LÓGICA – Aulas - Introdução à lógica clássica

AULAS 18 - 26

CQC - Cálculo quantificacional clássico, ou cálculo de predicados de primeira ordem

Lógica – Unidade 4 - CQC – Cálculo quantificacional clássico ou de predicados

Considerações introdutórias:

A lógica de predicados é uma extensão da lógica proposicional. o LINGUAGEM DO CQC : Uma linguagem artificial estabelece seu alfabeto (um conjunto de

símbolos básicos) e sua gramática (as regras de formação – que dizem como combinar os símbolos para formar expressões bem-formadas).

o A partir deste alfabeto, deste conjunto de caracteres, é que vamos construir as expressões

da linguagem - começando pelas expressões básicas. Especificando:

Letras minúsculas a,...,t (admitindo também subscritos a1...c22, etc.): constantes individuais, que tem a função de designar indivíduos (funcionam como nomes).

o Não se pode usar a mesma constante para indivíduos diferentes (mas podemos usar várias constantes para fazer referência a um mesmo indivíduo).

Letras minúsculas u,...,z (admitindo também subscritos u1...x22, etc.): variáveis individuais (indicam algum indivíduo ainda não especificado. Mas gramaticalmente, funcionam como as constantes, como nomes).

Letras maiúsculas A,...,T (admitindo também subscritos A1...C22, etc.): constantes de predicado ou símbolos de predicado.

o Obs: O símbolo de predicado é escrito antes da constante ou variável individual, constituindo uma fórmula atômica. Por ex.: Pa, Cb, Dx, etc.

o Obs 2: Os predicados podem ser propriedades (ser azul, ser brasileiro, etc.) ou relações (ser mais alto que, amar, etc.). As relações são predicados n-ários (entre n indivíduos).

Predicados zero-ário: C, P, etc. (uma letra maiúscula isolada) Ex: Está chovendo (C) (são orações sem sujeito, ou

seja, não atribuem nada a ninguém). Predicados unários: Pa, Rx, etc.

Ex: x é azul (Ax), y é brasileiro (By), etc. Predicados binários: Haj, Rxy, etc.

Ex: x é mais alto que y (Axy), z odeia y (Ozy), etc. Predicados ternários: Kabc, Rxyz, etc.

Ex: x está sentado entre y e z (Sxyz), etc.o Obs 3: Há várias maneiras de fixar um predicado e construir

fórmulas bem formadas, mas o importante é que, uma vez fixado um símbolo e o que ele representa, devemos usá-lo de modo coerente.

Operados lógicos ou conectivos : ¬,∧,∨,→,↔ Permitem juntar duas ou mais fórmulas atômicas ou simples para formar

fórmulas complexas ou moleculares. Se você imaginar que fórmulas atômicas são tijolos, as fórmulas

moleculares serão como paredes e muros, construídos a partir de outras fórmulas usando certas expressões (e, ou, etc.) como argamassa.

Ex. de fórmulas complexas:o (Bc ∨ Ac): Che é brasileiro ou é argentino.o (Gjm ∧ ¬ Gmj): João gosta de Maria e Maria não gosta de João.

Os parênteses ( ), que funcionam como pontuação. Eles evitam ambigüidades. Os quantificadores: ∃, ∀

o ∃ (existencial): ‘existe pelo menos um’, ‘algum’, ‘alguém’... Interpretação: ∃xFx significa que há pelo menos um objeto x

no domínio D que é F. Ex: ∃xFx (existe pelo menos um x que tem a propriedade de

ser filósofo, ou seja, alguém é filósofo).o ∀ (universal): ‘para todo’, ‘qualquer que seja’, ‘todos’...

Ex: ∀xFx (para todo x, x é filósofo, ou seja, todos os objetos no domínio D são filósofos).

o As fórmulas quantificadas são chamadas de fórmulas gerais.

