Autori koduleht Tiitelleht DISKREETNE ¢â‚¬› ~puusemp ¢â‚¬› ¢  2005-02-03¢  Autori koduleht Tiitelleht

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Autori koduleht Tiitelleht DISKREETNE ¢â‚¬› ~puusemp...

  • Autori koduleht

    Tiitelleht

    JJ II

    J I

    Lk 1 / 247

    Tagasi

    Täisekraan

    Lahku failist

    TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT

    Peeter Puusemp

    DISKREETNE MATEMAATIKA

    Elektrooniline loengukonspekt

    TALLINN 2005

    http://www.staff.ttu.ee/~puusemp http://www.ttu.ee http://www.ttu.ee http://www.staff.ttu.ee/~puusemp http://www.tallinn.ee http://www.tallinn.ee

  • Autori koduleht

    Tiitelleht

    JJ II

    J I

    Lk 2 / 247

    Tagasi

    Täisekraan

    Lahku failist

    c© Peeter Puusemp, 2005 ISBN ****************

    http://www.staff.ttu.ee/~puusemp

  • Autori koduleht

    Tiitelleht

    JJ II

    J I

    Lk 3 / 247

    Tagasi

    Täisekraan

    Lahku failist

    Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika

    Eess~ona

    Paljudes tehnikaülikoolides on diskreetne matemaatika üks olulise- maid matemaatilisi distsipliine. Seda just tema tiheda seose t~ottu rakendustega. Eriti ei saa puududa diskreetne matemaatika infor- maatikaerialade üli~opilaste ~oppekavast. Laias laastus v~oib eristada diskreetset matemaatikat nn pidevast matemaatikast selle poolest, et selles pole kesksel kohal piirväärtuse abil defineeritavad matemaatili- sed m~oisted, vaid püütakse neid, nii palju kui v~oimalik, vältida. Aja jooksul on välja kujunenud tüüpilised probleemid, mida käsitletatakse diskreetse matemaatika kursustes. Loomulikult on matemaatika jao- tus diskreetseks ja pidevaks üsnagi tinglik. Termini diskreetne mate- maatika on käibele v~otnud t~oenäoselt ~oppekavade koostajad ning tä- naseks on see termin meie s~onavarasse sügavalt juurdunud.

    Tüüpilised probleemid, mis leiavad käsitlemist erinevates ~oppeasu- tustes diskreetse matemaatika kursustes, on järgmised: naiivne hulga- teooria, matemaatilise loogika elemendid, formaalsed aksiomaatilised teooriad, algoritmiteooria, automaatide teooria, rekursiooniteooria, kombinatoorika, arvuteooria elemendid, kodeerimisteooria, graafiteoo- ria ja abstraktse algebra elemendid. Kui olla korrektne, siis oleks pi- danud igale loetletud matemaatika osale lisama s~ona elemendid, sest ühtegi neist ei käsitleta aine ~opetamisel p~ohjalikult. Erinevad ülikoo- lid valivad oma diskreetse matemaatika kursusesse antud loetelust erinevad osad, vastavalt oma vajadustele ja kuulajaskonnale.

    Käesolevas ~oppevahendis on esitatud materjal, mille autor on lüli- tanud oma diskreetse matemaatika loengukursusesse. Iga peatüki l~o- pus on ülesanded, milledest osa lahendatakse harjutustundides, osa aga on m~oeldud täiendavaks harjutamiseks. Ülesanded on varustatud vastustega, mis asuvad ~opiku l~opus.

    Autor

    http://www.staff.ttu.ee/~puusemp

  • Autori koduleht

    Tiitelleht

    JJ II

    J I

    Lk 4 / 247

    Tagasi

    Täisekraan

    Lahku failist

    Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika

    SISUKORD

    SISUKORD 4

    1 LAUSEARVUTUS 6 1.1 Lausearvutuse valemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Tautoloogiad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Loogiliselt samaväärsed valemid . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Duaalsusprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Disjunktiivne normaalkuju . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Boole’i funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Ülesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2 PREDIKAATARVUTUS 36 2.1 Predikaadid ja kvantorid . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Esimest järku keeled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Signatuuri interpretatsioonid . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Predikaatarvutuse p~ohiseadused . . . . . . . . . . . . . 50 2.6 Ülesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3 FORMAALSED AKSIOMAATILISED TEOORIAD 57 3.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Formaalne aksiomaatiline teooria . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Lausearvutus formaalse aksiomaatilise teooriana . . . . 61 3.4 Deduktsiooniteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5 Täielikkuse teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.6 Teisi formaalseid aksiomaatilisi teooriaid . . . . . . . . 72 3.7 Formaalse aksiomaatilise teooriaga seotud m~oisteid . . 73 3.8 Ülesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4 ALGORITMITEOORIA ELEMENTE 78 4.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2 Keel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 Regulaarne keel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4 L~oplik automaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5 Väljundsümboliteta automaadid . . . . . . . . . . . . . 88

