Aula2 estatística descritiva

EstatısticaDescritiva

Mais sobreTabelas eGraficos

e MedidasResumo

JoseWaldemar da

Silva

INTRODUCAO

TABELAS

APRESENTACAODE DADOSNUMERICOSEM TABELAS

Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO

Medidas detendencia central

Medidas dedispersao

Estatıstica Descritiva

Mais sobre Tabelas e Graficose Medidas Resumo

Jose Waldemar da Silva

FAMAT - UFU

7 de dezembro de 2012

1 / 51



e MedidasResumo

JoseWaldemar da

Silva

INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Sumario

1 INTRODUCAO

2 TABELAS

3 APRESENTACAO DE DADOS NUMERICOS EMTABELAS

Dados discretosDados contınuos

4 MEDIDAS RESUMOMedidas de tendencia centralMedidas de dispersao

2 / 51



e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

TOPICOS

Componentes das tabelas;

Apresentacao de dados qualitativos;

Tabelas de contingencia;

Apresentacao de dados numericos em tabelas;

Apresentacao de dados numericos em graficos;

Medidas de tendencia central para dados nao agrupados epara agrupados;

Medidas de variacao ou de dispersao para dados naoagrupados e para agrupados.

3 / 51



e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

TOPICOS








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e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

TOPICOS








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e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

TOPICOS








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e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

TOPICOS








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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

TOPICOS








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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

TOPICOS








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e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Componentes da tabelas

Componentes

Tıtulo explica o que a tabela contem;

Corpo e formado pelos dados, em linhas e colunas;

Cabecalho especifica o conteudo das colunas;

Coluna indicadora especifica o conteudo das linhas.

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e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao


Componentes





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e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao


Componentes





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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao


Componentes





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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Sumario

1 INTRODUCAO

2 TABELAS




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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Exemplo 1 -Tabela de entrada unica.

Tabela 1: Populacao brasileira, segundo o sexo, de acordo com ocenso demografico de 2010.

Sexo Populacao residente

Masculino 93.390.532Feminino 97.342.162

Total 190.732.694

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Exemplo 2 - Tabela de dupla entrada ou decontingencia

Tabela 2: Populacao brasileira, segundo o sexo, de acordo com oscensos demograficos de 2000 e de 2010.

SexoPopulacao residente2000 2010

Masculino 83.576.015 93.390.532Feminino 86.223.155 97.342.162

Total 169.799.170 190.732.694

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e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Exemplo 3 - Tabela para dados numericos

Tabela 3: Distribuicao do numero de faltas dos alunos por aula deestatıstica no primeiro sementes de 2012.

Numero de faltas Frequencia (dias)

0 61 72 123 124 115 106 87 48 2

Total 72

17 / 51



e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Exemplo 4 - Tabela para dados numericos (outraforma)

Tabela 4: Distribuicao do numero de faltas dos alunos por aula deestatıstica no primeiro sementes de 2012.

Numero de faltas Frequencia (dias)

0 a 2 63 a 5 76 a 8 12

9 a 11 1212 a 14 1115 a 17 1018 a 21 822 a 27 428 a 35 2

Total 72

18 / 51



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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Tabela de distribuicao de frequencia para dadoscontınuos

Elementos para construcao da tabela

Numeros de classes ou de faixas k (de 5 a 20);

criterio:k =√

n, se n ≤ 100 ouk = 1 + 3, 222× log n se n > 100em que n e o tamanho da amostra

Obs: k deve ser arredondado para o inteiro mais proximo.

Intervalo de classe ou tamanho das faixas c ;

c =Amplitude total do dados

k=

A

kO extremo ou limite inferior da primeira classe deve ser detal forma que o menor valor da mostra pertenca a primeiraclasse (bom senso).

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao




criterio:k =√





k=

A

k

O extremo ou limite inferior da primeira classe deve ser detal forma que o menor valor da mostra pertenca a primeiraclasse (bom senso).

