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Friedrich Bachmann Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff Mit 160 Abbildungen Zweite erganzte Auflage Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1973

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Friedrich Bachmann

Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff

Mit 160 Abbildungen

Zweite erganzte Auflage

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1973

GeschaftsfUhrende Herausgeber

Friedrich Bachmann Mathematisches Seminar der Universitat Kiel

B. Eckmann Eidgeniissische Technische Hochschule ZUrich

B. L. van der Waerden Mathematisches Institut der Universitat ZUrich

AMS Subject Classification (1970) 15A63, 20G 15, 50A05, 50AlO, 50A15, 50A20, 50A25, 50BlO, 50B25, 50B35, 50C05, 50Cl5, 50C25, 50D05, 50DI0, 50D20, 50D25, 50D30

ISBN-13: 978-3-642-65538-8 DOl: 10.1007/978-3-642-65537-1

e-ISBN-13: 978-3-642-65537-1

Das Werk ist urheberrechtlich geschUtzt. Die dadurch begrUndeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfaltigungen fUr gewerbliche Zwecke is! gemaf3 § S4 UrhG eine VergUtung an den Verlag zu zahlen, deren Hiihe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. Copyright © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1959, 1973. Library of Congress Catalog Card Number 72-96858. Gesamtherstellung: Universitatsdruckerei H. StUrtz AG, WUrzburg. Sof'tcover reprint of the hardcover 2nd edition 1959

Die Grundlehren der mathematischen W issenschaften

in Einzeldarstellungen mit besonderer Beriicksichtigung der Anwendungsgebiete

Band 96

Herausgegeben von J.L.Doob A.Grothendieck E.Heinz F. Hirzebruch E. Hopf W. Maak

crescha;rts;ruhrende

S. MacLane W. Magnus J. K. Moser M. M. Postnikov F. K. Schmidt D. S. Scott K. Stein

Herausgeber B. Eckmann und B. L. van der Waerden

KURT REIDEMEISTER

GEWIDMET

Vorwort zur ersten Auflage

In dieser Vorlesung wird ein Aufbau der ebenen metrischen Geometrie entwickelt, bei dem von den Spiegelungen und der von den Spiegelungen erzeugten Bewegungsgruppe systematisch Gebrauch gemacht wird.

Ftir die gewohnte euklidische Ebene und auch fUr die klassischen nichteuklidischen Ebenen kann man leicht die folgenden Tatsachen fest­stellen: Den Punkten und den Geraden entsprechen eineindeutig die Spiegelungen an den Punkten und die Spiegelungen an den Geraden, also involutorische Elemente der Bewegungsgruppe1• Geometrische Be­ziehungen wie die Inzidenz von Punkten und Geraden und die Ortho­gonalitat von Geraden lassen sich durch gruppentheoretische Relationen zwischen den zugehorigen Spiegelungen wiedergeben. Daher kann man geometrische Satze in Satze tiber Spiegelungen und Spiegelungs­produkte tibersetzen.

Man wird so dazu gefUhrt, die Spiegelungen zum Gegenstand geome­trischer Betrachtung zu machen, und in der Bewegungsgruppe "Geome­trie der Spiegelungen" zu betreiben. FaBt man die Spiegelungen selbst als geometrische Gegenstande, namlich als neue "Punkte" und "Gera­den" auf, so kann man fUr sie geometrische Beziehungen wie "Inzidenz" und "Orthogonalitat" durch gruppentheoretische Relationen so defi­nieren, daB der neue Bereich ein treues Abbild der ursprtinglich gegebenen Punkte und Geraden mit ihrer Inzidenz, Orthogonalitat usw. ist. Durch den gruppentheoretischen Kalktil der Spiegelungen hat man aber in dem neuen Bereich die Moglichkeit, mit den geometrischen Gegenstiinden zu rechnen, und gewinnt damit ein methodisches Hilfsmittel fUr das Be­wei sen geometrischer Satze 2•

Von diesem Gedanken wollen wir beim Aufbau der ebenen metri­schen Geometrie Gebrauch machen. Wir werden den axiomatischen Aufbau abstrakt gruppentheoretisch beginnen und folgendermaBen ver­fahren: Ais A xiome postulieren wir einige Gesetze tiber involutorische Gruppenelemente, und betrachten die aus involutorischen Elementen erzeugten Gruppen, in denen diese Gesetze gelten. Wir fUhren dann definitorisch metrische Ebenen ein, deren Punkte und Geraden die involu-

