Auditorne Vježbe Iz Fizike 1

7/21/2019 Auditorne Vjebe Iz Fizike 1

1/72

1

Veleuilite u Varadinu

Auditorne vjebe iz

fizike 1

mr.sc. Jurica Hiak, predava

Varadin, 2012


2/72

2

Sadraj:


3/72

3

1 Grafiki prikaz 1-D gibanja

1.1 Opii gibanje prikazano na grafu i izraunaj brzinu tijela u razliitimetapama gibanja.

Rjeenje:

Prve dvije sekunde tijelo se giba stalnom brzinom du x-osi, udaljavajui se

od ishodita (x=0) . Na samom poetku gibanja tijelo se nalazi na ana kraju druge sekunde nalazi se na poziciji . Brzina tijela u prvojetapi:

gdje je pomak tijela koji se definira kao razlika izmeu zavrne(konane) pozicije i poetne pozicije .

U drugoj etapi (od kraja druge sekunde do kraja etvrte sekunde) tijelomiruje. Naime tokom cijelog vremenskog intervala tijelo se nalazi na istojpoziciji . Dakle:

U treoj etapi (od t=4 do t=8s) tijelo se vraa u ishodite. Pomak i brzinasu negativni.


4/72

4

1.2

Nacrtaj x-t graf za tijelo koje se prve 4 sekunde giba stalnom brzinom0.5m/s, zatim dvije sekunde stoji, da bi u intervalu od t=6 do t=8 putovalobrzinom 1.5 m/s. Pretpostavimo da je u poetnom trenutku tijelo bilo napoziciji x=0.

Rjeenje:

Prve 4 sekunde tijelo prevali 2m. Naime,

Konana pozicija je, prema tome,

U drugoj etapi tijelo miruje, pa je x-t pravac paralelan s vremenskom osi.U treoj etapi tijelo pree: to znai da je konana pozicija tijela

Valja primjetiti da nagib x-t pravca ovisi o brzini tijela. Vei nagib pravcaodgovara veoj brzini tijela!


5/72

5

1.3 Koji automobil je bri, A ili B?

(a) (b) (c)

Rjeenje

U sluaju (a) bri je automobile opisan pravcem B jer je nagib pravca Bvei.

U sluaju (b) oba automobila imaju istu brzinu jer je nagib pravaca isti, aliauto B ima bolju startnu poziciju.U sluaju (c) auto A je bri. Iako B ima poetnu prednost, auto A ga sustiei prestie.

1.4 Napii x(t) funkciju i nacrtaj x-t graf za tijelo koje u trenutku t=0 kree spozicije x0=4m i giba se stalnom brzinom 2m/s tokom 3s.

Rjeenje

Gibanje stalnom brzinom moe se opisati linearnom funkcijom

gdje predstavlja poetnu poziciju (odsjeak na ordinati), a predstavljabrzinu tj. koeficijent smjera pravca. U ovom sluaju gibanje je opisanofunkcijom:


6/72


7/72

7

1.6 Kamion kree iz Zagreba prema Varadinu u istom trenutku kada iautomobil iz Varadina prema Zagrebu. Kamion se giba brzinom 65km/h, aauto 75km/h. Nakon koliko minuta e se susresti? Nacrtaj x-t graf na kojem

e se vidjeti oba gibanja. Udaljenost Varadina od Zagreba je 70km.

Rjeenje

Oznakom t oznaimo trenutak njihovog susreta. Kamion za t minuta preeput dok automobil pree , to se moe izraziti pomou njihovih brzina:

Ako zbrojimo te dvije jednadbe, dobivamo:

Problem se moe rijeiti i na drugi nain, pomou x(t) funkcija. Ako Zagrebstavimo u ishodite brojevnog pravca, a Varadin na poziciju ,tada se gibanje kamiona i automobila moe opisati slijedeim funkcijama:

U toki susreta vrijedi

. Dakle

iz ega opet dobivamo: Toka susreta je: Na x-t grafu ta dva gibanja izgledaju ovako:


8/72

8

2 Put kao povrina ispod v-t grafa

2.1 Krenuvi iz mirovanja, tijelo ubrzava tako da za 10s postigne brzinu 4m/s.Odredi prevaljeni put.

Rjeenje:

Prevaljeni put odgovara povrini ispod v-tgrafa. U ovom sluaju radi se o povrinipravokutnog trokuta.

ms 204102

1==

Zadatak se moe rjeiti uporabom formule ukoliko se prethodnoizrauna akceleracija tijela:

2.2 Krenuvi iz mirovanja, tijelo za 2s postigne brzinu 8m/s, a zatim se jo

2sekunde giba stalnom brzinom. Odredi ukupni preeni put.


9/72

9

Rjeenje

ms 2482822

1=+=

2.3

Automobil ide brzinom 10m/s. U jednom trenutku pone ubrzavati tako da5s nakon poetka ubrzavanja brzinomjer pokazuje 72km/h. Koliki put jeprevaljen za vrijeme ubrzavanja?

Rjeenje

Konana brzina automobila je

Prevaljeni put odgovara povrini ispod v(t) pravca. Ta povrina se moepromatrati kao zbroj pravokutnika i trokuta. Slijedi:


10/72

10

2.4 Vlak koji ima brzinu 20m/s poinje usporavati retardacijom od 0.4m/s2. Kade se vlak zaustaviti i koliki e put prevaliti za to vrijeme?

Rjeenje

Iz definicije akceleracije slijedi: Kako bi saznali vrijeme zaustavljanja potrebno je u jednadbu staviti v(t)=0

Poetna brzina je dok je akceleracija Prema tome: Dakle, vlak e se zaustaviti nakon 50s. Zaustavni put moemo odreditipomou v-t grafa:


11/72

11

3 Primjena kinematikih jednadbi na 1D

gibanje

3.1

S ruba mosta bacimo vertikalno u vodu kamen brzinom 2m/s. Nai visinumosta i brzinu kojom kamen padne u vodu ako on pada tono 3s.

Rjeenje

Osnovne kinematike jednadbe za jednoliko ubrzano gibanje glase

U sluaju padanja u gravitacijskom polju s poetnom brzinom dobivamoformule za vertikalni hitac prema dolje:

Direktnim uvrtavanjem podataka slijedi:

3.2 Za koliko vremena padne kamen s tornja visokog 45m? A za koliko ako mu

damo poetnu brzinu prema dolje 12.5m/s? Zanemari otpor zraka.

Rjeenje

Krenimo od kinematike jednadbe za put:

U sluaju bez poetne brzine uz akceleraciju (slobodan pad):

Kad tijelo ima poetnu brzinu, uvrtavanjem podataka dobivamo

kvadratnu jednadbu:


12/72

12

Kao fizikalno smisleno uzimamo samo pozitivno rjeenje, dakle 3.3 Tijelo je poelo akcelerirati, iz mirovanja bez poetne brzine. Za vrijeme

osme i devete sekunde prelo je 40m. Odredi akceleraciju.

