3

Literatūra

Literatūra

1. V. Januševičius. Automatinis valdymas: teorija, uždaviniai, sprendimai. Kaunas, Technologija, 2003.

2. B. C. Kuo, F. Golnaragi. Automatic control systems, 8/e, – Wiley, 2002, 624 p. 3. G.F.Franklin, J.D. Powell., Abbas Emami-Naeini.Feedback control of dynamic systems.

Prentice Hall, 2002, 910p. 4. Katsuhiko Ogata. Modern control engineering. Prentice Hall, 4/e, 2001, 970 p. 5. R. Rinkevičienė. Automatinio valdymo teorija. Sistemų analizė ir sintezė. Vilnius,

Technika, 1999. – 67 p. 6. Norman S. Nise. Control system Engineering. 4th edition.John Wiley and Sons, Inc.

2004, 983 p. 7. John Van de Vegte. Feedback control systems. Prentice Hall,1994, 452 p.

4

1. Įvadas

Automatika – mokslo ir technikos sritis, nagrinėjanti automatinio valdymo teoriją ir praktiką

bei automatinių sistemų ir sudarančių jas techninių priemonių konstravimo principus.

Mašinos, agregato, technologinio proceso režimas charakterizuojamas eile fizikinių dydžių.

Jeigu techninio įrengimo darbo metu visi dydžiai išlieka nepakitę, tai tokio įrenginio darbas

yra stabilus. Jei šie dydžiai nukrypsta darbo metu nuo užduotų reikšmių, tai prie tokio įrengimo

prijungiami reguliuojantys arba valdantys įtaisai, kurie išėjimo dydį palaiko pastoviu arba keičia

norimu dėsniu.

Išėjimo dydis vadinamas reguliuojamu arba valdomuoju dydžiu. Įrenginys, kuriame vyksta

reguliavimas ar valdymas – vadinamas reguliuojamu arba valdomu objektu. Valdomasis objektas

aprašomas diferencialine lygtimi.

Valdomo objekto darbas priklauso nuo visumos kontroliuojamų (matuojamą darbo proceso

metu) trikdžių ),,...,,( 321 nzzzzZ→

nekontroliuojamų išorinių poveikių ),...,,( 321 nffffF→

, valdymo

poveikį ),...,,( 321 nį xxxxX→

ir valdomų kintamųjų ),...,,( 321 niš xxxxX→

, kurie bendru atveju yra

vektoriai.

Jeigu žinomas objekto matematinis aprašymas, tai žinoma ir lygčių sistema, rišanti

valdomuosius kintamuosius su visais išoriniais poveikiais, veikiančiais objektą. Todėl pagal

išorinius užduotus poveikius galima rasti valdomuosius kintamuosius ),,(→→→→

Ζ XFX iš . Paprastuose

objektuose yra tik vienas valdantysis poveikis xį ir vienas valdantysis dydis xiš.

Esant statiniam režimui, išoriniai poveikiai→

Z , →

F ir valdantieji poveikiai →

X yra pastovūs ir

nekinta laiko bėgyje.

Nagrinėjant objekto dinamiką, aprašomos priklausomybės →→→→

),,( XFZX iš charakterizuojamos

diferencialinėmis objekto lygtimis ir esant užduoties poveikiams ),(tZ→

),(tF→

).(tX→

Bendru atveju objekto diferencialinės lygtys yra netiesinės. Jei šio lygtys yra tiesinės, tai

valdymo objektas vadinamas tiesiniu.

Valdymo objektas gali būti stabilus, nestabilus ir neutralus. Objektas yra stabilus, jei,

pasibaigus išoriniam poveikiui, jis grįžta į nusistovėjusią padėtį, kurią apsprendžia jo statinė

charakteristika. Nestabiliame objekte pasibaigus poveikiui, nežiūrint, koks mažas jis bebūtų,

išėjimo dydis tebekinta ir negrįžta į nusistovėjusią padėtį.

5

Neutralūs – tai tokie objektai, kuriuose pasibaigus poveikiui, nusistovi nauja neapibrėžta

pusiausvyros padėtis, priklausanti nuo įvykdyto poveikio.

Reguliuojamų objektų pavyzdžiai: rezervuaras, kuriame reikia palaikyti pastovų užduotą

skysčio lygį, esant skirtingam skysčio panaudojimui; variklis, kuriame reikia palaikyti pastovų

sukimosi greitį ar momentą; krosnis (elektrinė ar kt.)

2. Automatinės sistemos ir jų teorijos. Pagrindiniai vystymosi etapai

Pirmasis automatinių sistemų vystymosi etapas – tai paprasčiausių automatų sukūrimas

pirmame mūsų eros amžiuje. Heronas Aleksandrietis sukūrė šventyklos durų atidarymo

mechaninį automatą – švęsto vandens automatą.

Viduramžiais buvo kuriami automatai, imituojantys kai kuriuos žmogaus veiksmus.

18 – 19 a. prasideda automatikos diegimas pramonėje. Prie pirmųjų pramoninių automatų

priskiriami I. Polzunovo sukurtas garo katilo vandens reguliatorius (1765 m.), Vato garo mašinos

greičio reguliatorius (1874 m.), Žakardo sukurta audimo staklių programinio valdymo sistema su

perfojuosta (1804 – 1808 m.).

Šiuo metu prasideda automatinio valdymo sistemų teorijos vystymasis. Formuojasi eilė

valdymo principų: Polzunovo – Vato reguliavimo principas pagal nuokrypą, Ponsele reguliavimo

principas pagal apkrovą (trikdį).

Pirmosios AVS buvo paprasčiausios determinuotos sistemos su nekintančia struktūra ir

reguliatorių suderinimu.

Pramoniniams įrenginiams keliant didesnius reikalavimus AVS kokybei ir sudėtingėjant

vykdomų uždavinių klasei, atsirado optimalios ir susiderinančios (adaptyvios) sistemos, kurios

darbo proceso metu automatiškai keičia parametrus ir struktūrą.

Pirmuosius rimtus teorinius netiesinių AVS sistemų tyrimus atliko anglų fizikas Maksvelas.

Stabilumo problemą pirmasis išsprendė Rausas (1877 m.), po to Hurvicas (1895 m.). Jie sukūrė

matematinius stabilumo kriterijus.

Rimtus stabilumo ir AVS kokybės teorinius tyrimus atliko I. Vyšnegradskis, Stodala,

Žukovskis, Žuljaras, Tole ir kiti mokslininkai.

Netiesinių ir tiesinių sistemų bendrąją matematinę stabilumo teoriją sukūrė A. Liapunovas

(1892 m.). Prieš antrąjį pasaulinį karą Naikvistas (1932 m.) ir A. Michailovas (1936 – 1938 m.)

sukūrė dažninius stabilumo kriterijus.

1950 metais iškilo nauja problema – sukurti sistemas, kurių statinės ir dinaminės

charakteristikos būtų nekintančios, keičiantis plačiose ribose objekto charakteristikoms nuo

6

išorinių poveikių veikimo. Tokios sistemos turi prisitaikymo savybių ir vadinamos

susiderinančiomis (adaptyviomis) sistemomis.

Kibernetikos teorijos ir kibernetinių sistemų principų kūrėjas yra žymiausias 20 a.

mokslininkas Norbertas Vyneris.

2. Reguliavimo ir valdymo principai

2.1. Reguliavimo ir valdymo samprata

Automatinio reguliavimo ir valdymo sistemų tikslas yra arba palaikyti pastovią reikšmę, arba

keisti užduotu dėsniu tam tikrą fizikinį dydį, vadinamą reguliuojamu arba valdomuoju

kintamuoju →

.išX Reguliuojamo ar valdomo kintamojo reikšmė, kurią turi priverstinai palaikyti

reguliuojantis įtaisas vadinamas nuostato reikšme Xį.

Sistemos darbo metu objekto išėjimo dydis matuojamas ir sulyginamas su nuostatu

(naudojamas grįžtamojo ryšio principas). Jei atsiranda skirtumas tarp išėjimo dydžio ir nuostato,

tai sistemoje suformuojamas poveikis X∆ , pakeičiantis išėjimo kintamąjį taip, kad jo reikšmė

būtų lygi nuostatui.

Automatiniu reguliavimu vadinamas kokio nors fizikinio dydžio reikšmės palaikymas

specialiais automatiniais reguliatoriais be žmogaus pagalbos.

2.2. Automatinio reguliavimo principai

Kiekvieną automatinio reguliavimo sistemą (ARS) galima pavaizduoti struktūrine schema,

sudaryta iš reguliavimo įtaiso RĮ bei valdymo objekto O (2.3 pav.)

2.1 pav. ARS struktūrinė schema.

Norint valdyti objektą, reikia suformuoti tokį vykdymo poveikį ),(tu kuris reguliuojamąjį

parametrą )(txiš keistų norimu tikslumu pagal tam tikrą dėsnį nepriklausomai nuo trikdančio

poveikio )(tf .

RĮ xį(t) xiš(t)

0 u(t)

f(t)

7

Nors gamybos procesai yra labai įvairūs, dauguma valdymo aparatūros ir ARS sudaroma

remiantis bendrais reguliavimo principais. Pagrindiniai yra šie: reguliavimo pagal nuokrypą,

reguliavimo pagal trikdį, kombinuoto reguliavimo ir adaptacijos.

Automatinio reguliavimo principą lemia tai, kaip ir kokiu pagrindu sistemoje formuojamas

valdymo poveikis. Automatinės sistemos sudarymo principas parenkamas atsižvelgiant į jos

paskirtį, nuostato ir trikdančių poveikių kitimo pobūdį, reguliavimo objekto parametrų stabilumą

ir pan.

2.3. Reguliavimo pagal nuokrypą principas

Jei automatinėje sistemoje valdymo poveikis formuojamas pagal reguliuojamojo parametro

nuokrypą nuo nuostato reikšmės, tai laikoma jog tokia sistema sudaryta reguliavimo pagal

nuokrypą arba grįžtamojo ryšio principu. Tokių sistemų reguliavimo įtaise palyginamos

reguliuojamojo parametro esamosios ir nuostato reikšmės ir pagal gautą skirtumą formuojamas

valdymo signalas. Toks principas pirmą kartą buvo pritaikytas garo katilo vandens lygio

automatiniame reguliatoriuje, J. Polzunovo sukonstruotame 1765 m.

Šis reguliavimo principas taikomas sistemose su grįžtamuoju ryšiu, kurių struktūrinė schema

parodyta 2.2. paveiksle.

2.2 pav. ARS su grįžtamuoju ryšiu struktūrinė schema.

