Aula - RNP

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Vamos conhecer mais sobre triângulos!

Ricardo Ferreira Paraizo

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Meta

Apresentar a trigonometria básica.

Objetivos

Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:

1. aplicar as relações trigonométricas (triângulo

retângulo);

2. aplicar o Teorema de Pitágoras;

3. aplicar a lei do seno e a lei do cosseno;

4. aplicar o teorema da área de um triângulo

qualquer.

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447Breve histórico sobre a trigonometria

A palavra “trigonometria” é formada por três radicais gregos: TRI (três), GONO

(ângulo) e METREIN (medir). Daí vem o seu significado: medida de triângulos. Trata-

se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.

Apesar de os egípcios e os babilônios terem utilizado as relações existentes

entre lados e ângulos dos triângulos para resolver problemas, foi a atração pelo

movimento dos astros que impulsionou a evolução da trigonometria. Daí que,

historicamente, a trigonometria surge muito cedo associada à Astronomia na

construção de relógios de sombra.

Hoje, a trigonometria é usada em muitas situações e não se limita apenas à

Astronomia e ao estudo de triângulos. Encontramos diferentes aplicações na

Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na

Música.

Agora vamos conhecer o triângulo retângulo e as suas relações trigonométricas.

Figura 18.1: Existem vários tipos de relógios de sombra. A obtenção dos valores dos ângulos

entre as marcações dos horários e o consequente traçado do mostrador de um relógio clássico

podem ser feitos geometricamente ou através da utilização da trigonometria.

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449O triângulo retângulo

O triângulo retângulo é formado utilizando-se dois lados perpendiculares entre si,

chamados de catetos (b e c), e um outro lado, chamado de hipotenusa (a). A partir

dessa forma, muitos teoremas importantíssimos foram construídos e um dos mais

importantes é o Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante teorema de toda a

matemática. Com ele pode-se descobrir a medida de um lado de um triângulo

retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. Pitágoras disse:

“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

Portanto: a2 = b2 + c2.

Figura 18.2: O triângulo retângulo. A soma dos ângulos α e β é igual a 90º.

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449

Em qualquer triângulo retângulo essa regra se aplica. Lembre-se de que triângulos

retângulos são triângulos que têm um ângulo interno medindo 90º. É possível

utilizar a regra de Pitágoras em praticamente todas as figuras geométricas planas,

pois de alguma forma elas podem ser divididas em triângulos.

Vamos ver o exemplo de um quadrado. Podemos determinar a medida da bissetriz

de um ângulo interno usando a mesma fórmula. Basta perceber que a BISSETRIZ

seria a hipotenusa de um triângulo inscrito no quadrado:

Curiosidade

Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que

nasceu no ano de 580 a.C., na cidade de Samos.

Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona

(colônia grega na península itálica), cujos princípios

foram determinantes para a evolução geral da

matemática e da filosofia ocidental, em que os

principais enfoques eram: harmonia matemática e a

doutrina dos números. Aliás, Pitágoras foi o criador

da palavra “filósofo”.

Segundo o pitagorismo, a essência, que é o

princípio fundamental que forma todas as coisas,

é o número. Os pitagóricos não distinguem forma,

lei e substância, considerando o número o elo entre

esses elementos. Para essa escola existiam quatro

elementos: terra, água, ar e fogo.

BISSETRIZ

É a semi-reta que divide um ângulo em dois

ângulos congruentes.

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Assim temos: h2 = a2 + b2.

Figura 18.3: Triângulo inscrito em um quadrado

de lados a e b.

Atende ao Objetivo 2Atividade 1

Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a 3 6 m?


O perímetro de um losango mede 20 cm e uma das diagonais mede 8 cm. Quanto

mede a outra diagonal?

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451Relações trigonométricas (triângulo retângulo)

Tendo como base o triângulo retângulo da Figura 18.2, podemos definir algumas

relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo. São elas o seno, o

cosseno e a tangente. Definimos essas linhas trigonométricas da seguinte forma:

Sendo a = Hipotenusa; b = Cateto adjacente ao ângulo α; c = Cateto oposto ao

ângulo α, podemos, então, definir:

sen α = cateto oposto a

hipotenusaca

α=

cos α = cateto adjacente a

hipotenusaba

α=

tg α = cateto oposto a

cateto adjacente asen c

bα

ααα

= =cos

Relações fundamentais da trigonometria

Agora vamos mostrar algumas relações importantes para a aplicação da trigonometria:

1. sen²α+cos²α = 1

Vamos mostrar a validade desta relação num triângulo ABC, retângulo em A.

Veja:

Consideremos um ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir:

Figura 18.4: Triângulo retângulo ABC, com um ângulo α de vértice C.