Rjeenje

U prvih devet sekundi tijelo je prelo put: U prvih sedam sekundi:

Dakle, u osmoj i devetoj sekundi tijelo je prelo put:

iz ega slijedi traena akceleracija:


13/72

13

3.4 Tijelo je ispaljeno vertikalno u zrak brzinom 40m/s. Odredi nakon kolikovremena e se nai na visini h=35m.Rjeenje:

Ako u osnovnu kinematiku jednadbu za put uvrstimo

dobivamo

formulu za vertikalni hitac u vis:

to nas vodi na kvadratnu jednadbu:

odnosno

Oba rjeenja imaju smisla; tijelo se prvi put nae na visini nakraju prve sekunde, dok se penje, a drugi put nakon kad pada.

3.5 Tijelo ispaljeno vertikalno u vis padne na zemlju nakon 8s. Odredimaksimalnu visinu i poetnu brzinu.

RjeenjeJednadbe za vertikalni hitac u vis glase: Iz druge jednadbe vidi se da brzina tijela linearno pada (za -10m/s, svakesekunde)i da e u jednom trenutku pasti na nulu to je trenutak kad tijelopostigne maksimalnu visinu.Dakle, uvrtavanjem brzine

u jednadbu za brzinu, moemo dobiti

vrijeme uspinjanja, tj. trenutak postizanja maksimalne visine.

to znai da maksimalna visina iznosi:


14/72

14

3.6 Tijelo je baeno prema dolje brzinom 5m/s. Koliko traje let ako u posljednjojsekundi tijelo pree polovicu ukupne visine s koje je baeno?Rjeenje:

Za ukupno t sekundi tijelo padne na tlo:

dok za sekundi tijelo pree prvu polovinu visine:

Pomnoimo li potonju jednadbu s 2 i izjednaimo li je s prvom jednadbomdobit emo:

iz ega slijedi kvadratna jednadba bez slobodnog lana:

3.7 Tijelo se, krenuvi iz mirovanja, giba tako da mu je akceleracija

proporcionalna s vremenom. Koliki je prevaljeni put nakon 6s ako je nakon4s brzina tijela 16m/s?

Rjeenje:

Akceleracija se definira kao derivacija funkcije brzine:

iz ega slijedi:


15/72

15

gdje je jer je reeno da je tijelo krenulo iz mirovanja. Uzpretpostavku da akceleracija linearno raste s vremenom, moemo uvestikonstantu proporcionalnosti k.

Brzina u nekom trenutku je:

Dakle, brzina u t=4s, jednaka je:

Iz zadanog podatka , slijedi da je konstantaproporcionalnosti:

Sada moemo izraunati bilo koju kinematiku veliinu, primjerice traeniput nakon t=6s.

Uvrtavanjem funkcije brzine, dobivamo:


16/72

16

4 Horizontalni hitac

4.1

Projektil je ispaljen s vrha zgrade visoke 45m u horizontalnom smjeru,brzinom 20m/s. a)Izraunaj poloaj i brzinu projektila nakon 2s, b) Odredikada i gdje e projektil udariti o tlo.

Rjeenje:

a)U x-smjeru, brzina se ne mijenja (uz pretpostavku da je otpor zrakazanemariv). U y-smjeru brzina raste linearno zbog konstantne sile tee.Dakle, komponente brzine su:

Valja obratiti panju na to da smo y-os postavili prema dolje. Koordinateprojektila dane su jednadbama: Dakle, nakon dvije sekunde tijelo se nalazi u toki (40,20), a vektor brzine je .Iznos brzine u trenutku

moemo izraunati pomou Pitagorinog

pouka:

b) Ukupno vremensko trajanje hica dobit emo ako postavimo uvjet


17/72

17

Ako u jednadbu za x-koordinatu poloaja uvrstimo trenutak udarca o tlodobit emo formulu za domet:

4.2 Projektil ispaljen sa vrha zgrade visoke 80m u horizontalnom smjeru, pao je

na tlo 24m daleko od podnoja zgrade. Odredi brzinu ispaljivanja.Rjeenje:

Domet projektila je: iz ega slijedi:

4.3 Jackie Chan skae s vrha zgrade na susjednu zgradu koja je 2 m nia odzgrade sa koje skae. Zgrade su meusobno udaljene 4.2m, a brzinanjegovog skoka iznosi 7m/s u horizontalnom smjeru. Hoe li Jackie uspjeti?

Rjeenje:

Ukoliko formulu za domet horizontalnog hica primjenimo na stopalo JackieChana, ustanovit emo da e ono dotaknuti krov susjedne zgrade 20 cm odruba.

Dakle, odgovor je potvrdan.


18/72

18

4.4 Lopta je izbaena horizontalno brzinom 10m/s kroz prozor koji se nalazi navisini 25m iznad zemlje. Odredi brzinu lopte 2 sekunde nakon ispaljivanja.Na kojoj se visini lopta nalazi u tom trenutku?

Rjeenje:Komponente brzine su: iz ega slijedi da je brzina:

U tom trenutku lopta se nalazi na visini:

4.5 Tijelo se giba po vrhu zgrade brzinom 12m/s, a osam metara prije ruba

pone usporavati deceleracijom -2m/s2. Nakon to izleti preko ruba, izvodihorizontalni hitac te padne 15m daleko od podnoja zgrade. Odredi visinuzgrade.

Rjeenje:

Prvo treba nai brzinu kojom tijelo izleti s vrha zgrade. Krenimo odkinematikih jednadbi za put i brzinu.

Dakle, brzina izlijetanja je:

,


19/72

19

Visinu zgrade dobit emo iz formule za domet horizontalnog hica.

4.6 Tijelo ispalimo sa zgrade visoke 45m u horizontalnom smjeru brzinom

17.5m/s. Odredi brzinu udarca o tlo i kut pod kojim udari o tlo.

Rjeenje:

Tijelo e udariti o tlo nakon .U tom trenutku komponente brzine su:

Iznos brzine:

Kut udarca moemo dobiti iz omjera komponenti brzina:


20/72

20

5 Kosi hitac

5.1 Projektil je ispaljen brzinom 300m/s pod kutem 450 u odnosu na horizontalu.Odredi vektor i iznos brzine u trenutku t=5s.