Valdymo poveikis šioje sistemoje formuojamas priklausomai nuo skirtumo )(tx∆ tarp

nuostato )(txį ir esamosios reguliuojamojo parametro )(txiš reikšmių:

)( xFu ∆=

Vadinasi, grįžtamasis ryšys yra automatinių sistemų, veikiančių reguliavimo pagal nuokrypą

principu, būdingas bruožas.

Grįžtamuoju ryšiu vadinamas ryšys, kuriuo informacija apie valdomo objekto būvį

perduodama iš sistemos išėjimo į reguliavimo įtaiso įėjimą. Grįžtamasis ryšys laikomas

Rxį(t) xiš(t) 0 u(t)

f(t)

RĮ

∆x(t)

Grįžtamasis ryšys

8

neigiamu, jei reguliavimo įtaise palyginimo elementas nustato palyginimo elementas nustato

nuokrypą )()()( txtxtx išį −=∆ .

Reguliavimo pagal nuokrypą principas yra universalus ir efektyvus, nes juo galima valdyti

nestabilius objektus, keisti reguliuojamąjį parametrą pagal norimą dėsnį, kai paklaida x∆

pakankamai maža nepriklausomai nuo ją sukėlusių priežasčių.

Grįžtamasis ryšys būdingas ne tik techninėms sistemoms, bet ir gyviems organizmams.

2.4. Reguliavimo pagal trikdį principas

Šiose sistemose valdymo poveikis formuojamas išmatavus objekto trikdantį poveikį.

Sistemos sudarytos šiuo principu neturi grįžtamojo ryšio, t.y. yra atviros. Tokios sistemos

skirstomos į dvi grupes: trikdžio kompensavimo ir programinio valdymo sistemas. Automatinės

trikdžio kompensavimo sistemos struktūrinė schema:

Programinio valdymo sistemos struktūrinė schema:

Valdymo poveikio didumas ir ženklas turi būti tokie, kad visiškai ar gerokai kompensuotų

trikdžio poveikį reguliuojamam objektui.

Pagrindinis šio principo privalumas: didelis kompensavimo grandžių greitaeigiškumas, nes

sistema šiuo atveju reaguoja ne į pasekmę, t.y. reguliavimo parametro nuokrypą, bet į jo priežastį.

Jei sistemą veikia keletas trikdžių, naudojamos kelios kompensavimo grandys. Tačiau ne

visus trikdžius galima išmatuoti ir kompensuoti. Tai pagrindinis šio principo trūkumas.

2.5. Kombinuoto reguliavimo principas

Didelio tikslumo automatinės sistemos sudaromos kombinuoto reguliavimo principu,

panaudojant reguliavimo pagal nuokrypą su reguliavimo pagal trikdį savybes. Struktūrinė

schema:

R xį(t) xiš(t) 0

u(t)

f(t)MĮ

RĮ xį(t) xiš(t) 0

u(t)

9

Kombinuoto valdymo sistemose be pagrindinio grįžtamojo ryšio yra pagrindinio trikdančiojo

poveikio )(tf kompensavimo grandis. Neįvertintų trikdžių poveikį kombinuotose ARS

kompensuoja arba gerokai susilpnina reguliavimo pagal nuokrypą kontūras.

2.6. Automatinio valdymo sistemų funkcinės schemos

AVS funkcinėse schemose visi elementai žymimi blokais, į kurių vidų įrašoma perdavimo

funkcija. Vieno elemento poveikis kitam žymimas strėle. Šis poveikis vadinamas signalu. Pagal

rodyklės kryptį skiriamas įėjimo ir išėjimo signalas.

2.7. Automatinio valdymo sistemų klasifikavimas.

Pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį sistemos klasifikuojamos:

1. stabilizavimo sistema – tai automatinė sistema, kuri duotu tikslumu palaiko pastovų

reguliuojamąjį parametrą, su paklaida, ne didesnę už leistiną.

2. programinio valdymo sistema – tai tokia sistema, kuri keičia reguliuojamąjį parametrą

pagal iš anksto nustatyta programą, priklausančią nuo duotojo poreikio.

3. sekos sistema vadinama ARS, kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pagal iš anksto

nežinomą laiko funkciją, apibūdinamą nuostatu.

Šiose sistemose reguliuojamas dydis turi sekti nuostato poveikį, kuris paprastai yra lėtai

kintanti iš anksto nežinoma laiko funkcija.

Pagal automatinių sistemų nusistovėjusios paklaidos didumą sistemos skirstomos į statines ir

astatines. Jeigu, esant pastoviam nuostatui ( )constxį = arba trikdančiam ( )constf = poveikiui

sistemoje, dirbančioje nusistovėjusiu režimu, statinė paklaida nelygi nuliui 0≠∆ stx , tai tokia

ARS nagrinėjamojo poveikio atžvilgiu yra statinė.

Jeigu esant pastoviam poveikiui, paklaida yra lygi nuliui, tada tokia sistema yra astatinė.

Rxį(t) xiš(t) 0 u(t)

f(t)

RĮ

∆x(t)

Grįžtamasis ryšys

MĮ

10

Dar sistemos gali būti klasifikuojamos pagal:

1. Fizikinio dydžio pobūdį (įtampa, lygis, greitis);

2. Naudojamos energijos pobūdį (elektromechaninės, elektroninės, pneumatinės,

hidraulinės);

3. Signalų, veikiančių sistemoje pobūdį (tolydžios, diskrečiosios);

4. Diferencialinių lygčių pobūdį (tiesinės, netiesinės);

5. Sistemos parametrų stabilumą laike (su pastoviais ir kintamais parametrais).Sistemos su

pastoviais parametrais vadinamos determinuotos arba stacionarios, su kintamais laike –

nestacionarios.

6. Valdomų kintamųjų skaičių (vienmatės daugiamatės);

7. Pagal savybę prisitaikyti prie pasikeitusių išorinių darbo sąlygų ir pagerinti savo darbą

dėka sukauptos patirties (paprastos ir susiderinančios).

2.8. Automatinio valdymo teorijos uždaviniai

Automatinės sistemos kuriamos ir projektuojamos tokiais etapais:

1. valdomo objekto analizė (susipažinimas);

2. valdomo objekto charakteristikų, parametrų, darbo sąlygų ir galimų poveikių

nustatymas;

3. sistemai keliamų reikalavimų nustatymas;

4. funkcinės schemos parinkimas;

5. automatinės sistemos principinės schemos sudarymas;

6. schemos elementų skaičiavimas ir parinkimas atsižvelgiant į reikalavimus, keliamus

sistemos statinėms savybėms;

7. struktūrinės schemos sudarymas;

8. sistemos stabilumo tyrimas;

9. koregavimo grandinės parametrų parinkimas atsižvelgiant į reikalavimus, keliamus

dinaminės sistemos savybėms;

10. sistemos tyrimas laboratorijoje, arba jos modelio tyrimas;

11. visos sistemos projektavimas, gamyba ir montavimas;

12. sistemos derinimas realiomis sąlygomis;

13. bandomoji sistemos eksploatacija, jos rezultatų apibendrinimas, bei rekomendacijų

sistemos tobulinimui sudarymas.

Automatinio valdymo teorija nagrinėja:

1. bendrus uždarų automatinių sistemų sudarymo principus;

11

2. sistemų statines ir dinamines savybes;

3. elementų parinkimo metodus;

Praktiškai AVT sprendžia šiuos klausimus:

1. sistemų sintezę – parenkamas sistemos elementų tarpusavio ryšys, jų parametrai ir

charakteristikos turi atitikti statikos ir dinamikos reikalavimus;

2. sistemos analizę – ar sistema tenkina jai keliamus reikalavimus ir numato būdus

dinaminėms savybėms gerinti.

3. Automatinių sistemų statika

3.1. Bendrosios žinios

Nagrinėjant automatinės sistemos darbo režimus statiniu požiūriu, visi sistemos parametrai

laiko atžvilgiu yra pastovūs.

Pagrindiniai klausimai, kuriuos nagrinėja statika yra:

1. sistemos tikslumas;

2. sistemos elementų ir jų statinių charakteristikų analizė.

Sistemos statinė charakteristika – tai jos išėjimo dydžio priklausomybė nuo įėjimo dydžio ar

trikdžio nusistovėjusio režimo atveju.

Pagal charakteristikų pobūdį AVS skirstomos į statines ir astatines.

3.2. Statinis reguliatorius

Statinis reguliatorius yra toks reguliatorius, kuris palaiko nustatytą išėjimo dydį su leistina

statine paklaida. Reguliavimas vyksta pagal nuokrypos principą. Tokie reguliatoriai naudojami

įvairių parametrų stabilizavimui: greičio, įtampos, srovės, lygio ir t.t. Kai reguliatorius atjungtas,

sistema vadinama atvirąja.

Atvirosios sistemos išėjimo ir įėjimo parametrų pokyčių santykis vadinamas atvirosios

sistemos stiprinimo koeficientu:

.į

iša x

xk∆∆

=

Išėjimo dydžio nuokrypa nuo nustatytos reikšmės, atsiradusi veikiant trikdžiui, vadinama

reguliavimo paklaida.

Santykinė statinė paklaida:

12

, viš

iš

xx∆

=δ

čia višx - išėjimo parametro vardinė reikšmė.

Reguliuojamojo dydžio nuokrypos ir užduoto reguliuojamojo dydžio santykis, esant

didžiausiai apkrovai, vadinamas statizmu S.

Atvirajai sistemai:

,1 minmin

išatv

išatv

išatv

atviš

išatv

atvišišatvatv x

xx

xx

xxS ∆=−=

+=

uždarajai sistemai:

.išuzd

išuzduzd x

xS ∆=

Atvirosios sistemos statizmas yra didesnis, negu uždaros. Jei ,0≠uzdS tai reguliavimas

(valdymas) vadinamas statiniu, o sistema statinė, jei ,0=uzdS tai reguliavimas vadinamas

astatiniu, o sistema – astatine.

3.3. Statinis variklio greičio reguliatorius

Išnagrinėsime nuolatinės srovės variklio greičio stabilizavimo sistemą.

13

Statinės reguliatoriaus charakteristikos:

MLMEMS

LM Φ1

LM Φ2 ks U2 ∆U2

+ -

Ue

UTG

Ua + -

BR

δ

∆ωgr.r uždaroji

atviroji

Mmax M

ω

ωmin už

ωmin atv

∆tr=∆ω

ω0

14

Jei sistema yra atviroji, (t.y. reguliatorius yra atjungtas), tai, keičiantis variklio apkrovos

momentui nuo nulio iki maksimalios reikšmės, variklio greitis pasikeičia dydžiu:

čia: 0ω - tuščiosios eigos variklio sukimosi greitis; atv minω variklio sukimosi greitis esant

maksimaliai apkrovai, ∆ω – sukimosi greičio nuokrypa atviroje sistemoje. (t.y. ∆tr – reguliuojamo

parametro nuokrypa atviroje sistemoje).

