Aula 4 - Introdução ao Problema de Emparelhamento

5/17/2018 Aula 4 - Introdução ao Problema de Emparelhamento - slidepdf.com

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Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Informática e Matemática Aplicada

Natal - RN

Emparelhamento

Sílvia Maria Diniz Monteiro Maia

Profª D.Sc. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg



Roteiro

• Problema do casamento

• Problema de alocação (assignment problem)

– Problema de alocação ótima

• Emparelhamento



Problema do Casamento

• Dado um conjunto de homens e mulheres em

que cada mulher conhece alguns homens.

• Quais seriam as condições para que toda

mulher pudesse casar com um homem que ela

conhece?

• Encontre o número máximo de mulheres as

quais podem casar com um homem queconhecem.







1) Em que condições G tem um subgrafo

1-regular que contém todos os vérticesque representam mulheres?

2) Qual o tamanho máximo de um

subgrafo 1-regular de G?



Problema de Alocação

• Dado várias vagas de trabalho e candidatospara um ou mais desses cargos, determine

uma alocação candidado-vaga de maneira que

o maior número possível de vagas sejapreenchido.



Problema de Alocação



Problema de Alocação Ótima

• Alocação com maximização de benefícios paraempresa.

10

10

20

5

20



Emparelhamento

Um emparelhamento em um grafo G é um subgrafo

1-regular de G, ou seja, um subgrafo induzido por

uma coleção de arestas não adjacentes par a par.

x y u v

z w

e1

e3

e4

e5

e6

e2

x y u v

z w

e1

e3

e4

e5

e6

e2

Emparelhamento máximo Emparelhamento máximal



Emparelhamento

•Emparelhamento máximo – Máxima cardinalidade.

– Maior número de arestas possível.

• Emparelhamento maximal – Nenhuma aresta pode ser adicionada e aumentar o

emparelhamento.

• Emparelhamento perfeito – Contém n/2 arestas.

– Abrange todos os vértices do grafo. – O grafo deve possuir um número par de vértices.

– Nem todo grafo de ordem par tem umemparelhamento perfeito.



Emparelhamento

• Emparelhamento máximo ponderado em umgrafo ponderado

– Emparelhamento no qual a soma dos pesos das

arestas é máximo. – Não necessariamente coincide com o

emparelhamento máximo do grafo.

x y u vz

w

1

1

12 3

x y u vz

w

1

1

12 3

Emparelhamento ponderado máximo Emparelhamento máximo



Emparelhamento

• Problemas relacionados a emparelhamento – Encontrar emparelhamento máximo em um grafo

bipartido.

–

Encontrar emparelhamento máximo em um grafoqualquer.

– Encontrar emparelhamento ponderado máximo

em um grafo bipartido ponderado.

– Encontrar emparelhamento ponderado máximo

em um grafo ponderado qualquer.



Emparelhamento

• Definições: – Aresta emparelhada: faz parte do emparelhamento.

– Aresta não-emparelhada: não faz parte doemparelhamento.

– Vértice emparelhado: é vértice terminal de algumaaresta emparelhada.

– Vértice simples: não é vértice terminal de nenhumaaresta emparelhada.

– Caminho alternante: Caminho cujas arestas sãoalternadamente emparelhadas e não-emparelhadas.

– Caminho de aumento: caminho alternante não-trivialque inicia e termina com um vértice simples.



Emparelhamento

• Caminho alternante: x, y, z, u, w

• Caminho de aumento: x, y, z, w, u, v

x y u v

z w

e1

e3

e4

e5

e6

e2



Emparelhamento

TeoremaSeja M1 e M2 emparelhamentos em um grafo G. Seja E o

conjunto de arestas de G que pertence ou a M1 ou a M2, porém

não a ambos. Sendo assim, E = (M1-M2) U (M2-M1). Seja H osubgrafo gerador com conjunto de arestas E(H) = E. Então, cada

componente de H se encontra em um dos casos a seguir:

(a)Um vértice isolado;

(b)Um ciclo de cardinalidade par, cujas arestas estão

alternadamente em M1 e M2;(c)Um caminho não-trivial cujas arestas estão alternadamente em

M1 e M2 de tal forma que cada vértice terminal do caminho é

simples com relação a M1 ou a M2 mas não a ambos.



Emparelhamento

Teorema de Berge

Um emparelhamento M em um grafo G é máximo se,

e somente se, não existe caminho de aumento, no

que diz respeito a M, em G.



Emparelhamento

Teorema do Casamento de Hall

Uma condição necessária e suficiente que garante

que cada mulher pode casar com um homem que

ela conhece é que cada subconjunto de k mulheres

(1kn) conheça coletivamente pelo menos k

homens.



Emparelhamento

• Emparelhamento máximo em um grafobipartido como um problema de fluxo em

redes.

a b e f

c d

g h



Emparelhamento


redes.

a b

e

f

c d

g

h



Emparelhamento


redes.

• Complexidade: O(nm2) – Ford-Fulkerson

modificado por Edmond e Karp; O(n3) – MPM.

a b

e

f

c d

g

h

s t

1

1

1

1

1

1

1

1



Emparelhamento

•Sejam – M: um emparelhamento no grafo G;

– P: um caminho de aumento em relação a M;

– M’: conjunto de arestas de P pertencentes a M;

– M’’: E(P) – M’.

• Faça M1 = (M-M’) U M’’.

• M1 é um emparelhamento para G com

cardinalidade |M| + 1, obtido a partir doaumento de M ao longo de P.

• Todo vértice simples em M1 também é simplesem M.



Emparelhamento

• M: {e2, e5}• P: (x, y, z, w, u, v)

• M’: {e2, e5}

• M’’: {e1, e4, e6}

• M1 = (M – M’) U M’’ = M’’ = {e1, e4, e6}

x y u v

z w

e1

e3

e4

e5

e6

e2

x y u v

z w

e1

e3

e4

e5

e6

e2



Emparelhamento

Teorema

Seja M um emparelhamento de um grafo G que não é

máximo e seja v um vértice simples com relação a M. Seja

M1 um emparelhamento obtido a partir do aumento de M

ao longo de algum caminho de aumento. Se G contém um

caminho de aumento com relação a M1 em que um dos

vértices terminais é v, então G contém um caminho deaumento com relação a M em que um dos vértices terminais

é v.



Emparelhamento

Corolário

Seja M um emparelhamento de um grafo G. Suponha que M= M1, M2, ..., Mk é uma sequência de emparelhamentos de G

tal que Mi (2ik) é obtido aumentando Mi-1 ao longo de

algum caminho de aumento. Suponha que v é um vértice

simples com respeito a M de maneira que não existe um

caminho de aumento começando em v. Então, G não

contém um caminho de aumento com respeito a Mi (2ik)

que tenha v como um vértice terminal.



Emparelhamento

• O procedimento de busca em largura pode serempregado para gerar uma árvore alternante

de G com raiz em um nó simples v.

G

a b e f

c d

g h

c

g

d

h

b e

Árvore de largura de G

fa

Caminho de aumento



Emparelhamento

• Novo emparelhamento decorrente da árvorealternante.

G

a b e f

c d

g h

G

a b e f

c d

g h



Emparelhamento

Algoritmo

1.Enquanto existir vértice não emparelhado nãoexaminado

2.Encontrar um vértice não emparelhado

3.Construir a árvore alternante

4.Encontrar um caminho de aumento

5.Aumentar o emparelhamento

Complexidade: O(nm)



Emparelhamento

• Exemplo:

a b

e

f

c d

g

h

c

d f

a e

b

Caminho de aumento

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