Rjeenje:

Kosi hitac je gibanje koje moemo promatrati kao kombinaciju jednolikoggibanja u x-smjeru i vertikalnog hica u y-smjeru:

gdje su

i

komponente poetne brzine:

Dakle, u bilo kojem trenutku vrijedi:

S obzirom da je , dobivamo: Nakon , komponente iznose:


21/72

21

Vektor brzine: Iznos brzine:

5.2 Tijelo je ispaljeno brzinom 40m/s, pod kutem 600 u odnosu na tlo. Odredi

poloaj tijela nakon 1.5s. Odredi maksimalnu visinu i domet.Rjeenje:Koordinate tijela dane su relacijama:

gdje su i komponente poetne brzine: Uvrstimo li zadane podatke, dobivamo koordinate:

Kad tijelo postigne maksimalnu visinu, y-komponenta brzine jednaka jenuli, stoga vrijedi jednadba:

Dakle, tijelo e se nai na vrhu parabole, u trenutku:

Maksimalna visina je, prema tome:

Ukupno trajanje kosog hica je: Domet:


22/72

22

5.3 Tijelo je izbaeno brzinom 10m/s pod 300sa vrha zgrade visoke 30m. Odredidomet.

Rjeenje:

Ako koordinatni sustav postavimo na vrh zgrade (vidi sliku) onda je y-koordinata poloaja zadana relacijom:

Kad tijelo padne na zemlju:

Uvrtavanjem podataka dobivamokvadratnu jednadbu:

Rjeenje jednadbe odgovara vremenu trajanja hica.

t=3s

Domet tijela:

5.4 Izraunajte doskok skijaa koji polijee brzinom 25m/s sa skakaonice pod

200 u odnosu na horizontalu, a padina na koju aterira priblino izgleda kaokosina nagiba 450. Zanemari otpor zraka.

Rjeenje:

Postavimo li ishodite sustava na kraj skakaonice, koordinate skijaa su:


23/72

23

S obzirom da je padina nagnuta pod 450, svaka toka padine zadovoljavajednadbu pravca:

Uvrtavanjem koordinata dobivamo kvadratnu jednadbu:

to znai da e skija aterirati za 6.4s nakon uzlijetanja. Uvrstimo li tovrijeme u jednadbu za x-koordinatu dobit emo

Doskok (domet) mjerimo od kraja skakaonice do toke ateriranja

5.5 U podnoju kosine nagiba 300nalazi se lansirna rampa iz koje je ispaljenprojektil prema gore, pod kutem 150 u odnosu na padinu, brzinom 30m/s.Odredi nakon koliko vremena e projektil udariti o kosinu.

Rjeenje:

U ovom zadatku, ishodite sustavamoemo postaviti u podnoje padine.Koordinate projektila zapravo suparametarske jednadbe parabole:


24/72

24

dok se padina moe izraziti jednadbom pravca:

Toka u kojoj e projektil dotaknuti kosinu zadovoljava i jednadbu pravcai jednadbe parabole. Ubacimo koordinate projektila u jednadbu pravca:


25/72

25

6 Kruno gibanje

6.1 Odredi obodnu brzinu ventila na kotau koji se okree frekvencijom 1Hz.Udaljenost ventila od osovine je 45cm.

Rjeenje:Obodnu brzinu ventila raunamo tako da preeni put podijelimo s vremenom,odnosno, u ovom sluaju, tako da opseg putanje podijelimo s ophodnimvremenom:

Period moemo izraziti pomou frekvencije. S obzirom da se frekvencijadefinira kao broj okretaja u jedinici vremena, odnosno kao jedan okretaj ujednom periodu, moemo napisati:

iz ega slijedi:

6.2 Krenuvi iz mirovanja kota sve bre rotira kutnom akceleracijom 4rad/s2.Koliko okretaja e napraviti za 10s i kolika e biti kutna brzina?Rjeenje:

Openite kinematike jednadbe za rotaciju s konstatnim ubrzanjem:

S obzirom da je poetna kutna brzina slijedi:

Broj okretaja moemo dobiti tako da ukupan kut podijelimo s


26/72

26

6.3

Marisol Martinez ivi u glavnom gradu Ekvadora. Odredi njenu obodnubrzinu (kojom se okree oko Zemljine osi). Kolikom brzinom se gibastanovnik Varadina? Radijus Zemlje je 6400km.

Rjeenje:Brzina kojom Marisol obilaziZemljinu os: gdje je T=24h period Zemljinerotacije.

S

Stanovnik Varadina u 24hpree krai put jer je opsegkrunice koju Varadin opisujemanji. Radijus te krunice:

Brzina stanovnika Varadina:

Kutna brzina je, naravno, ista za sve stanovnike Zemlje i iznosi 150/h.

6.4 Nakon iskljuivanja motora, ventilator, koji se vrtio frekvencijom 1800

okretaja/min, poinje jednoliko usporavati i zaustavi se nakon 20s. Potrebnoje izraunati kutnu brzinu ventilatora 10s nakon iskljuivanja motora.

Rjeenje:

U sluaju jednolike akceleracije/deceleracije vrijedi:

Poetna frekvencija je


27/72

27

Iz ega moemo dobiti poetnu kutnu brzinu:

U trenutku t=20s, kutna brzina jednaka je nuli tj. . Dakle, kutna akceleracija je: Traena kutna brzina u trenutku t=10s je:

7 Dinamika tijela na horizontalnoj ravnini

7.1 Tijelo mase 2kg vuemo po horizontalnoj podlozi faktora trenja 0.4, vunom

silom 20N. Izraunaj akceleraciju.

Rjeenje:

Razmotrimo sve sile koje djeluju na tijelo.

U y-smjeru nema akceleracije jer se sila podloge i sila tee ponitavaju.

ali u x-smjeru postoji akceleracija jer je vuna sila vea od sile trenja.Drugi Newtonov zakon kae da je umnoak mase i akceleracije jednakrezultantnoj sili:

U naem sluaju:


28/72

28

Konano rjeenje:

7.2 Krenuvi iz mirovanja, tijelo mase 6kg, na horizontalnoj podlozi je postiglo

brzinu 10m/s, u roku 4s. Odredi faktor trenja podloge ako je vuna sila 21N.Rjeenje:Akceleracija tijela je, prema definiciji:

Drugi Newtonov zakon daje nam jednadbu gibanja:

iz koje moemo izvui faktor trenja:

7.3 Tijelo mase 5kg giba se stalnom brzinom pod utjecajem vune sile FV=10N.

Odredi faktor trenja.Rjeenje:Treba primjetiti da je brzina konstantna tj.

Drugim rjeima, zbroj svih sila jednak je nuli. U naem sluaju to znai daje vuna sila jednaka upravo sili trenja.

Faktor trenja:


29/72

29

7.4 Trideset metara ispred zebre, neoprezni voza uoio je crveno svjetlo nasemaforu. U tom trenutku njegova brzina iznosila je 72km/h. Kad jekonica stisnuta do kraja, faktor trenja izmeu kotaa i ceste iznosi 0.85.Hoe li se uspjeti zaustaviti prije zebre?Rjeenje:

S obzirom da je vuna sila jednaka nuli, za vrijeme koenja vrijedi:

Akceleracija je, dakle: Brzina automobila u ovisnosti o preenom putu:

Uvrstimo li , dobit emo zaustavni put: Dakle, automobil e se zaustaviti 6 metara ispred zebre.

8 Dinamika povezanih tijela

8.1 Dva tijela m1=2kg i m2=4kg, na ravnoj, glatkoj podlozi, povezana sulaganim, nerastezljivim uetom. Na tijelo m2djelujemo vunom silom Fv=12N, kao na slici. Odredi akceleraciju i napetost ueta.