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e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao




criterio:k =√





k=

A

kO extremo ou limite inferior da primeira classe deve ser detal forma que o menor valor da mostra pertenca a primeiraclasse (bom senso). 21 / 51



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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Exemplo

Dados brutos

Valores de monoxido de carbono em 50 carros.10,0 6,5 9,8 13,2 7,7 5,4 10,2 7,5 7,1 9,37,2 5,4 6,6 7,4 5,9 9,1 5,6 5,7 6,2 8,23,0 8,5 11,2 10,6 6,0 8,0 7,7 6,0 7,2 6,56,4 3,7 9,4 9,2 5,4 9,9 7,1 10,0 8,6 6,97,0 6,4 8,6 8,3 4,3 6,8 12,2 8,4 6,0 5,3

Dados ordenados3,0 3,7 4,3 5,3 5,4 5,4 5,4 5,6 5,7 5,96,0 6,0 6,0 6,2 6,4 6,4 6,5 6,5 6,6 6,86,9 7,0 7,1 7,1 7,2 7,2 7,4 7,5 7,7 7,78,0 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,6 9,1 9,2 9,39,4 9,8 9,9 10,0 10,0 10,2 10,6 11,2 12,2 13,2

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Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Tabela de distribuicao de frequencia

Tabela 5: Distribuicao de 50 veıculos conforme faixa de emissao demonoxido de carbono.

Classe Frequencia Freq. relativa %

3,0 ` 4,5 3 0,06 6,04,5 ` 6,0 7 0,14 14,06,0 ` 7,5 17 0,34 34,07,5 ` 9,0 10 0,20 20,09,0 ` 10,5 9 0,18 18,010,5 ` 12,0 2 0,04 4,012,0 ` 13,5 2 0,04 4,0

Total 50 1,00 100,0

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Dados discretos

Dados contınuos

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Medidas dedispersao

Tabela de distribuicao de frequencia

Tabela 6: Distribuicao de frequencias acumuladas para 50 veıculosconforme faixa de emissao de monoxido de carbono.

Classe Fac. abaixo do LS Fac. acima do LI

3,0 ` 4,5 3 504,5 ` 6,0 10 476,0 ` 7,5 27 407,5 ` 9,0 37 239,0 ` 10,5 46 1310,5 ` 12,0 48 412,0 ` 13,5 50 2

Total - -

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e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Sumario

1 INTRODUCAO

2 TABELAS




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e MedidasResumo

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INTRODUCAO

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Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Grafico de pontos - Dados discretos

0 2 4 6 8

Número de faltas

Freq

uênc

ia

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Figura 1: Distribuicao do numero de faltas por aula em uma turmade estatıstica ao longo do semestre. 26 / 51



e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Grafico de linhas - Dados discretos

0 2 4 6 8

24

68

1012

Número de faltas

Freq

uênc

ia




e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Grafico - Dados discretos

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Número de faltas

Núm

ero

de a

ulas

02

46

810

1214




e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Grafico - Outra forma para dados discretos

0−2 3−5 6−8 9−11 12−14 15−17 18−21 22−27 28−35

Número de faltas

Núm

ero

de a

ulas

02

46

810

1214




e MedidasResumo

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Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Grafico de pontos - dados contınuos

4 6 8 10 12

Número de faltas

Freq

uênc

ia

● ● ● ●●

●

●

●● ●●

●

●

● ●

●

●

●

● ●●●●

●

●

●

●● ●

●

● ●●●●●

●

●●●● ●●●

●

● ● ● ● ●

Figura 5: Distribuicao dos veıculos conforme emissao de monoxido decarbono. 30 / 51



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Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Grafico - Histograma

CO

Freq

uênc

ia

3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0 13.5

05

1015

20




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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Grafico - Polıgono de frequencia

co

Núm

ero

de c

arro

s

2.25 3.75 5.25 6.75 8.25 9.75 11.25 12.75 14.25

05

1015




e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Sumario

1 INTRODUCAO

2 TABELAS




33 / 51



e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Media

x =

n∑i=1

xi

n(media amostral) ou µ =

N∑i=1

xi

N(media

populacional)n e N sao respectivamente os tamanhos da amostra e dapopulacao.