1 Ein Gruppenelement wird involutorisch genannt, wenn es seinem Inversen gleich, aber vom Einselement verschieden ist.

2 In diesem Rechnen mit den geometrischen Gegenstanden, welches vom Be­griff eines Zahlensystems und auch von Bezugssystemen unabhangig ist, mag man einen Schritt zur Realisierung von Forderungen sehen, die LEIBNIZ gegenuber der analytischen Geometrie von DESCARTES erhoben hat.

VIII Vorwort

torischen Gruppenelemente sind und in den en wir geometrische Bezie­hungen wie Inzidenz undOrthogonalitat durch gruppentheoretische Rela­tionen erklaren. Die rein gruppentheoretisch formulierten Axiome, die wir wahlen, stellen einfache geometrische Aussagen flir die Punkte und Geraden der metrischen Ebenen dar. Dementsprechend kann man beim Beweisen aus den Axiomen die Vorteile des gruppentheoretischen Kalktils ausnutzen, ohne den Leitfaden der Anschauung aus der Hand zu geben.

Bemerkenswert ist, wie wenige Axiome notig sind. Die metrischen Ebenen, die mit den axiomatisch gegebenen Gruppen definiert sind, sind daher von recht allgemeiner Natur. Eine metrische Ebene braucht nicht anordenbar (erst recht nicht stetig) zu sein. In einer metrischen Ebene braucht nicht freie Beweglichkeit zu bestehen. Es gibt auch metrische Ebenen mit nur endlich vielen Punkten und Geraden. Der Begriff der metrischen Ebene enthalt keine Entscheidung tiber die Parallelenfrage, d.h. tiber die Frage nach dem Schneiden oder Nicht­schneiden der Geraden. Die ebene metrische Geometrie, die wir ent­wickeln, enthalt ebene euklidische, hyperbolische und elliptische Geo­metrie als Spezialfalle, und wird daher, mit einem Ausdruck von J. BOLYAI, auch ebene absolute Geometrie genannt.

Das erste, einftihrende Kapitel solI, von elementaren geometrischen Kenntnissen ausgehend, an den im Hauptteil der Vorlesung eingenom­menen Standpunkt heranflihren, der im Augenblick nur roh skizziert werden konnte. § 1 dient dazu, in der vertrauten euklidischen Ebene einige Erfahrungen im Umgang mit Spiegelungen zu sammeln. Diese Betrachtungen haben ebenso, wie die referierenden Mitteilungen tiber nichteuklidische Ebenen am Anfang von § 2, propadeutischen Charakter, und konnen von unterrichteten Lesern tibergangen werden. Jedoch dtirften die "elementare" Beschreibung der metrischen Ebenen im zwei­ten Teil des § 2 und der dort geflihrte Nachweis, daB man die Theorie der metrischen Ebenen - indem man zu den Spiegelungen tibergeht -vollstandig in den Bewegungsgruppen formulieren kann, auch syste­matisches Interesse beanspruchen.

1m zweiten Kapitel beginnt dann mit § 3, der flir alles folgende grundlegend ist, der axiomatische Aujbau. In § 4 werden Satze der ebenen metrischen Geometrie (Hohensatz usw.) durch Spiegelungsrech­nen bewiesen. Die Begrtindung der ebenen metrischen Geometrie erhalt einen AbschluB durch das in § 6 bewiesene Haupt-Theorem, welches besagt, daB sich die metrischen Ebenen zu projektiv-metrischen Ebenen und die Bewegungsgruppen metrischer Ebenen zu Bewegungsgruppen projektiv-metrischer Ebenen erweitern lassen. In § 5 sind dabei ver­

wendete Begriffe und Satze der ebenen projektiven Geometrie zusam­mengestellt.