Rjeenje:Tijela su povezana uetom ija napetost T pokazuje njihovu meusobnuinterakciju. Naime, prema treem Newtonovom zakonu, drugo tijelo vue prvoistom onom silom silom kojom prvo tijelo usporava drugo tijelo. Dakle, nadijagram sila izgleda ovako:


30/72

30

Drugi Newtonov zakon primjenit emo na svako tijelo posebno.

gdje je T sila napetosti ueta. Naravno, pretpostavili smo da je uenerastezljivo, pa je akceleracija oba tijela jednaka. Zbrajanjem jednadbigibanja dobivamo:

odakle moemo izluiti akceleraciju:

Napetost ueta moemo dobiti iz jednadbe gibanja (svejedno za koje tijelo):

8.2 Tijela m1=2kg i m2=4kg, povezana su uetom zanemarive mase i nalaze se

na vodoravnoj, hrapavoj podlozi. Faktor trenja izmeu tijela i podloge je 0.1.Na tijelo m2djelujemo vunom silom Fv= 12N. Odredi akceleraciju.

Rjeenje:

U dijagram sila treba ukljuiti i silu trenja:

gdje su F1i F2sile trenja.

Napiimo jednadbe gibanja za oba tijela:

Zbrajanjem jednadbi moemo eliminirati silu napetosti ueta T, pa dobivamo:


31/72

8.3 Tri tijela masa mnerastezljivim ueto6N. Izraunaj kolikmaksimalna dozvolje

Rjeenje:

Jednadbe gibanja

Uvrtavanjem zada

Zbrajanjem druge i

S obzirom da se tije

Sila napetosti ne s

31

1=10kg, m=2kg i m2=20kg, povezakao na slici. Podloga je savreno glat

om najveom silom F1 smijemo vuna sila napetosti ueta 50N.

lase:

nih masa i sile dobivamo:

tree jednadbe, dobivamo:

la gibaju zdesna na lijevo, vrijedi nejed

ije biti vea od 50N, to nas vodi na za

a su laganim,ka. Sila F2iznosi

sistem, ako je

nakost:

ljuak:


32/72

32

Uvrstimo li taj iznos u jednadbu, dobit emo maksimalnu moguuakceleraciju:

Uvrstimo li maksimalnu silu i maksimalnu akceleraciju u jednadbugibanja prvog tijela, dobit emo maksimalnu vunu silu:

Dakle, maksimalna vuna sila 70N daje nam maksimalnu akceleraciju od2m/s2, graninu silu napetosti , pri emu je

8.4 Dva tijela masa 3kg, odnosno 1kgpovezana su laganim, nerastezljivimuetom preko koloture objeene za strop.Izraunaj akceleraciju.

Rjeenje:

Primjenimo2.Newtonov zakon na svako tijelo

posebno gdje je T sila napetosti ueta. Zbrojimo te dvijejednadbe i dobivamo:

Traena akceleracija:


33/72

33

8.5 Tijelo mase 5kg koje se nalazi na povrini stola faktora trenja 0.52, pomouniti je preko koloture povezano s tijelom mase 3 kg koje visi niz rub stola.Masu niti i masu koloture moemo zanemariti. Odredi akceleraciju tijela.Odredi kojom brzinom e se prvo tijelo zabiti u koloturu, ako mu je poetnaudaljenost od koloture bila 2.25m.

Rjeenje:

Jednadbe gibanja glase: gdje je T sila napetosti niti.Zbrajanjem tih jednadbi dobivamo:

Brzina kojom prvo tijelo udari koloturu:


34/72

34

9 Dinamika tijela na kosini

9.1

Nacrtaj sile koje djeluju na tijelo koje se nalazi na kosini. Odredi kolikoiznosi sila trenja, ako tijelo ima masu 3kg, nagib kosine je 300, a faktortrenja 0.2.

Rjeenje:

Na tijelo djeluju tri sile; sila tee, sila reakcijepodloge i sila trenja.

Sila trenja se definira kao umnoak faktora

trenja i sile podloge. Sila (reakcije) podloge uvijek je okomita na podlogu. U sluaju kosine, kadnema gibanja u smjeru okomitom na podlogu, ona je po iznosu jednakakomponenti teine (koja je okomita na podlogu). Dakle, teinu je potrebnorastaviti na komponente i .

Prema tome, traena sila trenja je:

9.2 Tijelo se sputa s vrha kosine nagiba=300, faktora trenja 0.4, visine 2m.Odredi brzinu u podnoju. (v=3.5 m/s)


35/72

35

Rjeenje:

Komponenta teine ponitava se sa silom podloge, dok komponenta daje ubrzanje niz kosinu.

Krenimo od 2.Newtonovog zakona: gdje je sila trenja Prema tome, jednadba gibanja glasi:

Iz geometrije problema slijedi:

Uvrtavanjem tih komponenti u jednadbu gibanja, dobivamo:

Brzina tijela koje ubrzava: gdje preeni put odgovara hipotenuzi trokuta Dakle, traena brzina u podnoju iznosi


36/72

36

9.3 Tijelo se uspinje stalnom brzinom uz kosinu nagiba 450, pomou vune sile gdje je Gteina tijela. Odredi faktor trenja.Rjeenje:

Ako se tijelo uspinje stalnom brzinom,akceleracija je jednaka nuli:

Sila trenja je, prema tome:

Zadana vuna sila je iz ega slijedi:

S obzirom da je

, dobivamo traeni faktor trenja:

9.4 Tijelo mase 2kg nalazi se na kosini nagiba 300. Kolikom vunom silom

moramo djelovati uzbrdo kako bi se tijelo penjalo akceleracijom 3m/s2 ?Faktor trenja izmeu tijela i podloge je 0.4.

Rjeenje:

Primjenimo 2.Newtonov zakon:

Traena vuna sila:


37/72

37

9.5 Tijelo je ispaljeno brzinom 6m/s uz kosinu (visine 0.5m, nagiba 450, faktora

trenja 0.2) koja slui kao skakaonica. Odredi domet tijela.