Fórmulas abertas : possui ao menos uma ocorrência livre de alguma variável (é preciso analisar o escopo dos quantificadores):

o Ex: Lxx ; ∃xRxy ; ∀x(Bx → Gy) ; ∀xBx → Gx Fórmulas fechadas : não possuem nenhuma ocorrência livre de variável (são chamadas

de sentenças).

o Ex: ∀x(Bx → Gx); ∃xRxx ; ∀xBx 

Prática de construção de árvores de formação:

Prática de tradução para a linguagem do CQC:

o Se Pedro gosta de sopa, então Maria gosta de feijoada. Sp → Fm

o Pedro e Maria gostam de sopa, mas José, não. (Sp ∧ Sm) ∧ ¬ Sj

o Petistas são governistas e tucanos são oposicionistas. Gp ∧ Ot

o O Cruzeiro ganhará o campeonato, se Éverton jogar bem e Marcelo gritar com os jogadores.

(Je ∧ Gm) → Cco Se não faço dieta ou exercícios, meu peso aumenta.

(¬De ∧ ¬Ee) → AeCom quantificadores:

o Algo é eterno ∃xEx

o Nada é eterno ¬∃xEx [ou ∀x¬Ex]

o Algo não é bonito ∃x¬Bx [ou ¬∀xBx]

o Deus ama a todos. ∀xAdx

o Todos amam Deus. ∀xAxd

o Todos amam a si mesmo. ∀xAxx

o Ninguém ama a si mesmo. ¬∃xAxx

o Não existe alguém que não ame a si mesmo. ¬∃x¬Axx

Proposições categóricas:

o Todos os brasileiros gostam de futebol ∀x(Bx → Gx)

o Nenhum santo é pecador. ∀x(Sx → ¬Px)

o Alguns filósofos são arrogantes. ∃x(Fx ∧ Ax)

o Alguns papas não são santos. ∃x(Px ∧ ¬Sx)

Ou ainda:

o Todos os cristãos e judeus crêem em Deus. ∀x((Cx ∨ Jx) → Dx)

o Qualquer homem pecador vai para o inferno. ∀x((Hx ∧ Px) → Ix)

o Todo homem religioso gosta de ir à missa e ajudar os pobres. ∀x((Hx ∧ Rx) → (Mx ∧ Ax))

Com quantificadores múltiplos:

o Todos amam alguém. [parafraseando: qualquer que seja x, há um y do qual ele gosta] ∀x∃yAxy

o Alguém ama todos. [parafraseando: há pelo menos um x tal que para todo y, ele ama y] ∃x∀yAxy

o Há alguém que não ama ninguém. ∃x∀y¬Axy

o Há alguém que não ama todos. ∃x¬∀yAxy

o Todos amam todos. ∀x∀y(Axy ∧ Ayx)

A lógica de predicados permite compreender a validade de muitos outros argumentos cuja validade não depende unicamente dos operadores verofuncionais (ela tem um alcance muito superior).

o Ex: O papa Francisco é cristão.Logo, há cristãos.

Se analisado do ponto de vista proposicional, esse argumento seria inválido:PLogo, Q

o Já na lógica de predicados damos conta da validade do argumento acima. Vejamos como.

Como formalizar adequadamente uma sentença na lógica de predicados? Voltemos no exemplo acima: Na sentença ‘O papa Francisco é cristão’, podemos distinguir um nome (‘papa

Francisco’) e um predicado (‘é cristão’). Usamos os seguintes símbolos: letras minúsculas para indivíduos ou objetos (a,

b, c... t), letras minúsculas a partir de u para variáveis (u, v, x, y, z), letras maiúsculas para propriedades (A, B, C, etc.) e os símbolos convencionais para os operados lógicos (¬,∧,∨,→,↔).

