s) =0.1

(1 + 0.2s)(1 + 0.02s)(6.5)

potrebno je korištenjem korekcijskog člana s faznim kašnjenjem:

G(s) = KR1 + sT

1 + sαT, α > 1 (6.6)

zadovoljiti sljedeće zahtjeve na zatvoreni regulacijski krug:

a) pogreška u stacionarnom stanju na skokovitu pobudu < 5%;

b) vrijeme porasta ta,50 ≈ 0.15[s]

Rješenje:

Navedene projektne specifikacije za zatvoreni regulacijski krug uvode određene zahtjeve nafrekvencijsku karakteristiku otvorenog kruga. Tako zahtjev da pogreška u stacionarnom stanju

57


bude manja od 5% povlači da amplitudna karakteristika otvorenog kruga na niskim frekven-cijama (ω → 0) bude:

es(∞) =1

1 + K0⇒ K0 =

1− es(∞)es(∞)

=1− 0.05

0.05= 19(= 25.6[dB]) (6.7)

S druge strane, vrijeme porasta ta,50 približno određuje potrebnu presječnu frekvenciju ωc,koja prema tome iznosi:

ωc ≈ 1.5ta,50

= 10[rad/s] (6.8)

Rješavanje ovog zadatka provest će se kroz nekoliko koraka. U prvom koraku crtamo am-plitudnu i faznu karakteristiku procesa, kako bi odredili koliko je pojačanje potrebno dodatiu otvoreni krug kako bi presječna frekvencija iznosila upravo 10[rad/s]. U sljedećem korakucrtamo frekvenciju karakteristiku otvorenog kruga uz dodano pojačanje određeno u prvomkoraku, te provjerimo iznos pojačanja na niskim frekvencijama. Ukoliko to pojačanje nemazadovoljavajući iznos potrebno je provesti treći korak u kojem se u otvoreni kruga dodajekorekcijski član s faznim kašnjenjem kako bi se amplitudna karakteristika u području niskihfrekvencija podigla na zadovoljavajući iznos. Pritom je bitno da ovaj korekcijski član ne djelujena iznos amplitude i faze u području srednjih frekvencija (oko ωc), te je zbog toga potrebnoda on bude barem dekadu udaljen od ωc.

10−1

100

101

102

103

104

−150

−100

−50

0

Frekvencija [rad/s]

Am

plitu

da [d

B]

Bodeov dijagram

10−1

100

101

102

103

104

−180

−135

−90

−45

0

Frekvencija [rad/s]

Faz

a [°

]

1/T1=5 1/T

2=50

26[dB]

108°

Slika 6.6: Bodeov dijagram procesa

Na slici 6.6 prikazan je Bodeov dijagram procesa, uz naznačene vrijednosti amplitude ifaznog osiguranja na željenoj presječnoj frekvenciji 10[rad/s]. Očitane s Bodeovog dijagrama

58


ove vrijednosti iznose −26[db] odnosno 108. Točne vrijednosti amplitude i faze su određenesljedećim izrazima:

A(ω = 10) = 20 log 0.1−20 log

√1 + (

105

)2−20 log

√1 + (

1050

)2 = −27.16[dB] (= 22.8) (6.9)

φ(ω = 10) = − arctan105− arctan

1050

= −74.75 (6.10)

Dodavanjem pojačanja od 27.16[dB] u otvoreni krug amplitudna karakteristika se podiže zaovaj iznos (fazna se ne mijenja), te sada amplitudno-frekvencijska karakteristika sječe 0[dB]upravo na željenoj presječnoj frekvenciji ωc = 10 (slika 6.7).

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−40

−20

0

20

Frekvencija [rad/s]

Am

plitu

da [d

B]

Bodeov dijagram

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−180

−135

−90

−45

0

Frekvencija [rad/s]

Faz

a [°

]

7.15 [dB]

27.15 [dB]

Slika 6.7: Bodeov dijagram procesa bez korekcijskog člana (crna) i s korekcijskim članom(zelena)

Da bi se podigla amplitudna karakteristika u području niskih frekvencija potrebno je koris-titi korekcijski član s faznim kašnjenjem oblika:

Gc(s) = Kc1 + sT

1 + sαT, α > 1 (6.11)

Pritom je bitno nema djelovanja korekcijskog člana na amplitudu nakon ω = 1/T < ωc, tj.da je |Gc(ω)| ≈ 1 za ω > 1/T . Kako je |Gc(ω)| ≈ Kc/α, za ω > 1/T , slijedi da korekcijskičlan treba imati oblik:

Gc(s) = α1 + sT

1 + sαT, α > 1 (6.12)

59


Kako je za ispunjenje uvjeta o iznosu pogreške u stacionarnom stanju neophodno da otvorenisustav na niskim frekvencijama ima pojačanja najmanje 25.6[dB] slijedi da je potrebno korigi-rati amplitudnu karakteristiku za najmanje 25.6− 7.15 ≈ 18.5[dB]. Budući da je amplitudnakarakteristika korekcijskog člana u području (1/(αT ) < ω < 1/T ) opada približno s nagi-bom od −20[dB/dek], što znači da bi bilo dovoljno odabrati α = 10, te ćemo u tom slučajunapraviti korekciju amplitudne karakteristike u iznosu od 20[dB].

Frekvenciju 1/T općenito odabiremo da nema djelovanja korekcijskog člana na amplitudui fazu oko presječne frekvencije, što znači da zbog djelovanja na fazu 1/T bi trebao biti1/T ≤ 0.1ωc, što u našem slučaju znači da je T = 1[s].

Prema tome korekcijski član ima konačni oblik:

Gc(s) = 101 + s

1 + 10s(6.13)

Uzevši u obzir i prethodno dodano pojačanje u otvoreni krug kako bi se podesila presječnafrekvencija slijedi da je regulator dan izrazom:

GR(s) = 22.8 · 101 + s

1 + 10s= 228

1 + s

1 + 10s(6.14)

Primjer 6.2

Zadan je aperiodski proces trećeg reda prikazan na slici 6.8. Parametri procesa su: K1 = 20,K2 = 0.1, T1 = 2s, T2 = 10s.

( )RG s 1

11

K

T s+2

22(1 )

K

T s++

-

+

+RX E U

Z

Y

Proces

1( )sG s 2 ( )sG s

Slika 6.8: Regulacijski krug s PID regulatorom.

Dana je prijenosna funkcija PID regulatora:

GR(s) =U(s)E(s)

= KR1 + TIs

TIs· 1 + TDs

1 + Tνs, Tν = 0.1 · TD .

a) Predložiti prikladan način izbora integralne i derivacijske vremenske konstante TI i TD,uz TI = TD.

60


Provedite sintezu u frekvencijskom području koristeći aproksimacije Bodeovih dijagramapravcima kako slijedi:b) Uz vremenske konstante TI i TD odabrane prema a) treba odrediti pojačanje PID regula-

tora KR tako da se dobije vrijeme prvog maksimuma tm ≈ 15[s]. Koliki je u tom slučaju iznosnadvišenja prijelazne funkcije zatvorenog regulacijskog kruga?c) Za regulacijski krug s parametrima regulatora prema b) treba projektirati kompenzacijski

član Gk(s)

Gk(s) =1 + Tks

1 + αTks

u kaskadi s već proračunatim regulatorom tako da se postigne nadvišenje prijelazne karakter-istike zatvorenog kruga σm ≈ 5%. Vrijeme tm treba ostati otprilike isto dodavanjem kompen-zacijskog člana.

Rješenje:

a) Vremenske konstante TI i TD odabiru se da kompenziraju dvostruku dominantnu vremen-sku konstantu procesa T2:

TI = TD = T2 = 10 s ⇒ Tν = 1 s .

b) Primjenjujući sintezu prema Bodeovim karakteristikama otvorenog kruga, vrijedi prib-ližna relacija između presječne frekvencije ωc ≈ 3

tm= 0.2 rad

s . Prijenosna funkcija otvorenogkruga je:

Go(s) =KRK1K2

TIs

11 + T1s

11 + Tνs

=Ko

s(1 + T1s)(1 + Tνs),

pri čemu je Ko = KRK1K2TI

. Crta se Bodeove karakteristike (slika 6.9 - plava linija ) uzaproksimacije pravcima za Ko ≡ 1.

Na frekvenciji ωc amplitudnu karakteristiku valja spustiti za 14 dB, što znači da je Ko =10−

1420 , pa je traženo pojačanje:

KR =KoTI

K1K2= 1 .

Rezultirajuća frekvencijska karakteristika prikazana je na slici 6.9 (crna linija). Fazno osigu-ranje je otprilike 50, pa je očekivano nadvišenje 20%.

c) Prema približnoj relaciji koja veže nadvišenje i fazno osiguranje σm[%]+γ[] ≈ 70 slijedida bi fazno osiguranje trebalo iznositi γ = 65 da se postigne traženo nadvišenje od 5%.PID regulatorom zaokruženim pod b) dobilo se fazno osiguranje 50, što znači da fazu napresječnoj frekvenciji treba podići za:

∆ϕ(ωc) = 15 ,

a pritom ne izmijeniti amplitudnu karakteristiku u okolini presječne frekvencije. Za to ćeposlužiti kompenzacijski član sa faznim prethođenjem prijenosne funkcije:

Gk(s) =1 + Tks

1 + αTksα < 1,

61


10−3

10−2

10−1

100

101

102

−150

−100

−50

0

50

Am

plitu

da [d

B]

Bodeov dijagram

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90

Frekvencija [rad/s]

Faz

a [°

]

ωc

∆ φ≈15°

γ≈ 50°

14 [dB]

Slika 6.9: Aproksimacije Bodeovih karakteristika pravcima.

pri čemu parametar α određuje iznos maksimalnog izdizanja faze korekcijskog člana. Vrijed-nost parametra α određujemo iz izraza za maksimalno fazno izdizanje:

sinφmax =1− α

1 + α⇒ α =

1− sinφmax

1 + sinφmax= 0.5888

Iznos vremenske konstante Tk s određuje tako da maksimalno izdizanje faze korekcijskogčlana bude upravo na frekvenciji ωc:

T =1√αωc

= 6.52

Dodavanjem ovog korekcijskog člana se također djelomično utjecalo na iznos amplitudnekarakteristike na presječnoj frekvenciji unoseći pojačanje 1/

√α ≈ 1.3(= 2.3[dB]). Stoga je

62


potrebno u seriju s korekcijskim članom dodati pojačanje koje će kompenzirati ovaj doprinoskorekcijskog člana na ωc, te ono očito iznosi Kk =

√α = 0.7668(= −2.3[dB])

Uvrštavanjem izračunatih vrijednosti u prijenosnu funkciju korekcijskog člana, de doda-vanjem spomenutog pojačanja u sustav kako bi presječna frekvencija ostala nepromijenjena,slijedi:

G′k(s) = Kk

1 + Tks

1 + αTks= 0.7668

1 + 6.52s

1 + 3.84s,

Amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kruga nakon dodavanja korekcijskog člana jeprikazana na slici 6.9 (zelena linija).ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 6.1

Proces na slici 6.10 regulira se PI regulatorom Parametri procesa su: Ks = 3, Tz = 0.4[s] ,

K T s

T s T ss z( )

( )( )

1

1 11 2

−+ +

G sR ( )

xR y+

-

Slika 6.10: Blokovska shema regulacijskog kruga.

T1 = 6[s] i T2 = 0.8[s] .

a) Treba predložiti način izbora integralne vremenske konstante PI regulatora, kako bi sepostigla što brža dinamika zatvorenog regulacijskog kruga.

b) Uz tako odabran iznos TI treba primjenom Bodeovih dijagrama (aproksimacije pravcima)odrediti iznos pojačanja KR tako da se dobije nadvišenje prijelazne funkcije zatvorenogkruga σm ≈ 10%.

c) Približno odrediti vrijeme prvog maksimuma - tm prijelazne funkcije iz amplitudne i fazno-frekvencijske karakteristike.

d) Skicirati (približno) oblik prijelazne funkcije zatvorenog kruga i označiti σm i tm.

Zadatak 6.2

Za sustav opisan prijenosnom funkcijom:

G(s) =1000

(s + 5)(s + 100)(6.15)

63


potrebno je projektirati regulator da se zadovolje sljedeći zahtjevi:

1. sustav nema pogrešku u stacionarnom stanju na skokovitu referentnu veličinu,

2. nadvišenje u odzivu na skokovitu referentnu vrijednost σm < 20%,

3. vrijeme porasta ta,50 ≤ 0.15[s]

Zadatak 6.3

Za proces:

G(s) =0.1

(1 + 0.2s)(1 + 0.02s)(6.16)

potrebno je korištenjem korekcijskih dinamičkih članova zadovoljiti sljedeće zahtjeve na zatvoreniregulacijski krug:

a) zatvoreni regulacijski krug nema pogrešku u stacionarnom stanju na skokovitu pobudu;

b) pogreška u stacionarnom stanju pobudu oblika funkcije linearnog porasta xr(t) = t je < 5%;

c) vrijeme prvog maksimuma tm ≈ 0.3[s]

d) nadvišenje u odzivu na skokovitu pobudu σ < 20%

64

Poglavlje 7

Sinteza pomoću krivulje mjestakorijena

KMK je grafički postupak kojim se može odrediti položaj polova zatvorenog regulacijskogkruga u s-ravnini pri promjeni jednog parametra, najčešće pojačanja ko, otvorenog regu-lacijskog kruga. Prijenosna funkcija zatvorenog kruga:

Gx(s) =ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

, (7.1)

zadovoljavajuće nadomješta prijenosne funkcije viših redova koje imaju jedan dominantni parkonjugirano-kompleksnih polova. Dinamički pokazatelji kakvoće tm, σm, ta,50 i tε ovise oparametrima ωn i ζ kojima su određeni položaji polova prijenosne funkcije (7.1). Postupkomzadavanja polova otvorenog regulacijskog kruga postiže se željeni položaj dominantnog parapolova zatvorenog regulacijskog kruga u s-ravnini određenog s ωn i ζ. Postupak se provodi unekoliko koraka:

• u s-ravnini ucrta se željeni dominantni par polova,

• u s-ravninu ucrta se KMK fiksnog dijela regulacijskog kruga,

• dodavanjem polova i nula u otvorenom regulacijskom krugu oblikuje se KMK tako danjene 2 grane prolaze kroz željeni dominantni konjugirano-kompleksni par polova.