Rjeenje:

Tijelo je priljubljeno uz kosinu, toznai da se sile koje su okomite napodlogu, ponitavaju tj. sila

reakcije podloge N jednaka jekomponenti gravitacije koja jeokomita na kosinu:

Sile paralelne s podlogom se neponitavaju nego daju rezultantukoja djeluje nizbrdo (suprotno odpoetne brzine), tako da tijelousporava, prema jednadbi:

Slijedi:

Dakle, akceleracija tijela je:


38/72

38

Preeni put:

Ukoliko elimo odrediti vrijeme uspinjanja , tada umjesto moramouvrstiti duinu kosine. Dobivamo kvadratnu jednadbu:

Vrijeme uspinjanja: Brzina tijela u bilo kojem trenutku je:

Prema tome brzina tijela pri vrhu je:

Da bi odredili domet, koristimo standardni par jednadbi za kosi hitac:

gdje kao poetni trenutak uzimamo trenutak naputanja kosine, a kaobrzinu lansiranja uzimamo tj. brzinu tijela na vrhu kosine. Iz jednadbeza y-koordinatu, moemo dobiti vrijeme trajanja kosog hica:

Iz jednadbe za x-koordinatu, napokon dobivamo domet:


39/72

39

10 Zakon gravitacije

10.1 Kojom silom se privlae Zemlja i Mjesec? Masa Zemlje je 61024kg, a masa

Mjeseca je 7.31022kg. Njihova srednja udaljenost je 384 000 km.Gravitacijska konstanta je G=6.6710-11Nm2/kg2.Rjeenje:

Newtonov zakon gravitacije:

gdje udaljenost izmeu sredita Zemlje i Mjeseca moramo izraziti u metrima

Uvrtavanjem podataka dobivamo:

10.2 Izraunaj ubrzanje slobodnog pada na povrini Mjeseca, ako je njegova masaM=7.31022 kg, a radijus R=1738 km.

Rjeenje:

Pretpostavimo da se na povrini Mjeseca nalazi tijelo mase m. Izjednaimoteinu tijela sa Newtonovim izrazom za gravitacijsku silu:

Podijelimo jednadbu s masom tijela i dobivamo ubrzanje slobodnog pada:


40/72

40

10.3 Polumjer Marsa je 53% polumjera Zemlje, a masa 11% mase Zemlje. Odrediubrzanje slobodnog pada.

Rjeenje:

Znamo da je masa Marsa a radijus

U dobivenoj jednadbi treba prepoznati izraz za ubrzanje slobodnog padana povrini Zemlje, pa se jednadba moe zapisati u kraem obliku:

gdje je

Ubrzanje slobodnog pada na povrini Marsa:

10.4 Kolika je masa Sunca ako znamo da je radijus Zemljine putanje 150

milijuna kilometara?

Rjeenje:

Centripetalna sila koja omoguuje revoluciju Zemlje oko Sunca zapravo jegravitacijska sila:

iz ega slijedi vana jednakost:

gdje je m masa Zemlje.


41/72

41

Izraz se moe pojednostavniti: Brzina Zemlje moe se izraziti kao opseg putanje kroz period revolucije:

gdje period revolucije odgovara jednoj godini,

Masa Sunca je:

10.5 Odredi period satelita koji krui oko nepoznatog planeta na udaljenosti 188

tisua kilometara od sredita planeta. Masa planeta je 1025 kg,gravitacijska konstanta je G=6.6710-11Nm2/kg2.Rjeenje:Gravitacija igra ulogu centripetalne sile, dakle:

Brzina je omjer opsega krunice i perioda:

iz ega slijedi:

Period kruenja satelita:


42/72

42

10.6 Odredi na kojoj se visini mora nalaziti geostacionarni satelit. (h=36 000km)

Rjeenje:

Geostacionarni satelit je onaj satelit koji se uvijek nalazi na istoj poziciji uodnosu na povrinu Zemlje. Takvi su, primjerice, telekomunikacijski sateliti.Gibaju se u ekvatorijalnoj ravnini, a kutna im je brzina jednaka kutnojbrzini Zemlje.

Veza izmeu obodne i kutne brzine:

Brzina satelita zadovoljava relaciju:

iz ega slijedi:

Odatle dobivamo:

Udaljenost satelita od sredita Zemlje je:

odnosno od povrine Zemlje:

Uvrstimo li kutnu brzinu Zemlje

dobit emo da visina geostacionarnog satelita mora biti:


43/72

43

11 Zakon ouvanja koliine gibanja

11.1 Topovska kugla mase 5kg ispaljena je u horizontalnom smjeru s bedema

visine 7.2 m. Odredi brzinu kojom se neprivreni top mase 200 kg trznuou suprotnom smjeru, ako je domet kugle bio 120m.Rjeenje:

S obzirom da su top i kugla prije pucnja mirovali, ukupna koliina gibanjajednaka je nuli: gdje je M masa topa, a m masa topovske kugle. Iz jednadbe vidimo da e top

dobiti brzinu u suprotnom smjeru od kugle:

Poetnu brzinu kugle

moemo dobiti iz dometa kugle:

Brzina kojom se trznuo top, dakle, iznosi:


44/72

44

11.2 Dvije kuglice od plastelina m1=0.2kg i m2=0.1kg gibaju se jedna premadrugoj istim brzinama, iznosa 3m/s, te se neelastino sudare i takozaljepljene nastavljaju gibanje. Odredi brzinu novog tijela.

Rjeenje:

Zakon ouvanja koliine gibanja kae:

gdje je

brzina novog tijela nastalog spajanjem dviju kuglica. S obzirom na

odabrani smjer x-osi, vektori brzina kuglica prije sudara mogu se napisati usljedeem obliku: Uvrtavanjem podataka dobivamo

Vektor brzine novonastalog tijela je:

dok je iznos 11.3 ovjek mase 80kg tri brzinom 8km/h i sustie kolica mase 100kg koja se

gibaju u istom smjeru brzinom 2.6km/h, te skoi u njih. Kolikom e sebrzinom sada gibati kolica.

Rjeenje:

Ouvanje koliine gibanja u ovom sluaju glasi:


45/72

45

11.4 Dvije kuglice od plastelina m1=0.2kg i m2=0.1kg gibaju se jedna premadrugoj istim brzinama, iznosa 3m/s, pod kutem 900 jedna u odnosu nadrugu, te se neelastino sudare i tako zaljepljene nastavljaju gibanje. Odredibrzinu novog tijela.Rjeenje:

Zakon ouvanja koliine gibanja za neelastini sudar:

Prije sudara vektori brzina imaju isti iznos , pa moemo napisati: iz ega moemo dobiti vektor brzine novog tijela:

Iznos brzine novonastalog tijela:


46/72

46

11.5 Dva tijela m1=1kg i m2=3kg sudaraju se savreno neelastino pod kutem=600. Brzina prvog tijela prije sudara je v1=2m/s, a brzina drugog tijelav2=1m/s. a)Odredi brzinu gibanja tijela koje je nastalo u sudaru. b)Odredikut gibanja u odnosu na pravac gibanja prvog tijela prije sudara.

Rjeenje:

a) Kad su vektori u istoj ravnini, vektorsku jednadbu za ouvanje impulsa

moemo izraziti pomou dvije skalarne jednadbe; za svaku os posebno: Ukoliko x-os postavimo tako da se poklapa s pravcem gibanja prvog tijela,vektori brzina (prije sudara) mogu se napisati u obliku:

Dakle, komponente brzine prvog tijela su

a komponente brzine drugog tijela:


47/72

47

Uvrtavanjem podataka u skalarne jednadbe za ouvanje impulsa, dobivamo:

Komponente brzine novonastalog tijela:

Iznos brzine:

b) Kut gibanja moemo dobiti iz omjera komponenti brzine:

Kut gibanja u odnosu na x-os:


48/72

48

12 Zakon ouvanja energije

12.1 Tijelo mase 2kg padne s visine 5m i udari o tlo brzinom 9m/s. Pomou

zakona ouvanja energije odredi koliko energije se utroilo na svladavanjeotpora zraka.