Kai reguliavimo sistema uždara (esant įjungtam reguliatoriui), variklio greitis negali būti

idealiai pastovus ir keičiantis apkrovai nuo nulio iki maksimalios reikšmės, pakinta dydžiu

δωωω užmin 0už =−=∆ ;

Uždaroje sistemoje šis nukrypimas nuo nustatyto dydžio, atsiradęs veikiant trikdžiui,

vadinamas reguliavimo paklaida δ.

Atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas

1k tra −

δ∆

= ;

Apkrovus variklį didžiausiu momentu, variklio greitis sumažėja ∆ω = ∆tr, o veikiant

grįžtamajam ryšiui, padidėja dydžiu

argr k⋅δ=ω∆ .. ; (a)

Statinė paklaida

..rgrtr ω∆−∆=δ ;

Įrašius (a)

atr kδ−∆=δ ;

1k tra −

δ∆

= .

3.4. Astatinis reguliavimas

Sistemos, kurių išėjimo dydis nusistovėjusiame režime palaikomas pastovus, vadinamos

astatinėmis. Išėjimo dydžio kitimo greičio santykis su įėjimo signalu vadinamas astatinėmis

sistemos stiprinimo koeficientu:

į

iša x

xk∆′

= ;

atvmin0 ωωω −=∆=∆

15

čia dt

dxx išiš =′ - išėjimo dydžio kitimo greitis.

Astatinės sistemos pavyzdys yra įtampos kompensatorius. Šiuo pagrindu veikia

teromelektrovaros jėgą matuojantys prietaisai.

+

-

V

R

U

U 0

U

+

-

E

S

+

-

Kompensatorius matuoja įtampos skirtumą ∆U tarp matuojamosios E ir kompensuojančios

įtampos U. Nusistovėjusiame režime UE = ir 0=∆U . Nukrypus įtampai E, skirtumas ∆U stiprinamas stiprintuvo, kuris valdo variklį V, per reduktorių

R stumdantį potenciometro šliaužiklį taip, kad panaikintų atsiradusį skirtumą ∆U.

Statinės charakteristikos:

U0

U

E

tr∆

uždaroji

atviroji

Astatinio reguliavimo atveju 0=∆U . Reguliavimo sistemos tikslumą lemia nejautrumo zona (du

punktyriniai brūkšniai).

3.5. Elementų statinės charakteristikos

Elemento arba sistemos statinis režimas aprašomas lygtimi

)( įiš xfx = .

Pagal šią lygtį nubrėžta charakteristika yra sistemos statinė charakteristika.

Elementų statinės charakteristikos būna tiesinės ir netiesinės. Esant tiesinei charakteristikai

įiš kxx = .

16

Įėjimo ir išėjimo parametrų , turinčių tą pat fizikinę prigimtį, santykis vadinamas sistemos

stiprinimo koeficientu.

αtgxxkį

iš == .

Įėjime ir išėjime, esant skirtingiems fizikiniams dydžiams, jų santykis vadinamas perdavimo

koeficientu.

Tiesinių statinių charakteristikų perdavimo koeficientas yra pastovus, netiesinių – priklauso

nuo xį ir kitų dydžių

3.6. AVS elementų jungimas

AVS elementai gali būti sujungti nuosekliai arba lygiagrečiai, arba apkabinti grįžtamais

ryšiais.

Sujungimas yra nuoseklus, jei kiekvieno prieš tai buvusio elemento išėjimo signalas yra

kiekvieno sekančio elemento įėjimo signalas

į1

111 įxkx =

12xkxiš =

121 įiš xkkx = .

Jei yra nuosekliai sujungta n elementų, tai

∏=

==n

iin kkkkkK

1321 ...

Esant lygiagrečiam elementų sujungimui, visų elementų įėjime yra tas pats signalas Xį , o

išėjimo signalai sumuojasi

17

iš1

į

išnišišiš xxxx +++= ....21

įiš xkx 11 =

įiš xkx 22 =

……………

įnišnišišišišn xkkkkxxxxx )....(.... 321321 ++++=++++=

∑=

=++++=n

iin kkkkkK

1321 .... .

Sistemos daliai, apkabintai grįžtamuoju ryšiu

į ∆

±

..rgrį xxx ±=∆

xkx ∆= 11

12xkxiš =

išrgrrgr xkx .... =

Tuomet išėjimo dydis

įrgr

iš xkkk

kkx21..

21

1+=

paklaida:

įrgr

rgrį xkkk

xxx21..

.. 11

±=−=∆

18

Ženklas “+” rašomas, kai yra neigiamas grįžtamasis ryšys, “-“ teigiamas grįžtamasis ryšys.

4. Sistemų dinamika

4.1. Dinaminių sistemų lygčių sudarymas

Sistemų dinamika tiria pereinamuosius procesus. Pereinamasis procesas – tai objekto išėjimo parametro kitimas laike veikiant nuostatui arba

trikdančiajam poveikiui.

Pereinamasis procesas gali būti surastas žinant visos sistemos elementų diferencialines

lygtis. Iš visų elementų diferencialinių lygčių sudaroma viena bendra sistemos diferencialinė

lygtis, kuri gali būti tiesinė ar netiesinė

),...,',,....,",',(),....,",',( 21nįįį

nišišišiš xxxzzzFxxxxF =

Tiesinėms sistemoms galima taikyti superpozicijos metodą. Tuomet

),...,',(),....,",',(),....,",',( 22121nįįį

nnišišišiš xxxFzzzzFxxxxF += ,

čia nišišišiš xxxx ,....,",', - valdomas dydis ir jo išvestinės;

nįįį xxx ,...,', - įėjimo (nuostato, uždavimo) dydis ir jo išvestinės;

nzzzz ,....,",', - trikdantysis poveikis ir jo išvestinės.

4.2. Diferencialinių lygčių ištiesinimas

Lygčių ištiesinimas - tai netiesinių diferencialinių lygčių pakeitimas apytikrėms tiesinėmis

su prielaida, kad viso reguliavimo proceso metu visi kintamieji mažai nukrypsta nuo

nusistovėjusių reikšmių

∆

∆

19

Bendru atveju, užrašant diferencialines lygtis prieaugiams, naudojamas analitinės funkcijos

skleidimas Teiloro eilute su sąlyga, kad parametrai įgauna mažas nuokrypas nuo nusistovėjusių

reikšmių.

Lygčių ištiesinimas ir jų užrašymas prieaugių forma įgalina gauti nulines pradines sąlygas.

Tiesinant lygtis priimama, kad x =x 0+∆x, x- kintamasis, x0 – jo pradinė reikšmė, ∆x –

prieaugis.

)(!

...)(!2

)(!1

)()( 0)(

0

2

00 xfnxxfxxfxxfxf n

n∆++′′∆

+′∆+= (3.1)

Taikant šią formulę, į antros eilės ir aukštesnius narius neatsižvelgiama, todėl galima laikyti,

kad xxfxfxf ∆′+= )()()( 00 . (3.2)

Toliau iš (3.1) atimamos nusistovėjusio režimo funkcijos reikšmės )( 0xf ir gaunami

funkcijos prieaugiai:

)()()( 0xfxfxf −=∆

)()( 0xfxxf ′⋅∆=∆

α=′ tgxf )( 0 - funkcijos išvestinė pagal įėjimo dydį, randama kaip statinės

charakteristikos polinkio kampo tangentas darbo taške A, esant įėjimo dydžiui x 0 .

α

Pvz.: 2xy = ;

xxy ∆=∆ 02 .

4.3. Dinamikos lygčių sprendimo metodai

Bendruoju atveju n-tos eilės ištiesintą diferencialinę lygtį galima užrašyti:

)(....... 011

1

1011

1

1 tfxbdtdx

bdt

xdb

dtxd

bxadt

dxa

dtxd

adt

xda į

įm

įm

mmį

m

mišiš

niš

n

nniš

n

n +++++=++++ −

−

−−

−

−

20

čia xiš , xį – išėjimo ir įėjimo dydžių santykiniai prieaugiai;

f(t) – trikdantysis poveikis.

Sistemos pereinamąjį procesą galima gauti įvairiais būdais: analitiniu, grafiniu, modeliuojant

kompiuteriu.

Klasikinis diferencialinių lygčių sprendimo metodas leidžia gauti analitinį sprendinį.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendinys:

laisvnišiš xxx += ,

čia x iš – bendrasis sprendinys, charakterizuojantis išėjimo dydžio kitimą laike

x iš n – priverstinė nusistovėjusio dydžio reikšmė;

x laisv - laisvasis judesys, aprašomas diferencialine lygtimi, kurios dešinioji pusė

lygi nuliui:

0... 011

1

1 =++++ −

−

− išiš

niš

n

nniš

n

n xadt

dxadt

xdadt

xda

Šios lygties sprendinys:

∑=

αααα =+++=n

i

ti

tn

ttlaisv

in eCeCeCeCx1

21 ...21 ,

čia Ci – integravimo konstantos,

αi – būdingosios lygties šaknys.

Būdingoji lygtis gaunama diferencialinėje lygtyje pakeitus

dtd

→α :

0... 01

11 =+α++α+α −− aaaa n

nn

n

Aukštos eilės lygčių šaknys randamos apytikriais metodais. Naudojant programinį paketą

Matlab, šaknys randamos taip. Sudaroma matricą A iš lygties koeficientų taip:

A = [an an-1 an-2 … a1 a0]

ir panaudojama komanda: roots(A).

21

4.4. Tiesioginio ir atvirkštinio Furje ir Laplaso transformacijų formulės

Kiekviena periodinė funkcija, turinti periodą T, kuriai intervale nuo -∞ iki +∞, galioja

priklausomybė )()( tftf =τ+ ir tenkinanti Dirichle sąlygas, gali būti išskleista Furje eilute:

∑∞

=

ω+ω±=1

0 )sincos(2

)(k

kkkk tBtAAtf (1)

čia k – sveikas teigiamas skaičius;

k

k Tπ

=ω2 k-tosios harmonikos dažnis;

A 0, A k, B k – koeficientai, randami iš formulių:

∫−

=T

T

dttfT

A )(10 , (2)

∫−

ω=T

Tkk dtttf

TA cos)(1 (3)

∫−

ω=T

Tkk dtttf

TB sin)(1 (4)

Automatinio valdymo teorijoje taikomos tiesioginio ir atvirkštinio Furje pakeitimo formulės

neperiodinėms funkcijoms

dtetfjF tj∫∞

ω=ω0

)()( (5)

ωπ

= ∫∞

∞−

ω detFtf tj)(21)( (6)

čia F(jω) – Furje atvaizdas,

f(t) – funkcijos originalas (pirmvaizdis).