Primjer 7.1

Blokovska shema regulacije visine projektila prikazana je na slici 7.1. Pomoću krivuljemjesta korijena projektirati idealni PID regulator tako da budu zadovoljeni sljedeći zahtjevi:nadvišenje prijelazne funkcije koje odgovara izboru ζ =

√2

2 , vrijeme prvog maksimuma tm =1 s. Nulom regulatora valja kratiti stabilni pol procesa. U grani reference po potrebi dodatiprefiltar. Skicirati izgled KMK. Kako bi kvalitativno izgledala KMK kada bi se dodatno radiizvedivosti regulatoru dodao pol 20 puta većeg iznosa od nepokraćene nule regulatora?

65

7. SINTEZA POMOĆU KRIVULJE MJESTA KORIJENA

-±°²

- GR(s) - 3(s + 5)(s− 5)

-

6

XR HE U+

-

Slika 7.1: Blokovska shema regulacije visine projektila.

Rješenje:

Prijenosna funkcija idealnog PID regulatora glasi:

GR(s) = KR(1 + sTI)(1 + sTD)

sTI= KRTD

(s + 1TI

)(s + 1TD

)

s.

Nulom integralnog člana regulatora kratit će se stabilni pol procesa:

TI =15s = 0.2 s .

Prijenosna funkcija otvorenog kruga Go(s) nakon obavljene pokrate glasi:

Go(s) = Kxs + sx

s(s− 5),

gdje su Kx = 3KRTD i sx = 1TD

nepoznati, a odredit će se sintezom po krivulji mjesta korijenatako da se polovi zatvorenog kruga postave točno na lokacije koje će omogućiti dobivanjeζ =

√2

2 te vremena prvog maksimuma tm = 1 s. Za sustave drugog reda vlastita frekvencijaneprigušenih oscilacija ωn je sa tm i ζ povezana preko:

ωn =π

tm√

1− ζ2,

te uz zadani ζ i tm slijedi:

ωn = π√

2 = 4.44rads

.

Poznati ζ i ωn određuju lokaciju kompleksno-konjugiranog para polova zatvorenog kruga s∗ =−π + jπ i s∗ = −π− jπ, slika 7.2. Nepoznatu lokaciju nule −sx može se naći iz faznog uvjetaza određivanje KMK koji mora vrijediti u točki s∗:

arg[G(s∗)] = 180(2k − 1), za k = 1, 2, 3, ... ,

tj. pol s∗ pripadat će krivulji mjesta korijena ako za kuteve sa slike 7.2 vrijedi:

ϕ3 − (ϕ1 + ϕ2) = ±(2k − 1)180, za k = 1, 2, 3, ... ,

gdje su ϕ1, ϕ2 i ϕ3 argumenti vektora s∗ − 5, s∗ i s∗ + sx redom te vrijedi:

ϕ1 = arg[s∗ − 5] = arg[−π − 5 + jπ] = 158.9 ,

ϕ2 = arg[s∗] = arg[−π + jπ] = 135 ,

ϕ3 = ϕ1 + ϕ2 + 180 = 113.9 .

66


2ϕ 1ϕ3ϕ

xs− 0 5

2nω π=

2

2ζ =

*s

*xs s+

*s* 5s −

Im( )s

Re( )sA

Slika 7.2: Prikaz polova u s-ravnini.

Dalje, iz određenog argumenta ϕ3 dolazimo do nepoznanice sx:

ϕ3 = arg[s∗ + sx] = arg[−π + sx + jπ] = arctgπ

−π + sx,

⇒ sx =π(1 + tgϕ3)

tgϕ3= 1.75 .

Do pojačanja Kx dolazi se iz amplitudnog uvjeta za KMK:

1Kx

=|s∗ + sx||s∗||s∗ − 5| ⇒ Kx =

|s∗||s∗ − 5||s∗ + sx| = 11.28 .

Iz izračunatog sx određuje se derivacijska vremenska konstanta:

TD =1sx

= 0.57 s.

Pojačanje KR određuje se prema:

KR =Kxsx

3= 6.58 ,

67


pa prijenosna funkcija idealnog PID regulatora glasi:

GR(s) = 6.58(1 + 0.2s)(1 + 0.57s)

0.2s.

Da bi se postiglo zadano vrijeme maksimuma, potrebno je prefiltrom pokratiti još i nuluzatvorenog sustava koja dolazi od derivacijskog člana. Prijenosna funkcija prefiltra je:

Gpf (s) =1

1 + 0.57s.

Slika 7.3 prikazuje krivulju mjesta korijena regulacijskog kruga s idealnim PID regulatorom

−10 −5 0 5−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Kx=11.28

Kx=11.28

Slika 7.3: Krivulja mjesta korijena uz idealni PID regulator.

dok je na slici 7.4 prikaz krivulje mjesta korijena regulacijskog kruga realnog PID regula-tora. Vidimo da dodatni pol regulatora u −35 ne utječe na dominantne polove zatvorenogregulacijskog kruga.

Primjer 7.2

Za proces zadan prijenosnom funkcijom Gs(s) = Ks(s+3)(s+6) potrebno je pomoću krivulje

mjesta korijena projektirati regulator s faznim kašnjenjem uz zahtjev da prijelazna funkcijazatvorenog sustava ima regulacijsko odstupanje u stacionarnom stanju manje od 0.5 pri odzivuna pobudu oblika jedinične rampe; relativni koeficijent prigušenja treba biti 0.5; te dominantnipolovi zatvorenog kruga trebaju imati realni dio manji ili jednak −1.

68


−35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Slika 7.4: Krivulja mjesta korijena uz dodatni pol regulatora u −35, radi izvedivosti.

Rješenje:

Regulator s faznim kašnjenjem je oblika

GR(s) =1 + Ts

1 + αTs, α > 1 .

Prijenosna funkcija otvorenog kruga je oblika:

Go(s) =(1 + Ts)K

(1 + αTs)s(s + 3)(s + 6)=

Kx · (s + 1T )

(s + 1αT )s(s + 3)(s + 6)

,

gdje je Kx = Kα . Iz zahtjeva na regulacijsko odstupanje vrijedi:

ess = lims→0

s · 11 + Go

· 1s2

= lims→0

(1 + αTs)(s + 3)(s + 6)s(1 + αTs)(s + 3)(s + 6) + (1 + Ts)K

=18K

,

18K

< 0.5 ⇒ K > 36 .

Zahtjev za relativno prigušenje ζ = 0.5 i realni dio dominantnih polova ζωn ≤ −1 daje položajpolova na polupravcima prikazanim na slici 7.5. Krivulja mjesta korijena ucrtana je na slici7.5 za prijenosnu funkciju otvorenog kruga bez regulatora, Gs(s).

Na polupravcu željenih polova odabiremo par kompleksno konjugiranih polova zatvorenogkruga s∗ = −3

2 + j 32

√3 i s∗ = −3

2 − j 32

√3, slika 7.6. Postavljamo jednadžbu za fazni uvjet za

69


−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4

−15

−10

−5

0

5

10

15

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

K=36

K=36

K=36

Slika 7.5: Krivulja mjesta korijena sustava bez regulatora uz ucrtane polupravce lokacijaželjenih polova te položaj polova za zahtjevano pojačanje sustava K = 36.

određivanje KMK koji mora vrijediti u točki s∗, prema slici 7.6:

arg[G(s∗)] = 180(2k − 1), za k = 1, 2, 3, ... ,

ϕN1 − (ϕp1 + ϕp2 + ϕp3 + ϕp4) = ±(2k − 1)180, za k = 1, 2, 3, ... ,

gdje su ϕp1, ϕp2 i ϕp3 argumenti vektora s∗ − sp1, s∗ − sp2 i s∗ − sp3 koji su poznati, a ϕN1 iϕp4 argumenti vektora s∗ − sN1 i s∗ − sp4 koji su nepoznati te vrijedi:

ϕp1 = arg[s∗ − sp1] = arg[−32

+ j32

√3] = 120 ,

ϕp2 = arg[s∗ − sp2] = arg[32

+ j32

√3] = 60 ,

ϕp3 = arg[s∗ − sp3] = arg[92

+ j32

√3] = 30 ,

ϕp4 = arg[s∗ − sp4] = arg[1

αT− 3

2+ j

32

√3] = arctg

32

√3

1αT − 3

2

, (7.2)

ϕN1 = arg[s∗ − sN1] = arg[1T− 3

2+ j

32

√3] = arctg

32

√3

1T − 3

2

, (7.3)

ϕN1 − ϕp4 = ϕp1 + ϕp2 + ϕp3 + 180 = 30 . (7.4)

70


−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

b a c

s*

sp3

sp4

sp2

sN1

sp1

−1.5

s*~

Slika 7.6: Prikaz polova i nule otvorenog regulacijskog kruga te željenog para polova zatvorenogkruga u s-ravnini.

Postavljamo jednadžbu amplitudnog uvjeta za KMK u točki s∗:

1Kx

=|s∗ − sN1|

|s∗ − sp4||s∗||s∗ + 3||s∗ + 6| .

Uvedimo oznake a = |s∗ − sN1| i b = |s∗ − sp4| kao na slici 7.6. Iz slike slijedi:

c

a= sinϕN1 ,

c

b= sin ϕp4 ,

a

b=

sinϕp4

sinϕN1=(7.4)

sin(ϕN1 − 30)sinϕN1

=sinϕN1 ·

√3

2 − cosϕN1 · 12

sinϕN1=√

32−1

2· 1tgϕN1

=(7.3)√

33

(2−13· 1T

) .

Iz zahtjeva za pojačanje K odabiremo K = 36 te uvrštavanjem prethodnog izraza u jednadžbuamplitudnog uvjeta slijedi:

α

36=√

33

(2− 13· 1T

) · 13 · 3 · 3√3

⇒ 1T

= 6− 310

α . (7.5)

71


Uvrštavanjem izraza za kuteve ϕN1 i ϕp4 u jednadžbu (7.4) dobivamo sljedeće:

arctg32

√3

1T − 3

2

− arctg32

√3

1αT − 3

2

= 30 ,

⇒ arctg

32

√3

1T− 3

2

−32

√3

1αT− 3

2

1 +94·3

( 1T− 3

2)( 1

αT− 3

2)

= 30 ,

⇒ 1α· 1T 2

− 3 · 1T

(2α− 1) + 9 = 0 . (7.6)

Naposlijetku, uvrštavanjem izraza za 1T dobivenog iz amplitudnog uvjeta u izraz (7.6) slijedi

vrijednost α te nazad uvrštavanjem u izraz (7.5) slijedi 1T :

(7.5)→ (7.6) ⇒ α = 0.533 ,

(7.5)→ (7.6) ⇒ 1T

= 2.4 ⇒ 1αT

= 4.5 .

Slika 7.7 pokazuje egzaktan prikaz krivulje mjesta korijena regulacijskog kruga te naznačenepolove zatvorenog kruga za pojačanje K = 36, odnosno Kx = 67.5.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2

−6

−4

−2

0

2

4

6

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Kx=67.5

Kx=67.5

Kx=67.5

Kx=67.5

Slika 7.7: Krivulja mjesta korijena regulacijskog kruga uz ucrtane polove zatvorenog kruga zapojačanje otvorenog kruga Kx = 67.5.

72


ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 7.1

Proces je zadan prijenosnom funkcijom Gs(s) = 1s(s+1) . Projektirati regulator s faznim

prethođenjem tako da zatvoreni regulacijski krug ima polove u s = −1± j√

3.

Zadatak 7.2

Zadan je proces Gs(s) = 1s2+1

. Projektirati regulator s faznim prethođenjem s nulom uishodištu, GR(s) = K s

s+p , tako da dominantni polovi zatvorenog regulacijskog kruga budu us = −2± j2.

Zadatak 7.3

Zadan je proces Gs(s) = 5s( s

1.2+1)( s

3.5+1) . Projektirati regulator s faznim prethođenjem tako

da fazno osiguranje bude 40. Pritom treba osigurati da pojačanje regulatora u stacionarnomstanju bude 1.

73

Poglavlje 8

Analitički postupci sinteze regulatora

Analitički postupci sinteze sustava spadaju skupinu neposrednih postupaka sinteze (za razlikuod sinteze u frekvencijskom području i pomoću KMK). Kao polazište za ove postupke koristi seželjena prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga, tzv. modelska funkcija. Modelskafunkcija se određuje prema specifikacijama kakvoće zatvorenog reg. kruga u vremenskompodručju ili u frekvencijskom području. Obično se ona zadaje u standardnim oblicima kaošto su: binomni oblik, Butterworthov oblik, oblici zasnovani na integralnim kriterijima i sl.Pri izboru željenog vladanja zatvorenog regulacijskog kruga bitno je osigurati da modelskafunkcija bude ostvariva.

Neka je G(s) = B(s)A(s) prijenosna funkcija procesa, tada za modelsku funkciju Gm(s) = Bm(s)

Am(s)kažemo da je ostvariva ako zadovoljava sljedeće uvjete:

a) Stupanj(Am(s)) − Stupanj(Bm(s)) ≥ Stupanj(Ap(s)) − Stupanj(Bp(s)), odnosno da jepolni višak modelske funkcije veći ili jednak polnom višku procesa;

b) Modelska prijenosna funkcija mora sadržavati sve neminimalno-fazne nule procesa. Uprotivnom bi regulator bio nestabilan;

c) Nazivnik modelske funkcije je Hurwitzov polinom.