Rjeenje:Kad se tijelo nalazi na nekoj visini iznad tla, ima gravitacijsku potencijalnuenergiju: koja se pri slobodnom padu pretvara u kinetiku energiju. Kad ne bi bilootpora zraka, sva potencijalna energija pretvorila bi se u kinetiku, no u ovom

sluaju dio potencijalne utroio se na svladavanje otpora, te se izgubio u vidutoplinske energije.

Dakle, energija utroena na svladavanje otpora zraka odgovara razlici poetnepotencijalne i konane kinetike energije:

12.2 Kuglica je objeena laganom niti duljine 2m za plafon. Koristei zakon

ouvanja energije odredi brzinu kojom prolazi kroz minimalni poloaj akosmo nit otklonili za 300.Rjeenje:

Sva potencijalna energija koju kuglica

ima u otklonjenom poloaju, pretvara se ukinetiku energiju:

Prema tome, brzina kuglice u najniempoloaju moe se napisati u obliku:

Iz geometrije problema slijedi:


49/72

49

Konano dobivamo:

12.3 Tijelo mase 4 kg giba se po x-osi brzinom 5 m/s i sudara se

centralno i savreno elastino sa tijelom mase 1 kg koje se gibabrzinom 15m/s. Odredi njihove brzine nakon sudara.Rjeenje:Kod savreno elastinog sudara ouvane su i koliina gibanja i energija.Stoga vrijede jednadbe:

Iz prve jednadbe dobivamo:

to moemo uvrstiti u jednadbu ouvanja energije:

Nakon sreivanja dobivamo kvadratnu jednadbu:

s rjeenjima: Prvo rjeenje (I) ine brzine nakon sudara, a drugo rjeenje (II) brzine prijesudara. Oba rjeenja zadovoljavaju jednadbe ouvanja i ukazuju dapostoji invarijantnost na smjer vremena. Drugim rjeima, nemogue jerazlikovati prije od poslije.


50/72

50

12.4 Neka opruga moe se sabiti za 2cm pod utjecajem sile od 100N. Odredi zakoliko e se skratiti ta opruga kada se u nju zabije tijelo mase 50kg brzinom2m/s.Rjeenje:Prema Hookeovom zakonu

, iz ega slijedi da je konstanta opruge:

Tijelo koje se giba ima odreenu kinetiku energiju koja se prilikomsabijanja opruge pretvori u elastinu potencijalnu energiju. Zakon ouvanjaenergije daje:

12.5 Tijelo se sputa po kosini nagiba 200. U trenutku kad stigne do podnojaima dvostruko manju brzinu nego to bi imalo kad bi kosina bila savrenoglatka. Izraunaj faktor trenja kosine.

Rjeenje:U sluaju savreno glatke kosine vrijedi:

gdje je brzina tijela u podnoju glatke kosine.U sluaju hrapave kosine, dio gravitacijske potencijalne energije utroi sena svladavanje sile trenja, pa vrijedi: gdje je tzv. rad sile trenja, a brzina tijela u podnoju hrapave kosinei koja je dvostruko manja od

Supstitucijom dobivamo:

Rad sile trenja definira se kao umnoak sile trenja i preenog puta, pa seprethodna relacija moe napisati u obliku:


51/72

51

Sila reakcije podloge na kosini je dok se prevaljeni put moeizraziti pomou visine kosine Uvrtavanjem dobivamo:

Traeni faktor trenja: 12.6 Spustivi se s vrha kosine visoke 2m, nagiba 300 tijelo se zaustavilo 6m

daleko od podnoja kosine. Odredi faktor trenja uz pretpostavku da jepodloga ista i na kosom i na vodoravnom dijelu puta.

Rjeenje:

Sva gravitacijska potencijalna energija utroila se na svladavanje sile trenja.Dio energije utroio se ve na kosini, a ostatak se izgubio na vodoravnomdijelu puta. Odatle slijedi:

Sila trenja na kosom dijelu puta je:

Slijedi:

Iz ega se dobiva:


52/72

52

12.7 Dvije estice masa i gibaju se jednakim brzinama jednaprema drugoj, pod kutem 900. Odredi koliko posto energije se izgubi prisavreno neelastinom sudaru.Rjeenje:

Zakon ouvanja koliine gibanja za sluaj neelastinog sudara:

Budui da vektori brzina prije sudara imaju isti iznos, moemo napisati:

Slijedi:

Iznos brzine novonastalog tijela:

Ukupna energija prije sudara iznosila je

Poslije sudara:


53/72

53

Udio izgubljene energije:

13

Rotacija krutog tijela13.1 Na disk mase 2kg, radijusa 10cm, djeluje konstantna, tangencijalna sila

iznosa 3N tako da se on sve bre vrti. Odredi kutnu akceleraciju i kutnubrzinu nakon 8 sekundi.Rjeenje:

Primjenimo drugi Newtonov zakon za rotaciju:

gdje je M moment sile, I moment inercije,

kutna

akceleracija. Moment sile je umnoak radijusadiska i tangencijalne sile:

to znai da je traena kutna akceleracija:

Moment inercije diska je:

Prema tome, kutna akceleracija diska je:

Kutna brzina:


54/72

54

13.2 Na obod upljeg valjka mase 12kg, radijusa 15cm, djeluje sila tako valjaksve bre rotira te nakon 20s ima kutnu brzinu 500 rad/s. Odredi momentsile i ukupan broj okretaja u 20 sekundi.

Rjeenje:Iz danih podataka se moe izraunati kutna akceleracija:

Ukupan kut za koji se valjak okrenuo u 20 sekundi:

U svakom okretaju, valjak napravi

pa prema tome, u n

okretaja valjak napravi . Znamo li ukupan kut, moemoodrediti broj okretaja: U naem sluaju:

Moment sile odgovara umnoku momenta inercije i kutne akceleracije:

gdje smo kao moment inercije uzeli jer se uplji valjak moetretirati kao prsten.

13.3 Kruna ploa, promjera 1.6 m i mase 100kg, se vrti frekvencijom 600 okr. uminuti. U nekom trenutku na njenu oblu povrinu poinje pritiskati konicasilom 200N. Faktor trenja konice o plou je 0.4.

a)Koliki je moment sile koji zaustavlja plou?b)Odredi moment inercije ploe.c)Kolika je kutna akceleracija?d)Koliko e okretaja ploa uiniti prije nego li se zaustavi?Rjeenje:

a)Sila trenja koja usporava plouproporcionalna je sili pritiska N. Daklemoment sile koji zaustavlja plou je:


55/72

55

b)Plou moemo tretirati kao disk, pa je moment inercije:

c) Kutnu akceleraciju moemo izraunati pomou 2.Newtonovog zakona zarotaciju koji kae da je umnoak momenta inercije i kutne akceleracijejednak rezultantnom momentu sile:

Slijedi:

d)Da bi odredili broj okretaja, najprije treba izraunati za koliko radijanae se ploa zakrenuti: gdje je poetna kutna brzina

Kutna brzina linearno se smanjuje prema jednadbi:

Trenutak zaustavljanja dobit emo iz uvjeta

Do zaustavljanja, ploa e uiniti: tj.