Vorwort IX

Auf Grund des Haupt-Theorems kann man die allgemeine, auf CAYLEY und KLEIN zuruckgehende Idee der projektiven M etrik aus­nutzen, urn die metrischen Ebenen einzuteilen und zu studieren. Ins­besondere ergibt sich nun die Mi:iglichkeit, die metrischen Ebenen mit den algebraischen Methoden der analytischen Geometrie zu untersuchen. 1m dri tten Kapitel werden die Bewegungsgruppen der projektiv-metri­schen Ebenen in algebraischer Darstellung, als orthogonale Gruppen metrischer Vektorraume, behandelt. AuBerdem werden diese "klassi­schen Gruppen", dem Standpunkt der Vorlesung entsprechend, als abstrakte, aus involutorischen Elementen erzeugbare Gruppen durch Ge­setze, denen die involutorischen Erzeugenden genugen, gekennzeichnet.

1m vierten, funften und sechsten Kapitel werden die ebene euklidische, hyperbolische und elliptische Geometrie, die im Rahmen der ebenen absoluten Geometrie durch Zusatzaxiome definiert werden, noch­mals je fUr sich behandelt, da ihr Aufbau jeweils besondere Verein­fachungen zuHiBt. 1m vierten Kapitel steht das Interesse an der Be­sonderheit des Spiegelungsrechnens im euklidischen FaIle im Vorder­grund. 1m fUnften Kapitel wird eine eigene Begrundung der hyper­bolischen Geometrie gegeben, deren Hauptgedanke die Verwendung einer Endenrechnung ist. Das sechste Kapitel ist der elliptischen Geometrie gewidmet, die von allen Spezialfallen der ebenen metrischen Geometrie bei dem hier eingenommenen Standpunkt der einfachste ist. Als zusatz­liches Hilfsmittel wird in diesem Kapitel der Gruppenraum eingefUhrt, und damit die Geometrie der Spiegelungen zur Geometrie der Bewe­gungen vervollstandigt.

Die euklidischen, hyperbolischen und elliptischen Ebenen erschi:ipfen keineswegs die Mannigfaltigkeit der metrischen Ebenen. Durch das Haupt-Theorem wird die Umkehrfrage aufgeworfen, wie man, urn einen Uberblick ~uber alle metrischen Ebenen zu gewinnen, in den (etwa al­gebraisch beschriebenen) projektiv-metrischen Ebenen die Teilebenen bestimmen kann, welche metrische Ebenen sind. Diese Frage kann bis­lang nicht allgemein beantwortet werden. 1m Anhang werden einige hierbei auftretende Probleme besprochen, und spezielle Resultate und Beispiele angegeben.

Grundlegende Ideen und Methoden fUr einen Aufbau der ebenen metrischen Geometrie verdankt man J. HJELMSLEVI. Er hat die Spie­gelungen systematisch verwendet.

Die Anregung zu meiner eigenen Beschaftigung mit den Problemen verdanke ich K. REIDEMEISTER, der in den dreiBiger Jahren dem Stu­dium der ebenen metrischen Geometrie einen neuen Impuls gegeben hat. Der Grad der Allgemeinheit des axiomatischen Ansatzes sowie der im

1 Weitere historische Bemerkungen findet man in § 2,3.

x Vorwort

sechsten Kapitel fUr den elliptischen Fall dargestellte Gedanke, den Gruppenraum fUr den axiomatischen Aufbau der ebenen metrischen Geometrie auszunutzen, stammen von K. REIDEMEISTER. Ich widme ihm dieses Buch im Gedenken an viele Gesprache, in denen t:r mir, nachdem ich 1935 nach Marburg gekommen war, Gedanken tiber die Grundlagen der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie entwickelt hat, und an die Fragestellungen und Anregungen, durch die er in den gemeinsamen Marburger Jahren meine Untersuchungen gefardert hat.

Persanlich ftihle ich mich ferner ARNOLD SCHMIDT verpflichtet. Er hat zuerst Axiome fUr die ebene absolute Geometrie rein gruppen­theoretisch formuliert. Durch sein Axiomensystem (das ich in einer reduzierten Fassung verwende) wurde der Begriff der Spiegelung zum Grundbegriff der absoluten Geometrie. Hervorgehoben sei ferner, daB er den Satz von den drei Spiegelungen unter die Axiome aufgenommen hat, der einerseits eine unmittelbar verstandliche geometrische Aussage macht und andererseits, wie bereits durch Untersuchungen von HESSEN­BERG und HJELMSLEV deutlich geworden war, von grundlegender Bedeutung fUr das Operieren mit Spiegelungen ist.