Sendo C uma variável predicativa para ‘é cristão’ e p uma constante individual para ‘papa Francisco’, temos:

‘O papa Francisco é cristão’ = Cp

Já na conclusão, ao dizermos “há cristãos”, estamos quantificando, ou seja, estamos dizendo que para a propriedade de ser um cristão é exemplificada pelo menos por um particular. Para expressar isso formalmente, introduziu-se o símbolo ∃ de quantificador existencial. Sendo x uma variável de objetos, temos: ∃xCx. E o argumento inteiro:

CpLogo, ∃xCx

Esse argumento é válido para qualquer x, se x tem denotação (se se refere a alguma entidade real). Do contrário, se estamos diante de nomes sem denotação, como criaturas da mitologia, a lógica clássica erra.o Ex: Cérbero é um cão com três cabeças. Logo, há cães com três cabeças.

Formas argumentativas válidas e inválidas elementares na lógica de predicados:

Forma válida Forma inválida∀xFxLogo, ∃xFx

∃xFxLogo, ∀xFx∀xFx

Logo, Fn.∃xFxLogo, Fn.

Fn.Logo, ∃xFx

Fn.Logo, ∀xFx

Bibliografia básica:

MORTARI, Cezar. Introdução à lógica. São Paulo: Ed. UNESP, 2001. (Cap. 5: Introdução ao CQC, p. 61-68; Cap. 6: A sintaxe do cálculo de predicados I, p. 69-97; Cap. 7: A sintaxe do cálculo de predicados II, p. 98-119; Cap. 8: Interpretações, p. 120-128).

MURCHO, Desidério. O lugar da lógica na filosofia. Lisboa: Plátano, 2003 (cap. 5: Lógica Clássica, trecho - p. 79-86).

Bibliografia complementar:

BERGMANN, Merrie; MOOR, James; NELSON, Jack. The logic book. 3ª ed. McGraw-Hill, 1998. (cap. 7-11: Predicate logic, p. 246-545).

DA COSTA, Newton; CARRION, Rejane. Introdução à lógica elementar. Porto Alegre: Ed. da Universidade / UFRGS, 1988.

HURLEY, Patrick J. A Concise Introduction to Logic. 11ª ed. Wadsworth, 2012. (Cap. 8: Predicate logic, p. 442-508).

LEMMON, E. J. Beginning logic. Indianapolis/Cambridge: Hackett Publishing, 1998. (Cap. 3-4: The predicate calculus, p. 92-188).

MARGUTTI PINTO, Paulo Roberto. Introdução à lógica simbólica. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2006. (Cap. 6: Aspectos da análise intra-sentencial, p. 205-262; Cap. 7: Métodos para avaliação de argumentos intra-sentenciais, p. 263-304).

MATES, Benson. Elementary logic. New York: Oxford University Press, 1972. RAUTENBERG, Wolfgang. A concise introduction to mathematical logic. Springer, 2009. (Cap. 1: First-

order logic, p. 41-90).

Dedução Natural:

Modelo simplificado do que é pensar de forma conseqüente, por meio da aplicação de regras intuitivas (o que torna o estudo menos formalista e mais próximo de nossa experiência argumentativa).

o Demonstração:

o O último item acima mencionado, as regras de produção, é o que corresponde a regras lógicas de inferência em um sistema axiomático usual. Quer dizer, são os mecanismos que nos permitem obter proposições (fórmulas) novas a partir do que já se tem. Num sistema formal, portanto, podemos dizer que as regras lógicas ficam explicitamente codificadas.

Prova de validade utilizando dedução natural

Método puramente sintático que funciona de forma mais compacta. Basicamente, o procedimento consiste em aplicar um conjunto de regras de inferência ao conjunto de premissas, gerando conclusões intermediárias às quais aplicam-se novamente as regras, até atingir-se a conclusão final desejada. A esse processo chamamos deduzir, derivar ou provar a conclusão a partir do conjunto das premissas, e a seu resultado, obviamente, uma dedução ou derivação ou prova.

o Dada as premissas, empregamos alguma regra de inferência (ou de transformação), acrescentando uma nova linha a essa derivação. Mas quais são essas regras? São regras postuladas, aceitas sem demonstração.