Jednako tako, potrebno je uzeti u obzir i određena ograničenja sustava upravljanja kao npr.maksimalno dozvoljeno područje upravljačkog signala1 u(t), netočnosti parametara modelaprocesa ili njihova vremenska promjenjivost.

1Fizičke komponente (npr. izvršni organi) od kojih je izgrađen sustav upravljanja nisu idealne već senjihova pretpostavljena svojstva odnose na određeno radno područje, te je stoga bitno da upravljački signalbude unutar tog područja.

74

8. ANALITIČKI POSTUPCI SINTEZE REGULATORA

8.1 Postupak prema Truxal-Guilleminu

Za danu prijenosnu funkciju procesa Gp(s) i ostvarivu modelsku funkciju Gm(s), prijenosnafunkcija regulatora je određena sljedećim izrazom:

GR(s) =1

Gp(s)· Gm(s)1−Gm(s)

(8.1)

Iz prethodnog izraza je vidljivo da se sinteza prema ovom postupku sastoji od dva dijela ito: kraćenja svih polova i nula procesa, te dodavanja polova i nula prema željenoj modelskojprijenosnoj funkciji.

Iz definicije ostvarivosti modelske funkcije je očito da uvjeti na ostvarivost ne uključujunestabilne polove procesa. Zbog toga, ukoliko bi se Truxal-Guilleminov postupak primijenio nanestabilan proces, došlo bi do kraćenja neminimalno-fazne nule regulatora i nestabilnog polaprocesa 2. Da bi se to izbjeglo potrebno je nestabilne polove procesa zadržati u prijenosnojfunkciji otvorenog kruga, te ih po krivulji mjesta korijena premjestiti u lijevu poluravninu. Utom slučaju prijenosna funkcija (1−Gm(s)) mora sadržavati nule koje su jednake nestabilnimpolovima procesa3.

Primjer 8.1

Proces čiji je blokovski prikaz dan na slici 8.1 opisan je prijenosnom funkcijom:

Gs(s) =1− Ts

1 + Ts. (8.2)

Na proces djeluje poremećaj Z(s). Potrebno je:

a) projektirati regulator GR(s) postupkom prema Truxal-Guilleminu. Modelsku prijenosnufunkciju Gm(s) odrediti prema općem obliku prijenosne funkcije drugog reda tako da jenadvišenje σm ≤ 5% i vrijeme prvog maksimuma tm ≤ 2 [s],

b) prikazati izlaznu veličinu Y (s) kao funkciju vodeće veličine YR (s) i poremećajne veličineZ(s),

c) skicirati prijelaznu funkciju h(t) te označiti odziv na vodeću i poremećajnu veličinu kao itočne iznose stacionarnih stanja.

Zadano je: Z(s) =e−5s

s, T = 1[s].

2Kraćenje nestabilnih polova procesa pomoću neminimalno-faznih nula regulatora se ne preporuča zbogčinjenice da se ova nestabilna dinamika može pojaviti u sustavu kao posljedica parametarske nesigurnostimodela, te vremenske promjenjivosti procesa. Čak i u slučaju "idealnog" modela procesa sustav upravljanjanije "totalno" stabilan budući postoje kombinacije ulazno-izlaznih signala u čijim prijenosnim funkcijama sepojavljuje ovaj nestabilni pol (npr. prijenosna funkcija izlaza prema poremećaju koji djeluje na ulaz procesa)

3Na ovaj način možemo spriječiti kraćenje bilo kojeg pola procesa (ne samo nestabilnog)

75


-±°²

- GR(s) -±°²

- Gs(s) -

6

?+ + +

-

YR(s) Y (s)

Z(s)

Slika 8.1: Blokovska shema procesa

Rješenje:

Uvrštavanjem konkretnih vrijednosti u prijenosnu funkciju, slijedi:

GS (s) =1− s

1 + s=

D(s)C(s)

(8.3)

Opći oblik prijenosne funkcije drugog reda glasi:

G (s) =ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

=α(s)β(s)

(8.4)

Budući da proces ima neminimalno-faznu nulu modelska funkcija također mora sadržavati tuistu nulu, te glasi:

Gm(s) =ω2

n (1− s)s2 + 2ζωns + ω2

n

= (8.5)

Parametri modelske funkcije slijede iz zadanog nadvišenja te vremena prvog maksimuma:

σm [%] = 100 · exp(− ζπ√

1−ζ2

)⇒ ζ =

− ln

σm[%]100

r

π2+ln2

σm[%]100

(8.6)

tm = π

ωn

√1−ζ2

⇒ ωn = π

tm√

1−ζ2 (8.7)

Dobiju se vrijednosti ζ = 0.69 ωn = 2.17[

rads

]

Modelska prijenosna funkcija je prema tome:

Gm(s) =4.71 (1 + s)

s2 + 3s + 4.71(8.8)

Provjera izvedivosti regulatora uz ovu modelsku funkciju daje:n = 1, v = 1;m = 1 u = 2;te je očito da je zadovoljen uvjet:

u− v ≥ n−m. (8.9)

Na temelju prijenosne funkcije procesa i modelske prijenosne funkcije zatvorenog kruga,računamo prijenosnu funkciju regulatora:

76


GR(s) =C(s) · α(s)

D(s) [β(s)− α(s)]=

4.71 (1− s)s (s + 7.71)

(8.10)

Izlazna veličina izražena preko vodeće te poremećajne veličine dana je sa:

Y (s) =GR(s) ·GS(s)

1 + GR(s) ·GS(s)YR(s) +

GS(s)1 + GR(s) ·GS(s)

Z(s) =

=4.71(1− s)

s2 + 3s + 4.71YR(s) +

s(s + 7.71)(1− s)s2 + 3s + 4.71

Z(s)(8.11)

Stacionarna vrijednost prema vodećoj veličini uz skokovitu pobudu iznosi:

ystac. = lims→0

(s

GR(s) ·GS(s)1 + GR(s) ·GS(s)

1s

)= 1 (8.12)

Stacionarna vrijednost prema poremećajnoj veličini uz skokovitu pobudu iznosi:

ystac. = lims→0

(s

GS(s)1 + GR(s) ·GS(s)

1s

)= 0 (8.13)

te je očito da nema odstupanja od reference u stacionarnom stanju.Prijelazna funkcija dana je na slici 8.1.

0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

vrijeme [s]

h(t)

Slika 8.2: Prijelazna funkcija procesa uz djelovanje poremećaja.

Primjer 8.2

Blokovska shema regulacije visine projektila prikazana je na slici 8.3.

77


( )RG s+

-

RX E U

( )( )3

5 5s s+ −H

Slika 8.3: Blokovska shema regulacije visine projektila.

Potrebno je odrediti strukturu i parametre najjednostavnijeg mogućeg izvedivog regulatoraGR(s) uz sintezu Truxal-Guilleminovim postupkom, pri čemu je zadana modelska prijenosnafunkcija prema standardnom Butterworthovom obliku tako da se postigne vrijeme prvog maksi-muma tm = 1 s, pritom neka polni višak zatvorenog kruga ostane jednak polnom višku procesa.Također, zatvoreni krug ne smije imati statičko odstupanje u odzivu na referentnu veličinu. Ugrani reference po potrebi dodati prefiltar.

Rješenje:

Budući da je jedan pol procesa nestabilan, pri sintezi prema Truxal-Guilleminu potrebno jeosigurati da modelska prijenosna funkcija Gm(s) zadovoljava da prijenosna funkcija 1−Gm(s)ima neminimalnofaznu nulu koja je jednaka nestabilnom polu procesa. Neka je:

Gm(s) =α(s)β(s)

.

Razliku 1−Gm(s) označimo sa:

1−Gm(s) =β(s)− α(s)

β(s)=

(s− 5)P (s)β(s)

.

Pri tome mora vrijediti:

stupanj[(s− 5)P (s)] = stupanj[β(s)]

jer je stupanj[β] > stupanj[α]. Budući da polni višak zatvorenog kruga treba ostati isti kaopolni višak procesa, najjednostavnija opcija izbora stupnjeva polinoma α(s) i β(s) je sljedeća:

stupanj[α(s)] = 0,stupanj[β(s)] = 2

⇒ stupanj[P (s)] = 1 .

Neka je dakle:α(s) = α0,β(s) = β2s

2 + β1s + β0,P (s) = p1s + p0.

Kada se relacija za brojnik 1−Gm(s) raspiše, dobiva se sljedeća jednadžba:

β2s2 + β1s + β0 − (s− 5)(p1s + p0) = α0 ,

78


te izjednačavanjem koeficijenata uz iste potencije dobiva se:

p1 = β2,p0 = β1 + 5p1 = β1 + 5β2,β0 + 5p0 = α0.

Iz treće jednadžbe slijedi, pošto za modelsku prijenosnu funkciju mora biti β0 = α0 (ne smijebiti statičke pogreške u odzivu na vodeću veličinu), da je p0 = 0, što pak uvrštenjem u drugujednadžbu daje: β1 = −5β2, što bi pak značilo ne samo da se koeficijente βi ne može odabratiprema standardnom Butterworthovom obliku, već i da nije ispunjen nužan uvjet stabilnostimodelske prijenosne funkcije.

Dakle, izbor stupnjeva polinoma treba korigirati pa, uz poštivanje odredbe da polni višakmodelske prijenosne funkcije ostaje jednak polnom višku procesa, uzimamo:

stupanj[α(s)] = 1,stupanj[β(s)] = 3

⇒ stupanj[P (s)] = 2 .

Sada polinomi α, β i P izgledaju kako slijedi:

α(s) = α1s + α0,β(s) = β3s

3 + β2s2 + β1s + β0,

P (s) = p2s2 + p1s + p0.

Jednadžba za brojnik 1−Gm(s) sada glasi:

β3s3 + β2s

2 + β1s + β0 − (s− 5)(p2s2 + p1s + p0) = α1s + α0 ,

te se opet izjednačavanjem koeficijenata uz iste potencije dobiva:

β3 = p2,β2 = p1 − 5p2 = p1 − 5β3 ⇒ p1 = β2 + 5β3,β1 − p0 + 5p1 = α1,β0 + 5p0 = α0.

Opet iz zadnje jednadžbe proizlazi p0 = 0 zbog zahtijeva na α0 = β0. To pak za predzadnjujednadžbu daje:

α1 = β1 + 5p1 = β1 + 5β2 + 25β3 .

Time je pak sinteza zaokružena, pošto su koeficijenti βi znani prema standardnom Butter-worthovom obliku; naime za tm = 1 s proizlazi prema odzivu iz tablice 9.1, Perić, str. 242,da je za treći red karakterističnog polinoma ωn ≈ 5 rad

s . Polinom β(s) glasi:

β(s) = s3 + 10s2 + 50s + 125 ,

a polinom α(s) prema izvedenim relacijama za njegove koeficijente preko koeficijenata βi glasi:

α(s) = 125s + 125 .

79


Polinom β(s)− α(s) (bit će potreban u izračunu parametara regulatora) glasi:

β(s)− α(s) = s3 + 10s2 − 75s = s(s− 5)(s + 15) ,

dakle 1−Gm ima nulu u 5, kako smo i zahtijevali. Dakle, modelska prijenosna funkcija glasi:

Gm(s) =β(s)α(s)

=125s + 125

s3 + 10s2 + 50s + 125.

Regulator se prema Truxal-Guilleminovom postupku računa kako slijedi:

GR(s) =1

Gs(s)Gm(s)

1−Gm(s),

pri čemu je sa Gs(s) označena prijenosna funkcija procesa. Dakle:

GR(s) =(s− 5)(s + 5)

3α(s)

β(s)− α(s)=

(125s + 125)(s + 5)3s(s + 15)

=1253

(s + 1)(s + 5)s(s + 15)

.

Nula regulatora -1 nije kompenzirana procesom pa se pojavljuje u prijenosnoj funkciji zatvorenogkruga Gm. Za točan odziv procesa prema Butterworthu u granu reference treba dodati pre-filtar koji će kompenzirati nulu od Gm. Prijenosna funkcija prefiltra Gpf (s) glasi:

Gpf (s) =1

s + 1.

ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 8.1

Za proces opisan prijenosnom funkcijom:

Gp(s) =s + 2

(s2 + s + 1)(s + 1)(8.14)

potrebno je korištenjem metode Truxal-Guillemina odrediti regulator tako da se zadovoljesljedeći projektni zahtjevi:

1. zatvoreni regulacijski krug nema pogrešku u stacionarnom stanju na pobudni signal tipaodskočne funkcije,

2. odziv zatvorenog regulacijskog kruga na skokovitu pobudu je optimalan s obzirom nakriterij

∫∞0 |e(t)|tdt,

3. vrijeme porasta ta50 ≈ 0.7[s].

Zadatak 8.2

Neka je zadan nestabilan proces oblika:

Gp(s) =1− sT1

1− sT2(8.15)

80


pri čemu je T1 = 1[s] i T2 = 2[s].Potrebno je:

a) Odrediti regulator korištenjem metode Truxal-Guillemina tako da zatvoreni regulacijski krugnema pogrešku na skokovitu pobudu, a nazivnik prijenosne funkcije zatvorenog kruga imaoblik Dm(s) = s2 + 2ζωn + ω2

n, uz ζ = 0.5 i ωn = 2[rad/s].

b) Uz parametre regulatora izračunate pod točkom a) nacrtati pripadnu krivulju mjesta kori-jena.