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453 Lembrando o Teorema de Pitágoras, a² = b² + c², temos:

sen²α + cos² α = ca

ba

b ca

aa

+

= + = =2 2

2 1² ² ²

²

2. sen α = cos (90° – α)

O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar. Vamos mostrar

a validade dessa igualdade num triângulo retângulo ABC. Consideremos um

ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir:

Sabemos que α + β = 90°.

Daí temos: β = 90° - α.

Se senca

α = e cos β = ca, logo senα = cosβ.

Ou seja, sen α = cos (90° - α).

Essa relação vale para qualquer ângulo.

Exemplos:

1. sen 30° = cos (90º - 30º) = cos 60º;

2. sen 20° = cos (90º - 20º) = cos 70º.

Figura 18.5: Triângulo retângulo ABC.

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453

Vejamos outros exemplos:

3. Calcule x na figura a seguir:

Atenção!

Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com frequência em muitos problemas

de trigonometria. Para as razões trigonométricas relacionadas a esses ângulos,

é mais conveniente usar os valores indicados na tabela a seguir:

Razão Trigonométrica 30o 45o 60o

sen12

22

32

cos3

222

12

tg33

1 3

Figura 18.6: Projeto de uma peça metálica.

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455 Onde se deve fazer a inclinação para obter um ângulo de 25°?

tgCateto oposto

Cateto adjacente x

xx x

2520

0 46620

0 466 20

0 = =

= ⇒ = ⇒, , == ⇒ =200 466

42 91,

,x

4. Calcule a altura do prédio indicado na figura a seguir:

Figura 18.7: Veja a trigonometria ajudando você a calcular uma distância inacessível!


O triângulo ABC é retângulo em Â. Se o seno do ângulo B é 0.8, calcular a tg C$ .

Dica: sen B = cos C$ .

tgCateto oposto

Cateto adjacentex

xx X

5827

1 61 27

1 6 27 43

0 = =

= ⇒ = =,, ,22

1 7

43 2 1 7 44 9

h x

h m

= += + =

,

, , ,

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Atende aos Objetivos 1 e 2

O que seria dos topógrafos sem a trigonometria?

a. A distância x representada na figura.

b. A altura h do morro.

Atende aos Objetivos 1 e 2Atividade 4

Um TOPÓGRAFO e seu ajudante, equipados com trena e teodolito, veem o topo de

um morro sob um ângulo de 600 com a horizontal e, quando recuam 100 m, veem

o topo do mesmo morro sob um ângulo de 300 (veja figura a seguir). Calcular:

TOPÓGRAFO

Indivíduo que se ocupa da descrição minuciosa

de uma localidade ou das configurações do relevo de um terreno com a posição de seus acidentes naturais

ou artificiais.

Atividade 5

Sabendo-se que um cateto e a hipotenusa de um triângulo medem p e 2p,

respectivamente, calcule a tangente do ângulo oposto ao menor lado.

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A trigonometria ajudando no cálculo de distância entre dois pontos.


Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 3 m do solo, forma,

com essa parede, um ângulo de 30º. Calcule a distância da parede ao “pé” da

escada, em metros.

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Triângulos quaisquer (lei dos senos e lei dos cossenos)

Já estudamos a resolução de triângulos retângulos. Agora estudaremos a resolução

de triângulos quaisquer. Para isso, é necessário conhecer a lei dos senos e a lei dos

cossenos, um conteúdo visto no 9o ano do ensino fundamental.

Nos problemas que envolvem ângulo(s) e lado(s) em triângulos quaisquer, podemos

observar duas situações:

1a – Temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado.

2a – Temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado.

Na primeira situação (em que temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado),

podemos usar a lei dos cossenos ou a lei dos senos (de preferência a lei dos senos).

A seguir, temos a fórmula da lei dos senos:


Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo

de 30º. Sabe-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h.

Após 3 horas de percurso, calcular a distância que o móvel se encontra da reta AC.

a

sen A

b

sen B

c

sen C$ $ $

= =

Figura 18.8: Lei dos senos.

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459Na segunda situação (em que temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado),

devemos usar a lei dos cossenos. A seguir, temos as fórmulas da lei dos cossenos:

Teorema da área de um triângulo qualquer

A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas de dois

de seus lados pelo seno do ângulo formado por esses lados. A seguir, temos as

fórmulas para a área de um triângulo qualquer:

a² = b² + c² – 2.b.c.cos A

b² = a² + c² – 2.a.c.cos B

c² = a² + b² – 2.a.b.cos C

Figura 18.9: Lei dos cossenos.

S = 12

a b sen C. .

S = 12

b c sen A. .

S = 12

a c sen B. .