Propriedades:

Somando ou subtraindo uma constante aos dados a mediasomada ou subtraıda desta constante.

Multiplicando ou dividindo os dados por uma constante amedia ficara multiplicada ou dividida por esta constante.

A soma dos desvios em relacao a media e zero(n∑

i=1(xi − x) = 0

)

Obs. A media e fortemente influenciada por valores extremos.34 / 51



e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Media

x =

n∑i=1

xi


N∑i=1

xi

N(media


Propriedades:




i=1(xi − x) = 0

)

Obs. A media e fortemente influenciada por valores extremos.35 / 51



e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Media

x =

n∑i=1

xi


N∑i=1

xi

N(media


Propriedades:




i=1(xi − x) = 0

)Obs. A media e fortemente influenciada por valores extremos.

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e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Moda - Mo e Mediana - Md

Moda e o valor mais frequente no conjunto de dados.

Obs. Um conjunto de dados (ou distribuicao) pode ser amodal,unimodal, bimodal ou multimodal.

Mediana e o valor que divide os dados ornados em doisconjuntos com mesmo numero de elementos (50% doselementos ou indivıduos em cada um).

Obs. Se n for ımpar a mediana sera o valor central caso n sejapar, a mediana e dada pela media dos dois valores centrais.

Quando a distribuicao dos dados e simetrica “em formade sino” a media, moda e mediana sao aproximadamenteiguais. A proximidade sera maior quanto maior for asimetria. 37 / 51



e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Media para dados agrupados

x =

k∑i=1

fixi

k∑i=1

fi

=

k∑i=1

fixi

n

em que k e o numero de classes.

Exemplos (ver tabelas 3 e 5)

x =6 × 0 + 7 × 1 + 12 × 2 + 12 × 3 + 11 × 4 + 10 × 5 + 8 × 6 + 4 × 7 + 2 × 8

72

=253

72= 3, 51 faltas (dados discretos)

x =3 × 3, 75 + 7 × 5, 25 + 17 × 6, 75 + 10 × 8, 25 + 9 × 9, 75 + 2 × 11, 25 + 2 × 12, 75

50

=381

50= 7, 62 co (dados contınuos)

38 / 51



e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Moda para dados agrupados

Mo valor ou valores mais comuns (caso discreto)

Mo = LIMo +

(d1

d1 + d2

)× cMo (caso contınuo)

Na formula acima:

LIMo e o limite ou extremo inferior da classe modal

d1 e a diferenca entre as frequencias da classe modal e daclasse imediatamente anterior

d2 e a diferenca entre as frequencias da classe modal e daclasse imediatamente posterior

cMo e a amplitude da classe modal

classe modal e a classe ou faixa com maior quantidade deelementos, indivıduos (maior frequencia)

39 / 51



e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Moda para dados agrupados


Mo = 2 faltas e Mo = 3 faltas (dados discretos)

Mo = 6 +(

1010+7

)× 1, 5 = 6, 88 co (dados contınuos)

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e MedidasResumo

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TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Mediana para dados agrupados


Md = 3 faltas (caso discreto - tabela 3 )

Md = 7, 32 co (caso contınuo - tabela 5 )

Para o calculo da mediana, mesmo no caso contınuo, nao hanecessidade de formula. Use a definicao e regra de tres paraestabelecer o valor da mediana.

41 / 51



e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Amplitude - A e Variancias amostral (s2) epopulacional (σ2)

A amplitude de um conjunto de dados e a diferenca entre omaior e o menor valor.

s2 =

n∑i=1

(xi−x)2

n−1 (variancia amostral)

σ2 =

N∑i=1

(xi−x)2

N (variancia populacional)

Exemplo

Seja os valores de peso, em quilogramas, 60, 65 e 70

s2 = (60−65)2+(65−65)2+(70−65)2

3−1 = 25+0+252 = 25 kg 2

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e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Propriedades da variancia

Propriedades:

Somando ou subtraindo uma constante aos dados avariancia nao se altera.