Jei į (5) ir (6) po integralu įkeliama rodyklinė funkcija te σ− , tai gaunama nauja kompleksinio

kintamojo ω+σ= js funkcija. Šis integralas vadinamas tiesiogine Laplaso transformacija

dte)t(f)s(F0

st∫∞

−=

arba simboliškai )]t(f[L)s(F = .

22

Atvirkštinis Laplaso pakeitimas

dsesFj

tfj

j

st∫∞+σ

∞−σπ= )(

21)( .

Simboliškai tai žymima: )]s(F[L)t(f 1−= .

4.5. Sistemos operacinių lygčių sudarymas

Sudarant operacines lygtis pagal sistemos diferencialines lygtis reikia žinoti pradines sąlygas

Jei duota diferencialinė lygtis

)()()( txktxdt

tdxT įišiš =+ ,

tai, esant pradinėms nulinėms sąlygoms, operacinė lygtis sudaroma pakeičiant išvestines ir

integralo ženklus operatoriumi:

sdtd= , 2

2

2

sdtd

= , nn

n

sdtd

= , s1dt

t

0

=∫ .

Tuomet gauname

)()()( sXksXsXTs įišiš =+ .

Sudarant AVS, susidedančios iš kelių elementų operacines lygtis, visų pirma, užrašoma

sistemos diferencialinių lygčių sistema, po to taikomas Laplaso pakeitimas ir gaunama operacinių

lygčių sistema, kuri išsprendžiama išėjimo signalo atžvilgiu:

)()...(

)()...()()...(

011

1

011

1011

1

sFCsCsCsC

sXbsbsbsbsXasasasak

kk

k

įm

mm

mišn

nn

n

++++

+++++=++++−

−

−−

−−

Iš šios lygties esant užduotam įėjimo dydžiui X į (t) ar trikdžiui F(t) gauname išėjimo dydžio

operacinę lygtį:

)(

)()()()()(

sAsFsCsXsB

sX įiš

+= ,

čia B(s), C(s), A(s) – kompleksinio kintamojo operaciniai daugianariai.

23

Funkcijos xiš(t) pirmvaizdis randamas naudojant Laplaso transformaciją atskirai kiekvienam

poveikiui. Tam naudojamos atvaizdų lentelės arba Hevisaido skaidybos formulės.

)s(F )t(f

kTse− )( ktt −δ

1 )(tδ

s1 )(1 t

21s

t

1

1+sk

ktk!1

a

Ts ln1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Tt

a

α+s

1 te α−

2)(1α+s

tte α−

)( α+

αss

te α−−1

)(2 α+

αss

α

−α− tet

20

20

ω+ω

s t0sin ω

20

2 ω+ss t0cosω

20

20

ω−ω

s tsh 0ω

btt eba

aeba

bbsass

ab −α−

−+

−+=

++1

))((

24

4.6. Automatinio valdymo sistemų signalai

Vienetinis šuolinis poveikis (vienetinė šuolinė funkcija) – tai poveikis, kuris šuoliu

pasikeičia nuo nulio iki vieneto ir toliau lieka pastovus

⎩⎨⎧

><

=0,10,0

)(1tkaitkai

t

Pereinamoji (arba laiko) charakteristika (funkcija) – tai reakcija grandies išėjime , kai jos

įėjime veikia vienetinis šuolinis poveikis. Pereinamoji charakteristika žymima h(t).

Vienetinis impulsas (vienetinė impulsinė funkcija arba delta funkcija) – tai impulsas, kurio

plotas lygus vienetui, trukmė lygi nuliui ir aukštis lygus begalybei

⎩⎨⎧

≠=∞= 0,0

0,)( tkaitkaitδ ir

1)( =∫∞

∞−

dttδ

Grandies reakcija į vienetinį impulsą vadinama impulsine pereinamąja charakteristika arba

svorine funkcija w(t)

Delta funkcija susieta su vienetine šuoline funkcija taip:

)(1)( tt ′=δ

Ryšys tarp pereinamosios ir svorinės funkcijos

)()( thtw ′= arba dttwtht

∫=0

)()( .

4.7. AVS perdavimo funkcijos

Taikant tiesioginį Laplaso pakeitimą ir esant pradinėms nulinėms sąlygoms galima gauti

operacinę lygtį

25

)()()()()()( sFsCsXsBsXsA įiš +=

Perdavimo funkcija – tai išėjimo dydžio operacinio atvaizdo santykis su operaciniu įėjimo

dydžio atvaizdu esant nulinėms pradinėms sąlygoms. Skiriamos grandies, atviros ir uždaros

sistemų perdavimo funkcijos

)()(

)()()(

sAsB

sXsXsW

į

iš ==

)()(

)()()(

sAsC

sFsXsW iš

z ==

4.8. Dažninės charakteristikos

Sistemų tyrimo dažniniai metodai pagrįsti elementų bei visos sistemos dažninių

charakteristikų sudarymu.

Atjungę tiesinės AVS pagrindinį grįžtamąjį ryšį ir paduodami į sistemos įėjimą sinusinės

formos signalus, ir esant nusistovėjusiam režimui, sistemos išėjime gausime to pat dažnio, bet

kitos amplitudės ir fazės sinusinius svyravimus.

Analizuodami atvirosios sistemos įėjimo ir išėjimo harmoninius svyravimus, galime nustatyti

jos savybes, kurios charakterizuojamos dažnine funkcija

)()(

)()()(

ωω

=ωω

=ωjXjX

jAjBjW

į

iš

W(jω) – vadinama atvirosios sistemos amplitudės fazine charakteristika.

Analitinę amplitudės fazinės charakteristikos išraišką gauname perdavimo funkcijoje pakeitę

ω= js .

)()()( ω+ω=ω jQPjW ,

čia P(ω) ir Q(ω) – realioji ir menamoji dažninės charakteristikos dalys.

Rodikline forma

)()()( ωϕω=ω jeAjW ,

čia )()()()( 22 ω+ω=ω=ω QPjWA

26

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

=ωϕ)()()(

PQarctg .

Amplitudės – fazinės charakteristikos modulis yra išėjimo ir įėjimo signalų amplitudžių

santykis.

Kiekvieną dažnį atitinka tam tikra modulio ir argumento reikšmė, t.y. amplitudės ir fazės

reikšmės.

P(ω)

P(ω)

jQ(ω)

Q(ω)

A(ω)ϕ(ω)

jQ(ω)

P(ω)

ω=0

ω12

ω

ω3

AFD CH

4.9. Amplitudės dažninės charakteristikos

Dažninės funkcijos W(jω) reikšmes esant tam tikram dažniui, galima pavaizduoti vektoriais

kompleksinėje plokštumoje. Amplitudės fazinė charakteristika – tai dažninės funkcijos vektorių

galų geometrinė vieta esant skirtingiems dažniams.

Amplitudės priklausomybė nuo dažnio vadinama sistemos dažnine amplitudės

charakteristika

)()()( 22 ω+ω=ω QPA

Fazės priklausomybė nuo dažnio vadinama dažnine fazės charakteristika

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωω

=ωϕ)()()(

PQarctg

Pvz.:

27

A(ω)

ω

A(ω)

A(ω)

P(ω)

P(ω)

ω

ϕ(ω)

ωϕ(ω)

ϕ(ω)

ω

Q(ω)

Q(ω)

4.10. Logaritminės dažninės charakteristikos

Dažninių charakteristikų sudarymas supaprastėja, jeigu išlogaritmuojame dažninės funkcijos

išraišką )()()( ωϕω=ω jeAjW :

3.2

)()(lg)(lg ωϕωω jAjW += ;

Logaritminė amplitudinė charakteristika nusako funkcijos modulio logaritmo kitimą, kintant

dažniui. Ji braižoma logaritminiame mastelyje. Ordinačių ašyje atidedamas modulio logaritmas,

abscisių ašyje – dažnio logaritmas.

)(lg20)(lg20)( ωωω AjWL == ;

)(ωP

)(ωjQ

0=ωPi

Qi

AFCH

28

L(ω) matuojamas decibelais. 1 dB lygus vienai dešimtajai Belo. Belas – tai signalo galios

stiprinimo koeficiento dešimtainis logaritmas, t.y. 1 Belas atitinka signalo galios stiprinimą 10

kartų, 2 Belai – 100 kartų, 3 Belai – 1000 kartų. Kadangi signalo galia yra proporcinga

amplitudės kvadratui, tai AA lg2lg 2 = .

Todėl stiprinimas Belais, išreikštas per amplitudžių A santykį lygus 2lgA. Atitinkamai

decibelais jis bus lygus 20 lgA.

Vienas decibelas atitinka amplitudės pasikeitimą 20 10 kartų, =1,12 karto.

Sudarant logaritmines dažnines charakteristikas fazinės dažninės charakteristikos braižomos

pusiau logaritminėse koordinatėse, t.y. ϕ priklausomybė nuo lgω.

Ant abscisių ašies atidedama arba lgω, arba paties dažnio ω reikšmė.

Dažnio pasikeitimas 10 kartų vadinamas dekada:

10=i

n

ωω ;

dek 110lglg ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

n

ωω .

Tam, kad surasti dažnį dekadomis, reikia apskaičiuoti dešimtainį šio dažnio logaritmą.

lg1=0

lg2=0,3 lg3=0,47 lg4=0,6 lg5=0,7

lg6=0.78 lg7=0,85

lg8=09 lg9=0,95

Logaritminę amplitudės dažninę charakteristiką galima apskaičiuoti tiesių atkarpomis.

Logaritminį tinklelį galima sudaryti Matlabu, naudojant šias komandas:

y=1;

x=0.1:1:100

semilogx(y)

L,dB

ωlg

ω0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 10

29

5 Tipinės dinaminės grandys ir jų charakteristikos

5.1. Grandžių klasifikacija

Tipinė grandis – tai sistemos elementas, charakterizuojamas tam tikromis savybėmis.

Pagal nusistovėjusio režimo išėjimo ir įėjimo dydžių reikšmes visas grandis galima

suskirstyti į 3 grupes: stiprinimo, integravimo ir diferencijavimo.

Pagal pereinamosios charakteristikos xiš(t) pobūdį dinaminės grandys jungiamos į grupes,

vadinamas tipinėmis grandimis.

Pagal dinamines savybes grandys skirstomos į idealias (beinercines), inercines ir grandis su

vėlinimu. Be to, grandys gali būti stabilios ir nestabilios, minimalios ir neminimalios fazės.