Nada nos impede de aceitar qualquer coisa como uma regra de inferência, mas o sistema assim resultante não teria qualquer interesse e não passaria de um jogo de símbolos. Para que o método de dedução natural seja útil, é preciso que as regras de inferência preservem a verdade (se as fórmulas dadas são verdadeiras, a fórmula resultante também será).

Tomemos então a seguinte regra: MODUS PONENS

o Tomemos então outra regra: o SILOGISMO DISJUNTIVO

o

o

o PRONTO! Mostramos que Fba é consequência lógica do conjunto de premissas dado, fazendo uso de um método que consistiu apenas na manipulação de símbolos.

REGRAS DE INFERÊNCIA:

Regras primitivas de dedução natural: Para cada operador, há uma regra de introdução e uma de eliminação. A partir dessas regras, são elaboradas regras derivadas.

Fazendo uma dedução – Exemplos:

o

o

oo

o Depois, é preciso analisar o problema e os caminhos que podem ser seguidos. Resolução:o

o

Bibliografia básica:

o MARGUTTI PINTO, Paulo Roberto. Introdução à lógica simbólica. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2006. (Cap. 2: As principais conectivas intersentenciais, p. 49-88).

o MORTARI, Cezar. Introdução à lógica. São Paulo: Ed. UNESP, 2001. (Cap. 9: Valorações, p. 129-154; Cap. 13: Sistemas axiomáticos e sistemas formais, p. 226-234; Cap. 14: Dedução natural (I), p. 235-262; Cap. 15: Dedução natural (II), p. 263-267 - trecho).

o MURCHO, Desidério. O lugar da lógica na filosofia. Lisboa: Plátano, 2003 (cap. 4: Forma lógica, p. 39-65; cap. 5: Lógica Clássica, trecho - p. 66-77).

o MURCHO, Desidério. “Regras de dedução natural”. In: BRANQUINHO, João; MURCHO, Desidério; GOMES, Nelson Gonçalves (ed.). Enciclopédia de termos lógico-filosóficos. São Paulo: Martins Fontes, 2006.

o RODRIGUES, Abílio. Lógica. São Paulo: WMF Martins Fontes, 2011. (cap. 2: A lógica clássica, p. 26-47).

o RODRIGUES, Abílio. Verdade e validade II – lógica sentencial. (Manuscrito).

Bibliografia complementar:

o BERGMANN, Merrie; MOOR, James; NELSON, Jack. The logic book. 3ª ed. McGraw-Hill, 1998. (cap. 2-6: Sentential logic, p. 25-245).

o BRANQUINHO, João; MURCHO, Desidério; GOMES, Nelson Gonçalves (ed.). Enciclopédia de termos lógico-filosóficos. São Paulo: Martins Fontes, 2006.

o DA COSTA, Newton; CARRION, Rejane. Introdução à lógica elementar. Porto Alegre: Ed. da Universidade / UFRGS, 1988.

o DA COSTA, Newton; KRAUSE, Décio. Notas de lógica. Florianópolis: Núcleo de Epistemologia e Lógica UFSC, 2004. (Cap. 2: Os alicerces da lógica proposicional clássica, p. 21-48; Cap. 3: O cálculo proposicional clássico, p. 49-70).

o HURLEY, Patrick J. A Concise Introduction to Logic. 11ª ed. Wadsworth, 2012. (Cap. 6: Propositional logic, p. 310-379; Cap. 7: Natural deduction in propositional logic, p. 380-441).

o LEMMON, E. J. Beginning logic. Indianapolis/Cambridge: Hackett Publishing, 1998. (Cap. 1-2: The propositional calculus, p. 1-91).

o MARGUTTI PINTO, Paulo Roberto. Introdução à lógica simbólica. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2006. (Cap. 3: As principais expressões da lógica intersentencial, p. 89-138; Cap. 4: Avaliação de argumentos intersentenciais simples, p. 139-172; Cap. 5: Avaliação de argumentos intersentenciais complexos, p. 173-204).

o RAUTENBERG, Wolfgang. A concise introduction to mathematical logic. Springer, 2009. (Cap. 1: Propositional logic, p. 1-40).