Von den Harem meiner Vorlesung, die ich in den vergangenen J ahren mehrfach an der Universitat Kiel gehalten habe, haben eine Reihe zur Weiterentwicklung der Gedanken beigetragen. Von ihnen haben sich J. AHRENS, K. BECKER-BERKE, P. BERGAU, J. BOCZECK, R. LINGEN­BERG, der eine Ausarbeitung der Vorlesung yom Winter 1952/53 ver­faBt hat, und H. WOLFF auch an der Durchsicht der Korrekturen be­teiligt. Bei der Herstellung des Buch-Manuskriptes hat mir H. WOLFF mit zahlreichen kritischen Bemerkungen und Verbesserungsvorschlagen geholfen.

Ferner haben R. BAER, U. DIETER, H. KARZEL und K. SCHUTTE die Korrekturen gelesen und wertvolle Verbesserungen vorgeschlagen. Ins­besondere hat R. BAER eine Ftille von Bemerkungen und Vorschlagen gemacht.

Die Aufgaben haben U. DIETER und H. WOLFF geprtift; sie haben es auch tibernommen, den Index anzufertigen. An dem Entwerfen und Zeichnen der Figuren haben 1. DIBBERN, K. BECKER-BERKE und H. WOLFF mitgewirkt.

Allen Genannten, den Herausgebern der Sammlung und dem Springer-Verlag machte ich meinen Dank aussprechen.

Ich hoffe, daB die nun als Buch vorgelegte Vorlesung dem Ziel dienen wird, das die Untersuchungen auf diesem Gebiet in den letzten Jahrzehn­ten geleitet hat: die metrische Geometrie auszubauen und in den Zusam­rncnhang anderer Disziplinen der modernen Mathematik einzufligen.

Les Diablerets, Oktober 1958. F.BACHMANN

V orwort zur zweiten Au£1age

Von Spiegelungen erzeugte Gruppen und die Geometrie der Spiege­lungen haben, seit dies Buch geschrieben wurde, an Interesse gewonnen.

Die vorliegende zweite Auflage ist ein Neudruck der seit einer Reihe von Jahren vergriffenen ersten Auflage mit folgenden Zusiitzen:

Anmerkungen, Supplement: § 20. Ergiinzungen und Hinweise auf die Literatur, Ein Verzeichnis "Neuere Literatur" (1959-1972).

Die Anmerkungen peziehen sich auf Einzelstellen des Textes der ersten Auflage. Mit dem Supplement versuche ich, dem Leser im Stil eines Ergebnisberichts einen Uberblick tiber neuere Entwicklungen in unserem Gebiet zu geben. Urn den Umfang des Buches nicht zu sehr anschwellen zu lassen und eine gewisse Ubersichtlichkeit zu wahren, muBte bei allen Zusiitzen eine Auswahl getroffen werden.

Von den im Supplement behandelten Themen mochte ich zwei, niimlich die Themen "Hilbert-Ebenen" und "Hjelmslev-Gruppen" her­vorheben und die Probleme, urn die es dabei geht, mit einigen Worten in ihren historischen Zusammenhang einordnen.

In der Vorgeschichte unseres Buches nimmt

(1 ) die HILBERTsche ebene absolute Geometrie

einen wichtigen Platz ein. Sie wird definiert durch das Axiomensystem, das aus den Axiomen der Inzidenz in der Ebene, der Anordnung und der Kongruenz aus HILBERTS klassischem Werk "Grundlagen der Geo­metrie" (1899) besteht. Ihre Begrtindung durch HjELMSLEV (1907) bezeichnete DEHN 1926 als den hochsten Punkt, den die moderne Mathematik tiber EUKLID hinausgehend in der Begrtindung der Ele­mentargeometrie erreicht hat. Man besaB aber damals keinen Uberblick tiber die Modelle des Axiomensystems der HILBERTschen ebenen ab­soluten Geometrie, die sogenannten Hilbert-Ebenen. 1m Jahre 1960 ist es W. PEjAS gelungen, aIle Hilbert-Ebenen algebraisch zu beschreiben. Damit wurde die klassische Theorie (1) zu einem gewissen AbschluB gebracht.

