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Stochastische Prozesse Ubungsblatt 3
Sonja Greven, Nora Fenske SoSe 2010
Aufgabe 9:
Schreiben Sie in R eine Funktion, die die Pfade des homogenen Poisson-Prozesses fur gegebene
Intensitaten λ simuliert und visualisiert.
Hinweis: Benutzen Sie dabei die Eigenschaft aus Satz 1.3 im Skript.
Aufgabe 10:
Zeigen Sie, dass fur einen Poisson-Prozess {N(t), t ≥ 0} der folgende Zusammenhang gilt und
interpretieren Sie diesen:
P (N(s) = k |N(t) = n) =
(n
k
)(st
)k (1− s
t
)n−kfur s < t
Aufgabe 11:
In einer besonders leckeren Kartoffelsuppe landen verschiedene Fliegen gemaß eines Poisson-
Prozesses mit der Intensitatsrate λ. Eine landende Fliege ist grun mit der Wahrscheinlichkeit p
und das vollig unabhangig von den Farben der anderen Fliegen. Zeigen Sie, dass die Landung
von grunen Fliegen in der Suppe einen Poisson-Prozess mit der Intensitatsrate λp bildet.
Aufgabe 12:
Zwischen dem 15. Marz 1851 und dem 22. Marz 1962 (t = 40550 Tage) ereigneten sich in
Großbritannien insgesamt N(t) = 191 Explosionen im Kohlebergbau, wobei mindestens 10
Personen todlich verungluckten. Auf der Homepage finden Sie den Datensatz coal.dat mit
den genauen Explosionszeitpunkten (in Tagen). Die folgende Abbildung bietet einen ersten
Uberblick uber die Daten:
0 10000 20000 30000 40000
050
100
150
200
Zeit [Tage]
Kum
ulie
rte
Anz
ahl a
n E
xplo
sion
en
|||||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| | || ||||||||||| ||| | | ||| || ||||||||||||||| ||||||||| ||||| | | | |
Aus statistischer Sicht lasst sich die vorliegende Situation als Poisson-Prozess auffassen.
Datum: 06.05./07.05.2010 Seite 1
(a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schatzer λML unter Annahme eines homogenen
Poisson-Prozesses.
(b) Zeichnen Sie in R ein Histogramm der Verteilung der Zwischenzeiten und zeichnen Sie
zusatzlich auch die Dichte der Exponentialverteilung mit Rate λML ein. Erscheint Ihnen
die Annahme eines homogenen Poisson-Prozesses gerechtfertigt?
(c) Anstelle einer visuellen Uberprufung soll jetzt auch ein statistischer Test durchgefuhrt
werden, um zu uberprufen, ob ein homogener Poisson-Prozess vorliegt. Testen Sie
dazu mit Hilfe eines Kolmogoroff-Smirnov-Tests in R, ob die Zwischenzeiten Tn einer
Exponentialverteilung mit Parameter λML folgen, also Tni.i.d.∼ Exp(λML).
Aufgabe 13:
Bei einem Versicherungsunternehmen gehen taglich im Mittel 10 Schadensmeldungen ein.
Es wird angenommen, dass die Anzahl gemeldeter Versicherungsfalle einem homogenen
Poisson-Prozess folgt und dass die logarithmierte Versicherungsleistung pro Schadensfall
als normalverteilt mit Erwartungswert µ = 6 und Varianz σ2 = 2.25 betrachtet werden
kann, d.h. die Versicherungsleistung ist logarithmisch normalverteilt LN(µ, σ2). Mit welcher
Wahrscheinlichkeit bleibt die auszuzahlende Schadenssumme in 30 Tagen unter der Grenze
von 500 000 Euro?
Hinweis: Fur eine LN(µ, σ2)-verteilte Zufallsvariable Y gilt
E(Y ) = exp
(µ+
1
2σ2
)Var(Y ) = exp
(2µ+ σ2
) (exp(σ2)− 1
)
Datum: 06.05./07.05.2010 Seite 2