Pagal išorinio poveikio pobūdį grandies įėjime skiriamos pereinamosios charakteristikos (kai

veikia vienetinis šuolinis poveikis), impulsinės pereinamosios charakteristikos (esant

impulsiniam δ poveikiui įėjime) ir dažninės charakteristikos (esant įvairių dažnių harmoniniams

poveikiams).

5.2. Ideali (beinercinė, stiprinimo) grandis

Stiprinimo grandies dinamikos lygtis yra:

)()( tkxtx įiš = ;

k – stiprinimo koeficientas.

Tokių grandžių pereinamoji charakteristika savo forma atitinka įėjimo signalą.

Operacinė lygtis

)()( skxsx įiš = ;

Stiprinimo grandies perdavimo funkcija

ksxsxsW

į

iš ==)()()( ;

Dažninė funkcija

kjW =)( ω ;

Stiprinimo grandies LADCH

kL lg20)( =ω ;

30

0)( =ωϕ ;

5.3. Aperiodinė (inercinė) grandis

Aperiodinės grandies dinamikos lygtis:

įišiš kxx

dtdxT =+ ;

T – laiko pastovioji (konstanta), k – stiprinimo koeficientas.

Operacinė lygtis

)()()1( skxsxTs įiš =+ ;

Perdavimo funkcija

.1Ts

k)s(X)s(X)s(W

į

iš

+== ;

Aperiodinės grandies pereinamoji funkcija

[ ])()( 1 sXLtx išiš−= - iš lentelių

);(1

)( sxTs

ksx įiš ⋅+

=

kai xį(t)=1(t), tai ;1)(s

sxį =sTs

ksxiš1

1)( ⋅

+= ;

Grandies pereinamoji funkcija (grandies reakcija į vienetinį šuolinį poveikį):

)1()( Tt

iš ektx−

−= .

Dažninę funkciją gausime perdavimo funkcijoje pakeitę ωjs = :

TjkjWω

ω+

=1

)( ;

Arba, padauginę skaitiklį ir vardiklį iš jungtinio skaičiaus, gauname

221)1(

)1)(1()1()(

ωω

ωωωω

Tjk

TjTjTjkjW

+−

=−+

−= ;

xiš

xiš

xį t

20lgk

0=ϕ ωlg

)(ωL

0=ω

∞=ω

p

jQ

k

31

arba )()()()()( ωϕωωωω jeAjQPjW =+= ;

Realioji šio reiškinio dalis: 221)(

ωω

TkP

+= ;

Menamoji: 221)(

ωωω

TkTQ+

−= ;

Dažninė amplitudės charakteristika: 22

22

1)()()(

ωωωω

TkQpA

+=+= ;

Dažninė fazės charakteristika

TarctgTarctgPQarctg ωωωωωϕ −=−== )(

)()()(

pateiktos pav.

Logaritminę ADCH galima apytikriai nubraižyti iš dviejų tiesių atkarpų – asimptočių. Ji

vadinama asimptotine.

221lg20lg20)(lg20)( ωωω TkAL +−== ;

t

xiš

∞išx

∞išx632,0įiš kxx =∞

T

k

0

ωAjW =∞)(

ω

)(ωϕ

2π

−

0=ω )(ωP

ω

T1

=ω

2k

)(ωjQ

A F D C H

32

Kai dažnis T1

<ω , 1<Tω , ir 122 <<Tω .

Tuomet 11 22 ≈+ ωT , t.y. kL lg20)( =ω - tai tiesė lygiagreti abscisių ašiai.

Kai dažnis T1

>ω , 1>Tω , ir 122 >>Tω , tai ωω TT ≈+ 221 ir ωω TkL lg20lg20)( −= .

Tai tiesės einančios su nuolydžiu dekdB20− lygtis.

Pasikeitus dažniui 1 dekada

10lg20Tlg20klg2010Tlg20klg20)10(L −−=−= ωωω ,

L(ω) reikšmė sumažėja 10lg20 , t.y. 20 dB.

Abi asimptotės kertasi taške T1

=ω . Kai T1

=ω ,

dBkkL 3lg202lg20lg20)( −=−=ω ,

t.y. maksimalus skirtumas tarp tikrosios ir asimptotinės charakteristikos yra 3 dB.

Aperiodinių grandžių pavyzdžiai: elektros krosnis, elektros.variklis, elektrinės RC, RL

grandinėlės.

5.4. Integravimo grandis

2π

−

4π

−

T1

ωlg

20lgk

3dB

dekdB20−

)(ωL

Ui UišR C Ui Uiš

33

Integravimo lygties dinamikos lygtis:

)()( tkxdt

tdxį

iš = ;

∫=t

įiš dttxktx0

)()( ;

Pereinamoji funkcija:

ktth =)( ;

tkxx įiš = ;

Operacinė lygtis:

)s(xsk)s(x įiš = ;

Perdavimo funkcija:

sk

)s(X)s(X)s(W

į

iš == ;

Dažninė funkcija:

ωω

ω kjjkjW −==)( arba )()()()()( ωϕωωωω jeAjQPjW =+= ;

0)( =ωP ;

ω

ω kQ −=)( ;

ω

ω kA =)( ;

constarctg =°−=−∞= 90)(ϕ ;

ωωω lg20lg20)(lg20)( −== kAL ;

xiš

t

xiš

xi

∞=ω PjQ

t

34

Integravimo grandžių pavyzdžiai: beinercinis elektros variklis, jei įėjimas yra maitinamas

įtampa, išėjimo rotoriaus veleno posūkio kampas, stūmoklinis hidraulinis variklis, kurio įėjimas –

skysčio padavimo greitis, o išėjimas stūmoklio eiga.

5.5. Diferencijavimo grandis

Skiriama ideali ir reali diferencijavimo grandys.

Idealios diferencijavimo grandies diferencialinė lytis:

dtdx

kx įiš = ;

Operacinė lygtis:

)()( sksxsx įiš = ;

Perdavimo funkcija:

kssW =)( ;

Amplitudės fazinė dažninė charakteristika:

ωω jkjW =)( ;

Dažninė amplitudinė charakteristika:

ωω kA =)( ;

Dažninė fazės charakteristika:

20)( πωωϕ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

karctg ;

Pereinamoji funkcija:

)()( tkth δ= ;

Logaritminė ADCH:

2π

−

ωlg

20lgk dekdB20−

)(ωL )(ωL

1 10

)(ωA

ω

0=ω )(ωP

∞→ω

)( ωjW

)(ωjQ

t

j

t

xiš

ωlg

20lgk

L

101=ω

35

ωωω lg20lg20)(lg20)( +== kAL ;

Praktiškai idealią diferencijavimo grandį realizuoti neįmanoma.

Reali diferencijavimo grandis:

dtdx

kTxdt

dxT įiš

iš =+ ;

)()()1( skTsxsxTs įiš =+ ;

1Ts

kTs)s(X)s(X)s(W

į

iš

+== ;

Tj

kTjjWωωω

+=

1)( ;

221

)(ω

ωωT

kTA+

= ;

221lg20lg20)(lg20)( ωωωω TkTAL +−== ;

221lg20lg20lg20)( ωωω TTkL +−−= ;

TarctgQ

ωω 1)( =

Pereinamoji funkcija

Tt

Tt

1 keeTkT

s1

1TskTsL)t(h

−−− ==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

+= ;

įTt

iš xketx−

=)( .

0=ω∞=ω p

jQ

k

ω

xiš

t

xiš xikxi

UiUiš

Ui L Uiš

°90 T1

ωlg

20lgk

)(ωL

20lgkT

°45

0

1

)(ωA

ω

36

5.6. Švytavimo grandis

Švytavimo grandies diferencialinė lygtis:

įišišiš kxx

dtdxT

dtxdT =++ 22

22

1 ;

arba

įišišiš kxx

dtdxT

dtxdT =++ 12

22

1 2ξ ;

Operacinė grandies lygtis:

)()()1( 222

1 skxsxsTsT įiš =++ ;

Perdavimo funkcija:

1)(

)()(2

21 ++

==sTsT

ksxsxsW

į

iš ;

Padavus į grandies įėjimą šuolinį signalą išėjimo dydžio kitimo dėsnis priklauso nuo būdingosios lygties šaknų:

01sTsT 222

1 =++ ;

21

21

222

2,1 T2T4TT

s−±−

= ;

Jei 04 21

22 <− TT , tai šaknys bus kompleksinės

ωα js 2,1 ±−= ; 21

2

2TT

=α ; 21

22

1 411

TT

T−=ω ;

Pereinamojo proceso lygtis

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= −

αωω

αω α arctgtekxtx t

įiš sin11)( 2

2

Jei šaknys bus realios tai pereinamasis procesas bus aperiodinis:

37

⎠

⎞ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ +

+ +

+ = 1

21

21) ( 2 1

222

12212

11

t s tįiš e

Ts Ts es

Ts Ts kxt x ;

Amplitudės fazinė charakteristika:

222

2221

222

1

222

1 )1()1(

)1()(

ωωωω

ωωω

TTjkTTk

jTTkjW

++−−

=+−

= ;

Dažninė amplitudės charakteristika:

22

2222

1

22

)1()()()(

ωωωωω

TTkQPA

+−=+= ;

Dažninė fazės charakteristika:

221

2

1)(

ωωωϕ

TTarctg−

−= ;

Logaritminė amplitudės dažninė charakteristika:

222

2221 )1(lg20lg20)(lg20)( ωωωω TTkAL +−−== ;

Logaritminė ADCH susideda iš dviejų asimptočių. Viena iš jų yra lygiagreti abscisių ašiai,

kita – turinti nuolydį dekdB40− . Braižant logaritminę dažninę charakteristiką priimta, kad

1)( 2 12 == ξTT .

Kai 1

1T

<ω , kL lg20)( =ω ,

kai1

1T

>ω , ωω 1lg40lg20)( TkL −≈ .

xiš

t

kxį

1,0=ξ

4,0=ξ

1=ξ

0=ω

ω

∞=ω

)( ωjW

tk

25,0=ξ

5,0=ξ

)(ωA

ω

1,0=ξ

1=ξ 4,0=ξ

1ω

38

5.7. Vėlinimo grandis

Ši grandis išėjime su vėlinimu pakartoja įėjimo signalą.