56/72

56

13.4 Lagano ue duljine 5m na ijem se kraju nalazi uteg mase 2kg namotano jena uplji valjak mase 2kg. Odredi za koliko sekundi e se ue razmotati kadpustimo da uteg pada.Rjeenje:

Jednadbe gibanja za uteg i valjak glase: Eliminacijom napetosti ueta T dobivamo:

Akceleracija utega jednaka je obodnoj akceleracijivaljka (zu pretpostavku da ue ne proklizava), a vezaizmeu obodne i kutne akceleracije je:

Eliminacijom kutne akceleracije dobivamo: Moment inercije upljeg valjka:

Slijedi: Akceleracija utega je, prema tome:

Uteg e nakon vremena t prevaliti put:

Ako je ukupna duljina ueta L=5m, tada e se ono razmotati za:


57/72

57

13.5 Dva utega masa 1kg i 3 kg povezana su pomou niti koja je prebaena prekokoloture mase 2kg radijusa 5cm. Masu niti moemo zanemariti. Odredikutnu akceleraciju, a potom i kutnu brzinu koloture 2s nakon poetkagibanja.Rjeenje:

Kljuna razlika izmeu koloture zanemarive mase irealne koloture je njen moment inercije znaajnogiznosa. Ako nit ne proklizava, kolotura rotira toznai da postoji razlika u momentima koji djelujuna njen obod:

Odatle zakljuujemo da postoji nejednak iznosnapetosti niti, pa jednadbe gibanja utega glase:

Zbrajanjem jednadbi gibanja utega dobivamo:

Iz jednadbe rotacije koloture dobivamo jednakost:

pomou koje moemo eliminirati razliku izmeu sila napetosti niti

Budui da je smijemo pisati:

Potrebno je izluiti akceleraciju

Koloturu moemo smatrati diskom, pa vrijedi:


58/72

58

Akceleracija utega (ujedno i obodna akceleracija koloture):

Traena kutna akceleracija koloture:

Kutna brzina dvije sekunde nakon pokretanja:

13.6 Odredi ukupnu kinetiku energiju biciklistikog kotaa mase 5kg, radijusa40cm koji se brzinom 4m/s giba po podlozi bez proklizavanja.

Rjeenje:Ukupna energija kotaa je suma translacijske kinetike i rotacijskekinetike energije: gdje je brzina centra mase kotaa u odnosu na tlo. Kutna brzina kotaa ovisi o obodnoj brzini kotaa, a obodnu brzinu moemo dobiti akoreferentni sustav prebacimo u centar mase (CM) kotaa. Brzina toke A uodnosu na tlo jednaka je nuli jer nema proklizavanja, ali u odnosu na CMona iznosi -4 m/s.

Dakle, obodna brzina kotaa je a kutna brzina

Ako zanemarimo mase bica i osovine, moment inercije kotaa je:


59/72

59

Ukupna kinetika energija, prema tome, iznosi: Napomena: Ukoliko u relaciju za energiju uvrstimo izraze za kutnu brzinu i

moment inercije, dobit emo konanu formulu za energiju prstena koji se,bez proklizavanja, giba po podlozi :

13.7

Odredi kinetiku energiju tapa mase 5kg, duljine 2m, koji se vrti kutnombrzinom 12 rad/s: a)oko svog centra mase, b)oko jednog svog kraja.Rjeenje:a) Moment inercije s obzirom na os koja prolazi kroz njegovo sredite

iznosi: Kinetika energija je, prema tome:

b)Da bi odredili moment inercije tapa s obzirom na njegov kraj, primjenit

emo Steinerov teorem:

gdje je d udaljenost nove osi rotacije od osi koja prolazi kroz sreditetapa.


60/72

60

iz ega dobivamo:

Energija tapa kad se vrti oko svog kraja:

14 Hidrostatika

14.1 ep pluta na povrini vode tako da mu je 80% volumena iznad povrine.Odredi gustou materijala od kojeg je ep napravljen.Rjeenje:

Ako tijelo pluta, znai da je sila tee jednaka sili uzgona:

gdje je gustoa fluida, odnosno gustoa vode u ovom sluaju.


61/72

61

Masu epa moemo izraziti pomou gustoe materijala od kojeg je epnapravljen:

Slijedi: Ispod povrine se nalazi 20% ukupnog volumena epa tj.

to znai da je gustoa epa:

14.2 Lonac cilindrinog oblika bez poklopca mase 1kg i volumena 0.01 m3plutana vodi u uspravnom poloaju s otvorom prema gore. a) Koliki je dio

volumena lonca uronjen u vodu? b)Koliko je pijeska gustoe 3000kg/m3

potrebno sipati u lonac da bi potonuo?

Rjeenje:a)Kad lonac pluta, sila tee i sila uzgona su izjednaene:

iz ega dobivamo volumen uronjenog dijela lonca:

to ini 10% ukupnog volumena lonca. b)Kad lonac potone do ruba (nakon to sipamo kritinu koliinu pijeska),sila uzgona je

.


62/72

62

Teina lonca zajedno s pijeskom iznosi Da bi lonac potonuo, potrebno je postii slijedei uvjet:

odnosno:

Kritina masa pijeska, prema tome iznosi:

Dakle, u lonac je potrebno sipati 9kg, odnosno 3 litre pijeska.

14.3 Mala gumena loptica mase 0.14kg, volumena 0.2l, nalazi se 2m ispodpovrine vode. Odredi njenu potencijalnu energiju. Ukoliko je pustimo daizroni, do koje visine iznad povrine e ona skoiti?Rjeenje:Minimalnu energiju loptica ima kad pluta, a ispod povrine vode imapotencijalnu energiju:

Prilikom izranjanja, ta energija se pretvara u kinetiku. Ukolikozanemarimo dimenzije loptice i svladavanje povrinske napetosti vode, takinetika energija e se pretvoriti u potencijalnu. Na maksimalnoj visini hiznad povrine vrijedi:

14.4 Koliko energije moramo uloiti kako bi drveni tap duine 1m, gustoe

600kg/m3, povrine presjeka 2 cm2gurnuli vertikalno do dna bazena dubine1m?

Rjeenje:Pustimo li tap, on e sam potonuti do odreene dubine, sve dok se neizjednae sila uzgona i sila tee.


63/72

63

Lako se moe pokazati da e 60% duine tapa biti pod vodom: U takvoj (ravnotenoj) situaciji, centar mase tapa nalazit e se 10cm ispod

povrine vode, a iznad vode virit e 40cm.