Figura 18.10: Área de um triângulo qualquer.


A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa

d’água a 50 m de distância (veja figura a seguir). A casa está a 80 m de distância

da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água/bomba e caixa

d’água/casa é de 600. Pretende-se bombear água do mesmo ponto de captação até

a casa; a distância que a casa está deste ponto vale:

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459a. 60 m

b. 70 m

c. 80,66 m

d. 90,55 m

e. 115,86 m

Para resolver este problema, você precisa pensar em qual lei poderá usar: lei dos

senos ou lei do cosseno?


Um jardineiro fez um canteiro triangular como o da figura adiante. Para regá-lo,

gasta 10 litros de água por m². Quantos litros de água ele vai gastar para regar

todo o canteiro?

Dados: AB = 4m e AC = 2 2 m;

sen 105° ≅ 0,97 (lê-se: seno de cento e cinco graus é igual a noventa e sete

centésimos)

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461

• Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²

• Para resolver os problemas de trigonometria, precisamos saber onde aplicar

as relações trigonométricas de acordo com os dados dos problemas:

sen α = cateto oposto a αhipotenusa

ca

=

cos α = cateto adjacente a

hipotenusaba

α=

tg α = cateto oposto a

cateto adjacente asen c

bα

ααα

= =cos

• Relações fundamentais da trigonometria: sen²α + cos²α = 1;

sen α = cos (90° – α).

Resumindo...

Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos estudar os Princípios Básicos de Estatística.

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Atividade 1

O perímetro do quadrado é igual à soma dos seus lados. Vamos chamar este lado

de a. O perímetro será 4a.

Respostas das Atividades

Podemos ver que o triângulo ABD é retângulo em A. Aplicamos o Teorema de

Pitágoras neste triângulo:

3 6 3 6 2 9 36 2 9 6 2

54 2542

9

22

2( ) = + ⇒ • ( ) = ⇒ • = ⇒ • =

= ⇒ = ⇒ =

a a a a a

a a a

² ² ² ² ²

² ² ² ⇒⇒ = ⇒ = • ⇒ = • ⇒ =a a a a27 9 3 9 3 3 3

Como o perímetro é 4•a, temos 4• 3 3 = 12 3 m.

Logo, o perímetro do quadrado é igual a 12 3 m.

Atividade 2

• O losango é um polígono com 4 lados iguais. Veja a fi gura:

• Podemos considerar d1 como a diagonal maior e

d2 como a diagonal menor (vamos calcular).

• Como o perímetro mede 20 cm, temos:

4a = 20

a = 20/4

a = 5 cm

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463• As diagonais de um losango cruzam entre si formando ângulo de 90°.

• As diagonais de um losango se cruzam no ponto que as dividem ao meio.

• Temos então um triângulo retângulo ABE com as dimensões a seguir:

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

5 42

25 164

25 164

94

36

22

2

2

2

2

2

2

2

2

² ²= +

= +( )

− =( )

=( )

( ) = ⇒

d

d

d

d

d d22 236 6= ⇒ =d cm

Logo, a outra diagonal mede 6 cm.

Atividade 3

• Como B e C são complementares ( B+ C = 90°), pode-se dizer que sen B = cos C .

• Foi dito no enunciado da questão que sen B = 0,8. Então cos C = 0,8.

• A relação fundamental da trigonometria diz que: sen² C + cos² C = 1.

• Então sen² C + (0,8)² = 1 ⇒ sen² C + 0,64 = 1 ⇒ sen² C = 1 -0,64 ⇒

sen² C = 0,36;

⇒ sen² C = 36100

⇒ sen C = 36100

⇒ sen C = 610

= 0,6.

• tg C = sen C

C

ˆ

cos ˆ,,

,= =0 60 8

0 75 .

Logo, tg C = 0,75.

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463Atividade 4

a. Para calcular x, vamos analisar os ângulos das figuras a seguir:

• α e 60° formam um ângulo raso; isso significa que (α + 60°)=180°.

Resolvendo a equação temos: α = 180 - 60° ⇒ α = 120°.

• Veja o triângulo BDC. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um

triângulo vale 180°. Vale dizer então que:

30°+α+β = 180° Como α já foi calculado anteriormente como sendo 120°,

então podemos ter:

30°+120°+β = 180°⇒ 150°+β = 180°⇒ β = 180° - 150°⇒ β = 30°.

• Veja agora a Figura 2, em que substituímos os valores encontrados.