Grandies lygtis:

įiš xtkx )( τ−= ;

Kai τ<t , xiš=0. Čia τ - vėlinimo laikas

2π

−

π−

T1

ωlg

40)(ωL

0

20

1,0=ξ

1=ξ

1=ξ

5,0=ξ

1,0=ξ

2,0=ξ

7,0=ξ

3,0=ξ

xiš

t

xi įiš xtkx )( τ−=

τ

ωlg

20lgk

)(ωL

0

)(ωϕ

39

Perdavimo funkcija

ske)s(W τ−=

Amplitudės fazinė charakteristika

τωω jke)j(W −= ;

kA =)(ω ;

τωωϕ −=)( ;

Logaritminė dažninė charakteristika

kAL lg20)(lg20)( == ωω ;

Plačiausiai yra paplitęs transportinis vėlinimas atsiradęs pasislenkant elementams erdvėje

(transporterio juosta, valcuojamo metalo juosta).

5.8. Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės

Nuoseklus grandžių sujungimas

)()()( 1

1 sxsxsW

į

= ;

)()()(

1

22 sx

sxsW = ;

)()()()(

)()(

)()()( 21

1

1 sWsWsxsx

sxsx

sxsxsW iš

įį

išekv ⋅=== .

Jei nuosekliai sujungta n grandžių, tai

nekv WWWsW ⋅⋅⋅= ......)( 21 .

Lygiagretus grandžių sujungimas:

W1(s) W2(s)xi

x1 xiš

W1(s)

W2(s)xi

xiš1

xiš

Wn(s)

xiš2

xišn

40

)()(11 sxsWx įiš ⋅= ;

)()(22 sxsWx įiš ⋅= ;

)()( sxsWx įnišn ⋅= ;

)(

)(...)()()()()( 21

sxsxsxsx

sxsxsW

į

išnišiš

į

išekv

+++== ;

)(...)()()( 21 sWsWsWsW nekv +++= ;

Grandis, apkabinta grįžtamuoju ryšiu.

)()()( .rgrįiš xxsWsx ±⋅= ;

)()()( ... sxsWsx išrgrrgr ⋅= ;;

[ ])()()()()( . sxsWsxsWsx įrgrįiš ⋅±= ;

)()(1

)()()()(

. sWsWsW

sxsxsW

rgrį

išekv ⋅

==m

.

Pliuso ženklas vardiklyje imamas tuo atveju, kai grįžtamasis ryšys yra neigiamas, minuso –

kai teigiamas.

Kiti pakeitimai:

1. Sumavimo mazgo perkėlimas per išsišakojimo tašką:

2. Sumavimo mazgo perkėlimas per grandį

a) prieš signalo kryptį

W(s)xį

Xgr.r

xiš

Wgr.r(s)Xiš(s)

Xiš(s)Xį+/-Xgr.r

x2

x3

X3=X1+x2

x1

x2

x3

X3=X1+x2

W1(s) W2(s)x1

x3x4 x5

x2

W1(s) W2(s)x1

)(1

1 sW

x3

X1+x2

x2

41

b) pagal signalo kryptį

3. Išsišakojimo taško perkėlimas per grandį:

a) prieš signalo kryptį

b) pagal signalo kryptį

6. Sistemų stabilumas

6.1. Ištiesintų sistemų stabilumas

Paveikus trikdžiui, pagal sistemos pereinamojo proceso pobūdį galima skirti 3 sistemų tipus:

W1(s) W2(s)x1 x3

x2 W2(s)

x4

W1(s) W2(s)x1

x3x2

x2

W1(s) W2(s)x1

x2 x3

W1(s)x2

W1(s) W2(s)x1

x2 x3

x2

)(1

2 sW

42

1. Sistemos išėjimo dydis vis labiau nukrypsta nuo užduoto ir sistema neįgauna pusiausvyros

padėties – tokia sistema vadinama nestabilia.

2. Sistema grįžta į pusiausvyros padėtį, išėjimo dydis įgauna naują nusistovėjusią reikšmę,

besiskiriančią nuo užduotos statine paklaida. Tokia sistema yra stabili.

3. Sistema charakterizuojama nusistovėjusiais periodiniais virpesiais. Toks procesas

vadinamas negęstančiu virpamuoju, o sistema yra ant stabilumo ribos.

Sistemos stabilumas nepriklauso nuo trikdžio dydžio – sistema, stabili esant mažiems

trikdžiams, bus stabili esant ir dideliems.

Bendrąją sistemų stabilumo teoriją sukūrė A. M. Liapunovas 1880 – 1910 m. Jis įrodė, kad:

1. Jei būdingosios lygties šaknys yra neigiamos arba jų realios dalys yra neigiamos, tai tokia

sistema yra stabili.

2. Jei būdingosios lygties bent viena šaknis yra teigiama arba su teigiama realiąja dalimi, tai

sistema nestabili.

3. Jei būdingoji lygtis turi bent vieną nulinę šaknį arba porą jungtinių grynai menamųjų

šaknų, tai joje atsiranda negęstantys virpesiai ir sistema yra ant stabilumo ribos.

Bendru atveju AVS aprašoma diferencialine lygtimi:

įį

mį

m

mmį

m

mišiš

niš

n

nniš

n

n xbdtdx

bdt

xdb

dtxd

bxadt

dxa

dtxd

adt

xda 011

1

1011

1

1 ++++=++++ −

−

−−

−

− LL

Liapunovas įrodė, kad apie sistemos stabilumą galima spręsti iš sistemos laisvojo judesio, t.y.

sistemos išėjimo dydžio kitimo neveikiant trikdžiui.

Laisvasis sistemos judesys aprašomas lygtimi:

xiš

t

xiš

t

1

2

3

43

0011

1

1 =++++ −

−

− išiš

niš

n

nniš

n

n xadt

dxa

dtxd

adt

xda L

Pritaikę Laplaso pakeitimą, gauname sistemos būdingąją lygtį:

0011 =++++ − asasasa n

nn

n L

Laisvojo judesio lygties sprendinys:

( ) ,eCeCeCtx ts

nts

2ts

1išn21 +++= L

čia: nCCCC K321 ,, - integravimo konstantos, n21 s,s,s K - būdingosios lygties šaknys.

Jei šaknys yra kompleksinės iii js βα ±= , tai laisvojo judesio sprendimo dedamosios turi

pavidalą:

( )iit

ii tsineCx i ϕβα +=

Sistema yra stabili, jei šaknys yra neigiamos arba jų realios dalys yra neigiamos.

Jei bent viena šaknis lygi nuliui, o visos kitos neigiamos arba turi neigiamas realias dalis, tai

tokia sistema yra neutrali.

Jei yra bent viena pora jungtinių grynai menamųjų šaknų, tai sistemos išėjime kyla

negęstantys virpesiai.

Todėl būtina ir pakankama sąlyga yra ta, kad šaknys būtų kairėje pusplokštumėje

Jeigu sistemos lygtis yra aukštos eilės, tai rasti jos šaknis sudėtinga. Tuomet stabilumo

tyrimui naudojami netiesioginiai metodai: algebrinis ir dažninis.

+

j

s

p2s

p

44

6.2. Algebriniai stabilumo kriterijai

Sistemų, aprašomų 3–ios eilės lygtimis, stabilumui tirti Višnegradskis suformulavo sąlygas,

esant kurioms sistema yra stabili. Višnegradskis nustatė, kad tiesinė sistema, kurios būdingoji

lygtis

,0012

23

3 =+++ asasasa

yra stabili, jei įvykdomos šios sąlygos:

1) visi būdingosios lygties koeficientai yra teigiami;

2) vidurinių koeficientų sandauga yra didesnė už kraštinių koeficientų sandaugą

3021 aaaa >

6.3. Rauso – Hurvico stabilumo kriterijai

Šis kriterijus skirtas sistemų, aprašomų bet kurios eilės būdingąja lygtimi, stabilumui tirti.

Kriterijų sukūrė anglų matematikas E. Rausas ir šveicarų matematikas A. Hurvicas praeito

amžiaus pabaigoje.

Jis formuluojamas taip: sistema, aprašoma būdingąja lygtimi

,0asasasa 01

1n1n1n

nn =++++ −

−− L

stabili, jei Hurvico determinantas ir visi jo įstrižainiai minorai yra teigiami.

.0,0,;0;0 1121 >=∆=∆>∆>∆ −− nnn aK

Sudarant Hurvico determinantą, pradžioje įstrižainėje surašomi visi koeficientai nuo 1−na iki

0a . Toliau užpildomi determinanto stulpeliai: virš įstrižainės koeficientų rašomi koeficientai su

mažėjančiais indeksais, žemyn – su didėjančiais. Po nulinio ir n – tojo indekso rašomi nuliai.

45

02

1

0

4

531

642

7531

000000

000000000000

aaaa

aaaaaaaaaaaaa

nn

nnn

nnnn

nnnn

−

−−−

−−−

−−−−

=∆

Rauso Hurvico metodą patogu naudoti neaukštos eilės sistemų tyrimui. Pagrindinis metodo

trūkumas – neįvertinama atskirų parametrų įtaka sistemos stabilumui.

6.4. Michailovo stabilumo kriterijus

1938 m. šį kriterijų pasiūlė tarybinis mokslininkas A.V Michailovas. Kairioji sistemos

būdingosios lygties pusė

001

11 =++++ −− asasasa n

nnn L

užrašoma kaip s funkcija

( ) 01

11 asasasasA n

nn

n ++++= −− L

Pakeitę s=jω, gauname

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωωω jIRajajajaA 01

1n1n

nn +=++++= −

− L

Vektoriaus A(ω) galas, kintant dažniui nuo 0 iki ∞ brėžia kreivę, vadinamą Michailovo

hodografu.

Michailovo hodografas prasideda taške, kurio koordinatės R(0)= 0a , jI(0)=0, o n – tajame

kvadrante, dažniui augant į begalybę (ω→∞) auga į begalybę.

3∆

2∆

46

Michailovo kriterijus formuluojamas taip: sistema stabili, jei A(ω) hodografas, prasidėjęs ant

realiosios teigiamos pusašės, prieš laikrodžio rodyklę, aplenkdamas koordinačių pradžią,

nuosekliai apeina n kvadrantų. Čia n – sistemos eilė.

6.5. Naikvisto stabilumo kriterijus

Šį kriterijų 1932 m. pasiūlė amerikiečių mokslininkas Naikvistas. Jis įgalina spręsti apie

uždaros sistemos stabilumą pagal atviros sistemos amplitudės fazinę charakteristiką.

Tam, kad uždara sistema būtų stabili, reikia, kad atviros sistemos AFCH neapkabintų taško

su koordinatėmis (-1; j0)

n=4

n=1

n=5

+1

n=2

n=3

+1

+j

n=3 n=4 n=5

stabilios sistemos nestabilios sistemos

47

Jei sistemoje yra bent viena integravimo grandis, tai jos stabilumas nustatomas taip. AFCH

pradžią reikia mintyse prieš laikrodžio rodyklę sujungti su teigiama realiąja pusaše begalinio ilgio

spinduliu D. Jei taškas –1, j0 neapkabinamas, tai sistema stabili.