Eine Hauptquelle fUr die Geometrie der Spiegelungen ist

(2) HjELMSLEVS Allgemeine Kongruenzlehre (1929-1949),

mit der HjELMSLEV seine Untersuchungen aus dem Jahre 1907 in allge­meinerer Form aufgriff. Er verzichtete auf die Anordnung und - was

XII Vorwort

zunachst befremdlich erscheinen mag - in wesentlichen Teilen auf die Eindeutigkeit, teilweise auch auf die Existenz von Verbindungsgeraden.

()) Die ebene metrische (absolute) Geometrie im Sinne unseres Buches,

die gleichfalls auf die Anordnung verzichtet, halt an der Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden fest, ist aber in anderer Hinsicht (durch Verzicht auf Beweglichkeitsaxiome und Einbeziehung der ellipti­schen Geometrie) allgemeiner als HJELMSLEvsAllgemeine Kongruenzlehre.

N achdem die spiegelungsgeometrischen Methoden im Aufbau von ()) und in anderen Gebieten erprobt waren, stellte sich die Frage nach einer natiirlichen Allgemeinheit dieser Methoden; dam it gewannen auch geo­metrische Strukturen, in denen mehrfach verbundene oder unverbundene Punkte auftreten, neues Interesse. Es wurde der Begriff der Hjelmslev­Gruppe eingefiihrt und es entstand

(4) die Theorie der Hjelmslev-Gruppen

und der durch diese Gruppen definierten Hjelmslev-Ebenen, von der (1), (2), ()) SpeziaWille sind. Sie ist noch eine sehr junge Disziplin. Beweise durch Spiegelungsrechnen, die sich nur auf Axiome stiitzen, die in den Hjelmslev-Gruppen gelten, haben einen besonderen Reiz. Die Theorie der Hjelmslev-Gruppen eroffnet einen Zugang zum Studium "metrischer Ebenen" iiber kommutativen Ringen und bedeutet gegeniiber der Geo­metrie der Spiegelungen, wie sie in der ersten Auflage dieses Buches behandelt ist, eine wesentliche Bereicherung. Mit ihr treten neue geo­metrische Strukturen und neuartige geometrische Phanomene in das Blickfeld, und die spiegelungsgeometrischen Methoden verbinden sich enger und vielfaltiger mit der Betrachtung von Untergruppen und Homomorphismen; die Verbindung zur Gruppentheorie ist enger gewor­den, und Liebhabern von endlichen geometrischen Strukturen bieten die endlichen Hjelmslev-Ebenen ein neues Feld der Untersuchung1.

Bei der Abfassung der zweiten Auflage haben mich L. BROCKER, M. GOTZKY, H. KINDER, P. KLOPSCH, R. LINGENBERG, W. PEJAS, E. SALOW, R. SCHNABEL, U. SPENGLER, K. STRAM BACH und H. WOLFF unterstiitzt. Fiir Hilfe bei den Korrekturen habe ich besonders P. KLOPSCH und E. SALOW, fUr die Herstellung des Namen- und Sachver­zeichnisses F. KNUPPEL und M. KUNZE zu danken.

Kiel, Mai 1973 F. B.

1 Wah rend der Drucklegung ist es E. SALOW gelungen, die am Ende von § 20,5 formulierte Frage nach der Algebraisierung von Hjelmslev-Gruppen. die gewissen Zusatzaxiomen geniigen, zu beantworten. Damit ist, und zwar in allgemeinerer Form, ein Problem gelost, das man seit dem Tode von HJELMSLEV als Haupt­problem der HJELMSLEvschen Geometrie (2) angesehen hat.

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1. Einfiihrung. . . . . . . . . . . .

§ 1. Spiegelungen in der euklidischen Ebene . . . . . . . . . . . . . . 1. Involutorische Bewegungen S. 2. - 2. Darstellung der Bewegungen

durch Spiegelungsprodukte S.3. - 3. Das Bewegen von Bewegungen (Transformieren) S. 9. - 4. Formulierung geometrischer Beziehungen in der Bewegungsgruppe S. 11. - 5. Beweis einiger Satze durch Rechnen mit Spiegelungen S. 13.