81

Poglavlje 9

Sinteza regulatora s obzirom navodeće i poremećajno vladanje

Dan je sustav upravljanja prikazan slikom 9.1(a), s djelovanjem poremećaja svedenim na izlazprocesa na slici 9.1(b). Pritom je XR Laplaceova transformacija referentne veličine, Y izlaza,

( )G sn

( )RG s ( )sG sRX Y+

-

E U

'Z

(a)

( )G sn

( )RG s ( )sG sRX Y+

+

+

-

E U

'Z( )szG s

(b)

Slika 9.1: Sustav automatskog upravljanja s poremećajem (a) i ekvivalentni dijagram sveden naporemećaj koji djeluje na izlazu procesa (b).

a Z ′ poremećaja. S E označena je Laplaceova transformacija regulacijskog odstupanja, a s Uizlazne veličine regulatora. Koriste se sljedeće prijenosne funkcije:

Gν(s) =M(s)N(s)

=m0 + m1s + . . . + mxsx

n0 + n1s + . . . + nysy, y ≥ x, (9.1)

GR(s) =B(s)A(s)

=b0 + b1s + . . . + bwsw

a0 + a1s + . . . + azsz, z ≥ w, (9.2)

Gs(s) =D(s)C(s)

=d0 + d1s + . . . + dmsm

c0 + c1s + . . . + cnsn, n > m, (9.3)

Gsz(s) =K(s)L(s)

=k0 + k1s + . . . + kks

k

l0 + l1s + . . . + llsl, l ≥ k, (9.4)

pri čemu je Gν prijenosna funkcija prefiltra, GR regulatora, Gs procesa s obzirom na upravl-jačku veličinu, a Gsz procesa s obzirom na poremećajnu veličinu. S x, y, w, z, m, n, k, loznačeni su odgovarajući stupnjevi polinoma u brojniku odnosno nazivniku ovih prijenosnih

82

9. SINTEZA REGULATORA S OBZIROM NA VODEĆE I POREMEĆAJNO VLADANJE

funkcija. Sintezom se sustava upravljanja zahtijeva željena prijenosna funkcija zatvorenogsustava s obzirom na referentnu veličinu Gm(s):

Gx(s) =Y (s)XR(s)

= Gm(s) =α(s)β(s)

=α0 + α1s + . . . + αvs

v

β0 + β1s + . . . + βusu, u > v, (9.5)

te željena prijenosna funkcija zatvorenog sustava s obzirom na poremećajnu veličinu Gmz(s):

Gz(s) =Y (s)Z ′(s)

= Gmz(s) =γ(s)σ(s)

=γ0 + γ1s + . . . + γqs

q

σ0 + σ1s + . . . + σpsp, p ≥ q, (9.6)

pri čemu v, u, q i p označavaju odgovarajuće stupnjeve polinoma u brojniku odnosno nazivnikuovih modelskih prijenosnih funkcija. Dodatnim se uvjetima na modelske prijenosne funkcije (9.5)i (9.6) zahtijeva nepostojanje trajnog regulacijskog odstupanja pri promjeni vodeće i referentneveličine:

Gm(0) = lims→0

α(s)β(s)

= 1, (9.7)

Gmz(0) = lims→0

γ(s)σ(s)

= 0. (9.8)

Povoljno je da polinomi u brojniku odnosno nazivniku Gm i Gmz budu čim nižeg reda, te da supo mogućnosti odabrani prema standardnim oblicima. Kada želimo da se sustav ponaša premazadanim modelskim prijenosnim funkcijama i za vodeće i za poremećajno vladanje, sinteza seobavlja na način da se prvo strukturom i parametrima regulatora GR(s) osigura odgovara-juće vladanje s obzirom na poremećajnu veličinu Gmz(s), a potom se vladanje s obzirom nareferentnu veličinu Gm(s) podesi projektiranjem prefiltra Gν(s).

Pri provođenju sinteze prvo treba na valjani način odabrati modelske prijenosne funkcijeGmz i Gm tako da prefiltar i regulator budu izvedivi (kauzalni, stupanj polinoma brojnikamanji ili jednak stupnju polinoma nazivnika), već prema prijenosnim funkcijama procesa sobzirom na upravljačku veličinu i poremećaj, a potom prijenosne funkcije regulatora i prefiltratrivijalno proizlaze, budući da je:

Gz(s) = Gsz(s)1

1 + GR(s)Gs(s)→ GR(s) =

Gsz(s)−Gmz(s)Gs(s)Gmz(s)

, (9.9)

Gx(s) = Gν(s)GR(s)Gs(s)

1 + GR(s)Gs(s)→ Gν(s) =

Gsz(s)Gm(s)GR(s)Gs(s)Gmz(s)

. (9.10)

Jednadžbu (9.9) raspisujemo po polinomima brojnika i nazivnika odnosnih prijenosnih funkcija:

GR(s) =K(s)L(s) − γ(s)

σ(s)

D(s)C(s)

γ(s)σ(s)

=nC(s)[

kK(s)

pσ(s)− l

L(s)qγ(s)]

Dm

(s) γq(s) L

l(s)

(9.11)

U posljednjoj je relaciji iznad polinoma upisan i njegov pripadni stupanj. Uvjet realizacijezahtijeva paralelno ispunjenje ovih uvjeta:

n + k + p ≤ m + q + l, (9.12)n + l + q ≤ m + q + l, (9.13)

→ m ≥ max(n, n + (p− q)− (l − k)). (9.14)

83


Očito iz (9.14) slijedi da ovaj regulator nije izvediv, jer je u kontradikciji s uvjetom u (9.3).Da bi regulator bio izvediv, modelsku prijenosnu funkciju s obzirom na smetnju mora seizabrati tako da se dokine nekoliko vodećih potencija u brojniku od GR. Kako bi dokidanjebilo moguće u vodećim potencijama, stupnjevi polinoma Kσ i Lγ moraju biti isti, dakle:

k + p = q + l → p− q = l − k, (9.15)

tj. polni višak modelske prijenosne funkcije s obzirom na poremećaj Gmz(s) mora biti jednakpolnom višku prijenosne funkcije procesa s obzirom na smetnju Gsz(s). Potrebno je dokinuti

(n + k + p)− (m + q + l)(9.15)= (n + l + q)− (m + q + l) = n−m

vodećih potencija u brojniku od GR(s) kako bi se stupnjevi brojnika i nazivnika u GR izjed-načili i time regulator bio izvediv. Dakle je pritom:

w = z = m + q + l, (9.16)

pri čemu je w stupanj brojnika, a z nazivnika prijenosne funkcije regulatora GR(s). Stupanjq brojnika od Gmz nastojimo izabrati minimalnim. Primijetimo da će tim izborom odmahbiti fiksiran i stupanj nazivnika p prema (9.15). Budući da nastojimo dokinuti n−m vodećihpotencija u brojniku od GR polinom γ treba utjecati na svih n − m vodećih potencija, padakle mora biti stupnja makar n−m. Izabiremo minimalni mogući stupanj od γ:

q = n−m. (9.17)

Pritom za stupanj nazivnika modelske prijenosne funkcije Gmz proizlazi prema (9.15):

p = l − k + n−m. (9.18)

Za stupnjeve polinoma regulatora iz (9.16) sada proizlazi1:

w = z = m + (n−m) + l = n + l, (9.19)

Iz zahtjeva da regulacijsko odstupanje stacionarno bude 0, bez obzira na iznos poremećaja,mora biti prema (9.8):

γ0 = 0, (9.20)

a preostalih se n − m koeficijenata γi određuje tako da se poništi n − m vodećih potencijabrojnika u GR, kako je već objašnjeno. Time se γi algebarski vežu s koeficijentima nazivnikaprijenosne funkcije Gmz(s), σi, te koeficijentima prijenosne funkcije procesa s obzirom naporemećaj. Koeficijente σi se pak najčešće odabire prema standardnim oblicima.

Nakon fiksiranja strukture i parametara regulatora GR(s) nalazi se prijenosna funkcijaprefiltra u grani referentne veličine Gν(s), kako bi se osigurala željena modelska prijenosnafunkcija sustava s obzirom na vodeću veličinu Gm(s) prema (9.10):

Gν(s) =n+lA (s)

nC(s)

kK(s)

vα(s)

n−m+l−kσ (s)

Bn+l

(s) Dm

(s)Ll(s) β

u(s) γ

n−m(s)

, (9.21)

1Često je C(s) djeljiv s L(s), često čak i C(s)=L(s), pa su ovi stupnjevi ustvari niži jer se u (9.11) obavljapokrata. Ova pokrata ne utječe na valjanost izloženog postupka sinteze.

84


iz čega zbog izvedivosti prefiltra Gν(s) proizlazi sljedeća veza između stupnjeva polinom bro-jnika i nazivnika od Gm(s), v i u, tim redom:

(n + l) + n + k + v + (n−m + l − k) ≤ (n + l) + m + l + u + (n−m)→ u− v ≥ n−m,

(9.22)

dakle svodi se na jednostavno pravilo da polni višak modelske prijenosne funkcije u− v morabiti veći ili jednak polnom višku prijenosne funkcije procesa s obzirom na upravljačku veličinun − m. Uz takav se izbor modelske prijenosne funkcije dobiva izvedivi prefiltar. Pojednos-tavnjenjem relacije (9.21) koristeći realaciju (9.11) za GR(s) = B(s)

A(s) dolazi se do sljedećegizraza za sintezu prefiltra:

Gν =(DγL)CKασ

(C(Kσ − γL))DLβγ=

Kασ

(Kσ − Lγ)β. (9.23)

Polinom β(s) bira se prema standardnim oblicima. Polinom α(s), ako se ne zahtijeva uvođenjenekih nula u prijenosnu funkciju zatvorenog kruga, je najčešće stupnja 0, s α0 = β0 kako bi sezadovoljio zahtjev (9.7). Navedena razmatranja vrijede kada je dinamika procesa s obziromna upravljačku veličinu i poremećaj stabilna i minimalnofazna. Ako to nije slučaj, sintezutreba obaviti uz odabir modelskih prijenosnih funkcija prema naputcima iz prošlog poglavlja.

Primjer 9.1

Zadan je sustav automatskog upravljanja prikazan na slici 9.2. Treba projektirati regulator

( )G sn

( )RG s1

1

1 sT+ ( )2

2

1

1 sT+

RX Y

'Z

+

++

-

Slika 9.2: Blokovska shema sustava upravljanja.

GR i prefiltar Gν minimalnog reda tako da dinamika odziva sustava Y i prema poremećajuZ ′ i prema referentnoj veličini XR bude određena Butterworthovim standardnim oblikom saωn = 3 rad

s . Regulacijskog odstupanja u stacionarnom stanju ne smije biti niti u odzivu naporemećaj niti u odzivu na referentnu veličinu. Zadano je: T1 = 1 [s], T2 = 5 [s].

85


Rješenje:

Zapišimo prijenosne funkcije procesa po upravljačkoj veličini i poremećaju:

Gs(s) = Y (s)U(s) = 1

(1+sT1)(1+sT2)2= D(s)

C(s) ,

→ D(s) = 1, m = 0, C(s) = (1 + sT1)(1 + sT2)2, n = 3,

Gsz(s) = Y (s)Z′(s) = 1

(1+sT2)2= K(s)

L(s) ,

→ K(s) = 1, k = 0, L(s) = (1 + sT2)2, l = 2.

Prvo projektiramo regulator GR koji će osigurati željeno ponašanje sustava pri odzivu naporemećaj. Razmotrimo oblik modelske prijenosne funkcije Gmz(s) = γ(s)

σ(s) za odziv sustavana poremećaj. Prema (9.17) i (9.18) za stupnjeve od γ (q) i σ (p) proizlazi:

q = n−m = 3,p = n−m + l − k = 5,

pa je uz zahtjev za stacionarnu točnost koji je ostvaren za γ0 = 0 oblik od Gmz(s) sljedeći:

Gmz(s) =γ3s

3 + γ2s2 + γ1s

σ5s5 + σ4s4 + σ3s3 + σ2s2 + σ1s + σ0

U ovom se izrazu jedan koeficijent može odabrati po volji (ali različit od nule, naravno), paneka je σ5 = 1. Ostali koeficijenti σi određeni su standardnim Butterworthovim polinomompetog stupnja (vidi [1], str. 242). Potrebno je dokinuti n−m = 3 vodeće potencije u polinomuKσ − Lγ koji glasi:

K(s)σ(s)− L(s)γ(s) = (σ5 − γ3T22 )s5 + (σ4 − 2γ3T2 − γ2T

22 )s4+

+(σ3 − γ3 − 2γ2T2 − γ1T22 )s3 + (σ2 − γ2 − 2γ1T2)s2 + (σ1 − γ1)s + σ0

Izjednačavanjem s nulom koeficijenata uz vodeće tri potencije dolazi se do sljedećih relacija:

potencija s5 → γ3 = σ5

T 22

= 1T 22

potencija s4 → γ2 = 1T 22(σ4 − 2γ3T2) = 1

T 22σ4 − 2

T 32

potencija s3 → γ1 = 1T 22(σ3 − γ3 − 2γ2T2) = 1

T 22σ3 − 2

T2σ4 + 3

T 22

Za Butterworthov polinom σ(s) 5. reda, uz σ5 = 1 proizlaze koeficijenti:

σ5 = 1,σ4 = 3.24ωn,σ3 = 5.24ω2

n,σ2 = 5.24ω3

n,σ1 = 3.24ω4

n,σ0 = ω5

n,

te za koeficijente γi prema prethodno izvedenim relacijama proizlazi:

γ3 = 1T 22,

γ2 = 3.24ωn

T 22

− 2T 32,

γ1 = 5.24ω2n

T 22

+ 3T 42− 6.48ωn

T 32

,

γ0 = 0,

86


pa prijenosna funkcija Gmz(s) glasi:

Gmz(s) =1

T 22s3 +

(3.24ωn

T 22

− 2T 32

)s2 +

(5.24ω2

n

T 22

+ 3T 42− 6.48ωn

T 32

)s

s5 + 3.24ωns4 + 5.24ω2ns3 + 5.24ω3

ns2 + 3.24ω4ns + ω5

n

.

Polinom Kσ − Lγ (potreban za sintezu regulatora) glasi:

Kσ − Lγ =(5.24ω3

n + 9.72ωn

T 22

− 4T 32− 10.48ω2

nT2

)s2+

+(3.24ω4

n − 3T 42− 5.24ω2

n

T 22

+ 6.48ωn

T 32

)s + ω5

n.