Da bi tap dotaknuo dno potrebno ga je gurnuti jo 40cm(=0.4m) i pritomizvriti rad:

gdje u obzir uzimamo samo dodatnu silu uzgona budui dase ve ponitila s teinom. Slijedi:


64/72

64

14.5 Kad se kocka potopi u vodu (1000kg/m3) ona pluta tako da viri 2cm iznadpovrine, a kad se ta ista kocka stavi u ulje gustoe 920kg/m3tada viri 1cmiznad povrine. Odredi volumen kocke. (Rj: V=2.46dm3)

Rjeenje:

U oba sluaja sila uzgona ima isti iznos jer se teina kocke nije promijenila!Odatle slijedi jednakost: Uronjeni volumen moe se izraziti kao umnoak baze i visine, pa dobivamo:

Stranica kocke iznosi: Traeni volumen kocke:

14.6 Nalazite se u amcu za veslanje u velikoj cisterni s vodom. Imate sidro koje

bacite u vodu (lanac je dovoljno dugaak da padne na dno cisterne). Hoe li

se razina vode u cisterni podii ili pasti?

Rjeenje:

Potrebno je ispitati u kakvom su odnosu uronjeni dijelovi u ta dva sluaja.U prvom sluaju uronjen je volumen , a u drugom sluaju uronjen je dioamca , ali i sidro volumena . Razina vode e se podii ukoliko vrijedi:


65/72

65

Kad je sidro na amcu, uvjet plutanja glasi:

iz ega slijedi:

Kad je sidro u vodi:

Poetna nejednakost moe se zapisati u obliku:

Meutim, kako znamo da je

moramo zakljuiti da je poetna

pretpostavka bila pogrena. Dakle, nakon bacanja sidra, razina vode e sespustiti, odnosno:


66/72

66

15 Inercijalne sile

15.1 Na niti duljine 1m objeeno je tijelo mase 3kg. Na koju je visinu potrebno

podii to tijelo iz poloaja ravnotee da bi pri prolazu kroz taj poloajnapetost niti iznosila 50N.

Rjeenje:

Kad bi tijelo mirovalo, sila napetosti bi bila jednaka teini tijela. Kad setijelo giba, zbog centrifugalne sile, prilikom prolaska kroz minimalnipoloaj ona iznosi:

Primjenom zakona ouvanja energije dobivamo:

iz ega slijedi: Traena visina na koju treba otkloniti tijelo:

to znai da kut otklona mora biti


67/72

67

15.2 Na ekvatoru nekog planeta teina je tijela dva puta manja nego na polu.Gustoa materije planeta je 3103 kg/m2. Odredi period okretanja planetaoko svoje osi.

Rjeenje:Prividna teina tijela je rezultanta sile tee i centrifugalne sile: Uvrtavanjem poznatih odnosa dobivamo: Ubrzanje slobodnog pada na povrini planeta:

Iz ega slijedi da brzina tijela na ekvatoru mora zadovoljavati sljedeurelaciju: Uzmemo li u obzir da je obodna brzina dobit emo:

Masu planeta moemo zapisati u obliku: Traeni period:

15.3 Odredi iznos i smjer akceleracije balona punjenog plinom ija se gustoa u

odnosu na gustou okolnog zraka odnosi kao 5:6, ako se taj balon nalazi uautomobilu koji ubrzava akceleracijom 4m/s2u smjeru x-osi.

Rjeenje:

Sila uzgona uvijek djeluje u suprotnom smjeru od prividne gravitacije.Naime, inercijalna sila djeluje na sve estice fluida, to znai da uakceleriranom sustavu, pravac po kojem tijelu tone ili po kojem izranja ne

lei na vertikali nego je otklonjen za neki kut. Balon dakle ne ubrzavavertikalno u vis, nego ukoso prema naprijed.


68/72

68

Jednadba gibanja balona u odnosu na stijenke vozila:

Iskoristimo formulu za uzgon:

Volumen balona moemo izraziti pomou gustoe balona:

a njegovu prividnu teinu pomou Pitagorinog teorema:

Jednadba gibanja sada glasi:

Akceleracija balona je, prema tome:

Kut gibanja u odnosu na vertikalu moemo dobiti iz omjera sila


69/72

69

16 Hidrodinamika

16.1 U horizontalnoj cijevi radijusa 6cm voda tee brzinom 10m/s pri statikomtlaku 8105Pa. Koliki je tlak u uem dijelu cijevi radijusa 3cm?

Rjeenje:Brzinu u uem dijelu cijevi moemo dobiti pomou jednadbe kontinuiteta:

Povrina presjeka cijevi je iz ega slijedi: Tlak u uem dijelu cijevi dobit emo iz Bernoullijeve jednadbe:

16.2Voda tee kroz horizontalnu cijev presjeka

1cm2koja se na jednom dijelu proiruje napresjek 3cm2, kao na slici. Odredi protokvode ako je razlika u visini stupaca vodeprikazanih manometara 10cm.

Rjeenje:Traeni protok je Dakle, potrebno je odrediti brzinu fluida, bilo u uem dijelu, bilo u irem. IzBernoullijeve jednadbe slijedi razlika tlakova:


70/72

70

Iskoristimo li jednadbu kontinuiteta, brzinu u irem dijelu cijevi moemoizraziti pomou brzine

Tada se razlika tlakova moe izraziti kao

Brzina fluida u uem dijelu

Tlak u manometru je pa nakon sreivanja izraza dobivamo:

Protok vode je, prema tome:

16.3 U bavi se nalazi voda visine 1m u odnosu na dno. Na bavi su probuene

dvije rupice, jedna 20cm ispod druge, tako da su nastala dva mlaza vode.Gdje se nalaze rupice (u odnosu na dno) ako dva mlaza padaju na istomjesto na tlu?Rjeenje:

Domet mlaza vode moemoizraziti pomou formule zadomet horizontalnog hica:


71/72

71

Poetnu brzinu mlaza daje nam Toricellijev zakon:

S obzirom da je domet oba mlaza isti, odnosno slijedi:

Znamo da je razlika u visinama izmeu rupica 20cm, odnosno:

.Dakle, rupice se nalaze na visinama:

16.4 Cilindrina posuda visine H=1m i baze S=1m2, napunjena je do vrha

vodom. Na dnu posude napravljen je otvor presjeka S0 =1 cm2.Zanemarujuiviskoznost izraunajte vrijeme potrebno da sva voda istekne iz posude.

Rjeenje:

Ukoliko je vrijedi Torricellijev zakon,pa se brzina mlaza vode moe napisati kaofunkcija visine vode u spremniku:

Brzina sputanja razine vode se, prekojednadbe kontinuiteta, moe povezati sbrzinom mlaza:


72/72

72

Slijedi: Brzina je derivacija puta, iz ega dobivamo diferencijalnu jednadbu:

Odnosno:

Spremnik e biti prazan kad razina vode prevali put

Vrijeme potrebno da se isprazni spremnik:

Documents

Auditorne Vježbe Iz Fizike 1