Aufgaben zu Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Löse die Aufgaben sauber auf einem Blatt Papier oder im Schulheft.

Gib bei jeder Aufgabe zunächst die Ergebnismenge Ω und ihre Mächtigkeit | Ω | an.Bestimme dann die Mächtigkeit des zu untersuchenden Ereignisses A und berechne schließlich die Wahrscheinlichkeit P(A) = | A | : | Ω | .

Und nun geht’s los!

Aufgabe 1

In einer Lostrommel befinden sich 100 Lose.90 Lose sind Nieten, 8 Lose liefern einen Trostpreis und 2 Lose einen Hauptpreis.Peter zieht ein Los aus der Trommel.Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er a) eine Niete (Ereignis A),b) einen Hauptpreis (Ereignis B),c) keinen Trostpreis (Ereignis C)?

100 und A 90 und B 2 und C 92

A 90P(A) 0,90 90%100

B 2P(B) 0,02 2%100

C 92P(C) 0,92 92%100

Aufgabe 2In einer Lostrommel befinden sich 100 Lose.90 Lose sind Nieten, 8 Lose liefern einen Trostpreis und 2 Lose einen Hauptpreis.Paula zieht zwei Lose aus der Trommel.Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat siea) zwei Nieten (Ereignis A),b) nur genau eine Niete (Ereignis B),c) zwei Trostpreise (Ereignis C)d) Einen Trostpreis und einen Hauptpreis (Ereignis D)?

A 8010100 99 9900 und A 90 89 8010 P(A) 0,8090... 80,9%9900

B 18009900 und B 90 10 10 90 1800 P(B) 0,1818... 18,2%9900

C 569900 und C 8 7 56 P(C) 0,0056... 0,6%9900

D 329900 und D 8 2 2 8 32 P(D) 0,0032... 0,3%9900

Aufgabe 34 Mädchen und 4 Jungen sollen durch ein Losverfahren in einer Reihe aufgestellt werden.Mit welcher Wahrscheinlichkeit

a) stehen die vier Mädchen vorne (Ereignis A),b) stehen zwei Mädchen am Anfang und zwei Mädchen am Ende der Reihe (Ereignis B),c) entsteht eine „bunte“ Reihe, d.h. Mädchen und Jungen wechseln sich ab (Ereignis C) ?

A 576 18! 40320 und A 4! 4! 24 24 576 P(A) 1, 4%40320 70

B 576 18! und B 4 3 4! 2 1 4! 4! 576 P(A) 1,4%40320 70

C 28! und C 4 4 3 3 2 2 1 1 4! 4! 2 1152 P(C) 2,9%0

27

Aufgabe 4Paula wirft zwei Würfel gleichzeitig.Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält Paula

a) zwei gerade Ziffern (Ereignis A),b) keine 3 (Ereignis B),c) die Augensumme 6 (Ereignis C),d) zwei Ziffern, die sich genau um 2 unterscheiden (Ereignis D)?

2 2 9 16 36 und A 3 9 P(A) 25 %36 24

2 2 256 und B 5 25 P(B) 0,6944... 69,4 %36

2

(1/ 3), (3 /1), (2 / 4), (4 / 2), (3 / 5), (5 / 3), (4 / 6), (6 / 4)86 und D 8 P(D) 0,2222... 22,2 %

36

2

6 1 5 5 1 2 4 4 2 3 356 und C 5 P(C) 0,1388... 13,9 %

36

Aufgabe 5In einer Urne befinden sich 3 rote, 2 grüne und eine blaue Kugel.Peter zieht nacheinander zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) aus dieser Urne.Mit welcher Wahrscheinlichkeit

a) ist die erste Kugel rot (Ereignis A),b) sind beide Kugeln rot (Ereignis B),c) ist eine Kugel rot und die andere grün (Ereignis C),d) haben die Kugeln unterschiedliche Farbe (Ereignis D)?

36 und A 3 , also P(A) 0,50 50%6

66 5 30 und B 3 2 6 , also P(B) 0, 20 20%30

126 5 30 und C 3 2 2 3 12 , also P(C) 0,40 40%30

6 5 30 und D (3 2 2 3) (3 1 1 3) (2 1 1 2) 12 6 4 22 ,

22also P(D) 0,7333... 73,3%30

Aufgabe 6In einer Urne befinden sich 3 rote, 2 grüne und eine blaue Kugel.Paula zieht nacheinander zwei Kugeln, wobei sie die erste Kugel aber wieder in die Urne zurücklegt.Mit welcher Wahrscheinlichkeit

a) sind beide Kugeln rot (Ereignis A),b) haben die beiden Kugeln die gleiche Farbe (Ereignis B),c) ist eine Kugel rot und die andere grün (Ereignis C),d) haben die Kugeln unterschiedliche Farbe (Ereignis D)?