Prijenosna funkcija regulatora određena je s:

GR(s) = C(Kσ−Lγ)DγL = (1+T1s)(1+T2s)2(Kσ−Lγ)

1γ(1+T2s)2= (1+T1s)(Kσ−Lγ)

γ =

=(1+T1s)

5.24ω3

n+ 9.72ωnT22

− 4

T32− 10.48ω2

nT2

s2+

3.24ω4

n− 3

T42− 5.24ω2

nT22

+ 6.48ωnT32

s+ω5

n

1

T22

s3+

3.24ωn

T22

− 2

T32

s2+

5.24ω2

nT22

+ 3

T42− 6.48ωn

T32

s

=

= 123.75s3+384.45s2+503.70s+243.000.04s3+0.37s2+1.74s

.

Da bi se sustav na željeni način ponašao pri promjeni referentne veličine, u grani referenceprojektira se prefiltar prijenosne funkcije Gν(s). Najprije razmotrimo minimalni red brojnikai nazivnika modelske prijenosne funkcije

Gm(s) =α(s)β(s)

,

v i u, tim redom. Budući da uz prethodno provedenu sintezu mora vrijediti

u− v ≥ n−m = 3,

slijedi:u = 3,v = 0,

pa je prema Butterworthovom obliku uz koeficijent α0 = 1:

Gm(s) =1

s3

ω3n

+ 2 s2

ω2n

+ 2 sωn

+ 1=

α

β.

Prijenosna funkcija prefiltra određena je s

Gν =Kασ

(Kσ − Lγ)β=

σ

(Kσ − Lγ)β

Budući da su σ i β Butterworthovi polinomi neparnog reda s istim ωn, oba posjeduju nulu u−ωn. Dijeljenjem σ i β s s + ωn proizlazi:

σ(s)s+ωn

= s4 + 2.24ωns3 + 3ω2ns2 + 2.24ω3

ns + ω4n,

β(s)s+ωn

= s2

ω3n

+ sω2

n+ 1

ωn.

87


Prijenosna funkcija prefiltra glasi:

Gν(s) =σ(s)

s+ωn

(K(s)σ(s)−L(s)γ(s))β(s)

s+ωn

=

= s4+2.24ωns3+3ω2ns2+2.24ω3

ns+ω4n

5.24ω3n+ 9.72ωn

T22

− 4

T32− 10.48ω2

nT2

s2+

3.24ω4

n− 3

T42− 5.24ω2

nT22

+ 6.48ωnT32

s+ω5

n

s2

ω3n

+ s

ω2n

+ 1ωn

=

= 0.012s4+0.083s3+0.333s2+0.747s+10.057s4+0.289s3+0.978s2+1.406s+1

.

ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 9.1

Zadan je istosmjerni elektromotor kojem treba regulirati brzinu vrtnje. Motor se upravljanaponom armature ua s istosmjernog pojačala snage pojačanja Kp, kojem se na ulaz dovodiupravljački napon regulatora u:

ua = Kpu.

Brzina vrtnje motora ω dinamički ovisi o struji motora ia i momentu tereta mt:

Jdωdt

= Kia −mt.

Struja armature pak dinamički ovisi o naponu armature i brzini vrtnje:

Ladiadt

+ Raia = ua −Kω.

Blokovskom shemom prikažite rad motora. Pri izvođenju prijenosnih funkcija koristite stan-dardne oznake: Ta = La

Ra, Tm = J

KaK2 , Ka = 1Ra

. Vrijednosti parametara motora su sljedeće:K = 1.1, Ka = 0.3 A

V , Ta = 30 ms, Tm = 300 ms. Konstana pojačala Kp iznosi: Kp = 1.2.Treba sintetizirati regulator i prefiltar u grani referentne veličine brzine vrtnje, oba mini-

malnog reda. Sustav se treba i prema referenci brzine vrtnje i prema poremećaju oblika mo-menta tereta ponašati prema standardnom binomnom obliku, pritom ωn u oba slučaja nekabude isti, a odredite ga na način da maksimalni propad uslijed skokovite promjene momentatereta nastupi nakon tprop = 0.162 s. U stacionarnom stanju ne smije biti regulacijskog odstu-panja niti u odzivu na poremećaj niti u odzivu na referentnu veličinu. Nacrtajte blokovskushemu sustava upravljanja te odziv brzine vrtnje na pobude mt = S(t− 1) i ωr = S(t− 5) uzpočetno miran sustav (maksimalni iznos propada uslijed djelovanja momenta tereta također jepotrebno izračunati).Rješenje:

ωn = 10 rad/s,GR = K

Kp

(3ω2nTaTm−1)s2+(3ω2

nTm+ω3nTaTm−3ωn)s+ω3

nTm

s2+3ωns,

Gν =Taωn

s2+( 1ωn

+Ta)s+1

( 3Taωn

− 1

ω3nTm

)s2+( 3ωn

+Ta− 3

ω2nTm

)s+1,

maksimalni iznos propada: ωm = −0.771

88


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

ω

Slika 9.3: Odziv sustava upravljanja na danu pobudu.

89

Poglavlje 10

Poboljšanje regulacijskog vladanjapomoću složenijih strukturaupravljanja

Da bi se izbjegla često složena struktura regulatora potrebna za upravljanje složenijim sus-tavima s izrazitim djelovanjem poremećaja, uvode se složenije strukture upravljanja kao ek-stenzija regulacijskih krugova s jednom povratnom vezom. U ovom poglavlju iznose se dviječesto korištene ekstenzije: unaprijedna kompenzacija poremećaja i kaskadna regulacija.

Kod unaprijedne kompenzacije poremećaja, poremećaj treba mjeriti ili estimirati, te po-moću tog mjernog signala direktno kompenzirati njegov utjecaj u regulacijskom krugu. Dvamoguća načina vođenja signala poremećaja su preko regulatora ili direktno preko izvršnogčlana, vidi sliku 10.1.

( )RG s ( )sG s Y+

+

+

-

E U

'Z

( )szG s

RX

-

signal

poremećajadjelovanje

poremećaja( )uG s

(a)

( )RG s ( )sG s Y+

+

+

-

E U

'Z

( )szG s

RX-

signal

poremećaja djelovanje

poremećaja

+

( )uG s

(b)

Slika 10.1: Sustav automatskog upravljanja s unaprijednom kompenzacijom poremećaja preko regu-latora (a) i direktno preko izvršnog člana (b).

90

10. POBOLJŠANJE REGULACIJSKOG VLADANJA POMOĆU SLOŽENIJIH STRUKTURAUPRAVLJANJA

Koriste se sljedeće prijenosne funkcije:

GR(s) =B(s)A(s)

=b0 + b1s + . . . + bwsw

a0 + a1s + . . . + azsz, z ≥ w, (10.1)

Gs(s) =D(s)C(s)

=d0 + d1s + . . . + dmsm

c0 + c1s + . . . + cnsn, n > m, (10.2)

Gsz(s) =K(s)L(s)

=k0 + k1s + . . . + kks

k

l0 + l1s + . . . + llsl, l ≥ k, (10.3)

Gu(s) =Bu(s)Au(s)

=bu0 + bu

1s + . . . + buwuswu

au0 + au

1s + . . . + auzuszu zu ≥ wu, (10.4)

pri čemu je GR prijenosna funkcija regulatora, GR procesa, Gs procesa s obzirom na upravl-jačku veličinu, Gsz procesa s obzirom na poremećajnu veličinu, a Gu upravljačkog člana. Sw, z, m, n, k, l, wu, zu označeni su odgovarajući stupnjevi polinoma u brojniku odnosnonazivniku ovih prijenosnih funkcija. Prijenosna funkcija upravljačkog člana Gu, kojim se ost-varuje unaprijedna kompenzacija smetnje, određuje se kada je prijenosna funkcija regulatoraGR već fiksirana.

• Za idealnu kompenzaciju poremećaja preko regulatora prijenosna funkcija upravljačkogčlana glasi:

Gu =Gsz

GRGs=

ACK

BDL, (10.5)

pri čemu uvjet realizacije Gu zahtijeva zu ≥ wu, tj.

z + n + k ≤ w + m + l → (n−m) + (z − w) ≤ l − k, (10.6)

odnosno zbrojeni polni viškovi procesa s obzirom na upravljačku veličinu i regulatoramoraju biti manji ili jednaki polnom višku procesa s obzirom na poremećajnu veličinu.

• Za slučaj idealne kompenzacije utjecaja poremećaja direktno preko izvršnog člana pri-jenosna funkcija upravljačkog člana ima oblik

Gu =Gsz

Gs=

CK

DL, (10.7)

pri čemu uvjet realizacije zahtijeva

n−m ≤ l − k, (10.8)

tj. da polni višak procesa s obzirom na upravljačku veličinu bude manji od polnog viškaprocesa s obzirom na poremećajnu veličinu.

Kada idealna kompenzacija nije moguća zbog nezadovoljenja uvjeta izvedivosti, uvođenjemparazitnih vremenskih konstanti se nekauzalne prijenosne funkcije učine kauzalnim, na uštrbne više idealne kompenzacije smetnje.

Struktura kaskadnog upravljanja sastoji se od više upravljačkih petlji, koje su umetnutejedna u drugu, vidi sliku 10.2. Proces s ulazom U i izlazom Y predstavljen je kao niz od n

91


,1RG ,1sG1Y+

+

-

0U Y∫

'1Z

,1RX

-

,2RG ,1G+

,2sG+

+

'2Z

2Y

1nY,s nG+

nY Y∫+

'nZ

+

-

, 1R nX

,R nG ,2G,2RX

,R R nX X∫

Regulator Proces

,nG

1

2

n

,1mG

,2mG

,m nGMjerni članovi

Slika 10.2: Kaskadno upravljanje.

potprocesa Gs,i s ulazom Yi−1, te izlazom Yi, i = 1, . . . n pri čemu je Y0 ≡ U , a Yn ≡ Y .Pritom na izlazu svakog potprocesa djeluje smetnja Z ′i. Upravljačka petlja i regulira izlaz Yi,na temelju dane joj reference XR,i. Upravljačka veličina je pritom XR,i−1 kojom se reguliraprva podređena petlja. Zadatak je projektanta odrediti sve regulatore GR,i i pripadne prefiltreu grani reference Gν,i.

Sinteza kreće od najnutarnjije petlje (petlja 1), za koju se nalazi regulator GR,1. PrefiltromGν,1 krate se nepogodne nule u prijenosnoj funkciji zatvorenog kruga Gx,1 = Y1

XR,1. Gx,1 se za

potrebe sinteze strukturno pojednostavnjuje i kreće se u sintezu nadređene petlje.Kaskadnom strukturom upravljanja svaki pojedini regulator GR,i i prefiltar Gν,i mogu

zadržati jednostavnu strukturu regulatora PID tipa, ili nekog njegovog derivata. Za sintezuse tih regulatora često u praksi koriste postupci tehničkog i simetričnog optimuma.

• Za primjenu tehničkog optimuma pri sintezi regulatora potreban je stabilan aperiodskiproces bez astatizma:

Gs(s) = Ks1

(1 + T1s)(1 + T2s) . . . (1 + Tks), (10.9)

pri čemu je T2 + T3 + ... + Tk = TΣ ¿ T1, pa se T1 naziva dominantnom vremenskomkonstantom. Proces se u tom slučaju za potrebe sinteze regulatora zadovoljavajuće možeaproksimirati s

Gs(s) ≈ Ks

(1 + T1s)(1 + TΣs). (10.10)

Prijenosnu funkciju otvorenog kruga dovodi se u željeni IT1 oblik kompenzacijom dom-inantne vremenske konstante nulom regulatora i uvođenjem integralne komponente zaotklanjanje pogreške slijeđenja u stacionarnom stanju. Uz strukturu procesa (10.10) tose postiže PI regulatorom

GR(s) = KR1 + TIs

TIs, (10.11)

pri čemu jeTI = T1. (10.12)

92


IT1 oblik prijenosne funkcije Go(s) je:

Go(s) =KRKs

TIs(1 + TΣs)=

Ko

T1s(1 + TΣs). (10.13)

Pojačanje KR sad se odabire na način da prijenosna funkcija zatvorenog kruga oblikaPT2S člana ima koeficijent prigušenja ζ =

√2

2 , što je često optimalan izbor za mnogesustave jer daje uravnoteženje između suprotstavljenih zahtjeva na brzinu prijelaznepojave i malo nadvišenje:

KR =1

2Ks

T1

TΣ. (10.14)

Prijenosna funkcija zatvorenog kruga poprima oblik

Gx(s) =1

1 + 2TΣs + 2T 2Σs2

, (10.15)

koja se za potrebe daljnje sinteze može strukturno pojednostavniti:

Gx(s) ≈ 11 + 2TΣs

. (10.16)

• Kod primjene simetričnog optimuma proces je predstavljen IT1 članom:

Gs(s) =Ks

Tis(1 + TΣs). (10.17)

Uz odabran regulator PI tipa

GR(s) = KR1 + TIs

TIs(10.18)

dobiva se prijenosna funkcija otvorenog kruga sljedećeg oblika:

Go(s) =Ko

TITis2

1 + TIs

1 + TΣs. (10.19)

Zahtjev za stabilnost neovisnu o Ko je TI > TΣ pa dakle u prijenosnoj funkciji otvorenogkruga postoji član s faznim prethođenjem, uz kojeg fazna karakteristika posjeduje mak-simum na frekevnciji

ωm =1√

TITΣ. (10.20)

S obzirom na frekvenciju ωm fazna karakteristika je simetrična, a ako se s a2 > 1 označiodnos između TI i TΣ:

TI = a2TΣ, (10.21)

faza od Go(jω) na frekvenciji ωm je

ϕo(ωm) = arg Go(jωm) = −180 + arctan a− arctan1a. (10.22)

93


Odabere li se presječna frekvencija

ωc = ωm (10.23)

tada i amplitudno-frekvencijska karakteristika od Go postaje simetrična s obzirom naos 0 dB. Fazno osiguranje odabire se pritom da iznosi

γ = arctan a− arctan1a

= arctan12

(a− 1

a

)= 37, (10.24)

iz čega za a proizlazia = 2. (10.25)

Iz zahtjeva na presječnu frekvenciju ωc (10.23) proizlazi i iznos pojačanja regulatora prisimetričnom optimumu:

KR =Ti

aKsTΣ. (10.26)

Dakle se uz a = 2 dobivaju sljedeći parametri regulatora:

TI = 4TΣ

KR = Ti2KsTΣ

(10.27)

Prijenosna funkcija zatvorenog kruga dobiva se u obliku:

Gx(s) =1 + a2TΣs

1 + a2TΣs + a3T 2Σs2 + a3T 3

Σs3

(a=2)=

1 + 4TΣs

1 + 4TΣs + 8T 2Σs2 + 8T 3

Σs3. (10.28)

Prijenosna funkcija ovog oblika rezultira značajnim nadvišenjem u prijelaznoj karakter-istici zatvorenog kruga s obzirom na referentnu veličinu, kojeg se smanji dodavanjemprefiltra u granu reference koji krati nulu od Gx. Grubim strukturnim pojednostavn-jenjem prijenosna funkcija zatvorenog kruga se nakon dodavanja prefiltra može svestina

Gx =1

1 + 3.7TΣs, (10.29)

za potrebe sinteze eventualnih nadređenih regulacijskih krugova.