Sistemoms, kurios atvirame būvyje yra nestabilios, Naikvisto kriterijus formuluojamas taip:

tam, kad uždara sistema būtų stabili, reikia, kad atviros sistemos AFDCH apkabintų tašką (-1, j0)

su sąlyga, kad ji kirs neigiamą realią ašį kairiau taško (-1, j0) iš viršaus žemyn k/2 kartų daugiau,

negu iš apačios į viršų. Čia k – teigiamų šaknų skaičius.

+1

j

ω=∞0

3

ω=0

1

4

2

1,4 – stabilios sistemos 2 – ant stabilumo ribos 3 – nestabili sistema

j

+-1

I eilės

II eilės

ω=0

2 1

-1 ω=0

stabilios sistemos

1) k=12) k=2

48

6.6. Logaritminis stabilumo kriterijus

Naudojantis Naikvisto kriterijumi, apie sistemos stabilumą galima spręsti ne tik pagal

AFDCH, bet ir kartu pagal atviros sistemos ADCH ir FDCH. Paprastai tam naudojamos

logaritminės charakteristikos.

Pagal Naikvisto kriterijų, sistema, kuri yra stabili atvirame būvyje, bus stabili ir uždara, jei

atviros sistemos AFCH neapkabina taško (-1, j0). Tai bus tuomet, kai esant dažniui, prie kurio

A(ω)=1, absoliuti fazės reikšmė, mažesnė už π.

∆ϕ +1

-j∞

-1

∆L +j

∆ϕ

∆L lgω

-π

L(ω)

49

Logaritminėse charakteristikose amplitudės reikšmė A=1 atitinka L(ω) = 20lgA=0. Logaritminis

Naikvisto kriterijus sistemoms, stabilioms atvirame būvyje, formuojamas taip: LACH turi kirsti

abscisių ašį ankščiau, negu mažėdama fazė įgaus -π reikšmę. Arba: esant kirtimo dažniui, fazė

turi būti mažesnė už -π.

Stabilumo atsarga – tai sistemos nutolimas nuo stabilumo ribos. Fazės atsarga nustatoma

dydžiu ∆ϕ, kuriuo turi išaugti fazė sistemoje, esant dažniui kω , kai LACH lygi nuliui, tam, kad

sistema atsidurtų ant stabilumo ribos.

Amplitudės stabilumo atsarga nusakoma leidžiamu LACH pakilimo dydžiu ∆L, kuriam esant

sistema atsiduria ant stabilumo ribos.

Projektuojant AVS, rekomenduojama parinkti ∆ϕ ≥ 30° ir ∆L ≥ 6dB.

Sistemos, kurios yra nestabilios atvirame būvyje, uždaros bus stabilios tuomet, kai esant

teigiamai LADCH, LFDCH kerta -π lygį iš viršaus žemyn k/2 kartų daugiau, negu priešinga

kryptimi.

6.7. Kritinis stiprinimo koeficientas

Sistemos būdingosios lygties koeficientai priklauso nuo grandžių parametrų (laiko

pastoviųjų, stiprinimo koeficientų). Parametrų pasikeitimas sukelia šaknų persiskirstymą.

Išnagrinėsime atviros sistemos stiprinimo koeficiento įtaką amplitudės – fazinėms

charakteristikoms ir sistemos darbui. Esant eilei nuosekliai sujungtų grandžių, atviros sistemos

perdavimo funkcija lygi visų grandžių perdavimo funkcijų sandaugai, kurios skaitiklyje yra

atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas k. Didinant šį koeficientą, didėja vektorius ( )ωjWa ir

AFCH plečiasi, artėdama prie kritinio taško (-1, j0). Todėl stiprinimo koeficiento didinimas gali

taip pat pakeisti AFCH, kad sistema bus nestabili (2 kreivė).

jQ

p

ω=0ω=0

12 -1,j0

ω=∞

a)

ω=∞

jQ

p-1

ω=0

b)

50

Kartais ir stiprinimo koeficiento sumažinimas gali padaryti sistemą nestabilia (b pav.).

Stiprinimo koeficiento reikšmės, kurioms esant AFCH eina per kritinį tašką (-1, j0), vadinamas

atviros sistemos kritiniu stiprinimo koeficientų ir žymimas krk .

Išnagrinėsime sistemą, sudarytą iš 3 inercinių grandžių su laiko pastoviosiomis 321 ,, TTT ir

stiprinimo koeficientais 321 ,, kkk .

( )( )( )111)(

321

321

+++=

sTsTsTkkk

sW

Uždaros sistemos būdingoji lygtis

001

22

33 =+++ asasasa (1)

čia:

3210

3211

3231212

3213

1 kkkаТТТа

ТТТТТТаТТТa

+=++=

++==

00

00

02

13

02

>=∆aa

aaaa

(2)

Pritaikius Hurvico kriterijų, galima rasti kritinę stiprinimo koeficiento reikšmę

0302113

022 =−==∆ aaaa

aaaa

(3)

Į (3) išraišką įrašę koeficientų reikšmes iš (1) ir pažymėję 2321 kkkkk = , gauname

( )( ) ( ) 01321321323121 =+−++++ krkTTTTTTTTTTTT

Atskliaudę ir padaliję iš 3a , gauname

.23

2

3

1

2

3

2

1

1

3

1

2

TT

TT

TT

TT

TT

TTkkr ++++++= (4)

Išvada: Kritinis stiprinimo koeficientas yra laiko pastoviųjų santykio funkcija. Keičiant šį

santykį, galima plačiose ribose keisti krk .

51

Pvz. esant TTTT === 321 , 8=krk , nepriklausomai nuo T (t.y. esant 0<T<∞).

6.8. Pereinamojo proceso kokybės įvertinimas pagal atviros sistemos logaritmines

dažnines charakteristikas

Išnagrinėsime ryšį tarp pirmos eilės sistemos LACH ir pereinamųjų charakteristikų.

sksWa =)(

( ) ( ) ωωω lg20lg20lg20 −== kAL

Kai kk ωω == gauname L(ω) = 0.

Uždaros sistemos perdavimo funkcija ( )Ts1

1

sk1

sk

sWu +=

+=

kk =ω

kk

Tω11

==

Pereinamojo proceso charakteristika:

Pereinamojo proceso laikas .33k

p Ttω

==

sk įx išx

kk =ω klg20

1=ω 10 100

3T

T

t

išx

1,0 5%

52

Pirmos eilės uždaros sistemos pereinamojo proceso laiką nustato atvirosios sistemos

logaritminės amplitudės charakteristikos kirtimo dažnis.

Atvirosios sistemos perdavimo funkcija:

1sT1

sk)s(W

1a +

⋅=

Logaritminė amplitudės charakteristika:

( ) 22

11lg20lg20lg20 ωωω TkL +−−=

Priklausomai nuo parametrų reikšmių, logaritminės amplitudės charakteristikos gali būti

skirtingos.

kT k == ωω ;1

11

Uždarosios sistemos perdavimo funkcija

( ) ( )( ) ( ) 1

111 2

11 ++=

++=

+=

TssTTksTsk

sWsW

sWa

a

čia k

T 1= .

skįx išx

1sT1

1 +

kk =ω klg20

1 10 100

11

1T

=ω

53

Tai yra švytavimo grandies perdavimo funkcija. Praktiškai nustatyta, kad jei 12ωω >k , tai

uždarosios sistemos pereinamasis procesas bus monotoninis. Vadinasi, tam, kad nebūtų išėjimo

signalo virpesių, reikia, kad kirtimo dažnis 1ω būtų LACH zonoje, turinčioje nuolydį –20dB/dek.

AVS su įvairiomis LACH tyrimai parodė, kad pereinamojo proceso švytuojamumas bus

mažiausias, jei LACH kerta dažnių ašį su nuolydžiu –20 dB/dek.

Aukštos eilės sistemų pereinamojo proceso laikas .k

ptωπ

≥

Kuo platesnė LACH dalis su nuolydžiu –20dB/dek, kertanti dažnių ašį, tuo pereinamojo

proceso kreivė artimesnė eksponentei ir tuo mažesnė pereinamojo proceso trukmė.

7. Automatinių sistemų koregavimas

Didelis atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas užtikrina aukštą sistemos tikslumą. Tačiau

stiprinimo koeficiento reikšmę riboja jos stabilumas. Dėl to iškyla būtinumas įjungti į sistemą

papildomus įtaisus, užtikrinančius stabilų sistemos darbą.

Koreguojančiais įtaisais vadinami įtaisai, keičiantys sistemos dinamines savybes. Stabilaus ir

kokybiško sistemos darbo užtikrinimas koregavimo įtaisų pagalba vadinamas sistemos

koregavimu.

Koregavimo grandys į sistemą jungiamos nuosekliai, lygiagrečiai ir į grįžtamuosius ryšius.

7.1. Pageidaujamos LACH sudarymas

Pereinamąjį procesą sistemoje vienareikšmiškai lemia logaritminės dažninės

charakteristikos. Todėl koregavimo pradžioje (pirmiausia) sudaro reikiamos (pageidaujamos)

LACH, užtikrinančias norimą (nustatytąjį) pereinamąjį procesą su reikiamu pereinamojo proceso

laiku ir maksimalia leistina dinamine nuokrypa σ.

Pageidaujamoji LACH skirstoma į 3 zonas: žemų dažnių, vidurinių dažnių ir aukštų dažnių.

Žemų dažnių charakteristikos dalis sudaroma pagal nusistovėjusio režimo užduotą tikslumą.

Statinėms sistemoms jį apsprendžia dydis 20lgk (I zona). Vidurinė LACH dalis, kertanti abscisių

ašį, parenkama pagal užduotą pereinamojo proceso trukmę ir maksimalią dinaminę nuokrypą σ.

Tam, kad užtikrinti reikiamą stabilumo atsargą, charakteristika turi kirsti dažnių ašį nuolydžiu –

20 db/dek.

L(ω)

1ω 2ω 3ω lg ω I II

54

Apytikriai σ % ir maxpt reikšmių priklausomybės nuo realiosios charakteristikos maksimumo

maxP gali būti surastos iš grafiko:

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

k

2ωπ

k

3ωπk

4ωπk

5ωπ

kωπ

10

20

30

40

50

σ maxpt

1

2

Pmax

Per apskaičiuotą kirtimo dažnį kω brėžiame su nuolydžiu –20dB/dek pageidaujamos LACH

dažnių zoną. Šią zoną sudaro tik viena atkarpa, turinti nuolydį –20dB/dek. Statinei sistemai žemų

dažnių zona yra tiesė 20lgk.