Seile

§ 2. Der Begriff der metrischen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1. Modelle der stetigen elliptischen Ebene S. 19. - 2. Das KLEINsche

Modell der stetigen hyperbolischen Ebene S. 22. - 3. Metrische Ebenen S. 24. - 4. Formulierung der ebenen metrischen Geometrie in der Be­wegungsgruppe S. 26. - 5. Beweise S. 29.

Kapitel II. Metrische (absolute) Geometrie ... 32

§ 3. Das Axiomensystem der metrischen (absoluten) Geometrie . . 32 1. Involutorische Elemente einer Gruppe. Grundrelationen S. 32. -

2. Axiomensystem S. 33. - 3. Gruppenebene. Bewegungen der Gruppen­ebene S. 34. - 4. Erste Folgerungen aus dem Axiomensystem S. 37. -5. Das Im-Biischel-Liegen S. 40. - 6. Lotensatz S. 42. - 7. Darstellung einer Bewegung S. 44. - 8. Gerade und ungerade Bewegungen. Axiom yom Polardreiseit S. 46. - 9. Punkt-Geraden-Analogie S. 48. - 10. Fix­geraden und Fixpunkte einer Bewegung S. 51. - 11. Existenz von Punkten und Geraden S. 55.

§ 4. Satze der metrischen Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . .. 56 1. Mittelsenkrechtensatz S. 56. - 2. H6hensatz S. 57. - 3. Ful3-

punktsatz S. 59. - 4. Transitivitatssatz S. 62. - 5. Geradenbiischel S.64. - 6. \Vinkelhalbierendensatz S.67. - 7. Lemma von den neun Geraden S.67. - 8. Gegenpaarung S.68. - 9. Satz von PAPPUS­BRIANCHON S. 71. - 10. Seitenhalbierendensatz S. 74.

§ 5. Projektive und projektiv-metrische Ebenen. . . . . . . . . . . . . 76 1. Projektive Ebenen S. 76. - 2. Projektive Geometrie der eindimen­

sionalen Grundgebilde S. 82. - 3. Ebene projektive Kollineationen S. 85. - 4. Korrelationen, Polaritaten S. 88. - 5. Projektiv-metrische Ebenen S. 89. - 6. Die Rechtwinkelinvolution S. 91.

§ 6. Begriindung der metrischen Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . 93 1. Halbdrehungen der Geraden S. 94. - 2. Die durch Halbdrehungen

bewirkten Biischelabbildungen S. 97. - 3. Zur Definition der Halb­drehung S. 99. - 4. Erweiterung cler Gruppenebene zur Idealebene S. 101. - 5. Die Idealebene einer Bewegungsgruppe S. 103. - 6. Die von den Halbdrehungen urn einen Idealpunkt erzeugte Gruppe S. 107. -7. Die Axiome der euklidischen und der nichteuklidischen Metrik S. 109.

XIV Inhal tsverzeichnis

8. Metrisch-euklidische Ebenen S. 110. - 9. Die absolute Polar-Involu­tion in der Idealebene einer metrisch-euklidischen Bewegungsgruppe S. 114. - 10. Die absolute Polaritat in der Idealebene einer metrisch­nichteuklidischen Bewegungsgruppe S. 115. - 11. Haupt - Theorem S. 120. - 12. Euklidische und elliptische Bewegungsgruppen S. 121.

Seite

Note tiber freie Beweglichkeit ................... 124

§ 7. tiber das Transitivitatsgesetz flir beliebige involutorische Elemente . . 127 1. Gesetze tiber beliebige involutorische Elemente, welche in den me­

trisch-nichteuklidischen Bewegungsgruppen gelten S.127. - 2. tiber die axiomatische Kennzeichnung der elliptischen Bewegungsgruppen S. 130. - 3. Btischel von involutorischen Elementen S. 132. - 4. Zwei­spiegelige Gruppen, in denen das Transitivitatsgesetz gilt S. 133. -5. Die THOMsEN-Relation S. 135· Note tiber die Algebraisierung der affinen und projektiven Ebenen 137

Kapitel III. Projektiv-metrische Geometrie . . . .. 140

§ 8. Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorraume . 141 1. Projektive und projektiv-metrische Koordinatenebenen S. 141. -

2. Vektorraume S. 144. - 3. Metrische Vektorraume und orthogonale Gruppen S. 146. - 4. Projektiv-metrische Ebenen und metrische Vektor­raume S. 151. - 5. tiber den Satz von den drei Spiegelungen S. 154.