Multiplicando ou dividindo os dados por uma constante avariancia multiplicada ou dividida pelo quadrado destaconstante.

Obs. A variancia tem o inconveniente de “ficar” com a unidadede medida dos dados ao quadrado.

43 / 51



e MedidasResumo

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Silva

INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Propriedades da variancia

Propriedades:

Somando ou subtraindo uma constante aos dados avariancia nao se altera.

Multiplicando ou dividindo os dados por uma constante avariancia multiplicada ou dividida pelo quadrado destaconstante.

Obs. A variancia tem o inconveniente de “ficar” com a unidadede medida dos dados ao quadrado.

44 / 51



e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Desvio padrao - amostral (s) e populacional (σ)

E a raiz quadrada da variancia.

s =

√n∑

i=1(xi−x)2

n−1 (amostral)

σ =

√N∑i=1

(xi−x)2

N (populacional)

Exemplo

Seja os valores de peso, em quilogramas, 60, 65 e 70

s =√

(60−65)2+(65−65)2+(70−65)2

3−1 =√

25+0+252 =

√25 = 5 kg

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e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Propriedades da desvio padrao

Propriedades:

Somando ou subtraindo uma constante aos dados a desviopadrao nao se altera.

Multiplicando ou dividindo os dados por uma constante odesvio padrao ficara multiplicado ou dividido por estaconstante.

Obs. O desvio padrao tem a mesma unidade de medida dosdados.

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e MedidasResumo

JoseWaldemar da

Silva

INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Propriedades da desvio padrao

Propriedades:

Somando ou subtraindo uma constante aos dados a desviopadrao nao se altera.

Multiplicando ou dividindo os dados por uma constante odesvio padrao ficara multiplicado ou dividido por estaconstante.

Obs. O desvio padrao tem a mesma unidade de medida dosdados.

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e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Coeficiente de Variacao - CV

CV

CV =s

x× 100%

E indicado para comparar variacao (dispersao) quando:

1 - os dados tem unidades diferentes.2 - os dados tem a mesma unidade porem, em media diferemuito.

48 / 51



e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Amplitude - A e Variancias amostral (s2) paradados agrupados

A amplitude e a diferenca entre o limite superior da ultima classe e olimites inferior da primeira classe.

s2 =

k∑i=1

fi (xi−x)2

k∑i=1

fi−1

=

k∑i=1

fi (xi−x)2

n−1 (variancia amostral)

Exemplo

Tabela 7: Renda, em salarios, a partir de uma amostra de 60trabalhadores.

Faixa de salario Quant. trab. Pto medio -xi1,0 ` 3,0 40 23,0 ` 5,0 10 45,0 ` 7,0 5 67,0 ` 9,0 3 89,0 ` 11,0 2 10

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e MedidasResumo

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INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Variancias amostral (s2) para dados agrupados

Calculo da variancia

x =40× 2 + 10× 4 + 5× 6 + 3× 8 + 2× 10

60= 3, 23 sal .

s2 =[40× (2− 3, 23)2 + 10× (4− 2, 23)2 + 5× (6− 3, 23)2 +

3× (8− 3, 23)2 + 2× (10− 3, 23)2]/[60− 1] =

78, 3645

59= 4, 49 salarios2

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e MedidasResumo

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Silva

INTRODUCAO

TABELAS


Dados discretos

Dados contınuos

MEDIDASRESUMO


Medidas dedispersao

Desvio padrao (s) e CV para dados agrupados

Desvio padrao

s =

√√√√√ k∑i=1

fi (xi−x)2

k∑i=1

fi−1

=

√k∑

i=1fi (xi−x)2

n−1

CV

CV = sx × 100%

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