96 6 36 und A 3 3 9 , also P(A) 0, 25 25%36

146 6 36 und B 3 3 2 2 1 1 14 , also P(B) 0,3888... 38,9%36

126 6 36 und C 3 2 2 3 12 , also P(C) 0,3333... 33,3%36

14 226 6 36 und D B , also P(D) 1 P(B) 1 61,1%36 36

6 6 36 und D (3 2 2 3) (3 1 1 3) (2 1 1 2) 22,

22also P(D) 0,6111... 61,1% oder ...36

Aufgabe 7In einer Urne befinden sich 10 Kugeln mit den Ziffern 0, 1, 2, …, 9.Peter zieht nacheinander drei Kugeln, wobei er die Kugel jeweils wieder in die Urne zurücklegt.Mit welcher Wahrscheinlichkeit

a) zieht Peter dreimal die gleiche Ziffer (Ereignis A),b) zieht Peter nur gerade Ziffern (Ereignis B),c) zieht Peter drei unterschiedliche Ziffern (Ereignis C),d) sind genau zwei der gezogenen Ziffern gleich (Ereignis D für Experten)?

3 1010 1000 und A 10 , also P(A) 0,01 1%1000

3

[doppelt gezogene Zahl: 10 Möglichkeiten; einfach gezogene Zahl : 9 Möglichkeiten und 3 Möglichkeiten für ihre Position.]

oder: P(D) = 1 - P(A) - P(C) = 1 - 0,01 - 0,72 = 0,27 = 27%

27010 1000 und D 10 9 3 270 , also P(D) 0,27 27%1000

3 72010 1000 und C 10 9 8 720 , also P(C) 72%1000

3 3 12510 1000 und B 5 125 , also P(B) 12,5%1000

Aufgabe 8In einer Urne befinden sich 10 Kugeln mit den Ziffern 0, 1, 2, …, 9.Paula zieht nacheinander (ohne Zurücklegen) drei Kugeln, mit denen sie dann eine möglichst großeZahl bilden soll.Mit welcher Wahrscheinlichkeit

a) kann Paula die Zahl 731 bilden (Ereignis A),b) zieht Paula nur ungerade Ziffern (Ereignis B),c) kann Paula nur Zahlen kleiner als 600 bilden (Ereignis C)?

610 9 8 720 und A 3! 6 , also P(A) 0,0083... 0,8%720

12010 9 8 720 und C 6 5 4 120 , also P(C) 0,1666... 16,7%720

[Paula kann nur Ziffern aus der Menge 0,1,2,3, 4,5 ziehen.]

6010 9 8 720 und B 5 4 3 60 , also P(B) 0,0833... 8,3%720

Aufgabe 9Paula würfelt beim „Mensch ärgere dich nicht“ dreimal hintereinander.Mit welcher Wahrscheinlichkeit

a) hat Paula keine „6“ gewürfelt (Ereignis A),b) hat Paula nur ungerade Augenzahlen gewürfelt (Ereignis B),c) hat Paula mindestens eine „6“ gewürfelt (Ereignis C),d) hat Paula genau eine „6“ gewürfelt (Ereignis D)?

3 3 1256 216 und A 5 125 , also P(A) 0,5787... 57,9%216

3 3 276 216 und B 3 27 , also P(A) 0,125 12,5%216

3 125 916 216 und C A, also P(C) 1 P(A) 1 0,4212... 42,1%216 216

3 756 216 und D (5 5 1) 3 75 , also P(D) 0,3472... 34,7 %216

Aufgabe 10Bei einem Test mit 10 Aufgaben muss Peter jeweils genau eine richtige von 3 Antworten ankreuzen. Da Peter sich nicht vorbereitet hat, kreuzt er zufällig an.Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantwortet Peter

a) keine der Fragen richtig (Ereignis A),b) genau eine der Fragen richtig (Ereignis B),c) die beiden ersten Fragen richtig (Ereignis C),d) genau 4 Fragen richtig (Ereignis D für Experten) ?

1010 10

10

23 59049 und A 2 1024 P(A) 0,0173 1,7 %3

910 9

10

10 23 und B 10 1 2 5120 P(B) 0,0867... 8,7%3

810 8

10

23 und C 1 1 2 256 P(C) 0,0043... 0,4%3

10 4 610

Suche zunächst die 4 Aufgaben aus den 10 aus, die Peter richtig beantwortet.10 9 8 7Dafür gibt es 210 Möglichkeiten4 3 2 1

134403 und D 210 1 2 13440 P(D) 0, 2276... 22,8%3

Es ist geschafft!