Turėdami pageidaujamos logaritminės amplitudės charakteristikos žemų ir vidutinių dažnių

zonas, jas sujungiame. Pageidautina, kad tai būtų viena atkarpa, kurios nuolydis skiriasi nuo

žemų dažnių atkarpos –20dB/dek.

Pageidaujamos charakteristikos aukštų dažnių sritis apribojama dažniu ( ) kωω 106 ÷= ir gali

turėti bet kokį nuolydį. Ši sritis neturi įtakos pereinamajam procesui. Vidutinių ir aukštų dažnių

charakteristikų dalys sujungiamos atkarpa su nuolydžiu –20 dB/dek didesniu, negu vidurinių

dažnių dalis. Taip sudaryta pageidaujama logaritminė amplitudinė dažninė charakteristika

atitinka norimą duotąjį pereinamąjį procesą. Ji vadinama tipine. Po to sudaroma logaritminė

fazinė charakteristika ir patikrinama fazės stabilumo atsarga.

7.2. Koregavimo įtaisų sintezė, taikant logaritmines dažnines charakteristikas

Naudojant koreguotos sistemos pageidaujamas LACH, atitinkančias norimą pereinamąjį

procesą, nustatomi koregavimo įtaiso tipai ir parametrai. Koregavimo įtaiso (grandies) parametrai

priklauso nuo jo įjungimo būdo.

55

7.2.1. Nuosekli koregavimo grandis

Nuosekli koregavimo grandis jungiama pagrindinio signalo sklidimo kryptimi nuosekliai

pagrindinėms grandims. Sukoreguotos sistemos perdavimo funkcija, atitinkanti pageidaujamą

LACH

)()()( sWsWsW kgnk ⋅=

ir

).(/)()( sWsWsW nkkg =

Užrašius logaritmine forma:

,)(lg20)(lg20)(lg20 ωωω jWjWjW nkkg −=

arba

)()()( ωωω Nk LLL −=

Nuoseklios koregavimo grandies tipas ir parametrai, taikant LACH gaunami taip:

1. pagal atviros sistemos perdavimo funkciją braižoma nekoreguotos sistemos LACH;

2. pagal užduotus kokybės rodiklius braižoma pageidaujama (sukoreguotos sistemos)

LACH;

3. iš pageidaujamos LACH ordinačių atimamos nekoreguotos sistemos ordinates ir gauname

nuoseklios koregavimo grandies LACH.

4. suprastiname koregavimo grandies LACH, palyginę ją su koregavimo grandžių lentelėse

duotomis tipinėmis grandimis.

Išnagrinėsime sistemos, kurios atviros sistemos perdavimo funkcija

)s03,01)(s1,01)(s5,01)(s1(6)s(Wn ++++

=

koregavimą nuoseklią ja koregavimo grandimi.

Lūžio dažniai:

;s11

11

1 ==ω ;s12

5,01

2 ==ω ;s110

1,01

3 ==ω ;s133

03,01

4 ==ω

dBkL 68,15lg20)(0 ==ω .

Pageidaujama LACH braižoma pagal užduotus %30=σ , st p 8,5= . Iš grafiko randame

kpt

ωπ6,3

= . Iš čia s12K =ω .

Amplitudinė logaritminė dažninė charakteristika braižoma taip:

56

1. Apskaičiuojami lūžio dažniai ir atidedami didėjančia tvarka.

2. Apskaičiuojamas dydis 20lgk ir braižoma horizontali tiesė žemų dažnių zonoje iki

pirmojo lūžio dažnio.

3. Pirmosios eilės grandis, kurios laiko konstanta yra vardiklyje, duoda nuolydį –20dB/dek,

o kurios laiko konstanta skaitiklyje, +20dB/dek. Pereinant nuo vieno lūžio iki kito, nuolydžiai

sumuojasi.

)1sT)(1sT()1sT)(1sT(

)S(W43

21

++++

=

20lgk

-20dB/dek

-40dB/dek

-60dB/dek

ω1

ω2

ω3

0

π/2

-π/2

-π

0

10

20

L(ω)

1

210 100

ω4

T4

φkg(ω)

φk(ω)

φn(ω)

∆φ

-3π/2

R2

R1

C2

C1

Koregavimo grandis

Uį Uiš

57

)s(W1

Xį Xiš)s(W2 )s(W3 )s(W4

)s(Wgr

7.2. Lygiagretus koregavimas

Lygiagrečios koregavimo grandys jungiamos į grįžtamuosius ryšius, apkabinančius dalį

pagrindinių grandžių.

Atviros koreguotos sistemos perdavimo funkcija

)s(W)s(W1

)s(W)s(W

.r.grapk

nk ⋅+

= , (1)

čia )(SWn — nekoreguotos

)s(W)s(W)s(W 32apk ⋅=

Dažnių intervale, kur galioja lygybė

1W)s(W r.grapk >>⋅

galima užrašyti

)]s(W)s(W/[)s(W)s(W r.grapknk ⋅≈ (2)

Logaritminė amplitudinė charakteristika

)(lg20)(lg20)(lg20)(lg20 . ωωωω jWjWjWjW apkknrgr −−= . (3)

Kadangi

)j(Wlg20)j(Wlg20)j(Wlg20 kgnk ωωω =− (2.1)

)(lg20 ωjWkg vadinama ekvivalentine nuoseklia koregavimo grandimi.

(3) lygtį galima užrašyti

)(lg20)(lg20)(lg20 . ωωω jWjWjW apkkgrgr −−=

arba )()()(. ωωω apkkgrgr LkL −−=

Lygiagreti koregavimo grandis skaičiuojama taip:

1. braižoma nekoreguotos atviros sistemos LACH )(ωnL

58

2. braižoma pageidaujama LACH )(ωkL

3. iš pageidaujamos LACH ordinačių atimamos nekoreguotos sistemos ir gauname

ekvivalentinę nuoseklios koregavimo grandies LACH )(ωkgL

4. braižoma grandžių, apkabintų lygiagrečia koregavimo grandimi LACH )(ωapkL

5. grafiškai sumuojamos apkabintų grandžių LACH ir ekvivalentinės nuoseklios koregavimo

grandies LACH ordinates.

6. braižoma priešingo ženklo gautai 5p. LACH. Ji yra lygiagrečios koregavimo grandies

charakteristika )(. ωrgrL .

8. Pereinamojo proceso skaičiavimas

8.1 Operacinis Laplaso metodas

)()()( SXSWSX įiš ⋅=

Jei )t(1)t(X į = , tai s1)s(X į =

s1)s(W)s(X iš ⋅=

Pagal žinoma atvaizdą galima gauti funkcijos pirmvaizdį

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅= −

s1)s(WL)t(X 1

iš .

Tam gali būti panaudota Hevisaido skaidybos formulė arba atvirkštinio Laplaso pakeitimo

lentelės. Bendru atveju )s(A)s(B)s(W = . Hevisaido skaidybos formulė

iSn

1i ii

i1iš e

)s(As)s(B

)0(A)0(B

)s(As)s(BL)t(x ∑

=

− ⋅′⋅

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

==

Šis metodas tinka funkcijoms, kurioms nesunku rasti būdingosios lygties šaknis.

8.2. Trapecinių charakteristikų metodas

Pereinamąjį procesą, kai sistemos įėjime atsiranda vienetinis šuolinis poveikis ir esant

nulinėms pradinėms sąlygoms, galime rasti apskaičiavus integralą

)s(W

Xį Xiš

59

ωωωω

πtdPh sin)(2

0∫∞

=

Bendru atveju apskaičiuoti šį integralą sunku, todėl naudojamas apytikslis metodas, paremtas

realios dažninės charakteristikos P(ω) skaidymu į tipines trapecijas.

Realiosios dažninės charakteristikos išraiška gauname į uždaros sistemos perdavimo funkciją

įrašius s=jω. Jei

01

1

01

1

......

)(asasabsbsb

sW nn

nn

mm

mm

++++++

= −−

−−

čia m≤n, ir

JDCjBA

ajajabjbjb

sW nn

nn

mm

mm

++

=++++++

= −−

−−

01

1

01

1

...)()(...)()(

)(ωωωω

arba 2222)(DCADBCj

DCBDACjW

+−

+++

=ω

...

...

...

...

55

33

1

44

22

0

55

33

1

44

22

0

−+−=

−+−=

−+−=

−+−=

aaaD

baaC

bbbB

bbbA

ωωω

ωω

ωωω

ωω

Realioji dažninė charakteristika

22)(DCBDACP

++

=ω

yra sudėtinga ir ją integruoti sunku, todėl pagal P(ω) išraišką braižomos realios dažninės

charakteristikos grafikas. Jis skaidomas į tipines trapecijas ir išskaičiuojami nuolydžiai X.

Tipinė trapecija charakterizuojama jos aukščiu P(0), tolygaus signalo pralaidumo dažnių

intervalu ω0, teigiamų dažnių intervalu ωn ir nuolydžio koeficientu X= ω0 /ωn.

Lentelėse duotos pereinamųjų procesų kreivės vienetinėms trapecijoms. Esant žinomam

nuolydžiui X, randame lentelėje vienetinės trapecijos pereinamąją funkciją h0(τ). Po to amplitudę h0 dauginame iš reikšmės P(0), o laiką τ dalijame iš ωn: t= τ /ωn. Rezultatus surašome į lentelę

pagal kurią braižome pereinamąją charakteristiką esant vienetiniam įėjimo poveikiui.

P(ω)

P(0)

ω0 ωn ω

P

1

1 ω

60

Todėl, apskaičiuojant pereinamąją funkciją, būtina:

1. kiekvienos pereinamosios funkcijos ordinates h0i padauginti iš trapecijos aukščio ir

įvertinti ženklą . Šiuo atveju

0333

0222

0111

hHXhHX

hHX

⋅−=⋅−=

⋅=

2. perskaičiuojame kiekvienos trapecijos pereinamojo proceso laiką

1

01

ni ω

ττ =

3. suminę pereinamojo proceso charakteristiką randame grafiškai

∑=

=n

ii txtx

1

).()(

Mūsų atveju )()()()( 321 txtxtxtx −−= .

8.3. Pereinamojo proceso kokybės įvertinimas

Bendru atveju poveikis į sistemą yra sudėtinga laiko funkcija. Vertinant proceso kokybę

paprastai laikome, kad sistemos įėjime yra tipinė funkcija: vienetinė šuolinė, impulsinė,

harmoninė. Labiausiai paplitusi yra šuolinė funkcija.

)s(W Xį Xiš ∆X

ω

H1

h2

h3

ω01ω02

ωn1

ωn3

ω03

ωn2

PP

ω01ω02 ωn2ωn1

ω03 ωn3