    http://www.staff.ttu.ee/~puusemp

  • Autori koduleht

    Tiitelleht

    JJ II

    J I

    Lk 5 / 247

    Tagasi

    Täisekraan

    Lahku failist

    Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika

    4.6 Grammatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.7 Turingi masin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.8 Arvutatavad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.9 Rekursiivsed funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.10 Ülesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    5 GRAAFITEOORIA ELEMENTE 121 5.1 Sissejuhatavaid m~oisteid . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2 Näiteid graafidega seotud ülesannetest . . . . . . . . . 124 5.3 Intsidentsus. Kaarte graaf . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4 Graafiga seotud maatriksid . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.5 Alamgraaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.6 Marsruudid graafis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.7 Sidus graaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.8 Euleri tsüklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.9 Hamiltoni tsüklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.10 Tasandilised graafid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.11 Kuratowski teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.12 Platoni kehad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.13 Graafide värvimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.14 Puu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.15 Puude rakendusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.16 Kattev puu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.17 Lühima tee ülesanne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.18 Vahendite jaotamine tootmise laiendamiseks . . . . . . 172 5.19 Maksimaalne voog v~orgus . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.20 Ülesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    6 Vastused 204

    Kirjandus 239

    Aineregister 241

    http://www.staff.ttu.ee/~puusemp

  • Autori koduleht

    Tiitelleht

    JJ II

    J I

    Lk 6 / 247

    Tagasi

    Täisekraan

    Lahku failist

    Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika

    1. LAUSEARVUTUS

    1.1. Lausearvutuse valemid

    Lausearvutuse keskseks m~oisteks on lause m~oiste. Lause täpset definit- siooni ei anta, seda kirjeldatakse. Lausete all m~oistetakse igapäevases k~onekeeles kasutatavaid lauseid. Kuna lausearvutus püüab anlüüsi- da lauseid nende t~oesuse v~oi mittet~oesuse (vääruse) seisukohalt, siis lause sisu ei paku selles teoorias mingit huvi. Lausearvutuses vaadel- dakse ainult neid igapäevase k~onekeele lauseid, mille kohta saab öel- da, et see on t~oene v~oi väär. Lauseid hakkame tähistama sümbolitega A, B, C, . . ..

    Näide 1.1. Lausearvutuse lauseteks on näiteks laused

    J~ogeva on sadamalinn. Mari on tütarlapse nimi ja Tallinn on Eesti pealinn.

    See-eest lause Meie president on ilus mees pole lausearvutuse lause, sest selle kui hinnangut andva lause kohta ei saa otsustada, kas ta on t~oene v~oi väär. Lause J~ogeva on sadamalinn on ilmselt väär, lause Mari on tütarlapse nimi ja Tallinn on Eesti pealinn on aga t~oene.

    Lausete t~oeväärtusi tähistatakse lühidalt kas t (t~oene) ja v (väär) v~oi 1 (t~oene) ja 0 (väär). Meie oma kursuses hakkame kasutama süm- boleid 1 ja 0.

    Igapäevases k~onekeeles moodustatakse antud lausetest uusi lau- seid, nn liitlauseid. Selleks kasutatakse mitmeid v~otteid: eitust , side- s~onu ja, v~oi, konstruktsiooni ...kui..., siis... jms. Ka lausearvutu- ses toimitakse analoogiliselt ehk, teisiti öeldes, lausetega teostatakse tehteid. Lausetega teostatavad tehted on:

    1) Lause A eitus ¬A, mis seisneb lauses A esineva väite eitamises. Lause ¬A on t~oene parajasti siis, kui lause A on väär.

    2) Lausete A ja B konjunktsioon A ∧ B, mis tähendab lauset "A ja B". Lause A ∧ B on t~oene parajasti siis, kui on t~oesed m~olemad laused A ja B.

    3) Lausete A ja B disjunktsioon A∨B, mis tähendab lauset "A v~oi B". Lause A ∨ B on t~oene parajasti siis, kui on t~oene vähemalt üks

    http://www.staff.ttu.ee/~puusemp

  • Autori koduleht

    Tiitelleht

    JJ II

    J I

    Lk 7 / 247

    Tagasi

    Täisekraan

    Lahku failist

    Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika

    lausetest A ja B.

    4) Lausete A ja B implikatsioon A → B, mis tähendab lauset "Kui A, siis B". Lause A → B loetakse vääraks ainult siis, kui A on t~oene ja B on väär. See püüab kajastada p~ohim~otet, et t~oesest väitest ei saa tuletada vääraid väiteid, väärast väitest aga v~oib tuletada nii vääraid kui ka t~oeseid väiteid.

    5) Lausete A ja B ekvivalents A ∼ B, mis tähendab lauset "A on samaväärne lausega B". Lause A ∼ B on t~