§ 9. Orthogonale Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 1. tiberblick S.157. - 2. Ein Lemma S. 159. - 3. Die Gruppen

O~ (K, F) mit binarer nullteiliger Form S. 160. - 4. Die Gruppen O~ (K,F) mit binarer nullteiliger Form als euklidische Bewegungsgruppen S. 163. - 5. Die Gruppen O~ (K,F) mit ternarer nullteiliger Form S. 164. - 6. Die Gruppen O~ (K,F) mit ternarer nullteiliger Form als ellip­tische Bewegungsgruppen S. 165. - 7. Die Gruppen O~ (K,F) mit be­liebiger ternarer Form S. 166. - 8. Gesetze tiber die involutorischen Elemente der Gruppe O~ (K,F) mit ternarer, nicht nullteiliger Form S. 168.

§ 10. Darstellung metrischer Vektorraume und ihrer orthogonalen Gruppen mit Hilfe hyperkomplexer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 170

1. Normierte tern are Formen S. 170. - 2. Quaternionen S. 174. 3. Die Norm einer eigentlich-orthogonalen Transformation S. 178. -4. Zweireihige Matrizen tiber K. Die lineare Gruppe L2 (K) S. 180. -5. Konstruktion metrisch-nichteuklidischer Bewegungsgruppen S. 183.

§ 11. Die Bewegungsgruppen der hyperbolischen projektiv-metrischen Ebenen als abstrakte, aus ihren involutorischen Elementen erzeugte Gruppen (H-Gruppen) .......................... 186

1. Das Axiomensystem der H-Gruppen S.187. - 2. Btischel von involutorischen Elementen. Folgerungen aus der Grundannahme und Axiom T S.188. - 3. Enden. Folgerungen aus den Axiomen -V, UV1, UV2 S. 189. - 4. Endenrechnung S. 191. - 5. Darstellung durch gebrochen-lineare Transformationen S. 195. - 6. Zusammenfassung S. 198. - 7. Eine spezielle Klasse von involutorischen Elementen der H-Gruppen S. 198.

Kapitel IV. Euklidische Geometrie .

§ 12. Der Satz von PAPPUS-PASCAL in der euklidischen Geometrie

1. Axiome und erste Folgerungen S. 201. - 2. Hilfssatze tiber par­allele Geraden S. 202. - 3. Sechs Beweise des Satzes von PAPPUS­PASCAL S. 205.

200

201

Inhaltsverzeichnis xv Seite

§ 13. Algebraische Darstellung der euklidischen Bewegungsgruppen 210 1. Darstellung der euklidischen Bewegungsgruppen als Bewegungs­

gruppen euklidischer Koordinatenebenen S. 210. - 2. Spezielle eukli­dische Bewegungsgruppen S. 215.

Kapitel V. Hyperbolische Geometrie 217

§ 14. Hyperbolische Bewegungsgruppen. . . . . . . . . 219 1. Die Axiome der hyperbolischen Bewegungsgruppen S.219.

2. Enden S. 221. - 3. Das BERGAUSche Lemma Yom Ende S. 222. -4. Verbindbarkeit der Enden S. 224. - 5. Hyperbolische Bewegungsgrup­pen und H-Gruppen S. 226. - 6. Forderungen, die mit dem hyperboli­schen Axiom H aquivalent sind S. 229.

§ 15. Darstellung der hyperbolischen Bewegungsgruppen durch binare lineare Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . 231

1. Darstellung der hyperbolischen Bewegungsgruppen S. 231. - 2. Hy­perbolische Bewegungsgruppen, in denen jede Gerade Enden angehort S.236.