Primjer 10.1

Zadan je problem regulacije razmaka vozila (slika 10.3) na vodoravnoj podlozi. Vozilo 2treba slijediti vozilo 1 na zadanoj referentnoj udaljenosti x2r. Regulacijski uređaj kojeg trebaprojektirati daje upravljačku veličinu u za vozilo 2 koja je povezana s brzinom vozila v2 prekočlana s usporenjem drugog reda:

T1T2d2v2

dt2+ (T1 + T2)

dv2

dt+ v2 = Kvu . (10.30)

Promjena razmaka x2 između vozila ovisi o razlici brzina prvog (v1) i drugog vozila (v2):dx2dt = v1 − v2. Potrebno je projektirati kaskadnu strukturu upravljanja rastojanja vozila s PI

94


2x2v

1v2PTu

Vozilo 2 Vozilo 1

Slika 10.3: Regulacija razmaka vozila.

regulatorima, na raspolaganju su mjerenja brzine drugog vozila v2 i razmaka između vozila x2.Zadano je: Kv = 10 m

Vs , T1 = 3 s, T2 = 20 s.Predložite izgled dvopetljaste kaskadne strukture upravljanja te ju blokovski prikažite. Nad

pojedinim PI regulatorima naznačite prema kojem će se praktičnom optimumu vršiti sinteza.Potom projektirajte regulatore za nutarnju i vanjsku petlju prema predloženim praktičnim op-timumima. Po potrebi u referentne grane petlji dodavajte prefiltre.

Rješenje:

Blokovska shema dana je na slici 10.4. PI regulator za nutarnji krug po tehničkom optimumu:

PI, S.O. PI, T.O. ( )( )1 21 1vK

T s T s+ +1

s

-+

+

-

+

-

2rx 2x2v1v

u2rv

Slika 10.4: Blokovska shema kaskadne regulacije.

TI1 = T2 = 20 sKR1 = T2

2KvT1= 0.33 .

Aproksimacija prijenosne funkcije zatvorenog kruga nutarnje petlje:

Gx1(s) =1

1 + 2T1s + 2T 21 s2

≈ 11 + 2T1s

Proces za vanjsku petlju:

Gs2(s)Gx1(s) = − 1s(1 + 2T1s)

PI regulator za vanjski krug po simetričnom optimumu (a = 2):

TI2 = a2 ∗ 2T1 = 24 s|KR2| = 1

2aT1= 0.083 ⇒ KR2 = −0.0833 .

95


Nula vanjskog regulatora kompenzira se prefiltrom u grani vodeće vrijednosti vanjskog krugavremenske konstante:

Tf = TI2 = 24 s .

Primjer 10.2

Za sustav regulacije razine tekućine h2 (vidi sliku 10) potrebno je:

a) odrediti prijenosne funkcije svih elemenata te nacrtati strukturnu shemu,

b) odrediti parametre unutarnjeg PI regulatora GR1 prema tehničkom optimumu,

c) projektirati unaprijedni kompenzator Gu poremećajnog toka qz u unutarnjem krugu kojidjeluje direktno na izvršni član. Ako prijenosna funkcija nije ostvariva, treba joj dodatiparazitnu vremensku konstantu da posatne takvom.

d) odrediti parametre vanjskog PI regulatora GR2 prema simetričnom optimumu. Aproksimi-rati dominantne vremenske konstante integralnim djelovanjem te po potrebi dodati prefilterza kompenzaciju nula unutarnje petlje.

Po potrebi odredite prijenosne funkcije prefiltara u granama referenci XR,h1, XR,h2, koji ćekompenzirati nule odgovarajućih prijenosnih funkcija zatvorenog kruga. Linearizirane diferen-cijalne jednadžbe elemenata regulacijskog sustava su:

• regulacijski ventil:

Tv · dq1

dt+ q1 = Kv · x,

• 1. spremnik:

A1 · dh1

dt= q1 − q12,

q12 = K1 · h1.

• 2. spremnik:

A2 · dh2

dt= q12 − q2,

q2 = K2 · h2.

• mjerni članovi razine tekućine:

Tm · dh1m

dt+ h1m = K1m · h1,

Tm · dh2m

dt+ h2m = K2m · h2.

96


Parametri lineariziranih diferencijalnih jednadžbi su:

Tv = 1[s] - vremenska konstanta ventila,Kv = 0.05

[ lit.mAs

]- konstanta ventila,

A1 = 1[m2

]- površina poprečnog presjeka 1. spremnika,

A2 = 7[m2

]- površina poprečnog presjeka 2. spremnika,

K1 = 0.1[

lit.sm

], K2 = 0.07

[lit.sm

]- koeficijenti istjecanja,

Tm = 0.5[s] - vremenska konstanta mjernog člana razine,K1m = 10

[Vm

], K2m = 20

[Vm

]- pojačanja mjernih članova razine.

x

1h

2h

1q

12q

2q

1mH

++

--

prefilter 2(eventualno)

prefilter 1(eventualno) 1RG

11 1

1

1 IR R

I

T sG K

T s

+=

22 2

2

1 IR R

I

T sG K

T s

+=

2RG

1Gn2G

n

2mH

2RhX 1RhX1. spremnik

2. spremnik

zquG

-

Slika 10.5: Sustav regulacije razine fluida.

Naznačene veličine na slici su:

x - otvor ventila [mA],q1, q12, q2 - protoci tekućine

[ lit.s

],

h1, h2 - razine tekućine [m],h1m, h2m - mjerni signali razina tekućine [V],XRh1,XRh2 - referentne vrijednosti razina tekućina [V].

NAPOMENA: Mjerne jedinice parametara diferencijalnih jednadžbi su međusobno prilagođenetako da ih ne treba svoditi na SI sustav mjernih jedinica.

Rješenje:

97


a) Iz danih diferencijalnih jednadžbi možemo dobiti sljedeće prijenosne funkcije

Q1(s) =KV

TV s + 1X(s),

G1(s) =Q1(s)X(s)

=KV

TV s + 1=

0.05s + 1

,

H1(s) =

1K1

A1

K1s + 1

Q1(s),

G2(s) =Q1(s)H1(s)

=

1K1

A1

K1s + 1

=10

10s + 1,

H2(s) =

K1

K2

A2

K2s + 1

H1(s),

G3(s) =H2(s)H1(s)

=K1K2

A2K2

s + 1=

1.43100s + 1

,

H1m(s) =K1m

Tms + 1H1(s),

G4(s) =H1m(s)H1(s)

=K1m

Tms + 1=

100.5s + 1

,

H2m(s) =K2m

Tms + 1H2(s),

G5(s) =H2m(s)H2(s)

=K2m

Tms + 1=

200.5s + 1

.

b) Parametre PI regulatora za unutrašnju petlju nalazimo po tehničkom optimumu. Pri-jenosna funkcija otvorenog kruga može se prikazati kao:

Go1(s) =0.05s + 1

1010s + 1

100.5s + 1

≈ 5(10s + 1)(1.5s + 1)

.

Slijede parametri PI regulatora GR1

KR1 = 105∗2∗1.5 = 0.67 TI1 = 10 [s] ,

tj.:

GR1 = 0.671 + 10s

10s.

Prijenosna funkcija zatvorene unutrašnje petlje može se prikazati kao

Gx1(s) =0.5s + 1

101

1 + 3s + 4.5s2≈ 0.5s + 1

101

1 + 3s.

98


Budući da prijenosna funkcija otvorenog kruga vanjske petlje ima pol koji odgovara nuliove prijenosne funkcije (uslijed mjernih članova razine s istom vremenskom konstantom),prefiltar nije potrebno uvoditi, dakle:

Gν1 = 1.

c) Pretkompenzator u unutarnjoj petlji Gu, budući da djeluje direktno na izvršni član nalazise na sljedeći način:

Gu =H1Qz

H1X

=G2

G1G2=

1 + sTV

KV

kauzalnost≈ 1KV

1 + TV s

1 + 0.1TV s

d) Prijenosna funkcija otvorenog kruga vanjske petlje se može prikazati kao

Go2(s) =1.43

100s + 120

0.5s + 10.5s + 1

101

1 + 3s≈ 2.86

100s(1 + 3s),

pri čemu je PT1 član velike vremenske konstante aproksimiran integarlnim ponašanjem.Nad ovakvom je prijenosnom funkcijom moguće naći regulator prema simetričnom opti-mumu. Uz a = 2 dobiju se parametri PI regulatora:

TI2 = 4 ∗ 3 = 12 [s] KR2 = 12·2.86

1003 = 5.83,

tj.:

GR2 = 5.831 + 12s

12s.

Prijenosna funkcija zatvorene petlje je

Gx2(s) =0.5s + 1

201 + 12s

1 + 12s + 72s2 + 216s3

U ovom slučaju je potrebno projektirati prefiltar da se kompenziraju nule prijenosnefunkcije Gx2(s)

Gν2(s) =1

(0.5s + 1) (12s + 1)

ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 10.1

Slijedni sustav zakreta elektroničke zaklopke kojom se regulira dotok zraka u motor automo-bila prikazan je slikom. Napon armature motora upravlja se bipolarnim čoperom kojem se naulaz dovodi upravljački napon u. Budući da je frekvencija rada čopera puno veća od najvećegranične frekvencije procesa, djelovanje čoperskog pojačala može se aproksimirati proporcional-nim članom. Jednadžba arrmaturnog kruga motora glasi:

Tadiadt

+ Raia = Kchu−Kvωm,

99


M

reduktor

potenciometar

ELEKTRONIČKI PRIGUŠNIVENTIL

tijeloventila

ua

ia

UcČOPER

Ubat+

povratnaopruga

u

Slika 10.6: Elektronička zaklopka.

pri čemu je ia struja armature motora, ωm brzina vrtnje motora, Ta armaturna vremenskakonstanta, Ra otpor armature, Kch pojačanje čopera, a Kv konstanta motora. Jednadžbagibanja motora glasi:

Jdωm

dt= Ktia −KlKSθ,

pri čemu je J moment inercije zamašnih masa sveden na osovinu motora, Kt konstanta mo-tora, Kl omjer prijenosa u reduktoru, a KS koeficijent krutosti povratne opruge. Konačno,kut zakreta ventila θ povezan je s ωm preko

dθdt

= Klωm.

Pretpostavite da su na raspolaganju mjerenja brzine vrtnje motora (ωm,[ rad

s

]) i kuta zakreta

ventila (θ, [rad]). Prijenosne funkcije mjernih članova su jedinične. Sustav upravljanja za-kretom θ izveden je kao dvopetljasti kaskadni sustav upravljanja. Nacrtajte shematski izgledzatvorenog sustava upravljanja. Projektirajte PI regulatore u regulacijskim krugovima premaodgovarajućim praktičnim optimumima, te po potrebi u grane referentnih vrijednosti regu-lacijskih petlji dodavajte prefiltre. Zadano je: Ta = 3 ms, Ra = 3 Ω, Kch = 2.1, Kv = 0.02 Vs

rad ,J = 2 · 10−6Nms2

rad2 , Kt = Kv, Kl = 0.06, KS = 0.05 Nmrad . Napomena: prijenosne funkcije

potprocesa u petljama uvijek treba prikladnom aproksimacijom svesti na standardni oblik zaprimjenu određenog praktičnog optimuma.Rješenje: PI regulator brzine vrtnje, prema tehničkom optimumu: KR1 = 0.0125, TR1 =

11 ms, nema prefiltra u grani reference brzine vrtnjePI regulator kuta zakreta, prema simetričnom optimumu: KR2 = 1006, TR2 = 33.1 ms,

prefiltar u grani reference kuta zakreta:

Gpf =1

0.0331s + 1.

100

Poglavlje 11

Sinteza linearnih kontinuiranihsustava u prostoru stanja

Linearni kontinuirani proces je u prostoru stanja opisan pomoću jednadžbi

x = Ax + Bu,y = Cx + Du,

(11.1)

pri čemu je x ∈ Rn stanje procesa, u ∈ R upravljački ulaz u proces, a y ∈ R izlaz iz procesa.Primijetite da su u i y jednodimenzionalni, dakle razmatramo samo tzv. SISO procese.