• Podemos ver que o triângulo BDA é isósceles, pois os ângulos Â e B são

iguais. Então o segmento CD = BD = 100m

Veja como fica o triângulo BAD

Figura 1 Figura 2

Cateto Adjacente

Hipotenusa

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465 Para encontrar o valor de x, temos que procurar uma relação que tem cateto

adjacente e hipotenusa. Essa relação é:

cos

cos

60

60100

12 100

50

° =

° =

=

=

Cateto adjacentehipotenusa

x

x

x m

b. Para calcular a altura do morro, podemos usar o Teorema de Pitágoras.

A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.

(100)² = 50² + h²

10000 = 2500 + h²

h² = 7500

h = 7500

h= 2 5 3 2 5 3 50 32 4 2• • = • • = m.

Então, temos:

a, x = 50 m; b, h = 50 3 m.

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465Atividade 5

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

(2p)² = p² + x²

4p² =p² +x²

x² = 4p² - p²

x² = 3p²

x p x p= ⇒ =3 32

Podemos perceber que o menor lado é p. Pela geometria plana, o menor ângulo está

oposto ao menor lado. O menor lado é p; o ângulo oposto a esse lado é o ângulo

C . Então vamos calcular a tg C .

tgCcateto oposto

cateto adjacentep

pˆ = = = = •

•= =

3

1

3

1 3

3 3

3

9

33

Logo, tgC = 33

.

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467Atividade 6

Para calcularmos a distância da parede ao pé da escada ( AB ), precisamos

encontrar o x.

Precisamos de uma relação que tem cateto oposto e cateto adjacente. No caso, será:

tgcateto oposto

cateto adjacente

xx x x

30

33 3

3 3 33 3

33

° =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

A distância da parede ao “pé” da escada é igual a 3 m.

Atividade 7

Se o móvel tem a velocidade de 50 km/h e faz um percurso em 3 horas, podemos

calcular a distância percorrida usando a fórmula da velocidade, que é a variação do

espaço dividido pelo tempo:

VSt

= ∆∆

Cateto adjacente ao ângulo de 30°

Cateto oposto ao ângulo de 30°

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467Onde:

V= Velocidade = 50 km/h

∆S = Espaço percorrido = ?

t = tempo de percurso = 3 horas

Substituindo os dados anteriores na fórmula, temos:

503150

=

=

∆

∆

S

S km

Queremos calcular a distância BC = x

Temos na figura a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo de 30°. Temos que usar

a razão:

sencateto oposto

hipotenusa

senx

x

x km

30

30150

12 150

75

° =

° =

=

=

A distância que o móvel se encontra da reta AC é de 75 km.

Atividade 8

Você poderia resolver este problema pela lei dos senos se conhecesse o sen 20°.

Como o mesmo é desconhecido, é mais fácil resolvê-lo usando a lei do cosseno,

que vai depender apenas do cos 60°, que é conhecido da tabela de Razão

Trigonométrica dada nesta aula.

a = x

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469Pela lei dos cossenos temos:

a² = b² + c² - 2•b•c•cosÂ

x² = 50² + 80² - 2•50•80•cos60°

x² = 2500 + 6400 -8000•12

x² = 8900 - 4000 = 4900

x m= =4900 70

A distância da casa até o ponto onde está a bomba d’água é 70 m.

Atividade 9

Primeiramente, precisamos calcular a área do canteiro ABC. Para isso, precisamos

calcular o ângulo Â e aplicar o teorema da área.

1o Passo: cálculo do ângulo Â

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180°, temos:

Â + B + C = 180°. Substituindo B e C nesta equação, temos:

Â + 30 + 45 = 180

Â + 75 = 180

Â = 105

2o Passo: vamos aplicar o teorema da área

S b c sen

S sen

S

S

S

= ⋅

= ⋅ °

=

==

1212

2 2 4 105

4 2 0 97

3 88 2

3 88 1 41

. .

. .

. ,

,

, . ,

A$

SS m= 5 47 2, S = área do triângulo

A área do triângulo é de aproximadamente 5,47 m².

e-Te

c-Br

asil

– M

atem

átic

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stru

men

tal

468

Aula

18

– Va

mos

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ais

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ulos

!

4693o Passo: para saber quantos litros de água se vai gastar para regar todo o canteiro,

fazemos a regra de três

Em 1 m² gastam-se 10 litros de água.

Como são 5,47 m², gastamos x litros de água.

Em suma:

1 m² - 10 litros

5,47 m² - x litros

x = 5,47.10 = 54,7 litros

Para regar todo o canteiro triangular, gastam-se 54,7 litros de água.

Referências bibliográficas

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações v.2. São Paulo: Ática,

1999.

IEZZI Gelson et al. Matemática v.1. 9. ed. São Paulo: Atual, 1981.

RUBINSTEIN, Cléa et al. Telecurso 2000: Matemática Ensino Médio v.2. Rio de

Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 2003.

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