Kapitel VI. Elliptische Geometrie . . . . . . ., 237

§ 16. Begriindung der elliptischen Geometrie . . . . . . . . . . . .. 239 1. Elliptische Bewegungsgruppen und ihre Gruppenebenen S. 239. -

2. Der Satz von PAPPUS-PASCAL S.241. - 3. Darstellung einer ellipti­schen Bewegungsgruppe als Bewegungsgruppe einer projektiv-metri­schen Ebene S. 243.

§ 17. Der Gruppenraum einer elliptischen Bewegungsgruppe. . . . . . . . 244

§ 18.

1. Biischel und Drehgruppen S. 244. - 2. Raumliche projektive Inzidenzaxiome S.245. - 3. Der Gruppenraum S.246. - 4. Rechts­und Linksparallelismus. CLIFFoRDsche Flachen S. 250. - 5. Beweis des Satzes von PAPPUS-PASCAL aus raumlichen Tatsachen S. 252. -6. Die Quadrate in einer elliptischen Bewegungsgruppe. Das Beweg­lichkeitsaxiom S. 256. - 7. Bewegungen des Gruppenraumes S.259. -8. Erzeugbarkeit von CLIFFORD-Flachen durch Rotation S. 262. -9. Halbdrehungen in der Gruppenebene und Schiebungen im Gruppen­raum S. 265. - 10. Deutung des Gruppenraumes in der Gruppenebene S. 268. - 11. Ein Satz von BAER S. 271.

Anhang

Dber die metrischen Bewegungsgruppen ............ . 1. Dber verschiedene Erzeugendensysteme derselben Gruppe S. 275. -

2. Die projektiv-metrischen Bewegungsgruppen S.277. - 3. Die voll­standigen metrischen Bewegungsgruppen S.277. - 4. Metrische Unter­Bewegungsgruppen S. 278. - 5. Zugehorige metrische Unter-Bewegungs­gruppen S. 279. - 6. Beispiele S. 280.

274

275

§ 19. Metrisch-euklidische Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 1. Geometrische Kennzeichnung metrisch-euklidischer Teilebenen

S.286. - 2. Algebraische Kennzeichnung metrisch-euklidischer Teil­ebenen S. 288. - 3. Metrisch-euklidische Teilebenen mit freier Beweg­lichkeit S. 293. 4. Metrisch-euklidische Unter-Bewegungsgruppen S.295.

Literatur .. Zusammenstellung besonderer Zeichen Axiomentafel . . . . . . . . . . .

297 303 304

XVI Inhaltsverzeichnis

Anmerkungen

1. Axiomensystem der metrischen Ebenen s. 305. - 2. Hiihensatz s. 305. - 3. Gegenpaarungssatz s. 306. - 4. Rechtseitsatz S. 306. -5. Zur Definition der Idealgeraden und der absoluten Polaritat in der Idealebene s. 307. - 6. Abhangigkeit des Axioms UV 2 im Axiomen­system der H-Gruppen s. 309. - 7. Elliptische Geometrie S. 310. -8. Zum Begriff "total ganzzahlig-einschliel3bar" s. 310.

Supplement . ..... .

Seite

305

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§ 20. Erganzungen und Hinweise auf die Literatur . . . . . 311 1. Involutorisch erzeugte Gruppen S. 313. - 2. Geometrie involutori­

scher Gruppenelemente S. 314. - 3. Axiomensystem der ebenen absolu-ten Geometrie S. 318. - 4. Kleine Axiome, Axiomensystem des Senk­rechtstehens, Hjelmslev-G~uppen S. 318. - 5. Nicht-elliptische Hjelms­lev-Gruppen S. 323. - 6. Minkowskische Gruppen S. 328. - 7. 5-Gruppen S. 330. - 8. Orthogonale und projektiv-orthogonale Gruppen S. 333. - 9. n-dimensionale absolute Geometrie S. 335. - 10. Eigentlich­keitsbereiche und vollstandige Spiegelungsgruppen metrischer Vektor­raume S. 338. - 11. Gruppentheoretische Kennzeichnung orthogonaler Gruppen S. 340. - 12. Kinematische Raume S.342. - 13. Hilbert­Ebenen S. 345. -14. Modelle der absoluten Geometrie S. 349. -15. Der Satz von der dritten Quasispiegelung S. 354.

Neuere Literatur. . . . . . Namen- und Sachverzeichnis

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