Za ovakav proces uvode se pojmovi upravljivosti i osmotrivosti. Sustav je upravljiv ako jemoguće odrediti signal upravljanja u(t) unutar konačnog vremenskog intervala duljine tf kojiće dovesti sustav iz bilo kojeg početnog stanja x0 u ishodište prostora stanja. Upravljivost seprovjerava matricom upravljivosti

S1 =[B AB A2B . . . An−1B

](11.2)

koja mora biti ranga n da bi sustav bio upravljiv, odnosno ekvivalentno (samo za SISO i SIMOsustave!) determinanta od S1 mora biti različita od 0. Sustav je osmotriv ako je mogućepoznavanjem izlaznog signala u konačnom vremenskom intervalu duljine tf rekonstruiratistanje x0 na početku tog intervala. Osmotrivost se provjerava matricom osmotrivosti

S2 =[CT AT CT

[AT

]2CT . . .

[AT

]n−1CT

](11.3)

koja mora biti ranga n, odnosno ekvivalentno (samo za SISO i MISO sustave!) determinantaod S2 mora biti različita od 0.

Projektiramo sustav upravljanja po varijablama stanja kod kojeg se upravljački ulaz pro-računava na temelju stanja procesa x i željenog izlaza sustava xR:

u = V xR − Fx, (11.4)

pri čemu je F matrica povratne veze po varijablama stanja, a V je prefiltar u grani referenceizlaza xR kojim se sustav u relaciji xR → y svodi na jedinično statičko pojačanje i kojim

101

11. SINTEZA LINEARNIH KONTINUIRANIH SUSTAVA U PROSTORU STANJA

V B1

s

D

A

C

F

uRx x x+ +

+-

y

Slika 11.1: Blokovski prikaz sustava upravljanja po varijablama stanja.

se eventualno mogu kratiti minimalnofazne nule sustava upravljanja. Sustav upravljanjaprema (11.1)-(11.4) blokovski se može prikazati slikom 11.1. Dinamika zatvorenog sustavaupravljanja u prostoru stanja je sad opisana relacijom

x = (A−BF )x + BV xR,y = (C −DF )x + DV xR.

(11.5)

U slučaju da je sustav upravljiv, polovi zatvorenog kruga (odnosno karakteristične vrijednostimatrice A-BF) mogu se postavljati na proizvoljne lokacije u s-ravnini mijenjanjem koeficije-nata matrice F . Ako se s P označi željeni karakteristični polinom zatvorenog kruga,

P (s) = sn + pn−1sn−1 + . . . + p1s + p0, (11.6)

tada se matrica F računa Ackermannovom formulom:

F = [0 0 . . . 1]S−11 P (A), (11.7)

dakle se posljednji redak invertirane matrice upravljivosti pomnoži s karakterističnim poli-nomom po matrici A. Pojačanje prefiltra određeno je s

V =[C(BF −A)−1B

]−1. (11.8)

Ovaj pristup sintezi zahtijeva da su sva stanja procesa mjerljiva i dostupna. Ako to nijeslučaj, a želi se primjeniti regulator po varijablama stanja, stanja sustava treba estimirati natemelju znanih ulaza i izlaza procesa u i y, koristeći estimator stanja prema shemi na slici 11.2.Očito je estimator samo ponovljeni proces kojem se stanja korigiraju na temelju razlike izlazaprocesa i estimiranog izlaza procesa y − y. Estimirano stanje označava se s x, a njegova jedinamika prema slici 11.2 određena s

˙x = Ax + Bu + FE(y − y) = Ax + Bu + FEC(x− x). (11.9)

Ako se s e = x − x označi pogreška estimacije, tada se oduzimanjem (11.9) od (11.1) dolazido sljedećeg izraza za dinamiku greške estimatora:

˙e = (A− FEC)e. (11.10)

102


B1

s

D

A

C

u

x x+

+ y

EB B=

1

s

EA A=

x x

+

+

EC C=

ED D=

y

+

+

+

+

+

-

EF+

x

Estimator stanja

u

Slika 11.2: Estimator stanja sustava.

Dakle je karakteristična matrica dinamike pogreške estimacije A−FEC, te se njene svojstvenevrijednosti mogu postaviti na proizvoljna mjesta u s-ravninu ako je proces osmotriv. Ove sesvojstvene vrijednosti mogu odrediti kao nultočke karakterističnog polinoma estimatora

PE(s) = |sI − (A− FEC)| . (11.11)

Naravno, pritom svakako treba osigurati stabilnu dinamiku greške estimatora kako bi bilo

limt→∞ e(t) = 0, (11.12)

odnosno x(t) → x(t).Zatvoreni sustav upravljanja s estimatorom stanja, pri kojem se upravljački ulaz proraču-

nava kaou = V xR − Fx (11.13)

ustvari je sustav reda 2n prikaziv u prostoru stanja na sljedeći način:[

x˙e

]=

[A−BF BF

0 A− FEC

] [xe

]+

[BV0

]xR, (11.14)

pa je karakteristični polinom sustava upravljanja s estimatorom stanja Pu(s) dan s

Pu(s) = |sI − (A−BF )| |sI − (A− FEC)| = P (s)PE(s). (11.15)

Dakle, iz posljednje relacije slijedi da je polove estimatora i polove sustava upravljanja mogućeodvojeno zadavati. U pravilu se uvijek postupa na način da se odaberu polovi sustava up-ravljanja kao da su sva stanja mjerljiva, a potom se, ako nisu, doda estimator čija dinamika

103


treba biti nekoliko puta brža od dinamike sustava upravljanja (polovi estimatora smještajuse ljevije od polova sustava upravljanja u lijevoj s-poluravnini).

Projektirani regulator osigurava željenu dinamiku, ali ne i stacionarnu točnost kada djelujuporemećaji na proces, budući da regulator po varijablama stanja ima PD karakteristike i nemaintegralnog djelovanja. Jednadžba stanja procesa na koji djeluje i poremećaj w ∈ Rm možese prikazati na način

x = Ax + Bu + w. (11.16)

Stacionarna točnost sustava upravljanja (xR = y) neovisno o iznosu poremećaja može seosigurati uvođenjem integrala pogreške slijeđenja xR − y u regulator, vidi sliku 11.3. Izlaz

V B1

s

D

A

C

F

uRx x x+ +

+-

y

1

s

*1nf +

+

-

*x *xw

-

Slika 11.3: Otklanjanje regulacijskog odstupanja u sustavu s upravljanjem po varijablamastanja.

integratora predstavlja sada još jednu varijablu stanja, označimo ju s x∗, o kojoj bez prob-lema dobivamo informaciju jer je dio samog regulatora, te i s nje povlačimo povratnu vezu(pojačanje f∗n+1) pa se opet dobiva regulator po svim varijablama stanja sustava upravl-janja. Ovakav prošireni sustav ima dimenziju n + 1 (za sustave s više izlaza bilo bi potrebnoviše ovakovih integratora pogreške, za svaki par referenca-izlaz po jedan). Primijetimo da ćesustav, ako mu osiguramo stabilnost, sigurno biti stacionarno točan. Naime, ako je sustavstabilan, to zanči da mu je ravnotežno stanje (njegovo jedino!), u kojem su sve derivacijestanja nula, također stabilno. No kako je jedno od stanja upravo i x∗, a njegova je derivacijajednaka xR − y, to pak znači da je u stacionarnom stanju xR − y = 0 → xR = y, i sustavupravljanja je stacionarno točan. Razmotrimo kako izgledaju matrice zatvorenog proširenog

104


sustava upravljanja:

[xx∗

]=

[Ax + BuxR − y

]=

Ax + B

(V xR − [F f∗n+1]

[xx∗

])

xR − Cx−D

(V xR − [F f∗n+1]

[xx∗

])

=

=[

A−BF −Bf∗n+1

−C + DF Df∗n+1

] [xx∗

]+

[BV1

]xR,

y = Cx + Du = Cx + D

(V xR − [F f∗n+1]

[xx∗

])=

=[

C −DF −Df∗n+1

] [xx∗

]+ DV xR.

(11.17)

Sažetije se može pisati:˙x = Ax + BxR

y = Cx + DxR, (11.18)

pri čemu je

x =[

xx∗

]. (11.19)

Vektor pojačanja [F f∗n+1] određuje se pomoću željenog karakterističnog polinoma P (s) takoda se odgovarajući koeficijenti od |sI − A| izjednače s koeficijentima od P . Primijetite daiznos člana V više nije ključan za iznos stacionarnog stanja, no njime se sada može podesitibrojnik prijenosne funkcije zatvorenog kruga, u smislu da se može povećati brzina slijeđenjareference, na uštrb većeg nadvišenja.

Primjer 11.1

Sustav skladištenja fluida u dva spojena bazena opisan je u okolini radne točke sljedećimmodelom u prostoru stanja:

[∆h1

∆h2

]=

[ −σ 0σ −σ

] [∆h1

∆h2

]+

[10

]∆u, (11.20)

∆y =[

0 1] [

∆h1

∆h2

]. (11.21)

Potrebno je:

a) Provjeriti je li proces upravljiv i osmotriv. Odrediti matricu povratne veze F tako da polovizatvorenog kruga budu p1,2 = σ(−2± j2),

b) Odrediti pojačanje prefiltra V u referentnoj grani tako da pogreška u stacionarnom stanjuna skokovitu pobudu bude 0,

105


1h

1u

2h

Slika 11.4: Sustav skladištenja fluida

c) Osigurati da proces nema stacionarnu pogrešku niti pri djelovanju poremećajnog toka qz udrugi spremnik. Polovi zatvorenog regulacijskog kruga neka budu prema Butterworthovomstandardnom obliku uz ωn = 2σ. Preprojektirati V tako da prijenosna funkcija zatvorenogregulacijskog kruga nema nula.

d) Pretpostaviti da je mjerljiva samo razina fluida u drugom bazenu te projektirati estimatorstanja punog reda za linearizirani proces, tako da polovi dinamike pogreške estimacije budup1,2 = −3σ(1± j).

Rješenje:

a) Matrice sustava su:

A =[ −σ 0

σ −σ

], (11.22)

B =[

10

], (11.23)

C =[

0 1]. (11.24)

Sustav je upravljiv ako matrica

[B AB] =[

1 −σ0 σ

]

106


ima determinantu različitu od 0, što je ispunjeno uvijek za σ 6= 0, a σ = 0 odgovaralo bisamo žačepljenju izlaznog otvora gornjeg bazena. Sustav je osmotriv ako matrica

[CT AT CT

]=

[0 σ1 −σ

]

ima determinantu različitu od 0 što je opet ispunjeno uvijek za σ 6= 0. Dakle je zaσ 6= 0 sustav upravljiv i osmotriv, pa će biti moguće proizvoljno postavljati polove sustavaupravljanja po varijablama stanja i estimatora.

Karakteristični polinom zatvorenog regulacijskog kruga dan je izrazom:

|sI −A + BF | = s2 + (2σ + f1)s + σ2 + f1σ + f2σ

Željeni karakteristični polinom zatvorenog regulacijskog kruga je:

(s + 2σ − 2σj) · (s + 2σ + 2σj) = s2 + 4σs + 8σ2.

Izjednačavanjem željenog karakterističnog polinoma i determinante slijedi:

f1 = 2σ,f2 = 5σ.

Matricu povratne veze F moguće je odrediti i primjenom Ackermanove formule (11.7).

b) Pojačanje prefiltra V određuje se prema:

V =[C(BF −A)−1B

]−1,

te proizlazi V = 8. Uz tako odabrano pojačanje prefiltra sustav ima jedinično pojačanje.

c) Uvodi se integral pogreške regulacijskog odstupanja xR − y kao dodatna varijabla stanjasustava x∗, prema slici 11.3. Tražimo vektor pojačanja F = [f1 f2 f∗3 ] = [F f∗3 ] tako dazatvoreni krug ima karakteristični polinom prema Butterworthu s ωn = 2σ, što za sustavtrećeg reda daje polinom:

P (s) = s3 + 2ωns2 + 2ω2ns + ω3

n.

Matrica zatvorenog kruga A sada glasi prema (11.17) i (11.18):

A =[

A−BF −Bf∗3−C + DF Df∗3

]=

−σ − f1 −f2 −f∗3

σ −σ 00 −1 0

.

Za nalaženje F treba izjednačiti odgovarajuće koeficijente od |sI − A| s koeficijentima odP (s):

s3 + (2σ + f1)s2 + (σ2 + σf1 + σf2)s− σf∗3 ,

107


pa slijedi:f1 = 2σ,f2 = 5σ,f∗3 = −8σ2

Za prijenosnu funkciju zatvorenog sustava, uz nepoznati član V proizlazi:

Y (s)XR(s)

= (C(sI − A)−1B + D) =V s + ω3

n

P (s).

Dakle, za V=0 prijenosna funkcija zatvorenog kruga je točno modelska prema Butter-worthu. Za pokratu eventualnih neželjenih nula bismo u granu reference prije uzimanjareference za proračun pogreške trebali dodati prefiltar.

d) Ako je mjerljiva samo razina fluida u drugom spremniku, upotrebljava se estimator varijablistanja procesa, prema slici 11.2. Primijetite da varijablu stanja x∗ nije potrebno estimi-rati jer je ona baš u regulatoru, tako da treba provesti estimaciju samo stanja procesa.Označimo s

FE =[

fE1

fE2

]

pojačanja estimatora koja treba odrediti. Pogledajmo kako se to može dobiti iz Ack-ermannove formule primjenom dualnosti između svojstva upravljivosti s matricama A iB, te osmotrivosti s matricama AT i CT . Karakteristična matrica dinamike pogreškeestimatora je A − FEC. Njene svojstvene vrijednosti treba postaviti na odgovarajućelokacije dane s polovima pE,1,2 = −3σ(1± j). No, iste svojstvene vrijednosti ima i matrica(A−FEC)T = AT −CT F T

E . Prema Ackermannovoj formuli, matrica F TE može se naći kao

F TE = [0 0 . . . 1][CT AT CT ]−1PE(AT ).

Budući da je

PE(s) = (s + 3σ − 3σj)(s + 3σ + 3σj) = s2 + 6σs + 18σ2,

za FE proizlazi:

FE =[

134

].

