Automates cellulaires : des dynamiques aux calculs, … · Automates cellulaires : des dynamiques aux calculs, un aller-retour SIESTE — ENS Lyon Guillaume Theyssier LAMA (CNRS,

Automates cellulaires :des dynamiques aux calculs,

un aller-retourSIESTE — ENS Lyon

Guillaume Theyssier

LAMA (CNRS, Université de Savoie)

30 octobre 2007

Introduction

comprend-on un système lorsque l’on connaît sa loid’évolution ?peut-on prédire un système lorsque l’on connaît sa loid’évolution ?

Systèmes complexesloi d’évolution simple(généralement) de nombreuses entités en interaction localecomportement global ?

Un exemple : les automates cellulaires

Introduction




Introduction




Contenu de cet exposé

Présentation du modèle

systèmes dynamiques / modèle de calcul

Imprévisibilités

chaos déterministe / incalculabilité

Classifications

Automates cellulairesDéfinition

I Objet syntaxiqueun alphabet Aun réseau régulier de cellules (généralement Zd )un voisinage V = v1, . . . , vn (partie finie de Zd )une fonction locale f : An → A (où n = |V |)

I Objet étudiéespace des configuration : AZd

fonction globale F : AZd → AZddéfinie par :

F (x)z = f(xz+v1 , . . . , xz+vn

)

Automates cellulairesDéfinition

I Objet syntaxiqueun alphabet Aun réseau régulier de cellules (généralement Zd )un voisinage V = v1, . . . , vn (partie finie de Zd )une fonction locale f : An → A (où n = |V |)

I Objet étudiéespace des configuration : AZd

fonction globale F : AZd → AZddéfinie par :

F (x)z = f(xz+v1 , . . . , xz+vn

)

Automates cellulairesExemples 2D

réseau : Z2

voisinage :

[démo]


réseau : Z2

voisinage :

[démo]


A = 0, 1, 2V = −2,−1, 0, 1, 2f = majorité

A = 0, 1V = −1, 0, 1f (x , y , z) = x + y + z mod 2

Automates cellulairesSystèmes dynamiques

I Topologie sur AZd

topologie produit de la topologie discrète

métrisable par δ(x , y) = 2−min‖z‖∞:xz 6=yz

0

x

y

δ(x , y) = 1/8

(AZd

, δ)

est compact


I Topologie sur AZd

topologie produit de la topologie discrètemétrisable par δ(x , y) = 2−min‖z‖∞:xz 6=yz

0

x

y

δ(x , y) = ?

(AZd

, δ)

est compact


I Topologie sur AZd


0

x

y

δ(x , y) = 1/8

(AZd

, δ)

est compact


I Topologie sur AZd


0

x

y

δ(x , y) = 1/8

(AZd

, δ)

est compact


Théorème (Curtis-Lyndon-Hedlund)F est la fonction globale d’un AC si et seulement si F estcontinue et commute avec les décalages.

décalages : translation des états sur le réseauformellement : les fonctions σz avec

(σz(x)

)z′ = xz+z′

I Vision topologiqueconfigurations ↔ points d’un espace compactautomates cellulaires ↔ fonctions continues


Théorème (Curtis-Lyndon-Hedlund)F est la fonction globale d’un AC si et seulement si F estcontinue et commute avec les décalages.

décalages : translation des états sur le réseauformellement : les fonctions σz avec

(σz(x)

)z′ = xz+z′

I Vision topologiqueconfigurations ↔ points d’un espace compactautomates cellulaires ↔ fonctions continues


I application du point de vue topologique

soit F la fonction globale d’un ACsupposons F bijectivequestion : est-ce que F−1 est la fonction globale d’un AC ?

ThéorèmeOui !

Démonstration.

F−1 commute avec les décalages (facile)F−1 est continue (car F continue bijective sur un compact)le théorème de Hedlund permet de conclure

I Une preuve constructive sans l’outillage topologique ?




ThéorèmeOui !

Démonstration.






ThéorèmeOui !

Démonstration.






ThéorèmeOui !

Démonstration.



Complètement déterminés mais imprévisibles !

I Connaissant une configuration, on peut calculer les suivantes

mais

si la configuration initiale n’est connue que partiellement ?

si l’on veut prédire des propriétés comme

est-ce qu’une couleur donnée disparaît toujours au boutd’un temps fini ?est-ce qu’un motif donné apparaîtra au centre en partantd’une configuration initiale donnée ?

I Imprévisibilitéschaos déterministeincalculabilité



mais







mais







mais







mais





Chaos déterministe

Henri Poincaré (1854-1912)« de petites causes peuvent avoir de grands effets »

sensibilité aux conditions initiales :

∃ε > 0,∀x ,∀δ > 0,∃y ,∃t : δ(x , y) ≤ δ et δ(F t(x), F t(y)

)≥ ε

expansivité :

∃ε > 0,∀x ,∀y , x 6= y ⇒ ∃t : δ(F t(x), F t(y)

)≥ ε

...

[démo]

Chaos déterministe




)≥ ε

expansivité :

∃ε > 0,∀x ,∀y , x 6= y ⇒ ∃t : δ(F t(x), F t(y)

)≥ ε

...

[démo]

Chaos déterministe




)≥ ε

expansivité :

∃ε > 0,∀x ,∀y , x 6= y ⇒ ∃t : δ(F t(x), F t(y)

)≥ ε

...

[démo]

Chaos déterministe




)≥ ε

expansivité :

∃ε > 0,∀x ,∀y , x 6= y ⇒ ∃t : δ(F t(x), F t(y)

)≥ ε

...