Primjer 11.2

Zadan je sustav regulacije kuta zakreta θ krana na slici 11.5. Regulator kojeg treba projektiratitreba održavati željeni referentni zakret krana. Regulator daje upravljačku veličinu u koja je,zbog zanemarenja dinamike motora, jednaka razvijenom momentu motora mm. Jednadžbagibanja krana je:

Jd2θ

dt2= mm − k1 cos θ −mt = u− k1 cos θ −mt

pri čemu je J moment inercije krana pri okretanju oko jednog svog kraja, k1 je konstantakrana, a mt je moment uslijed promjenjivog tereta na kraju krana. Potrebno je:

108


θmm u≡

1 cosk θ

tm

d

dt

θ

Regulacijski

uređaj

1x θ=

2

d

dx

t

θ=

Rθ

Motoru

Slika 11.5: Shematski prikaz sustava upravljanja.

a) prikazati proces gibanja krana u prostoru stanja, s ulazom u, te stanjima x1 = θ , x2 = dθdt

(kod prikaza u prostoru stanja zanemarite djelovanje mt);

b) obaviti linearizaciju modela u radnoj točki θ0 = π3 ;

c) odrediti regulator po varijablama stanja koji osigurava statičku grešku θR−θ = 0 s obziromna male promjene zadanog referentnog kuta zakreta θR oko θ0, bez obzira na iznos momentatereta mt uslijed terećenja teretom slobodnog kraja krana. Dinamika zatvorenog sustavaneka bude određena standarnim binomnim oblikom uz n = 3. Zadano je: k1 = 110000 Nm,J = 2700 kgm2;

d) nacrtati kompletnu blokovsku shemu sustava upravljanja, s nelinearnim procesom i točnim

109


izgledom regulatora po varijablama stanja. Obratite pažnju na način kako se tvori upravl-jački signal regulatora.

Rješenje:

a) Uz zanemarenje ulaza mt (nepoznati poremećaj) proces zakretanja krana opisan je s:

Jd2θ

dt2= mm − k1 cos θ = u− k1 cos θ,

te se uz varijable stanjax1 = θ,

x2 = dθdt ,

x =[

x1

x2

]

i izlaz y = θ dobiva nelinearni model u prostoru stanja:

dx1dt = x2 = f1(x, u),dx2dt = −k1

J cosx1 + 1J u = f2(x, u), y = x1.

b) Linearizacijom modela u okolini radne točke x10 = θ0 = π3 , pri čemu je x20 = 0, a

u0 = k1 cosx10 = k12 (dobiveno iz dx

dt = 0), uz

u = u0 + ∆u,x1 = x10 + ∆x1,x2 = x20 + ∆x2,y = y0 + ∆y,

∆x =[

∆x1

∆x2

],

slijedi:d∆x1dt = ∆x2,

d∆x2dt = k1

J sinx10∆x1 + 1J ∆u = k1

√3

2J ∆x1 + 1J ∆u,

∆y = ∆x1.

U matričnom zapisu:˙(∆x) = A∆x + B∆u,

∆y = C∆x + D∆u,

gdje su matrice A, B, C, D lineariziranog sustava:

A =

[0 1

k1

√3

2J 0

], B =

[01J

], C =

[1 0

], D = [0] .

110


c) Referenca sustava upravljanja je:xR = θR.

Da se osigura regulacija bez stacionarne pogreške i pri djelovanju nepoznatog poremećaja,uvodi se integral regulacijskog odstupanja kao dodatna varijabla stanja x∗:

x∗ = ∆x∗ =∫ t

0(θR − θ)dτ =

∫ t

0[(xR − x10)− (x1 − x10)]dτ =

∫ t

0[∆xR −∆x1]dτ .

Uvedimo matricu pojačanja regulatora:

F =[

F f∗3]

=[

f1 f2 f∗3],

pa se zakon upravljanja može zapisati kao:

∆u = −F

[∆x∆x∗

]= −F ∆x.

Za linearizirani zatvoreni krug upravljanja može se pisati:[

˙(∆x)˙(∆x∗)

]=

[A−BF −Bf∗3−C + DF Df∗3

] [∆x∆x∗

]+

[01

]∆xR = A∆x + B∆xR,

pri čemu je:

A =

0 1 0k1

√3

2J − f1

J −f2

J −f∗3J

−1 0 0

, B =

001

.

Matrica sI − A je:

sI − A =

s −1 0f1

J − k1

√3

2J s + f2

Jf∗3J

1 0 s

,

te se razvojem |sI − A| npr. po trećem retku dobiva karakteristični polinom zatvorenogsustava upravljanja

|sI − A| = s3 +f2

Js2 +

(f1

J− k1

√3

2J

)s− f∗3

J

koji se treba izjednačiti sa željenim karakterističnim polinomom odgovarajućeg reda bi-nomnog standardnog oblika uz zadani ωn:

P (s) = (s + ωn)3 = s3 + 9s2 + 27s + 27,

pa za elemente matrice regulatora F proizlazi:

f1 = 27J +k1

√3

2J= 168162.8, f2 = 9J = 24300.0, f∗3 = −27J = −72900.0

tj.F =

[168162.8 24300.0 −72900.0

]

111


R Rxq =

0q

+

-

+

-

1xD

RxD *( )xD 1

s

*xD

F-uD

0u

+

+

u 1

J

+-

22

2

d d

d d

x

t t

q=

1

s

1

s12

d d

d d

xx

t t

q= =

1x q=

cos1k

J

2x

1x

10 0x q=

-

20x

+

+ -

1xD

2xD

-

1

J

tm

Regulator Proces

Slika 11.6: Shema upravljanja.

d) Shema upravljanja prikazana je na slici 11.6

ZADACI ZA VJEŽBU:

Zadatak 11.1

Na slici 11.7 dan je proces za kojeg valja projektirati regulator u prostoru stanja tako dapolovi zatvorenog sustava odgovaraju standardnom binomnom obliku prijenosne funkcije uzωn = 1 rad

s . Po potrebi dodati prefiltar kako bi odziv izlaza na referencu imao točno standardnioblik. Blokovski nacrtati cijeli sustav upravljanja.

1

s

2

1

s

s

++

3

1s −u 1x 2x 3y x=

Slika 11.7: Proces prikazan po varijablama stanja.

Zadatak 11.2

Za sustav prikazan na slici 11.8 potrebno je projektirati regulator po varijablama stanja tako da

112


regulacijsko odstupanje za skokovitu referetnu veličinu bude jednako 0. Poremećajna veličinaw1 = 5, dok je vrijednost poremećajne veličine w2 konstantna i nepoznata. Polove sustavapostaviti tako da dinamika zatvorenog kruga odgovara standardnom binomnom obliku uz ωn =4[rad/s]. Nacrtajte blokovsku shemu cijelog sustava upravljanja.

-±°²¯

- 1s + 1

-±°²

- 1s + 2

-? ?U(s) X1(s)X2(s)

w1 w2

+ ++ +

Slika 11.8: Proces s poremećajima.

113

Dodatak A

Rješenja zadataka

Zadatak 1.1

a)

rr2

φ3

=

x1

x2

x3

=

x2

x1x23 − k

x21

+ u1

−2x3x2x1

+ u2x1

(A.1)

b) Stacionarno stanje uz u1 = u2 = 0:

x1 = 0 ⇒ x2 = 0x2 ⇒ x3

1 = kx23

x3 = 0 ⇒ −2x3x2x1

= 0(A.2)

Kao što se moglo i očekivati za ovaj specifični problem postoji beskonačno mnogo ravnotežnihstanja uz u1 = u2 = 0, te ćemo vektor stacionarnih vrijednosti varijabla stanja zapisati uparametarskom obliku:

x10

x20

x30

=

r0

0√kr30

(A.3)

Linearizirani model oko stacionarnog stanja definiranog uvjetom u1 = u2 = 0 je dansljedećim izrazom:

∆x1

∆x2

∆x3

=

∆x2

x230∆x1 + 2x10x30∆x4 + 2k

x310

∆x1 + ∆u1

−2x30x10

∆x2 + 1x10

∆u2

(A.4)

Zadatak 1.2

114

A. RJEŠENJA ZADATAKA

a) Linearizirani model po varijablama stanja:

x1 = x2

x2 = − c

mx1 − D

mx2 − ε0A

mx30x3 +

1m

F (t)

x3 = − 1ε0AR

x30x1 − 1ε0AR

x10x3

y = Rε0Ax3 = − 1R

x30x1 − 1R

x10x3

b) Prijenosna funkcija:

G(s) =Y (s)F (s)

=Rx30s

(ms2 + Ds + c)(x2

30 − x10ε0A −Rs

)

Zadatak 1.3

a) Prikaz po varijablama stanja:

x1

x2

x3

=

x2

g − λm

x23

x21

x3x2x1

− R2λx1x3 + 1

2λx1 · u

b) Linearizirani model:

x1 = x2

x2 = 2λm

x230

x310

x1 − 2λm

x30

x210

x3

x3 =(

u02λ − x30x20

x210

− Rx302λ

)x1 + x30

x10x2 +

(x20x10

− Rx102λ

)x3 + x10

2λ u

Stacionarno stanje:

x20 = 0

x30 =√

mg

λ· x10

Zadatak 2.1

115


a)

Go(s) =U4(s)U1(s)

=R1R3

R2

sRC

1 + 3sRC + s2R2C2

b)

Gz(s) =U4(s)U1(s)

=R1R3

R2

sRC

1 + (3R−R1R3/R)Cs + s2R2C2

Zadatak 2.2

G(s) =100e−0.5s

s(s + 10)2

Zadatak 2.3

G(s) =2

s(s + 2)(s + 4)

Zadatak 2.4

G(s) =3e−0.5s

s + 5

Zadatak 2.5

a) y(t) = −2e−8t

b) y(x) = 118e−3x

(6e3xx− 9e2x − 8e3x + 17

)

c) y(x) = 1100e−2x

(10e2xx− 9e2x − 156ex cos(2x)− 118ex sin(2x)− 235

)

Zadatak 2.6

y(0) = 1

y′(0) = −52

Zadatak 2.7

y(t) = −3

8 e−4t + 3e−t − 58 + 1

2 t, t ≤ 5−2772 e−4t + 23

72e20e−4t + 21672 e−t + 112

72 e−t + t24072 e5e−t, t > 5

116


Zadatak 3.1

Go =KR

sk

s + 1s + 4

=KR4

sk

1 + s

1 + s4

;

a) k = 0, KR = 196, Gx =196s + 196197s + 200

= 0.98s + 1

197200 + 1

;

b) k = 1, KR = 200, Gx =200s + 200

s2 + 204s + 200=

s + 11

200s2 + 5150s + 1

;

c) k = 2, KR = 200, Gx =200s + 200

s3 + 4s2 + 200s + 200=

s + 11

200s3 + 150s2 + s + 1

.

Zadatak 4.1

KR ∈ (−9.5−√1434.25

42,−9.5 +

√1434.25

42) = (−1.128, 0.676).

Zadatak 4.2

Tt ≤ 0.03 [s].

Zadatak 4.3

pozitivnost koeficijenata :TI > 0,KR > −7 za TI > 0,

KR > −12TI1−TI

za TI < 1, KR < −12TI1−TI

za TI > 1,

KR < 0pozitivnost determinante D2 :84T 2

I + 8KRTI + 5KRT 2I + 4K2

RTI −K2RT 2

I > 0

Za TI = 0.5 s raspon pojačanja koji osigurava stabilnost je (−5.38, 0), pa bilo koje pojačanjeKR iz tog intervala stabilizira dani sustav upravljanja.

Zadatak 5.1

Provjeriti u Matlabu.

Zadatak 5.2


117


Zadatak 5.3


Zadatak 6.1

TI = 6[s]KR = 0.8tm ≈ 7.5[s]

Zadatak 6.2

GR(s) = KRs · 1+sT

1+sαT = 7.08s · 1+0.1732s

1+0.0577s

Zadatak 6.3

GR(s) = 200s

1 + s

1 + 1.8487s︸︷︷︸Phase Lag

· 1 + 0.2145s1 + 0.00466s︸︷︷︸

Phase Lead

Zadatak 7.1

α = 0.3 , 1T = 0.4 , 1

αT = 1.33 .

Zadatak 7.2

p = 4.57 ,K = 9.28 .

Zadatak 7.3

Prema γ = 70 − σm te σm = 100e−ζπ√1−ζ2 slijedi ζ = 0.36 čime je određen pravac željenih

polova u kompleksnoj ravnini. S tog pravca proizvoljno odabiremo par kompleksno konjugi-ranih polova. Za odabrani par polova s∗ = −1± 2.61 dobiva se α = 0.003 , T = 0.43 i traženiregulator je GR(s) = 0.43s+1

0.0001s+1 .

Zadatak 8.1

GR(s) =(s2 + s + 1)(s + 1)

s + 2· 4s(s + 2.8)

Zadatak 8.2

GR(s) = −4 + 13s

7s

118


Zadatak 9.1

ωn = 10 rad/s,GR = K

Kp

(3ω2nTaTm−1)s2+(3ω2

nTm+ω3nTaTm−3ωn)s+ω3

nTm

s2+3ωns,

Gν =Taωn

s2+( 1ωn

+Ta)s+1

( 3Taωn

− 1

ω3nTm

)s2+( 3ωn

+Ta− 3

ω2nTm

)s+1,

maksimalni iznos propada: ωm = −0.771

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

ω

Slika A.1: Odziv sustava upravljanja na danu pobudu.

119

Bibliografija

[1] Nedjeljko Perić. Automatsko upravljanje, predavanja. Skriptarnica FER-a, ožujak 2005.

[2] Zoran Vukić i Ljubomir Kuljača. Automatsko upravljanje: analiza linearnih sustava. Kigend.o.o. Zagreb, 2004.

[3] Neven Elezović. Linearna algebra. Element, Zagreb, 1999.

[4] Ivan Ivanšić. Funkcija kompleksne varijable. Laplaceova transformacija. Sveučilišnanaklada Liber, Zagreb, 1987.

120

Documents

AU Zadaci v0