[démo]

Incalculabilité

DéfinitionUn problème P est un ensemble de questions Pn semblables,chacune portant sur un objet n d’une certaine famille

I Exemple :question Pn : l’entier n est pair ?problème P = n : Pn est vraie

DéfinitionUn problème est calculable s’il existe un algorithme qui, étantdonné n, répond sans erreur à la question Pn.

on peut rendre cette définition formelle et préciseil faut préciser sous quelle forme est donné n

I mauvaises nouvelles :il existe des problèmes incalculables

presque tous les problèmes liés aux AC sont incalculables !

Incalculabilité







Incalculabilité







Incalculabilité







Incalculabilité







Incalculabilité







Incalculabilité dans les AC

I Problèmes sur les ACF est représenté par sa définition syntaxiqueproblèmes comme ensembles de questions PF

I Des problèmes naturels1 est-ce que F est nilpotent ?

2 est-ce que F est sensible aux conditions initiales ?3 est-ce que F est réversible ?

I Résultats (Kari, années 90)1 et 2 sont incalculables3 est incalculable à partir de la dimension 2









2 est-ce que F est sensible aux conditions initiales ?

3 est-ce que F est réversible ?











I Résultats (Kari, années 90)1 et 2 sont incalculables

3 est incalculable à partir de la dimension 2






Incalculabilité (suite)

notion d’ensemble limite ΩF

ΩF = x : ∀t ,∃y , F t(y) = x

P est un problème sur l’ensemble limite si

si ΩF = ΩG alors F ∈ P ⇐⇒ G ∈ P

P est trivial s’il contient tous les AC ou aucun AC

Théorème (Kari, années 1990)Tout problème non trivial sur l’ensemble limite est incalculable

I Exemples :est-ce qu’une couleur apparaît dans ΩF ?est-ce que ΩF est fini ?(en 1D) est-ce que l’ensemble des mots apparaissant dansΩF est un langage rationnel ?



ΩF = x : ∀t ,∃y , F t(y) = x








ΩF = x : ∀t ,∃y , F t(y) = x








ΩF = x : ∀t ,∃y , F t(y) = x








ΩF = x : ∀t ,∃y , F t(y) = x






Tous les AC ne sont pas complexes !

F est linéaire si

∃⊕ : F (x ⊕ y) = F (x)⊕ F (y)

le comportement de F sur toute configuration, se déduit deson comportement sur l’ensemble fini

∞0x0∞ : x état de F

on sait presque tout sur ce type d’automates

[démo]


F est linéaire si

∃⊕ : F (x ⊕ y) = F (x)⊕ F (y)




[démo]


F est linéaire si

∃⊕ : F (x ⊕ y) = F (x)⊕ F (y)




[démo]


F est linéaire si

∃⊕ : F (x ⊕ y) = F (x)⊕ F (y)




[démo]


F est linéaire si

∃⊕ : F (x ⊕ y) = F (x)⊕ F (y)




[démo]

Classifications

I Problématique

il n’y a pas de méthode générale pour analyser les ACcertains sont simples d’autres complexes et imprévisiblesles outils externes amènent aussi de l’incalculabilitéque faire ?

I Comparer les AC entre eux !notion de simulation F G si G peut reproduire le comportement de F« G est au moins aussi complexe que F »

I Définition précise de ?

2 ingrédientssous-automates et déformations de l’espace-temps

Classifications

I Problématiqueil n’y a pas de méthode générale pour analyser les ACcertains sont simples d’autres complexes et imprévisiblesles outils externes amènent aussi de l’incalculabilitéque faire ?




Classifications





Classifications





Classifications





Qu’est-ce qu’une simulation entre AC ?

sous-automate : FA v FB

(restriction compatible)

FA

v

FB

déformations de l’espace temps : F → F<

t

,

z

,

m

>

1 compression du temps

2 décalage régulier du réseau

3 groupage de cellules en blocs


sous-automate : FA v FB (restriction compatible)

FA

v

FB


t

,

z

,

m

>






FA

v

FB


t

,

z

,

m

>






FA

v

FB

déformations de l’espace temps : F → F<t ,

z

,

m

>




t



FA

v

FB

déformations de l’espace temps : F → F<t ,z,

m

>




z



FA

v

FB

déformations de l’espace temps : F → F<t ,z,m>




m


DéfinitionF G si il existe 2 transformations < t , z, m > et < t ′, z ′, m′ >avec

F<t ,z,m> v G<t ′,z′,m′>

I Propriétés :l’automate a 1 état est un minimum globalles AC linéaires sont en bas de l’ordreil existe des chaînes infinies croissantes

I Et le haut de l’ordre ?



F<t ,z,m> v G<t ′,z′,m′>





F<t ,z,m> v G<t ′,z′,m′>



Universalité intrinsèque

DéfinitionFA est -universel si ∀FB : FB FA

ThéorèmeIl existe des automates -universels.

Démonstration.

I Exemple en 2D ?

[démo]




Démonstration.

I Exemple en 2D ?

[démo]




Démonstration.

I Exemple en 2D ?

[démo]




Démonstration.

I Exemple en 2D ?

[démo]


PropositionSi FA × FB est universel, alors FA ou FB l’est.

ThéorèmeSavoir si un automate est -universel est incalculable.

CorollaireSi FA n’est pas -universel, alors il existe une chaîne infiniecroissante au dessus de lui.









Des questions ?

Documents

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